Скалярное произведение двух векторов

Скалярным произведением аb двух векторов а и b называют число (скаляр), равное произведению их длин на косинус угла между ними — cos :

аb = а b cos 

Свойства скалярного произведения:

1) аb = 0, если хотя бы один векторов — нуль-вектор, или вектора перпендикулярны;

2) аа = а²

3) аb = bа;

4) аb = а пр_а b = b пр_b a;

5) (a + b) c = ac + bc;

6) m(аb) = (ma)b = a(mb).

Пусть вектора а иbразложены по ортам:

a

= a_x i + a_y j + a_z k,

b = b_x i + b_y j + b_z k.

Используя свойства скалярного произведения мы можем найти его выражение через координаты. Так как орты взаимно перпендику-лярны, то произведения ij = ji = ik = ki = jk = kj = 0,тогда как

ii = jj = kk = 1

Поэтому

ab = (a

x i + a_y j + a_z k)(b_xi + b_y j + b_z k)=

= a_xb_x (ii) + a_yb_x(ji) + a_zb_x(ki) +

+ a_xb_y(ij) + a_yb_y(jj

) + a_zb_y(kj) +

+ a_xb_z(ik) + a_yb_z(jk) + a_zb_z(kk) =

= a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z .

Таким образом скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат:

a

b= a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z .

Используя скалярное произведение и зная координаты векторов можно найти и угол между ними по формуле

,

Условием перпендикулярностидвух векторов служит равенство нулю их скалярного произведения.

ab= a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = 0

В частности нуль-вектор перпендикулярен любому другому.

Векторное произведение двух векторов

Векторным произведением a

b двух векторовa, bназывают такойвекторс=ab , который удовлетворяет трем условиям:

1. Модуль вектора с равен площади параллелограмма, построенного на векторах a, b:

c=a b sin 

где  —угол между векторамиa, b.

2. Вектор с перпендикулярен вектору a и вектору b.

3. Вектора a, b, с должны образовывать правую тройку, то есть кратчайший поворот от первого вектора —

a ко второму — b, если смотреть на него с конца векторасдолжен происходить против хода часовой стрелки (0)

Свойства векторного произведения

1) аb = 0, если хотя бы один векторов — нуль-вектор, или вектора параллельны;

2) аа = 0

3) аb = — bа;

4) (m+n)(аb) = m(аb) + n(аb)

5) (a + b) c

= ac + bc;

6) m(аb) = (ma)b = a(mb).

Рассмотрим теперь как выражается векторное произведение через координаты сомножителей:

ab = (a_x i + a_y j + a_z k)

(b_xi + b_y j + b_z k)=

= a_xb_x (ii) + a_yb_x(ji) + a_zb_x(ki) +

+ a_xb_y(ij) + a_yb

y(jj) + a_zb_y(kj) +

+ a_xb_z(ik) + a_yb_z(jk) + a_zb_z(kk)

Принимая во внимание, что ii = jj = kk = 0,а

(ij) = -(

ji) = k,

(ik) = -(ki) = j,

(jk) = -(kj) = i,

получим:

ab = a_yb_x(-k) + a_zb_x(-j) +a_xb_yk + a_zb_y(-i) + a_xb_z

j + a_yb_zi =

= (a_yb_z — a_zb_y)i — (a_zb_x— a_xb_z)j + (a_xb_y— a_yb_x)k ,

Последнее выражение есть ни что иное, как определитель 3-го порядка

.

Смешанное (векторно-скалярное) произведение 3-х векторов.

Смешанным или векторно-скалярным произведением трех векторов a, b, c называют произведение вида (

ab)c. Первые два вектора перемножаются векторно, а затем результат — скалярно на третий вектор. В результате получается число (скаляр).

Абсолютная величина смещанного произведения равна объема пареллелипипеда, построенного на данных трех векторах:

Смешанное произведение положительно, если вектора a, b, c образуют правую тройку, и отрицательно — если левую.

Свойства смешанного произведения:

1) Смещанное произведение не изменяется

а) если перемножаемые вектора переставлять в круговом порядке

(ab)c = (с

a)b = (bc)a

б) если поменять местами векторное и скалярное произведение

(ab)c = a(bс)

Этот факт позволяет записывать смешанное произведение без указания порядка векторного и скалярного умножения:

(ab)c = abс.

2) Перестановка в abслюбых двух векторов изменяет знак произведения

abс = -baс abс = — cba, …

3) Смешанное произведение равно 0, если

а) хотя бы один из трех векторов есть нуль-вектор;

б) два из перемножаемых векторов колинеарны;

в) три вектора компланарны.

Разлагая все вектора по ортам нетрудно получить выражение смешанного произведения через координаты:

Очевидно, что условием компланарноститрех векторов будет служить равенство нулю их смешанного произведения:

= 0.

Геометрия Метод координат в пространстве. Скалярное произведение векторов

Для изучения новой темы понадобится повторить теорему о трех перпендикулярах.

Если прямая а, проведенная на плоскости  α через основание О наклонной с, перпендикулярна её проекции в, то она перпендикулярна и самой наклонной.

 

 

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. Скалярное произведение двух векторов  это число.

 

Скалярное произведение векторов  и  обозначается так:   (произведение вектора а на вектор бэ).

 

Таким образом: 

(произведение вектора а на вектор бэ равно произведению модуль вектора а на модуль вектора бэ и на косинус угла между векторами а и бэ)

 

 

Справедливы утверждения:

 

1°. Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

 

Действительно, скалярное произведение вектора  A на  вектор  B равно произведению их длин на косинус угла между ними.  Но cos 90° = 0  следовательно  b= 0.

 

 

2°. Скалярный квадрат вектора (то есть скалярное произведение вектора на себя) равен квадрату его длины.

Скалярное произведение двух векторов можно вычислить через произведение соответственных координат этих векторов:

 

скалярное произведение векторов  {х₁; у₁; z₁} и {х₂; у₂; z₂} выражается формулой:

 

 х₁х₂ + у₁у₂ + z₁z₂    (скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответственных координат этих векторов).

 

Докажем утверждение:

Косинус угла α между ненулевыми векторами  {х₁; у₁; z₁} и {х₂; у₂; z₂}

 вычисляется по формуле:

 cos α =Косинус угла альфа равен частному от деления суммы произведений соответственных координат векторов, которые составляют угол альфа, на произведение длин, выраженных координатами этих векторов

 

косинус угла альфа равен частному от деления скалярного произведения векторов на произведение их длин.

Таким образом, подставив  вместо скалярного произведения вектора формулу  суммы произведений соответственных координат векторов х₁х₂ + у₁у₂ + z₁z₂ , а также   заменив произведение длин векторов на произведение длин векторов, выраженных через координаты  

Получим: косинус угла альфа равен частному от деления скалярного произведения векторов на произведение их длин, отсюда следует, что косинус угла альфа равен частному от деления суммы произведений соответственных координат векторов, которые составляют угол альфа, на произведение длин, выраженных координатами этих векторов

 

Что и требовалось доказать.

 

 

Сформулируем основные свойства скалярного произведения векторов.

 

Для любых векторов и любого числа k справедливо следующее:

 

1°.  Скалярный квадрат вектора  всегда больше либо равен нулю

 

2.переместительный закон – от перестановки мест векторов в скалярном произведении скалярное произведение не меняется.

 

3 (распределительный закон – скалярное произведение суммы двух

Понимание скалярного произведения

Автор Роберт Dunlop Microsoft DirectX MVP Введение Скалярное произведение — это значение, выражающее угловое соотношение между двумя векторы. В этой статье мы узнаем, как рассчитывается это значение, его математическое значение и несколько способов использования этой функции в 3D-приложения. Расчет скалярного произведения Скалярное произведение — это скалярное значение, являющееся результатом операции двух вектора с одинаковым количеством компонент. Даны два вектора A и B каждый с n компонентов скалярное произведение рассчитывается как: A B = A 1 B 1 + … + A n B n Таким образом, скалярный продукт представляет собой сумму произведений каждая компонента двух векторов. Например, если A и B были трехмерными векторами: A B = A.x * B.x + A.y * B.y + A.z * B.z Универсальная функция C++ для реализации скалярного произведения на двух векторах с плавающей запятой любых размеров может выглядеть примерно так: float dot_product(float *a, float *b, int size) {     float dp = 0.0f;     for (int i=0;i         dp += a[i] * b[i];     return dp; } Этот образец кода предоставлен исключительно для демонстрации универсального функция, поясняющая, как рассчитывается скалярный продукт; DirectX предоставляет несколько реализаций этой функции для вас, как вы увидите далее, хотя, если вам нужно написать свой собственный функции (например, при использовании C++ без библиотек D3DX) вы, вероятно, просто напишите отдельные функции для обработки обычно используемых типов векторов (2D,3D,4D) как встроенный код. Что это значит? Ранее мы говорили, что скалярное произведение представляет угловое отношение между двумя векторами, и остановились на этом. Сейчас мы познакомимся поближе что представляет собой это значение. Допустим, у нас есть два вектора, A и B, как показано слева. значения |А| и |Б| представляют длины векторов A и B соответственно, и Θ — угол между двумя векторами. Скалярное произведение векторов A и B будет иметь следующее отношение к этим значения: А В = |А| * |Б| * cos( Θ ) Другими словами, скалярное произведение двух векторов будет быть равным косинусу угла между векторами, умноженному на длины каждый из векторов. Угловая область скалярного произведения: Учитывая характеристики функции косинуса, мы можем вывести три возможных условия: Если A и B перпендикулярны (под углом 90 градусов к друг друга), результат скалярного произведения будет равен нулю, потому что cos( Θ ) будет нулевым. Если угол между А и В меньше 90 градусов, скалярное произведение будет положительным (больше нуля), так как cos( Θ ) будет положительным, а длины векторов всегда положительны. Если угол между A и B больше 90 градусов, скалярное произведение будет отрицательным (меньше нуля), так как cos( Θ ) будет отрицательным, а длины векторов всегда положительными значениями. Угол из скалярного произведения единичных векторов Приведенные выше характеристики верны для любых векторов ненулевой длины. Кроме того, существует особый случай, когда оба вектора являются единичными векторами, т. е. есть векторы длиной один (1,0). В этом случае длины векторы не вносят вклад в уравнение, упрощая до: А В = |А| * |Б| * cos( Θ ) A B = 1 * 1 * cos( Θ ) A B = cos( Θ ) В этом случае скалярное произведение равно косинус угла между векторами. Таким образом, угол между единицей векторов можно рассчитать как: Θ = acos(A B) Угол из скалярного произведения неединичных векторов Углы между неединичными векторами (векторами с длины, не равные 1,0) можно рассчитать либо путем предварительной нормализации векторов или путем деления скалярного произведения неединичных векторов на длину каждый вектор. Скалярное произведение вектора на самого себя Скалярное произведение вектора против самого себя (т.е. A A) приводит к значению, равному квадрату длины вектора. Это известная часть уравнения расстояния, d=sqrt(x*x+y*y+z*z). Проекция вектора на другой вектор Если бы кто-то взял скалярное произведение единичного вектора A и второго вектора B любой ненулевой длины, результатом является длина вектора B, спроецированная в направлении вектора A (см. иллюстрацию слева). Это используется несколькими способами, такими как столкновение реакции и преобразования векторов из одной системы координат в другую (это лежит в основе матричных преобразований). Реализации DirectX DirectX Graphics предоставляет несколько реализаций функции скалярного произведения: 100014 Программирование в… Предоставляемые функции С++ Управляемый DX Microsoft.DirectX.Vector2.Dot(Vector2,Vector2) Microsoft.DirectX.Vector3.Dot(Vector3,Vector3) Microsoft.DirectX.Vector4.Dot(Vector4,Vector4) Язык шейдеров HLSL точка(вектор,вектор) мульти(вектор,вектор) Вершинный шейдер (сборка) пункт назначения dp3, источник0, источник1 пункт назначения dp4, источник0, источник1 Пиксельный шейдер (сборка) dp2add dest,src0,src1,src2. {x|y|z|w} dp3 dest,src0,src1 dp4 dest,src0,src1

numpy.dot — Руководство NumPy v1.23

numpy.dot( a , b , out=None )

Скалярное произведение двух массивов. В частности,

• Если оба a и b являются одномерными массивами, это внутреннее произведение векторов (без комплексного сопряжения).

• Если оба a и b являются двумерными массивами, это умножение матриц, но предпочтительнее использовать matmul или a @ b .

• Если либо a , либо b 0-D (скаляр), это эквивалентно , умноженному на . и использование numpy.multiply(a, b) или a * b предпочтительнее.

• Если a представляет собой массив N-D, а b представляет собой массив 1-D, это произведение суммы по последняя ось а и б .

• Если a является массивом N-D, а b является массивом MD (где M>=2 ), это произведение суммы по последней оси a и предпоследней оси b :

   точка (a, b) [i, j, k, m] = сумма (a [i, j,:] * b [k,:, m])
   

Параметры

a array_like

Первый аргумент.

б array_like

Второй аргумент.

out ndarray, необязательный

Выходной аргумент. Это должно иметь точный вид, который будет возвращен если он не использовался. В частности, он должен иметь правильный тип, должен быть C-непрерывный, и его dtype должен быть возвращенным dtype для точка(а,б) . Это особенность производительности. Следовательно, если эти условия не выполняются, вместо попытки быть гибким.

Возвращает

output ndarray

Возвращает скалярное произведение a и b . Если a и b оба скаляры или оба одномерных массива, то возвращается скаляр; в противном случае возвращается массив. Если дано из , то оно возвращается.

Поднимает

ValueError

Если последнее измерение и не такого размера, как предпоследнее измерение b .

См. также

vdot

Комплексно-сопряженное скалярное произведение.

тензордот

Суммирование произведений по произвольным осям.

einsum

Соглашение Эйнштейна о суммировании.

matmul

Оператор @ как метод без параметра.

linalg.multi_dot

Скалярное произведение.

Примеры

 >>> np.dot(3, 4)
12
 

Ни один из аргументов не является комплексно сопряженным:

 >>> np.