Примеры решения задач

Пример 1. Найти момент инерции тонкого однородного диска массой и радиусаотносительно: а) оси симметрии, перпендикулярной к плоскости диска; б) оси, совпадающей с диаметром диска.

Р е ш е н и е. а)Выберем на диске цилиндрический слой радиуса и шириной(см. рис. 3а). Так как все элементы цилиндрического слоя находятся на одном расстоянии от центра кольца, его момент инерции равен

(14)

где – масса кольца, которую можно найти, определив поверхностную плотность материала дискаи умножив ее на площадь поверхности кольцат.е.

Подставляя это значение в (14) интегрируя пов пределах от 0 до, найдем момент инерции диска относительно оси симметрии

(15)

б) Для нахождения момента инерции диска относительно диаметра, например оси воспользуемся соотношением (6).

Проведем три взаимно перпендикулярные осипересекающиеся в центре диска (рис. 3б). Очевидно, что, тогда из уравнения (6) следует

Подставляя в это выражение значение из уравнения (15), найдем момент инерции диска относительно диаметра

Пример 2. Найти момент инерции однородного шара массы и радиусаотносительно оси, совпадающей с центром шара.

Ре ш е н и е. Вычисление момента инерции шара прямым методом, т.е. с использованием уравнения (1) довольно трудоемкая математическая задача, поэтому для нахождения этого момента инерции воспользуемся соотношением (5). Проведем три взаимно перпендикулярные осипересекающиеся в центре шара (см. рис. 4). Очевидно, что

поэтому соотношение (5) перепишем в виде

(16)

где – искомый момент инерции,– момент инерции шара относительно центра шара.

Для нахождения момента инерции выберем тонкий сферический слой радиусаи толщинойцентр которого совпадает с центром шара (на рис. 4 он выделен цветом). Все элементы этого слоя находятся на одинаковом расстоянии от центра шара, поэтому его момент инерции относительно центра шара равен

. (17)

Объемная плотность шара равна , умножая ее на объем тонкого сферического слоянайдем массу сферического слоя

Подставляя это выражение в (17) и интегрируя в пределах от 0 до , найдем момент инерции шара относительно центра

С учетом этого из уравнения (16) находим искомый момент инерции шара

Пример 3. Однородный цилиндр радиуса раскрутили вокруг его оси до угловой скоростии поместили затем в угол (рис.

5) Коэффициент трения между стенками угла и цилиндром равенСколько оборотов сделает цилиндр до остановки?

Р е ш е н и е. Расставим силы, действующие на цилиндр. Запишем уравнение, описывающее выражение цилиндра относительно его оси

(18)

где – момент инерции цилиндра относительно этой оси. Знак “–” в левой части этого уравнения обусловлен тем, что при замедленном движении модуль углового ускоренияТак как нам необходимо найти число оборотов, которое сделает цилиндр до остановки, исключим из уравнения (18) время. Для этого умножим и разделим левую часть уравнения (18) на

где – угловая скорость вращения цилиндра в некоторый момент времени. После преобразований получим

. (19)

Прежде чем решать это уравнение, найдем выражения для сил трения. Так как центр цилиндра покоится,

Запишем это уравнение в проекциях на оси и(см.

рис. 5)

Решая эту систему уравнений, учитывая, что аполучим выражения для сил трения

Подставляя эти выражения в уравнение (19) и интегрируя левую часть этого уравнения в пределах от до 0, а правую часть в пределах от 0 до, найдем число оборотов, которое сделает цилиндр до остановки

Пример 4. Однородный шар скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. Найти ускорениецентра шара и кинетическую энергию шара через времяпосле начала движения.

Р е ш е н и е. Решим задачу двумя способами.

а) Шар совершает плоское движение. Свяжем подвижную систему отсчета с центром шара. Эта система движется поступательно относительно наклонной плоскости, а шар в этой системе вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Расставим силы, действующие на шар в процессе движения (см. рис.6). Запишем теорему о движении центра масс в проекции на ось (см. рис.6)

(20)

Уравнение вращательного движения шара вокруг оси, проходящей через центр масс имеет вид

(21)

где – угловое ускорение шара,– момент инерции шара относительно оси вращения. Решая совместно уравнения (20) и (21), найдем ускорение центра шараи его угловое ускорение

(22)

Используя формулу (13) для кинетической энергии тела, совершающего плоское движение, и учитывая, что в интересующий нас момент времени и(т.к.ипостоянные), найдем кинетическую энергию шара через времяпосле начала движения

б) Так как шар катится без проскальзывания, точка соприкосновения шара с наклонной плоскостью имеет скорость равную нулю. Поэтому прямая, перпендикулярная плоскости рисунка и проходящая через точкуявляется мгновенной осью вращения.

Относительно этой оси шар совершает вращательное движение, поэтому для описания движения достаточно записать уравнение (12) в виде

(23)

где – момент инерции шара относительно мгновенной оси вращения. Согласно теореме Штейнера момент инерцииравен

Подставляя это выражение в уравнение (23), находим ускорение центра шара и его угловое ускорение(см. уравнения (22)).

Кинетическая энергия шара, в этом случае, определяется только вращательным движением

Заметим, что при любом способе решения, кинетическую энергию шара можно найти из закона сохранения энергии (сила трения работы не совершает, т.к. эта сила – сила трения покоя). Пусть за время высота центра шара изменилась на(см. рис.6), тогда

(24)

где – расстояние, пройденное центром шара за времяПодставляя в (24) выражение дляи, находим кинетическую энергию шара

Пример 5.

Однородный стержень длины может вращаться вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через один из его концов (рис. 7). Систему равномерно вращают с угловой скоростьювокруг вертикальной оси. Пренебрегая трением, найти уголмежду стержнем и вертикалью.

Р е ш е н и е. Решим задачу двумя способами. Первое решение приведем в инерциальной системе отсчета, т.е. в системе, в которой стержень вращается. Второе решение – в неинерциальной системе отсчета, жестко связанной со стержнем.

а) Система отсчета, в которой будем решать задачу, на рис. 7 не показана. Решение задачи относительно вертикальной оси вращения не даст желаемого результата, т.к. моменты сил, действующих на стержень (сила тяжести и сила реакции в точке ), относительно этой оси равны нулю, и величина момента импульса остается постоянной.

Поэтому будем решать задачу относительно точки подвеса стержня. Напомним, что уравнение моментов относительно точки имеет вид

откуда видно, что направление изменения момента импульса совпадает по направлению с направлением момента силдействующих на стержень, поэтому в дальнейшем это уравнение будем записывать для модулейи

(25)

Момент силы реакции в точке равен нулю, т.

к. плечо этой силы равно нулю. Направление момента силы тяжести показано на рис.7, а величина равна

(26)

Найдем величину и направление момента импульса стержня относительно точкиДля этого выделим на стержне небольшой участок длинойи массойположение которого относительно точкизададим радиус-вектором(см. рис. 7). Обозначим величину момента импульса этого участка какТак как стержень вращается вокруг вертикальной оси, так как показано на рисунке, скоростьэтого участка будет направлена за плоскость рисунка, поэтому как следует из определения момента импульса

,

он будет направлен перпендикулярно стержню, как показано на рис. 7. Очевидно, что направления всех моментов импульса остальных участков стержня будут иметь такое же направление, поэтому результирующий момент импульса будет также перпендикулярен стержню. Учитывая, что векторы ивзаимно перпендикулярны, величинаравна

Интегрируя это уравнение

найдем величину момента импульса стержня относительно точки

Момент импульса поворачивается вместе со стержнем, и за время повернется на некоторый угол, получив приращение(см. рис.8). Найдем величину этого приращения

или

. (27)

Подставляя уравнение (26) и (27) в уравнением моментов (25), получим

где . Преобразуем это уравнение к виду

. (28)

Если величина

уравнение (28) имеет одно решение , и это положение устойчивое, т.е. стержень будет занимать вертикальное положение и будет вращаться вокруг собственной оси.

Если то уравнение (28) будет иметь два решение

и ,

причем можно показать, что первое решение перестает быть устойчивым, и стержень отклонится на угол, определяемый вторым решением.

б) Решим теперь задачу в неинерциальной системе отсчета, жестко связанной со стержнем. В этой системе отсчета на стержень, кроме сил взаимодействия действует центробежная сила инерции. Так как стержень находится в равновесии, сумма моментов сил, действующих на стержень, должна равняться нулю, т.е.

где – величина момента силы тяжести,– величина момента центробежной силы инерции относительно точкиВеличина момента силы тяжести определяется уравнением (26). Для нахождения момента центробежной силы инерции воспользуемся рис. 7, считая, что стержень покоится.

На выделенный участок стержня действует центробежная сила инерции

величина момента которой, относительно точки равна

Интегрируя это выражение по всей длине стержня, получим

.

Подставляя это выражение и соотношение (26) в уравнение моментов (25), получим уравнение

,

в точности совпадающее с уравнением (28).

Надо заметить, что решение этой задачи в неинерциальной системе отсчета много проще, чем в инерциальной.

Пример 6. Однородная тонкая квадратная пластинка массы может свободно вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси, совпадающей с одной из ее сторон. В центр пластины по нормали к ней упруго ударяется шарик массылетевший со скоростьюНайти величину скорости шарикасразу после удара.

Р е ш е н и е. Система “пластина-шарик” незамкнута, так как для удержания оси пластины в неподвижном состоянии к ней необходимо приложить внешние силу. Однако надо заметить, что момент этих внешних сил относительно оси равны нулю, т.к. они приложены непосредственно к оси.

Для решения задачи воспользуемся законами сохранения энергии (удар упругий) и законом сохранения момента импульса (сумма момента внешних сил относительно оси равен нулю). Будем считать, что длина стороны пластины равна и шарик после удара будет лететь в прежнем направлении, тогда

,

где – момент инерции пластины относительно оси,– угловая скорость, с которой пластина будет вращаться после удара вокруг оси.

Для простоты решения этой системы перепишем ее в виде

(29)

Разделив первое уравнение не второе, получим

(30)

Решая совместно уравнения (29) и(30) и учитывая, что момент инерции пластины относительно оси, совпадающей с одной из ее сторон равен (докажите это самостоятельно), найдем скорость шарика после удара

Заметим, что если , скорость шарика после удара становится отрицательной. Это означает, что пришарик полетит в обратную сторону.

Пример 7. Однородный диск радиуса и массылежит на гладкой горизонтальной поверхности. На боковую поверхность диска плотно намотана нить, к свободному концукоторой приложили постоянную горизонтальную силуПосле начала движения диска точкапереместилась на расстояниеНайти угловую скорость диска к этому моменту времени.

Р е ш е н и е. Под действием силы диск будет совершать плоское движение. Свяжем подвижную систему отсчета с центром масс диска. Величину ускорения центра масснайдем из второго закона Ньютона, записанного в проекции на направление движения

. (31)

В системе отсчета, связанной с центром масс, диск вращается с угловым ускорением , которое найдем из уравнения вращательного движения диска

(32)

где – момент инерции диска, относительно оси вращения.

Найдем величины скорости центра масс диска и угловой скорости его вращения к моменту времени, когда точка приложения силысовершит перемещениеТак как в начальный момент времени диск покоился, а величины ускоренийине меняются с течением времени (см. уравнения (31) и (32)), получим

Исключая из этих уравнений время найдем связь между скоростью центра масс и угловой скоростью вращения диска

(33)

Запишем теорему об изменении кинетической энергии для диска

(34)

где – работа всех сил, действующих на диск. Силы тяжести и сила реакции опоры работу на совершают, работу совершает только постоянная силаПо определению работа постоянной силы равна произведению модуля силы наперемещение точки приложения силы, таким образом

. (35)

Подставляя выражения (33) и (35) в уравнение (34), найдем величину угловой скорости диска к моменту времени, когда точка приложения силы совершит перемещение

Примеры решения задач по теме «Динамика вращательного движения абсолютно твёрдого тела»

Подробности

Просмотров: 825

«Физика — 10 класс»

При решении задач на эту тему следует иметь в виду, что моменты силы, инерции и импульса зависят от выбора оси вращения. Кроме этого, нужно обращать внимание на то, что моменты импульса всех тел записываются относительно одной и той же системы отсчёта.

Задача 1.

На блок радиусом r и массой m₁ намотана нить, к концу которой привязан груз массой m₂ (рис. 6.12).

Груз отпускают, и он движется вниз, раскручивая нить. Определите ускорение груза. Массой нити можно пренебречь.

Р е ш е н и е.

Обозначим на рисунке силы, действующие на блок и груз.

На блок действуют сила тяжести m₁, сила реакции опоры и сила натяжения нити.

На груз действуют сила тяжести m2 и сила натяжения ‘.

Согласно второму закону Ньютона в проекции на ось Y для груза запишем:

m₂a = m₂g — T’.         (1)

Согласно основному закону динамики вращательного движения для блока запишем:

Iε = Tr.         (2)

Момент инерции блока Связь углового и линейного ускорений а = εr.

Так как по условию задачи нить невесома, то Т = Т’.

Преобразуем уравнение (2): тогда

Подставив это выражение в уравнение (1), получим

Окончательно

Задача 2.

Скамья Жуковского радиусом 1 м со стоящим в центре человеком вращается, делая 2 об/с. Человек переходит на край скамьи. Определите изменение угловой скорости вращения скамьи. Масса человека 50 кг, момент инерции скамьи 30 кг • м².

Р е ш е н и е.

Так как внешние силы — сила тяжести и сила реакции опоры, направленные параллельно оси вращения, не могут изменить момент импульса системы тел «скамья—человек», то согласно закону сохранения импульса

I₁ω₁ = I₂ω₂.                     (1)

Когда человек находится в центре скамьи, то момент инерции системы равен только моменту инерции скамьи: I₁ = I_ск.

После того как человек перешёл на край скамьи, момент инерции системы стал равен I₂ = I_ск + mr².

Угловая скорость связана с числом оборотов в секунду соотношением ω₁ = 2πn.

Подставив найденные выражения в уравнение (1), получим I_ск2πn = (I_ск + mr²)ω₂. Тогда

Изменение угловой скорости

Задача 3.

На наклонную плоскость вкатывается колесо, двигавшееся по горизонтальной поверхности со скоростью 4 м/с. Вся масса колеса сосредоточена в ободе. Определите максимальную высоту, на которую поднимется колесо. Работой силы трения можно пренебречь.

Р е ш е н и е.

Выберем нулевой уровень отсчёта потенциальной энергии так, как показано на рисунке 6.13. Учтём, что момент инерции колеса-обруча I = mR², а угловая скорость вращения ω = υ/R. Механическая энергия колеса на горизонтальной поверхности равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений колеса:

На максимальной высоте механическая энергия равна потенциальной энергии Е₂ = mgh. Согласно закону сохранения механической энергии получим Е₁ = Е₂, или mυ² = mgh, откуда h = υ²/g = 1,6 м.

Задача 4.

Сплошной цилиндр раскрутили до угловой скорости ω и положили на пол к стенке. Коэффициент трения между стенкой, полом и цилиндром μ, радиус цилиндра R. Определите, сколько оборотов сделает цилиндр до остановки.

Р е ш е н и е.

Решаем задачу, используя теорему об изменении кинетической энергии. При этом учтём, что ось вращения цилиндра неподвижна, момент инерции цилиндра относительно этой оси равен соответственно кинетическая энергия цилиндра вначале равна

Изменение кинетической энергии равно алгебраической сумме работ сил, действующих на него:

На цилиндр (рис. 6.14) действуют силы тяжести m реакции опоры ₁, ₂ и силы трения _тр1, _тр2.

Так как перемещается относительно стенок угла только точка приложения сил трения, то работу совершают только силы трения. В связи с этим справедливо уравнение

Работы сил трения равны A_тp1 = -F_тp12πRn; A_тp2 = -F_тp12πRn, где n — число полных оборотов цилиндра до остановки, а силы трения определяются силами реакции опоры стенок на цилиндр: F_тp1 = μN₁; F_тp2 = μN₂.

Найдём силы реакции опоры.

По условию задачи цилиндр только вращается, его центр тяжести не движется, следовательно, векторная сумма сил, действующих на него, равна нулю:

m + 1 + 2 + _тp1 + _тp2 = 0.

В проекциях на оси ОХ и OY имеем

F_тp1 — N₂ = 0;         (2)
N₁ + F_тp2 — mg = 0.         (3)

Подставив в уравнения (2) и (3) выражения для сил трения, получим

μN₁ — N₂ = 0;         (4)
N₁ + μN₂ — mg = 0.         (5)

Решая систему уравнений (4) и (5), найдём силы реакции опоры:

Тогда число оборотов до остановки цилиндра

Источник: «Физика — 10 класс», 2014, учебник Мякишев, Буховцев, Сотский

Следующая страница «Равновесие тел»

Назад в раздел «Физика — 10 класс, учебник Мякишев, Буховцев, Сотский»

Законы сохранения в механике — Физика, учебник для 10 класса — Класс!ная физика

Импульс материальной точки — Закон сохранения импульса — Реактивное движение. Успехи в освоении космоса — Примеры решения задач по теме «Закон сохранения импульса» — Механическая работа и мощность силы — Энергия. Кинетическая энергия — Примеры решения задач по теме «Кинетическая энергия и её изменение» — Работа силы тяжести. Консервативные силы — Работа силы упругости. Консервативные силы — Потенциальная энергия — Закон сохранения энергии в механике — Работа силы тяготения. Потенциальная энергия в поле тяготения — Примеры решения задач по теме «Закон сохранения механической энергии» — Основное уравнение динамики вращательного движения — Закон сохранения момента импульса. Кинетическая энергия абсолютно твёрдого тела, вращающегося относительно неподвижной оси — Примеры решения задач по теме «Динамика вращательного движения абсолютно твёрдого тела»

2\,\mathrm{d}м,\номер \end{выравнивание} где $r$ — перпендикулярное расстояние элемента массы $\mathrm{d}m$ от оси. 2. \номер \end{выравнивание} Момент инерции является минимальным для оси, проходящей через центр масс, т. е. $ I_\mathrm{cm} \leq I_\parallel$.

Теорема перпендикулярных осей

Пусть плоская пластинка лежит в плоскости x-y. Момент инерции пластинки относительно оси, перпендикулярной ее плоскости, определяется выражением \начать{выравнивать} I_z=I_x+I_y, \номер \end{выравнивание} где $I_x$ и $I_y$ — его моменты инерции относительно осей x и y.

Радиус вращения

Радиус вращения ($k$) тела массы $m$ вокруг оси A-A определяется как \начать{выравнивать} k=\sqrt{I/m}, \nonumber \end{выравнивание} где $I$ — момент инерции тела относительно оси А-А. 92.\номер \end{выравнивание}

Другие решенные задачи на момент инерции из IIT JEE

• Момент инерции тонкой квадратной пластины ABCD (IIT JEE 1992)
• Пусть I будет моментом инерции квадратной пластины (IIT JEE 1998)
• Тонкая проволока длиной L с одинаковой линейной плотностью массы (IIT JEE 2000)
• Одна четверть вырезана из однородного круглого диска (IIT JEE 2001)
• Твердая сфера радиуса R, расплавленная в диск (IIT JEE 2006)
• Четыре твердых сферы диаметром каждая (IIT JEE 2011)
• Пластинка изготавливается путем удаления небольшого диска диаметром 2R с диска большего размера (IIT JEE 2012)
• Плотность двух твердых сфер A и B радиуса R (IIT JEE 2015)

Похожие темы

• Кинематика твердых тел
• Момент инерции
• Угловой момент
• Угловой момент снаряда
• Крутящий момент
• Сохранение углового момента
• Фиксированная ось вращения
• Прокатка без проскальзывания колец цилиндров и сфер
• Равновесие твердых тел
• Направление силы трения на колесах велосипеда

Ссылки

1. IIT JEE Physics Джитендер Сингх и Шраддхеш Чатурведи
2. 300 решенных задач по механике вращения Джитендер Сингх и Шраддхеш Чатурведи

домашнее задание и упражнения — Как решить момент инерции?

спросил 5 лет, 9 месяцев назад

Изменено 1 год, 2 месяца назад

Просмотрено 643 раза

$\begingroup$

Источник говорит мне использовать формулу для кольца, но это невозможно, так как части расположены ближе к оси, чем обычное кольцо.