Разложение сигнала на гармоники: Разложение сигнала на гармоники | MATHCAD — RC74 — интернет-магазин радиоуправляемых моделей

Содержание

Разложение сигнала на гармоники | MATHCAD

MATHCAD

Сигнал прямоугольной формы можно описать следующим аналитическим выражением

. (1)

Спектр такого сигнала s(t) с помощью ряда Фурье в тригонометрической форме имеет следующий вид:

s(t) = (2)

где ω = 2π/T – угловая частота;

n – номер гармоники;

t – время;

A₀, B_n, B_n – коэффициенты разложения ряда Фурье

Коэффициенты разложения ряда Фурье вычисляются по формулам:

где x(t) – периодический сигнал.

Полученное аналитическое выражение сигнала

x(t) в среде MathCAD будет иметь вид:

(6)

Для построения графика сигнала x = f(t) необходимо выбрать в главном меню программы MathCAD «Вид – Панели инструментов – График», далее на появившейся панели «Graph» выбрать элемент «Декартов график», после чего на рабочей области программы MathCAD появится область построения графика. По оси ординат области построения графика необходимо ввести «

x(t)», а по оси абсцисс – «t». Далее двойным щелчком левой кнопки мыши по области построения графика необходимо вызвать панель форматирования графика. На закладке «Оси X – Y» панели форматирования для удобства отображения нужно установить размер сетки, кратный по оси ординат амплитуде сигнала, а по оси абсцисс – периоду сигнала. На закладке «Трассировки» нужно установить толщину линий графика, для этого необходимо выделить мышью строку «trace1» в списке линий и в поле «Вес» выбрать «3». Кроме того, для удобства можно установить диапазон значений по оси абсцисс вводом соответствующих значений в области на оси абсцисс графика. Поскольку параметры сигнала по оси абсцисс изменяются от 0 до T = 50, эти значения и следует ввести. В результате получим график, изображённый на рисунке далее.

Рис. График сигнала прямоугольной формы в среде MathCAD: A = 1, T = 50, τ = 25

Для записи разложения сигнала в тригонометрический ряд Фурье потребуется вызвать панель «Calculus» или в главном меню выбрать «Вид – Панели инструментов – Калькуляция». На этой панели есть элементы «Определённый интеграл» и «Суммирование по дискретному элементу». Они необходимы для записи ряда Фурье и его коэффициентов разложения.

Полученное выражение для спектрального показания сигнала в общем виде для заданного числа гармоник N = 3 запишем следующим образом:

N := 3 n := 1, 2, … N ω := 2,	(7)
A₀ := ,	(8)
A_n := ,	(9)
B_n := ,	(10)
s(t) := + (A_пcos(tnω) + B_nsin(tnω)).	(11)

Чтобы добавить на график x

= f(t) спектральную форму сигнала s = f(t), нужно выделить указателем мыши на оси ординат поле, где записана функция исходного сигнала x(t) и справа от неё ввести запятую, после этого ниже появится поле для ввода ещё одной функции, куда следует ввести s(t). Графики сигнала прямоугольной формы и его спектральное показание по первым трём гармоникам показаны на рисунке ниже.

Рис. Графики исходного сигнала прямоугольной формы x(t)
и его спектральное показание s(t) для числа гармоник N = 3

Аналогично строят графики для пяти и семи гармоник. Для этого в программе расчёта гармоник нужно лишь присвоить числу гармоник N новое значение, а программа автоматически пересчитает спектр сигнала. При этом автоматически обновится график зависимости s = f(t).

Рис. Графики исходного сигнала прямоугольной формы x(t)

и его спектральное показание s(t) для числа гармоник N = 5

Рис. Графики исходного сигнала прямоугольной формы

x(t)

и его спектральное показание s(t) для числа гармоник N = 7

Математическое описание сигналов различного типа. Разложение сигнала по системе ортогональных и ортонормальных функций. Интеграл Фурье. Разложение функции в ряд Лорана, страница 2

Получим .

будет нечетной на промежутке , тогда к этой функции можно применить разложение вида:

3. Случай произвольного промежутка.

, где l – произвольное число. Разложим в ряд Фурье данную функцию. Введем следующую замену:

Тогда разложение будет иметь вид:

, где

Произведя обратную замену и учитывая, что

Тогда:

4. Случай произвольного половинного промежутка

Допустим задана на промежутке . Вводи замену:

если t=0, то m=0

если t=l, то m=π.

Тогда справедливо выражение:

Произведя обратную замену :

Комплексная форма ряда Фурье.

Рассмотрим функцию

Разложим синус и косинус по формуле Эйлера.

Раскрывая скобки и собирая коэффициенты при и получаем:

— комплексная форма ряда Фурье.

— комплексные коэффициенты разложения периодической функции в ряд Фурье.

— комплексная гармоника.

Определим :

, где

Вопросы для самоконтроля.

1. В каком случае функции являются ортогональными.

2. Как происходит гармонический синтез функции с периодом 2π.

3. Какими выражениями определяются коэффициенты ряда Фурье.

4. Расскажите о частных случаях ряда Фурье.

5. Вывести формулы для определения коэффициентов ряда Фурье на промежутке от 0 до π.

6. Вывести формулы для определения коэффициентов ряда Фурье на промежутке от 0 до l.

7. Вывести формулы для определения коэффициентов ряда Фурье на промежутке от -l до l.

8. Как перейти к комплексной форме ряда Фурье.

ЛЕКЦИЯ 2

ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ.

Цель. Изучить понятие интеграла Фурье.

Задачи.

1.Изучить интеграл Фурье для функции с периодом 2π.

2. рассмотреть частные случаи интеграла Фурье.

3. Изучить комплексную форму интеграла Фурье.

Допустим функция периодическая и рассмотрим ее на промежутке . При представлении функции

в виде ряда Фурье на промежутке , функция периодически продолжается с периодом за пределы интервала. В этом случае получающаяся периодическая функция представляется в виде бесконечной суммы гармоник. Установим, как будет изменяться разложение функции на сумму гармоник, если Функция — имеет разложение в ряд Фурье вида:

Коэффициенты для непериодической функции для этого промежутка:

Предположим, что на всей оси t удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости:

то есть [5] существует.

Подставим [2]-[4] в [1].

Оценим модуль первого слагаемого ().

при

Оценим второе слагаемое при . Частота первой гармоники . Однако величина является приращением частоты при переходе к совокупности частот гармоники от одной частоты к соседней. При . приращение частот есть величина очень маленькая и в этом случае приращение частоты можно отождествить с дифференциалом. В этом случае [6] представляет собой:

Для непериодической функции:

— интеграл Фурье.

В полученном выражении распишем косинус разности для нахождения коэффициентов Фурье.

Коэффициенты являются коэффициентами интеграла Фурье и соответственно коэффициентами .

Частный случай интеграла Фурье.

Рассмотри частный случай разложения интеграла Фурье.

— четная:

Если — четная, то интеграл Фурье примет вид:

— нечетная:

Если — нечетная, то интеграл Фурье примет вид:

Формулы [8] и ее частные случаи [9], [10] характеризуют разложение непериодической функции на сумму гармонических составляющих с частотами w и непрерывно изменяющихся на интервале .

Комплексная форма интеграла Фурье.

Допустим [11] имеет смысл.

Полученное выражение подставим в [11].

Выражения в круглых скобках в 1 и во 2 слагаемом являются соответственно четной и нечетной функцией относительно w, поэтому.

Сравнивая [13] с выражением для интеграла Фурье [7], приходим к выводу, что они идентичны. Следовательно [11] является комплексной формой интеграла Фурье. В [11] множитель не зависит от следовательно можно его вынести из под знака интеграла. Тогда получим:

Перейдем от к .

Формула 15 имеет своим аналогом комплексную форму ряда Фурье, и здесь роль коэффициента играет внутренний интеграл Обозначим его как:

Тогда [15] примет вид:

Функция является спектральной плотностью функции .

Вопросы для самоконтроля.

1. какой вид имеет разложение для интеграла Фурье.

2. Какую аналогию можно провести для интеграла с рядом Фурье.

3. Если функция четная, как выглядит для нее интеграл Фурье.

4. Если функция нечетная, как выглядит для нее интеграл Фурье.

5. Какой вид имеет комплексная форма интеграла Фурье.

ЛЕКЦИЯ 3

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И СИНТЕЗ ФУНКЦИИ.

Цель. Изучить спектральный состав сигналов.

Задачи:

1. Изучить типы и свойства спектров.

2. Изучить частотные спектры функций.

3. Изучить спектры некоторых типовых сигналов.

4. Изучить понятие спектральной характеристики.

Рассмотрим непрерывные и дискретные спектры.

Совокупность коэффициентов и при разложении периодической функции в ряд Фурье называются частотными спектрами этой функции.

и являются зависимыми от номера гармоники k.

Графически частотные спектры изображаются в виде отрезков длины и перпендикулярно оси на которой откладываются значения либо , либо .

Расстояние между отдельными отрезками равно 1, если , и , если период равен .

Совокупность коэффициентов при комплексном разложении ряда Фурье называется комплексным спектром периодической функции.

Совокупности и называются амплитудными и фазовыми частотными спектрами периодической функции .

Спектры тоже изображаются в виде отдельных отрезков. При комплексной форме коэффициенты могут быть положительными и отрицательными. В этом случае.

Рассмотрим .

Данное выражение называется спектральной плотностью или спектральной характеристикой периодической функции . Сравним [1] с выражением для комплексной амплитуды -ой гармоники ряда Фурье.

Если . Тогда правые части выражений [1] и [2] совпадают. При этом получим:

Для при различных принимает дискретный ряд значений относительно комплексной амплитуды -ой гармоники при разложении периодической функции. Функция характеризует закон изменения относительной комплексной амплитуды разложение непериодических функций на сумму гармоник, так как частота при разложении непериодических функций принимает непрерывный ряд значений, то график функции будет непрерывной кривой.

При разложении непериодической функции в случае, когда разложение будет представлять из себя сумму бесконечного числа гармоник, частота которых будет отличаться друг от друга на бесконечно малую величину. При построении графика амплитудно-частотного спектра непериодических процессов по оси ординат откладывается не амплитуда гармоники А, а относительна амплитуда:

🎛️🐍 Преобразования Фурье для обработки сигналов с помощью Python

Данный материал представляет собой незначительно сокращенный перевод статьи Кэмерона МакЛауда Fourier Transforms With scipy.fft: Python Signal Processing.

***

Преобразование Фурье – повсеместно используется для анализа сигналов – от обработки звука до сжатия изображений, от инженерных расчетов до Data Science. Популярная Python-библиотека SciPy предоставляет готовую реализацию преобразования Фурье в модуле scipy.fft.

Сам модуль поначалу выглядит устрашающе. Виной тому множество однотипно названных функций и то, что документация оперирует технической терминологией без каких-либо пояснений. Но есть и хорошие новости: чтобы начать использовать модуль, достаточно усвоить лишь несколько основных концепций.

Не волнуйтесь, если не чувствуете себя уверенно в математических изысканиях – мы рассмотрим алгоритм на конкретном практическом примере. Чтобы представить преобразование Фурье визуально, обязательно посмотрите следующий ролик 3Blue1Brown (есть русские субтитры).

Из этого руководства вы узнаете:

как и когда использовать преобразование Фурье;
как для вашей задачи выбрать правильную функцию из scipy.fft;
как посмотреть и изменить частотный спектр сигнала;
примеры доступных в scipy.fft преобразований.

Обратите внимание

Установка SciPy и Matplotlib

Прежде чем начать, необходимо установить SciPy, NumPy (библиотека для работы с массивами) и Matplotlib (библиотека для визуализации данных). Вы можете сделать это одним из двух способов:

С помощью Anaconda: загрузите и установите Anaconda Individual Edition. В этот набор инструментов уже включены перечисленные библиотеки.
С помощью pip вы можете установить (или обновить) библиотеки посредством следующей команды:

        python -m pip install -U numpy scipy matplotlib

Вы можете убедиться, что установка прошла успешно, запустив следующий код:

        import numpy, scipy, matplotlib
print(numpy.__version__)
print(scipy.__version__)
print(matplotlib.__version__)

Этот код импортирует NumPy, SciPy, Matplotlib и выведет версии модулей, если они установлены в системе.

Разница между scipy.fft и другими модулями

Очертим различия между модулем scipy.fft и другими модулями со схожими названиями. При просмотре документации SciPy вы обнаружите два родственных модуля:

Модуль scipy.fft новее и предпочтительнее, чем scipy.fftpack:

scipy.fft имеет улучшенный интерфейс;
scipy.fft позволяет использовать несколько воркеров, что в некоторых ситуациях может повысить скорость.

Реализация быстрого преобразования Фурье (англ. Fast Fourier transform, FFT) в SciPy содержит больше функций и более вероятно будет исправлена в случае обнаружения ошибки, чем реализация NumPy (numpy.fft), которая поддерживает реализацию FFT лишь для обеспечения обратной совместимости.

Анализ Фурье – область математического анализа, отвечающая на вопрос, как можно представить математическую функцию в виде комбинации простых тригонометрических функций. Преобразование Фурье – это инструмент, который позволяет в исследуемом сигнале увидеть вклад каждой из этих гармонических составляющих, характеризуемых определенной частотой. В этом смысле говорят, что преобразование Фурье позволяет разложить функцию по частотам.

Итак, мы будем говорить о трех компонентах:

Сигнал – некоторая информация, которая меняется со временем. Например, аудиосигнал, видеосигнал, изменение разности электрических потенциалов – всё это примеры сигналов.
Частота (англ. frequency) – это скорость, с которой что-то повторяется. Например, часы тикают с частотой один герц (1 Гц) или, иначе говоря, совершают одно колебание в секунду.
Мощность (англ. power) – в данном случае просто мощность сигнала для каждой частоты.

Следующее изображение иллюстрирует примеры гармонических сигналов различной частоты и мощности.

Пики высокочастотной синусоидальной волны расположены ближе друг к другу, чем пики низкочастотной. Синусоидальная волна малой мощности имеет меньшую амплитуду, чем две другие синусоидальные волны.

Представьте, что вы использовали преобразование Фурье для записи того, как кто-то играет на фортепиано аккорд из трёх нот.

Схематическое представление аккорда и соответствующего ему частотного спектра

Результирующий частотный спектр покажет три пика – по одному для каждой ноты. Если человек играл одну ноту мягче, мощность для частоты этой ноты будет меньше, чем для двух других.

Преобразование Фурье полезно во многих приложениях. Например, Shazam и другие службы распознавания музыки используют преобразование Фурье для идентификации песен. Алгоритм сжатия JPEG представляет собой вариант преобразования Фурье, применяемый для удаления высокочастотных компонент изображений. В распознавании речи преобразование Фурье и связанные с ним преобразования служат для восстановления произнесенных слов.

Задача преобразования Фурье возникает всякий раз, когда нужно как-либо работать с сигналом, представляемым в пространстве частот.

Временная область против частотной области

Далее мы будем иметь дело с временно́й и частотной областями] – двумя подходами к представлению сигнала: как информации, которая изменяется во времени и информации, отображенной в виде набора частот и соответствующих им амплитуд.

Ниже представлено характерное изображение аудиосигнала – классического примера сигнала во временной области. Горизонтальная ось соответствует времени, вертикальная ось – амплитуде.

Аудиосигнал во временной области

Тот же звуковой сигнал можно представить разложенным по составляющим его частотам. Горизонтальная ось на рисунке ниже представляет частоту, вертикальная ось – мощность.

Тот же аудиосигнал в частотной области

Преобразование Фурье подразделяют на категории по нескольким признакам. В первую очередь – по типу функций, с которыми работает преобразование: непрерывные или дискретные. В этом руководстве мы рассматриваем дискретное преобразование Фурье (DFT).

Термины DFT и FFT нередко используются как взаимозаменяемые. Однако это не совсем одно и то же: быстрое преобразование Фурье (FFT) – лишь один из алгоритмов вычисления дискретного преобразования Фурье.

Еще одна линия раздела в терминологии, с которым вы столкнетесь при использовании scipy.fft,– разные типы ввода. Например, функция fft() принимает комплексные числа, а rfft() работает только с действительными числами. В дальнейшем мы обсудим это подробнее.

Чтобы лучше понять преобразование Фурье и то, как его можно применить, решим задачу фильтрации звука. Намеренно создадим звуковой сигнал с высокочастотным шумом, а затем удалим шум с помощью преобразования Фурье.

Создание сигнала

Одиночное гармоническое (синусоидальное) колебание представляют одну частоту и в музыкальном отношении является чистым тоном. Воспользуемся свойством таких волн для генерации звука:

        import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

SAMPLE_RATE = 44100  # Гц
DURATION = 5  # Секунды

def generate_sine_wave(freq, sample_rate, duration):
    x = np.linspace(0, duration, sample_rate*duration, endpoint=False)
    frequencies = x * freq
    # 2pi для преобразования в радианы
    y = np.sin((2 * np.pi) * frequencies)
    return x, y

# Генерируем волну с частотой 2 Гц, которая длится 5 секунд
x, y = generate_sine_wave(2, SAMPLE_RATE, DURATION)
plt.plot(x, y)
plt.show()

После импорта NumPy и Matplotlib мы определили две константы:

SAMPLE_RATE (частота дискретизации) определяет, сколько точек используется для представления синусоидальной волны на интервале 1 с. Если бы сигнал имел частоту дискретизации 10 Гц и представлял пятисекундную синусоидальную волну, то он содержал бы 50 точек данных.
DURATION – длина сгенерированной выборки.

Затем мы определяем функцию для генерации синусоидальной волны – позже мы воспользуемся ей несколько раз. Функция принимает частоту freq и возвращает значения x и y, которые далее будут использоваться для построения изображения сигнала.

Координаты x синусоидальной волны равномерно распределены между 0 и DURATION. Установка endpoint = False в функции np.linspace() важна для правильной работы преобразования Фурье – предполагается, что сигнал является периодическим.

Ось x представляет время в секундах – обратите внимание, что синусоидальная волна действительно совершает два колебания в секунду. Эта синусоида имеет слишком низкую частоту, чтобы ее можно было слышать, поэтому в следующем разделе мы сгенерируем несколько высокочастотных синусоид и рассмотрим, как их можно смешивать.

Смешивание аудиосигналов

Микширование аудиосигналов состоит всего из двух этапов:

cложение сигналов;
нормализация результата.

        _, nice_tone = generate_sine_wave(400, SAMPLE_RATE, DURATION)
_, noise_tone = generate_sine_wave(4000, SAMPLE_RATE, DURATION)

noise_tone = noise_tone * 0.3
mixed_tone = nice_tone + noise_tone

Символ подчеркивания (_) мы используем, чтобы отбросить значения x, возвращаемые функцией generate_sine_wave() – нам не нужно складывать значения времени.

Следующий шаг – нормализация, масштабирование сигнала под целевой формат. В нашем случае это 16-битное целое число в диапазоне от -32768 до 32767:

        normalized_tone = np.int16((mixed_tone / mixed_tone.max()) * 32767)

plt.plot(normalized_tone[:1000])
plt.show()

Вид смикшированного сигнала

Деление mixed_tone на максимальное значение масштабирует его в интервале от -1 до 1. Умножение на 32767 масштабирует сигнал между -32767 и 32767, что примерно соответствует диапазону np.int16. Код отображает только первые 1000 точек, чтобы мы могли четче проследить структуру сигнала. Видимая нами синусоидальная волна – это сгенерированный тон 400 Гц, искаженный тоном 4000 Гц.

Чтобы прослушать звук, необходимо сохранить его в формате, который может прочитать аудиоплеер. Воспользуемся методом SciPy wavfile.write и сохраним результат в файле формата WAV. Выбранное нами 16-битное целочисленное представление является стандартным типом данных для wav-файлов.

        from scipy.io.wavfile import write

write("mysinewave.wav", SAMPLE_RATE, normalized_tone)

Этот код запишет данные в файл mysinewave.wav в директории, где мы запускаем этот скрипт Python. Файл можно прослушать с помощью любого медиаплеера.

Быстрое преобразование Фурье (FFT) – алгоритм, который позволяет вычислить частотный спектр сигнала:

        from scipy.fft import fft, fftfreq

# число точек в normalized_tone
N = SAMPLE_RATE * DURATION

yf = fft(normalized_tone)
xf = fftfreq(N, 1 / SAMPLE_RATE)

plt.plot(xf, np.abs(yf))
plt.show()

Результат FFT-преобразования

На построенном спектре видны два пика на положительных частотах и два их зеркальных отражения в отрицательной области. Пики положительных частот находятся на позициях 400 и 4000 Гц.

Преобразование Фурье взяло колеблющийся сигнал и разложило его по содержащимся в нем частотам. Поскольку мы сами внесли только две частоты, на выходе преобразования мы видим только их. Симметричное представление в положительной и отрицательной областях – побочный эффект ввода действительных значений в преобразование Фурье, о чём мы поговорим подробнее в дальнейшем.

Самый важный раздел в этом небольшом скрипте – вычисление преобразования Фурье:

        yf = fft(normalized_tone)
xf = fftfreq(N, 1/SAMPLE_RATE)

Код вызывает две функции:

fft() вычисляет само преобразование.
fftfreq() находит частоты в центре каждого «бина» на выходе fft(). Без этого не было бы возможности построить ось x нашего спектра.

Под бином здесь понимается интервал значений, сгруппированных аналогично гистограмме. В рамках этого руководства достаточно рассматривать их как отдельные значения.

Интересной частью кода является обработка, выполняемая с yf перед построением – вызов np.abs() для yf вызван лишь тем, что значения yf – комплексные числа.

Комплексное число – это число, состоящее из двух частей: действительной и мнимой. Такие необычные числа полезны во многих приложениях, но если вы столкнулись с ними впервые, то сейчас достаточно знать лишь то, что они существуют.

Математики обычно записывают комплексные числа в форме a + bi, где a – действительная часть, b – мнимая часть, i – мнимая единица.

Поскольку комплексные числа состоят из двух компонент, построение графика их зависимости от частоты на двумерной оси требует, преобразовать два значения в одно. На помощь приходит np.abs(). Эта функция вычисляет √(a²+b²).

Примечание

Кстати, по графику можно заметить, что fft() возвращает в качестве максимальной частоты чуть более 20 тысяч герц, а именно: 22050 Гц. Это значение составляет ровно половину частоты дискретизации и называется частотой Найквиста. Действительно, из фундаментальной теоремы обработки сигналов (теорема Котельникова), следует, что частота дискретизации должна как минимум вдвое превышать максимальную частоту сигнала.

Частотный спектр, выдаваемый fft(), зеркально отражался относительно оси y. Эта симметрия вызвана вводом в преобразование действительных чисел. Эту симметрию можно использовать, чтобы ускорить преобразование Фурье, вычислив лишь половину с помощью функции rfft().

        from scipy.fft import rfft, rfftfreq

# обратите внимание на r в начале имён функций
yf = rfft(normalized_tone)
xf = rfftfreq(N, 1/SAMPLE_RATE)

plt.plot(xf, np.abs(yf))
plt.show()

Форма спектра сигнала до фильтрации

Самая замечательная вещь в преобразовании Фурье заключается в том, что оно обратимо. Любой сигнал, измененный в частотной области, можно преобразовать обратно во временную область. Воспользуемся этим, чтобы отфильтровать высокочастотный шум.

Возвращаемые rfft() значения соответствуют мощности каждого частотного бина. Если мы установим мощность бина равной нулю, соответствующая частота перестанет присутствовать в результирующем сигнале во временной области:

        # Максимальная частота составляет половину частоты дискретизации
points_per_freq = len(xf) / (SAMPLE_RATE / 2)

# Наша целевая частота - 4000 Гц
target_idx = int(points_per_freq * 4000)

Обнулим yf для индексов около целевой частоты:

        yf[target_idx-2:target_idx+2] = 0

plt.plot(xf, np.abs(yf))
plt.show()

Форма спектра сигнала после фильтрации

Остался только один пик. Применим обратное преобразование Фурье, чтобы вернуться во временную область.

Применение обратного FFT аналогично применению FFT:

        from scipy.fft import irfft

new_sig = irfft(yf)

plt.plot(new_sig[:1000])
plt.show()

Форма сигнала после фильтрации

Поскольку мы использовали rfft(), для обратного преобразования нужно использовать irfft(). Однако, если бы мы использовали fft(), обратной функцией была бы ifft().

Как видите, теперь есть одна синусоида, колеблющаяся с частотой 400 Гц – мы успешно удалили шум на 4000 Гц.

Нормализуем сигнал и запишем результат в файл. Сделать это можно так же, как в прошлый раз:

        norm_new_sig = np.int16(new_sig * (32767 / new_sig.max()))
write("clean.wav", SAMPLE_RATE, norm_new_sig)

Проиграв файл, вы услышите, что раздражающий писк исчез.

Будьте осторожны с фильтрацией

Приведенный пример в большей мере предназначен для образовательных целей, чем для реального использования. Воспроизведение процесса для таких сигналов, как музыкальные произведения, может даже создать больше шума, чем устранить.Для фильтрации сигналов обычно используются специальные функции проектирования фильтров пакета scipy.signal. Фильтрация – сложная тема, требующая математической подготовки. Хорошее введение в фильтрацию сигналов дает книга Стивена Смита The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing.

Туториал по модулю scipy.fft был бы неполным без рассмотрения дискретного косинусного (DCT) и синусоидального (DST) преобразований. Эти два преобразования тесно связаны с преобразованием Фурье, но работают только с действительными числами. В библиотеке SciPy соответствующие преобразования реализованы в виде функций dct() и dst(). Варианты этих функций с названиями, начинающимися с i и n, представляют соответственно обратные и n-мерные версии функций.

Упрощенно говоря, DCT и DST – как бы две половины преобразования Фурье, вычисляемые по отдельности быстрее, чем полное преобразование Фурье. Прежде чем вы научитесь выбирать между ними, нужно освежить в памяти понятие четных и нечетных функций. Четные функции симметричны относительно оси y, а нечетные – относительно начала координат. Чтобы представить это наглядно, взгляните на следующие примеры.

Примеры четной и нечетной функций – соответственно квадратичная и кубическая функции

При расчете полного преобразования Фурье (DFT) предполагается, что функция, по которой происходит вычисление, повторяется бесконечно. Однако преобразования DCT и DST позволяют учесть симметрию сигнала. Косинусное преобразование (DCT) предполагает, что функция продлевается за счет четной симметрии, а для DST – за счет нечетной симметрии.

На следующем изображении показано, как каждое преобразование представляет, как функция будет продолжаться в бесконечности.

Представление конечного дискретного сигнала в случае полного, косинусного и синусоидального преобразований Фурье

На изображении выше полное преобразование повторяет функцию как есть. DCT отражает функцию по вертикали, а DST – по горизонтали. Обратите внимание, что симметрия DST приводит к существенным разрывам функции. Это вносит высокочастотные составляющие в результирующем частотном спектре. Если нет сведений о симметрии сигнала, лучше использовать DCT.

Есть множество примеров использования DCT в различных задачах, требующих высокой скорости преобразования Фурье, в том числе в алгоритмах JPEG, MP3 и WebM.

Преобразование Фурье – это мощная концепция, применяемая в самых разных областях – от чистой математики до аудиотехники и даже финансов. В этом уроке мы рассмотрели:

как и когда используется преобразование Фурье
как выбрать нужную функцию из scipy.fft
в чем разница между временной и частотной областями
как посмотреть и изменить частотный спектр сигнала
как использовать rfft(), чтобы преобразование выполнялось еще быстрее

Мы рассмотрели только базовую идею, но ее понимание поможет разобраться в других вопросах, связанных с преобразованием Фурье и представлением функций в виде частотных спектров.

Спектральный анализ сигналов на линиях связи

Важная роль при определении параметров линий связи отводится спектральному разложению передаваемого по этой линии сигнала. Из теории гармонического анализа известно, что любой периодический процесс можно представить в виде суммы синусоидальных колебаний различных частот и различных амплитуд (рис. 1).

Наши партнеры:
— Возможно эта информация Вас заинтересует:
— Посмотрите интересные ссылочки вот тут:

Каждая составляющая синусоида называется также гармоникой, а набор всех гармоник называют спектральным разложением, или спектром, исходного сигнала. Под шириной спектра сигнала понимается разность между максимальной и минимальной частотами того набора синусоид, которые в сумме дают исходный сигнал.

Непериодические сигналы можно представить в виде интеграла синусоидальных сигналов с непрерывным спектром частот. В частности, спектральное разложение идеального импульс а (единичной мощности и нулевой длительности) имеет составляющие всего спектра частот , от — до + (рис. 2).

Рис. 1. Представление периодического сигнала суммой синусоид

Рис. 2. Спектральное разложение идеального импульса

Рис. 3. Искажение импульсов линией связи.

Техника нахождения спектра любого исходного сигнала хорошо известна. Для некоторых сигналов, которые описываются аналитически (например, для последовательности прямоугольных импульсов одинаковой длительности и амплитуды), спектр легко вычисляется на основании формул Фурье.

Для сигналов произвольной формы, встречающихся на практике, спектр можно найти с помощью специальных приборов — спектральных анализаторов, которые измеряют спектр реального сигнала и отображают амплитуды составляющих гармоник на экране, распечатывают их на принтере или передают для обработки и хранения в компьютер.

Искажение передающей линией связи синусоиды какой-либо частоты приводит, в конечном счете, к искажению амплитуды и формы передаваемого сигнала любого вида. Искажения формы проявляются в том случае, когда синусоиды различных частот искажаются неодинаково. Если это аналоговый сигнал, передающий речь, то изменяется тембр голоса за счет искажения обертонов — боковых частот. При передаче импульсных сигналов, характерных для компьютерных сетей, искажаются низкочастотные и высокочастотные гармоники, в результате фронты импульсов теряют свою прямоугольную форму (рис. 3), и сигналы могут плохо распознаваться на приемном конце линии.

Передаваемые сигналы искажаются из-за несовершенства линий связи. Идеальная передающая среда, не вносящая никаких помех в передаваемый сигнал, должна, по меньшей мере, иметь нулевые значения сопротивления, емкости и индуктивности. Однако на практике медные провода, например, всегда представляют собой некоторую распределенную по длине комбинацию активного сопротивления, емкостной и индуктивной нагрузок (рис. 4). В результате синусоиды различных частот передаются этими линиями по-разному.

Рис. 4. Представление линии как распределенной индуктивно-емкостной нагрузки

Помимо искажений сигналов, возникающих из-за не идеальных физических параметров линии связи, существуют и внешние помехи, которые вносят свой вклад в искажение формы сигналов на выходе линии. Эти помехи создаются различными электрическими двигателями, электронными устройствами, атмосферными явлениями и т. д. Несмотря на защитные меры, предпринимаемые разработчиками кабелей, и наличие усилительной и коммутирующей аппаратуры, полностью компенсировать влияние внешних помех не удается. Помимо внешних помех в кабеле существуют и внутренние помехи — так называемые наводки одной пары проводников на другую. В результате сигналы на выходе линии связи могут иметь искаженную форму (как это и показано на рис. 3).

Понятие о спектральном составе импульсных электрических сигналов

Понятие спектра

Спектр сигнала — в радиотехнике это результат разложения сигнала на более простые в базисе ортогональных функций. В качестве разложения обычно используются преобразование Фурье, разложение по функциям Уолша, вейвлет-преобразование и др.

Непосредственный анализ воздействия сигналов сложной формы на радиотехнические цепи весьма затруднителен и вообще не всегда возможен. Поэтому сложные сигналы имеет смысл представлять как сумму некоторых простых элементарных сигналов. Принцип суперпозиции обосновывает возможность такого представления, утверждая, что в линейных цепях воздействие суммарного сигнала равносильно сумме воздействий соответствующих сигналов по отдельности.

В качестве элементарных сигналов часто применяют гармоники. Такой выбор имеет ряд достоинств:

а) Разложение на гармоники реализуется достаточно легко путем использования преобразования Фурье.

б) При воздействии гармонического сигнала на любую линейную цепь его форма не изменяется (остается гармонической). Сохраняется также частота сигнала. Амплитуда и фаза, конечно, изменяются; их можно сравнительно просто рассчитывать, применяя метод комплексных амплитуд.

в) В технике широко используются резонансные системы, позволяющие экспериментально выделять одну гармонику из сложного сигнала.

Представление сигнала суммой гармоник, заданных частотой, амплитудой и фазой, называется разложением сигнала в спектр.

Гармоники, входящие в состав сигнала, задаются в тригонометрической или мнимопоказательной форме.

В цифровой обработке сигналов для анализа применяются дискретные преобразования: Фурье, Хартли, вейвлетные и др.

Спектральный состав импульсов

Периодическая последовательность импульсов представляет собой несинусоидальное периодическое колебание. Одиночный импульс не является исключением, его можно представить как последовательность импульсов с бесконечным периодом (Т стремится к бесконечности). Периодическое несинусоидальное колебание может быть представлено бесконечным тригонометрическим рядом Фурье, содержащим постоянную состояния и гармонические колебания. Результат воздействия на схему каждой составляющей определяется сравнительно просто, пользуясь принципом наложения можно действия импульса на цепь заменить суммарным действием всех его составляющих. Часто используется следующая формула ряда Фурье:

f(t)=A0\2+A1*cosω1t+ A2*cos2ωt+…+ An*cos*nωt+…+ B1*sinω1t+ B2*sinω2t+…+ Bn*sin*ωt+…

Совокупность гармоник составляют данное несинусоидальное колебание представленное, графическим изображением спектра называется спектральной диаграммой. На спектральной диаграмме каждая гармоника изображается вертикальной линией, длина этой линии пропорционально амплитуде гармоники, а ее положение на оси абсцисс определяется частотой гармоники. Спектральная диаграмма дает наглядное представление о зависимости амплитуд гармоник то ее частоты

f01=1\tn, f02=2\tn. а) – временные диаграммы, б) – спектральные диаграммы

С увеличением номера гармоники их амплитуда имеет тенденцию к уменьшению. Чем короче импульс, тем шире его спектр. Симметрия его относительно начало координат левый рисунок приводит к тому, что в разложении не будет синусоид гармоники постоянной составляющей и отсутствую гармоники четных номеров, обусловленные симметрией относительно оси абсцисс. Поэтому разложение будет содержать синусоидальные составляющие нечетных номеров. Таим образом, в составе спектра содержит бесконечное количество синусоидальных гармоник амплитуд, которых обратно пропорциональны номеру гармоник, с увеличение они уменьшаются по гиперболическому закону (правый рисунок).

Преобразование Фурье: операция, сопоставляющая функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.

Преобразование Фурье функции вещественной переменной является интегральным и задаётся следующей формулой: Применения:Преобразование Фурье используется во многих областях науки — в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятностей, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии и многих других. В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурье обычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды, то есть обратимый переход от временно́го пространства (timedomain) в частотное пространство (frequencydomain). Богатые возможности применения основываются на нескольких полезных свойствах преобразования:

Преобразования являются линейными операторами и, с соответствующей нормализацией, унитарными (свойство, известное как теорема Парсеваля, или, в более общем случае, как теорема Планшереля, или, в наиболее общем, как дуализм Понтрягина).

Преобразования обратимы, причём обратное преобразование имеет практически такую же форму, как и прямое преобразование. Синусоидальные базисные функции (вернее, комплексные экспоненты) являются собственными функциями дифференцирования, что означает, что данное представление превращает линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами в обычные алгебраические. (Например, в линейной стационарной системе частота — консервативная величина, поэтому поведение на каждой частоте может решаться независимо). По теореме о свёртке, преобразование Фурье превращает сложную операцию свёртки в простое умножение, что означает, что они обеспечивают эффективный способ вычисления основанных на свёртке операций, таких как умножение многочленов и умножение больших чисел.

Спектральный анализ сигналов на линиях связи.

Любая периодическая функция f(t) может быть представлена в виде суммы синусов (так называемый тригонометрический ряд Фурье):

A_nsin(w_nt)

По существу говоря, члены ряда Фурье — это гармоники или, с геометрической точки зрения, различные синусоиды, суммируя которые, можно с любой степенью точности представить любую периодическую функцию, а значит и любой периодический сигнал. Значит любой сигнал можно представить как сумму синусоид с разными частотами и амплитудами. Каждая составляющая синусоида называется также гармоникой, а набор всех гармоник называют спектральным разложением исходного сигнала или просто спектром сигнала.

Практически в любом справочнике по высшей математике можно найти таблицы с разложениями в тригонометрические ряды Фурье простых сигналов. Число гармоник в разложении бесконечно большое, однако часто их можно ограничить конечным числом.

Рассмотрим в качестве примера сигнал прямоугольной формы и его представление в виде суммы первых трех гармоник (рис ….).

Эта функция раскладывается в ряд:

+ …

Как видно, ряд Фурье для этой функции состоит лишь из нечетных гармоник. На рисунке показано представление прямоугольных импульсов в виде суммы 1-й, 3-й и 5-й гармоник. Первая гармоника соответствует синусу с частотой w, третья 3w и т.д.

Полученные гармоники можно для наглядности представить в виде графика. (Необходимо обратить внимание, что по оси Х откладывается не время, а частота –F.)

Дальнейшее рассмотрение будем проводить, принимая во внимание, что гармонические составляющие сигнала (гармоники) будут искажаться передающим каналом по-разному, т.е. спектр сигнала на входе в канал будет отличаться от спектра на его выходе.

Искажение передающим каналом синусоиды какой-либо частоты приводит в конечном счете к искажению передаваемого сигнала любой формы, особенно если синусоиды различных частот искажаются неодинаково. Если это аналоговый сигнал, передающий речь, то изменяется тембр голоса за счет искажения обертонов – боковых частот. При передаче импульсных сигналов, характерных для компьютерных сетей, искажаются низкочастотные и высокочастотные гармоники, в результате фронты импульсов теряют свою прямоугольную форму (рис. ….). Вследствие этого на приемном конце линии сигналы могут плохо распознаваться

Рисунок 3‑1 Искажение импульсов в линии связи

Линия связи искажает передаваемые сигналы из-за того, что ее физические параметры отличаются от идеальных. Так, например, медные провода всегда представляют собой некоторую распределенную по длине комбинацию активного сопротивления, емкостной и индуктивной нагрузки (рис. …). В результате для синусоид различных частот линия будет обладать различным полным сопротивлением, а значит, и передаваться они будут по-разному. Волоконно-оптический кабель также имеет отклонения, мешающие идеальному распространению света. Если линия связи включает промежуточную аппаратуру, то она также может вносить дополнительные искажения, так как невозможно создать устройства, которые бы одинаково хорошо передавали весь спектр синусоид, от нуля до бесконечности.

Рисунок 3‑2 Представление линии как распределенной индуктивно-емкостной нагрузки

Кроме искажений сигналов, вносимых внутренними физическими параметрами линии связи, существуют и внешние помехи, которые вносят свой вклад в искажение формы сигналов на выходе линии. Поэтому сигналы на выходе линии связи обычно имеют сложную форму, как это и показано на рис. … .

Узнать еще:

Спектральный анализ сигналов 1 непрерывное преобразование фурье

Спектральный анализ сигналов

Спектральный анализ сигналов

1. Непрерывное преобразование Фурье

Спектральное представление сигналов основано на разложении функций в ряд.

Рис.1. Непрерывная периодически повторяющаяся функция (сигнал) U(t).

(1)

ериодически повторяющаяся функция U(t) (далее — сигнал) любой формы с периодом повторения T на бесконечном интервале времени может быть представлена бесконечной суммой элементарных тригонометрических функций с надлежащим образом подобранными параметрами: амплитудой A_k и начальной фазой φ_k:

или в форме:

П
реобразование выражения (1) в форму (2) основано на представлении гармонического колебания в виде двух квадратурных составляющих: косинусной и синусной с нулевыми начальными фазами.

Это разложение (1) или (2) периодической функции (сигнала) в бесконечный ряд тригонометрических функций называется рядом Фурье, а функции ряда называются гармониками.

Частоты гармоник кратны основной частоте ω₁:

— круговая частота (рад/сек)

— циклическая частота (герц)

Коэффициенты (амплитуды гармоник) ряда (2) могут быть вычислены:

Амплитуды A_k и фаза φ_k гармоники ряда (1) связаны с коэффициентами a_k и b_k ряда (2) связаны соотношениями:

Ряд Фурье обычно принято представлять в комплексной форме.

Для преобразования выражения (2) в комплексную форму следует воспользоваться формулами Эйлера (представление тригонометрических функций экспоненциальными):

Тогда разложение U(t) в ряд может быть представлено:

или в форме:

Обозначим коэффициенты ряда (4)

С учетом соотношений (3) коэффициенты C_k и C_—_k вычисляются:

Так как cos(α) ± jsin(α) = e^±^jα

то соотношения (5) в комплексной форме будут иметь вид

Легко заметить, что значения C_—_k отличаются от C_k лишь знаком показателя экспоненты.

Если ввести отрицательные значения k и учесть, что

то разложение в ряд U(t) (4) можно представить в следующей форме:

И окончательно запишем формулы преобразования Фурье для периодически повторяющихся сигналов с периодом повторения T:

— прямое преобразование Фурье

— обратное преобразование Фурье

где С_k_{комплексные гармоники – спектр периодически повторяющегося сигнала.}

Еще раз обратим внимание на свойства спектра периодически повторяющегося сигнала на бесконечном интервале времени:

— спектр является дискретным;

— гармоники спектра кратны основной частоте f = 1/T (ω = 2π/T);

— число гармоник бесконечно;

— математически спектр содержит как реальные – положительные по частоте гармоники, так и отрицательные гармоники (k – отрицательные значения).

Спектр (а точнее спектральная плотность) не периодического, одиночного, сигнала может быть получен путем предельного перехода при

— интервал между соседними гармониками

ω — непрерывная частота

— спектральная плотность

(8)

преобразование Фурье для одиночного сигнала выполняется по формулам:

(9)

Огибающая дискретного спектра периодического сигнала полностью совпадает со спектральной плотностью одиночного сигнала. Поэтому для получения спектра периодического сигнала с периодом T достаточно по (8) вычислить спектральную плотность для одиночного сигнала и взять дискретные его значения через f = 1/T.

Пример:

Спектральная плотность прямоугольного импульса длительностью τ и амплитудой U_m

Пределы

интегрирования

П
осле подстановки пределов интегрирования и с учетом формул Эйлера получим

Р
ис.2. Модуль функции sin(x)/x (амплитудный спектр прямоугольного импульса)

Как следует из приведенного графика, функция sin(x)/x имеет лепестковый характер и принимает значения, равные 0 при x = 2nπ n = 1, 2, 3…

или для спектра при значениях частоты f = 1/τ, 2/τ, 3/τ…

Уровень лепестков относительно главного составляет:

— первый — 0.217

— второй — 0.13

— третий — 0.09

— четвертый – 0.07

т.е., хотя в главном лепестке спектра и сосредоточена основная мощность прямоугольного импульса (более 90%), все же спектр (спектральная плотность) его достаточно медленно убывает с частотой.

2. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)

Дискретное преобразование Фурье основано на дискретизации непрерывных сигналов.

Пусть спектр сигнала U(t), заданного на интервале T, ограничен верхней частотой F_В.

Тогда в соответствии с теоремой Котельникова (теоремой отсчетов Винера) такой сигнал может быть представлен своими дискретными значениями U_n(n=0,1…N-1), взятыми через интервалы времени

Δt=1/2F_В

Число дискретных значений – отсчетов сигнала будет равно N=T/Δt.

Тогда при условии дискретизации сигнала соотношение для расчета гармоник спектра

следует записать в виде суммы, заменив

— текущее время

окончательно дискретное преобразование Фурье принимает вид

Рассмотрим некоторые свойства дискретного преобразования Фурье.

1

. Сравним гармоники при k=0 и k=N; при k=1 и k=N+1 т.е отстоящих на N:

Т.к. индексы отсчетов n –целочисленные значения

то exp(-j2πn)=cos(2πn) – j*sin(2πn)=1

иc_N=c₀

То есть c₁=c_N₊₁

Таким же образом можно показать, что c₂=c_n₊₂ и т.д.

Т.е. при дискретном преобразовании Фурье число рассчитываемых гармоник равно числу отсчетов N. (Далее значения гармоник повторяются).

2. Рассмотрим гармоники c₁ и c_N_-1c₂ и c_N_-2, т.е. симметричные относительно гармоники c_N_/2

Также и и т.д

Т.е. гармоники, симметричные относительно c_N_/2, являются комплексно сопряженными.

(11)

братное преобразование Фурье выполняется по формуле:

Для выполнения дискретного преобразования Фурье (прямого и обратного) при прямом использовании соотношений (10) (11) потребуется N*N операций комплексных умножений и сложений (операция умножения требует больших временных или аппаратурных затрат по сравнению с операций суммирования).

Для уменьшения временных затрат для выполнения дискретного преобразования Фурье разработаны различные алгоритмы быстрого преобразования Фурье, основанные на прореживании данных по времени или по частоте. Для БПФ число отсчетов сигнала N должно быть степенью числа 2. Тогда необходимое число операций для полного преобразования Фурье составит N*log₂N.

В пакете Mathcad имеются строенные функции для ДПФ:

c:=FFT(U) U:=IFFT(c)

FFT — прямое быстрое преобразование Фурье (БПФ)

Преобразуемая переменная U должна быть представлена вектором вещественных чисел размерностью N=2^m m>2. Результат преобразования FFT – вектор комплексных чисел размерностью 1+2^m^-1 (иными словами FFT вычисляет только часть возможных гармоник c_k k:=0…N/2 без комплексно сопряженных гармоник – см. свойство 2)

IFFT — обратное быстрое преобразование Фурье

Здесь c – вектор комплексных чисел (гармоники) размерностью 1+2^m^-1 m>2.

IFFT –возвращает вектор вещественных чисел размерностью N=2^m

Многомерное преобразование Фурье

G:=CFFT(A) A:=ICFFT(G)

Данные преобразования применимы как к векторам, так и к матрицам комплексных чисел. Как прямое преобразование CFFT, так и обратное ICFFT возвращает вектор или матрицу той же размерности, что и преобразуемый вектор или матрица. При этом не накладывается ограничений типа равенства размерности строк или колонок степени числа 2.

Комплексное преобразование Фурье CFFT может быть применено и вектору вещественных чисел U вместо FFT, если, к примеру, не удается обеспечить требование равенства N=2^m. Однако, если над гармониками затем выполняется некое преобразование, например, моделируется прохождения сигнала через частотно зависимое устройство в виде:

т
о в силу комплексной сопряженности гармоник, симметричных относительно c_N_/2, обратное преобразование ICFFT уже не обеспечит получение временной функции (вида сигнала) на выходе.

Ниже приведены амплитудный и фазовый спектры сигнала (прямоугольного импульса), полученные с использованием функций FFT и CFFT.

а)

б)

Рис.2. Амплитудный и фазовый спектры, полученные с помощью FFT (а) и CFFT (б).

Кроме того, в Mathcad предусмотрены встроенные функции

c:=fft(U) U:=ifft(c)

которые выполняются по формулам

К

ак видно из приведенных формул, гармоники спектра, рассчитанные по fft, по амплитуде в 1/√N будут больше и комплексно сопряжены по сравнению с гармониками, рассчитанными по FFT.

(Соответственно, следует пользоваться парами FFT – IFFT или fft — ifft)

Аналогично действуют и функции комплексного преобразования Фурье cfft – icfft.

Примечание:

При описании формирования сигналов использованы обозначения переменных

T:= t:=0…T-1

и сигнал рекомендуется сразу задать в виде вектора U_t, т.е. сигнал фактически представлен в виде дискретных отсчетов для последующего дискретного преобразования Фурье. Иными словами, значению числа отсчетов N, использованному в описании выше соответствует значение T, а индексам n значения t.

3
. Примеры расчета спектров некоторых сигналов

3.1. Прямоугольный импульс.

а) б)

в)

Рис.3. Амплитудные спектры прямоугольного импульса.

а – длительность импульса T/10

б – длительность T/5

в – длительность T/2 (меандр).

Как уже отмечалось выше, огибающая спектра описывается функцией |sin(x)/x|.

Спектр периодической последовательности импульсов с τ=T/2 (меандра) не содержит четных гармоник.

3.2. Прямоугольный радиоимпульс.

Р
ис.4. Спектр радиоимпульса длительностью T/10 и частотой заполнения 100/T.

Спектр радиоимпульса симметричен относительно частоты заполнения и каждая боковая полоса соответствует спектру видеоимпульса.

3.3. Импульс с экспоненциальными фронтами.

Р
ис.5. Импульс с экспоненциальными фронтами (длительностью T/5) и его спектр.

При уменьшении крутизны фронтов импульса уменьшается уровень боковых лепестков спектра – следующих за главным.

3.4. Колоколообразный (гауссов) видеоимпульс

Р
ис.6. Гауссов импульс длительностью T/10 на уровне 0.5 и его спектр.

Огибающая спектра также описывается гауссовой зависимостью. Спектр гауссового импульса является самым компактным (сравни со спектром прямоугольного импульса длительностью T/10 на рис.3).

3.5. Случайный телеграфный сигнал с фазовой модуляцией

Р
ис.7. Спектр случайного телеграфного сигнала с ФМ (число элементов 64).

Разложение Фурье — обзор

2 РЕГУЛИРУЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ

В отсутствие электрических источников двумерные уравнения Максвелла могут быть записаны в форме закона сохранения [10] как

(1) ∂Q∂t + ∂F∂x + ∂G∂y = 0.

Для поперечной электрической (TE) поляризации

(2) Q = BzDxDy, F = Dy / ∈0Bz / μ и G = −Dx / ∈ − Bz / μ0.

Для поперечной магнитной (TM) поляризации

(3) Q = DzBxBy, F = −By / μ0 − Dz / ∈ и G = Bx / μDz / ∈0.

В уравнениях (2) и (3) D = ( D _x , D _y , D _z ) — смещение электрического поля, а B = ( B _x , B _y , B _z ) — индукция магнитного поля, которая связана с напряженностями электрического и магнитного полей через диэлектрическую проницаемость ϵ и проницаемость μ.следующим образом:

Поскольку основные уравнения линейны, предположение, что падающее поле является гармоническим во времени с частотой ω, приводит к зависящему от времени полному полю, которое также гармонично с частотой ω. Таким образом, уравнения Максвелла могут быть преобразованы в систему стационарных сложных уравнений, используя одночастотное предположение [10]:

(5) E = ℜE˜xye-iωt, H = ℜH˜xye-iωt, D = D˜xye-iωt и B = ℜB˜xye-iωt.

В уравнении (5) тильда обозначает комплексную величину и обозначает действительную часть.Основное уравнение (1) принимает следующий вид:

(6) −iωQ˜ + ∂F˜∂x + ∂G˜∂y = 0

Следует отметить, что из-за предположения об одной частоте не была потеряна общность. Поскольку основные уравнения линейны, решение для общего случая с произвольной падающей волной может быть получено путем выполнения разложения Фурье падающей волны и вычисления решения для каждой соответствующей частоты в ряду. Тогда решение для произвольной падающей волны может быть получено суперпозицией одночастотных решений с применением теоремы Фурье.

Решения уравнений Максвелла (6) теперь могут быть вычислены в частотной области с помощью одной из множества схем численного интегрирования. На практике, однако, более эффективно сначала преобразовать уравнения в «рассеянную» форму. Вблизи дальнего поля ожидается, что амплитуда рассеянных волн мала, а амплитуда падающих волн относительно велика. При решении для полного поля ошибки возникают из-за вычисления самого падающего поля, а также из-за вычисления рассеянного поля.Путем преобразования уравнений в рассеянную форму эти ошибки падающего поля устраняются, и, таким образом, разрешение сетки может быть уменьшено вблизи дальнего поля. Значение полного поля получается как сумма известного падающего значения и рассеянного значения,

(7) D˜ = D˜i + D˜s, B˜ = B˜i + B˜s, E˜ = E˜i + E˜s и H˜ = H˜i + H˜s,

, где нижние индексы i и s обозначают падающий и рассеянный вклады. Падающее поле определяется как поле, которое существовало бы, если бы не было рассеивающих объектов.Основное уравнение (6) теперь принимает вид

(8) −iωQs˜ + ∂Fs˜∂x + ∂G˜i∂y = S, S = iωQi˜ − ∂Fi˜∂x + ∂Gi˜∂y

Поскольку S содержит члены дифракции падающей волны, S ≡ 0, когда локальные диэлектрические постоянные ϵ и μ равны диэлектрическим постоянным в свободном пространстве ϵ ₀ и μ ₀.

Наконец, в уравнение (8) вводится псевдовременная переменная, и окончательная форма основного уравнения в частотной области получается как

(9) ∂Qs˜∂t * + ∂F˜s∂z + ∂ G˜s∂y − iωQs˜ = S.

Использование псевдовремени t ^* позволяет применять алгоритмы, зависящие от времени, и методы ускорения сходимости, разработанные в вычислительной гидродинамике (CFD), такие как локальное пошаговое управление по времени и многосеточные методы.

Разложение и анализ сигнала посредством выделения частот

Частотно-временной анализ является центральным в обработке сигналов со стандартной адаптацией к более высоким измерениям для приложений визуализации и не только. Однако, хотя теория, методы и алгоритмы для стационарных сигналов хорошо развиты, математический анализ нестационарных сигналов практически отсутствует.Для сигнала с действительным знаком, определенного во временной области R, классический подход к вычислению его мгновенной частоты (IF) заключается в рассмотрении формулировки амплитудно-частотной модуляции (AM-FM) его комплексного (или аналитического) расширения сигнала с помощью преобразование Гильберта. В популярной статье Хуанга и др., Так называемая схема эмпирической модовой декомпозиции (EMD) вводится для разделения такого сигнала как суммы конечного числа внутренних модовых функций (IMF) с медленно осциллирующим сигналом в качестве остатка, так что более чем одна IF данного сигнала может быть вычислена путем расширения каждого IMF до компонента сигнала AM – FM.Основываясь на непрерывном вейвлет-преобразовании (CWT), понятие синхросжимающего преобразования (SST), введенное Добеши и Маесом в 1996 году и далее развитое Добеши, Лу и Ву (DLW) в статье 2011 года, обеспечивает другой подход к извлечению более одной ПЧ сигнала на R. Кроме того, вводя список довольно ограничивающих условий в адаптивной гармонической модели (AHM), в статье DLW также выводится теория для оценки компонентов сигнала в соответствии с этой моделью с использованием IF с оценками из SST.

Цель нашей настоящей статьи — представить другую математическую теорию, наряду со строгими методами и вычислительными схемами, для достижения более амбициозной цели, чем подход SST, сначала извлечь полиномиальную тенденцию из исходного сигнала, а затем вычислить точное количество компонентов сигнала в соответствии с менее жесткой моделью AHM, затем для получения более точных оценок IF и мгновенных амплитуд (IAs) компонентов сигнала и, наконец, для отделения компонентов сигнала от (слепого) исходного сигнала.Кроме того, наша вычислительная схема может быть реализована в режиме, близком к реальному времени, а наша математическая теория имеет прямое распространение на многомерную среду.

Частотно-временное разложение — SEG Wiki

Рассмотрим форму волны или сигнал с как функцию времени t . Например, синусоида с некоторой амплитудой a и на некоторой частоте f может быть определена как

s (t) = asin⁡ (2πft) {\ displaystyle s (t) = a \ sin (2 \ pi ft)}.

Мы можем реализовать эту математическую функцию как подпрограмму, обычно также называемую функцией , на языке программирования Python.Поскольку компьютеры живут в дискретном мире, мы необходимо оценить функцию в течение некоторого времени и с некоторой частотой дискретизации:

 def sine_wave (f, a, duration, sample_rate):
    t = np.arange (0, продолжительность, 1 / частота_выборки)
    вернуть a * np.sin (2 * np.pi * f * t), t

Теперь мы можем вызвать эту функцию, передав ей частоту f = 261,63 Гц. Мы просим 0,25 с при частоте дискретизации 10 кГц.

 с, t = sine_wave (f = 261,63,
                   а = 1,
                   продолжительность = 0.25,
                   sample_rate = 10e3)

Это приводит к следующему сигналу, обычно называемому временным рядом , который мы визуализируем путем построения графика с в зависимости от времени t :

Я изобразил результирующий массив в виде линии, но на самом деле это серия дискретных точек, представленных в Python в виде массива чисел, начиная с этих четырех:

 массив ([0., 0.1636476, 0.32288289, 0.47341253])

Построим первые 80 точек:

Когда воздух вибрирует с этой частотой, мы слышим среднюю C или C4.Вы можете услышать примечание для себя в Блокноте Jupyter, сопровождающем эту статью, по адресу https://github.com/seg/tutorials-2018. (Блокнот также содержит весь код для построения графиков.) Код для рендеринга массива s как аудио очень короткий:

 из IPython.display импорт аудио
fs = 10e3
Аудио (с, частота = fs)

Этот сигнал длится всего 0,25 с, и уже есть много покачиваний. Нам бы очень хотелось, чтобы сейсмические исследования проводились на такой частоте! Большинство сейсмических данных воспроизводятся только на нижних 20-30 клавишах 88-клавишного пианино — действительно, самая низкая клавиша — это A0, то есть на 27.5 Гц выше пиковой частоты многих старых опросов.

Если бы мы хотели узнать частоту этого сигнала, мы могли бы предположить, что это чистый тон, и просто посчитать количество циклов в единицу времени. Но естественные сигналы редко бывают монотонными, поэтому давайте сделаем более интересный сигнал. Мы можем использовать нашу функцию, чтобы сделать аккорд до мажор с тремя нотами (C4, E4 и G4), передав векторы столбцов (путем изменения формы массивов) для частоты f и амплитуды a :

 f = np.массив ([261.6, 329.6, 392.0])
a = np.array ([1.5, 0.5, 1])
s, t = sine_wave (f = f.reshape (3, 1),
                 a = a.reshape (3, 1),
                 продолжительность = 0,25,
                 sample_rate = 10e3)

Результатом является набор из трех синусоидальных кривых длиной 0,25 с:

Суммарный сигнал определяется суммой трех кривых:

 s = np.sum (s, ось = 0)

Преобразование Фурье

Хотя этот смешанный или политонический сигнал представляет собой всего лишь сумму трех чистых тонов, определение компонентов уже не является тривиальным делом.Здесь на помощь приходит преобразование Фурье.

Мы не будем вдаваться в подробности того, как работает преобразование Фурье. Как бы то ни было, лучшее объяснение, которое я видел за последнее время, — это вступительное видео Гранта Сандерсона. Дело в том, что преобразование описывает сигналы как смесь периодических компонентов. Давай попробуем это на нашем аккорде.

Сначала мы сужаем сигнал, умножая его на функцию окна . (f) {\ displaystyle {\ hat {s}} (f)}).Это новое представление называется частотной областью. Он состоит из массива коэффициентов Фурье :

 S = np.fft.fft (s)

Вспомогательная функция fftfreq () возвращает массив частот, соответствующих коэффициентам. Интервал частотной выборки определяется длительностью сигнала с : чем длиннее сигнал, тем меньше интервал частотной выборки. (Точно так же короткие интервалы выборки по времени соответствуют широкой полосе частот.)

 freq = np.fft.fftfreq (s.size, d = 1 / 10e3)

Результатом является массив из коэффициентов Фурье , большинство из которых равны нулю. Но на частотах в хорде и около них коэффициенты большие. Результат: «рецепт» аккорда в терминах синусоидальных монотонов.

Это называется спектром сигнала s . Он показывает величину каждой частотной составляющей.

Частотно-временное представление

Теперь мы знаем, как расплетать политонические сигналы, но давайте введем еще одну сложность — сигналы, компоненты которых меняются с течением времени.Такие сигналы называются нестационарными . Например, представьте себе монотонный сигнал, тон которого меняется в какой-то момент (код, который генерирует этот сигнал, см. в Блокноте):

Мы можем вычислить преобразование Фурье этого сигнала, как и раньше:

 s * = np.blackman (размер s)
S = np.fft.fft (s)
freq = np.fft.fftfreq (s.size, d = 1 / 10e3)

И построить график амплитуды S против частотного массива freq :

Он очень похож на спектр, который мы создали ранее, но без средней частоты.Пики немного более разбросаны, потому что длительность каждого сигнала вдвое меньше, чем была. (Общий принцип неопределенности распределяет сигналы по частоте по мере того, как они становятся более компактными во времени.)

Дело в том, что нет большой разницы между спектром двух смешанных сигналов и спектром двух последовательных сигналов. Если мы заботимся о локализации сигналов во времени (делаем!), это проблема. Одно из решений — обратиться к частотно-временным представлениям .Пытаясь одновременно разбить сигнал по времени и частоте, они предлагают способ одновременно пользоваться преимуществами обоих доменов.

Библиотека построения графиков Python matplotlib предлагает удобный способ построения частотно-временного графика, также известного как спектрограмма . В одной строке кода он создает график 2D-изображения, показывающий частоту в зависимости от времени.

 _ = plt.specgram (s, Fs = 1 / 10e3,
                   NFFT = 512, noverlap = 480)

Немного поработав, мы можем получить очень обширное представление о наших данных:

График использует алгоритм, называемый кратковременным преобразованием Фурье или STFT.Это просто выполняет преобразование Фурье в скользящем окне длиной NFFT , при этом точек перекрытия перекрываются с предыдущим окном. Мы хотим, чтобы NFFT был длинным, чтобы получить хорошее частотное разрешение, и мы хотим, чтобы noverlap был большим, чтобы получить хорошее временное разрешение.

Обратите внимание, что мы не можем точно увидеть точную частоту компонентов — они не работают достаточно долго, чтобы их определить. Есть некоторая неуверенность в сроках перехода, потому что для получения приличного частотного разрешения нам нужен более длинный сегмент сигнала (в данном случае 512 отсчетов) — поэтому мы теряем информацию о времени.Но в целом этот сюжет лучше, чем только спектр: мы можем видеть, что есть по крайней мере два сильных сигнала с частотами около 250 и 400 Гц, и что изменение происходит примерно через 0,125 с.

Произведение фортепианной музыки может напоминать такой сюжет. Поскольку клавиши пианино могут воспроизводить только одну ноту, спектрограмма фортепианной музыки выглядит как серия горизонтальных линий:

Существует сильное сходство между этим частотно-временным разложением и обозначением нотоносца:

Оказывается, что наиболее интересные сигналы — и, возможно, все естественные сигналы — являются политонными и нестационарными.По этой причине, хотя временные ряды часто полезны, частотно-временное разложение может быть очень показательным. Вот несколько примеров; в каждом случае частота отложена по вертикальной оси, а время — по горизонтальной оси. Цвета указывают на мощность от низкой (синий) до высокой (желтый) (пропорционально квадрату амплитуды).

Вот человеческий голос, говорящий «SEG». Сонографические гласные имеют гармоники (горизонтальные полосы), тогда как свистящие звуки «S» и первой части «G» имеют шумоподобные спектральные отклики.

Эта спектрограмма показывает 5-секундную серию щебетаний летучих мышей. Я обозначил 18 кГц, приблизительный предел слышимости взрослого человека, оранжевой линией, и если вы слушаете звук этого сигнала в Ноутбук, вы можете убедиться, что щебетание едва слышно при нормальной скорости воспроизведения; только при замедлении клипа их можно будет отчетливо услышать.

Наконец, вот вулканический «крик» — гармонический тремор, предшествующий взрывному извержению на горе Редут, Аляска, в марте 2009 года. Звучит невероятно в аудио, но спектрограмма тоже интересно.В отличие от чириканья летучей мыши, этот 15-минутный временной ряд должен быть ускорен, чтобы его услышать.

Продолжить изучение

Все рисунки в этой записной книжке можно воспроизвести с помощью кода из записной книжки Jupyter, прилагаемой к этой статье на https://github.com/seg/tutorials-2018. Вы даже можете запустить код в облаке и поиграть с ним в браузере. Ничего не сломаешь — не волнуйся!

В хранилище вы также найдете больше сигналов, синтетических и естественных, от ударов сердца и загадочного подводного щебета до гравитационных волн и сейсмических трасс.Мало того, есть блокнот, в котором показано, как использовать другой алгоритм — непрерывное вейвлет-преобразование — для получения другого типа частотно-временного анализа.

Удачного разложения!

Автор, ответственный за переписку

Автор, ответственный за переписку: Мэтт Холл, Agile Scientific, Махоун-Бэй, Новая Шотландия, Канада. Электронная почта: mattagilescientific.com

Благодарности

Фортепианная запись BWV846 Баха имеет лицензию CC-BY Кимико Ишизака на http: // welltemperedclavier.орг. Данные щебета летучих мышей лицензированы CC-BY-NC пользователем http://freesound.org klankschap. Спасибо Алисии Хотовек-Эллис за ее помощь с данными о Маунт Редут, зарегистрированными обсерваторией вулкана Аляски Геологической службы США.

Внешние ссылки

Энергии | Бесплатный полнотекстовый | Обнаружение гармоник для электрических сетей с использованием адаптивного вариационного режима декомпозиции

Чтобы продемонстрировать эффективность и адаптируемость предложенного метода, в этом исследовании выбираются тестовый сигнал и измеренный гармонический сигнал реальной электросети и используется программное обеспечение MATLAB для расчета и анализа.(k) — восстановленный сигнал.

4.1. Анализ тестовых сигналов

Сигналы напряжения и тока в энергосистеме обычно полуволновые и симметричные. Как правило, они содержат только частоту сети 50 Гц и нечетные гармонические составляющие. Чем выше порядок гармоники, тем меньше амплитуда гармоники. Следовательно, гармоники с частотами 150 Гц и 250 Гц накладываются на основной сигнал частоты сети 50 Гц, а шум 30 дБ накладывается, чтобы учесть влияние шума измерения в системе.Тестовый сигнал описывается как

x (t) = sin (2π ∗ 50t) + 0,2sin (2π ∗ 150t + π / 6) + 0,15sin (2π ∗ 250t + π / 4) + η (t)

(13)

где η (t) представляет собой шумовую составляющую. Частота дискретизации составляет 10 000 Гц, а точка дискретизации — 1000; Таким образом, продолжительность моделирования составляет 0,1 с. Отклик тестового сигнала во временной области представлен на рисунке 3a. Гармоническая характеристика тестового сигнала значительна. Затем с помощью предложенного метода детектирования выделяются параметры гармонической характеристики.Во-первых, количество разложений (K) в алгоритме AVMD определяется в соответствии с анализом спектра БПФ в разделе 3. Соответствующий спектр БПФ тестового сигнала показан на рисунке 3b. Из спектра мы можем сделать вывод, что при анализе спектра БПФ получены три пика, а именно основная частота, третья гармоника и пятая гармоника, на основе которых мы можем определить 3 как число модального разложения (K) в Алгоритм AVMD, который имеет то же количество гармоник, что и исходный сигнал.Между тем, частотные компоненты, полученные разложением, согласуются с частотой тестового сигнала, а амплитуды третьей и пятой гармоник значительно меньше, чем у основного сигнала, тем самым указывая на то, что использование спектра БПФ для определения числа разложения в Эффективен алгоритм AVMD. После определения числа разложения сигнал x (t) разлагается с использованием алгоритма AVMD, и результат показан на рисунке 4a. Исходный тестовый сигнал x (t) раскладывается на три гармонические составляющие, а именно, V-BLIMFs1, V-BLIMFs2 и V-BLIMFs3, которые являются периодическими компонентами с фиксированной частотой и равной амплитудой.Алгоритм БПФ используется для выполнения спектрального анализа каждого компонента, разложенного алгоритмом AVMD, и результаты показаны на рисунке 4b. Три компонента BLIMF, полученные из разложения AVMD, имеют фиксированную и стационарную частоту, а мгновенные амплитуды близки к теоретическим значениям. Чтобы дополнительно проиллюстрировать преимущества предложенного метода при обнаружении гармоник, результаты разложения EMD используются для сравнительного анализа. Результаты представлены на рисунке 5а.Как показано на рисунке, получены четыре компонента IMF и один компонент тренда. Количество составляющих IMF равно гармонической составляющей тестового сигнала, но E-IMF1 не полностью содержит шумовую составляющую тестового сигнала. Некоторые шумовые компоненты также включены в E-IMF2 и E-IMF3, вызывая локальные искажения сигналов. Результаты анализа частотных характеристик периодических составляющих, разложенных с помощью EMD, показаны на рисунке 5b. Происходит значительное явление смешения мод; то есть амплитудно-частотная характеристика основной составляющей содержит третью гармоническую составляющую 150 Гц, что снижает точность обнаружения гармоник в энергосистеме.Метод обнаружения гармоник на основе HT, предложенный в разделе 3, используется для расчета параметров гармоник компонентов, разложенных посредством AVMD и EMD, соответственно, как указано в таблице 1. Между тем, результаты обнаружения с использованием алгоритма FFT также показаны в таблице 1. На рабочей станции HP Z820 (ЦП: 2 * Intel Xeon E5-2600v3, 2,6 ГГц; память: 32 ГБ) время расчета для извлечения параметров гармоник с использованием трех вышеуказанных алгоритмов приведено в таблице 1. Расчетные ошибки для результатов обнаружения полученные с помощью трех методов представлены в таблице 2.Как показано в Таблице 1 и Таблице 2, мы можем знать, что алгоритм EMD уязвим для шума во время процесса декомпозиции, что приводит к проблеме смешивания мод в результатах декомпозиции. Следовательно, существует разница между извлеченными параметрами гармоник и теоретическими параметрами, а точность результатов идентификации значительно ниже, чем у предлагаемого метода обнаружения гармоник на основе AVMD и HT. Алгоритм БПФ может извлекать точные гармонические частоты, но амплитуда гармоник неточная, и фаза каждой гармонической составляющей, которая очень полезна для обнаружения гармоник, не может быть получена.Из результатов расчета времени ЦП мы можем узнать, что алгоритм БПФ имеет наименьшее время вычисления, а предлагаемый AVMD занимает больше всего времени. Даже в этом случае предлагаемый метод имеет лучшую точность обнаружения среди трех алгоритмов обнаружения. Для дальнейшего анализа устойчивости предлагаемого метода к шуму, SNR изменяется на 20 дБ и 30 дБ, а параметры гармоник извлекаются с помощью AVMD и EMD метод. Результаты представлены в таблице 3. По сравнению с алгоритмом EMD, метод обнаружения гармоник, предложенный в этом исследовании, демонстрирует лучшую устойчивость к шуму.Параметры гармоник могут быть точно извлечены даже в среде с отношением сигнал / шум 10 дБ. Характеристические параметры в таблице 1, извлеченные из алгоритмов обнаружения гармоник AVMD и EMD, используются при реконструкции сигнала, а восстановленные результаты представлены на рисунке 6. Расчет результаты точности подгонки на основе отношения сигнал / шум показаны в таблице 4. Можно легко сделать вывод, что тестовый сигнал, восстановленный предлагаемым методом, хорошо соответствует исходному сигналу, а результат расчета отношения сигнал / шум выше, что указывает на то, что восстановленный сигнал хорошо согласуется с исходным тестовым сигналом.

4.2. Анализ данных измерений

Для дальнейшей проверки адаптируемости предложенного алгоритма для обнаружения гармоник для расчета и анализа выбраны данные измерений подстанции 138 кВ в Бразилии. Измеренный токовый сигнал, содержащий гармоники, показан на рисунке 7a. Как и в процессе анализа тестового сигнала, во-первых, используйте спектрограмму БПФ для определения модального номера разложения (K) в алгоритме AVMD. Результаты расчетов представлены на рисунке 7b. На рисунке четко показаны шесть пиков на спектрограмме БПФ, которые представляют собой компоненты основной частоты 60 Гц, компоненты третьей, пятой, седьмой, одиннадцатой и тринадцатой гармоник.Основная частотная составляющая является наибольшей, тогда как седьмая гармоника является наименьшей из гармоник. Таким образом, модальный номер разложения в AVMD равен 6. В соответствии с определенным модальным номером разложения (K) предложенный алгоритм используется для извлечения параметров гармоники. Результаты разложения показаны на рисунке 8. Исходный сигнал содержит шесть фиксированных и стабильных гармонических составляющих, разложенных с помощью AVMD. Кроме того, HT используется для извлечения параметров гармоник. Выделенные параметры гармоник, полученные с помощью AVMD, EMD и FFT, представлены в таблице 5.Между тем, время расчета трех алгоритмов обнаружения также указано в таблице 5. Как видно из таблицы 5, по сравнению с результатами тестового сигнала, поскольку в измеренных данных содержится больше гармонических составляющих, AVMD требует больше времени для расчета, что также намного больше, чем два других метода. Параметры гармоник в таблице 5, извлеченные с использованием алгоритмов AVMD и EMD, используются для восстановления сигналов, а результаты показаны на рисунке 9. Сигнал, восстановленный предлагаемым методом, лучше подходит к исходному измеренному сигналу.Между тем, результаты расчета отношения сигнал / шум, приведенные в таблице 6, показывают, что предложенный метод демонстрирует хорошее превосходство в обнаружении параметров гармоник.

Приведенные выше результаты показывают, что метод AVMD требует наибольшего времени вычислений, но результаты обнаружения имеют наилучшую точность обнаружения. Результаты анализа данных измерений также показывают, что метод AVMD имеет лучшую адаптируемость при обнаружении гармоник энергосистемы.

При постоянном улучшении производительности компьютерной обработки время расчета предлагаемого метода не будет существенно отличаться от двух других методов, но предлагаемый метод имеет лучшую точность обнаружения.Следовательно, метод AVMD имеет большие преимущества при обнаружении гармоник в энергосистеме.

Границы | Интерпретации частотного анализа нейронного увлечения: периодичность, основная частота и гармоники

Введение

Корковая активность, измеренная с помощью электроэнцефалографии (ЭЭГ), магнитоэнцефалографии (МЭГ) или регистрации потенциала местного поля (LFP), может синхронизироваться с ритмом сенсорного стимула. Например, когда интенсивность звука, т.е.g., чистый тон, колеблется с заданной частотой ( f Гц), часто наблюдается нейронный отклик на этой частоте ( f Гц), который называется слуховой реакцией устойчивого состояния (aSSR; Galambos et al. ., 1981; Ross et al., 2000; Wang et al., 2012). Точно так же, когда яркость зрительного стимула, например, пятна Габора, колеблется на f Гц, можно также наблюдать нейронный ответ на f Гц, который называется устойчивым визуальным вызванным ответом (SSVEP; Norcia и другие., 2015). В последнее время низкочастотное (<3 Гц) нейронное вовлечение также наблюдалось для абстрактных свойств стимула, таких как ритмы музыкальных ударов и языковых составляющих (Buiatti et al., 2009; Nozaradan et al., 2011; Ding et al., 2016) и во время обработки естественной речи или фильмов (Ding and Simon, 2012; Zion Golumbic et al., 2013; Koskinen, Seppä, 2014; Lankinen et al., 2014). Была выдвинута гипотеза, что низкочастотная нейронная синхронизация со стимулом обеспечивает механизм избирательного внимания и временной интеграции информации (Schroeder et al., 2008; Шредер и Лакатос, 2009; Giraud and Poeppel, 2012) и важен для анализа временной структуры речи и музыки (Nozaradan et al., 2011; Ding et al., 2016).

Нейронное увлечение ритмами стимула часто анализируется в частотной области, тогда как традиционные нейрофизиологические реакции, например, реакции, связанные с событием, обычно анализируются во временной области. Поэтому некоторые измерения в частотной области могут показаться неинтуитивными для исследователей, в основном использующих методы анализа во временной области.Например, когда ритм стимула находится на частоте f Гц, нейронные реакции часто можно наблюдать не только при f , но также и на его гармониках, то есть на 2 f , 3 f , 4 f и т. Д. Гармоники могут обеспечить дополнительное понимание лежащих в основе механизмов нейронного кодирования (O’connell et al., 2015), но их интерпретация непроста. В этой статье мы объясняем, как эти гармоники связаны с сигналами во временной области. Мы ограничиваем метод анализа частотной области дискретным преобразованием Фурье (ДПФ), наиболее классическим методом анализа частотной области.Мы подробно рассмотрим, как свойства сигнала представлены через призму ДПФ, и не будем обсуждать, является ли ДПФ лучшим методом для представления конкретного сигнала.

Статья организована следующим образом: сначала мы представляем примеры, которые описывают взаимосвязь между периодичностью сигнала во временной области и спектром сигнала. Поскольку остается спорным вопрос о том, отражает ли экспериментально наблюдаемое нейронное отслеживание таких низкочастотных ритмов стимулов последовательность связанных с событием реакций или надлежащее вовлечение нейронных осцилляторов (Ding and Simon, 2014; Keitel et al., 2014). Мы также описываем, как интерпретировать спектр мощности серии реакций, связанных с событием. Эти обсуждения основаны исключительно на интуитивных примерах, избегая более формальной математической обработки (формальную трактовку см., Например, Oppenheim et al., 1989). Глоссарий представлен в таблице 1.

Таблица 1. Таблица глоссария .

Периодичность сигнала и спектр Фурье

Здесь мы будем рассматривать сигнал с периодом T .Другими словами, сигнал повторяется каждые T секунд. Преобразование Фурье анализирует частотный состав сигнала, разлагая его на синусоиды на разных частотах. Сигнал с периодом T повторяется со скоростью f ₀ = 1/ T , что называется основной частотой сигнала. Обычно и интуитивно понятно, что спектр Фурье такого сигнала показывает сильную мощность при f ₀. Другими словами, сигнал хорошо объясняется синусоидой на частоте f ₀.Иногда ответ на f ₀ может быть единственным компонентом в спектре Фурье, указывая на то, что сигнал является синусоидой. Рисунок 1 иллюстрирует это состояние.

Рис. 1. Синусоида с частотой 1 Гц. В спектре мощность сигнала концентрируется на частоте 1 Гц. Здесь мы сосредотачиваемся только на форме волны нервного отклика, а не на ее масштабе. Следовательно, амплитуда измеряется произвольной единицей (а.е.).

Синусоиды, конечно, являются математическими абстракциями, и в реальном мире очень немногие сигналы являются точно синусоидальными.Когда сигнал отклоняется от синусоиды, его спектр Фурье будет иметь мощность не только f ₀, но также и кратную f ₀, например, 2 f ₀, 3 f ₀, 4 f ₀ и т. Д. На рисунке 2 показано одно из таких условий, при котором короткий двухфазный сигнал длительностью 200 мс повторяется каждые 1 с. На этой иллюстрации двухфазный сигнал представляет собой один цикл синусоиды 5 Гц, в то время как сигнал повторяется с частотой 1 Гц (т.е.е., f ₀ = 1 Гц). Спектр мощности этого сигнала распространяется на несколько частот, например, f ₀, 2 f ₀, 3 f ₀, 4 f ₀… Самая сильная мощность в спектр Фурье появляется при 4 f ₀ вместо f ₀. Этот сигнал можно рассматривать как грубую имитацию последовательности переходных реакций, связанных с событием.

Рисунок 2.Один цикл синусоиды 5 Гц, повторяющийся каждые 1 с. Спектр сигнала показывает мощность на нескольких частотах, как на основной частоте, т. Е. 1 Гц, так и на гармониках, т. Е. Кратных 1 Гц. Наибольшая мощность проявляется на 4-й гармонике, а не на основной частоте.

На рисунке 2 показано, что сигнал с периодом T может иметь разброс мощности по f ₀ и его гармоникам. Далее мы показываем дополнительный пример, в котором нет мощности даже при f ₀.В этом примере (рисунок 3) синусоида с частотой 10 Гц модулируется по амплитуде с частотой 1 Гц. Амплитудная модуляция включает произведение двух сигналов. Быстрый сигнал называется несущей, а медленный — огибающей. Как правило, огибающая фиксирует колебания мощности сигнала во времени. На рисунке 3 модулированный сигнал является произведением синусоиды 20 Гц и синусоиды 1 Гц. Амплитудно-модулированный сигнал имеет период 1 с, как видно из его формы волны. Тем не менее, спектр Фурье не показывает мощности на частоте 1 Гц.В этом примере сигнал огибающей является синусоидой, если сигнал не является синусоидой, дополнительные отклики будут видны на 20 ± 2 Гц, 20 ± 3 Гц… поверх откликов на 20 Гц и 20 ± 1 Гц.

Рис. 3. Синусоида с частотой 20 Гц, амплитуда модулированная с частотой 1 Гц. Пунктирная черная кривая показывает огибающую, а серая кривая показывает форму волны. Огибающая 1 Гц накладывает четкий ритм 1 Гц на то, как мощность сигнала колеблется во времени. Однако спектр модулированного сигнала показывает не мощность на частоте 1 Гц, а мощность на частоте 20 Гц и 20 ± 1 Гц.

Пример на рисунке 3 также представляет более общие случаи, в которых периодичность сигнала возникает в области модуляции, то есть в огибающей сигнала. На рисунке 4 несущая представляет собой белый шум с ограниченной полосой частот между 70 и 200 Гц, в то время как сигнал огибающей остается синусоидой 1 Гц. Визуальный осмотр формы сигнала позволяет предположить наличие сильного ритма на частоте 1 Гц, в то время как в спектре не может быть обнаружено никакой информации с частотой 1 Гц. В этом случае кажущаяся периодичность 1 Гц существует только в огибающей сигнала и может быть обнаружена только после извлечения самого сигнала огибающей.Фурье-анализ огибающей сводится к условию, показанному на рисунке 1. Этот пример можно рассматривать как симуляцию нейронной активности с высоким уровнем гамма-излучения, отслеживающей ритм с частотой 1 Гц. Огибающая сигнала может быть извлечена либо явно, используя, например, преобразование Гильберта, либо неявно с помощью частотно-временного анализа, такого как краткосрочное преобразование Фурье (STFT) или вейвлет-преобразование. Одна из интерпретаций спектрограммы, полученной с помощью STFT или вейвлет-анализа, заключается в том, что входной сигнал фильтруется в узкие полосы частот, и в каждой полосе выделяется огибающая мощности сигнала (Vaidyanathan, 1990).Следовательно, периодичность в области модуляции может быть выявлена путем анализа динамики STFT или вейвлет-спектрограммы.

Рис. 4. Широкополосный шум от 70 до 200 Гц модулируется по амплитуде с частотой 1 Гц. Пунктирная черная кривая показывает огибающую, а серая кривая показывает форму волны. Огибающая 1 Гц накладывает четкий ритм 1 Гц на то, как мощность сигнала колеблется во времени. Однако спектр модулированного сигнала не показывает мощности на частоте 1 Гц.

Итак, мы показываем здесь, что если период сигнала составляет T , спектр ДПФ сигнала может показывать мощность на f ₀ и его гармонически связанных частот.Важно отметить, что мощность на f ₀ может быть не самой высокой (Рисунок 2) и может даже не существовать (Рисунок 3). Более того, даже когда сигнал является периодическим, он может демонстрировать регулярность более высокого порядка, включая периодичность в его огибающей (рисунок 4).

Факторы, влияющие на мощность на гармонической частоте

В предыдущем разделе показано, что нейронный сигнал, повторяющийся каждые T секунд, представлен в частотной области гармонически связанными частотами на f ₀, 2 f ₀, 3 f ₀, 4 f ₀… В этом разделе мы более подробно обсудим, какие факторы определяют мощность на каждой частоте.Периодический сигнал полностью характеризуется одним циклом. На рисунке 5 показан анализ Фурье периодического сигнала (включая несколько циклов) и анализ Фурье одного цикла. Все ненулевые значения в спектре периодического сигнала захватываются спектром одного цикла. Спектр периодического сигнала можно получить, вставив нули в спектр одного цикла. Спектр периодического сигнала может иметь ненулевые значения только на основной частоте и ее гармониках, а спектр одного цикла принимает значения только на этих частотах.В общем, ненулевые значения в спектре периодического сигнала определяются формой волны одного цикла, в то время как частоты, на которых спектр показывает ненулевые значения, определяются его периодом. Другими словами, спектр одного цикла представляет собой спектральную огибающую спектра периодического сигнала.

Рисунок 5. Связь между спектром периодического сигнала и спектром одного цикла. (A) Форма волны и спектр одного периода сигнала, которые можно рассматривать как имитацию реакции, связанной с событием.Измерение сигнала длится 1 с, тогда как сигнал колеблется всего около 300 мс. Когда измерение сигнала составляет 1 с, в спектре отображаются только дискретные значения с частотой 1 Гц и его гармоники, отмеченные крестиком. Однако принято соединять дискретные значения в виде кривой, показанной пунктирной кривой. (B) Когда сигнал в (A) повторяется каждые 1 с, создается периодический сигнал. На рисунке показано 3-секундное измерение периодического сигнала, которое включает три цикла сигнала.Спектр этого сигнала показывает дискретные значения на 1/3 Гц и его гармоники. Однако мощность равна нулю на частотах, которые не являются гармониками 1 Гц, то есть основной частотой сигнала. Спектр (A) воспроизводится в (B) красным цветом. Понятно, что спектр в (A) является огибающей спектра сигнала в (B) .

На основании анализа выше, когда форма волны одного цикла содержит «быстрые» колебания или «резкие» края, сигнал будет иметь высокую мощность на высокочастотных гармониках.Здесь «быстрые» колебания означают колебания на частотах, намного превышающих основную частоту периодического сигнала (рис. 3). «Острые» края означают, что края нарастают / затухают быстрее относительно того, насколько быстро синусоида на f ₀ нарастает или затухает. Мощность периодического сигнала будет концентрироваться на f ₀ только в том случае, если скорость стимула соответствует спектральному резонансу, то есть временным масштабам реакции в одном цикле стимула (подробности см. В следующем разделе и на рисунке 6). .Следовательно, нейронный пик на частоте f ₀ Гц в спектре Фурье не только указывает на повторение формы нейронного сигнала на частоте f ₀ Гц, но также указывает на то, что повторяющаяся форма волны является примерно циклом f ₀ Гц синусоида.

Рис. 6. Ответ, связанный с событием, повторяется с разной частотой. На рисунках на левой панели показана форма волны отклика, а на рисунках на правой панели — спектр отклика.На рисунках левой панели каждая красная точка обозначает сенсорное событие. (A) Отдельный ответ, связанный с событием, мощность которого сосредоточена в тета-диапазоне (4–8 Гц). (B) Ответы на сенсорные события, повторяющиеся с разной скоростью. Когда частота стимулов намного ниже тета-диапазона, например, при 1 Гц, существует небольшое перекрытие между ответами на различные сенсорные события. В спектре мощность отклика мала и распределена по ряду гармонически связанных частот.Когда стимул находится в пределах тета-диапазона, например, 4 и 6 Гц, ответы на различные сенсорные события перекрываются. В спектре наблюдается сильная реакция на основной частоте ритма стимула, а также на второй гармонике, если она попадает в диапазон резонансных частот реакции, связанной с событием. Если частота стимула очень высока, четкая реакция появляется только в начале стимула.

Фурье-анализ серии ответов, связанных с событием

В этом разделе мы описываем представление в частотной области периодического нейронного отклика, состоящего из серии дискретных устойчивых откликов, связанных с событием.В частности, сенсорный стимул представляет собой последовательность периодически происходящих событий, и каждое событие моделируется как импульс, который можно рассматривать как приближение короткого звукового сигнала или короткой вспышки света. Мы предполагаем, что, когда нейронный ответ достигает устойчивого состояния, связанный с событием ответ на каждое сенсорное событие идентичен (неизменность во времени), а измеренный нервный ответ представляет собой линейную суперпозицию различных связанных с событием ответов (линейность). При этих предположениях нейронная сеть, генерирующая измеренный нейронный отклик, может быть смоделирована линейной инвариантной во времени системой (Oppenheim et al., 1989). Из этого следует, что внутренние свойства нейронной сети полностью характеризуются импульсной характеристикой, то есть реакцией, связанной с событием.

Согласно линейной теории инварианта во времени, каждый цикл нейронной реакции, то есть реакции, связанной с событием, является свойством нейронной системы, а периодичность — свойством стимула. Если реакция, связанная с событием, снижается до исходного уровня в течение каждого цикла стимула, спектральная огибающая периодической нейронной реакции определяется спектром реакции, связанной с событием (рис. 5).Этот вывод, однако, справедлив и в том случае, если реакция, связанная с событием, не возвращается к исходному уровню при появлении следующего стимула по причинам, которые не будут уточняться. Кроме того, линейная модель неизменной во времени системы также применима к апериодическим стимулам и к постоянно меняющимся стимулам. В этой статье, однако, рассматривается только реакция на периодические сенсорные сигналы.

На рисунке 6 мы проиллюстрировали, как спектр отдельного события, связанного с событием, и частота повторения стимула совместно определяют спектр нейронных ответов в соответствии с теорией линейных систем, не зависящих от времени.В этом примере мы предполагаем, что реакция, связанная с событием, имеет наибольшую мощность в тета-диапазоне (4–8 Гц), а стимул представляет собой последовательность импульсов, то есть очень короткие сенсорные события. Произвольно выбирается диапазон резонансных частот нейронной системы, т. Е. Тета-диапазон. Когда частота стимула ниже диапазона резонансных частот, отклик слабый и показывает мощность на высокочастотных гармониках (например, условие 1 Гц на рисунке 6B). Когда частота стимула находится в пределах диапазона резонансных частот, сильный отклик наблюдается на f ₀, а также на частотах гармоник, попадающих в диапазон резонансных частот (например,g., условия 4 и 6 Гц на рисунке 6B). Наконец, если частота стимула выше диапазона резонансных частот, реакция в установившемся режиме будет очень слабой (например, условие 12 Гц на рисунке 6B). Следовательно, если сильное нейронное увлечение наблюдается на f ₀, а не на какой-либо гармонической частоте, это означает, что f ₀ находится в диапазоне резонансной частоты, а 2 f ₀ находится за пределами этого диапазона. диапазон.

Что требует дополнительных объяснений, так это то, почему реакция такая слабая на любой частоте при низкой скорости стимула (рис. 6А).Когда частота стимула ниже диапазона резонансных частот, нейронная система без труда реагирует на каждое событие стимула. Причина слабой реакции двоякая. Во-первых, реакция отклоняется от базовой линии только в течение короткого периода времени после каждого стимулирующего события, что делает общую мощность ответа, то есть мощность, суммированную во времени, очень низкой. Во-вторых, мощность в частотной области распределяется по нескольким частотам гармоник, что делает отклик на каждой отдельной частоте еще слабее.

В приведенном выше обсуждении мы рассматриваем только нейронные реакции на последовательность кратковременных сенсорных событий. Тем не менее многие сенсорные стимулы, такие как речь и музыка, постоянно меняются. Как нейронная активность следует за постоянно меняющимся стимулом, все еще остается нерешенным вопросом исследования (см. Обзор в Ding and Simon, 2014). Одна из гипотез состоит в том, что реакция все еще вызывается дискретными сенсорными или перцептивными событиями, например, акустическими границами или началом слога / предложения, и в этом случае вышеупомянутое обсуждение все еще актуально.Другая гипотеза, однако, заключается в том, что реакция непрерывно следует за стимулом. Согласно этой гипотезе, для линейной системы, не зависящей от времени, ответ — это непрерывно изменяющаяся характеристика стимула, связанная с реакцией, связанной с событием. Если характеристика стимула изменяется плавно, например, синусоидально, его мощность будет концентрироваться на основной частоте. В этом случае мощность отклика также будет сосредоточена на основной частоте, и любой отклик на частотах гармоник будет отражать нелинейную нейронную обработку.

Интерпретация низкочастотного нейронного вовлечения

Когда ответ показывает сильную мощность при f ₀, это указывает на «базовые» колебания в течение каждого периода стимула. Например, когда f ₀ ниже 1 Гц и сильный нейронный отклик наблюдается на f ₀, это указывает на медленный дрейф «базовой линии» отклика в течение временного интервала, сравнимого с продолжительностью цикл стимулов. Если ответ является «локальным», то есть длится более короткое время, чем цикл стимула, он вряд ли может способствовать нейронному отслеживанию на основной частоте (рисунок 6, условие 1 Гц).Например, слуховой вызванный ответ со средней задержкой длится менее 100 мс. Если этот ответ повторяется каждые 1 с, он вряд ли может способствовать увлечению нейронов частотой 1 Гц. Очень низкочастотное (например, <1 Гц) нейронное отслеживание указывает на длительные и медленно меняющиеся реакции. Фактически, его основная особенность - медленность низкочастотного увлечения. Ключевая гипотеза относительно низкочастотного нейронного вовлечения заключается в том, что нейронный ответ не возвращается к исходному уровню, когда приходит следующий стимул, и этот «дрейф базовой линии» обеспечивает контекст для обработки следующего стимула (Schroeder et al., 2008; Шредер и Лакатос, 2009).

Низкочастотное нейронное вовлечение во время обработки речи, музыки и слуха

Низкочастотное нейронное увлечение часто наблюдается при обработке речи и музыки. При прослушивании речевых материалов на уровне дискурса нейронное вовлечение достоверно наблюдается в дельта-диапазоне (> 4 Гц), включая частотный диапазон около или ниже 1 Гц (Ding and Simon, 2012; Zion Golumbic et al., 2013; Koskinen and Seppä, 2014; Lankinen et al., 2014).Далее показано, что нейронное вовлечение в дельта-полосу отражает не только нейронное кодирование акустических характеристик, но также нейронное кодирование синтаксических структур (Ding et al., 2016). Подобное нейронное увлечение дельта-полосы наблюдается во время обработки музыки. В частности, было показано, что нейронная активность может следовать ритму музыкального ритма и размера (Nozaradan et al., 2011, 2012; Sturm et al., 2014; Tierney, Kraus, 2014). Эти результаты предполагают, что низкочастотное нейронное вовлечение может играть роль в разборе временной структуры речи и музыки, формируя фрагменты фразового уровня.

С другой стороны, хотя очень низкочастотное нейронное вовлечение достоверно наблюдается во время обработки речи и музыки, это вовсе не универсальное явление при обработке произвольных слуховых стимулов, даже с очень низкочастотным акустическим ритмом (Lakatos et al., 2013; Doelling, Poeppel, 2015). Например, в исследовании, проведенном Lakatos et al. (2013) тонкие точки появляются каждые 1,5 с. Только временные слуховые вызванные ответы, то есть комплекс P1-N1-P2, видны после каждого звукового сигнала во время пассивного прослушивания.Однако, когда субъекты выполняют задачу по обнаружению выбросов, возникает медленный дрейф базовой линии в течение 1,5-секундного периода стимула (у здоровых субъектов, но не у пациентов с шизофренией). В качестве другого примера, Доеллинг и Поппель (2015) изучали нейронные реакции на музыку в очень медленном темпе, в некоторых случаях ниже 1 Гц. Нейронные реакции музыкантов улавливаются темпом данной пьесы, в то время как нейронные реакции не музыкантов проявляются только в гармониках темпа. Оба примера показывают, что очень медленное нейронное вовлечение (> 1 Гц) не является естественным следствием сенсорных вызванных реакций и возникает только в результате выполнения задачи или опыта.

Медленные реакции, связанные с событиями, такие как компоненты N400, P3 и P600, действительно могут способствовать очень низкочастотному нейронному увлечению около 1 Гц или ниже. Обычно трудно отделить эти медленные, связанные с событиями реакции от низкочастотного нейронного вовлечения, просто основываясь на спектре / форме волны ответа (O’connell et al., 2012). Тем не менее парадигма нейронного вовлечения не требует изолировать реакцию на единичное событие и, следовательно, обеспечивает более гибкую исследовательскую парадигму.Более того, очень низкочастотное нейронное вовлечение наблюдалось в первичных сенсорных областях, которые не рассматривались как генераторы ответов, связанных с длительными латентными событиями (Lakatos et al., 2008, 2009). Чтобы показать, что увлеченная активность отличается от классической реакции, связанной с событием с длительной задержкой, можно использовать другой подход, чтобы показать, что они обладают различными функциональными свойствами (Ding et al., 2016).

Следовательно, низкочастотное нейронное вовлечение на основной частоте ритма стимула обычно подразумевает медленные колебания формы волны нервного ответа, которые можно рассматривать как медленный дрейф «базовой линии» ответа в каждом цикле стимула.Нейронная активность, которая колеблется со скоростью, намного превышающей ритм стимула, и переходные нейронные ответы, которые затухают в течение небольшой части периода стимула, сильнее отражаются гармоническими частотами в спектре. Когда низкочастотное нейронное вовлечение возникает на основной частоте ритма стимула, это указывает на то, что влияние предыдущих стимулов не исчезает, когда приходит следующий стимул. Другими словами, предыдущие стимулы задают (нейронный) контекст, в котором будет обрабатываться новый стимул.

В целом, низкочастотное нейронное вовлечение означает, что либо нейрогенераторы обладают медленной внутренней динамикой, либо нейронная система непрерывно отслеживает определенные плавно изменяющиеся свойства стимула. Маловероятно, что очень низкочастотное нейронное вовлечение (например, <1 Гц) состоит из серии переходных реакций, вызванных дискретными сенсорными / перцептивными событиями.

Взносы авторов

ND задумал исследование. HZ и ND провели моделирование. Статью написали HZ, LM, DP и ND.

Финансирование

Работа поддержана Национальным фондом естественных наук Китая 31500873 (ND), фондами фундаментальных исследований для центральных университетов (ND), Китайским фондом естественных наук провинции Чжэцзян LR16C0

(ND) и грантом 2R01DC05660 (DP) Национальных институтов здравоохранения США.

Заявление о конфликте интересов

Авторы заявляют, что исследование проводилось при отсутствии каких-либо коммерческих или финансовых отношений, которые могут быть истолкованы как потенциальный конфликт интересов.

Сноски

На рисунке 5B мы рассматриваем только три цикла периодического сигнала, и поэтому два нуля вставляются между любыми двумя частотами, разрешенными на рисунке 5A (то есть частотами, обозначенными x на рисунке 5A). В общем, если сигнал содержит N циклов, N −1 точек будут вставлены между любыми двумя частотами, разрешенными на рисунке 5A. Если сигнал действительно периодический и бесконечен по длительности, спектр будет непрерывным и равен нулю на любой частоте, кроме частот, разрешенных на рисунке 5A.
Для линейных систем, не зависящих от времени, нейронный ответ — это стимул, свертывающий реакцию, связанную с событием. Преобразование Фурье свертки двух сигналов является продуктом преобразования Фурье каждого сигнала. Рассматриваемый стимул представляет собой периодическую серию импульсов. Преобразование Фурье последовательности импульсов также является последовательностью импульсов. Спектр последовательности импульсов отличен от нуля только при 0, f ₀, 2 f ₀, 3 f ₀… и принять такое же ненулевое значение при 0, f ₀ , 2 f ₀, 3 f ₀….Преобразование Фурье периодического нейронного отклика является продуктом спектра реакции, связанной с событием, и последовательности импульсов в спектральной области. Следовательно, спектр реакции, связанной с событием, является огибающей спектра периодической реакции.

Список литературы

Буйатти, М., Пенья, М., и Дехане-Ламбертц, Г. (2009). Исследование нейронных коррелятов вычисления непрерывной речи с частотно-маркированными нейроэлектрическими ответами. Нейроизображение 44, 509–551.DOI: 10.1016 / j.neuroimage.2008.09.015