поле — Викисловарь
Морфологические и синтаксические свойства[править]
по́-ле
Существительное, неодушевлённое, средний род, 2-е склонение (тип склонения 2c по классификации А. А. Зализняка).
Корень: -пол-; окончание: -е [Тихонов, 1996].
Произношение[править]
- МФА: ед. ч. [ˈpolʲɪ] мн. ч. [pɐˈlʲa]
Семантические свойства[править]
Футбольное поле [3]Значение[править]
- безлесная равнина [≈ 1][≠ 1][▲ 1][▼ 1] ◆ Лежала под окнами пустая улица, за ней ― вовсе пустое поле на двадцать пять вёрст до центральной усадьбы, станицы Ендовской. Б. П. Екимов, «Фетисыч» // «Новый Мир», 1996 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы)
- засеиваемый или возделываемый под посев участок земли
- перен. ровное, обширное пространство [≈ 3][≠ 3][▲ 3][▼ 3]
- перен. основной цвет, фон, пространство, на который нанесены узоры, рисунки или геральдические изображения [≈ 4][≠ 4][▲ 4][▼ 4] ◆ Щит разделён на две половины: в одной, на золотом поле, изображён чёрный лев, вставший на дыбы (герб Свербиллы), в другой, на серебряном поле, чёрный же орёл с раскрытою пастью и распростёртыми когтями (герб Замбржицких).
- специально оборудованная площадка, предназначенная для каких-либо действий (напр., игр) [≈ 5][≠ 5][▲ 5][▼ 5]◆ На футбольном поле по очереди выступали с гимнастическими упражнениями студенты Института физкультуры, армейские спортсмены, школьники, ремесленники. Евгений Рубин, «Пан или пропал», «Жизнеописание», 1999–2000 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы)
- перен., мн. ч. отогнутый край шляпы [≈ 6][≠ 6][▲ 6][▼ 6] ◆ — Да, у меня нет работы… — сказал Илья, перебирая поля шляпы. И. С. Шмелёв, «Неупиваемая чаша», 1918 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы)
- перен., чаще мн. ч. узкая полоса по краю листа в книге, рукописи и т. п., оставляемая свободной от основного текста
- перен. специально выделенное свободное пространство в документе (в т. ч. электронном), предназначенное для последующего заполнения вручную [≈ 8][≠ 8][▲ 8][▼ 8] ◆ Но, в принципе, вы можете остаться «псевдонимом» и не заполнять все поля формы регистрации. В. Хорт, «Как обзавестись электронным кошельком» // «Наука и жизнь», 2008 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы)
- перен. участок пространства или поверхности, используемый для чего-либо или доступный для каких-либо действий [≈ 9][≠ 9][▲ 9][▼ 9] ◆ Саблин поднялся на холм и смотрел в бинокль сквозь очки противогаза на поле боя. П. Н. Краснов, «От Двуглавого Орла к красному знамени», книга 2, 1922 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы) ◆ Он интересовался вопросом, как удобно сидеть в этой машине, какая видимость, какое поле обстрела, удобно ли выкидываться. Л. К. Бронтман, «Дневники и письма», 1932–1942 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы) ◆ Объёмным зрением наделены лишь животные, у которых глаза посажены довольно близко друг к другу, например кошки, собаки, обезьяны. Поле зрения обоих глаз перекрывается. Животное видит предмет как бы с двух сторон — слева и справа.
- перен. область, сфера какой–либо деятельности; поприще [≈ 10][≠ 10][▲ 10][▼ 10] ◆ Прецедентное право (case law) Европейского Суда по применению Брюссельской конвенции полностью относится и к Луганской конвенции и составляет единое правовое поле. «Унификация правил подсудности гражданских дел международного характера в странах Европы» // «Арбитражный и гражданский процессы», 27 января 2003 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы)
- перен. то же, что поле деятельности [≈ 11][≠ 11][▲ 11][▼ 11] ◆ Здесь поле для пропаганды было шире, что нами и было использовано. П. А. Моисеенко, «Воспоминания старого революционера», 1921–1923 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы)
- перен., спец. работа, исследовательская деятельность в природных условиях
- перен., физ. одна из форм материи, характеризующая пространство как носитель физических взаимодействий [≈ 13][≠ 13][▲ 13][▼ 13]◆ Обсуждается механизм кулоновского взрыва металла во внешнем импульсном электрическом поле. А. А. Рухадзе, У. Юсупалиев, «О возможности реализации кулоновского взрыва металла» // «Журнал технической физики», 2004 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы) ◆ Чем сильнее гравитационное поле, тем медленнее течёт время.
- перен., матем. множество, на котором определены операции сложения и умножения, образующее коммутативную группу по сложению, все ненулевые элементы которого образуют коммутативную группу по умножению, и на котором выполняется свойство дистрибутивности [≈ 14][≠ 14][▲ 14][▼ 14] ◆ Поле действительных чисел. ◆ Поле комплексных чисел.
- перен., юр., истор. судебный поединок в русской юридической практике XIII–XVI вв [≈ 15][≠ 15][▲ 15][▼ 15] ◆ Отсутствует пример употребления (см. рекомендации).
- перен., охотн. охота, сезон охоты [≈ 16][≠ 16][▲ 16][▼ 16]◆ Последний сын Соловья, кобель по второму полю, особенно умён. М. М. Пришвин, «Гон», 1925 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы)
Синонимы
Антонимы
Гиперонимы
Гипонимы
Родственные слова[править]
Этимология[править]
Происходит от праслав. , от кот. в числе прочего произошли: др.-русск. поле, ст.-слав. поле (др.-греч. πεδίον, κάμπος), русск., укр. по́ле, болг. поле́, сербохорв. по̏ље, словенск. роljе̑, чешск., словацк., польск. роlе, в.-луж. роlо, н.-луж. рólо, полабск. рülǘ. Связано с др.-русск. полъ «открытый, свободный, полый» и родственно лат. раlаm «открыто, явно», шв. fala «равнина, пустошь», местн. н. Falun, нов.-в.-нем. West-falen, Ost-falen. Возм., также др.-прусск. местн. н. Раlwе, раlwе — название пустынной, безлесой, мшистой равнины, непаханой пустоши, алб. shpall «открываю». Далее сюда относится укр. полонина́ «плоскогорье, пастбище в горах», болг. планина́ «гора», сербохорв., словенск. planína «гора», чешск., словацк. planina «равнина», польск., в.-луж. płonina «сухая, бесплодная земля», шв. fjäll. Далее, вероятно, также др.-в.-нем. feld «поле». Едва ли более вероятно сближение со ст.-слав. полѣти, пламѩ (пали́ть, по́ломя) якобы с первонач. знач. «выжженная равнина», а также со словенск. péljati «гнать, вести» (Бодуэн де Куртенэ). От по́ле произведено полева́ть «охотиться», польск. роlоwаć — то же; ср. др.-русск. польничати «охотиться».Использованы данные словаря М. Фасмера. См. Список литературы.
Фразеологизмы и устойчивые сочетания[править]
Пословицы и поговорки[править]
Перевод[править]
| безлесная травянистая равнина | |
| |
Поле (алгебра) — Циклопедия
Кольца и поля. Математические структуры. Урок 82 // MathTutorПоле в алгебре — математический объект, определяемый в современной математике как коммутативное ассоциативное кольцо, в котором любой ненулевой элемент имеет обратный по умножению. Также обычно считается, что при этом 1 ≠ 0 (то есть нейтральные элементы по сложению и умножению различны). Характерные примеры полей: действительные числа [math]\mathbb R[/math], рациональные числа [math]\mathbb Q[/math]. Концепция поля была введена в XIX веке в работах по решению классической проблемы нахождения формул для решения полиномиального уравнения [math]n[/math]-й степени. Поле является базовым объектом коммутативной алгебры, на основе понятия поля строится алгебраическая геометрия.
В учебниках алгебры поле обычно обозначается латинской буквой K или F .
[править] Развернутое определение
Поле — нетривиальное[1] множество (алгебраическая структура) с бинарными операциями сложения + и умножения [math]\cdot[/math], которые:
- коммутативны [math]a + b = b + a[/math], [math]a \cdot b = b \cdot a[/math];
- ассоциативны [math](a + b) + c = a + (b + c)[/math], [math](a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)[/math];
- умножение дистрибутивно по отношению к сложению [math]a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c[/math];
- любой элемент [math]a[/math] имеет противоположный по сложению [math]-a[/math], такой что [math]a + (-a) = 0[/math];
- любой ненулевой элемент [math]a[/math] имеет обратный по умножению [math]a'[/math], такой что [math]a \cdot a’ = 1[/math].
[править] Примеры и конструкции
Примеры полей: поле рациональных чисел [math]\mathbb Q[/math], поле действительных чисел [math]\mathbb R[/math], конечное поле из [math]p[/math] элементов [math]\mathbb F_p[/math] ([math]p[/math] — простое число), поле рациональных функций от одной переменной [math]K(x)[/math] (где [math]K[/math] — некоторое поле).
Поле можно получить из целостного кольца, то есть кольца с коммутативным и ассоциативным умножением, без делителей нуля (произведение ненулевых элементов не равно нулю), если взять его поле частных, то есть ввести естественным образом сложение и умножение на множестве формальных дробей [math]a/b[/math] ([math]b \ne 0[/math]). Таким образом, например, из кольца целых чисел [math]\mathbb Z[/math] получается поле рациональных чисел [math]\mathbb Q[/math].
Если дано поле [math]K[/math], то вмещающим его полем будет алгебраическое замыкание [math]K'[/math], получающееся путем присоединения всех корней алгебраических уравнений с коэффициентами поля [math]K[/math]. Например, алгебраическим замыканием поля действительных чисел [math]\mathbb R[/math] является поле комплексных чисел [math]\mathbb C[/math]. Для доказательства существования алгебраического замыкания в общем случае требуется использование аксиомы выбора.
Поле с введенной на нем метрикой может быть вложено как метрическое пространство в свое пополнение (то есть в пополнении любая фундаментальная последовательность будет иметь предел). На пополнении можно ввести структуру поля, продолжив операции сложения и умножения по непрерывности. Так, пополнением поля рациональных чисел [math]\mathbb Q[/math] по стандартной метрике (расстояние между числами равно модулю их разности) будет полем действительных чисел [math]\mathbb R[/math]. Пополнением поля рациональных чисел по метрике, задаваемой [math]p[/math]-адической нормой, будет полем [math]p[/math]-адических чисел [math]\mathbb Q_p[/math].[2]
В алгебраической геометрии вводится поле рациональных функций на алгебраическом многообразии [math]X[/math], например, поле рациональных функций на кривой.
Поле, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным полем (упоминавшиеся выше поля рациональных и действительных чисел бесконечные). Примером конечного поля будет кольцо вычетов по модулю [math]p[/math], состоящее из [math]p[/math] элементов [math]Z/pZ,[/math] если [math]p[/math] — простое число. Любое конечное поле имеет [math]q = p^k[/math] для некоторого простого числа [math]p[/math] и существует ровно одно поле из [math]q = p^k[/math] элементов для каждого простого числа [math]p[/math] и каждого натурального числа [math]k[/math]. Группа ненулевых элементов по умножению конечного поля является циклической. Конечные поля используются в теории кодирования и криптографии.
Концепция поля появилась в XIX веке в работах Нильса Абеля и Галуа, посвященных проблеме разрешимости уравнений в радикалах. Эта проблема была поставлена в связи с необходимостью решать уравнение [math]n[/math]-й степени [math]a_0x^n + a_1x^{n-1}+ … + a_{n-1}x + a_n = 0[/math] в радикалах, т. е. найти выражения для решений этого уравнения с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корней различных степеней. К XIX веку были найдены выражения для решения общих уравнений 1, 2, 3, 4-й степени, но не было известно формул для решения общих уравнений более высоких степеней. Теория Галуа, оперирующая с полями, прояснила этот вопрос. Классическая теория Галуа имеет дело с конечными алгебраическими расширениями полей, которые представляют собой расширения исходного поля (например, поля рациональных чисел [math]\mathbb Q[/math]) путем присоединения конечного числа корней уравнений с коэффициентами из базового поля. Галуа сопоставил таким расширениям конечные группы автоморфизмов, сохраняющих на месте базовое подполе, и доказал, что разрешимость уравнения в радикалах эквивалентна разрешимости конечной группы соответствующего алгебраического расширения, тем самым решив классическую математическую проблему о разрешимости алгебраических полиномиальных уравнений в радикалах. Например, из теории Галуа следует, что общее уравнение пятой степени и выше неразрешимо в радикалах.
Термин «поле» появился позднее в XIX веке и введен в математических работах Дедекинда.
- ↑ Т.е. состоит из более, чем одного элемента
- ↑ Любое рациональное число [math]r[/math] можно представить как [math]r=p^n\frac ab[/math] где [math]a[/math] и [math]b[/math] целые числа, не делящиеся на заданное простое число [math]p[/math], а [math]n[/math] — целое. Тогда [math]|r|_p[/math] — [math]p[/math]-адическая норма [math]r[/math] — определяется как [math]p^{-n}[/math]. Если [math]r=0[/math], то [math]|r|_p=0[/math].
- Ван дер Варден Б. Л. Современная алгебра. т.т.1-2, М-Л: ОНТИ НКТП, 1937.
Конечное поле — Википедия
Коне́чное по́ле, или по́ле Галуа́ в общей алгебре — поле, состоящее из конечного числа элементов; это число называется поря́дком поля.
Конечное поле обычно обозначается Fq{\displaystyle \mathbb {F} _{q}} или GF(q){\displaystyle \mathrm {GF} (q)} (сокращение от Galois field) и называется полем Галуа порядка q{\displaystyle q}, где q{\displaystyle q} — число элементов поля[1]. С точностью до изоморфизма конечное поле полностью определяется его порядком, который всегда является степенью какого-нибудь простого числа, то есть q=pn{\displaystyle q=p^{n}}, где p{\displaystyle p} — простое число, а n{\displaystyle n} — любое натуральное число. При этом p{\displaystyle p} будет являться характеристикой этого поля[2].
Понятие конечного поля используется в теории чисел[3], теории групп[3], алгебраической геометрии[3], криптографии[4].
Конечным полем называется конечное множество, на котором определены произвольные операции, называемые сложением, умножением, вычитанием и делением, (кроме деления на 0) в соответствии с аксиомами поля[5].
Мультипликативная группа конечного поля циклична. То есть все ненулевые элементы поля Fq{\displaystyle \mathbb {F} _{q}} образуют группу относительно операции умножения (эта группа называется мультипликативной группой поля и обозначается Fq∗{\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{*}}). Эта группа является циклической, то есть в ней есть порождающий элемент, а все остальные элементы получаются возведением в степень порождающего[5]. То есть, существует g{\displaystyle g} — порождающий элемент, такой что для любого a∈Fq∗{\displaystyle a\in \mathbb {F} _{q}^{*}}, можно записать:
∃n:gn=amodq{\displaystyle \exists n:g^{n}=a\mod q}.
Порождающий элемент Fq∗{\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{*}} называется также примитивным элементом поля Fq.{\displaystyle \mathbb {F} _{q}.} Поле Fq{\displaystyle \mathbb {F} _{q}} содержит φ(q−1){\displaystyle \varphi (q-1)} примитивных элементов, где φ{\displaystyle \varphi } — функция Эйлера.[6]
Также поле обладает рядом других свойств:
- Согласно малой теореме Ферма, каждый элемент поля Fq{\displaystyle \mathbb {F} _{q}} удовлетворяет равенству aq=a{\displaystyle a^{q}=a}[2].
- Поле Fpn{\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}} содержит в себе в качестве подполя Fpk{\displaystyle \mathbb {F} _{p^{k}}} тогда и только тогда, когда k{\displaystyle k} является делителем n{\displaystyle n}[1].
- Если f∈Fq[x]{\displaystyle f\in \mathbb {F} _{q}[x]} — неприводимый многочлен степени m{\displaystyle m}, то поле Fqm{\displaystyle \mathbb {F} _{q^{m}}} содержит любой его корень α{\displaystyle \alpha }, причём множество всех его корней имеет вид {α,αq,…,αqm−1}{\displaystyle \{\alpha ,\alpha ^{q},\ldots ,\alpha ^{q^{m-1}}\}}. Таким образом, Fqm{\displaystyle \mathbb {F} _{q^{m}}} является полем разложения многочлена f{\displaystyle f} над полем Fq{\displaystyle \mathbb {F} _{q}}[7].
- Для каждого конечного поля Fq{\displaystyle \mathbb {F} _{q}} и натурального числа n{\displaystyle n} произведение всех нормированных неприводимых над Fq{\displaystyle \mathbb {F} _{q}} многочленов, степень которых делит n{\displaystyle n}, равно xqn−x.{\displaystyle x^{q^{n}}-x.} В частности, сумма степеней таких многочленов равна qn{\displaystyle q^{n}}[8].
- Число N(q,n){\displaystyle N(q,n)} нормированных многочленов степени n, неприводимых над полем Fq,{\displaystyle \mathbb {F} _{q},} определяется по формуле N(q,n)=1n∑d|nμ(d)qnd{\displaystyle N(q,n)={\frac {1}{n}}\sum _{d|n}\mu (d)q^{\frac {n}{d}}}, где μ{\displaystyle \mu } — функция Мёбиуса. Это утверждение следует из формулы qn=∑d|ndN(q,d){\displaystyle q^{n}=\sum _{d|n}dN(q,d)} после применения формулы обращения Мёбиуса[9].
Любое поле простого порядка может быть представлено кольцом вычетов (т.е. любое поле из GFp{\displaystyle \mathbb {GF} _{p}} элементов изоморфно кольцу вычетов Z/(p){\displaystyle \mathbb {Z} /(p)}). Наиболее известный пример конечного поля — поле классов вычетов по модулю простого числа p{\displaystyle p}, обозначаемое Z/(p){\displaystyle \mathbb {Z} /(p)}[10]. Это поле можно представить следующим образом. Для простого числа p{\displaystyle p} элементами поля будут числа {0,1,…,p−1}{\displaystyle \{0,1,…,p-1\}}. Сложение и умножение определены как сложение и умножение чисел с приведением результата по модулю p{\displaystyle p}[11]. Ниже приведены примеры таких полей с двумя элементами и тремя элементами.
Не следует путать конечные поля Fpn{\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}} и кольца вычетов Z/(pn){\displaystyle \mathbb {Z} /(p^{n})}. Только когда порядок простое число, кольцо вычетов является полем.[12]
При n>1 кольцо вычетов Z/(pn){\displaystyle \mathbb {Z} /(p^{n})} полем не является. Пример.
- В поле F8{\displaystyle \mathbb {F} _{8}} для любого элемента верно x+x=0{\displaystyle x+x=0}.
- В кольце Z8{\displaystyle \mathbb {Z} _{8}}, вычисляя x+x{\displaystyle x+x}, мы получим 0 только в двух случаях, когда x=4,x=0{\displaystyle x=4,x=0}. Это кольцо имеет делители нуля: 2⋅4=0(mod8){\displaystyle 2\cdot 4=0{\pmod {8}}}.
Характеристика каждого конечного поля является простым числом. Пусть F{\displaystyle F} — конечное поле. Тогда оно состоит из pn{\displaystyle p^{n}} элементов, где p{\displaystyle p} — характеристика поля F{\displaystyle F}, а натуральное число n{\displaystyle n} — степень поля F{\displaystyle F} над его простым подполем[2].
Согласно теореме о существовании и единственности конечных полей, для каждого простого числа p{\displaystyle p} и натурального числа n{\displaystyle n} существует конечное поле из pn{\displaystyle p^{n}} элементов и любое конечное поле из q=pn{\displaystyle q=p^{n}} элементов изоморфно полю разложения многочлена xq−x{\displaystyle x^{q}-x} над полем Fp{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}. Данная теорема позволяет говорить о вполне определённом поле данного порядка q{\displaystyle q} (то есть о поле Галуа из q{\displaystyle q} элементов)[13].
Поле Fpn{\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}} при n > 1 можно построить как факторкольцо K=Fp[x]/(f(x)){\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))}, где f(x){\displaystyle f(x)} — неприводимый многочлен степени n над полем Fp{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}. Таким образом, для построения поля из pn{\displaystyle p^{n}} элементов достаточно отыскать многочлен степени n{\displaystyle n}, неприводимый над полем Fp{\displaystyle \mathbb {F} _{p}} (такой многочлен всегда существует). Элементами поля K{\displaystyle \mathbb {K} } являются классы вычетов многочленов степени меньшей n{\displaystyle n} с коэффициентами из Fp{\displaystyle \mathbb {F} _{p}} по модулю главного идеала, порождённого многочленом f(x){\displaystyle f(x)}.
Элемент α=x+(f(x))∈Fp[x]/(f(x)){\displaystyle \alpha =x+(f(x))\in \mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))} является корнем многочлена f(x){\displaystyle f(x)}, и поле Fp[x]/(f(x)){\displaystyle \mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))} порождается этим элементом над полем Fp{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}, поэтому переход от поля Fp{\displaystyle \mathbb {F} _{p}} к полю Fp[x]/(f(x)){\displaystyle \mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))} называется присоединением к полю Fp{\displaystyle \mathbb {F} _{p}} корня неприводимого многочлена f(x){\displaystyle f(x)}.[14][15]
Поле из двух элементов[править | править код]
Поле F2{\displaystyle \mathbb {F} _{2}} состоит из двух элементов, но оно может быть задано разными способами в зависимости от выбора элементов и определения операций сложения и умножения на них:[16]
- Как множество из двух чисел «0» и «1», на котором операции сложения и умножения определены как сложение и умножение чисел с приведением результата по модулю 2:
- Как множество из двух логических объектов «ЛОЖЬ» (F) и «ИСТИНА» (T), на котором операции сложения и умножения определены как булевые операции «исключающее или» и «и» соответственно:
Очевидно, что данные поля являются изоморфными друг другу, т. е. это фактически два разных способа задания одного и того же поля.
Поле из трёх элементов[править | править код]
Поле F3={0,1,2}{\displaystyle \mathbb {F} _{3}=\{0,1,2\}}. Сложения и умножения определены как сложение и умножение чисел по модулю 3. Таблицы операций F3{\displaystyle \mathbb {F} _{3}} имеют вид:
|
|
Поле из четырёх элементов[править | править код]
Поле F4{\displaystyle \mathbb {F} _{4}} можно представить как множество {0,1,α,α+1}{\displaystyle \{0,1,\alpha ,\alpha +1\}} (где α{\displaystyle \alpha } — корень многочлена f(x)=x2+x+1{\displaystyle f(x)=x^{2}+x+1} над полем F2{\displaystyle \mathbb {F} _{2}}, то есть α2=−α−1=α+1{\displaystyle \alpha ^{2}=-\alpha -1=\alpha +1}). Таблицы операций F4{\displaystyle \mathbb {F} _{4}} имеют вид:[17]
Поле из девяти элементов[править | править код]
Для построения поля F9=GF(32){\displaystyle \mathbb {F} _{9}=\mathrm {GF} (3^{2})} достаточно найти нормированный многочлен степени 2, неприводимый над F3{\displaystyle \mathbb {F} _{3}}. Такими многочленами являются:
| x2+1{\displaystyle x^{2}+1} |
| x2+x+2{\displaystyle x^{2}+x+2} |
| x2+2x+2{\displaystyle x^{2}+2x+2} |
Для x2+1{\displaystyle x^{2}+1} искомое поле есть F9=Z3[x]/(x2+1){\displaystyle \mathbb {F} _{9}=\mathbb {Z} _{3}[x]/(x^{2}+1)} (если вместо x2+1{\displaystyle x^{2}+1} взять другой многочлен, то получится новое поле, изоморфное старому). В приведённых ниже таблицах символ i{\displaystyle i} обозначает класс эквивалентности многочлена x{\displaystyle x} в факторкольце Z3[x]/(x2+1){\displaystyle \mathbb {Z} _{3}[x]/(x^{2}+1)}, удовлетворяющий уравнению i2+1=0{\displaystyle i^{2}+1=0}.
Таблица сложения в F9{\displaystyle \mathbb {F} _{9}} определяется, исходя из соотношения 1+1+1=0{\displaystyle 1+1+1=0}
Поле (алгебра) — это… Что такое Поле (алгебра)?
У этого термина существуют и другие значения, см. Поле.По́лем называется множество F с двумя бинарными операциями (аддитивная операция, или сложение) и (мультипликативная операция, или умножение), если оно (вместе с этими операциями) образует коммутативное ассоциативное кольцо c единицей , все ненулевые элементы которого обратимы.
Иными словами, множество F с двумя бинарными операциями (сложение) и (умножение) называется полем, если оно образует коммутативную группу по сложению , все его ненулевые элементы образуют коммутативную группу по умножению , и выполняется свойство дистрибутивности.
Связанные определения
Свойства
Примеры множеств, являющихся полями
- — рациональные числа,
- — вещественные числа,
- — комплексные числа,
- — поле вычетов по модулю , где — простое число.
- — конечное поле из элементов, где — простое число, — натуральное.
- — поле рациональных функций вида , где и — многочлены над некоторым полем (при этом , а и не имеют общих делителей, кроме констант).
- Числа вида , , относительно обычных операций сложения и умножения.
См.также
Ссылки
 |
Характеристика (алгебра) — Википедия
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Характеристика (кольца или поля) — числовая величина, используемая в общей алгебре для описания некоторых свойств этих алгебраических структур.
Пусть R{\displaystyle R} — произвольное кольцо. Если существует такое целое положительное число n{\displaystyle n}, что для каждого элемента r∈R{\displaystyle r\in R} выполняется равенство
- n⋅r=r+⋯+r⏟n=0{\displaystyle n\cdot r=\underbrace {r+\cdots +r} _{n}=0},
то наименьшее из таких чисел n{\displaystyle n} называется характеристикой кольца R{\displaystyle R} и обозначается символом charR{\displaystyle \mathop {\mathrm {char} } R}. При этом кольцо R{\displaystyle R} называется кольцом положительной характеристики charR{\displaystyle \mathop {\mathrm {char} } R}.
Если же таких чисел n{\displaystyle n} не существует, то полагают charR=0{\displaystyle \mathop {\mathrm {char} } R=0} и называют R{\displaystyle R} кольцом характеристики нуль.
При наличии единицы в кольце R{\displaystyle R}, определение несколько упрощается. В этом случае характеристику обычно определяют как наименьшее ненулевое натуральное число n,{\displaystyle n,} такое что n⋅1=0,{\displaystyle n\cdot 1=0,} если же такого n{\displaystyle n} не существует, то характеристика равна нулю.
- Тривиальное кольцо с единственным элементом 0=1{\displaystyle 0=1} — единственное кольцо с характеристикой 1{\displaystyle 1}.
- Если нетривиальное кольцо с единицей и без делителей нуля имеет положительную характеристику n{\displaystyle n}, то она является простым числом. Следовательно, характеристика любого поля K{\displaystyle K} есть либо 0{\displaystyle 0}, либо простое число p{\displaystyle p}. В первом случае поле K{\displaystyle K} содержит в качестве подполя поле, изоморфное полю рациональных чисел Q{\displaystyle \mathbb {Q} }, во втором случае поле K{\displaystyle K} содержит в качестве подполя поле, изоморфное полю вычетов Fp{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}. В обоих случаях это подполе называется простым полем (содержащимся в K{\displaystyle K}).
- Характеристика конечного поля всегда положительна, однако из того, что характеристика поля положительна, не следует, что поле конечно. В качестве контрпримеров можно привести поле рациональных функций с коэффициентами в Fp{\displaystyle \mathbb {F} _{p}} и алгебраическое замыкание поля Fp{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}.
- Если R{\displaystyle R} — коммутативное кольцо простой характеристики p{\displaystyle p}, то (a+b)pn=apn+bpn{\displaystyle (a+b)^{p^{n}}=a^{p^{n}}+b^{p^{n}}} для всех a,b∈R{\displaystyle a,b\in R}, n∈N{\displaystyle n\in \mathbb {N} }. Для таких колец можно определить эндоморфизм Фробениуса.
- Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. Т. 1. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988.
- Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977.
- Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.
Упорядоченное поле — Википедия
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Упорядоченное поле — алгебраическое поле, для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями поля. Наиболее практически важными примерами являются поля рациональных и вещественных чисел. Термин был предложен Артином в 1927 г.
Пусть F{\displaystyle F} — алгебраическое поле и для его элементов определён линейный порядок, то есть задано отношение ⩽{\displaystyle \leqslant } (меньше или равно) со следующими свойствами:
- Рефлексивность: x⩽x{\displaystyle x\leqslant x}.
- Транзитивность: если x⩽y{\displaystyle x\leqslant y} и y⩽z{\displaystyle y\leqslant z}, то x⩽z{\displaystyle x\leqslant z}.
- Антисимметричность: если x⩽y{\displaystyle x\leqslant y} и y⩽x{\displaystyle y\leqslant x}, то x=y{\displaystyle x=y}.
- Линейность: все элементы F{\displaystyle F} сравнимы между собой, то есть либо x⩽y{\displaystyle x\leqslant y}, либо y⩽x{\displaystyle y\leqslant x}.
Кроме того, потребуем, чтобы порядок был согласован с операциями сложения и умножения:
- Если x⩽y{\displaystyle x\leqslant y}, то для любого z: x+z⩽y+z{\displaystyle x+z\leqslant y+z}.
- Если 0⩽x{\displaystyle 0\leqslant x} и 0⩽y{\displaystyle 0\leqslant y}, то 0⩽xy{\displaystyle 0\leqslant xy}.
Если все 6 аксиом выполнены, то поле F{\displaystyle F} называется упорядоченным.
Связанные определения[править | править код]
- Для удобства записи вводятся дополнительные вторичные отношения:
- Отношение больше или равно: x⩾y{\displaystyle x\geqslant y} означает, что y⩽x{\displaystyle y\leqslant x}.
- Отношение больше: x>y{\displaystyle x>y} означает, что x⩾y{\displaystyle x\geqslant y} и x≠y{\displaystyle x\neq y}.
- Отношение меньше: x<y{\displaystyle x<y} означает, что y>x{\displaystyle y>x}.
- Формула с любым из этих 4 отношений называется неравенством.
- Элементы, бо́льшие нуля, называются положительными, а меньшие нуля — отрицательными. Можно определить также абсолютную величину |x|{\displaystyle |x|} элемента x{\displaystyle x} как max(x,−x){\displaystyle max(x,-x)}.
Конструктивное построение порядка[править | править код]
Один из способов определить в поле F линейный порядок — выделить в нём подмножество положительных чисел P, замкнутое относительно сложения и умножения и обладающее следующим свойством. три подмножества P{\displaystyle P}, ноль и −P{\displaystyle -P} не пересекаются и вместе образуют разбиение всего поля.
Пусть такое P выделено. Обозначим P0=P∪{0}{\displaystyle P_{0}=P\cup \{0\}} (это множество тоже замкнуто относительно сложения и умножения) и определим линейный порядок в F следующим образом:
- x⩽y{\displaystyle x\leqslant y}, если y−x∈P0{\displaystyle y-x\in P_{0}}
Все приведенные выше аксиомы порядка тогда выполнены. Любое упорядоченное поле может быть построено с помощью описанной процедуры.
- Всякий элемент упорядоченного поля относится к одной и только одной из трёх категорий: положительные, отрицательные, нуль. Если x{\displaystyle x} положителен, то −x{\displaystyle -x} отрицателен, и наоборот.
- В любом упорядоченном поле 1>0{\displaystyle 1>0} и квадрат любого ненулевого элемента положителен.
- Однотипные неравенства можно складывать:
- Если x⩽y{\displaystyle x\leqslant y} и x′⩽y′{\displaystyle x’\leqslant y’}, то x+x′⩽y+y′{\displaystyle x+x’\leqslant y+y’}.
- Неравенства можно умножать на положительные элементы:
- Если x⩽y{\displaystyle x\leqslant y} и c⩾0{\displaystyle c\geqslant 0}, то cx⩽cy{\displaystyle cx\leqslant cy}.
Вообще говоря, поле можно упорядочить разными способами. Пример: рассмотрим поле из чисел вида a+b2{\displaystyle a+b{\sqrt {2}}}, где a,b{\displaystyle a,b} — рациональные числа. Кроме обычного порядка, можно определить для этого поля и такой: включим в «подмножество положительных чисел» P{\displaystyle P} те числа a+b2{\displaystyle a+b{\sqrt {2}}}, для которых a>b2{\displaystyle a>b{\sqrt {2}}}. Нетрудно проверить, что условия, приведенные в разделе о конструктивном построении порядка, выполнены[1].
Место в иерархии алгебраических структур[править | править код]
- Подполе упорядоченного поля наследует родительский порядок и, следовательно, тоже является упорядоченным полем.
- Характеристика упорядоченного поля всегда равна нулю.
- Поле допускает упорядочение тогда и только тогда, когда −1{\displaystyle -1} не может быть представлена как сумма квадратов элементов поля. Поэтому нельзя продолжить вещественный порядок на комплексные числа.
- Наименьшее упорядоченное поле — это поле рациональных чисел, которое может быть упорядочено только одним способом. Это или изоморфное ему рациональное поле содержится как подполе в любом другом упорядоченном поле.
- Если в упорядоченном поле не существует элемента большего, чем все элементы рационального поля, поле называется архимедовым[2]. Максимальным архимедовым упорядоченным полем является поле вещественных чисел R{\displaystyle \mathbb {R} }; любое другое архимедово упорядоченное поле изоморфно одному из подполей R{\displaystyle \mathbb {R} }.
- Рациональные числа
- Вещественные числа
- Вещественные алгебраические числа
- Поле вещественных рациональных функций: p(x)q(x){\displaystyle {\frac {p(x)}{q(x)}}}, где p(x),q(x){\displaystyle p(x),q(x)} — многочлены, q(x)≠0{\displaystyle q(x)\neq 0}. Упорядочим его следующим образом.
- Пусть p(x)=p0xn+⋯+pn;q(x)=q0xm+⋯+qm.{\displaystyle p(x)=p_{0}x^{n}+\dots +p_{n};\quad q(x)=q_{0}x^{m}+\dots +q_{m}.} Будем считать, что функция p(x)q(x)>0{\displaystyle {\frac {p(x)}{q(x)}}>0}, если p0q0>0{\displaystyle {\frac {p_{0}}{q_{0}}}>0}. Вещественные константы (как многочлены нулевого порядка) тем самым упорядочены традиционным образом.
- Из определения вытекает, что многочлен p(x)=x{\displaystyle p(x)=x} больше, чем любая константа, то есть аксиома Архимеда для этого поля не выполняется, поле неархимедово. Интересно отметить, что это же поле допускает и архимедов порядок, например, если считать положительными те функции (дроби) r(x){\displaystyle r(x)}, для которых[3]r(π)>0{\displaystyle r(\pi )>0}.
- Гипервещественные числа — ещё один пример неархимедова поля.
- Как сказано выше, поле комплексных чисел не допускает порядка, продолжающего порядок вещественных чисел. Тем не менее некоторые комплексные подполя могут быть упорядочены. Рассмотрим, например, поле Q[θ]{\displaystyle \mathbb {Q} [\theta ]}, порождённое добавлением к полю рациональных чисел Q{\displaystyle \mathbb {Q} } числа θ=−1+i32{\displaystyle \theta ={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}} — одного из трёх комплексных корней многочлена x3−2{\displaystyle x^{3}-2}. Данное поле изоморфно вещественному полю Q[23]{\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{2}}]}, поэтому на него можно перенести обычный вещественный порядок[3]
- Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. М.: Наука, 1965.
- Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. 2 изд., М.: Наука, 1979, 469 с.
- Ленг С. Алгебра. М: Мир, 1968.
- Нечаев В. И. Числовые системы. — М.: Просвещение, 1975. — 199 с..
ПОЛЕ — это… Что такое ПОЛЕ?
ПОЛЕ — ср. простор за городом, селеньем, безлесная, незастроенная, обширная равнина; посему поле противополагается селению, лесу, горам, болоту и пр. Выйдем в поле или на поле. Скот ходит в поле. Не поле кормит, а нива, обработанная, а не простор только … Толковый словарь Даля
ПОЛЕ — я, мн. поля, полей, ср. 1. Безлесная равнина, ровное (в отличие от селения, леса) обширное пространство. «И вот нашли большое поле: есть разгуляться где на воле.» Лермонтов. «Князь по полю едет на верном коне.» Пушкин. «Владимир ехал полем,… … Толковый словарь Ушакова
поле — (17) 1. Безлесное пространство, равнина, луг: …рища въ тропу Трояню чресъ поля на горы. 6. Не буря соколы занесе чресъ поля широкая. 6 7. Сами скачють, акы сѣрыи влъци въ полѣ. 8. Русичи великая поля чрьлеными щиты прегородиша, ищучи себѣ чти,… … Словарь-справочник «Слово о полку Игореве»
ПОЛЕ — ♥ Поле один из наиболее положительных символов. Однако значение его зависит от того, в каком состоянии и в какое время года вы видели поле. Видеть невспаханное, незасеянное поле ранней весной сон означает, что данный период вашей жизни… … Большой семейный сонник
поле — Пашня, луг, поляна, нива; фон, равнина, степь. В чистом поле, в широком раздолье. Фон картины. Поля шляпы, поля (края, закраины) книги. См. арена, край, место . одного поля ягоды… Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под.… … Словарь синонимов
ПОЛЕ — (1) (см. (13)), существующее в виде (см.) и описываемое совокупностью пространственно временных распределений физ. величин, характеризующих рассматриваемые волны; (2) П. вращающееся магнитное ] (3) П. голографическое волновое поле (см. (1)),… … Большая политехническая энциклопедия
ПОЛЕ — ПОЛЕ, я, мн. я, ей, ср. 1. Безлесная равнина, пространство. Гулять по полю и по полю. На поле и на поле. Ледовое п. (перен.: сплошное пространство льда). 2. Обрабатываемая под посев земля, участок земли. Ржаное п. 3. Большая ровная площадка,… … Толковый словарь Ожегова
ПОЛЕ — в физике пространство, в котором можно обнаружить физические воздействия (см. Поля теория). Понятие поля заимствовала современная психология. Поле чувства – совокупность находящихся в нервном центре (см. Психофизический уровень) окончаний… … Философская энциклопедия
ПОЛЕ — 1) безлесная равнинная территория.2) Участки пашни, на которые разделена площадь севооборота, и запольные участки.3) Площадка, оборудованная для чего либо (напр., поле футбольное).4) Район боевых действий (напр., поле битвы).5) Пространство,… … Большой Энциклопедический словарь
поле — Поле брани (или битвы, сражения) (книжн.) место, где происходила битва. Пал на поле брани. На поле сражения лежали мертвые люди и лошади. Пришвин. Поле зрения перен. кругозор, область рассмотрения или изучения. тот факт остался вне… … Фразеологический словарь русского языка
