Равные вектора

Равные вектора

Навигация по странице:

• Определение равных векторов
• Условие равенства векторов
• Примеры задач на равенство векторов
  • плоские задачи
  • пространственные задачи

Определение. Вектора a и b называются равными, если они имеют одинаковую длину, лежат на параллельных прямых или на одной прямой, и направлены в одном направлении. (рис. 1).

То есть, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые и имеют равные длины:

a = b, если a↑↑b и |a| = |b|.

Условие равенства векторов.Вектора равны, если их координаты равны.

рис. 1

Примеры плоских задач на равенство векторов

Пример 1. Определить какие из векторов равны a = {1; 2}, b = {1; 2}, c = {3; 2}.

Решение:

a = b — так как их координаты равны,

a ≠ c — так как их координаты не равны,
b ≠ c — так как их координаты не равны.

Пример 2. При каком значении параметра n вектора a = {1; 8;} и b = {1; 2n} равны.

Решение:

Проверим равенство компонентов векторов
a_x = b_x = 1
a_y = b_y => 8 = 2n => n = 8/2 = 4

Ответ: при n = 4 вектора a и b равны.

Примеры пространственных задач на равенство векторов

Пример 3. Определить какие из векторов равны a = {1; 2; 4}, b = {1; 2; 2}, c = {1; 2; 4}.

Решение:

a = c — так как их координаты равны,
a ≠ b — так как их координаты не равны,
b ≠ c — так как их координаты не равны.

Пример 4. При каком значении параметра n вектора a = {1; 2; 4} и b = {1; 2; 2n} равны.

Решение:

Проверим равенство компонентов векторов
a_x = b_x = 1
a_y = b_y = 2
a_z = b_z => 4 = 2n => n = 4/2 = 2

Ответ: при n = 2 вектора a и b равны.

Вектора Вектор: определение и основные понятия Определение координат вектора заданного координатами его начальной и конечной точки Модуль вектора. Длина вектора Направляющие косинусы вектора Равенство векторов Ортогональность векторов Коллинеарность векторов Компланарность векторов Угол между векторами Проекция вектора Сложение и вычитание векторов Умножение вектора на число Скалярное произведение векторов Векторное произведение векторов Смешанное произведение векторов Линейно зависимые и линейно независимые вектора Разложение вектора по базису

Онлайн калькуляторы с векторами

Онлайн упражнения с векторами на плоскости

Онлайн упражнения с векторами в пространстве

Равные вектора.

Навигация по странице:

• Определение равных векторов
• Условие равенства векторов
• Примеры задач на равенство векторов
  • плоские задачи
  • пространственные задачи

Определение. Вектора a и b называются равными, если они имеют одинаковую длину, лежат на параллельных прямых или на одной прямой, и направлены в одном направлении. (рис. 1).

То есть, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые и имеют равные длины:

a = b, если a↑↑b и |a| = |b|.

Условие равенства векторов.Вектора равны, если их координаты равны.

рис. 1

Примеры плоских задач на равенство векторов

Пример 1. Определить какие из векторов равны a = {1; 2}, b = {1; 2}, c = {3; 2}.

Решение:

a = b — так как их координаты равны,
a ≠ c — так как их координаты не равны,
b ≠ c — так как их координаты не равны.

Пример 2. При каком значении параметра n вектора a = {1; 8;} и b = {1; 2n} равны.

Решение:

Проверим равенство компонентов векторов
a_x = b_x = 1
a_y = b_y => 8 = 2n => n = 8/2 = 4

Ответ: при n = 4 вектора a и b равны.

Примеры пространственных задач на равенство векторов

Пример 3. Определить какие из векторов равны a = {1; 2; 4}, b = {1; 2; 2}, c = {1; 2; 4}.

Решение:

a = c — так как их координаты равны,
a ≠ b — так как их координаты не равны,
b ≠ c — так как их координаты не равны.

Пример 4. При каком значении параметра n вектора a = {1; 2; 4} и b = {1; 2; 2n} равны.

Решение:

Проверим равенство компонентов векторов
a_x = b_x = 1
a_y = b_y = 2
a_z = b_z => 4 = 2n => n = 4/2 = 2

Ответ: при n = 2 вектора a и b равны.

Вектора Вектор: определение и основные понятия Определение координат вектора заданного координатами его начальной и конечной точки Модуль вектора. Длина вектора Направляющие косинусы вектора Равенство векторов Ортогональность векторов Коллинеарность векторов Компланарность векторов Угол между векторами Проекция вектора Сложение и вычитание векторов Умножение вектора на число Скалярное произведение векторов Векторное произведение векторов Смешанное произведение векторов Линейно зависимые и линейно независимые вектора Разложение вектора по базису

Онлайн калькуляторы с векторами

Онлайн упражнения с векторами на плоскости

Онлайн упражнения с векторами в пространстве

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

типов векторов | Определение различных векторов в математике

Что такое вектор?

Вектор — это физическая величина, которая имеет как направление, так и величину. Другими словами, векторы определяются как объект, включающий как величину, так и направление. Он описывает движение объекта из одной точки в другую. На рисунке ниже показан вектор с головкой, хвостом, величиной и направлением.

Существует 10 различных типов векторов, которые обычно используются в математике и естественных науках. Различные типы векторов, которые рассматриваются здесь, следующие.

В математике есть 10 типов векторов:

1. Нулевой вектор
2. Единичный вектор
3. Вектор положения
4. Соначальный вектор
5. Как и в отличие от векторов
6. Копланарный вектор
7. Коллинеарный вектор
8. Равный вектор
9. Вектор смещения
10. Негатив вектора

Все эти векторы чрезвычайно важны, и эти понятия часто требуются в математике и других научных темах более высокого уровня. Подробные пояснения по каждому из этих 10 типов векторов приведены ниже.

Нулевой вектор

Нулевой вектор — это вектор, когда модуль вектора равен нулю, а начальная точка вектора совпадает с конечной точкой.

\(\begin{array}{l}\text{Другими словами, для вектора }\overrightarrow{AB} \text{ координаты точки A совпадают с координатами} \\ \text{точки B, то вектор называется нулевым и обозначается 0.}\end{array} \)

Отсюда следует, что модуль нулевого вектора равен нулю и направление такого вектора неопределенно.

Единичный вектор

Вектор, величина которого равна единице длины, называется единичным вектором.

\(\begin{array}{l}\text{Предположим, если }\overrightarrow{x} \text{ является вектором, имеющим величину x, тогда единичный вектор обозначается } x̂ \\ \text{ в направлении вектор } \overrightarrow{x} \text{ и имеет величину, равную 1.}\end{array} \)

\(\begin{array}{l}\text{Следовательно, } \hat{x} = \frac{\overrightarrow{x}}{|x|} \end{array} \)

Необходимо тщательно отметить, что любые два единичных вектора не должны рассматриваться как равные, потому что они могут иметь одинаковую величину, но направление, в котором взяты векторы, может быть различным.

Вектор положения

\(\begin{array}{l}\text{Если за начало отсчета взято O, а P — произвольная точка в пространстве, то вектор }\overrightarrow{OP} \\ \text{ называется позиционным вектором точка.}\end{массив} \)

Вектор положения просто обозначает положение или расположение точки в трехмерной декартовой системе относительно исходной точки.

Соначальные векторы

Векторы, имеющие одну и ту же начальную точку, называются ко-начальными векторами.

 

\(\begin{array}{l}\text{Векторы } \overrightarrow{AB} \text{ и } \overrightarrow{AC} \text{ называются ко-начальными векторами, поскольку они имеют одну и ту же начальную точку.} \конец{массив} \)

Как и в отличие от векторов

Векторы, имеющие одинаковое направление, называются подобными векторами. Наоборот, векторы, имеющие противоположное направление по отношению друг к другу, называются неодинаковыми векторами.

Копланарные векторы

Три или более вектора, лежащие в одной плоскости или параллельные одной плоскости, называются компланарными векторами.

Коллинеарные векторы

Векторы, лежащие вдоль одной прямой или параллельных прямых, называются коллинеарными векторами. Они также известны как параллельные векторы.

Два вектора коллинеарны, если они параллельны одной и той же прямой независимо от их величины и направления. Таким образом, любые два вектора можно рассматривать как коллинеарные тогда и только тогда, когда эти два вектора либо лежат на одной прямой, либо эти векторы параллельны друг другу в одном или противоположном направлении. Чтобы любые два вектора были параллельны друг другу, условие состоит в том, что один из векторов должен быть скалярно кратным другому вектору. На рисунке ниже показаны коллинеарные векторы в противоположном направлении.

Равные векторы

Говорят, что два или более вектора равны, если их величина равна, а также их направление одинаково.

Два вектора, показанные выше, являются равными векторами, поскольку они имеют одинаковое направление и величину.

Вектор смещения

\(\begin{array}{l}\text{Если точка смещается из положения A в положение B, то смещение AB представляет собой вектор } \overrightarrow{AB} \\ \text{который известен как вектор смещения. }\конец{массив} \)

Негатив вектора

Если два вектора одинаковы по величине, но прямо противоположны по направлению, то оба вектора отрицательны друг относительно друга. Предположим, что есть два вектора a и b, такие, что эти векторы абсолютно одинаковы по величине, но противоположны по направлению, тогда эти векторы могут быть заданы как

а = – б

Это были некоторые основные понятия, связанные с векторными типами. Ознакомьтесь с другими концепциями, связанными с векторами, на BYJU’S по ссылкам, приведенным ниже.

Узнать больше:

 

Узнайте определение, уравнения, угол, примеры здесь

Векторы — это геометрические объекты с величиной и направлением в двух или более измерениях. Вектор представлен линией со стрелкой, указывающей в направлении вектора, а ее длина представляет собой величину вектора.

Если вектор и другой вектор имеют одинаковую величину и направление, говорят, что они равны. Проще говоря, два или более вектора называются равными, если их длины одинаковы и все они указывают в одном направлении. Мы можем сравнить координаты двух векторов, чтобы увидеть, равны ли они в векторной алгебре.

Векторы равны, если координаты двух или более векторов одинаковы. В результате, если вектор A и вектор B имеют одинаковые координаты, они называются равными векторами.

Равные векторы

Равные векторы имеют одинаковую величину и направление. Равные векторы могут начинаться в разных точках. Направленные отрезки параллельны, когда векторы равны.

Если вектор A и вектор B имеют одинаковую величину и направлены в одном направлении, говорят, что они равны. Два или более вектора называются равными, если они направлены в одном направлении, лежат на одной прямой и имеют одинаковую длину. Это означает, что параллельные векторы также являются равными векторами. Мы также можем искать равный вектор, если он имеет те же компоненты x, y и z, что и другой вектор. Равные векторы не обязательно должны начинаться с одной и той же точки.

Диаграмма равенства вектора A и вектора B показана ниже. Два вектора равны, но не совпадают, то есть они не начинаются с одной и той же точки. В результате равные векторы не обязательно должны иметь одинаковые начальные точки. Это векторы одинаковой величины, параллельные и сонаправленные. Если два вектора имеют одинаковую величину, но антипараллельны (движутся в противоположных направлениях), они не равны.

Уравнения для равных векторов

Если у нас есть два вектора, мы можем использовать следующую формулу, чтобы узнать, равны ли они:

\( \vec{A} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} \)

\( \vec{B} = q\hat{i} + r \hat{j} + s\hat{k} \)

Тогда векторы A и B равны тогда и только тогда, когда x = q, y = r и z = s, а это означает, что они имеют одинаковые координаты.

Например:

Найдите значения x и y, если два вектора \( \vec{A} = 2\hat{i} + 5\hat{j} – 10\hat{k} \) и \( \vec{B} = x\hat{i} -y\hat{j} – 10\hat{k} \) равны.

Поскольку векторы \( \vec{B} \) и \( \vec{B} \) равны, они должны иметь одинаковые компоненты.

В результате

2 = x , 5 = — y, -10 = -10

x = 2, y = -5

В результате значения x и y равны x = 2 и y = -5 соответственно.

Угол равных векторов

Равные векторы также являются параллельными векторами, а угол между параллельными векторами, как мы знаем, равен нулю радиан. Теперь мы продемонстрируем это, используя формулу векторного скалярного произведения. Рассмотрим два равных вектора A и B с координатами (x, y).

\( \vec{A} = x\шляпа{i} + y\шляпа{j} \)

\( \vec{B} = x\hat{i} + y\hat{j} \)

Рассмотрим \( \theta \) угол между ними.

Возьмем скалярное произведение векторов \( \vec{A}\) и \( \vec{B} \) теперь:

\( A. {2}} \right )}} \right ]} \) 9{2} \right )} \right ] \)

\( \Стрелка вправо \theta = \arccos \left ( 1 \right ) \)

\( \Стрелка вправо \theta = \left ( 0 \right ) \)

В результате угол, образованный двумя равными векторами, равен нулю.

Узнайте о типах векторов

Скалярное произведение двух равных векторов

Скалярное произведение обозначается точкой в ​​центре:

a.b

Это означает, что скалярное произведение a и b Скалярное произведение двух равных векторов следующим образом:

\( a.b = \left | a \ right |\times \left | b \right |\times \cos \left ( \theta \right ) \)

Где,

\( | a \right |\ ) = длина вектора a

\( | b \right |\) = длина вектора b

\( \theta \) = угол, образованный a и b

Итак, мы умножаем длину a на длину b, затем на косинус угла, образованного a и b.

Результат скалярного произведения двух равных векторов лежит в той же плоскости, что и исходные два равных вектора. Скалярный продукт может быть либо положительным действительным числом, либо отрицательным действительным числом, либо нулем.

Например:

Найдите скалярное произведение \( a = \left ( 1,2,3 \right ) \) & \( b = \left ( 4,-5,6 \right ) \)

Решение:

Используя компонентное уравнение для скалярного произведения трехмерного вектора,

\( a.b = a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3 } \)

\( a.b = 1\влево ( 4 \вправо )+2\влево ( -5 \вправо )+3\влево ( 6 \вправо ) \)

= 4-10+18

= 12

В результате a.b положительный.

Подробнее о копланарных векторах

Перекрестное произведение двух равных векторов

Метод умножения двух векторов представляет собой перекрестное произведение двух равных векторов. Перекрестное произведение обозначается знаком умножения (x) между двумя векторами.

Вектор имеет не только направление, но и величину. Мы можем использовать перекрестное произведение и скалярное произведение для умножения двух или более векторов. Когда два вектора перемножаются, а произведение векторов также является векторной величиной, результирующий вектор известен как векторное произведение двух векторов или векторное произведение. Результирующий вектор перпендикулярен плоскости, содержащей два заданных вектора.

Перекрестное произведение двух равных векторов отображается как:

\( a\times b = \left | a \right | \left | b \right |\sin \theta \)

Узнать о скалярной тройке Закон сложения векторов произведения и параллелограмма

Решенные примеры на равных векторах

Задача: 1 При каком значении параметра n вектора \( \bar{a} = \left \{ 1;8 \right \} \) и \( \bar{b} = \left \{ 1;2n \right \}\(\) равны?

Решение:

Проверить равенство компонентов вектора.

\( a_{y} = b_{y}\Rightarrow 8 = 2n \Rightarrow n =\frac{8}{2}=4 \)

когда n =4, тогда \( \bar{a}\( \) и \(\) \bar{b} \(\) равны

Задача: 2 Определить, являются ли векторы \(\) \vec{A} = 5\hat{i} – 6\hat{ j} \) равны вектору \( \vec{B} = -5\hat{i} + 6\hat{j} \)

Решение

A и B должны иметь одинаковую величину и направление чтобы A был равным вектором. 9{2} \right ) \right )} = \sqrt{\left ( 25+36 \right )} = \sqrt{61} =\left | Б \ справа | \)

Теперь векторы A и B имеют одинаковую величину, но действуют в противоположном направлении, поскольку A = -B, поэтому они не равны.

A и B не являются векторами одинаковой длины.

Часто задаваемые вопросы о равных векторах

В.1 Каков угол между двумя равными векторами?

Ответ 1 Угол, образованный двумя равными векторами, равен нулю.

Q.2 Что означает равенство двух векторов?

Ответ 2 Когда два вектора имеют одинаковую длину или величину и направлены в одном направлении, говорят, что они равны.

В.3 Все ли равные векторы параллельны?

Ответ 3 Равные векторы — это векторы с одинаковыми координатами. В результате, хотя равные векторы являются параллельными векторами, параллельные векторы могут не быть равными векторами.