Справочник по высшей математике

Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. Изд-во «Наука». М. 1977 г. Справочник включает весь материал, входящий в программу основного курса математики высших учебных заведений. Детальная рубрикация и подробный предметный указатель позволяют быстро получать необходимую информацию. Книга окажет неоценимую помощь студентам, инженерам и научным работникам. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ § 1. Понятие о предмете аналитической геометрии § 2. Координаты § 3. Прямоугольная система координат § 4. Прямоугольные координаты § 5. Координатные углы § 6. Косоугольная система координат § 7. Уравнение линии § 8. Взаимное расположение линии и точки § 9. Взаимное расположение двух линий § 10. Расстояние между двумя точками § 11. Деление отрезка в данном отношении § 11а. Деление отрезка пополам § 12. Определитель второго порядка § 13. Площадь треугольника § 14. Прямая линия; уравнение, разрешенное относительно ординаты (с угловым коэффициентом) § 15. Прямая, параллельная оси § 16. Общее уравнение прямой § 17. Построение прямой по ее уравнению § 18. Условие параллельности прямых § 19. Пересечение прямых § 20. Условие перпендикулярности двух прямых § 21. Угол между двумя прямыми § 22. Условие, при котором три точки лежат на одной прямой § 23. Уравнение прямой, проходящей через две точки § 24. Пучок прямых § 25. Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой § 26. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой § 27. Взаимное расположение прямой и пары точек § 28. Расстояние от точки до прямой § 29. Полярные параметры прямой § 30. 2+bx+c § 51. Директрисы эллипса и гиперболы § 52. Общее определение эллипса, гиперболы и параболы § 53. Конические сечения § 54. Диаметры конического сечения § 55. Диаметры эллипса § 56. Диаметры гиперболы § 57. Диаметры параболы § 58. Линии второго порядка § 59. Запись общего уравнения второй степени § 60. Упрощение уравнения второй степени; общие замечания § 61. Предварительное преобразование уравнения второй степени § 62. Завершающее преобразование уравнения второй степени § 63. О приемах, облегчающих упрощение уравнения второй степени § 64. Признак распадения линий второго порядка § 65. Нахождение прямых, составляющих распадающуюся линию второго порядка § 66. Инварианты уравнения второй степени § 67. Три типа линий второго порядка § 68. Центральные и нецентральные линии второго порядка § 69. Нахождение центра центральной линии второго порядка § 70. Упрощение уравнения центральной линии второго порядка § 71. Равносторонняя гипербола как график уравнения y=k/x § 72. Равносторонняя гипербола как график уравнения y=(mx+n)/(px+q) § 73. Полярные координаты § 74. Связь между полярными и прямоугольными координатами § 75. Архимедова спираль § 76. Полярное уравнение прямой § 77. Полярное уравнение конического сечения АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ § 78. Понятие о векторах и скалярах § 79. Вектор в геометрии § 80. Векторная алгебра § 81. Коллинеарные векторы § 82. Нуль-вектор § 83. Равенство векторов § 84. Приведение векторов к общему началу § 85. Противоположные векторы § 86. Сложение векторов § 87. Сумма нескольких векторов § 88. Вычитание векторов § 89. Умножение и деление вектора на число § 90. Взаимная связь коллинеарных векторов (деление вектора на вектор) § 91. Проекция точки на ось § 92. Проекция вектора на ось § 93. Основные теоремы о проекциях вектора § 94. Прямоугольная система координат в пространстве § 95. Координаты точки § 96. Координаты вектора § 97. Выражения вектора через компоненты и через координаты § 98. Действия над векторами, заданными своими координатами § 99. Выражение вектора через радиусы-векторы его начала и конца § 100. Длина вектора. Расстояние между двумя точками § 101. Угол между осью координат и вектором § 102. Признак коллинеарности (параллельности) векторов § 103. Деление отрезка в данном отношении § 104. Скалярное произведение двух векторов § 104а. Физический смысл скалярного произведения § 105. Свойства скалярного произведения § 106. Скалярные произведения основных векторов § 107. Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей § 108. Условие перпендикулярности векторов § 109. Угол между векторами § 110. Правая и левая системы трех векторов § 111. Векторное произведение двух векторов § 112. Свойства векторного произведения § 113. Векторные произведения основных векторов § 114. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей § 115. Компланарные векторы § 116. Смешанное произведение § 117. Свойства смешанного произведения § 118. Определитель третьего порядка § 119. Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей § 120. Признак компланарности в координатной форме § 121. Объем параллелепипеда § 122. Двойное векторное произведение § 123. Уравнение плоскости § 124. Особые случаи положения плоскости относительно системы координат § 125. Условие параллельности плоскостей § 126. Условие перпендикулярности плоскостей § 127. Угол между двумя плоскостями § 128. Плоскость, проходящая через данную точку параллельно данной плоскости § 129. Плоскость, проходящая через три точки § 130. Отрезки на осях § 131. Уравнение плоскости в отрезках § 132. Плоскость, проходящая через две точки перпендикулярно данной плоскости § 133. Плоскость, проходящая через данную точку перпендикулярно двум плоскостям § 134. Точка пересечения трех плоскостей § 135. Взаимное расположение плоскости и пары точек § 136. Расстояние от точки до плоскости § 137. Полярные параметры плоскости § 138. Нормальное уравнение плоскости § 139. Приведение уравнения плоскости к нормальному виду § 140. Уравнения прямой в пространстве § 141. Условие, при котором два уравнения первой степени представляют прямую § 142. Пересечение прямой с плоскостью § 143. Направляющий вектор § 144. Углы между прямой и осями координат § 145. Угол между двумя прямыми § 146. Угол между прямой и плоскостью § 147. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости § 148. Пучок плоскостей § 149. Проекции прямой на координатные плоскости § 150. Симметричные уравнения прямой § 151. Приведение уравнений прямой к симметричному виду § 152. Параметрические уравнения прямой § 153. Пересечение плоскости с прямой, заданной параметрически § 154. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки § 155. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой § 156. Уравнения прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной плоскости § 157. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и данную прямую § 158. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной двум данным прямым § 159. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и параллельной другой данной прямой § 160. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и перпендикулярной данной плоскости § 161. Уравнения перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую § 162. Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую § 163. Условие, при котором две прямые пересекаются или лежат в одной плоскости § 164. Уравнения общего перпендикуляра к двум данным прямым § 165. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми § 165а. Правые и левые пары прямых § 166. Преобразование координат § 167. Уравнение поверхности § 168. Цилиндрические поверхности, у которых образующие параллельны одной из осей координат § 169. Уравнения линии § 170. Проекция линии на координатную плоскость § 171. Алгебраические поверхности и их порядок § 172. Сфера § 173. Эллипсоид § 174. Однополостный гиперболоид § 175. Двуполостный гиперболоид § 176. Конус второго порядка § 177. Эллиптический параболоид § 178. Гиперболический параболоид § 179. Перечень поверхностей второго порядка § 180. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка § 181. Поверхности вращения § 182. Определители второго и третьего порядков § 183. Определители высших порядков § 184. Свойства определителей § 185. Практический прием вычисления определителей § 186. Применение определителей к исследованию и решению системы уравнений § 187. Два уравнения с двумя неизвестными § 188. Два уравнения с двумя неизвестными § 189. Однородная система двух уравнений с тремя неизвестными § 190. Два уравнения с двумя неизвестными § 190а. Система n уравнений с n неизвестными ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА § 192. Рациональные числа § 193. Действительные (вещественные) числа § 194. Числовая ось § 195. Переменные и постоянные величины § 196. Функция § 197. Способы задания функции § 198. Область определения функции § 199. Промежуток § 200. Классификация функций § 201. Основные элементарные функции § 202. Обозначение функции § 203. Предел последовательности § 204. Предел функции § 205. Определение предела функции § 206. Предел постоянной величины § 207. Бесконечно малая величина § 208. Бесконечно большая величина § 209. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами § 210. Ограниченные величины § 211. Расширение понятия предепа § 212. Основные свойства бесконечно малых величин § 213. Основные теоремы о пределах § 214. Число е § 215. Предел sinx/x при x стремящемся к 0 § 216. Эквивалентные бесконечно малые величины § 217. Сравнение бесконечно малых величин § 217а. Приращение переменной величины § 218. Непрерывность функции в точке § 219. Свойства функций, непрерывных в точке § 219а. Односторонний предел; скачок функции § 220. Непрерывность функции на замкнутом промежутке § 221. Свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 223. Скорость § 224. Определение производной функции § 225. Касательная § 226. Производные некоторых простейших функций § 227. Свойства производной § 228. Дифференциал § 229. Механический смысл дифференциала § 230. Геометрический смысл дифференциала § 231. Дифференцируемые функции § 232. Дифференциалы некоторых простейших функций § 233. Свойства дифференциала § 234. Инвариантность выражения f'(x)dx § 235. Выражение производной через дифференциалы § 236. Функция от функции (сложная функция) § 237. Дифференциал сложной функции § 238. Производная сложной функции § 239. Дифференцирование произведения § 240. Дифференцирование частного (дроби) § 241. Обратная функция § 242. Натуральные логарифмы § 243. Дифференцирование логарифмической функции § 244. Логарифмическое дифференцирование § 245. Дифференцирование показательной функции § 246. Дифференцирование тригонометрических функций § 247. Дифференцирование обратных тригонометрических функций § 247а. Некоторые поучительные примеры § 248. Дифференциал в приближенных вычислениях § 249. Применение дифференциала к оценке погрешности формул § 250. Дифференцирование неявных функций § 251. Параметрическое задание линии § 252. Параметрическое задание функции § 253. Циклоида § 254. Уравнение касательной к плоской линии § 254а. Касательные к кривым второго порядка § 255. Уравнение нормали § 256. Производные высших порядков § 257. Механический смысл второй производной § 258. Дифференциалы высших порядков § 259. Выражение высших производных через дифференциалы § 260. Высшие производные функций, заданных параметрически § 261. Высшие производные неявных функций § 262. Правило Лейбница § 263. Теорема Ролля § 264. Теорема Лагранжа о среднем значении § 265. Формула конечных приращений § 266. Обобщенная теорема о среднем значении (Коши) § 267. Раскрытие неопределенности вида 0/0 § 268. Раскрытие неопределенности вида бесконесность на бесконечность § 269. Неопределенные выражения других видов § 270. Исторические сведения о формуле Тейлора § 271. Формула Тейлора § 272. Применение формулы Тейлора к вычислению значений функции § 273. Возрастание и убывание функции § 274. Признаки возрастания и убывания функции в точке § 274а. Признаки возрастания и убывания функции в промежутке § 275. Максимум и минимум § 276. Необходимое условие максимума и минимума § 277. Первое достаточное условие максимума и минимума § 278. Правило нахождения максимумов и минимумов § 279. Второе достаточное условие максимума и минимума § 280. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции § 281. Выпуклость плоских кривых; точка перегиба § 282. Сторона вогнутости § 283. Правило для нахождения точек перегиба § 284. Асимптоты § 285. Нахождение асимптот, параллельных координатным осям § 286. Нахождение асимптот, не параллельных оси ординат § 287. Приемы построения графиков § 288. Решение уравнений. Общие замечания § 289. Решение уравнений. Способ хорд § 290. Решение уравнений. Способ касательных § 291. Комбинированный метод хорд и касательных ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 293. Первообразная функция § 294. Неопределенный интеграл § 295. Геометрический смысл интегрирования § 296. Вычисление постоянной интегрирования по начальным данным § 297. Свойства неопределенного интеграла § 298. Таблица интегралов § 299. Непосредственное интегрирование § 300. Способ подстановки (интегрирование через вспомогательную переменную) § 301. Интегрирование по частям § 302. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений § 303. Тригонометрические подстановки § 304. Рациональные функции § 304а. Исключение целой части § 305. О приемах интегрирования рациональных дробей § 306. Интегрирование простейших рациональных дробей § 307. Интегрирование рациональных функций (общий метод) § 308. О разложении многочлена на множители § 309. Об интегрируемости в элементарных функциях § 310. Некоторые интегралы, зависящие от радикалов § 311. Интеграл от биномиального дифференциала § 312. Интегралы вида … § 313. Интегралы вида S R(sinx, cosx)dx § 314. Определенный интеграл § 315. Свойства определенного интеграла § 316. Геометрический смысл определенного интеграла § 317. Механический смысл определенного интеграла § 318. Оценка определенного интеграла § 318а. Неравенство Буняковского § 319. Теорема о среднем интегрального исчисления § 320. Определенный интеграл как функция верхнего предела § 321. Дифференциал интеграла § 322. Интеграл дифференциала. Формула Ньютона — Лейбница § 323. Вычисление определенного интеграла с помощью неопределенного § 324. Определенное интегрирование по частям § 325. Способ подстановки в определенном интеграле § 326. О несобственных интегралах § 327. Интегралы с бесконечными пределами § 328. Интеграл функции, имеющей разрыв § 329. О приближенном вычислении интеграла § 330. Формулы прямоугольников § 331. Формула трапеций § 332. Формула Симпсона (параболических трапеций) § 333. Площади фигур, отнесенных к прямоугольным координатам § 334. Схема применения определенного интеграла § 335. Площади фигур, отнесенных к полярным координатам § 336. Объем тела по поперечным сечениям § 337. Объем тела вращения § 338. Длина дуги плоской линии § 339. Дифференциал дуги § 340. Длина дуги и ее дифференциал в полярных координатах § 341. Площадь поверхности вращения ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПЛОСКИХ И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЛИНИЯХ § 342. Кривизна § 343. Центр, радиус и круг кривизны плоской линии § 344. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны плоской линии § 345. Эволюта плоской линии § 346. Свойства эволюты плоской линии § 347. Развертка (эвольвента) плоской линии § 348. Параметрическое задание пространственной линии § 349. Винтовая линия § 350. Длина дуги пространственной линии § 351. Касательная к пространственной линии § 352. Нормальная плоскость § 353. Вектор-функция скалярного аргумента § 354. Предел вектор-функции § 355. Производная вектор-функции § 356. Дифференциал вектор-функции § 357. Свойства производной и дифференциала вектор-функции § 358. Соприкасающаяся плоскость § 359. Главная нормаль. Сопутствующий трехгранник § 360. Взаимное расположение линии и плоскости § 361. Основные векторы сопутствующего трехгранника § 362. Центр, ось и радиус кривизны пространственной линии § 363. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны пространственной линии § 364. О знаке кривизны § 365. Кручение РЯДЫ § 367. Определение ряда § 368. Сходящиеся и расходящиеся ряды § 369. Необходимое условие сходимости ряда § 370. Остаток ряда § 371. Простейшие действия над рядами § 372. Положительные ряды § 373. Сравнение положительных рядов § 374. Признак Даламбера для положительного ряда § 375. Интегральный признак сходимости § 376. Знакопеременный ряд. Признак Лейбница § 377. Абсолютная и условная сходимость § 378. Признак Даламбера для произвольного ряда § 379. Перестановка членов ряда § 380. Группировка членов ряда § 381. Умножение рядов § 382. Деление рядов § 383. Функциональный ряд § 384. Область сходимости функционального ряда § 385. О равномерной и неравномерной сходимости § 386. Определение равномерной и неравномерной сходимости § 387. Геометрический смысл равномерной и неравномерной сходимости § 388. Признак равномерной сходимости; правильные ряды § 389. Непрерывность суммы ряда § 390. Интегрирование рядов § 391. Дифференцирование рядов § 392. Степенной ряд § 393. Промежуток и радиус сходимости степенного ряда § 394. Нахождение радиуса сходимости § 395. Область сходимости ряда, расположенного по степеням х – х0 § 396. Теорема Абеля § 397. Действия со степенными рядами § 398. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда § 399. Ряд Тейлора § 400. Разложение функции в степенной ряд § 401. Разложение элементарных функций в степенные ряды § 402. Применение рядов к вычислению интегралов § 403. Гиперболические функции § 404. Обратные гиперболические функции § 405. Происхождение наименований гиперболических функций § 406. О комплексных числах § 407. Комплексная функция действительного аргумента § 408. Производная комплексной функции § 409. Возведение положительного числа в комплексную степень § 410. Формула Эйлера § 411. Тригонометрический ряд § 412. Исторические сведения о тригонометрических рядах § 413. Ортогональность системы функций cos nx, sin nx § 414. Формулы Эйлера-Фурье § 415. Ряд Фурье § 416. Ряд Фурье для непрерывной функции § 417. Ряд Фурье для четной и нечетной функции § 418. Ряд Фурье для разрывной функции ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ § 420. Функция трех и большего числа аргументов § 421. Способы задания функций нескольких аргументов § 422. Предел функции нескольких аргументов § 424. Непрерывность функции нескольких аргументов § 425. Частные производные § 426. Геометрический смысл частных производных для случая двух аргументов § 427. Полное и частное приращения § 428. Частный дифференциал § 429. О выражении частной производной через дифференциал § 430. Полный дифференциал § 431. Геометрический смысл полного дифференциала (случай двух аргументов) § 432. Инвариантность выражения … полного дифференциала § 433. Техника дифференцирования § 434. Дифференцируемые функции § 435. Касательная плоскость и нормаль к поверхности § 436. Уравнение касательной плоскости § 437. Уравнения нормали § 438. Дифференцирование сложной функции § 439. Замена прямоугольных координат полярными § 440. Формулы для производных сложной функции § 441. Полная производная § 442. Дифференцирование неявной функции нескольких переменных § 443. Частные производные высших порядков § 444. Полные дифференциалы высших порядков § 445. Техника повторного дифференцирования § 446. Условное обозначение дифференциалов § 447. Формула Тейлора для функции нескольких аргументов § 448. Экстремум (максимум и минимум) функции нескольких аргументов § 449. Правило нахождения экстремума § 450. Достаточные условия экстремума (случай двух аргументов) § 451. Двойной интеграл § 452. Геометрический смысл двойного интеграла § 453. Свойства двойного интеграла § 454. Оценка двойного интеграла § 455. Вычисление двойного интеграла (простейший случай) § 456. Вычисление двойного интеграла (общий случай) § 457. Функция точки § 458. Выражение двойного интеграла через полярные координаты § 459. Площадь куска поверхности § 460. Тройной интеграл § 461. Вычисление тройного интеграла (простейший случай) § 462. Вычисление тройного интеграла (общий случай) § 463. Цилиндрические координаты § 464. Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты § 465. Сферические координаты § 466. Выражение тройного интеграла через сферические координаты § 467. Схема применения двойного и тройного интегралов § 468. Момент инерции § 471. Криволинейный интеграл § 472. Механический смысл криволинейного интеграла § 473. Вычисление криволинейного интеграла § 474. Формула Грина § 475. Условие, при котором криволинейный интеграл не зависит от пути § 476. Другая форма условия предыдущего параграфа ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 478. Уравнение первого порядка § 479. Геометрический смысл уравнения первого порядка § 480. Изоклины § 481. Частное и общее решения уравнения первого порядка § 482. Уравнения с разделенными переменными § 483. Разделение переменных. Особое решение § 484. Уравнение в полных дифференциалах § 484а. Интегрирующий множитель § 485. Однородное уравнение § 486. Линейное уравнение первого порядка § 487. Уравнение Клеро § 488. Огибающая § 489. Об интегрируемости дифференциальных уравнений § 490. Приближенное интегрирование уравнений первого порядка по методу Эйлера § 491. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов § 492. О составлении дифференциальных уравнений § 493. Уравнение второго порядка § 494. Уравнение n-го порядка § 495. Случаи понижения порядка § 496. Линейное уравнение второго порядка § 497. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами § 498. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами без правой части § 498а. Связь между случаями 1 и 3 § 498 § 499. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью § 500. Линейные уравнения любого порядка § 501. Метод вариации постоянных § 502. Системы дифференциальных уравнений. Линейные системы НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ § 503. Строфоида § 504. Циссоида Диокла § 505. Декартов лист § 506. Верзьера Аньези § 507. Конхоида Никомеда § 508. Улитка Паскаля; кардиоида § 509. Линия Кассини § 510. Лемниската Бернулли § 511. Архимедова спираль § 512. Эвольвента (развертка) круга § 513. Логарифмическая спираль § 514. Циклоиды § 515. Эпициклоиды и гипоциклоиды § 516. Трактриса § 517. Цепная линия

2.7. Выражение векторного произведения через координаты векторов

Из определения и свойств скалярного произведения векторов следует, что для базисных векторов ,,выполняются соотношения

, ,,,,. (2. 26)

Теорема 12. Если векторы изаданы своими координатами, т. е.,, то векторное произведение векторовивычисляется по формуле

, (2.27)

или .

Доказательство. Разложим векторы ипо базису,,, получим,. Тогда по свойствам векторного произведения векторов, используя формулы (2.26), имеем:=. Теорема доказана.

Следствие. Если векторы иколлинеарны, то их координаты пропорциональны, т. е.

. (2.28)

Доказательство. Если векторы иколлинеарны, то. Из формулы (2.27) получаем, что,,. Из этих равенств следует (2.28). Следствие доказано.

Соотношения (2.28) называются условием параллельности (коллинеарности) двух векторов.

Следствие. Если векторы изаданы своими координатами, т. е.,, то векторное произведение векторовивычисляется по формуле

. (2.29)

Доказательство. Разложим определитель по первой строке, получим=++=.

П р и м е р 26. Известно, что ,и. Найти длину векторного произведения векторови.

Решение. По определению векторного произведения , где угол между векторами. По формуле (2.22) имеем: . Учитывая, что угол между векторами не превышает, из основного тригонометрического тождества получим:. Таким образом,.

П р и м е р 27. Даны точки ,и. Вычислить площадьтреугольника.

Решение. Площадь треугольникаравна половине площадипараллелограмма, построенного на векторахи, т. е.. Согласно (2.4),, поэтому по формуле (2.29) имеем:. Тогда.

П р и м е р 28. Найти вектор , зная, что он перпендикулярен векторамии удовлетворяет условию.

Решение. Пусть вектор имеет координаты. Тогда условиеможно записать в виде. Векторперпендикулярен векторами, поэтому он коллинеарен вектору. По формуле (2.29). Условие коллинеарности векторовисогласно (2.28) имеет вид. Поэтому для неизвестныхполучили систему уравнений, решив которую найдем, что.

Пусть даны три произвольных вектора ,и.

Определение. Смешанным произведениемтрех векторов ,,называется скалярное произведение векторана векторное произведение векторови, т. е.

. (2.30)

Геометрический смысл смешанного произведения раскрывает следующая теорема.

Теорема 13. Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах,и, взятому со знаком плюс, если тройка векторовправая, и со знаком минус, если тройкалевая. Если же векторы,икомпланарны, то.

Доказательство. Если векторы иколлинеарны, то векторы,икомпланарны. Для компланарных векторовипо свойству векторного произведения, поэтому по свойству скалярного произведения, т. е. для компланарных векторов теорема доказана.

Пусть векторы ,ине компланарны. Приведем эти векторы к общему началу. По формуле (2.23), где площадь параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах и, орт векторного произведения . Тогда

. (2.31)

Проекция вектора на ось, определяемую вектором, с точностью до знака равна высотепараллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах,и, при условии, что основанием служит параллелограмм, построенный на векторахи.

О

Таким образом, правая часть равенства (2.31) с точностью до знака равна объему параллелепипеда, построенного на векторах ,и. Если векторыилежат по одну сторону от плоскости, определяемой векторамии, то, если же векторыилежат по разные стороны от этой плоскости, то. Векторы,иобразуют правую тройку по определению векторного произведения, таким образом,, если векторы,и(соответственно векторы,и) образуют правую тройку, и, если тройка векторовлевая.

Если векторы ,икомпланарны, то векторлежит в плоскости векторови, следовательно,, и. Теорема доказана.

Из этой теоремы следует, что объем параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах ,и, вычисляется по формуле

. (2.32)

Следствие 1. Для любых трех векторов ,исправедливо равенство

. (2.33)

Доказательство. Из переместительного свойства скалярного произведения следует , поэтому достаточно доказать, что. Последнее равенство выполняется с точностью до знака, потому что обе его части с точностью до знака определяют объем параллелепипеда, построенного на векторах. Но тройки векторовиодновременно являются либо правыми, либо левыми, следовательно, знаки выраженийисовпадают. Таким образом,. Следствие доказано.

Доказанное равенство (2.33) позволяет записывать смешанное произведение трех векторов ,ипросто в виде, без указания при этом, какие два вектора (первые два или последние два) перемножаются векторно.

Следствие 2. Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

58

многомерное исчисление — скалярное произведение между двумя векторами в цилиндрических координатах?

В таких вопросах, как этот, я предпочитаю различать (евклидово) скалярное произведение двух векторов $\mathbf a$ и $\mathbf b$, определяемое как $\langle\mathbf a,\mathbf b\ rangle = \lVert\mathbf a\rVert \lVert\mathbf b\rVert\cos\phi$, где $\phi$ — угол между векторами, и скалярное произведение пары кортежей координат: $[\ mathbf a]_{\mathcal B}\cdot[\mathbf b]_{\mathcal B}=([\mathbf a]_{\mathcal B})^T[\mathbf b]_{\mathcal B}= \sum_i a_i b_i$. n$, потому что сами векторы являются кортежами действительных чисел. 9TM=I$ и формула сводится к скалярному произведению. Итак, в любом ортонормированном базисе евклидово скалярное произведение двух векторов равно скалярному произведению их координат.

Говоря об операторах $\operatorname{grad}$ и им подобных, мы имеем дело с векторными полями, и в этом контексте также важно различать точки и векторы. Основная идея заключается в том, что к каждой точке прикреплено векторное пространство, состоящее из всех возможных касательных векторов к кривым, проходящим через эту точку — 9n$, поэтому мы обычно можем идентифицировать точки с векторами и беспечно перемещать касательные векторы от точки к точке.

Базисные векторы $\hat{\mathbf r}$, $\hat{\mathbf\theta}$ и $\hat{\mathbf z}$ живут в этих касательных пространствах, как и стандартные базисные векторы $\hat {\mathbf i}$, $\hat{\mathbf j}$ и $\hat{\mathbf k}$, и преобразование между ними не является преобразованием цилиндрической точки в декартову координату, которое вы использовали. Эти цилиндрические базисные векторы для касательного пространства в точке являются единичными нормалями к поверхностям $r=\text{const}$, $\theta=\text{const}$ и $z=\text{const}$, которые проходят через смысл. Ясно, что эти векторы меняются от одной точки к другой. Должно быть легко видеть, что эти единичные векторы попарно ортогональны, поэтому в цилиндрических координатах внутреннее произведение двух векторов является скалярным произведением координат, как и в стандартном базисе.

Вы можете убедиться в этом напрямую. Немного поработав, мы можем найти, что $$\begin{bmatrix}\hat{\mathbf r}\\\hat{\mathbf\theta}\\\hat{\mathbf z}\end{bmatrix} = \ begin{bmatrix}\cos\theta&\sin\theta&0\\-\sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\hat{\mathbf i}\\\hat{\mathbf j}\\\hat{\mathbf k}\end{bmatrix}$$ так, что $$\hat{\mathbf A} = A_r\hat{\mathbf r}+A_\theta\hat{\mathbf\theta} +A_z\hat{\mathbf z} = (A_r\cos\theta-A_\theta\sin\theta)\,\hat{\mathbf i} + (A_r\sin\theta+A_\theta\cos\theta) \,\hat{\mathbf j}+A_z\,\hat{\mathbf k}$$ и аналогично для $\hat{\mathbf B}$. 3$.

линейная алгебра — внутренний продукт, ортогональность и системы координат

Задавать вопрос

спросил 7 лет, 5 месяцев назад

Изменено 7 лет, 5 месяцев назад

Просмотрено 1к раз

$\begingroup$ 92}$. Но разве ортогональность (и скалярный продукт) не зависят от системы координат?

Для иллюстрации пусть $V_1 = [0,1]$ и $V_2 = [1,0]$ в канонической системе координат. Затем давайте воспользуемся базисными векторами {$[0,1],[0,5,0,5]$} и используем координаты относительно этого нового базиса. Тогда относительно нового базиса $V_1$ имеет координаты $[1,0]$, а $V_2$ имеет координаты $[2,-1]$. Таким образом, внутренний продукт $V_1 \cdot V_2 = 1*2 + 0*-1 = 1$ больше не равен нулю, и, таким образом, $V_1$ и $V_2$ больше не ортогональны в новой системе координат. 92}$?

• линейная алгебра
• ортогональность

$\endgroup$

$\begingroup$

Внутренний продукт на самом деле не зависит от конкретной системы координат. Ошибка, которую вы делаете, заключается в утверждении:

«Тогда относительно нового базиса V1 имеет координаты [1,0], а V2 имеет координаты [2,−1]. Таким образом, скалярный продукт V1⋅V2=1∗ 2+0∗−1=1 »

Суммирование произведения координат двух векторов дает скалярное произведение, только если координаты берутся относительно некоторых ортонормированный базис . Поскольку V1,V2 не образуют ортонормированный базис, индуцированная ими система координат не может быть использована в обычной формуле скалярного произведения.

$\endgroup$

4

$\begingroup$

Чего вам не хватает, так это «перекрестного члена» в скалярном произведении. 2 + 2 \vec{e}_1 \cdot \vec {д}_2. $$ 92 = 1, \ \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2 = 1/2$$ и, таким образом, скалярное произведение $V_1$ и $V_2$ равно $-1 + 2 (1/2) = 0$, как и прежде. Если мы используем ортонормированный базис, то у нас нет таких кросстермов.

В общем, необходимо определить, как вычислить скалярное произведение в некотором базисе, а затем, как вычислить скалярное произведение в других базисах, будет определяться условием, что скалярное произведение не зависит от выбора базиса. Если мы не удовлетворяем этому свойству, то то, что мы определили, не является истинным внутренним продуктом.

$\endgroup$

$\begingroup$

Внутренний продукт гораздо менее уникален, чем может показаться на первый взгляд. Как вы по существу заметили:

Теорема: Пусть $V$ — конечномерное линейное пространство над полем $\mathcal{F}$ действительных или комплексных чисел с базой $B=\{ b_1,b_2,\cdots,b_n\}$.