§1. Определение вектора. Операции над векторами — ЗФТШ, МФТИ

1. Основные определения

Удивительно, но с векторными величинами разной природы (перемещением, скоростью, силой, импульсом и др.) можно работать в значительной мере единообразно — как с геометрическими объектами — геометрическими векторами, или просто векторами, хотя есть и нюансы (см. ниже).

Вектор пред­ставляет собой направленный отрезок прямой, для которого определены правила (законы) сложения с другими векторами, правило вычитания векторов, правило умножения вектора на число, скалярное произведение двух векторов и некоторые другие операции.

Стрелка компаса — не вектор, т. к. для неё нет таких операций.

Мы будем рассматривать векторы на плоскости и в соответствии со сложившейся традицией обозначать их латинскими буквами со стрелками наверху, например: `vec v`, `vec F`, `vec a`, `vec b` и т. п. Часто в целях экономии используют упрощённое обозначение — букву с чертой, например, `bar v` или `bar F`.

Одну из граничных точек вектора называют его началом, а другую — концом. Направление вектора задаётся от начала к концу, причём на чертеже конец вектора отмечают стрелкой. Начало вектора называют также точкой его приложения. Если точка `A` является нача­лом вектора `vec a`, то мы будем говорить, что вектор `vec a` приложен в точке `A` (рис. 2).

Число, выражающее длину направленного отрезка, называют модулем вектора и обозначают той же буквой, что и сам вектор, но без стрелки наверху, например: модулем вектора `vec v` является число `v`. Часто для обозначения модуля вектора прибегают к помощи знака абсолютной величины и пишут, например, `|vec v|` или `|vec F|`.

Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают. Нулевой вектор не имеет определённого направления и его длина (модуль) равна нулю.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Так, например, на рис. 3 векторы `vec a`, `vec b` и `vec c` коллинеарны. 

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

На рис. 4 слева изображены неравные векторы `vec a` и `vec f`, `vec g` и `vec h`, а справа — равные векторы `vec p` и `vec q`. Точка приложения геометрического вектора `vec a`

 может быть выбрана произвольно. Мы не различаем двух равных векторов, имеющих разные точки приложения и получающихся один из другого параллельным переносом. В соответствии с этим векторы, изучаемые в геометрии, называют свободными (они определены с точностью до точки приложения).

В физике точка приложения вектора иногда имеет  принципиальное значение. Достаточно вспомнить рычаг: две равные по модулю силы, направленные в одну и ту же сторону, производят на рычаг разное действие, если плечи сил не равны друг другу. И всё же сами силы равны друг другу! Бывают и случаи, когда вектору трудно приписать конкретную точку приложения. Например, если одна система отсчёта движется  относительно другой со скоростью `vec v`, то какой точке  приписать эту скорость?  Всем точкам движущейся системы!

2. Сложение двух векторов.

Пусть даны два произвольных вектора `vec a` и `vec b` (рис. 5а). 

Для нахождения их суммы нужно перенести вектор `vec b` параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с концом вектора `vec a`. Тогда вектор, проведённый из начала вектора `vec a` в конец перенесённого вектора `vec b`, и будет являться суммой `vec a` и `vec b`. На рис. 5б — это вектор `vec c`.

Описанное правило есть просто определение суммы векторов. Как и в случае с числами, сумма векторов не зависит от порядка слагаемых, и поэтому можно записать

`vec c = vec a + vec b = vec b + vec a`.                                                 (1)

Приведённое выше правило геометрического сложения векторов называется правилом треугольника.

Сумма векторов может быть найдена и по правилу параллелограмма. В этом случае параллельным переносом нужно совместить начала векторов `vec a` и `vec b` и построить на них, как на сторонах,  параллелограмм. Тогда сумма `vec a` и `vec b` будет представлять собой диагональ этого параллелограмма, конкретно — суммой `vec a` и `vec b` будет вектор, начало которого совпадает с общим началом векторов `vec a` и `vec b` конец расположен в противоположной вершине параллелограмма, а длина равна длине указанной диагонали (рис. 5в).

Оба способа сложения дают идентичный результат и одинаково часто применяются на практике. Когда речь идёт о нахождении суммы трёх и более векторов, часто последовательно используют  правило  треугольника. Поясним сказанное.

3. Сложение трёх и более векторов. 

Пусть нужно сложить три вектора `vec a`, `vec b` и `vec d` (рис. 6). 

Для этого  по правилу треугольника сначала находится сумма любых двух векторов, например `vec a` и `vec b`, потом полученный вектор `vec c = vec a + vec b` по тому же правилу складывается с третьим  вектором  `vec d`.@`, хотя складывать температуры (числа) никто не запрещает. Всё же чаще всего сумма температур представляет собой никому не нужную величину; она редко входит в какие-либо уравнения (входит почти случайно).

Иное дело – с массой. Если система состоит из тел с массами `m_1`, `m_2`, `m_3` и т. д., то масса всей системы равна `m = m_1 + m_2 + m_3 + ` и т. д. (Если на лифте написано, что максимальный груз, перевозимый лифтом, равен `500` кг, то перед входом в лифт нужно убедиться, что сумма масс вносимых в лифт грузов не превышает `500` кг.) Говорят, что масса – есть аддитивная величина (от английского слова add – добавлять, прибавлять, складывать). А вот температура – не аддитивная величина.

Сила есть аддитивная векторная величина. Если к телу в точке (или к системе тел в разных точках!) приложены силы `vec(F_1)`, `vec(F_2)`, `vec(F_3)` и т. д., то сумма векторов сил `vec(F_1) + vec(F_2) + vec(F_3) + …` есть осмысленная и даже очень нужная величина. Например, в условиях равновесия тела сумма всех приложенных к нему сил `vec(F_1) + vec(F_2) + vec(F_3) + … = 0`, даже если силы приложены в разных точках тела. Причём это относится не только к твёрдым телам. Если нитка подвешена за два конца к двум гвоздям, а в промежутке перекинута еще через какие-нибудь гвозди, то сначала нужно найти силы со стороны каждого из гвоздей и  силу со стороны Земли (силу тяжести) `vec F_1`, `vec(F_2)`, `vec(F_3)`, `…`; при этом говорят, что к нитке приложена сумма сил `vec(F_1) + vec(F_2) + vec(F_3) + …`; в условиях равновесия эта сумма будет равна нулю.

Не так со скоростями. Если система состоит из двух частиц, имеющих в некоторый момент времени скорости `vec(v_1)` и `vec(v_2)`, то это не означает, что в этот момент вся система обладает скоростью равной векторной сумме `vec(v_1) + vec(v_2)`. Никто не запрещает складывать векторы скорости разных частиц; но с точки зрения физики вектор `vec(v_1) + vec(v_2)` ничему приписать нельзя. В этом смысле скорость — не аддитивная величина. Суммой скоростей (векторной суммой) интересуются, когда одно движение накладывается на другое (например, Земля вращается вокруг Солнца, но вместе с Солнцем движется вокруг центра Галактики). А вот сумма скоростей отдельных частиц системы (например, сумма скоростей звезд в Галактике) физического интереса не представляет.

Родственная скорости величина, с которой вы еще не раз встретитесь в курсе физики, импульс материальной точки, равный произведению массы на скорость, `vec p = m vec v` снова — величина аддитивная.

В последнем равенстве мы встречаемся с умножением вектора на скаляр. Поясним эту процедуру.

4. Умножение вектора на скаляр. 

Произведением вектора `vec a` на число `k` называют новый вектор `vec b = k vec a`, коллинеарный вектору `vec a`, направленный в ту же сторону, что и вектор `vec a`, если `k > 0`, и в противоположную сторону

, если `k < 0`, а модуль `b` равен

 `b = |k| a`                                                                                (2)

где `|k|` — абсолютная величина числа `k`. 

Если два вектора коллинеарны, то они отличаются только скалярным множителем. Наоборот, если два вектора отличаются только ска­лярным множителем, не равным  нулю, то они коллинеарны.      

В случае, когда `k = 0` или `vec a = 0`, произведение `k vec a` представляет собой нулевой  вектор,  направление которого не определено.

Если `k = 1`, то согласно (2) `vec b = vec a` и векторы `vec a` и `vec b` равны (рис. 8а).

При `k = — 1` получим `vec b = — vec a`. Вектор `- vec a` имеет модуль, равный модулю вектора `vec a`, но направлен в противоположную сторону (рис. 8б).

Два  вектора,  противоположно  направленные и имеющие  равные длины, называются противоположными.

Импульс тела `vec p = m vec v` коллинеарен вектору скорости и направлен с ней в одну сторону, т. к. массы всех тел положительны. Чуть ранее говорилось об аддитивности импульса. Если система состоит из материальных точек с массами `m_1`, `m_2`, `m_3`, `…`, которые в некоторый момент времени имели скорости `vec(v_1)`, `vec(v_2)`, `vec(v_3)`, `…`, т. е. имели импульсы `vec(p_1) = m_1 vec(v_1)`, `vec(p_2) = m_2 vec(v_2)`, `vec(p_3) = m_3 vec(v_3)`, `…`, то вся система в этот момент обладает импульсом  

`vec p = vec(p_1) + vec(p_2) + vec(p_3) + … = m_1 vec(v_1) + m_2 vec(v_2) + m_3 vec(v_3) + …`.

При этом каждое из слагаемых здесь должно быть найдено по правилу умножения вектора (скорости данной частицы) на скаляр (её массу), а затем все эти векторы должны быть сложены, например, по правилу многоугольника.

5. Разность двух векторов.

Вычесть из вектора `vec a` вектор `vec b` означает прибавить к вектору `vec a` вектор   `- vec b`:

`vec a — vec b = vec a + (- vec b)`;

см. рис.  9а, 9б.

Сложение и вычитание векторов.

Определение.

Сложение векторов (сумма векторов) a + b есть операция вычисления вектора c, все элементы которого равны попарной сумме соответствующих элементов векторов a и b, то есть каждый элемент вектора c равен:

с_i = a_i + b_i

Определение.

Вычитание векторов (разность векторов) a — b есть операция вычисления вектора c, все элементы которого равны попарной разности соответствующих элементов векторов a и b, то есть каждый элемент вектора c равен:

с_i = a_i — b_i

Формулы сложения и вычитания векторов

Формулы сложения и вычитания векторов для плоских задач

В случае плоской задачи сумму и разность векторов a = {a_x ; a_y} и b = {b_x ; b_y} можно найти воспользовавшись следующими формулами:

a + b = {a_x + b_x; a_y + b_y}

a — b = {a_x — b_x; a_y — b_y}

Формулы сложения и вычитания векторов для пространчтвенных задач

В случае пространственной задачи сумму и разность векторов a = {a_x ; a_y ; a_z} и b = {b_x ; b_y ; b_z} можно найти воспользовавшись следующими формулами:

a + b = {a_x + b_x; a_y + b_y; a_z + b_z}

a — b = {a_x — b_x; a_y — b_y; a_z — b_z}

Формулы сложения и вычитания n -мерных векторов

В случае n -мерного пространства сумму и разность векторов a = {a₁ ; a₂ ; … ; a_n} и b = {b₁ ; b₂ ; … ; b_n} можно найти воспользовавшись следующими формулами:

a + b = {a₁ + b₁; a₂ + b₂; … ; a_n + b_n}

a — b = {a₁ — b₁; a₂ — b₂; … ; a_n — b_n}

Сложение и вычитание векторов.

Сложение и вычитание векторов.

Сумма двух векторов. Законы сложения векторов. Правило параллелограмма.

Представим себе такую ситуацию. Направляясь из школы домой, вам захотелось пить и вы решили зайти сначала в магазин, а затем уже домой. Цель достигнута: вы из школы добрались домой. Сейчас мы описали принцип первого правила сложения векторов.

Правило треугольника.

Чтобы найти вектор суммы двух векторов и , нужно:

1. совместить параллельным переносом начало вектора с концом вектора ;

2. провести вектор из начала вектора в конец вектора ;

3. получившийся вектор и есть вектор суммы: .

Если к вектору прибавить нулевой вектор по правилу треугольника, то получим вектор , т.е. справедливо равенство: .

Утверждение. Если и – произвольные точки, то .

Например, .

Сложение векторов подчиняется алгебраическим законам.

ТЕОРЕМА. Для любых векторов и справедливы равенства:

(переместительный закон)

(сочетательный закон).

Дано:

Доказать: 1)

2)

Доказательство.

Доказательство теоремы в случае, когда векторы коллинеарны достаточно простое. Его вы можете провести самостоятельно. Мы рассмотрим случай, когда данные векторы неколлинеарны.

1). Отметим произвольную точку и отложим от этой точки вектор . Воспользуемся правилом треугольника и прибавим к нему вектор . Вектором суммы этих двух векторов является вектор . (Рисунок слева).

Теперь от точки и отложим вектор . По правилу треугольника прибавим к нему вектор . Вектором суммы этих двух векторов является вектор . (Рисунок справа).

– параллелограмм и точка совпадает с точкой . Значит, , т.е.

2
). От точки отложим вектор , от точки отложим вектор , а от точки – вектор . Найдём суммы векторов по правилу треугольника.

Теорема доказана.

При доказательстве первой формулы получился параллелограмм, причём, из точки выходят два вектора и , а вектор их суммы является диагональю параллелограмма. На основе этого возникает второе правило геометрического сложения векторов.

Правило параллелограмма.

Чтобы найти вектор суммы двух векторов и , нужно:

1. совместить параллельным переносом начала векторов и ;

2. на этих векторах достроить параллелограмм;

3. вектором суммы является вектор, который лежит на диагонали параллелограмма, имеющий своё начало в начале исходных векторов.

Сумма нескольких векторов.

Сложение нескольких векторов происходит по принципу правила треугольника. Складываются два вектора, к вектору суммы прибавляется следующий вектор и т.д. Приведём пример.

Сложить векторы .

О тметим точку и отложим от неё вектор . Прибавим к нему вектор по правилу треугольника. . Теперь к вектору прибавим вектор . . К вектору прибавляем вектор . . Осталось к вектору прибавить вектор . .

Итак, . Значит, суммой векторов является вектор, с началом в начале первого вектора и концом – в конце последнего. Такое сложение векторов называется правилом многоугольника.

Правило многоугольника.

Чтобы найти вектор суммы нескольких векторов, нужно:

1. последовательно совместить параллельным переносом начало последующего вектора с концом предыдущего;

2. вектором суммы всех векторов является вектор, с началом в начале первого вектора и концом – в конце последнего.

Вычитание векторов.

Определение. Разностью двух векторов и называется такой вектор , что при сложении его с вектором получается вектор .

В ычитание векторов можно производить, руководствуясь двумя понятиями: следствием из правила треугольника сложения векторов; определением разности двух чисел. Разберём каждое из них.

Сложим векторы и по правилу треугольника. По рисунку видно, что . Отсюда, и . Значит, разность двух векторов можно составить, совмещая их начала, либо совмещая их концы. Отсюда два правила:

I правило вычитания векторов.

Чтобы найти вектор разности двух векторов, нужно:

1. совместить параллельным переносом начала этих векторов;

2. вектором разности является вектор с началом в конце второго вектора и концом в конце первого вектора.

II правило вычитания векторов.

Чтобы найти вектор разности двух векторов, нужно:

1. совместить параллельным переносом концы этих векторов;

2. вектором разности является вектор с началом в начале первого вектора и концом в начале второго вектора.

Далее, из алгебры мы знаем, что для того, чтобы из числа вычесть число , нужно к числу прибавить число, противоположное числу , т.е. . Такое же правило справедливо и для векторов.

ТЕОРЕМА. Для любых векторов справедливо равенство:

Дано:

Доказать:

Доказательство.

1. Найдём разность векторов по I правилу. Вектором разности является вектор (рисунок слева). А теперь найдём сумму векторов по правилу треугольника, где – вектор, противоположный вектору . Вектором суммы является вектор (рисунок справа). Не трудно заметить, что . Они сонаправлены и имеют одинаковые модули.

2. А теперь докажем то же самое аналитически. По определению разности векторов,

Что и требовалось доказать.

Из этой теоремы следует третье правило вычитания векторов.

III правило вычитания векторов.

Чтобы найти вектор разности двух векторов, нужно к первому вектору прибавить вектор, противоположный второму.

Используя это правило вычитания векторов, способ сложения векторов выбирается произвольно.

1. В ектор является суммой векторов и . Определите, какой из четырёх рисунков верный.

1. Проведите векторы . Какая геометрическая фигура у вас получилась?

2. В ектор является разностью векторов и . Определите, какой из четырёх рисунков верный.

1. В ектор является суммой векторов и . Определите, какой из четырёх рисунков верный.

1. В ыразите вектор через векторы , используя рисунок.

1. В ыразите вектор через векторы , используя рисунок.

1. Упростите выражения:

2. Длина вектора равна , а длина вектора равна . Сколько различных целых значений может принимать длина вектора ?

3. Длина вектора равна , а длина вектора равна . Сколько различных целых значений может принимать длина вектора ?

4. Длина вектора равна , а длина вектора равна . Сколько различных целых значений может принимать длина вектора ?

5. Длина вектора равна , а длина вектора равна . Сколько различных целых значений может принимать длина вектора ?

6. Длина вектора равна , а длина вектора равна . Сколько различных целых значений может принимать длина вектора ?

7. В квадрате проведены диагонали и . Укажите номера верных утверждений.

8. – параллелограмм. Найдите сумму векторов .

9. – прямоугольник. Диагонали и пересекаются в точке . Укажите номера верных утверждений.

10. – параллелограмм. Выразите векторы и через векторы и .

1. – параллелограмм. Выразите векторы и через векторы и .

1. – прямоугольник. Выразите векторы и через векторы и .

1. – параллелограмм. Выразите векторы и через векторы и .

1. Н айдите длины векторов , изображённых на клетчатой бумаге с размерами клетки 1 х 1.

1. Д ве стороны прямоугольника равны 20 и 21. Найдите длину суммы векторов и .

1. Д ве стороны прямоугольника равны 7 и 24. Найдите длину разности векторов и .

1. Н а каждом рисунке найдите длину вектора (размеры клетки 1 х 1).

1. Н а каждом рисунке найдите длину суммы векторов и (размеры клетки 1 х 1).

1. Н а каждом рисунке найдите длину разности векторов и , изображённых на клетчатой бумаге с размерами клетки 1 х 1.

5

Сумма двух векторов / Векторы / Справочник по геометрии 7-9 класс

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по геометрии 7-9 класс
4. Векторы
5. Сумма двух векторов

Рассмотрим два вектора и и найдем их сумму. Для этого отметим произвольную точку А и отложим от этой точки вектор , равный . Затем от точки В отложим вектор , равный . Вектор , равный вектору , называется суммой векторов и .

Данное правило сложения векторов называется правилом треугольника (рисунок поясняет это название).

Сумма векторов и обозначается так: + .

Результат сложения (сумма) векторов и не зависит от выбора точки, от которой откладывается вектор .

Доказательство

Дано: = , = .

Доказать: = .

Доказательство:

Допустим, что точки А, В, А₁, точки В, С, В₁ и точки А, С, А₁ не лежат на одной прямой. Из равенства = следует, что стороны АВ и А₁В₁ четырехугольника АВВ₁А₁ равны и параллельны, т.к. равные векторы сонаправлены и их длины равны, поэтому этот четырехугольник — параллелограмм. Поэтому АА₁ = ВВ₁, значит, и . Аналогично из равенства  = следует, что четырехугольник ВСС₁В₁ — параллелограмм. Поэтому .

Итак, , , следовательно, . Поэтому АА₁С₁С — параллелограмм, и, значит, = . Что и требовалось доказать.

Складывая по правилу треугольника произвольный вектор с нулевым вектором, получаем, что для любого вектора справедливо равенство + = .

Правило треугольника можно сформулировать и так:

Если А, В и С — произвольные точки, то + = .

Данное правило справедливо для произвольных точек А, В и С, даже в том случае, когда две из них или даже все три совпадают.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Понятие вектора

Равенство векторов

Откладывание вектора от данной точки

Законы сложения векторов. Правило параллелограмма

Сумма нескольких векторов

Вычитание векторов

Произведение вектора на число

Применение векторов к решению задач

Средняя линия трапеции

Векторы

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 759, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 772, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 789, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 18, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 801, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 802, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 807, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 904, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 909, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 3, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

---

© budu5.com, 2021

Пользовательское соглашение

Copyright

Сумма двух векторов

Начнём с примера.

Под действием воздушных масс воздушный шар сначала двигался из точки А в точку B, а затем из точки B переместился в точку C.

Каждое из этих двух перемещений можно представить в виде вектора  и .

Но можно ведь сказать, что в результате воздушный шар из точки А попал в точку C. И это перемещение задает вектор .

Так как перемещение из точки А в C складывается из перемещений из точки А в B и из B в C, то можно записать, что вектор .

Этот пример подводит нас к понятию суммы двух векторов.

Рассмотрим два ненулевых вектора:  и .

Отметим произвольную точку А и отложим от неё вектор . Далее от точки B отложим вектор .

Можем изобразить вектор , который называется суммой векторов  и . Сумму векторов обозначают так .

Данное правило сложения векторов будем называть правилом треугольника.

Вы могли усомниться, что точку А, действительно, можно выбирать произвольно.

Докажем это.

Найдём сумму векторов  и , но начнём откладывать их от некоторой точки А₁.

 

Нам необходимо доказать, что полученный вектор .

Из построений очевидно, что векторы

,  параллелограмм 

Аналогично, из равенства векторов

,  параллелограмм  

Из полученных равенств получаем, что равны ,

 параллелограмм   .

Что и требовалось доказать.

Изобразить вектор суммы двух векторов:

Решение.

,      

А также, опираясь на пункты 1 и 2, правило треугольника можно сформулировать так. Сумма векторов . Где А, B и C — произвольные точки.

Для троек произвольных точек продолжим равенства.

Для точек К, L и М сумма векторов .

Для точек X, Y и Z сумма векторов .

Для последней тройки точек R, S и Т сумма векторов .

Выполним несколько заданий.

Задача. Начертить попарно неколлинеарные векторы ,  и .

Построить: , , .

Решение.

Задача. Для каждого равенства, задающего сумму векторов,

указать соответствующий рисунок.

, ,

Решение.

Посмотрим на первый рисунок. Найдём вектор, начало которого совпадает с началом некоторого вектора, а конец — с концом некоторого вектора.

Таким вектором является вектор . Значит, он будет являться суммой, а векторы  и  — соответственно первым и вторым слагаемыми.

Посмотрим на следующий рисунок. Рассуждая так же как в предыдущем пункте, делаем вывод, что вектор является суммой, а векторы  и  — соответственно первым и вторым слагаемыми.

На последнем рисунке вектора  является суммой, а векторы  и   — соответственно первым и вторым слагаемыми.

Задача. Стороны ,  и  треугольника соответственно равны ,  и .Найти длины векторов: , , .

Решение.

 

 

 

Ответ: , , .

Подведём итоги нашего урока.

Сегодня мы познакомились с правилом треугольника сложения векторов.

Для того, чтобы изобразить вектор суммы двух векторов  и , от некоторой точки А откладывают вектор , равный вектору . Далее от точки  B откладывают вектор , равный вектору . Тогда вектор  является вектором суммы двух векторов  и .

Исходя из данных построений, правило треугольника можно записать в виде такой формулы  , где А, B и C — произвольные точки.

Складывая по правилу треугольника произвольный вектор  с нулевым вектором, получаем, что их сумма равна вектору .

Сатья на тему: «Сложение векторов»

СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ. СВОЙСТВА.

 

Операции сложения, вычитание и умножение числа на вектор называется линейными операциями.

Сумма векторов

Определение 1.Пусть и — два свободных вектора. Возьмём произвольную точку О и построим вектор =, в затем от точки А отложим вектор =. Вектор , соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго, называется суммой этих векторов и обозначается +.

Это правило построения суммы двух векторов называется «правилом треугольника».

Определение 2.Суммой векторов  и  с координатами (а_1, а₂) и (в_1, в₂ ) называется вектор с координатами( а₁+в_1, а₂+в₂)_, т.е.

                                (а₁; а₂)+  (в₁; в₂) = (а₁+в₁; а₂+в₂).

Ту же самую сумму векторов можно получить другим способом.

Отложим от точки О вектор = и =. Построим на этих векторах как на сторонах параллелограмм ОАВС. Вектор — служащий диагональю этого параллелограмма, проведенной из точки вершины О, является, очевидно, суммой векторов +. Из рисунка очевидным образом следует, что сумма двух векторов обладает переместительным свойством:

+=+

Сумма двух векторов, исходящих из одной точки, выполняется по «правилу параллелограмма».

Пусть, например, даны три вектора , и .

Построим сначала сумму векторов +, а затем, после прибавления к этой сумме , получим некий вектор (+)+. На рисунке =, =, =+, = и =+=(+)+

Из рисунка видно, что тот же вектор  мы получим, если к вектору = прибавим вектор =+.Таким образом, (+)+=+(+), т.е. сумма векторов обладает сочетательным свойством. Поэтому сумму трёх векторов , и  записывают просто ++.

Аналогично можно построить сумму четырёх, пяти и вообще любого числа векторов. Это правило построения суммы нескольких векторов называется «правилом многоугольника».

 

=++++

Из произвольной точки О откладывается вектор, равный первому слагаемому вектору. К концу первого вектора присоединяют  начало второго; к концу второго – начало третьего и т.д. Вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего, является суммой данных векторов.

Если при сложении нескольких векторов конец последнего слагаемого вектора совпадает с началом первого, то сумма векторов равна нулевому вектору. Очевидно, что для любого вектора имеет место следующее равенство +0=.

         Свойства.

Свойства сложения векторов те же, что и свойства сложения чисел.

1^о. Для любых векторов a и b справедливо следующее равенство.

                    a+b=b+a  (1) (коммутативность)

   (переместительный закон, или коммутативность сложения)

Доказательство. (возможны два случая)

       1) Пусть векторы a и b неколлинеарны, отложим от точки А вектор: АВ=a, АД=b-и построим на них параллелограмм АВСД

 АВ+ВС=АС, АД+ДС=АС, АВ=ДС=a, ВС=АД=b имеет место равенство (1).

      2) Пусть векторы a и b коллинеарны. Векторы АВ=а, ВС=b лежать на одной прямой. Так же на этой прямой лежать векторы АВ₁=b и В₁С₁=а. Требуется доказать что точки С и С₁ совпадают. Если а коллинеарен b, то следует из сложения отрезков, а если a неколлинеарен b, то  это следует из вычитания отрезков.

       2^о.  Для любых векторов a,b,c справедливо равенство

                                       (а+b)+c=a+(b+c) (ассоциативность)

             (сочетательный закон, или ассоциативность сложения)

Доказательство.

    От точки А отложим векторы АВ=a, BC=b, CD=c. Тогда (а+b)+c=(AB+BC)+CD=AC+CD=AD, с другой стороны a+(b+c)=AB+(BC+CD)=AB+BD=AD. Отсюда следует (а+в)+с=а+(в+с).

Используя этот закон для трех векторов слагаемое можно группировать любым образом, т.е. скобки можно поставить как угодно. Исходя из этого равенство можно написать никак не объединяя слагаемое скобками.

     Из сочетательного и переместительного законов следует, что сложение векторов как угодно можно переставлять  и группировать слагаемые.

      Векторная ломанная помогает сложить несколько векторов a, b, с, d.

Ломанная состоит из направленных векторов АВ=a, BC=b, CD=c, DE=d.

                                                              Вектор AE, идущий от начала ломанной   ABCDE и ее конец, AE=a+b+c+d. Если ломанная получилась замкнутой  то сумма векторов равна нуль-вектору.

 

 3^о. Для любого вектора a имеет место следующее равенство a+0=a.

        Это  очевидное свойства нуль-векторов.(сделать соответствующий рисунок).

   4⁰. Для любого а, существует такой вектор а^!, что: а+ а^!=0- существование обратного вектора.

Разность векторов

Вычитание вектора есть действие обратное сложению.

Разностью векторов   и  называется такой вектор =— , сумма которого с вычитаемым вектором  дает вектор . Таким образом, если =— , то  + =.

Разность векторов  и обозначается так: — .

Из определения суммы двух векторов вытекает правило построения вектора – разности. Откладываем векторы = и = из общей точки О. Вектор , соединяющий концы уменьшаемого вектора  и вычитаемого вектора , является разностью =— . Действительно, по правилу сложения векторов +=, или  + =.

Задачу о построении разности двух векторов можно решить и другим способом.

Пусть даны векторы  и справедливо равенство -=+(-). Разность заменяем сложением.

Вектор — называется противоположным вектору , если вектор  и — имеют равные длины и противоположно направлены.

Для нулевому вектору, противоположным считается сам же нулевой вектор.

Если  — противоположный вектору , то, очевидно, +(-)= 0.

-Противоположный вектор.

Противоположными векторами называется два вектора, если длины равны и они направлены противоположно.

Каждый  из двух векторов называется противоположным другому из них.

0 считается противоположным сам себе.

Вектору a, противоположный –a. Если сложить два противоположных вектора, то в сумме получиться нулевой вектор: a+(-a)=0.

Убедимся в этом. Вектор a=AB изображает перемещение из точки A в точку B. Отложим от точки B вектор –a. Перемещаемся по лучу BA из точки B на расстояние =AB, возвращается в точку A. Итак если a=AB, то –a=BA и

a+(-a)=AB+BA=AA=0.

Верно и обратное утверждение.

Если сумма двух векторов равна нулевому вектору, то они противоположны.

 

 

 

 

Учитель математики ГКОУ РД «РЦДОДИ»     Гаджимирзаев М.М.

 

Значение, Определение, Предложения . Что такое векторная сумма

Нейтральный ток-это инвертированная векторная сумма линейных токов.

Векторная сумма действительной и реактивной мощности — это кажущаяся мощность.

Обратите внимание, что когда речь идет о векторах или векторных полях, суперпозиция интерпретируется как векторная сумма.

Другие результаты

Тождество Пифагора может быть расширено до сумм более чем двух ортогональных векторов.

Сумма квадратов абсолютных значений двух компонент векторов Джонса пропорциональна интенсивности света.

Дано конечное семейство полунорм pi на векторном пространстве сумма.

Фундаментальная теорема векторного исчисления гласит, что любое векторное поле может быть выражено как сумма консервативного векторного поля и соленоидального поля.

Для данного вектора и плоскости сумма проекции и отклонения равна исходному вектору.

Пусть S1, S2-подмножества вещественного векторного пространства, выпуклая оболочка их суммы Минковского — это сумма Минковского их выпуклых оболочек.

Интуитивно это сумма скалярных произведений вектора силы и малого касательного вектора в каждой точке вдоль кривой.

В этом случае все нули изолированы, а индекс векторного поля определяется как сумма индексов всех нулей.

Тогда сумма случайных векторов будет равна.

Фундаментальная теорема векторного исчисления гласит, что любое векторное поле может быть выражено как сумма ирротационного и соленоидального полей.

В задачах статистического тестирования обычно интересуют не сами компонентные векторы, а их квадратные длины или сумма квадратов.

Любой элемент в прямой сумме двух векторных пространств матриц может быть представлен как прямая сумма двух матриц.

Чистый магнитный момент атома равен векторной сумме орбитального и спинового магнитных моментов всех электронов и ядра.

Суммирование этих составляющих сил с помощью векторного сложения дает исходную силу.

Интуитивно это означает суммирование всех компонент вектора в соответствии с касательными к кривой, выраженными в виде их скалярных произведений.

Суммирование этих векторов производится покомпонентно.

Если зарядов несколько, то результирующая сила кулона на заряд может быть найдена путем суммирования векторов сил, обусловленных каждым зарядом.

В теории музыкальных множеств вектор интервалов представляет собой массив натуральных чисел, которые суммируют интервалы, присутствующие в наборе классов высоты тона.

Результаты их метода — это качественный отчет, содержащий качественную электронную таблицу и качественный вектор, суммирующий каждую игру.

Здесь векторы v и w подобны сторонам прямоугольного треугольника с гипотенузой, заданной векторной суммой v + w.

Степени свободы, связанные с суммой квадратов, — это степени свободы соответствующих компонентных векторов.

Стрелка компаса реагирует на векторную сумму двух полей и отклоняется на угол, равный касательной отношения двух полей.

Чтобы найти полное ускорение объекта в неоднородной окружности, найдите векторную сумму тангенциального ускорения и радиального ускорения.

Примерный шаблон может включать в себя в каждом слоте сумму значений по соответствующему вектору карты.

Векторно-усредненная фаза может быть получена как arg суммы комплексных чисел, не заботясь об обтекании.

Результирующий вектор — объяснение и примеры

В векторной геометрии результирующий вектор определяется как:

«Результирующий вектор представляет собой комбинацию или, проще говоря, может быть определен как сумма двух или более векторов, которые имеют свою величину и направление. ”

В этом разделе мы рассмотрим следующие концепции:

• Что такое результирующий вектор?
• Как найти результирующий вектор?
• Как найти равнодействующую более трех векторов?
• Как нарисовать получившийся вектор?
• Какова формула и метод вычисления результирующего вектора?
• Примеры
• Практические вопросы.

Что такое результирующий вектор?

Результирующий вектор — это вектор, который дает комбинированный эффект всех векторов. Когда мы складываем два или более векторов, результатом является результирующий вектор.

Давайте рассмотрим эту концепцию на простом практическом примере. Предположим, есть балка с двумя лежащими на ней коробками, как показано на рисунке ниже:

Сможете ли вы рассчитать вес балки и вес двух коробок? Да! Вы можете это сделать, поскольку вы познакомитесь с концепцией результирующего вектора.

В этом случае результирующий вектор будет суммой сил, действующих на два ящика, то есть веса ящиков, который будет равен и противоположен весу балки. В этом случае результирующий вектор будет суммой двух сил, поскольку они параллельны и направлены в одном направлении.

Предположим, что есть три вектора в плоскости, вектор A, B и C. Полученный результат R может быть вычислен путем сложения всех трех векторов. Результирующий R можно точно определить, нарисовав правильно масштабированную и точную диаграмму сложения векторов, как показано на рисунке ниже:

A + B + C = R

Давайте лучше поймем концепцию с помощью примера.

Пример 1

Рассчитайте результирующий вектор трех параллельных сил, направленных вверх. OA = 5N, OB = 10N и OC = 15N.

Решение

Как известно, результирующий вектор имеет вид:

R = OA + OB + OC

R = 5 + 10 + 15

R = 30N

Пример 2

Найти результирующий вектор данных векторов OA = (3,4) и OB = (5,7).

Решение

Добавление x-компонентов для нахождения Rx и y-компонентов для вычисления RY.

RX = 3 + 5

RX = 8

Ry = 4 + 7

Ry = 11

Итак, результирующий вектор R = (8,11)

Как найти результирующие векторы

Векторов можно добавить геометрически, нарисовав их с использованием общего масштаба в соответствии с соглашением «голова к хвосту», которое определяется как

“ Соедините хвост первого вектора с головой второго вектора, который даст другой вектор, голова которого соединена с головой второго вектора и хвостом первого вектора… »

… это называется результирующим вектором.

Шаги для определения результирующего вектора с использованием правила «голова к хвосту»

Ниже приведены шаги, которые необходимо выполнить, чтобы сложить два вектора и найти результирующий вектор:

1. Нарисуйте первый вектор в соответствии с выбранным масштабом в данном направлении.
2. Теперь соедините хвост второго вектора с головой первого вектора, нарисованного в заданном масштабе и в заданном направлении.
3. Чтобы нарисовать результирующий вектор, соедините хвост первого вектора с головой второго вектора и поместите острие стрелки.
4. Чтобы определить величину, измерьте длину результирующей R, и, чтобы узнать направление, измерьте угол результирующей величины с осью x.

Пример 3

Рассмотрим корабль, идущий под углом 45 ° к северо-востоку. Затем он меняет свой курс на 165o на север. Нарисуйте получившийся вектор.

Решение

Результирующий вектор из более чем двух векторов

Правила нахождения результирующего вектора или сложения более двух векторов могут быть продлены до любого числа векторов.

R = A + B + C + …………………………….

Предположим, есть три вектора A, B, и C , как показано на рисунках ниже. Чтобы сложить эти векторы, нарисуйте их в соответствии с правилом «голова к хвосту» так, чтобы голова одного вектора совпадала с другим вектором. Итак, результирующий вектор имеет следующий вид:

R = A + B + C

Примечание: Сложение векторов является коммутативным по своей природе; сумма не зависит от порядка добавления.

R = A + B + C = C + B + C

Расчет результирующего вектора с использованием прямоугольных компонентов

Нахождение результирующего вектора с использованием компонентов вектора известен как аналитический метод; этот метод более математический, чем геометрический, и его можно рассматривать как более точный и точный, чем геометрический метод, то есть конфигурирование с использованием правила «голова к хвосту».

Предположим, что есть два вектора A, и B, , образующие углы θA и θB соответственно с положительной осью x.Эти векторы будут разделены на их составляющие. Они будут использоваться для вычисления результирующих компонентов x и y результирующего вектора R, , который будет отдельно суммой компонентов x и y двух векторов.

R = A + B

R X = A X + B X экв. 1

R Y = Y + B Y eq 2

Так как, по прямоугольным компонентам

R = R X + R X eq 3

Теперь подставим значения eq 1 и уравнение 2 в уравнении 3

R = (A X + B X ) + (A Y + B Y )

По прямоугольной составляющей величина результирующего вектора задается как

| R | = √ ((Rx) 2+ (Ry) 2)

| R | = √ ((Ax + BX) 2+ (Ay + BY) 2)

По прямоугольным компонентам направление результирующего вектора определяется как:

θ = tan-1 (RY / Rx)

. применимо для любого количества векторов A, B, C, D …… , чтобы найти результирующий вектор R.

R = A + B + C + ……

R X = A X + B X + C 9000 X + … ..

R Y = A Y + B Y + C Y + ……

R = R X + R X

θ = tan-1 (RY / Rx)

Нахождение результирующего вектора с использованием метода параллелограмма

Согласно закону сложения векторов параллелограмма:

«Если два вектора, действующих одновременно в точке, могут быть представлены смежными сторонами параллелограмма, проведенного из точки, тогда результирующий вектор представлен диагональю прохода параллелограмма проходя через эту точку.”

Рассмотрим два вектора A и B , действующих в точке и представленные двумя сторонами параллелограмма, как показано на рисунке.

θ — угол между векторами A, и B, и R называется результирующим вектором. Тогда, согласно закону сложения векторов параллелограмма, диагональ параллелограмма представляет собой результат векторов A и B .

Математические производные на

Ниже приведены математические выводы:

R = A + B

Теперь разверните S в T и нарисуйте QT перпендикулярно OT.

Из треугольника OTQ,

SQ2 = OT2 + TQ2 экв 1,4

SQ2 = (OS + ST) 2 + TQ2

В треугольнике STQ,

cosθ = ST / SQ

SQcosθ = ST

Также,

sinθ = TQ / SQ

TQ = SQsinθ

Ввод в уравнение 1.4 дает

| SQ | = √ ((A + SQsinθ) 2+ (SQcosθ) 2)

Пусть, SQ = OP = D

| SQ || = √ ((A + Dsinθ) 2+ (Dcosθ) 2)

Решение приведенного выше уравнения дает

| SQ | = √ (A2 + 2ADcosθ + D2)

Итак, | SQ | дает величину результирующего вектора.

Теперь выясняем направление результирующего вектора,

tanφ = TQ / SQ

φ = tan-1 (TQ / OT)

tanφ = TQ / (OS + ST)

tanφ = Dsinθ / A + Dcosθ

φ = tan –1 (Dsinθ / A + Dcosθ)

Давайте лучше разберемся на примере.

Пример 4

Сила 12 Н составляет угол 45o с положительной осью x, а вторая сила 24N составляет угол 120o с положительной осью x.Рассчитайте величину равнодействующей силы.

Решение

Разложив вектор на его прямоугольные компоненты, мы знаем, что

R X = F 1X + F 2X

R Y = F 1 год + F 2 года

| R | = √ ((Rx) 2+ (Ry) 2) eq 1.1

Расчет значений | RX | и | RY |,

| Rx | = | F1X | + | F2X | уравнение 1.2

| F1X | = F1cosθ1

| F1X | = 12cos45

| F1X | = 8.48N

| F2X | = F2cosθ2

| F2X | = 24cos120

| F2x | = -120002 Положим

значений в уравнении 1.2 дает:

| Rx | = 8,48 + (- 12)

| Rx | = -3.52N

Теперь, нахождение y-компоненты результирующего вектора

| RY | = | F1Y | + | F2Y | уравнение 1.3

| F1Y | = F1sinθ1

| F1Y | = 12sin45

| F1Y | = 8.48N

| F2Y | = F2 sinθ2

| F2Y | = 24sin120

| F2Y | = 20.78N

Подставляя значения в уравнение 1.2, получаем

| Ry | = 8,48 + 20,78

| Ry | = 29.26N

Теперь, подставив значения в уравнение 1.1 для вычисления величины результирующего вектора R ,

| R | = √ ((-3,52) 2+ (29,26) 2)

| R | = √ (12,4 + 856,14)

| R | = 29,5 N

Итак, величина результирующего вектора R равна 29,5 N.

Пример 5

Две силы величиной 5N и 10N наклонены под углом 30o.Вычислите величину и направление результирующего вектора, используя закон параллелограмма.

Решение

При наличии двух сил F 1 = 5 Н и F 2 = 10 Н и угла θ = 30o.

Используя формулу,

| R | = √ (F12 + 2F1F2cosθ + F22)

| R | = √ ((5) 2 + 2 (5) (10) cos30 + (10) 2)

| R | = 14,54N

φ = tan –1 (F2sinθ / F1 + F2cosθ)

φ = tan-1 (10sin30 / (5 + 10cos30))

φ = 20,1o

Итак, величина результирующего вектора рандов — 14.54N, а направление — 20,1o.

Практические задачи

1. Найдите результирующий вектор следующего вектора, параллельный друг другу, указывающий в том же направлении

1. OA = 12N, OB = 24N ( Ans: 36N)
2. OA = 7N, OB = 10N ( Ans: 17N)
3. PQ = (3,8) RQ = (2,4) ( Ans: (5, 12)

1. Сила 15 Н составляет угол 70o ​​с положительной осью x, а вторая сила 25N составляет угол 220o с положительной осью x.Рассчитайте величину равнодействующей силы. (Ответ : 37N)
2. Вычислите направление результирующего вектора, определенного в задаче № 3. n \) для любого \ (n \) дается в следующем определении.

   Определение: Сложение вектора

   Пусть \ (\ vec {u} \) и \ (\ vec {v} \) — два вектора. Сдвиньте \ (\ vec {v} \) так, чтобы хвостик \ (\ vec {v} \) находился на вершине \ (\ vec {u} \). Затем нарисуйте стрелку, которая идет от хвоста \ (\ vec {u} \) к точке \ (\ vec {v} \). Эта стрелка представляет вектор \ (\ vec {u} + \ vec {v} \).

   Это определение проиллюстрировано на следующем рисунке, на котором \ (\ vec {u} + \ vec {v} \) показано для особого случая \ (n = 3 \).

   (1,190) (120,40)

   (1,1) (0,0) (- 1, -1) 30 (0,0) (0,1) 50 (0,0) (1,0) 80 (20,80) (0,0 ) (1,1) 40 (40,40) (40,10) (40, -20) (40, -20) (50, -10) (60,0) (40, -20) (10, — 20) (- 20, -20) (-20, -20) (- 10, -10) (0,0) (0,0) (30,0) (60,0) (0,0) (0 , 20) (0,40) (20,25) \ (\ vec {v} \) (0,0) (0,0) (1,4) 20 (5,50) \ (\ vec {u} \) (0,0) (1,2) 60 (60,45) \ (\ vec {u} + \ vec {v} \) (55,50) (- 1,1) 20 (0,0) (0,0) (1,1) 40 (40,40) (40,10) (40, -20) (40, -20) (50, -10) (60,0) (40, -20) (10, -20) (- 20, -20) (-20, -20) (- 10, -10) (0,0) (0,0) (30,0) (60,0) (0, 0) (0,20) (0,40) (22,15) \ (\ vec {v} \) (-35, -25) \ (x \) (-10,45) \ (z \) ( 75,3) \ (у \) (40,40) (0,0) (10,40) (20,80)

   Обратите внимание на параллелограмм, созданный \ (\ vec {u} \) и \ (\ vec {v} \) на приведенной выше диаграмме.Тогда \ (\ vec {u} + \ vec {v} \) — это направленная диагональ параллелограмма, определяемая двумя векторами \ (\ vec {u} \) и \ (\ vec {v} \).

   Когда у вас есть вектор \ (\ vec {v} \), его аддитивный обратный \ (- \ vec {v} \) будет вектор, имеющий ту же величину, что и \ (\ vec {v} \), но противоположное направление. Когда пишут \ (\ vec {u} — \ vec {v,} \), это означает \ (\ vec {u} + \ left (- \ vec {v} \ right) \) как с действительными числами. Следующий пример иллюстрирует эти определения и соглашения.

   Пример \ (\ PageIndex {1} \): добавление вектора графа

   Рассмотрим следующую картину векторов \ (\ vec {u} \) и \ (\ vec {v} \).

   Нарисуйте изображение \ (\ vec {u} + \ vec {v}, \ vec {u} — \ vec {v}. \)

   Решение

   Сначала мы сделаем набросок \ (\ vec {u} + \ vec {v}. \) Начнем с рисования \ (\ vec {u} \), а затем в точке \ (\ vec {u} \) разместим хвост \ (\ vec {v} \), как показано. Тогда \ (\ vec {u} + \ vec {v} \) — это вектор, который получается в результате рисования вектора от хвоста \ (\ vec {u} \) к кончику \ (\ vec {v} \ ).

   Затем рассмотрим \ (\ vec {u} — \ vec {v}. \) Это означает \ (\ vec {u} + \ left (- \ vec {v} \ right).\) Из вышеприведенного геометрического описания сложения векторов \ (- \ vec {v} \) — это вектор, который имеет ту же длину, но указывает в направлении, противоположном \ (\ vec {v} \). Вот картинка.

   Самый быстрый словарь в мире: Vocabulary.com

3. векторная сумма вектор, который является суммой двух или более других векторов

4. вегетарианство диета, исключающая все мясо и рыбу

5. победили, выиграв

6. победно победно

7. Слива Виктория большая красная слива служила десертом

8. Виктор Гесс Физик из США (родился в Австрии), открывший космическое излучение (1883-1964)

9. фабрика ферма крупное фермерское хозяйство

10. Разложить разрешение (многочлен) на множители

11. вектор величина, имеющая величину и направление

12. эктоплазма внешний без гранул слой цитоплазмы

13. Фактор XIII при свертывании крови тромбин катализирует фактор XIII в его активную форму (фибриназу), которая заставляет фибрин образовывать стабильный сгусток

14. Разложить разрешение (многочлен) на множители

15. pectoralis любая из двух больших мышц груди

16. фактор XII фактор свертывания крови, дефицит которого приводит к увеличению времени свертывания венозной крови

17. фактор XI фактор свертывания крови, недостаток которого приводит к геморрагической тенденции

18. Фактор свертывания крови фактора X

    , который превращается в фермент, который превращает протромбин в тромбин в реакции, которая зависит от ионов кальция и других факторов свертывания крови

19. победа успешное окончание схватки или состязания

20. викторианский преувеличенно правильный

21. учесть все, что причинно влияет на результат

Прямая сумма

Марко Табога, доктор философии

Прямая сумма двух подпространств а также векторного пространства — это другое подпространство, элементы которого можно записать однозначно как суммы одного вектора и один вектор .

Суммы подпространств

Начнем с определения сумм подпространств.

Другими словами, сумма двух подпространств — это набор, содержащий все векторов, которые могут быть записаны как суммы двух векторов, один выбранный из а другой взят из .

Суммы — это подпространства

Помните, что подпространство — это подмножество векторного пространства, такое что любое линейная комбинация векторы подпространства принадлежат самому подпространству.

Проба

Более двух слагаемых

Суммы более двух подпространств определяются аналогично суммам двух подпространств. подпространства.

Также в случае более двух подпространств их сумма является подпространством.

Прямая сумма подпространств

Прямая сумма — это особый вид суммы.

Другими словами, в прямой сумме ненулевые векторы, взятые из разных суммируемые подпространства должны быть линейно независимыми.

Пример Сумма определенная в предыдущем примере, была прямой суммой, потому что два векторы линейно независимым, если а также .

Обозначение

Обычный символ суммирования можно использовать для обозначения суммы подпространства :

Интересно, что есть символ и для прямого суммы:

Суммирует нулевой вектор в результате

Следующее предложение показывает необходимое и достаточное условие, при котором сумма равна быть прямым.Его можно использовать как альтернативное определение прямой суммы.

Проба

Докажем часть «только если», начиная из гипотезы, что это прямая сумма. От противного, предположим, что существуют векторы для такой это и по крайней мере один из векторов отличен от нуля. Можно без потерь предположить Вообще говоря, только первый векторы отличны от нуля (иначе мы можем их перенумеровать). Тогда мы имеют что Таким образом, есть линейная комбинация (все коэффициенты равны ) из что дает в результате нулевой вектор.Это означает, что линейно зависимы. Произвольно выбрать ненулевые векторы для . Тем более, что набор является набор линейно зависимых ненулевых векторов, каждый из которых выбран из разных подпространство . Это невозможно, потому что в прямой сумме такие множества существовать не могут (по определение прямой суммы). Таким образом, мы пришли к противоречию предположение, что а также по крайней мере один из векторов отличен от нуля. Поэтому уникальный способ получить нулевой вектор в результате суммы — это выбрать , …, . Докажем часть «если», исходя из гипотезы о том, что единственный способ к получить с выбрать , …, . Брать ненулевые векторы для . От противного, предположим, что они линейно зависимы. Тогда существуют скаляры не все равны нулю такие это с подпространства, для всех . Более того, некоторые из векторов не равны нулю. Это противоречит исходной гипотезе (единственный способ получить нулевой вектор как результат суммы векторов, поступающих из разных подпространств — выбрать все из них равными нулю).Таким образом, должен быть линейно независимым. Как следствие это прямая сумма.

Пересечения содержат только нулевой вектор

Это необходимое условие, которое часто легко проверить в приложениях.

Проба

Если в сумме участвуют только два подпространства, необходимое условие становится также достаточно.

Проба

Вот пример.

Уникальность представления

Самым важным фактом о прямых суммах является то, что векторы могут быть представлены однозначно как суммы элементов, взятых из подпространств.

Проба

Также это предложение может быть воспринято как определение прямой суммы, как сделано, например Акслер (1997).

Решенные упражнения

Ниже вы можете найти несколько упражнений с объясненными решениями.

Упражнение 1

Позволять быть пространством для всех векторы-столбцы, имеющие действительные записи. Позволять — подпространство, содержащее все векторы форма , а также могут быть любыми действительными числами, удовлетворяющими .Позволять подпространство всех векторов , а также могут быть любыми действительными числами, удовлетворяющими .

Является прямая сумма?

Решение

Список литературы

Акслер, С. (1997) Линейная алгебра сделано правильно, второе издание, Springer Science & Business Media.

Как цитировать

Укажите как:

Табога, Марко (2017). «Прямая сумма», Лекции по матричной алгебре. https://www.statlect.com/matrix-algebra/direct-sum.

Определение векторного пространства

MATH 240: Определение векторного пространства
MATH 240: векторные пространства

Определение: Векторное пространство — множество V, на котором определены две операции + и · , называется сложением вектора , и скалярным умножением .

Операция + (сложение векторов) должна удовлетворять следующим условиям:

закрытие: Если u и v — любые векторы в V, то сумма и + v принадлежит В.

(1) Коммутативный закон: Для всех векторов u и v в V, u + v = v + u

(2) Ассоциативный закон: Для всех векторов u , v , w в V, u + ( v + w ) = ( u + v ) + w

(3) Идентификационный номер присадки: Набор V содержит элемент аддитивной идентичности , обозначается 0 , такой, что для любого вектора v в V, 0 + v = v а также v + 0 = v .

(4) Инверсная добавка: Для каждого вектора v в V уравнения v + x = 0 а также x + v = 0 есть решение x в V, называется добавкой , инверсией против , и обозначается — v .

Операция · (скалярное умножение) определяется между действительными числами (или скалярами) и векторами, и должен удовлетворять следующим условиям:

закрытие: Если v в любом векторе в V, а c — любое действительное число, тогда произведение в · в принадлежит В.

(5) Распределительное право: Для всех действительных чисел c и всех векторов u , v дюйм V, c · ( u + v ) = с · u + c · v

(6) Распределительное право : Для всех действительных чисел c, d и всех векторов v в V, (c + d) · v = c · v + d · v

(7) Ассоциативный закон : Для всех действительных чисел c, d и всех векторов v в V, в · (д · в ) = (кд) · v

(8) Унитарный закон : Для всех векторов v в V, 1 · v = v

Подпространства Определение: Пусть V — векторное пространство, а W — подмножество V.Если W — векторное пространство относительно операций в V, тогда W называется подпространством в V.

Теорема: Пусть V — векторное пространство, с операциями + и · , и пусть W — подмножество V. Тогда W является подпространством в V тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия.

Sub0 Вт непусто : Нулевой вектор принадлежит W.

Sub1 Закрытие под + : Если u и v — любые векторы из W, то u + v находится в W.

Sub2 Закрытие под · : Если v — любой вектор из W, а c — любое действительное число, то в · в находится в W.

прямая сумма векторных пучков в nLab

СОДЕРЖАНИЕ

Контекст

Связки

Линейная алгебра

теория гомотопий, теория (∞, 1)-категорий, теория гомотопических типов

вкусов: стабильный, эквивариантный, рациональный, p-адический, правильный, геометрический, связный, направленный…

модели: топологические, симплициальные, локальные,…

см. Также алгебраическая топология

Представления

Определения

Пути и цилиндры

Гомотопические группы

Основные факты

Теоремы

Идея

Для двух векторных расслоений E1, E2 → XE_1, E_2 \ to X их прямая сумма по XX, также называемая суммой Уитни , является векторным расслоением E1⊕E2 → XE_1 \ oplus E_2 \ to X, слой которого над любым x ∈Xx \ in X — прямая сумма векторных пространств слоев E1E_1 и E2E_2.

Определение

Определение

(прямая сумма топологических векторных расслоений через тотальные пространства)

Пусть

1. XX — топологическое пространство,

2. E1 → π1XE_1 \ overset {\ pi_1} {\ to} X и E2 → π2XE_2 \ overset {\ pi_2} {\ to} X два топологических векторных расслоения над XX.

Тогда прямая сумма векторных расслоений E1⊕XE2 → EE_1 \ oplus_X E_2 \ to E является топологическим векторным расслоением, полное пространство которого является топологическим подпространством

E1⊕XE2≔ {(v1, v2) ∈E1 × E2 | π1 (v1) = π2 (v2)} ⊂E1 × E2 E_1 \ oplus_X E_2 \; \ coloneqq \; \левый\{ (v_1, v_2) \в E_1 \ раз E_2 \, \ верт \, \ pi_1 (v_1) = \ pi_2 (v_2) \Правильно\} \;\подмножество\; E_1 \ раз E_2

топологического пространства произведения двух полных пространств, и чье отображение проекции равно

E1⊕XE2⟶AAπAAX (v1, v2) ↦AAAπ1 (v1) = π2 (v2).\множество{ E_1 \ oplus_X E_2 & \ overset {\ phantom {AA} \ pi \ phantom {AA}} {\ longrightarrow} & Икс \\ (v_1, v_2) & \ overset {\ phantom {AAA}} {\ mapsto} & \ pi_1 (v_1) = \ pi_2 (v_2) } \ ,.

Для x∈Xx \ in X структура векторного пространства на слоях

(E1⊕E2) x≃ (E1) x⊕ (E2) x (E_1 \ oplus E_2) _x \ simeq (E_1) _x \ oplus (E_2) _x

— это прямая сумма векторных пространств.

Определение

(прямая сумма топологических векторных расслоений через функции перехода)

Пусть XX — топологическое пространство, и пусть E1 → XE_1 \ to X и E2 → XE_2 \ to X — два топологических векторных расслоения над XX.

Пусть {Ui⊂X} i∈I \ {U_i \ subset X \} _ {i \ in I} — открытое покрытие, относительно которого оба векторных расслоения локально тривиализуются (это всегда существует: выберите локальную тривиализацию любого расслоения и формируют совместное уточнение соответствующих открытых крышек пересечением их участков). Пусть

{(g1) ij: Ui∩Uj → GL (n1)} AAA иAAA {(g2) ij: Ui∩Uj⟶GL (n2)} \левый\{ (g_1) _ {я j} \ двоеточие U_i \ cap U_j \ в GL (n_1) \Правильно\} \ phantom {AAA} \ текст {и} \ phantom {AAA} \левый\{ (g_2) _ {я j} \двоеточие U_i \ cap U_j \ longrightarrow GL (n_2) \Правильно\}

— переходные функции этих двух пучков относительно этого покрытия.

Для i, j∈Ii, j \ in пишу

(g1) ij⊕ (g2) ij: Ui∩Uj⟶GL (n1 + n2) x↦AAA ((g1) ij (x) 00 (g2) ij (x)) \множество{ (g_1) _ {i j} \ oplus (g_2) _ {i j} &\двоеточие& U_i \ cap U_j & \ longrightarrow & GL (n_1 + n_2) \\ && Икс & \ overset {\ phantom {AAA}} {\ mapsto} & \левый( \множество{ (g_1) _ {i j} (x) & 0 \\ 0 & (g_2) _ {i j} (x) } \Правильно) }

— поточечная прямая сумма этих переходных функций

Тогда связка прямой суммы E1⊕E2E_1 \ oplus E_2 склеена из этой прямой суммы функций перехода (по этой конструкции):

E1⊕E2≔ ((⊔iUi) × (ℝn1 + n2)) / ({(g1) ij⊕ (g2) ij} i, j∈I).{n_1 + n_2} \Правильно) \ right) / \ left (\ left \ {(g_1) _ {i j} \ oplus (g_2) _ {i j} \ right \} _ {i, j \ in I} \ right) \ ,.

Примеры

Пример

Пусть XX и YY — топологические пространства, а X⊔YX \ sqcup Y — их несвязное объединенное пространство.

Тогда каждое топологическое векторное расслоение на X⊔YX \ sqcup Y является прямой суммой векторного расслоения с нулевым рангом на YY и с нулевым рангом на XX.

Более подробно: пусть

iX: Vect (X) ⟶Vect (X⊔Y) i_X \ Vect двоеточия (X) \ longrightarrow Vect (X \ sqcup Y)

и

iY: Vect (Y) ⟶Vect (X × Y) i_Y \ Vect двоеточия (Y) \ longrightarrow Vect (X \ times Y)

— это операции расширения векторного расслоения на другой компонент связности с помощью векторного расслоения ранга 0, затем

Vect (X) × Vect (Y) ⟶≃iX⊕ (X⊔Y) iYVect (X⊔Y) Vect (X) \ раз Vect (Y) \ underoverset {\ simeq} {i_X \ oplus _ {(X \ sqcup Y)} i_Y} {\ longrightarrow} Vect (X \ sqcup Y)

— это изоморфизм классов изоморфизма векторных расслоений (и эквивалентность категорий категорий векторных расслоений до перехода к классам изоморфизма). n :

E⊕E˜≃X × ℝn.п \ overset {\ simeq} {\ longrightarrow} E \ vert_ {U_i} \ right \} _ {i \ in I} \ ,.

Ввиду компактности XX существует конечное подпокрытие, следовательно, конечное множество J⊂IJ \ subset I такое tat

{Ui⊂X} i∈J⊂I \ {U_i \ subset X \} _ {i \ in J \ subset I}

по-прежнему остается открытой крышкой, над которой EE упрощает.

Поскольку паракомпактные хаусдорфовы пространства эквивалентно допускают подчиненные разбиения единицы, существует разбиение единицы

{fi: X → [0,1]} i∈J \левый\{ f_i \; \ двоеточие \; От X \ до [0,1] \ right \} _ {i \ in J}

с поддержкой supp (fi) ⊂Uisupp (f_i) \ subset U_i.{-1} _i, это послойная инъективность, потому что в каждой точке хотя бы одно из fif_i не обращается в нуль. Следовательно, это инъекция EE в тривиальное векторное расслоение.

Далее за заявлением следует проп. .

Замечание: Пусть E1 → ME_1 \ rightarrow M и E2 → ME_2 \ rightarrow M — векторные расслоения над MM. Это дает отображение продукта E1 × E2 → M × ME_1 \ times E_2 \ rightarrow M \ times M, которое по-прежнему является векторным расслоением. Рассмотрим диагональное отображение d: M → M × Md: M \ rightarrow M \ times M, заданное формулой m↦ (m, m) m \ mapsto (m, m).Сумма Уитни E1 → ME_1 \ rightarrow M и E2 → ME_2 \ rightarrow M — это обратная линия E1 × E2 → M × ME_1 \ times E_2 \ rightarrow M \ times M вдоль диагонального отображения d: M → M × Md: M \ rightarrow M \ times M, который обозначается E1⊕E2 → ME_1 \ oplus E_2 \ rightarrow M.

Характеристические классы сумм Уитни

Подробнее см. В классе Эйлера, это предложение.

Список литературы

Обсуждение с прицелом на топологическую K-теорию находится в

• Макс Каруби, К. Теория.Введение , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 226 , Springer 1978. xviii + 308 pp.

• Allen Hatcher, раздел 1.1 из Vector bundles и K-Theory , (частично законченная книга) web

и с прицелом на алгебраическую K-теорию в

Знакомство с векторами

В этой статье описывается, что такое векторы и как их добавлять, вычесть и умножить их на скаляры, и это даст некоторые указания на то, почему они полезны.В статье дается резюме элементарных представлений о векторах, обычно встречающихся в школе математика. Следующая статья «Умножение векторов» обсуждает скалярные произведения и векторные произведения. Векторы — это абсолютно необходимый «инструмент» в физике и очень важная часть математика.

Есть два способа определить векторы. Мы можем думать о векторах как точки в системе координат, соответствующие точкам в пространстве, или мы можем думать о векторах как об объектах с величиной и направлением.В этой статье мы пытаемся пояснить, почему существует два определения векторов и связать их. Самый проницательный и математически способные школьники часто думают, что они не понимают использование векторов, и они абсолютно правы сомневаюсь в этом, потому что школьные учебники часто переключаются между разные виды векторов без объяснения того, что они собой представляют делает.

Векторы обычно сначала вводятся как объекты, имеющие величина и направление, например переводы, смещения, скорости, силы и т. д.Определенные таким образом векторы называются бесплатные векторы. Если мы просто укажите величину и направление, затем любые два вектора одинаковой длины и параллельные друг другу считаются идентичными. Итак, этим определение вектор — это бесконечное множество параллельных направленных линий сегменты.

Например, рассмотрим перевод на три единицы по горизонтали и на одну единицу выше. Если применить этот перевод, то точка $ (0, 0) $ переходит к $ (3, 1) $, а $ (5, 7) $ переходит к $ (8, 8) $, а все остальные точка переводится аналогично.Вы можете нарисовать свои собственные диаграммы, чтобы проиллюстрируйте это. Перевод самолета перемещает все точки плоскости одновременно на один и тот же вектор переноса, поэтому мы можем Думайте о свободном векторе как о переводе.

Люди часто выбирают один отрезок из этого бесконечного множества, чтобы подходит для конкретного приложения, и разумно спросить, почему в на практике мы можем взять одного представителя без привязки к весь набор. Например, если мы перейдем от $ O $ к $ A $, мы обозначим смещение на $ \ vec {OA} $.Это отличается от ходьбы по такое же расстояние в другом направлении и отличается от ходьбы в том же направлении, но на другом расстоянии. Некоторые люди назовем это смещение вектором $ \ vec {OA} $, но мы думаем о $ O $ как конкретная точка, так что это один направленный отрезок выбирается из всего набора, составляющего свободный вектор. Если мы продолжаем нашу прогулку от $ A $ до $ C $, полное смещение равно сумме этих двух перемещений $ \ vec {OA} + \ vec {AC} $, и это равно направленный отрезок $ \ vec {OC} $.Закон треугольника используется для добавления свободных векторы.

Векторы важны в навигации, где фактическая скорость самолет относительно земли задается комбинированным скорости ветра (который несет самолет, как если бы он планера) вместе со скоростью, которую самолет будет иметь в неподвижный воздух. В треугольнике выше, если $ \ vec {OC} $ находится вдоль направление, необходимое для достижения пункта назначения, и $ \ vec {AC} $ представляет скорость ветра, тогда пилот должен установить курс в направлении $ \ vec {OA} $ со скоростью, рассчитанной таким образом, чтобы стороны треугольника представляют скорости.

В математике мы думаем о точках и пространстве как о фундаментальных абстрактных понятиях. и мы строим модель пространства, используя систему координат. Три система координат — это просто бесконечный набор упорядоченных тройки действительных чисел $ (x, y, z) $, и каждая точка задается одним этих упорядоченных троек, называемых координатами точки. Каждому свободному вектору (или трансляции) соответствует вектор положения, который является изображением происхождение под этим переводом. Итак, мы определяем векторы положения как точек в пространстве и каждому вектору положения $ P $ соответствует направленный отрезок $ \ vec {OP} $, определяющий бесконечное множество параллельных направленных отрезков, дающих уникальный свободный вектор.

Когда мы выбираем систему координат, мы фактически выделяем одну представителя каждого свободного вектора в пространстве, а именно того, который «начинается» из выбранного источника. Если точка $ A $ имеет координаты $ (x_a, y_a, z_a) $, тогда он имеет вектор положения $ {\ bf a} = (x_a, y_a, z_a) $, который также можно записать как вектор-столбец. Существует соответствие между точкой $ A $ и вектором положения $ {\ bf a} $ и направленный отрезок $ \ vec {OA} $, который является представителем бесконечного множества сегментов, составляющих свободный вектор.

Часто бывает полезно работать только с векторами позиций и не со свободными векторами. Хотя есть концептуальное различие между свободными векторами и векторами положения можно использовать оба типа взаимозаменяемы, но это может вызвать путаницу, если мы непонятно по поводу определений.

Вся векторная алгебра (сложение, вычитание, умножение), которая работает в одной системе соответствует векторной алгебре в другой система. Когда нам это удобно, мы можем переключиться с свободных векторов для позиционирования векторов или наоборот, выполните векторную алгебру, затем переключитесь обратно с «ответом».{1/2} $$ и это длина линии сегмент $ \ vec {OA} $ и, следовательно, это также величина соответствующий свободный вектор.

Векторы $ {\ bf i} = (1, 0, 0) $, $ {\ bf j} = (0, 1, 0) $ и $ {\ bf k} = (0, 0, 1) $ — векторы единичной длины, параллельные $ x, y $ и $ z $ оси. Вектор положения или точка $ A $ и соответствующий свободный вектор, состоящий из всех направленных отрезков, параллельных $ \ vec {OA} $ также можно записать как $ x_a {\ bf i} + y_a {\ bf j} + z_a {\ bf k} $.

В некоторых учебниках по элементарным курсам говорится, что силы являются векторами, но Oни? Строго говоря, это особый тип вектора с большим количеством структура, чем другие векторы; а также величина и направление силы определяются их точкой или линией действия.Если я нажму ваше правое плечо достаточно сильно, вы повернетесь в одну сторону, и если я толкну левое плечо с силой такой же величины в той же направлении (равный вектор) вы повернете в другую сторону. Два силы имеют разные эффекты поворота, поэтому они разные силы даже если у них одинаковые «векторные свойства». Когда мы добавляем сил, мы просто используем их векторные свойства, но для определения силы нам нужно указать его масштабы, направление и направление действий.

Сложение и вычитание векторов

Чтобы добавить векторы позиций, мы просто добавляем компоненты.Для пример, если $ \ bf a $ — вектор положения $ (x_a, y_a, z_a) $ и $ \ bf b $ — вектор положения $ (x_b, y_b, z_b) $, тогда $ {\ bf a} + {\ bf b} = (x_a + x_b, \ y_a + y_b, \ z_a + z_b). $ Закон параллелограмма используется для сложения векторы позиций, дающие $ \ vec {OA} + \ vec {OB} = \ vec {OC} $.

Обратите внимание, что как свободный вектор $ {\ vec {OB}} = {\ vec {AC}} $, поэтому параллелограмм закон сложения векторов позиций точно соответствует закону треугольника, $ {\ vec {OA}} + {\ vec {AC}} = {\ vec {OC}} $, добавления свободных векторов и, следовательно, их можно использовать взаимозаменяемо для любого типа вектора.

А как насчет вычитания? Каждая точка $ A $ в пространстве представляет собой вектор с компоненты такие же, как координаты точки, скажем $ {\ bf a} = (x_a, y_a, z_a) $. Отражение точки $ A $ в начале координат равно точка $ A ‘$ с вектором положения $ — {\ bf a} = (- x_a, -y_a, -z_a) $. Эффект от добавления этих двух векторов дает нулевой вектор. Чтобы вычесть вектор $ {\ bf a} $ из вектора $ {\ bf c} $, просто складываем векторы $ {\ bf c} $ и $ {\ bf -a} $.

Направленные отрезки $ \ vec {OA} $ и $ \ vec {OA ‘} $ равны по длине и противоположному направлению, так что мы говорим $ \ vec {OA ‘} = — \ vec {OA} $.Эквивалентный метод вычитания для свободные векторы можно рассматривать как обращение вектора к вычитаем и добавляем его к первому вектору. Если $ A $ и $ C $ равны две точки $ (x_a, y_a, z_a) $ и $ (x_c, y_c, z_c) $, затем направленный отрезок $ {\ vec {OC}} = {\ vec {OA}} + {\ vec {AC}} $ так снова мы видим, что для вычитания векторов мы вычитаем компоненты. $$ {\ vec {AC}} = {\ vec {OC}} — {\ vec {OA}} = \ left (\ begin {array} {cc} x_c-x_a \\ y_c-y_a \\ z_c-z_a \ end {array} \ right) $$

Умножение вектора на скаляр

Мы уже видели скалярные кратные, когда писали $ (x_a, y_a, z_a) = x_a {\ bf i} + y_a {\ bf j} + z_a {\ bf k} $.Здесь векторы $ {\ bf i}, {\ bf j} $ и $ {\ bf k} $ умножаются на скаляры: $ x_a, y_a $ и $ z_a $.