Теорема Гаусса • Джеймс Трефил, энциклопедия «Двести законов мироздания»

Поток напряженности электрического поля, проходящий через замкнутую поверхность, пропорционален суммарному электрическому заряду, содержащемуся внутри этой поверхности.

В науке часто бывает, что один и тот же закон можно сформулировать по-разному. По большому счету, от формулировки закона ничего не меняется с точки зрения его действия, однако новая формулировка помогает теоретикам несколько иначе интерпретировать закон и испытать его применительно к новым природным явлениям. Именно такой случай мы и наблюдаем с теоремой Гаусса, которая, по существу, является обобщением закона Кулона, который, в свою очередь, явился обобщением всего, что ученые знали об электростатических зарядах на момент, когда он был сформулирован.

Вообще говоря, в математике, физике и астрономии найдется немного областей, развитию которых не посодействовал замечательный гений Карла Фридриха Гаусса. В 1831 году он вместе со своим молодым коллегой Вильгельмом Вебером (Wilhelm Weber, 1804–1891) занялся изучением электричества и магнетизма и вскоре сформулировал и доказал теорему, названную его именем.

Чтобы понять, в чем заключается ее смысл, представьте себе изолированный точечный электрический заряд q. А теперь представьте, что он окружен замкнутой поверхностью. Форма поверхности в теореме не важна — это может быть пусть даже сдутый воздушный шарик. В каждой точке окружающей заряд поверхности, однако, наблюдается электрическое поле, образованное зарядом, а произведение напряженности этого электрического поля на сколь угодно малую единицу площади окружающей заряд поверхности, через которую проходят силовые линии поля, называется потоком напряженности электрического поля, и можно рассчитать поток напряженности, приходящийся на каждый

элемент поверхности. Теорема Гаусса как раз и гласит, что суммарный поток напряженности электрического поля, проходящий через окружающую заряд поверхность, пропорционален величине заряда.

Связь между законом Кулона и теоремой Гаусса станет очевидной на простом примере. Предположим, что заряд q окружен сферой радиуса r. На удалении r от заряда напряженность электрического поля, которая определяется силой притяжения или отталкивания единичного заряда, помещенного в соответствующую точку, составит, согласно закону Кулона:

    E = kq/r²

И то же самое значение мы получим для любой точки сферы заданного радиуса. Следовательно, суммарный поток напряженности электрического поля будет равен значению напряженности поля на удалении r от заряда, помноженному на площадь сферы (которая, как известно, равняется 4πr²). Иными словами, суммарный поток будет равен:

    4πr² × kq/r² = 4πkq

Это и есть теорема Гаусса.

Интересное следствие из нее получается, если применить эту теорему к сплошному металлу. Представьте себе цельнометаллический предмет и воображаемую замкнутую поверхность внутри него. Полный электрический заряд внутри такой поверхности будет нулевым, поскольку внутри окажется равное число положительных и отрицательных зарядов — протонов атомных ядер и электронов соответственно.

Следовательно, поток напряженности электрического поля, проходящий через такую замкнутую поверхность, также будет равен нулю. Поскольку это верно для любой замкнутой поверхности внутри металла, это означает, что внутри металла не существует и не может существовать электрического поля.

Это свойство металлов часто используется экспериментаторами и инженерами-связистами для защиты высокочувствительных приборов от наведенных извне электрических помех. Обычно прибор просто окружается защитным медным экраном. Согласно теореме Гаусса, внешние электрические поля просто не в состоянии проникнуть внутрь такой оболочки и создать помехи работе прибора.

Другое интересное следствие теоремы Гаусса заключается в том, что если в дороге вас застала гроза, самое безопасное для вас — не выходить из машины, поскольку там вы окружены цельнометаллическим экраном. Даже если в ваш автомобиль ударит молния, внутри вам ничего не будет угрожать, поскольку весь разряд пройдет по корпусу и уйдет в землю.

Резина, скорее всего, сгорит, зато сами вы останетесь в целости и сохранности.

Теорема Гаусса

Экспериментально установленные закон Кулона и принцип суперпозиции позволяют полностью описать электростатическое поле заданной системы зарядов в вакууме. Однако, свойства электростатического поля можно выразить в другой, более общей форме, не прибегая к представлению о кулоновском поле точечного заряда.

Введем новую физическую величину, характеризующую электрическое поле – поток Φ вектора напряженности электрического поля. Пусть в пространстве, где создано электрическое поле, расположена некоторая достаточно малая площадка ΔS. Произведение модуля вектора  на площадь ΔS и на косинус угла α между вектором   и нормалью   к площадке называется элементарным потоком вектора напряженности через площадку ΔS (рис. 1.3.1):

ΔΦ = E ΔS cos α = En ΔS,

где En – модуль нормальной составляющей поля

Рисунок 1. 3.1. К определению элементарного потока ΔΦ

Рассмотрим теперь некоторую произвольную замкнутую поверхность S. Если разбить эту поверхность на малые площадки ΔSi, определить элементарные потоки ΔΦi поля   через эти малые площадки, а затем их просуммировать, то в результате мы получим поток Φ вектора   через замкнутую поверхность S (рис. 1.3.2):

 

В случае замкнутой поверхности всегда выбирается внешняя нормаль.

Рисунок 1.3.2. Вычисление потока Ф через произвольную замкнутую поверхность S

Теорема Гаусса утверждает:

Поток вектора напряженности электростатического поля   через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную ε₀.

Для доказательства рассмотрим сначала сферическую поверхность S, в центре которой находится точечный заряд q. Электрическое поле в любой точке сферы перпендикулярно к ее поверхности и равно по модулю

где R – радиус сферы. Поток Φ через сферическую поверхность будет равен произведению E на площадь сферы 4πR². Следовательно,

Окружим теперь точечный заряд произвольной замкнутой поверхностью S и рассмотрим вспомогательную сферу радиуса R₀ (рис. 1.3.3).

Рисунок 1.3.3. Поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность S, окружающую заряд

Рассмотрим конус с малым телесным углом ΔΩ при вершине. Этот конус выделит на сфере малую площадку ΔS₀, а на поверхности S – площадку ΔS. Элементарные потоки ΔΦ₀ и ΔΦ через эти площадки одинаковы. Действительно,

ΔΦ0 = E0ΔS0,   ΔΦ = EΔS cos α = EΔS ‘.

Здесь ΔS’ = ΔS cos α – площадка, выделяемая конусом с телесным углом ΔΩ на поверхности сферы радиуса n.

Так как   , a , следовательно   Отсюда следует, что полный поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность, охватывающую заряд, равен потоку Φ₀ через поверхность вспомогательной сферы:

Аналогичным образом можно показать, что, если замкнутая поверхность S не охватывает точечного заряда q, то поток Φ = 0. Такой случай изображен на рис. 1.3.2. Все силовые линии электрического поля точечного заряда пронизывают замкнутую поверхность S насквозь. Внутри поверхности S зарядов нет, поэтому в этой области силовые линии не обрываются и не зарождаются.

Обобщение теоремы Гаусса на случай произвольного распределения зарядов вытекает из принципа суперпозиции. Поле любого распределения зарядов можно представить как векторную сумму электрических полей  точечных зарядов. Поток Φ системы зарядов через произвольную замкнутую поверхность S будет складываться из потоков Φi электрических полей отдельных зарядов. Если заряд qi оказался внутри поверхности S, то он дает вклад в поток, равный   если же этот заряд оказался снаружи поверхности, то вклад его электрического поля в поток будет равен нулю.

Таким образом, теорема Гаусса доказана.

Теорема Гаусса является следствием закона Кулона и принципа суперпозиции. Но если принять утверждение, содержащееся в этой теореме, за первоначальную аксиому, то ее следствием окажется закон Кулона. Поэтому теорему Гаусса иногда называют альтернативной формулировкой закона Кулона.

Используя теорему Гаусса, можно в ряде случаев легко вычислить напряженность электрического поля вокруг заряженного тела, если заданное распределение зарядов обладает какой-либо симметрией и общую структуру поля можно заранее угадать.

Примером может служить задача о вычислении поля тонкостенного полого однородно заряженного длинного цилиндра радиуса R. Эта задача имеет осевую симметрию. Из соображений симметрии электрическое поле должно быть направлено по радиусу. Поэтому для применения теоремы Гаусса целесообразно выбрать замкнутую поверхность S в виде соосного цилиндра некоторого радиуса r и длины l, закрытого с обоих торцов (рис. 1.3.4).

Рисунок 1.3.4. Вычисление поля однородно заряженного цилиндра. OO’ – ось симметрии

При r ≥ R весь поток вектора напряженности будет проходить через боковую поверхность цилиндра, площадь которой равна 2πrl, так как поток через оба основания равен нулю. Применение теоремы Гаусса дает:

где τ – заряд единицы длины цилиндра. Отсюда

Этот результат не зависит от радиуса R заряженного цилиндра, поэтому он применим и к полю длинной однородно заряженной нити.

Для определения напряженности поля внутри заряженного цилиндра нужно построить замкнутую поверхность для случая r < R. В силу симметрии задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность гауссова цилиндра должен быть и в этом случае равен Φ = E 2πrl. Согласно теореме Гаусса, этот поток пропорционален заряду, оказавшемуся внутри замкнутой поверхности. Этот заряд равен нулю. Отсюда следует, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра равно нулю.

Аналогичным образом можно применить теорему Гаусса для определения электрического поля в ряде других случаев, когда распределение зарядов обладает какой-либо симметрией, например, симметрией относительно центра, плоскости или оси. В каждом из таких случаев нужно выбирать замкнутую гауссову поверхность целесообразной формы. Например, в случае центральной симметрии гауссову поверхность удобно выбирать в виде сферы с центром в точке симметрии. При осевой симметрии замкнутую поверхность нужно выбирать в виде соосного цилиндра, замкнутого с обоих торцов (как в рассмотренном выше примере). Если распределение зарядов не обладает какой-либо симметрией и общую структуру электрического поля угадать невозможно, применение теоремы Гаусса не может упростить задачу определения напряженности поля.

Рассмотрим еще один пример симметричного распределения зарядов – определение поля равномерно заряженной плоскости (рис. 1.3.5).

Рисунок 1.3.5. Поле равномерно заряженной плоскости. σ – поверхностная плотность заряда. S – замкнутая гауссова поверхность

В этом случае гауссову поверхность S целесообразно выбрать в виде цилиндра некоторой длины, закрытого с обоих торцов. Ось цилиндра направлена перпендикулярно заряженной плоскости, а его торцы расположены на одинаковом расстоянии от нее. В силу симметрии поле равномерно заряженной плоскости должно быть везде направлено по нормали. Применение теоремы Гаусса дает:

где σ – поверхностная плотность заряда, т. е. заряд, приходящийся на единицу площади.

Полученное выражение для электрического поля однородно заряженной плоскости применимо и в случае плоских заряженных площадок конечного размера. В этом случае расстояние от точки, в которой определяется напряженность поля, до заряженной площадки должно быть значительно меньше размеров площадки.

Опубликовано в разделах: Электродинамика, Электрическое поле

Принцип наименьшего ограничения Гаусса

Принцип наименьшего ограничения Гаусса

Притум Наккиран
30 декабря 2017 г.

Эта заметка посвящена формализации классической механики, к Гауссу. Гаусс заметил, что примерно стесненное движение масс максимально близко к их неограниченным движениям, при этом удовлетворяя ограничениям. 2_M\]

Эта формулировка (которая также верна в обобщенных координатах) еще один хороший экстремальный принцип в физике, и является основой некоторых недавних быстрых симуляций физики твердого тела. (МуДжоКо), с помощью выпуклой оптимизации.

В этой заметке мы формулируем, доказываем и обсуждаем принцип Гаусса, предполагая минимальные предварительные знания. Мы используем его для симуляции двойного маятника просто для развлечения.

Введение и мотивация

Проблема, которая нас беспокоит с is ограниченной динамикой . То есть у нас есть какие-то массы взаимодействующих с внешними силами, и с учетом ограничений на их состояние (например, мяч, вынужденный двигаться по дорожке, или две массы соединены жестким стержнем). Мы хотим знать как они двигаются.

Конечно, это общая проблема классического механика, но мы сосредоточены на том, как справляться с ограничениями. Напрямую применение ньютоновской механики может стать очень запутанным при работе с кинематические ограничения, так как он требует решения для всех промежуточные силы связи. Часто нас не интересует, что силы необходимы для обеспечения соблюдения ограничений, мы просто хотим знать возможное движение масс. (Например, мяч, катящийся по криволинейный путь – нас не интересуют силы, необходимые для удержания мяч на дорожке, только в конечном движении мяча). Переформулировки механики (например, лагранжевой механики и теории Гаусса). принцип) дают нам «неявные» способы борьбы с ограничения.

Организация. Сначала мы устанавливаем задачу и обозначения, то в разделе мы формулируем Принцип и приведите несколько примеров. В разделе мы формально определяем понятие «непротиворечивого ускорений», необходимых для принципа Гаусса. Наконец, мы даем доказательство принципа Гаусса в разделе .

Мы заканчиваем замечаниями, историческими ссылками и открытыми проблемами.

Настройка и определения

Указываем 93\}$. Мы также можем использовать обобщенных координат вместо пространственные, например угол маятника.

Система с ограничениями (для нас) — это система, в которой конфигурация $X$ должен лежать на многообразии. Например, у нас может быть ограничение $x_1 = -x_2$, или если две массы соединены стержнем длины $\ell$, то ограничение $||\vec x_1 — \vec x_2||_2 = \ell$. Здесь мы будем рассматривать только ограничения, которые не совершают чистую работу на системы (это относится к большинству естественных физических ограничений).

Учитывая конфигурацию $X$ на многообразии, пусть $T_X$ — множество возможных скоростей система в конфигурации $X$, которые согласуются с ограничениями. Обратите внимание, что $T_X$ — это подпространство, и на самом деле это точно касательное пространство. многообразия в $X$. (Мы скоро увидим примеры). Наше условие, что силы связи не совершают чистой работы, в точности соответствует при условии, что (в инерционных координатах) совокупность сил связи $\Fconst$ ортогональна $T_X$. 9TM\dot{q}$ — кинетическая энергия системы, где $\dot{q}$ — обобщенные скорости. (Такой матрица всегда существует, когда отображение $q_i(r_1, \dots r_n)$ между обобщенные координаты $q$ и пространственные координаты $r$ не зависит от времени).

Наша цель: Учитывая многообразие ограничений и текущий состояния $(X, \dot{X})$ системы, найти ускорения $\ddot{X}$. Это определяет всю траекторию $X(t)$.

Эта цель является аналогом закона Ньютона ($F=ma$) – она определяет локальная эволюция системы.

Принцип Гаусса

Принцип Гаусса:

Рассмотрим ограниченную систему, подверженную внутренним и внешние силы, где ограничивающие силы не работают в чистом виде. 2_М \]

Где норма $M$ — матрица масс, а $\consaccel_{X, \dot{X}}$ — набор ускорений, согласующийся с ограничения в текущем состоянии.

Множество $\consaccel$ определено и обсуждается ниже.

Например, если мы описываем нашу систему в инерциальной, пространственной координат, и существует внешняя (несвязывающая) сила $\vec F_i$ действующих на массу $m_i$, то истинные ускорения удовлетворяют условию: 92$. Масса матрица просто $M = \begin{bmatrix} m &0\\ 0 &m \end{bmatrix}$. Неограниченное ускорение массы равно $g$ прямо вниз. по гравитации.

При заданном состоянии (положении и скорости $v$) массы рассмотрим пространство последовательных ускорений. Фиксированная скорость определяет радиальное/центростремительное ускорение ($a_r$, выделено синим цветом), так что единственная свобода находится в тангенциальные ускорения ($a_T$). Таким образом, последовательные ускорения точно равны с заданным радиальным ускорением и произвольным тангенциальным ускорение. (Это будет обсуждаться ниже.) Проекция $g$ на согласованные ускорения (как диктуется Принцип Гаусса) эквивалентен рассмотрению касательной составляющей тяжести.

Обратите внимание, что мы не могли напрямую использовать угол маятника как обобщенная координата при применении принципа Гаусса, так как мы не можем выразить неограниченное ускорение маятника только по этой координате. Таким образом, принцип Гаусса требует, чтобы мы работали в окружающем пространстве. который включает даже траектории «вне оболочки» системы с ограничениями. Тем не менее, в нашей системе все же можно использовать обобщенные координаты. представления, как мы увидим ниже.

Двойной маятник

На практике по-прежнему можно использовать обобщенные координаты. 3$. Двумерное многообразие ограничений (для соответствующего выбора источника) определяется как $\{(x_1, x_2, y_2): \tan \theta = y_2/(x_1-x_2)\}$, выражающее ограничение, при котором блок остается на клине. Массовая матрица снова диагональная, так как мы используем инерционную координаты: $M = diag(m_1, m_2, m_2)$.

И многое другое…

(Оставлено в качестве упражнения для читателя). Обратите внимание, что мы можем обрабатывать внутренние силы, не связанные с ограничениями, такие как пружины. — это просто включено в неограниченные ускорения.

Постоянные ускорения

Здесь мы определяем множество $\consaccel$ и показать свойство, которое потребуется при доказательстве Принцип Гаусса.

Мы определяем $\consaccel$, чтобы перейти от ограничения на положение масс к ограничениям на их ускорения. Это можно сделать, продифференцировав многообразие ограничение в текущем состоянии.

Формально, учитывая текущее состояние $(X, \dot{X})$ ограниченного системы, определите «постоянные ускорения» как следующий набор. Рассмотрим все траектории $\t X(t)$, которые кинематически допустимы (ложатся на многообразие ограничений) и согласуются с текущее состояние при $t = 0$: $(\t X(0) = X, \dot{\t X}(0) = \dot{X})$. Постоянные ускорения — это совокупность всех ускорений для этих возможные траектории: \[\consaccel_{X, \dot X} := \{\ddot{\t X}(0)\}\]

Важно следующее свойство:

Для системы с ограничениями при заданное состояние $(X, \dot{X})$, разница между двумя согласованными ускорений на самом деле последовательная скорость .

Тот то есть множество $\consaccel_{X, \dot X}$ является аффинным сдвигом $T_X$ (касательное пространство многообразия связей).

Для например, рассмотрим последовательные ускорения маятника в самой нижней точке: Истинное ускорение в этой точке чисто радиальное (вверх, $a_{true}$ синего цвета), а последовательные ускорения (зеленый пунктир) соответствуют дальнейшему тангенциальному ускорения. Обратите внимание, что эти тангенциальные ускорения могут быть отождествляется с касательным пространством ограничения (касательным смещения).

Это следует непосредственно из дифференцирование ограничений. Более формально: пусть $X_0(t)$ и $X_1(t)$ — две согласованные траектории (на многообразии), которые согласуются по положению и скорости при $t=0$. Пусть матрица $C_{X}$ будет (линейной) ограничения, определяющие многообразие в точке $X$ (т. е. $C_X$ — ортогональное дополнение к касательному пространству $T_X$). То есть $C_{X} \dot{X_i}(t) = 0$ вдоль траектория. Дифференцируя, \begin{align*} \frac{d}{dt}(C_{X} \dot{X_i}(t)) &= \vec 0\\ \dot{C_{X}} \dot{X_i}(t) + C_X \ddot{X_i}(t) &= \vec 0 \end{align*} Поскольку $X_0$ и $X_1$ совпадают по положению и скорости $(\dot{X_i)}$ при $t=0$, вычитание последнего соотношения для двух траекторий $i=0$ и $i=1$ дает \[C_X( \ddot{X_1}(0) — \ddot{X_2}(0)) = \vec 0\] Таким образом, разница в ускорений есть постоянная скорость: $\ddot{X_1}(0) — \ddot{X_2}(0) \in T_X $ Это показывает, что $\consaccel_{X, \dot X}$ содержится в аффинном сдвиге $T_X$. (На самом деле легко показать, что это включение есть равенство, но мы этот факт не понадобится).

Доказательство принципа Гаусса

Докажем это для случая инерциального, пространственные координаты. Это без потери общности, потому что цель функция инвариантна относительно замены координат (поскольку, если $A, M$ ускорения и матрицы масс в обобщенных координатах, а $a, m$ – их аналоги в пространственных координатах, то $||A||_M = ||a||_m$, и, кроме того, многообразие ограничений преобразуется естественным образом).

Вот несколько эквивалентных способов действий: 9Т \] Потому что $MA_{true} — MA_U = F_{net} — F_{\text{внешний}} = \Fconst$. Далее, поскольку силы связи не работают, мы знаем что $\Fconst\perp T_X$.

Таким образом, при истинном ускорении градиент ($=\Fconst$) равен ортогонален всем возможным согласованным возмущениям ($\delta \in т$). Этого достаточно, чтобы показать оптимальность по выпуклости цель и набор $\consaccel$. k$). Это неясно, поскольку априори пространство скоростей и пространство ускорений являются разными структурами.

В игровой физике используется эвристический метод. (интеграция Verlet) справиться с позиционными ограничениями. Техника по сути «обновить позиции, как будто без ограничений, а затем спроецировать обратно на непротиворечивые позиции». Это похоже на принцип Гаусса, хотя проекция происходит по позициям, а не по ускорениям. Я полагаю, что в некоторых случаях можно показать, что это эквивалентно при разумных предположения.

Связанные экстремальные принципы (технически не эквивалентны, но все предполагают схожие идеи):

Принцип наименьшего действия Лагранжа

Что истинная траектория системы та, которая минимизирует Действие среди всех последовательных траекторий.

Теорема Томсона в электростатике

Что истинное распределение зарядов таково, что минимизирует энергия электрического поля среди всех распределений с одинаковыми граничными условиями. Например, напряжения в сети конденсаторов такие что потенциальная энергия минимальна. Связано это с тем, что истинные токи в сети резисторов поток минимальной энергии с учетом ограничений потока.

См., например. [Фейнман Lectures, Vol I Lec 19] для обсуждения вышеизложенного.

Каталожные номера

Насколько мне удалось найти, об этом на удивление мало написано. Здесь несколько хороших ссылок:

• Принципы наименьшего действия и наименьшего ограничения [Эккехард Рамм] представляет собой краткий обзор истории некоторых экстремальных принципов, в том числе наименьшее ограничение.
• Оригинал статья Гаусса, «Über ein neues allgemeines Grundgesetz der Механик». Он формулирует свой принцип и приводит доказательство на одном примере.
• Расчет MuJoCo страницу, описывающую, как MuJoCo использует вариант принципа Гаусса для быстрое моделирование физики.
• Страница 254 из [Уиттакер] , книга по аналитической динамике, дает доказательство версии Принцип Гаусса (описываемый как «принцип наименьшей кривизны»).
• Уравнение Удвадиа – Калабы по сути просто принцип Гаусса (чтение страницы википедии не рекомендуется).

Благодарности. Спасибо Тибо Хорелю за предложения по презентации и доказательству, и Дариус Ши за отлов различных ошибок.

Вопросы, комментарии, предложения приветствуются: [email protected]
Последнее обновление: 9 января 2018 г.

Принцип Гаусса — Математическая энциклопедия

Принцип наименьшего воздействия

Один из основных и наиболее общих дифференциально-вариационных принципов классической механики, установленный К.Ф. Гаусса [1] и выражающее экстремальное свойство реального движения системы в классе допустимых движений, соответствующее идеальным связям, наложенным на систему, и условиям постоянства положений и скоростей точек системы при данный момент времени.

Согласно принципу Гаусса, «движение произвольно связанной системы материальных точек, на которую в любой момент времени действуют произвольные силы, совершается способом, максимально подобным движению, действовали бы эти точки, если бы они были свободны, т. е. с наименьшим возможным воздействием — мера воздействия за время dt определяется как сумма произведений массы каждой точки на квадрат расстояния точки от положение, которое она занимала бы, если бы была свободна» [1].

Принцип Гаусса эквивалентен принципу Даламбера–Лагранжа и применим как к голономным, так и к неголономным системам. Он обобщался различными способами [2], [3], например, на системы с неидеальными ограничениями, а также на случай сплошных сред [4].

Каталожные номера

[1]	C.F. Гаусс, «Ueber ein allgemeines Grundgesetz der Mechanik» J. Reine Angew. Мат. , 4 (1829) стр. 232–235
[2]	Е. alexxlab Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт Рубрики Прост Радио Разное Своими руками Советы Схем Схемы Транзист Транзисторы Электрон Электроника