Site Loader

Содержание

поле — Викисловарь

Морфологические и синтаксические свойства[править]

по́-ле

Существительное, неодушевлённое, средний род, 2-е склонение (тип склонения 2c по классификации А. А. Зализняка).

Корень: -пол-; окончание: [Тихонов, 1996].

Произношение[править]

  • МФА: ед. ч. [ˈpolʲɪ]  мн. ч. [pɐˈlʲa]

Семантические свойства[править]

Футбольное поле [3]
Значение[править]
  1. безлесная равнина [≈ 1][≠ 1][▲ 1][▼ 1] ◆ Лежала под окнами пустая улица, за ней ― вовсе пустое поле на двадцать пять вёрст до центральной усадьбы, станицы Ендовской. Б. П. Екимов, «Фетисыч» // «Новый Мир», 1996 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы)
  2. засеиваемый или возделываемый под посев участок земли [≈ 2][≠ 2]
    [▲ 2]
    [▼ 2]◆ По пути должна была встретиться большая сырая луговина, прорезанная канавами для осушки, поле, засеянное овсом, — все места чистые и удобные для выслеживания. А. Д. Скалдин, «Странствия и приключения Никодима Старшего», 1917 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы) ◆ Как и возле предыдущей деревни, поле было разделено на нивы-полоски с узкими, едва заметными между ними межами. В. В. Быков, «Болото», 2001 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы)
  3. перен. ровное, обширное пространство [≈ 3][≠ 3][▲ 3][▼ 3] ◆ Вода широкой волной выплеснулась на отмель, пожирая снег, и синее ледяное поле плавно тронулось вперёд. Б. Губер, «Известная Шурка Шапкина», 1926 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы) ◆ Впереди чернела асфальтовая прямая дорога, разрезая снежное поле до самого горизонта.
    Б. П. Екимов, «Пиночет», 1999 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы)
  4. перен. основной цвет, фон, пространство, на который нанесены узоры, рисунки или геральдические изображения [≈ 4][≠ 4][▲ 4][▼ 4] ◆ Щит разделён на две половины: в одной, на золотом поле, изображён чёрный лев, вставший на дыбы (герб Свербиллы), в другой, на серебряном поле, чёрный же орёл с раскрытою пастью и распростёртыми когтями (герб Замбржицких). М. Е. Салтыков-Щедрин, «Наша общественная жизнь», 1863–1864 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы)
  5. специально оборудованная площадка, предназначенная для каких-либо действий (напр., игр) [≈ 5][≠ 5][▲ 5][▼ 5]◆ На футбольном поле по очереди выступали с гимнастическими упражнениями студенты Института физкультуры, армейские спортсмены, школьники, ремесленники.
    Евгений Рубин, «Пан или пропал», «Жизнеописание», 1999–2000 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы)
    ◆ Поле для гольфа делится на три разные части, каждая со своим особым рельефом. Леонид Эдлин, «Гольф как стиль жизни» // «Homes & Gardens», 10 августа 2002 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы)
  6. перен., мн. ч. отогнутый край шляпы [≈ 6][≠ 6][▲ 6][▼ 6] ◆  — Да, у меня нет работы… — сказал Илья, перебирая поля шляпы. И. С. Шмелёв, «Неупиваемая чаша», 1918 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы)
  7. перен., чаще мн. ч. узкая полоса по краю листа в книге, рукописи и т. п., оставляемая свободной от основного текста
    [≈ 7]
    [≠ 7][▲ 7][▼ 7] ◆ Рисовать на полях тетради. ◆ Слушаю, записываю, делаю пометки на полях блокнота. «Власть — это обслуживающий персонал» // «Новая газета», 23 января 2003 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы)
  8. перен. специально выделенное свободное пространство в документе (в т. ч. электронном), предназначенное для последующего заполнения вручную [≈ 8][≠ 8][▲ 8][▼ 8] ◆ Но, в принципе, вы можете остаться «псевдонимом» и не заполнять все поля формы регистрации. В. Хорт, «Как обзавестись электронным кошельком» // «Наука и жизнь», 2008 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы)
  9. перен. участок пространства или поверхности, используемый для чего-либо или доступный для каких-либо действий
    [≈ 9]
    [≠ 9][▲ 9][▼ 9] ◆ Саблин поднялся на холм и смотрел в бинокль сквозь очки противогаза на поле боя. П. Н. Краснов, «От Двуглавого Орла к красному знамени», книга 2, 1922 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы) ◆ Он интересовался вопросом, как удобно сидеть в этой машине, какая видимость, какое поле обстрела, удобно ли выкидываться. Л. К. Бронтман, «Дневники и письма», 1932–1942 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы) ◆ Объёмным зрением наделены лишь животные, у которых глаза посажены довольно близко друг к другу, например кошки, собаки, обезьяны. Поле зрения обоих глаз перекрывается. Животное видит предмет как бы с двух сторон — слева и справа. «Как спасаются зайцы?» // «Знание — сила», 2003 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы)
  10. перен. область, сфера какой–либо деятельности; поприще [≈ 10][≠ 10][▲ 10][▼ 10] ◆ Прецедентное право (case law) Европейского Суда по применению Брюссельской конвенции полностью относится и к Луганской конвенции и составляет единое правовое поле. «Унификация правил подсудности гражданских дел международного характера в странах Европы» // «Арбитражный и гражданский процессы», 27 января 2003 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы) ◆ Если вы сыты по горло действительностью — абсурдной и беспощадной — то лучше посмотрите социальные ролики, заботливо собранные волонтёрами на полях Интернета.
  11. перен. то же, что поле деятельности [≈ 11][≠ 11][▲ 11][▼ 11] ◆ Здесь поле для пропаганды было шире, что нами и было использовано. П. А. Моисеенко, «Воспоминания старого революционера», 1921–1923 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы)
  12. перен., спец. работа, исследовательская деятельность в природных условиях [≈ 12][≠ 12][▲ 12][▼ 12] ◆ Исследования в лаборатории и в поле.
  13. перен., физ. одна из форм материи, характеризующая пространство как носитель физических взаимодействий [≈ 13][≠ 13][▲ 13][▼ 13]◆ Обсуждается механизм кулоновского взрыва металла во внешнем импульсном электрическом поле. А. А. Рухадзе, У. Юсупалиев, «О возможности реализации кулоновского взрыва металла» // «Журнал технической физики», 2004 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы) ◆ Чем сильнее гравитационное поле, тем медленнее течёт время. В. Н. Комаров, «Тайны пространства и времени», 1995–2000 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы)
  14. перен., матем. множество, на котором определены операции сложения и умножения, образующее коммутативную группу по сложению, все ненулевые элементы которого образуют коммутативную группу по умножению, и на котором выполняется свойство дистрибутивности [≈ 14][≠ 14][▲ 14][▼ 14] ◆ Поле действительных чисел. ◆ Поле комплексных чисел.
  15. перен., юр., истор. судебный поединок в русской юридической практике XIII–XVI вв [≈ 15][≠ 15][▲ 15][▼ 15] ◆ Отсутствует пример употребления (см. рекомендации).
  16. перен., охотн. охота, сезон охоты [≈ 16][≠ 16][▲ 16][▼ 16]◆ Последний сын Соловья, кобель по второму полю, особенно умён. М. М. Пришвин, «Гон», 1925 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы)
Синонимы
Антонимы
Гиперонимы
Гипонимы

Родственные слова[править]

Этимология[править]

Происходит от праслав. , от кот. в числе прочего произошли: др.-русск. поле, ст.-слав. поле (др.-греч. πεδίον, κάμπος), русск., укр. по́ле, болг. поле́, сербохорв. по̏ље, словенск. роljе̑, чешск., словацк., польск. роlе, в.-луж. роlо, н.-луж. рólо, полабск. рülǘ. Связано с др.-русск. полъ «открытый, свободный, полый» и родственно лат. раlаm «открыто, явно», шв. fala «равнина, пустошь», местн. н. Falun, нов.-в.-нем. West-falen, Ost-falen. Возм., также др.-прусск. местн. н. Раlwе, раlwе — название пустынной, безлесой, мшистой равнины, непаханой пустоши, алб. shpall «открываю». Далее сюда относится укр. полонина́ «плоскогорье, пастбище в горах», болг. планина́ «гора», сербохорв., словенск. planína «гора», чешск., словацк. planina «равнина», польск., в.-луж. płonina «сухая, бесплодная земля», шв. fjäll. Далее, вероятно, также др.-в.-нем. feld «поле». Едва ли более вероятно сближение со ст.-слав. полѣти, пламѩ (пали́ть, по́ломя) якобы с первонач. знач. «выжженная равнина», а также со словенск. péljati «гнать, вести» (Бодуэн де Куртенэ). От по́ле произведено полева́ть «охотиться», польск. роlоwаć — то же; ср. др.-русск. польничати «охотиться».Использованы данные словаря М. Фасмера. См. Список литературы.

Фразеологизмы и устойчивые сочетания[править]

Пословицы и поговорки[править]

Перевод[править]

безлесная травянистая равнина
  • Аварскийav: хур
  • Азербайджанскийaz: sahə, mədən, tarla
  • Аймарскийay: pampa
  • Албанскийsq: fushë ж.
  • Английскийen: field
  • Арабскийar: حقل (ħaql)
  • Арауканскийarn: lelfün
  • Армянскийhy: դաշտ
  • Астурийскийast: campu м.
  • Африкаансaf: veld
  • Баварскийbar: Foid, Föi, Föjd
  • Баскскийeu: alor
  • Башкирскийba: ялан, дала
  • Белорусскийbe: поле
  • Бенгальскийbn: ক্ষেত্র (kkhetrô)
  • Бирманскийmy: လယ်ပြင် (lai-prang), လယ်ယာ (laiya), လယ် (lai), ပြင် (prang)
  • Болгарскийbg: поле
  • Бретонскийbr: park
  • Валлийскийcy: maes
  • Валлонскийwa: tchamp
  • Венгерскийhu: mező; terep
  • Венетскийvec: camp
  • Вепсскийvep: pöud
  • Верхнелужицкий
    hsb
    : polo ср.
  • Галисийскийgl: campo
  • Гинухскийgin: мочи; майдан
  • Годоберинскийgdo: хури
  • Готскийgot: 𐌰𐌺𐍂𐍃 (akrs), 𐌷𐌰𐌹𐌸𐌹 (haiþi)
  • Греческийel: αγρός м., χωράφι ср.
  • Грузинскийka: ველი, მინდორი
  • Гуараниgn: kokue
  • Гэльскийgd: achadh, machair
  • Даргинскийdar: ургуба, авлахъ, майдан
  • Датскийda: felt
  • Древнеанглийскийang: feld, æcer
  • Древнегреческийgrc: ἀγρός м.
  • Ивритhe: שדה
  • Идишyi: פֿעלד ср.
  • Идоиio: agro
  • Ингушскийinh: аре
  • Индонезийский
    id
    : bidang, padang
  • Интерлингваиia: campo
  • Ирландскийga: páirc
  • Исландскийis: völlur
  • Испанскийes: campo м.
  • Итальянскийit: campo м.
  • Казахскийkk: дала; жазық; түз
  • Калмыцкийxal: девән; тала; көдә
  • Каталанскийca: camp
  • Кечуаqu: chajra
  • Киконгоkg: ngongo
  • Киргизскийky: талаа
  • Китайскийzh: 田间 [tiánjiān]
  • Коми-зырянскийkom: эрд, эрдвыв, эрдаин, эрдъяин
  • Корейскийko: 밭 (bat), 들판 (deulpan), 필드 (pildeu)
  • Корнскийkw: park
  • Корсиканскийco: chjosu
  • Кумыкскийkum: авлакъ, къыр
  • Кхмерскийkm: វាល (viel)
  • Лаосскийlo: ທົ່ງ (thong), ສະໜາມ (sa nām)
  • Латгальскийltg: teirums, dierva
  • Латинскийla: campus
  • Латышскийlv: lauks м., tīrums м.
  • Лимбургскийli: vèldj
  • Литовскийlt: laukas
  • Люксембургскийlb: Feld
  • Македонскийmk: поле
  • Малайскийms: bidang, padang
  • Мальтийскийmt: għalqa
  • Марийскийchm: пасу, ныр
  • Мирандскийmwl: camp
  • Мокшанскийmdf: пакся
  • Монгольскийmn: тал; хээр
  • Немецкийde: Feld ср.
  • Нидерландскийnl: veld
  • Нижнелужицкийdsb: pólo ср.
  • Норвежскийno: felt
  • Окситанскийoc: camp
  • Осетинскийos: быдыр; фӕз хуым
  • Персидскийfa: میدان (meydân), رشته (rešte)
  • Пикардскийpcd: canp
  • Польскийpl: pole ср.
  • Португальскийpt: campo м.
  • Ретороманскийrm: camp, champ, tgomp
  • Румынскийro: câmp ср.
  • Сардинскийsc: campu
  • Севернофризскийfrr: fälj
  • Сербскийsr (кир.): поље ср.
  • Сицилийскийscn: campu
  • Словацкийsk: pole ср.
  • Словенскийsl: polje ср.
  • Старославянскийcu: полѥ ср.
  • Таджикскийtg: майдон, дашт, саҳро; киштзор, мазраа
  • Татарскийtt: кыр
  • Тибетскийbo: ཞིང་ཁ
  • Турецкийtr: alan, saha
  • Туркменскийtk: meýdan; ýer; giňişlik
  • Удмуртскийudm: бу

Поле (алгебра) — Циклопедия

Кольца и поля. Математические структуры. Урок 82 // MathTutor

Поле в алгебре — математический объект, определяемый в современной математике как коммутативное ассоциативное кольцо, в котором любой ненулевой элемент имеет обратный по умножению. Также обычно считается, что при этом 1 ≠ 0 (то есть нейтральные элементы по сложению и умножению различны). Характерные примеры полей: действительные числа [math]\mathbb R[/math], рациональные числа [math]\mathbb Q[/math]. Концепция поля была введена в XIX веке в работах по решению классической проблемы нахождения формул для решения полиномиального уравнения [math]n[/math]-й степени. Поле является базовым объектом коммутативной алгебры, на основе понятия поля строится алгебраическая геометрия.

В учебниках алгебры поле обычно обозначается латинской буквой K или F .

[править] Развернутое определение

Поле — нетривиальное[1] множество (алгебраическая структура) с бинарными операциями сложения + и умножения [math]\cdot[/math], которые:

  • коммутативны [math]a + b = b + a[/math], [math]a \cdot b = b \cdot a[/math];
  • ассоциативны [math](a + b) + c = a + (b + c)[/math], [math](a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)[/math];
  • умножение дистрибутивно по отношению к сложению [math]a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c[/math];
  • любой элемент [math]a[/math] имеет противоположный по сложению [math]-a[/math], такой что [math]a + (-a) = 0[/math];
  • любой ненулевой элемент [math]a[/math] имеет обратный по умножению [math]a'[/math], такой что [math]a \cdot a’ = 1[/math].

[править] Примеры и конструкции

Примеры полей: поле рациональных чисел [math]\mathbb Q[/math], поле действительных чисел [math]\mathbb R[/math], конечное поле из [math]p[/math] элементов [math]\mathbb F_p[/math] ([math]p[/math] — простое число), поле рациональных функций от одной переменной [math]K(x)[/math] (где [math]K[/math] — некоторое поле).

Поле можно получить из целостного кольца, то есть кольца с коммутативным и ассоциативным умножением, без делителей нуля (произведение ненулевых элементов не равно нулю), если взять его поле частных, то есть ввести естественным образом сложение и умножение на множестве формальных дробей [math]a/b[/math] ([math]b \ne 0[/math]). Таким образом, например, из кольца целых чисел [math]\mathbb Z[/math] получается поле рациональных чисел [math]\mathbb Q[/math].

Если дано поле [math]K[/math], то вмещающим его полем будет алгебраическое замыкание [math]K'[/math], получающееся путем присоединения всех корней алгебраических уравнений с коэффициентами поля [math]K[/math]. Например, алгебраическим замыканием поля действительных чисел [math]\mathbb R[/math] является поле комплексных чисел [math]\mathbb C[/math]. Для доказательства существования алгебраического замыкания в общем случае требуется использование аксиомы выбора.

Поле с введенной на нем метрикой может быть вложено как метрическое пространство в свое пополнение (то есть в пополнении любая фундаментальная последовательность будет иметь предел). На пополнении можно ввести структуру поля, продолжив операции сложения и умножения по непрерывности. Так, пополнением поля рациональных чисел [math]\mathbb Q[/math] по стандартной метрике (расстояние между числами равно модулю их разности) будет полем действительных чисел [math]\mathbb R[/math]. Пополнением поля рациональных чисел по метрике, задаваемой [math]p[/math]-адической нормой, будет полем [math]p[/math]-адических чисел [math]\mathbb Q_p[/math].[2]

В алгебраической геометрии вводится поле рациональных функций на алгебраическом многообразии [math]X[/math], например, поле рациональных функций на кривой.

Поле, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным полем (упоминавшиеся выше поля рациональных и действительных чисел бесконечные). Примером конечного поля будет кольцо вычетов по модулю [math]p[/math], состоящее из [math]p[/math] элементов [math]Z/pZ,[/math] если [math]p[/math] — простое число. Любое конечное поле имеет [math]q = p^k[/math] для некоторого простого числа [math]p[/math] и существует ровно одно поле из [math]q = p^k[/math] элементов для каждого простого числа [math]p[/math] и каждого натурального числа [math]k[/math]. Группа ненулевых элементов по умножению конечного поля является циклической. Конечные поля используются в теории кодирования и криптографии.

Концепция поля появилась в XIX веке в работах Нильса Абеля и Галуа, посвященных проблеме разрешимости уравнений в радикалах. Эта проблема была поставлена в связи с необходимостью решать уравнение [math]n[/math]-й степени [math]a_0x^n + a_1x^{n-1}+ … + a_{n-1}x + a_n = 0[/math] в радикалах, т. е. найти выражения для решений этого уравнения с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корней различных степеней. К XIX веку были найдены выражения для решения общих уравнений 1, 2, 3, 4-й степени, но не было известно формул для решения общих уравнений более высоких степеней. Теория Галуа, оперирующая с полями, прояснила этот вопрос. Классическая теория Галуа имеет дело с конечными алгебраическими расширениями полей, которые представляют собой расширения исходного поля (например, поля рациональных чисел [math]\mathbb Q[/math]) путем присоединения конечного числа корней уравнений с коэффициентами из базового поля. Галуа сопоставил таким расширениям конечные группы автоморфизмов, сохраняющих на месте базовое подполе, и доказал, что разрешимость уравнения в радикалах эквивалентна разрешимости конечной группы соответствующего алгебраического расширения, тем самым решив классическую математическую проблему о разрешимости алгебраических полиномиальных уравнений в радикалах. Например, из теории Галуа следует, что общее уравнение пятой степени и выше неразрешимо в радикалах.

Термин «поле» появился позднее в XIX веке и введен в математических работах Дедекинда.

  1. ↑ Т.е. состоит из более, чем одного элемента
  2. ↑ Любое рациональное число [math]r[/math] можно представить как [math]r=p^n\frac ab[/math] где [math]a[/math] и [math]b[/math] целые числа, не делящиеся на заданное простое число [math]p[/math], а [math]n[/math] — целое. Тогда [math]|r|_p[/math] — [math]p[/math]-адическая норма [math]r[/math] — определяется как [math]p^{-n}[/math]. Если [math]r=0[/math], то [math]|r|_p=0[/math].
  • Ван дер Варден Б. Л. Современная алгебра. т.т.1-2, М-Л: ОНТИ НКТП, 1937.

Конечное поле — Википедия

Коне́чное по́ле, или по́ле Галуа́ в общей алгебре — поле, состоящее из конечного числа элементов; это число называется поря́дком поля.

Конечное поле обычно обозначается Fq{\displaystyle \mathbb {F} _{q}} или GF(q){\displaystyle \mathrm {GF} (q)} (сокращение от Galois field) и называется полем Галуа порядка q{\displaystyle q}, где q{\displaystyle q} — число элементов поля[1]. С точностью до изоморфизма конечное поле полностью определяется его порядком, который всегда является степенью какого-нибудь простого числа, то есть q=pn{\displaystyle q=p^{n}}, где p{\displaystyle p} — простое число, а n{\displaystyle n} — любое натуральное число. При этом p{\displaystyle p}  будет являться характеристикой этого поля[2].

Понятие конечного поля используется в теории чисел[3], теории групп[3], алгебраической геометрии[3], криптографии[4].

Конечным полем называется конечное множество, на котором определены произвольные операции, называемые сложением, умножением, вычитанием и делением, (кроме деления на 0) в соответствии с аксиомами поля[5].

Мультипликативная группа конечного поля циклична. То есть все ненулевые элементы поля Fq{\displaystyle \mathbb {F} _{q}} образуют группу относительно операции умножения (эта группа называется мультипликативной группой поля и обозначается Fq∗{\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{*}}). Эта группа является циклической, то есть в ней есть порождающий элемент, а все остальные элементы получаются возведением в степень порождающего[5]. То есть, существует g{\displaystyle g} — порождающий элемент, такой что для любого a∈Fq∗{\displaystyle a\in \mathbb {F} _{q}^{*}}, можно записать:

∃n:gn=amodq{\displaystyle \exists n:g^{n}=a\mod q}.

Порождающий элемент Fq∗{\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{*}} называется также примитивным элементом поля Fq.{\displaystyle \mathbb {F} _{q}.} Поле Fq{\displaystyle \mathbb {F} _{q}} содержит φ(q−1){\displaystyle \varphi (q-1)} примитивных элементов, где φ{\displaystyle \varphi } — функция Эйлера.[6]

Также поле обладает рядом других свойств:

  • Согласно малой теореме Ферма, каждый элемент поля Fq{\displaystyle \mathbb {F} _{q}} удовлетворяет равенству aq=a{\displaystyle a^{q}=a}[2].
  • Поле Fpn{\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}} содержит в себе в качестве подполя Fpk{\displaystyle \mathbb {F} _{p^{k}}} тогда и только тогда, когда k{\displaystyle k} является делителем n{\displaystyle n}[1].
  • Если f∈Fq[x]{\displaystyle f\in \mathbb {F} _{q}[x]} — неприводимый многочлен степени m{\displaystyle m}, то поле Fqm{\displaystyle \mathbb {F} _{q^{m}}} содержит любой его корень α{\displaystyle \alpha }, причём множество всех его корней имеет вид {α,αq,…,αqm−1}{\displaystyle \{\alpha ,\alpha ^{q},\ldots ,\alpha ^{q^{m-1}}\}}. Таким образом, Fqm{\displaystyle \mathbb {F} _{q^{m}}} является полем разложения многочлена f{\displaystyle f} над полем Fq{\displaystyle \mathbb {F} _{q}}[7].
  • Для каждого конечного поля Fq{\displaystyle \mathbb {F} _{q}} и натурального числа n{\displaystyle n} произведение всех нормированных неприводимых над Fq{\displaystyle \mathbb {F} _{q}} многочленов, степень которых делит n{\displaystyle n}, равно xqn−x.{\displaystyle x^{q^{n}}-x.} В частности, сумма степеней таких многочленов равна qn{\displaystyle q^{n}}[8].
  • Число N(q,n){\displaystyle N(q,n)} нормированных многочленов степени n, неприводимых над полем Fq,{\displaystyle \mathbb {F} _{q},} определяется по формуле N(q,n)=1n∑d|nμ(d)qnd{\displaystyle N(q,n)={\frac {1}{n}}\sum _{d|n}\mu (d)q^{\frac {n}{d}}}, где μ{\displaystyle \mu } — функция Мёбиуса. Это утверждение следует из формулы qn=∑d|ndN(q,d){\displaystyle q^{n}=\sum _{d|n}dN(q,d)} после применения формулы обращения Мёбиуса[9].

Любое поле простого порядка может быть представлено кольцом вычетов (т.е. любое поле из GFp{\displaystyle \mathbb {GF} _{p}} элементов изоморфно кольцу вычетов Z/(p){\displaystyle \mathbb {Z} /(p)}). Наиболее известный пример конечного поля — поле классов вычетов по модулю простого числа p{\displaystyle p}, обозначаемое Z/(p){\displaystyle \mathbb {Z} /(p)}[10]. Это поле можно представить следующим образом. Для простого числа p{\displaystyle p} элементами поля будут числа {0,1,…,p−1}{\displaystyle \{0,1,…,p-1\}}. Сложение и умножение определены как сложение и умножение чисел с приведением результата по модулю p{\displaystyle p}[11]. Ниже приведены примеры таких полей с двумя элементами и тремя элементами.

Не следует путать конечные поля Fpn{\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}} и кольца вычетов Z/(pn){\displaystyle \mathbb {Z} /(p^{n})}. Только когда порядок простое число, кольцо вычетов является полем.[12]

При n>1 кольцо вычетов Z/(pn){\displaystyle \mathbb {Z} /(p^{n})} полем не является. Пример.

В поле F8{\displaystyle \mathbb {F} _{8}} для любого элемента верно x+x=0{\displaystyle x+x=0}.
В кольце Z8{\displaystyle \mathbb {Z} _{8}}, вычисляя x+x{\displaystyle x+x}, мы получим 0 только в двух случаях, когда x=4,x=0{\displaystyle x=4,x=0}. Это кольцо имеет делители нуля: 2⋅4=0(mod8){\displaystyle 2\cdot 4=0{\pmod {8}}}.

Характеристика каждого конечного поля является простым числом. Пусть F{\displaystyle F} — конечное поле. Тогда оно состоит из pn{\displaystyle p^{n}} элементов, где p{\displaystyle p} — характеристика поля F{\displaystyle F}, а натуральное число n{\displaystyle n} — степень поля F{\displaystyle F} над его простым подполем[2].

Согласно теореме о существовании и единственности конечных полей, для каждого простого числа p{\displaystyle p} и натурального числа n{\displaystyle n} существует конечное поле из pn{\displaystyle p^{n}} элементов и любое конечное поле из q=pn{\displaystyle q=p^{n}} элементов изоморфно полю разложения многочлена xq−x{\displaystyle x^{q}-x} над полем Fp{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}. Данная теорема позволяет говорить о вполне определённом поле данного порядка q{\displaystyle q} (то есть о поле Галуа из q{\displaystyle q} элементов)[13].

Поле Fpn{\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}} при n > 1 можно построить как факторкольцо K=Fp[x]/(f(x)){\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))}, где f(x){\displaystyle f(x)} — неприводимый многочлен степени n над полем Fp{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}. Таким образом, для построения поля из pn{\displaystyle p^{n}} элементов достаточно отыскать многочлен степени n{\displaystyle n}, неприводимый над полем Fp{\displaystyle \mathbb {F} _{p}} (такой многочлен всегда существует). Элементами поля K{\displaystyle \mathbb {K} } являются классы вычетов многочленов степени меньшей n{\displaystyle n} с коэффициентами из Fp{\displaystyle \mathbb {F} _{p}} по модулю главного идеала, порождённого многочленом f(x){\displaystyle f(x)}.

Элемент α=x+(f(x))∈Fp[x]/(f(x)){\displaystyle \alpha =x+(f(x))\in \mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))} является корнем многочлена f(x){\displaystyle f(x)}, и поле Fp[x]/(f(x)){\displaystyle \mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))} порождается этим элементом над полем Fp{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}, поэтому переход от поля Fp{\displaystyle \mathbb {F} _{p}} к полю Fp[x]/(f(x)){\displaystyle \mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))} называется присоединением к полю Fp{\displaystyle \mathbb {F} _{p}} корня неприводимого многочлена f(x){\displaystyle f(x)}.[14][15]

Поле из двух элементов[править | править код]

Поле F2{\displaystyle \mathbb {F} _{2}} состоит из двух элементов, но оно может быть задано разными способами в зависимости от выбора элементов и определения операций сложения и умножения на них:[16]

  • Как множество из двух чисел «0» и «1», на котором операции сложения и умножения определены как сложение и умножение чисел с приведением результата по модулю 2:
  • Как множество из двух логических объектов «ЛОЖЬ» (F) и «ИСТИНА» (T), на котором операции сложения и умножения определены как булевые операции «исключающее или» и «и» соответственно:

Очевидно, что данные поля являются изоморфными друг другу, т. е. это фактически два разных способа задания одного и того же поля.

Поле из трёх элементов[править | править код]

Поле F3={0,1,2}{\displaystyle \mathbb {F} _{3}=\{0,1,2\}}. Сложения и умножения определены как сложение и умножение чисел по модулю 3. Таблицы операций F3{\displaystyle \mathbb {F} _{3}} имеют вид:

+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
× 0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 1

Поле из четырёх элементов[править | править код]

Поле F4{\displaystyle \mathbb {F} _{4}} можно представить как множество {0,1,α,α+1}{\displaystyle \{0,1,\alpha ,\alpha +1\}} (где α{\displaystyle \alpha } — корень многочлена f(x)=x2+x+1{\displaystyle f(x)=x^{2}+x+1} над полем F2{\displaystyle \mathbb {F} _{2}}, то есть α2=−α−1=α+1{\displaystyle \alpha ^{2}=-\alpha -1=\alpha +1}). Таблицы операций F4{\displaystyle \mathbb {F} _{4}} имеют вид:[17]

Поле из девяти элементов[править | править код]

Для построения поля F9=GF(32){\displaystyle \mathbb {F} _{9}=\mathrm {GF} (3^{2})} достаточно найти нормированный многочлен степени 2, неприводимый над F3{\displaystyle \mathbb {F} _{3}}. Такими многочленами являются:

x2+1{\displaystyle x^{2}+1}
x2+x+2{\displaystyle x^{2}+x+2}
x2+2x+2{\displaystyle x^{2}+2x+2}

Для x2+1{\displaystyle x^{2}+1} искомое поле есть F9=Z3[x]/(x2+1){\displaystyle \mathbb {F} _{9}=\mathbb {Z} _{3}[x]/(x^{2}+1)} (если вместо x2+1{\displaystyle x^{2}+1} взять другой многочлен, то получится новое поле, изоморфное старому). В приведённых ниже таблицах символ i{\displaystyle i} обозначает класс эквивалентности многочлена x{\displaystyle x} в факторкольце Z3[x]/(x2+1){\displaystyle \mathbb {Z} _{3}[x]/(x^{2}+1)}, удовлетворяющий уравнению i2+1=0{\displaystyle i^{2}+1=0}.

Таблица сложения в F9{\displaystyle \mathbb {F} _{9}} определяется, исходя из соотношения 1+1+1=0{\displaystyle 1+1+1=0}

Поле (алгебра) — это… Что такое Поле (алгебра)?

У этого термина существуют и другие значения, см. Поле.

По́лем называется множество F с двумя бинарными операциями (аддитивная операция, или сложение) и (мультипликативная операция, или умножение), если оно (вместе с этими операциями) образует коммутативное ассоциативное кольцо c единицей , все ненулевые элементы которого обратимы.

Иными словами, множество F с двумя бинарными операциями (сложение) и (умножение) называется полем, если оно образует коммутативную группу по сложению , все его ненулевые элементы образуют коммутативную группу по умножению , и выполняется свойство дистрибутивности.

Связанные определения

Свойства

Примеры множеств, являющихся полями

  • — рациональные числа,
  • — вещественные числа,
  • — комплексные числа,
  • — поле вычетов по модулю , где — простое число.
  • — конечное поле из элементов, где — простое число, — натуральное.
  • — поле рациональных функций вида , где и — многочлены над некоторым полем (при этом , а и не имеют общих делителей, кроме констант).
  • Числа вида , , относительно обычных операций сложения и умножения.

См.также

Ссылки

Есть более полная статья

Характеристика (алгебра) — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Характеристика (кольца или поля) — числовая величина, используемая в общей алгебре для описания некоторых свойств этих алгебраических структур.

Пусть R{\displaystyle R} — произвольное кольцо. Если существует такое целое положительное число n{\displaystyle n}, что для каждого элемента r∈R{\displaystyle r\in R} выполняется равенство

n⋅r=r+⋯+r⏟n=0{\displaystyle n\cdot r=\underbrace {r+\cdots +r} _{n}=0},

то наименьшее из таких чисел n{\displaystyle n} называется характеристикой кольца R{\displaystyle R} и обозначается символом char⁡R{\displaystyle \mathop {\mathrm {char} } R}. При этом кольцо R{\displaystyle R} называется кольцом положительной характеристики char⁡R{\displaystyle \mathop {\mathrm {char} } R}.

Если же таких чисел n{\displaystyle n} не существует, то полагают char⁡R=0{\displaystyle \mathop {\mathrm {char} } R=0} и называют R{\displaystyle R} кольцом характеристики нуль.

При наличии единицы в кольце R{\displaystyle R}, определение несколько упрощается. В этом случае характеристику обычно определяют как наименьшее ненулевое натуральное число n,{\displaystyle n,} такое что n⋅1=0,{\displaystyle n\cdot 1=0,} если же такого n{\displaystyle n} не существует, то характеристика равна нулю.

  • Тривиальное кольцо с единственным элементом 0=1{\displaystyle 0=1} — единственное кольцо с характеристикой 1{\displaystyle 1}.
  • Если нетривиальное кольцо с единицей и без делителей нуля имеет положительную характеристику n{\displaystyle n}, то она является простым числом. Следовательно, характеристика любого поля K{\displaystyle K} есть либо 0{\displaystyle 0}, либо простое число p{\displaystyle p}. В первом случае поле K{\displaystyle K} содержит в качестве подполя поле, изоморфное полю рациональных чисел Q{\displaystyle \mathbb {Q} }, во втором случае поле K{\displaystyle K} содержит в качестве подполя поле, изоморфное полю вычетов Fp{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}. В обоих случаях это подполе называется простым полем (содержащимся в K{\displaystyle K}).
  • Характеристика конечного поля всегда положительна, однако из того, что характеристика поля положительна, не следует, что поле конечно. В качестве контрпримеров можно привести поле рациональных функций с коэффициентами в Fp{\displaystyle \mathbb {F} _{p}} и алгебраическое замыкание поля Fp{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}.
  • Если R{\displaystyle R} — коммутативное кольцо простой характеристики p{\displaystyle p}, то (a+b)pn=apn+bpn{\displaystyle (a+b)^{p^{n}}=a^{p^{n}}+b^{p^{n}}} для всех a,b∈R{\displaystyle a,b\in R}, n∈N{\displaystyle n\in \mathbb {N} }. Для таких колец можно определить эндоморфизм Фробениуса.
  • Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. Т. 1. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988.
  • Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977.
  • Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.

Упорядоченное поле — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Упорядоченное поле — алгебраическое поле, для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями поля. Наиболее практически важными примерами являются поля рациональных и вещественных чисел. Термин был предложен Артином в 1927 г.

Пусть F{\displaystyle F} — алгебраическое поле и для его элементов определён линейный порядок, то есть задано отношение ⩽{\displaystyle \leqslant } (меньше или равно) со следующими свойствами:

  1. Рефлексивность: x⩽x{\displaystyle x\leqslant x}.
  2. Транзитивность: если x⩽y{\displaystyle x\leqslant y} и y⩽z{\displaystyle y\leqslant z}, то x⩽z{\displaystyle x\leqslant z}.
  3. Антисимметричность: если x⩽y{\displaystyle x\leqslant y} и y⩽x{\displaystyle y\leqslant x}, то x=y{\displaystyle x=y}.
  4. Линейность: все элементы F{\displaystyle F} сравнимы между собой, то есть либо x⩽y{\displaystyle x\leqslant y}, либо y⩽x{\displaystyle y\leqslant x}.

Кроме того, потребуем, чтобы порядок был согласован с операциями сложения и умножения:

  1. Если x⩽y{\displaystyle x\leqslant y}, то для любого z: x+z⩽y+z{\displaystyle x+z\leqslant y+z}.
  2. Если 0⩽x{\displaystyle 0\leqslant x} и 0⩽y{\displaystyle 0\leqslant y}, то 0⩽xy{\displaystyle 0\leqslant xy}.

Если все 6 аксиом выполнены, то поле F{\displaystyle F} называется упорядоченным.

Связанные определения[править | править код]

  • Для удобства записи вводятся дополнительные вторичные отношения:
Отношение больше или равно: x⩾y{\displaystyle x\geqslant y} означает, что y⩽x{\displaystyle y\leqslant x}.
Отношение больше: x>y{\displaystyle x>y} означает, что x⩾y{\displaystyle x\geqslant y} и x≠y{\displaystyle x\neq y}.
Отношение меньше: x<y{\displaystyle x<y} означает, что y>x{\displaystyle y>x}.
  • Формула с любым из этих 4 отношений называется неравенством.
  • Элементы, бо́льшие нуля, называются положительными, а меньшие нуля — отрицательными. Можно определить также абсолютную величину |x|{\displaystyle |x|} элемента x{\displaystyle x} как max(x,−x){\displaystyle max(x,-x)}.

Конструктивное построение порядка[править | править код]

Один из способов определить в поле F линейный порядок — выделить в нём подмножество положительных чисел P, замкнутое относительно сложения и умножения и обладающее следующим свойством. три подмножества P{\displaystyle P}, ноль и −P{\displaystyle -P} не пересекаются и вместе образуют разбиение всего поля.

Пусть такое P выделено. Обозначим P0=P∪{0}{\displaystyle P_{0}=P\cup \{0\}} (это множество тоже замкнуто относительно сложения и умножения) и определим линейный порядок в F следующим образом:

x⩽y{\displaystyle x\leqslant y}, если y−x∈P0{\displaystyle y-x\in P_{0}}

Все приведенные выше аксиомы порядка тогда выполнены. Любое упорядоченное поле может быть построено с помощью описанной процедуры.

  • Всякий элемент упорядоченного поля относится к одной и только одной из трёх категорий: положительные, отрицательные, нуль. Если x{\displaystyle x} положителен, то −x{\displaystyle -x} отрицателен, и наоборот.
  • В любом упорядоченном поле 1>0{\displaystyle 1>0} и квадрат любого ненулевого элемента положителен.
  • Однотипные неравенства можно складывать:
Если x⩽y{\displaystyle x\leqslant y} и x′⩽y′{\displaystyle x’\leqslant y’}, то x+x′⩽y+y′{\displaystyle x+x’\leqslant y+y’}.
  • Неравенства можно умножать на положительные элементы:
Если x⩽y{\displaystyle x\leqslant y} и c⩾0{\displaystyle c\geqslant 0}, то cx⩽cy{\displaystyle cx\leqslant cy}.

Вообще говоря, поле можно упорядочить разными способами. Пример: рассмотрим поле из чисел вида a+b2{\displaystyle a+b{\sqrt {2}}}, где a,b{\displaystyle a,b} — рациональные числа. Кроме обычного порядка, можно определить для этого поля и такой: включим в «подмножество положительных чисел» P{\displaystyle P} те числа a+b2{\displaystyle a+b{\sqrt {2}}}, для которых a>b2{\displaystyle a>b{\sqrt {2}}}. Нетрудно проверить, что условия, приведенные в разделе о конструктивном построении порядка, выполнены[1].

Место в иерархии алгебраических структур[править | править код]

  • Подполе упорядоченного поля наследует родительский порядок и, следовательно, тоже является упорядоченным полем.
  • Характеристика упорядоченного поля всегда равна нулю.
  • Поле допускает упорядочение тогда и только тогда, когда −1{\displaystyle -1} не может быть представлена как сумма квадратов элементов поля. Поэтому нельзя продолжить вещественный порядок на комплексные числа.
  • Наименьшее упорядоченное поле — это поле рациональных чисел, которое может быть упорядочено только одним способом. Это или изоморфное ему рациональное поле содержится как подполе в любом другом упорядоченном поле.
  • Если в упорядоченном поле не существует элемента большего, чем все элементы рационального поля, поле называется архимедовым[2]. Максимальным архимедовым упорядоченным полем является поле вещественных чисел R{\displaystyle \mathbb {R} }; любое другое архимедово упорядоченное поле изоморфно одному из подполей R{\displaystyle \mathbb {R} }.
  • Рациональные числа
  • Вещественные числа
  • Вещественные алгебраические числа
  • Поле вещественных рациональных функций: p(x)q(x){\displaystyle {\frac {p(x)}{q(x)}}}, где p(x),q(x){\displaystyle p(x),q(x)} — многочлены, q(x)≠0{\displaystyle q(x)\neq 0}. Упорядочим его следующим образом.
    • Пусть p(x)=p0xn+⋯+pn;q(x)=q0xm+⋯+qm.{\displaystyle p(x)=p_{0}x^{n}+\dots +p_{n};\quad q(x)=q_{0}x^{m}+\dots +q_{m}.} Будем считать, что функция p(x)q(x)>0{\displaystyle {\frac {p(x)}{q(x)}}>0}, если p0q0>0{\displaystyle {\frac {p_{0}}{q_{0}}}>0}. Вещественные константы (как многочлены нулевого порядка) тем самым упорядочены традиционным образом.
    • Из определения вытекает, что многочлен p(x)=x{\displaystyle p(x)=x} больше, чем любая константа, то есть аксиома Архимеда для этого поля не выполняется, поле неархимедово. Интересно отметить, что это же поле допускает и архимедов порядок, например, если считать положительными те функции (дроби) r(x){\displaystyle r(x)}, для которых[3]r(π)>0{\displaystyle r(\pi )>0}.
  • Гипервещественные числа — ещё один пример неархимедова поля.
  • Как сказано выше, поле комплексных чисел не допускает порядка, продолжающего порядок вещественных чисел. Тем не менее некоторые комплексные подполя могут быть упорядочены. Рассмотрим, например, поле Q[θ]{\displaystyle \mathbb {Q} [\theta ]}, порождённое добавлением к полю рациональных чисел Q{\displaystyle \mathbb {Q} } числа θ=−1+i32{\displaystyle \theta ={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}} — одного из трёх комплексных корней многочлена x3−2{\displaystyle x^{3}-2}. Данное поле изоморфно вещественному полю Q[23]{\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{2}}]}, поэтому на него можно перенести обычный вещественный порядок[3]
  • Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. М.: Наука, 1965.
  • Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. 2 изд., М.: Наука, 1979, 469 с.
  • Ленг С. Алгебра. М: Мир, 1968.
  • Нечаев В. И. Числовые системы. — М.: Просвещение, 1975. — 199 с..

ПОЛЕ — это… Что такое ПОЛЕ?

  • ПОЛЕ — ср. простор за городом, селеньем, безлесная, незастроенная, обширная равнина; посему поле противополагается селению, лесу, горам, болоту и пр. Выйдем в поле или на поле. Скот ходит в поле. Не поле кормит, а нива, обработанная, а не простор только …   Толковый словарь Даля

  • ПОЛЕ — я, мн. поля, полей, ср. 1. Безлесная равнина, ровное (в отличие от селения, леса) обширное пространство. «И вот нашли большое поле: есть разгуляться где на воле.» Лермонтов. «Князь по полю едет на верном коне.» Пушкин. «Владимир ехал полем,… …   Толковый словарь Ушакова

  • поле — (17) 1. Безлесное пространство, равнина, луг: …рища въ тропу Трояню чресъ поля на горы. 6. Не буря соколы занесе чресъ поля широкая. 6 7. Сами скачють, акы сѣрыи влъци въ полѣ. 8. Русичи великая поля чрьлеными щиты прегородиша, ищучи себѣ чти,… …   Словарь-справочник «Слово о полку Игореве»

  • ПОЛЕ —     ♥ Поле один из наиболее положительных символов. Однако значение его зависит от того, в каком состоянии и в какое время года вы видели поле. Видеть невспаханное, незасеянное поле ранней весной сон означает, что данный период вашей жизни… …   Большой семейный сонник

  • поле — Пашня, луг, поляна, нива; фон, равнина, степь. В чистом поле, в широком раздолье. Фон картины. Поля шляпы, поля (края, закраины) книги. См. арена, край, место . одного поля ягоды… Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под.… …   Словарь синонимов

  • ПОЛЕ — (1) (см. (13)), существующее в виде (см.) и описываемое совокупностью пространственно временных распределений физ. величин, характеризующих рассматриваемые волны; (2) П. вращающееся магнитное ] (3) П. голографическое волновое поле (см. (1)),… …   Большая политехническая энциклопедия

  • ПОЛЕ — ПОЛЕ, я, мн. я, ей, ср. 1. Безлесная равнина, пространство. Гулять по полю и по полю. На поле и на поле. Ледовое п. (перен.: сплошное пространство льда). 2. Обрабатываемая под посев земля, участок земли. Ржаное п. 3. Большая ровная площадка,… …   Толковый словарь Ожегова

  • ПОЛЕ — в физике пространство, в котором можно обнаружить физические воздействия (см. Поля теория). Понятие поля заимствовала современная психология. Поле чувства – совокупность находящихся в нервном центре (см. Психофизический уровень) окончаний… …   Философская энциклопедия

  • ПОЛЕ — 1) безлесная равнинная территория.2) Участки пашни, на которые разделена площадь севооборота, и запольные участки.3) Площадка, оборудованная для чего либо (напр., поле футбольное).4) Район боевых действий (напр., поле битвы).5) Пространство,… …   Большой Энциклопедический словарь

  • поле —   Поле брани (или битвы, сражения) (книжн.) место, где происходила битва.     Пал на поле брани. На поле сражения лежали мертвые люди и лошади. Пришвин.   Поле зрения перен. кругозор, область рассмотрения или изучения.     тот факт остался вне… …   Фразеологический словарь русского языка

  • alexxlab

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *