Формула Остроградського-Гаусса. Поток векторного поля

Формула Остроградського-Гаусса имеет широкое приложение в математике, физике, химии.
Дальше будут приведенные ответы к примерам по интегрированию, которые предусматривают нахождение потока векторного поля через дивергенцию.
В большинстве заданий вычисления двойных интегралов предусматривает замену переменных, а точнее — переход к полярной системе координат. Это упрощает подынтегральные выражения, однако ведет к пересчету пределов интегрирование.
На словах это легко понять, однако на практике необходимо анализировать приведенные примеры на формулу Остроградського-Гаусса и много решать самостоятельно, чтобы разобраться в теме.

Пример 7.1 Найти поток векторного поля через часть поверхности S:
, что отсекается плоскостью P:
z=2 (нормаль внешня к замкнутой поверхности, образованной данными поверхностями).
Решение: Уравнение — коническая поверхность с вершиной в точке (0;0;0), которая вытянута вдоль оси Oz.
z=2 — плоскость параллельная к плоскости Oxy. (шапка).
Приведены поверхность и плоскость изобразим в пространстве

В сечении с конусом получим круг радиуса R=2.
Как видим из рисунка, четверть области V задается следующими пределами:

Здесь учли четность всех функций, поєтому результат интегрирования умножим на 4.
Вычислим дивергенцию векторного поля :

где P=P(x;y;z)=x+xy, Q=Q(x;y;z)=y-yx, R=R(x;y;z)=z-1.
Последние функции берем из a.
Найдем поток векторного поля за формулой Остроградського-Гаусса:

Пример 7.3 Найти поток векторного поля через часть поверхности S:

, что отсекается плоскостью P:
z=-1 (нормаль внешня к замкнутой поверхности, образованной данным сечением).
Решение: — коническая поверхность (нижняя часть) с вершиной в начале координат (0;0;0), которая вытянута вдоль оси Oz.
z=-1 — плоскость параллельная к Oxy.

В сечении с конусом получим круг радиуса R=1.
Как видим из рисунка четверть области V задается следующими пределами:

Здесь учли четность всех функций, поэтому результат интегрирования будем умножать на 4.
Находим дивергенцию векторного поля :

где P=P(x;y;z)=xy, Q=Q(x;y;z)=-3x², R=R(x;y;z)=4.
За формулой Остроградського-Гаусса вычисляем тройной интеграл:

Переход к полярной системе координат значительно упрощает нахождения двойного интегралу.

Пример 7.4 Вычислить поток векторного поля через часть поверхности S: , что вырезается плоскостью P:
z=-5 (нормаль внешня к замкнутой поверхности, образованной данными поверхностями).
Решение: Уравнение — задает коническую поверхность с вершиной в точке(0;0;0), которая вытянута вдоль оси Oz.
z=-5 — плоскость параллельная к плоскости Oxy.

В сечении с конусом получим круг радиуса R=1.
Из рисунка следует что четверть области V задается следующими пределами:

Здесь учитываем четность функций, поэтому результат будем множить на 4.
Находим дивергенцию векторного поля :

где P=P(x;y;z)=xy, Q=Q(x;y;z)=-3x², R=R(x;y;z)=4.
За формулой Остроградського-Гаусса вычисляем поток поля :

Переход к полярной системе координат значительно упрощает нахождения двойного интегралу.

Пример 7.5 Вычислить поток векторного поля через часть поверхности S:
, что вырезается плоскостью P:
z=-5 (нормаль внешня к замкнутой поверхности, образованной данными поверхностями).
Решение: Уравнение — задает коническую поверхность с вершиной (0;0;0), которая вытянута вдоль оси Oz.
z=-5 — плоскость, какая параллельная к плоскости Oxy.

В сечении с конусом получим круг радиуса R=5.
Как видим из рисунка четверть области V задается следующими пределами:
Принимая во внимание четность всех функций, можем сузить область интегрирования, а результат умножить на 4.
Дивергенция векторного поля равна

где P=P(x;y;z)=y²x, Q=Q(x;y;z)=-yx², R=R(x;y;z)=z.
Поток поля находим переходом к двойному интегралу по формуле:

Опять имеем замену переменных под интегралом. Этот прием является незаменимым при нахождении интегралов по поверхностям вращения — подынтегральные функции и пределы упрощаются, отпадает потребность бороться с корнями и выискивать экзотические формулы интегралов из справочников.

Пример 7.7 Найти поток векторного поля через часть поверхности S:
, что отсекается плоскостью P:
z=0 (нормаль внешня к замкнутой поверхности, образованной данными поверхностями).
Решение: Сведем поверхность к каноническому виду z²=4-x²-y², x²+y²+z²=2²— сфера (верхняя половина) с центром в (0;0;0) и радиусом R=2.
z=0 — плоскость параллельная к плоскости Oxy.

В сечении со сферой получим круг с центром в (0;0;0) и радиусом R=2.
Из рисунку видим четверть области V задается следующими пределами:

Здесь учли четность всех функций поэтому результат будем множить на 2.
Вычисляем дивергенцию :

где P=P(x;y;z)=2xyz, Q=Q(x;y;z)=-x²z, R=R(x;y;z)=2.
Поток векторного поля определяем через формулу Остроградського-Гаусса:

Пример 7.8 Найти поток векторного поля через часть поверхности S:
, что вырезается плоскостью P:
z=4 (нормаль внешня к замкнутой поверхности, образованной данными поверхностями).
Решение: Уравнение описывает коническую поверхность с вершиной в начале координат (0;0;0), вытянутую вдоль оси Oz.
Сечение z=4 — плоскость параллельная к плоскости Oxy.

В сечении с конусом получим круг радиуса R=4.
Как видим из рисунка, четверть области V задается следующими пределами:

Четность всех функций позволяет искать интеграл на меньшей поверхности, затем результат нужно будет умножить на 4.
Дивергенцию векторного поля определяем по формуле:

где P=P(x;y;z)=x+2xy, Q=Q(x;y;z)=y-2x², R=R(x;y;z)=z.
Интегрированием вычисли поток векторного поля :

Пример 7.14 Определить поток векторного поля через часть поверхности S:
, что отсекается плоскостью P:
z=0 (нормаль внешня к замкнутой поверхности, образованной данными поверхностями).
Решение: Уравнение — описывает верхнюю часть полусферы с центром в (0;0;0) и радиусом R=3.
В сечении с плоскостью z=0 получим круг радиуса R=3.

Четверть области V задается следующими пределами:

Принятие во внимание четности функций позволяет записать пределы лишь в четверти области, потому поток необходимо умножить на 4.
Посчитаем дивергенцию поля :

где P=P(x;y;z)=x, Q=Q(x;y;z)=y+2z, R=R(x;y;z)=z-2x.
Применяем формулу Остроградського-Гаусса для определения потока векторного поля :

Пример 7.15 Найти поток векторного поля через часть поверхности S:
, что пересекается плоскостью P:
z=0 (нормаль внешня к замкнутой поверхности, образованной данными поверхностями).
Решение: Поверхность — сфера (нижняя часть) с центром в начале декартовой СК (0;0;0) и радиусом R=2.

В сечении плоскости z=0 со сферой получим круг радиуса R=2.
Четверть области V задается следующими пределами:
и
Результат интегрирования необходимо умножить на 4, поскольку учитываем четность функций.
Вычислим дивергенцию векторного поля :

где функции P=P(x;y;z)=x+z², Q=Q(x;y;z)=-y, R=R(x;y;z)=z-x².
Интегрированием находим поток векторного поля :

Он равен P=16pi.

Пример 7.16 Найти поток векторного поля через часть поверхности S:
, что отсекается плоскостью P:
z=2 (нормаль внешня к замкнутой поверхности, образованной данными поверхностями).
Решение: Корневая зависимость — задает коническую поверхность с вершиной в точке (0;0;0), которая вытянута вдоль оси Oz.
z=2 — плоскость параллельная к плоскости Oxy.
В сечении с конусом получим круг радиусом R=2.

Четверть области V задается следующими пределами:

Четность функций учтена, поэтому результирующий интеграл нужно умножить на четверку.
Вычислим дивергенцию векторного поля :

где P=P(x;y;z)=x+xy, Q=Q(x;y;z)=y-yx, R=R(x;y;z)=z-1.
За формулой Остроградського-Гаусса вычисляем поток векторного поля :
Алгоритм вычисления двойных интегралов из примера в пример не изменяется.
Переход к полярной системе координат при интегрировании Вы должны хорошо знать, такой прием позволяет упростить широкий класс интегралов, а дальнейшие вычисления свести к простым интегралам от показательных  и тригонометрических функций. В отдельных случаях Вам придется применять формулы понижение степеней для перехода от квадратов синусов и косинусов к их первым степеням. 2 — сфера (нижняя часть) с центром в начале координат (0;0;0) и радиусом R=2.
z=-1 — плоскость параллельная к плоскости Oxy.

В сечении со сферой получим круг радиусом корень из трех
Четверть области V задается следующими пределами:

В силу четности функций, выписываем пределы лишь на 1/4 поверхности сферы.
Дивергенция векторного поля через частичные производные равна:

где функции P=P(x;y;z)=xy, Q=Q(x;y;z)=yz, R=R(x;y;z)=z-xy.
Поток векторного поля определяем из двойного интеграла:

На этом ознакомление с примерами на вычисление потока векторного поля не завершается, больше готовых ответов Вы найдете на соседних страницах.

Формула Гаусса — Остроградского / Поверхностный интеграл / 3dstroyproekt.ru

Формула Гаусса — Остроградского является аналогом формулы Грина — Остроградского. Эта формула связывает поверхностный интеграл второго рода по замкнутой поверхности с тройным интегралом по пространственной области, ограниченной этой поверхностью.

Для вывода формулы Гаусса — Остроградского надо воспользоваться рассуждениями, подобными тем, которые использовались при нахождении формулы Грина — Остроградского.

Рассматривается сначала поверхность, ограниченная сверху и снизу некоторыми поверхностями, заданными известными уравнениями, а сбоку ограниченную цилиндрической поверхностью. Затем рассматривается вариант когда поверхность ограничена цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными двум другим координатным осям.

После этого полученные результаты обобщаются, приводя к формуле Гаусса — Остроградского:

$ \iint\limits_S { Pdydz+Qdzdx+Rdxdy } =\iiint\limits_V { \left( { \frac { \partial P(x,y,z) } { \partial x } +\frac { \partial Q(x,y,z) } { \partial y } +\frac { \partial R(x,y,z) } { \partial z } }\right)dxdydz } $

Отметим, что эта формула применима для вычисления поверхностных интегралов по замкнутой поверхности.

На практике формулу Гаусса — Остроградского можно применять для вычисления объема тел, если известна поверхность, ограничивающая это тело. 3 } { 3 } . $

Далее:

23 сентября 2016, 12:21    проектирование км, кмд, кж Поверхностный интеграл 0    12698 0

Остроградский — Теория Гаусса и формула

М.В. Остроградский — русские математик и физик руског карств, академик. На je dao ogroman doprinos razvoju matematica analiza teorija vjerojatnosti, mehanika (dio fizike) teorija brojeva. Godine 1826. Извукао je формула, koja se sada naziva формула Остроградского-Гауссова.

Povijest otkrića

Formula Ostrogradsky-Gauss prvi je put spomenuo Joseph Lagrange 1762. godine.

Надалье, главный метод редуциранья trostrukog интеграла на površinu dokazao je Карл Гаусс, koji je kao temelj za dokaz koristio rješavanje проблема у elektrodinamici. К се догодило у первой половицы XIX столица.

Nadalje, формула у općem obliku predstavio je Mihail Ostrogradski. Uz njegovu pomoć, postalo je moguće izraziti vrijednost razlike u parametru iz N-putaintegra.

Значение формулы Остроградский

Формула Остроградского-Гаусова повезуе тройки интегралы изнад просторног тома с интегралом на површини на лицо. Это аналог формулы Гринова, которая повезет двоструки интегральни дио изнад равнине с кривократном духом нжених границ.

Изводенье, формула

Остроградский — Гауссова формула: заключ. Pretpostavimo da je u domeni W definirana integrandska funkcija R (x, y, z), koja je definirana i kontinuirana. Njegov derivat je sličan u cijeloj domeni W, uključujući i njezinu granicu. У овом облику, сада е познать Остроградский — Теорем Гауссова (формула е дана долге).

Štoviše, S je površina koja graniči tijelo, aintegrni dio desno je raspoređen na njegovu vanjsku stranu.

Я абсолютно истинито

Ako na sličan uzmemo u obzirintegre na površini, onda

dok je na desnoj strani zbroj dvaju integra — prvi je povezan s gornjim dijelom površine (S2), a other s donjim dijelom površine (S ₁ ). Ako ovoj jednakosti на desnoj strani dodamo sljedećiintegrni sastojak, njegova valjanost neće biti povrijeđena:

Ona odgovara vanjskom dijelu površine S3 zbog jednakosti nuli.

Ako kombiniramo sva tri gorenavedenaintegra u jedan, dobit ćemo poseban slucaj Ostrogradske формула.

Lako je shvatiti da je ova Formula istinita za širu klasu tijela i vrijedi i za figure koje su ograničene apsolutno svim nelinearnim površinama.

Формула Slijedeće su slične:

ako su funkcije Q i P kontinuirane u domeni zajedno s njihovim derivatima dP / dx i dQ / dy.

Ako dodamo obje jednakosti, dobivamo izraz za Ostrogradsku формулу. Prikazuje интеграл преко površine, povezan с vanjskim dijelom površine, preko trostrukog интеграла, koji je preuzet od samog tijela, čija je granica gore spomenuta površina.

Требуй решения по формуле Зелена, Стокеса и Остроградского изражаваю интегральные коды, которые повезан с одредженим геометрическим тегом, Кроз интегральные коды се узима на неговой границе. Формула Гринова се користи само у случае двомерности простора, формула Стокесова се первостепенна на закривлени двумерны простор.

Формула Ньютона-Лейбнизова такова, что можно проанализировать неким аналогом ових формул, али за одноразмерным пространством.

Кориштенье, формула

Нека континуиране функции А, Б и С будут даны в било койой неотвореной области простора, а узимаючи у обзори било кой затворену површину койа je u određenom području and graniči neko tijelo, mož emo uzeti u obzir totalni sljedeći dio po površini:

Potrebno je pronaći takve vrijednosti A, B и C, tako da je za svaki x, y i z ovaj Integer jednak nuli.

Da biste to učinili, upotrijebite формула Остроградского-Гаусса. Jedan od pretpostavljenih uvjeta je sigurnost i kontinuitet funkcija A, B i C и njihovih izvedenica.

Također je potrebno posebno uvesti najviše zadano ograničenje za određeni slučaj: i tijelo i površina koje ga omeđuju moraju biti istovremeno садржани у орудиеном и специфическим подручом ю, названом единоставно споженом. Негова главная значимость je odsustvo praznog prostora (уключаючи и простор точки). Dakle, granica tijela bit će jedna i s tim jedna površina.

Nakon primjene формула, могуть je dobiti sljedeći uvjet, koji je dovoljan:

Da bi se dokazalo da je uvjet također nužan, dovoljno je koristiti diferencijaciju tro струког интеграла.

U zaključku, potrebno je reći o područjima uporabe.

Како se u praksi koristi формула Остроградского-Гаусса? Примьери употребить могу се начи на разным полем: извести неке формулу у физики (нпр. Дифузийска еднаджба), преобразовать интеграл, израчунати Гауссову интеграл, доказать неке формулу и йош многого.

Что такое дифференциальная форма теоремы Гаусса

Закон Гаусса является одной из основ физики. Речь идет о производстве электрических полей путем распределения зарядов по региону.

Закон Гаусса гласит, что поток, выходящий из поверхности, равен 1/ϵ0 заряда, заключенного в поверхности. Теорема Гаусса имеет различные приложения.

В этом учебном материале мы узнаем о дифференциальной форме теоремы Гаусса.

• Требуется симметричность распределения заряда.
• Электрическое поле должно быть симметричным, одинаковым и постоянным во всех точках гауссовой поверхности.
• Угол θ между векторами A и E должен быть одинаковым во всех точках поверхности.
• Поверхность Гаусса не должна проходить через какой-либо точечный заряд (заряд должен быть заключен в поверхность Гаусса).

Интегральное уравнение закона Гаусса:

∫E⋅dA = Q/ε0

Где,

E – вектор электрического поля

Q – вложенный электрический заряд

ε0 – электрическая проницаемость свободного пространства

A — направленный наружу вектор площади нормали

Поток — это мера напряженности поля, проходящего через поверхность. Электрический поток выражается как:

Φ = ∫E⋅dA

Поток является скалярной величиной.

Электрический поток определяется как мера количества силовых линий электрического поля, пересекающих площадь.

Единицей электрического потока в системе СИ является Нм2/Кл.

ΦE = E⋅S = EScosθ

Другое утверждение закона Гаусса гласит, что чистый поток электрического поля данной поверхности, разделенный заключенным зарядом, должен быть равен константе.

Согласно теореме Гаусса, электрический поток в замкнутой поверхности равен 1/ϵ0, умноженному на заряд, заключенный в поверхности.

Закон Гаусса представлен -.

Где «q» представляет собой общий заряд поверхности, а «∈0» представляет собой диэлектрическую проницаемость свободного пространства.

Теорема Гаусса имеет различные применения.

Уравнение дает напряженность электрического поля бесконечно длинного заряженного провода

E = λ/2π∈0r

где,

E = электрическое поле

λ = линейная плотность заряда

∈0 = диэлектрическая проницаемость свободного пространства плотность заряда , q обозначает общий заряд выбранной части, а L обозначает общую длину выбранной части).