Определение произведения вектора а на число к: Произведение вектора на число – Произведение вектора на число / Векторы / Справочник по геометрии 7-9 класс — RC74 — интернет-магазин радиоуправляемых моделей

Содержание

Произведение вектора на число

Вам уже знакомы правило треугольника, правило параллелограмма и правило многоугольника сложения векторов.

Чтобы сложить неколлинеарные векторы и по правилу треугольника, нужно от некоторой точки А отложить вектор , равный вектору . Далее от точки B отложить вектор

, равный вектору

. Вектор

является вектором суммы двух векторов

Для сложения этих же векторов можно использовать правило параллелограмма. При этом нужно отложить от произвольной точки А векторы

, равные векторам А

соответственно, и построить на них параллелограмм ABCD. Тогда вектор AC равен сумме векторов

Для сложения нескольких векторов применяют правило многоугольника. При этом от некоторой точки последовательно откладывают векторы друг за другом, и вектором их суммы является вектор, проведённый от начала первого вектора к концу последнего.

Также вы владеете двумя способами построения вектора разности.

Можно от некоторой точки О отложить векторы

, равные векторам

. При этом вектором их разности будет вектор

, направленный от конца вектора-вычитаемого к концу вектора-уменьшаемого.

Так же, пользуясь теоремой о разности двух векторов, разность векторов и можно представить в виде суммы вектора и вектора, противоположного вектору

Тогда, отложив от некоторой точки О вектор = , а от точки А — вектор = —, по правилу треугольника получим вектор

Он является вектором суммы вектора и вектора, противоположного вектору . И, соответственно, вектором разности векторов и

Сегодня мы познакомимся с ещё одним действием над векторами — умножением вектора на число.

Но, для начала, рассмотрим пример.

Парусник дрейфует прямолинейно с одной и той же скоростью, а один из лайнеров движется в попутном направлении со скоростью в пять раз большей. Второй лайнер движется им на встречу, то есть в противоположном направлении, с той же скоростью, что и первый лайнер.

Если изобразить скорость парусника вектором

, то скорость первого лайнера, движущегося в попутном направлении, нужно изобразить в виде сонаправленного вектора, длина которого в пять раз больше. И выразить эту скорость можно через скорость b умножением на 5.

Вектор скорости второго лайнера должен иметь такую же длину, как и вектор скорости первого лайнера, но он должен быть ему противоположно направленным. Значит, его можно выразить через вектор умножением на -5.

Этот пример поможет нам ввести понятие произведения вектора на число.

Определение. Произведением ненулевого вектора на число называется такой вектор , длина которого равна

. Причем

Произведение числа обозначают так .

Следствия.

1. Произведение вектора

на ноль, равно нулевому вектору

2. Ненулевой вектор коллинеарен вектору, заданному произведением данного вектора на число k

коллинеарны.

Ведь, если , то полученный вектор сонаправлен вектору , а если , то он противоположно направлен ему. Но в каждом из этих случаев они будут коллинеарны.

По данному вектору построить векторы: ; ; ; .

Длина вектора должна быть в три раза больше длины вектора . И этот вектор будет сонаправлен вектору , ведь k в данном случае равно трём, а это больше нуля.

; .

Далее изобразим вектор , .

Длина вектора , .

Последним построим вектор .

, .

Чтобы умножить вектор на произведение чисел k и l, можно вектор сначала умножить на число l, а затем на число k: . Этот закон называют сочетательным, и его можно проиллюстрировать так.

Рассмотрим случай, когда , : .

Вторым свойством запишем, что . Это первый распределительный закон.

Проиллюстрируем его.

Также рассмотрим случай, когда , : .

Запишем второй распределительный закон .

Например, если рассмотреть подобные треугольники с коэффициентом подобия k, то можно записать, что вектор , вектор , а вектор .

С другой стороны вектор . Отсюда получаем, что произведение .

Данные свойства произведения вектора на число позволяют выполнять преобразования в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, так же как и в числовых выражениях.

Преобразуем выражения с векторами с помощью известных свойств.

Можно сделать вывод, что над выражениями с векторами можно выполнять все те же преобразования, что и над алгебраическими выражениями.

Задача. Начертить попарно неколлинеарные векторы , и . Построить векторы , и .

Построение.

Подведём итоги нашего урока.

Сегодня вы познакомились с новым действием над векторами: умножением вектора на число.

Произведением ненулевого вектора на число k называется такой вектор , длина которого равна произведению модуля числа k и длины данного вектора . Причем векторы и сонаправлены, если k больше либо равно 0, и противоположно направлены, если k меньше 0.

Также записали два следствия из определения:

произведение вектора на ноль, равно ;

ненулевой вектор коллинеарен вектору, заданному произведением данного вектора на число k.

Исходя из того, что произведение вектора на число обладает тремя свойствами, мы получили сочетательный закон, а также первый и второй распределительные законы.

Они позволяют выполнять преобразования в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, так же как и в числовых выражениях.

Произведение вектора на число / Векторы / Справочник по геометрии 7-9 класс

Главная
Справочники
Справочник по геометрии 7-9 класс
Векторы
Произведение вектора на число

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Понятие вектора

Равенство векторов

Откладывание вектора от данной точки

Сумма двух векторов

Законы сложения векторов. Правило параллелограмма

Сумма нескольких векторов

Вычитание векторов

Применение векторов к решению задач

Средняя линия трапеции

Векторы

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 775, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 781, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 14, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 803, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 804, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 805, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 903, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 3, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 8, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1074, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Пользовательское соглашение

Лекция №3 Вектора и линейные операции над ними.

Понятие вектора.

При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых значений. Такие величины называются скалярными или, короче, скалярами.

Скалярными величинами являются длина, площадь, объем, масса, температура тела и др. Помимо скалярных величин, в различных задачах встречаются величины, для определения которых, кроме числового значения, необходимо знать также их направление. Такие величины называются векторными. Физическими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, двигающейся в пространстве, скорость и ускорение этой точки, а также действующая на нее сила.

Векторные величины изображаются с помощью векторов.

Определение вектора. Вектором называется направленный отрезок прямой, имеющий определенную длину.

Вектор характеризуется двумя точками. Одна точка – это точка начала вектора, другая точка – это точка конца вектора. Если обозначить начало вектора точкой А, а конец вектора точкой В, то сам вектор обозначается . Вектор можно обозначать и одной малой латинской буквой с чертой над ней (например, ).

Графически, вектор обозначается отрезком со стрелкой на конце.

Начало вектора называют точкой его приложения. Если точка А является началом вектора , то мы будем говорить, что вектор приложен в точке А.

Вектор характеризуется двумя величинами: длиной и направлением.

Длина вектора – расстояние между точками начала A и конца B. Другое название длины вектора – модуль вектора и обозначается символом . Модуль вектора обозначается Вектор, длина которого равна 1, называется единичным вектором. Т.е., условие для единичного вектора

Вектор с нулевой длиной называется нулевым вектором (обозначается ). Очевидно, что у нулевого вектора совпадают точки начала и конца. Нулевой вектор не имеет определенного направления.

Определение коллинеарных векторов. Векторы и , расположенные на одной прямой или на параллельных прямых называются коллинеарными.

Заметим, что коллинеарные вектора могут иметь разную длину и разное направление.

Определение равных векторов. Два вектора и называются равными, если они коллинеарные, имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

В этом случае пишут:

Замечание. Из определения равенства векторов следует, что вектор можно параллельно переносить, помещая его начало в любую точку пространства (в частности, плоскости).

Все нулевые векторы считаются равными.

Определение противоположных векторов. Два вектора и называются противоположными, если они коллинеарные, имеют одинаковую длину, но противоположное направление.

В этом случае пишут:

Другими словами, вектор, противоположный вектору , обозначается как .

Определение произведения вектора на число.

Ответы по линейной алгебре.

Предварительные Определения.

Вектор. Определение 1(о направленном отрезке).

Вектор – это направленный отрезок.

Определение 2 (о равенстве векторов).

Два вектора называются равными, если они:

1) Коллинеарны;

2) Одинаково направлены;

3) Имеют равную длину.

О другом определении вектора Определение 3.

Вектор – упорядоченная пара точек.

Линейные операции над векторами.

Линейные операции над векторами – сложение векторов и умножение векторов на число.

Определение суммы векторов.

Построим равные вектора, конец вектора перенесем в начало вектора , вектор будет называться суммой вектора и вектора . (вектор является гипотенузой, А->B->C)

Сложением двух векторов называют операцию, сопоставляющую двум векторам их сумму.

Умножение вектора на число.

Умножение вектора на число есть сопоставляющая вектору и числу произведению вектора на это число.

Определение произведения вектора на число.

Определение произведения вектора на число (вещественное ) называется любой вектор удовлетворяющий следующим условиям, где вектор и и вещественное число α:

2.вектор

3. направлены одинаково, при α ; противоположно, если α

4.α=0, то и =

Дата добавления: 2016-07-18; просмотров: 3126;

Вектор (Геометрические представления) — это… Что такое Вектор (Геометрические представления)?

Под направленным отрезком $\overrightarrow{AB}$ в геометрии понимают упорядоченную пару точек, первая из которых — точка A — называется его началом, а вторая — B — его концом.

Определение

Вектором в простейшем случае называется направленный отрезок, а в других случаях различные векторы — это разные классы эквивалентности направленных отрезков, определяемые неким конкретным отношением эквивалентности. Причем отношение эквивалентности может быть разным, определяя тип вектора («свободный», «фиксированный» итд). Проще говоря, внутри класса эквивалентности все входящие в него направленные отрезки рассматриваются как совершенно равные, и каждый может равно представлять весь класс.

Учитывая изоморфизм между множеством свободных векторов и множеством их параллельных переносов пространства, если операцию сложения отождествить с композицией переносов, можно использовать множество параллельных переносов пространства даже для определения вектора.

Большую роль играют векторы в изучении бесконечно малых трансформаций пространства.

Вектор, начало которого совпадает с его концом, называют нулевым: $\overrightarrow{AA} = \vec{\mathbf{0}}.$

Вектор $\overrightarrow{BA}$ называют противоположным вектору $\overrightarrow{AB}$ .

Длиной вектора, или модулем вектора, называют длину соответствующего направленного отрезка: $\overrightarrow{AB}$ .

Свободные, скользящие и фиксированные векторы

Иногда, вместо того, чтобы рассматривать в качестве векторов множество всех равных направленных отрезков, берут только некоторую модификацию этого множества (фактормножество). Так, говорят о «свободных» (когда отождествляются все равные по длине и направлению направленные отрезки, считаясь полностью равными или одним и тем же вектором), «скользящих» (отождествляются между собой все направленные отрезки, равные в смысле свободных векторов, начала и концы которых расположены на одной прямой) и «фиксированных» векторах (по сути дела, просто о направленных отрезках, когда разное начало означает уже неравенство векторов).

Определение. Говорят, что свободные векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\ \overrightarrow{CD}$ равны, если найдутся точки E и F такие, что четырёхугольники ABFE и CDFE — параллелограммы.

Замечание. «Ухищрение» (введение дополнительных точек) в определении равенства касается, прежде всего, случая, когда точки A,B,C,D располагаются на одной прямой. В противном случае определение выглядит проще:

Определение. Говорят, что свободные векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\ \overrightarrow{CD}$ , не лежащие на одной прямой, равны, если четырёхугольник ABDC — параллелограмм.

Определение. Говорят, что скользящие векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\ \overrightarrow{CD}$ равны, если

точки A,B,C,D располагаются на одной прямой,
векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\ \overrightarrow{CD}$ равны между собой как свободные векторы.

Неформально говоря, скользящему вектору разрешено двигаться вдоль его прямой без изменения величины и направления.

Замечание. Скользящие векторы особо употребимы в механике. Простейший пример скользящего вектора в механике — сила. Перенос такого начала вектора вдоль прямой, на котой он лежит, не меняет момента силы ни относительно какой точки; перенос же его на другую прямую, даже если не менять величины и направления вектора, может вызвать изменение его момента (скорее даже почти всегда вызовет): поэтому нельзя рассматривать силу как свободный вектор.

Определение. Говорят, что фиксированные векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\ \overrightarrow{CD}$ равны, если попарно совпадают точки A и C, B и D.

Операции над векторами

Сложение векторов

$\ \overrightarrow{CD}$

Два вектора u, v и вектор их суммы

Сложение двух свободных векторов можно осуществлять как по правилу параллелограмма, так и по правилу треугольника.

Правило треугольника. Для сложения двух векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$ по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора.

Правило параллелограмма. Для сложения двух векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$ по правилу параллелограмма оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.

Сложение двух скользящих векторов определено лишь в случае, когда прямые, на которых они расположены, пересекаются. Тогда каждый из векторов переносится вдоль своей прямой в точку пересечения этих прямых, после чего сложение осуществляется по правилу параллелограмма.

Сложение двух фиксированных векторов определено лишь в случае, когда они имеют общее начало. Их сложение в этом случае осуществляется по правилу параллелограмма.

Сложение коллинеарных скользящих векторов

Если скользящие векторы параллельны, то при их сложении главная трудность состоит в определении прямой, на которой будет расположена их сумма. (Величину и направление вектора суммы было бы естественно определить точно так же, как и в случае сложения свободных векторов.) В механике при изучении статики для решения вопроса о сложении параллельных сил, которые, как известно, задаются скользящими векторами, вводится дополнительная гипотеза: к системе векторов можно добавить два вектора, равных по величине, противоположных по направлению и расположенных на одной прямой, пересекающей прямые, на которых расположены данные вектора. Пусть, например, надо сложить скользящие векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ , расположенные на параллельных прямых. Добавим к ним векторы $\vec{c}$ и $-\vec{c}$ , расположенные на одной прямой. Прямые, на которых расположены векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ , $\vec{a}$ и $-\vec{c}$ пересекаются. Поэтому определены векторы

$\vec{a}$

Прямые, на которых расположены векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ , пересекаются всегда, за исключением случая, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны по величине и противоположны по направлению, в котором говорят, что векторы $\vec{a}$ и $-\vec{a}$ образуют пару (векторов).

Таким образом, под суммой векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ можно понимать сумму векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ , и эта сумма векторов определена корректно во всех случаях, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не образуют пару.

Произведение вектора на число

Произведением вектора $\vec{a}$ и числа λ называется вектор, обозначаемый $\lambda\vec{a}$ (или $\vec{a}\lambda$ ), модуль которого равен $\vec{a}\lambda$ , а направление совпадает с направлением вектора $\vec{a}$ , если $\lambda&gt;0 \,$ , и противоположно ему, если $\lambda&lt;0 \,$ . Если же $\lambda=0 \,$ , или вектор $\vec{a}$ нулевой, тогда и только тогда произведение $\lambda\vec{a}$ — нулевой вектор.

Обычно принято в записи произведения числа и вектора число записывать слева, но в принципе допустим и обратный порядок, хотя все же обычное соглашение состоит в том, чтобы его избегать, если нет прямой необходимости. Так или иначе, $\lambda\vec{a} = \vec{a}\lambda$ .

Из определения произведения вектора на число легко вывести следующие свойства:

если $\vec{b} = \vec{a}\lambda$ , то $\vec{b}$ . Наоборот, если $\vec{b}$ , то при некотором λ верно равенство $\vec{b}=\vec{a}\lambda$ ;
всегда $\vec{a}=$ °, то есть каждый вектор равен произведению его модуля на орт.

Скалярное произведение

Скалярным произведением векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называют число, равное $\vec{b}$ , где $\varphi \,$ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ . Обозначения: $(\vec{a},\vec{b})$ или $\vec{a}\cdot\vec{b}$ .

Если один из векторов является нулевым, то несмотря на то, что угол $\varphi$ не определён, произведение равно нулю.

Свойства скалярного произведения векторов:

$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}\,$ — коммутативность.
$\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}\,$ — дистрибутивность.
$(\alpha\vec{a},\vec{b})=\alpha (\vec{a},\vec{b})$ — линейность по отношению к умножению на число.
$(\vec{a},\vec{a})=$ — норма вектора.

Геометрически скалярное произведение есть произведение длины одного из сомножителей на ортогональную проекцию другого на направление первого (или наоборот). Скалярное произведение какого-то вектора $\vec{a}$ с единичным вектором есть ортогональная проекция вектора $\vec{a}$ на направление единичного вектора.

Векторное произведение

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, удовлетворяющий следующим требованиям:

длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла φ; между ними

$\left$

вектор c ортогонален каждому из векторов a и b
вектор c направлен так, что тройка векторов abc является правой.

Обозначение: $\vec c = \left[ \vec a \vec b \right] = \left[ \vec a, \vec b \right] = \vec a \times \vec b$

Геометрически векторное произведение $\vec a \times \vec b$ есть ориентированная площадь параллелограмма, построенного на векторах $\vec a, \vec b$ , представленная псевдовектором, ортогональным этому параллелограмму.

Свойства векторного произведения:

При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак (антикоммутативность), т.е

$\vec a \times \vec b = -(\vec b \times \vec a)$

Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, то есть

$\lambda(\vec a \vec b) = (\lambda \vec a) \times \vec b = \vec a \times (\lambda \vec b)$

Векторное произведение обладает распределительным свойством:

$(\vec a + \vec b) \times \vec c = \vec a \times \vec c + \vec b \times \vec c$

Смешанное произведение

Сме́шанное произведе́ние $( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} )$ векторов $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ — скалярное произведение вектора $\vec{a}$ на векторное произведение векторов $\vec{b}$ и $\vec{c}$ :

$(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \left(\vec{a}, [\vec{b}, \vec{c}]\right) = \vec{a}\cdot\left(\vec{b}\times\vec{c}\right)$

(равенство записано для разных обозначений скалярного и векторного произведения).

Иногда смешанное произведение называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Геометрически смешанное произведение $( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} )$ есть (ориентированный) объем параллелепипеда, построенного на векторах $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ .

Условие перпендикулярности векторов

Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Пример

Даны два вектора $\vec a(x_1;y_1)$ и $\vec b(x_2;y_2)$ . Эти векторы будут перпендикулярны, если выражение x₁x₂ + y₁y₂ = 0.

Условие коллинеарности векторов

Векторы являются коллинеарными тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю.

Пример

Даны два вектора $\vec a=(x_1;y_1)$ и $\vec b=(x_2;y_2)$ . Эти векторы коллинеарны, если x₁ = λx₂ и y₁ = λy₂, где $\lambda \in \mathbb R$

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation. 2010.

Произведение вектора на число

Произведение вектора на число / Векторы / Справочник по геометрии 7-9 класс

Советуем посмотреть:

Правило встречается в следующих упражнениях:

Лекция №3 Вектора и линейные операции над ними.

Понятие вектора.

Определение произведения вектора на число.

Похожие статьи:

Вектор (Геометрические представления) — это… Что такое Вектор (Геометрические представления)?

Определение

Свободные, скользящие и фиксированные векторы

Операции над векторами

Сложение векторов

Сложение коллинеарных скользящих векторов

Произведение вектора на число

Скалярное произведение

Векторное произведение

Смешанное произведение

Условие перпендикулярности векторов

Пример

Условие коллинеарности векторов

Пример

См. также

Ссылки

alexxlab

Добавить комментарий Отменить ответ

Рубрики