Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия

Привалов И.И. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1966. — 272 с. Учебник для студентов высших технических заведений. Содержит разделы: Аналитическая геометрия на плоскости, Аналитическая геометрия в пространстве. Много решенных примеров и задач. Оглавление ВВЕДЕНИЕ ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ ГЛАВА I. МЕТОД КООРДИНАТ § 2. Координаты на прямой линии. § 3. Расстояние между двумя точками на прямой линии. § 4. Прямоугольные координаты на плоскости. § 5. Расстояние между двумя точками на плоскости. § 6. Деление отрезка в данном отношении. § 7. Угол между двумя осями. § 8. Основные положения теории проекций. § 9. Проекции направленного отрезка на оси координат. § 10. Площадь треугольника. § 11. Полярные координаты. Упражнения ГЛАВА II. ЛИНИИ И ИХ УРАВНЕНИЯ § 1. Составление уравнений заданных линий. § 2. Геометрический смысл уравнений. § 3. Две основные задачи. § 4. Пересечение двух линий. § 5. Параметрические уравнения линий. § 6. Уравнения линий в полярных координатах. ГЛАВА III. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ § 1. Угловой коэффициент прямой. § 2. Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом. § 3. Геометрический смысл уравнения первой степени между двумя переменными. § 4. Исследование общего уравнения первой степени Ах + Ву + С = 0. § 5. Уравнение прямой линии в отрезках. § 6. Построение прямой линии по ее уравнению. § 7. Угол между двумя прямыми. § 8. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. § 9. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. § 10. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. § 11. Уравнение пучка прямых. § 12. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. § 13. Условие, при котором три данные точки лежат на одной прямой. § 14. Нормальное уравнение прямой линии. § 15. Приведение общего уравнения первой степени к нормальному виду. § 16. Расстояние от дайной точки до данной прямой. § 17. Уравнение прямой в полярной системе координат. Упражнения ГЛАВА IV. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ § 2. Окружность. § 3. Эллипс. § 4. Гипербола и ее асимптоты. § 5. Парабола. § 6. Построение точек эллипса, гиперболы и параболы посредством циркуля и линейки. § 7. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения. § 8. Эксцентриситет и директрисы эллипса. § 9. Эксцентриситет и директрисы гиперболы. § 10. Эксцентриситет и директриса параболы. § 11. Уравнение конического сечения в полярных координатах. § 12. Диаметры зллипса. Сопряженные диаметры. § 13. Диаметры гиперболы. Сопряженные диаметры. § 14. Диаметры параболы. § 15. Касательная. § 16. Эллипс как проекция окружности. § 17. Параметрические уравнения эллипса. Упражнения ГЛАВА V. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ. КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНИЙ § 2. Перенос начала координат. § 3. Поворот осей координат. § 4. Общий случай. § 5. Некоторые приложения формул преобразования координат. § 6. Преобразование общего уравнения второй степени, не содержащего произведения переменных. § 7. Преобразование общего уравнения второй степени. § 8. Классификация линий. Упражнения ГЛАВА VI. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-го и 3-го ПОРЯДКА § 2. Однородная система двух уравнений с тремя неизвестными. § 3. Определители 3-го порядка. § 4. Основные свойства определителей 3-го порядка. § 5. Система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными. § 6. Однородная система. § 7. Общее исследование системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными. § 8. Некоторые приложения определителей к аналитической геометрии. Упражнения ЧАСТЬ ВТОРАЯ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ГЛАВА I. МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ § 2. Основные задачи. § 3. Основные положения теории проекций в пространстве. § 4. Вычисление угла между двумя осями в пространстве. Упражнения ГЛАВА II. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ § 2. Сложение векторов. § 3. Вычитание векторов. § 4. Умножение вектора на число. § 5. Проекции вектора. § 6. Действия над векторами, заданными своими проекциями. § 7. Скалярное произведение векторов. § 8. Основные свойства скалярного произведения. § 9. Скалярное произведение векторов, заданных проекциями. § 10. Направление вектора. § 11. Векторное произведение. § 12. Основные свойства векторного произведения. § 13. Векторное произведение векторов, заданных проекциями. § 14. Векторно-скалярное произведение. § 15. Векторно-скалярное произведение в проекциях. § 16. Двойное векторное произведение. Упражнения ГЛАВА III. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ § 1. Уравнение поверхности. § 2. Геометрический смысл уравнений. § 3. Две основные задачи. § 4. Сфера. § 5. Цилиндрические поверхности. § 6. Уравнения линии в пространстве. § 7. Пересечение трех поверхностей. Упражнения ГЛАВА IV. ПЛОСКОСТЬ § 1. Нормальное уравнение плоскости. § 2. Геометрический смысл уравнения первой степени между тремя переменными. Приведение общего уравнения первой степени к нормальному виду. § 3. Исследование общего уравнения плоскости. § 4. Уравнение плоскости в отрезках. § 5. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку. § 6. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки. § 7. Угол между двумя плоскостями. § 8. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. § 9. Точка пересечения трех плоскостей. § 10. Расстояние от точки до плоскости. Упражнения ГЛАВА V. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ § 1. Уравнения прямой линии. § 2. Прямая как линия пересечения двух плоскостей. Общие уравнения прямой. § 3. Угол между двумя прямыми линиями. § 4. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. § 5. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки. § 6. Угол между прямой и плоскостью. § 7. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. § 8. Уравнение пучка плоскостей. § 9. Пересечение прямой с плоскостью. § 10. Условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости. Упражнения ГЛАВА VI. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ И КОНИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ. ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ. ПОВЕРХНОСТИ 2-го ПОРЯДКА § 1. Классификация поверхностей. § 2. Цилиндрические поверхности (общий случай). § 3. Конические поверхности. § 4. Поверхности вращения. § 5. Эллипсоид. § 6. Однополостный гиперболоид. § 7. Двуполостный гиперболоид. § 8. Эллиптический параболоид. § 9. Гиперболический параболоид. § 10. Конус 2-го порядка. § 11. Цилиндры 2-го порядка. § 12. Прямолинейные образующие поверхностей 2-го порядка. Конструкции В. Г. Шухова. Упражнения Ответы

Умножение вектора на число | Учебно-методическое пособие по геометрии (8, 9 класс):

1 вариант Начертите два неколлинеарных вектора  так, что длина  равна 3 см, длина вектора  равна 2 см. Постройте вектор . В параллелограмме KMNP выразите через векторы  и , векторы  и , где А – точка, лежащая на PN такая, что PA: AN=2:1, B – середина MN.	2 вариант Начертите два неколлинеарных вектора  так, что длина  равна 8 см, длина вектора  равна 3 см. Постройте вектор . В параллелограмме ABCD выразите через векторы  и  векторы  и , где N – точка, лежащая на AD такая, что AN: ND=2:1, M – середина MN.
1 вариант Начертите два неколлинеарных вектора  так, что длина  равна 3 см, длина вектора  равна 2 см. Постройте вектор . В параллелограмме KMNP выразите через векторы  и , векторы  и , где А – точка, лежащая на PN такая, что PA: AN=2:1, B – середина MN.	2 вариант Начертите два неколлинеарных вектора  так, что длина  равна 8 см, длина вектора  равна 3 см. Постройте вектор . В параллелограмме ABCD выразите через векторы  и  векторы  и , где N – точка, лежащая на AD такая, что AN: ND=2:1, M – середина MN.
1 вариант Начертите два неколлинеарных вектора  так, что длина  равна 3 см, длина вектора  равна 2 см. Постройте вектор . В параллелограмме KMNP выразите через векторы  и , векторы  и , где А – точка, лежащая на PN такая, что PA: AN=2:1, B – середина MN.	2 вариант Начертите два неколлинеарных вектора  так, что длина  равна 8 см, длина вектора  равна 3 см. Постройте вектор . В параллелограмме ABCD выразите через векторы  и  векторы  и , где N – точка, лежащая на AD такая, что AN: ND=2:1, M – середина MN.
1 вариант Начертите два неколлинеарных вектора  так, что длина  равна 3 см, длина вектора  равна 2 см. Постройте вектор . В параллелограмме KMNP выразите через векторы  и , векторы  и , где А – точка, лежащая на PN такая, что PA: AN=2:1, B – середина MN.	2 вариант Начертите два неколлинеарных вектора  так, что длина  равна 8 см, длина вектора  равна 3 см. Постройте вектор . В параллелограмме ABCD выразите через векторы  и  векторы  и , где N – точка, лежащая на AD такая, что AN: ND=2:1, M – середина MN.
1 вариант Начертите два неколлинеарных вектора  так, что длина  равна 3 см, длина вектора  равна 2 см. Постройте вектор . В параллелограмме KMNP выразите через векторы  и , векторы  и , где А – точка, лежащая на PN такая, что PA: AN=2:1, B – середина MN.	2 вариант Начертите два неколлинеарных вектора  так, что длина  равна 8 см, длина вектора  равна 3 см. Постройте вектор . В параллелограмме ABCD выразите через векторы  и  векторы  и , где N – точка, лежащая на AD такая, что AN: ND=2:1, M – середина MN.
1 вариант Начертите два неколлинеарных вектора  так, что длина  равна 3 см, длина вектора  равна 2 см. Постройте вектор . В параллелограмме KMNP выразите через векторы  и , векторы  и , где А – точка, лежащая на PN такая, что PA: AN=2:1, B – середина MN.	2 вариант Начертите два неколлинеарных вектора  так, что длина  равна 8 см, длина вектора  равна 3 см. Постройте вектор . В параллелограмме ABCD выразите через векторы  и  векторы  и , где N – точка, лежащая на AD такая, что AN: ND=2:1, M – середина MN.

Определение величины в физике.

(существительное)

Число, присвоенное вектору, указывающее его длину.

• Умножение векторов на скаляр

  • Умножение вектора на скаляр изменяет величину вектора, но не направление.
  • Чтобы умножить вектор на скаляр, просто умножьте аналогичные компоненты, то есть модуль вектора на модуль скаляра .
  • Это приведет к новому вектору с тем же направлением, но произведением двух величин .
  • Например, если у вас есть вектор A с определенной величиной и направлением, умножив его на скаляр a с величиной 0,5, вы получите новый вектор с величиной , вдвое меньшей исходной.
  • Сила представляет собой вектор с величиной и величиной , зависящей от скаляра, известного как масса, и его направления вниз.

• Скаляры против векторов

  • Для векторов требуется две части информации: величина и направление .
  • Напротив, для скаляров требуется только величина .
  • Векторы требуют как величины , так и направления.
  • Величина вектора — это число для сравнения одного вектора с другим.
  • Чем больше величина , тем длиннее стрелка.

• Расчет порядка величины

  • Такие различия порядка величины могут быть измерены по логарифмической шкале в «десятилетиях» или в десятикратном размере.
  • Порядок величины физической величины равен ее величине в десятых степенях, когда физическая величина выражается в десятых степенях с одной цифрой слева от десятичной дроби.
  • Порядки величины обычно используются для очень приблизительных сравнений и отражения очень больших различий.
  • Если два числа отличаются на один порядок величины , одно примерно в десять раз больше другого.
  • Если они различаются на два порядка по величине , то они различаются примерно в 100 раз.

• Силы в двух измерениях

  • Например, при определении того, что происходит, когда две силы действуют на один и тот же объект, необходимо знать как величину , так и направление обеих сил для расчета результата.
  • В этом простом одномерном примере, не зная направления сил, невозможно решить, является ли результирующая сила результатом сложения двух сил величин или вычитания одного из другого.
  • величина равнодействующей изменяется от разности величин двух сил до их суммы, в зависимости от угла между их линиями действия.
  • В идеале эти диаграммы рисуются с углами и относительными величины векторов силы сохранены, так что графическое сложение векторов может быть выполнено для определения результирующей силы.
  • Силы разрешаются и складываются вместе, чтобы определить их величины и результирующую силу.

• Введение в скаляры и векторы

  • Вектором является любая величина, имеющая как величину , так и направление, тогда как скаляр имеет только величину .
  • Совершенно не меняется при смене направления; следовательно, у него 9Только магнитуда 0012 .
  • В то время как смещение определяется как направлением, так и величиной , расстояние определяется только величиной .
  • Вектор — это любая величина, имеющая как величину, , так и направление.
  • Это любая величина, которая может быть выражена одним числом и имеет величину , но не имеет направления.

• Астрономическое отступление: величины

  • Астрономы обычно говорят о потоке объекта с точки зрения величины .
  • Величина обычно определяется как
  .
  • Погсон эмпирически определил значение «2,5», сравнив звездных величин выдающихся наблюдателей 1800-х годов.
  • Он очень близок к $\ln 10 \приблизительно 2,3$, поэтому изменение звездной величины на 0,1 соответствует примерно десятипроцентному изменению потока.
  • Если $g(\nu) = 1$, то величина называется «болометрической величиной «.

• Практическое отступление — Ордены величины

  • Одним из самых важных инструментов, которыми располагает астрофизик с картой, является оценка порядка звездной величины .
  • Оценка порядка величины сочетает в себе отсутствие строгости размерного анализа с отсутствием точности отслеживания только показателей степени; это облегчает умножение в вашей голове!

• Компоненты вектора

  • Векторы являются геометрическими представлениями величины и направления и могут быть выражены в виде стрелок в двух или трех измерениях.
  • Векторы — это геометрические представления величины и направления, которые часто представляются прямыми стрелками, начинающимися в одной точке координатной оси и заканчивающимися в другой точке.
  • Все векторы имеют длину, называемую величиной , которая представляет интересующее качество, так что вектор можно сравнить с другим вектором.
  • Вектор определяется его звездная величина и ее ориентация относительно набора координат.
  • Для трехмерных векторов компонент величины одинаков, но компонент направления выражается через $x$, $y$ и $z$.

• Единичные векторы и умножение на скаляр

  • Умножение вектора на скаляр равносильно умножению его величины на число.
  • Скаляры отличаются от векторов тем, что они представлены звездная величина , но без направления.
  • При умножении вектора на скаляр направление вектора не изменяется, а величина умножается на величину скаляра.
  • Единичный вектор — это вектор с длиной или величиной единиц.

• Положение, перемещение, скорость и ускорение как векторы

  • Векторы представляют собой комбинацию величины и направления и изображаются в виде стрелок.
  • Длина представляет собой величину , а направление этой величины является направлением, в котором указывает вектор.
  • Когда инверсия масштаба умножается на нарисованную величину , она должна равняться фактической величине .
  • Скорость также определяется с точки зрения величины и направления.
  • При рисовании вектора величина важна только как способ сравнения двух векторов с одинаковыми единицами измерения.

Определение и значение умножения — Merriam-Webster

мультипликация ˌməl-tə-plə-ˈkā-shən 

1

: действие или процесс умножения : состояние умножения

2

а

: математическая операция, которая в простейшем случае представляет собой сокращенный процесс прибавления целого числа к нулю заданное число раз и распространяется на другие числа в соответствии с законами, действующими для целых чисел

б

: любая из различных математических операций, которые в чем-то аналогичны умножению действительных чисел, но определены для других или более крупных наборов элементов (таких как комплексные числа, векторы, матрицы или функции)

Синонимы

• накопление
• накопление
• дополнение
• увеличение
• собирает грибы
• распространение

Просмотреть все синонимы и антонимы в тезаурусе 

Примеры предложений

Студенты изучают умножение и деление. болезнь, вызывающая неконтролируемое размножение клеток неуправляемый умножение клеток

Недавние примеры в Интернете Эти математики впервые выучили умножение и деление. — Лиззи Акер, oregonlive , 10 января 2023 г. Команда DeepMind обучила AlphaTensor разлагать тензоры, представляющие умножение матриц до 12 на 12. — Бен Брубейкер, Quanta Magazine , 23 ноября 2022 г. умножение потребностей и расширение рынков приносят увеличение — не только товаров, но и точек зрения, разговоров и взглядов. — Кори Робин, The New York Review of Books , 17 ноября 2022 г. Умножение на их достоинств среди игроков будут передаваться из поколения в поколение. — Джимми Вигфилд, al , 19 октября 2022 г. Пример умножения матрицы на от DeepMind, с причудливыми скобками и разноцветными кругами чисел. — Бендж Эдвардс, Ars Technica , 13 октября 2022 г. Смешивание означает не смешивание, а создание новых синтезов, и умножение нитей натяжения. — Разиб Хан, Discover Magazine , 30 октября 2012 г. В таких странах, как Китай и Россия, дети изучают более сложные понятия, такие как , умножение и алгебру, в более раннем возрасте, когда их ум гибок. — Ананья Бхаттачарья, Кварц , 5 января 2023 г. Если ученик хорошо разбирается в умножение и деление, тогда дроби и десятичные числа даются легче, что в конечном итоге переносится в алгебру и предалгебру, сказал Томас. — Морган Краков, Anchorage Daily News , 4 декабря 2022 г. Узнать больше

Эти примеры предложений автоматически выбираются из различных онлайн-источников новостей, чтобы отразить текущее использование слова «умножение». Мнения, выраженные в примерах, не отражают точку зрения Merriam-Webster или ее редакторов. Отправьте нам отзыв.

История слов

Этимология

Среднеанглийское multiplicacioun , от англо-французского multiplicacion , от латинского умножение-, умножение , от multiplicare до умножения

Первое известное использование

14 век, в значении, определенном в смысле 1

Путешественник во времени

Первое известное использование умножение было в 14 веке

Посмотреть другие слова того же века

Словарные статьи Около

умножение

умножать

умножение

танец умножения

Посмотреть другие записи поблизости

Процитировать эту запись «Умножение».

Словарь Merriam-Webster.com , Merriam-Webster, https://www.merriam-webster.com/dictionary/multiplication. По состоянию на 20 февраля 2023 г. существительное

мультипликация ˌməl-tə-plə-ˈkā-shən 

1

: действие или процесс умножения другого номера

умножение 8 и 3 равно сумме 8+8+8

Еще от Merriam-Webster на

умножение

Английский: Перевод умножение для говорящих на испанском языке

Британский английский: Перевод умножение на арабский язык

Последнее обновление: 10 фев.