Поток вектора напряженности

       Итак, на примерах мы показали, что, если силовые линии однородного электрического поля напряженностью пронизывают некоторую площадку S, то поток вектора напряженности (раньше мы называли число силовых линий через площадку) будет определяться формулой:

где E_n – произведение вектора на нормаль к данной площадке (рис. 2.5).
Рис. 2.5

       Полное число силовых линий, проходящих через поверхность S называется потоком вектора напряженности Ф_Е через эту поверхность.

       В векторной форме можно записать – скалярное произведение двух векторов, где вектор .

       Таким образом, поток вектора есть скаляр, который в зависимости от величины угла α может быть как положительным, так и отрицательным.

       Рассмотрим примеры, изображенные на рисунках 2.6 и 2.7.

	Рис. 2.6	Рис. 2.7

       Для рисунка 2.6 – поверхность А₁ окружает положительный заряд и поток здесь направлен наружу, т.е. Поверхность А₂ – окружает отрицательный заряд, здесь и направлен внутрь. Общий поток через поверхность

А равен нулю.

       Для рисунка 2.7 – поток будет не равен нулю, если суммарный заряд внутри поверхности не равен нулю. Для этой конфигурации поток через поверхность А отрицательный (подсчитайте число силовых линий).

       Таким образом, поток вектора напряженности зависит от заряда. В этом смысл теоремы Остроградского-Гаусса.

---

Электричество и магнетизм

Теорема установлена М.В. Остроградским (рис. 1.33) в виде общей математической теоремы для любого векторного поля и К. Гауссом — применительно к электростатическому полю.

 Рис. 1.33. М. Острогра́дский (1801–1861) — российский математик и механик 

Закон Кулона и принцип суперпозиции позволяют вычислить потенциал поля любого распределения заряда                    

 .

Используя связь  или непосредственно с помощью закона Кулона и принципа суперпозиции, можно вычислить и напряженность поля             

 

Однако, практическое вычисление написанных выше сумм и интегралов далеко не всегда так просто, как просто выглядят сами суммы и интегралы. Они вычисляются достаточно непринужденно, когда зарядов два, три, может быть, десяток. Если же речь идет о макроскопических заряженных телах, когда число точечных зарядов (протонов, электронов и т. п.) макроскопически велико, прямое вычисление подобных выражений становится очень сложной задачей. В первую очередь это касается написанных выше сумм, а не интегралов.

Мы хотим подчеркнуть, что при решении макроскопических задач, в подавляющем большинстве случаев, можно считать, что заряд распределён непрерывно, соответственно, вычислять надо не суммы, а интегралы. Поэтому встает задача: на базе закона Кулона и принципа суперпозиции, написать интегральные и/или дифференциальные уравнения, которым удовлетворяет напряженность поля произвольного распределения зарядов. Эту задачу в ряде случаев успешно решает обсуждаемая в этом параграфе теорема Гаусса для вектора . 

Рассмотрим некоторую поверхность  и на ней бесконечно малый участок (бесконечно малую площадку) площадью  (рис. 1.34).  

Рис. 1.34. Бесконечно малый участок поверхности

 Показанный на рисунке «вектор площадки»  имеет следующий смысл: 1) он направлен по нормали  к поверхности  в той её точке, в окрестности которой находится площадка; 2) его модуль равен площади площадки . Вектор , а вместе с ним и вектор  всегда направлены по перпендикуляру к поверхности в данном её месте, а вот в какую сторону: налево вверх, как на рисунке выше, или в противоположную сторону (направо вниз, «под» поверхность), — в общем случае это дело произвольного выбора. Однако в ряде случаев, по умолчанию, действуют определенные правила. Например, если поверхность замкнутая, то есть представляет собой некоторую замкнутую «оболочку», то по умолчанию берется «внешняя» нормаль, направленная наружу. Выбор «внутренней» нормали ничему не противоречит, но должен быть специально оговорен. Если поверхность не замкнутая и опирается  на некоторый контур, а, кроме того, задано направление обхода этого контура, то направление нормали общепринято связывать с направлением обхода правилом правого винта. С той же оговоркой, что и выше: направление обхода контура и направление нормали к поверхности, которая на него опирается, можно связать, используя левый, а не правый винт, такой выбор ничему не противоречит, но должен быть специально оговорен. Здесь и ниже, если иное специально не оговорено, будут использоваться указанные выше общепринятые правила: внешняя нормаль и правый винт.

Электрический поток

Физика > Электрический поток

 

Рассмотрите скорость электрического поля – электрический поток. Читайте про равномерное и неравномерное электрическое поле, теорему Гаусса, формула, вольтметр.

Электрический поток – скорость движения электрического поля по указанной площади.

Задача обучения

• Определить электрический поток в условиях однородного и неоднородного электрических полей.

Основные пункты

• Если электрическое поле выступает равномерным, то электрический поток на поверхности (S) вычисляется как Φ_E = E ⋅ S = ES cosθ.
• Единица измерения – вольтметры.

Термин

• Электрическое поле – участок вокруг заряженной частицы или между двумя зарядами.

Электрический поток – скорость перемещения электрического поля сквозь указанную площадь. Выступает пропорциональным количеству линий, пронизывающих виртуальную поверхность.

Визуализация электрического потока. Кольцо указывает на границы поверхности. Красные стрелки – линии электрического поля

Если в электрическом поле присутствует равномерное распределение, то используем формулу Φ_E = E ⋅ S = ES cosθ (E – величина электрического поля, S – поверхностная площадь, а θ – угол между линиями электрического поля и перпендикуляром к S.

Для неравномерного электрического поля: dΦ_E = E ⋅ dS (электрическое поле E, умноженное на компонент области, перпендикулярной полю).

Электрический поток над поверхностью характеризуется также законом Гаусса (теорема Гаусса) в виде поверхностного интеграла: Φ_E = ∬_SE ⋅ dS (Е – электрическое поле, dS – дифференциальная площадь на замкнутой поверхности S с наружной поверхностью, определяющей его направление).

Если на электрический поток не воздействуют заряды внутри замкнутой поверхности, то поле в формуле Гаусса может зависеть от зарядов вне закрытой поверхности. Закон полезен исключительно для ручных расчетов, когда в электрическом поле присутствует высокая степень симметрии (сферическая и цилиндрическая).

Единицы измерения – вольтметры. Если расписать, то базовой будет кг · м³ · с^-3 · А^-1.

Поток векторного поля — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В математике поток векторного поля используется для двух различных понятий:

• Поток векторного поля через поверхность (см. ниже)

• Фазовый поток — поток векторного поля A→{\displaystyle {\vec {A}}} — однопараметрическое семейство диффеоморфизмов Γt{\displaystyle \Gamma _{t}}, определяемых дифференциальным уравнением A→(Γt(x))=dΓt(x)dt{\displaystyle {\vec {A}}(\Gamma _{t}(x))={\frac {d\Gamma _{t}(x)}{dt}}}.

Поток векторного поля через поверхность[править | править код]

Поток векторного поля через поверхность — поверхностный интеграл второго рода по поверхности S{\displaystyle S}. По определению ΦF=∬SF⋅ndS{\displaystyle {{\Phi }_{F}}=\iint \limits _{S}{\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,dS}}

где F=F(X){\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {F(X)} } — векторное поле (вектор-функция векторного аргумента — точки пространства), n{\displaystyle \mathbf {n} } — единичный вектор положительной нормали к поверхности (положительное направление выбирается для ориентируемой поверхности условно, но одинаково для всех точек — то есть для дифференцируемой поверхности — так, чтобы n{\displaystyle \mathbf {n} } было непрерывно; для неориентируемой поверхности это не важно, так как поток через неё всегда ноль), dS{\displaystyle dS} — элемент поверхности.

• В трёхмерном случае X=(x,y,z),F=F(X)=(Fx(X),Fy(X),Fz(X)){\displaystyle \mathbf {X} =(x,y,z),\mathbf {F} =\mathbf {F(X)} =\left(F_{x}(\mathbf {X} ),F_{y}(\mathbf {X} ),F_{z}(\mathbf {X} )\right)}, а поверхностью является обычная двумерная поверхность.

Иногда, особенно в физике, применяется обозначение

dS=ndS{\displaystyle d\mathbf {S} =\mathbf {n} \,dS}

тогда поток записывается в виде

ΦF=∬SF⋅dS{\displaystyle {{\Phi }_{F}}=\iint \limits _{S}{\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} }}.

Физическая интерпретация[править | править код]

Пусть движение несжимаемой жидкости единичной плотности в пространстве задано векторным полем скорости течения v=v(x,y,z){\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} (x,y,z)}. Тогда объём жидкости, который протечёт за единицу времени через поверхность S{\displaystyle S}, будет равен потоку векторного поля v{\displaystyle \mathbf {v} }.

Поток вектора напряженности электрического поля

Число линий вектора , пронизывающих некоторую поверхность, называетсяпотоком N вектора напряженностичерез эту поверхность. Если поверхностьSплоская и перпендикулярна силовым линиям, а поле (Е) однородно (рис.3.2,а), то очевидно, что

N=ES.

а) б)

Рис.3.2

Если нормаль к плоской поверхности составляет угол α с силовыми линиями (рис.3.2, б), то:

N=EScosα=E_n·S (3.5)

Наконец, в случае неоднородного поля и произвольной формы поверхности, разобьем ее на элементарные площадки dS. ПотокdNчерез такую площадкуdSравен:

dN=E_ndS, (3.6)

где E_n=E·cosα– проекция векторана нормаль, а поток через всю поверхность

(3.7)

Теорема Остроградского – Гаусса и ее применение к расчету полей

Определим поток Nвектора напряженности поля зарядовQ₁,Q₂, …Q_nчерез произвольнуюзамкнутуюповерхность, окружающую эти заряды.

Рассмотрим сначала случай сферической поверхности S_сфрадиусомr, в центре которой в вакууме (ε =1) находится точечный зарядQ(рис.3.3)

Рис.3.3

Напряженность Е во всех точках поверхности сферы одинакова, а линии вектора Е перпендикулярны поверхности сферы. Тогда согласно (3.4) и (3.7) поток N_Eв вакууме

Так как площадь поверхности сферы S = 4πr², то

,

и поток вектора напряженности заряда Q

(3.8)

Окружим теперь заряд замкнутой поверхностью Sпроизвольной формы. Как видно из рис. 3.3, каждая силовая линия, пронизывающая сферу, пронижет и поверхностьS. Следовательно, формула (3.8) справедлива и для любой замкнутой поверхности.

Если поток Nсоздаетсяnзарядами, то он равен сумме потоков, создаваемых каждым из зарядов:

или окончательно:

(3.9)

Формула (3.9) выражает теорему Остроградского-Гаусса:поток вектора напряженности N через любую замкнутую поверхность, пропорционален алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри этой поверхности.

В случае равномерного распределения заряда по объему Vтела с объемной плотностьюρформула (3.9) может быть записана.

Поле равномерного заряженной бесконечной прямолинейной нити

Пусть бесконечная нить или тонкий цилиндр (рис3.4) заряжен равномерно с линейной плотностью заряда τ(τ=dQ/dℓ— заряд, приходящийся на единицу длины). Из соображений симметрии следует, что линии вектора Е радиально расходятся от нити перпендикулярно ей: Е=Е_n

Рис.3.4

Окружим участок нити длиной ℓ коаксиальной с ней цилиндрической замкнутой поверхностью радиусом r. ПотокNчерез ее торцы равен нулю и, следовательно, полный поток равен потоку через боковую поверхность:

N_Е=ES=E2πrℓ

По теореме Остроградского-Гаусса (3.9)

Приравняв правые части, получим

. (3.10)

Если у нас цилиндр радиуса Rи зарядQсосредоточен на поверхности, то для точекr<R(т.е. внутри цилиндра) Е=О.

Электричество и магнетизм

1. Основные понятия электростатики. Закон Кулона. Понятие электрического поля. Напряженность электрического поля. Линии напряженности. Принцип суперпозиции.

Закон Кулона.

Закон Кулона: сила электростатического взаимодействия двух точеч­ных зарядов q₁ и q₂ в вакууме прямо пропорциональна произведению этих заря­дов и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними.

В системе единиц СИ закон Кулона записывается для модуля силы Кулона и для вектора силы, где₀=8.8510^-12 Кл²/(Нм²) и называется электрической постоянной.

2. Поток вектора Е. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме. Работа электростатического поля. Циркуляция вектора Е. Потенциал электростатического поля.

Поток вектора напряженности электростатического поля

Чтобы с помощью силовых линий можно было характеризовать не только направление, но и величи­ну напряженности электростатического поля, их усло­ви­лись проводить с определенной густотой. Число ли­ний напряженности, пронизывающих единицу площа­ди перпендикулярной им поверхности, должно быть равно модулю вектора . Число силовых линий, про­низы­вающих элементарную площадку dS, называется потоком вектора напряженности dФ_Е через площадку dS. Эта величина считается по формуле dФ_Е=ЕdScos(), где  — угол между вектором нормали к площадкеdS и векто­ром . Представим величину элемента поверхности в виде вектора . Таким образом— это вектор, численно равный площади элемента поверхности и совпа­дающий по направлению с наруж­ной нормалью к нему. Тогда Е_n=Еcos — есть проекция вектора на нормальк площадкеdS (рис.1.6) и .

Если плоская поверхность S перпендикулярна силовым линиям однородного электрического поля, то поток напряженности через нее равен Ф_Е=ЕS. Если площадка dS параллельна линиям напряженности, то поток dФ_Е через нее равен нулю, так как в этом случае и Е_n= 0. Если поверхность S произвольной формы, а поле неоднородное, то поверх­ность разбивают на малые элементарные площадки dS, на каждой из которых на­пря­женность поля постоянная. Поток напряженности через каждую элементар­ную площадку равенdФ_Е=Е_ndS, а поток напряженности поля через всю поверхность представится суммой эле­ментарных потоков и в итоге будет равен .

Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме.

Поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заря­дов, охватываемых этой поверхностью, деленной на электрическую постоян­ную ₀. Эта формулировка представляет собой теорему К.Гаусса.

В общем случае электрические заряды могут быть распределены с некоторой объемной плотностью , различной в разных местах пространства. Тогда суммарный заряд объемаV, охватываемого замкнутой поверхностью S равен и теорему Гаусса следует записать в виде.

Циркуляция вектора напряженности электрического поля. 

Работа, совершаемая силами электрического поля при перемещении единичногоположительного заряда по замкнутому контуру длиной l, определяется как циркуляция вектора напряженности электрического поля:

Так как для замкнутого пути положения начальной и конечной точек перемещения заряда совпадают, то работа сил электрического поля на замкнутом пути равна нулю, а значит, равна нулю и циркуляция вектора напряженности, т.е.

 .

Равенство нулю означает, что силы электрического поля являются силами консервативными, а само поле — потенциальным

     

3. Электрический диполь. Полярные, неполярные и ионные диэлектрики. Поляризация диэлектриков. Поляризованность. Диэлектрическая проницаемость. Электрическое смещение. Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике.

2. Теорема Гаусса.

Использование теоремы Гаусса для расчета полей

(Примеры решения задач)

Поток электрического поля

Пример 2.1.

Два точечных заряда q и –q расположены на расстоянии 2l друг от друга. Найдите поток вектора напряженности через круг радиуса R, плоскость которого перпендикулярна отрезку прямой, соединяющей заряды, и проходит через его середину.

Решение.

Рассмотрим элементарный поток результирующего электрического полячерез бесконечно малую кольцевую зону круга радиусаи ширины(см.рис). В записи потока учтено, что векторперпендикулярен поверхности круга. Выразим напряженность электрического поля через, используя подобие треугольников показанных на рисунке:,

.

Вычисление потока сводится к взятию интеграла:

.

Электрическое поле заряженной сферы

Пример 2.2.

По поверхности сферы радиуса однородно распределен заряд. Определите напряженность электрического поля в произвольной точке пространства вне сферы и внутри нее. Полученный результат представьте на графике, гдепроекция вектора напряженности на осьr, проведенную из центра сферы.

Решение.

Электрическое поле, порождаемое сферически-симметричным распределением заряда сферы, в любой точке пространства направлено вдоль луча от центра сферы и в равноудаленных точках имеет одинаковую величину, т.е. . При таком свойстве симметрии поля в качестве замкнутой гауссовой поверхности возьмем концентрическую сферу радиуса. Поток сквозь выбранную поверхность равен. Согласно теореме Гаусса, он определяется зарядом внутри гауссовой поверхности. Призаряд внутри поверхности равен заряду сферы, а приравен нулю. Поэтому:

Знак заряда определяет знак проекции, а следовательно и направление самого вектора. Он направлен от центра заряженной сферы () или к центру (). Внутри однородно заряженной сферической поверхности электрическое поле отсутствует. График зависимости проекции вектора напряженностина ось, проведенную из центра сферы, показан на Рис. 1 в предположении.

Рис 1

Электрическое поле заряженного шара

Пример 2.3.

По объему шара однородно распределен заряд. Пренебрегая влиянием вещества шара, определите напряженность электрического поля в произвольной точке пространства вне шара и внутри него. Полученный результат представьте на графике, гдепроекция вектора напряженности на осьr, проведенную из центра шара.

Решение.

Поле такой системы зарядов центрально-симметричное, поэтому в качестве гауссовой замкнутой поверхности следует взять концентрическую сферу радиуса .

1) Найдем напряженность электрического поля внутри шара . Векторы напряженностинаправлены по радиусам выбранной сферы, а модули векторовзависят только от расстояниядо центра сферы, то есть, одинаковы по поверхности сферы. Поэтому поток поля векторачерез выбранную сферуможно записать(Рис.2а).

Заряд, охватываемый сферой , равен, где— объемная плотность заряда. Согласно теореме Гаусса. В результате напряженность поля внутри однородно заряженного шара равна:

,

т.е. поле внутри шара возрастает по линейному закону от нуля в центре до значенияна его поверхности.

2) Найдем напряженность электрического поля вне шара . Свойство симметрии поля остается неизменным. Поэтому гауссову поверхность представим концентрической сферойрадиуса(Рис.2а). Согласно теореме Гаусса имеем:, гдезаряд шара. Для величины напряженности поля получим:

.

Поле вне однородно заряженного шара убывает обратно пропорционально.

Объединяя полученные зависимости, запишем:

.

График зависимости проекции вектора напряженности на ось, проведенную из центра шара, представлен на Рис. 2б.

Рис.2а	Рис.2б

Пример 2.4.

Шар заряжен однородно с объемной плотностью . В шаре сделана сферическая полость, положение центра которой характеризуется радиусом-вектором(этот вектор проведен из центра шара в центр полости). Найти полев полости.

Решение.

Представим, что имеем два шара с центрами в точках и, заряженные однородно с объемной плотностьюпервый ивторой. Выберем произвольную точку, которая принадлежит обоим шарам. Воспользовавшись решениемпримера 2.3., для первого шара в точкеполе равно:

().

Для второго шара в точке поле равно:

.

Рис.3

Чтобы определить напряженность поля в полости наложим распределение зарядов двух шаров, как показано на Рис.3. Тогда по принципу суперпозиции найдем поле в полости:

.

Заметим, что поле внутри полости однородно заряженного шара оказывается однородным, а его величина и направление определяется вектором смещения .

Пример 2.5.

Шар радиуса имеет положительный заряд, объемная плотность которого зависит от расстоянияrдо его центра как, где— положительная постоянная. Пренебрегая влиянием вещества шара, найдите модуль вектора напряженности электрического поля внутри и вне шара как функциюr.

Решение.

Поле этой системы зарядов центрально-симметричное, поэтому в качестве замкнутой гауссовой поверхности выберем сферу, концентрическую с шаром.

1) Для нахождения поля вне шара радиус сферы , согласно теореме Гаусса:

,

где полный заряд шара. Чтобы найти, мысленно представим шар в виде набора бесконечно тонких шаровых слоев радиусаширины(Рис.4а). Объем шарового слоя, тогда, а.Интегрируя, получим:

Подставив полученное выражение для в правую часть соотношения для потока, получим напряженность поля вне шара:

.

2) Найдем напряженность электрического поля внутри шара. В качестве замкнутой гауссовой поверхности снова выберем сферу, концентрическую с шаром, радиус которой(рис.4б).

Согласно теореме Гаусса

,

где заряд внутри выбранной сферы. Величинунайдем также как и в пункте 1), подставив соответствующие пределы интегрирования:

.

Подставив величину заряда в соотношение для потока, найдем:

.

График зависимости проекции вектора на ось, проведенную из центра шара, показан на Рис.4в, из которого видно, что напряженность достигает максимума на расстоянииот центра шара.

Рис.4а	Рис.4б	Рис.4в