Умножение вектора на число
Произведением вектора x на число β (x≠0, β≠0) называется вектор, модуль которого равен |x||β| и который направлен в ту же сторону, что и вектор x, если β>0, и в противоположную, если β<0. Если x=0 и (или) β=0, то βx=0.
Рис. 1
На рисунке Рис. 1 вектор x умножен на число 1.5. Полученный вектор y’ имеет то же направление, что и x т.к 1.5>0, и имеет длину 1.5 раз превысшающее длину x.
Вектор q имеет противополжное к p направление, т.к. вектор p умножено на отрицательное число -0.5, и имеет длину 2 раза меньше длины p.
Рассмотрим процесс умножения вектора на число.
Вариант 1. Начальные точки всех векторов совпадают с началом координат.
Пусть имеется вектор
где координаты вектора x
То есть для умножения вектора на число достаточно умножить каждый координат данного вектора на это число.
На рисунке Рис. 1 вектор x имеет координаты x=(6,4). Для умножения вектора x на число 1.5, умножим каждый координат вектора x на число 1.5:
Вариант 2. Начальные точки векторов произвольные.
Пусть имеется вектор x, с начальной точкой и конечной точкой . Умножим вектор x на число β. Для этого проще всего параллельно переместить вектор x на начало координат, умножить на число, после чего параллельно переместить началную точку полученного вектора на точку
Переместим вектор x на начало координат. Получим новый вектор x’ с начальными и конечными точками:
Умножим x’ на β:
Параллельно переместив начальную точку вектора x’ на точку A, получим вектор x» с начальными и конечными точками:
На рисунке Рис. 1 вектор p=AB имеет координаты A(2,3) и B(8,1). Для умножения вектора p на число -0.5, сначала переместим параллельно вектор p так, чтобы начальная точка вектора p совпала с началом координат. Получим вектор p’=A’B’ с координатами A’
Перемесив начальную точку вектора q’ на точку A, получим вектор q=AE, где точка E имеет координаты:
Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами:
1.β(x+y)=βx+βy (дистрибутивность относительно сложения векторов).
2. (α+β)a=αa+βa (дистрибутивность относительно сложения чисел).
3. α(βa)=(αβ)a (ассоциативность).
4. 1·a=a (умножение на единицу).
Примеры умножения вектора на число
Пример 2. Умножить вектор x=AB на число 3, где A(2,2), B(7,6).
Переместим вектор AB на начало координат. Начальное и конечное точки перемещенного вектора будут:
Умножив полученный вектор на число 3, изменяется расположение конечной точки B’:
.
Переместив вектор на точку A, получим вектор 3·x, со следующими начальной и конечной точками:
Произведение вектора на число / Векторы / Справочник по геометрии 7-9 класс
- Главная
- Справочники
- Справочник по геометрии 7-9 класс
- Векторы
- Произведение вектора на число
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Советуем посмотреть:
Понятие вектора
Равенство векторов
Откладывание вектора от данной точки
Сумма двух векторов
Законы сложения векторов. Правило параллелограмма
Сумма нескольких векторов
Вычитание векторов
Применение векторов к решению задач
Средняя линия трапеции
Векторы
Правило встречается в следующих упражнениях:
7 класс
Задание 775, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 781, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 14, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 15, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 803, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 804, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 806, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 903, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 8, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1074, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
© budu5.com, 2021
Пользовательское соглашение
Copyright
Векторное произведение
Векторное произведениеВ. Г. Автор. Векторная и тензорная алгебра для будущих физиков и техников
Суперобложка / Обложка / Содержание
..Векторное произведение векторов
Мы уже знаем несколько операций, которые можно выполнять с векторами: векторы можно складывать, умножать на число, умножать друг на друга скалярно.
Каждое новое понятие в любой науке возникает в силу необходимости отразить некоторый новый элемент наших знаний. Создание новых элементов языка – это процесс творческий. Если бы это было не так, на Земле не было бы столько национальных языков. И на всех существующих языках легко и свободно может быть выражена вся та информация, которая на сегодняшний день является достоянием всего . Однако иногда бывает, что какое-то открытие, новое явление или просто принципиально новую идею невозможно объяснить – не хватает слов. Если открытие, явление или идея действительно важны, то через какое-то время язык с этими проблемами обязательно справляется. Если нам есть, что сказать, то необходимые для этого языковые возможности обязательно появятся. Но никому не приходит в голову побеспокоиться об этом заранее. Никогда не ставилась цель изобрести язык, на котором можно было бы не только правильно и непротиворечиво отразить все то, что мы знаем, но и то, что мы когда-либо сможем узнать. Мало того, что это невозможно, но это еще и неудобно. Языком, который обременен всеми будущими проблемами, которые к тому же могут и не возникнуть, никто не захочет пользоваться. Он обречен на забвение.
Абсолютно все то же самое можно сказать и о научном языке, который является расширением языка естественного. Любая новая информация обязательно находит средства для своего выражения на языке той или иной науки. Не является исключением и язык математики. С одной стороны, он является результатом творчества многих ученых. С другой стороны, каждое новое понятие в математике, обязательно связано с необходимостью правильно отобразить наше сегодняшнее понимание природы и ее законов.
Математика – это наука о наиболее общих, а следовательно, и наиболее абстрактных, законах природы, и именно для выражения этих законов и конструируется ее язык. Другими словами, сначала – новые знания и новые идеи, и только потом – новый язык. При изучении же математики мы вынуждены почти всегда идти в обратном направлении: сначала – определения новых понятий, затем – теоремы и их следствия, и только после этого – приложения (и то, только если на это остается время). В результате, иногда складывается неверное представление о том, что математика развивается совершенно независимо от всего остального естествознания. Можно даже услышать мнение, будто бы
«математика является блестящим примером чистого разума, удачно расширяющегося самопроизвольно, без применения опыта».
Мы не собираемся вступать здесь в полемику по этому вопросу. Проблема эта бесконечная. Мы хотим только выразить нашу точку зрения, которая заключается в том, что все, что мы можем сказать на любом языке, так или иначе связано с природой, и если кто-то сможет сказать что-то сверх того, то вряд ли он сам поймет, что он такое сказал. И раз мы до сих пор понимаем, о чем мы говорим, следовательно, мы говорим о природе или, по крайней мере, о языке, на котором можно что-либо полезное о ней сказать.
До сих пор у нас не было повода для разговора об отношении математики к опыту. В дальнейшем же мы не намерены больше к этому возвращаться, поскольку это непростой самостоятельный вопрос. То, что мы решили сказать хотя бы несколько слов об этом сейчас, связано с векторным умножением. Векторное умножение – это первое понятие векторной алгебры, необходимость введения которого трудно осознать, не выходя за рамки математической теории. Это понятие своими корнями уходит в естествознание и, прежде всего, в механику. У нас же нет возможности об этом говорить. Мы вынуждены ввести это понятие каким-то другим способом, который ничего общего не имеет с действительными причинами его возникновения. Конечно, мы постараемся, чтобы это понятие не возникло, как кролик из шляпы фокусника. Но, как это ни парадоксально, для лучшего понимания математики необходимо изучать ее историю и, конечно, естествознание, хотя это отдельная тема и, соответственно, другие книги.
Итак, векторное умножение. Еще одно. Мы уже знаем два вида умножения, которые можно выполнять с векторами.
Можно вектор умножить на число, и при этом мы снова получим вектор. При скалярном умножении перемножаются два вектора, а в результате мы получаем число. Векторное умножение – это чисто векторная операция: перемножаются два вектора, и в результате снова получается вектор.
Операция векторного умножения в скрытой или, как говорят, в латентной форме уже содержится в понятии ориентированного объема. Покажем, как ее можно извлечь оттуда на свет божий.
Начнем с формулы для ориентированного объема, которую мы получили в предыдущем разделе.
Формально используя правило скалярного умножения векторов в декартовой системе координат, мы можем продолжить:
Следовательно:
.
Мы получили, что с формальной точки зрения ориентированный объем равен скалярному произведению вектора на некоторый вектор, который в свою очередь определяется векторами и . Этот формальный вектор и называется векторным произведением векторов и и обозначается .
Следовательно, векторным произведением векторов и называется вектор
.
Вот он уже и появился, хотя и не в той форме, в которой он традиционно записывается – поэтому продолжим преобразования.
Раскладывая каждый из определителей по первому столбцу, мы можем упростить выражение:
.
В таком виде оно выглядит менее громоздко, зато труднее запоминается. Можно еще упростить выражение, если заметить, что формально оно представляет собой результат разложения определителя третьего порядка по первому столбцу.
, следовательно, совсем коротко можно записать:
.
Алгебраическое определение векторного умножения в декартовой системе координат
Определение (26)
|
Выражение и его краткая форма могут быть приняты за определение для векторного умножения в декартовой системе координат. |
В дальнейшем мы получим выражение для векторного умножения в произвольных косоугольных координатах. Но даже если придерживаться только ортонормированных систем, можно заметить особенность данного вектора. Если мы поменяем местами два любых вектора базиса, скажем i и j , векторное произведение изменит направление на противоположное.
В самом деле,
, где
– векторное произведение в базисе {ijk}, а
– векторное произведение в базисе {jik}.
То есть .
Но если придерживаться только правых декартовых систем координат, то векторное произведение определяется однозначно.
С использованием векторного умножения формула для ориентированного объема приобретает следующий вид:
.
Выражение в векторной алгебре называется смешанным умножением векторов, и оно, следовательно, равно:
.
Смешанное произведение равно ориентированному объему. Отсюда вытекают и все его свойства.
Свойства смешанного умножения векторов
1. Знаки скалярного и векторного умножения можно менять местами
.
2. При перестановке любых двух сомножителей смешанное произведение изменяет знак на противоположный.
3. Смешанное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны.
4. Если смешанное произведение векторов больше нуля, то векторы образуют правую тройку векторов.
Для смешанного произведения часто вводится специальное обозначение, например, [10, с. 110] или [12, с. 65]. Однако, нам кажется, что более удачным обозначением, если оно вообще необходимо, является следующее: . По крайней мере, оно вполне логично вытекает из связи смешанного произведения, ориентированного объема и его выражения через определитель.
Поскольку со смешанным произведением все более или менее ясно, вернемся к векторному умножению.
До сих пор мы придерживались геометрической теории векторов. Геометрический вектор для нас был первичным понятием. Вводя в векторном пространстве тот или иной базис, мы могли выразить вектор через его координаты. Этот шаг часто является удобным, но до сих пор никогда не был обязательным. Принятое нами определение непосредственно исходит из координатного представления векторов. Здесь возникает важный вопрос: является ли наше определение инвариантным по отношению к произвольному выбору координатной системы? А что если мы в качестве базисных выберем другие векторы; получим ли мы в результате векторного умножения тот же самый вектор? На эти вопросы мы сразу даем отрицательный ответ. Наше определение справедливо только для декартовых систем координат. Для любых других систем оно не годится. Для того чтобы прийти к более универсальному определению, выясним геометрический смысл, содержащийся в том, которое у нас есть.
Рис. 37Во-первых, из того, что
и, аналогично: – откуда следует, что векторное произведение ортогонально к вектору и к вектору . Следовательно, оно ортогонально плоскости параллелограмма, построенного на этих векторах (рис. 37).
Во-вторых, ,
где h – высота параллелепипеда.
С другой стороны:
,
где , как обычно, – площадь параллелограмма, построенного на векторах и . Следовательно, модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах. А сам вектор направлен вдоль прямой n–n, перпендикулярной плоскости параллелограмма. Но мы пока еще не знаем, в какую сторону вдоль этой прямой он направлен.
Если векторы , и образуют правую тройку, то
.
А если векторы , и образуют левую тройку, то
.
Но это возможно только, если векторы , и образуют правую тройку.
Теперь мы готовы дать геометрическое определение векторного умножения.
Геометрическое определение векторного произведения (27)
Расшифровывая данное определение, мы можем выразить площадь параллелограмма через его стороны и угол (рис. 37). В этом случае пункт два определения будет звучать так:
2(а). Модуль векторного произведения равен произведению модулей векторов на синус угла между ними .
Данное определение является чисто геометрическим и не зависит от произвола в выборе систем координат. Но и у него есть слабое место. В самом деле, что означает понятие «правая тройка векторов» на языке математики? Правую тройку от левой мы можем отличить только благодаря тому, что по неизвестной на сегодняшний день причине правшей на Земле больше, чем левшей. Не существует математических средств для того, чтобы одну из систем координат идентифицировать, как правую. Не существует таких средств и в классической физике. Такие средства появляются только в технике, поскольку правши наточили больше правых винтов, чем левши левых.
Поэтому для векторного произведения имеется альтернативное определение.
Альтернативное определение векторного умножения (28)
До тех пор пока мы в качестве базиса выбираем только правые тройки векторов, оба определения приводят к одному и тому же результату. Но стоит только перейти к левому базису, и вектор, построенный в соответствии с альтернативным определением, поменяет направление на противоположное. Такие векторы называются относительными, псевдовекторами или аксиальными векторами, в отличие от обычных (полярных) векторов. Единственное преимущество такого определения – полная эквивалентность его алгебраическому определению, что удобно при выполнении алгебраических преобразований в координатной форме. Можно не заботиться о том левая или правая тройка векторов выбрана в качестве базиса – алгебраическое выражение для векторного произведения от этого не зависит. Единственное беспокойство вызывает вопрос: существует ли такая геометрическая и физическая реальность, для описания которой могут быть использованы псевдовекторы? Очень даже существует. Например, для задания свойств вращательного движения можно использовать вектор. Для этого его достаточно совместить с осью вращения и величину скорости связать в его модулем. А вот каким образом связать два возможных направления его вдоль оси с двумя возможными направлениями вращения вокруг этой оси – это все равно. А раз все равно, то вполне можно использовать для этих целей аксиальные векторы. По крайней мере, они правильно отражают то свойство подобных процессов, что направление вектора вдоль выбранной оси не имеет физического или геометрического смысла и выбирается по соглашению.
В математике примерно одинаково часто используются оба определения. Мы будем в дальнейшем придерживаться второго.
Свойства векторного умножения
Все свойства проще всего выводятся из первого его алгебраического определения.
1. Векторное произведение векторов и равно нулю тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны.
В самом деле, если
, то и все определители равны нулю, и, следовательно, столбцы пропорциональны:
; ; .
Отсюда следует, что
, что и означает коллинеарность векторов.
Обратное утверждение автоматически следует из пропорциональности координат коллинеарных векторов.
2. При изменении порядка сомножителей векторное произведение изменяет знак на противоположный. В отношении этого свойства говорят, что векторное произведение антикоммутативно.
.
3. Векторное умножение ассоциативно относительно числового множителя.
, где λ произвольное действительное число.
4. Векторное умножение дистрибутивно относительно сложения векторов.
.
Докажем последнее свойство.
Из свойств определителей сразу вытекает, что
.
..Векторное умножение векторов базиса декартовой системы координат
При выполнении алгебраических операций полезно иметь таблицу умножения для базисных векторов декартовой системы координат, аналогичную той, которую мы в свое время получили для скалярного умножения.
Из свойств векторного умножения сразу следует, что
, далее ,
и, аналогично,
, .
Разберемся с направлениями векторов.
Вектор ортогонален к каждому из векторов i и j, следовательно, он направлен по оси z. Поскольку он должен составлять с этими векторами правую тройку, он должен быть направлен в положительном направлении оси z. Отсюда следует, что
, и, аналогично,
;
.
Составим таблицу умножения, учитывая при этом, что при изменении порядка сомножителей, знак произведения изменяется на противоположный.
|
× |
i |
j |
k |
|
i |
0 |
k |
-j |
|
j |
-k |
0 |
i |
|
k |
j |
-i |
0 |
Для запоминания таблицы умножения удобно пользоваться правилом циклической подстановки или «правилом треугольника» (рис. 38).
Рис. 38Обход треугольника, в вершинах которого изображены векторы базиса, можно производить, начиная с любой вершины. При этом, если обход совершается против часовой стрелки, то произведение вектора, с которого начинается обход, на вектор следующий за ним, равно третьему вектору. Если же обход совершается по часовой стрелке, то результирующий вектор следует умножить на 1.
Умножим два вектора друг на друга, используя правила перемножения базисных векторов. Для этого разложим векторы по векторам базиса и используем свойства векторного умножения.
.
Результат вполне ожидаемый и, тем более приятный.
|
Д |
остоинство алгебры в том, что она работает подобно хорошо отлаженному механизму, который достаточно только слегка подтолкнуть, а дальше он все сделает сам. |
Векторы для чайников. Часть 2. Скалярное и векторное произведение. — Блог
Логическое продолжение статьи «Векторы для чайников. Часть 1». В первой части рассказывается о том, что такое вектор и о простейших операциях с векторами (сложение и разность векторов, умножении вектора на число).
На этом котики кончаются и начинается злая математика.
Скалярное произведение векторов
Сложение векторов, умножение вектора на число…. Было бы наивным думать, что математикам было это достаточно и они не придумали что-то еще.
Скалярное произведение векторов ā и b̅ — это ЧИСЛО, которое равно произведению длин векторов ā и b̅ и косинуса угла между ними:
С математической точки зрения скалярное произведение безразмерно — это просто число и все. Скалярное произведение векторов часто применяется в физике и размерность скалярного произведения будет уже зависеть от конкретной задачи.
Типовая задача при которой используется скалярное произведение — это работа постоянной силы, где в качестве векторов принимаются постоянная сила F, применяемая к какому-то объекту и вектор перемещения s. В этом случае скалярное произведение векторов — это конкретное число — работа силы. Так как работа измеряется в Джоулях и каждый вектор имеет свой физический смысл, то и результат скалярного произведения в данном случае будет измеряться в Джоулях.
Так иногда бывает, что для полного счастья математикам нужно что-то еще, и если скалярное произведение еще может быть знакомо со школы, то векторное произведение чаще всего изучают в ВУЗе на курсах вышмата.
Обрадую всех вас — если все, что происходило до этого работало и в двухмерном и в трехмерном пространстве, то векторное произведение векторов подразумевает работу ТОЛЬКО с трехмерным пространством. (Стало проще, да ведь?)
В данном произведении участвуют также 2 вектора. Отличие от скалярного произведения тех же двух векторов будет в том, что в результате векторного произведения получается ВЕКТОР, а не число.
Формальное определение:
Векторным произведением ā x b̅ неколлинеарных векторов ā и b̅, взятых в определенном порядке, называется ВЕКТОР ā x b̅ , длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на данных векторах; вектор ā x b̅ ортогонален векторам ā и b̅, и направлен так, что базис (ā; b̅;ā x b̅) имеет правую ориентацию.
Это определение сложное и требует некоторых комментариев:
1.
Векторы ā и b̅ по определению должны быть неколлинеарны. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Таким образом такие векторы могут называться параллельными, но так называть вектора просто не принято — их называют коллинеарными. Касаемо ситуации с векторным произведением — векторы должны быть, наоборот, непараллельными.
2.
Важен порядок векторов. От этого зависит направление результата.
3.
Длина результирующего вектора равна площади заштрихованного параллелограмма.
4.
Результирующий вектор ортогонален векторам ā и b̅, т.е. ā ┴ [ā x b̅] и b ┴ [ā x b̅]
5.
Результирующий вектор направлен так, что базис (ā; b̅;ā x b̅) имеет правую ориентацию.
Мысленно совместите указательный палец с вектором ā и средний палец с вектором b̅. Безымянный палец и мизинец прижмите к ладони. В результате большой палец – результирующий вектор [ā x b̅] будет смотреть вверх. Это правоориентированный базис.
Указательный палец левой руки с тем же вектором ā, а средний – с вектором b̅. При этом большой палец будет неизбежно смотреть вниз – по направлению вектора . Это левый или левоориентированный базис.
Эти базисы не являются чем-то абстрактным. Примером может служить изображение и его отражение в зеркале. Самое обычное зеркало меняет ориентацию пространства, а изображение и зеркальное отражение этого отображения невозможно просто наложить друг на друга (попробуйте совместить «базисы» левой и правой руки, после чего станет понятно, что указательные и средние пальцы не совмещаются).
Что же будет, если вектора ā и b̅ будут коллинеарны (т.е. параллельны, говоря на простом языке) — все просто, параллелаграм, который образуется этими векторами “складывается” в плоскую прямую, а площадь такой прямой равна нулю, из-за чего и результирующий вектор равен нулевому.
Свойства векторов, свойства скалярного и векторного произведения векторов.
Содержание:
В данной теме мы подытожим раздел векторы, опишем все действия, которые можно совершать над векторами и какими свойствами они обладают.
Действия над векторами
Определение
Вектором называется направленный отрезок $\overline{A B}$ , где точка $A$ — начало, точка $B$ — конец вектора.
Суммой $\overline{a}+\overline{b}$ векторов $\overline{a}$ и $\overline{b}$ называют такой третий вектор $\overline{c}$, начало которого совпадает с началом $\overline{a}$, а конец — с концом $\overline{b}$ при условии, что конец вектора $\overline{a}$ и начало вектора $\overline{b}$ совпадают.
Свойства операции сложения:
1 $\overline{a}+\overline{b}=\overline{b}+\overline{a}$ — коммутативность
2 $(\overline{a}+\overline{b})+\overline{c}=\overline{a}+(\overline{b}+\overline{c})$ — ассоциативность
3 $\overline{a}+\overline{0}=\overline{a}$
4 $\overline{a}+(-\overline{a})=\overline{0}$
Определение
Разностью $\overline{a}-\overline{b}$ векторов $\overline{a}$ и $\overline{b}$ называется вектор $\overline{c}$ такой, что выполняется условие: $\overline{b}+\overline{c}=\overline{a}$.
Произведением $\alpha \overline{a}$ вектора $\overline{a}$ на число $\alpha$ называется вектор $\overline{b}$, удовлетворяющий условиям:
- $\overline{b} \| \overline{a}$
- $|\overline{b}|=|\alpha||\overline{a}|$
- $\overline{a} \uparrow \uparrow \overline{b}$, если $\alpha>0$, $\overline{a} \uparrow \downarrow \overline{b}$, если $\alpha \lt 0$.
Свойства умножения вектора на число:
1 $(\alpha \pm \beta) \overline{a}=\alpha \overline{a} \pm \beta \overline{a}$
2 $\alpha(\overline{a} \pm \overline{b})=\alpha \overline{a} \pm \alpha \overline{b}$
3 $\alpha(\beta \overline{a})=(\alpha \beta) \overline{a}=\beta(\alpha \overline{a})$
4 $1 \cdot \overline{a}=\overline{a}$
5 $-1 \cdot \overline{a}=-\overline{a}$
6 $0 \cdot \overline{a}=\overline{0}$
Определение
Скалярным произведением двух ненулевых векторов $\overline{a}$ и $\overline{b}$ называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
$$\bar{a} \bar{b}=\bar{a} \cdot \bar{b}=(\bar{a}, \bar{b})=|\bar{a}||\bar{b}| \cos (\bar{a}, \bar{b})$$Свойства скалярного произведения:
1 $(\overline{a}, \overline{b})=(\overline{b}, \overline{a})$ — симметричность.{2}$ и называется скалярный квадрат.
3 Если $\overline{a} \neq \overline{0}$, то $(\bar{a}, \bar{b})=|\bar{a}| \cdot Пр_{\bar{a}} \bar{b}$
4 Если $\overline{a} \neq \overline{0}$ и $\overline{b} \neq \overline{0}$ и $(\overline{a}, \overline{b})=0$, то $\overline{a} \perp \overline{b}$. Верно и обратное утверждение.
5 $(\overline{a}+\overline{b}, \overline{c})=(\overline{a}, \overline{c})+(\overline{b}, \overline{c})$
6 $(\lambda \overline{a}, \overline{b})=\lambda(\overline{a}, \overline{b})$
7 $(\alpha \overline{a}+\beta \overline{b}, \gamma \overline{c}+\delta \overline{d})=\alpha \gamma(\overline{a}, \overline{c})+\alpha \delta(\overline{a}, \overline{d})+\beta \gamma(\overline{b}, \overline{c})+\beta \delta(\overline{b}, \overline{d})$
Определение
Векторным произведением ненулевых векторов $\overline{a}$ и $\overline{b}$ называется вектор $\overline{c}$, обозначаемый символом $[\overline{a}, \overline{b}]$ или $\overline{a} \times \overline{b}$, длина которого $|\bar{c}|=|\bar{a}||\bar{b}| \sin (\bar{a}, \bar{b})$.
Свойства векторного произведения:
1 $[\overline{a}, \overline{b}]=\overline{0}$, тогда и только тогда, когда $\overline{a} \| \overline{b}$
2 $[\overline{a}, \overline{b}]=-[\overline{b}, \overline{a}]$
3 Модуль векторного произведения $|[\overline{a}, \overline{b}]|$ равен площади параллелограмма, построенного на заданных векторах $\overline{a}$ и $\overline{b}$ (рис. 2), т.е.
$$S=|[\bar{a}, \bar{b}]|=|\bar{a}||\bar{b}| \sin (\bar{a}, \bar{b})$$4 $[\lambda \overline{a}, \overline{b}]=[\overline{a}, \lambda \overline{b}]=\lambda[\overline{a}, \overline{b}]$
5 $\left[\overline{a}_{1}+\overline{a}_{2}, \overline{b}\right]=\left[\overline{a}_{1}, \overline{b}\right]+\left[\overline{a}_{2}, \overline{b}\right] ;\left[\overline{a}, \overline{b}_{1}+\overline{b}_{2}\right]=\left[\overline{a}, \overline{b}_{1}\right]+\left[\overline{a}, \overline{b}_{2}\right]$
Определение
Смешанным произведением трех векторов $\overline{a}$, $\overline{b}$, $\overline{c}$ называется число, равное скалярному произведению вектора $\overline{a} \times \overline{b}$ на вектор $\overline{c}$: $(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})=([\overline{a}, \overline{b}], \overline{c})$
Свойства смешанного произведения:
1 $(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})=(\overline{a},[\overline{b}, \overline{c}])$
2 $(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})=(\overline{b}, \overline{c}, \overline{a})=(\overline{c}, \overline{a}, \overline{b})=-(\overline{b}, \overline{a}, \overline{c})=-(\overline{c}, \overline{b}, \overline{a})=-(\overline{a}, \overline{c}, \overline{b})$
3 Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда $(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})=0$
4 Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда $(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})>0$. Если же $(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}) \lt 0$, то векторы $\overline{a}$, $\overline{b}$ и $\overline{c}$ образуют левую тройку векторов. \lt /p> \lt p>5 $(\lambda \overline{a}, \overline{b}, \overline{c})=(\overline{a}, \lambda \overline{b}, \overline{c})=(\overline{a}, \overline{b}, \lambda \overline{c})=\lambda(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})$
6 $\left(\overline{a}_{1}+\overline{a}_{2}, \overline{b}, \overline{c}\right)=\left(\overline{a}_{1}, \overline{b}, \overline{c}\right)+\left(\overline{a}_{2}, \overline{b}, \overline{c}\right)$
7 $\left(\overline{a}, \overline{b}_{1}+\overline{b}_{2}, \overline{c}\right)=\left(\overline{a}, \overline{b}_{1}, \overline{c}\right)+\left(\overline{a}, \overline{b}_{2}, \overline{c}\right)$
8 $\left(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}_{1}+\overline{c}_{2}\right)=\left(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}_{1}\right)+\left(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}_{2}\right)$
9 $([\overline{a}, \overline{b}], \overline{c})=\overline{b}(\overline{a}, \overline{c})-\overline{a}(\overline{b}, \overline{c}) ;(\overline{a},[\overline{b}, \overline{c}])=\overline{b}(\overline{a}, \overline{c})-\overline{c}(\overline{a}, \overline{b})$
10 Тождество Якоби: $(\overline{a},[\overline{b}, \overline{c}])+(\overline{b},[\overline{c}, \overline{a}])+(\overline{c},[\overline{a}, \overline{b}])=0$
Читать дальше: примеры решения задач с векторами.
Слишком сложно?
Действия над векторами. Свойства векторов. не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!
Произведение вектора на число
В презентации рассматриваются определение произведения вектора на число, свойства умножения вектора на число, теорема о средней линии трапециия. Презентация может быть использована при объяснении нового материала по геометрии в 8 классе, либо в 9 классе в зависимости от календарно-тематического планирования (учебник Геометрия 7-9, автор Л.С.Атанасян)
Просмотр содержимого документа
«Произведение вектора на число»
Произведение вектора на число
К учебнику Геометрия 7-9,
автор Л.С.Атанасян и др.
Автор: Софронова Наталия Андреевна,
учитель математики высшей категории
МОУ «Упшинская основная общеобразовательная школа»
Оршанского района Республики Марий Эл
Произведение вектора на число
Следствия из определения
Основные свойства произведения вектора на число
k = 2, m = 3
Основные свойства произведения вектора на число
k = 2, m = 3
Основные свойства произведения вектора на число
k = 2
Основные свойства произведения вектора на число
Рассмотренные свойства действий над векторами позволяют в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования по тем же правилам, что и в числовых выражениях.
Средняя линия трапеции
Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.
В
С
N
M
А
D
MN – средняя линия
Теорема.
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
В
С
N
M
А
D
В
С
N
M
А
D
Умножение вектора на матрицу
Чтобы умножить вектор-строку на вектор-столбец, вектор-строка должен иметь столько столбцов, сколько строк в векторе-столбце.
Определим умножение матрицы А и вектор Икс в котором количество столбцов в А равно количеству строк в Икс .
Так что если А является м × п матрица, то произведение А Икс определяется для п × 1 векторы-столбцы Икс .Если мы позволим А Икс знак равно б , потом б является м × 1 вектор-столбец. Другими словами, количество строк в А определяет количество строк в продукте б .
Общая формула для произведения матрица-вектор:
А Икс знак равно [ а 11 а 12 ⋯ а 1 п а 21 год а 22 ⋯ а 2 п ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ а м 1 а м 2 ⋯ а м п ] [ Икс 1 Икс 2 ⋮ Икс п ] знак равно [ а 11 Икс 1 + а 12 Икс 2 + ⋯ + а 1 п Икс п а 21 год Икс 1 + а 22 Икс 2 + ⋯ + а 2 п Икс п ⋮ а м 1 Икс 1 + а м 2 Икс 2 + ⋯ + а м п Икс п ]
Пример :
Найти А у куда у знак равно [ 2 1 3 ] и А знак равно [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] .
По определению, количество столбцов в А равно количеству строк в у .
А у знак равно [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] [ 2 1 3 ]
Сначала умножьте строку 1 матрицы по столбцу 1 вектора.
[ 1 2 3 ] [ 2 1 3 ] знак равно [ 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 3 ] знак равно 13
Далее умножаем строку 2 матрицы по столбцу 1 вектора.
[ 4 5 6 ] [ 2 1 3 ] знак равно [ 4 ⋅ 2 + 5 ⋅ 1 + 6 ⋅ 3 ] знак равно 31 год
Наконец умножьте строку 3 матрицы по столбцу 1 вектора.
[ 7 8 9 ] [ 2 1 3 ] знак равно [ 7 ⋅ 2 + 8 ⋅ 1 + 9 ⋅ 3 ] знак равно 49
Записывая матрично-векторное произведение, получаем:
А у знак равно [ 13 31 год 49 ]
Калькулятор скалярного произведения
Калькулятор векторного скалярного произведения пригодится при решении задач векторного умножения.Вместо того, чтобы вычислять скалярное произведение вручную, вы можете просто ввести в этот инструмент компоненты двух векторов и позволить ему выполнить вычисления за вас. Продолжайте читать, чтобы узнать о формуле скалярного произведения, которую использует наш калькулятор, о том, как оценить скалярное произведение двух векторов и как обобщить формулу для матричного скалярного произведения. Вместе с калькулятором кросс-произведений вы узнаете, что с векторной алгеброй не о чем беспокоиться!
Типы векторного умножения
Существует два основных типа умножения векторов: скалярное произведение (также называемое скалярным произведением), обозначаемое символом « · », и перекрестное произведение, обозначаемое символом « × ».Основное отличие состоит в том, что произведение точечной операции представляет собой одно число, а результат перекрестной операции — вектор.
Что такое формула скалярного произведения?
Предположим, что все наши расчеты будут производиться в трехмерном пространстве. Это означает, что каждый вектор может быть записан с использованием трех компонентов:
a = [a₁, a₂, a₃] b = [b₁, b₂, b₃]
Геометрически скалярное произведение описывается как произведение величин векторов, умноженных на косинус угла между ними.Это можно выразить с помощью уравнения:
a · b = | a | * | b | * cosα
Если вы не знаете, какова величина вектора или как ее вычислить, обратитесь к калькулятору единичного вектора для получения более подробной информации по этому вопросу.
Вы, наверное, заметили, что если угол между двумя векторами равен 90 °, то скалярное произведение всегда будет равно 0, независимо от величин векторов. Точно так же, если угол равен 0 ° (векторы коллинеарны), то скалярное произведение находится путем умножения только множеств.Другими словами, чем больше относительный наклон между двумя векторами, тем выше значение скалярного произведения.
Алгебраически скалярное произведение — это сумма произведений компонентов векторов. Для трехкомпонентных векторов формула скалярного произведения выглядит следующим образом:
a · b = a₁ * b₁ + a₂ * b₂ + a₃ * b₃
В пространстве, которое имеет более трех измерений, вам просто нужно добавить больше членов к суммированию. Если, с другой стороны, вы хотите умножить векторы в 2D-пространстве, вы должны опустить третий член формулы.
Калькулятор скалярного произведения также может работать как инструмент для нахождения угла между двумя векторами, для которого косинус представляет собой отношение между скалярным произведением и величинами векторов:
cosα = a · b / (| a | * | b |) .
Определение векторного скалярного произведения
Итак, как же работает наш калькулятор умножения векторов? Следуйте этому пошаговому примеру, чтобы лучше понять принцип, лежащий в основе этого процесса.
- Выберите свой вектор a .Например, возьмем a = [4, 5, -3].
- Выберите свой вектор b . Предположим, он равен b = [1, -2, -2].
- Вычислите произведение первого компонента каждого вектора. В данном случае это равно
4 * 1 = 4. - Вычислите произведение второй (средней) составляющей каждого вектора. В данном случае это равно
5 * (-2) = -10. - Вычислите произведение третьего компонента каждого вектора. В данном случае это равно
(-3) * (-2) = 6. - Сложите все эти результаты вместе, чтобы найти скалярное произведение векторов a и b .
4 + (-10) + 6 = 0
Результат равен 0. Это скалярное произведение этих двух векторов. Это означает, что они перпендикулярны друг другу (угол между ними равен 90 °).
Скалярное произведение в сферических координатах
Также возможно вычислить скалярное произведение двух векторов, если они записаны в сферических координатах.Чтобы справиться с задачей, нам нужно выразить наши новые координаты с радиусом r и двумя углами θ , φ .
-
x₁ = r₁ * sinφ₁ * cosθ₁, -
y₁ = r₁ * sinφ₁ * sinθ₁, -
z₁ = r₁ * cosφ₁
И аналогично для x₂ , y₂ , z₂ . Тогда результат будет:
a · b = x₁ * x₂ + y₁ * y₂ + z₁ * z₂ = r₁ * r₂ * sinφ₁ * cosθ₁ * sinφ₂ * cosθ₂ + r₁ * r₂ * sinφ₁ * sinθ₁ * sinφ₂ * sinθ₂ + r₁ * r₂ * cosφ₁ * cosφ₂ .
Если мы используем уравнение для косинуса разности углов, формула упрощается до:
a · b = r₁ * r₂ * (sinφ₁ * sinφ₂ * cos (θ₁-θ₂) + cosφ₁ * cosφ₂) .
Матричный скалярный продукт
На самом деле, операция скалярного произведения может выполняться не только для векторов, но и для более общих случаев — матриц. В результате получаем другую матрицу C , такую что:
c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j +… + a in b nj = Σ k a ik b kj 6.
Это аналог скалярного произведения простых векторов, но процедура должна повторяться несколько раз для каждого элемента.
Однако не каждые две матрицы можно перемножать. Если рассматривать A как mxn и B как матрицы kxl , то для результирующей матрицы C = A · B n должно быть равно k , а для матрицы D = B · A , l должно быть таким же, как m . Другими словами, количество столбцов левой матрицы должно совпадать с количеством строк во второй .
Как вы, возможно, уже заметили, продукты A · B и B · A в целом различаются, что означает, что скалярное произведение двух матриц некоммутативно . В частности, размеры полученных матриц не совпадают.
Скалярное произведение двух векторов - графическая интерпретация
Давайте подробно рассмотрим формулу скалярного произведения. Если мы нарисуем оба вектора, разделенные углом, а затем попытаемся найти изображение скалярного произведения, мы поймем, что оно состоит из умножения двух частей: проекция одного вектора на направление второго и то же, но для второго вектора.Поскольку они оба параллельны, результат - это просто произведение их длины. Как показано на рисунке, операцию можно выполнить двумя способами, но результат всегда один. В заключение этого раздела мы можем сказать, что скалярное произведение - это произведение длин векторов, проецируемых в направлении одного из других.
Частным случаем является скалярное произведение вектора на себя, a² = a · a . Поскольку проекция и вектор - это одно и то же, результатом является квадрат длины вектора.Другими словами, мы можем найти длину любого вектора, используя квадратный корень из следующего скалярного произведения: | a | = √ (а · а) .
Тройное произведение - как рассчитать объем параллелепипеда?
Помимо скалярного произведения и векторного произведения существует еще один математический инструмент, который позволяет вычислить три вектора. Мы можем определить тройное произведение (или смешанное произведение) как комбинацию скалярного произведения и векторного произведения. Формулу тройного произведения можно выразить как:
V = a · (b × c) .
b × c - вектор, который означает, что общий результат представляет собой скалярное произведение двух векторов и представляет собой просто число. Буква V не случайна, потому что существует прямая зависимость между смешанным продуктом и объемом.
Давайте посмотрим на пример:
- Постройте параллелепипед в декартовой системе координат.
- Обозначьте его стороны как
a , b , c - мы можем интерпретировать их как векторы, соединенные в одной точке. - Значение
b × c = | b || c | sinα напоминает формулу для площади параллелограмма. В результате мы получаем вектор, длина которого эквивалентна площади основания, и он перпендикулярен ему. - Последний шаг - вычислить скалярное произведение
a · d . Как мы знаем из предыдущего раздела, это проекция a в направлении d , умноженная на d . Если мы присмотримся внимательнее, мы сможем понять, что эта проекция на самом деле является высотой нашего многогранника, а полученный продукт - не что иное, как его объем!
Одно важное замечание - тройное произведение можно оценить несколькими эквивалентными способами:
a · (b × c) = b · (c × a) = c · (a × b)
Главное, чтобы заказ a-b-c-a-b-c-... необходимо сохранить. В противном случае результат будет отрицательным. Мы всегда можем обойти проблему, вычислив объем как абсолютную величину тройного произведения.
Когда и α , и β равны 90 °, результатом будет не что иное, как объем прямоугольной призмы!
Приложения скалярного произведения
Есть несколько областей, в которых скалярное произведение оказывается удобным.
- Закон косинусов может быть доказан с использованием скалярного произведения: если мы создадим треугольник из 3 векторов, мы можем написать, что e.q.
c = b - a . Если мы хотим найти c² , мы можем расширить формулу как: c² = (b-a) · (b-a) = b · b - b · a - a · b + a · a = a² + b² - | b | * | а | * cosa - | a | * | b | * cosa = a² + b² - 2 * | a | * | b | * cosα .
Последний шаг, очевидно, возможен, потому что умножение длин коммутативно. Вот и все - еще один способ доказать закон косинуса!
Как было сказано в начале, скалярное произведение - это самый простой способ определить, перпендикулярны ли два вектора друг другу.
Многие физические величины определяются как скалярное произведение:
- Работа как скалярное произведение силы и смещения,
- Мощность как скалярное произведение силы и скорости,
- Электрический или магнитный поток как скалярное произведение электрического / магнитного поля и поверхности, через которую он проходит,
- Магнитная потенциальная энергия как скалярное произведение магнитного момента и магнитного поля.
Нахождение перекрестного произведения двух векторов - видео и стенограмма урока
Расчет магнитной силы
Уравнение для перекрестного произведения
Уравнение для вычисления перекрестного произведения довольно просто.Перекрестное произведение между векторами A и B равно величине вектора A , умноженной на величину вектора B , умноженную на синус угла между ними. Итак, если вы хотите получить векторное произведение магнитного поля и скорости, как я говорил ранее, вы должны взять величину магнитного поля, умножить ее на величину скорости и умножить на синус угла между магнитным полем. и векторы скорости. Это даст вам значимость вашего ответа.Но ваш ответ сам по себе вектор. Так в чем же направление вашего ответа?
Уравнение для перекрестного произведения
Чтобы получить направление, вы должны использовать правило правой руки. Я хочу, чтобы ты показал мне большой палец правой руки. Когда вы это делаете, ваши пальцы сгибаются в определенном направлении. Если вы укажете большим пальцем на экран и посмотрите на тыльную сторону пальцев, они, например, загнутся по часовой стрелке.
Вот диаграмма двух векторов, которые мы умножаем вместе:
Диаграмма вектора
Мы умножаем вектор A на вектор B . Чтобы определить направление вашего окончательного ответа, согните пальцы, чтобы подтолкнуть (или повернуть) вектор A к вектору B . Когда вы это сделаете, ваш большой палец будет указывать за пределы страницы, и это направление будет направлением вашего окончательного ответа.
Используйте правило правой руки для направления
Здесь важно отметить, что порядок, в котором вы пишете кросс-произведение, не влияет на числовой ответ, но влияет на направление. A -cross- B указывает направление выхода со страницы. Но если бы вы свернули пальцы в обратном направлении, для B -cross- A , у вас было бы направление на страницу.Итак, в отличие от большинства умножений, где порядок, в котором вы записываете две вещи, которые вы умножаете вместе, не имеет значения, с перекрестными произведениями это имеет значение.
Порядок умножения влияет на направление
Примеры расчетов
Может быть, это будет проще на примере. Допустим, мы пытаемся умножить вектор магнитного поля v на вектор скорости B . Вектор B направлен вверх, а вектор v направлен по диагонали вверх и вправо под углом 25 градусов к вектору B .Если величина вектора B составляет 30 тесла, а величина вектора v равна 8 метрам в секунду, каково векторное произведение v и B ?
Прежде всего, давайте запишем то, что мы знаем. B равен 30 теслам, а v равен 8 метрам в секунду, а угол между векторами тета равен 25 градусам. Итак, чтобы узнать величину перекрестного произведения, мы просто подставляем числа в уравнение и решаем.8, умноженное на 30, умноженное на синус 25, дает нам значение 101,4 тесла метра в секунду.
Нахождение направления перекрестного произведения
А как насчет направления? Итак, глядя на диаграмму, поднимите палец вверх и пальцами найдите вектор v на вектор B . Если вы это сделаете, ваш большой палец будет указывать за пределы экрана (или за пределы страницы). Итак, наш окончательный ответ - 101,4 тесла-метра в секунду вне страницы.
Вот и все; были сделаны.
Резюме урока
Вектор - это величина, которая имеет как величину (числовой размер), так и направление. Когда мы умножаем два вектора вместе, результатом может быть вектор или скаляр. Когда результатом умножения двух векторов является скаляр, это умножение является скалярным произведением. Но если результатом является вектор, то умножение - это перекрестное произведение. Перекрестное произведение - это умножение одного вектора на компонент второго вектора, который действует под углом 90 градусов к первому вектору.
Уравнение для вычисления перекрестного произведения довольно простое. Перекрестное произведение между векторами A и B равно величине вектора A , умноженной на величину вектора B , умноженную на синус угла между ними. Это дает вам значимость вашего ответа. Но ваш ответ сам по себе является вектором, поэтому вам также нужно найти направление своего ответа.
Чтобы получить направление, вы должны использовать правило правой руки.Поднимая вверх большой палец правой руки, вы можете использовать пальцы, чтобы толкнуть (или "завить", или "завить") вектор A по направлению к вектору B . Когда вы это сделаете, ваш большой палец будет указывать в определенном направлении, и это направление вашего окончательного ответа. Что касается направления, A -cross- B не даст такого же результата, как B -cross- A , поэтому порядок, в котором вы пишете умножение, имеет значение.
Результаты обучения
Изучив этот урок, вы сможете:
- Определить вектор и кросс-произведение
- Вычислить перекрестное произведение с помощью уравнения перекрестного произведения
- Продемонстрируйте, как получить направление перекрестного произведения
- Вспомните, почему порядок умножения имеет значение для перекрестного произведения
Векторы и базы
Например, если у нас $ \ vec {a} =
3 \, \ hat {\ imath} + 2 \, \ hat {\ jmath} $ и мы хотим, чтобы
запишите это в базисе $ \, \ hat {u}, \, \ hat {v} $,
тогда нам нужно знать $ \, \ hat {\ imath},
\, \ hat {\ jmath} $ в терминах $ \, \ hat {u},
\, \ hat {v} $.
Сверху мы видим, что:
\ [\ begin {выровнено} \ hat {\ imath} & =
\ cos \ theta \, \ hat {u} - \ sin \ theta \, \ hat {v}
= \ frac {1} {\ sqrt {2}} \, \ hat {u} - \ frac {1} {\ sqrt {2}}
\, \ hat {v} \\
\ hat {\ jmath} & =
\ sin \ theta \, \ hat {u} + \ cos \ theta \, \ hat {v}
= \ frac {1} {\ sqrt {2}}
\, \ hat {u} + \ frac {1} {\ sqrt {2}}
\, \ hat {v}. \ end {align} \]
Затем мы можем заменить и переставить:
\ [\ begin {выровнено} \ vec {a} & =
3 \, \ hat {\ imath} + 2 \, \ hat {\ jmath} \\ & =
3 \ left (\ frac {1} {\ sqrt {2}} \, \ hat {u} -
\ frac {1} {\ sqrt {2}} \, \ hat {v} \ right) +
2 \ left (\ frac {1} {\ sqrt {2}} \, \ hat {u} +
\ frac {1} {\ sqrt {2}} \, \ hat {v} \ right) \\ & =
\ left (\ frac {3} {\ sqrt {2}} + \ frac {2} {\ sqrt {2}} \ right)
\, \ hat {u} + \ left (- \ frac {3} {\ sqrt {2}} +
\ frac {2} {\ sqrt {2}} \ right) \, \ hat {v} \\ & =
\ frac {5} {\ sqrt {2}} \, \ hat {u} - \ frac {1} {\ sqrt {2}}
\, \ hat {v}.\ конец {выровнено} \]
Если мы хотим выполнить обратную конвертацию, мы бы
нужно знать $ \, \ hat {u}, \, \ hat {v} $ с точки зрения
$ \, \ hat {\ imath}, \, \ hat {\ jmath} $. Мы можем найти это
решение для $ \, \ hat {u}, \, \ hat {v} $ выше, давая: \ [\ begin {align} \ hat {u} & =
\ соз \ тета \, \ шляпа \ имат + \ грех \ тета \, \ шляпа \ jmath
= \ frac {1} {\ sqrt {2}} \, \ hat \ imath + \ frac {1} {\ sqrt {2}}
\, \ шляпа \ jmath \\
\ hat {v} & =
- \ sin \ theta \, \ hat \ imath + \ cos \ theta \, \ hat \ jmath
= - \ frac {1} {\ sqrt {2}}
\, \ hat \ imath + \ frac {1} {\ sqrt {2}}
\, \ шляпа \ jmath.\ конец {выровнено} \]
скалярное произведение
скалярное произведение Скалярное произведение
Цели: К концу этой главы вы
сможет
(i) вычислить скалярное произведение для двух векторов, и
(ii) использовать скалярное произведение для определения угла между двумя векторами.
Скалярное произведение также называется скалярным произведением потому что символ, который используется для представления этого произведения двух векторов
просто точка •.
- Это называется « скалярное произведение », потому что результат этой операции - это скаляр (число), а НЕ вектор.
- Скалярное произведение двух векторов a и b определяется
а • b = | а | | b | cos θ ----- (1)
где θ - угол между двумя векторами a и b . - Обратите внимание, что угол θ измеряется между направлением этих двух
векторы, как показано на схемах ниже.
- Глядя на приведенную выше формулу (она также есть на странице буклета формул
5), мы видим, что правая часть в основном представляет собой произведение трех элементов:
величина вектора a (скаляр), величина
вектор b (скаляр) и cos θ (скаляр).Таким образом,
произведение должно быть скалярным.
- Вышеупомянутая формула может быть расширена до векторов в трех измерениях ( i,
j, k ) и далее.
- В механике работа (энергия) - скалярное произведение Силы.
и смещение. Скалярное произведение часто используется, чтобы найти угол между
два вектора.
cos θ = а • b
| и |
| b |
или просто θ = arccos [ a • b / (| a | | b | )] - Пример 1: Пусть есть
быть двумя векторами b 1 i + b 2 j +
b 3 k и c 1 i + c 2 j + c 3 k .Тогда скалярное произведение этих двух векторов будет просто:
(b 1 i + b 2 j + b 3 k )
• (c 1 i + c 2 j +
c 3 k ) = (b 1 c 1 )
+ (b 2 c 2 ) + (b 3 c 3 ) ---- (2)
Этот метод работает также для трех и более измерений.Примечание
что это в основном сумма произведений между значениями, принадлежащими
на той же основе ( i или j или к ).
Вставка 1. Как понять выражение (2) выше.
На диаграмме слева мы можем считать, что
вектор b = b 1 i + b 2 j + b 3 k и
вектор c = c 1 i + c 2 j + с 3 к .
Применение правила косинуса позволит нам написать
2 | b | | c |
cos θ = | b | 2 + | c | 2 - | и | 2
2 | b | | c | cos θ
= (b 1 2 + b 2 2 + b 3 2 ) + (c 1 2 + c 2 2 + c 3 2 ) - [(b 1 -c 1 ) 2 + (b 2 -c 2 ) 2 + (b 3 -c 3 ) 2 ]
2 | b | | c | cos θ
= 2b 1 c 1 + 2b 2 c 2 + 2b 3 c 3
2 | b | | c | cos θ
= 2 (b 1 c 1 + b 2 c 2 + b 3 c 3 )
| b | | c |
cos θ = (b 1 c 1 + b 2 c 2 + b 3 c 3 )
Таким образом, мы получили искомое выражение (2) выше.
- Пример 2: Найдите скалярное произведение 3 i + 5 j и 7 i - 3 Дж .
Решение: (3 i + 5 j )
• (7 i - 3 j ) = (3x7)
+ (5x (-3)) = 21-15
= 6. 90 · 106 - Пример 3 : Найдите
скалярное произведение
( -4
)
( -1/2
)
8
и
-5
10
12
Решение: (-4 i + 8 j + 10 k ) • (-1/2 i -
5 j + 12 k ) = (2) + (-40)
+ (120) = 82 - Пример 4 : Найдите угол между
два вектора в примере 3.
Решение: θ =
arccos [ a • b
/ (| и | | b | )]
Из примера 3 выше мы знаем, что скалярное произведение равно 82. Теперь нам нужно
найти величину этих двух векторов. Величина первого вектора
равно √ [(-4) 2 + (8) 2 + (10) 2 ] = √ (180)
и
Величина другого вектора равна √ [(-1/2) 2 + (-5) 2 .
+ (12) 2 ] = √ (169.25).
θ =
arccos [ 82 / (√ (180) √ (169,25)
)] ≈ 62,0 o (3 s.f) или 1,08 радиан (3 s.f). [ты
ответ должен быть в градусах или радианах] Пример 5 : Пусть u = u 1 i + u 2 j + u 3 k, v = v 1 i + v 2 j + v 3 k и w = w 1 i + w 2 j + w 3 k.
Показать, что u • ( v + w ) = u • v + u • w ; то есть скалярное произведение
распределительный над сложением.
Решение:
LHS = (u 1 i + u 2 j + u 3 к )
· [(V 1 + w 1 ) i + (v 2 + w 1 ) j + (v 3 + w 1 ) к ]
LHS = u 1 (v 1 + w 1 ) + u 2 (v 2 + w 2 ) + u 3 (v 3 + w 3 )
LHS = u 1 v 1 + u 1 w 1 + u 2 v 2 + u 21 w 2 )
+ u 3 v 3 + u 3 w 3
LHS = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 + u 1 w 1 + u 2 w 2 + u 3 w 3
LHS = u · v + u ·
ш
LHS = RHS
Обратите внимание, что это свойство также сохраняется для вектора в других измерениях.
и над вычитанием.
Рабочий лист.
- Пусть вектор a и вектор b быть i и j соответственно, т.е. a = i + 0 j и b = 0 i + j .
- Какая связь между вектором a и вектор b ? [подсказка: нарисуйте эти векторы]
- Какое скалярное произведение между этими двумя векторами?
- Какой угол между этими двумя векторами?
- Пусть вектор a будет i + j и вектор b be 5 i + 5 д.
- Какая связь между вектором a и вектор b ? [подсказка: нарисуйте эти векторы]
- Какое скалярное произведение между этими двумя векторами?
- Какой угол между этими двумя векторами?
- Пусть вектор v будет i + Дж.
- Какова величина вектора v ?
- Найдите значение | v | 2 ?
- Вычислить v • версия
- Какая связь между и • v и | v | 2 ?
- Рассчитайте угол между 3 i + 5 j и 7 i - 3 Дж .[Ответ: 82,2 o ]
- Покажите, что если a и b являются ненулевым вектором в трех измерениях и перпендикулярны друг к другу, то a • b = 0 .
- (i) Покажите, что если a и b являются ненулевым вектором в трех измерениях и параллельны каждому прочее, кроме
a • b = | и | | б |
(ii) Покажите, что если a и b являются ненулевым вектором в трех измерениях и антипараллельными друг к другу, то
a • b = - | и | | b | - Пусть определены u и v как в примере 5 выше.
(i) Покажите, что u • ( u - v ) - v • ( u - v ) = ( u - v ) • ( и - v )
(ii) С помощью приведенной выше диаграммы и свойства в (i) выведите правило косинуса.
Свойства в (5) и (6) верны для векторов других размерностей. Результаты, достижения из приведенных выше вопросов являются важными свойствами скалярного произведения. Jot вниз эти результаты в поле, приведенном ниже.
Важные свойства скалярного произведения. v • w = w • v & nbsp --- коммутативный
u • ( v + w) = (u • v) + (u • w) --- распределительный
(к в) • w = k ( v • w )
(впишите результаты из 1)
(напишите результаты из 2 здесь)
(запишите результаты из 3iv выше)
- Скалярное произведение не замкнуто, поскольку скалярное произведение двух векторов равно
НЕ вектор, а скалярное число.
- Скалярное произведение не имеет идентичности или инверсии.
Матричная алгебра
Матричная алгебра Матричная алгебра
Что такое единичная матрица?
Что такое скаляр?
Что такое обратная матрица?
Когда (для какой матрицы) транспонированная матрица равна исходной матрице?
Произвести умножение матриц.
Учитывая матрицу и матричную операцию, определите содержимое результирующей матрицы (например,g., SSCP, ковариация, корреляция).
Определения
«Матрица - это прямоугольник размером n на k, состоящий из чисел или символов, обозначающих числа» (Pedhazur, 1997, p. 983). Размер матрицы называется ее порядком и обозначается строками и столбцами. По соглашению, строки всегда упоминаются первыми. Таким образом, матрица порядка 3 на 2 с именем A может выглядеть так:
A
= Матрица с именем B порядка 4 на 4 может выглядеть так:
B
= По соглашению, матрицы в тексте печатаются жирным шрифтом .
Элементы (элементы) матрицы обозначаются именем матрицы в нижнем регистре с заданной строкой и столбцом (опять же, строка идет первой). Например, a 31 = 2, b 22 = 1. Как правило, a ij означает элемент A в i-й строке и j-м столбце. По соглашению элементы напечатаны курсивом .
транспонирование матрицы получается путем обмена строками и столбцами, так что первая строка становится первым столбцом и так далее.Транспонирование матрицы обозначается одинарной кавычкой и называется простым числом. Например, A '(простое число):
A
= A '=
Обратите внимание, что A '- это не просто A , «опрокинутый» на бок (если это так, мы увидим в первом столбце 1 3 вместо 3 1). Это как если бы карточки или доски с номерами для каждого ряда были вытянуты 1 на 1 и размещены в порядке транспонирования. Транспонирование B:
B
= B '=
(Для некоторых матриц транспонирование равно исходной матрице.)
Если n = k, количество строк равно количеству столбцов, а матрица равна квадрату . Квадратная матрица может быть симметричной или асимметричной . Симметричная матрица обладает тем свойством, что элементы выше и ниже главной диагонали одинаковы, так что element (i, j) = element (j, i), как в нашей матрице B . (Главная или главная диагональ в матрице B состоит из элементов, все равны 1.) В случае квадратной симметричной матрицы транспонированная матрица является исходной матрицей.Корреляционная матрица всегда будет квадратной симметричной матрицей, поэтому транспонирование будет равно оригиналу.
Вектор-столбец представляет собой числовую матрицу размером n на 1. Например:
(я собираюсь использовать прямоугольники для матриц, а не стандартные скобки из-за проблем с форматированием.) Итак, b - вектор-столбец. Вектор-строка представляет собой числовую матрицу размером 1 на k. Например,
Итак, b '- вектор-строка.Обратите внимание, что b ' - это транспонирование b . По соглашению векторы печатаются строчными буквами жирным шрифтом, а векторы-строки представлены как транспонированные векторы-столбцы.
Диагональная матрица - это квадратная симметричная матрица, имеющая нули везде, кроме главной диагонали. Например: С
= 12
0
0
0
10
0
0
0
5
C - диагональная матрица.
Особенно важная диагональная матрица называется единичной матрицей, I . Эта диагональная матрица имеет единицы на главной диагонали.
I
= 1
0
0
0
1
0
0
0
1
I - единичная матрица.Бывает, что корреляционная матрица, в которой все переменные ортогональны, является единичной матрицей.
Скаляр - матрица с одним элементом. Например
d
- скаляр. Матричные операции
Сложение и вычитание
Матрицы можно складывать и вычитать тогда и только тогда, когда они одного порядка (идентичны по количеству строк и столбцов). Матрицы, на которых допустима операция, называются соответствующими операции.
Нам повезло, потому что сложение и вычитание матриц просто означает сложение или вычитание соответствующих элементов двух матриц.
Дополнение
4
+
6
=
10
1
2
3
5
3
8
x
л
z
Дополнение
1
2
+
3
4
=
4
6
1
2
5
6
6
8
1
2
7
8
8
10
Х
Y
Z
Вычитание
1
2
–
3
4
=
-2
-2
1
2
5
6
-4
-4
1
2
7
8
-6
-6
Х
Y
Z
Умножение
В отличие от сложения и вычитания матриц, умножение матриц не является прямым расширением обычного умножения.Умножение матриц включает как умножение, так и добавление элементов. Если мы умножим вектор-строку на вектор-столбец, мы получим скаляр.
Чтобы получить это, мы сначала умножаем соответствующие элементы, а затем складываем их.
в1
=
а1
а2
a3
в2
a1b1
+ a2b2
+ a3b3
b3
а '
б
с
Для числового примера:
0
=
=
1
2
3
2
0 + 4 + 12
16
4
Результат умножения двух таких векторов называется скалярным произведением.Скалярные произведения имеют множество статистических приложений. Например, сумму переменной можно найти, поместив эту переменную в вектор-столбец и предварительно умножив ее на вектор-строку, состоящий из единиц.
Например,
7
1
1
1
8
=
7 + 8 + 9
=
24
9
1'x
= S X Можно найти сумму перекрестных произведений по таким операциям:
1
2
4
6
3
=
2 + 12 + 30
=
44
5
x'y
= S XY И если мы вычтем среднее значение из вектора-столбца, мы можем найти сумму квадратов:
–1
–1
0
1
0
=
1 + 0 + 1
=
2
1
x'x
= S x 2 В отличие от обычного умножения, матричное умножение не является симметричным, поэтому, как правило, x'y не равно y'x , то есть предварительное и последующее умножение обычно не дает одинакового результата.В общем, первая матрица будет порядка r1xc1, а вторая - порядка r2xc2.
Чтобы соответствовать умножению, c1 должно быть равно r2. Порядок результирующей матрицы будет r1xc2. Внутренние числа должны быть равны, чтобы произошло умножение. Если да, то результат будет порядка внешних чисел. Некоторые примеры
А (1 ул )
В (2 nd )
AB
рядов
Cols
рядов
Cols
рядов
Cols
1
5
5
1
1
1
1
10
10
1
1
1
1
6
5
1
DNC
5
1
1
5
5
5
3
2
2
3
3
3
3
3
2
3
DNC
2
4
4
3
2
3
То, что происходит при умножении матриц, зависит от порядка матриц (хотя последовательность шагов всегда одинакова).
Если мы умножим вектор-столбец на вектор-строку, мы получим матричное произведение векторов, а не скаляр.
Пример
1
1
-2
0
2
1
-2
0
=
2
-4
0
3
3
-6
0
а
б '
=
К
3x1
1x3
3x3
Возьмите первую строку a (1), умножьте на первый столбец b (1) установите результат на c 1,1 .Возьмите вторую строку a (2), умножьте на 1 st col b (1), установите результат как c 2,1 и т. Д.
Тот же самый образец используется для матриц большего порядка, за исключением того, что для каждой комбинации мы умножаем и складываем. Например
2
1
7
8
9
3
1
2
3
4
9
11
13
4
2
3
2
1
14
16
18
А
Б
К
3x2
2x3
3x3
Чтобы получить значения C
(2) 2+ (1) 3 = 7 (1,1)
(2) 3+ (1) 2 = 8
(1,2) (2) 4+ (1) 1 = 9
(1,3) (3) 2+ (1) 3 = 9
(2,1) (3) 3+ (1) 2 = 11
(2,2) (3) 4+ (1) 1 = 13
(2,3) (4) 2+ (2) 3 = 14
(3,1) (4) 3+ (2) 2 = 16
(3,2) (4) 4+ (2) 1 = 18
(3,3)
Перейти по строкам первой матрицы и столбцам второй.Чтобы получить c (1,1), возьмите первую строку и первый столбец, умножьте соответствующие элементы и сложите.
Умножение матриц полезно для нахождения матрицы сумм квадратов и перекрестных произведений (матрица SSCP).
Мы можем найти либо исходную оценку, либо сумму оценок отклонений квадратов и перекрестных произведений. Первые необработанные баллы:
1
2
0
1
2
2
3
2
2
2
3
2
26
37
14
2
3
4
3
4
2
2
4
2
37
58
20
0
2
2
2
0
0
3
3
2
14
20
12
2
4
0
2
2
0
Х '
Х
SSCP
3x6
6x3
3x3
Содержимое матрицы SSCP
Теперь отклонение оценок от тех же данных:
-1
-1
-1
-1
0
0
1
0
0
0
0
1
2
1
2
-1
0
1
0
1
-1
0
1
1
1
4
2
-1
1
1
1
-1
-1
1
0
1
2
2
6
0
1
-1
0
-1
-1
Х '
Х
SSCP
3x6
6x3
3x3
Содержимое матрицы SSCP
Если мы умножаем или делим матрицу на скаляр, каждый элемент матрицы умножается (делится) на этот скаляр.Если мы разделим каждый элемент в приведенной выше матрице SSCP на 6 (размер выборки), мы получим
2/6
1/6
2/6
,33
,17
,33
1/6
4/6
2/6
=
.17
,66
,33
2/6
2/6
6/6
,33
,33
1
Матрица SSCP, деленная на N (или N-1), называется матрицей вариации-ковариации.В нем у нас есть дисперсии по диагонали и ковариации по главной диагонали.
Если мы дополнительно разделим на стандартное отклонение для каждой строки и каждого столбца, мы получим матрицу корреляции:
Корреляционная матрица для наших данных:
Детерминанты
Определитель - это необычное свойство или значение матрицы. Мы (ну, фактически, компьютер) будем находить детерминанты корреляции, дисперсии-ковариации или матриц суммы квадратов и перекрестных произведений (SSCP).Вы можете думать о детерминанте как о мере свободы изменения или отсутствия предсказуемости в матрице (я говорю это, чтобы дать вам некоторое представление о том, что это такое, даже если оно не совсем правильное или точное). Помимо общего представления о том, что это такое и окружающей его номенклатуре, вам необходимо знать (а), что определитель используется для нахождения обратной матрицы (обсуждается в следующем разделе) и (б) что это означает, когда определитель нуль.
Записан определитель матрицы A
det ( A ) = | A | или
Определитель обозначен вертикальными линиями вместо скобок.Определитель трудно вычислить, если матрица не имеет порядок 2x2. В этом случае определитель будет просто a 11 ( a 22 ) - a 21 ( a 12 ). В нашем примере выше определитель будет 1 (1) - (. 5) (. 5) = 0,75.
Большой детерминант означает, что есть свобода изменения; нулевой определитель означает, что нет свободы варьирования, в матрице есть полная предсказуемость.Например, если корреляция между двумя нашими показателями равна 1.0, то определитель корреляционной матрицы будет (1) (1) - (1) (1) = 0. Определитель нулевых результатов, когда существует линейная зависимость в матрица. То есть, если одна переменная является линейной комбинацией других переменных в матрице, определитель будет равен нулю. Например, предположим, что я хочу использовать удовлетворенность работой для прогнозирования текучести кадров. У меня есть пять шкал удовлетворенности работой из JDI (известная мера описания вакансий): работа, оплата, продвижение по службе, супервизия и коллеги.Теперь предположим, что я хочу спрогнозировать текучесть кадров из этих пяти плюс общее удовлетворение. Если я суммирую пять шкал, чтобы обозначить общую удовлетворенность, общая сумма будет линейной комбинацией пяти шкал (общая = работа + оплата + промо + супер + работа).
Если я помещу все шесть шкал в корреляционную матрицу, у нее будет нулевой определитель. Матрица с нулевым определителем называется сингулярным числом . Как скоро будет объяснено, это в некотором роде плохо. Сингулярные матрицы создают для нас неприятные проблемы.Матрица будет сингулярной, если любые две переменные в матрице идеально коррелированы (либо r = 1, либо r = -1). Матрица также будет сингулярной, если любая переменная в матрице идеально предсказывается любой комбинацией других переменных в матрице. То есть, если мы выберем любую одну переменную в качестве зависимой переменной и используем любую комбинацию других переменных в матрице для вычисления линейной регрессии и найдем R 2 равным 1,0, матрица будет сингулярной. У сингулярной матрицы нет обратной .
1
0
0
0
1
0
| A |
= 1
0
0
1
А
1
.5
,25
,5
1
,25
| B |
= 0,69
.25
,25
1
Б
1
1
0
1
1
0
| C |
= 0
0
0
1
К
Обратите внимание, что определитель для A больше, чем для B , потому что у A больше свободы для изменения и, конечно, определитель для C равен нулю, потому что две из переменных идеально подходят коррелирован.
Инверсная матрица
Инверсия - это матричный аналог деления действительных чисел. В действительных числах x -1 равно 1 / x. А в действительных числах, если мы умножим x на x -1 , мы получим (x) (1 / x) = 1. Только квадратная матрица может иметь обратную. Обратное имеет свойство: когда мы умножаем матрицу на обратную, результатом является единичная матрица, I . Другими словами, AA -1 = A -1 A = I .Это во многих отношениях особенное. Во-первых, обычно бывает, что предварительное умножение и последующее умножение двух матриц дает один и тот же результат ( AX обычно не равно XA ). Во-вторых, единичная матрица обладает тем свойством, что ее умножение на любую соответствующую матрицу дает ту же матрицу. То есть AI = IA = A . Умножение матрицы на единичную матрицу аналогично действительной операции умножения числа или переменной на 1: результирующий результат идентичен входному числу.Вот почему обратная матрица аналогична делению числа на себя в действительных числах. В реальных числах, когда вы делите число на обратное (обратное), результат будет 1. Когда вы умножаете матрицу на обратную, результат будет I . В обоих случаях (1 и I ) при умножении на что-то исходное значение остается неизменным.
1
,5
,25
1
0
0
1
.5
,25
,5
1
,25
0
1
0
,5
1
,25
,25
,25
1
0
0
1
.25
,25
1
Б
I
BI
1
.5
,25
1,36
-.64
-.18
1
0
0
,5
1
,25
-.64
1,36
-.18
0
1
0
,25
,25
1
-.18
-.18
1,36
0
0
1
Б
В -1
BB -1
Проверить умножение.
БИ (1,1) = 1 + 0 + 0; BI (2,1) = 0,5 + 0 + 0; BI (3,1) = 0,25 + 0 + 0 и т. Д. BB -1 (1,1) = (1) 1,36-5 (0,46) - 0,25 (0,18) = 1; BB -1 (2,1) = 0,5 (1,36) - (1) .64-0,25 (0,18) = 0 и т. Д.
Третья, основная причина, по которой мы заботимся об этом, заключается в том, что инверсия используется при нахождении весов b и b из матриц данных. Если мы умножим корреляционную матрицу на ее обратную, мы получим единичную матрицу, I . Это позволяет нам умножить обе части уравнения на обратное, чтобы решить матричное уравнение (точно так же, как деление обеих сторон уравнения в обычной алгебре).
Обратное выражение позволяет нам найти веса b .
Во всяком случае, обратного нет, когда матрица сингулярна (когда определитель равен нулю). Когда нет обратного, мы не можем найти веса b . Итак, если у нас есть сингулярная матрица, мы не можем выполнять множественную регрессию.
Объяснитель урока: Перекрестное произведение в 2D
В этом объяснении мы узнаем, как найти перекрестное произведение двух векторов.
в координатной плоскости.
Есть два способа перемножить векторы.
Возможно, вы уже знакомы с скалярным произведением, также называемым скалярным произведением.
Этот продукт приводит к скалярному количеству , которое дается произведением
величины обоих векторов, умноженные на косинус угла между
два вектора. Что касается векторного произведения, это умножение векторов
что приводит к вектору .
Определение: Перекрестное произведение
Перекрестное произведение двух векторов ⃑𝐴 и
⃑𝐵 это
вектор, перпендикулярный плоскости, содержащий ⃑𝐴
и ⃑𝐵, величина которого определяется выражением
‖‖⃑𝐴 × ⃑𝐵‖‖ = ‖‖⃑𝐴‖‖‖‖⃑𝐵‖‖ | 𝜃 |, грех
где 𝜃 - угол между ⃑𝐴
и ⃑𝐵.
Из определения перекрестного произведения находим, что перекрестное произведение двух
параллельные (или коллинеарные) векторы равны нулю как синус угла между ними
(0 или 180∘) равно нулю. Примечание
что никакая плоскость не может быть определена двумя коллинеарными векторами,
поэтому согласованно, что ⃑𝐴 × ⃑𝐵 = 0
если ⃑𝐴 и ⃑𝐵 коллинеарны.
Из приведенного выше определения следует, что перекрестное произведение любых двух неколлинеарных
векторы в координатной плоскости с ⃑𝑖 и
⃑𝑗 как единичные векторы параллельны
⃑𝑘, где ⃑𝑘
- единичный вектор, перпендикулярный плоскости, содержащей
⃑𝑖 и ⃑𝑗,
как показано на схеме.
Рассмотрим два вектора ⃑𝐴 и
⃑𝐵 в координатной плоскости.
Вектор ⃑𝐴 образует угол 𝜃
с ⃑𝑖 и вектором ⃑𝐵
образует угол 𝜃.
Угол 𝜃 между ⃑𝐴 и
⃑𝐵 это
поэтому 𝜃 − 𝜃, поэтому имеем
sinsin𝜃 = (𝜃 − 𝜃) .
Используя тригонометрическое тождество вычитания sinsincoscossin (𝜃 − 𝜃) = 𝜃𝜃 − 𝜃𝜃, находим, что
sinsincoscossin𝜃 = 𝜃𝜃 − 𝜃𝜃.
Составим матрицу с компонентами в терминах
𝜃 и 𝜃 из
⃑𝐴 в первом ряду и в
⃑𝐵 во втором ряду
Cossincossin
и вычислим его определитель.Напомним, что определитель
Матрица 2 × 2 имеет вид
||| 𝑎𝑏𝑐𝑑 ||| = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐.
Отсюда находим, что
||||| ‖‖⃑𝐴‖‖𝜃‖‖⃑𝐴‖‖𝜃‖‖⃑𝐵‖‖𝜃‖‖⃑𝐵‖‖𝜃 ||||| = ‖‖⃑𝐴‖‖‖‖⃑𝐵‖‖𝜃𝜃 − ‖‖⃑𝐴 ‖‖‖‖⃑𝐵‖‖𝜃𝜃 = ‖‖⃑𝐴‖‖‖‖⃑𝐵‖‖ (𝜃𝜃 − 𝜃𝜃) = ‖‖⃑𝐴‖‖‖‖⃑𝐵‖‖𝜃, cossincossincossinsincoscossinsincossin
поскольку sincoscossinsin𝜃𝜃 − 𝜃𝜃 = 𝜃.
Если мы объединим это с тем фактом, что ⃑𝐴 × ⃑𝐵 - вектор, параллельный ⃑𝑘,
мы можем записать следующее определение векторного произведения двух векторов в
координатная плоскость с ⃑𝑖 и
⃑𝑗 как единичные векторы.
Определение: перекрестное произведение двух векторов в координатной плоскости
Для двух векторов ⃑𝐴 = 𝐴⃑𝑖 + 𝐴⃑𝑗
и ⃑𝐵 = 𝐵⃑𝑖 + 𝐵⃑𝑗 в координатной плоскости с ⃑𝑖
и ⃑𝑗 как единичные векторы, перекрестное произведение ⃑𝐴 и равно
⃑𝐴 × ⃑𝐵 = ||| 𝐴𝐴𝐵𝐵 ||| ⃑𝑘 = 𝐴𝐵 − 𝐵𝐴⃑𝑘 = ‖‖⃑𝐴‖‖‖‖⃑𝐵‖‖𝜃⃑𝑘, sin
где 𝜃 - угол между ⃑𝐴 и, а векторы,
⃑𝑗 и ⃑𝑘 являются
фундаментальные единичные векторы вдоль осей-, 𝑦- и 𝑧 соответственно,
как показано на схеме.
Проиллюстрируем это определение перекрестного произведения на первом примере.
Пример 1: Нахождение отсутствующей компоненты по перекрестному произведению двух двумерных векторов
Если ⃑𝐴 = 3⃑𝑖 − 5⃑𝑗,
⃑𝐵 = 𝑚⃑𝑖 + 5⃑𝑗,
и ⃑𝐴 × ⃑𝐵 = 50⃑𝑘, найдите значение 𝑚.
Ответ
Поскольку ⃑𝐴 = 3⃑𝑖 − 5⃑𝑗, имеем 𝐴 = 3
и 𝐴 = −5; и поскольку ⃑𝐵 = 𝑚⃑𝑖 + 5⃑𝑗,
имеем 𝐵 = 𝑚 и 𝐵 = 5.
Кроме того, мы знаем, что
⃑𝐴 × ⃑𝐵 = ||| 𝐴𝐴𝐵𝐵 ||| ⃑𝑘 = 50⃑𝑘.
Отсюда || 3−5𝑚5 || = 503 × 5 - (- 5) 𝑚 = 5015 + 5𝑚 = 505𝑚 = 50−15𝑚 = 7.
Давайте дальше попрактикуемся в вычислении векторного произведения двух векторов, задав еще один вопрос, связанный с сложением векторов.
Пример 2: Вычисление перекрестного произведения двух двумерных векторов
Учитывая, что ⃑𝐴 = 7⃑𝑖 + 2⃑𝑗, ⃑𝐵 = −⃑𝑖 + 2⃑𝑗 и
⃑𝐶 = 6⃑𝑖 + 6⃑𝑗,
определить ⃑𝐶 + ⃑𝐴 × ⃑𝐵.
Ответ
Давайте сначала поработаем ⃑𝐶 + ⃑𝐴:
⃑𝐶 + ⃑𝐴 = 7⃑𝑖 + 2⃑𝑗 + 6⃑𝑖 + 6⃑𝑗 = 13⃑𝑖 + 8⃑𝑗.
Отсюда мы заключаем, что 𝑥- и 𝑦-компоненты
из ⃑𝐶 + ⃑𝐴
равны (𝐶 + 𝐴) = 13 и (𝐶 + 𝐴) = 8.Кроме того, из ⃑𝐵 = −⃑𝑖 + 2⃑𝑗,
мы знаем, что 𝐵 = −1 и 𝐵 = 2.
Теперь мы можем вычислить ⃑𝐶 + ⃑𝐴 × ⃑𝐵 как
⃑𝐶 + ⃑𝐴 × ⃑𝐵 = ||| (𝐶 + 𝐴) (𝐶 + 𝐴) 𝐵𝐵 ||| ⃑𝑘 = || 138−12 || ⃑𝑘 = (13 × 2 - (- 1) × 8) ⃑𝑘 = 34⃑𝑘.
В предыдущем примере мы можем задаться вопросом, является ли перекрестное произведение распределительным,
то есть имеем ⃑𝐶 + ⃑𝐴 × ⃑𝐵 = ⃑𝐶 × ⃑𝐵 + ⃑𝐴 × ⃑𝐵?
Это легко узнать, если присмотреться к определителю, который мы использовали раньше.
вычислить ⃑𝐶 + ⃑𝐴 × ⃑𝐵:
||| (𝐶 + 𝐴) (𝐶 + 𝐴) 𝐵𝐵 ||| = (𝐶 + 𝐴) 𝐵 − 𝐵 (𝐶 + 𝐴).
Правило сложения векторов: (𝐶 + 𝐴) = 𝐶 + 𝐴
и (𝐶 + 𝐴) = 𝐶 + 𝐴; следовательно,
||| (𝐶 + 𝐴) (𝐶 + 𝐴) 𝐵𝐵 ||| = 𝐶𝐵 + 𝐴𝐵 − 𝐵𝐶 − 𝐵𝐴 = 𝐶𝐵 − 𝐵𝐶 + 𝐴𝐵 − 𝐵𝐴 = ||| 𝐶𝐶𝐵𝐵 ||| + ||| 𝐴𝐴𝐵𝐵 |||.
Отсюда + ⃑𝐴 × ⃑𝐵 = ⃑𝐶 × ⃑𝐵 + ⃑𝐴 × ⃑𝐵; таким образом, перекрестным произведением является распределительное .
Свойство: Распределимость перекрестного произведения
Перекрестное произведение является распределительным:
⃑𝐶 + ⃑𝐴 × ⃑𝐵 = ⃑𝐶 × ⃑𝐵 + ⃑𝐴 × ⃑𝐵.
Теперь мы будем использовать наши знания о том, как вычисляются перекрестные произведения, чтобы найти неизвестный вектор по результатам его перекрестного произведения с двумя известными векторами.
Пример 3: Нахождение вектора по его перекрестному произведению с двумя известными векторами
Если ⃑𝐴 = −⃑𝑖 − 2⃑𝑗,
⃑𝐵 = −4⃑𝑖 − 4⃑𝑗,
⃑𝐴 × ⃑𝐶 = −3⃑𝑘, и
⃑𝐶 × ⃑𝐵 = 4⃑𝑘, найти ⃑𝐶.
Ответ
Выделим компоненты ⃑𝐴 и ⃑𝐵 из их выражений через
⃑𝑖 и ⃑𝑗:
𝐴 = −1 и 𝐴 = −2,
и 𝐵 = −4 и 𝐵 = −4.
Теперь мы можем записать их перекрестные произведения с ⃑𝐶 как
⃑𝐴 × ⃑𝐶 = ||| 𝐴𝐴𝐶𝐶 ||| ⃑𝑘 = −3⃑𝑘, ⃑𝐶 × ⃑𝐵 = ||| 𝐶𝐶𝐵𝐵 ||| ⃑𝑘 = 4⃑𝑘.и
Отсюда имеем
||| −1−2𝐶𝐶 ||| ⃑𝑘 = −3⃑𝑘, −1 × 𝐶 − 𝐶 × (−2) = - 3, −𝐶 + 2𝐶 = −3, (1)
и
||| 𝐶𝐶 − 4−4 ||| ⃑𝑘 = 4⃑𝑘, −4𝐶 - (- 4) 𝐶 = 4, −4𝐶 + 4𝐶 = 4. (2)
Теперь у нас есть два линейных уравнения с двумя неизвестными.
(𝐶 и 𝐶).
Из уравнения (1) находим, что 𝐶 = 2𝐶 + 3. Подставляя это выражение для в уравнение (2), получаем
−4𝐶 + 4⋅ (2𝐶 + 3) = 4−4𝐶 + 8𝐶 + 12 = 44𝐶 = 4−12𝐶 = −2.
Подставляя 𝐶 = −2 в 𝐶 = 2𝐶 + 3,
находим, что 𝐶 = −1.
Следовательно, ⃑𝐶 = −2⃑𝑖 − ⃑𝑗.
Давайте теперь найдем перекрестное произведение двух векторов, компоненты которых не указаны явно, но определены конкретными точками в прямоугольнике.
Пример 4: Нахождение перекрестного произведения двух векторов в прямоугольнике
𝐴𝐵𝐶𝐷 - это прямоугольник, где ⃑𝐾 - единичный вектор, перпендикулярный его плоскости. Найти
𝐶𝑀 × 𝐶𝐵.
Ответ
Чтобы найти × 𝐶𝐵, у нас есть две возможности.Либо мы находим компоненты обоих векторов, например в координате
плоскость с началом координат 𝐶, ⃑𝑖 =,
и ⃑𝑗 = 𝐶𝐷‖‖𝐶𝐷‖‖,
или применим 𝐶𝑀 × 𝐶𝐵 = ‖‖𝐶𝑀‖‖‖‖𝐶𝐵‖‖𝜃⃑𝐶sin,
где 𝜃 - угол
между и 𝐶𝐵, а ⃑𝐾 - единичный вектор, перпендикулярный плоскости прямоугольника.
Этот второй метод подразумевает, что мы должны найти величину обоих векторов и sin𝜃.
Первый метод
В координатной плоскости 𝐶, ⃑𝑖 = 𝐶𝐵‖‖𝐶𝐵‖‖, ⃑𝑗 = 𝐶𝐷‖‖𝐶𝐷‖‖,
имеем 𝐶 (0,0), 𝐵 (44,0),
и 𝑀 (22,16.5).
Отсюда получаем, что 𝐶𝑀 = (22,16.5)
и 𝐶𝐵 = (44,0).
Перекрестное произведение 𝐶𝑀 и равно
𝐶𝑀 × 𝐶𝐵 = || 2216.5440 || ⃑𝐾,
поскольку ⃑𝐾 - единичный вектор, перпендикулярный плоскости прямоугольника.
𝐶𝑀 × 𝐶𝐵 = (22 × 0−44 × 16,5) ⃑𝐾 = −726⃑𝐾.
Второй метод
Величина 𝐶𝐵 - это просто длина
𝐶𝐵, значит это 44 см.
Точка 𝑀 - это середина диагонали прямоугольника,
поэтому 𝐶𝑀 = 12𝐶𝐴 и 𝐶𝐴 = √𝐴𝐵 + 𝐵𝐶
(применяя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶).Следовательно, 𝐶𝑀 = 12√33 + 44.
Синус угла между 𝐶𝑀 и
𝐶𝐵 дается
−𝐴𝐵𝐴𝐶 = −33√33 + 44.
Отрицательный знак связан с тем, что угол от
𝐶𝑀
к 𝐶𝐵 идет по часовой стрелке (отрицательный угол),
и sinsin (−𝜃) = - 𝜃, или,
для людей, работающих только с позитивом
углов (поворот против часовой стрелки), тогда
360 − ∠𝐵𝐶𝐴∘, и
грех (360 − 𝜃) = -.
Теперь мы можем писать
𝐶𝑀 × 𝐶𝐵 = ‖‖𝐶𝑀‖‖‖‖𝐶𝐵‖‖𝜃⃑𝐾 = 12√33 + 44 × 44 × − 33√33 + 44⃑𝐾 = − 12 × 44 × 33 ⃑𝐾 = −726⃑𝐾sin
Используя второй метод, использованный для решения последнего примера, мы видим важность
порядок векторов в перекрестном произведении, потому что их коммутация означает, что
знак угла меняется, или что он меняется с 𝜃 на
360 − 𝜃∘ когда один
использует только положительные углы.В результате синус меняет знак. Это значит, что
⃑𝐴 × ⃑𝐵 = −⃑𝐵 × ⃑𝐴.
Мы говорим, что перекрестное произведение антикоммутативно .
Свойство: антикоммутативность перекрестного произведения
Перекрестное произведение антикоммутативно:
⃑𝐴 × ⃑𝐵 = −⃑𝐵 × ⃑𝐴.
Давайте теперь посмотрим на геометрический смысл величины перекрестного произведения.
Для двух векторов ⃑𝐴 и ⃑𝐵 величина их взаимного произведения
равно ‖‖⃑𝐴 × ⃑𝐵‖‖ = ‖‖⃑𝐴‖‖‖‖⃑𝐵‖‖ | 𝜃 | sin.
Поскольку нас интересует абсолютное значение
sin𝜃, нам не нужно беспокоиться, если угол
от ⃑𝐴 до ⃑𝐵 или
от ⃑𝐵 до ⃑𝐴.
Если мысленно поместить диаграмму в единичный круг, мы сразу
посмотрим, что такое | 𝜃 | sin.
Мы видим, что ‖‖⃑𝐵‖‖ | 𝜃 | = 𝑂𝑌sin.
В геометрическом контексте 𝑂𝑌 - высота параллелограмма.
натянутое на ⃑𝐴 и ⃑𝐵.
Следовательно, ‖‖⃑𝐴‖‖‖‖⃑𝐵‖‖ | 𝜃 | sin
- площадь параллелограмма 𝑂𝐴𝐶𝐵.
Площадь треугольника 𝑂𝐴𝐵 вдвое меньше площади.
Отсюда следует, что площадь треугольника равна половине величины перекрестного произведения двух из трех векторов, составляющих его стороны, то есть
theareaof𝐴𝐵𝐶 = 12‖‖𝐴𝐵 × 𝐴𝐶‖‖ = 12‖‖𝐵𝐴 × 𝐵𝐶‖‖ = 12‖‖𝐶𝐵 × 𝐶𝐴‖‖.
Поскольку нас здесь интересует величина перекрестного произведения, порядок векторов и их направления
(𝐴𝐵 или 𝐵𝐴) на самом деле не имеют значения. Однако мы выбрали здесь запись векторов, начинающихся в одной из вершин треугольника, чтобы помочь визуализировать параллелограмм, натянутый на эти два вектора, и треугольник как половину параллелограмма.
Давайте воспользуемся значением векторного произведения в геометрическом контексте с последним примером.
Пример 5: Определение площади треугольника по его трем вершинам
Найдите площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶, где 𝐴 (−8, −9),
𝐵 (−7, −8) и 𝐶 (9, −2).
Ответ
Величина векторного произведения двух векторов равна площади
натянутый на них параллелограмм. Площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶 равна
до половины площади параллелограмма
двумя векторами, определяемыми его вершинами:
theareaof𝐴𝐵𝐶 = 12‖‖𝐴𝐵 × 𝐴𝐶‖‖ = 12‖‖𝐵𝐴 × 𝐵𝐶‖‖ = 12‖‖𝐶𝐵 × 𝐶𝐴‖‖.
Следовательно, здесь нам просто нужно выбрать одну вершину,
например 𝐶, и найти компоненты двух векторов из этой точки,
𝐶𝐵 и 𝐶𝐴:
𝐶𝐵 = (- 7−9, −8 - (- 2)) = (- 16, −6), 𝐶𝐴 = (- 8−9, −9 - (- 2)) = (- 17, −7 ).
Следовательно, площадь квадратных единиц𝐴𝐵𝐶 = 12‖‖𝐶𝐵 × 𝐶𝐴‖‖ = 12 |||| −16−6−17−7 |||| = 12 | −16 × (−7) - (- 17) × (−6) | = 12 | 112−102 | = 5.
Поскольку конкретная единица длины координатной плоскости не указана, мы пишем «квадратные единицы», чтобы показать, что мы вычислили площадь.
Ключевые точки
- Для двух векторов ⃑𝐴 = 𝐴⃑𝑖 + 𝐴⃑𝑗 и ⃑𝐵 = 𝐵⃑𝑖 + 𝐵⃑𝑗 в
координатной плоскости 𝑂, ⃑𝑖, ⃑𝑗, векторное произведение ⃑𝐴 и ⃑𝐵 равно
⃑𝐴 × ⃑𝐵 = ||| 𝐴𝐴𝐵𝐵 ||| ⃑𝑘 = 𝐴𝐵 − 𝐵𝐴⃑𝑘 = ‖‖⃑𝐴‖‖‖‖⃑𝐵‖‖𝜃⃑𝑘, sin
где 𝜃 - угол между ⃑𝐴 и ⃑𝐵,
а векторы ⃑𝑖, ⃑𝑗 и ⃑𝑘 - перпендикулярные единичные векторы.
- Перекрестное произведение распределительное :
⃑𝐴 + ⃑𝐵 × ⃑𝐶 = ⃑𝐴 × ⃑𝐶 + ⃑𝐵 × ⃑𝐶.
- Перекрестное произведение антикоммутативно : ⃑𝐴 × ⃑𝐵 = −⃑𝐵 × ⃑𝐴.
- Перекрестное произведение двух коллинеарных векторов равно нулю, поэтому ⃑𝐴 × ⃑𝐴 = 0.
- Площадь параллелограмма, натянутого на ⃑𝐴 и, определяется выражением
‖‖⃑𝐴 × ⃑𝐵‖‖.
Отсюда следует, что площадь треугольника с ⃑𝐴 и ⃑𝐵
определяющая две его стороны, равна 12 × ⃑𝐵‖‖.
.