Переход от поверхностного интеграла ІІ рода к тройному. Формула Остроградского-Гаусса

Формула Остроградського-Гауса применяют для преобразования объемного (тройного) интеграла к интегралу по замкнутой поверхности (двойного), превращения объемного (тройного) интеграла к интегралу по замкнутой поверхности (двойного), и наоборот:

Другое приложение формулы это вычисления потока векторного поля через замкнутую поверхность с помощью интеграла от дивергенции этого поля по объему, что ограничен этой поверхностью.
Дальше будут приведены примеры перехода от двойного к тройному интегралу, расстановки пределов и вычисления объемных интегралов.

 

Пример 1 Используя формулу Остроградського-Гауса, превратить поверхностный интеграл

если гладкая поверхность S ограничивает конечный объем V и — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S.

Решение: Поверхностный интеграл 2-го рода сводится к тройному интегралу с помощью формулы Остроградського-Гауса:

где P, Q, R выписываем из заданного интеграла 
— частичные производные функции.
Далее повторно вычисляем производные, чтобы получить направляющие косинусы в направлении каждой из осей

Можем перейти от двойного интеграла к тройному

здесь обозначили Δu — дельта оператор Лапласа

На этом все объяснения к первому примеру.

 

Пример 2 Используя формулу Гауса-Остроградського, превратить поверхностный интеграл

по гладкой поверхности S ограничивающей конечный объем V и — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S.

Решение: Поверхностный интеграл второго рода сведем к трехмерному интегралу, используя формулы Гауса-Остроградського:

где P=P(x, y, z)=x³, P=P(x, y, z)=y³, P=P(x, y, z)=z³ берем из условия.
Вычисляем вторые производные по «икс, игрек, зет»

Записываем формулу перехода от двойного интеграла к тройному  

На этом примере Вы видите, что сам переход между кратными и тройными интегралами найти не трудно.
Значительное количество ждет при необходимости расставить пределы интегрирования и найти тройной интеграл.

 

Пример 3 Используя формулу Гауса-Остроградського, превратить поверхностный интеграл

если гладкая поверхность S ограничивает конечный объем V и — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S.

Решение: Поверхностный интеграл второго рода сведем к тройному интегралу, используя формулу Гауса-Остроградського :

где P=P(x, y, z)=yz, Q=Q(x, y, z)=xz, R=R(x, y, z)=xy.
Частичные производные второго порядка от P, Q, R

Поэтому тройной интеграл равен нулю

Пример 4 Используя формулу Гауса-Остроградського, вычислить поверхностный интеграл int[x³dydz+y³dzdx+z³dxdy, S]

где S- внешняя сторона сферы x²+y²+z²=a².

Решение: Поверхностный интеграл ІІ рода сводим к трехкратному интегралу, используя формулу Гауса-Остроградського:

Выписываем P=P(x, y, z)=x³, Q=Q(x, y, z)=y³, R=R(x, y, z)=z³.
Тогда частичные производные от P, Q, R равны

Область S ограничивает сфера V уравнением:
x²+y²+z²=a².
В декартовой системе координат вычислять тройной интеграл когда объем ограничен сферой нецелесообразно, поскольку будем иметь корневые функции в пределах интеграла.
Поэтому всюду перейдем к сферической системе координат:

Находим частичные производные первого порядка по углам от параметризующих координат

Дополнительно необходимо найти якобиан перехода:

Он служит дополнительным множителем в интеграле.
Вычислим подынтегральное выражение в новых координатах:

Дальше используя формулу Остроградського-Гауса находим поверхностный интеграл второго рода:

Внимательно пересмотрите как раскрывали внутренние интегралы в тройном.

 

Пример 5 Используя формулу Гаусса-Остроградського, превратить поверхностный интеграл

по гладкой поверхности S ограничивающей конечный объем V и — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S.

Решение: Имеем поверхностный интеграл ІІ рода

Сведем к объемному интегралу, используя формулу Гауса-Остроградського: 

В соответствии с условием функции P, Q, R принимают значение

Вычисляем частичные производные второго порядка за переменными x, y, z

Подставляем и сводим интегрирование по площади на интегрирование по объему

На сайте размещены сотни развязанных примеров из интегрирования, которые охватывают весь курс из интегралов.
Все что нужно для учебы Вы можете пересмотреть в категории интегрирования!

Математический анализ. Продолжение курса

Математический анализ. Продолжение курса

Ильин В. А. и др. Математический анализ. Продолжение курса / В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. X. Сендов. Под ред. А. Н. Тихонова. — М.: Изд-во МГУ, 1987.— 358 с. Учебник представляет собой вторую часть (ч. 1 — 1985 г.) курса математического анализа, написанного в соответствии с единой программой, принятой в СССР и НРБ. В книге рассмотрены теория числовых и функциональных рядов, теория кратных, криволинейных и поверхностных интегралов, теория поля (включая дифференциальные формы), теория интегралов, зависящих от параметра, и теория рядов и интегралов Фурье. Особенность книги — три четко отделяемых друг от друга уровня изложения: облегченный, основной и повышенный, что позволяет использовать ее как студентам технических вузов с углубленным изучением математического анализа, так и студентам механико-математических факультетов университетов. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ Глава 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ § 1. ПОНЯТИЕ ЧИСЛОВОГО РЯДА 2. Критерий Коши сходимости ряда. § 2. РЯДЫ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ 2. Признаки сравнения. 3. Признаки Даламбера и Коши. 4. Интегральный признак Коши—Маклорена. 5. Признак Раабе. 6. Отсутствие универсального ряда сравнения. § 3. АБСОЛЮТНО И УСЛОВНО СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ 2. О перестановке членов условно сходящегося ряда. 3. О перестановке членов абсолютно сходящегося ряда. § 4. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ РЯДОВ § 5. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД СХОДЯЩИМИСЯ РЯДАМИ § 6. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 2. Связь между сходимостью бесконечных произведений и рядов. 3. Разложение функции sin x в бесконечное произведение. § 7. ОБОБЩЕННЫЕ МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ 1. Метод Чезаро (метод средних арифметических). 2. Метод суммирования Пуассона—Абеля. § 8. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ДВОЙНЫХ И ПОВТОРНЫХ РЯДОВ Глава 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ § 1. ПОНЯТИЯ СХОДИМОСТИ В ТОЧКЕ и РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ НА МНОЖЕСТВЕ 2. Сходимость функциональной последовательности (функционального ряда) в точке и на множестве. 3. Равномерная сходимость на множестве. 4. Критерий Коши равномерной сходимости последовательности (ряда). § 2. ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И РЯДОВ § 3. ПОЧЛЕННЫЙ ПЕРЕХОД К ПРЕДЕЛУ § 4. ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ПОЧЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И РЯДОВ 2. Почленное дифференцирование. 3. Сходимость в среднем. § 5. РАВНОСТЕПЕННАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИИ § 6. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 2. Непрерывность суммы степенного ряда. 3. Почленное интегрирование и почленное дифференцирование степенного ряда. § 7. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 2. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора. 3. Элементарные представления о функциях кемплексной переменной. 4. Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции многочленами. Глава 3. ДВОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 2. Условия существования двойного интеграла для прямоугольника. 3. Определение и условия существования двойного интеграла для произвольной области. 4. Общее определение двойного интеграла. § 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА § 3. СВЕДЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ ОДНОКРАТНОМУ 2. Случай произвольной области. § 4. ТРОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 5. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В n-КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ § 6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ n-МЕРНЫХ ТЕЛ § 7. ТЕОРЕМА О ПОЧЛЕННОМ ИНТЕГРИРОВАНИИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И РЯДОВ § 8. КРАТНЫЕ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2. Два признака сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций. 3. Несобственные интегралы от знакопеременных функций. 4. Главное значение кратных несобственных интегралов. Глава 4. n. 3. Преобразования базисов. Ковариантные и контрвариантные координаты вектора. 4. Инварианты линейного оператора. Дивергенция и ротор. 5. Выражения для дивергенции и ротора линейного оператора в ортонормированном базисе. § 2. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 2. Дивергенция, ротор и производная по направлению векторного поля. 3. Некоторые другие формулы векторного анализа. 4. Заключительные замечания. § 3. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА 2. Формула Остроградского—Гаусса. 3. Формула Стокса. § 4. УСЛОВИЯ НЕЗАВИСИМОСТИ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА НА ПЛОСКОСТИ ОТ ПУТИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ § 5. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИИ ТЕОРИИ ПОЛЯ 2. Выражение объема через поверхностный интеграл. ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ § 1. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ 2. Билинейные формы. 3. Полилинейные формы. 4. Знакопеременные полилинейные формы. 5. Внешнее произведение знакопеременных форм. 6. Свойства внешнего произведения знакопеременных форм. 7. Базис в пространстве знакопеременных форм. § 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 2. Внешний дифференциал. § 3. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 2. Свойства отображения. § 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ 2. Дифференцируемые цепи. 3. Формула Стокса. 4. Примеры. Глава 7. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ § 1. РАВНОМЕРНОЕ ПО ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ СТРЕМЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ К ПРЕДЕЛУ ПО ДРУГОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 2. Критерий Коши равномерного стремления функции к предельной. 3. Применения понятия равномерного стремления к предельной функции. § 2. СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 2. Случай, когда пределы интегрирования зависят от параметра. § 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 2. Несобственные интегралы второго рода, зависящие от параметра. § 4. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛОВ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА, К ВЫЧИСЛЕНИЮ НЕКОТОРЫХ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ § 5. ИНТЕГРАЛЫ ЭЙЛЕРА 2. В-функция. 3. Связь между эйлеровыми интегралами. 4. Примеры. § 6. ФОРМУЛА СТИРЛИНГА § 7. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ 2. Несобственные кратные интегралы, зависящие от параметра. Глава 8. РЯДЫ ФУРЬЕ § 1. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ И ОБЩИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 2. Понятие об общем ряде Фурье. § 2. ЗАМКНУТЫЕ И ПОЛНЫЕ ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ § 3. ЗАМКНУТОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ И СЛЕДСТВИЯ ИЗ НЕЕ 2. Доказательство замкнутости тригонометрической системы. 3. Следствия замкнутости тригонометрической системы. § 4. ПРОСТЕЙШИЕ УСЛОВИЯ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ И ПОЧЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО РЯДА ФУРЬЕ 2. Простейшие условия абсолютной и равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье. 3. Простейшие условия почленного дифференцирования тригонометрического ряда Фурье. § 5. БОЛЕЕ ТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ И УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ В ДАННОЙ ТОЧКЕ 2. Выражение для частичной суммы тригонометрического ряда Фурье. 3. Вспомогательные предложения. 4. Принцип локализации. 5. Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье для функции из класса Гёльдера. 6. О сходимости тригонометрического ряда Фурье кусочно гёльдеровой функции. 7. Суммируемость тригонометрического ряда Фурье непрерывной функции методом средних арифметических. 8. Заключительные замечания. § 6. КРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 2. Модуль непрерывности и классы Гёльдера для функции N переменных. 3. Условия абсолютной сходимости кратного тригонометрического ряда Фурье. Глава 9. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ § 1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ИНТЕГРАЛОМ ФУРЬЕ 2. Основная теорема. Формула обращения. 3. Примеры. § 2. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ § 3. КРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

Электр индукция вектори учун Остроград Гауссовые теории. Теоремаси Гаусса

Умумий формула: кучланиш векторининг окими электр майдони хар кандай озбошимчалик билан танланган йопик сирт оркали бу сирт ихида джойлашган электр зарядига пропорционалдир.

GSSE tizimida:

SI tizimida:

yopiq sirt orqali elektr maydon kuchi vektorining oqimidir.

— сыртни боглайдиган хаймдаги умумий заряд.

электр доимийси обл.

Буйфода интегральная шаклдаги Гаусса теоремазидир.

Дифференциальная шаклда Теоремаси Гаусса Максвелл тенгламаларидан бирига мос келади ва куйидагича ифодаланади.

СИ тизимида:

,

ГССЕ тизимида:

Бу йерда, хайм заряд зичлиги (мухит мавджуд бо’лганда, эркин ва богланган зарядларнинг умумий зичблылиги).

Теоремаси Гаусса учун суперпозиция принципы о’ринли, я’ни кучланиш векторининг сирт бойлаб окими сирт ичидаги заряд таксимотига боглик емас.

Теория Гаусса, вычисляющая физику асоси Кулон, qonuni yoki aksholda Теория Гаусса, кулон, вычисляющая интегральные формулы, полученные в результате.

учун Гаусса теоремаси электр индукцияси(электр алмашинуви).

Moddadagi maydon uchun Gaussning elektrostatik teoremasini boshqa yo’l bilan — elektr siljish ektorining oqimi (elektr induksiyasi) orqali yozish mumkin. Bunday Holda, toremaning Formulasi quyidagicha bo’ladi: elektr siljish ektorining yopiq sirt orqali oqimi ushbu sirt ichidagi erkin elektr zaryadiga proportsionaldir:

Агар Моддадаги Мейдон Кучи Теоремасини Ко’риб Чиксак, У -Хорда Q Zaryad Sifatida Sirt Ichida Joylashgan Erkin Zaryad Va Dilektrikning Qutblanish (Induktsiyalangan, Bog»langan) ZarydiNININISH (Induktsiyalangan, Bog»langan) Zigrinisinish (Induktsiyalangan, Bog»langan) Zig’lishiniskinish (Induktsiyalangan, Bog»langan). кутбланский векторидир.

Магнит индуксия учун Теоремаси Гаусса

Хар кандай йопик сирт оркали магнит индуксия векторининг окими нолга тэн:

.

Бу табиатда электр зарядлари электр майдон хосил кылганидек, магнит майдон хосил кыладиган «магнит зарядлар» (монополярный) йо’qлигига тэн. Boshqacha qilib aytganda, магнит индуксия учун Гаусса теоремаси магнит майдоннинг вортекс еканлигини ko’rsatadi.

Гаусс теоремасининг qo’llanilishi

Электромагнит майдонларни хисоблаш учун куйидаги микдорлар qo’llaniladi:

Оммавий заряд зичлиги (юкорига каранг).

Юзаки заряд зичлиги

бу эрда дС — сиртнинг чексиз кичик майдони.

Чизигли заряд зичлиги

Бу эрда дл — чекиз кичик сегментинг узунлиги.

Чексиз бир хиль зарядланган текислик томонидан яратилган майдонни ко’риб чикинг. Самолётнинг сирт зарядининг зичлиги бир хил ва с га тенг бо’лсин. Generatorlarari tekislikka perpendicular va DS asosi tekislikka nisbatan simmetrik joylashgan silindrni aqliy ravishda tasavvur qiling. Симметрия туфайли. Интенсивный вектор окими га тэн. Gauss teoremasini qo’llash orqali biz quyidagilarni olamiz:

,

qaysidan

GSSE tizimida

Shuni ta’kidlash kerakki, o’zining universalligi va umumiyligiga qaramay, integralni hisoblashning noqulayligi tufayli integral ko’rinishdagi Gauss teoremasi nisbatan cheklangan qo’llanilishiga ega. Бирок, симметрик масала бо’лса, уни хал килиш суперпозиция принципидан фойдаланишга караганда анча содда бо’лади.

Дарснинг махсади: Остроградский-Гаусс теории рус математики ва мексаники Михаил Василевич Остроградский томонидан кандайдир умумий математик теория шаклида ва немис математики Карл Фридрикс Гаусс томонидан асос солинган. Ushbu teorema fizikani profil darajasida o’rganishda qo’llanilishi mumkin, chunki u elektr maydonlarini yanada oqilona hisoblash imkonini beradi.

Электр индукция вектора

Остроградский-Гаусс теоремасини чикариш учун электр индуксия вектори ва бу Ф векторнинг окими каби мухим йордамчи тушунчаларни киритыш керак.

Ма’лумки, электростатик майдон ко’пинча куч чизиклари йордамида тасвирланган. Фараз килайлик, иккита мухит: хаво (=1) ва сув (=81) о’ртасидаги интерфейсда джойлашган нуктада кучланишни аниклаймиз. Bu nuqtada, havodan suvga o’tganda, формула bo’yicha elektr maydon kuchi 81 martaga kamayadi. Agar suvning o’tkazuvchanligini e’tiborsiz qoldiradigan bo’lsak, unda kuch chiziqlari soni bir xil omilga kamayadi. Maydonlarni hisoblash uchun turli xil muammolarni hal qilishda, vosita va dieektriklar orasidagi interfeysdagi kuch vektorining uzilishi tufayli ma’lum noqulayliklar yaratiladi. Уларнинг олдини олиш учун электр индуксия вектори деб аталадиган янги вектор киритилади:

Электр индуксия вектори вектор ва электр доимийси ва малум бир нуктадаги мухитнинг отказувчанлиги махсулотига тэн.

Шубхасиз, иккита диэлектрик чегарасидан о’тганда, нукта зарядининг майдони учун электр индуксия чизиклари сони о’згармайди.

СИ тизимида электр индуксия вектори квадрат метрга (С/м 2) кулонларда о’лчанади. (1) ифода векторнинг сын qiymati muhitning xususiyatlariga bog’liq emasligini ko’rsatadi. Вектор Maydoni Grafik jihatdan keskinlik maydoniga o’xshash tarzda tasvirlangan (masalan, nuqta zaryadi uchun 1-rasmga qarang). Вектор майдони учун суперпозиция принципы содир бо’лади:

Электр индукция окими

Электр индукция вектори космос хар бир нуктасида электр майдонини тавсифлайди. Яна битта микдор векторнинг qiymatlariga qarab bir nuqtada emas, balki tekis yopiq kontur bilan chegaralangan sirtning barcha nuqtalarida kiritilishi mumkin.

Бунинг учун бир шил электр майдонига джойлаштирилган сирт майдони С бо’лган текис йопик о’тказгични (сксемани) ко’риб чикинг. Суперотказувчилар текислига нормал электр индуксия векторининг йо’налыши билан бурчак хосил килади (2-разм).

С сирт оркали электр индукция окими индуксия вектори модули ва С майдони ва вектор ва нормальный орасидаги бурчак косинусининг махсулотига тэн киймат деб аталади:

Остроградский-Гаусс теоремазининг келиб чициши

Бу теорема электр индуксия векторининг йопик сирт оркали окишини топиш имконини беради, унинг ичида электр зарядлари мавджуд.

Ихтиёрий радиуси р 1 бо’лган шарнинг марказига биринчи бир нуктали заряд к к ко’илсин (3-расм). Ключ в ; . Бу шарнинг бутун юзасидан о’тадиган умумий индуксия окимини хисоблаймиз: ; (). Агар радиуси шарни олсак, у холда ветчина F = q bo’ladi. Агар биз ц зарядини о’раб турмайдиган шарни чизсак, у холда умумий оким Ф = 0 (чунки хар бир чизик сиртга кирради ва бошка сафар уни тарк этади).

Шундай килиб, агар заряд йопик сирт ичида джойлашган бо’лса, F = q ва заряд йопик сиртдан ташкарида джойлашган бо’лса, F = 0 бо’лади. F oqimi sirtning shakliga bog’liq emas. Бундан ташкари, сирт ичидаги зарядларинг джойлашишига боглик эмас. Bu shuni anglatadiki, olingan natija faqat bitta zaryad uchun emas, balki ixtiyoriy joylashgan har qanday miqdordagi zaryadlar uchun ham amal qiladi, agar biz q orqali faqat sirt ichida joylashgan barcha zaryadlarning алгебраик yig’indisini nazarda tutsak.

Теоремы Гаусса: хар qanday yopiq sirt orqali elektr induktsiya oqimi sirt ichidagi barcha zaryadlarning алгебраик yig’indisiga teng: .

Formuladan ko’rinib turibdiki, elektr oqimining o’lchami elektr zaryadining o’lchami bilan bir xil. Шунинг учун электр индуксия окимининг бирлиги кулон (С) хисобланади.

Эслатма: агар майдон бир джинсли бо’лмаса ва оким аникланадиган сирт текислик бо’лмаса, бу сиртни чексиз кичик элементларга бо’лиш мумкин дс ва хар бир элементни текис деб хисоблаш мумкин, ва унга якин майдон бир джинсли. Шунинг учун хар кандай электр майдони учун электр индуксия векторининг сирт элементи оркали о’тиши: дФ =. Интеграция натиджасида хар кандай бир джинсли бо’лмаган электр майдонида С йопик сирт оркали умумий оким куйидагиларга тэн бо’лади: , бу эрда к — йопик сирт билан о’ралган барча зарядларинг алгебраик йиг’индизи С. оксирги тенгламани майдони ) ифодалаймиз: .

Бу Максвеллнинг электромагнит майдон учун интеграл шаклда йозилган асосий тенгламаларидан биридир. Vaqt o’tishi bilan doimiy elektr maydonining manbai harakatsiz elektr zaryadlari ekanligini ko’rsatadi.

Теоретическая обработка Гаусса qo’llanilishi

Узлуксиз таксимланадиган то’ловлар майдони

Келинг, Остроградский-Гаусс теоремазидан фойдаланиб, бир катор холатлар учун майдон кучини аниклайлик.

1. Бир текис зарядланган сферик сиртнинг электр майдони.

Радиуси Р болган шар. Заряд +q радиуси Р болган шарсимон юзада бир текис таксимланган болсин. Заряднинг сирт устида таксимланиши сирт заряд зичлиги билан тавсифланади (4-расм). Юзаки заряд зичлиги — бу заряднинг у таксимланган сирт майдонига нисбати. . СИДа.

Майдон кучини аниклаймиз:

а) сферик сиртдан ташкарида;
б) шарсимон сирт ичида.

а) Зарядланган сферик сирт маркизидан р>Р масофада джойлашган А нуктани олайлик. Keling, u orqali zaryadlangan sharsimon sirt bilan umumiy markazga ega bo’lgan S radiusli sferik sirtni aqliy ravishda chizamiz. Simmetriya mulohazalaridan ko’rinib turibdiki, kuch chiziqlari S sirtga perpendikulary радиальный to’g’ri chiziqlar bo’lib, bu sirtga bir tekis kirib boradi, ya’ni. бу сиртнинг барча нукталарида кучланиш доймий катталикда. Bu S radiusi r sferik sirtga Остроградский-Гаусс teoremasini qo’llasak. Шундай килиб, шар бойлаб умумий оким N = E? С; Н=Е. Бошка томондан. Тенглаш: . Демак: р>Р учун.

Шундай килиб: унинг ташкарисида бир хил зарядланган сферик сирт томонидан яратилган кучланиш бутун заряд унинг маркизида бо’лгандек бир хил бо’лади (5-расм).

б) Зарядланган сферик сирт ичида йотган нукталарда майдон кучини топамиз. Sfera markazidan uzoqda ajratilgan B nuqtani olaylik . У холда, ручун Е = 0

2. Бир текис зарядланган чексиз текисликнинг майдон кучи

Самолётнинг барча нукталарида зичлик доимийси билан зарядланган чексиз текислик томонидан яратилган электр майдонини ко’риб чикинг. Simmetriya sabablariga ko’ra, taranglik chiziqlari tekislikka perpendikular va undan har ikki tomonga yo’naltirilgan deb taxmin qilishimiz mumkin (6-rasm).

Biz tekislikning o’ng tomonida joylashgan A nuqtani tanlaymiz va bu nuqtada Ostrogradskiy-Gauss teoremasidan foydalanib hisoblaymiz. Yopiq sirt sifatida silindrsimon sirtni tanlaymiz, shunda silindrning yon yuzasi kuch chiziqlariga parallel, uning asoslari esa tekislikka parallel bo’ladi va taglik A nuqtadan o’tadi (7-rasm). Ko’rib chiqilgan silindrsimon sirt orqali kuchlanish oqimini hisoblaylik. Ён сирт оркали оким 0 га тэн, чунки кучланиш чизиклари латеральный юзага параллели. Keyin umumiy oqim oqimlarning yig’indisi va silindrning asoslaridan o’tuvchi va. Bu oqimlarning ikkalasi ham ijobiy =+; знак равно знак равно ==; Н=2 .

— tanlangan silindrsimon sirt ichida yotgan tekislikning bir qismi. Bu sirt ichidagi zaryad q ga teng.

Кейин; — нукта заряди сифатида габул килиниши мумкин) нукта билан А. Умумий майдонни топиш учун хар бир элемент томонидан яратилган барча майдонларни геометрик кошиш керак: ; .

Bir hil bo’lmagan elektr muhitida elektr hodisalarini o’rganish eng qiyin hisoblanadi. Bunday muhitda e turli qiymatlarga ega bo’lib, dielektriklar chegarasida keskin o’zgaradi. Фараз килайлик, иккита мухит орасидаги чегарадаги майдон кучини аниклаймиз: е 1 =1 (вакуум йоки хаво) ва е 2 =3 (суйуклик — мой). Интерфейсда вакуумдан диэлектрикга о’тиш вактида майдон кучи уч марта камаяди ва куч векторининг окими бир хил микдорда камаяди (12.25-расм, а). Ikki vosita orasidagi интерфейсdagi elektrostatik maydon kuchi ektorining keskin o’zgarishi maydonlarni hisoblashda ma’lum qiyinchiliklarni keltirib chiqaradi. Gauss teoremasiga kelsak, bu sharoitda u o’z ma’nosini butunlay yo’qotadi.

Бир-бирига о’хшамайдиган диэлектрикларнинг кутбланиш кобилияти ва интенсивлиги хар хил болганлиги сабабли, хар бир диэлектрикдаги майдон чизиклари сони хам хар хил бо’лади. Ushbu qiyinchilikni maydonning yangi fizik xarakteristikasi, elektr induksiyasi D (yoki vektor) kiritish orqali bartaraf etish mumkin. электр силджиши ).

Formulaga ko’ra

e 1 E 1 = e 2 E 2 = E 0 = doimiy

Ushbu tengliklarning barcha qismlarini elektr doimiy e 0 ga ko’paytiramiz

e 0 e 1 E 1 = e 0 e 2 E 2 = e 0 E 0 =const

e 0 eE=D yozuvini kiritamiz, shunda oxirgidan oldingi munosabat shaklni oladi.

D 1 = D 2 = D 0 = konst

Dielektrikdagi elektr maydon kuchi va uning mutlaq o’tkazuvchanligi ko’paytmasiga teng bo’lgan D vektori deyiladi. электр силиш вектори

(12.45)

Электр силжиши вектор микдори бо’либ, уни куйидагича ифодалаш ветчина мумкин

D = e 0 E =(1+c)e 0 E = e 0 E + je 0 E = e 0 E+ стр.

(12.46)

Э кучланишдан фаркли о’ларок, электр силжиши Д барча диэлектрикларда доимийдир (12.25-расм,б). Шунинг учун бир джинсли бо’лмаган диэлектрик мухитдаги электр майдонини Е интенсивлиги билан емас, балки Д ко’чиш вектори билан тавсифлаш кулай. D vektori erkin zaryadlar (ya’ni vakuumda) tomonidan yaratilgan elektrostatik maydonni tavsiflaydi, lekin ularning dielektrik ishtirokida bo’lgan kosmosda tarqalishi bilan, chunki dielektriklarda paydo bo’ladigan bog’langan zaryadlar maydon hosil qiluvchi erkin zaryadlarning qayta taqsimlanishiga olib kelishi mumkin. .

Vektor maydoni maydon bilan bir xil tarzda elektr siljish chiziqlari bilan grafik tasvirlangan kuch chiziqlari bilan ifodalanadi.

Электр алмаштириш линияси Har bir nuqtadagi tangenslari elektr siljish vektori yo’nalishi bo’yicha mos keladigan chiziqlar.

Э векторининг чизиклари хар кандай зарядда бошланиши ва тугаши мумкин — эркин ва богланган, векторнинг чизиклари еса D — faqat bepul to’lovlar bilan. Вектор чизиклари D таранлик чизикларидан фаркли о’ларок узлюксидир.

Электр силиш вектори иккита мухит орасидаги интерфейсда узилишни бошдан кечирмаганлиги сабабли, у холда бирон бир йопик сирт билан о’ралган зарядлардан келадиган барча индуксия чизиклари унга кириб боради. Shuning uchun, elektr siljish vektori uchun Gauss teoremasi bir jinsli bo’lmagan dielectrik muhit uchun o’z ma’nosini to’liq saqlab qoladi.

Диэлектрикдаги электростатик майдон учун Гаусс теоремаси : elektr siljish vektorining ixtiyoriy yopiq yuzadan o’tadigan oqimi bu sirt ichida o’ralgan zaryadlarning алгебраик yig’indisiga teng.

(12.47)

Коп то’ловлар мавджуд бо’лганда, майдонларни хисобластда ба’зи кийинчиликлар пайдо бо’лади.

Gauss teoremasi ularni engishga yordam beradi. mohiyati Gauss teoremalari quyidagilarga qisqartiradi: agar zaryadlarning ixtiyoriy soni yopiq sirt S bilan aqliy ravishda o’ralgan bo’lsa, u holda dS elementar maydon bo’ylab elektr maydon kuchi oqimini dF = Esosa۰dS shaklida yozish mumkin, bu erda a — tekislik bilan нормальный орасидаги бурчак. интенсивлик вектор . (12,7-разм)

Бутун сирт бойлаб умумий оким унинг ичида озбошимчалик билан таксимланган барча зарядлардан окимларнинг йиг’индисига тэн ва бу заряднинг кийматига мутаносиб бо’лади.

(12.9)

Таанглик векторининг радиуси р бо’лган сферик сирт оркали о’тишини аниклаймиз, унг маркизида +q нукта заряди мавджуд (12.8-расм). Кесиш чизиклари шар юзасига перпендикуляр, а = 0, демак соса = 1. У холда

Агар майдон зарядлар системи билан тузилган болса, у холда

Теоремы Гаусса: elektrostatik maydon kuchi vektorining vakuumdagi har qanday yopiq yuzadan o’tishi bu sirt ichida o’ralgan zaryadlarning алгебраический yig’indisiga teng bo’lib, elektr konstantasiga bo’linadi.

(12.10)

Агар шаричида зарядлар бо’лмаса, у холда F = 0 бо’лади.

Теоремаси Гаусса нозимметрик таксимланган зарядлар учун электр майдонларини хисоблашни нисбатан осонлаштиради.

Келинг, таксимланган зарядларнинг зичлиги тушунчасини киритайлик.

Чизигли зичлик т билан белгиланади ва ℓ бирлик узунликдаги к зарядини тавсифлайди. Умуман ольганда, уни формула боича хисоблаш мумкин

(12.11)

Zaryadlarning bir xil taqsimlanishi bilan chiziqli zichlik tengdir

Sirt zichligi s bilan belgilanadi va S maydon birligiga to’g’ri keladigan q zaryadini tavsiflaydi . Umuman Ольганда, и формула bilan aniqlanadi.

(12.12)

Юза бойлаб зарядларнинг бир хил таксимланиши билан сирт зичлиги тенгдир

Umuman Ольганда, и формула bilan aniqlanadi.

(12.13)

To’lovlarning bir xil taqsimlanishi bilan u tengdir
.

Заряд к сферада тэн таксимланганлиги сабабли

s = const. Gauss teoremasini qo’llaylik. Nuqta orqali radiusli шар chizamiz. 12,9-rasmdagi интенсивный векторный радиус радиуса сферик юзаси оркали окиб о’тиши коса = 1 га тенг, чунки а = 0. Теоремасига Гаусса ко’ра.
.

йоки

(12.14)

(12.14) ифодадан келиб чикадики, зарядланган сферадан ташкаридаги майдон кучи шарнинг маркизида джойлашган нуктавий заряднинг майдон кучи билан бир хил. Сфера юзасида, я’ни. r 1 = r 0, кучланиш
.

Sfera ichida r 1

Radiusi r 0 bo’lgan silindr sirt zichligi s bilan bir xilda zaryadlangan (12.10-rasm). Maydon kuchini ixtiyoriy tanlangan A nuqtada aniqlaymiz. A nuqta orqali radiusi R va uzunligi ℓ bo’lgan xayoliy silindrsimon sirtni chizamiz. Simmetriya tufayli oqim faqat silindrning yon yuzalari orqali chiqadi, chunki r 0 radiusli silindrdagi zaryadlar uning yuzasi bo’ylab bir tekis taqsimlanadi, ya’ni. кучланиш чизиклари иккала цилиндрнинг йон юзаларига перпендикулярно радиальному к’г’ри чизиклар бо’лади. Цилиндрлар асоси оркали оким нолга тэн (кос а = 0) ва цилиндрнинг йон юзаси куч чизикларига перпендикуляр болганлиги сабабли (кос а = 1), у холда

yoki

(12.15)

E ning qiymatini s — sirt zichligi orqali ifodalaymiz. Та’рифига ко’ра,

Бинобарин,

(12.15) формулага к кийматини алмаштиринг.

(12.16)

Чизик зичлиги тарифига ко’ра,
, кайерда
; бу ифодани (12.16) формулага алмаштирамиз:

(12.17)

булар. чекиз узун зарядланган силиндр томонидан хосил цилинган майдон кучи чизикли заряд зичлигига пропорциональ ва масофага тескари пропорциональдир.

А нуктада чексиз бир хил зарядланган текислик хосил килган майдон кучини аниклаймиз. Tekislikning sirt zaryadi zichligi s bo’lsin. Yopiq sirt sifatida, o’qi tekislikka perpendikulyar bo’lgan silindrni tanlash qulay va o’ng asosda A nuqtasi mavjud. Самолет цилиндрни ярмига бо’лади. Ko’rinib turibdiki, kuch chiziqlari tekislikka perpendikulary va silindrning yon yuzasiga parallel, shuning uchun barcha oqim faqat silindrning asoslari orqali o’tadi. Иккала асосда майдон кучи бир шил, чунки. A va B nuqtalari tekislikka nisbatan simmetrikdir. Keyin silindrning tagliklari orqali oqim

Gauss teoremasiga ko’ra,

Chunki
, keyin
, qayerda

(12.18)

Shunday qilib, cheksiz zaryadlangan tekislikning maydon kuchi sirt zaryad zichligiga mutanosib va ​​​​tekislikgacha bo’lgan masofaga bog’ жидкость эмас. Шунинг учун самолетнинг майдони бир хил.

Икки тэкислик томонидан яратилган майдон майдон майдон суперпозицияси принципы билан аникланади:
(12.12-разм). Хар бир текислик томонидан яратилган майдон бир хил, бу майдонларнинг кучли томонлари мутлак кийматда тэн, лекин йо’налиш бо’йича карама-карши:
. Superpozitsiya practsipiga ko’ra, Tekislikdan Tashqaridagi umumiy Maydonning Kuchi Nolga Teng:

Самолиотлар О’Ртасида Мэйдон Кучлари Бирс yo’nalishlarga ega, Shuning uchun hosil bolgan quvvat ye’lyishlarga ega, shuning uchun hosil bolgan qundhar3 9000-й-йл. orasidagi maydon bir xil va uning kuchi bir tekislik tomonidan yaratilgan maydon kuchidan ikki baravar katta. Самолётларнинг чап ва о’нг томонида майдон йо’к. Cheklangan tekisliklar maydoni bir xil shaklga ega, buzilish faqat ularning chegaralari yaqinida paydo bo’ladi. Olingan Formuladan foydalanib, tekis kondansatör plitalari orasidagi maydonni hisoblashingiz mumkin.

Электр майдон кучи вектор окими. Кичик о’йин майдончаси бо’лсин D S (1.2-расм) йо’налиши нормальный бо’лган электр майдонининг куч чизикларини кесиб о’тинг. п ушбу сайтга бурчак а. Таранглик вектори деб фараз килсак E сайт ичида озгармайди D S , аникланг кучланиш вектор окими сайт оркали D S Кандай DF E = E D S cos a. (1.3) Maydon Chiziqlarining Zichligi Cuchlanishing Raqamli Qiymatiga Teng Bo’lgani Uchun E , Keyin Maydonni Kesib o’tuvchi kuchciMatglari Sonid S , Son jihatdan oqim qiymatiga lonid. (1.3) ifodaning o’ng tomonini vektorlarning skalyar ko’paytmasi sifatida ifodalaymiz Е ВАД С = n D S , qayerda n sirt birligi normal vektoridirD S . Бошлангич соха учун д С ифода (1.3) шаклни олади дФ Е = Е Г С сайт бойлаб S интенсивлик вектор окими сирт устида интеграл сифатида хисобланади Электр индукционный вектор окими. Электр индуксия векторининг окими электр майдонининг кучланиш векторининг окимига о’хшаш тарзда аникланади. дФ Д = Д Д С Oqimlarning ta’riflarida ba’zi noaniqliklar mavjud, chunki har bir sirt uchun ikkitasini belgilashingiz mumkin. нормальный тескари йо’налишда. Yopiq sirt uchun tashqi normal ijobiy hisoblanadi. Теоремы Гаусса. Ойлаб ко’ринг иджобий нукта электр заряди q , озбошимчалик билан йопик сирт ичида джойлашган S (1.3-расм). Индуксия векторининг сирт элементи оркали окиши д S тэн (1.4) Компонент d S D = д С cos asirt elementi d S индуксия вектори йо’налыши бойича D радиуси сферик сиртнинг элементи сифатида каралади r , марказида заряд бор q . Шуни хисобга олиб д С Д / р 2 тэн элментар тана бурчак дв, кайси остида зарьяд кэрда нуктадан q сирт элементи d ко’ринади S , (1.4) ифодани шаклга айлантирамиз d F D = q д ж/4 p, bu erdan zaryadni o’rab turgan butun fazoda, ya’ni 0 dan 4 gacha bo’lgan qattiq burchak ichida integratsiyalashgandan so’ng. p, olamiz F D = q . Электр индуксия векторининг иштиёрий шаклдаги йопик сирт оркали о’тиши ушбу сирт ичида джойлашган зарядга тэн. . Агар озбошимчалик билан йопик сирт бо’лса S мяч зарядини гопламайди кв (1.4-расм), кейин заряд джойлашган нуктада тепаси бо’лган конуснинг абизджитни сирти куриб. S ikki qismga: S 1 va S 2. Вектор окими D yuzasi orqali S biz sirtlardan o’tadigan oqimlarning алгебраик yig’indisi sifatida topamiz S 1 va С 2: . Заряднинг джойлашган джойидан иккала сирт q бир каттик бурчакдан ко’ринади ш. Шундай килиб, окимлар тэн Yopiq sirt orqali oqimni hisoblashda biz foydalanamiz tashqi normal yuzasiga qarab F oqimini ko’rish oson 1D 2D> 0. Умумий оким F D = 0. Бу шуни англатадики иштиёрий шаклдаги йопик сирт оркали электр индуксия векторининг окими бу сиртдан ташкарида джойлашган зарядларга боглик емас. Электр майдони нуктавий зарядлар тизими томонидан яратилган болса q 1 , q 2 ,¼ , q n , bu yopiq sirt bilan qoplangan S , keyin superpozitsiya printsipiga muvofiq, bu sirt orqali induksiya vektorining oqimi har bir zaryad tomonidan yaratilgan oqimlarning yig’indisi aniqlanadia aniqlanadia. Электр индуксия векторининг иштиёрий шаклдаги йопик сирт оркали о’тиши ушбу сирт qoplagan zaryadlarning алгебраик yig’indisiga teng. : Шуни та’кидлаш керакки, то’ловлар q i нукта бо’лиши шарт эмас, зарурий шарт — зарядланган худуд бутунлай сырт билан копланган бо’лиши керак. Yopiq sirt bilan chegaralangan bo’shliqda bo’lsa S , elektr zaryadi uzluksiz taqsimlanadi, keyin har bir elementar hajm d deb hisoblash kerak V zaryadi bor. Bunda (1.5) ifodaning o’ng tomonida zaryadlarning алгебраик yig’indisi yopiq sirt ichida yopilgan hajm ustidan integratsiya bilan almashtiriladi. С : (1,6) Ifoda (1.6) eng umumiy formuladir Gauss teoremalari : ixtiyoriy shakldagi yopiq sirt orqali elektr induksiya vektorining oqimi ushbu sirt bilan qoplangan hajmdagi umumiy zaryadga teng va ko’rib chiqilayotgan sirtdan tashqarida joylashgan zaryadlarga bog’liq emas. . Gauss teoremasini elektr maydon kuchi ektorining oqimi uchun ham yozish mumkin: . Elektr maydonining muhim xususiyati Gauss teoremasidan kelib chiqadi: куч чизиклари факат электр зарядларида бошланади йоки тугайди йоки чексизликка боради . Биз яна бир бор та’кидлаймизки, электр майдон кучига карамай E ва электр индукцияси D космосдаги барча зарядларнинг джойлашига, бу векторларнинг икстиёрий йопик сирт оркали о’тишига бог’лик. S Faqat aniqlanadi сирт ичида джойлашган зарядлар S . Теория Гаусса для дифференциальных шакли. Yozib oling интегральные шакли Gauss teoremasi elektr maydonining manbalari (zaryadlari) va hajmdagi elektr maydonining xususiyatlari (kuch yoki induksiya) o’rtasidagi munosabatni tavsiflaydi. V ixtiyoriy, lekin integral munosabatlarni shakllantirish uchun etarli, qiymat. Овозни болиш оркали В кичик хаймлар учун Ви , ифодасини оламиз умумий ва хар бир муддат учун амаль килади. Олинган ифодани куйидагича озгартирамиз: (1,7) ва джингалак кавслар ичига олинган тенгликнинг о’нг томонидаги ифода хаймининг чексиз болиниши билан мойиллик чегарасини ко’риб чикинг. В . Matematikada bu chegara deyiladi farqlanish vektor (buholda, elektr induksiyasi vektori D ): Вектор фарки D Dekart Координатор: Шундай килиб, (1.7) ифода куйидаги шаклга озгартирилади: . Чексиз болиниш билан оксирги ифоданинг чап томонидаги йигинди хайм интегрилига отишини хисобга олсак, биз оламиз Олинган муносабат хар кандай озбошимчалик билан танланган хаджм учун амаль килиши керак V . Bu fazoning har bir nuqtasida integrandlarning qiymatlari bir xil bo’lgandagina mumkin. Шунинг учун векторнинг дивергенцияси Д тенглик билан бир хил нуктадаги заряд зичлиги билан боглик йоки электростатик майдон кучи вектори учун Bu tengliklar Gauss teoremasini ifodalaydi дифференциальный шакл . Этибор беринг, Гаусс теоремазининг дифференциал шаклига о’тиш джарайонида умумий хусусиятга эга болган муносабат олинади: . Буйфода Гаусса-Остроградского формулы деб аталади ва векторнинг дивергенсиянинг хайм интегралини бу векторнинг хаймни чегараловчи йопик сирт оркали окими билан боглайди. Саволлар 1) Vakuumdagi elektrostatik maydon uchun Gauss teoremasining fizik ma’nosi nimadan iborat 2) Кубнинг маркизида нукта заряди мавджуд q . Векторнинг окими нима E : а) кубнинг то’лик юзаси оркали; б) кубнинг юзларидан бири оркали. Явоблар озгарадими, агар: а) заряд кубнинг марказида эмас, балки унинг ичида ; б) заряд кубдан ташкарида. 3) Чизикли, сирт, хайм заряд зичлиги нима. 4) Hajm va sirt zaryad zichligi o’rtasidagi bog’liqlikni ko’rsating. 5) Карама-карши ва бир хил зарядланган параллель чексиз текисликлар ташкарисидаги майдон нолдан фарк килиши мумкинми? 6) Elektr dipol yopiq sirt ichiga joylashtirilgan. Бу сирт оркали кандай оким бор

Кхонг Тим Тай Транг Най

Dường như chẳng tìm thấy gì ở đay. Có lẽ nên thử tìm kiem?

Тим Ким Чо:

• Гийтиу

9п

Đề thi – đáp án cuối kỳ môn PTĐHR lớp MAT3365

ГТ PTĐHR Dữ liệu qua các tháng Thời gian tháng một 2023 (1) tháng mười hai 2022 (1) tháng chín 2022 (1) tháng tám 2022 (1) tháng sáu 2022 (2) tháng năm 2022 (1) Tháng Tư 2022 (3) Tháng Hai 2022 (1) Thág Tư 2022 (3) Tháng 2022 (1) ) Tháng một 2022 (1) tháng mười hai 2021 (1) tháng mười 2021 (1) tháng chín 2021 (1) tháng tám 2021 (3) tháng bảy 2021 (2) tháng sáu 2021 (1) tháng tư 2021 (2) Tháng Hai 2021 (3) Tháng Một 2021 (1) Tháng Mười Hai 2020 (1) Tháng Chín 2020 (1) Tháng Bảy 2020 (1) Tháng Sáu 2020 (3) Tháng năm 2020 (2) Tháng Tư 2020 (4) Tháng. Ba 2020 (2) Tháng Hai 2020 (2) Tháng Một 2020 (2) Tháng Mười Một 2019(1) Tháng Chín 2019 (1) Tháng Sáu 2019 (2) Tháng Năm 2019 (1) Tháng Tư 2019 (3) Tháng Hai 2019 (1) Tháng Một 2019 (3) Tháng Mười Hai 2018 (2) Tháng Mườt 2018 (2) Tháng Mười 2018 (2) Tháng Chín 2018 (3) Tháng Tám 2018 (1) Tháng Sáu 2018 (1) Tháng Năm 2018 (1) Tháng Tư 2018 (2) Tháng Ba 2018 (1 8 Hái 2) Tháng Tháng Một 2018 (2) Tháng Mười Hai 2017 (1) Tháng Mười Một 2017 (1) Tháng Chín 2017 (1) Tháng Tám 2017 (1) Tháng Sáu 2017 (1) Tháng Năm 2017 (1) Tháng Tư 2017 (1). ) Tháng Ba 2017 (1) Tháng Một 2017 (3) Tháng Mười Hai 2016 (1) Tháng Mười Một 2016 (2) Tháng Mười 2016 (1) Tháng Chín 2016 (1) Tháng Tám 2016 (1) Tháng Bảy 2016 (1) ) Tháng Sáu 2016 (2) Tháng Năm 2016 (1) Tháng Tư 2016 (3) Tháng Ba 2016 (2) Tháng Hai 2016 (2) Tháng Một 2016 (4) Tháng Mười Hai 2015 (1) Tháng Mười MộT 2015 (2 ) Тханг Муи 2015  (3) Тханг Чин 2015 (2) Тханг Там 2015 (2) Тханг Бой 2015 (2) Тханг Сау 2015 (2) Тханг Нам 2015 (3) Тханг Тư 5 (2  Бан 2) 2) Tháng Hai 2015 (1) Tháng Một 2015 (5) Tháng Mười Hai 2014 (1) Tháng Mười Một 2014 (3) Tháng Mười 2014 (3) Tháng Chín 2014 (5) Tháng Tám 2014 (2) Tháng Bảy 2014 (5). 3) Tháng Sáu 2014 (8) Tháng Năm 2014 (2) Tháng Tư 2014 (2) Tháng Ba 2014 (4) Tháng Hai 2014 (4) Tháng Một 2014 (3) Tháng Mười Hai 2013 (3) Tháng Mườt Một 2013 ( 2) Тханг Муи 2013 (3) Тханг Чин 2013 (4) Тханг Там 2013 (3) Тханг Бэй 2013 (2) Тханг Сау 2013 (2) Тханг Нам 2013 (2) Тханг Тư 1 (3) 2 Tháng Ba 2013 Tháng Hai 2013 (1) Tháng Một 2013 (2) Tháng Mười Hai 2012 (2) Tháng Mười Một 2012 (1) Tháng Mười 2012 (1) Tháng Chín 2012 (1) Tháng Tám 2012 (5) Tháng Bảy 2012 (3) Tháng Sáu 2012 (5) Tháng Năm 2012 (5) Tháng Tư 2012 (3) Tháng Ba 2012 (4) Tháng Hai 2012 (3) Tháng Một 2012 (2) Tháng Mười Hai 2011 (4) Tháng Mười MộT 2011 (1) Tháng Mười 2011 (2) Tháng Chín 2011 (2) Tháng Tám 2011 (2) Tháng Bảy 2011 (1) Tháng Sáu 2011 (7) Tháng Năm 2011 (3) Tháng Tư 2011 1 0 2  (6) 4) Tháng Hai 2011 (3) Tháng Một 2011 (2) Tháng Mười Hai 2010 (1) Tháng Mười Một 2010 (3) Tháng Mười 2010 (5) Tháng Chín 2010 (6) Tháng Tám 2010 (2) Tháng Bảy 2010 (6). 1) Тханг Сау, 2010 (2) Тханг Нам, 2010 (2) Тханг Тư, 2010 (3) Тханг Ба, 2010 (3) Тханг Хай, 2010 (3) Тханг Мот, 2010 (1) Тханг Муи Хай, 2009 г.

Тханг Муи Мот 2007

Н	Б	Т	Н	С	Б	С
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30