Вектор: определение и основные понятия.
Определение вектора
Определение. Вектор — это направленный отрезок, то есть отрезок, имеющий длину и определенное направление. Графически вектора изображаются в виде направленных отрезков прямой определенной длины. (рис.1)
| рис. 1 |
Обозначение вектора
Вектор началом которого есть точка А, а концом — точка В, обозначается AB (рис.1). Также вектора обозначают одной маленькой буквой, например a.
Длина вектора
Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа |AB|.
Нулевой вектор
Определение. Нулевым вектором называется вектор, у которого начальная и конечная точка совпадают.
Нулевой вектор обычно обозначается как 0.
Длина нулевого вектора равна нулю.
Коллинеарные вектора
| рис. 2 |
Сонаправленные вектора
Определение. Два коллинеарных вектора a и b называются
| рис. 3 |
Противоположно направленные вектора
Определение. Два коллинеарных вектора a и b называются противоположно направленными векторами, если их направления противоположны: a↑↓b (рис. 4).
| рис. 4 |
Компланарные вектора
Определение. Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами. (рис. 5).| рис. 5 |
Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по-этому любые два вектора всегда компланарные.
Равные вектора
Определение. Вектора a и b называются равными, если они лежат на одной или параллельных прямых, их направления совпадают, а длины равны (рис. 6).
| рис. 6 |
То есть, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые и имеют равные длины:
a = b, если a↑↑b и |a| = |b|.
Единичный вектор
Определение. Единичным вектором или ортом — называется вектор, длина которого равна единице.
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Глава 15. Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Координаты вектора
Величины, характеризующиеся только числовым значением (масса, объем, плотность, стоимость и другие), называются
Величины, характеризующиеся и числовым значением, и направлением (сила, скорость, момент силы и другие), называются Векторными.
Определение
Вектор – это Направленный отрезок, на котором определены операции сравнения сложения и умножения на вещественное число. Векторы обозначаются так: A, , , .
(Рис. 2.1.1)
Рис. 2.1.1 | Рис. 2.1.2–а | Рис. 2.1.2–б |
Определение
Модуль
Определение
Векторы, лежащие на одной или на параллельных прямых, называются Коллинеарными.
Определение
Векторы Равны тогда и только тогда, когда они:
1. коллинеарны;
2. одинаково направлены;
3. имеют равные длины.
Вектор можно произвольно переносить параллельно самому себе, помещая его начало в любую точку пространства.
Вектор, длина которого равна нулю, называется Нулевым. Нулевой вектор не имеет определенного направления.
Определение
Векторы, лежащие в одной или в параллельных плоскостях, называются Компланарными
Линейные операции над векторами
1. Сложение векторов.
Определение
Суммой двух векторов A и B называется вектор C = a + b, начало которого совпадает с началом вектора A, а конец – с концом вектора B при условии, что начало вектора B совпадает с концом вектора A (рис. 3–а). Это правило сложения векторов называется еще “Правилом треугольника”.
Рис. 2.1.3–а | Рис. 2.1.3–б |
Вектор C = a + b можно построить также по “Правилу параллелограмма
Сумма векторов обладает как Переместительным свойством (рис. 2.1.3–б):
Так и Сочетательным (рис. 2.1.4):
(a + b) + c = a + (b + c). | (2.1.2) |
Рис. 2.1.4 |
Подобно построению суммы трех векторов можно построить сумму любого конечного числа векторов.
2. Умножение вектора на число
Определение
Произведением вектора A на число L называется вектор C = LA, удовлетворяющий следующим условиям:
1. ;
2. A коллинеарен вектору A;
3. , если > 0 и , если < 0.
Определение
Вектор называется Противоположным вектору .
Можно убедиться, что произведение вектора на число обладает следующими свойствами:
Определение
Вектор, длина которого равна единице, называется Единичным.
Определение
Вектор , имеющий длину, равную единице и параллельный вектору , называется
Из определения умножения вектора на число следует, что , т. е. каждый вектор равен произведению его модуля на орт (единичный вектор того же направления).
3. Вычитание векторов.
Определение
Разностью Векторов A и B называется такой вектор C = A – B, сумма которого с вычитаемым вектором B дает вектор A (рис. 2.1.5–а).
. | (2.1.4) |
Если на векторах A и B построить параллелограмм, то одна из диагоналей совпадает с суммой A + B, а другая – с разностью
Определение
Углом между векторами A И B называется наименьший угол , на который надо повернуть один из векторов до его совпадения со вторым (рис. 2.1.6).
Рис. 2.1.6 |
Проекция вектора на ось
Пусть даны в пространстве вектор и ось L. Точки M1 и N1 являются проекциями на ось L точек M и N (рис. 2.1.7).
Рис. 2.1.7
Определение
Проекцией вектора на ось l называется число, равное длине вектора , лежащего на этой оси, если параллелен
(2.1.5) |
Проекция вектора на ось обладает следующими свойствами:
Способы задания вектора
Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат. Положение точки M (рис. 2.1.8) определяется с помощью координат x, y и z: M(x, y,z).
Рис. 2.1.8 |
(2.1.7) |
Определение
Вектор называется Радиус–вектором
На каждой оси координат выберем единичный вектор, направленный также, как и ось. Обозначим эти векторы соответственно I, j, k. Совокупность этих векторов называется Базисом декартовой (прямоугольной) системы координат.
А) Задание вектора его координатами.
Определение
Координатами вектора A называются его проекции на координатные оси.
Где ax = , ay = , az = .
Из свойств проекций вектора на ось следует, что, если A = {ax, ay, az},
B = {bx, by, bz}, то A + B = {ax+bx, ay+by, az+bz}, A = { Ax, Ay, Az}, A – B = {ax–bx, ay–by, az–bz}. | (2.1.9) |
Зная координаты вектора A, можно вычислить его длину по формуле
(2.1.10) |
Векторы A = {ax, ay, az} и B = {bx, by, bz} коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны:
(2.1.11) |
Б) Задание вектора его разложением по базису.
Рассмотрим вектор A = (рис. 2.1.9).
Рис. 2.1.9
Тогда
MI + nJ + pK. | (2.1.12) |
Легко убедиться, что
M = ПрxA = ax, n = ПрyA = Ay, k = ПрzA = az. | (2.1.13) |
Окончательно
A = axI + ayJ + azK. | (2.1.14) |
Такое представление вектора называется его Разложением по базису I, J, K.
В) Задание вектора координатами его начала и конца.
Пусть , где M(x1,y1,z1), N(x2,y2,z2) (рис. 2.1.10).
Рис. 2.1.10
Векторы и имеют такие же координаты, как и точки M и N соответственно:
={x1, y1, z1}, ={x2, y2, z2}. | (2.1.15) |
Как следует из рис. 2.1.10, , тогда
A = {x2 x1, y2 y1, z2 z1}. | (2.1.16) |
Следовательно
Ax = x2 x1, ay = y2 y1, az = z2 z1. | (2.1.17) |
Расстояние между двумя точками определяется по формуле:
D = d(M, N) = .
Таким образом
D = . | (2.1.18) |
Г) Задание вектора его модулем и направляющими косинусами.
Направляющими косинусами вектора называются углы, которые образует этот вектор с осями OX, OY и OZ. Они обозначаются , и (рис. 2.1.11).
Рис. 2.1.11
Если известны углы , , , а также модуль (длина) вектора A, то координаты вектора можно найти по формулам:
Ax = cos , ay = cos , az = cos . | (2.1.19) |
Откуда
Определение
Cos , cos И cos Называются Направляющими косинусами вектора A.
Найдем сумму квадратов этих косинусов:
(2.1.21) |
Формула cos2 + cos2 + cos2 = 1 выражает связь между направляющими косинусами.
Пример
Даны начало M(3,–2,4) и конец N(5,0,3) вектора A = . Найти координаты этого вектора и его длину.
Решение
Ax = xN – xM = 5–3=2; ay = yN – yM = 0–(–2)=2; az = zN – zM = 3–4=–1. Итак, вектор A = {2,2,–1}. Вычислим длину вектора A:
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
вектор длина
Вы искали вектор длина? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и вычисление длины вектора, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «вектор длина».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как вектор длина,вычисление длины вектора,вычисление длины вектора по его координатам,вычисление длины вектора по его координатам доказательство,вычислить длину вектора,длина вектор,длина вектора,длина вектора c,длина вектора в пространстве,длина вектора как найти,длина вектора как обозначается,длина вектора модуль вектора,длина вектора определение,длина вектора по двум точкам,длина вектора по его координатам,длина вектора по координатам,длина вектора по координатам начала и конца,длина вектора по координатам точек,длина вектора по координатам формула,длина вектора равна,длина вектора равна квадратному корню из суммы его координат,длина вектора формула,длина вектора формула по координатам,длина вектора через координаты,длина вектора это,длина векторов,длина векторов по координатам,длина через координаты вектора,длину вектора,длины векторов,длины векторов как найти,как в прямоугольнике найти длины векторов,как вычислить длину вектора,как вычислить длину вектора по координатам,как зная координаты вектора найти его длину,как зная координаты найти длину вектора,как найти длина вектора,как найти длину вектора,как найти длину вектора ав,как найти длину вектора если известны его координаты,как найти длину вектора если известны координаты вектора,как найти длину вектора зная его координаты,как найти длину вектора зная его координаты начала и конца,как найти длину вектора зная координаты,как найти длину вектора зная координаты его начала и конца,как найти длину вектора и координаты,как найти длину вектора по двум точкам,как найти длину вектора по его координатам,как найти длину вектора по координатам,как найти длину вектора по координатам двух точек,как найти длину вектора по координатам начала и конца,как найти длину вектора формула,как найти длину вектора через координаты,как найти длину векторов,как найти длину и координаты вектора,как найти длины векторов,как найти длины векторов по координатам,как найти квадрат длины вектора,как найти координаты вектора если известна длина вектора,как найти координаты вектора зная длину,как найти координаты вектора зная его длину,как найти координаты вектора зная его длину и координаты начала,как найти координаты вектора и длину,как найти координаты вектора через длину,как найти координаты и длину вектора,как находить длину вектора,как обозначается длина вектора,как определить длину вектора,как определить длину вектора по координатам,как узнать длину вектора,как узнать длину вектора по координатам,квадрат длины вектора формула,координаты вектора длина вектора,модуль вектора длина вектора,модуль вектора определение,найдите длину и координаты вектора,найдите длины векторов,найти длину вектора,найти длину вектора по координатам,найти длину вектора по координатам точек,найти длину и координаты вектора,найти длину по координатам точек вектора,найти длины векторов,найти координаты вектора и длину,найти координаты и длину вектора,нахождение длины вектора,нахождение длины вектора по его координатам,определение вектора длина вектора,определение вектора длины,определение вектора длины вектора,определение длина вектора,определение длины вектора,определение модуль вектора,по координатам точек найти длину вектора,формула вычисления длины вектора,формула вычисления длины вектора по его координатам,формула длина вектора,формула длины вектора,формула длины вектора по его координатам,формула для вычисления длины вектора по его координатам,формула для нахождения длины вектора,формула как найти длину вектора,формула квадрат длины вектора,формула модуля вектора,формула нахождения длины,формула нахождения длины вектора,формула нахождения длины вектора по его координатам,чему равна длина вектора,что такое длина вектора. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и вектор длина. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, вычисление длины вектора по его координатам).
Где можно решить любую задачу по математике, а так же вектор длина Онлайн?
Решить задачу вектор длина вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.
Векторы в пространстве.
Векторы в пространстве
Цели урока
- Знать: определение вектора в пространстве и связанные с ним понятия; равенство векторов.
- Уметь: решать задачи по данной теме.
Физические величины
v
Скорость
Ускорение а
Перемещение s
Сила F
Вектор
напряженности
Электрическое поле
Е
+
Направление тока
Вектор магнитной
индукции
Магнитное поле
в
Понятие вектора появилось в 19 веке в работах математиков Г. Грассмана У. Гамильтона
Современная символика для обозначения вектора r была введена в 1853 году французским математиком О. Коши .
Задание
Записать все термины по теме «Векторы на плоскости».
Вектор
Нулевой вектор
Длина вектора
Коллинеарные векторы
Сонаправленные векторы
Противоположно направленные векторы
Равенство векторов
Определение вектора в пространстве
Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой- концом, называется вектором .
В
Обозначение вектора
АВ, с
с
А
ТТ
Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется
нулевым.
Обозначение нулевого вектора
ТТ, 0
0
Т
Длина ненулевого вектора
- Длиной вектора АВ называется длина отрезка АВ.
- Длина вектора АВ ( вектора а) обозначается так :
АВ , а
- Длина нулевого вектора считается равной нулю :
= 0
0
Определение коллинеарности векторов
- Два ненулевых вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Коллинеарные векторы
Сонаправленные векторы
Противоположно направленные векторы
Сонаправленные векторы
Сонаправленные векторы — векторы, лежащие
по одну сторону от прямой, проходящей через их начала.
Нулевой вектор считается сонаправленным с любым вектором.
Противоположно направленные векторы
Противоположно направленные векторы – векторы, лежащие по разные стороны от прямой, проходящей через их начала.
Какие векторы на рисунке сонаправленные? Какие векторы на рисунке противоположно направленные? Найти длины векторов АВ ; ВС; СС 1.
Сонаправленные векторы:
5 см
D 1
C 1
AA 1 BB 1 , A 1 D B 1 C
AB D 1 C 1
3 см
В 1
A 1
Противоположно-направленные:
CD D 1 C 1, CD AB,
DA BC
9 см
9 см
D
C
АВ = 5 см; ВС = 3 см; ВВ1 = 9 см.
3 см
A
B
5 см
Равенство векторов
Векторы называются равными , если они
сонаправлены и их длины равны .
С
В
АВ=ЕС, так как
АВ ЕС и АВ = ЕС
Е
А
Могут ли быть равными векторы на рисунке? Ответ обоснуйте.
- Рисунок № 1 Рисунок № 2
О
А
В
Н
К
А
М
С
АН=ОК, т. к АН ОК
АВ=СМ, т. к АВ = СМ
Противоположные векторы
Противоположные векторы – противоположно направленные векторы, длины которых равны.
Вектором, противоположным нулевому,
считается нулевой вектор.
Э
Э
Доказать , что от любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному, и притом только один
Дано: а, М.
Доказать: в = а, М в, единственный.
Доказательство:
К
Проведем через вектор а и точку
М плоскость.
М
В этой плоскости построим
МК = а.
а
Из теоремы о параллельности
прямых следует МК = а и М МК .
В
Решение задач
№ 322
Укажите на этом рисунке
все пары:
М
В 1
С 1
а) сонаправленных векторов
Д 1
А 1
К
ДК и СМ; C В и С 1 В 1 и Д 1 А 1;
б) противоположно направленных
векторов
СД и АВ; АД и СВ; АА 1 и СС 1; АД и Д 1 А 1; АД и С 1 В 1;
С
в) равных векторов
C В = С 1 В 1 ; Д 1 А 1 = С 1 В 1; ДК=СМ
А
Д
Решение задач
№ 321 (б)
Решение:
C 1
D 1
DC 1 =
B 1
A 1
DB =
DB 1 =
C
D
B
A
В
Решение задач
№ 323
Дано : точки М, N, P,Q – середины сторон
AB, AD, DC, BC ; AB = AD = DC = BC = DD=AC ;
D
а) выписать пары равных векторов;
MN = QP ; PN = QM ; DP = PC ;
б) определить вид четырехугольника
MNHQ .
Р
N
Решение: NP- средняя линия треугольника
ADC, NP = 0,5AC, NP\\AC ;
MQ- средняя линия тр . ABC, MQ = 0,5AC,
MQ\\AC,
А
С
NP=MQ, NP\\MQ .
PQ- средняя линия треугольника D В C ;
PQ = 0,5DB, PQ\\DB ;
Q
М
NM -средняя линяя треугольника ADB,
MN = 0,5DB, MN\\DB,
PQ=MN, PQ\\MN .
По условию все ребра тетраэдра равны , то он правильный и скрещивающиеся ребра в нем перпендикулярны.
DB перпендикулярно АС .
MNPQ-
квадрат
NP=MQ = PQ=MN
NP\\MQ
MN\\PQ
В
Решение задач
№ 326 (а , б , в)
Назовите вектор , который
получится , если отложить:
а) от точки С вектор , равный DD 1
М
С 1
В 1
К
D 1
А 1
CC 1 = DD 1
б) от точки D вектор , равный СМ
DK = CM
в) от точки А 1 вектор , равный АС
С
А 1 С 1 = АС
А
D
Домашнее задание
Стр. 84 – 85
№ 320 , 321(а) , 325.
Понятие вектора [wiki.eduVdom.com]
Вектором называется направленный отрезок, имеющий определенную длину, т. е. отрезок определенной длины, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а вторая — за конец. Если А — начало вектора и В — его конец, то вектор обозначается символом $\overrightarrow{АВ}$ (или $\overline{АВ}$). Обычно векторы обозначают одной малой латинской буквой со стрелкой (или с чертой) либо выделяют жирным шрифтом: $\overrightarrow{a}\,,\,\ \overline{a}\,,\,\ {\bf а}$ . Вектор изображается отрезком со стрелкой на конце (рис.1).
Рис.1
Длина вектора $\overrightarrow{АВ}$ называется его абсолютной величиной или модулем и обозначается символом $|\overrightarrow{АВ}|$.
Вектор $\overrightarrow{a}$, у которого $|\overrightarrow{a}| = 1$ , называется единичным.
Вектор называется нулевым (обозначается $\overrightarrow{0}$ или ${\bf 0}$), если начало и конец его совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю.
Векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
Два вектора $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. В этом случае пишут $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b}$ . Все нулевые векторы считаются равными.
Из определения равенства векторов непосредственно следует, что, каковы бы ни были вектор $\overrightarrow{a}$ и точка Р, существует, и притом единственный, вектор $\overrightarrow{PQ}$ с началом в точке Р, равный вектору $\overrightarrow{a}$ . В самом деле, существует лишь одна прямая, проходящая через точку Р и параллельная той прямой, на которой лежит вектор $\overrightarrow{a}$ . На указанной прямой существует единственная точка Q такая, что отрезок PQ имеет длину, равную длине вектора $\overrightarrow{a}$ , и направлен в ту же сторону, что и вектор $\overrightarrow{a}$ . Таким образом, вектор можно переносить параллельно самому себе, помещая его начало в любую точку плоскости.
Пример 1. Рассмотрим квадрат ABCD (рис. 120).
На основании определения равенства векторов можно записать $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{ВС} \,и\, \overrightarrow{АВ} = \overrightarrow{DC} \,,но\, \overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{AD}\,,\, \overrightarrow{ВС} \neq \overrightarrow{DC}\,,\, хотя \overrightarrow{|АВ|} = \overrightarrow{|AD|} = \overrightarrow{|ВС|} = \overrightarrow{|DC|} $ .
Пример 2. Какой вид имеет четырехугольник ABCDy если известно, что $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{ВС}$ ?
Решение. Из равенства $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{ВС}$ следует, что стороны AD и ВС в четырехугольнике равны и параллельны и, значит (теорема 2), он параллелограмм.
Два коллинеарных вектора (отличные от нулевых векторов), имеющие равные модули, но противоположно направленные, называются противоположными.
Вектор, противоположный вектору $\overrightarrow{a}$, обозначается $-\overrightarrow{a}$. Для вектора $\overrightarrow{AB}$ противоположным является вектор $\overrightarrow{BA}$ .
Модуль вектора
ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СВОЙСТВА
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА
Вектором называется направленный отрезок, то есть отрезок, у которого указаны начало (наз. также точкой приложения вектора) и конец.
МОДУЛЬ ВЕКТОРА
Длина направленного отрезка, изображающего вектор, называется длиной, или модулем, вектора. Длина вектора обозначается .
НУЛЬ-ВЕКТОР
Нуль-вектор () — вектор, начало и конец которого совпадают; его модуль равен 0, а направление неопределенное.
КООРДИНАТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
Пусть на плоскости задана декартова система координат XOY.
Тогда вектор может быть задан двумя числами:
и
Эти числа и в геометрии называют координатами вектора, а в физике – проекциями вектора на соответствующие оси координат.
При таком определении вектора его модуль , а направление задается углом , который однозначно определяется соотношениями:
и
Нуль-вектор: и
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В СИСТЕМЕ КООРДИНАТ, ЗАДАННОЙ ЕДИНИЧНЫМИ ВЕКТОРАМИ (ОРТАМИ)
Пусть на плоскости задана декартова система координат при помощи единичных векторов и :
Тогда вектор может быть задан следующим образом:
Очевидно, что:
и
При таком определении вектора его модуль , а направление задается углом , который однозначно определяется соотношениями:
и
Нуль-вектор:
КОЛЛИНЕАРНЫЕ ВЕКТОРЫ
Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.
РАВЕНСТВО ВЕКТОРОВ
Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаково направлены.
Все нуль-векторы считаются равными.
СУММА ВЕКТОРОВ
Суммой векторов и называют вектор , идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что начало вектора приложено к концу вектора . Происхождение этого правила связано с правилом параллелограмма сложения векторов, источником которого является экспериментальный факт сложения сил (векторных величин) по этому правилу.
Правило треугольника Правило параллелограмма
Координаты коллинеарных векторов удовлетворяют соотношению:
Координаты равных векторов удовлетворяют соотношениям:
и
Координаты вектора суммы двух векторов удовлетворяют соотношениям:
и
Координаты коллинеарных векторов удовлетворяют соотношению:
Координаты равных векторов удовлетворяют соотношениям:
и
Вектор суммы двух векторов:
Построение суммы нескольких векторов ясно из рисунка.
ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО
Произведением вектора на число называют вектор, коллинеарный вектору , имеющий длину, равную , и направление, совпадающее с направлением при > 0 и противоположное при ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ ВЕКТОРЫ
Вектор называется противоположным вектору и обозначается .
СВОЙСТВА ДЕЙСТВИЙ НАД ВЕКТОРАМИ
Операции сложения векторов и умножения вектора на число обладают след. свойствами:
1) ,
2) ,
3) ,
4),
5) ,
6) ,
7) ,
8).
Координаты вектора суммы нескольких векторов удовлетворяют соотношениям:
Координаты вектора произведения вектора на число удовлетворяют соотношениям:
Координаты противоположных векторов удовлетворяют соотношениям:
Сумма нескольких векторов:
Произведение вектора на число:
Вектор, противоположный :
Скалярное произведение векторов и (обозначается ) — скаляр, определяемый равенством , где — угол между векторами и , приведенными к общему началу:
Скалярное произведение векторов:
Скалярное произведение векторов:
ДОПОЛНЕНИЕ: ТИПЫ ВЕКТОРНЫХ ВЕЛИЧИН В ФИЗИКЕ.
Векторами называются такие геометрические и физические величины, которые однозначно определяются отрезками с заданным положением, направлением и длиной независимо от системы отсчета и подчиняются правилам I – IV (см. далее).
Вектор называется полярным в том случае, когда положение и направление изображающего его отрезка непосредственно дает положение и направление представляемой величины (радиус-вектор, скорость, ускорение, сила, импульс).
Вектор называется осевым (аксиальным) в том случае, если соотношение между представляемой величиной и изображающим ее отрезком устанавливается посредством задания некоторой оси и определенного направления вращения вокруг этой оси. Принято, чтобы направление выбранного на оси отрезка составляло с осью вращения правый винт (угловая скорость, момент сил, вращательные импульсы).
Длина отрезка – модуль вектора в определенном масштабе.
Различают свободные, скользящие и связанные векторы:
Свободные векторы можно произвольно переносить в любое другое параллельное положение, сохраняя при этом их направление и длину (напр., вектор скорости при поступательном движении тела).
Скользящие векторы неотделимы от несущей их прямой, от так называемой линии действия, но вдоль этой прямой они могут перемещаться произвольным образом (напр., угловая скорость; сила, приложенная к твердому телу).
Связанные векторы неотделимы от определенной точки, от так называемой точки приложения вектора (напр., скорость точки тела, движущегося произвольным образом).
Правила выполнения операций над векторами:
I. Два вектора, и равны друг другу, если они имеют одинаковое направление и одинаковую длину; равные скользящие векторы должны иметь, кроме этого, общую линию действия, а равные связанные векторы – общую точку приложения.
II. Вектор получается из вектора следующим образом: из точки приложения вектора откладывается в противоположном направлении отрезок с такой же длиной, как у вектора .
III. Вектор : при m 0 – модуль в m раз больше, при m 0 – по правилу II/
IV. Два вектора, и , имеющие общую точку приложения, складываются по правилу параллелограмма. Разность векторов: .
Правила сложения применимы без ограничения к свободным векторам, к скользящим – только в случае наличия у линий действия векторов общей точки. Во всех остальных случаях действуют другие правила сложения (см., например, условие равновесия твердого тела).
Физическая величина считается векторной, если она подчиняется правилам I – IV. В частности, такому требованию удовлетворяют две скорости, которым одновременно обладает одна и та же материальная точка, или угловые скорости твердого тела, одновременно вращающееся вокруг двух пересекающихся осей.
Достарыңызбен бөлісу:
Как найти длину вектора
Понятие длины вектора
Для того, чтобы разобраться с понятием длины вектора, прежде всего надо разобрать само понятие вектора. Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок. Введем следующее определение.
Определение 1
Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.
Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу — его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.
Определение 2
Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.
Обозначение: Двумя буквами: $\overline{AB}$ – (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).
Одной маленькой буквой: $\overline{a}$ (рис. 1).
Введем теперь, непосредственно, понятие длин вектора.
Определение 3
Длиной вектора $\overline{a}$ будем называть длину отрезка $a$.
Обозначение: $|\overline{a}|$
Понятие длины вектора связано, к примеру, с таким понятием, как равенство двух векторов.
Определение 4
Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям: 1. Они сонаправлены; 1. Их длины равны (рис. 2).
Готовые работы на аналогичную тему
Для того, чтобы определять векторы вводят систему координат и определяют координаты для вектора во введенной системе. Как мы знаем, любой вектор можно разложить в виде $\overline{c}=m\overline{i}+n\overline{j}$, где $m$ и $n$ – действительные числа, а $\overline{i}$ и $\overline{j}$ — единичные векторы на оси $Ox$ и $Oy$, соответственно.
Определение 5
Коэффициенты разложения вектора $\overline{c}=m\overline{i}+n\overline{j}$ будем называть координатами этого вектора во введенной системе координат. Математически:
$\overline{c}={m,n}$
Как найти длину вектора?
Для того, чтобы вывести формулу для вычисления длины произвольного вектора по данным его координатам рассмотрим следующую задачу:
Пример 1
Дано: вектор $\overline{α}$, имеющий координаты ${x,y}$. Найти: длину этого вектора.
Решение.
Введем на плоскости декартову систему координат $xOy$.2 }=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$
Складывая, получим
Ответ: $7\sqrt{2}+\sqrt{82}+2\sqrt{17}$
вектор | Определение и факты
Вектор , в математике, величина, которая имеет как величину, так и направление, но не положение. Примерами таких величин являются скорость и ускорение. В своей современной форме векторы появились в конце XIX века, когда Джозия Уиллард Гиббс и Оливер Хевисайд (из США и Великобритании соответственно) независимо разработали векторный анализ, чтобы выразить новые законы электромагнетизма, открытые шотландским физиком Джеймсом Клерком Максвеллом.С тех пор векторы стали незаменимыми в физике, механике, электротехнике и других науках для математического описания сил.
Векторы могут быть визуализированы как сегменты направленных линий, длина которых является их величиной. Поскольку только величина и направление вектора имеют значение, любой направленный сегмент может быть заменен сегментом такой же длины и направления, но начинающимся в другой точке, такой как начало системы координат. Векторы обычно обозначаются жирным шрифтом, например v.Величина или длина вектора обозначается как | v |, или v , что представляет собой одномерную величину (например, обычное число), известную как скаляр. Умножение вектора на скаляр изменяет длину вектора, но не его направление, за исключением того, что умножение на отрицательное число изменит направление стрелки вектора на противоположное. Например, умножение вектора на 1/2 приведет к тому, что вектор будет вдвое короче в том же направлении, а умножение вектора на -2 приведет к вектору вдвое большей длины, но с противоположным направлением.
Подробнее по этой теме
линейная алгебра: векторы и векторные пространства
Линейная алгебра обычно начинается с изучения векторов, которые понимаются как величины, имеющие как величину, так и направление. Вектор с …
Два вектора можно складывать или вычитать. Например, чтобы сложить или вычесть векторы v и w графически ( см. диаграмму), переместите каждый в начало координат и завершите параллелограмм, образованный двумя векторами; Тогда v + w — это один диагональный вектор параллелограмма, а v — w — другой диагональный вектор.
Есть два разных способа умножения двух векторов. Перекрестное или векторное произведение приводит к другому вектору, который обозначается как v × w. Величина перекрестного произведения равна | v × w | = v w sin θ , где θ — меньший угол между векторами (с их «хвостами», сложенными вместе). Направление v × w перпендикулярно как v, так и w, и его направление можно визуализировать с помощью правила правой руки, как показано на рисунке.Перекрестное произведение часто используется для получения «нормали» (линии, перпендикулярной) к поверхности в некоторой точке, и это происходит при вычислении крутящего момента и магнитной силы на движущейся заряженной частице.
Правило правой руки для векторного векторного произведенияОбычное, или точечное, произведение двух векторов — это просто одномерное число или скаляр. Напротив, перекрестное произведение двух векторов приводит к другому вектору, направление которого ортогонально обоим исходным векторам, как показано правилом правой руки.Величина или длина вектора векторного произведения определяется выражением v w sin θ , где θ — это угол между исходными векторами v и w .
Encyclopædia Britannica, Inc. Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчасДругой способ умножения двух векторов вместе называется скалярным произведением или иногда скалярным произведением, потому что в результате получается скаляр.Скалярное произведение равно v ∙ w = v w cos θ , где θ — меньший угол между векторами. Скалярное произведение используется для нахождения угла между двумя векторами. (Обратите внимание, что скалярное произведение равно нулю, когда векторы перпендикулярны.) Типичное физическое приложение — найти работу W , выполняемую постоянной силой F , действующей на движущийся объект d ; работа определяется как W = F d cos θ .
Величина и направление векторов
Величина вектора
Величина вектора п Q → это расстояние между начальной точкой п и конечная точка Q . В символах величина п Q → записывается как | п Q → | .
Если заданы координаты начальной и конечной точек вектора, то Формула расстояния можно использовать для определения его величины.
| п Q → | знак равно ( Икс 2 — Икс 1 ) 2 + ( у 2 — у 1 ) 2
Пример 1:
Найдите величину вектора п Q → чья начальная точка п Я сидел ( 1 , 1 ) и конечная точка находится в Q Я сидел ( 5 , 3 ) .
Решение:
Используйте формулу расстояния.
Подставьте значения Икс 1 , у 1 , Икс 2 , а также у 2 .
| п Q → | знак равно ( 5 — 1 ) 2 + ( 3 — 1 ) 2 знак равно 4 2 + 2 2 знак равно 16 + 4 знак равно 20 ≈ 4.5
Величина п Q → около 4.5 .
Направление вектора
Направление вектора — это мера угла, который он образует с горизонтальная линия .
Для определения направления вектора можно использовать одну из следующих формул:
загар θ знак равно у Икс , куда Икс горизонтальное изменение и у это вертикальное изменение
или
загар θ знак равно у 2 — у 1 Икс 2 — Икс 1 , куда ( Икс 1 , у 1 ) начальная точка и ( Икс 2 , у 2 ) конечная точка.
Пример 2:
Найдите направление вектора п Q → чья начальная точка п Я сидел ( 2 , 3 ) и конечная точка находится в Q Я сидел ( 5 , 8 ) .
Даны координаты начальной и конечной точек.Подставьте их в формулу загар θ знак равно у 2 — у 1 Икс 2 — Икс 1 .
загар θ знак равно 8 — 3 5 — 2 знак равно 5 3
Найдите обратный загар и воспользуйтесь калькулятором.
θ знак равно загар — 1 ( 5 3 ) ≈ 59 °
Вектор п Q → имеет направление около 59 ° .
4.12 Vectors
4.12 Vectors
Vectors in The Racket Guide представляет векторы.
Вектор — это массив фиксированной длины с доступом в постоянное время. и обновление векторных слотов, пронумерованных от 0 до на единицу меньше, чем количество слотов в векторе.
Два вектора равны? если они одинаковой длины, и если значения в соответствующих слотах векторов равны равный?.
Вектор может быть изменяемым или неизменным.Когда неизменяемый вектор предоставляется такой процедуре, как vector-set !, exn: fail: возникает исключение контракта. Векторы, созданные по умолчанию reader (см. Чтение строк) неизменны. Использовать неизменный? чтобы проверить, является ли вектор неизменным.
Вектор может использоваться как однозначная последовательность (см. Последовательности). Элементы вектора служат элементами последовательности. См. Также in-vector.
Буквальный или печатный вектор начинается с # (, необязательно с число между # и (.См. Чтение векторов для информации по чтению векторы и печать векторов для информации о векторах печати.
Возвращает #t, если v — вектор, в противном случае — #f.
Возвращает изменяемый вектор со слотами размера, где все слоты инициализирован, чтобы содержать v.
Эта функция требует времени, пропорционального размеру.
Возвращает вновь выделенный изменяемый вектор с таким количеством слотов, как предусмотрено vs, где слоты инициализируются для хранения заданного vs в порядок.
Возвращает вновь выделенный неизменяемый вектор с таким количеством слотов, как предусмотрено vs, где слоты содержат данное vs в порядок.
Возвращает длину vec (т. Е. Количество слотов в вектор).
Эта функция требует постоянного времени.
Возвращает элемент в позиции слота vec. Первый слот находится в позиции 0, а последний слот на единицу меньше, чем (вектор длины vec).Эта функция требует постоянного времени.
Обновляет позицию слота vec, чтобы он содержал v.
Эта функция требует постоянного времени.
Добавлен в версию 6.90.0.15 пакета base.
Операция сравнения и задания векторов.Смотрите box-cas !.Добавлен в версию 6.11.0.2 пакета base.
Возвращает список той же длины и элементов, что и vec.
Эта функция требует времени, пропорционального размеру vec.
Возвращает изменяемый вектор той же длины и элементов, что и lst.
Эта функция требует времени, пропорционального длине lst.
Возвращает неизменяемый вектор той же длины и элементов, что и vec. Если vec сам по себе неизменяемый, то он возвращается как результат.
Эта функция требует времени, пропорционального размеру vec, когда vec изменчив.
Изменяет все слоты vec, чтобы они содержали v.
Эта функция требует времени, пропорционального размеру vec.
Изменяет элементы dest, начиная с позиции dest-start соответствует элементам в src из src-start (включительно) до src-end (исключая). В векторы dest и src могут быть одним и тем же вектором, а в в этом случае целевой регион может перекрываться с исходным регионом; целевые элементы после копии соответствуют исходным элементам от до копии.Если какой-либо из dest-start, src-start или src-end находятся вне допустимого диапазона (с учетом учитывать размеры векторов, а также источник и место назначения регионов) возникает исключение exn: fail: contract.Эта функция занимает время, пропорциональное (- src-end src-start).
Примеры:
Возвращает end-pos — значения start-pos, которые элементы vec от start-pos (включительно) до end-pos (исключительный). Если start-pos или end-pos больше, чем (vector-length vec), или если конечная позиция меньше, чем начальная позиция, exn: fail: возникает исключение контракта.Эта функция требует времени, пропорционального размеру vec.
Создает вектор из n элементов, применяя процедуру к целые числа от 0 до (sub1 n) по порядку. Если vec — это результирующий вектор, затем (vector-ref vec i) — значение, созданное (proc i).Пример:
4.12.1 Дополнительные векторные функции
Возвращает #t, если v пусто (т.е. его длина равна 0), в противном случае — #f.
Добавлен в версию 7.4.0.4 пакета base.
Обновляет pos каждого слота vec, чтобы он содержал каждый v.Обновление происходит слева, поэтому более поздние обновления перезаписывают более ранние обновления.
Применяет proc к элементам vecs из первые элементы до последнего. Аргумент proc должен принимать такое же количество аргументов, как и количество предоставленных vecs, и все vecs должны иметь одинаковое количество элементов. В результат — это свежий вектор, содержащий каждый результат процедуры в порядок.
Пример:
Аналогично векторной карте, но результат процедуры вставлен в первое vec по индексу, которое аргументы proc были взяты из.Результат — первый vec.Примеры:
Создает новый вектор, содержащий все элементов данных векторов по порядку.
Пример:
Возвращает новый вектор, элементы которого являются первыми элементами pos vec. Если vec меньше, чем pos, то возникает исключение exn: fail: contract.Пример:
Возвращает новый вектор, элементы которого являются последними элементами pos в vec. Если vec меньше, чем pos, то возникает исключение exn: fail: contract.Пример:
Возвращает свежий вектор, элементы которого являются элементами vec. после первых элементов pos. Если у vec меньше чем элементы pos, то возникает исключение exn: fail: contract.Пример:
Возвращает новый вектор, элементы которого являются префиксом vec, опускает свой длинный хвост. Если у vec меньше чем элементы pos, то возникает исключение exn: fail: contract.Примеры:
Возвращает тот же результат, что и
(values (vector-take vec pos) (vector-drop vec pos))
, за исключением того, что это может быть быстрее.
Пример:
Возвращает тот же результат, что и
(values (vector-take-right vec pos) (vector-drop-right vec pos))
, за исключением того, что это может быть быстрее.
Пример:
Создает новый вектор размера (- конец начала) со всеми элементы vec от начала (включительно) до конец (исключительный).Примеры:
Возвращает новый вектор с элементами vec, для которых pred дает истинное значение. Предварительная процедура применяется к каждому элементу от первого до последнего.
Пример:
Как векторный фильтр, но значение предиката перевернуто: результатом является вектор всех элементов, для которых пред возвращает #f.Пример:
Возвращает количество элементов вектора … (взятых в parallel), на котором proc не оценивается как #f.Примеры:
Возвращает первый элемент непустого вектора vec, который минимизирует результат прока.
Примеры:
Возвращает первый элемент непустого вектора vec, который максимизирует результат прока.
Примеры:
Находит первый равный элемент vec? к v. Если такой элемент существует, индекс этого элемента в vec возвращается. В противном случае результат будет #f.Примеры:
Примеры:
Подобно сортировке, но работает с векторами; а свежий вектор длины (- конец начала) равен возвращается, содержащий элементы из индексов от начала (включительно) до конца (исключая) vec, но в отсортированном порядке (т. е. vec без изменений). Этот сорт стабилен (т. Е. Порядок «равных» элементы сохранены).Примеры:
Добавлено в версии 6.6.0.5 пакета base.
Аналогично векторной сортировке, но обновляет индексы от начала (включительно) до конца (исключая) of vec, отсортировав их по критерию «меньше чем?» процедура.Примеры:
Добавлено в версии 6.6.0.5 пакета base.
ALAFF Векторная 2-норма (евклидова длина)
Блок 1.2.3 Векторная 2-норма (евклидова длина)
Длина вектора обычно измеряется как «квадратный корень из суммы квадратов элементов», также известный как евклидова норма.2. \ end {массив} \ end {уравнение *}
Извлечение квадратного корня (возрастающая функция, которая, следовательно, поддерживает неравенство) из обеих частей дает желаемый результат.
На протяжении этого курса мы будем рассуждать о подвекторах и подматрицах. Попрактикуемся:
Домашнее задание 1.2.3.3.
Разбиение \ (x \ in \ Cm \) на подвекторы:
\ begin {уравнение *} х = \ left (\ begin {array} {c} x_0 \\ \ hline x_1 \\ \ hline \ vdots \\ \ hline x_ {M-1} \ end {array} \ right).2 \ text {.} \) Извлечение квадратного корня из обеих частей показывает, что \ (\ | x_i \ | _2 \ leq \ | х \ | _2. \)
Ссылка на схемуMIT — векторы
Ссылка на схему MIT — ВекторыПерейти к первому, предыдущему, следующему, последнему разделу оглавления.
Векторы — это гетерогенные структуры, элементы которых индексируются точные неотрицательные целые числа. Вектор обычно занимает меньше места чем список такой же длины, и среднее время, необходимое для доступа случайно выбранный элемент обычно меньше для вектора, чем для список.
Длина вектора — это количество содержащихся в нем элементов. Это число является точным неотрицательным целым числом, которое фиксируется, когда вектор создан. Действительные индексы вектора являются точными неотрицательные целые числа меньше длины вектора. Первый элемент в векторе индексируется нулем, а последний элемент индексируется на единицу меньше длины вектора.
Векторы записываются с использованием обозначения # ( объект ...) .
Например, вектор длины 3, содержащий число ноль в элементе
0, список (2 2 2 2) в элементе 1 и строка «Анна» в элементе 2 можно записать как
# (0 (2 2 2 2) «Анна»)
Обратите внимание, что это внешнее представление вектора, а не выражение, вычисляющее вектор. Как и константы списка, vector константы должны быть указаны в кавычках:
'# (0 (2 2 2 2) «Анна») => # (0 (2 2 2 2) «Анна»)
Некоторые векторные процедуры работают с подвекторами.А подвектор — это сегмент вектора, заданный двумя точными неотрицательные целые числа, начало и конец . Start — это индекс первого элемента, включенного в подвектор, и конец на единицу больше, чем индекс последнего элемента, который включены в подвектор. Таким образом, если начало и конец являются то же самое, они относятся к нулевому подвектору, и если start равен нулю и конец — длина вектора, они относятся ко всему вектору.Действительные индексы подвектора — это точные целые числа между начало включительно и конец исключение.
- процедура: make-vector k [объект]
- Возвращает вновь выделенный вектор из k элементов. Если объект указано,
make-vectorинициализирует каждый элемент вектора на объект . В противном случае исходные элементы результата неопределенные.
- процедура: вектор объект …
- Возвращает вновь выделенный вектор, элементами которого являются заданные аргументы.
Вектор
(вектор 'a' b 'c) => # (a b c)
- процедура +: вектор-копия вектор
- Возвращает вновь выделенный вектор, который является копией вектора .
- процедура: список-> вектор список
- Возвращает вновь выделенный вектор, инициализированный элементами список . Обратный к
list-> vectorбудетvector-> list.(список-> вектор '(дидидит дах)) => # (дидидит дах)
- процедура +: make-initialized-vector k инициализация
- Аналогично
make-vector, за исключением того, что элементы результата определяются путем вызова процедуры инициализации на индексы.Например:(сделать-инициализированный-вектор 5 (лямбда (x) (* x x))) => # (0 1 4 9 16)
- procedure +: vector-grow vector k
- K должен быть больше или равен длине вектора .
Возвращает вновь выделенный вектор длиной k . Первый
(длина вектора вектор )элемента результата инициализируется из соответствующих элементов вектора .В остальные элементы результата не указаны.
- процедура +: векторная карта векторная процедура
- Процедура должна быть процедурой с одним аргументом.
векторная картаприменяет процедуру поэлементно к элементам вектора и возвращает вновь выделенный вектор результатов в порядке слева направо верно. Динамический порядок, в котором процедура применяется к элементы вектора не указаны.(векторная карта '# ((a b) (d e) (g h)) cadr) => # (b e h) (vector-map '# (1 2 3 4) (lambda (n) (expt n n))) => # (1 4 27 256) (векторная карта '# (5 7 9) +) => # (5 7 9)
- процедура: вектор? объект
- Возвращает
#t, если объект является вектором; в противном случае возвращается#f.
- процедура: длина вектора вектор
- Возвращает количество элементов в векторе .
- процедура: vector-ref vector k
- Возвращает содержимое элемента k вектора . K должен
быть допустимым индексом вектора .
(вектор-ссылка '# (1 1 2 3 5 8 13 21) 5) => 8
- процедура: векторный набор! векторный объект k
- Сохраняет объект в элементе k вектора и возвращает
неуказанное значение. K должен быть действительным индексом вектор .
(пусть ((vec (вектор 0 '(2 2 2 2) «Анна»))) (vector-set! vec 1 '("Сью" "Сью")) vec) => # (0 («Сью» «Сью») «Анна»)
- процедура +: сначала вектор вектор
- процедура +: вектор-секунда вектор
- процедура +: вектор-третий вектор
- процедура +: вектор-четвертый вектор
- процедура +: вектор-пятая вектор
- процедура +: вектор-шестой вектор
- процедура +: вектор-седьмой вектор
- процедура +: вектор-восьмой вектор
- Эти процедуры обращаются к нескольким первым элементам вектора в очевидный способ.Будет ошибкой, если неявный индекс одного из этих процедуры не является допустимым индексом вектор .
- процедура +: векторный двоичный поиск векторный ключ
- Ищет в векторе элемент с ключом, совпадающим с ключом , ключом ,
возвращает элемент, если он найден, или
#f, если его нет. В операция поиска занимает время, пропорциональное логарифму длины вектор . Unwrap-key должна быть процедурой, отображающей каждый элемент вектора на ключ. Ключ должна быть процедурой, которая реализует полный порядок ключей элементов.(определить (перевести число) (vector-binary-search '# ((1. i) (2. ii) (3. iii) (6. vi)) <номер машины)) (перевести 2) => (2. ii) (перевести 4) => #F
- процедура +: подвектор начало вектора конец
- Возвращает вновь выделенный вектор, содержащий элементы вектор между началом индекса (включительно) и концом (эксклюзив).
- процедура +: vector-head vector end
- Эквивалентно
(подвектор вектор 0 конец )
- процедура +: вектор-хвост начало вектора
- Эквивалентно
(подвектор вектор начало (длина вектора вектор ))
- процедура: вектор-заливка! векторный объект
- процедура +: subvector-fill! Начальный конечный объект вектора
- Сохраняет объект в каждом элементе вектора (подвекторе) и возвращает неопределенное значение.
- процедура +: subvector-move-left! вектор1 начало1 конец1 вектор2 начало2
- процедура +: подвектор-движение-вправо! вектор1 начало1 конец1 вектор2 начало2
- Деструктивно копирует элементы vector1 , начиная с индекса start1 (включительно) и заканчивая end1 (исключая), в вектор2 , начиная с индекса start2 (включительно). Vector1 , start1 и end1 должны указывать допустимый
subvector, а start2 должен быть допустимым индексом для vector2 .
Длина исходного подвектора не должна превышать длину vector2 минус индекс start2 .
Элементы копируются следующим образом (обратите внимание, что это важно только тогда, когда vector1 и vector2 — это
eqv?):-
подвектор-движение-влево! - Копия начинается с левого края и движется вправо (от меньшего индексы на большие).Таким образом, если вектор1 и вектор2 являются то же самое, эта процедура перемещает элементы влево внутри вектор.
-
подвектор-движение-вправо! - Копия начинается с правого конца и движется влево (от большего индексы в меньшие). Таким образом, если вектор1 и вектор2 являются то же самое, эта процедура перемещает элементы вправо внутри вектор.
-
- процедура +: сортировать! векторная процедура
- Процедура должна быть процедурой из двух аргументов, которая определяет итого порядка по элементам вектора .Элементы вектор переупорядочены так, чтобы они были отсортированы в указанном порядке
по процедуре . Элементы переставляются по местам, то есть вектор деструктивно модифицируется так, что его элементы находятся в
новый заказ.
сортировка!возвращает вектор в качестве своего значения.См. Также определение
sort.
Перейти к первому, предыдущему, следующему, последнему разделу оглавления.
Векторное определение | DeepAI
Что такое вектор?
Вектор — это математический объект, кодирующий длину и направление. Концептуально их можно рассматривать как представление положения или даже изменения в некоторой математической структуре или пространстве. Более формально они являются элементами векторного пространства: набор объектов, закрытый согласно правилу сложения и правилу умножения на скаляры.
Вектор часто представляется как одномерный массив чисел, называемый компонентами, и отображается либо в форме столбца, либо в форме строки.Представленные геометрически, векторы обычно представляют координаты в n-мерном пространстве, где n — количество измерений. Упрощенное представление вектора может быть стрелкой в векторном пространстве с началом, направлением и величиной (длиной).
Как работают векторы?
В качестве основных единиц вычислительной арифметики векторы могут быть преобразованы с использованием базовой математики. Например, векторы можно складывать, вычитать и умножать на. Например, сложение вектора может быть обозначено как:
а + Ь = (а1 + Ь1, а2 + Ь2, а3 + Ь3)
Кроме того, можно определить несколько правил умножения векторов.Одно из таких произведений — поточечное произведение и обозначается аналогичным образом:
.a * b = (a1 * b1, a2 * b2, a3 * b3)
Кроме того, скалярное произведение векторов может вычислить сумму умноженных элементов двух векторов одинаковой длины, чтобы получить скаляр:
а. б = (а1 * в1 + а2 * в2 + а3 * в3)
Другие векторные произведения, такие как перекрестное произведение или внешнее произведение, могут быть определены другими способами.
Векторы и машинное обучение
Векторы обычно используются в машинном обучении, поскольку они предоставляют удобный способ организации данных.Часто одним из первых шагов в создании модели машинного обучения является векторизация данных.
Они также во многом составляют основу некоторых методов машинного обучения. В частности, одним из примеров является машина опорных векторов. Машина опорных векторов анализирует векторы в n-мерном пространстве, чтобы найти оптимальную гиперплоскость для заданного набора данных. По сути, машина опорных векторов попытается найти линию, которая имеет максимальное расстояние между наборами данных обоих классов.Это позволяет классифицировать будущие точки данных с достоверностью руды из-за повышенного армирования.
Источник изображения
Векторы против скаляров
Вектор — это структура данных, содержащая как минимум два компонента, в отличие от скаляра, который имеет только один. Например, вектор может представлять скорость, идея, которая объединяет скорость и направление: скорость ветра = (50 миль в час, 35 градусов к северо-востоку). С другой стороны, скаляр может представлять что-то с одним значением, например, температурой или высотой: 50 градусов Цельсия, 180 сантиметров.Следовательно, мы можем представить двумерные векторы в виде стрелок на графике x-y, с координатами x и y, каждая из которых представляет одно из значений вектора.
векторов, графическое представление векторов, величина вектора, направление вектора
Векторы могут быть графически представлены направленными линейными сегментами. Длина выбрана в соответствии с некоторым масштабом, чтобы представить величину вектора , а направление направленного отрезка линии представляет направление вектора .Например, если мы допустим, что 1 см представляет 5 км / ч, тогда ветер со скоростью 15 км / ч с северо-запада будет представлен направленным отрезком линии длиной 3 см, как показано на рисунке слева.
A Вектор на плоскости — это направленный отрезок прямой. Два вектора эквивалентны , если они имеют одинаковую величину и направление .
Рассмотрим вектор, проведенный из точки A в точку B. Точка A называется начальной точкой вектора, а точка B называется конечной точкой .Символическое обозначение этого вектора (читай «вектор AB»). Векторы также обозначаются жирными буквами, такими как u, v и w. Четыре вектора на рисунке слева имеют одинаковую длину и направление. Таким образом, они представляют эквивалентных векторов; то есть
В контексте векторов мы используем = для обозначения эквивалента.
Длина, или звездной величины , выражается как ||. Чтобы определить, эквивалентны ли векторы, мы находим их величины и направления.
Пример 1 Векторы u, и w показаны на рисунке ниже. Покажем, что u = = w.
Решение Сначала мы находим длину каждого вектора, используя формулу расстояния:
| u | = √ [2 — (-1)] 2 + (4 — 3) 2 = √9 + 1 = √10,
|| = √ [0 — (-3)] 2 + [0 — (-1)] 2 = √9 + 1 = √10,
| w | = √ (4-1) 2 + [-1 — (-2)] 2 = √9 + 1 = √10.
Таким образом,
| u | = | = | ш |.
Кажется, что векторы u, и w движутся в одном направлении, поэтому мы проверяем их наклон.Если все линии имеют одинаковый наклон, векторы имеют одинаковое направление. Мы вычисляем наклоны:
Поскольку u, и w имеют одинаковую величину и одинаковое направление,
u = = w.
Имейте в виду, что эквивалентность векторов требует только одинаковой величины и одного направления, а не одного и того же местоположения. На иллюстрациях слева каждая из первых трех пар векторов не эквивалентна. Четвертый набор векторов является примером эквивалентности.
Предположим, человек делает 4 шага на восток, а затем 3 шага на север.Затем он или она будет в 5 шагах от начальной точки в направлении, показанном слева. Вектор длиной 4 единицы, указывающий вправо, представляет 4 шага на восток, а вектор длиной 3 единицы и направленный вверх представляет 3 шага на север. Сумма двух векторов представляет собой вектор с 5 шагами по величине и в показанном направлении. Сумма также называется результирующих двух векторов.
В общем, два ненулевых вектора u и v можно сложить геометрически, поместив начальную точку v в конечную точку u, а затем найдя вектор, который имеет ту же начальную точку, что и u, и ту же конечную точку, что и v, как показано на следующем рисунке.
Сумма — это вектор, представленный направленным отрезком прямой от начальной точки A отрезка u до конечной точки C отрезка v. То есть, если u = и v =, то
u + v = + =
Мы также можем описать сложение векторов, сложив начальные точки векторов вместе, завершив параллелограмм и найдя диагональ параллелограмма. (См. Рисунок слева внизу.) Это описание сложения иногда называют законом параллелограмма сложения векторов.Сложение векторов коммутативно. Как показано на рисунке справа внизу, и u + v, и v + u представлены одним и тем же направленным отрезком линии.
Если две силы F 1 и F 2 действуют на объект, объединенный эффект является суммой или равнодействующей F 1 + F 2 отдельных сил.
Пример 2 Силы в 15 и 25 ньютонов действуют на объект под прямым углом друг к другу. Найдите их сумму или равнодействующую, указав величину равнодействующей и угол, который она образует с большей силой.
Решение Мы рисуем рисунок — на этот раз прямоугольник — используя v или для представления результата. Чтобы найти величину, воспользуемся теоремой Пифагора:
| v | 2 = 15 2 + 25 2 Здесь | v | обозначает длину или величину v.
| v | = √15 2 + 25 2
| v | ≈ 29,2.
Чтобы найти направление, отметим, что, поскольку OAB — прямоугольный треугольник,
tanθ = 15/25 = 0,6.
С помощью калькулятора находим θ, угол, который образует результирующая с большей силой:
θ = tan — 1 (0,6) ≈ 31 °
Результирующая имеет величину 29,2 и составляет угол 31 ° с большей силой.
Пилоты должны корректировать направление своего полета при боковом ветре. И ветер, и скорость самолета можно описать векторами.
Пример 3 Скорость и направление самолета. Самолет летит по пеленгу 100 ° со скоростью 190 км / ч, а ветер дует 48 км / ч со скоростью 220 °. Найдите путевую скорость самолета и направление его траектории или курса относительно земли.
Решение Сначала делаем рисунок. Ветер представлен как, а вектор скорости самолета — как.Результирующий вектор скорости равен v, сумме двух векторов. Угол θ между v и называется углом сноса .
Обратите внимание, что размер COA = 100 ° — 40 ° = 60 °. Таким образом, размер CBA также составляет 60 ° (противоположные углы параллелограмма равны). Поскольку сумма всех углов параллелограмма равна 360 °, а COB и OAB имеют одинаковую величину, каждый должен быть 120 °. По закону косинусов в автономной адресной книге мы имеем
| v | 2 = 48 2 + 190 2 — 2.48.190.cos120 °
| v | 2 = 47 524
| v | = 218
Таким образом, | v | 218 км / ч. По закону синусов в том же треугольнике,
48 / sinθ = 218 / sin 120 ° ,
или
sinθ = 48.sin120 ° / 218 ≈ 0,1907
θ ≈ 11 °
Таким образом, θ = 11 ° с точностью до градуса. Путевая скорость самолета составляет 218 км / ч, а его колея идет в направлении 100 ° — 11 °, или 89 °.
Для вектора w мы можем найти два других вектора u и v, сумма которых равна w.Векторы u и v называются компонентами вектора w, а процесс их поиска называется , разрешающим или представляющим вектор на его компоненты вектора.
При разрешении вектора мы обычно ищем перпендикулярные компоненты. Чаще всего один компонент будет параллелен оси x, а другой — оси y. По этой причине их часто называют горизонтальными и вертикальными компонентами вектора.На рисунке ниже вектор w = разрешен как сумма u = и v =.
Горизонтальная составляющая w равна u, а вертикальная составляющая v.
Пример 4 Вектор w имеет величину 130 и наклонен на 40 ° относительно горизонтали. Разложите вектор на горизонтальные и вертикальные компоненты.
Решение Сначала мы сделаем чертеж, показывающий горизонтальные и вертикальные векторы u и v, сумма которых равна w.
Из ABC находим | u | и | v | используя определения функций косинуса и синуса:
cos40 ° = | u | / 130, или | u | = 130.cos40 ° ≈ 100,
sin40 ° = | v | / 130 или | v | = 130.sin40 ° ≈ 84.
Таким образом, горизонтальный компонент w равен 100 вправо, а вертикальный компонент w равен 84 вверх.
