§8. Умножение векторов
Векторы можно умножать скалярно и векторно. Скалярным произведением двух ненулевых векторов иназывается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
(8.1).
Эту формулу можно записать в виде
.
Скалярное произведение имеет следующие свойства:
— переместительный закон.
— распределительный закон
, отсюда
Если , то- условие перпендикулярности векторови
,- вектор силы,- вектор перемещения,- работа силы.
Если изаданы в прямоугольной системе координат, то(8.2).
Упорядоченная тройка векторов называется правой, если кратчайший поворот от векторак векторуиз конца векторавиден совершающимся против часовой стрелки. Рис.7.
Рис.
Векторным произведением вектора на векторназывается третий вектор, длина которого равна, он перпендикулярен векторамии направлен в ту сторону, что векторыиобразуют правую тройку.
Векторное произведение обозначается .
Векторное произведение имеет следующие свойства:
Если , то
, где- площадь параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.
Если векторы изаданы в прямоугольной системе координат:и, то:
(8.3).
Если вектор силы, приложенной в точке, арадиус-вектор точки, то момент силы, относительно начала координатравен:
.
Смешанным произведением трех векторов иназывается их векторно-скалярное произведение. Обозначается.
Если заданы координаты векторов в прямоугольной системе координат, то их смешанное произведение вычисляется по формуле:
(8.
4).
Свойствасмешанного произведения векторов:
— условие компланарности векторов;
— объем параллелепипеда, построенного на векторах, как на сторонах;
— циклическая перестановка сомножителей не меняет величины смешанного произведения;
Пример 11.Даны вершины пирамиды. Найти 1) угол между реброми гранью; 2) площадь грани; 3) объем пирамиды; 4) длину высоты, опущенной из вершинына грань.
Решение. Вычислим координаты вектора :
.
Угол между реброми граньюявляется дополнительным углом для угла, образованного перпендикуляром, проведенным к плоскости треугольникаи ребром.. Для нахождениявычислим координаты векторного произведения векторови:
;
.
.
;
.
Площадь грани равна половине площади параллелограмма, построенного на сторонахи, т.е.
.
Объем пирамиды равен одной трети от объема параллелепипеда,
построенного на ребрах
и.
Следовательно
.
Длина высоты определяется из формулы:
;.
Ответ: ;;;.
Комплексным числом называется выражение
(9.1),
где и- действительные числа;- мнимая единица, определяемая равенством
или(9.2).
Число называют действительной частью комплексного числаи обозначают;- мнимая часть комплексного числа. Ее обозначают. Если, то числоназывают чисто мнимым, если, то число, есть действительное число.
Два комплексных числа иназывают комплексно сопряженными числами.
Два комплексных числа исчитаются равными, еслии. Комплексное число, еслии. Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью.
Иногда комплексное число
удобнее изображать в виде вектора,
начало которого совпадает с началом
координат, соединяющего точкус точкой.
Длина этого вектора называется модулем
комплексного числаи обозначается.
.
Угол между осьюи вектором, отсчитанный против часовой стрелки, называется аргументом комплексного числаи обозначается.
Аргумент числа определяется с точностью до слагаемого, где- целое число. Главное значение аргумента числа- значение аргумента, удовлетворяющее неравенству. Главное значение аргумента комплексного числаобозначается через:.
Запись числа в виденазывают алгебраической формой записи комплексного числа.
Сумма, разность комплексных чисел и умножение определяется так же, как действия над соответствующими векторами.
Суммой комплексных чисел иназывается комплексное число
(9.3).
Разностью комплексных чисел иназывается комплексное число
(9.4).
Произведение комплексного числа на действительное числоназывается комплексное число.
Произведение двух комплексных чисел и, записанных в алгебраической форме определяется как произведение двучленов:
(9.
5).
Произведением двух комплексно сопряженных чисел служит действительное число
(9.6).
Деление комплексных чисел определяется, как действие обратное умножению. Частное двух комплексных чисел иопределяется следующим образом:
(9.7).
Наряду с прямоугольной системой координат введем полярную систему, начало которой совпадает с началом прямоугольной системы, а полярная ось – с положительным направлением оси. Рис. 8.
Рис. 8.
Из Рис.8 следует, что:
.
Подставляя ив алгебраическую форму комплексного числа, получим
(9.8).
Выражение (9.8) называют тригонометрической формой записи комплексного числа , где.
Пусть даны два комплексных числа и. Записанные в тригонометрической форме:
.
Тогда .
(9.9).
Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются; при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.
Если — целое положительное число, то из (9.9) следует:
(9.10).
Корнем -й степени из комплексного числаназывается такое комплексное число,-я степень которого равна, т.е..
Корень -й степени изобозначается.
Если , торавен:
(9.11).
Подставляя в (9.11) значения получим ровноразличных корней-й степени из.
Пример 12.Дано комплексное число.
Записать число в алгебраической и тригонометрической формах. Найти все корни уравнения.
Решение. Запишем число в алгебраической форме:
.
Найдем :.
Вычислим . Тригонометрическая форма записи комплексного числаимеет вид:
.
Вычислим :
при
при
при
Кроме алгебраической и тригонометрической форм записи комплексного числа , применяется более короткая, так называемая показательная форма комплексного числа, согласно которой
.
Пусть и, тогда:
.
Главная → Видеоуроки → Алгебра. 9 класс. Векторы. Описание видеоурока: Векторное произведение векторов и его свойства. Векторное произведение в декартовых координатах. Векторным произведением двух векторов А и В называется новый вектор С, длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах А и В, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный в такую сторону, чтобы кратчайший поворот от А к В вокруг полученного вектора С представлялся происходящим против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора С. Валерий Волков 2 03.02.2018 Будем рады, если Вы поделитесь ссылкой на этот видеоурок с друзьями! Новости образования | ЕГЭ по математике Профильный уровень Задание 1 Задание 2 Задание 3 Задание 4 Задание 5 Задание 6 Задание 7 Задание 8 Задание 9 Задание 10 Задание 11 Задание 12 Задание 13 Задание 14 Задание 15 Задание 16 Задание 17 Задание 18 Задание 19 Задание 20 Задание 21 ГИА по математике Задача 1 Задача 2 Задача 3 Задача 4 Задача 5 Задача 6 Задача 7 Задача 8 Задача 9 Задача 10 Задача 11 Задача 12 Задача 13 Задача 14 Задача 15 Задача 16 Задача 17 Задача 18 Задача 19 Задача 20 Задача 21 Задача 22 Задача 23 Задача 24 Задача 25 Задача 26 Демонстрационные варианты ОГЭ по математике Математика. Натуральные числа Обыкновенные дроби Десятичные дроби Проценты Математика. 6 класс. Делимость чисел Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями Умножение и деление обыкновенных дробей Отношения и пропорции Положительные и отрицательные числа Измерение величин Математика. 7 класс. Преобразование выражений Многочлены Формулы сокращенного умножения Математика. 8 класс. Модуль числа. Уравнения и неравенства. Квадратные уравнения Квадратные неравенства Уравнения с параметром Задачи с параметром Математика. 9 класс. Функции и их свойства Прогрессии Векторы Комбинаторика, статистика и теория вероятностей Математика. Числовые функции Тригонометрические функции Тригонометрические уравнения Преобразование тригонометрических выражений Производная Степенные функции Показательная функция Логарифмические функции Первообразная и интеграл Уравнения и неравенства Комбинаторика Создаёте видеоуроки? Если Вы создаёте авторские видеоуроки для школьников и учителей и готовы опубликовать их, то просим Вас связаться с администратором портала. Актуально Физкультминутки для школьников и дошкольников Подготовка к ЕГЭ Подготовка к ОГЭ |
5 класс.
10 — 11 класс.
геометрия — Может ли кто-нибудь сказать мне, что на самом деле Что такое векторное умножение?
Приятно видеть, что кто-то спрашивает, а не принимает без глубокого понимания!
Сначала я объясню, что я думаю об этих операциях, а затем постараюсь ответить на ваши вопросы.
Скалярное произведение:
Для меня, когда вы делаете скалярное произведение, вы думаете о том, как один вектор влияет на другой вектор.
Например… Когда вы играете в Mario Kart, у вас есть несколько ускорений на трассе:
$$ \vec{a} \text{ } \cdot \text{ } \vec{b} = |a||b|\cos(\theta) $$ Рассмотрим красный вектор $\vec{a}$ и синий вектор $\vec{b}$. Если угол между ними равен $0$, вы увидите, что получите максимально возможный прирост, потому что $\cos(0)=1$. Когда вы начнете увеличивать угол между ними, вы увидите, что скалярное произведение приближается к нулю (вы можете сказать, почему?).
Подумав таким образом, вы можете увидеть, что скаляр, являющийся результатом скалярного произведения, говорит вам, насколько один вектор влияет на другой.
Еще одна вещь для развития вашей интуиции — подумать о том, как выполняется вычисление скалярного произведения:
Все изображения, которые я получил от betterexplained.com, я рекомендую этот сайт для развития вашей интуиции.
Теперь отвечаю на ваши вопросы:
Здесь, если мы умножим проекцию A на B (A cos0) на B, то, наконец, это произведение будет в направлении B?, прав я или нет?
Вы почти правы, если вы умножаете ВЕЛИЧИНУ проекции, с $\vec{b}$ вы будете делать обычное скалярно-векторное умножение, следовательно, результат будет кратен $\vec {b}$ в направлении $\vec{b}$
Во-вторых, пожалуйста, уточните разницу между этим скалярным произведением и обычным умножением, которое я указал выше (2×3=6)?
Просто проверьте, как мы вычисляем скалярное произведение, и вы увидите, что существует какая-то связь с указанным вами алгебраическим умножением!
Перекрестное произведение:
Результат перекрестного произведения:
$$
\vec{a} \text{ } \times \text{ } \vec{b} = \vec{c}
$$
есть вектор $\vec{c}$, где этот вектор перпендикулярен $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
Когда мы ищем вычисление ВЕЛИЧИНЫ вектора в векторном произведении, вы получите: $$ |\vec{a} \text{ } \times \text{ } \vec{b}| = |a||b|\sin(\theta) $$ и, анализируя это уравнение, вы можете видеть, что площадь параллелограммы, составленной $\vec{a}$ и $\vec{b}$, будет равна величине $\vec{c}$. (можете сказать почему?)
Каково назначение и значение этого продукта?
Каждый раз, когда в задаче вам нужна только перпендикулярная часть вектора в вычислении, вы будете иметь дело с векторным произведением. Многие определения в физике используют перекрестное произведение… Вот пример: $$ \vec{f} = q(\vec{v} \text{ } \times \text{ }\vec{b}) $$ Это уравнение в электромагнетизме, которое определяет, какой будет сила $\vec{f}$, действующая на заряд $q$ со скоростью $\vec{v}$ в магнитном поле $\vec{b}. $.
Почему векторное произведение всегда перпендикулярно данным векторам?
Причина, по которой векторное произведение является перпендикулярным вектору, связана с его вычислением, которое имеет дело с определителем.
Я не знаю, стоит ли мне вдаваться в объяснение, почему его векторный результат перпендикулярен, потому что это не так уж тривиально, поскольку его вычисление имеет дело с определителем, вещью в математике, которую большинство людей используют, но не знают, что это такое ! Если вы действительно хотите, прокомментируйте этот пост, который я попытаюсь объяснить!
Когда я сказал «можете ли вы сказать, почему», я хотел посмотреть, понимаете ли вы то, что я пытаюсь объяснить… Если вы не можете понять это, напишите комментарий, и я помогу вам!
Надеюсь, это поможет!
Продолжайте учиться и проявлять любопытство, но некоторые вещи трудно доказать без более глубокого математического подхода, и вам придется обращаться с ними интуитивно, пока вы не станете достаточно зрелым в математике (я не настолько зрел во многих ситуации! хахаха)
Умножение массива/вектора для одноэлементных массивов — Новое в Julia
УиллКларк
#1
Привет, я давний пользователь Matlab, только начинаю погружаться в мир Джулии, так что простите меня, если мой вопрос наивен.
В настоящее время я пишу код для выполнения ряда задач по манипулированию матрицами. Я столкнулся с тем, что мне кажется ограничением оператора * в массивах. Поскольку я новичок в Джулии, я думаю, что ограничение, вероятно, заключается в моем понимании, а не в языке.
Допустим, у меня есть следующая функция
function double(A::Array{<:Real}, B::Array{<:Real})
С = А*В
2*С
конец
которые я оцениваю следующим образом
julia> A = [1 2;3 4]
Массив 2×2{Int64,2}:
1 2
3 4
юлия> В = [5;6]
2-элементный массив{Int64,1}:
5
6
юлия> двойной(А,В)
2-элементный массив{Int64,1}:
34
78
Все работает как положено. А что, если A и B определены, как показано ниже:
julia> A = [1;2]
2-элементный массив{Int64,1}:
1
2
юлия> В = [3]
1-элементный массив {Int64,1}:
3
юлия> двойной(А,В)
ОШИБКА: MethodError: метод не соответствует *(::Array{Int64,1}, ::Array{Int64,1})
Таким образом, несмотря на то, что это умножение математически корректно, оно не дает успешных результатов.
Я решил эту проблему, расширив оператор *, используя следующую функцию
function Base.:*(A::Array{<:Number,1}, B::Array{<:Number,1})
если длина (А) == 1
А[1]*Б
иначе длина (B) == 1
А*Б[1]
еще
error("Размеры массива не подходят для умножения.")
конец
конец
Это работает нормально, однако мне кажется, что это не очень хорошая практика. Я надеялся, что кто-нибудь может дать совет о более «юлианском» способе сделать это, или если это действительно подходящий подход.
Заранее спасибо, Уилл.
Оскар_Смит
#2
Итак, проблема в том, что вы перепутали * и .* первое - умножение матриц. Второе - это векторизованное умножение, которое вам нужно. В общем, чтобы применить операцию поэлементно, используйте f. (точка ставится перед инфиксными функциями).
УиллКларк
#3
Оскар, спасибо за быстрый ответ.
Умножение матриц — это действительно то, что мне нужно, а не поэлементное умножение. В частности, я хочу оценить умножение матриц A и B, где A имеет размеры n x m, а B имеет размеры m x 1 (или, если уж на то пошло, m x p). И n, и m могут быть любыми положительными целыми числами, включая 1.
Henrique_Becker
#4
С уважением, я думаю, что этого поста можно было бы избежать, и ваш день был бы более продуктивным, если бы изменение сообщения об ошибке, обсуждаемое в этом посте, уже было реализовано.
Таким образом, у вас уже были бы представлены альтернативы.
Вы уверены, что не хотите:
> A = [1;2]; В = [3];
> А * Б'
Массив 2×1{Int64,2}:
3
6
Другими словами, эта операция на самом деле не определена для векторов ( Array{T, 1} ), он определен для матриц ( Array{T, 2} ). Вы должны использовать правильный тип.
Лэнгуен-вн
#5
Привет,
Добро пожаловать в сообщество Julia! Хотя Джулия может показаться пользователям MatLab очень знакомой, между ними есть некоторые тонкие отличия. Обратите внимание, что во втором примере и A, и B являются векторами-столбцами (массив только с одним измерением), и поэтому метод умножения не определен, поскольку неясно, хотите ли вы внутренний или внешний продукт.
Чтобы добиться того, что вы хотите, вы можете сделать A * transpose(B) или A * B' (последнее на самом деле является присоединением к B , но дает тот же результат). Это математически последовательно, так как то, что вы действительно хотите, это умножение матриц, а транспонировать (B) или B' можно рассматривать как матрицы 1 на 1.
Однако рекомендация Оскара по широковещательному умножению, пожалуй, самый удобный способ.
Оскар_Смит
#6
Нет, мое предположение было неверным, если обобщенным желаемым поведением является умножение матриц.
1 Нравится
УиллКларк
#7
А как насчет другого случая в моем исходном посте, когда
julia> A = [1 2;3 4];B = [5;6]; юлия> А*В' ОШИБКА: DimensionMismatch («матрица A имеет размеры (2,2), матрица B имеет размеры (1,2)»)
Неудивительно, что это выдает ошибку, поскольку размеры не совпадают. Получается, что этот подход вообще не годится для A с размерами n x m и B с размерами m x 1?
Энрике_Беккер
#8
Обратите внимание на типы:
> A = [1 2; 3 4]
Массив 2×2{Int64,2}:
1 2
3 4
> В = [5;6]
2-элементный массив{Int64,1}:
5
6
> А = [1;2]
2-элементный массив{Int64,1}:
1
2
> В = [3]
1-элементный массив {Int64,1}:
3
Другими словами, в первом случае умножение работает, потому что две матрицы Array{T, 2} правильных размеров.
