Site Loader

Содержание

Законы Кирхгофа, объясняем простыми словами | Энергофиксик

С помощью первого и второго законов Кирхгофа, а также закона Ома можно найти параметры схемы любой сложности. Поэтому знание, а самое главное понимание этих трех законов строго обязательно для всех кто занимается электроникой. В этой статье я постараюсь максимально просто объяснить и на простейших схемах показать, как работают законы Кирхгофа. Итак, давайте начнем.

Первый закон Кирхгофа

Итак, Первый закон Кирхгофа говорит нам о том, что сумма токов в любом узле абсолютно любой электрической цепи равна нулю. Или так же говорит, что алгебраическая сумма втекающих токов равна алгебраической сумме вытекающих из узла токов.

Узлом в сети называется такой участок цепи, в котором соединяются три и более проводника. Ток, входящий в узел, обозначается стрелочкой, имеющей направление к узлу, а вытекающий — стрелочкой, имеющей направление от узла

И теперь на основании первого закона Кирхгофа запишем следующее уравнение:

Эта же формула может быть записана следующим образом:

При этом положительные и отрицательные знаки токам присвоены условно и если вы поменяете их с точностью до наоборот, то ничего принципиально не изменится.

Для того, чтобы наглядно увидеть работу Первого закона Кирхгофа, давайте соберем простейшую схему.

В качестве источника питания вы можете выбрать абсолютно любой элемент, начиная от пальчиковой батарейки и заканчивая блоком питания с возможностью регулировки.

Примечание. Не обязательно использовать резисторы с номиналом, который указан на схеме. Вы можете подобрать абсолютно любые, какие есть у вас в наличии.

Итак, согласно 1 закону Кирхгофа у нас должно быть верно, следующее уравнение:

Либо верно:

Для проведения практических измерений нам нужно в место на схеме где указан амперметр подключить, например, мультиметр.

Как мы видим по показаниям мультиметра закон работает.

Второй закон Кирхгофа

С пониманием второго закона у многих радиолюбителей в самом начале пути возникают трудности. Но если объяснить по-простому, то все более чем просто, сейчас докажу.

Итак, определение второго закона Кирхгофа звучит так:

В любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме напряжений на всех пассивных элементах цепи.

Согласитесь, звучит не очень понятно, а вот если сказать проще то:

Сумма ЭДС в замкнутом контуре равна сумме падений напряжений и формула, выражающая этот закон, будет иметь такой вид

Или же

Для понимания давайте разберем самую простую схемку с одним пассивным элементом (резистором) и источником питания в виде пальчиковой батарейки.

Так как у нас резистор один, то падение напряжение на его выводах будет равно величине ЭДС элемента питания (батарейки), то есть 1,5 В = 1,5 В.

Если несколько усложнить схему и добавить к резистору еще один с аналогичным сопротивлением, то в этом случае, то напряжение в 1,5 Вольта поделится пополам на резисторах и будет равно 0,75 В.

Так же произойдет деление напряжения, если мы в цепочку включим третий резистор с одинаковым сопротивлением.

Формула обретет следующий вид:

Давайте для понимания соберем эту схему и произведем измерения.

Как видите, согласно второму закону Кирхгофа, небольшое расхождение в показаниях мультиметра спишем на погрешность прибора (китай как никак).

Кроме одного источника питания в цепи их может быть несколько как, например, в этой схеме

В этом случае у нас два источника питания подключены последовательно встречно, в таком варианте к нашим резисторам будет приложена разность ЭДС, то есть формула обретет следующий вид:

Второй закон Кирхгофа функционирует в цепях независимо от того сколько источников ЭДС и нагрузок будет в схеме. Так же нет принципиальной разницы, где они будут располагаться.

Так же первый и второй законы Кирхгофа одинаково применимы как для постоянного, так и для переменного тока.

Статья оказалась полезна или интересна, тогда ставим лайк и спасибо за уделенное внимание!

Все законы Кирхгофа — формулы и определения первого и второго закона для тока и напряжения

Содержание

По всем проводникам, которые являются частью электрической цепи, протекает электрический ток. При проведении расчётов не редкостью являются случаи, когда необходимо вычислить параметры тока и напряжения в цепях сложной формы, то есть в тех, где имеются разветвления. Для получения точных расчётов применяют правила Кирхгофа, которые иногда называют законами. Используя их вместе с законами Ома, можно с легкостью определять параметры независимых контуров в самых разветвленных и сложных цепях. Важным преимуществом данных законов является то, что не нужно использовать глубокие расчёты, благодаря приведенным алгоритмам посчитать сможет даже неопытный физик, сложные и многоуровневые расчёты превращаются в простые односложные сложения.

Закон Кирхгофа своими словами, кратко и понятно для чайников

История возникновения закона начинается с первого упоминания немецкого учёного Кирхгофа в XIX веке. В этот период в стране проходили репрессии, остро ощущалась нехватка новых технологий. Учёные искали решения, способные ускорить развитие промышленности. Вышеупомянутый учёный занимался исследованиями в области электричества. Он точно осознавал, что будущее за технологиями. Однако была проблема: как провести точные математические вычисления в цепях сложной формы. Тогда и возник закон.

К узлу подходят два провода, в то время как отходит всего один. Значение тока, который протекает по направлению от узла, равняется сумме протекающего по оставшимся двум проводникам, иными словами, идущим к нему. Правило, о котором идёт речь в статье, даёт понятное объяснение тому, что в противном случае происходило бы накопление заряда, однако такого никогда не бывает. Каждый физик на практике знает, что любую сложную цепь можно разделить на небольшие участки.

Возникает другая сложность: трудно определить путь, по которому он проходит. Более того, важно понимать, что на различных участках сопротивления разные, а из этого следует, что энергия будет распределяться неравномерно.

Первый закон Кирхгофа: определение

Первый закон, или, как он известен некоторым, правило, Густава Кирхгофа был выведен на основании другого закона – сохранения заряда. Как уже было упомянуто раннее, физик осознавал, что в узле надолго заряд задержаться не сможет, так как распределится по ветвям контура, которые образуют эти соединения.

Важно! У Кирхгофа было предположение, которое он впоследствии сумел доказать, благодаря проведенным экспериментам, что количество зарядов, оказавшихся в узле, равняется количеству тока, вытекающего из него.

Схема первого закона Кирхгофа

На рисунке показана схема, состоящая из нескольких контуров. Все части рисунка подписаны. Итак, закон № 1 утверждает, что сумма токов в любом узле абсолютно любой электрической цепи равняется нулю. Согласно правилу, входящий ток равен сумме выходящих, поэтому I1 = I2 + I3. Узлами сети называются такие участки, в которых соединяются несколько проводников. Ток, который оказывается в узле, обозначается стрелкой, направленной к узлу, в то время вытекающий ток – стрелкой от узла. Таким образом, обозначение воспринимается проще в любой задаче.

Наглядно это показано на картинке.

Первый закон Кирхгофа

На основании вышесказанного запишем уравнение первого закона ученого:

I1 + I2 − I3 − I4 − I5 = 0

Эта же формула может быть записана в более сокращенном виде:

I1 + I2 = I3 + I4 + I5

Важно! Положительные или же противоположные – отрицательные – знаки токам присвоены в условном порядке. Их можно поменять, значение не поменяется.

Для примера разберём схему, изображённую на картинке выше.

Источник питания может быть абсолютно любой природы, им могут быть пальчиковые батарейки или же полноценный блок питания с возможностью регулировки. Итак, следуя первому закону, верным будет уравнение:

I1 − I2 − I3 = 0 или же I1 = I2 + I3

Чтобы продолжить измерения, необходимо в место на схеме, где указан амперметр, подключить мультиметр, который покажет, что закон полностью работает.

Формула для электрической и магнитной цепи

При проведении расчётов используют вышеупомянутые законы.

Первый закон для магнитных цепей вытекает из принципа непрерывности магнитного потока, который известен ещё из курса физики.

Второй же закон, если разобрать по частям, понятно, является иной формой записи закона полного тока. Прежде чем записать уравнения, необходимо в любом порядке остановить свой выбор на положительном направлении потоков в ветвях, аналогичное действие необходимо провести с напряжением обхода контуров. Если направление магнитного потока на определённом участке совпадает с направлением обхода, то магнитное напряжение на этом участке будет положительным, если же оно определяется как противоположное, то значение будет отрицательным.

Схожий случай, если МДС совпадает с направлением обхода, тогда знак положительный, в противном случае – отрицательный.

Закон для магнитных цепей

Для примера рассмотрим схему. Левая ветвь пусть будет первой, все относящиеся к ней величины будут записаны с индексом 1. Средняя весть будет второй, и величины получат индекс 2. Соответственно, величины правой ветви – индекс 3.

В произвольном порядке выберем направление потоков в ветвях. Предположим, что направление всех потоков будет вверх. Следуя первому закону, необходимо составить для каждого узла цепи уравнение. В цепи всего два узла, соответственно, составим всего одно уравнение:

Ф1 + Ф2 + Ф3 = 0

Далее используем второй закон Кирхгофа, по которому нужно составить столько уравнений, сколько ветвей, не учитывая числа уравнений, составленных по первому закону.

Итак, запишем уравнения. Первое будет предназначено для контура, образованного первой и второй ветвями, второе – для контура, который будет образован первой и третьей ветвями.

Перед тем как составлять уравнения по второму закону, нужно выбрать положительное направление обхода контуров. Контуры будем обходить по часовой стрелке.

Итак, итоговое уравнение имеет вид:

H1l1 + Hδ1δ1 − H2l2 − Hδ2δ2 = I1w1 − I2w2

В левую часть уравнения были включены слагаемые со знаком плюс, потому что на первом участке поток направлен соответственно обходам контура, а слагаемые – с отрицательным знаком, потому что поток направлен в противоположную обходу контура сторону.

Второй закон Кирхгофа: определение

Второй закон вызывает у многих вопросы, так как он несколько труднее первого, но этот миф легко можно развеять, объяснив принцип работы. Для начала необходимо разобрать определение закона, который звучит таким образом:

в любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме напряжений на всех пассивных элементах цепи.

Формулировка определения несколько затрудняет его понимание, поэтому можно упростить: сумма ЭДС в замкнутом контуре равняется сумме падений напряжений. Так намного проще и понятнее.

Закон напряжения и формула для магнитной цепи

Формула, которая выражает этот закон, примет такой вид:

Формула второго закон Кирхгофа

В качестве примера возьмём самый элементарный и понятный для всех случай. Нам понадобится взять батарейку и резистор – всё в одном экземпляре. Так как резистор в единичном количестве, так же как и батарейка, то ЭДС батарейки будет равняться 1,5 ватт, и это равно падению напряжения на резисторе.

Если для примера взять уже два резистора и подключить их к батарейке, то 1,5 ватт будут распределяться равномерно на обоих резисторах, то есть на каждом окажется по 0,75 ватт. Если взять уже три резистора по 1 кОм, то падение напряжения будет на них уже по 0,5 ватт. Логика расчётов сохраняется в любом случае. Формула примет вид:

Формула Е1 = IR1 + IR2 + IR3
Преобразование 1,5 Вт = 0,5 Вт + 0,5 Вт + 0,5 Вт
Итог 1,5 Вт = 1,5 Вт

Важно! Второй закон будет работать независимо от того, сколько использовано источников питания и нагрузок. Не влияет на расчёты и место их расположения в контуре схемы. Так что даже у разных схем решение может быть одинаковым, но должно быть соблюдено условие – количество элементов должно быть идентичным.

Закон Кирхгофа для теплового излучения

Данный закон имеет другое название «третий закон». Сперва для лучшего понимания введем понятие теплового излучения. Принято называть тепловым излучение электромагнитное излучение, возникающее благодаря чужеродной энергии вращательного и колебательного движения атомов, молекул. Данное явление можно обнаружить абсолютно у всех тел, имеющих температуру не равняющуюся нулю или меньше. Основной количественной характеристикой теплового излучения выступает энергетическая светимость. Она должна быть вычислена одной из первых или же указана в условиях. Рассчитать её самостоятельно весьма проблематично. Её значение не постоянное, оно может меняться в зависимости от определенных характеристик: оказывает влияние температура окружающей среды, а также уровень нагретости тела. Имеет значение и длина, чем длиннее — тем значение меньше.

Формула выглядит таким образом:

R = E/(S·t), [Дж/(м2с)] = [Вт/м2]

Ещё одной характеристикой остаётся спектральная плотность энергетической светимости.

Важно ввести ещё одно понятие: коэффициент поглощения – это отношение поглощенной телом энергии к падающей энергии. Только теперь перейдем непосредственно к выделенному закону. Первое, что нужно сказать, что тепловое излучение является равновесной величиной. Это указывает на то, что сколько энергии будет излучаться телом, столько и им же и поглотится. При расчётах данное заявление имеет существенное значение. Можно сразу приравнивать оба значение. Таким образом, для трёх тел, которые находятся в замкнутой полости, формула примет вид:

Закон для теплового излучения

Раннее указанная формула будет верной даже тогда, когда какое-либо тело из указанных будет АЧ:

Закон звучит данным образом: отношение спектральной плотности энергетической светимости тела к его монохроматическому коэффициенту поглощения (при определенной температуре и для определенной длины волны) не зависит от природы тела и равно для всех тел спектральной плотности энергетической светимости при тех же самых температуре и длине волны.

Законы Кирхгофа в комплексной форме

Итак, для того, чтобы вывести математическую формулировку первого закона в комплексной формуле, необходимо представить все синусоидальные токи в комплексных значениях. Формула примет данный вид:

Комплексная форма первого закона Кирхгофа

Расшифровывая формулу получим, что алгебраическая сумма комплексных значений токов всех ветвей, которые сходятся в узле цепи, будет равняться нулю.

Закон №2 сформулирован не менее просто. Для контура замещения, который содержит лишь неактивные элементы и источники ЭДС, в каждую секунду алгебраическая сумма напряжений на данных элементах контура равняется числовой сумме ЭДС. Некоторым может показаться данная формулировка трудной, но при реальном разборе станет ясно, что все весьма просто и элементарно:

Комплексная форма второго закона Кирхгофа

Например, рассмотрим рисунок. Для выбранного на схеме замещения контура 1

u1-u2-u3+u4=0

Для второго контура:

ur-uL=e1-e2

В комплексной записи закон выглядит таким образом:

Контур 1

Контур 2

Задачи и примеры на законы Кирхгофа с решением

На картинках ниже подробно разобраны 2 задачи с применением законов Кирхгофа. Полное решение с наглядным примером на схемах и ответ.

Пример решения задачи по законам КирхгофаЧитайте также. Похожие записи.

Поделитесь статьей:

comments powered by HyperComments

Законы кирхгофа 1 и 2 для чайников

Господа, всем привет!

Сегодня мы рассмотрим второй закон Кирхгофа. Он чуть сложнее, чем первый закон Кирхгофа, который мы уже рассматривали ранее, поэтому я сперва дам общую формулировку, а потом мы постараемся аккуратно разобраться во всем этом деле.

Итак, второй закон Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма ЭДС, действующих в контуре равна алгебраической сумме падений напряжения в ветвях контура. Может быть сложновато для восприятия, если вы читаете это в первый раз, не спорю. Но сейчас попробуем разобраться более детально во всем этом. Для начала давайте определим, что же такое контур электрической цепи, где эти самые ЭДС действуют. Пожалуй, это тот случай, когда проще нарисовать картинку, чем объяснять словами. Взглянем на рисунок 1.

Рисунок 1 – Контура в схеме

На нем мы можем видеть три контура: я обозначил их красным, оранжевым и синим цветами. То есть контур – это некоторая замкнутая часть электрической цепи, состоящая из нескольких ветвей.

То есть что говорит второй закон Кирхгофа? У нас есть большая и сложная электрическая схема. В ней много различных контуров. Будем рассматривать подробно один из этих контуров, любой на выбор. И вот если мы в этом контуре сложим ЭДС всех источников, какие там есть, то их сумма будет равна сумме падений напряжения на всех сопротивлениях этого контура. И это верно для любого контура в нашей схеме. Довольно интересный факт. И если про первый закон Кирхгофа можно говорить, что он интуитивно очевиден, то здесь, вообще говоря, это не совсем так. А поскольку он не очевиден на первый взгляд, тем больше поводов показать его верность математически.

Господа, прошу обратить внимание на рисунок 2. На нем изображен один из контуров какой-то сложной электрической схемы.

Рисунок 2 – Контур схемы

Почему он именно такой, можете вы спросить? Да просто так! Я рисовал его так, как подскажет фантазия в тот момент. Вы можете смело заявить, что ваша фантазия лучше и нарисовать какой-либо другой контур с другими компонентами. Потом повторите все действия, которые я буду производить над этим контуром, и в конечном счете у вас должен получиться точно такой же результат, как и у меня.

Первым делом давайте зададимся направлением обхода контура. Это некоторое направление в контуре, которое мы принимаем за положительное. Можно в какой-то степени назвать это аналогом осей координат в математике. Направление обхода контура у нас по часовой стрелке, и я показал его синей стрелочкой на рисунке 2.

Следующим шагом нам надо расставить предполагаемое направление токов в каждой ветви. Тут опять же все целиком отдается вашей фантазии. На данном этапе можно рисовать любое направление токов. Если мы угадали – отлично, если нет – в конце всех расчетов получим ток с другим знаком. Я расставил на рисунке 2 все токи черными стрелками и рядом с ними подписал их величины (I1…I4).

А теперь внимание, господа. Пришло время вспомнить то выражение, ради получения которого я написал предыдущую статью. На всякий случай, если вдруг кто забыл, напоминаю его

Оно означает, что если потенциалы на концах ветви равны φ1 и φ2, то их разность равна ЭДС источника в ветви минус произведение тока в ветви на сопротивление в ветви.

Применим это выражение для каждой ветви нашего контура, изображенного на рисунке 2. Поскольку у нас в контуре четыре ветви, то всего мы получим четыре уравнения. Резонный вопрос – а как быть со знаками при записи этих уравнений? Правила тут два.

  • Если направление работы источника напряжения совпадает с направлением обхода контура, то берем его со знаком плюс. Если не совпадает – со знаком минус. Совсем просто: если стрелка в источнике напряжения совпадает со стрелкой обхода, то Е в уравнении пишется без изменения знака, если стрелки в разные стороны – то надо поставить минус перед E.
  • Если направление тока, которое мы сами выбрали чуть раньше, совпадает с направлением обхода, то в нашем уравнении перед произведением тока на сопротивление так и остается знак минус. Если они направлены в разные стороны, то знак минус меняем на плюс.

Пользуясь этими простыми правилами, запишем уравнения для каждой ветви.

Очевидно, что если в цепи нет источника ЭДС, то у нас не будет первого слагаемого в правой части. А если нет сопротивления, то не будет второго слагаемого в правой части. Собственно, это и видно из составленных уравнений.

Господа, надеюсь вы помните, что с уравнениями в одной системе можно творить всякие интересные штуки? Например, можно все их сложить между собой (правые и левые части). Легко заметить, что при сложении всех этих четырех уравнений в левой части будет нолик, то есть все потенциалы волшебным образом самоликвидируются. Сделаем это! Получим

А теперь давайте перенесем все слагаемые с ЭДС в одну сторону, а с током и сопротивлением – в другую. Имеем

А имеем мы, собственно, второй закон Кирхгофа. Все честно, как я и писал в начале – алгебраическая сумма ЭДС, действующих в контуре равна алгебраической сумме падений напряжения в ветвях контура. Надеюсь, господа, после статьи про закон Ома у вас не возникает вопросов, почему произведение тока на сопротивление – это падение напряжения на сопротивлении? Если возникает – срочно, очень срочно, прямо сейчас пройдитесь по этой ссылке и разрешите эти вопросы!

А что же все-таки тут понимается под словом алгебраическая сумма? Это словосочетание нам уже встречалось. Это значит, что складывать надо с учетом знака. А как выбирать правильно этот самый знак? Господа, взгляните еще разок на рисунок 2. Там у нас задано направление обхода контура и направление токов. Все это мы выбирали (я бы даже сказал придумывали) сами. Ну и направление работы источника еще видно по его графическому изображению.

Так вот, если направление работы источника ЭДС совпадает с направлением обхода контура, то мы ему приписываем знак плюс, а если не совпадает – минус. Аналогично и для правой части. Если направление тока совпадет с направлением обхода, то мы пишем произведение тока на сопротивление со знаком плюс. Иначе – со знаком минус.

Специально для труЪ-математиков привожу запись второго закона Кирхгофа с использованием хитрых значков суммирования. Вне всякого сомнения, если вы будете использовать эту запись, то произведете впечатление человека, который шарит в теме!

Здесь у нас N источников c ЭДС Ei и M ветвей с сопротивлениями Rjи токами Ij. Разумеется, суммирование идет все так же с учетом знаков.

Может возникнуть резонный вопрос: «Как же так? Получается, я сам все придумываю: и направление обхода, и направление токов и это значит, что знак может получиться любой. Поверну стрелку тока в другую сторону и сразу знак у слагаемого поменяется! Но ведь в реальной схеме токи всегда текут в своем направлении вне зависимости от того, что я там нарисую на листочке! Какое-то противоречие!» Господа, вопрос весьма справедливый. Но предлагаю разобраться в нем в следующей статье. Сохраним некоторую интригу на текущий момент, как принято во всяких этих сериальчиках . А сейчас – спасибо, что прочитали статью, огромной вам всем удачи, и пока!

Вступайте в нашу группу Вконтакте

Вопросы и предложения админу: This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it.

На практике очень часто встречаются сложные (разветвленные) электрические цепи, для расчета которых удобно использовать правила Кирхгофа (рис. 4.22).

Рис. 4.22. Г. Кирхгоф (1824–1887) — немецкий физик

Первое правило Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда и того естественного требования, чтобы при стационарных процессах ни в одной точке проводника не накапливались и не уменьшались заряды. Это правило относится к узлам, то есть к таким точкам в разветвленной цепи, в которой сходится не менее трех проводников.

Первое правило Кирхгофа гласит:

Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю, то есть количество зарядов, приходящих в данную точку цепи в единицу времени, равно количеству зарядов, уходящих из данной точки за то же время

При этом токи, подходящие к узлу и отходящие от него, имеют противоположные знаки (рис. 4.23).

Рис. 4.23. Сумма токов, сходящихся в узле равна нулю

Второе правило Кирхгофа является обобщением закона Ома и относится к любому замкнутому контуру разветвленной цепи.

Второе правило Кирхгофа гласит:

В любом замкнутом контуре цепи алгебраическая сумма произведений токов на сопротивления соответствующих участков контура равна алгебраической сумме ЭДС в контуре (рис. 4.24)

Рис. 4.24. Пример разветвленной электрической цепи.
Цепь содержит один независимый узел (a или d) и два независимых контура (например, abcd и adef)

Правила Кирхгофа позволяют определить силу и направление тока в любой части разветвленной цепи, если известны сопротивления ее участков и включенные в них ЭДС. Число уравнений, составляемых по первому и второму правилам Кирхгофа, должно равняться числу искомых величин. Используя первое правило Кирхгофа для разветвленной цепи, содержащей m узлов и n ветвей (участков), можно написать (m – 1) независимых уравнений, а используя второе правило, (nm + 1) независимых уравнений.

Приведем пример расчета токов в разветвленной цепи (рис. 4.25).

Рис. 4.25. Пример разветвленной цепи

Направления действия ЭДС показаны синими стрелками. В этой цепи у нас имеется два узла — точки b и d (m = 2), и три ветви — участок bаd с током I1, участок bd с током I2 и участок bcd с током I3 (n = 3). Значит, мы можем написать одно (m – 1 = 2 – 1 = 1) уравнение на основе первого правила Кирхгофа и два (nm + 1 = 3 – 2 + 1 = 2) уравнения на основе второго правила Кирхгофа. Как же это делается на практике?

Шаг первый. Выберем направления токов, текущих в каждой из ветвей цепи. Как эти направления выбрать — совершенно неважно. Если мы угадали, в окончательном результате значение этого тока получится положительным, если нет и направление должно быть обратным — значение этого тока получится отрицательным. В нашем примере мы выбрали направления токов как показано на рисунке. Важно подчеркнуть, что направления действия ЭДС не произвольны, они определяются способом подключения полюсов источников тока (см. рис. 4.25).

Шаг второй. Записываем первое правило Кирхгофа для всех узлов кроме одного (в последнем узле, выбор которого произволен, это правило будет выполняться автоматически). В нашем случае мы можем записать уравнение для узла b, куда входит ток I2 и выходят токи I1 и I3

Шаг третий. Нам осталось написать уравнения (в нашем случае – два) для второго правила Кирхгофа. Для этого надо выбрать два независимых замкнутых контура. В рассматриваемом примере имеются три такие возможности: путь по левому контуру badb, путь по правому контуру bcdb и путь вокруг всей цепи badcb. Достаточно взять любые два из них, тогда для третьего контура второе правило Кирхгофа будет выполнено автоматически. Направление обхода контура роли не играет, но при обходе ток будет браться со знаком плюс, если он течет в направлении обхода, и со знаком минус, если ток течет в противоположном направлении. Это же относится к знакам ЭДС.

Возьмем для начала контур badb. Мы выходим из точки b и движемся против часовой стрелки. На нашем пути встретятся два тока, I1 и I2, направления которых совпадают с выбранным направлением обхода. ЭДС также действует в этом же направлении. Поэтому второе правило Кирхгофа для этого участка цепи записывается как

В качестве второго замкнутого пути для разнообразия выберем путь badcb вокруг всей цепи. На этом пути мы встречаем два тока I1 и I3, из которых первый войдет со знаком плюс, а второй — со знаком минус. Мы встретимся также с двумя ЭДС, из которых войдет в уравнения со знаком плюс, а — со знаком минус. Уравнение для этого замкнутого пути имеет вид

Шаг четвертый. Мы нашли три уравнения для трех неизвестных токов в цепи. Решение произвольной системы линейных уравнений описывается в курсе математики. Для наших целей (цепь достаточна проста) можно просто выразить I3 через I1 из уравнения (4.47)

и подставить (4.48), (4.49) в уравнение первого правила Кирхгофа (4.45). Это уравнение содержит лишь неизвестное I1, которое находится без труда

Подставляя это выражение в (4.48), (4.49), находим соответственно токи I2, I3

Шаг пятый. В найденные формулы подставляют численные значения, коль скоро они заданы. Подсчитаем для примера токи в нашей цепи при одинаковых сопротивлениях R1 = R2 = R3 = 10 Ом, но разных ЭДС Имеем:

Последнее значение получилось отрицательным при данных численных характеристиках цепи. Значит, на самом деле направление тока обратно показанному на рисунке. Это естественно: мощный левый источник посылает ток 0,75 А, часть которого (0,45 А) ответвляется в среднюю ветвь, а остаток — 0,3 А — продолжает течь в том же направлении, чему не может воспрепятствовать маломощная правая батарея.

Примечание. Правила Кирхгофа позволяют в принципе рассчитать сколь угодно сложные цепи. Но вычисления могут быть довольно сложными. Поэтому рекомендуется сначала поискать возможную симметрию цепи. Иногда из соображений симметрии более или менее очевидно, что какие-то токи равны между собой или какие-то напряжения равны нулю (и тогда данный участок цепи можно исключить из рассмотрения). Если такое возможно, вычисления существенно упрощаются.

В нашем примере мы пренебрегли внутренним сопротивлением источников тока. При их наличии они также должны включаться в уравнения второго правила Кирхгофа.

Пример. Два одинаковых источника тока с ЭДС и внутренним сопротивлением r соединяются в батарею. Возможны два варианта соединения — последовательное и параллельное (рис. 4.26). При каком соединении ток в нагрузке R будет наибольшим?

Рис. 4.26. Последовательное (1) и параллельное (2) соединение источников тока

Решение. Расчет особенно прост для последовательного соединения: уравнение первого правила Кирхгофа отсутствует, так как в цепи нет узлов. Единственное уравнение второго закона дает

Для упрощения расчета параллельного соединения примем во внимание, что из соображений симметрии токи через источники должны быть равны и совпадать по направлению. Тогда первое правило Кирхгофа дает

Второе правило Кирхгофа, записанное для пути через нижний источник и нагрузку, имеет вид

Отсюда следует, что

Сравнивая (4.53) и (4.56), находим, что при R > r ток последовательной батареи больше (Iпосл > Iпарал) а при R < r он меньше (Iпосл < Iпарал) тока от параллельной батареи. При равенстве внутреннего сопротивления и нагрузки R = r обе батареи дают одинаковый ток.

Законы Кирхгофа (более корректно – правила Киргхгофа) применяются при расчете сложных (разветвленных) электрических цепей. Предлагаю рассмотреть их по очереди и начать, естественно, с первого.

Здесь:

  • I i – ток в узле,
  • n – число проводников, сходящихся в узле,
  • токи, втекающие в узел ( I1, In ) считаются положительными,
  • вытекающие токи ( I2, I3 ) – отрицательными.

В таком виде этот закон звучит и выглядит, наверное, очень академично, поэтому предлагаю все несколько упростить.

Нарисуем разветвленную электрическую цепь в более привычном виде (рис.2) и дадим такую формулировку:

Сумма токов втекающих в узел равна сумме токов, вытекающих из узла.

Для этого случая формула первого закона Кирхгофа примет вид: I= I1+I2+. +In , что для повседневных вычислений гораздо удобнее.

ВТОРОЙ ЗАКОН КИРХГОФА

Второй закон Кирхгофа определяет зависимость между падениями напряжений и ЭДС в замкнутых контурах и имеет следующий вид (рис.3) и определение:

При отсутствии в контуре ЭДС сумма падений напряжений равна 0.

Теперь несколько пояснений по практическому применению этого правила Кирхгофа:

  • поскольку, алгебраическая сумма требует учета знака следует выбрать направление обхода контура ( на рис.3 – по часовой стреклке), токи и напряжения, совпадающие с этим направлением считать положительными, иные – отрицательными. При затруднении в определении направления тока, возьмите произвольное, если в результате вычислений получите результат со знаком «-«, поменяйте выбранное направление на противоположенное.
  • для нашего примера можно записать:
    U1+U3-U2=0
    U4+U5-U3=0
  • кроме того, руководствуясь первым правилом Кирхгофа :
    Iвх – I1 – I2 = 0
    I1 – I3 – I4=0
    I4 – I5=0
    I2 + I3 + I5 – Iвых=0 ,

получаем систему из 6 уравнений, полностью описывающую рассматриваемую электрическую цепь.

© 2012-2019 г. Все права защищены.

Все представленные на этом сайте материалы имеют исключительно информационный характер и не могут быть использованы в качестве руководящих и нормативных документов

Метод контурных токов для чайников

В каждой электрической цепи имеются так называемые Р — ребра (они же ветви, звенья, участки) и У – узлы. Для ее описания существует система уравнений, в которых используются два правила Кирхгофа. В них, в качестве независимых переменных, выступают токи ребер. Поэтому количество независимых переменных будет равно количеству уравнений, что дает возможность нормального разрешения данной системы.

На практике используются определенные методики, направленные на сокращение числа уравнений. Среди них очень часто используется метод контурных токов, позволяющий выполнять сложные расчеты и получать довольно точные результаты.

Суть метода контурных токов

Основные принципы данного метода основываются на том факте, что протекающие в ребрах цепи токи, не все считаются независимыми. Присутствующие в системе У-1 уравнения для узлов, четко показывают зависимость от них У-1 токов. При выделении в электрической цепи независимого тока Р-У+1, вся система может быть сокращена до уравнений Р-У+1. Таким образом, метод контурных токов представляет собой очень простое и удобное выделение в цепи независимых токов Р-У+1.

Использование данного способа расчетов допускает, что в каждом независимом контуре Р-У+1 осуществляется циркуляция определенного виртуального контурного тока. Если какое-либо ребро относится лишь к одному конкретному контуру, то значение протекающего в нем реального тока будет равно контурному. В том случае, когда ребро входит в состав сразу нескольких контуров, ток, протекающий в нем, будет представлять собой сумму, включающую в себя соответствующие контурные токи. В этом случае обязательно учитывается направление обхода контуров. Независимыми контурами перекрывается практически вся схема, поэтому ток, протекающий в каком угодно ребре может быть выражен путем контурных токов, составляющих полную систему всех токов.

Для того чтобы построить систему независимых контуров, используется простой и наглядный метод создания планарных графов. На данной схеме ветви и узлы цепи размещаются на плоскости таким образом, что взаимное пересечение ребер полностью исключается. С помощью этого метода плоскость разбивается на области, ограниченные замкнутыми цепочками ребер. Именно они и составляют систему независимых контуров. Данный метод более всего подходит для ручных расчетов схем. Однако его применение может стать затруднительным или вовсе невозможным, если рассматриваемая схема не укладывается в рамки планарного графа.

Другим способом расчетов служит метод выделения максимального дерева. Само дерево представлено в виде подмножества звеньев электрической цепи и является односвязным графом, в котором отсутствуют замкнутые контуры. Для того чтобы оно появилось, из цепи постепенно исключаются некоторые звенья. Дерево становится максимальным, когда к нему добавляется любое исключенное звено, в результате чего образуется контур.

Применение метода выделения максимального дерева представляет собой последовательное исключение из цепи заранее установленных звеньев в соответствии с определенными правилами. Каждый шаг в цепи предполагает произвольное исключение одного звена. Если такое исключение нарушает односвязность графа, разбивая его на две отдельные части, в этом случае звено может возвратиться обратно в цепь. Если граф остается односвязным, то и звено остается исключенным. В конечном итоге, количество звеньев, исключенных из цепи, оказывается равным количеству независимых контуров, расположенных в схеме. Получение каждого нового независимого контура связано с присоединением к электрической цепи конкретного исключенного звена.

Применение метода контурных токов для расчета цепи

В соответствии с этой методикой, неизвестными величинами являются расчетные или контурные токи, предположительно протекающие во всех независимых контурах. В связи с этим, все неизвестные токи и уравнения в системе, равны количеству независимых контуров электрической цепи.

Токи ветвей в соответствии с данным методом рассчитываются следующим образом:

  • В первую очередь вычерчивается схема цепи с обозначением всех ее элементов.
  • Далее определяется расположение всех независимых контуров.
  • Направления протекания контурных токов задаются произвольно по часовой или против часовой стрелки в каждом независимом контуре. Они обозначаются с использованием цифровых или комбинированных символов.
  • В соответствии со вторым законом Кирхгофа, затрагивающего контурные токи, составляются уравнения для всех независимых контуров. В записанном равенстве направления обхода контура и контурного тока этого же контура совпадают. Необходимо учитывать и то обстоятельство, что в ветвях, расположенных рядом, протекают собственные контурные токи. Падение напряжения потребителей берется отдельно от каждого тока.
  • Следующим этапом является решение полученной системы любым удобным методом, и окончательное определение контурных токов.
  • Нужно задать направление реальных токов во всех ветвях и обозначить их отдельной маркировкой, чтобы не перепутать с контурными.
  • Далее нужно от контурных токов перейти к реальным, исходя из того, что значение реального тока конкретной ветви составляет алгебраическую сумму контурных токов, протекающих по этой ветви.

Если направление контурного тока совпадает с направлением реального тока, то при выполнении алгебраического суммирования математический знак не меняется. В противном случае значение контурного тока нужно умножить на -1.

Метод контурных токов очень часто применяется для расчетов сложных цепей. В качестве примера для приведенной схемы нужно задать следующие параметры: Е1 = 24В, Е2 = 12В, r1 = r2 = 4 Ом, r3 = 1 Ом, r4 = 3 Ом.

Для решения этой сложной задачи составляются два уравнения, соответствующие двум независимым контурам. Направление контурных токов будет по часовой стрелке и обозначается I11 и I22. На основании второго закона Кирхгофа составляются следующие уравнения:

После решения системы получаются контурные токи со значением I11 = I22 = 3 А. Далее произвольно обозначается направление реальных токов, как I1, I2, I3. Все они имеют одинаковое направление – вверх по вертикали. После этого выполняется переход от контурных к реальным. В первой ветви имеется течение только одного контурного тока т I11. Его направление совпадает с реальным током, поэтому I1 + I11 = 3 А.

Формирование реального тока во второй ветке осуществляется за счет двух контурных токов I11 и I22. Направление тока I22 совпадает с реальным, а направление I11 будет строго противоположно реальному. Таким образом, I2 = I22 — I11 = 3 — 3 = 0 А. В третьей ветке I3 наблюдается течение лишь контурного тока I22. Его направление будет противоположным направлению реального тока, поэтому в данном случае расчеты выглядят следующим образом: I3 = -I22 = -3А.

Основным положительным качеством метода контурных токов по сравнению с вычислениями по законам Кирхгофа, является значительно меньшее количество уравнений, используемых для вычислений. Тем не менее, здесь присутствуют определенные сложности. Например, реальные токи ветвей не всегда удается определить быстро и с высокой точностью.

Один из методов анализа электрической цепи является метод контурных токов. Основой для него служит второй закон Кирхгофа. Главное его преимущество это уменьшение количества уравнений до m – n +1, напоминаем что m — количество ветвей, а n — количество узлов в цепи. На практике такое уменьшение существенно упрощает расчет.

Основные понятия

Контурный ток — это величина, которая одинакова во всех ветвях данного контура. Обычно в расчетах они обозначаются двойными индексами, например I11, I22 и тд.

Действительный ток в определенной ветви определяется алгебраической суммой контурных токов, в которую эта ветвь входит. Нахождение действительных токов и есть первоочередная задача метода контурных токов.

Контурная ЭДС — это сумма всех ЭДС входящих в этот контур.

Собственным сопротивлением контура называется сумма сопротивлений всех ветвей, которые в него входят.

Общим сопротивлением контура называется сопротивление ветви, смежное двум контурам.

Общий план составления уравнений

1 – Выбор направления действительных токов.

2 – Выбор независимых контуров и направления контурных токов в них.

3 – Определение собственных и общих сопротивлений контуров

4 – Составление уравнений и нахождение контурных токов

5 – Нахождение действительных токов

Итак, после ознакомления с теорией предлагаем приступить к практике! Рассмотрим пример.

Выполняем все поэтапно.

1. Произвольно выбираем направления действительных токов I1-I6.

2. Выделяем три контура, а затем указываем направление контурных токов I11,I22,I33. Мы выберем направление по часовой стрелке.

3. Определяем собственные сопротивления контуров. Для этого складываем сопротивления в каждом контуре.

Затем определяем общие сопротивления, общие сопротивления легко обнаружить, они принадлежат сразу нескольким контурам, например сопротивление R4 принадлежит контуру 1 и контуру 2. Поэтому для удобства обозначим такие сопротивления номерами контуров к которым они принадлежат.

4. Приступаем к основному этапу – составлению системы уравнений контурных токов. В левой части уравнений входят падения напряжений в контуре, а в правой ЭДС источников данного контура.

Так как контура у нас три, следовательно, система будет состоять из трех уравнений. Для первого контура уравнение будет выглядеть следующим образом:

Ток первого контура I11, умножаем на собственное сопротивление R11 этого же контура, а затем вычитаем ток I22, помноженный на общее сопротивление первого и второго контуров R21 и ток I33, помноженный на общее сопротивление первого и третьего контура R31. Данное выражение будет равняться ЭДС E1 этого контура. Значение ЭДС берем со знаком плюс, так как направление обхода (по часовой стрелке) совпадает с направление ЭДС, в противном случае нужно было бы брать со знаком минус.

Те же действия проделываем с двумя другими контурами и в итоге получаем систему:

В полученную систему подставляем уже известные значения сопротивлений и решаем её любым известным способом.

5. Последним этапом находим действительные токи, для этого нужно записать для них выражения.

Контурный ток равен действительному току, который принадлежит только этому контуру. То есть другими словами, если ток протекает только в одном контуре, то он равен контурному.

Но, нужно учитывать направление обхода, например, в нашем случае ток I2 не совпадает с направлением, поэтому берем его со знаком минус.

Токи, протекающие через общие сопротивления определяем как алгебраическую сумму контурных, учитывая направление обхода.

Например, через резистор R4 протекает ток I4, его направление совпадает с направлением обхода первого контура и противоположно направлению второго контура. Значит, для него выражение будет выглядеть

А для остальных

Так решаются задачи методом контурных токов. Надеемся что вам пригодится данный материал, удачи!

Один из методов анализа электрической цепи является метод контурных токов. Основой для него служит второй закон Кирхгофа. Главное его преимущество это уменьшение количества уравнений до m – n +1, напоминаем что m — количество ветвей, а n — количество узлов в цепи. На практике такое уменьшение существенно упрощает расчет.

Основные понятия

Контурный ток — это величина, которая одинакова во всех ветвях данного контура. Обычно в расчетах они обозначаются двойными индексами, например I11, I22 и тд.

Действительный ток в определенной ветви определяется алгебраической суммой контурных токов, в которую эта ветвь входит. Нахождение действительных токов и есть первоочередная задача метода контурных токов.

Контурная ЭДС — это сумма всех ЭДС входящих в этот контур.

Собственным сопротивлением контура называется сумма сопротивлений всех ветвей, которые в него входят.

Общим сопротивлением контура называется сопротивление ветви, смежное двум контурам.

Общий план составления уравнений

1 – Выбор направления действительных токов.

2 – Выбор независимых контуров и направления контурных токов в них.

3 – Определение собственных и общих сопротивлений контуров

4 – Составление уравнений и нахождение контурных токов

5 – Нахождение действительных токов

Итак, после ознакомления с теорией предлагаем приступить к практике! Рассмотрим пример.

Выполняем все поэтапно.

1. Произвольно выбираем направления действительных токов I1-I6.

2. Выделяем три контура, а затем указываем направление контурных токов I11,I22,I33. Мы выберем направление по часовой стрелке.

3. Определяем собственные сопротивления контуров. Для этого складываем сопротивления в каждом контуре.

Затем определяем общие сопротивления, общие сопротивления легко обнаружить, они принадлежат сразу нескольким контурам, например сопротивление R4 принадлежит контуру 1 и контуру 2. Поэтому для удобства обозначим такие сопротивления номерами контуров к которым они принадлежат.

4. Приступаем к основному этапу – составлению системы уравнений контурных токов. В левой части уравнений входят падения напряжений в контуре, а в правой ЭДС источников данного контура.

Так как контура у нас три, следовательно, система будет состоять из трех уравнений. Для первого контура уравнение будет выглядеть следующим образом:

Ток первого контура I11, умножаем на собственное сопротивление R11 этого же контура, а затем вычитаем ток I22, помноженный на общее сопротивление первого и второго контуров R21 и ток I33, помноженный на общее сопротивление первого и третьего контура R31. Данное выражение будет равняться ЭДС E1 этого контура. Значение ЭДС берем со знаком плюс, так как направление обхода (по часовой стрелке) совпадает с направление ЭДС, в противном случае нужно было бы брать со знаком минус.

Те же действия проделываем с двумя другими контурами и в итоге получаем систему:

В полученную систему подставляем уже известные значения сопротивлений и решаем её любым известным способом.

5. Последним этапом находим действительные токи, для этого нужно записать для них выражения.

Контурный ток равен действительному току, который принадлежит только этому контуру. То есть другими словами, если ток протекает только в одном контуре, то он равен контурному.

Но, нужно учитывать направление обхода, например, в нашем случае ток I2 не совпадает с направлением, поэтому берем его со знаком минус.

Токи, протекающие через общие сопротивления определяем как алгебраическую сумму контурных, учитывая направление обхода.

Например, через резистор R4 протекает ток I4, его направление совпадает с направлением обхода первого контура и противоположно направлению второго контура. Значит, для него выражение будет выглядеть

А для остальных

Так решаются задачи методом контурных токов. Надеемся что вам пригодится данный материал, удачи!

Расчет цепей по законам кирхгофа онлайн

Постоянный ток

Прочитав статейки про первый и второй законы Кирхгофа, уважаемый читатель может сказать: «Хорошо, MyElectronix, ты рассказал мне, конечно, интересные штуки, но что мне дальше с ними делать? Пока по твоим словам я заключил, что если я соберу ручками схему, то я смогу в каждом ее узле и в каждом контуре намерить вот такие вот зависимости. Это здорово, но я хотел бы рассчитывать схемы, а не просто наблюдать зависимости!»

Господа, все эти замечания абсолютно верные и в ответ на них можно лишь рассказать о расчете электрических схем с помощью законов Кирхгофа. Без лишних слов перейдем сразу к делу!

Начнем с самого простейшего случая. Он изображен на рисунке 1. Допустим, ЭДС источника питания равна Е1=5 В, а сопротивления R1=100 Ом, R2=510 Ом, R3=10 кОм. Требуется рассчитать напряжения на резисторах и ток через каждый резистор.

Господа, замечу сразу, эту задачу можно решить гораздо более простым способом, чем с применением законов Кирхгофа. Однако сейчас наша задача не искать оптимальные способы решения, а на наглядном примере рассмотреть методику применения законов Кирхгофа при расчете схем.

Рисунок 1 – Простая схема

В этой схеме мы можем видеть три контура. Если возник вопрос – а почему три, то рекомендую посмотреть статью про второй закон Кирхгофа . В той статье имеется практически такая же схема с наглядным пояснением методики расчета числа контуров.

Господа, хочу отметить один тонкий момент. Хоть контура и три, независимых из них только два. Третий контур включает в себя все остальные и не может считаться независимым. И вообще всегда при всех расчетах мы должны использовать только независимые контура. Не поддавайтесь искушению записать еще одно уравнение за счет этого общего контура, ничего хорошего не выйдет .

Итак, будем использовать два независимых контура. Для этого зададимся в каждом контуре направлением обхода контура. Как мы уже говорили, это некоторое направление в контуре, которое мы принимаем за положительное. Можно в какой-то степени назвать это аналогом осей координат в математике. Направление обхода каждого контура нарисуем синей стрелкой.

Далее зададимся направлением токов в ветвях: просто проставим его наугад. Не важно, угадаем мы сейчас направление или нет. Если угадали, то в конце расчета мы получим ток со знаком плюс, а если ошиблись – со знаком минус. Итак, обозначим токи в ветвях черными стрелочками с подписями I1, I2, I3.

Мы видим, что в контуре №1 направление токов I1 и I3, а также направление источника питания совпадают с направлением обхода, поэтому будем считать их со знаком плюс. В контуре №2 ток I2 совпадет с направлением обхода, поэтому будет со знаком плюс, а ток I3 направлен в другую сторону, поэтому будет со знаком минус. Запишем второй закон Кирхгофа для контура №1:

А теперь запишем этот же закон для контура №2:

Видим, что в контуре №2 нет источников питания, поэтому в левой части (где у нас согласно второму закону Кирхгофа стоит сумма ЭДС) у нас нолик. Итак, у нас есть два уравнения, а неизвестных-то у нас три (I1, I2, I3). А нам известно, что для нахождения трех неизвестных нужна система с тремя независимыми уравнениями. Где же взять третье недостающее уравнение? А, например, из первого закона Кирхгофа ! Согласно этому закону мы можем записать

Господа, теперь полный порядок, у нас есть три уравнения и три неизвестных и нам остается только решить вот такую вот систему уравнений

Подставим конкретные числа. Все расчеты будем вести в кошерной системе СИ. Рекомендую всегда считать только в ней. Не поддавайтесь искушению подставлять куда-то миллиметры, мили, килоамперы и прочее. Возможно возникновение путаницы.

Решение таких систем рассматривается чуть ли не в начальной школе и, полагаю, не должно вызывать трудностей . Если что, есть куча математических пакетов, которые сделают это за вас, если вам лень самим ручками считай. Поэтому мы опустим процесс решения, а сразу приведем результат

Видим, что все токи получились у нас со знаком плюс. Это значит, что мы верно угадали их направление. Да, то есть токи в схеме текут именно в том направлении, как мы нарисовали стрелочки на рисунке 1. Однако из условия задачи необходимо найти не только токи через резисторы, но и падение напряжения на них. Как это сделать? Например, с помощью уже изученного нами закона Ома . Как мы помним, закон Ома связывает между собой ток, напряжение и сопротивление. Если нам известны любые две из этих величин, мы легко можем найти третью. В данном случае мы знаем сопротивление и ток, который течет через это сопротивление. Поэтому, используя вот эту формулу

находим напряжение на каждом резисторе

Заметим, господа, что напряжения на резисторах R2 и R3 равны между собой. Это и логично, поскольку они соединены между собой параллельно. Однако пока не будем на этом акцентировать большое внимание, рассмотрим это лучше в другой раз.

Итак, господа, мы решили эту простую задачку с помощью двух законов Кирхгофа и закона Ома . Но это был совсем простой пример. Давайте попробуем решить более сложную задачу. Взгляните на рисунок 2.

Рисунок 2 – Схема посложнее

Схема выглядит внушительно, не правда ли? Возможно, вам даже не верится, что эту схему можно легко рассчитать. Однако, господа, уверяю вас, вы обладаете всеми необходимыми знаниями для расчета этой схемы, если уже изучили мои предыдущие статьи. Сейчас вы в этом убедитесь.

Для начала зададимся конкретными цифрами значений сопротивлений резисторов и напряжений источников.

Пусть Е1=15 В, Е2=24 В, R1= 10 Ом, R2 = 51 Ом, R3=100 Ом, R4=1 кОм, R5=10 Ом, R6=18 Ом, R7=10 кОм.

Найти, как и в прошлой задаче, требуется все токи в схеме и напряжения на всех резисторах.

В этой схеме мы можем видеть три независимых контура. Обозначим их римскими цифрами I, II, III. В каждом контуре зададимся направлением обхода. Они показаны синими стрелками.

Дальше как и в прошлый раз наугад расставим направления токов во всех ветвях и подпишем где какой ток. Видно, что всего у нас 6 ветвей и, соответственно, 6 разных токов (I1…I6).

Теперь запишем второй закон Кирхгофа для всех трех независимых контуров.

Второй закон Кирхгофа для контура I:

Второй закон Кирхгофа для контура II:

Второй закон Кирхгофа для контура III:

У нас есть три уравнения, однако неизвестных токов аж 6. Как и в прошлой задаче для получения недостающих уравнений запишем первые законы Кирхгофа для узлов.

Первый закон Кирхгофа для узла А:

Первый закон Кирхгофа для узла В:

Первый закон Кирхгофа для узла С:

Собственно, у нас теперь есть система из 6 уравнений с 6 неизвестными. Остается только решить эту систему

Подставляя числа, заданные в условии, получаем

Опуская решения за пределами статьи, приведем итоговый результат

Господа, мы видим, что почти все токи, кроме I4 получились у нас со знаками «минус». Это значит, что мы не угадали их направление, когда рисовали стрелочки на рисунке 2 . То есть все токи, кроме тока I4 на самом деле текут в противоположные стороны. А ток I4 течет так, как мы нарисовали. Хотя бы с ним мы угадали верно.

Теперь все по тому же закону Ома ровно как в прошлом примере рассчитаем напряжения на резисторах:

Вот и все, господа: схема рассчитана, а задачка решена. Таким образом, вы теперь обладаете весьма мощным инструментом по расчету электрических схем. С помощью двух законов Кирхгофа и закона Ома вы сможете рассчитать весьма непростые схемы, найти величины токов и их направления, а также напряжения на всех нагрузках цепи. Более того, зная токи и напряжения вы легко сможете рассчитать и мощности, которые на этих резисторах выделяются, если воспользуетесь рекомендациями из моей предыдущей статьи .

На этом на сегодня все господа. Огромной вам всем удачи и успешных расчетов!

Вступайте в нашу группу Вконтакте

Вопросы и предложения админу: This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it.

Уравнения Кирхгофа для цепи с индуктивными связями

Задачи для самостоятельного решения

В электрической цепи с двумя источниками синусоидальной ЭДС одна из катушек имеет индуктивные связи с двумя другими катушками.

Требуется составить систему уравнений по законам Кирхгофа для определения комплексных действующих значений токов ветвей.

Расчет сложной цепи постоянного тока различными методами

Расчет сложной цепи постоянного тока

Расчет сложной цепи постоянного тока на основании законов Кирхгофа, методом контурных токов, методом наложения, методом эквивалентного генератора. Построение потенциальной диаграммы.

Для электрической цепи (рис. 0) выполнить следующее:

1) составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для определения токов во всех ветвях схемы;

2) определить токи во всех ветвях схемы, используя метод контурных токов;

3) определить токи во всех ветвях схемы на основании метода наложения;

4) составить баланс мощностей для заданной схемы;

5) результаты расчетов токов по пунктам 2 и 3 представить в виде таблицы и сравнить:

6) определить ток во второй ветви методом эквивалентного генератора;

7) построить потенциальную диаграмму для любого замкнутого контура, включающего обе ЭДС.

РГР №2 Расчет электрических цепей синусоидального тока НвГУ

РГР №2 Расчет электрических цепей синусоидального тока, НвГУ, Нижневартовск 2011

А.В. Бубнов, В.Л. Федоров. Расчетно-графическая работа № 2 Расчет электрических цепей синусоидального тока, НвГУ, Нижневартовск 2011

Для электрической схемы, соответствующей номеру варианта, выполнить следующее:

1. На основании законов Кирхгофа составить в общем виде систему уравнений для расчета токов во всех ветвях цепи, записав ее в двух формах:

2. Определить комплексы действующих значений токов во всех ветвях, воспользовавшись одним из методов расчета линейных электрических цепей.

3. По результатам расчета в п.2 произвести проверку выполненных расчетов при помощи законов Кирхгофа.

4. Определить комплексную мощность источника питания и проверить баланс мощностей.

5. Определить показания ваттметра.

6. Используя данные расчетов, записать мгновенные значения токов и напряжений.

7. Построить топографическую диаграмму, совмещенную с векторной диаграммой токов. При этом потенциал точки а, указанной на схеме, принять равным нулю.

Расчет электрической цепи постоянного тока ЕНУ (ЦИСИ, ЦГПИ)

Расчет электрической цепи постоянного тока ЕНУ

Задания для самостоятельной работы обучающихся

Задача 1 Расчет электрической цепи постоянного тока

1. Для электрической схемы, изображенной на рис.0, по заданным сопротивлениям и ЭДС найти все токи способами:

а) используя законы Кирхгофа;

б) методом контурных токов;

в) методом узловых напряжений;

г) определить ток в резисторе R6 методом эквивалентного генератора.

Свести результаты расчетов в одну таблицу.

2. Определить показание вольтметра.

3. Составить баланс мощностей.

Скачать расчет электрической цепи постоянного тока

Расчет цепи постоянного тока по законам Кирхгофа

Расчет цепи постоянного тока по законам Кирхгофа

Задача 1.10 Определить ток в ветви с сопротивлением R3, используя законы Кирхгофа, если: E1 = 54 В, E2 = 162 В, R1 = R2 = 9 Ом, R3 = 40 Ом, внутренние соапотивления источников ЭДС r1 = r2 = 1 Ом.

Задача Расчет электрической цепи постоянного тока

Задача

Расчет электрической цепи постоянного тока

Электротехника и основы электроники: Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей высших учебных заведений / Соколов Б.П., Соколов В.Б. – М.: Высш. шк., 1985

Задача 1 Расчет электрической цепи постоянного тока

Для электрической схемы, изображенной на рисунке, по заданным сопротивлениям и ЭДС выполнить следующее:

1) составить систему уравнений, необходимых для определения токов по первому и второму законам Кирхгофа;

2) найти все токи, пользуясь методом контурных токов;

3) проверить правильность решения, применив метод узлового напряжения. Предварительно упростить схему, заменив треугольник сопротивления R4, R5 и R6 эквивалентной звездой. Начертить расчетную схему с эквивалентной звездой и показать на ней токи;

4) определить ток в резисторе R6методом эквивалентного генератора;

5) определить показание вольтметра и составить баланс мощностей для заданной схемы;

6) построить в масштабе потенциальную диаграмму для внешнего контура.

Расчет сложных цепей постоянного тока по I и II законам Кирхгофа

Разделы: Физика

Технология урока: интерактивная.

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

образовательные:

  • помочь учащимся получить представление об основах расчета сложных цепей постоянного тока по I и II законам Кирхгофа;
  • разобраться в выборе направлений протекания токов и обходов контуров;
  • воспитательные:

  • воспитание информационной культуры учащихся, внимательности, аккуратности, дисциплинированности, организованности;
  • развивающие:

  • развитие познавательных интересов;
  • самоконтроля;
  • умения конспектировать;
  • памяти.
  • Оборудование: доска, компьютер, мультимедиа проектор, программа презентаций Microsoft Office PowerPoint 2003.

    Методическое обеспечение урока: компьютерная презентация, электронные тесты, карточки самоконтроля учащихся, карточка контроля учащихся

    План проведения урока.

    Организационный момент – 2 мин.

    Проверка и актуализация опорных знаний – 5 мин.

    Объяснение нового материала – 20 мин.

    Проверка усвоения новых знаний и умений – 12 мин.

    Подведение итогов – 4 мин.

    Домашнее задание – 2 мин.

    Время1. Организационный момент
    • учащиеся рассаживаются
    • достают тетради, ручки
    2 мин.3. Проверка опорных знаний
    • учащиеся устно отвечают на вопросы учителя
    20 мин.5. Проверка усвоения новых знаний и умений
    • объяснение правил выполнения теста
    • заполнение карточек самоконтроля учащимися
    4 мин.7. Домашнее задание
    • получение учащимися индивидуальных заданий

    Учащиеся заходят в класс, приветствуют преподавателя, рассаживаются, достают тетради и ручки

    Формулировка темы урока. Постановка цели урока

    Учитель сообщает тему урока “Расчет сложных цепей постоянного тока по I и II законам Кирхгофа” и его план.

    Сегодня мы проверим, как вы усвоили материал прошлого урока и научимся рассчитывать сложные цепи постоянного тока по законам Кирхгофа. Затем мы проверим, как вы усвоили новый материал.

    У вас на столах лежат карточки самоконтроля. В них вы будете заносить полученные баллы за ответы на уроке, а также за тест. За каждый правильный устный ответ вы будете ставить себе один балл. За каждый правильный ответ на вопрос из теста оценивается также в один балл. На доске находится таблица соответствия набранных баллов оценке. При подведении итогов урока вы выставите эти оценки в карточки самоконтроля и сдадите их. Эти оценки будут выставлены в журнал.

    В конце урока вы получите домашнее задание.

    Проверка опорных знаний

    Дайте определение сложной электрической цепи.

    Сложными называются разветвленные электрические цепи со многими источниками энергии.

    Дайте формулировку I закону Кирхгофа.

    Алгебраическая сумма токов в каждом узле любой цепи равна нулю. При этом направленный к узлу ток принято считать положительным, а направленный от узла — отрицательным. Алгебраическая сумма токов, направленных к узлу равна сумме токов, направленных от узла.

    где Ii – ток в узле,

    n – число проводников, сходящихся в узле

    Иными словами, сколько тока втекает в узел, столько из него и вытекает.

    Дайте формулировку II закону Кирхгофа

    Алгебраическая сумма падений напряжений на всех ветвях, принадлежащих любому замкнутому контуру цепи, равна алгебраической сумме ЭДС ветвей этого контура. Если в контуре нет источников ЭДС, то суммарное падение напряжений равно нулю.

    Объяснение нового материала

    На рисунке представлена схема электрической цепи.

    Для ее расчета, т.е. для определения токов во всех ее ветвях, необходимо составить систему уравнений по законам Кирхгофа. Общее число уравнений в системе должно соответствовать числу неизвестных токов, т.е. числу ветвей.

    Давайте посчитаем количество ветвей в нашей электрической цепи.

    Получилось пять ветвей, а значит и пять неизвестных токов I1, I2, I3, I4 и I5 (токам пока не задано направление).

    По первому закону Кирхгофа составляется число уравнений, на единицу меньшее числа узлов цепи, поскольку уравнение для последнего узла есть следствие всех предыдущих уравнений и не дает ничего нового для расчета.

    Посчитаем количество узлов электрической цепи.

    В цепи три узла, значит по 1-му закону Кирхгофа надо составить (3 – 1 = 2) два уравнения.

    По второму закону Кирхгофа составляются все недостающие уравнения для любых произвольно выбранных контуров цепи.

    Посчитаем количество недостающих уравнений: 5 – 2 = 3.

    В нашем примере по II закону Кирхгофа надо составить три уравнения.

    Предварительно следует задаться (произвольно) направлением токов во всех ветвях цепи и направлением обхода выбранных контуров.

    Заметим, что произвольность выбора направлений токов в ветвях цепи и направлений обхода контуров не влияет на конечный результат расчета. Если в результате расчетов некоторые из найденных токов будут иметь знак (–), то это будет означать, что их истинное направление противоположно предварительно принятому.

    Зададим направление токов во всех ветвях цепи.

    При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа токи, подходящие к узлу, будем считать положительными и брать со знаком (+), а токи, отходящие от узла – отрицательными и брать со знаком (–).

    По I закону Кирхгофа надо составить два уравнения. Для этого выберем любые два узла цепи. Например, первый и второй.

    Зададим направление обхода выбранных контуров.

    При составлении уравнений по II закону Кирхгофа ЭДС и токи, совпадающие с выбранным направлением обхода контура будем брать со знаком (+), а несовпадающие – со знаком (–).

    Запишем систему уравнений.

    Решим полученную систему уравнений и определим токи во всех пяти ветвях этой цепи.

    Количество уравнений по законам Кирхгофа = количество неизвестных токов цепи, т.е. количеству ветвей цепи.

  • Количество уравнений по I закону Кирхгофа = количество узлов цепи – 1.
  • Количество уравнений по II закону Кирхгофа = общее количество уравнений – количество уравнений по I закону Кирхгофа.
  • Для уравнений по I закону Кирхгофа: токи входящие в узел записываются со знаком (+), а выходящие – со знаком (–).
  • Для уравнений по II закону Кирхгофа: ЭДС и токи, совпадающие с выбранным направлением обхода контура записываются со знаком (+), а несовпадающие – со знаком (–).
  • Проверка усвоения новых знаний и умений.

    Учащиеся выполняют тест (приложение 1). Проверяют его сами (приложение 2). Заполняют карточки самоконтроля (приложение 3). Выставляют себе отметки. Таблица соответствия отметок и баллов определяется учителем и выводится на доске.

    Примеры решения задач на законы Кирхгофа

    Рассмотрим на примерах как можно использовать законы Кирхгофа при решении задач.

    Задача 1

    Дана схема, и известны сопротивления резисторов и ЭДС источников. Требуется найти токи в ветвях, используя законы Кирхгофа.

    Используя первый закон Кирхгофа, можно записать n-1 уравнений для цепи. В нашем случае количество узлов n=2, а значит нужно составить только одно уравнение.

    Напомним, что по первому закону, сумма токов сходящихся в узле равна нулю. При этом, условно принято считать входящие токи в узел положительными, а выходящими отрицательными. Значит для нашей задачи

    Затем используя второй закон (сумма падений напряжения в независимом контуре равна сумме ЭДС в нем) составим уравнения для первого и второго контуров цепи. Направления обхода выбраны произвольными, при этом если направление тока через резистор совпадает с направлением обхода, берем со знаком плюс, и наоборот если не совпадает, то со знаком минус. Аналогично с источниками ЭДС.

    На примере первого контура – ток I1 и I3 совпадают с направлением обхода контура (против часовой стрелки), ЭДС E1 также совпадает, поэтому берем их со знаком плюс.

    Уравнения для первого и второго контуров по второму закону будут:

    Все эти три уравнения образуют систему

    Подставив известные значения и решив данную линейную систему уравнений, найдем токи в ветвях (способ решения может быть любым).

    Проверку правильности решения можно осуществить разными способами, но самым надежным является проверка балансом мощностей.

    Задача 2

    Зная сопротивления резисторов и ЭДС трех источников найти ЭДС четвертого и токи в ветвях.

    Как и в предыдущей задаче начнем решение с составления уравнений на основании первого закона Кирхгофа. Количество уравнений n-1= 2

    Затем составляем уравнения по второму закону для трех контуров. Учитываем направления обхода, как и в предыдущей задаче.

    На основании этих уравнений составляем систему с 5-ью неизвестными

    Решив эту систему любым удобным способом, найдем неизвестные величины

    Для этой задачи выполним проверку с помощью баланса мощностей, при этом сумма мощностей, отданная источниками, должна равняться сумме мощностей полученных приемниками.Баланс мощностей сошелся, а значит токи и ЭДС найдены верно.

    Правила (законы) Кирхгофа простыми словами

    На практике часто встречаются задачи по расчётам параметров токов и напряжений в различных разветвлённых цепях. В качестве инструмента для расчётов используют правила Кирхгофа (в некоторой литературе их называют еще законами, хотя это не совсем корректно) – одни из фундаментальных правил, которые совместно с законами Ома позволяет определять параметры независимых контуров в самых сложных цепях.

    Учёный Густав Киргхоф сформулировал два правила [1], для понимания которых введено понятие узла, ветви, контура. В нашей ситуации ветвью будем называть участок, по которому протекает один и тот же ток. Точки соединения ветвей образуют узлы. Ветви вместе с узлами образуют контуры – замкнутые пути, по которым течёт ток.

    Первое правило Кирхгофа

    Первое правило Густава Кирхгофа сформулировано исходя из закона сохранения заряда. Физик понимал, что заряд не может задерживаться в узле, а распределяется по ветвям контура, образующим это соединение.

    Кирхгоф предположил, а впоследствии обосновал на основании экспериментов, что количество зарядов зашедших в узел такое же, как и количество тока вытекающего из него.

    На рисунке 1 изображена простая схема, состоящая из контуров. Точками A, B, C, D обозначены узлы контура в центре схемы.

    Рис. 1. Схема контура

    Ток I1 входит в узел A, образованный ветвями контура. На схеме электрический заряд распределяется в двух направлениях – по ветвям AB и AD. Согласно правилу Кирхгофа, входящий ток равен сумме выходящих: I1 = I2 + I3.

    На рисунке 2 представлен абстрактный узел, по ветвям которого течёт ток в разных направлениях. Если сложить векторы i1, i2, i3, i4 то, согласно первому правилу Кирхгофа, векторная сумма будет равняться 0: i1 + i2 + i3 + i4 = 0. Ветвей может быть сколько угодно много, но равенство всегда будет справедливым, с учётом направления векторов.

    Рис. 2. Абстрактный узел

    Запишем наши выводы в алгебраической форме, для общего случая:

    Для использования этой формулы, требуется учитывать знаки. Для этого необходимо выбрать направление одного из векторов тока (не важно, какого) и обозначить его знаком «плюс». При этом знаки всех других величин определить, исходя от их направления, по отношению к выбранному вектору.

    Чтобы избежать путаницы, ток, направленный в точку узла, принято считать положительным, а векторы, направленные от узла – отрицательными.

    Изложим первое правило Кирхгофа, выраженное приведённой выше формулой: «Алгебраическая сумма сходящихся в определённом узле токов, равна нулю, если считать входящие токи положительными, а отходящими – отрицательными».

    Первое правило дополняет второе правило, сформулированное Кирхгофом. Перейдём к его рассмотрению.

    Второе правило Киргхофа

    Из третьего уравнения Максвелла вытекает правило Кирхгофа для напряжений. Его ещё называют вторым законом.

    Это правило гласит, что в замкнутом контуре, на резистивных элементах, алгебраическая сумма напряжений (включая внутренние), равна сумме ЭДС, присутствующих в этом же замкнутом контуре.

    При этом токи и ЭДС, векторы которых совпадают с направлением (выбирается произвольно) обхода контура, считаются положительными, а встречные к обходу токи – отрицательными.

    Рис. 4. Иллюстрация второго правила Кирхгофа

    Формулы, которые изображены на рисунке применяются в частных случаях для вычисления параметров простых схем.

    Формулировки уравнений общего характера:

    , где где Lk и Ck – это индуктивности и ёмкости, соответственно.

    Линейные уравнения справедливы как для линейных, так и для нелинейных линеаризованных цепей. Они применяются при любом характере временных изменений токов и напряжений, для разных источников ЭДС. При этом законы Кирхгофа справедливы и для магнитных цепей. Это позволяет выполнять вычисления для поиска соответствующие параметров.

    Закон Кирхгофа для магнитной цепи

    Применение независимых уравнений возможно и при расчётах магнитных цепей. Сформулированные выше правила Кирхгофа справедливы и для вычисления параметров магнитных потоков и намагничивающих сил.

    Рис. 4. Магнитные контуры цепей

    То есть, для магнитных потоков первое правило Кирхгофа можно выразить словами: «Алгебраическая сумма всевозможных магнитных потоков относительно узла магнитной цепи равняется нулю.

    Сформулируем второе правило для намагничивающих сил F: «В замкнутом магнитном контуре алгебраическая сумма намагничивающих сил приравнивается к сумме магнитных напряжений». Данное утверждение выражается формулой: ∑F=∑U или ∑Iω = ∑НL, где ω – количество витков, H – напряжённость магнитного поля, символ L обозначает длину средней линии магнитопровода. ( Условно принимается, что каждая точка этой линии совпадает с линиями магнитной индукции).

    Второе правило, применяемое для вычисления магнитных цепей, есть не что иное, как альтернативная форма представления закона полного тока.

    Примечание: Составляя уравнения с использованием формул, вытекающих из правил Кирхгофа, надо прежде определиться с положительным направлением потоков, функционирующих в ветвях, сопоставив их с направлением обходов существующих контуров.

    При совпадении векторов магнитного потока с направлениями обхода (на некоторых участках), падение напряжения на этих ветвях берём со знаком « + », а встречные ему – со знаком « – ».

    Примеры расчета цепей

    Рассмотрим ещё раз рисунок 3. На нём изображено 4 разнонаправленных вектора: i1, i2, i3, i4. Из них – два входящие ( i2, i3) и два исходящие из узла (i1, i4). Положительными будем считать те векторы, которые направлены в точку соединения ветвей, а остальные – отрицательными.

    Тогда, по формуле Кирхгофа, составим уравнение и запишем его в следующем виде: – i1 + i2 + i3 – i4 = 0.

    На практике такие узлы являются частью контуров, обходя которые можно составить ещё несколько линейных уравнений с этими же неизвестными. Количество уравнений всегда достаточно для решения задачи.

    Рассмотрим алгоритм решения на примере рис. 5.

    Рис. 5. Пример для расчёта

    Схема содержит 3 ветви и два узла, которые образуют три пары по два независимых контура:

    Запишем независимое уравнение, выполняющееся, например, в точке а. Из первого правила Кирхгофа вытекает: I1 + I2 – I3 = 0.

    Воспользуемся вторым правилом Кирхгофа. Для составления уравнений можно выбрать любой из контуров, но нам необходимы контуры с узлом а, так как для него мы уже составили уравнение. Это будут контуры 1 и 2.

    Пишем уравнения:

    Решаем систему уравнений:

    Так как значения R и E известны (см. рисунок 5), мы придём к системе уравнений:

    Решая эту систему, получим:

    Потенциал узла а равен: Ua = I3*R3 = 3,55 × 3 = 10,65 В. Чтобы убедиться в верности наших расчётов, проверим выполнение второго правила по отношению к контуру 3:

    E1 – E2 + I1R1+ I2R2 = 12 – 15 + 1,36 – 4,38 = – 0,02 ≈ 0 (с учётом погрешностей, связанных с округлениями чисел при вычислениях).

    Если проверка выполнения второго правила успешно завершена, то расчёты сделаны правильно, а полученные данные являются достоверными.

    Применяя правила (законы) Кирхгофа можно вычислять параметры электрической энергии для магнитных цепей.

    1. Теория: Законы Кирхгофа

    В сложных электрических цепях, то есть где имеется несколько разнообразных ответвлений и несколько источников ЭДС имеет место и сложное распределение токов. Однако при известных величинах всех ЭДС и сопротивлений резистивных элементов в цепи мы можем вычистить значения этих токов и их направление в любом контуре цепи с помощью первого и второго закона Кирхгофа. Суть законов Кирхгофа я довольно кратко изложил в своем учебнике по электронике, на страницах сайта http://www.sxemotehnika.ru.

    Пример сложной электрической цепи вы можете посмотреть на рисунке 1.

    Рисунок 1. Сложная электрическая цепь.

    Иногда законы Кирхгофа называют правилами Кирхгофа, особенно в старой литературе.

    Итак, для начала напомню все-таки суть первого и второго закона Кирхгофа, а далее рассмотрим примеры расчета токов, напряжений в электрических цепях, с практическими примерами и ответами на вопросы, которые задавались мне в комментариях на сайте.

    Первый закон Кирхгофа

    Формулировка №1: Сумма всех токов, втекающих в узел, равна сумме всех токов, вытекающих из узла.

    Формулировка №2: Алгебраическая сумма всех токов в узле равна нулю.

    Поясню первый закон Кирхгофа на примере рисунка 2.

    Рисунок 2. Узел электрической цепи.

    Здесь ток I1— ток, втекающий в узел , а токи I2 и I3 — токи, вытекающие из узла. Тогда применяя формулировку №1, можно записать:

    Что бы подтвердить справедливость формулировки №2, перенесем токи I2 и I 3 в левую часть выражения (1), тем самым получим:

    Знаки «минус» в выражении (2) и означают, что токи вытекают из узла.

    Знаки для втекающих и вытекающих токов можно брать произвольно, однако в основном всегда втекающие токи берут со знаком «+», а вытекающие со знаком «-» (например как получилось в выражении (2)).

    Можно посмотреть отдельный видеоурок по первому закону Кирхофа в разделе ВИДЕОУРОКИ.

    Второй закон Кирхгофа.

    Формулировка: Алгебраическая сумма ЭДС, действующих в замкнутом контуре, равна алгебраической сумме падений напряжения на всех резистивных элементах в этом контуре.

    Здесь термин «алгебраическая сумма» означает, что как величина ЭДС так и величина падения напряжения на элементах может быть как со знаком «+» так и со знаком «-». При этом определить знак можно по следующему алгоритму:

    1. Выбираем направление обхода контура (два варианта либо по часовой, либо против).

    2. Произвольно выбираем направление токов через элементы цепи.

    3. Расставляем знаки для ЭДС и напряжений, падающих на элементах по правилам:

    — ЭДС, создающие ток в контуре, направление которого совпадает с направление обхода контура записываются со знаком «+», в противном случае ЭДС записываются со знаком «-».

    — напряжения, падающие на элементах цепи записываются со знаком «+», если ток, протекающий через эти элементы совпадает по направлению с обходом контура, в противном случае напряжения записываются со знаком «-».

    Например, рассмотрим цепь, представленную на рисунке 3, и запишем выражение согласно второму закону Кирхгофа, обходя контур по часовой стрелке, и выбрав направление токов через резисторы, как показано на рисунке.

    Рисунок 3. Электрическая цепь, для пояснения второго закона Кирхгофа.

    Предлагаю посмотреть отдельный видеоурок по второму закону Кирхогфа (теория).

    Расчеты электрических цепей с помощью законов Кирхгофа.

    Теперь давайте рассмотрим вариант сложной цепи, и я вам расскажу, как на практике применять законы Кирхгофа.

    Итак, на рисунке 4 имеется сложная цепь с двумя источниками ЭДС величиной E1=12 в и E2=5 в , с внутренним сопротивлением источников r1=r2=0,1 Ом, работающих на общую нагрузку R = 2 Ома. Как же будут распределены токи в этой цепи, и какие они имеют значения, нам предстоит выяснить.

    Рисунок 4. Пример расчета сложной электрической цепи.

    Теперь согласно первому закону Кирхгофа для узла А составляем такое выражение:

    так как I1 и I 2 втекают в узел А , а ток I вытекает из него.

    Используя второй закон Кирхгофа, запишем еще два выражения для внешнего контура и внутреннего левого контура, выбрав направление обхода по часовой стрелке.

    Для внешнего контура:

    Для внутреннего левого контура:

    Итак, у нас получилась система их трех уравнений с тремя неизвестными:

    Теперь подставим в эту систему известные нам величины напряжений и сопротивлений:

    12 = 0,1I1 +2I.

    Далее из первого и второго уравнения выразим ток I2

    12 = 0,1I1 + 2I.

    Следующим шагом приравняем первое и второе уравнение и получим систему из двух уравнений:

    12 = 0,1I1 + 2I.

    Выражаем из первого уравнения значение I

    I = 2I1– 70;

    И подставляем его значение во второе уравнение

    Решаем полученное уравнение

    12 = 0,1I1 + 4I1 – 140.

    12 + 140= 4,1I1

    Теперь в выражение I = 2I1– 70 подставим значение

    I1=37,073 (А) и получим:

    I = 2*37,073 – 70 = 4,146 А

    Ну, а согласно первому закона Кирхгофа ток I2=I — I1

    I2=4,146 — 37,073 = -32,927

    Знак «минус» для тока I2 означает, то что мы не правильно выбрали направление тока, то есть в нашем случае ток I 2 вытекает из узла А .

    Теперь полученные данные можно проверить на практике или смоделировать данную схему например в программе Multisim.

    Скриншот моделирования схемы для проверки законов Кирхгофа вы можете посмотреть на рисунке 5.

    Рисунок 5. Сравнение результатов расчета и моделирования работы цепи.

    Для закрепления результатата предлагаю посмотреть подготовленное мной видео:

    ПОНРАВИЛАСЬ СТАТЬЯ? ПОДЕЛИСЬ С ДРУЗЬЯМИ В СОЦИАЛЬНЫХ СЕТЯХ!

    Правила Кирхгофа — электротехника. Правила Кирхгофа

                                         

    5. Значение в математике.

    (A value in mathematics)

    Первое правило Кирхгофа может быть сформулировано в виде матрицы. то есть, пусть электрическая цепь состоит из n {\свойства стиль отображения значение n} узлы. давайте сделаем матрицу A = { a i j } i (А = { а я J }), j = 1 n (Дж = 1) {\свойства стиль отображения значение а=\{ох{Эй}\}_{я,J=1}^{п}}, где a i j (а я Дж) {\свойства стиль отображения значение a_{ij}} (ох{Эй}}), когда i ≠ j {\свойства стиль отображения значение я\neq j} это проводимость ветви, soedinyayutsya узлы пронумерованы i {\свойства стиль отображения значение i} и j {\свойства стиль отображения значение j} если они не подключены, вы можете мысленно соединить их филиал нулевой проводимостью.{н}ох{Эй}это{Дж}=0}. В левой части равенства легко научиться координировать работы матрицы i = 1 n a i j U j = 0 (я = 1 н а я и Ю и j = 0) {\свойства стиль отображения значение A вектор-столбца A} {\свойства стиль отображения значение \mathbf u. поэтому первое правило Кирхгофа в матричной форме, гласит: {u} } {\свойства стиль отображения значение а\mathbf A u = 0.

    В таком виде она допускает обобщение на токопроводящие поверхности. Искривленную поверхность проводимость зависит не только от точки, но и направление. другими словами, проводимость является функцией на касательные векторы к поверхности. если мы предположим, что касательное пространство это хорошо приближается к положительно определенной квадратичной форме, мы можем говорить о нем, как в Римановой метрики {u} =0} {\свойства стиль отображения значение g отличается от расстояния на поверхности в геометрической форме с учетом анизотропии электрических свойств. каждая точка поверхности может служить узел, и, следовательно, емкость будет не вектор, а функция g} {\свойства стиль отображения значение u на поверхности. аналог матрицы проводимостей является оператором Лапласа — Бельтрами ∆ u} {\свойства стиль отображения значение \компании Delta _{г}} метрики-проводимость, которая действует на пространстве гладких функций. первое правило Кирхгофа к поверхности читает точно так же: Δ g {\свойства стиль отображения значение \компании Delta _{г}У=0}. другими словами, потенциал есть гармоническая функция.

    В этой связи, матрица g u = 0 (г У = 0) {\свойства стиль отображения значение A, который сопоставляет произвольной взвешенного графа, за исключением диагонали равен матрицы смежности, иногда называют дискретного лапласиана. аналоги теорем о гармонических функций, таких как наличие гармонических функций в области с области с заданным значением по краю, в результате свертки с некоторой ядра есть место для дискретных гармонических функций. назад проводящей поверхности можно аппроксимировать сетки резисторов, и дискретной гармонической функции на сетке аппроксимации гармонических функций на соответствующей поверхности. в этом случае компания интегратор gershgorina, аналоговые вычислительная машина, используемая для решения уравнения Лапласа в A} — 30-х лет 70-х века.

    В случае проводящей поверхности, а не разность потенциалов, имеет смысл говорить о XX 1-форме {\свойства стиль отображения значение d u (д). связанные с показателями проводимости векторного поля du} {\свойства стиль отображения значение \mathrm g r a d g u (г р А Д Г) — это электрический ток на поверхности. первое правило Кирхгофа, это {grad} _{g}u} ({деления} _{г}у}) также гармоничный, который лежит в ядре Йыгева лапласиана определены дифференциальные формы. он дает подсказку, как правильно сформулировать закон Кирхгофа для случая, когда поле не потенциально, то есть 1-форма в результате нынешнего, рассматривается как векторное поле, используя проводимость, рассматриваемых как римановы метрики, должен быть гармоничным. зная ЭДС вокруг каждого топологически нетривиальные петли на поверхности, можно восстановить силу и направление течения в каждой точке, кроме того, единственный способ. В частности, измерение всевозможных ток, равный размерности пространства топологически нетривиальные контуры. это было одним из оснований для открытия Пуанкаре двойственность, тот факт, что электродвижущие силы, однозначно определить гармонический ток 1-форма, является частным случаем теории Ходжа для 1-форму.

    Метод узловых потенциалов

    В этих уравнениях — суммы проводимостей ветвей, присоединенных соответственно к узлам 1 и 2; — сумма проводимостей ветвей, соединяющих эти узлы.
    Правая часть каждого из уравнений (1.30) равна алгебраической сумме произведений ЭДС в каждой ветви на проводимость ветви, присоединенной к рассматриваемому узлу. Произведение вида Eg записывается с положительным знаком в том случае, если ЭДС направлена к узлу, для которого записывается уравнение, и с отрицательным, если ЭДС направлена от узла.
    Уравнения (1.30) не зависят от выбранных положительных направлений токов в ветвях.
    Чтобы подтвердить это положение, рассмотрим опять схему, показанную на рис. 1.16, и для каждого узла примем положительные направления токов от узла.
    Для узлов 1 и 2 справедливы уравнения

    Принимая, как и раньше, φ3 = 0 напишем выражения для токов ветвей:
    для узла 1

    для узла 2

    После подстановки (1.32) в (1.31) и группировки слагаемых получаются уравнения, совпадающие с (1.30).
    Таким образом, можно написать уравнения для определения потенциалов узлов произвольной электрической цепи, не задаваясь положительными направлениями токов в ветвях, при этом потенциал одного из узлов надо принять равным нулю.
    Если электрическая схема содержит не только источники ЭДС, но и источники тока, то в уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа, войдут и токи источников тока. При составлении уравнений вида (1.30) токи заданных источников тока учитываются для каждого узла в виде слагаемых в правой части, причем, как было отмечено выше, с положительными знаками должны быть взяты токи источников тока, направленные к узлу, с отрицательными — от узла.
    Например, для узлов 1, 2 и 3 схемы, показанной на рис. 1.17, при φ4 = 0 получим соответственно следующие уравнения:

    где

    Если электрическая схема имеет в своем составе У узлов (У — любое целое число), а потенциал, например, У-го узла принят равным нулю, то для определения У — 1 потенциалов остальных узлов получается У — 1 уравнений:

    или в более общей форме для любого узла р при φу = О

    В этих уравнениях, так же как и в уравнениях (1.30), проводимость gpp (с двумя одинаковыми индексами) представляет собой суммарную проводимость ветвей, присоединенных к узлу р, и называется собственной узловой проводимостью этого узла; проводимость gjp = gpj с двумя различными индексами равна сумме проводимостей ветвей, соединяющих между собой рассматриваемые узлы j и р, и называется общей узловой проводимостью этих узлов. Правая часть каждого из уравнений содержит алгебраические суммы произведений ЭДС на соответствующие проводимости для всех ветвей, присоединенных к узлу р, ток Jp равен алгебраической сумме токов всех источников тока, присоединенных к тому же узлу. В свою очередь, ток — узловой ток — равен алгебраической сумме Jp и токов, определяемых источниками ЭДС, которые присоединены к узлу р, при этом следует иметь в виду, что для замкнутых поверхностей сумма всех узловых токов, как это вытекает из первого закона Кирхгофа, равна нулю. К узловым токам можно отнести и уже известные в каких-либо ветвях токи. Проводимости таких ветвей в выражения вида gpp и gjp не входят.
    Решив уравнения (1.33), можно определить потенциалы узлов, а зная потенциалы, найти токи во всех ветвях по закону Ома (1.12а).
    Если в цепи имеются ветви с идеальными источниками ЭДС и сопротивлениями этих ветвей можно пренебречь, то при составлении уравнений (1.33) получается неопределенность, поскольку проводимости таких ветвей бесконечно большие. Такое затруднение преодолевается путем переноса заданной ЭДС из ветви с нулевым сопротивлением через соответствующий узел в другие ветви, присоединенные к тому же узлу и имеющие конечные значения сопротивлений. В результате такого преобразования токи во всех ветвях заданной схемы не изменяются.
    Для иллюстрации рассмотрим схему (рис. 1.18, а), у которой сопротивление ветви 2-4 равно нулю, а ЭДС равна Е. Если в каждую ветвь, присоединенную, например, к узлу 2, включить источник напряжения с ЭДС, равной Е и направленной от узла 2 (на рис. 1.18, а эти ЭДС изображены штриховой линией), то токи во всех ветвях останутся без изменения, поскольку разности потенциалов между точками 1‘, 3′, 4’ будут, так же как и в заданной схеме, равны нулю. Теперь потенциалы узлов 2 и 4, очевидно, одинаковы и их можно объединить в одну точку (рис. 1.18,6). Для полученной схемы с тремя узлами (вместо четырех) можно составить два независимых уравнения вида (1.33), из которых определяются искомые потенциалы двух узлов, а затем по закону Ома токи во всех ветвях схемы (рис. 1.18,6), после чего легко найти ток в ветви с сопротивлением r = 0 (рис. 1.18, а) по первому закону Кирхгофа.

    Рассмотренную и аналогичные ей задачи можно решить и без предварительного переноса ЭДС через узел в другие ветви. Действительно, если принять в заданной схеме (рис. 1.18, а) φ4 = 0, то потенциал φ2 узла 2, очевидно, будет равен Е. Для определения двух неизвестных потенциалов φ1 и φ3 нужно составить уравнения (1.33), которые полностью совпадут с уравнениями, составленными для тех же узлов эквивалентной схемы (рис. 1.18,6).
    Полезно еще рассмотреть применение уравнений (1.33) для частного случая схемы с двумя узлами и произвольным числом ветвей, все или часть которых содержат источники ЭДС. Требуется определить напряжение между этими узлами.
    Пусть между узлами 1 и 2 включено m ветвей (рис. 1.19). Найдем напряжение U12, записав уравнение (1.33) для первого узла

    откуда

    где числитель представляет собой алгебраическую сумму произведений ЭДС на проводимость для всех ветвей, содержащих ЭДС (с положительным знаком записываются ЭДС, направленные к узлу 1), а знаменатель — арифметическую сумму проводимостей всех ветвей, включенных между узлами.
    Если между узлами 1 и 2 включены еще источники тока, то их значения следует добавить в числитель (1.34), причем со знаком плюс записываются токи, направленные к узлу 1.

    Пример 1.3.
    На рис. 1.20, к изображена электрическая схема с шестью неизвестными токами; ЭДС источников: Е1 = 6 В, Е2 = 12 В, Е3 = 18 В; сопротивления ветвей: r1 = r2 = r3 = 2 Ом и r4 = r5 = r6 = 6 Ом. Пользуясь методом узловых потенциалов, определить токи во всех ветвях.
    Решение.
    Пусть потенциал точки 0 равен нулю. Запишем уравнения для узлов с потенциалами φ1, φ2 и φ3:



    или после подстановки численных значений проводимостей и ЭДС



    Решив совместно эти уравнения, найдем искомые потенциалы: φ1 = -9 В; φ2 = 3 В; φ3 = 6 В. Для определения токов в ветвях следует задаться их положительными направлениями. При выбранных положительных направлениях токов (рис. 1.20, а)



    Матричные уравнения узловых потенциалов.
    Уравнения узловых потенциалов (1.33) можно записать в матричной форме:

    где


    — квадратная матрица узловых проводимостей схемы;

    — матрица-столбец потенциалов узлов и матрица-столбец узловых токов, причем по (1.33а) , при этом алгебраическое суммирование, выполняемое с учетом знаков, распространяется на все ветви с источниками токов и с источниками напряжений, присоединенные к i-му узлу.
    Умножив слева уравнение (1.35) на получим уравнение для определения потенциалов узлов схемы в виде

    где — матрица, обратная матрице .
    Ниже показано, что матрицу узловых проводимостей можно составить непосредственно по соответствующей схеме цепи по формуле

    где А — матрица соединений (узловых проводимостей ветвей схемы) или ее направленного графа; g — диагональная матрица проводимостей ветвей; — транспонированная матрица соединений.
    Для иллюстрации применения формулы (1.39) рассмотрим схему рис. 1.20, а, для которой на рис. 1.20,6 построен направленный граф. Поскольку у заданной схемы четыре узла, то для нее можно составить три независимых уравнения, чему и соответствует матрица соединения узловых проводимостей ветвей из трех строк и шести столбцов (для узлов 1, 2, 3):

    Диагональная матрица проводимостей ветвей

    Произведение матриц А и g

    Матрица узловых проводимостей цепи (1.39) получается после перемножения матриц Ag и :

    Матрица-столбец потенциалов узлов

    Матрица-столбец узловых токов

    Пользуясь выражением (1.35), легко получить систему уравнений, приведенную в примере 1.3.
    Если матрицу А дополнить четвертой строкой, соответствующей узлу О, то по (1.39) получится неопределенная матрица узловых проводимостей цепи, для которой сумма элементов по всем четырем строкам и четырем столбцам равна нулю; определитель такой матрицы также равен нулю. После вычеркивания любой строки и соответствующего этой строке столбца, например четвертой строки и четвертого столбца, получается определенная квадратная матрица третьего порядка.
    Определитель неопределенной матрицы симметричен относительно главной диагонали. Если вычеркнутая строка не соответствует вычеркнутому столбцу, то и в этом случае получается определенная квадратная матрица, соответствующая независимой системе уравнений. Однако определитель такой матрицы уже не имеет симметрии относительно главной диагонали.
    Здесь следует особо подчеркнуть, что если принять равным нулю потенциал того же узла схемы, который соответствует вычеркнутой строке матрицы А, то напряжения на всех ветвях схемы определяются через потенциалы узлов по формуле

    где положительное направление напряжения Ujp совпадает с положительным направлением тока в ветви. Это непосредственно получается из формул для напряжения на каждой ветви. Например, для схемы по рис. 1.20

    Из этого выражения следует

    как и должно быть.

    Законы Кирхгофа для инженеров-электриков — начинающих

    Напряжения и токи в электрических цепях

    Два чрезвычайно важных принципа в электрических цепях были систематизированы Густавом Робертом Кирхгофом в 1847 году, известные как Законы Кирхгофа . Его два закона относятся к напряжениям и токам в электрических цепях соответственно.

    Законы Кирхгофа для инженеров-электриков — начинающих (фото предоставлено Джесси Мейсон через Youtube)

    Закон Кирхгофа о напряжении

    Закон Кирхгофа утверждает, что алгебраическая сумма всех напряжений в замкнутом контуре равна нулю.Другой способ сформулировать этот закон — сказать, что для каждого повышения потенциала должно быть одинаковое падение, если мы начинаем с любой точки цепи и возвращаемся по петле к той же начальной точке.


    Подъем на гору

    Аналогия для визуализации закона напряжения Кирхгофа — восхождение на гору.

    Предположим, мы начинаем у подножия горы и поднимаемся на высоту 5000 футов , чтобы разбить лагерь для ночлега. Затем на следующий день мы вышли из лагеря и поднялись еще на 3500 футов .

    Решив, что мы поднялись достаточно высоко для двух дней, мы снова разбили лагерь и остаемся на ночь. На следующий день мы спускаемся на 6200 футов в третье место и разбиваем лагерь. На четвертый день мы возвращаемся к нашей первоначальной отправной точке у подножия горы.

    Мы можем суммировать наше походное приключение как серию взлетов и падений следующим образом:

    Аналогия с восхождением на гору
    День Путь Увеличение / потеря высоты
    День 1 от A до B +5000 футов
    День 2 От B до C +3500 футов
    День 3 От C до D -6200 футов
    День 4 D до A -2300 футов
    ИТОГО // ABCDA 0 футов

    Конечно, никто не скажет своим друзьям, что они провели четыре дня в походах на общую высоту 0 футов, поэтому люди обычно говорят о наивысшей достигнутой точке: в данном случае 8500 футов.Однако, если мы отслеживаем каждый день прирост или убыток в алгебраических терминах (сохраняя математический знак, положительный или отрицательный), мы видим, что конечная сумма равна нулю (и действительно всегда должна быть равна нулю), если мы заканчиваем в нашей начальной точке.

    Если мы рассмотрим этот сценарий с точки зрения потенциальной энергии , когда мы поднимаем постоянную массу от точки к точке, мы можем заключить, что мы выполняли работу с этой массой (т. Е. Вкладывали в нее энергию, поднимая ее выше) на . дни 1 и 2 , но позволяя массе работать на нас (т.е. высвобождение энергии путем ее снижения) на дней 3 и 4 . После четырехдневного похода чистая потенциальная энергия, переданная массе, равна нулю, потому что она оказывается на той же высоте, на которой началась.

    Давайте применим этот принцип к реальной схеме, где полный ток и все падения напряжения уже были рассчитаны для нас:

    Стрелка показывает ток в направлении условного обозначения потока

    Если мы проследим путь ABCDEA, мы увидим, что алгебраическая сумма напряжений в этом контуре равна нулю :

    Путь Усиление / потеря напряжения
    A to B -4 вольта
    B to C -6 вольт
    C по D +5 В
    D по E -2 В
    E по A +7 В
    ABCDEA 0 В

    We может даже проследить путь, который не следует за проводниками схемы или не включает все компоненты, такие как EDCBE, и мы увидим, что алгебраическая сумма всех напряжений по-прежнему равна нулю :

    Путь Усиление / потеря напряжения
    A to B +2 В
    B to C -5 вольт
    C to D +6 В
    D to E -2 вольта
    E to A -3 вольта
    ABCDEA 0 вольт

    Закон Кирхгофа о напряжении часто является сложной темой для для студентов , именно потому, что напряжение само по себе является трудным для понимания понятием.

    Помните, что нет такого понятия, как напряжение в одной точке; , скорее, напряжение существует только как дифференциальная величина. Чтобы разумно говорить о напряжении, мы должны иметь в виду либо потерю, либо усиление потенциала между двумя точками.

    Наша аналогия с высотой на горе особенно уместна. Мы не можем разумно говорить о какой-то точке горы как о имеющей определенную высоту, если мы не принимаем точку отсчета для измерения. Если мы говорим, что вершина горы имеет высоту 9200 футов, , мы обычно имеем в виду 9200 футов выше уровня моря , при этом уровень моря является нашей общей точкой отсчета.Однако наше туристическое приключение, в котором мы поднялись на 8500 футов за два дня, не означало, что мы поднялись на абсолютную высоту 8500 футов над уровнем моря. Поскольку я никогда не указывал высоту на уровне моря у подножия горы, невозможно рассчитать нашу абсолютную высоту в конце дня 2.

    Все, что вы можете сказать из приведенных данных, это то, что мы поднялись на 8500 футов над горой. базу, где бы она ни находилась, относительно уровня моря.

    То же самое и с электрическим напряжением: большинство цепей имеют точку, помеченную как заземление, где отсчитываются все остальные напряжения.

    В цепях с питанием от постоянного тока эта точка заземления часто является отрицательным полюсом источника постоянного тока. По сути, напряжение — это величина, относительная между двумя точками: мера того, насколько потенциал увеличился или уменьшился при переходе от одной точки к другой.

    Вернуться к законам ↑


    Текущий закон Кирхгофа

    Текущий закон Кирхгофа — гораздо более легкая концепция. Этот закон гласит, что алгебраическая сумма всех токов в точке соединения (называемой узлом) равна нулю.Другой способ сформулировать этот закон — сказать, что каждый электрон, входящий в узел, должен куда-то выйти.

    Аналогия для визуализации закона тока Кирхгофа: вода течет в тройник и выходит из него. :

    Визуализация закона тока Кирхгофа — вода течет.

    Пока в этой системе трубопроводов нет утечек, каждая капля воды, попадающая в нее. тройник должен уравновешиваться каплей, выходящей из тройника. Постоянное несоответствие между расходами означало бы нарушение Закона сохранения массы .

    Давайте применим этот принцип к реальной схеме, где все токи были рассчитаны для нас:

    Стрелка показывает ток в направлении обычного обозначения потока

    В узлах , где только два провода соединяются (например, точки A, B и C), величина тока, входящего в узел, в точности равна величине выходящего тока (4 мА, в каждом случае). В узлах, где три провода соединяются с (например, точки D и E), мы видим один большой ток и два меньших тока (один ток 4 мА по сравнению с двумя токами 2 мА) с такими направлениями, что сумма двух меньших токов образуют большее течение.

    Точно так же, как баланс расхода воды в «тройник» трубопровода и из него является следствием Закона сохранения массы, баланс электрических токов, протекающих в и из разветвления цепи , является следствием Закон сохранения заряда, еще один фундаментальный закон сохранения в физике.

    Вернуться к законам ↑


    Последовательные и параллельные резисторы | Правила Кирхгофа

    Вернуться к законам ↑

    Ссылка // уроков по промышленным приборам — Тони Р.Kuphaldt

    Руководство для начинающих по законам Кирхгофа

    В этом уроке мы узнаем о законах Кирхгофа. Закон Кирхгофа или KCL и Закон напряжения Кирхгофа или KVL — два очень важных математических равенства в анализе электрических цепей.

    Введение

    Многие электрические схемы имеют сложную природу, и вычисления, необходимые для нахождения неизвестных величин в таких схемах, с использованием простого закона Ома и методов упрощения последовательной / параллельной комбинации невозможны.Поэтому для упрощения этих схем используются законы Кирхгофа.

    Эти законы являются фундаментальными аналитическими инструментами, которые используются для нахождения решений для напряжений и токов в электрической цепи, будь то переменный или постоянный ток. Элементы в электрической цепи соединяются множеством возможных способов, поэтому для определения параметров в электрической цепи эти законы очень полезны.

    Прежде чем узнать больше о законе Кирхгофа, мы должны рассмотреть некоторые термины, относящиеся к электрическим цепям.

    Узел : Узел или соединение — это точка в цепи, в которой соединены два или более электрических элемента. Это определяет уровень напряжения с опорным узлом в цепи.

    Ветвь : Непрерывный проводящий путь между двумя соединениями, который содержит электрический элемент в цепи, называется ветвью.

    Петля : В электрической цепи петля — это независимый замкнутый путь в цепи, который следует за последовательностью ветвей таким образом, что он должен начинаться и заканчиваться одним и тем же узлом и не должен касаться какого-либо другого соединения или узла. больше чем единожды.

    Сетка: Сетка в электрической цепи — это петля, не содержащая никаких других петель внутри.

    Вернуться к началу

    Законы Кирхгофа

    В 1847 году немецкий физик Густав Роберт Кирхгоф разработал эти законы для описания зависимости напряжения и тока в электрической цепи. Это следующие законы: закон Кирхгофа по напряжению (KVL) и закон Кирхгофа по току (KCL).

    Вернуться к началу

    Текущий закон Кирхгофа (KCL)

    Это также называется законом сохранения заряда, потому что заряд или ток не могут быть созданы или разрушены на стыке или узле.Он утверждает, что алгебраическая сумма токов в любом узле равна нулю. Таким образом, ток, поступающий в узел, должен быть равен сумме тока, выходящего из узла.

    На приведенном выше рисунке токи I1 и I2 входят в узел, а токи I3 и I4 уходят из узла. Применяя KCL в узле, предположим, что входящие токи положительны, а выходящие токи отрицательны, мы можем записать как

    I1 + I2 + (-I3) + (-I4) = 0
    I1 + I2 = I3 + I4

    В начало

    Пример проблемы KCL

    Рассмотрим рисунок ниже, на котором мы должны определить токи IAB , и Ix с помощью KCL.

    Применяя закон Кирхгофа в точке A, мы получаем

    IAB = 0,5 — 0,3

    IAB = 0,2 ампер

    Аналогичным образом, применяя KCL в точке B, мы получаем

    IAB = 0,1 + Ix

    0,2 = 0,1 + Ix

    Ix = 0,2 — 0,1 = 0,1 А

    К началу

    Закон напряжения Кирхгофа (KVL)

    Закон напряжения Кирхгофа утверждает, что алгебраическая сумма напряжений в замкнутом контуре равна нулю, т.е. сумма напряжений источника равна сумме падений напряжения в цепи.Если ток течет от более высокого потенциала к более низкому в элементе, мы рассматриваем это как падение напряжения.

    Если ток течет от более низкого потенциала к более высокому, мы рассматриваем это как повышение напряжения. Таким образом, энергия, рассеиваемая током, должна быть равна энергии, отдаваемой источником питания в электрической цепи.

    Рассмотрим схему выше, в которой направление тока берется по часовой стрелке. Различные падения напряжения в приведенной выше схеме: V1 — положительное, IR1 — отрицательное (падение напряжения), IR2 — отрицательное (падение напряжения), V2 — отрицательное, IR3 — отрицательное (падение напряжения), IR4 — отрицательное (падение напряжения). , V3 положительный, IR5 отрицательный и V4 отрицательный.Применяя KVL, получаем

    V1 + (-IR1) + (-IR2) + (-V2) + (-IR3) + (-IR4) + V3 + (-IR5) + (-V4) = 0

    V1 — IR1 — IR2 — V2 — IR3 — IR4 + V3 — IR5 — V4 = 0

    V1 — V2 + V3 — V4 = IR1 + IR2 + IR3 + IR4 + IR5

    Следовательно, KVL также известен как закон сохранения. электрической энергии, потому что сумма падений напряжения (произведение сопротивления и тока) равна сумме источников напряжения в замкнутом пути.

    В начало

    Пример закона Кирхгофа по напряжению

    1.Давайте рассмотрим одноконтурную схему, показанную ниже, и примем направление тока как замкнутый путь DEABCD. В этой схеме, используя KVL, мы должны найти напряжение V1.

    Применяя KVL к этому замкнутому контуру, мы можем записать как

    VED + VAE + VBA + VCB + VDC = 0

    Где

    Напряжение точки E относительно точки D, VED = -50 В

    Напряжение точки D относительно точки C, В = -50 В

    Напряжение точки A относительно точки E.VAE = I * R

    VAE = 500 м * 200

    VAE = 100 V

    Аналогично Напряжение в точке C относительно контакта B, VCB = 350 м * 100

    VCB = 35V

    Рассмотрим напряжение в точке A с учетом в точку B, VAB = V1

    VBA = -V1

    Затем, используя KVL

    -50 + 100 — V1 + 35-50 = 0

    V1 = 35 Вольт

    2. Рассмотрим типичную двухконтурную схему ниже где нам нужно найти токи I1 и I2, применяя законы Кирхгофа.

    Внутри схемы есть два контура, и рассмотрите пути контура, как показано на рисунке.

    Применяя KVL к этим циклам, мы получаем

    Для первого цикла

    2 (I1 + I2) + 4I1 — 28 = 0

    6I1 + 2I2 = 28 ——— (1)

    Для второй цикл,

    -2 (I1 + I2) — 1I2 + 7 = 0
    -2I1 — 3I2 = -7 ——– (2)

    Решая приведенные выше уравнения 1 и 2, мы получаем

    I1 = 5A и I2 = -1 A

    В начало

    Пример задачи по законам Кирхгофа

    Теперь давайте воспользуемся законами Кирхгофа по току и напряжению, чтобы найти падение тока и напряжения в цепи ниже.Подобно описанной выше задаче, эта схема также содержит два контура и два соединения. Учитывайте текущее направление, указанное на рисунке.

    Применим закон Кирхгофа по току на обоих переходах, тогда мы получим

    На переходе 1 I = I1 + I2

    На переходе 2 I1 + I2 = I

    Применим закон напряжения Кирхгофа к обоим контурам, затем мы получить

    В первом цикле

    1,5 В — 100 I1 = 0

    I1 = 1,5 / 100

    = 0,015 А

    Во втором цикле

    100 (I1- I2) — 9 В — 200I2 = 0

    100I1 — 300I2 = 9

    Подставив значение I1 в приведенное выше уравнение, тогда

    1.5 — 300I2 = 9

    — 300I2 = 7,5

    I2 = -0,025

    Тогда ток на переходе I = I1 + I2

    I = 0,015 — 0,025

    I = — 0,01

    К началу

    Применение законов Кирхгофа

    • Используя эти законы, мы можем найти неизвестные сопротивления, напряжения и токи (как направление, так и значение).
    • В методе ответвлений определение токов через каждую ветвь, переносимых путем применения KCL на каждом переходе и KVL в каждом контуре цепи.
    • В методе тока контура определение тока через каждый независимый контур осуществляется путем применения KVL для каждого контура и подсчета всех токов в любом элементе контура.
    • Используется узловой метод определения напряжений и токов.
    • Эти законы можно применить для анализа любой схемы, независимо от ее состава и структуры.

    Вернуться к началу

    Объяснить закон Кирхгофа простым английским языком

    Представьте себе тротуар, по которому едут люди.Предположим, что все продолжают двигаться, никогда не останавливаются. Теперь возьмем одну точку на тротуаре. Подсчитайте количество людей, входящих в эту точку, и количество людей, покидающих эту точку. Два числа должны быть равны! Поскольку вы не можете внезапно создать дополнительных людей или испарить существующих людей (юридически), количество людей постоянно, и все, что доходит до этой точки, должно выходить за пределы этой точки.

      | |
     | |
     | |
     ххххх
     xxxxx <---- точка измерения
     ххххх
     | |
     | |
     | |
      

    Другими словами, «xxxx» - это, скажем, один квадрат на тротуаре.\ / / \ \ / / \ \

    Итак, люди идут в верхней и нижней паре. Это по-прежнему верно, количество людей, пересекающих точку «xxxx», должно быть таким же, как на входе, так и на выходе, поэтому, если верхняя часть является входом, а две нижние — выходами, мы можем сказать, что сумма людей, вышедших из двух выходы равны числу, идущему вверху.

    Представьте ЛЮБОЕ ЧИСЛО входов и выходов, соединяющихся в точке ХХХ. По-прежнему предполагая, что все продолжают движение, количество людей, пересекающих один квадрат тротуара под названием «ххх», должно равняться количеству людей, пересекающих ВНЕ квадрата ххх.

    Любая точка на проволоке подобна квадрату на тротуаре. Если вы посмотрите на любую точку в любом месте на ней, так как много электронов входят в эту точку, они также выходят из этой точки! Потому что никто не «задерживается». Все просто, а?

    Это не сложнее: воткнуть палец в воду в реке. В палец врывается столько воды, сколько выходит из него! Буквально, ток через любую точку, подпункт, область, группу точек и т. Д. — это то же самое, что и входящий, и выходящий, если только он не «накапливается», т.е. не испытывает емкости! Несколько притоков входят, несколько потоков выходят, не имеет значения, вода в любой точке испытывает выход = вход.

    Посмотрите на первую диаграмму, приведенную выше в ответе Стивенва, с фиолетовыми стрелками, некоторые из которых указывают внутрь, а некоторые указывают. Переставьте их так, чтобы все стрелки, указывающие IN, были слева, а все стрелки, указывающие OUT, были справа. Думайте об этом как о наших тротуарах. Только для электронов *. Число (людей или электронов), приходящих слева, должно равняться числу, выходящим справа. Это очевидно, а? Потому что никому из них не разрешается задерживаться в этой точке в центре (то есть у него нет емкости, поймите, емкости!).

    Capisci?

    *) Потому что электроны тоже люди!

    Правил Кирхгофа

    Правил Кирхгофа
    Далее: Конденсаторы в цепях постоянного тока вверх: электрический ток Предыдущий: Резисторы последовательно и Теперь мы знаем почти все, что нам нужно знать об ЭДС и резисторах. Тем не мение, было бы удобно, если бы мы могли обобщить наши знания в ряд удобных правил, которые затем можно использовать для анализа любой цепи постоянного тока.По сути, это то, что сделал немецкий физик Густав Кирхгоф в 1845 году. когда он предложил два простых правила для работы с цепями постоянного тока.

    Первое правило Кирхгофа применяется к точкам соединения в цепях постоянного тока ( т. Е. , точки соединения трех или более проводов). Правило соединения:

    Сумма всех токов, входящих в любую точку соединения, равна сумма всех токов, выходящих из этой точки соединения.
    Это правило легко понять. Как мы уже отмечали, если это правило не были удовлетворены, тогда в точках соединения накапливался бы заряд, нарушая наши фундаментальное установившееся предположение.

    Второе правило Кирхгофа применяется к контурам в цепях постоянного тока. Правило цикла:

    Алгебраическая сумма изменений электрического потенциала, встречающихся в полный обход любого замкнутого контура равен нулю.
    Это правило тоже легко понять. Мы уже видели (в разделе 5) что нулевая чистая работа сделана в медленном перемещении заряда по некоторому замкнутому контуру в электростатическом поле. Поскольку проделанная работа равна произведению заряда и разницы по электрическому потенциалу между начальной и конечной точками из цикла следует, что эта разница должна быть равна нулю. Таким образом, если мы применим это результат к частному случаю петли в цепи постоянного тока, мы сразу приходим ко второму правилу Кирхгофа.При использовании этого правила мы сначала выбираем замкнутый контур в цепи постоянного тока, который мы анализируем. Затем мы решаем, собираемся ли мы пройти через это петля по часовой стрелке или против часовой стрелки (выбор произвольный). Если пересечь источник ЭДС в направлении увеличения потенциала тогда изменение потенциала есть. Однако, если ЭДС проходит в противоположном направлении, то изменение потенциала будет. Если резистор, несущий ток, проходит в направлении тока, то изменение потенциал есть.Наконец, если резистор проходит в в противоположном направлении, то изменение потенциала равно.

    Токи, протекающие по общей цепи постоянного тока, всегда можно найти, применив Первое правило Кирхгофа для всех узловых точек, Второе правило Кирхгофа для всех петель, а затем решение Полученные таким образом совместные алгебраические уравнения. Эта процедура работает независимо от того, насколько сложна рассматриваемая схема ( например, , Кирхгоф правила используются в полупроводниковой промышленности для анализа невероятно сложные схемы, вытравленные на поверхности кремниевых пластин, которые используются для построить центральные процессоры компьютеров).



    Далее: Конденсаторы в цепях постоянного тока вверх: электрический ток Предыдущий: Резисторы последовательно и
    Ричард Фицпатрик 2007-07-14

    Законы Кирхгофа для тока и напряжения

    В 1845 году немецкий физик Густав Кирхгоф впервые описал два закона, которые стали центральными в электротехнике. Текущий закон Кирхгофа, также известный как закон соединения Кирхгофа и первый закон Кирхгофа, определяют способ распределения электрического тока, когда он проходит через соединение — точку, где встречаются три или более проводника.Другими словами, законы Кирхгофа гласят, что сумма всех токов, покидающих узел в электрической сети, всегда равна нулю.

    Эти законы чрезвычайно полезны в реальной жизни, поскольку они описывают соотношение значений токов, протекающих через точку соединения, и напряжений в контуре электрической цепи. Они описывают, как электрический ток течет во всех миллиардах электроприборов и устройств, а также во всех домах и на предприятиях, которые постоянно используются на Земле.

    Законы Кирхгофа: основы

    В частности, в законах говорится:

    Алгебраическая сумма тока в любом соединении равна нулю.

    Поскольку ток — это поток электронов через проводник, он не может накапливаться на стыке, а это означает, что ток сохраняется: то, что входит, должно выходить. Представьте себе хорошо известный пример соединения: распределительную коробку. Эти ящики устанавливаются в большинстве домов. Это коробки, в которых проложена проводка, по которой должно протекать все электричество в доме.

    При выполнении расчетов ток, текущий в переход и выходящий из него, обычно имеет противоположные знаки. Вы также можете сформулировать Действующий закон Кирхгофа следующим образом:

    Сумма тока в соединении равна сумме тока вне соединения.

    Вы можете более конкретно разбить два закона.

    Действующий закон Кирхгофа

    На картинке показано место соединения четырех проводов (проводов). В стык текут токи v 2 и v 3 , а из него вытекают токи v 1 и v 4 .В этом примере правило соединения Кирхгофа дает следующее уравнение:

    v 2 + v 3 = v 1 + v 4

    Закон Кирхгофа о напряжении

    Закон Кирхгофа о напряжении описывает распределение электрического напряжения в петле или замкнутом проводящем пути электрической цепи. Закон Кирхгофа о напряжении гласит, что:

    Алгебраическая сумма разностей напряжений (потенциалов) в любом контуре должна равняться нулю.

    Различия в напряжении включают в себя те, которые связаны с электромагнитными полями (ЭМП) и резистивными элементами, такими как резисторы, источники питания (например, батареи) или устройства — лампы, телевизоры и блендеры, подключенные к цепи. Представьте себе, что напряжение растет и падает по мере того, как вы двигаетесь по любой из отдельных петель в цепи.

    Закон Кирхгофа о напряжении возникает потому, что электростатическое поле в электрической цепи является консервативным силовым полем.Напряжение представляет собой электрическую энергию в системе, поэтому рассматривайте его как особый случай сохранения энергии. Когда вы идете по циклу, когда вы прибываете в начальную точку, имеет тот же потенциал, что и в начале, поэтому любые увеличения и уменьшения по циклу должны отменяться, чтобы общее изменение было нулевым. В противном случае потенциал в начальной / конечной точке имел бы два разных значения.

    Положительные и отрицательные признаки в законе напряжения Кирхгофа

    Использование правила напряжения требует некоторых условных обозначений, которые не обязательно столь же ясны, как в правиле тока.Выберите направление (по или против часовой стрелки), в котором будет проходить петля. При переходе от положительного к отрицательному (+ к -) в ЭДС (источнике питания) напряжение падает, поэтому значение становится отрицательным. При переходе от отрицательного к положительному (- к +) напряжение возрастает, поэтому значение будет положительным.

    Помните, что, путешествуя по цепи для применения закона Кирхгофа, убедитесь, что вы всегда движетесь в одном и том же направлении (по часовой стрелке или против часовой стрелки), чтобы определить, представляет ли данный элемент увеличение или уменьшение напряжения.Если вы начнете прыгать, двигаться в разных направлениях, ваше уравнение будет неверным.

    При переходе через резистор изменение напряжения определяется по формуле:

    I * R

    где I — значение тока, а R — сопротивление резистора. Пересечение в том же направлении, что и ток, означает, что напряжение падает, поэтому его значение отрицательное. При пересечении резистора в направлении, противоположном току, значение напряжения положительное, поэтому оно увеличивается.

    Применение закона Кирхгофа о напряжении

    Самые основные применения законов Кирхгофа относятся к электрическим цепям. Вы, возможно, помните из физики средней школы, что электричество в цепи должно течь в одном непрерывном направлении. Если, например, вы щелкнете выключателем света, вы нарушите цепь и, следовательно, выключите свет. Как только вы снова щелкнете выключателем, вы снова включите цепь, и снова загорится свет.

    Или подумайте о том, как повесить огни на свой дом или рождественскую елку.Если перегорает только одна лампочка, гаснет вся цепочка огней. Это потому, что электричеству, остановленному разбитым светом, некуда деться. Это то же самое, что выключить свет и разорвать цепь. Другой аспект этого в отношении законов Кирхгофа состоит в том, что сумма всего электричества, входящего и вытекающего из соединения, должна быть равна нулю. Электричество, поступающее в соединение (и протекающее по цепи), должно равняться нулю, потому что электричество, которое входит в него, также должно выходить.

    Итак, в следующий раз, когда вы будете работать над своей распределительной коробкой или наблюдать за тем, как это делает электрик, натягивая электрические праздничные огни, или включаете или выключаете телевизор или компьютер, помните, что Кирхгоф сначала описал, как все это работает, тем самым открывая эпоху электричество.

    Формула правила петли Кирхгофа

    В любой «петле» замкнутой цепи может быть любое количество элементов схемы, таких как батареи и резисторы. Сумма разностей напряжений на всех этих элементах схемы должна быть равна нулю.Это известно как правило петли Кирхгофа. Разница напряжений измеряется в вольтах (В). Когда ток I в контуре указан в Амперах (А), а сопротивление элементов схемы указано в Ом (Ом), разность напряжений на резисторе может быть найдена по формуле.

    В = разность напряжений (Вольт, В)

    Формула правила петли Кирхгофа Вопросы:

    1) Цепь на рисунке ниже состоит из трех резисторов и источника напряжения (батареи).Ток в контуре I = +4,00 А по часовой стрелке. Батарея подает напряжение v b = 100,0 В. Значения сопротивления для двух из трех резисторов приведены на рисунке. Какое значение имеет резистор R 3 ?

    Ответ: Правило петли Кирхгофа гласит, что сумма разностей напряжений вокруг петли должна быть равна нулю. Чтобы найти сумму, нужно выбрать направление движения. Направление положительного тока задается по часовой стрелке, поэтому проще всего использовать его как направление движения, чтобы найти сумму.Источник напряжения или батарея слева на рисунке имеет положительное значение напряжения по часовой стрелке. Три резистора вызывают падение напряжения в этом направлении. Величина падений напряжения равна сопротивлению, умноженному на ток в контуре. Сумма разностей напряжений составляет:

    Значение третьего резистора можно найти, переставив формулу выше:

    Номинальное сопротивление резистора R 3 составляет (Ом).

    2) Цепь на рисунке ниже состоит из трех резисторов и источника напряжения (батареи). Ток в контуре I = +10,0 мА (миллиампер) против часовой стрелки. Значения для трех резисторов приведены на рисунке в единицах килоом (номинал резистора R 3 равен). Какое напряжение ( В b ) должно подаваться на аккумулятор?

    Ответ: Правило петли Кирхгофа гласит, что сумма разностей напряжений вокруг петли должна быть равна нулю.Чтобы найти сумму, нужно выбрать направление движения. Направление положительного тока задается против часовой стрелки, поэтому его проще всего использовать в качестве направления движения, чтобы найти сумму. Источник напряжения или батарея слева на рисунке имеет положительное значение напряжения в направлении против часовой стрелки. Три резистора вызывают падение напряжения в этом направлении. Величина падений напряжения равна сопротивлению, умноженному на ток в контуре, поэтому их сумма должна быть той же величины, что и напряжение от батареи.Сумма разностей напряжений в выбранном направлении движения составляет:

    Чтобы умножить значения в приведенной выше формуле, необходимо преобразовать значения тока и сопротивления в базовые единицы. Для тока 1000 миллиампер равняется 1 амперу (1000 мА = 1 А), а для сопротивления 1 килоом равен 1000 Ом (). Формула принимает следующий вид:

    Напряжение от батареи можно найти, переставив формулу выше:

    Напряжение, подаваемое батареей V b , составляет 240 В (Вольт).

    Закон Кирхгофа о напряжении и Закон Кирхгофа

    Ultimate Electronics: практическое проектирование и анализ схем


    Как написать фундаментальные уравнения, описывающие структуру любой схемы из первых принципов. Читать 14 мин

    В предыдущем разделе, посвященном последовательным и параллельным резисторам, мы выработали много интуитивного представления о том, как думать о токе и напряжении в цепи. (Если вы не читали этот раздел, вернитесь и сделайте это сейчас.)

    Специальные правила комбинации резисторов для последовательно включенных и параллельных резисторов не распространяются на другие элементы схемы. Однако есть два основных принципа, которые можно обобщить:

    1. Два последовательно соединенных компонента будут иметь одинакового тока через их. Мы сделаем это заявление немного шире, и оно станет Текущим законом Кирхгофа .
    2. Два параллельно включенных компонента будут иметь одинаковое напряжение на компонентах. Мы сделаем это заявление немного шире, и оно станет Закон Кирхгофа о напряжении .

    Эти два закона Кирхгофа станут нашей основой для написания уравнений, описывающих, как ток и напряжение ведут себя в любой электронной схеме .

    В этом разделе нас интересует только то, как записать этих уравнений. В других разделах, включая раздел «Системы уравнений» из предыдущей главы, мы обсудим, как решить этих уравнений после того, как они были написаны.


    Текущий закон Кирхгофа — это заявление о сохранении заряда: то, что входит, должно выходить на каждом соединении (узле) в коммутационной сети.

    Согласно модели сосредоточенных элементов, заряд не может храниться ни в одном узле схемы, поэтому, если заряд вытекает из одного элемента в узле A, то же количество тока должно мгновенно течь на вывод подключенного элемента в узле A.

    В качестве интуиции, почему это должно быть правдой, помните, что электроны не могут никуда входить в систему или выходить из нее (нет «утечек»), и электроны не могут нигде «накапливаться», потому что они отталкиваются друг от друга.

    Это похоже на гидравлическую аналогию с потоком воды в трубопроводной сети: на любом стыке труб есть 2 или более соединения, и любая поступающая вода должна уходить!

    Направление тока тоже важно: мы должны определить токи с помощью входящих или исходящих стрелок и тщательно их пометить.(Мы обсудим это подробнее в следующем разделе, Маркировка напряжений, токов и узлов.)

    Рассмотрим схему сети с тремя узлами и четырьмя элементами:

    В схеме выше у нас есть три узла. Мы можем записать Текущий закон Кирхгофа как на каждые из трех узлов.

    Математически один способ записать это в каждом узле:

    ∑i = 0

    Это говорит о том, что все токи в узле равны нулю.

    Мы должны отслеживать и использовать положительный знак , если ток течет в узел , и отрицательный знак , если ток течет из .

    В приведенном выше примере, проходя через каждый узел, уравнения KCL:

    i1 − i2 = 0 Узел Ai2 − i3 + i4 = 0 Узел B − i1 + i3 − i4 = 0 Узел C

    Другой способ сформулировать действующий закон Кирхгофа:

    ini = ∑outi

    В приведенном выше примере три уравнения будут следующими:

    i1 = i2Node Ai2 + i4 = i3Node Bi3 = i1 + i4Node C

    В этой формулировке мы говорим, что сумма токов в узле равна сумме токов из этого узла.

    Это математически идентично первому способу определения KCL, потому что эти токи просто имеют отрицательный знак.

    Будьте внимательны при выборе направления! Не имеет особого значения, какое направление вы выберете для маркировки каждого потока, но абсолютно важно, чтобы оно было последовательным; ток в один узел течет из другого.

    Мы можем записать KCL на каждом узле схемы. Узел — это просто место, где элементы соединяются.

    Обратите внимание, что узлы могут быть больше, чем кажется на первый взгляд: мы можем назвать узлы A, B, C и ссылаться на эти имена в нескольких местах на схеме, даже если между ними нет явно проведенных проводов.Кроме того, наземный узел является частным случаем именованного узла и также повсюду соединен вместе.

    Мы можем написать уравнения KCL, ничего не зная о компонентах; он только определяет топологию (форму) того, как вещи соединяются друг с другом.

    Вот немного более сложный пример с 5 узлами и 7 ребрами. Обратите внимание, что мы помечаем все узлы, а затем помечаем все токи и их направления:

    Вот уравнения KCL для каждого узла, которые получаются, когда вы суммируете все токи до нуля:

    i1 − i2 = 0 Узел Ai2 − i3 − i4 = 0 Узел Bi3 − i5 − i6 = 0 Узел Ci4 + i5 − i7 = 0 Узел Di6 + i7 − i1 = 0 Узел E

    И, для полноты, вот уравнения KCL для каждого узла, которые получаются, когда вы суммируете все токи, равные всем выходным токам:

    i1 = i2Node Ai2 = i3 + i4Node Bi3 = i5 + i6Node Ci4 + i5 = i7Node Di6 + i7 = i1Node E

    Эти две системы уравнений алгебраически одинаковы.Присмотритесь к тому, что имеет для вас больше смысла, и понаблюдайте, как вы можете преобразовать одно в другое.

    В следующем разделе мы поговорим о маркировке токов, чтобы они выполнялись последовательно по направлению и знаку — обычная ловушка для новичков.

    Как мы уже указывали в статьях «Линейные и нелинейные» и «Системы уравнений», полезно развить некоторую интуицию в линейной алгебре. Вышеупомянутая серия уравнений KCL для примера с пятью узлами может быть записана как:

    ⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣1−10000001−1−10000010−1−10000110−1−1000011⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣i1i2i3i4i5i6i7⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦ = 0

    Сама по себе это еще не решаемая система уравнений, однако она вносит большой вклад в общую систему уравнений, составляющих решаемую схему.


    Из действующего закона Кирхгофа нет никаких исключений — по определению.

    Обратите внимание, что в то время как электроны внутри проводников будут отталкиваться друг от друга, в случае изолятора электроны могут «застрять» — статический заряд. Статический заряд может накапливаться внутри и внутри цепи; однако, вместо того, чтобы рассматривать KCL как нарушенный, этот эффект лучше всего моделировать, добавляя емкости в рассматриваемых узлах.


    Если у нас есть n узлов в нашей схеме, мы можем написать n Уравнения KCL — по одному на каждый узел.

    Однако эти уравнения не будут линейно независимыми . (Для обзора линейной независимости и того, почему она критически важна, просмотрите «Системы уравнений».)

    Рассмотрим эту простую схему с двумя узлами:

    Мы можем записать KCL в узле A:

    i1 − i2 + i3 = 0

    И теперь мы можем записать KCL в узле B:

    −i1 + i2 − i3 = 0

    Должно быть очевидно, что на самом деле это одно и то же уравнение, записанное дважды; мы только что умножили одно из них на -1.

    Запись дважды (по одному на узел) фактически не добавляла никакой информации. Второе уравнение не добавляло никаких новых ограничений, которые еще не были включены в первое уравнение.

    Это потому, что каждое ребро на графике добавляет текущий член в уравнение KCL одного узла и вычитает этот текущий член из другого уравнения KCL. Мы дважды учитываем входящие и исходящие потоки везде, даже если весь заряд сохраняется, что приводит к этому бесполезному дополнительному уравнению.

    Это также относится и к более сложным примерам.Снова рассмотрим пример с тремя узлами, который мы рассмотрели выше:

    Мы можем записать KCL на каждом узле, как мы делали выше:

    i1 − i2 = 0 Узел Ai2 − i3 + i4 = 0 Узел B − i1 + i3 − i4 = 0 Узел C

    В этом немного более сложном случае менее «очевидно», что они не являются линейно независимыми, но это все же верно. Чтобы убедиться в этом, сложите уравнение №1 и уравнение №2, затем умножьте его на -1, и вы получите уравнение №3.

    Это обычная ловушка для начинающих решать проблемы, поэтому следите за ней.

    На практике решением является , чтобы не писать уравнение KCL для узла, выбранного в качестве наземного узла . Мы поговорим об этом подробнее в следующем разделе.


    Закон Кирхгофа о напряжении можно сформулировать несколькими разными способами с тем же основным смыслом.

    Мы уже обсуждали в разделе «Напряжение и ток», что напряжение всегда составляет разницы между двумя точками. Даже когда мы определяем узел заземления для удобства, мы все равно смотрим на разницу напряжений относительно этого произвольно определенного заземления.

    Первый способ сформулировать закон Кирхгофа по напряжению состоит в том, что общая разница напряжений между двумя точками A и B одинакова, независимо от того, какой путь вы выберете.

    Это все равно что сказать, что разница между человеком ростом 5 футов и человеком ростом 6 футов всегда будет составлять 1 фут. Неважно, если мы:

    1. Поместите двух людей спиной к спине и измерьте разницу от макушки одной головы до другой, или
    2. Измерьте расстояние от головы до пят и выполните вычитание, или
    3. Измерьте их оба от потолка и выполните вычитание,
    4. Попросите обоих встать на коробку, измерить от нижней части коробки и выполнить вычитание.

    Во всех четырех случаях мы получаем разницу в высоте в 1 фут.

    Давайте поместим этих двух людей в комнату и скажем, что плоскость x-y — это пол, а ось z направлена ​​к потолку.

    Теперь представьте себе, что все четыре способа измерения представляют собой разные пути в пространстве между точками A (верхняя часть головы первого человека) и B (верхняя часть головы второго человека). Мы собираемся пройти по кривой каждого пути и сложить только вертикальное расстояние по оси Z, отслеживая положительное и отрицательное, когда мы идем по этим четырем путям.У нас всегда будет разница в 1 фут, независимо от того, какой путь мы выберем между A и B.

    Мы можем игнорировать движение в других направлениях, потому что имеет значение только разница в высоте. (И точно так же для напряжений имеют значение только электрические поля , параллельные пути .)

    Это может показаться простым, но на самом деле это все, что касается Закона Кирхгофа о напряжении.

    Существует второй распространенный способ определения KVL: сумма напряжений на любом контуре равна нулю.Цикл определяется как любой путь, который начинается и заканчивается в одной и той же точке.

    Чтобы применить к нашей аналогии с высотой, теперь говорится, что если вы начнете с вершины головы человека ростом 5 футов и сделаете любую петлю в пространстве, и вы сложите изменения высоты (ось z) по мере продвижения , вы получите ноль, когда вернетесь в исходную точку.

    Утверждения «каждый цикл суммируется до нуля» и «каждый путь между A и B имеет одинаковую разницу напряжений» математически идентичны, потому что вы всегда можете выбрать путь от A до некоторой точки Q, а затем добавить любой путь обратно от Q обратно к A, чтобы сделать петлю.

    Если вы изучали многомерное исчисление, это версия линейного интеграла в векторном поле — в данном случае электрическом поле — и существует потенциальная функция (само напряжение), поэтому линейный интеграл не зависит от пути, и электрическое поле — это градиент потенциальной функции. (Мы обсуждали это более подробно в разделе «Электроны в состоянии покоя».)

    Мы только что говорили об измерении роста людей, но какое это имеет отношение к электронике?

    Что ж, точно так же, как высота является способом измерения гравитационной потенциальной энергии массы в гравитационном поле , точно так же напряжение является способом измерения электрической потенциальной энергии заряда в электрическом поле .

    Допустим, у нас есть высота A (выше) и высота B (ниже) и несколько маленьких стальных шарикоподшипников. Слева мы построили ящик, который принимает шары с высоты B и поднимает их на высоту A. Справа шары, выходящие из ящика, спускаются по пандусу с высоким коэффициентом трения, где они скатываются вниз и в конце концов останавливаются внизу, на высоте B. Оттуда они возвращаются в ящик слева, чтобы продолжить свой цикл.

    Если мы сопоставим массы с зарядами, а высоту — с напряжениями, мы только что описали что-то вроде этой очень простой схемы с одним источником напряжения и одним резистором:

    Закон Кирхгофа о напряжении гласит, что разница напряжений между двумя точками, которые мы обозначили A и B, одинакова, независимо от того, идем ли мы по пути через источник напряжения или по пути через резистор.Вот несколько взаимозаменяемых определений в математических терминах:

    vAB = ндс A по отношению к B

    vAB = любой путь от B до Av

    vAB = vB → A измеряется через источник напряжения = vB → A измеряется через резистор

    vAB = v1 = v2

    Обратите особое внимание на знаки и определения направлений пути. Мы рассмотрим эти вопросы более подробно в следующем разделе.

    Ящик слева похож на источник напряжения: он берет шарикоподшипники (заряжает) и перемещает их из состояния с более низкой потенциальной энергией в состояние с более высокой.

    Пандус справа похож на резистор: он переводит шарикоподшипники (заряды) из состояния с высокой потенциальной энергией обратно в более низкое, рассеивая эту энергию в виде тепла по пути.

    Закон Кирхгофа о напряжении говорит нам, что потенциальная энергия (на единицу заряда), полученная при «повышении» источника напряжения, равна потенциальной энергии (на единицу заряда), теряемой при «понижении» резистора. Вот способ сформулировать это предложение в виде петли: вы видите, что шарикоподшипники (заряды) образуют полную петлю.

    Мы могли бы сделать петлевую версию KVL, сказав:

    vBB = 0

    vBB = vB → A, измеренное через источник напряжения + vA → B, измеренное через резистор

    vBB = vB → A, измеренное через источник напряжения + (- vB → A, измеренное через резистор)

    vBB = v1 + (- v2)

    0 = v1 − v2

    v1 = v2

    Если это помогает вашему пониманию, еще одна причина, по которой закон Кирхгофа должен выполняться, заключается в сохранении энергии: если бы это было не так, то заряд мог бы следовать по контуру, проходить через несколько компонентов и возвращаться обратно. там, где это началось, и набрались потенциальной энергии! Это было бы идеально для вечных двигателей, но не для законов термодинамики.

    Обратите внимание, что закон Кирхгофа по напряжению определяется суммированием разностей напряжений. Как обсуждалось ранее в разделе «Напряжение и ток», все напряжения являются относительными, но иногда мы (для удобства) определяем землю, которая является нашим v = 0. Справка. В нашем примере измерения роста это все равно, что сказать, что не имеет значения, скажем ли мы z = 0. на полу, или z = 0 на пупке более короткого человека. Это произвольно. Несмотря ни на что, складываемые нами различия по оси Z будут одинаковыми.


    Самое интересное в законе напряжения Кирхгофа состоит в том, что мы только что так сильно аргументировали, почему он «очевидно» истинен…

    Однако вы можете удивиться, узнав, что в физике, лежащей в основе уравнений Максвелла, KVL на самом деле является ложным ! Закон индукции Фарадея:

    ∮ → E⋅ → dl = −dΦBdt

    Это говорит о том, что напряжение, индуцированное в петле, равно скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную петлей.Таким образом, напряжение вокруг контура равно нулю , только если через этот контур не проходит изменяющийся во времени магнитный поток.

    Мы упоминали эту проблему при обсуждении покоящихся электронов. Подводя итог: наша модель сосредоточенных элементов требует, чтобы мы предполагали, что закон напряжения Кирхгофа выполняется, но иногда мы вносим некоторые коррективы.

    Например, каждая катушка индуктивности и трансформатор обычно имеют изменяющийся во времени магнитный поток, но мы просто включаем их в модель самого элемента схемы.Напряжение катушки индуктивности на самом деле такое же, как и правый член в законе Фарадея, но вместо того, чтобы рассматривать его как корректировку KVL, мы рассматриваем его как сам источник напряжения.

    Однако, если есть внешних изменяющихся во времени магнитных полей , нам, возможно, придется о них побеспокоиться. Это может стать источником помех в электронике. Это причина, по которой большие электронные системы с контурами внутри могут быть проблемой, и одна из причин, почему контуры заземления также являются проблемой: они образуют большую поверхность для изменяющегося во времени магнитного потока, вызывающего паразитные напряжения в нашей системе.Однако мы обычно можем смоделировать этот эффект как дополнительный источник напряжения, если захотим.

    А пока вы должны предположить, что закон напряжения Кирхгофа верен в вашем исследовании электроники. Просто сохраните эту деталь на тот случай, если вы начнете работать с изменяющимися во времени магнитными полями позже!


    Сейчас мы находимся в той точке, где мы начинаем собирать воедино многие элементы, которые мы построили в предыдущих разделах:

    • Модель сосредоточенных элементов и «Термодинамика, энергия и равновесие» обеспечивают концептуальную основу высокого уровня для рассмотрения систем, включая схемы.
    • Системы уравнений предоставляет инструменты, чтобы знать, когда и как мы можем решить множество одновременных ограничений.
    • Электроны в состоянии покоя дает нам понимание электрических сил, полей и потенциалов (напряжений).
    • Электроны в движении помогает нам задуматься о том, как эти силы заставляют заряды перемещаться и создавать токи.
    • Напряжение и ток — основные переменные потенциальной энергии и расхода в электрических цепях.
    • Последовательные и параллельные резисторы
    • дают нам интуитивное представление о том, как ведут себя напряжение и ток, когда мы объединяем несколько элементов.
    • И, наконец, Закон Кирхгофа о напряжении и Закон Кирхгофа о токе (этот раздел) формализует эту интуицию и позволяет нам описывать ограничения на напряжение и ток в архитектуре любой схемной сети.

    Следующие части головоломки состоят в том, чтобы объединить уравнения KCL и KVL с конкретными уравнениями элементов схемы (например, закон Ома), при этом тщательно пометив все токи и напряжения, а затем решив эти полные системы уравнений, чтобы понять, как эти ограничения и компоненты взаимодействуют, чтобы произвести определенное поведение схемы.


    В следующем разделе «Обозначение напряжений, токов и узлов» мы обсудим, как правильно маркировать имена и направления всех напряжений и токов в цепи, что необходимо для создания согласованного набора уравнений схемы.

    alexxlab

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *