Принцип Ферма — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Принцип Ферма на примере эллиптических поверхностей

При́нцип Ферма́ (принцип наименьшего времени Ферма) — постулат в геометрической оптике, согласно которому свет выбирает кратчайший путь между двумя точками. То есть луч света двигается из начальной точки в конечную точку по пути, минимизирующему время движения (или, что то же самое, минимизирующему оптическую длину пути). В более точной формулировке^[1]: свет выбирает один путь из множества близлежащих, требующих почти одинакового времени для прохождения; другими словами, любое малое изменение этого пути не приводит в первом порядке к изменению времени прохождения.

Этот принцип, сформулированный в I в. Героном Александрийским для отражения света, в общем виде был сформулирован Пьером Ферма в 1662 году в качестве самого общего закона геометрической оптики. В разнообразных конкретных случаях из него следовали уже известные законы: прямолинейность луча света в однородной среде, законы отражения и преломления света на границе двух прозрачных сред.

Принцип Ферма представляет собой предельный случай принципа Гюйгенса — Френеля в волновой оптике для случая исчезающе малой длины волны света.

Принцип Ферма является одним из экстремальных принципов в физике.

1. ↑ Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Том 3: Излучение. Волны. Кванты. Перевод с английского (издание 4). — Эдиториал УРСС. — ISBN 5-354-00701-1.

• Краткий словарь физических терминов / Сост. А. И. Болсун, рец. М. А. Ельяшевич. — Мн.: Вышэйшая школа, 1979. — С. 364—365. — 416 с. — 30 000 экз.

Геометрическая оптика и её законы. Принцип Ферма.

Геометрическая оптика представляет собой раздел физики, который изучает распространение света в виде лучей, независимых друг от друга и подчиняющихся законам отражения и преломления, использую понятия и методы геометрии.

Геометрическая оптика представляет собой предельный случай волновой оптики при условии, что λ->0.

Геометрическая оптика базируется на 4х законах:

Законы прямолинейного преломления света– в однородной изотопной среде свет распространяется по прямой линии, т.е. пренебрегается явление дифракции.

Закон независимости световых лучей. Предполагается, что при пересечении луча не влияют друг на друга. Это справедливо для не очень больших интенсивностей.

Закон отражения света.

Закон преломления света.

В основу геометрической оптики может быть положен принцип Ферма.

Свет распространяется по пути, не прохождение которого ему надо затратить минимальное время. Этот принцип может быть сформулирован с использованием понятия оптическая длина пути света.

Время tпрохождения света между двумя точками в неоднородной среде сnможно записать:

, гдеL– оптическая полная длина дуги(1).

Из (1) видно, что tбудет минимально приL->min.

Поэтому можно сформулировать: свет распространяется по такому пути, оптическая длина которого минимальна.

Пути света, у которых оптические длины равны, называются

таутохромными.

Центрированная оптическая система. Кардинальные элементы цос: фокусы, фокальные плоскости, главные точки и главные плоскости, узловые точки.

Световым лучомсчитаем линию, по которой распространяется энергия световой волны. Совокупность лучей образуютсветовой пучок. Будем рассматривать гомоцентрические и параллельные пучки лучей.

Если световые лучи (или их продолжения) выходят из одной точки, то пучок гомоцентрический.

Оптическая система представляет собой совокупность оптических деталей, предназначенных для преобразования световых пучков путём преломления и отражения.

Если центры всех оптических поверхностей лежат на одной прямой, называемой оптической осью, то такая система называетсяцентрированной оптической системой

.

Любая оптическая система производит преобразование – предмет изображения.

Если каждой точкой предмета соответствует изображение тоже в виде точки и сохраняется геометрическое подобие, то такая система называется идеальной.

Чтобы подчеркнуть тот факт, что точка предмета изображается системой в виде точки, говорят, что это изображение стигматическое (точечное). Такая точка и её изображение называются сопряжёнными.

Пространство, где могут находиться точки предмета, называется пространством предмета.

Точки пространства, в которых может находиться точки изображения, называются

пространством изображения.

Большинство реальных оптических систем можно считать идеальными только для параксиальных (приосевых) лучей, т.е. лучей, которые образуют малые углы с оптической осью и с перпендикулярами к оптическим поверхностям.

Параксиальными являются лучи, при которых выполняется sinα=tgα=α.

Свойства центрированных оптических систем можно полностью определить, если задать координальные моменты – передние и задние фокусы, главные и узловые точки, соответствующие плоскости.

Фокусы оптической системы и фокальные плоскости.

Если на оптическую систему пустить пучок параллельных лучей, причём параллельных главной оптической оси, то они сойдутся в точке, называемой задним фокусом оптической системы.

Задний фокус можно считать изображением сопряжённой бесконечной удалённой точки, находящейся на оптической оси. Отметим, что если фокус образован пересечением продолжений лучей, то задний фокус может находиться и перед системой.

Если параллельный пучок лучей направить со стороны изображения, то они сойдутся в точке –

переедем фокусом оптической системы.

Передним фокусом можно считать и точку, сопряжённая в которой точка изображения находится на бесконечности ((на оптической оси). В плоскости, проведённая перпендикулярно оптической оси в заднем и передним фокусе, называется задней и передней фокальной плоскостью.

Под линейным увеличением Г понимают отношение размера изображения к размеру предмета.

Г=y’/y. Будем считать все отрезки или предметы, находящиеся выше оси положительными (+), а ниже – отрицательными (-). Существуют две сопряжённые плоскости, обозначенные HиH’, каждая точка одной из которых отображается на другую с линейным увеличением +1.

Точка пересечения главных плоскостей с оптической осью называется главной точкой.

Главные плоскости НЕ совпадают с оптическими элементами системы.

Узловыми точкамипереднейNи заднейN’ осей называются две сопряжённые точки на оси, обладающие свойствами, что лучи проходящие через них являются параллельными.

Если оптическая система находится в однородной среде, то узловые точки совпадают с соответствующими главными точками, т.е. N->HиN’->H’.

Задним фокусом расстояния оптической системы будем называть расстояние от задней точкиH’ до заднего фокусаF’ и обозначаемf’.

Передним фокусомрасстояния будем называть передней точкойHдо заданного фокусаFи обозначаемf.

При анализе оптической системы используют правила знаков.

-положительное направление луча – слева направо.

-расстояние, отсчитываемое от соответствующей координаты точек к лучу считается >0, против луча — <0.

Из рисунка f’>0, аf<0.

Если перед оптической системой есть среда с n, а после неё среда сn’, то можно доказать, чтоf/f’=-n/n’, т.е. в однородной средеf=-f’.

Ф=n’/f’=n/f–оптическая сила системы. Если Ф>0, тосистема собирающая, если Ф<0 –рассеивающая.

xx’=ff’ –уравнение Ньютона для оптической системы.

1/f’=1/S’-1/S=> -1/S+1/S’=1/f’ –уравнение Гаусса(уравнение отрезка).

Тонкой линзойбудем называть линзу, толщина которой во много раз меньше радиусов кривизныR₁иR₂её сферических поверхностей, т.е.d<<R₁иd<<R₂.

Фокусное расстояние линзы , гдеn– показатель преломления материала линзы по отношению к среде, где она находится;R₁иR₂– радиусы кривизны 1-ой и 2-ой поверхности. При подстановкеRнадо использовать правило знаков: если центр кривизны справа (слева) от сферической поверхности, тоR- “+” (R– “-“).

Принцип Ферма

В основу геометрической оптики может быть положен принцип, установленный французским математиком Ферма в середине 17 столетия. Из этого принципа вытекают законы прямолинейного распространения света, отражения и преломления света. В формулировке самого Ферма принцип гласит, что свет распространяется по такому пути, для прохождения которого ему требуется минимальное время.

Рис.1.7

Пусть луч распространяется из точки 1 в точку пространства 2 (рис.1.7). Разобьем траекторию распространения света на прямолинейные участки, на которых показатель преломления будет константой, тогда чтобы свету пройти путьтребуется время

,

Следовательно, время, затрачиваемое светом на прохождение пути 1-2 равно

Величина имеет размерность длины и эту величину называют оптическим ходом луча или оптической длиной пути света

(1,9)

В однородной изотропной среде оптическая длина пути света равна

(1.10)

Пропорциональность времени tпрохождения оптической длине пути лучаLдает возможность сформулировать принцип Ферма следующим образом: свет распространяется по такому пути, оптическая длина которого экстремальна. Из принципа Ферма вытекает обратимость хода световых лучей. Действительно, оптический путь, который минимален в случае распространения света из точки 1 в точку 2, окажется минимальным и в случае распространения света из точки 2 в точку 1.

С помощью принципа Ферма можно доказать законы геометрической оптики, например, закон преломления света.

Доказательство закона преломления света с помощью принципа Ферма

Траектория по которой луч света из точки А, нкаходящейся в среде с показателем преломления n₁, попадает в точку В, расположенную в среде с показателем преломленияn_2,может быть разной, но нам нужно показать , что луч будет распространяться по такому пути , на который он затратит минимальное время.

Опустим из точек А и В перпендикуляры на границу раздела двух сред и расстояния от точек до границы раздела обозначим соответственно а₁и а₂.

Так как точка перехода луча из одной среды в другую зависит от того по какой траектории будет распространяться луч света, то расстояние от первого перпедикуляра до точки падения (см.рис 1.8) обозначим x. Расстояние между опущенными перпендикулярами обозначимb.

Рис.1.8

Оптический путь луча будет состоять из двух частей, так как он распространяется в двух разныз средах:

Так как время распространения света из точки А в точку Bдолжно быть минимально, то оптический путь должен быть экстремален, т.е. первая производная оптического пути по времени должна быть равна нулю:

(1.11)

, а

Поэтому из условия (1,11) получаем

(1.12)

Т.е. закон преломления света доказан.

Полное внутреннее отражение, световоды (эндоскопы).

Из формулы (1.12) видно, что при переходе света из оптически более плотной среды в оптически менее плотную луч удаляется от нормали к поверхности раздела сред. Увеличение угла падения сопровождается более быстрым ростом угла преломления ¦и при некотором ¦ значении угла, котором преломленный луч пойдет по границе раздела двух сред, т.е. уголдостигает значения равного, В этом случае угол паденияназывается предельным углом падения и определяется

(1.13)

Энергия, которую несет с собой падающий луч, распределяется между отраженным и преломленным лучами. По мере увеличения угла падения интенсивность отраженного луча растет, интенсивность же преломленного луча убывает, обращаясь в нуль при предельном угле. При углах падения, заключенных в пределах от предельного угла падения до,, световая волна проникает во вторую среду на расстояние порядка длины волныи затем возвращается в первую среду. Это явление называется полным внутренним отражением (см.рис.1.9).

Рис.1.9

Явление полного внутреннего отражения находит применение во многих оптических устройствах. Наиболее интересным и практически важным применением является создание волоконных световодов, которые представляют собой тонкие (от нескольких микрометров до миллиметров) произвольно изогнутые нити из оптически прозрачного материала (стекло, кварц). Свет, попадающий на торец световода, может распространяться по нему на большие расстояния за счет полного внутреннего отражения от боковых поверхностей. Проверьте на опыте будет ли свет от красной лампочки распространяться по изогнутой струе воды.

Рис.1.10

Явление полного внутреннего отражения лежит в основе волоконной оптики. Свет, попадая внутрь прозрачного волокна, окруженного веществом с меньшим показателем преломления, многократно отражается и распространяется вдоль этого волокна. Диаметр этих тонких стеклянных или пластиковых волокон может быть доведен до нескольких микрометров. Для передачи больших световых потоков и сохранения гибкости светопроводящей системы отдельные волокна собираются в пучки (жгуты) – световоды, свет по световоду может передаваться почти без потерь. Рис1.10 демонстрирует, как распространяется свет по тонкому волокну, испытывая только скользящие отражения от стенок, т.е. претерпевая полное внутреннее отражение.

Рис.1.11

Если световоду придать сложную форму, то угол падения обычно превышает предельный, и свет будет передан от одного торца световода до другого практически без ослабления. Этот эффект используется в декоративных светильниках и при подсветке струй в фонтане. Волоконная оптика широко используется в медицине. Например, для визуального исследования внутренних полых органов используются гибкие гастроскопы, эндоскопы. С помощью световодов осуществляется передача лазерного излучения во внутренние ткани и органы с целью лечебного воздействия. На рис. 1.12 показаны различные способы подведения лазерного излучения к ткани: 1 — лазерный луч нацелен на ткань через систему диафрагм и линз; 2 — луч подводится через систему подвижных зеркал; 3 — луч проводится по гибкому пустотелому световоду с внутренней зеркальной поверхностью;

4 — луч проводится через гибкий кварцевый световод и дистанционно нацелен на ткань.

Рис. 1.12. Способы подведения лазерного излучения к ткани

Примером природной волоконнооптической системы является сетчатка человеческого глаза. Попадая на сетчатку, свет воспринимается светочувствительными элементами (волокнами двух типов: палочками и колбочками). Этот слой подобен волоконнооптическому устройству. У травянистых растений стебель играет роль световода, подводящего свет в подземную часть растения. Клетки стебля образуют параллельные колонки, напоминая этим конструкцию промышленных световодов. Если освещать такую колонку,рассматривая ее через микроскоп, то видно, что ее стенки при этом остаются темными, а внутренность каждой клетки ярко освещена. Глубина, на которую доставляется таким способом свет, не превышает 4-5 см. Но и такого короткого световода достаточно, чтобы обеспечить светом подземную часть травянистого растения.

Заключение

1. Итак, свет обладает свойствами электромагнитной волны и потока фотонов, свойства неразделимы и в одних явлениях преобладает одно свойство, а в других другое, что связано с длиной световой волны.

2. В анизотропной среде абсолютный показатель преломления зависит от направления распространения световой волны.

3. В законах геометрической оптике используются чисто математические представления о лучах, не рассматривается природа света, законы работают при .

4. Принцип Ферма является наиболее общим законом геометрической оптике, из этого закона могут быть выведены законы отражения и преломления света. Принцип Ферма определяет оптический путь луча и обратимость хода лучей.

5. Закон полного внутреннего отражения позволяет понять принципы работы световодов (эндоскопов)

Ст. преподаватель кафедры___________________________

(наименование кафедры)

_______________________ ________________________

(ученая степень, ученое звание, подпись) (И.О.Ф.)

«____»________________г.

Принцип Ферма: закон преломления

В данной статье начнем наше изучение оптики с принципа Ферма, подробно опишем данное явление с формулами.

Закон преломления

Лучи прослеживаются через оптическую систему с использованием принципа Ферма, который гласит, что лучи электромагнитного излучения следуют только по самому быстрому пути, когда они проходят из одной точки (A) в другую (B). Если таковых более одного, электромагнитное излучение будет следовать по всем таким путям.

Принцип Ферма предсказывает, по какому пути луч пройдет через оптическую систему.

Свойство материала, называемое показателем преломления, обозначаемое буквой «n», является ключом к применению принципа Ферма. Показатель преломления материала является способом описания того, как быстро электромагнитное излучение может перемещаться в нем. Как вы можете бегать быстрее на сухой земле, чем когда вы находитесь по шее в воде, электромагнитное излучение может перемещаться быстрее в одних материалах, чем в других. Электромагнитное излучение испытывает свою максимальную скорость в вакууме, ~ 3×108 м / с, которая называется «скоростью света в вакууме» или иногда просто «скоростью света» и обозначается буквой «c». Электромагнитное излучение движется с меньшей скоростью во всех других материалах. Показатель преломления рассчитывается путем деления скорости света в вакууме на скорость ЭМИ в материале:

n = c / v

где v — скорость света в материале. Поскольку и c, и v имеют одинаковые единицы, м / с, показатель преломления не имеет единиц измерения. Чем медленнее свет распространяется в материале, тем выше показатель преломления материала. Воздух имеет меньший показатель преломления (1.0003), чем вода (1.33). Показатели преломления многих распространенных материалов легко найти в таблицах в оптических справочниках.

Время ‘t‘, взятое для прохождения расстояния, ‘d‘, в материале показателя преломления, ‘n’, равно

t = nd / c.

Принцип Ферма прост в использовании, если луч ЭМИ движется в среде, которая везде имеет одинаковый показатель преломления. В этом случае просто нарисуйте прямую линию между двумя точками!

Лучи следуют по прямой линии, когда они проходят между двумя точками в среде с равномерным показателем преломления.

Камера-обскура

Камера-обскура может быть легко спроектирована с использованием концепции лучей и знания о том, что лучи распространяются по прямым линиям через однородную среду. Камера-обскура — это коробка с 6 непрозрачными сторонами. На одной стороне вырезано небольшое отверстие, а на противоположной стороне прикреплен кусок фотопленки. Закройте отверстие, пока не будете готовы сфотографировать. Камера-обскура работает, потому что маленькая обскура будет принимать очень мало лучей от каждой точки на объекте — это почти как если бы каждая точка на объекте вносила один луч в изображение. Так как точечное отверстие пропускает так мало лучей, для записи изображения пленкой потребуется несколько секунд. Это слишком долго, чтобы держать камеру в руках — изображение будет размытым, если вы это сделаете. Вместо этого сделайте снимок, когда камера стоит на устойчивой поверхности.

Слева — эскиз внешней камеры-обскуры. 
Пленка размещается внутри коробки на плоскости изображения. 
Справа — эскиз, показывающий, как камера-обскура изображает объект.

Для тех из вас, кто хотел бы увидеть математический способ изложения принципа Ферма, это можно выразить, сказав, что длина оптического пути, рассчитанная с использованием интеграла оптического пути является экстремумом по сравнению с соседними путями. Запись показателя преломления как n (r) относится к тому факту, что он является функцией положения.

Принцип ферма

Принцип Ферма, или принцип наименьшего времени: действительный путь распространения света (траектория светового луча) есть путь, для прохождения которого свету требуется минимальное время по сравнению с любым другим мыслимым путем между теми же точками.

Из этого принципа вытекают законы прямолинейного распространения света, отражения и преломления света. Он лежит в основе геометрической оптики.

2. Основные законы геометрической оптики. Полное отражение Законы:

1. Закон прямолинейного распространения света:свет в оптически однородной среде распространяется прямолинейно.

Доказательством этого закона является наличие тени с резкими границами от непрозрачных предметов при освещении их точечными источниками света (источники, размеры которых значительно меньше освещаемого предмета и расстояния до него). Тщательные эксперименты показали, однако, что этот закон нарушается, если свет проходит сквозь очень малые отверстия, причем отклонение от прямолинейности распространения тем больше, чем меньше отверстия.

2. Закон независимости световых пучков:эффект, производимый отдельным пучком, не зависит от того, действуют ли одновременно остальные пучки или они устранены. Разбивая световой поток на отдельные световые пучки (например, с помощью диафрагм), можно показать, что действие выделенных световых пучков независимо.

Если свет падает на границу раздела двух сред (двух прозрачных веществ), то падающий луч I (рис. 229) разделяется на два – отраженный II и преломленный III, направления которых задаются законами отражения и преломления.

Рис. 229

3. Закон отражения:отраженный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и перпендикуляром, проведенным к границе раздела двух сред в точке падения; уголотражения равен углупадения:

4. Закон преломления: луч падающий, луч преломленный и перпендикуляр, проведенный к границе раздела в точке падения, лежат в одной плоскости; отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для данных сред:

где —относительный показатель преломлениявторой среды относительно первой. Нижние индексы в обозначениях углов указывают, в какой среде (первой или второй) идет луч.

Относительный показатель преломления двух сред равен отношению их абсолютных показателей преломления:

Абсолютным показателем преломлениясреды называется величинаn, равная отношению скоростисэлектромагнитных волн в вакууме к их фазовой скоростиvв среде:

Полное отражение:

Если свет распространяется из среды с большим показателем преломления (оптически более плотной) в среду с меньшим показателем преломления(оптически менее плотную) (>), например из стекла в воду, то

и преломленный луч удаляется от нормали и угол преломления больше, чем угол падения(рис. 230,а). С увеличением угла падения увеличивается угол преломления (рис. 230,б, в) до тех пор, пока при некотором угле падения (=) угол преломления не окажется равным/2. Уголназываетсяпредельным углом.

При углах падения >весь падающий свет полностью отражается (рис. 230,г).

По мере приближения угла падения к предельному интенсивность преломленного луча уменьшается, а отраженного — растет (рис.230, а—в). Если=, то интенсивность преломленного луча обращается в нуль, а интенсивность отраженного равна интенсивности падающего (рис. 230,г). Таким образом, при углах падения в пределах отдо/2 луч не преломляется, а полностью отражается в первую среду, причем интенсивности отраженного и падающего лучей одинаковы. Это явление называетсяполным отражением.

Предельный угол определим из формулы (165.4) при подстановке в нее=/2. Тогда

(165.5)

Уравнение (165.5) удовлетворяет значениям угла при. Следовательно, явление полного отражения имеет место только при падении света из среды оптически более плотной в среду оптически менее плотную.

Kvant. Принцип Ферма — PhysBook

Кикоин А.К. Принцип Ферма //Квант. — 1984. — № 1. — С. 36-38.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

Основу геометрической оптики, которая оперирует понятием «световой луч», составляют три закона — законы прямолинейного распространения, отражения и преломления света. В давние времена, когда были сформулированы эти законы, вопрос о природе света еще не стоял, и за понятием «луч» не скрывалось ничего физически реального.

В 20-х годах XIX в. было выяснено, что свет — это волна. Луч света стал просто прямой, перпендикулярной волновой поверхности и указывающей направление распространения световой волны. На основе волновых представлений можно легко получить законы отражения и преломления света. Так это и сделано в учебнике «Физика 10» (§§ 37 и 65). Однако в конце XIX — начале XX вв. стало ясно, что свет обладает не только волновыми, но и корпускулярными свойствами тоже. С точки зрения корпускулярной (квантовой) природы свет представляет собой поток элементарных световых частиц — фотонов. В однородной среде луч можно считать траекторией движения фотонов.

Но интересно, что задолго до этого был сформулирован удивительный принцип, из которого прямо следуют все основные законы распространения света. Принцип этот, найденный французским математиком Пьером Ферма (1601-1665) около 1660 года, гласит: из всех возможных путей между двумя точками свет проходит по тому, по которому время прохождения наименьшее.

Из принципа Ферма (так его обычно называют) следует, что в однородной среде (в такой среде скорость света всюду одинакова) свет должен распространяться прямолинейно: прямая — кратчайшее расстояние между двумя точками, следовательно, и время распространения — наименьшее.

Покажем теперь, что закон отражения света — тоже прямое следствие принципа Ферма.

Закон отражения света

Пусть ММ — плоское зеркало. В точке А находится источник света, и нас интересует, по какому пути свет, отразившись от зеркала, приходит из точки А в точку В (рис. 1).

Рис. 1

На рисунке 1 показаны некоторые из возможных путей — АА’В, АСВ, АВ’В. Таких «маршрутов» для света можно изобразить бесчисленное множество. Они различны по длине, так что на их прохождение требуется различное время. Оно зависит от того, в какую точку зеркала упадет луч и, отразившись, направится в В.

Из простых геометрических соображений легко выяснить, куда именно должен упасть луч, чтобы время его прохождения по «маршруту» точка А — зеркало — точка В было наименьшим. На рисунке 2 представлен один из возможных путей — АСВ.

Рис. 2

Опустим из точки В перпендикуляр на зеркало ММ и продолжим его по другую сторону зеркала до точки В’, отстоящую от зеркала на расстоянии |ОВ’| = |ОВ|. Проведем линию СВ’. Получившиеся треугольники СОВ и СОВ’ равны друг другу, так как они прямоугольные, сторона ОС у них общая и |ОВ| = |ОВ’|. Следовательно, |CВ| = |CВ’|, откуда следует, что длина пути луча АСВ равна сумме длин от А до точки С падения луча на зеркало и от этой точки до токи В. Ясно, что эта сумма будет наименьшей, если точка С будет лежать на прямой, соединяющей точки А и В’ (рис. 3).

Рис. 3

Тогда и сумма длин |АС| и |СВ|, то есть длина всего пути света, будет наименьшей, Наименьшим будет и время прохождения светом этого пути.

Из рисунка 3 видно, что ∠ ВСО = ∠ В’СО (треугольник ВСВ’ равнобедренный, поэтому СО — биссектриса угла при вершине), а ∠ В’СО = ∠ АСМ (как вертикальные). Это значит, что углы наклона падающего и отраженного лучей к зеркалу равны друг другу. В этом и состоит закон отражения света. Принято, однако, отсчитывать углы не от плоскости зеркала, а от нормали к ней в точке падения. Но ясно, что если равны углы i и i’, то равны и углы α и γ — Закон отражения обычно записывается в виде

\(~\alpha = \gamma\) .

Закон этот, как мы видим, — следствие того, что свет как бы «выбирает» путь, который проходится за наименьшее время. Нетрудно видеть, что из принципа Ферма следует и утверждение, что луч падающий, луч отраженный и нормаль к зеркалу в точке падения лежат в одной плоскости. Если бы это было не так, то путь был бы длиннее и требовал бы большего времени.

Отметим еще одну важную особенность, связанную с отражением света от зеркала. Если в точке А (см. рис. 3) находится источник света, а в точке В — глаз, то глаз воспримет свет так, как будто бы источник света находится не в А, а в А’, а зеркала вовсе нет. Если зеркало убрать, а источник перенести из А в А’, то глаз не заметит такой замены.

Закон преломления света

Из принципа Ферма можно получить и закон преломления света (точнее — световых лучей). Здесь речь идет о переходе света из одной среды (среда I на рисунке 4) в другую (среда II) через границу раздела между ними. Различие сред состоит в том, что в них различны скорости распространения света.

Рис. 4

Мы рассмотрим случай, когда среда I — это вакуум, в котором скорость света равна с, а вторая среда — какое-то прозрачное вещество (например, стекло, вода и т. д.), в котором скорость света υ меньше, чем с : с > υ.

Между точками А в среде I и В в среде II также мыслимы бесчисленное множество путей, но, согласно принципу Ферма, свет «выбирает» тот из них, для прохождения которого нужно наименьшее время. Ясно, например, что путь АА’В не есть такой путь, потому что здесь свет проходит короткое (кратчайшее) расстояние в среде с большой скоростью и большое расстояние в среде с малой скоростью. Быть может, выгоднее путь АВ’В? Здесь свет в среде с малой скоростью проходит минимальную часть пути, а наибольшая часть приходится на среду с большой скоростью. Но есть ли именно этот путь самый выгодный в смысле экономии времени? Может быть, выгоднее несколько удлинить путь в среде II с тем, чтобы сократить путь в среде I? Словом, нужно найти, в какой точке свету (лучу) нужно пересечь границу раздела двух сред, чтобы время прохождения от А к В было наименьшим. Ясно, что эта точка лежит где-то между А’ и В’ (включая, возможно, и самую точку В’).

Обозначим расстояние между А’ и В’ через d. Если нужная нам точка С пересечения границы раздела находится на расстоянии х от А’, то от В’ она отстоит на расстоянии d — х (см. рис. 4). Путь АС, проходимый светом в среде I, равен \(~\sqrt{y^2_1 + x^2}\), а время прохождения этого пути

\(~t_1 = \frac{\sqrt{y^2_1 + x^2}}{c}\) .

Путь СВ, проходимый светом в среде II, равен \(~\sqrt{y^2_2 + (x — d)^2}\), а время, нужное для прохождения этого пути,

\(~t_2 = \frac{\sqrt{y^2_2 + (x — d)^2}}{\upsilon}\) .

Общее время t определяется равенством

\(~t = t_1 + t_2 = \frac{\sqrt{y^2_1 + x^2}}{c} + \frac{\sqrt{y^2_2 + (x — d)^2}}{\upsilon}\) . (1)

Время t зависит только от х — координаты точки падения луча, так как величины y₁, y₂, с, υ и d — постоянные, то есть одинаковые при всех значениях х. Вот нам и нужно найти, при каком значении х время t будет наименьшим. Средствами обычной алгебры эту задачу решить нельзя. Чтобы ее решить, нужно воспользоваться тем, что при том значении х, при котором t минимально, производная функции, стоящей в правой части уравнения (1), равна нулю^[1].

Это приводит нас к такому условию для х:

\(~\frac{x}{c\sqrt{y^2_1 + x^2}} = \frac{d — x}{\upsilon \sqrt{y^2_2 + (x — d)^2}}\) . (2)

Из рисунка 4 видно, что

\(~\frac{x}{\sqrt{y^2_1 + x^2}} = \sin \angle A’AC = \sin \alpha ; \frac{d — x}{\sqrt{y^2_2 + (x — d)^2}} = \sin \angle CBB’ = \sin \beta\) .

где α — угол между падающим лучом и нормалью к границе раздела в точке падения (угол падения) и β — угол между этой нормалью и преломленным лучом (угол преломления). Условие (2) принимает поэтому вид:

\(~\frac{\sin \alpha}{c} = \frac{\sin \beta}{\upsilon}\) или \(~\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{c}{\upsilon}\) .

В этом и заключается закон преломления для нашего случая: отношение синуса угла падения к синусу угла преломления равно отношению скоростей распространения света в вакууме и в среде, которая с ним граничит. Отношение \(~\frac{c}{\upsilon}\) — величина постоянная, характерная для данной среды. Она называется показателем преломления вещества и обозначается буквой n, так что

\(~\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = n\) .

В общем случае, когда свет переходит из произвольной среды, в которой скорость света равна υ₁, в среду со скоростью света в ней υ₂, закон преломления имеет вид

\(~\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{\upsilon_1}{\upsilon_2} = n_{21}\) ,

где n₂₁ — относительный показатель преломления сред 2 и 1.

Принцип Ферма справедлив, конечно, не только для тех простейших примеров отражения и преломления света, которые мы здесь рассмотрели. С помощью этого принципа можно понять и точно рассчитать ход лучей и в призме, и в линзе и в любой самой сложной системе призм, линз, зеркал.

Примечания

1. ↑ Производная функции t = t(x) равна нулю еще в двух случаях — когда функция проходит через максимум и когда вовсе не зависит от х (то есть функция стационарна). Здесь нас интересует только случай минимума. Однако действительный путь света может быть и минимальным, н максимальным, и стационарным (равным всем остальным возможным путям). Стационарный и максимальный пути наблюдаются, например, прн отражении света от изогнутых поверхностей. Таким образом, принципу Ферма можно дать более общую формулировку, чем это было сделан» самим Ферма.

Геометрическая оптика и её законы. Принцип Ферма.

Геометрическая оптика представляет собой раздел физики, который изучает распространение света в виде лучей, независимых друг от друга и подчиняющихся законам отражения и преломления, использую понятия и методы геометрии.

Геометрическая оптика представляет собой предельный случай волновой оптики при условии, что λ->0.

Геометрическая оптика базируется на 4х законах:

Законы прямолинейного преломления света– в однородной изотопной среде свет распространяется по прямой линии, т.е. пренебрегается явление дифракции.

Закон независимости световых лучей. Предполагается, что при пересечении луча не влияют друг на друга. Это справедливо для не очень больших интенсивностей.

Закон отражения света.

Закон преломления света.

В основу геометрической оптики может быть положен принцип Ферма.

Свет распространяется по пути, не прохождение которого ему надо затратить минимальное время. Этот принцип может быть сформулирован с использованием понятия оптическая длина пути света.

Время tпрохождения света между двумя точками в неоднородной среде сnможно записать:

, гдеL– оптическая полная длина дуги(1).

Из (1) видно, что tбудет минимально приL->min.

Поэтому можно сформулировать: свет распространяется по такому пути, оптическая длина которого минимальна.

Пути света, у которых оптические длины равны, называются таутохромными.

Центрированная оптическая система. Кардинальные элементы цос: фокусы, фокальные плоскости, главные точки и главные плоскости, узловые точки.

Световым лучомсчитаем линию, по которой распространяется энергия световой волны. Совокупность лучей образуютсветовой пучок. Будем рассматривать гомоцентрические и параллельные пучки лучей.

Если световые лучи (или их продолжения) выходят из одной точки, то пучок гомоцентрический.

Оптическая система представляет собой совокупность оптических деталей, предназначенных для преобразования световых пучков путём преломления и отражения.

Если центры всех оптических поверхностей лежат на одной прямой, называемой оптической осью, то такая система называетсяцентрированной оптической системой.

Любая оптическая система производит преобразование – предмет изображения.

Если каждой точкой предмета соответствует изображение тоже в виде точки и сохраняется геометрическое подобие, то такая система называется идеальной.

Чтобы подчеркнуть тот факт, что точка предмета изображается системой в виде точки, говорят, что это изображение стигматическое (точечное). Такая точка и её изображение называются сопряжёнными.

Пространство, где могут находиться точки предмета, называется пространством предмета.

Точки пространства, в которых может находиться точки изображения, называются пространством изображения.

Большинство реальных оптических систем можно считать идеальными только для параксиальных (приосевых) лучей, т.е. лучей, которые образуют малые углы с оптической осью и с перпендикулярами к оптическим поверхностям.

Параксиальными являются лучи, при которых выполняется sinα=tgα=α.

Свойства центрированных оптических систем можно полностью определить, если задать координальные моменты – передние и задние фокусы, главные и узловые точки, соответствующие плоскости.

Фокусы оптической системы и фокальные плоскости.

Если на оптическую систему пустить пучок параллельных лучей, причём параллельных главной оптической оси, то они сойдутся в точке, называемой задним фокусом оптической системы.

Задний фокус можно считать изображением сопряжённой бесконечной удалённой точки, находящейся на оптической оси. Отметим, что если фокус образован пересечением продолжений лучей, то задний фокус может находиться и перед системой.

Если параллельный пучок лучей направить со стороны изображения, то они сойдутся в точке – переедем фокусом оптической системы.

Передним фокусом можно считать и точку, сопряжённая в которой точка изображения находится на бесконечности ((на оптической оси). В плоскости, проведённая перпендикулярно оптической оси в заднем и передним фокусе, называется задней и передней фокальной плоскостью.

Под линейным увеличением Г понимают отношение размера изображения к размеру предмета.

Г=y’/y. Будем считать все отрезки или предметы, находящиеся выше оси положительными (+), а ниже – отрицательными (-). Существуют две сопряжённые плоскости, обозначенные HиH’, каждая точка одной из которых отображается на другую с линейным увеличением +1.

Точка пересечения главных плоскостей с оптической осью называется главной точкой.

Главные плоскости НЕ совпадают с оптическими элементами системы.

Узловыми точкамипереднейNи заднейN’ осей называются две сопряжённые точки на оси, обладающие свойствами, что лучи проходящие через них являются параллельными.

Если оптическая система находится в однородной среде, то узловые точки совпадают с соответствующими главными точками, т.е. N->HиN’->H’.

Задним фокусом расстояния оптической системы будем называть расстояние от задней точкиH’ до заднего фокусаF’ и обозначаемf’.

Передним фокусомрасстояния будем называть передней точкойHдо заданного фокусаFи обозначаемf.

При анализе оптической системы используют правила знаков.

-положительное направление луча – слева направо.

-расстояние, отсчитываемое от соответствующей координаты точек к лучу считается >0, против луча — <0.

Из рисунка f’>0, аf<0.

Если перед оптической системой есть среда с n, а после неё среда сn’, то можно доказать, чтоf/f’=-n/n’, т.е. в однородной средеf=-f’.

Ф=n’/f’=n/f–оптическая сила системы. Если Ф>0, тосистема собирающая, если Ф<0 –рассеивающая.

xx’=ff’ –уравнение Ньютона для оптической системы.

1/f’=1/S’-1/S=> -1/S+1/S’=1/f’ –уравнение Гаусса(уравнение отрезка).

Тонкой линзойбудем называть линзу, толщина которой во много раз меньше радиусов кривизныR₁иR₂её сферических поверхностей, т.е.d<<R₁иd<<R₂.

Фокусное расстояние линзы , гдеn– показатель преломления материала линзы по отношению к среде, где она находится;R₁иR₂– радиусы кривизны 1-ой и 2-ой поверхности. При подстановкеRнадо использовать правило знаков: если центр кривизны справа (слева) от сферической поверхности, тоR- “+” (R– “-“).