Site Loader

Содержание

Глава 32. Векторное произведение векторов

Глава 32. Векторное произведение векторов

Глава 32. Векторное произведение векторов

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор, обозначаемый символом и определяемый следующими тремя условиями:

1). Модуль вектора равен , где — угол между векторами и ;

2). Вектор перпендикулярен к каждому из вектора и ;

3). Направление вектора соответствует «правилу правой руки». Это означает, что если векторы , и приведены к общему началу, то вектор должен быть направлен так, как направлен средний палец правой руки, больой палец которой направлен по первому сомножителю (то есть по вектору ), а указательный — по второму (то есть по вектору ).

Векторное произведение зависит от порядка сомножителей, именно:

.

Модуль векторного произведения равен площади S параллелограмма, построенного на векторах и :

.

Само векторное произведение может быть выражено формулой

,

где — орт векторного произведения.

Векторное произведение обращается в нуль тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны. В частности, .

Если система координатных осей правая и векторы и заданы в этой системе своими координатами:

, ,

то векторное произведение вектора на вектор определяется формулой

,

или

.

Текст издания: © Д.В.Клетеник «Сборник задач по аналитической геометрии». М., Наука, Физматлит, 1998.
Решение задач: © Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/.
Все права принадлежат мне, если не оговорено иное 😉

Сайт управляется системой uCoz

Векторное произведение векторов, свойства, координатное представление — ПриМат

Для начала найдем модули всех заданных векторов, для этого воспользуемся формулой нахождения модуля вектора из примера 1 $|\vec {a}| = \sqrt {4 + 9 + 16} = \sqrt {29}, \left|\vec {b}\right| = \sqrt {1 + 9 + 49} = \sqrt {59}, \left|\vec {c}\right| = \sqrt {0 + 0 + 9} = 3.$ Теперь будем решать задачу для пары векторов $\vec {a}$ и $\vec {b}.$ $$\vec {a} \times \vec {b} = \left|

\begin{matrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
2 & 3 & 4 \\
-1 & 3 & -7
\end{matrix}
\right| = \vec {i} \cdot \left|
\begin {matrix}
3 & 4 \\
3 & -7
\end {matrix}
\right| — \vec {j} \cdot \left|
\begin {matrix}
2 & 4 \\
-1 & -7
\end {matrix}
\right| +$$ $$+ \, \vec {k} \cdot \left|
\begin {matrix}
2 & 3 \\
-1 & 3
\end {matrix}
\right| = (-40) \cdot \vec {i} \, — (-10) \cdot \vec {j} + 9 \cdot \vec {k} = (-40) \cdot \vec {i} + 10 \cdot \vec {j} + 9 \cdot \vec {k},$$ т.е. координаты результата равны $(-40, 10, 9),$ теперь найдем модуль данного произведения $\left|\vec {a} \times \vec {b}\right| = \sqrt {29} \cdot \sqrt {59} \cdot \frac {1}{2} =$ $= \, \frac {\sqrt {1711}}{2}.$ Теперь проделаем тоже самое для пары $\vec {a}$ и $\vec {c}.$ $$\vec {a} \times \vec {c} = \left|
\begin{matrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
2 & 3 & 4 \\
0 & 0 & 3
\end{matrix}
\right| = \vec {i} \cdot \left|
\begin {matrix}
3 & 4 \\
0 & 3
\end {matrix}
\right| — \vec {j} \cdot \left|
\begin {matrix}
2 & 4 \\
0 & 3
\end {matrix}
\right| +$$ $$+ \, \vec {k} \cdot \left|
\begin {matrix}
2 & 3 \\
0 & 0
\end {matrix}
\right| = 9 \cdot \vec {i} \, — \, 6 \cdot \vec {j} + 0 \cdot \vec {k} = 9 \cdot \vec {i} \, — \, 6 \cdot \vec {j},$$ координаты равны $(9, -6, 0)$ теперь найдем модуль данного произведения $\left|\vec {a} \times \vec {c}\right| = \sqrt {29} \cdot 3 \cdot \frac {1}{3} =$ $= \, \frac {3 \sqrt {29}}{3} = \sqrt {29}.$ И наконец, пара $\vec {b}$ и $\vec {c}.$ $$\vec {b} \times \vec {c} = \left|
\begin{matrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
-1 & 3 & 7 \\
0 & 0 & 3
\end{matrix}
\right| = \vec {i} \cdot \left|
\begin {matrix}
3 & 7 \\
0 & 3
\end {matrix}
\right| — \vec {j} \cdot \left|
\begin {matrix}
-1 & 7 \\
0 & 3
\end {matrix}
\right| +$$ $$+ \, \vec {k} \cdot \left|
\begin {matrix}
-1 & 3 \\
0 & 0
\end {matrix}
\right| = 9 \cdot \vec {i} \, — \, (-3) \cdot \vec {j} + 0 \cdot \vec {k} = 9 \cdot \vec {i} + 3 \cdot \vec {j},$$ координаты равны $(9, 3, 0)$ теперь найдем модуль данного произведения $\left|\vec {b} \times \vec {c}\right| = \sqrt {59} \cdot 3 \cdot \frac {5}{6} =$ $= \, \frac {3 \cdot 5 \sqrt {59}}{6} = \frac {5 \sqrt {59}}{2}.$ Итак, задача решена.

[свернуть]

3.3. Векторное произведение векторов

Векторным произведением двух векторов иназывается вектор, обозначаемый, который удовлетворяет следующим условиям:

  1. вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторыи;

  2. вектор имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторахикак на сторонах:

, где α – угол между векторами и;

  1. векторы ,,образуют правую тройку.

Рис. 17

Три произвольных некомпланарных вектора,,, взятые в указанном порядке, образуютправую тройку, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого векторако второму векторувиден совершающимся против часовой стрелки (рис. 18), илевую, если по часовой стрелке.

Рис. 18

Если система координатных осей правая и векторы изаданы своими координатами,,, товекторное произведение определяется по формуле:

.

Площадь параллелограмма S, построенного на векторах и, равна модулю векторного произведения×и определяется по формуле:

S = ||.

Площадь треугольника S, построенного на векторах и, равна половине площади параллелограмма:

SΔ = S = ||.

3.4. Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением трех векторов ,,называется число, равное векторному произведению, умноженному скалярно на:.

Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на трех некомпланарных векторах ,,, взятому со знаком плюс, если тройка векторов правая, и со знаком минус, если эта тройка левая (рис. 19).

Рис. 19

Если векторы ,,заданы своими координатами,,,,то смешанное произведение трех векторов ,,равно определителю третьего порядка, составленному из координат этих векторов:

.

Векторы ,,компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю: = 0.

Объем параллелепипеда V, построенного на трех некомпланарных векторах ,,, определяется по формуле:

V = .

Объем тетраэдра, построенного на трех некомпланарных векторах ,,, определяется по формуле:

Vт = =.

Пример 6

. Даны вершины тетраэдра: А (2; 3; 1), В (4; 1; –2), С (6; 3; 7), D (–5; –4; 8). Необходимо найти:

1) площадь грани АВС;

2) объем тетраэдра АВСD;

3) длину высоты, опущенной на грань АВС;

4) внутренний угол А треугольника АВС.

Решение.

1. Если даны точки М1(x1; y1; z1) и М2(x2; y2; z2), то вектор выражается следующим образом через орты,,:

= (x2x1)+ (

у2у1)+ (z2z1).

Найдем векторы АВ, АС и АD в системе орт:

= (4 – 2)+ (1 – 3)+ (–2 – 1)= 2– 2– 3;

= (6 – 2)+ (3 – 3)+ (7 – 1)= 4+ 6;

= (–5 – 2)+ (–4 – 3)+ (8 – 1)= –7– 7+ 7.

Площадь грани АВС равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и. Площадь параллелограмма, в свою очередь, численно равна модулю векторного произведения векторови.

Найдем векторное произведение векторов и:

= (–2∙6 – 0∙(–3))– (2∙6– 4∙(–3))+ (2∙0 – 4∙(–2))=

= –12– 24+ 8.

Найдем модуль векторного произведения

= .

Тогда SАВС = =∙ 28 = 14.

2. Объем тетраэдра равен объема параллелепипеда, построенного на трех некомпланарных векторах,,. Найдем объем параллелепипеда как модуль смешанного произведения векторов,,:

= = 308.

Тогда объем тетраэдра VАВСD = ∙= ∙ 308 = .

3. Из курса элементарной геометрии известно, что объем тетраэдра V равен произведения площади основания S на высоту H:

.

Выразим высоту Н из последнего уравнения: .

Подставляя в эту формулу и S = SАВС = 14, получим:

.

4. Косинус угла , образованного векторами и, равен их скалярному произведению, делённому на произведение их модулей:

cos =

Найдем модули (длины) векторов и:

|| =;

|| =.

Тогда cos А = cos = .

А  109,65.

векторное произведение векторов с произвольной размерностью

 
Blind Guardian   (2007-11-11 16:45) [0]

Здравствуйте.
Как вычисляется векторное произведение векторов с произвольной размерностью?


 
Pavia ©   (2007-11-11 18:18) [1]

Никак.3.


 
Putnik   (2007-11-11 19:01) [2]

To Pavia A kak ge mnogomernye vektora?


 
Blind Guardian   (2007-11-11 21:15) [3]

Pavia
вы не правы, вектора могут быть многомерны


 
palva ©   (2007-11-11 21:33) [4]

Когда векторное произведение определяют физики, они имеют ввиду обычное трехмерное пространство. Линия действия такого произведения перпендикулярна одновременно обоим сомножителям и определена однозначно. А если мы в 4-мерном пространстве попробуем определить прямую перпендикулярную двум данным ненулевым векторам, то обнаружим, что таких линий очень много и они образуют целую плоскость. В четырехмерном пространстве можно определить векторное произведение сразу трех векторов, взятых в определенном порядке.3 это одназначная велечина. А при большей размерности, palva уже все написал.  Мы получаем что таких векторов может быть несколько

Добавлю что для n мерных есть оналог Wedge product
подробнее сдесь
http://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product


 
Думкин ©   (2007-11-12 05:57) [6]

А зачем? У физиков это возникло вполне естественным образом. Такого естества не видно в других пространствах. Гораздо продуктивнее изучать тензоры(и псевдо).


Векторное произведение векторов — презентация онлайн

1. Векторное произведение векторов

• Векторным произведением
векторов а и b называется
вектор с , обозначаемый c a b,
который удовлетворяет
следующим трём условиям:
• 1. с | a b | a b sin ;
• 2. c à, c b ,
• 3. тройка a , b , c – правая (т.е.
при наблюдении
из
конца
вектора с кратчайший
поворот от а к b виден
совершающимся против
часовой стрелки.

4. Свойства векторного произведения

a
b
(
b
a
)
• 1.
b (a b )
• 2. ( a )
c
• 3. a ( b c ) a b a
• 4. a b 0 a || b
• Если a x1 , y1 , z1
b x2 , y2 , z2
то векторное произведение
вычисляется по формуле
i
a b x1
j
y1
k
z1
x2
y2
z2

6. Приложения векторного произведения к задачам геометрии и механики.


Площадь параллелограмма
(геометрический смысл
векторного произведения).
S | a || b | sin | a b |
Площадь треугольника
1
S | a b |
2

Момент силы (механический
смысл векторного
произведения).
Пусть точка А твердого тела
закреплена, а в точке
В
приложена сила F . Тогда
возникает вращающий момент
M AB F
• Пример. Вычислить площадь
треугольника с вершинами
A(7,3,4), B(1,0,6) , C(4,5,-2).
• Решение. Находим векторы
AB ( 6, 3, 2), AC ( 3, 2, 6).
• Вычисляем векторное
произведение
k
2
i
j
AB AC 6 3
3
3 2
i
j
2 6
k
6 3
3
2
2
6
6
2
3
6
14i 42 j 21k .
• Тогда
1
1
2
2
2
S | AB AC |
14 42 21
2
2
1
49
2
2
2
7 2 6 3
24,5.
2
2

13. Смешанное произведение векторов

• Определение. Смешанным
произведением
трех
векторов
a , b , c называется число
a b c (a b ) c
• Если
a x1 , y1 , z1 , b x2 , y 2 , z 2 ,
с x3 , y3 , z3
• то
x1
а b с x2
x3
y1
z1
y2
y3
z2
z3

15. Приложения смешанного произведения к задачам геометрии


Объём параллелепипеда,
построенного
на векторах
a , b , c (геометрический смысл
смешанного произведения).
V | a b c |
Объём пирамиды
1
V |ab c |
6

Условие компланарности
векторов в координатной
форме:
– компланарны
a, b , c
x1
a b c 0 x2
y1
y2
z1
z 2 0.
x3
y3
z3
• Пример. Вычислить объём
пирамиды с вершинами в
точках A(2,0,0), B(0,3,0), C(4,0,6),
D(2,3,8).
• Решение. Находим векторы
AB ( 2, 3, 0)
AC (2, 0, 6)
AD (0, 3, 8)
Вычислим смешанное
произведение этих векторов:
2 3 0
AB AC AD
2 0 6
0
2
0 6
3 8
3
3 8
2 6
0 8
0 2(0 18)
3(16 0) 36 48 12
• Тогда
1
| 12 |
V | AB AC AD |
2.
6
6

23. Модуль 2

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

24. Плоскость и её основные уравнения

• Рассмотрим плоскость P в
прямоугольной декартовой
системе координат.
• Положение плоскости вполне
определяется
точкой
M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) P
и вектором нормали
n ( A, B, C ) P (n 0)
• Возьмём любую точку
M ( x, y, z ) P
и построим вектор
M 0 M ( x x0 , y y 0 , z z 0 )
• Так как n M 0 M , то скалярное
произведение
или
n M 0 M 0,
A( x x0 ) B( y y 0 ) C ( z z 0 ) 0.
• Получили уравнение плоскости,
заданной
точкой M 0 ( x0 , y 0 , z 0 )
и вектором нормали n ( A, B, C )
• Если в уравнении
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
раскрыть скобки и обозначить
D Ax0 By 0 Cz 0
то получим общее уравнение
плоскости:
Ax By Cz D 0
( A B C 0)
2
2
2
• Теорема. Всякое уравнение
вида
Ax By Cz D 0
( A B C 0)
2
2
2
определяет некоторую
плоскость в пространстве.
• Если в этом уравнении какойлибо из коэффициентов A, B, C
равен нулю, то плоскость
расположена параллельно той
оси, координата которой
отсутствует в уравнении.
• Например, при A = 0 плоскость
By + Cz + D = 0 параллельна оси
Ox; при A = B = 0 плоскость Cz +
D = 0 параллельна осям Ox и
Oy, т.е. плоскости xOy и т.д.
• Пусть в уравнении
Ax By Cz D 0
ни один из коэффициентов не
равен 0. Перепишем это
уравнение в виде
Ax By Cz D
разделим обе части этого
равенства на — D и обозначим
D
D
D
a, b, c
A
B
C
Получим уравнение плоскости в
отрезках:
x y z
1,
a b c
• где a, b, c – это величины
направленных отрезков,
отсекаемых плоскостью на осях
координат
• Если три точки
M 1 ( x1 , y1 , z1 )
M 2 ( x2 , y 2 , z 2 )
M 3 ( x3 , y 3 , z 3 )
не лежат на одной прямой, то
через эти точки проходит
единственная плоскость:
• Уравнение плоскости,
проходящей через три точки,
имеет вид:
x x1
y y1
z z1
x 2 x1
y 2 y1
z 2 z1 0.
x3 x1
y 3 y1
z 3 z1
• Пусть даны две
P1 : A1 x B1 y C1 z D1 0
и
P2 : A2 x B2 y C2 z D2 0
• Угол φ между двумя
плоскостями
равен углу между
их векторами
нормали:
cos
n1 n2
n1 n2
A1 A2 B1 B2 C1C2
A B C A B C
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
• Расстояние d от
точки
M 1 ( x1 , y1 , z1 )
до
Axплоскости
By Cz D 0
определяется по
|
Ax
By
Cz
D
|
1
1
1
формуле
d
2
2
2
A B C
• Пример. Даны две
точки
M ( 2, 0, 1)
M (1, 4, 2)
1
2
Записать
уравнение
M 1M 2 .
плоскости,
проходящей через
точку M1
перпендикулярно
• Решение.
Поскольку
искомая
M 1M 2
плоскостьn
перпендикулярна
M 1 M 2 (3, 4, 1)
вектору
, то в
к ачестве вектора
нормали
возьмем вектор
• Подставив теперь
уравнение

(x
x0 ) B( y y 0 ) C ( z z 0 ) 0
A 3, B 4, C 1
а
также
x0 2, y 0 0, z 0 1
координаты точки
M1:
получим
3( x 2) 4( y 0) 1( z 1) 0
или
3x 4 y z 5 0
– это и есть
искомое общее
уравнение
плоскости

Угол между векторами. Скалярное произведение векторов. скалярное произведение векторов в координатах. Свойства

Тема 32.

Угол между векторами. Скалярное произведение векторов. Скалярное произведение векторов в координатах. Свойства скалярного произведения.

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов a⃗ и b⃗ обозначается так: a⃗∙b⃗ или a⃗b⃗.

По определению

a⃗∙b⃗=a⃗∙b⃗cos⁡a⃗b⃗̂ (1)

Если векторы a⃗ и b⃗ перпендикулярны, то есть a⃗b⃗̂=90°, то cos⁡a⃗b⃗̂=0, и поэтому a⃗∙b⃗=0.

Если a⃗∙b⃗=0 и векторы a⃗ и b⃗ ненулевые, то из равенства (1) получаем, cos⁡a⃗b⃗̂=0, и, следовательно, a⃗b⃗̂=90°, то есть векторы a⃗ и b⃗ перпендикулярны.

Таким образом, скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Скалярное произведение ненулевых векторов a⃗ и b⃗ положительно, когда a⃗b⃗̂<90° и

отрицательно, когда a⃗b⃗̂>90°

Если a⃗⇈b⃗, то cos⁡a⃗b⃗̂=1, значит a⃗∙b⃗=a⃗∙b⃗

В частности, a⃗∙a⃗=a⃗2. Скалярное произведение a⃗∙a⃗ называется скалярным квадратом вектора a⃗ и обозначается a⃗2.

Таким образом, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

Скалярное произведение двух векторов можно вычислить, зная координаты этих векторов.

Теорема: в прямоугольной системе координат скалярное произведение векторов a⃗x1;y1 и b⃗x2;y2 выражается формулой a⃗∙b⃗=x1x2+y1y2

Следствие 1.

Ненулевые векторы a⃗x1;y1 и b⃗x2;y2 перпендикулярны тогда и только тогда, когда x1x2+y1y2=0

Следствие 2.

Косинус угла α между ненулевыми векторами a⃗x1;y1 и b⃗x2;y2 выражается формулой

cos⁡α=x1x2+y1y2x12+y12x22+y22.

Свойства скалярного произведения.

Для любых векторовa⃗, b⃗ и c⃗ и любого числа k справедливы соотношения:

  1. a⃗2≥0, причем a⃗2>0 при a⃗≠0.
  2. a⃗∙b⃗=b⃗∙a⃗ (переместительный закон)
  3. a⃗+b⃗∙c⃗=a⃗∙c⃗+b⃗∙c⃗ (распределительный закон)
  4. ka⃗∙b⃗=ka⃗∙b⃗ (сочетательный закон)

Распределительный закон имеет место для любого числа слагаемых.

Рассмотрим пример:

Вычислить a⃗∙b⃗, если a⃗-5;6 и b⃗6;5.

Воспользуемся формулой a⃗∙b⃗=x1x2+y1y2, получим:

a⃗∙b⃗=-5∙6+6∙5=-30+30=0

Так как a⃗∙b⃗=0, то a⃗⊥b⃗.

Формула скалярного произведения через компоненты вектора

Геометрическое определение скалярного произведения гласит, что скалярное произведение между двумя векторами $ \ vc {a} $ и $ \ vc {b} $ равно $$ \ vc {a} \ cdot \ vc {b} = \ | \ vc {a} \ | \ | \ vc {b} \ | \ cos \ theta, $$ где $ \ theta $ — угол между векторами $ \ vc {a} $ и $ \ vc {b} $. Хотя эта формула удобна для понимания свойств скалярного произведения, формула для скалярного произведения в терминах компонентов вектора упростила бы вычисление скалярного произведения между двумя заданными векторами.

В качестве первого шага мы смотрим на скалярное произведение между стандартными единичными векторами, т. Е. Векторами $ \ vc {i} $, $ \ vc {j} $ и $ \ vc {k} $ длины один и параллельными к осям координат.

Загрузка апплета

Стандартные единичные векторы в трех измерениях. Стандартные единичные векторы в трех измерениях: $ \ vc {i} $ (зеленый), $ \ vc {j} $ (синий) и $ \ vc {k} $ (красный) — это векторы длины один, которые указывают параллельно оси $ x $, ось $ y $ и ось $ z $ соответственно. Перемещение их с помощью мыши не меняет векторы, так как они всегда указывают в положительном направлении их соответствующей оси.

Подробнее об апплете.

Поскольку стандартные единичные векторы ортогональны, мы сразу заключаем, что скалярное произведение между парой различных стандартных единичных векторов равно нулю: \ begin {align *} \ vc {i} \ cdot \ vc {j} = \ vc {i} \ cdot \ vc {k} = \ vc {j} \ cdot \ vc {k} = 0. \ end {выровнять *} Скалярное произведение между единичным вектором и самим собой также просто вычислить. В этом случае угол равен нулю и $ \ cos \ theta = 1 $. Учитывая, что все векторы имеют длину один, точечные произведения равны \ begin {align *} \ vc {i} \ cdot \ vc {i} = \ vc {j} \ cdot \ vc {j} = \ vc {k} \ cdot \ vc {k} = 1.\ end {выровнять *}

Второй шаг — вычислить скалярное произведение двух трехмерных векторов. \ begin {align *} \ vc {a} & = (a_1, a_2, a_3) = a_1 \ vc {i} + a_2 \ vc {j} + a_3 \ vc {k} \\ \ vc {b} & = (b_1, b_2, b_3) = b_1 \ vc {i} + b_2 \ vc {j} + b_3 \ vc {k}. \ end {выровнять *} Для этого мы просто утверждаем, что для любых трех векторов $ \ vc {a} $, $ \ vc {b} $ и $ \ vc {c} $ и любого скаляра $ \ lambda $ \ begin {align *} (\ lambda \ vc {a}) \ cdot \ vc {b} & = \ lambda (\ vc {a} \ cdot \ vc {b}) = \ vc {a} \ cdot (\ lambda \ vc {b} ) \\ (\ vc {a} + \ vc {b}) \ cdot \ vc {c} & = \ vc {a} \ cdot \ vc {c} + \ vc {b} \ cdot \ vc {c}.\ end {выровнять *} (Эти свойства означают, что скалярное произведение линейно.)

Учитывая эти свойства и тот факт, что скалярное произведение коммутативно, мы можем разложить скалярное произведение $ \ vc {a} \ cdot \ vc {b} $ на компоненты, \ begin {align *} \ vc {a} \ cdot \ vc {b} & = (a_1 \ vc {i} + a_2 \ vc {j} + a_3 \ vc {k}) \ cdot (b_1 \ vc {i} + b_2 \ vc {j} + b_3 \ vc {k}) \\ & = a_1b_1 \ vc {i} \ cdot \ vc {i} + a_2b_2 \ vc {j} \ cdot \ vc {j} + a_3b_3 \ vc {k} \ cdot \ vc {k} \\ & \ quad + (a_1b_2 + a_2b_1) \ vc {i} \ cdot \ vc {j} + (a_1b_3 + a_3b_1) \ vc {i} \ cdot \ vc {k} \\ & \ quad + (a_2b_3 + a_3b_2) \ vc {j} \ cdot \ vc {k}.2 $, еще проще. Данный \ begin {align *} \ vc {a} & = (a_1, a_2) = a_1 \ vc {i} + a_2 \ vc {j} \\ \ vc {b} & = (b_1, b_2) = b_1 \ vc {i} + b_2 \ vc {j}, \ end {выровнять *} мы можем использовать ту же формулу, но с $ a_3 = b_3 = 0 $, \ begin {gather} \ vc {a} \ cdot \ vc {b} = a_1b_1 + a_2b_2 \ label {dot_product_formula_2d} \ tag {2}. \ end {gather}

Вооруженный уравнениями \ eqref {dot_product_formula_3d} и \ eqref {dot_product_formula_2d}, вы можете быстро вычислить скалярные произведения, как показано в этих примерах.

Векторное пространство и пространства со скалярным произведением

Абстрактное вещественное векторное пространство — это коммутативная группа с одна дополнительная операция: его элементы могут быть умножены на действительные числа (скаляры). Это ни в коем случае групповая операция (кроме случая, когда мы рассматриваем множество действительных чисел R как реальное векторное пространство) потому что в групповых операциях оба операнда должны происходить из одного и того же набора. Умножение на скаляр требуется для выполнения трех дополнительных законов: для u, v∈ и векторы a и b ,

  1. (распределенность): (u + v) a = u a + v a
  2. (ассоциативность): u (v a ) = (uv) a
  3. (распределительность): u ( a + b ) = u a + u b

Это варианты распределительных и ассоциативных законов.Например, для пространств из n элементов умножение на скаляр определяется покомпонентно:

u (a 1 , a 2 , a 3 ) = (ua 1 , ua 2 , ua 2 )

С этим определением и добавлением определено также покомпонентно множество из трех кортежей становится векторным пространством . Важно понимать, что кортеж из n только тогда рассматривается как вектор, когда он рассматривается как элемент набора, в котором две операции (сложение и умножение на скаляр) определены.Таким образом, векторов и векторных пространств рождаются одновременно.


Пространства со скалярным произведением

Для некоторых векторных пространств можно определить другое умножение — скалярное произведение (или внутренний , или точка ). Скалярное произведение определяется для двух векторных операндов, и результатом является скаляр. Следовательно, скалярное произведение тоже это не групповая операция. Скалярное произведение двух векторов a и b обозначается a . b или ( a , b ) и имеет следующие свойства:

  1. (коммутативность): a . b = b . a
  2. (распределенность): a . ( b + c ) = a . б + а . c

В качестве примера скалярное произведение для трех кортежей определяется следующим образом:

( 1 , 2 , 3 ).(b 1 , b 2 , b 3 ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3

Как приложение этих законов, давайте докажем простое, но интересное тождество.

(*)
( a + b ). ( a + b ) = a . а + а . б + б . а + б . b
= a . а + 2 а . б + б . б

Два вектора, скалярное произведение которых равно нулю, называются ортогональными или перпендикулярными . Например, следующие пары троек ортогональны: a и (0, 1, 0), (1, 0, 1) и (2, 1, -2). Для ортогональных векторов имеем следующее обобщение теоремы Пифагора:

( a + b ).( a + b ) = a . а + б . b

Если мы введем длину (также называемую нормой ) вектора a как || a || 2 = a . a , то теорема Пифагора допускает более традиционный вид:

|| a b || 2 = || a || 2 + || b || 2 .

Идентификатор (*) является обобщением закона косинуса . Фактически (*) является одной из причин того, что угол между двумя векторами определяется как:

cos (α) = a . b / || a || || b ||.

Что можно умножить?


| Контакты | | Первая страница | | Содержание | | Вверх |

Copyright © 1996-2018 Александр Богомольный

Скалярное произведение (скалярное произведение) векторов

В скалярном произведении векторов компоненты вектора объединяются для получения скаляра.Скалярное произведение двух векторов — это произведение компоненты одного вектора (в направлении другого вектора) и второго вектора. Скалярное произведение в основном используется в физике. Скалярное произведение также известно как «скалярное произведение».

Математическое определение скалярного произведения двух векторов a и b обозначается a.b и определяется следующим образом.

a.b = | a | | б | Cos θ, где θ — угол между a и b .

Свойства скалярного произведения:

1) a.b — скаляр.

2) Из определения скалярного произведения имеем Cos θ = a.b / | a | | б |

3) a и b ортогональны, если a.b = 0.

4) a.b = b.a

5) ii = jj = kk = 1, где i , j и k являются взаимно ортогональными единичными векторами вдоль x , y и z -оси.

6) Точечный продукт является распределительным по сравнению с добавлением.

то есть a. (B + c) = a.b + b.c

7) Для любого скаляра m , (ma) .b = m (a.b)

8) Если a = a 1 i + a 2 j + a 3 k и b = b 1 i + b 2 j + b 3 k, то ab = a 1 б 1 + а 2 б 2 + а 3 б 3 .

(Это потому, что i.j = j.k = k.i = 0, потому что они взаимно ортогональны)

Пример:

Если a = 3i + 2j + 5k и b = 2i — 6j + 4k, то найдите a.б

Решение:

По объекту № 8,

а.б = 3 * 2 + 2 * -6 + 5 * 4 = 6-12 + 20 = 14.

Вам также нужна помощь с французским? Взгляните на наши услуги репетиторства французского языка.

SchoolTutoring Academy — ведущая компания по оказанию образовательных услуг для школьников и школьников. Мы предлагаем учебные программы для учащихся K-12, AP и колледжей. Чтобы узнать больше о том, как мы помогаем родителям и ученикам в Parlier, посетите: Tutoring in Parlier.

Диапазон точечного произведения двух единичных векторов

Диапазон точечного произведения двух единичных векторов

Как вы думаете, что происходит, когда векторы имеют противоположные направления, например (1, 0) T и (-1, 0) T ?

Ответ:

Величина скалярного произведения отрицательна.


Вот выборка b u и скалярное произведение с a u = (1.0, 0) T для разных углов.

Угол b Результат Изображение
000 ° (1.000, 0.000) T 1.000
015 ° (0.966, 0.259271) T 0,966
030 ° (0,866, 0,500) T 0,866
045 ° (0.707, 0,707) T 0,707
060 ° (0,500, 0,866) T 0,500
075 ° (0,259, 0,966) T 0,259
090 ° (0,000, 1.000) T 0,000
105 ° (-0,500, 0,866) T -0.259
120 ° (-0,500, 0,866) T -0,500
135 ° (-0,707, 0,707) T -0,707
150 ° (-0,866, 0,500) T -0,866
165 ° (-0,966, 0,259) T -0,966
180 ° (-1.000, 0,000) Т -1,000

b u в каждом случае представляет собой единичный вектор, представленный к (cos θ, sin θ) T .


ВОПРОС 6:

Как вы представляете себе диапазон значений скалярного произведения двух единичных векторов, a u · b u ?

Перекрестное произведение | Суперпроф

Векторов можно умножать друг на друга, но это не так просто, как вы думаете.Есть два типа умножения векторов. Одно — это скалярное произведение, которое также известно как скалярное произведение, а другое — перекрестное произведение. Перекрестное произведение двух векторов является еще одним перпендикулярным вектором к этим двум векторам. Направление результирующего вектора можно определить по правилу правой руки. Большой палец (u) и указательный палец (v), удерживаемые перпендикулярно друг другу, представляют векторы, а средний палец, удерживаемый перпендикулярно указательному, и большой палец, указывает направление поперечного вектора.

Есть некоторые моменты, о которых нужно помнить при использовании кросс-произведения. Во-первых,

— это вектор, а во-вторых, если оба вектора (и) параллельны или в противоположном направлении. Однако, если оба вектора перпендикулярны, то будет равно произведению их величин. Все это происходит из-за отношения, потому что это произведение величин обоих векторов и

Перекрестное произведение может быть выражено определителем:

Вычислить перекрестное произведение векторов

и.

Найдите векторное произведение векторов

и и убедитесь, что результирующий вектор ортогонален и.

Перекрестное произведение

ортогонально векторам и.

Найдите различных репетиторов математики рядом со мной на Superprof.

Площадь параллелограмма

Геометрически величина векторного произведения двух векторов совпадает с площадью параллелограмма, стороны которого образованы этими векторами.Все мы знаем, что площадь параллелограмма равна

. Давайте решим для h:

Подставим значение h в область уравнения параллелограмма:

Лучшие репетиторы по математике

4.9 (29 отзывов)

Intasar

/ час

1 st урок бесплатно!

4.9 (16 отзывов)

Паоло

£ 28

/ час

1 st урок бесплатно!

5 (17 отзывов)

Matthew

£ 27

/ час

1 st урок бесплатно!

5 (14 отзывов)

Jamie

£ 25

/ час

1 st урок бесплатно!

4.9 (7 отзывов)

Dr. Kritaphat

£ 49

/ час

1 st урок бесплатно!

5 (16 отзывов)

Farooq

£ 40

/ час

1 st урок бесплатно!

4.9 (9 отзывов)

Petar

£ 30

/ час

1 st урок бесплатно!

5 (5 отзывов)

Дороти

£ 40

/ час

1 st урок бесплатно!

4.9 (29 отзывов)

Intasar

£ 40

/ час

1 st урок бесплатно!

4.9 (16 отзывов)

Паоло

£ 28

/ час

1 st урок бесплатно!

5 (17 отзывов)

Matthew

£ 27

/ час

1 st урок бесплатно!

5 (14 отзывов)

Jamie

£ 25

/ час

1 st урок бесплатно!

4.9 (7 отзывов)

Dr. Kritaphat

£ 49

/ час

1 st урок бесплатно!

5 (16 отзывов)

Farooq

£ 40

/ час

1 st урок бесплатно!

4.9 (9 отзывов)

Петар

£ 30

/ час

1 st урок бесплатно!

5 (5 отзывов)

Дороти

£ 40

/ час

1 st урок бесплатно!

Поехали

Пример

Найдите площадь параллелограмма, образованного векторами

и

Площадь треугольника

Есть много способов найти площадь треугольника, а найти площадь с помощью векторов? Это тоже возможно.Чтобы понять это, вам необходимо ознакомиться с законом

.

Поскольку мы знаем, что

, отсюда:

Пример

Определите площадь треугольника, вершинами которого являются точки

и.

Общие свойства продуктов

1. Антикоммутативность.

2.Совместим со скалярным умножением.

3. Распределительное сверх сложения.

4. Произведение двух параллельных векторов равно нулевому вектору.

5. Произведение

перпендикулярно и.

2.4 Произведения векторов — University Physics Volume 1

Вектор можно умножить на другой вектор, но нельзя разделить на другой вектор. Есть два вида произведений векторов, широко используемых в физике и технике.Один из видов умножения — это скалярное умножение двух векторов . В результате скалярного произведения двух векторов получается число (скаляр), как указывает его название. Скалярные произведения используются для определения отношений между работой и энергией. Например, работа, которую сила (вектор) выполняет с объектом, вызывая его смещение (вектор), определяется как скалярное произведение вектора силы на вектор смещения. Совсем другой вид умножения — это векторное умножение векторов .Получение векторного произведения двух векторов возвращает в результате вектор, как следует из его названия. Векторные произведения используются для определения других производных векторных величин. Например, при описании вращений векторная величина, называемая крутящим моментом , определяется как векторное произведение приложенной силы (вектора) и ее расстояния от точки поворота до силы (вектор). Важно различать эти два вида векторных умножений, потому что скалярное произведение — это скалярная величина, а векторное произведение — это векторная величина.

Скалярное произведение двух векторов (скалярное произведение)

Скалярное умножение двух векторов дает скалярное произведение.

Скалярное произведение (скалярное произведение)

Скалярное произведение

из двух векторов

и

— это число, определяемое уравнением

где

— угол между векторами (показан на (Рисунок)).Скалярное произведение также называется скалярным произведением из-за точечной записи, которая его обозначает.

В определении скалярного произведения направление угла

значения не имеет, а

можно измерить от одного из двух векторов к другому, потому что

. Скалярное произведение — отрицательное число, когда

и положительное число, когда

.Кроме того, скалярное произведение двух параллельных векторов равно

.

, а скалярное произведение двух антипараллельных векторов равно

. Скалярное произведение двух ортогональных векторов обращается в нуль:

. Скалярное произведение вектора на себя — это квадрат его величины:

.

Рисунок 2.27 Скалярное произведение двух векторов. (а) Угол между двумя векторами. (б) Ортогональная проекция

вектора

в направлении вектора

.(c) Ортогональная проекция

вектора

в направлении вектора

.

Пример

Скалярное произведение

Для векторов, показанных на (Рисунок), найдите скалярное произведение

.

Стратегия

Из (Рисунок), величины векторов

и

— это A = 10.0 и F = 20.0. Уголок

, между ними разница:

. Подстановка этих значений в (рисунок) дает скалярное произведение.

Решение

[показать-ответ q = ”447394 ″] Показать ответ [/ раскрыть-ответ]
[скрытый-ответ a =” 447394 ″] Простое вычисление дает нам

[/ hidden-answer]

Проверьте свое понимание

Для векторов, представленных на (Рисунок), найти скалярные произведения

и

.

[показывать-ответ q = ”fs-id1167131172251 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1167131172251 ″]

,

[/ hidden-answer]

В декартовой системе координат скалярные произведения единичного вектора оси на другие единичные векторы осей всегда обращаются в нуль, потому что эти единичные векторы ортогональны:

В этих уравнениях мы используем тот факт, что величины всех единичных векторов равны единице:

.Для единичных векторов осей (рисунок) дает следующие тождества:

Скалярное произведение

также можно интерпретировать как произведение B с ортогональной проекцией

вектора

в направлении вектора

((Рисунок) (b)) или произведение A с ортогональной проекцией

вектора

в направлении вектора

((Рисунок) (c)):

Например, в прямоугольной системе координат на плоскости скалярная компонента вектора размером x является его скалярным произведением с единичным вектором

, а скалярная y -компонента вектора является его скалярным произведением с единичным вектором

:

Скалярное умножение векторов коммутативно,

и подчиняется закону о распределении доходов:

Мы можем использовать законы коммутативности и распределения для вывода различных соотношений для векторов, таких как выражение скалярного произведения двух векторов через их скалярные компоненты.

Проверьте свое понимание

Для вектора

в прямоугольной системе координат, используйте (Рисунок) — (Рисунок), чтобы показать, что

и

.

Когда векторы на (Рисунок) даны в форме их векторных компонентов,

, мы можем вычислить их скалярное произведение следующим образом:

Поскольку скалярные произведения двух различных единичных векторов осей дают ноль, а скалярные произведения единичных векторов сами на себя дают единицу (см. (Рисунок) и (рисунок)), в этом выражении есть только три ненулевых члена.Таким образом, скалярное произведение упрощается до

.

Мы можем использовать (рисунок) для скалярного произведения в терминах скалярных компонентов векторов, чтобы найти угол между двумя векторами . Когда мы разделим (рисунок) на AB , мы получим уравнение для

, в которое подставляем (рисунок):

Уголок

между векторами

и

получается путем взятия обратного косинуса выражения в (рисунок).

Пример

Угол между двумя силами

Три собаки тянут палку в разные стороны, как показано на (Рисунок). Первая собака тянет с силой

, вторая собака тянет с силой

, а третья собака тянет с силой

. Какой угол между силами

и

?

Рисунок 2.28 Три собаки играют с палкой.
Стратегия

Составляющие вектора силы

это

,

и

, а вектор силы

это

,

и

. Вычисление скалярного произведения этих векторов и их величин и подстановка в (рисунок) дает интересующий угол.

Решение

[Показать-ответ q = ”653304 ″] Показать ответ [/ Показать-ответ]
[hidden-answer a =” 653304 ″] Величины сил

и

это

и

Подстановка скалярных компонентов в (рисунок) дает скалярное произведение

Наконец, подставив все в (рисунок), получаем угол

[/ hidden-answer]

Значение

Обратите внимание, что когда векторы задаются в терминах единичных векторов осей, мы можем найти угол между ними, не зная специфики географических направлений, которые представляют единичные векторы.Здесь, например, направление + x может быть на восток, а направление + y может быть на север. Но угол между силами в задаче будет таким же, если направление + x направлено на запад, а направление + y — на юг.

Проверьте свое понимание

Найдите угол между силами

и

в (рисунок).

[показывать-ответ q = ”fs-id1167131496552 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1167131496552 ″]

[/ hidden-answer]

Пример

Работа силы

Когда сила

тянет за объект и вызывает его перемещение

, мы говорим, что сила выполняет работу.Количество работы, совершаемой силой, — это скалярное произведение

.

. Если палка на (Рис.) На мгновение сдвинется и смещается вектором

, сколько работы выполняет третья собака на (рис.)?

Стратегия

Вычисляем скалярное произведение вектора смещения

с вектором силы

, то есть тяга третьей собаки. Давайте использовать

для обозначения работы, выполненной силой

водоизмещением

.

Решение

[show-answer q = ”560347 ″] Показать ответ [/ show-answer]
[hidden-answer a =” 560347 ″] Расчет работы представляет собой прямое применение скалярного произведения:

[/ hidden-answer]

Значение

Единица работы в системе СИ называется джоуль

.

, где 1 Дж = 1

. Агрегат

можно записать как

, поэтому ответ можно выразить как

.

Проверьте свое понимание

Сколько работы выполняет первая собака и вторая собака на (Рис.) Над смещением на (Рис.)?

[показывать-ответ q = ”fs-id1167130006416 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1167130006416 ″]

,

[/ hidden-answer]

Векторное произведение двух векторов (перекрестное произведение)

Векторное умножение двух векторов дает векторное произведение.

Векторное произведение (перекрестное произведение)

Векторное произведение двух векторов

и

обозначается

и часто упоминается как перекрестное произведение . Векторное произведение — это вектор, направление которого перпендикулярно обоим векторам

и

. Другими словами, вектор

перпендикулярно плоскости, содержащей векторы

и

, как показано на (Рисунок).Величина векторного произведения определяется как

.

где угол

, между двумя векторами, отсчитывается от вектора

.

(первый вектор в произведении) в вектор

(второй вектор в произведении), как показано на (Рисунок), и находится между

и

.

Согласно (Рисунок), векторное произведение обращается в нуль для пар векторов, которые либо параллельны

или антипараллельный

потому что

.

Рис. 2.29 Векторное произведение двух векторов нарисовано в трехмерном пространстве. (а) Векторное произведение

— вектор, перпендикулярный плоскости, содержащий векторы

.

и

. Маленькие квадраты, нарисованные в перспективе, обозначают прямые углы между

.

и

и между

и

так что если

и

лежать на полу, вектор

указывает вертикально вверх к потолку.(б) Векторное произведение

— вектор антипараллельный вектору

.

На прямой, перпендикулярной плоскости, содержащей векторы

и

есть два альтернативных направления — вверх или вниз, как показано на (Рисунок), — и направление векторного произведения может быть одним из них. В стандартной правой ориентации, когда угол между векторами отсчитывается против часовой стрелки от первого вектора, вектор

указывает на вверх на , как показано на (Рисунок) (а).Если мы изменим порядок умножения на обратную, так что теперь

Сначала в произведении идет

, затем вектор

должен указывать на вниз на , как показано на (Рисунок) (b). Это означает, что векторы

и

— это антипараллельно друг другу, и это векторное умножение не коммутативно , а антикоммутативно . Антикоммутативное свойство означает, что векторное произведение меняет знак при обратном порядке умножения:

Правый штопор Правило — это обычная мнемоника, используемая для определения направления векторного произведения.Как показано на (Рисунок), штопор помещается в направлении, перпендикулярном плоскости, содержащей векторы

.

и

, а его ручка повернута в направлении от первого вектора ко второму в произведении. Направление поперечного произведения задается движением штопора.

Рисунок 2.30 Правило «штопор» может использоваться для определения направления поперечного произведения.

.Установите штопор в направлении, перпендикулярном плоскости, содержащей векторы

.

и

, и поверните его в направлении от первого вектора ко второму в произведении. Направление поперечного произведения задается движением штопора. (а) Движение вверх означает, что вектор перекрестного произведения направлен вверх. (b) Движение вниз означает, что вектор перекрестного произведения направлен вниз.

Пример

Момент силы

Механическое преимущество, которое дает знакомый инструмент под названием гаечный ключ ((Рисунок)), зависит от величины приложенного усилия F , его направления по отношению к рукоятке гаечного ключа и от того, насколько далеко от гайки это усилие. применяемый.Расстояние R от гайки до точки, где вектор силы

прикреплен и представлен радиальным вектором

. Физическая векторная величина, которая заставляет гайку поворачиваться, называется крутящий момент (обозначается

.

, и это векторное произведение расстояния между осью поворота на силу и силу:

.

Чтобы ослабить ржавую гайку, 20.К рукоятке гаечного ключа приложено усилие 00 Н под углом

и на расстоянии 0,25 м от гайки, как показано на (Рисунок) (а). Найдите величину и направление крутящего момента, прилагаемого к гайке. Каковы были бы величина и направление крутящего момента, если бы сила была приложена под углом

?

, как показано на (Рисунок) (b)? На какое значение угла

крутящий момент имеет наибольшую величину?

Рисунок 2.31 Гаечный ключ обеспечивает сцепление и механическое преимущество при приложении крутящего момента для поворота гайки. (a) Поверните против часовой стрелки, чтобы ослабить гайку. (b) Поверните по часовой стрелке, чтобы затянуть гайку.
Стратегия

Мы принимаем систему отсчета, показанную на (Рисунок), где векторы

и

лежит в плоскости xy , а начало координат находится в положении гайки. Радиальное направление по вектору

(указывает от начала координат) — это исходное направление для измерения угла

потому что

— это первый вектор в векторном произведении

.Вектор

должен лежать вдоль оси z , потому что это ось, перпендикулярная плоскости xy , где оба

и

ложь. Чтобы вычислить величину

, используем (рисунок). Найти направление

, мы используем правило правой руки штопора ((Рисунок)).

Решение

[раскрыть-ответ q = ”

3 ″] Показать ответ [/ раскрыть-ответ]
[скрытый-ответ a =”

3 ″] Для ситуации в (а) правило штопора дает направление

в положительном направлении оси z.Физически это означает вектор крутящего момента

указывает на страницу перпендикулярно рукоятке гаечного ключа. Мы определяем F = 20,00 N и R = 0,25 м и вычисляем величину, используя (Рисунок):

Для ситуации в (b) правило штопора дает направление

в отрицательном направлении оси z. Физически это означает вектор

указывает на страницу перпендикулярно рукоятке гаечного ключа.Величина этого крутящего момента

Крутящий момент имеет наибольшее значение, когда

, что происходит, когда

. Физически это означает, что гаечный ключ наиболее эффективен — что дает нам лучшее механическое преимущество — когда мы прикладываем силу перпендикулярно рукоятке гаечного ключа. Для ситуации в этом примере это значение наилучшего крутящего момента составляет

.

. [/ Hidden-answer]

Значение

При решении задач механики нам часто вообще не нужно использовать правило штопора, как мы сейчас увидим в следующем эквивалентном решении.Обратите внимание: как только мы определили этот вектор

лежит вдоль оси z , мы можем записать этот вектор через единичный вектор

из z — ось:

В этом уравнении число, умножающее

— скалярная z -компонента вектора

. При вычислении этого компонента следует учитывать, что угол

измеряется против часовой стрелки от

От

(первый вектор) до

(второй вектор).Следуя этому принципу для углов, получаем

для ситуации в (а), и мы получаем

для ситуации в (б). В последнем случае угол отрицательный, потому что график на (Рисунок) показывает, что угол измеряется по часовой стрелке; но тот же результат получается, когда этот угол измеряется против часовой стрелки, потому что

и

. Таким образом, мы получаем решение без привязки к правилу штопора.Для ситуации в (а) решение

; для ситуации в (б) решение

.

Проверьте свое понимание

Для векторов, представленных на (Рисунок), найти векторные произведения

и

.

[показывать-ответ q = ”fs-id1167131635182 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1167131635182 ″]

или, что эквивалентно,

, направление — на страницу;

или, что эквивалентно,

, а направление — вне страницы.
[/ hidden-answer]

Подобно скалярному произведению ((Рисунок)), перекрестное произведение имеет следующее свойство распределения:

Свойство распределения часто применяется, когда векторы выражаются в их составных формах в терминах единичных векторов декартовых осей.

Когда мы применяем определение векторного произведения (рисунок) к единичным векторам

,

и

, которые определяют положительные направления x -, y — и z — в пространстве, мы находим, что

Все остальные перекрестные произведения этих трех единичных векторов должны быть векторами единичной величины, потому что

,

и

ортогональны.Например, для пары

и

, величина

.

. Направление векторного произведения

должен быть ортогонален плоскости xy , что означает, что он должен располагаться вдоль оси z . Единственные единичные векторы вдоль оси z

.

или

. По правилу штопора направление вектора

должен быть параллелен положительной оси z .Следовательно, результат умножения

идентичен

. Мы можем повторить аналогичные рассуждения для остальных пар единичных векторов. Результатом умножения будет

.

Обратите внимание, что на (Рисунок) три единичных вектора

,

и

появляются в циклическом порядке , показанном на диаграмме (Рисунок) (а).Циклический порядок означает, что в формуле продукта

следует за

и предшествует

или

следует за

и предшествует

или

следует за

и предшествует

. Перекрестное произведение двух разных единичных векторов всегда является третьим единичным вектором.Когда два единичных вектора в перекрестном произведении появляются в циклическом порядке, результатом такого умножения является оставшийся единичный вектор, как показано на (Рисунок) (b). Когда единичные векторы в перекрестном произведении появляются в другом порядке, результатом является единичный вектор, антипараллельный оставшемуся единичному вектору (т. Е. Результат со знаком минус, как показано в примерах на (Рисунок) (c). и (Рисунок) (d). На практике, когда задача состоит в том, чтобы найти перекрестные произведения векторов, которые даны в форме компонентов вектора, это правило перекрестного умножения единичных векторов очень полезно.

Рисунок 2.32 (a) Диаграмма циклического порядка единичных векторов осей. (b) Единственные перекрестные произведения, в которых единичные векторы появляются в циклическом порядке. Эти продукты имеют положительный знак. (c, d) Два примера перекрестных произведений, где единичные векторы не появляются в циклическом порядке. Эти продукты имеют отрицательный знак.

Предположим, мы хотим найти перекрестное произведение

для векторов

и

.Мы можем использовать свойство распределенности ((Рисунок)), антикоммутативное свойство ((Рисунок)) и результаты (Рисунок) и (Рисунок) для единичных векторов, чтобы выполнить следующую алгебру:

При выполнении алгебраических операций с перекрестным произведением будьте очень осторожны с соблюдением правильного порядка умножения, потому что перекрестное произведение антикоммутативно. Последние два шага, которые нам еще предстоит сделать для выполнения нашей задачи, — это, во-первых, группировка терминов, содержащих общий единичный вектор, и, во-вторых, разложение на множители.Таким образом, мы получаем следующее очень полезное выражение для вычисления перекрестного произведения:

В этом выражении скалярные компоненты вектора перекрестного произведения равны

На практике при нахождении перекрестного произведения мы можем использовать либо (рисунок), либо (рисунок), в зависимости от того, какое из них кажется менее сложным в вычислительном отношении. Оба они приводят к одному и тому же конечному результату. Один из способов убедиться, что окончательный результат верен, — использовать их оба.

Пример

Частица в магнитном поле

При движении в магнитном поле некоторые частицы могут испытывать магнитную силу. Не вдаваясь в подробности — подробное изучение магнитных явлений будет сделано в следующих главах — давайте признаем, что магнитное поле

— вектор, магнитная сила

— вектор, а скорость

частицы — это вектор. Вектор магнитной силы пропорционален векторному произведению вектора скорости на вектор магнитного поля, которое мы выражаем как

.

.В этом уравнении постоянная

заботится о согласованности физических единиц, поэтому мы можем опускать физические единицы на векторах

.

и

. В этом примере предположим, что постоянная

положительный.

Частица, движущаяся в пространстве с вектором скорости

входит в область с магнитным полем и испытывает магнитную силу. Найдите магнитную силу

на этой частице в точке входа в область, где вектор магнитного поля равен (а)

и (б)

.В каждом случае найдите магнитуду F магнитной силы и угол

.

вектор силы

составляет с заданным вектором магнитного поля

.

Стратегия

Сначала мы хотим найти векторное произведение

, потому что тогда мы можем определить магнитную силу, используя

. Магнитуда F может быть найдена либо с помощью компонентов,

.

, или вычислив величину

напрямую с помощью (рисунок).В последнем подходе нам нужно было бы найти угол между векторами

и

. Когда у нас будет

, общий метод определения угла направления

включает вычисление скалярного произведения

и подставив в (рисунок). Для вычисления векторного произведения мы можем либо использовать (рисунок), либо вычислить произведение напрямую, в зависимости от того, что будет проще.

Решение

[показать-ответ q = ”230259 ″] Показать ответ [/ раскрыть-ответ]
[скрытый-ответ a =” 230259 ″] Компоненты вектора скорости:

,

и

.
(а) Компоненты вектора магнитного поля равны

,

и

. Подставляя их в (рисунок), получаем скалярные компоненты вектора

.

:

Таким образом, магнитная сила равна

.

, а его величина —

.

Для вычисления угла

, нам может потребоваться найти величину вектора магнитного поля,

и скалярное произведение

:

Теперь подстановка в (Рисунок) дает угол

:

Следовательно, вектор магнитной силы перпендикулярен вектору магнитного поля.(Мы могли бы сэкономить время, если бы вычислили скалярное произведение раньше.)

(б) Поскольку вектор

имеет только один компонент, мы можем быстро выполнить алгебру и найти векторное произведение напрямую:

Величина магнитной силы

Поскольку скалярное произведение равно

вектор магнитной силы

перпендикулярно вектору магнитного поля

.[/ hidden-answer]

Значение

Даже без фактического вычисления скалярного произведения мы можем предсказать, что вектор магнитной силы всегда должен быть перпендикулярен вектору магнитного поля из-за способа построения этого вектора. А именно вектор магнитной силы — это векторное произведение

и по определению векторного произведения (см. (Рисунок)) вектор

должно быть перпендикулярно обоим векторам

и

.

Проверьте свое понимание

Даны два вектора

и

, найти (а)

, (б)

, (в) угол между

и

, и (d) угол между

и вектор

.

[show-answer q = ”fs-id1167134946260 ″] Показать решение [/ show-answer]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1167134946260 ″]

а.

, г. 2, в.

, г.

[/ hidden-answer]

В заключение этого раздела мы хотим подчеркнуть, что «скалярное произведение» и «перекрестное произведение» — это совершенно разные математические объекты, которые имеют разное значение. Скалярное произведение — это скаляр; перекрестное произведение — это вектор. В последующих главах термины скалярное произведение и скалярное произведение используются как взаимозаменяемые. Точно так же термины перекрестное произведение и векторное произведение используются взаимозаменяемо.

Векторов

Введение

Векторы имеют величину и направление и используются для представления физических величин, таких как сила, положение, скорость и ускорение. Обычно они записываются в компонентной форме как \ [ {\ bf a} = (3, 7, 2) \] Если 3, 7 и 2 представляют компоненты x, y и z (или даже компоненты r, \ (\ theta \) и z) некоторой силы, скорости, ускорения и т. д., то они составляют вектор. Если они вместо этого представляют количество людей, которые завтракали, обедали, и ужинаем с тобой, то они не вектор.Вы уловили идею.

Ключевой вопрос, который задают вектору: «Соответствует ли он обычным правилам преобразования системы координат векторов? »Как и ожидалось, силы, ускорения и т. д. делают. Количество людей прием пищи с вами — нет. Преобразования координат подробно обсуждаются здесь.

Где вектор?

Содержит ли вектор информацию о своем местонахождении? В общем нет. В векторе силы, таком как \ ((3, 8, 5) \), 3, 8 и 5 дают составляющая силы в каждом направлении, но ничего о ее положении.2_3}} \]

Пример единичного вектора

Если \ ({\ bf a} = (3, 7, 2) \), то

\ [ {\ bf u} = \ left ({3 \ over \ sqrt {62}}, {7 \ over \ sqrt {62}}, {2 \ over \ sqrt {62}} \ right) \]


Сложение векторов

Векторы добавляют компонент за компонентом.

\ [ (1, 3, 2) + (4, 1, 7) = (1 + 4, 3 + 1, 2 + 7) = (5, 4, 9) \]
Сложение вектора можно записать как

\ [ {\ bf c} = {\ bf a} + {\ bf b} \ quad \ quad \ quad \ text {или} \ quad \ quad \ quad c_i = a_i + b_i \]
Первая форма — это векторная или матричная запись, где нескаляры написаны жирным шрифтом.Вторая форма имеет много названий: индекс, указатель, тензор и нотация Эйнштейна.

Системы координат

Каким бы простым ни было сложение векторов, оно основывается на одном ключевом правиле, которое часто принимается как должное. Дело в том, что оба вектора должны находиться в одной системе координат. На самом деле это верно для всех векторные и тензорные операции.

Точечные продукты

Скалярное произведение двух векторов — это скаляр, значение которого равно

\ [ {\ bf a} \ cdot {\ bf b} = | {\ bf a} | \, | {\ bf b} | \ cos \ theta \]
где \ (\ theta \) — угол между двумя векторами.Применение этого к компонентам вектора дает

\ [ \ begin {eqnarray} {\ bf a} \ cdot {\ bf b} & = & (a_x {\ bf i} + a_y {\ bf j} + a_z {\ bf k}) \ cdot (b_x {\ bf i} + b_y {\ bf j} + b_z {\ bf k}) \\ \\ знак равно \ matrix { a_x b_x ({\ bf i} \ cdot {\ bf i}) & + & a_x b_y ({\ bf i} \ cdot {\ bf j}) & + & a_x b_z ({\ bf i} \ cdot {\ bf k}) & + \\ a_y b_x ({\ bf j} \ cdot {\ bf i}) & + & a_y b_y ({\ bf j} \ cdot {\ bf j}) & + & a_y b_z ({\ bf j} \ cdot {\ bf k}) & + \\ a_z b_x ({\ bf k} \ cdot {\ bf i}) & + & a_z b_y ({\ bf k} \ cdot {\ bf j}) & + & a_z b_z ({\ bf k} \ cdot {\ bf k}) } \\ \ end {eqnarray} \]
, но \ ({\ bf i} \ cdot {\ bf i} = {\ bf j} \ cdot {\ bf j} = {\ bf k} \ cdot {\ bf k} = 1 \) и \ ({\ bf i} \ cdot {\ bf j} = {\ bf j} \ cdot {\ bf k} = {\ bf k} \ cdot {\ bf i} = 0 \), оставляя только

\ [ {\ bf a} \ cdot {\ bf b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z \]
Таким образом, скалярное произведение

\ [ {\ bf a} \ cdot {\ bf b} = | {\ bf a} | \, | {\ bf b} | \ cos \ theta = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z \]

Пример скалярного продукта

Если \ ({\ bf a} = (3, 7, 2) \) и \ ({\ bf b} = (1, 2, 3) \), то

\ [ {\ bf a} \ cdot {\ bf b} = 3 * 1 + 7 * 2 + 2 * 3 = 23 \]
и поскольку \ (| {\ bf a} | = 7.874 \) и \ (| {\ bf b} | = 3.742 \), то \ (\ theta \) можно решить для чтобы найти, что угол между векторами равен 38,7 °.

Точечные произведения и единичные векторы

Чтобы найти длину \ ({\ bf a} \) в направлении \ ({\ bf b} \), вычислите \ ({\ bf a} \ cdot {\ bf u_b} \), где \ ({\ bf u_b} \) — единичный вектор в направление \ ({\ bf b} \). Чтобы найти длину \ ({\ bf b} \) в направлении \ ({\ bf a} \), вычислите \ ({\ bf b} \ cdot {\ bf u_a} \), где \ ({\ bf u_a} \) — единичный вектор в направление \ ({\ bf a} \).

Это работает, потому что длина \ ({\ bf b} \) вдоль направления \ ({\ bf a} \) задается формулой \ (| {\ bf b} | \ cos \ theta \), где \ (\ theta \) — угол между два вектора. Но это то же самое, что \ (| {\ bf u_a} | | {\ bf b} | \ cos \ theta \), поскольку \ (| {\ bf u_a} | = 1 \). Таким образом, это то же самое, что и \ ({\ bf u_a} \ cdot {\ bf b} \).

Тензорная запись

Точечный продукт записывается в тензорная запись просто как \ (a_i b_i \). Подразумевается суммирование от 1 до 3. потому что нижний индекс (\ (i \) в данном случае) появляется дважды (на \ (a \) и \ (b \)).Другими словами: \ [ a_i b_i \ эквив a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \]

Приложения

Точечные произведения особенно полезны при расчете работы, выполняемой силами.

\ [ W = \ int {\ bf F} \ cdot d {\ bf x} \]
И да, W может быть отрицательной величиной. Если вы находитесь в перетягивании каната а ваш \ (\ int {\ bf F} \ cdot d {\ bf x} \) отрицательный, то вы проигрываете.

Знак точечного произведения

Знак скалярного произведения — очень полезный параметр для определения взаимная ориентация двух векторов.Если скалярное произведение равно нулю, то векторы перпендикулярны друг другу.

Если скалярное произведение отрицательное, тогда угол между векторами больше 90 °. Если два вектора оказываются силами, то отрицательное скалярное произведение означает, что силы до некоторой степени компенсируя друг друга, потому что угол между ними больше 90 °.

Если скалярное произведение положительно, то угол между векторами меньше 90 °, и оба вносят свой вклад конструктивно в заданном направлении.


Перекрестные продукты

Перекрестные произведения в первую очередь связаны с вращениями, хотя геометрические приложения тоже существуют. Перекрестное произведение двух векторов — это новый вектор, перпендикулярный обоим входам. Перекрестное произведение двух векторов равно

\ [ \ begin {eqnarray} {\ bf a} \ times {\ bf b} & = & (a_x {\ bf i} + a_y {\ bf j} + a_z {\ bf k}) \ times (b_x {\ bf i} + b_y {\ bf j} + b_z {\ bf k}) \\ \\ знак равно \ matrix { a_x b_x ({\ bf i} \ times {\ bf i}) & + & a_x b_y ({\ bf i} \ times {\ bf j}) & + & a_x b_z ({\ bf i} \ times {\ bf k}) & + \\ a_y b_x ({\ bf j} \ times {\ bf i}) & + & a_y b_y ({\ bf j} \ times {\ bf j}) & + & a_y b_z ({\ bf j} \ times {\ bf k}) & + \\ a_z b_x ({\ bf k} \ times {\ bf i}) & + & a_z b_y ({\ bf k} \ times {\ bf j}) & + & a_z b_z ({\ bf k} \ times {\ bf k}) } \\ \ end {eqnarray} \]
, но \ ({\ bf i} \ times {\ bf j} = {\ bf k} \) и \ ({\ bf j} \ times {\ bf k} = {\ bf i} \) и т. Д., А \ ({\ bf i} \ times {\ bf i} = {\ bf j} \ times {\ bf j} = {\ bf k} \ times {\ bf k} = 0 \), оставляя

\ [ {\ bf a} \ times {\ bf b} = (a_y b_z — a_z b_y) {\ bf i} + (a_z b_x — a_x b_z) {\ bf j} + (a_x b_y — a_y b_x) {\ bf k} \]
Результат удобно записать в виде определителя следующим образом

\ [ {\ bf a} \ times {\ bf b} = \ left | \ matrix { {\ bf i \;} & {\ bf j \;} & {\ bf k \;} \\ a_x и a_y и a_z \\ b_x & b_y & b_z } \ право | = (a_y b_z — a_z b_y) {\ bf i} + (a_z b_x — a_x b_z) {\ bf j} + (a_x b_y — a_y b_x) {\ bf k} \]
Величина перекрестного произведения связана с синусом угла между двумя входами.

\ [ | {\ bf a} \ times {\ bf b} | = | {\ bf a} | \, | {\ bf b} | \ грех \ тета \]

Тензорная запись

Перекрестное произведение записывается в тензорной записи с использованием переменный тензор (также называемый тензор перестановок ), \ (\ epsilon_ {ijk} \), следующим образом

\ [ c_i = \ epsilon_ {ijk} a_j b_k \]
где \ (\ epsilon_ {123} = \ epsilon_ {231} = \ epsilon_ {312} = 1 \), а \ (\ epsilon_ {321} = \ epsilon_ {213} = \ epsilon_ {132} = -1 \), а все остальные комбинации равны нулю.Суммирование \ (j \) и \ (k \) индексы от 1 до 3 подразумеваются, потому что они повторяются как индексы в приведенном выше уравнении. Другими словами, это сокращение от

\ [ \ matrix { c_i \; знак равно \ epsilon_ {ijk} a_j b_k & = & \ epsilon_ {i11} a_1 b_1 & + & \ epsilon_ {i12} a_1 b_2 & + & \ epsilon_ {i13} a_1 b_3 & + & \\ & & \ epsilon_ {i21} a_2 b_1 & + & \ epsilon_ {i22} a_2 b_2 & + & \ epsilon_ {i23} a_2 b_3 & + & \\ & & \ epsilon_ {i31} a_3 b_1 & + & \ epsilon_ {i32} a_3 b_2 & + & \ epsilon_ {i33} a_3 b_3 } \]
Уравнение остается общим до тех пор, пока не будет выбран конкретный компонент для оценки \ (i \).

Перекрестные произведения с использованием тензорной нотации

Установите \ (i = 3 \), чтобы получить компонент перекрестного произведения z th .

\ [ \ matrix { c_3 \; знак равно \ epsilon_ {3jk} a_j b_k & = & \ epsilon_ {311} a_1 b_1 & + & \ epsilon_ {312} a_1 b_2 & + & \ epsilon_ {313} a_1 b_3 & + & \\ & & \ epsilon_ {321} a_2 b_1 & + & \ epsilon_ {322} a_2 b_2 & + & \ epsilon_ {323} a_2 b_3 & + & \\ & & \ epsilon_ {331} a_3 b_1 & + & \ epsilon_ {332} a_3 b_2 & + & \ epsilon_ {333} a_3 b_3 } \]
Все индексы теперь указаны, и это позволяет оценивать все переменные компоненты тензора.Все они будут равны нулю, кроме двух. Это оставляет

\ [ c_3 \; знак равно \ epsilon_ {3jk} a_j b_k \; знак равно a_1 b_2 — a_2 b_1 \]
, что согласуется с определяющим результатом (как и должно быть). Результаты для компонентов x th и y th получаются установкой \ (i \) равным 1 и 2 соответственно.

Приложения

Перекрестные произведения находят применение в областях расчета моментов, вращений и площадей. Момент \ ({\ bf M} \) силы равен \ ({\ bf r} \ times {\ bf F} \).Это записано в тензоре обозначение как

\ [ M_i = \ epsilon_ {ijk} r_j F_k \]

Аналогично, скорость \ ({\ bf v} \) точки, обусловленная угловой скоростью вращения, \ ({\ bf \ omega} \), это \ ({\ bf \ omega} \ times {\ bf r} \). В тензорных обозначениях это

\ [ v_i = \ epsilon_ {ijk} \ omega_j r_k \]
И, наконец, площадь треугольника, ограниченного с двух сторон векторами \ ({\ bf a} \) и \ ({\ bf b} \), равна

\ [ Площадь = {1 \ более 2} | \; {\ bf a} \ times {\ bf b} | \]
В тензорной записи, это записывается в два этапа как

\ [ c_i = \ epsilon_ {ijk} a_j b_k \ quad \ quad \ quad \ text {и} \ quad \ quad \ quad Площадь = {1 \ более 2} \ sqrt {c_i c_i} \]
или в одном уравнении как

\ [ Площадь = {1 \ более 2} \ sqrt {\ epsilon_ {ijk} a_j b_k \ epsilon_ {imn} a_m b_n} \]

Порядок множителей в тензорной записи

Тензорная запись позволяет повысить гибкость порядка, в котором факторы записываются, чем разрешено в векторной записи.Например, \ ({\ bf a} \ times {\ bf b} \) не равно \ ({\ bf b} \ times {\ bf a} \), хотя они тесно связаны. Наоборот \ (\ epsilon_ {ijk} a_j b_k \) равно \ (\ epsilon_ {ijk} b_k a_j \) равно \ (a_j b_k \ epsilon_ {ijk} \), потому что порядок работы диктуется индексы, а не порядок, в котором написаны коэффициенты. Итак, в приведенном выше обсуждении \ (\ epsilon_ {ijk} a_j b_k \ epsilon_ {imn} a_m b_n \) можно также записать как \ (\ epsilon_ {ijk} \ epsilon_ {imn} a_j b_k a_m b_n \).Это просто вопрос личных предпочтений.

Диадические продукты

Похоже, что диадические продукты возникают только в приложениях продвинутой механики, а именно что такое механика конечной деформации сплошной среды, в конце концов. Диадический продукт двух векторов — это тензор (или матрица если хочешь). Это записано следующим образом

\ [ \ begin {eqnarray} {\ bf a} \ otimes {\ bf b} & = & (a_x {\ bf i} + a_y {\ bf j} + a_z {\ bf k}) \ otimes (b_x {\ bf i} + b_y {\ bf j} + b_z {\ bf k}) \\ \\ \\ знак равно \ matrix { a_x b_x ({\ bf i} \ otimes {\ bf i}) & + & a_x b_y ({\ bf i} \ otimes {\ bf j}) & + & a_x b_z ({\ bf i} \ otimes {\ bf k}) & + \\ a_y b_x ({\ bf j} \ otimes {\ bf i}) & + & a_y b_y ({\ bf j} \ otimes {\ bf j}) & + & a_y b_z ({\ bf j} \ otimes {\ bf k}) & + \\ a_z b_x ({\ bf k} \ otimes {\ bf i}) & + & a_z b_y ({\ bf k} \ otimes {\ bf j}) & + & a_z b_z ({\ bf k} \ otimes {\ bf k}) } \\ \\ \\ знак равно \левый[ \ matrix { a_x b_x & a_x b_y & a_x b_z \\ a_y b_x & a_y b_y & a_y b_z \\ a_z b_x и a_z b_y и a_z b_z } \Правильно] \\ \ end {eqnarray} \]
По сути, диадические произведения, такие как \ (({\ bf i} \ otimes {\ bf i}) \) и \ (({\ bf i} \ otimes {\ bf j}) \) просто диктуют расположение слагаемых в тензоре.Двойной продукт иногда называют внешним продуктом векторов в силу следующих обозначений.

\ [ {\ bf C} \, = \, {\ bf a} \ otimes {\ bf b} \, = \, \ left \ {\! \ matrix {a_x \\ a_y \\ a_z} \! \Правильно\} \ matrix { \ { b_x \ quad b_y \ quad b_z \} \\ \ текст {} \\ \ текст {} \\ } знак равно \левый[ \ matrix { a_x b_x & a_x b_y & a_x b_z \\ a_y b_x & a_y b_y & a_y b_z \\ a_z b_x и a_z b_y и a_z b_z } \Правильно] \]

Тензорная нотация

Тензорная запись диадического произведения не может быть проще.

\ [ c_ {ij} = a_i b_j \]
Диадические продукты будут использоваться при расчете разрешенных касательных напряжений. на странице вектора тяги.

Пример двоичного продукта

Если \ ({\ bf a} = (3, 7, 2) \) и \ ({\ bf b} = (1, 2, 3) \), то

\ [ \ begin {eqnarray} {\ bf a} \ otimes {\ bf b} & = & \левый[ \ matrix { 3 * 1 и 3 * 2 и 3 * 3 \\ 7 * 1 и 7 * 2 и 7 * 3 \\ 2 * 1 и 2 * 2 и 2 * 3 } \Правильно] \\ \\ \\ знак равно \левый[ \ matrix { 3 и 6 и 9 \\ 7 и 14 и 21 \\ 2 и 4 и 6 } \Правильно] \\ \ end {eqnarray} \]


Разное

Эта веб-страница выполняет множество векторных операций.

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *