Определение потенциала напряжения и напряженности. Разность потенциалов, энергия заряда в электрическом поле. Потенциал

Обратимся теперь к сферическому (точечному) заряду. Выше показано, что напряжённость электрического поля, созданного равномерно распределённым по сфере зарядом Q , не зависит от радиуса сферы. Представим, что на некотором расстоянии r от центра сферы находится пробный заряд q . Напряжённость поля в точке, где находится заряд,

На рисунке изображён график зависимости силы электростатического взаимодействия между точечными зарядами от расстояния между ними. Чтобы найти работу электрического поля при перемещении пробного заряда q с расстояния r до расстоянияR , разобьём этот промежуток точками r 1 , r 2 ,…, r п на равные отрезки. Средняя сила, действующая на заряд q в пределах отрезка [rr 1 ], равна

Работа этой силы на этом участке:

Аналогичные выражения для работы получатся для всех других участков. Поэтому полная работа:

Одинаковые слагаемые с противоположными знаками уничтожаются, и окончательно получаем:

– работа поля над зарядом

– разность потенциалов

Теперь, чтобы найти потенциал точки поля относительно бесконечности, устремляем R к бесконечности и окончательно получаем:

Итак, потенциал поля точечного заряда обратно пропорционален расстоянию до заряда.

24. Потенциальная энергия заряда в поле системы зарядов. Принцип суперпозиции для потенциалов. Принцип суперпозиции для потенциалов

Любое как угодно сложное электростатическое поле можно представить в виде суперпозиции полей точечных зарядов. Каждое такое поле в выбранной точке имеет определённый потенциал. Поскольку потенциал является скалярной величиной, результирующий потенциал поля всех точечных зарядов есть алгебраическая сумма потенциалов 1 , 2 , 3 , … полей отдельных зарядов: = 1 + 2 + 3 + … Это соотношение является прямым следствием принципа суперпозиции электрических полей.

Потенциальная энергия заряда в электрическом поле. Продолжим сравнение гравитационного взаимодействия тел и электростатического взаимодействия зарядов. Тело массой m в поле тяжести Земли обладает потенциальной энергией. Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком:

A = — (W p2 — W p1 ) = mgh .

(Здесь и далее мы будем обозначать энергию буквой W .) Точно так же, как тело массой m в поле силы тяжести обладает потенциальной энергией, пропорциональной массе тела, электрический заряд в электростатическом поле обладает потенциальной энергией

W p , пропорциональной заряду q . Работа сил электростатического поля А равна изменению потенциальной энергии заряда в электрическом поле, взятому с противоположным знаком:

A = — (W p2 — W p1 ) . (40.1)

25. Разность потенциалов. Эквипотенциальные поверхности

Эквипотенциальная поверхность – поверхность, каждая точка которой имеет одинаковый потенциал.

Как следует из связи работы и потенциалов:

при переносе заряда вдоль эквипотенциальных поверхностей электрическое поле работы не совершает, так как .

Работа при ненулевой силе равна нулю только в том случае, если вектор силы перпендикулярен вектору перемещения. Из этого следует, что линии напряженности перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Примерами эквипотенциальных поверхностей служат сферы для поля точечного заряда и параллельные плоскости для однородных полей (рис. 3).

Разность потенциалов (напряжение) между двумя точками равна отношению работы поля при перемещении заряда из начальной точки в конечную к модулю этого заряда: U = φ 1 — φ 2 = -Δφ = A / q, A = -(W п2 — W п1) = -q(φ 2 — φ 1) = -qΔφ

Разность потенциалов измеряется в вольтах (В = Дж / Кл) Связь между напряжённостью электростатического поля и разностью потенциалов: E x

= Δφ / Δx Напряжённость электростатического поля направлена в сторону убывания потенциала. Измеряется в вольтах, делённых на метры (В / м)

В предыдущем параграфе мы обсуждали основную характеристику электрического поля – его напряжённость. Как следует из самого определения – это силовая характеристика, а значит векторная. В ряде случаев более удобными являются скалярные характеристики, которые, оказывается, тоже можно ввести для электростатического поля – разность потенциалов и потенциал. При этом мы будем опираться на важное фундаментальное свойство сил, действующих на заряд в электростатическом поле – их консервативность.

Напомним, что консервативными называются силы, работа которых не зависит от формы траектории движения тела. Работа таких сил определяется лишь координатами начальной и конечной точек перемещения. Опираясь на наши знания свойств его силовых характеристик электростатического поля, созданного произвольной системой зарядов, можно было бы провести подробное доказательство равенства работ при движении заряда между любыми двумя его точками. Но мы несколько сократим эту процедуру, вспомнив теорему «о консервативности центральных сил», доказанную нами в разделе механика.

Неподвижный точечный заряд является источником «поля центральных сил» – это прямо следует из формулировки основного закона электростатики – закона Кулона. Из принципа суперпозиции электрических полей следует, что работа при перемещении пробного заряда в поле любой системы

покоящихся зарядов является алгебраической суммой работ в поле каждого из зарядов в отдельности. А значит поле таких сил («кулоновских сил»*)) также является полем сил консервативных. Это и требовалось доказать.

Таким образом, работа сил электростатического поля **) по перемещению точечного (пробного) заряда между двумя точками характеризует это поле. Но она зависит и от величины пробного заряда q 0 . Об этом говорит опыт, но это понятно и, исходя из наших знаний о «кулоновских» силах. Ведь они пропорциональны заряду q 0 в каждой точке траектории 1®2 (исходя из закона Кулона), а работа пропорциональна силе. Чтобы охарактеризовать поле и только поле можно поделить работу на величину пробного заряда. То, что получится и есть «разность потенциалов». Приведём определение этого важного понятия:

(Опр .) Разностью потенциалов между точками электростатического поля 1 и 2 называется отношение работы поля по перемещению пробного заряда из точки 1 в точку 2 к величине этого заряда :

. (3.1)

В системе СИ единица измерения разности потенциалов называется 1 вольт (1 В = 1 Дж/Кл). Если мы научимся каким-либо образом определять разность потенциалов j 1 –j 2 для поля системы покоящихся зарядов (теоретически или экспериментально), то это позволит находить работу поля по перемещению любого

точечного заряда q в этом поле:

. (3.2)

Таким образом, разность потенциалов это энергетическая характеристика электрического поля, поскольку связана непосредственно с понятием работы.

В механике мы вводили для консервативных сил (сейчас мы, скажем: «полей консервативных сил») понятие «потенциальная энергия». При этом мы руководствовались следующим принципом: «работа сил поля равна убыли потенциальной энергии». Формализуем этот принцип в аналитической записи:

Здесь U 1 и U 2 – потенциальная энергия в «начальном» («1») и «конечном» («2») состояниях системы соответственно. В обсуждаемом случае поля системы неподвижных зарядов – это энергия точечного заряда

q в положении «1» (с координатами {x 1 ,y 1 ,z 1 }) и положении «2» (с координатами {x 2 ,y 2 ,z 2 }) электростатического поля. Т.е. потенциальная энергия заряда в этом поле – скалярная функция координат точек поля U = U(x ,y ,z ) (или ). Сравнивая (3.2) и (3.3), видим – удобно считать, что разность потенциалов представляет собой разность значений ещё одной скалярной функции координат точек поля j (x,y,z ). Она связана с функцией U(x ,y ,z ) (потенциальной энергией) простым соотношением: U(x ,y ,z ) = q ×j (x,y,z ). Или, поскольку

говорят, что она «численно равна потенциальной энергии единичного положительного заряда» в данной точке поля. И называется эта величина j «потенциал» данной точки электростатического поля.

Самое важное заключается в том, как найти эту функцию для поля конкретной системы зарядов? Какова процедура действий?

Прежде всего, придётся договориться об условиях нормировки*): надо выбрать точку Р 0 , в которой потенциал пробного заряда будем полагать равным нулю . Чаще всего такую точку выбирают «бесконечно» удалённой, там где поле отсутствует **). Для этого надо найти «удельную» работу поля –т.е. работу, отнесённую к величине переносимого пробного заряда (или, как нередко говорят, «по перемещению единичного положительного» заряда) из данной точки поля

Р (x ,y ,z ) в точку нормировки Р 0 . В аналитической форме это определение потенциала можно записать так:

(Опр. ) j Р (x ,y ,z ) = . (3.5)

Нельзя ли выразить вновь введённые нами величины – разность потенциалов и потенциал через силовую характеристику, которую мы уже научились рассчитывать по заданному расположению зарядов в пространстве? Конечно можно. Запишем цепочку хорошо понятных нам равенств:

.

Выпишем последнее равенство ещё раз

. (3.6)

Оно даёт «рецепт» поиска разности потенциалов по известной функции напряжённости. Аналогично для потенциала:

И окончательно для потенциала произвольной точки поля Р с координатами (x ,y ,z ):

. (3.7)

· Потенциал поля точечного заряда

Опираясь на процедуру расчёта потенциала, получим выражение для случая поля точечного заряда. Это очень важно для дальнейших расчётов потенциала поля системы произвольно расположенных в пространстве зарядов.

2. Выбор траектории. Пусть произвольная точка Р (x ,y ,z ) находится на расстоянии r от заряда-источника. Поскольку результат не зависит от формы траектории для расчёта криволинейного интеграла вида (3.7) выберем простейшую радиально направленную прямую из данной точки поля вдоль силовой линии и «уходящую в бесконечность».

3. Расчёт . В соответствии с определением потенциала выполним расчёт «удельной» работы поля созданного точечным зарядом q по переносу пробного заряда вдоль выбранной траектории. Нижеприводимая цепочка равенств, надеемся, выглядит достаточно «прозрачно». Однако дадим к ней всё же минимальный комментарий. Прежде всего, отметим, что в силу нашего выбора траектории в виде радиально направленного от заряда луча можно обозначения E l и dl (произвольная кривая «L ») поменять на E r и dr (полярная ось «r »). Более того, поскольку вектор направлен радиально, для любого малого перемещения вдоль траектории проекция вектора напряжённости равна просто модулю этого вектора E (r ). В итоге и мы можем сделать важный шаг в нашем расчёте – совершить переход от криволинейного интеграла к обычному определённому:

.*)

Теперь после подстановки выражения для модуля напряжённости поля точечного заряда (3.5) нам остаётся всего лишь математическая «рутина»:

Выпишем результат ещё раз, дополнив его учётом возможного наличия газообразной или жидкой однородной диэлектрической среды с проницаемостью e , заполняющей всё окружающее точечный заряд пространство:

. (3.8)

Потенциал поля точечного заряда, как видим, убывает с расстоянием по закону 1/r .

· Эквипотенциальные поверхности

При обсуждении силовой характеристики электростатического поля мы убедились в плодотворности понятия силовых линий (линий напряжённости). Для энергетической характеристики поля – потенциала – полезно также ввести дополнительную иллюстративную характеристику – систему «эквипотенциальных поверхностей». Из самого названия ясно («экви» означает «равный»), что это поверхности постоянного потенциала, которые характеризуют способность сил поля совершать работу при перемещении заряда. Вдоль таких поверхностей работа, очевидно, вообще не совершается. Она максимальна по направлениям, по которым максимальна густота (плотность) расположения эквипотенциальных поверхностей. В этих местах максимальна и напряжённость поля. Нетрудно сообразить, какова и взаимная ориентация силовых линий и эквипотенциальных поверхностей в местах их пересечений: они взаимно перпендикулярны . Ведь при любом малом перемещении вдоль эквипотенциальной поверхности элементарная работа равна нулю, а это возможно только в случае, если равна нулю касательная составляющая вектора напряжённости, т.е. он направлен строго по нормали к поверхности. Ниже мы приводим цепочку соответствующих этим словам, надеемся, довольно очевидных равенств:

Вместе с рис. 3. … они доказывают, по сути, уже сформулированное утверждение: силовые линии пересекают (или «подходят к …») эквипотенциальные поверхности под прямым углом !

Приведём картину эквипотенциальных поверхностей (и силовых линий тоже) для некоторых простейших уже хорошо нам знакомых случаев электростатического поля: а ) поле точечного заряда; б ) поле двух одинаковых по модулю разноимённых точечных зарядов; в ) поле между двумя разноимённо заряженными плоскопараллельными большими (по сравнению с расстоянием между ними) пластинами – см. рис. 3.1.

Потенциал электрического поля представляет собой отношение потенциальной энергии к заряду. Как известно электрическое поле является потенциальным. Следовательно, любое тело находящиеся в этом поле обладает потенциальной энергией. Любая работа, которая будет совершаться полем, будет происходить за счет уменьшения потенциальной энергии.

Формула 1 — Потенциал

Потенциал электрического поля это энергетическая характеристика поля. Он представляет собой работу которую нужно совершить против сил электрического поля для того чтобы переместить единичный положительный точечный заряд находящийся на бесконечности в данную точку поля.

Измеряется потенциал электрического поля в вольтах.

В случае если поле создается несколькими зарядами, которые расположены в произвольном порядке. Потенциал в данной точке такого поля будет представлять собой алгебраическую сумму всех потенциалов, которые создают заряды каждый в отдельности. Это так называемый принцип суперпозиции.

Формула 2 — суммарный потенциал разных зарядов

Допустим, что в электрическом поле заряд перемещается из точки «a» в точку «b». Работа совершается против силы электрического поля. Соответственно потенциалы в этих точках будут отличаться.

Формула 3 — Работа в электрическом поле

Рисунок 1 — перемещение заряда в электрическом поле

Разность потенциалов двух точек поля будет равна одному Вольту, если для того чтобы переместить заряд в один кулон между ними необходимо совершить работу в один джоуль.

Если заряды имеют одинаковые знаки, то потенциальная энергия взаимодействия между ними будет положительна. В этом случае заряды отталкиваются друг от друга.

Для разноименных зарядов энергия взаимодействия будет отрицательна. Заряды в этом случае будут, притягивается друг к другу.

Тема 3. ПОТЕНЦИАЛ И РАБОТА ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ. СВЯЗЬ НАПРЯЖЕННОСТИ С ПОТЕНЦИАЛОМ

3.4. Диполь в электрическом поле

3.5. Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля

3.6. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности

3.7. Вычисление разности потенциалов по напряженности поля простейших электростатических полей

3.1. Работа сил электростатического поля Сила, действующая на точечный заряд, находящийся в поле другого неподвижного точечного заряда, является центральной. Направление силы, действующей в любой точке пространства на заряд, проходит через центр заряда, создающего поле, а значение силы зависит только от расстояния до этого заряда

до точки наблюдения. (Например, поле силы тяжести является полем центральных сил).

Е
Рис. 3,1
сли тело поставлено в такие условия, что в каждой точке пространства оно подвержено воздействию других тел с силой, закономерно изменяющейся от точки к точке, то говорят, что это тело находится в поле сил. Центральное поле сил потенциально. Убедимся, что электрическое поле потенциально. Вычислим работу, которая совершается силами поля неподвижного точечного заряда q над перемещающимся в этом поле точечным зарядом (рис. 3.1). Работа на элементарном пути

равна:

или

Так как

. Отсюда на пути 1–2

(1)

Видно, что работа не зависит от пути, по которому перемещался в электрическом поле заряд q » , а зависит лишь от начального и конечного положений этого заряда (от r 1 и r 2). Следовательно, силы, действующие на заряд q » в поле неподвижного заряда q , являются консервативными, а поле этих сил потенциальным . Этот вывод легко распространяется на поле любой системы неподвижных зарядов, так как сила , действующая на точечный заряд q » в таком поле, может по принципу суперпозиции быть представлена в виде

, где – сила, обусловленная i -м зарядом создающей поле системы. Работа в этом случае равна алгебраической сумме работ, совершаемых отдельными силами:

. Каждое из слагаемых в правой части этого выражения не зависит от пути. Поэтому не зависит от пути и работа А .

Из механики известно, что работа потенциальных сил на замкнутом пути равна нулю. Работа, совершаемая силами поля над зарядом q » при обходе по замкнутому контуру, может быть представлена как

, где –проекция вектора на направление элементарного перемещения , то, следовательно:

(2)

Это соотношение должно выполняться для любого замкнутого контура. Следует иметь в виду, что (21) справедливо только для электростатического поля. Поле движущихся зарядов (т.е. поле, изменяющееся со временем) не является потенциальным. Следовательно, условие (21) для него не выполняется.

Выражение вида

называется циркуляцией вектора по данному контуру. Таким образом, характерным для электростатического поля является то, что циркуляция вектора напряженности по любому замкнутому контуру равна нулю.

3.2. Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля

Итак, мы утверждаем, что циркуляция вектора в любом электростатическом поле равна нулю, т.е. . Это утверждение называют теоремой о циркуляции вектора .

Пусть в заданном поле с напряженностью перемещается заряд по замкнутому пути 1а2б1. Для доказательства теоремы разобьем произвольный замкнутый путь на две части 1а2 и 2б1 (см. рисунок). Найдем работу по перемещению заряда q из точки 1 в точку 2. Так как работа в заданном поле не зависит от формы пути, то работа по перемещению заряда по пути 1а2 равна работе по перемещению заряда по пути 1б2 или

Рисунок 3.2

Из сказанного выше следует, что

(Интегралы по модулю равны, но знаки противоположны). Тогда работа по замкнутому пути:

(3)

или

(4)

Поле, обладающее такими свойствами, называется потенциальным . Любое электростатическое поле является потенциальным.

Теорема о циркуляции позволяет сделать ряд важных выводов, практически не прибегая к расчетам. Рассмотрим два простых примера, подтверждающих это заключение.

Воспользуемся теоремой Стокса, которая гласит, что циркуляция вектора по произвольному контуру L равна потоку ротора этого вектора через любую поверхность, натянутую на этот контур, т.е.

. В случае электростатического поля имеем

, поэтому в силу произвольности вида поверхности получим

. Следовательно, из потенциального характера электростатического поля вытекает, что электростатическое поле не вихревое, если . (5)

3.3. Потенциальная энергия и потенциал электростатического поля Тело, находящееся в поле потенциальных сил, обладает потенциальной энергией, за счет которой совершается работа силами поля. Следовательно, работа может быть представлена как разность значений потенциальных энергий, которыми обладает заряд q » в точках 1 и 2 поля заряда q

Можно показать также, что, так как

,

.

Отсюда для потенциальной энергии заряда в поле заряда q получаем:

(6)

Значение const в (6) обычно выбирают таким образом, чтобы при удалении заряда q » на бесконечность (

) потенциальная энергия обращалась в нуль. При этом условии получается, что

(7)

Будем считать q » пробным зарядом. Тогда потенциальная энергия, которой обладает пробный заряд, зависит не только от его значения , но и от значения q и r , определяющих поле. Следовательно, эта энергия может быть использована для описания поля, подобно тому, как была использована для этой цели сила, действующая на пробный заряд.

Разные пробные заряды

,

будут обладать в одной и той же точке поля различной энергией

,

и т.д. Однако отношение

будет для всех зарядов одно и то же. Величина

(8)

Называется потенциалом поля в данной точке и используется наряду с напряженностью поля , для описания электрических полей.

Как следует из (8) потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд.

Таким образом, для потенциального поля точечного заряда получаем следующее выражение:

(9)

Если поле создано системой точечных зарядов q 1 , q 2 , …, q n , находящихся на расстояниях соответственно r 1 , r 2 ,…, r n до точки поля, в которой находится заряд , то работа, совершаемая силами этого поля над зарядом , будет равна алгебраической сумме работ сил, обусловленных каждым из зарядов в отдельности:

.

Но каждая из работ равна:

Где

расстояние от заряда до начального положения заряда ,

расстояние от заряда до конечного положения заряда .

Следовательно:

.

Сопоставляя это выражение с соотношением

, получаем для потенциальной энергии заряда в поле системы зарядов выражение:

, (10)

. (11).

Следовательно, потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.

Из соотношения

вытекает, что заряд , находящийся в точке поля с потенциалом , обладает потенциальной энергией

. Следовательно, работа сил поля над зарядом может быть выражена через разность потенциалов:

Таким образом, работа, совершаемая над зарядом силами поля , равна произведению заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках. Если заряд из точки с потенциалом удаляется на бесконечность (где по условию потенциал равен нулю), работа сил поля будет равна

или

,

Т. е, потенциал численно равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки поля в бесконечность, или работе, которую надо совершить против сил электрического поля для того, чтобы переместить единичный положительный заряд из бесконечности в данную точку поля .

За единицу потенциала следует принять потенциал в такой точке поля, для перемещения заряда в которую из бесконечности необходимо совершить работу, равную

1 Джоулю (система единиц “Си”)

Отсюда

.

3.4. Диполь в электростатическом поле

Электрическим диполем называется совокупность двух равных зарядов противоположного знака, находящихся друг от друга на расстоянии l , малом по сравнению с их расстоянием до точек, в которых определяется поле диполя.

Произведение заряда на расстояние между зарядами р= ql называется дипольным моментом . Для полного определения диполя нужно задать еще и ориентацию оси диполя в пространстве. В соответствии с этим дипольный момент следует рассматривать как вектор . Этому вектору приписывают направление от отрицательного заряда к положительному (рис.3.3). Если ввести радиус – вектор проведенный от –q к +q , то дипольный момент можно представить в виде:

. (13)

Если диполь поместить в однородное электрическое поле, образующие диполь заряды –q и +q окажутся под действием равных по величине, но противоположных по направлению сил и (рис. 14). Эти силы образуют пару сил, плечо которой равно

, т.е., зависит от ориентации диполя относительно поля. Модуль каждой из сил равен qE . Умножив его на плечо, получим значение момента пары сил, действующих на диполь:

Где р – электрический момент диполя.

В векторном виде:

. (15)

Момент

стремится повернуть диполь так, чтобы его момент установился по направлению поля.

Чтобы увеличить угол между векторами и на dα нужно совершить работу против сил, действующих на диполь:

Эта работа идет на увеличение потенциальной энергии W , которой обладает диполь в электрическом поле, т.е.:

(16)

Интегрирование (16) дает для потенциальной энергии диполя в электрическом поле выражение:

Полагая const =0 , получим

Выбрав const =0 , считаем, что энергия диполя будет равна нулю, когда диполь устанавливается перпендикулярно к направлению поля. Наименьшее значение энергии, равное (-рЕ) , получается при ориентации диполя по направлению поля, наибольшее, равное рЕ , когда направлен в сторону, противоположную по направлению вектору .

В неоднородном поле силы, действующие на заряды диполя, не одинаковы. При малых размерах диполя силы f 1 и f 2 можно считать приближенно коллинеарными. Предположим, что поле изменяется быстрее всего в направлении х , совпадающем с направлением в том месте, где расположен диполь (рис. 3.5). Положительный заряд диполя смещен относительно отрицательного в направлении х на величину

. Поэтому напряженность поля в точках, где помещаются заряды, отличается на ΔЕ . Так как сумма сил

и

или , (19)

, то

, (20)

Где

– градиент вектора напряженности электрического поля. Таким образом, в неоднородном электрическом поле, кроме вращающегося момента, действует сила f , под действием которой диполь будет либо втягиваться в область более сильного поля (α 0), либо выталкиваться из нее (α>90 0).

Выражение для силы можно получить из (18), учтя, что f = –

.

3.5. Связь между напряженностью электростатического поля и потенциалом Напряженность электрического поля – величина, численно равная силе, действующей на заряд . Потенциал – величина, численно равная потенциальной энергии заряда . Таким образом, между этими величинами должна существовать связь, аналогичная связи между потенциальной энергией и силой (т.е.

). Работа сил поля над зарядом на отрезке пути может быть представлена как

, а убыль потенциальной энергии заряда, которая при этом будет возникать: . Откуда из равенства

находим:

или

, (21)

Где через обозначено произвольно выбранное направление.

,

,

, (22)

Где

орты координатных осей, т. е., единичные вектора. Вектор с компонентами

, где

скалярная функция координат

называется градиентом функции и обозначается символом

(или

, где – оператор набла). Таким образом, градиент потенциала:

(24)

И из (23) и (24) следует, что

(25)

Так как градиент – это вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой, то градиентом потенциала (где r –радиус-вектор) называется вектор, направленный в сторону наиболее быстрого возрастания потенциала, численно равный быстроте его изменения на единицу длины в этом направлении.

Поскольку

– векторная величина, то его модуль выражается как:

, (26)

Подобно тому, как модуль вектора :

(27)

Знак “–” (25) указывает на то, что напряженность направлена в сторону убывания потенциала. Формула (25) позволяет по известным значениям найти напряженность поля в каждой точке или решить обратную задачу, т.е., по заданным значения в каждой точке найти разность потенциалов между двумя произвольными точками поля.

3.6. Эквипотенциальные поверхности Потенциал электростатического поля представляет собой функцию, меняющуюся от точки к точке. Однако, во всяком реальном случае можно выделить совокупность точек, потенциалы которых одинаковы.

Геометрическое место точек постоянного потенциала называется поверхностью равного потенциала или эквипотенциальной поверхностью.

Возьмем равномерно заряженную бесконечную плоскость (рис. 3.6). Поле, создаваемое такой плоскостью однородно, а линии напряженности нормальны к плоскости. Отсюда следует, что работа перемещения заряда из некоторой точки В 1 в любую другую точку В 2 , находящуюся на таком же расстоянии от заряженной поверхности, что и точка В 1 равна нулю. Действительно, при перемещении некоторого заряда q по прямой В 1 В 2 сила, действующая на заряд со стороны поля, будет все время перпендикулярна к перемещению, а, следовательно, ее работа равна нулю. Но эта работа может быть представлена, с другой стороны, в виде:

, (28)

Где и

– соответственно потенциалы точек В 1 и В 2 . Отсюда, так как А = 0, то =, т.е., потенциалы точек, равноудаленных от заряженной плоскости, одинаковы. Таким образом, поверхности равного потенциала (эквипотенциальные поверхности) являются плоскостями, параллельными заряженной плоскости. Если плоскость заряжена положительно, то значение потенциала убывает по мере удаления от заряженной плоскости. Очевидно, что поверхности равного потенциала расположены симметрично по обе стороны от заряженной плоскости.

Эквипотенциальные поверхности поля точечного заряда это сферы с радиусом r , центр которых находится в центре точечного заряда, т.е.

(рис. 3.7). На рис. 3.6 и рис. 3.7 вектор напряженности перпендикулярен эквипотенциальным поверхностям.

Покажем, что вектор напряженности перпендикулярен эквипотенциальной поверхности. Рассмотрим работу по перемещению заряда по поверхности равного потенциала на малом участке пути ∆S (рис. 3.7). При этом, работа электрической силы

на данном пути будет:

Где α – угол между направлением силы f и перемещением ∆S . С другой стороны, эта работа может быть выражена как произведение величины перемещающегося заряда на разность потенциалов в начальном и конечном положениях заряда, т.е.

.

Так как перемещение идет по эквипотенциальной поверхности, то разность потенциалов

и

, или cosα = 0, значит α = 90 0 т.е. угол между направлением силы и перемещением ∆S равен 90 0 . Но , т.е. направления и совпадают, поэтому угол между и ∆S , α=90 0 т.е. направление вектора напряженности электростатического поля всегда перпендикулярно к эквипотенциальной поверхности.

Эквипотенциальных поверхностей вокруг заряженного тела можно провести сколько угодно много. По густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о величине , однако при условии, что разность потенциалов между двумя соседними эквипотенциальными поверхностями равна постоянной величине.

Формула выражает связь потенциала с напряженностью и позволяет по известным значениям φ найти напряженность поля в каждой точке. Можно решить и обратную задачу, т.е. по известным значениям в каждой точке поля найти разность потенциалов между двумя произвольными точками поля. Для этого воспользуемся тем, что работа, совершаемая силами поля над зарядом q при перемещении его из точки 1 в точку 2, может быть, вычислена как:

С другой стороны работу можно представить в виде:

, тогда

Интеграл можно брать по любой линии, соединяющие точку 1 и точку 2, т.к. работа сил поля не зависит от пути.

При обходе по замкнутому контуру

получим:

т.е. пришли к известной нам теореме о циркуляции вектора напряженности: циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю.

Поле, обладающее этим свойством, называется потенциальным.

Из обращения в нуль циркуляции вектора следует, что линии электростатического поля не могут быть замкнутыми : они начинаются на положительных зарядах (истоки ) и на отрицательных зарядах заканчиваются (стоки ) или уходят в бесконечность .

Обобщим теорему Гаусса и теорему о циркуляции вектора напряженности электростатического поля в вакууме. Так как , а

, то

. Поскольку

(

— оператор Лапласа), то для потенциала φ получим выражение

или

, которое называется уравнением Пуассона .

Это уравнение позволяет по известному распределению заряда

и заданным граничным условием для потенциала φ определить значения

во всех точках поля, а затем по формуле найти напряженность

поля, т.е. решить прямую задачу электростатики.

3.7. Вычисление разности потенциалов по напряженности поля простейших электростатических полей

Установленная связь между напряженностью и потенциалом позволяет по известной напряженности поля найти разность потенциалов между двумя произвольными точками этого поля.

Рассмотрим несколько примеров вычисления разности потенциалов между точками поля, созданного некоторыми заряженными телами.

1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости, найденная с помощью теоремы Остроградского-Гаусса, определяется по формуле

, где σ – поверхностная плотность заряда. Разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях x 1 и x 2 от плоскости, равна

.

1. d Е = 0, между обкладками потенциал уменьшается по логарифмическому закону, а вторая обкладка (вне цилиндров) экранирует электрическое поле и φ и Е равны нулю.

   Рисунок 3.10

   На рис. 3.10 изображена зависимость напряженности E и потенциала от r .

   4. Поле равномерно заряженной сферической поверхности

   Рассматривая примеры применения теоремы Остроградского-Гаусса мы нашли, что напряженность поля сферы определяется формулой:

   (рис. 3.11). А т.к.

   , то

   Рисунок 3.11

   . Если принять r 1 = r , а r 2 =∞, то потенциал вне сферической поверхности определяется выражением), определяется формулой
   Счетом выбора нулевого уровня потенциала в точке r 2 =∞ потенциал любой точки внутри заряженного шара можно найти следующим образом:

   
   . После интегрирования, получим

   .

   
   

   Рисунок 3.12

   Если учесть, что

   , то

   ( 38 )

   Из полученных соотношений можно сделать следующие выводы .

   • 
     С помощью теоремы Гаусса сравнительно просто можно рассчитать Е и φ от различных заряженных поверхностей.
   • 
     Напряженность поля в вакууме изменяется скачком при переходе через заряженную поверхность.
   • 
     Потенциал поля – всегда непрерывная функция координат.

   Контрольные вопросы

   1. 
      Как показать, что электростатическое поле потенциально?
   2. 
      Что такое потенциал?
   3. 
      Что называется циркуляцией вектора напряженности?
   4. 
      Какова связь напряженности и потенциала? Как по картине эквипотенциальных поверхностей нарисовать картину силовых линий поля?
   5. 
      Чему равна работа по перемещению заряда по эквипотенциальной поверхности?
   6. 
      Приведите примеры расчета разности потенциалов простейших электростатических полей.
   7. 
      Как ведет себя диполь во внешнем электростатическом поле?

Лекция 6. Потенциал электрического поля. Контрольная работа № 2

Потенциал относится к самым сложным понятиям электростатики. Учащиеся выучивают определение потенциала электростатического поля, решают многочисленные задачи, но у них нет ощущения потенциала, они с трудом соотносят теорию с реальностью. Поэтому роль учебного эксперимента в формировании понятия потенциала весьма высока. Нужны такие опыты, которые, с одной стороны, иллюстрировали бы абстрактные теоретические представления о потенциале, а с другой, показывали полную обоснованность экспериментом введения понятия потенциала. Стремиться к особой точности количественных результатов в этих опытах скорее вредно, чем полезно.

6.1. Потенциальность электростатического поля

На изолирующей подставке укрепим проводящее тело и зарядим его. На длинной изолированной нити подвесим лёгкий проводящий шарик и сообщим ему пробный заряд, одноимённый с зарядом тела. Шарик оттолкнётся от тела и из положения 1 перейдёт в положение 2. Так как высота шарика в поле тяготения увеличилась на h , потенциальная энергия его взаимодействия с Землёй возросла на mgh. Значит, электрическое поле заряженного тела совершило над пробным зарядом некоторую работу.

Повторим опыт, но в начальный момент не просто отпустим пробный шарик, а толкнём его в произвольном направлении, сообщив ему некоторую кинетическую энергию. При этом обнаружим, что двигаясь из положения 1 по сложной траектории, шарик в конечном итоге остановится в положении 2 . Сообщённая шарику в начальный момент кинетическая энергия, очевидно, израсходовалась на преодоление сил трения при движении шарика, а электрическое поле совершило над шариком ту же работу, что и в первом случае. В самом деле, если уберём заряженное тело, то тот же самый толчок пробного шарика приводит к тому, что из положения 2 он возвращается в положение 1 .

Таким образом, опыт наводит на мысль, что работа электрического поля над зарядом не зависит от траектории движения заряда, а определяется лишь положениями её начальной и конечной точек. Иными словами, на замкнутой траектории работа электростатического поля всегда равна нулю. Поля, обладающие таким свойством, называются потенциальными.

6.2. Потенциальность центрального поля

Опыт показывает, что в электростатическом поле, создаваемом заряженным проводящим шаром, действующая на пробный заряд сила всегда направлена от центра заряженного шара, она монотонно уменьшается с увеличением расстояния и на равных расстояниях от него имеет одинаковые значения. Такое поле называется центральным . Пользуясь рисунком, нетрудно убедиться, что центральное поле потенциально.

6.3. Потенциальная энергия заряда в электростатическом поле

Гравитационное поле, как и электростатическое, потенциально. Кроме того, математическая запись закона всемирного тяготения совпадает с записью закона Кулона. Поэтому при исследовании электростатического поля имеет смысл опираться на аналогию между гравитационным и электростатическим полями.

В небольшой области вблизи поверхности Земли гравитационное поле можно считать однородным (рис. а ).

На тело массой m в этом поле действует постоянная по модулю и направлению сила f = тg . Если предоставленное самому себе тело падает из положения 1 в положение 2 , то сила тяготения совершает работу A = fs = mgs = mg (h 1 – h 2).

Это же самое мы можем сказать иначе. Когда тело находилось в положении 1 , система Земля–тело обладала потенциальной энергией (т.е. способностью совершить работу) W 1 = mgh 1 . Когда тело перешло в положение 2 , рассматриваемая система стала обладать потенциальной энергией W 2 = mgh 2 . Совершённая при этом работа равна разности потенциальных энергий системы в конечном и начальном состояниях, взятой с обратным знаком: А = – (W 2 – W 1).

Обратимся теперь к электрическому полю, которое, напомним, как и гравитационное, является потенциальным. Представим, что силы тяжести нет, а вместо поверхности Земли имеется плоская проводящая пластина, заряженная (для определённости) отрицательно (рис. б ). Введём координатную ось Y и над пластиной расположим положительный заряд q . Понятно, что, поскольку сам по себе заряд не существует, над пластиной находится какое-то тело определённой массы, несущее электрический заряд. Но, поскольку мы считаем поле тяжести отсутствующим, то и принимать во внимание массу заряженного тела не будем.

Итак, на положительный заряд q со стороны отрицательно заряженной плоскости действует сила притяжения f = qE , где E – напряжённость электрического поля. Так как электрическое поле однородно, то во всех его точках на заряд действует одна и та же сила. Если заряд перемещается из положения 1 в положение 2 , то электростатическая сила совершает над ним работу А = fs = qE s = qE (y 1 – y 2).

То же самое мы можем выразить другими словами. В положении 1 находящийся в электростатическом поле заряд обладал потенциальной энергией W 1 = qEy 1 , а в положении 2 – потенциальной энергией W 2 = qEy 2 . При переходе заряда из положения 1 в положение 2 электрическое поле заряженной плоскости совершило над ним работу А = –(W 2 – W 1).

Напомним, что потенциальная энергия определена лишь с точностью до слагаемого: если нулевое значение потенциальной энергии выбрать в другом месте оси Y , то в принципе ничего не изменится.

6.4. Потенциал однородного электростатического поля

Если потенциальную энергию заряда в электростатическом поле разделить на величину этого заряда, то получим энергетическую характеристику самого поля, которую назвали потенциалом :

Потенциал в системе СИ выражают в вольтах : 1 В = 1 Дж/1 Кл.

Если в однородном электрическом поле ось Y направить параллельно вектору напряжённости E , то потенциал произвольной точки поля будет пропорционален координате точки: причём коэффициентом пропорциональности является напряжённость электрического поля.

6.5. Разность потенциалов

Потенциальная энергия и потенциал определяются лишь с точностью до произвольной постоянной, зависящей от выбора их нулевых значений. Однако работа поля имеет вполне определённое значение, поскольку определяется разностью потенциальных энергий в двух точках поля:

А = –(W 2 – W 1) = –( 2 q – 1 q ) = q ( 1 – 2).

Работа по перемещению электрического заряда между двумя точками поля равна произведению заряда на разность потенциалов начальной и конечной точек. Разность потенциалов иначе называют напряжением .

Напряжение между двумя точками равно отношению работы поля при перемещении заряда из начальной точки в конечную к этому заряду:

Напряжение, как и потенциал, выражается в вольтах.

6.6. Разность потенциалов и напряжённость

В однородном электрическом поле напряжённость направлена в сторону убывания потенциала и, согласно формуле = Еy , разность потенциалов равна U = 1 – 2 = Е (у 1 – y 2). Обозначив разность координат точек у 1 – y 2 = d , получаем U = Ed .

В эксперименте вместо непосредственного измерения напряжённости проще определять разность потенциалов и затем вычислять модуль напряжённости по формуле

где d – расстояние между двумя точками поля, близко расположенными в направлении вектора Е . При этом в качестве единицы напряжённости используют не ньютон на кулон, а вольт на метр:

6.7. Потенциал произвольного электростатического поля

Опыт показывает, что отношение работы по перемещению заряда из бесконечности в данную точку поля к величине этого заряда остаётся неизменным: = А /q . Это отношение принято называть потенциалом данной точки электростатического поля , принимая потенциал в бесконечности равным нулю.

6.8. Принцип суперпозиции для потенциалов

Любое как угодно сложное электростатическое поле можно представить в виде суперпозиции полей точечных зарядов. Каждое такое поле в выбранной точке имеет определённый потенциал. Поскольку потенциал является скалярной величиной, результирующий потенциал поля всех точечных зарядов есть алгебраическая сумма потенциалов 1 , 2 , 3 , … полей отдельных зарядов: = 1 + 2 + 3 + … Это соотношение является прямым следствием принципа суперпозиции электрических полей.

6.9. Потенциал поля точечного заряда

Обратимся теперь к сферическому (точечному) заряду. Выше показано, что напряжённость электрического поля, созданного равномерно распределённым по сфере зарядом Q , не зависит от радиуса сферы. Представим, что на некотором расстоянии r от центра сферы находится пробный заряд q . Напряжённость поля в точке, где находится заряд,

На рисунке изображён график зависимости силы электростатического взаимодействия между точечными зарядами от расстояния между ними. Чтобы найти работу электрического поля при перемещении пробного заряда q с расстояния r до расстояния R , разобьём этот промежуток точками r 1 , r 2 ,…, r п на равные отрезки. Средняя сила, действующая на заряд q в пределах отрезка [rr 1 ], равна

Работа этой силы на этом участке:

Аналогичные выражения для работы получатся для всех других участков. Поэтому полная работа:

Одинаковые слагаемые с противоположными знаками уничтожаются, и окончательно получаем:

– работа поля над зарядом

– разность потенциалов

Теперь, чтобы найти потенциал точки поля относительно бесконечности, устремляем R к бесконечности и окончательно получаем:

Итак, потенциал поля точечного заряда обратно пропорционален расстоянию до заряда.

6.10. Эквипотенциальные поверхности

Поверхность, в каждой точке которой потенциал электрического поля имеет одно и то же значение, называется эквипотенциальной. Эквипотенциальные поверхности поля заряженного шара нетрудно продемонстрировать подвешенным на нити пробным зарядом, как это показано на рисунке.

На втором рисунке электростатическое поле двух разноимённых зарядов представлено силовыми (сплошные) и эквипотенциальными (пунктирные) линиями.

Исследование 6.1. Разность потенциалов

Задание . Разработайте простой опыт, позволяющий ввести понятие разности потенциалов, или напряжения.

Вариант выполнения. Два металлических диска на изолирующих подставках установите параллельно друг другу на расстоянии примерно 10 см. Диски зарядите равными по модулю и противоположными по знаку зарядами. Зарядите шарик электростатического динамометра зарядом, например, q = 5 нКл (см. исследование 3.6), и введите его в область между дисками. При этом стрелка динамометра покажет определённое значение силы, действующей на шарик. Зная параметры динамометра, вычислите значение модуля силы (см. исследование 3.6). Например, в одном из наших опытов стрелка динамометра показала значение х = 2 см, следовательно, согласно формуле модуль силы f = Kх = 17 10 –5 Н.

Перемещая динамометр, покажите, что во всех точках поля между заряженными дисками на пробный заряд действует одна и та же сила. Перемещая динамометр так, чтобы пробный заряд прошёл путь s = 5 см в направлении действующей на него силы, спросите учащихся: какую работу совершает над зарядом электрическое поле? Добейтесь понимания, что работа поля над зарядом по модулю равна

А = fs = 8,5 10 –6 Дж, (6.3)

причём она положительна, если заряд перемещается по направлению напряжённости поля, и отрицательна, если в противоположном направлении. Вычислите разность потенциалов между начальным и конечным положениями шарика динамометра: U = А /q = 1,7 10 3 В.

С одной стороны напряжённость электрического поля между пластинами:

С другой стороны, согласно формуле (6.1), при d = s :

Таким образом, опыт показывает, что напряжённость электрического поля можно определить двумя способами, которые, разумеется, приводят к одинаковым результатам.

Исследование 6.2. Градуировка электрометра по напряжению

Задание. Разработайте эксперимент, показывающий, что с помощью демонстрационного стрелочного электрометра можно измерять напряжение.

Вариант выполнения. Экспериментальная установка схематически изображена на рисунке. Пользуясь электростатическим динамометром, определите напряжённость однородного электрического поля и по формуле U = Еd вычислите разность потенциалов между проводящими пластинами. Повторяя эти действия, отградуируйте электрометр по напряжению так, чтобы получился электростатический вольтметр.

Исследование 6.3. Потенциал поля сферического заряда

Задание. Экспериментально определите работу, которую нужно совершить против электростатического поля, чтобы переместить пробный заряд из бесконечности в некоторую точку поля, созданного заряженной сферой.

Вариант выполнения. На изолирующей стойке закрепите шарик из пенопласта, обёрнутый алюминиевой фольгой. Зарядите его от пьезоэлектрического или иного источника (cм. п. 1.10) и одноимённым зарядом зарядите пробный шарик на стержне электростатического динамометра. Пробный заряд находится бесконечно далеко от исследуемого, если электростатический динамометр не фиксирует силы электростатического взаимодействия между зарядами. В эксперименте удобно электростатический динамометр оставить неподвижным, а перемещать исследуемый заряд.

Постепенно приближайте заряженный шарик на изолирующей подставке к шарику электростатического динамометра. В первую строку таблицы записывайте значения расстояния r между зарядами, во вторую строку – соответствующие им значения силы электростатического взаимодействия. Удобно расстояние выражать в сантиметрах, а силу – в условных единицах, в которых отградуирована шкала динамометра. По получившимся данным постройте график зависимости силы от расстояния. Подобный график вы уже строили, выполняя исследование 3.5.

Теперь найдите зависимость работы по перемещению заряда из бесконечности в данную точку поля. Обратите внимание на то, что в эксперименте сила взаимодействия зарядов становится практически равной нулю на сравнительно небольшом удалении одного заряда от другого.

Разбейте весь диапазон изменения расстояния между зарядами на равные участки, например, по 1 см. Обработку экспериментальных данных удобнее начинать с конца графика. На участке от 16 до 12 см среднее значение силы f ср составляет 0,13 усл. ед., поэтому элементарная работа А на этом участке равна 0,52 усл. ед. На участке от 12 до 10 см, рассуждая аналогичным образом, получаем элементарную работу 0,56 усл. ед. Далее удобно брать участки длиной по 1 см. На каждом из них найдите среднее значение силы и умножьте его на длину участка. Полученные значения работы поля A на всех участках занесите в четвёртую строку таблицы.

Чтобы узнать работу А , совершённую электрическим полем при перемещении заряда из бесконечности на данное расстояние, складывайте соответствующие элементарные работы и получающиеся значения записывайте в пятую строку таблицы. В последней строке запишите значения величины 1/r , обратной расстоянию между зарядами.

Постройте график зависимости работы электрического поля от величины, обратной расстоянию, и убедитесь, что получается прямая линия (рисунок справа).

Таким образом, опыт показывает, что работа электрического поля при перемещении заряда из бесконечности в данную точку поля обратно пропорциональна расстоянию от этой точки до заряда, создающего поле.

Исследование 6.4. Высоковольтный источник напряжения

Информация. Для школьного физического эксперимента в настоящее время промышленность выпускает прекрасные высоковольтные источники напряжения. Они имеют две выходные клеммы или два высоковольтных электрода, разность потенциалов между которыми плавно регулируется в пределах от 0 до 25 кВ. Встроенный в прибор стрелочный или цифровой измеритель напряжения позволяет определять разность потенциалов между полюсами источника. Такие приборы повышают уровень учебного эксперимента по электростатике.

Задание. Разработайте доказательный учебный эксперимент, показывающий, что потенциал заряженного шара, экспериментально определённый в соответствии с формулой (6.2) для точечного заряда, равен потенциалу, сообщённому этому шару высоковольтным источником питания.

Вариант выполнения. Вновь соберите экспериментальную установку, состоящую из электростатического динамометра с пробным шариком и проводящего шара на изолирующей подставке (см. исследования 3.4 и 6.3). Измерьте параметры всех элементов установки.

Для определённости укажем, что в одном из опытов мы использовали электростатический динамометр, параметры которого указаны в исследовании 3.4: а = 5 10 –3 м, b = 55 10 –3 м, с = 100 10 –3 м, т = 0,94 10 –3 кг, причём шарики были одинаковыми и имели радиус R = 7,5 10 –3 м. Для этого динамометра градуировочный коэффициент K , переводящий условные единицы силы в ньютоны, даётся формулой (cм. исследование 3.6).

График работы по перемещению пробного заряда из бесконечности в данную точку поля представлен на рисунке на с. 31. Чтобы в этом графике от условных единиц работы перейти к джоулям, нужно в соответствии с формулой A = f ср r значения расстояния в сантиметрах перевести в метры, значения силы в усл. ед. (см) перевести в усл. ед. (м) и умножить на K . Таким образом: A (Дж) = 10 –4 K A (уcл. ед.).

Соответствующий график зависимости работы от величины, обратной расстоянию, представлен ниже. Экстраполируя его до R = 7,5 мм, получаем, что работа по перемещению пробного заряда из бесконечности до поверхности заряженного шарика А = 57 10 –4 K = 4,8 10 –5 Дж. Так как заряды шариков были одинаковы и составляли q = 6,6 10 –9 Кл (см. исследование 3.6), то искомый потенциал = А /q = 7300 В.

Включите высоковольтный источник и регулятором установите на нём выходное напряжение, например, U = 15 кВ. Одним из электродов поочерёдно прикоснитесь к проводящим шарикам и выключите источник. При этом каждый из шариков приобретает относительно Земли потенциал = 7,5 кВ. Повторите опыт по определению зарядов шариков методом Кулона (исследование 3.6) и вы получите значение, близкое к 7 нКл.

Таким образом, в эксперименте двумя независимыми способами определены заряды шаров. Первый способ основан на непосредственном использовании определения потенциала, второй опирается на сообщение шарикам определённого потенциала c помощью высоковольтного источника и последующее измерение их заряда с помощью закона Кулона. При этом получились совпадающие результаты.

Конечно, никто из школьников и не сомневается в том, что современные приборы правильно измеряют значения физических величин. Но теперь они убеждены, что правильно измеряются именно те величины, которые они изучают в простейших явлениях. Установлена прочная связь между основами физики и современной техникой, ликвидирована пропасть между школьными знаниями и реальной жизнью.

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Как экспериментально доказать, что электростатическое поле потенциально?

2. В чём суть аналогии между гравитационным и электростатическим полями?

3. Какова связь между напряжённостью и разностью потенциалов электростатического поля?

4. Предложите опыт, непосредственно обосновывающий справедливость принципа суперпозиции для потенциалов.

5. Вычислите потенциал поля точечного заряда, пользуясь интегральным исчислением. Сравните сделанный вами вывод формулы с элементарным выводом, приведённым в лекции.

6. Выясните, почему в опыте по определению разности потенциалов между двумя проводящими дисками (исследование 6.1) нельзя перемещать измеритель напряжённости так, чтобы его пробный шарик прошёл всё расстояние от одного диска до другого.

7. Отградуировав электрометр по напряжению (исследование 6.2), сравните получившийся результат с теми значениями чувствительности прибора по напряжению, которые приводятся в паспортных данных электрометра.

9. Детально разработайте методику формирования в сознании учащихся обоснованной убеждённости, что введённое при изучении электростатики понятие потенциала электрического поля в точности соответствует тому, которое используется современной наукой и техникой.

Литература

Бутиков Е.И. , Кондратьев А.С. Физика: Учеб. пособие: В 3 кн. Кн. 2. Электродинамика. Оптика. – М.: Физматлит, 2004.

Восканян А.Г ., Марленский А.Д. , Шибаев А.Ф. Демонстрация закона Кулона на основе количественных измерений: В сб. «Учебный эксперимент по электродинамике», вып. 7. – М.: Школа-Пресс, 1996.

Касьянов В.А. Физика-10. – М.: Дрофа, 2003.

Мякишев Г.Я. , Синяков А.З ., Слободсков Б.А . Физика: Электродинамика. 10–11 кл.: Учеб. для угл. изучения физики. – М.: Дрофа, 2002.

Учебное оборудование для кабинетов физики обще- образовательных учреждений: Под ред. Г.Г.Никифорова. – М.: Дрофа, 2005.

График потенциала электрического поля

Потенциальность поля

Важным свойством электрического поля, как поля не имеющего вихрей и созданного одними неподвижными источниками, является его потенциальность.

Электрическое поле называется потенциальным, если работа, которую совершает носитель заряда в таком поле, при перемещении его по любому замкнутому контуру равняется нулю.

Гравитационное поле силы тяжести также является потенциальным. Если поднять груз определенной массы на некоторую высоту, а затем опустить его обратно на поверхность Земли, в прежнюю точку, то полная механическая работа будет также равна нулю. Причем, совершенно не важно по какой траектории осуществлялся подъем и спуск груза. Источником такого гравитационного поля является в этом примере Земля (тело с массой во много раз большей чем масса поднимаемого груза).

Электростатическое поле, то есть такое поле, которое образовано неподвижными электрическими зарядами, также обладает аналогичной потенциальностью. Работа носителя заряда при его перемещении по замкнутому контуру в электростатическом поле будет равняться нулю. Траектория такого перемещения замкнута и называется контуром и эта траектория может быть любого вида, принципиальное значение имеет ее замкнутость, а не форма.

На рисунке изображены разные траектории движения заряда в электростатическом поле плоского конденсатора. Не имеет значения по какому маршруту двигался заряд (картинка слева), совершенная им работа будет одинаковой, то есть A₁=A₂=A₃. На правом изображении показано движение заряда по замкнутому контуру. Начальная и конечная точки поля совпадают. Заряд двигался из точки 1, затем 2, 3, и снова прибыл в точку 1, тем самым образовав замкнутую траекторию, то есть контур. В этом случае говорят, что совершенная им механическая работа равна нулю.

Потенциал

Так как электростатическое поле является потенциальным, то в нем каждая точка пространства имеет потенциал характеризующий это поле. Для гравитационного поля это будет гравитационный потенциал, а для электрического — электрический потенциал. Что же такое потенциал и как он определяется?

Потенциалом φ точки электрического поля называется работа, которую нужно затратить, чтобы переместить заряд +q в количестве одного Кулона из бесконечности в данную точку поля, или же работа по перемещению этого же заряда +q из данной точки в бесконечность.

Из определения потенциала получается, что потенциал — это показатель характеризующий работу заряда, то есть это по-сути энергетическая характеристика поля. Что же следует понимать под бесконечностью? Это всё-таки некоторое расстояние, а не математическое понятие ∞. Под бесконечностью в определении потенциала следует понимать такое расстояние в пространстве, на котором поле можно считать равным нулю, то есть напряженность поля в ней настолько мала, что ее можно принять за ноль. Силовые линии электрического поля одиночного заряда уходят в бесконечность и даже в этой бесконечности с противоположной стороны вполне может встретится заряд противоположного знака, и тогда эти две бесконечности встретятся. Вот такое место встречи и есть то место, где влияние поля одиночного заряда равно нулю. Это место нулевого потенциала, где потенциал φ=0, после перехода этой зоны нулевого потенциала его значения поменяют свой знак. В реальной природе, во вселенной, каждый заряд имеет свою противоположную пару и потому точка бесконечности — это точка равновесия, баланса.

Из практических соображений бывает удобно принять некоторую линию или поверхность (эквипотенциальную) равной нулю. Это значит, что относительно некоторого источника электрического поля она всё же имеет некоторое значение, но принимается за ноль из практической необходимости. Получается обоснованная относительная система отсчета потенциалов поля. На этот счёт есть аналогия с гравитационным полем Земли (отсчет от уровня моря), когда влияние гравитации Солнца несущественно, но для высоких орбит космических спутников следует учитывать и гравитацию Солнца. При значительном приближении космического аппарата к Луне, влияние гравитационного потенциала Луны станет первостепенным и потребуется лунная система отсчета. Подобным образом обстоят дела и с электрическим полем Земли. Если в физике при рассмотрении теоретических вопросов выбирают бесконечность, то в электротехнике поступают иначе, и принимают за нулевой потенциал поверхность Земли. Соответственно на определенной высоте от поверхности Земли, в атмосфере, потенциал будет иметь некоторое отличное от нуля значение.

В каком случае понятие потенциала теряет смысл? Если при движении заряда по разным траекториям будет совершатся разная работа, то есть она будет зависеть от формы пути, то здесь потенциал поля не имеет смысла. Итак, понятие потенциала относится только к потенциальному полю.

Потенциальная энергия

Известное в механике понятие потенциальной энергии также относится к потенциальному полю. При отсутствии потенциального поля не может быть никакой речи о потенциальной энергии. Потенциальной энергией тела мы как раз и называем ту работу, которую необходимо затратить, чтобы переместить это тело из бесконечности в данную точку. Иначе говоря, требуется затратить энергию, чтобы перенести тело из области с нулевым потенциалом в область с высоким потенциалом. Опять же, если затрачиваемая работа зависит от формы пути, то нет потенциального поля, а значит невозможно говорить о потенциальной энергии.

Как было уже сказано выше, потенциал — это энергетическая характеристика поля и потому достаточно легко определить потенциальную энергию через потенциал.

Потенциальная энергия U_p равна произведению заряда q на потенциал φ.

Тело, находящееся в потенциальном поле сил (а электростатическое поле является потенциальным), обладает потенциальной энергией, за счет которой силами поля совершается работа (см. § 12). Как известно (см.(12.2)), работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии. Поэтому работу (83.1) сил электростатического поля можно представить как разность потенциальных энергий, которыми обладает точечный заряд Q _{в начальной и конечной точках поля заряда Q:}

(84.1)

откуда следует, что потенциальная энергия заряда Qв поле заряда Q равна

Она, как и в механике, определяется неоднозначно, а с точностью до произвольной постоянной С. Если считать, что при удалении заряда в бесконечность (r ® ¥) потенциальная энергия обращается в нуль (U = 0), то С = 0 и потенциальная энергия заряда Q_{, находящегося в поле заряда Qна расстоянии г от него, равна}

(84.2)

Для одноименных зарядов Q_{Q > 0 и потенциальная энергия их взаимодействия (отталкивания) положительна, для разноименных зарядов QQ}

Если перемещать заряд Q_{из произвольной точки за пределы поля, т. е. в бесконечность, где, по условию, потенциал равен нулю, то работа сил электростатического поля, согласно (84.6), А¥ =Оj,откуда}

(84.9)

Таким образом, потенциал — физическая величина, определяемая работой по перемещению единичного положительного заряда при удалении его из данной точки поля в бесконечность. Эта работа численно равна работе, совершаемой внешними силами (против сил электростатического поля) по перемещению единичного положительного заряда из бесконечности в данную точку поля.

Из выражения (84.4) следует, что единица потенциала — вольт (В): 1 В есть потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией 1 Дж (1 В=1 Дж/Кл). Учитывая размерность вольта, можно показать, что введенная в § 79 единица напряженности электростатического поля действительно равна 1 В/м: 1 Н/Кл=1 Н×м/(Кл×м)=1 Дж/(Кл×м)=1 В/м.

Из формул (84.3) и (84.4) вытекает, что если поле создается несколькими зарядами, то потенциал поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов:

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Как то на паре, один преподаватель сказал, когда лекция заканчивалась — это был конец пары: «Что-то тут концом пахнет». 8428 — | 8040 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЗАРЯД. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ.

Электрический заряд q — физическая величина, определяющая интенсивность электромагнитного взаимодействия.

Атомы состоят из ядер и электронов. В состав ядра входят положительно заряженные протоны и не имеющие заряда нейтроны. Электроны несут отрицательный заряд. Количество электронов в атоме равно числу протонов в ядре, поэтому в целом атом нейтрален.

Заряд любого тела: q = ±Ne , где е = 1,6*10 -19 Кл — элементарный или минимально возможный заряд (заряд электрона), N — число избыточных или недостающих электронов. В замкнутой системе алгебраическая сумма зарядов остается постоянной:

Точечный электрический заряд — заряженное тело, размеры которого во много раз меньше расстояния до другого наэлектризованного тела, взаимодействующего с ним.

Два неподвижных точечных электрических заряда в вакууме взаимодействуют с силами, направленными по прямой, соединяющей эти заряды; модули этих сил прямо пропорциональны произведению зарядов и обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними:

где — электрическая постоянная.

где ₁₂ — сила, действующая со стороны второго заряда на первый, а ₂₁ — со стороны первого на второй.

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ. НАПРЯЖЕННОСТЬ

Факт взаимодействия электрических зарядов на расстоянии можно объяснить наличием вокруг них электрического поля — материального объекта, непрерывного в пространстве и способного действовать на другие заряды.

Поле неподвижных электрических зарядов называют электростатическим.

Характеристикой поля является его напряженность.

Напряженность электрического поля в данной точке — это вектор, модуль которого равен отношению силы, действующей на точечный положительный заряд, к величине этого заряда, а направление совпадает с направлением силы.

Напряженность поля точечного заряда Q на расстоянии r от него равна

Принцип суперпозиции полей

Напряженность поля системы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей каждого из зарядов системы:

Диэлектрическая проницаемость среды равна отношению напряженностей поля в вакууме и в веществе:

Она показывает во сколько раз вещество ослабляет поле. Закон Кулона для двух точечных зарядов q и Q , расположенных на расстоянии r в среде c диэлектрической проницаемостью :

Напряженность поля на расстоянии r от заряда Q равна

ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ЗАРЯЖЕННОГО ТЕЛА В ОДНОРОДНОМ ЭЛЕКТРО-СТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Между двумя большими пластинами, заряженными противоположными знаками и расположенными параллельно, поместим точечный заряд q .

Так как электрическое поле между пластинами с напряженностью однородное, то на заряд во всех точках действует сила F = qE , которая при перемещении заряда на расстояние вдоль совершает работу

Эта работа не зависит от формы траектории, то есть при перемещении заряда q вдоль произвольной линии L работа будет такой же.

Работа электростатического поля по перемещению заряда не зависит от формы траектории, а определяется исключительно начальным и конечным состояниями системы. Она, как и в случае с полем сил тяжести, равна изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком:

Из сравнения с предыдущей формулой видно, что потенциальная энергия заряда в однородном электростатическом поле равна:

Потенциальная энергия зависит от выбора нулевого уровня и поэтому сама по себе не имеет глубокого смысла.

ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ И НАПРЯЖЕНИЕ

Потенциальным называется поле, работа которого при переходе из одной точки поля в другую не зависит от формы траектории. Потенциальными являются поле силы тяжести и электростатическое поле.

Работа, совершаемая потенциальным полем, равна изменению потенциальной энергии системы, взятой с противоположным знаком:

Потенциал — отношение потенциальной энергии заряда в поле к величине этого заряда:

Потенциал однородного поля равен

где d — расстояние, отсчитываемое от некоторого нулевого уровня.

Потенциальная энергия взаимодействия заряда q с полем равна .

Поэтому работа поля по перемещению заряда из точки с потенциалом φ₁ в точку с потенциалом φ₂ составляет:

Величина называется разностью потенциалов или напряжением.

Напряжение или разность потенциалов между двумя точками — это отношение работы электрического поля по перемещению заряда из начальной точки в конечную к величине этого заряда:

НАПРЯЖЕННОСТЬ ПОЛЯ И РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ

При перемещении заряда q вдоль силовой линии электрического поля напряженностью на расстояние Δ d поле совершает работу

Так как по определению, то получаем:

Отсюда и напряженность электрического поля равна

Итак, напряженность электрического поля равна изменению потенциала при перемещении вдоль силовой линии на единицу длины.

Если положительный заряд перемещается в направлении силовой линии, то направление действия силы совпадает с направлением перемещения, и работа поля положительна:

Тогда , то есть напряженность направлена в сторону убывания потенциала.

Напряженность измеряют в вольтах на метр:

Напряженность поля равна 1 В/м, если напряжение между двумя точками силовой линии, расположенными на расстоянии 1 м, равна 1 В.

Если независимым образом измерять заряд Q , сообщаемый телу, и его потенциал φ, то можно обнаружить, что они прямо пропорциональны друг другу:

Величина С характеризует способность проводника накапливать электрический заряд и называется электрической емкостью. Электроемкость проводника зависит от его размеров, формы, а также электрических свойств среды.

Электроёмкостъ двух проводников — отношение заряда одного из них к разности потенциалов между ними:

Емкость тела равно 1 Ф , если при сообщении ему заряда 1 Кл оно приобретает потенциал 1 В.

Конденсатор — два проводника, разделенные диэлектриком, служащие для накопления электрического заряда. Под зарядом конденсатора понимают модуль заряда одной из его пластин или обкладок.

Способность конденсатора накапливать заряд характеризуется электроемкостью, которая равна отношению заряда конденсатора к напряжению:

Емкость конденсатора равна 1 Ф, если при напряжении 1 В его заряд равен 1 Кл.

Емкость плоского конденсатора прямо пропорциональна площади пластин S , диэлектрической проницаемости среды , и обратно пропорциональна расстоянию между пластинами d:

ЭНЕРГИЯ ЗАРЯЖЕННОГО КОНДЕНСАТОРА.

Точные эксперименты показывают, что W=CU 2 /2

Так как q = CU , то

Плотность энергии электрического поля

где V = Sd — объем, занимаемый полем внутри конденсатора. Учитывая, что емкость плоского конденсатора

а напряжение на его обкладках U=Ed

Пример. Электрон, двигаясь в электрическом поле из точки 1 через точку 2, увеличил свою скорость от 1000 до 3000 км/с. Определите разность потенциалов между точками 1 и 2.

Так как электрон увеличил свою скорость, то ускорение и сила Кулона сонаправлены со скоростью. Значит, электрон движется против силовых линий поля. Изменение кинетической энергии электрона равно работе поля :

Ответ: разность потенциалов равна — 22,7 В.

Потенциал электрического поля

Циркуляция и ротор(математическое отступление).

Как мы видели в пункте 1,
работа электростатического поля оказалась равной криволинейному интегралу, вычисленному
вдоль траектории, по которой движется заряд.

Вообще в математике криволинейный интеграл от любой векторной функции
по кривой (контуру) L означает следующее.
Разделим всю кривую на очень малые элементы
и получим векторы с направлениями,
определяемыми выбором движения, модули которых равны длинам этих участков; для
каждого вычислим скалярное произведение ;
просуммируем
полученные результаты; переходя к пределу бесконечно малых элементов кривой,
получим криволинейный интеграл (или интеграл по контуру).

Пусть теперь в области пространства, в которой определено векторное поле расположена
произвольная замкнутая кривая L (рис.6.3).

def: Циркуляцией вектора по произвольному замкнутому контуру L называется криволинейный интеграл Г , (6.7) где — единичный вектор, касательный к контуру L, указывающий направление обхода этого контура.

Фактически интегрируется только касательная составляющая
векторного поля А_l, поэтому помимо (6.7) для обозначения циркуляции
используют ещё следующие эквивалентные формулы:

.

Будем, кроме того, считать, что на контуре выбрано положительное
направление обхода, то есть направление, при движении, вдоль которого область,
ограниченная контуром, остаётся всегда слева (более точно см. ниже).

Вновь вспомним о гидродинамике. Если мы рассмотрим векторное
поле скоростей текущей
жидкости, и поместим в произвольную точку этой жидкости небольшую турбинку (колёсико
с лопастями) то в зависимости от своей ориентации, турбинка будет вращаться
с большей или меньшей скоростью. Если вычислить циркуляцию вектора скорости
вдоль контура, совпадающего с ободом турбинки, а затем разделить на длину этого
обода, то мы получим (в соответствие с теоремой о среднем) некоторое среднее
значение проекции скорости частиц жидкости на касательную к контуру v_l. Но именно
с такой линейной скоростью и будут вращаться лопасти турбинки. Таким образом,
чем больше циркуляция вектора скорости, тем с большей скоростью будет вращаться
турбинка, помещённая в данную точку жидкости, а это в свою очередь означает,
большую завихрённость жидкости в рассматриваемой точке. (Характерный пример
— вода, вытекающая из ванны.)

Следует отметить, однако, что характеризовать
завихрённость поля непосредственно циркуляцией Г нельзя, поскольку поле может
быть очень неоднородным, и степень его завихрённости будет изменяться от точки
к точке. Желая же определить такую «локальную» завихрённость, мы должны будем
уменьшать размеры контура L, стягивая его в точку. При этом,
очевидно, циркуляция будет стремиться к 0. В связи с этим, для характеристики
степени завихрённости поля вводят понятие плотности циркуляции, определяя её
как предел, к которому стремится отношение циркуляции вектора
по контуру L, к площади
DS,
ограниченной этим контуром, когда данный контур стягивается
к рассматриваемой точке пространства. (При этом, соответственно, DS0):

.

Вычисляя этот предел, мы будем иметь уже некоторое конечное,
отличное от нуля число. Однако, это значение будет зависеть от ориентации контура L в поле.
Например, как уже говорилось ранее,
от ориентации турбинки в жидкости. Изменяя ориентацию турбинки, мы можем получить
максимальное и минимальное значения Г (соответствующие двум противоположным
ориентациям турбинки, при этом одно из них будет положительным, а другое отрицательным),
а также при некоторой ориентации турбинка вообще перестанет вращаться, что соответствует
Г=0. Данные обстоятельства показывают, что всё многообразие значений плотности
циркуляции векторного поля может быть, вообще говоря, представлено в виде проекции
некоторого вектора, на нормаль к площадке контура L. При этом данный вектор
по абсолютной величине будет равен максимальному значению плотности циркуляции
вектора в рассматриваемой
точке пространства, и направлен в сторону, соответствующую направлению нормали
к контуру L, при которой плотность циркуляции принимает это максимальное значение.

Данный вектор называется ротором или вихрем векторного поля
(от французского
(или английского) слова rotation — вращение, или лат. roto- вращаюсь) и проекция этого
вектора на любое направление в каждой точке пространства определяется
выражением:

    (6.10)

Здесь — нормаль
к площадке DS, согласованная с направлением обхода контура L
правилом правого винта (буравчика) — рис.6.4.

Физика для средней школы

Разность потенциалов. Напряжение

Работа сил электростатического поля по перемещению заряда q из точки 1 в точку 2 поля

Выразим потенциальную энергию через потенциалы поля в соответствующих точках:

Тогда

Таким образом, работа определяется произведением заряда на разность потенциалов начальной и конечной точек.

Из этой формулы разность потенциалов

Разность потенциалов — это скалярная физическая величина, численно равная отношению работы сил поля по перемещению заряда между данными точками поля к этому заряду.

В СИ единицей разности потенциалов является вольт (В).

1 В — разность потенциалов между двумя такими точками электростатического поля, при перемещении между которыми заряда в 1 Кл силами поля совершается работа в 1 Дж.

Разность потенциалов в отличие от потенциала не зависит от выбора нулевой точки. Разность потенциалов часто называют электрическим напряжением между данными точками поля:

Напряжение между двумя точками поля определяется работой сил этого поля по перемещению заряда в 1 Кл из одной точки в другую. В электростатическом поле напряжение вдоль замкнутого контура всегда равно нулю.

Работу сил электрического поля иногда выражают не в джоулях, а в электронвольтах. 1 эВ равен работе, совершаемой силами поля при перемещении электрона (е = 1,6·10-19 Кл) между двумя точками, напряжение между которыми равно 1 В.

1 эВ = 1,6·10-19 Кл·1 В = 1,6·10-19 Дж.

1 МэВ = 106 эВ = 1,6·10-13 Дж.

Электрическое поле графически можно изобразить не только с помощью линий напряженности, но и с помощью эквипотенциальных поверхностей.

Эквипотенциальной называется воображаемая поверхность, в каждой точке которой потенциал одинаков. Разность потенциалов между двумя любыми точками эквипотенциальной поверхности равна нулю.

Следовательно, работа по перемещению заряда вдоль эквипотенциальной поверхности равна 0. Но работа рассчитывается по формуле

Значит,

Следовательно, линии напряженности перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Первая эквипотенциальная поверхность металлического проводника — это поверхность самого заряженного проводника, что легко проверить электрометром. Остальные эквипотенциальные поверхности проводятся так, чтобы разность потенциалов между двумя соседними поверхностями была постоянной.

Картины эквипотенциальных поверхностей некоторых заряженных тел приведены на рис. 1.

Рис. 1

Эквипотенциальными поверхностями однородного электростатического поля являются плоскости, перпендикулярные линиям напряженности (рис. 1, а).

Эквипотенциальные поверхности поля точечного заряда представляют собой сферы, в центре которых расположен заряд q (рис.{2}}}\right).}

Относительное замедление хода времени в точке с меньшим значением гравитационного потенциала по сравнению с временем в точке с большим значением гравитационного потенциала равно разности гравитационных потенциалов в этих точках, делённой на квадрат скорости света.

Дивергенция и ротор (Как вы это поняли).

На рис.6.7 представлены различные картины векторного поля. Попробуйте сказать,
где ротор и дивергенция равны 0, а где нет

При этом прежде всего нужно обратить
внимание на контуры интегрирования, заметив, что они выбраны так, чтобы вдоль
каждой из сторон, проекция векторов поля имела одно и тоже значение (причём
для двух сторон в случаях а, б, г, д она равна 0)

Ответ:

a) вектор постоянен вдоль своего направления, следовательно, дивергенция равна 0. ротор не равен нулю. Сравните с рекой.	б) Явно виден источник поля. Дивергенция не равна нулю. Поле центрально — симметричное. Поэтому ротор равен 0.	в) вектор постоянен вдоль своего направления, следовательно, дивергенция равна 0. Проекции векторов поля на противоположные стороны контура разных знаков, но одинаковы по абсолютной величине, и поэтому при сложении линейных интегралов они уничтожают друг друга. Поэтому ротор равен нулю.
г) вектор постоянен вдоль своего направления, следовательно, дивергенция равна 0. Вектор убывает по мере удаления от центра поля (за пределами рисунка) поэтому ротор может быть равен 0.	д) вектор постоянен вдоль своего направления, следовательно, дивергенция равна 0. Вектор не убывает, поэтому линейный интеграл по левой стороне контура не компенсируется таким же интегралом по правой. Поэтому ротор не равен нулю.	е) Явно виден сток поля. Поэтому дивергенция не равна 0. Так же и ротор не равен нулю, поскольку циркуляция вдоль указанного контура не равна 0, так как проекции векторов поля на все стороны контура одного знака (отрицательны) и при сложении (интегрировании) не компенсируют друг друга.

Подводя итог, ещё раз отметим, что ротор характеризует степень
завихрённости векторного поля, его «вращательную составляющую». При этом, однако,
нужно иметь в виду, что данная «вращательная компонента» поля может быть обусловлена
не только искривлением векторных линий (завихрённость «в чистом виде»), как
при вытекании воды из ванны, или в примере е), но и поперечной неоднородностью
поля, когда векторные линии — прямые, как в случае течения воды в реке (рис.6.5),
или в случае примера а).

Химическая работа

Для однородных многокомпонентных систем открытых систем

dE=TdS−PdV+∑jμjdmj,{\displaystyle dE=TdS-PdV+\sum _{j}\mu _{j}dm_{j},}

где mj{\displaystyle m_{j}} — масса j{\displaystyle j}-го компонента, μj{\displaystyle \mu _{j}} — химический потенциал этого компонента, по определению равный

μk≡(∂E∂mk)S,V,{mj≠k}.{\displaystyle \mu _{k}\equiv \left({\frac {\partial E}{\partial m_{k}}}\right)_{S,V,\{m_{j\neq k}\}}.}

(Дефиниция химического потенциала компонента)

Величину изменение энергии системы за счёт вариации масс составляющих систему веществ

z≡∑jμjdmj,{\displaystyle z\equiv \sum _{j}\mu _{j}dm_{j},}

(Химическая работа бесконечно малого процесса в открытой однородной системе)

не имеющую общепринятого названия, чаще всего называют элементарной химической работой, а также массовой работой, работой переноса массы, работой перераспределения масс веществ, энергией, передаваемой при обмене веществом, энергией, передаваемой при переносе массы. Химическая работа не является независимо измеряемой величиной — таковой является сумма энтропийной и химической составляющих изменения энергии в рассматриваемом процессе. Но если положить теплоту бесконечно малого процесса равной

q≡TdS{\displaystyle q\equiv T\mathrm {d} S}

(Теплота бесконечно малого процесса в открытой однородной системе)

и учесть, что элементарная работа расширения/сжатия равна

w=−PdV,{\displaystyle w=-P\mathrm {d} V,}

(Элементарная работа расширения/сжатия в однородной системе)

то химическая работа может быть вычислена:

z=∑jμjdmj=dE−q−w=dE−TdS+PdV.{\displaystyle z=\sum _{j}\mu _{j}\mathrm {d} m_{j}=\mathrm {d} E-q-w=\mathrm {d} E-T\mathrm {d} S+P\mathrm {d} V.}

Похожие слова

ПотенцияПотенциацияПотенциальноПотенциометрПотенциальныйПотенцироватьПотенциометрияПотенциалоскопПотенцированиеПотенциал покояПотенцированныйПотенциальностьПотенциал теченияПотенциальная ямаПотенциал действияПотенциальные силыПотенциал осажденияПотенциал ионизацииПотенциал зажиганияПотенциальный барьерПотенциал поврежденияПотенциальная энергияПотенциалы запаздывающиеПотенциал концевой пластинкиПотенциалы термодинамическиеПотенциал электростатическийПотенциация посттетаническаяПотенциалы электромагнитного поляПотенциал концевой пластинки миниатюрный

Что такое электрический потенциал простыми словами – Все об электричестве

Всем привет, на связи с вами снова Владимир Васильев.  Новогодние празднования подходят к концу, а значить надо готовиться к рабочим будням, с чем вас дорогие друзья и поздравляю! Хех,  только не надо расстраиваться и впадать в депрессию, нужно мыслить позитивно.

Так вот в эти новогодние праздники я как-то размышлял о аудитории моего блога: «Кто он? Кто тот посетитель моего блога, что каждый день заходит почитать мои посты?».  Может быть это прошаренный  спец зашел из любопытства почитать что я тут накалякал?  А может это какой -нибудь доктор радиотехнических наук зашел посмотреть как спаять схему мультивибратора?

Электрический потенциал

Электрический потенциал – это скалярная физическая величина, характеризующая напряжённость поля. Через параметр также выражается электрическое напряжение.

Внешняя контактная разность — потенциал

В чем состоит разница в экспериментальном осуществлении внешней и внутренней контактной разности потенциалов. В чем состоят физические механизмы возникновения внутренней и внешней контактной разности потенциалов.
 

Диаграмма потенциальной энергии электрона в случае контакта двух.

Произведение заряда электрона е на) представляет собой работу выхода электрона из металла. Разность т я — г 2 ек называется внешней контактной разностью потенциалов.
 

Сопоставляя это выражение с уравнением ( VIII, 22), мы видим, что Е ек. Следовательно, разность между потенциалами точек нулевых зарядов двух металлов численно равна внешней контактной разности потенциалов между ними. Этот вывод, сделанный А. Н. Фрумкиным, заставляет рассматривать ф ( 0) как весьма важную физическую характеристику металлов.
 

Это произошло потому, что мы не учли энергию UK, обусловленную внешней контактной разностью потенциалов Фк, которую необходимо добавить к общей энергии или отнять от нее в зависимости от направления обхода.
 

Сопоставляя это выражение с уравнением ( VIII, 22), мы видим, что Е — ек. Следовательно, разность между потенциалами то ек нулевых зарядов двух металлов численно равна внешней контактной разности потенциалов между ними. Этот вывод, сделанный А. Н. Фрумкиным, заставляет рассматривать q ( 0) как весьма важную физическую характеристику металлов.
 

Поверхность калия в фотоэлементе освещают светом длиной волны 95 ммк. Определить минимальную величину задерживающей разности потенциалов, которую необходимо приложить извне для полного прекращения фототока, если известно, что внешняя контактная разность потенциала, равная 0 7 в, направлена противоположно приложенному напряжению.
 

В случае контакта двух разнородных металлов при выходе электрона из одного металла в другой совершается работа, равная разности работ выхода соприкасающихся металлов. Значения контактных потенциалов выхода зависят от рода металлов, а также от состояния соприкасающихся поверхностей и находятся в пределах от нескольких десятых долей вольта до нескольких вольт. Таким образом, внешняя контактная разность потенциалов значительно превосходит внутреннюю.
 

Контур из двух разнородных металлов в растворе электролита.

Оба вывода электрометра находятся в одной и той же фазе — вакууме. Как показывает опыт, стрелка электрометра отклоняется при такой установке, подтверждая наличие разности потенциалов между двумя точками в вакууме, находящимися на близком расстоянии от поверхности двух различных металлов, контактирующих между собой. Эта разность потенциалов носит название внешней контактной разности потенциалов или, иначе, вольта-потенциала. Обозначим ее величину символом AV.
 

Фотоэлемент состоит из двух разнородных электродов, один из которых освещают монохроматическим светом длиной волны 185 ммк. Фототек возникает лишь при наличии приложенного извне ускоряющего напряжения 0 4 в. Известно, кроме того, что внешняя контактная разность потенциалов между данными электродами равна 1 81 в.
 

В этом случае перераспределение ионов между электродом и раствором не будет и двойной электрический слой не возникает. Такой раствор называется нулевым раствором, а электрический потенциал на электроде — потенциалом нулевого заряда. Разность потенциалов двух электродов в нулевом растворе равна внешней контактной разности потенциалов электродов, которая, в свою очередь, определяется разностью работ выхода электронов для этих металлов. Так, при контакте двух разных металлов электроны с поверхности одно-то из них переходят на поверхность другого до установления равновесия и постоянной разности потенциалов, равной разности между их потенциалами пулевых зарядов.
 

При соприкосновении двух различных металлов во внешнем пространстве появляется электрическое поле, а на поверхности металлов возникают заряды.

Согласно сказанному выше на обоих проводниках появляются электрические заряды, а между свободными их концами возникает электрическое поле. Разность потенциалов между любыми двумя точками а ж б ( рис. 336), находящимися вне проводников, но расположенными в непосредственной близости от их поверхностей, называется внешней контактной разностью потенциалов или просто контактной разностью потенциалов.
 

Правая часть последнего равенства представляет собой внешнюю контактную разность потенциалов обоих металлов Мех и Ме. Если теперь электрон из точки а возле поверхности металла Мех перенести в точку Ь в вакууме, то работа переноса по этому второму пути будет равна произведению заряда электрона на внешнюю контактную разность потенциалов для металлов Мех и Me, — так называемый вольта-потенциал, который ранее мы обозначали символом ДУ.
 

Гравитационный потенциал точечной массы и произвольного тела

Гравитационный потенциал, создаваемый точечной массой M{\displaystyle M}, расположенной в начале координат, равен

φ(r→)=−GMr+C,{\displaystyle \varphi ({\vec {r}})=-{\frac {GM}{r}}+C,}

где G{\displaystyle G} — гравитационная постоянная, r{\displaystyle r} — расстояние от начала координат (модуль радиус-вектора r→{\displaystyle {\vec {r}}}). Через C{\displaystyle C} обозначена произвольная константа, опускаемая при выборе φ={\displaystyle \varphi =0} на бесконечности.{\prime })}; интегрирование выполняется по всему объёму тел, создающих поле.

В электродинамике

Когда присутствуют изменяющиеся во времени магнитные поля (что справедливо, при изменяющихся во времени электрических полей и наоборот), то невозможно описать электрическое поле в терминах скалярного потенциала V, поскольку электрическое поле больше не является консервативным: циркуляция ∫CE⋅dℓ{\displaystyle \textstyle \int _{C}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}} зависит от пути, потому что ∇×E≠{\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} \neq \mathbf {0} } (см. Закон индукции Фарадея).

Вместо этого всё ещё можно определить скалярный потенциал, дополнив его магнитным векторным потенциалом A. В частности, А определен так чтобы

B=∇×A,{\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} ,\,}

где B — магнитное поле. Поскольку дивергенция магнитного поля всегда равно нулю из-за отсутствия магнитных монополей, то A всегда существует.{b}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\neq V_{(b)}-V_{(a)},\,}

в отличие от электростатики.

Литература

•  (недоступная ссылка)
• Химический потенциал //  :  / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
• Большая физическая энциклопедия в 5-ти томах. Гл. ред. А. М. Прохоров. Москва «Советская энциклопедия» 1988 г.
•  (недоступная ссылка)
•  (недоступная ссылка)
•  (недоступная ссылка)
•  (недоступная ссылка)
• Гуггенгейм. Современная термодинамика, изложенная по методу У. Гиббса / Пер. под ред. проф. С. А. Щукарева. — Л.—М.: Госхимиздат, 1941. — 188 с.
•  (недоступная ссылка)
• Заславский Б. В. Краткий курс сопротивления материалов. — М.: Машиностроение, 1986. — 328 с.
• Зимон А. Д. Коллоидная химия: Общий курс. — 6-е изд. — М.: Красанд, 2015. — 342 с. — ISBN 978-5-396-00641-6.
•  (недоступная ссылка)
•  (недоступная ссылка)
•  (недоступная ссылка)
• Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. — М.: Мир, 1974. — 319 с.
•  (недоступная ссылка)
•  (недоступная ссылка)
• Румер Ю. Б., Рывкин М. Ш. Термодинамика, статистическая физика и кинетика. М., Наука, 1977. 552 с.
• Русанов А. И. Лекции по термодинамике поверхностей. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2013. — 237 с. — (Учебники для вузов. Специальная литература). — ISBN 978-5-8114-1487-1.
• Салем Р. Р. Физическая химия. Термодинамика. — М.: Физматлит, 2004. — 351 с. — ISBN 5-9221-0078-5.
•  (недоступная ссылка)
• Тамм М. Е., Третьяков Ю. Д. Неорганическая химия. Том 1. Физико-химические основы неорганической химии / Под. ред. акад. Ю. Д. Третьякова. — М.: Академия, 2004. — 240 с. — (Высшее профессиональное образование). — ISBN 5-7695-1446-9.
• Тер Хаар Д., Вергеланд Г. Основы термодинамики / Пер. с англ.. — М.: Вузовская книга, 2006. — 200 с. — ISBN 5-9502-0197-3.
• Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая Российская энциклопедия, 1998. — Т. 5: Стробоскопические приборы — Яркость. — 760 с. — ISBN 5-85270-101-7.
•  (недоступная ссылка)
• Guggenheim E. A. Thermodynamics: An Advanced Treatment for Chemists and Physicists. — Amsterdam: North-Holland, 1985. — xxiv + 390 с. — ISBN 0 444 86951 4.

Физика для средней школы

Потенциал

Из механики известно, что работа консервативных сил связана с изменением потенциальной энергии. Система «заряд — электростатическое поле» обладает потенциальной энергией (энергией электростатического взаимодействия). Поэтому, если не учитывать взаимодействие заряда с гравитационным полем и окружающей средой, то работа, совершаемая при перемещении заряда в электростатическом поле, равна изменению потенциальной энергии заряда, взятому с противоположным знаком:

Если W_p2 = 0, то в каждой точке электростатического поля потенциальная энергия заряда q равна работе, которая была бы совершена при перемещении заряда q из данной точки в точку с нулевой энергией.

Пусть электростатическое поле создано в некоторой области пространства положительным зарядом q (рис. 1).

Рис. 1

Будем помещать в точку М этого поля различные пробные положительные заряды q. Потенциальная энергия их различна, но отношение для данной точки поля и служит характеристикой поля, называемой потенциалом поля в данной точке:

Единицей потенциала в СИ является вольт (В) или джоуль на кулон (Дж/Кл).

Потенциалом электростатического поля в данной точке называют скалярную физическую величину, характеризующую энергетическое состояние поля в данной точке пространства и численно равную отношению потенциальной энергии, которой обладает пробный положительный заряд, помещенный в эту точку, к значению заряда.

Потенциал — это энергетическая характеристика поля в отличие от напряженности поля, являющейся силовой характеристикой поля.

Необходимо отметить, что потенциальная энергия заряда в данной точке поля, а значит, и потенциал зависят от выбора нулевой точки. Нулевой эта точка называется потому, что потенциальную энергию (соответственно потенциал) заряда, помещенного в эту точку поля, уславливаются считать равной нулю.

Нулевой уровень потенциальной энергии выбирается произвольно, поэтому потенциал можно определить только с точностью до некоторой постоянной, значение которой зависит от того, в какой точке пространства выбрано его нулевое значение.

В технике принято считать нулевой точкой любую заземленную точку, т.е. соединенную проводником с землей. В физике за начало отсчета потенциальной энергии (и потенциала) принимается любая точка, бесконечно удаленная от зарядов, создающих поле. Если нулевая точка выбрана, то потенциальная энергия (соответственно и потенциал в данной точке) заряда q становится определенной величиной.

На расстоянии r от точечного заряда q, создающего поле, потенциал определяется формулой

При указанном выше выборе нулевой точки потенциал в любой точке поля, создаваемого положительным зарядом q, положителен, а поля, создаваемого отрицательным зарядом, отрицателен:

По этой формуле можно рассчитывать потенциал поля, образованного равномерно заряженной проводящей сферой радиусом R в точках, находящихся на поверхности сферы и вне ее. Внутри сферы потенциал такой же, как и на поверхности, т.е.

Если электростатическое поле создается системой зарядов, то имеет место принцип суперпозиции: потенциал в любой точке такого поля равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых в этой точке каждым зарядом в отдельности:

Зная потенциал поля в данной точке, можно рассчитать потенциальную энергию заряда q0 помещенного в эту точку: W_p1 = q. Если положить, что W_p2 = 0, то из уравнения (1) будем иметь

Потенциальная энергия заряда q в данной точке поля будет равна работе сил электростатического поля по перемещению заряда q0 из данной точки в нулевую. Из последней формулы имеем

Потенциал поля в данной точке численно равен работе по перемещению единичного положительного заряда из данной точки в нулевую (в бесконечность).

Потенциальная энергия заряда q помещенного в электростатическое поле точечного заряда q на расстоянии r от него,

Если q и q — одноименные заряды, то , если q и q — разные по знаку заряды, то .

Отметим еще раз, что по этой формуле можно рассчитать потенциальную энергию взаимодействия двух точечных зарядов, если за нулевое значение W_p выбрано ее значение при r = бесконечности.

Если электростатическое поле образовано системой n точечных электрических зарядов, то потенциальная энергия системы определяется по формуле

где — потенциал поля, созданного всеми зарядами, кроме заряда q_i, в той точке поля, где находится заряд q_i.

Нервные импульсы

Если мозг принимает решение выполнить действие, то отправляет команду в виде импульса, который отбивается от конца, где осуществляется мышечное сжатие.

Нейроны получают импульс у дендритов. Он перемещается сквозь аксон – длинное расширение клетки в виде электрического потенциала, который создается при разнообразных концентрациях натрия и калия по обе стороны мембраны.

Дендриты посылают нейронам импульсы. Они перемещаются сквозь аксон. Это вытянутая ячейка в виде электрического потенциала, формируемого разнообразными концентрациями ионов натрия и калия по обе стороны от мембраны

Когда сигнал доходит к концу аксона, то выходят наружу нейротрансмиттеры, которые перехватываются дендритами следующего нейрона (повторяет предыдущий процесс).

Обзор	Связь между электрическим потенциалом и полем Электрическая потенциальная энергия и потенциальная разница Электрическое поле и изменение электрического потенциала Потенциалы и заряженные проводники Равномерное электрическое поле Энергосбережение Электронвольт Дипольные моменты
Эквипотенциальные поверхности и линии	Идеальные проводники Электрический потенциал человека Эквипотенциальные линии
Зарядка	Электрический потенциал в точечном заряде Суперпозиция электрического потенциала
Конденсаторы и диэлектрики	Емкость Конденсаторы с диэлектриками Конденсатор с параллельными пластинами Комбинации конденсаторов: последовательные и параллельные Диэлектрики и их пробои
Приложение

Оцените статью:

Задачи на потенциал электрического поля, работу электрического поля с решениями

Физические задачи по электростатике мало кто любит.-5 Дж.

Задача №2 на определение потенциала заряженных шаров

Условие

Шар радиусом R1=6 см заряжен до потенциала 300 В , а шар радиусом R2=4 см – до потенциала 500 В. Найдите потенциал шаров после того, как их соединили металлическим проводом, емкостью которого можно пренебречь.

Решение

Потенциал шара равен:

Суммарный заряд двух шаров будет равен:

После соединения шаров заряд каждого будет равен:

Тогда суммарный потенциал шаров вычислится по формуле:

Подставим значения и найдем:  

Ответ: 317 В; 475 В.

Задача №3 на разность потенциалов и работу по перемещению заряда

Условие

Заряд переместился между двумя точками с разностью потенциалов 1 кВ, при этом поле совершило работу, равную 40 мкДж. Найдите величину заряда.

Решение

По определению, разность потенциалов равна работе по перемещению заряда, деленной на величину этого заряда:

Отсюда можно выразить заряд и вычислить ответ:

Ответ: 40 нКл.

Задача №4 на работу электрического поля по перемещению заряда

Условие

Два точечных заряда q1=6 мкКл  и  q2=2 мкКл, находятся на расстоянии а=60 см друг от друга. Какую работу необходимо свершить внешним силам, чтобы уменьшить расстояние между зарядами вдвое?

Решение

Находясь на расстоянии a, точечные заряды обладали потенциальной энергией:

На вдвое меньшем расстоянии энергия зарядов равна:

Работа, затраченная на сближение зарядов:

Подставляем числовые данные и вычисляем:

Ответ: A=0,18 Дж.

Задача №5 на движение заряженной частицы в поле

Условие

Электрон влетает в плоский воздушный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью V=5·107 м/с. Расстояние между пластинами d=2 см, разность потенциалов U=500 В. Найти отклонение электрона, вызванное полем конденсатора, если длина его пластины l=5 см.

Решение

При движении в электрическом поле конденсатора на электрон действует сила:

Ускорение электрона, по 2 закону Ньютона, определяется формулой:

Время движения электрона в конденсаторе вычислим, зная длину пластины и скорость частицы:

Отклонение электрона будет равно:

Найдем:

Ответ: 2.2 мм

Вопросы на тему «Работа электрического поля и разность потенциалов»

Вопрос 1. Что такое потенциал электрического поля?

Ответ. Потенциал – скалярная физическая величина, являющаяся энергетической характеристикой электростатического поля.

Потенциал поля равен отношению потенциальной энергии поля (или работы по перемещению заряда из данной точки на нулевой уровень потенциальной энергии) к величине заряда.

Для потенциала применим принцип суперпозиции.

Вопрос 2. Что такое разность потенциалов?

Ответ. Разность потенциалов – это работа по перемещению заряда из одной точки в другую. Разность потенциалов еще называют напряжением, обозначая его как разность потенциалов в начальной и конечной точках траектории заряда.

Вопрос 3. Что происходит с зарядом, когда он попадает в электрическое поле?

Ответ. На заряд со стороны поля действует сила, способная перемещать заряд в поле и совершать работу.

Вопрос 4. Какую природу имеет сила, действующая на заряд? Зависит ли величина работы от траектории заряда в поле?

Ответ. Сила, действующая со стороны поля на заряд, является проявлением электромагнитного взаимодействия. Величина работы поля не зависит от траектории заряда, так как это работа потенциальных (консервативных) сил.

Для наилучшего понимания сути задач на потенциал и работу поля, можно провести параллель между работой по перемещению заряда, потенциальной энергией в механике и работой силы тяжести.

Вопрос 5. Что такое эквипотенциальная поверхность?

Ответ. Это поверхность, во всех точках которой потенциал электрического поля имеет одинаковое значения.

Какие бы задачи вы не решали и где ни учились, профессиональный образовательный сервис для студентов готов оказать помощь с проблемами по учебе любой сложности.

Потенциал электростатического поля.

2.4 Определение потенциала. Интегральное соотношение между .

Потенциальное поле векторов можно описать на скалярном языке с помощью понятия потенциала, он описывает поле более простым способом. Определяется не сам потенциал, а его приращение, по определению это:

(2)- приращение потенциала

(3) — убыль потенциала.

Разность потенциалов между точками 2 и 1 электростатического поля численно равна взятой с обратным знаком работе, совершаемой силами поля, при квазистатическом перемещении единичного положительного заряда по любому пути из точки 1 в точку 2.

2.5. Нормировка потенциала или выбор уровня отсчета.

Перепишем формулу (3) иначе:

— определен с точностью до выбора некой постоянной , которая нам не известна.

Существуют два удобных способа выбора значения аддитивной постоянной.

1. Если система зарядов занимает ограниченную область пространства, то потенциал бесконечно удаленной точки обычно полагают равным нулю. Потенциал любой другой точки согласно однозначно определится выражением

2. В практике электрических измерений часто полагают равным нулю потенциал поверхности Земли. При этом исходят из того, что вследствие очень большой электрической емкости Земли ее потенциал практически неизменен и соединение какого-либо проводника с Землей (заземление) делает его потенциал практически фиксированным. В этом случае

Когда говорят о потенциале, то имеют ввиду разность потенциалов между рассматриваемой точкой и точкой, потенциалкоторой принят за 0.

Вообще, физический смысл имеет величина, которая может быть измерена. Поэтому говорят, что потенциал в данной точке физического смысла не имеет, так как нельзя измерить работу в данной точке. Физический же смысл имеет разность потенциалов.

Потенциал характеризуется аддитивностью и он подчиняется принципу суперпозиции, как и вектор напряженности электрического поля.

Если электрическое поле создано системой точечных зарядов, то потенциал в данной точке равен алгебраической сумме потенциалов, созданных в этой точке каждым из зарядов в отдельности.

С использованием разности потенциалов квазистатическая работа сил поля при перемещении заряда q₀ по произвольному пути из точки 1 в точку 2 представится на основании (3) как

(4)

т.е. квазистатическая работа сил поля равна убыли потенциала, умноженной на величину перемещаемого заряда.

Единицей измерения потенциала служит вольт (В). Если между двумя точками пространства для переноса заряда в один кулон требуется совершить работу в один джоуль, то разность потенциалов в этих точках равна одному вольту.

2.6. Локальное (дифференциальное) соотношение между и.

Рассмотрим 2 близкие точки 1 и 2 на координатной оси OX в электростатическом поле . В соответствии с определением приращения потенциала, поскольку точки очень близки, а значит и потенциалы близки:

.

Получается, что .

Если точки 1 и 2 лежат в произвольной точке пространства, то аналогичное соотношение можно получить для проекции напряженности на другие оси декартовой системы координат:

Таким образом, вектор может быть представлен в виде:

— это оператор Гамильтона (1805-1865).

(5)

(читается так: «Набла фи»).

Потенциал электростатического поля. Разность потенциалов.».

Тема: Потенциал электростатического поля. Разность потенциалов.

10 класс

Заряженные тела притягивают или отталкивают друг друга.

При перемещении заряженных тел, например листочков электроскопа, действующие на них силы совершают работу.

Определение: Система, способная совершить работу благодаря взаимодействию тел друг с другом, обладает потенциальной энергией. Система заряженных тел обладает потенциальной энергией , называемой электростатической или электрической

Энергия взаимодействия электронов с ядром в атоме и энергия взаимодействия атомов друг с другом в молекулах — это в основном электрическая энергия.   

С точки зрения теории близкодействия на заряд непосредственно действует электрическое поле, созданное другим зарядом. При перемещении заряда действующая на него со стороны поля сила совершает работу.

Таким образом, заряженное тело в электрическом поле обладает энергией.

Вычислим работу, совершаемую полем при перемещении положительного заряда q из точки 1 , находящейся на расстоянии d 1 от левой пластины, в точку 2 , расположенную на расстоянии d 2 от нее. Точки 1 и 2 лежат на одной силовой линии.

(1)

Работа однородного электростатического поля по перемещению электрического заряда.

Работа эл. поля не зависит от траектории движения заряда, а только от начального и конечного положения заряда.

Потенциальная энергия

, Работа электростатической силы не зависит от формы траектории точки ее приложения, эта сила является консервативной .

Тогда ее работа согласно формуле равна изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком:

(2)

Тогда потенциальная энергия заряда в однородном электростатическом поле равна:

(3)

   Формула (3) подобна формуле для потенциальной энергии тела E=mgh. Но заряд q в отличие от массы может быть как положительным, так и отрицательным.

1. Если поле совершает положительную работу, то потенциальная энергия заряженного тела в поле уменьшается :

Одновременно согласно закону сохранения энергии растет его кинетическая энергия.

2. Если работа отрицательна то .

Потенциальная энергия растет, а кинетическая энергия уменьшается; частица тормозится.

На замкнутой траектории, когда заряд возвращается в начальную точку, работа поля равна нулю:

  

Потенциал

Потенциал – Энергетическая характеристика электрического поля – она определяет энергию, которую приобретает заряженная частица в электрическом поле.

(вольт)

А

С

Е

В

Разность потенциалов

Значение потенциала в данной точке зависит от выбора точки, потенциал которой принимается равным нулю.

Изменение потенциала не зависит от выбора нулевого уровня отсчета потенциала.

Т.к , то работа сил поля:

Тогда — разность потенциалов в начальной и конечной точках траектории или разность потенциалов.

Разность потенциалов называют напряжением.

Согласно формуле:

Разность потенциалов между двумя точками оказывается равной:

Определение: Разность потенциалов (напряжение) между двумя точками равна отношению работы поля при перемещении положительного заряда из начальной точки в конечную к величине этого заряда.

Пусть заряд q перемещается в направлении вектора напряженности однородного электрического поля из точки 1 в точку 2 , находящуюся на расстоянии

Электрическое поле совершает работу:

Работу можно представить через разность потенциалов:

Выражаем напряженность электрического поля из формулы (1) и подставляем (2)

Чем меньше меняется потенциал на расстоянии, тем меньше напряженность электростатического поля.

Так как при перемещении положительного заряда в направлении вектора напряженности электростатического поля совершает положительную работу, то потенциал в начальной точке больше потенциала в конечной точке, следовательно напряженность электростатического поля направлена в сторону убывания потенциала.

Потенциал

Е

E

+

0

r

Е

—

«

Потенциал

• Поверхности равного потенциала называют эквипотенциальными поверхностями.
• Эквипотенциальные поверхности перпендикулярны линиям напряженности.

B

A

Е

A

Е

B

Закрепление материала

• При перемещении заряда между точками с разностью потенциалов 1 кВ электрическое поле совершило работу 40 мкДж. Чему равен заряд?
• В однородном электрическом поле напряженностью 60 кВ/м переместили заряд 5 нКл. Перемещение, равное по модулю 20 см, образует угол 60° с направлением силовой линии. Найти работу поля, изменение потенциальной энергии взаимодействия заряда и поля и напряжение между начальной и конечной точками перемещения. Дать ответы на те же вопросы для случая перемещения отрицательного заряда.

Самостоятельно а)-1 вариант б)- 2 вариант

• Точка А лежит на линии напряженности однородного поля, напряженность которого 60 кВ/м. Найти разность потенциалов между этой точкой и точкой В, расположенной в 10 см от точки А. Рассмотреть случаи, когда точки А и В лежат: а) на одной линии напряженности; б) на прямой, перпендикулярной линии напряженности; в) на прямой, направленной под углом 45° к линиям напряженности.

Потенциальная энергия и потенциал электростатического поля

ϕ =, если положить потенциал на

. ПОТЕНЦИАЛ. РАБОТА СИЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ Потенциал, создаваемый точечным зарядом в точке A, находящейся на, если положить потенциал на бесконечности равным нулю: φ( ). Потенциал, создаваемый в

Подробнее

Таким образом, мы пришли к закону (5).

Конспект лекций по курсу общей физики Часть II Электричество и магнетизм Лекция. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ (продолжение).4. Теорема Остроградского Гаусса. Применение теоремы Докажем теорему для частного

Подробнее

Диполь в электростатическом поле

Диполь в электростатическом поле Основные теоретические сведения Поле диполя Электрическим диполем называется совокупность двух равных зарядов противоположного знака, находящихся друг от друга на расстоянии

Подробнее

r12 q r rik r i r 3 r i.

1. Электростатика 1 1. Электростатика Урок 1 Закон Кулона Сила, действующая со стороны заряда 1 на заряд 2 равна F 12 = C 1 2 12, 12 2 12 где величина C множитель, зависящий от системы единиц. В системе

Подробнее

I. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО F 4 E 4

I. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО.. Электрическое поле в вакууме Справочные сведения Закон Кулона электростатического поля точечного заряда F Напряженность поля точечного заряда равна: где — заряд, создающий поле, — радиус-вектор,

Подробнее

Практическое занятие 6. Электростатика. На самостоятельную работу: 4, 11, 15, 19.

Практическое занятие 6. Электростатика. Закон Кулона. Напряженность электрического поля точечных зарядов. На занятии: 2, 6, 10, 18 На самостоятельную работу: 4, 11, 15, 19. 2. Два шарика массой m=0,1 г

Подробнее

1. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

Введение Ещё в глубокой древности было известно, что янтарь, потертый о шерсть притягивает легкие предметы. Английский врач Джильберт (конец 8 века) назвал тела, способные после натирания притягивать легкие

Подробнее

Урок 2 ( ) Электрическое поле.

Урок (398) Электрическое поле Электрическое поле Вычисление электрического поля Электрическое поле можно либо вычислить «в лоб», как силу, действующую на единичный положительный заряд в каждой точке пространства,

Подробнее

Основные теоретические сведения

Тема: Основы электростатики Д/З -4 Сав 3. 4. Д-Я План:. Основные понятия и определения. основные характеристики электростатического поля 3. графическое изображение электростатического поля 4. закон Кулона

Подробнее

ФИЗИКА ЭЛЕКТРОСТАТИКА

Челябинский институт путей сообщения филиал Уральского государственного университета путей сообщения Кафедра естественно-научных дисциплин ФИЗИКА ЭЛЕКТРОСТАТИКА Учебно-методическое пособие к практическим

Подробнее

1.3. Теорема Гаусса.

1 1.3. Теорема Гаусса. 1.3.1. Поток вектора через поверхность. Поток вектора через поверхность одно из важнейших понятий любого векторного поля, в частности электрического d d. Рассмотрим маленькую площадку

Подробнее

Теоретическая справка к лекции 5

Теоретическая справка к лекции 5 Электрический заряд. 19 Элементарный электрический заряд e 1, 6 1 Кл. Заряд электрона отрицательный ( e e), заряд протона положительный ( p N e электронов и N P протонов

Подробнее

Проводники в электрическом поле. Ёмкость

Проводники в электрическом поле Ёмкость Основные теоретические сведения Проводники это вещества, хорошо проводящие электрический ток, те, обладающие высокой электропроводностью (низким удельным сопротивлением

Подробнее

ГЛАВА 2. Электростатика

ГЛАВА Электростатика Электростатика это раздел электродинамики, в котором рассматриваются электромагнитные процессы, не изменяющиеся во времени Точнее, т к заряды считаются неподвижными, то в СО, связанной

Подробнее

Кто не сможет на экзамене пояснить смысл этих уравнений, получит «неуд»!

Семестр 3 Лекция 1 1 Кто не сможет на экзамене пояснить смысл этих уравнений, получит «неуд»! dvd B rote t dvb D roth j t S S d E,dl B,dS D,dS B,dS j E, D E P, B H J, dv j dt H,dl d I D,dS D D, E E n 1n

Подробнее

17. Электрическое взаимодействие

ПОЛЕ ((из книги Л. Д. Ландау, А.И. Ахиезер, Е.М. Лифшиц.. Курс общей физики. Механика и молекулярная физика)) 7. Электрическое взаимодействие В предыдущей главе мы дали определение понятию силы и связали

Подробнее

Лекц ия 9 Энергия электрического поля

Лекц ия 9 Энергия электрического поля Вопросы Энергия системы неподвижных точечных зарядов Энергия заряженных проводников Энергия заряженного конденсатора Энергия и плотность энергии электрического поля

Подробнее

1.10. Общая задача электростатики

1 110 Общая задача электростатики Вектор напряженности электрического поля неподвижного точечного заряда вычисляется по формуле 1 Q E =, (1) 3 4π Используя принцип суперпозиции, нетрудно вычислить напряженность

Подробнее

2. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ 2.1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ ЭЛЕКТРОСТАТИКА Согласно закону Кулона сила с которой точечный заряд ‘ находящийся в точке с радиусвектором действует в вакууме на точечный заряд находящийся в точке с радиус-вектором (рис

Подробнее

8. Энергия электрического поля

8 Энергия электрического поля Краткие теоретические сведения Энергия взаимодействия точечных зарядов Энергия взаимодействия системы точечных зарядов равна работе внешних сил по созданию данной системы

Подробнее

методы решения задач

В. В. Покровский методы решения задач УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ 3-е издание (электронное) Москва БИНОМ. Лаборатория знаний 2 0 1 3 УДК 004.514 ББК 32.973 П48 Покровский В. В. П48 Электромагнетизм. Методы решения

Подробнее

2 ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ГАУССА

2 ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ГАУССА Поток вектора напряжённости электростатического поля сквозь поверхность. Используя закон Кулона, можно доказать электростатическую теорему Гаусса. Для этого необходимо

Подробнее

Расчетно-графическая работа по физике

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Саратовский государственный технический университет Расчетно-графическая работа по физике Методические указания

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1 ЭЛЕКТРОСТАТИКА

ЛЕКЦИЯ 1 ЭЛЕКТРОСТАТИКА 1. Гауссова система единиц Гауссова система единиц (СГС) сильно отличается от СИ и гораздо более удобна для теоретических построений и решения задач. Например, в СИ закон Кулона

Подробнее

r 2 r. E + = 2κ a, E = 2κ a

1. Электростатика 1 1. Электростатика Урок 2 Теорема Гаусса 1.1. (1.19 из задачника) Используя теорему Гаусса, найти: а) поле плоскости, заряженной с поверхностной плотностью σ; б) поле плоского конденсатора;

Подробнее

9 ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

9 ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ Рассмотрим точечную частицу с электрическим зарядом q, которая находится во внешнем электростатическом поле, потенциал которого в точке нахождения частицы равен. При этом

Подробнее

Г л а в а 1 ЭЛЕКТРОСТАТИКА

Г л а в а ЭЛЕКТРОСТАТИКА Раздел физики, посвященный изучению взаимодействия неподвижных зарядов, осуществляемого посредством электростатического поля, называется электростатикой… Электрический заряд

Подробнее

Семестр 3. Лекция 2. E,dS. E S

Семестр Лекция Лекция Теорема Гаусса для электростатического поля Поток вектора напряжённости электрического поля Теорема Гаусса в интегральной и дифференциальной формах в вакууме и её применение для расчёта

Подробнее

методы решения задач

В. В. Покровский методы решения задач УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ 2-E ИЗДАНИЕ Москва БИНОМ. Лаборатория знаний 2 0 1 1 УДК 004.514 ББК 32.973 П48 П48 Покровский В. В. Электромагнетизм. Методы решения задач : учебное

Подробнее

Вариант q 1 q 2 q 3 1 q -q q 2 -q q -q 3 q -q 2q

Задание. Тема Электростатическое поле в вакууме. Задача (Электростатическое поле системы точечных зарядов) Вариант-. В вершинах равностороннего треугольника со стороной а находятся точечные заряды q q

Подробнее

Закон сохранения заряда: Закон Кулона:

«ЭЛЕКТРОСТАТИКА» Электрический заряд ( ) фундаментальное неотъемлемое свойство некоторых элементарных частиц (электронов, протонов), проявляющееся в способности к взаимодействию посредством особо организованной

Подробнее

РЕПЕТИТОР ПО ФИЗИКЕ. ЭЛЕКТРОСТАТИКА

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНЖЕНЕРНЫЙ ИНСТИТУТ РЕПЕТИТОР ПО ФИЗИКЕ. ЭЛЕКТРОСТАТИКА Учебное пособие Новосибирск 15 УДК 537. (75) ББК.33, Я 73 Р 411 Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

7.5: Определение поля по потенциалу

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Объясните, как рассчитать электрическое поле в системе по заданному потенциалу
• Вычислить электрическое поле в заданном направлении по заданному потенциалу
• Вычислить электрическое поле в пространстве по заданному потенциалу

Напомним, что в некоторых системах мы могли вычислить потенциал путем интегрирования по электрическому полю.Как вы, возможно, уже подозреваете, это означает, что мы можем вычислить электрическое поле, взяв производные от потенциала, хотя переход от скалярной к векторной величине привносит некоторые интересные морщины. Нам часто требуется \ (\ vec {E} \) для вычисления силы в системе; поскольку часто проще вычислить потенциал напрямую, существуют системы, в которых полезно вычислить В, , а затем получить из него \ (\ vec {E} \).

В общем, независимо от того, является ли электрическое поле однородным, оно указывает в направлении уменьшения потенциала, потому что сила, действующая на положительный заряд, направлена ​​в направлении \ (\ vec {E} \), а также в направлении меньшего потенциал В .Кроме того, величина \ (\ vec {E} \) равна скорости уменьшения V с расстоянием. Чем быстрее V уменьшается с расстоянием, тем больше электрическое поле. Это дает нам следующий результат.

Связь между напряжением и однородным электрическим полем

В форме уравнения соотношение между напряжением и однородным электрическим полем равно

.

\ [E = — \ dfrac {\ Delta V} {\ Delta s} \]

где \ (\ Delta s \) — расстояние, на котором происходит изменение потенциала \ (\ Delta V \).Знак минус говорит нам, что \ (E \) указывает в направлении уменьшения потенциала. Электрическое поле называется градиентом (по степени или наклону) электрического потенциала.

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Компонента электрического поля вдоль смещения \ (\ Delta s \) задается как \ (E = — \ dfrac {\ Delta V} {\ Delta s} \). Обратите внимание, что A и B считаются настолько близкими друг к другу, что поле постоянно вдоль \ (\ Delta s \).

Для непрерывно меняющихся потенциалов \ (\ Delta V \) и \ (\ Delta s \) становятся бесконечно малыми, и нам нужно дифференциальное исчисление для определения электрического поля.Как показано на рисунке \ (\ PageIndex {1} \), если мы будем рассматривать расстояние \ (\ Delta s \) как очень маленькое, так что электрическое поле на нем по существу постоянное, мы обнаружим, что

\ [E_s = — \ dfrac {dV} {ds}. \]

Таким образом, компоненты электрического поля в декартовых направлениях равны

\ [E_x = — \ dfrac {\ partial V} {\ partial x}, \, E_y = — \ dfrac {\ partial V} {\ partial y}, \, E_z = — \ dfrac {\ partial V} { \ partial z}. \]

Это позволяет нам определять векторный оператор «grad» или «del», который позволяет нам вычислять градиент за один шаг.В декартовых координатах он принимает вид

\ [\ vec {\ nabla} = \ hat {i} \ dfrac {\ partial} {\ partial x} + \ hat {j} \ dfrac {\ partial} {\ partial y} + \ hat {k} \ dfrac {\ partial} {\ partial z}. \]

Используя эти обозначения, мы можем вычислить электрическое поле из потенциала с

\ [\ vec {E} = — \ vec {\ nabla} V, \ label {eq20} \]

— процесс, который мы называем , вычисляя градиент потенциала .

Если у нас есть система с цилиндрической или сферической симметрией, нам нужно использовать только оператор del в соответствующих координатах:

\ [\ begin {align} \ vec {\ nabla} _ {cyl} & = \ underbrace {\ hat {r} \ dfrac {\ partial} {\ partial r} + \ hat {\ varphi} \ dfrac {1 } {r} \ dfrac {\ partial} {\ partial \ varphi} + \ hat {z} \ dfrac {\ partial} {\ partial z}} _ {\ text {Cylindrical}} \ label {cylindricalnabla} \\ [ 4pt] \ vec {\ nabla} _ {sph} & = \ underbrace {\ hat {r} \ dfrac {\ partial} {\ partial r} + \ hat {\ theta} \ dfrac {1} {r} \ dfrac {\ partial} {\ partial \ theta} + \ hat {\ varphi} \ dfrac {1} {r \, sin \, \ theta} \ dfrac {\ partial} {\ partial \ varphi}} _ {\ text { Сферический}} \ label {spherenabla} \ end {align} \]

Пример \ (\ PageIndex {1} \): электрическое поле точечного заряда

Рассчитайте электрическое поле точечного заряда по потенциалу.

Стратегия

Известен потенциал \ (V = k \ dfrac {q} {r} \), обладающий сферической симметрией. Поэтому мы используем сферический оператор дель (Equation \ ref {spherenabla}) в уравнении \ ref {eq20}:

\ [\ vec {E} = — \ vec {\ nabla} _ {sph} V \ nonumber. \]

Решение

Выполнение этого расчета дает нам

\ [\ begin {align *} \ vec {E} & = — \ left (\ hat {r} \ dfrac {\ partial} {\ partial r} + \ hat {\ theta} \ dfrac {1} {r } \ dfrac {\ partial} {\ partial \ theta} + \ hat {\ varphi} \ dfrac {1} {1 \, \ sin \, \ theta} \ dfrac {\ partial} {\ partial \ varphi} \ right ) k \ dfrac {q} {r} \\ [4pt] & = — k \ left (\ hat {r} \ dfrac {\ partial} {\ partial r} \ dfrac {1} {r} + \ hat { \ theta} \ dfrac {1} {r} \ dfrac {\ partial} {\ partial \ theta} \ dfrac {1} {r} + \ hat {\ varphi} \ dfrac {1} {1 \, \ sin \ , \ theta} \ dfrac {\ partial} {\ partial \ varphi} \ dfrac {1} {r} \ right).2} \ hat {r} \ nonumber \]

, как и ожидалось.

Значение

Мы не только получили уравнение для электрического поля точечной частицы, которое мы видели ранее, но и продемонстрировали, что \ (\ vec {E} \) указывает в направлении уменьшения потенциала, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {2} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): Векторы электрического поля внутри и снаружи однородно заряженной сферы.

Пример \ (\ PageIndex {2} \): электрическое поле зарядного кольца

Используйте потенциал, найденный ранее, чтобы вычислить электрическое поле вдоль оси кольца заряда (рисунок \ (\ PageIndex {3} \)).{3/2}}. \ end {align *} \]

Значение

Опять же, это соответствует уравнению для электрического поля, найденному ранее. Он также демонстрирует систему, в которой использование полного оператора del не требуется.

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Какую систему координат вы бы использовали для расчета электрического поля диполя?

Ответ

Любая, но цилиндрическая форма ближе всего к симметрии диполя.

Авторы и авторство

• Сэмюэл Дж. Линг (Государственный университет Трумэна), Джефф Санни (Университет Лойола Мэримаунт) и Билл Мобс со многими авторами. Эта работа лицензирована OpenStax University Physics в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution License (4.0).

3.4 Определение поля по потенциалу — Введение в электричество, магнетизм и схемы

ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ

---

К концу этого раздела вы сможете:

• Объясните, как рассчитать электрическое поле в системе по заданному потенциалу
• Вычислить электрическое поле в заданном направлении по заданному потенциалу
• Вычислить электрическое поле в пространстве по заданному потенциалу

Напомним, что в некоторых системах мы могли вычислить потенциал путем интегрирования по электрическому полю.Как вы, возможно, уже подозреваете, это означает, что мы можем вычислить электрическое поле, взяв производные от потенциала, хотя переход от скалярной к векторной величине привносит некоторые интересные морщины. Нам часто нужно рассчитать силу в системе; поскольку часто проще вычислить потенциал напрямую, существуют системы, в которых полезно вычислить, а затем получить из него.

В общем, независимо от того, является ли электрическое поле однородным, оно указывает в направлении уменьшения потенциала, потому что сила, действующая на положительный заряд, направлена ​​как в направлении, так и в направлении более низкого потенциала.Кроме того, величина равна скорости уменьшения с расстоянием. Чем быстрее убывает с расстоянием, тем больше электрическое поле. Это дает нам следующий результат.

СВЯЗЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЕМ И ЕДИНЫМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ПОЛЕМ

---

В форме уравнения соотношение между напряжением и однородным электрическим полем равно

.

где — расстояние, на котором происходит изменение потенциала. Знак минус говорит нам, что указывает в направлении уменьшения потенциала.Электрическое поле называется градиентом (по степени или наклону) электрического потенциала.

Для постоянно меняющихся потенциалов, и становятся бесконечно малыми, и нам нужно дифференциальное исчисление для определения электрического поля. Как показано на рисунке 3.4.1, если мы будем рассматривать расстояние как очень маленькое, так что электрическое поле на нем по существу постоянное, мы обнаружим, что

(рисунок 3.4.1)

Рис. 3.4.1 Составляющая электрического поля вдоль смещения определяется выражением.Обратите внимание: предполагается, что A и B расположены так близко друг к другу, что поле остается постоянным.

Таким образом, компоненты электрического поля в декартовых направлениях равны

(3.4.1)

Это позволяет нам определять векторный оператор «grad» или «del», который позволяет нам вычислять градиент за один шаг. В декартовых координатах он принимает вид

(3.4.2)

Используя эти обозначения, мы можем вычислить электрическое поле из потенциала с

(3.4.3)

процесс, который мы называем вычислением градиента потенциала.

Если у нас есть система с цилиндрической или сферической симметрией, нам нужно использовать только оператор del в соответствующих координатах:

(3.4.4)

(3.4.5)

ПРИМЕР 3.4.1

---

Электрическое поле точечного заряда

Рассчитайте электрическое поле точечного заряда по потенциалу.

Стратегия

Известно, что потенциал имеет сферическую симметрию.Поэтому в формуле используется сферический оператор дель.

Решение

Выполнение этого расчета дает нам

Это уравнение упрощается до

, как и ожидалось.

Значение

Мы не только получили уравнение для электрического поля точечной частицы, которое мы видели ранее, у нас также есть демонстрация, указывающая в направлении уменьшения потенциала, как показано на рисунке 3.4.2.

(рисунок 3.4.2)

Рис. 3.4.2. Векторы электрического поля внутри и снаружи однородно заряженной сферы.

ПРИМЕР 3.4.2

---

Электрическое поле зарядного кольца

Используйте потенциал, найденный в Примере 3.2.5, чтобы вычислить электрическое поле вдоль оси зарядного кольца (рисунок 3.4.3).

(рисунок 3.4.3)

Рис. 3.4.3. Мы хотим вычислить электрическое поле по электрическому потенциалу, вызванному кольцевым зарядом.

Стратегия

В данном случае нас интересует только одно измерение — ось. Поэтому мы используем

с потенциалом, найденным ранее.

Решение

Взяв производную от потенциала, получаем

Значение

Опять же, это соответствует уравнению для электрического поля, найденному ранее. Он также демонстрирует систему, в которой использование полного оператора del не требуется.

ПРОВЕРЬТЕ ПОНИМАНИЕ 3.11

Какую систему координат вы бы использовали для расчета электрического поля диполя?

Кандела Цитаты

Лицензионный контент CC, особая атрибуция

• Загрузите бесплатно по адресу http://cnx.org/contents/[email protected]. Получено с : http://cnx.org/contents/[email protected]. Лицензия : CC BY: Attribution

Физика для науки и техники II

4.4 Расчет электрического поля на основе потенциала от Office of Academic Technologies на Vimeo.

• Пример 1: Расчет электрического поля заряда диска по его потенциалу
• Пример 2: Расчет электрического поля кольцевого заряда по его потенциалу

4.4 Расчет электрического поля по потенциалу

Ранее мы изучали, как найти потенциал из электрического поля. Расчет потенциала из поля E был основан на определении потенциала, что привело нас к выражению, в котором разность потенциалов между двумя точками равна минус интегралу E dot dl, интегрированному от начальной до этой конечной точки.Итак, из этого выражения, если бы мы знали электрическое поле, мы могли бы легко вычислить разность потенциалов, которую будет испытывать заряд всякий раз, когда он перемещается по определенному пути от исходной точки к конечной.

Теперь мы зададим противоположный вопрос и скажем: «Можем ли мы вычислить электрическое поле по потенциалу?» Ответ на это — да. Поэтому наше название — Расчет электрического поля по потенциалу.

В этом случае мы предполагаем, что знаем потенциал в каждой точке интересующего региона.Знание потенциала в интересующей области означает, что мы знаем все эквипотенциальные поверхности в этой области. Давайте изобразим эти эквипотенциальные поверхности с точки зрения поперечного сечения, примерно так. Следовательно, эти величины или они представляют, эти линии представляют собой поперечное сечение этих эквипотенциальных поверхностей.

Предположим, что мы перемещаем заряд с одной эквипотенциальной поверхности на другую по определенному пути. Мы также знаем, что силовые линии электрического поля всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям, поэтому эти углы составляют 90 градусов, для этих эквипотенциальных поверхностей они имеют напряжение, скажем, v1, v2, v3 и так далее и так далее.

Предположим, что мы перемещаем наш заряд от одной эквипотенциальной поверхности к другой по этому пути. Назовем этот вектор смещения l, и поэтому dl будет представлять вектор приращения смещения вдоль этого пути. Обозначим угол между E и dl как theta.

Итак, мы видели, что напряжение было определено как или потенциал был определен как отрицательный по отношению к работе, совершаемой при перемещении заряда от бесконечности к интересующей точке на единицу испытательного заряда.Оттуда проделанная работа равна минус q раз, умножая заряд на потенциал.

Что ж, проделанная работа также равна F dl — мы можем назвать это, поскольку выполненная инкрементальная работа равна F dot dl. Поскольку кулоновская сила, действующая на заряд, скажем, положительный заряд плюс q, который перемещается с одной эквипотенциальной поверхности на другую, равна q умноженным на E. Дополнительная работа, выполняемая перемещением этого заряда, когда происходит постепенное смещение dl. быть равным q E dot dl. Или, в более выразительной форме, он будет равен, поскольку это скалярное произведение, величина q E, величина dl, умноженная на косинус угла между этими двумя векторами.

Итак, используя определение потенциала, мы можем сказать, что проделанная дополнительная работа будет равна минус q, умноженному на инкрементную разность потенциалов, через которую она проходит.

В этом выражении левая часть этих двух выражений, левые части равны, поэтому мы можем легко приравнять правые части. Если мы это сделаем, у нас будет минус q, dV будет равно q E dl, умноженному на косинус теты. Поскольку q является общим для левой и правой части, мы можем разделить обе части и исключить заряд, и если мы переместим dl в одну сторону выражения, чтобы собрать дифференциальные члены с одной стороны, мы получим E косинус теты равен dV над dl со знаком минус.

Здесь я собираюсь записать это выражение в более общей форме в форме частичного [неразборчиво 08:23] уравнения, а не делать это таким образом, потому что потенциальный продукт может быть функцией разных координат. и это даст нам тогда E косинус теты равен минус дельта V по дельте S — я бы сказал, дель V по дельте l.

Давайте попробуем проинтегрировать этот член тета, умноженный на косинус. Что ж, если мы продолжим направление этого вектора смещения и возьмем проекцию электрического поля вдоль этого направления, то в итоге мы получим компонент электрического поля в направлении этого вектора смещения.Мы можем назвать это компонентом вектора электрического поля в направлении l.

Теперь представим это как E sub l. Итак, эта величина здесь дает нам компонент электрического поля в направлении вектора смещения, вектор l, поэтому мы можем утверждать, что отрицательная скорость изменения потенциала с расстоянием в любом направлении дает компонент электрического поля в этом направлении.

Это очень важный результат и в прямоугольной системе координат, скажем в декартовой системе координат, поэтому мы можем сказать, что x-компонента электрического поля будет равна минус частной производной потенциальной функции с этой векторной координатой x, y-составляющая электрического поля будет равна частной производной потенциала по y-составляющей, и, наконец, z-составляющая будет равна частной производной потенциала по z-составляющей.

Теперь мы знаем, что электрическое поле — это векторная величина, а потенциал — это скалярная величина, поэтому здесь с помощью математической операции мы получаем компоненты вектора из скалярной величины. Вместо того, чтобы выражать все эти три координаты отдельными уравнениями, мы вводим систему обозначений через оператор, который называется оператором del. В прямоугольной системе координат, в декартовой системе координат это оператор в частных производных, и он равен del по единичному вектору I del x, плюс del по единичному вектору j del y, плюс del по единичному вектору del z k.

Таким образом, в терминах этой записи мы можем выразить, что вектор электрического поля равен оператору минус дель, действующему на потенциальную функцию V. Эта операция называется Градиентом V или Градиентом потенциала. Таким образом, отрицательный градиент потенциала дает нам вектор электрического поля.

Возможно, вы пока не знакомы с частичной дифференциацией. На самом деле частичная дифференциация на самом деле не отличается от полной дифференциации. Если функция является функцией разных переменных, если мы являемся частной производной по определенной переменной, мы просто принимаем другие переменные как постоянные во время этого процесса.

Если мы сделаем небольшой пример, связанный с этим: предположим, что у нас есть потенциал, который является функцией координат x, x и z. Итак, пусть V равно x, y, z равно 2x в квадрате y в кубе z, минус 3y в квадрате z, плюс 6xy, z в кубе.

Теперь предположим, что потенциальная функция в данной области изменяется в соответствии с этой математической функцией. Мы хотели бы вычислить соответствующее электрическое поле в этой области. Компонент x электрического поля является отрицательной частной производной этой потенциальной функции по x, так что она будет равна минусу.Мы возьмем производную этой функции по x, и при этом мы сохраним y и z постоянными, поэтому первая из них даст нам 4x, а мы сохраним y и z постоянными, поэтому мы у нас будет y в кубе z, плюс мы возьмем производную по x.

Второй член даст нам ноль, потому что в этом члене нет зависимости от x, и мы превращаем y и z в константы, поэтому мы собираемся закончить с нулем отсюда, а следующий даст нам плюс 6yz в кубе.Таким образом, это будет компонент x вектора электрического поля.

Точно так же компонент y будет минус del V над del y, который будет равен минусу — снова мы возьмем производную по y, и мы будем сохранять x и z постоянными во время процесса — и производную по y будет 3 умножить на 2, будет 6x квадрат y квадрат z, а затем минус, у нас будет 6yz для второго члена и плюс 6xz в кубе для последнего члена, как только мы возьмем производную по y.

Наконец, компонент x будет равен минус del v над del z, который будет равен минусу — теперь мы собираемся взять производную по z, сохраняя x и y постоянными — первый даст нас 2x квадрат y в кубе.Второй член даст нам минус 3y в квадрате, а последний член будет плюс 18xyz в квадрате.

Итак, теперь мы знаем компоненты вектора электрического поля. Следовательно, вектор электрического поля будет равен Exi плюс Eyj плюс Exk.

Конечно, величина вектора электрического поля будет равна Ex в квадрате, плюс Ey в квадрате, плюс Ez в квадрате, в квадратном корне.

Итак, как только мы знаем потенциальную функцию, мы можем легко вычислить соответствующие компоненты электрического поля, просто взяв то, что мы называем отрицательным градиентом этой потенциальной функции.

Теперь, если вас интересует значение электрического поля в определенных точках или для конкретных x, y и z, мы просто заменяем эти значения на x, y и z, чтобы получить конкретное значение электрического поля в эти конкретные моменты.

Электрические поля и потенциалы

Введение

Физики используют понятие поля для объяснения взаимодействия частиц или тел в пространстве, то есть силы «действия на расстоянии» между двумя телами, которые не находятся в физическом контакте.Например, Земля изменяет окружающее пространство таким образом, что притягивается любой объект с массой, такой как Луна. Ранее мы видели в нашем исследовании «Универсального закона тяготения», что гравитационное поле ослабевает по мере удаления от источника, но никогда полностью не исчезает. Электрон аналогичным образом изменяет пространство вокруг себя таким образом, что другие частицы с одинаковым зарядом отталкиваются, а частицы с противоположным зарядом притягиваются. Подобно гравитационному полю, электрическое поле ослабевает по мере удаления от источника, но никогда не исчезает полностью.Любой заряд, помещенный в электрическое поле, будет испытывать силу, как и любая масса, помещенная в гравитационное поле. Как масса в гравитационном поле имеет некоторую потенциальную энергию, так и заряд в электрическом поле.

Обсуждение принципов

Электрическое поле

Заряженное тело испытывает силу F всякий раз, когда оно находится в электрическом поле, E . Векторная связь между силой и электрическим полем определяется выражением Величина силы, деленная на величину заряда, q , на теле численно равна величине электрического поля.Из уравнения. (1), мы видим, что направление вектора электрического поля в любой заданной точке совпадает с направлением силы, которую поле оказывает на положительный пробный заряд, расположенный в этой точке. Положительный тестовый заряд будет отражаться положительным зарядом и притягиваться отрицательным. Следовательно, силовые линии электрического поля начинаются с положительных зарядов и заканчиваются отрицательными зарядами. Количество линий, начинающихся от положительного заряда или заканчивающихся отрицательным зарядом, пропорционально величине заряда.Электрическое поле в любой точке касается силовых линий электрического поля. Величина E напряженности электрического поля пропорциональна количеству линий электрического поля на единицу площади, перпендикулярной этим линиям. Положительный заряд, помещенный в электрическое поле, будет стремиться двигаться в направлении линий электрического поля, а отрицательный заряд будет стремиться двигаться против направления линий электрического поля.

Работа, потенциальная энергия и электростатический потенциал

Совершается работа по перемещению заряженного тела через электрическое поле.Объем работы, W , зависит от электрического поля, величины заряда и смещения, d , которое заряд совершает через поле. Когда смещение настолько мало, что электрическое поле можно считать однородным в области, через которую движется заряд, работа, W , определяется скалярным произведением векторов силы и смещения.

(3)

Вт = F · d = qE · d

Отрицательное значение работы, совершаемой электрической силой, определяется как изменение электрической потенциальной энергии тела U .Другими словами, это разница в потенциальной энергии Δ U , связанная с начальным и конечным положениями.

(4)

−W = ΔU = (U _{конечный} — U _{начальный} )

Электростатический потенциал, В, , определяется как электрическая потенциальная энергия тела, деленная на его заряд:

В = U / q

. Следовательно, с точки зрения электростатического потенциала работа, совершаемая электрическим полем, равна где

ΔV = V _{конечный} — V _{начальный}

— разность потенциалов.Величину электрического поля также можно определить по формулам. (3) и (5) где θ — угол между векторами поля и смещения. Когда заряженная частица движется в электрическом поле, если ее электрическая потенциальная энергия уменьшается, ее кинетическая энергия увеличивается. Другими словами, сохраняется полная энергия. Положительный заряд, помещенный в электрическое поле, будет стремиться двигаться в направлении поля. Работа, совершаемая электрическим полем, в этом случае будет положительной, поскольку поля и векторы смещения находятся в одном направлении, а скалярное произведение двух векторов будет положительным, как показано на рисунке 1 (а).Обратите внимание, что вектор скорости указывает направление вектора смещения заряда. Из уравнения. (4)

−W = ΔU = (U _{конечный} — U _{начальный} )

, видим, что изменение электрической потенциальной энергии в этом случае будет отрицательным. Следовательно, он потеряет электрическую потенциальную энергию и получит кинетическую энергию. Это говорит нам о том, что электрический потенциал уменьшается в направлении силовых линий электрического поля. Положительный заряд, если он может свободно перемещаться в электрическом поле, переместится из точки с высоким потенциалом в точку с низким потенциалом.Теперь рассмотрим отрицательный заряд, помещенный в электрическое поле, как показано на рисунке 1 (b). Он будет стремиться двигаться в направлении, противоположном электрическому полю, и при этом ускоряться. Работа, совершаемая электрическим полем, будет

(7)

W = (−q) E · d = −qEd cos 180 ° = qEd.

Опять же, обратите внимание, что работа, выполняемая электрическим полем, является положительной, а отрицательный заряд будет терять электрическую потенциальную энергию и приобретать кинетическую энергию, когда он движется против поля. Отрицательный заряд, если он может свободно перемещаться в электрическом поле, переместится из точки с низким потенциалом в точку с высоким потенциалом.Чтобы переместить положительный заряд против электрического поля, работа должна выполняться вами или силой, внешней по отношению к полю. Заряд вынужден перемещаться из точки с низким потенциалом в точку с высоким потенциалом, а работа, выполняемая внешней силой, является отрицательной. Обратное будет верно для отрицательного заряда. Как и в случае с гравитационным полем, нулевая точка электрического потенциала выбирается произвольно. Обычно нулевая точка находится на бесконечности; однако часто в цепях нулевой точкой для потенциала является земля или проводник, который напрямую соединен с землей.

Эквипотенциальные линии и линии электрического поля

Рассмотрим поле из-за точечного заряда. Точка в этом пространстве рядом с источником поля (то есть рядом с точечным зарядом) и другая точка вдали от источника поля имеют разные потенциалы. Это верно, даже если в двух точках нет зарядов. На рис. 2 точки A и B находятся под разными потенциалами из-за электрического поля положительного заряда. Все поля имеют определенные точки, которые находятся при потенциале .Например, когда точечный заряд является источником поля, , тогда любые две точки, которые находятся на одинаковом расстоянии от точечного заряда (точки A и C на рисунке 2), будут иметь одинаковый потенциал . Существует бесконечное количество точек, лежащих на одной сфере, на одинаковом расстоянии, и все они имеют одинаковый потенциал. В трехмерном пространстве эти точки образуют поверхность, называемую эквипотенциальной поверхностью. В двух измерениях — скажем, в экваториальной плоскости сферы — окружность (экватор), в которой сфера пересекает плоскость, является эквипотенциальной линией; разность потенциалов между любыми двумя точками на этой линии равна нулю.Из уравнения (4)

-W = ΔU = (U _{конечный} — U _{начальный} )

, что не выполняется работа по перемещению заряда по «эквипотенциальной» (т. Е. Эквипотенциальной линии или поверхности). Уравнение (4) также говорит нам, что работа не выполняется, когда смещение и поле перпендикулярны друг другу.

Следовательно, векторы электрического поля должны быть перпендикулярны эквипотенциалам.

На рисунке 3 показано несколько линий электрического поля (синие линии со стрелками) для положительного заряда.Пунктирные красные кружки — два из множества эквипотенциальных кругов. В любой заданной точке одной из этих окружностей касательная к окружности будет перпендикулярна направлению силовой линии электрического поля в этой точке. Поскольку напрямую найти линии электрического поля непросто, в этом эксперименте вы сначала определите местоположение эквипотенциальных линий, а затем проведете линии поля, зная, что они перпендикулярны эквипотенциальным линиям.

Картирование электрического поля

Мы используем специальную токопроводящую бумагу (не слишком токопроводящую и не слишком изолирующую) и вольтметр.На бумаге нарисованы какие-то фигуры, к которым мы подключим блок питания. Поскольку бумага является проводящей, между электродами может течь ток. По закону Ома ток течет по электрическому полю. Таким образом, если мы можем измерить ток или электрическое поле, мы можем определить другое. С помощью нашего оборудования мы не можем напрямую измерить электрическое поле; однако мы можем измерить разницу напряжений, используя настройку вольтметра на мультиметре. Из этих разностей напряжений мы можем узнать о линиях электрического поля, потому что разница напряжений между двумя точками является мерой интегрированного электрического поля между электродами (см.(6)). Если электрическое поле находится вдоль пути между выводами, то

| ΔV |

— максимум; если электрическое поле перпендикулярно этому пути, то

| ΔV | = 0.

Таким образом, когда щупы вольтметра разнесены на фиксированное расстояние, направление максимального воздействия дает направление электрического поля. Электрическое поле указывает от высокого к низкому электрическому потенциалу (напряжению). Напомним, что на Земле гравитационное поле указывает от высокого к низкому гравитационному потенциалу. Как отмечалось выше, силовые линии электрического поля перпендикулярны поверхностям, называемым эквипотенциальными поверхностями.В двух измерениях это линии. Вдоль эквипотенциала электрическое поле минимально, то есть равно нулю. Вольтметр даст нулевую разницу напряжений между двумя точками, находящимися на одной и той же эквипотенциальной линии. См. Рисунок 4.

Аппарат

• источник постоянного тока
• Мультиметр
• Бумага с графитовым покрытием (с проводящими рисунками) на рамах
• Держатель с двумя выводами

Процедура

Распечатайте лист для этой лабораторной работы.Этот лист понадобится вам для записи ваших данных.

Подготовка к эксперименту

На предоставленных графитовых листах нанесены отметки разделения, расположенные на одинаковом расстоянии. Метки разделения можно использовать в качестве справочных при переносе данных, собранных с графитовых листов, в шаблон, который вам позже предоставят в лаборатории. Листы графита также имеют различные формы (конфигурации), нанесенные на поверхность токопроводящими никелевыми чернилами (аналогично рисунку 6). Графитовая бумага была выбрана по двум причинам.Во-первых, графитовая бумага имеет электрическое сопротивление, которое намного меньше, чем вольтметр, поэтому вольтметр не будет потреблять большой ток. Во-вторых, он имеет достаточно большое электрическое сопротивление, чтобы не потреблять больше тока, чем может обеспечить источник питания.

1

Установите шкалу мультиметра в положение сопротивления и подключите два провода типа «банан-банан» к гнездам на мультиметре, чтобы можно было измерить сопротивление. Концами измерительных проводов измерьте электрическое сопротивление графитовой бумаги на расстоянии двух делительных отметок.Теперь поместите провода измерителя на проводящие линии (также примерно на два деления друг от друга) и измерьте электрическое сопротивление проводящих линий. Какие это две ценности и отличаются ли они?

2

Почему нельзя использовать обычную бумагу? Почему нельзя использовать медный лист?

Эквипотенциалы для параллельной конфигурации пластин

1

Выключите мультиметр и установите его циферблат так, чтобы мультиметр мог измерять не менее шести вольт. Вставьте черный провод (от банана к банану) в разъем COM (сокращенно от common) мультиметра и красный провод (от банана к банану) в разъем V мультиметра.Включите мультиметр. Если вы слышите гудение от мультиметра, немедленно выключите его. Вероятно, вы вставили красный или черный провод не в тот разъем, или на вашем циферблате установлено неправильное количество. Правильно настроенный мультиметр будет отображать единицы измерения вольт на ЖК-экране.

2

Найдите источник питания на лабораторном столе, но еще не подключайте его к цепи . Нажмите кнопку питания On / Off в положение On . Затем нажмите кнопку Range в положение «включено» (это устанавливает источник питания на 0-35 В / 0-0.Диапазон 85 А). Поверните ручки Voltage, и Current ADJUST до упора против часовой стрелки. Затем установите максимальный выходной ток для этого эксперимента, нажав кнопку CC Set и, удерживая ее, поверните ручку ADJUST по часовой стрелке, пока на дисплее AMPS не появится 0,50. Отпустите кнопку CC Set .

Осторожно:
Не перемещайте ручку настройки Current после того, как эта регулировка будет выполнена (если не даны инструкции в лаборатории).

Ручка Voltage ADJUST будет использоваться для увеличения выходного напряжения по мере необходимости для эксперимента. Держите ручку напряжения пока против часовой стрелки .

3

Подключите выход источника питания к гнездам графитового листа, на котором есть две параллельные проводящие линии. Эта геометрия представляет собой двумерную версию конденсатора с параллельными пластинами. Поверните ручку Voltage по часовой стрелке, пока счетчик на источнике питания не покажет 6 В.С помощью мультиметра, установленного для измерения напряжения, вы будете измерять разницу напряжений между различными точками на каждом из листов.

Поскольку ток не может покидать проводящую бумагу, за исключением двух мест, подключенных к источнику питания, когда вы проводите измерения близко к краю бумаги, вы обнаружите, что поле будет ориентировано параллельно краю бумаги.

4

С помощью мультиметра (см. Рисунок 5) измерьте разницу напряжений между двумя гнездами на графитовой пластине.(Должно быть шесть вольт.)

5

Эквипотенциальные поверхности — это поверхности, для которых одинаковое напряжение. Определите эквипотенциальную поверхность, соответствующую 0,5 В, и продолжайте с шагом в полвольта, пока не будет найдено около 10 эквипотенциальных линий. Запишите положения координат x и y на графитовых листах для каждой эквипотенциальной поверхности, которую вы хотите нанести на карту. Вы должны найти не менее 5 точек на каждой отображаемой поверхности. Запишите эти значения x , y в электронную таблицу Excel.

Осторожно:
Будьте осторожны, не протаскивайте щупы мультиметра по поверхности проводящей бумаги, так как это может повредить поверхность бумаги. Поднимите и прижмите щупы к бумаге, меняя приращения положения, пока не будет обнаружен эквипотенциал, который вы ищете.

6

После того, как вы записали положения этих 10 эквипотенциальных поверхностей в свою электронную таблицу, теперь вы можете использовать функцию диаграммы рассеяния Excel для сопоставления этих поверхностей.Вы можете построить диаграмму рассеяния для всех ваших эквипотенциалов, поместив координату x каждого измерения в столбец 1 и соответствующие измерения y для каждой поверхности в отдельный столбец для каждого измеренного значения потенциала. Создание диаграммы рассеяния таким образом приводит к тому, что каждая из эквипотенциальных поверхностей имеет свой символ на графике, что упрощает соединение точек и рисование эквипотенциальных поверхностей. Скопируйте диаграмму рассеяния из Excel в окно MicroSoft Paint.Используя доступные инструменты Paint, нарисуйте эквипотенциалы черным цветом, а затем нарисуйте линии электронного поля красным цветом. (Сохраните этот эскиз и загрузите в WebAssign.)

7

Подсоедините концы выводов мультиметра к держателю с двумя выводами (см. Рисунок 7), чтобы провода находились на фиксированном расстоянии друг от друга. Размещение и ориентация выводов держателя на поверхности графитового листа для считывания максимального напряжения на мультиметре покажет направление электрического поля. Определите направление поля и укажите направление на своем эскизе с шага 6.Обобщите свои результаты.

Контрольная точка:
Пусть ваш технический специалист проверит вашу потенциальную карту для этой конфигурации перед загрузкой вашего изображения и переходом к следующему шагу.

Эквипотенциалы для дипольной конфигурации

1

Выключите источник питания, а затем подключите провода источника питания к другой конфигурации с графитовой бумагой. (Теперь используйте конфигурацию из токопроводящей бумаги с двумя нарисованными на них круглыми электродами.) Теперь снова включите питание до 6 В.

2

Выберите один из домкратов в качестве ориентира для этой части эксперимента. Запишите, какой из них, чтобы потом не было путаницы.

3

Измерьте разность потенциалов между двумя гнездами. Если оно сильно отличается от 6 В, обратитесь к своему инструктору.

4

Используя ту же технику, что и при отображении конфигурации параллельных пластин выше, запишите положения

x, y

как минимум 5 точек на 10 различных эквипотенциальных поверхностях, расположенных с интервалом примерно 0.5 В для дипольной конфигурации. Введите эти данные в новую электронную таблицу, а затем создайте диаграмму рассеяния потенциальных поверхностей, как это было сделано выше. (Примечание: вам следует повторить процесс, который вы использовали в предыдущем разделе для сопоставления этих поверхностей.) После того, как вы ввели эквипотенциалы, вы можете нарисовать линии электрического поля, соответствующие этим потенциальным поверхностям, используя правила, регулирующие эти линии, описанные в лабораторной записи.

5

Используя держатель с двумя выводами, найдите направление силовых линий.Обобщите свои результаты.

6

Теперь исследуйте эквипотенциальные линии на краю графитовой бумаги. Ток не может покинуть графитовую бумагу по краю, поэтому он течет параллельно бумаге по краю. Поскольку силовые линии электрического поля проходят вдоль направления тока, на краю бумаги силовые линии электрического поля должны проходить вдоль края. Проверьте это с помощью датчика электрического поля. Определите, как эквипотенциальные линии касаются края бумаги. Обобщите свои результаты.

Контрольная точка:
Еще раз пусть ваш технический специалист проверит вашу потенциальную карту для этой конфигурации перед загрузкой вашего изображения и переходом к следующему шагу.

Эквипотенциалы для конфигурации поверхности и точки

1

Выключите источник питания, а затем подключите выводы источника питания к конфигурации с графитовой бумагой «поверхность с точкой». Теперь снова включите источник питания (выход 6 вольт).

2

Измерьте разность потенциалов между двумя гнездами. Если оно сильно отличается от 6 В, обратитесь к своему инструктору.

3

Используя ту же технику, что и при отображении конфигурации параллельных пластин выше, запишите положения

x, y

как минимум 5 точек на 10 различных эквипотенциальных поверхностях, расположенных с интервалом примерно 0.5 В для этой новой конфигурации. Введите эти данные в электронную таблицу, а затем создайте диаграмму рассеяния потенциальных поверхностей, как это было сделано выше. (Еще раз воспользуйтесь процедурой из предыдущих упражнений по картированию, чтобы найти эквипотенциальные поверхности для этой конфигурации.) После того, как вы ввели эквипотенциалы, вы можете нарисовать линии электрического поля, соответствующие этим потенциальным поверхностям, используя правила, регулирующие эти линии, описанные в лабораторной записи.

4

В центральной области этой конфигурации с помощью держателя с двумя выводами найдите направление силовых линий и обобщите свои результаты.

Контрольная точка:
Еще раз попросите вашего TA проверить вашу потенциальную карту для этой конфигурации перед загрузкой вашего изображения.

Авторские права © 2013-2014 Advanced Instructional Systems Inc. и Техасский университет A&M. Части из Университета штата Северная Каролина. | Кредиты

Определение разницы в электрическом потенциале между двумя точками — видео и стенограмма урока

Равномерное электрическое поле

В однородном электрическом поле уравнение для вычисления разности электрических потенциалов очень просто: V = Ed .В этом уравнении V, — это разность потенциалов в вольтах (или Джоулях на кулон), E — напряженность электрического поля в данной области (в ньютонах на кулон), а d — расстояние между двумя пластинами ( в метрах).

Ситуация с параллельными пластинами, о которой я упоминал ранее, является примером однородного электрического поля. Между пластинами силовые линии расположены на равном расстоянии, поэтому поле везде одинаково напряженно — оно однородное. Если бы мы хотели выяснить разность потенциалов между пластинами, мы могли бы взять электрическое поле между пластинами, E , и просто умножить его на расстояние между пластинами.Строго говоря, это расстояние, d , всегда должно быть в направлении силовых линий (если вы двигаетесь влево и вправо по этой диаграмме, электрический потенциал вообще не меняется).

Прочность между параллельными пластинами одинакова.

Пример

Пришло время рассмотреть пример. Допустим, вы подключаете конденсатор с параллельными пластинами к аккумулятору 12 В. Когда конденсатор полностью заряжен, между пластинами создается электрическое поле силой 10 ньютонов на кулон.Какое должно быть расстояние между пластинами?

Прежде всего, мы должны записать то, что мы знаем. Мы знаем, что напряжение, В, , равно 12 вольт. Мы знаем, что электрическое поле E составляет 10 ньютонов на кулон. И нас просят найти d , расстояние между пластинами. Мы знаем это, потому что если вы подключите батарею 12 В к параллельным пластинам, это создаст разность потенциалов в 12 вольт между двумя пластинами.

Итак, все, что нам нужно сделать, это вставить наши числа, переставить их на d и решить.Когда мы это сделаем, у нас получится 1,2 метра. Вот и все — вот наш ответ.

Резюме урока

Электрический потенциал в определенной точке пространства — это работа, совершаемая при перемещении положительного заряда из бесконечности в эту точку. Электрический потенциал на бесконечности определяется как ноль. Электрический потенциал связан с электрической потенциальной энергией в том смысле, что электрический потенциал — это электрическая потенциальная энергия на единицу заряда.

В то время как электрическая потенциальная энергия зависит от конкретного заряда, электрический потенциал определяется только положением внутри поля. Разность электрических потенциалов — это разность электрических потенциалов между двумя точками в пространстве. Это действительно все. Он также измеряется в Джоулях на кулон, но обычно сокращается до другой единицы: вольт.

Представим, что у нас есть две параллельные пластины: одна с положительным зарядом, а другая с отрицательным. В электромагнетизме мы используем положительный заряд для определения электрических полей. Если вы высвободите положительный заряд на отрицательной пластине, он никуда не денется, потому что противоположности притягиваются.Но если вы отпустите его на положительной пластине, он будет следовать линиям поля и «упадет» на отрицательную пластину. Итак, когда мы говорим об электрических полях, мы можем сказать, что силовые линии указывают в направлении уменьшения электрического потенциала.

В однородном электрическом поле уравнение для вычисления разности электрических потенциалов очень просто: V = Ed . В этом уравнении V, — это разность потенциалов в вольтах, E — напряженность электрического поля (в ньютонах на кулон) и d — это расстояние между двумя точками (в метрах).

Результаты обучения

По завершении этого урока вы должны уметь:

• Описывать электрический потенциал и разность электрических потенциалов
• Вычислить разность электрических потенциалов в однородном поле

Электрические поля и потенциалы — Odinity

Электрические поля и потенциалы
Автор: Алексис Хаддлстон

Введение:

Целью этого эксперимента было получить понимание электрических полей и их потенциалов с помощью вольт и точечных стратегий.Электрический потенциал, как указано в этом упражнении, создается распределением зарядов, которое является скалярной величиной, определяемой различными местоположениями зарядов напряжения. Кроме того, потенциальные заряды уменьшаются, когда измеряемые точки наиболее удалены от эквипотенциальной базы. Следовательно, V, — это разность электрических потенциалов, E — электрическое поле, а d — расстояние между двумя точками. Уравнение для этой концепции: V = Ed и V = kq / r , где k — электростатическая постоянная, q — заряд, а r — расстояние между точкой от заряда. .Эти расчеты позволили студентам получить представление о кинетических отношениях всего предмета.

Выводы и обсуждение:

Во время лаборатории я узнал, что электрический потенциал объекта зависит от того, как заряды распределены между ним. Я также узнал, что электрический потенциал — это скалярная величина, которая измеряется разницей местоположения одного заряда от другого. Я узнал, что напряжение — это измерение разности потенциалов между двумя точками, которое выражается в вольтах или (В).Чем дальше точка удаляется от данного заряда, тем больше уменьшается потенциал точки. В качестве альтернативы, чем ближе точка движется к заданному заряду, тем больший потенциал будет у точки. Вдобавок я узнал, что электрический потенциал объекта влияет на электрическое поле объекта, поскольку разность электрических потенциалов прямо пропорциональна электрическому полю объекта, умноженному на расстояние между двумя точками. Тем не менее, разница между электрическим потенциалом и электрическим полем объекта заключается в том, что электрическое поле является векторной величиной, а электрический потенциал — скалярной величиной.

Кроме того, я узнал, что при определении электрического поля объекта силовые линии электрического поля будут либо плотными, либо редкими. Когда на объекте много силовых линий электрического поля, они считаются плотными; электрическое поле сильное, что создает сильное напряжение на объекте. Когда на объекте имеется несколько линий электрического поля, линии считаются редкими, а электрическое поле слабым; следовательно, на объекте присутствует слабое напряжение. Я узнал, что силовые линии электрического поля должны начинаться на положительном заряде объекта и заканчиваться на отрицательном заряде объекта.Я также узнал, что электрическое поле объекта сильно, когда его силовые линии расположены близко друг к другу. Что важно, я узнал, что силовые линии объекта никогда не могут пересекаться.

Во время эксперимента я узнал, что, когда две точки имеют нулевую разность потенциалов, точки равны потенциальным точкам; Я также узнал, что группа равных потенциальных точек вдоль линии называется эквипотенциальной линией. При проведении эксперимента мне удалось определить расположение эквипотенциальных линий и их равных потенциальных точек с помощью мультиметра.Изучая листы бумаги на пробковой доске, чтобы определить расположение различных точек с одинаковым потенциалом, я обнаружил, что точки с одинаковым потенциалом имеют примерно одинаковое напряжение и все находятся на одной линии, эквипотенциальной линии. Рисуя линии электрического поля на графиках найденных мной эквипотенциальных линий, я узнал, что линии электрического поля всегда перпендикулярны эквипотенциальным линиям. Я заметил, что части электрических полей находятся ближе друг к другу, когда они ближе к положительному или отрицательному заряду, поскольку линий электрического поля больше, когда электрический потенциал объекта сильный.Вдобавок я узнал, что разность потенциалов между эквипотенциальными линиями не зависит от расстояния между ними; разность потенциалов каждой линии одинакова.

Определение распределения электростатического потенциала в тонкопленочных структурах Pt / Fe: SrTiO3 / Nb: SrTiO3 с помощью электронной голографии

Для выявления возможных источников наблюдаемого поведения потенциала используется стационарная дрейфово-диффузионная модель для моделирования равновесных распределений электростатический потенциал и профили зоны проводимости в результате различных сценариев легирования.SrTiO ₃ можно рассматривать как широкозонный полупроводник, и он также ранее изучался с использованием моделирования дрейфовой диффузии, например для изучения эффектов объемного заряда на границах зерен ^23,24 .

Мы рассмотрели одномерную модельную геометрию длиной L = 100 нм, представляющую слой Fe: SrTiO ₃ толщиной 17 нм, соответствующий I-слою структуры MIM, и часть слоя толщиной 83 нм. Nb: SrTiO ₃ нижний электрод. Типы присадок и их распределение в структуре были взяты в качестве параметров при моделировании.Были выделены три типа легирующих примесей: однократно ионизируемые доноры с концентрацией N _Nb в слое Nb: SrTiO ₃ и дважды ионизируемые доноры с концентрацией N _VO , а также однократно ионизируемые акцепторы с концентрацией N . _А в I-слое. Электростатический потенциал ψ ( x ) был получен путем решения уравнения Пуассона

Здесь x обозначает пространственную координату, e элементарный заряд, ε ₀ диэлектрическую проницаемость свободного пространства, ε _r относительную диэлектрическую проницаемость , n концентрация электронов, p концентрация дырок и,, и концентрации соответствующих ионизированных примесей.В дальнейшем обозначения концентраций и зависимости потенциала от x будут опущены для краткости. Концентрации электронов и дырок могут быть выражены в виде

, где k _B — постоянная Больцмана, T — абсолютная температура и Δ E _g — запрещенная зона. N _C и N _V — эффективные плотности состояний в зоне проводимости и в валентной зоне соответственно, а φ _Fn и φ _Fp — квазифермиевские потенциалы электронов и дырок. , которые постоянны и совпадают в состоянии равновесия.Концентрации ионизированных примесей связаны с общей концентрацией примесей и потенциалом через

с

В приведенных выше уравнениях,, и обозначают энергии ионизации легирующей примеси, E _F уровень Ферми, E _C = E _C ( x ) край зоны проводимости и E _V = E _V ( x ) край валентной зоны. Численные значения физических параметров, используемых в расчетах, были взяты и адаптированы из Moos & Haerdtl ²⁵ и перечислены в таблице 1.

Таблица 1 Числовые значения физических параметров при 300 K

Граничные условия для ψ могут быть выражены через высоту барьера на контактах φ _B (0) и φ _B ( L ). Если край зоны проводимости при x = L = 100 нм определяется как контрольная точка E _C ( L ) = 0 эВ, то потенциал в этой точке задается как

и потенциал при x = 0 можно рассчитать как

Высота барьера φ _B (0) была выбрана равной 1 В для представления контакта типа Шоттки на границе раздела Pt, тогда как φ _B ( L ) был выбран равным 0.05 В для моделирования омического соединения с нижним электродом. Замена членов плотности носителей заряда в (2) соответствующими выражениями вида (5) — (8) приводит к нелинейному дифференциальному уравнению для электростатического потенциала ψ. Наряду с граничными условиями (11) и (12) это уравнение было дискретизировано в расчетной области с использованием конечно-разностной схемы, и полученная система уравнений решалась в петле Ньютона-Рафсона. Для данной структуры слоев профили зоны проводимости могут быть легко рассчитаны из распределений потенциала с использованием линейной зависимости.

Как и во всех сценариях, представленных в последующих параграфах, концентрации доноров не превышают эффективную плотность состояний в зоне проводимости, Больцмана статистика вместо статистики Ферми-Дирака использовалась в (3), (4), (9) и (10) для простоты вычислений.

Во всех наших расчетах для учета металлической проводимости подложки в нижнем электроде принималась однородно распределенная плотность доноров N _Nb = 10 ²⁰ см ⁻³ в нижнем электроде. Поскольку имеются экспериментальные доказательства того, что номинально легированный акцептором слой Fe: SrTiO ₃ содержит большое количество кислородных вакансий донорного типа, образующихся при изготовлении образца ²⁶ , различные распределения примесей акцепторного и донорного типов с концентрациями N _A и N _VO рассматривались в I-слое.

Сначала исследуется эффект включения однородных распределений доноров или акцепторов в I-слой. На рисунках 4 (a) и (b) показаны указанные распределения примеси и соответствующие профили зоны проводимости для трех различных концентраций доноров N _VO = 10 ¹⁸ см ⁻³ , 10 ¹⁹ см ⁻³ и 10 ²⁰ см ⁻³ . Диаграммы зоны проводимости показывают, что барьер с максимумом приблизительно 0.95 эВ формируется на границе раздела верхнего электрода и распадается на I-слой, тогда как полосы в нижнем электроде являются плоскими. Ширина барьера уменьшается с увеличением концентрации доноров N _VO . Его форма параболическая для высокого N _VO и становится линейной для низкого N _VO , поскольку высокая плотность доноров в нижнем электроде N _Nb ограничивает распространение зоны пространственного заряда до I- слой. Таким образом, в нижнем электроде не образуется обедненный слой и отсутствуют характерные особенности измеренной кривой для чисто донорного I-слоя.Рисунки 4 (c) и (d) иллюстрируют распределение примесей и диаграммы зон проводимости для трех различных концентраций акцепторов N _A = 10 ¹⁸ см ⁻³ , 10 ¹⁹ см ⁻³ и 5 × 10 ¹⁹ см ⁻³ в I-слое. Для двух более низких концентраций (10 ¹⁸ см ⁻³ и 10 ¹⁹ см ⁻³ ) возникает барьер с максимумом на границе раздела приблизительно 0,95 эВ. Для концентрации 10 ¹⁸ см ⁻³ зона проводимости уменьшается почти линейно в I-слое, тогда как для N _A = 10 ¹⁹ см ⁻³ имеет слегка выпуклую кривизну. .В обоих случаях обедненный слой не заходит значительно в нижний электрод. Для максимальной концентрации (5 · 10 ¹⁹ см ⁻³ ) выпуклая кривизна гораздо более выражена, что приводит к максимуму барьера зоны проводимости более 1 эВ на расстоянии x ≈ 8 нм от интерфейс платинового электрода. В этом случае значительная часть зоны пространственного заряда переходит в нижний электрод. Однако профиль энергетической зоны не показывает областей отчетливых градиентов с точкой перегиба на границе раздела нижнего электрода, которые измеряются экспериментально.

Рис. 4

(a) Распределение примеси и (b) результирующие профили энергетических зон, предполагающие однородное распределение доноров в I-слое; (c) Распределение примеси и (d) результирующие профили энергетических зон, предполагающие однородное распределение акцепторов в I-слое.

На следующем этапе мы исследуем влияние интерфейсных состояний на профиль энергетической зоны, рассматривая тонкие слои примесей акцепторного типа на границе раздела нижнего электрода с I-слоем, легированным донорами (концентрация доноров N _VO = 10 ¹⁸ см ⁻³ ).На рисунке 5 (а) показано распределение примесей для концентраций акцепторов, изменяющихся от N _A = 1 × 10 ²⁰ см ⁻³ до 8 × 10 ²⁰ см ⁻³ с шагом 1 × 10 ²⁰ см ⁻³ . Ширина акцепторных распределений установлена ​​равной Δ x _A = 1,5 нм. Соответствующие диаграммы энергетических зон представлены на рисунке 5 (b). Черная кривая, образующая почти треугольный барьер, соответствует нулевой концентрации акцепторов.С увеличением концентрации акцептора зона проводимости на границе раздела нижнего электрода смещается вверх, что приводит к возникновению точки перегиба на кривой зоны проводимости в этом положении. Для достаточно высоких концентраций N _A отклонение достаточно велико, чтобы получить максимум зоны проводимости на границе раздела нижнего электрода. Сдвиг энергетической полосы вверх включает расширение обедненного слоя до нижнего электрода, а также формирование отчетливых градиентов потенциала в I-слое и нижнем электроде.

Рис. 5

(a) Распределение примесей и (b) результирующие профили энергетических зон, предполагающие однородную концентрацию доноров в I-слое и концентрацию интерфейса акцепторного типа на границе раздела электродов Nb: SrTiO ₃ ; (c) распределение допанта, используемое для соответствия экспериментальным данным; (d) Сравнение смоделированного и экспериментально измеренного профиля энергетической зоны.

По-видимому, за счет введения состояний акцепторного типа на границе раздела нижнего электрода расчетный профиль зоны проводимости демонстрирует те же характерные особенности, что и измеренный: различные градиенты по обе стороны от границы раздела нижнего электрода, эквивалентные точке перегиба при интерфейс нижнего электрода (элемент), а также обедненный слой, проходящий в нижний электрод (элемент).Из рисунков 5 (c) и (d) видно, что хорошее соответствие экспериментальным данным достигается выбором N _A = 4 × 10 ²⁰ см ⁻³ и Δ x _A = 1,5 нм с N _VO = 10 ¹⁸ см ⁻³ и N _Nb = 10 ²⁰ см ⁻³ . Хорошо воспроизводятся как градиенты в профиле зоны проводимости, так и ширина зоны пространственного заряда в подложке Nb: SrTiO ₃ .

Наши результаты показывают, что примеси акцепторного типа присутствуют вблизи границы раздела электродов между различными легированными слоями SrTiO ₃ в исходных структурах Pt / Fe: SrTiO ₃ / Nb: SrTiO ₃ . С точки зрения химии дефектов вакансии Sr являются наиболее вероятными дефектами акцепторного типа в Nb: SrTiO ₃ . Действительно, высокоомные слои были обнаружены на поверхности кристаллов Nb: SrTiO ₃ ^27,28 , что подтверждает идею накопленных вакансий Sr на стороне границы раздела нижнего электрода Nb: SrTiO ₃ .Кроме того, из рисунков 5 (a) и (b) видно, что концентрация акцептора на границе раздела должна превышать концентрацию донора N _Nb = 10 ²⁰ см ⁻³ в Nb: SrTiO ₃ , чтобы образовалась точка перегиба. Такая большая концентрация, как N _A = 4 × 10 ²⁰ см ⁻³ , хорошо согласуется с экспериментальными данными (см. Рисунки 5 (c) и (d)), поэтому наблюдаемые потенциальное поведение нельзя объяснить только взаимной диффузией Fe в Nb: SrTiO ₃ .

Таким образом, мы проанализировали профиль электростатического потенциала в первичных структурах Pt / Fe: SrTiO ₃ / Nb: SrTiO ₃ с использованием внеосевой электронной голографии и численных расчетов. Измеренный профиль потенциала не показывает типичного поведения Шоттки, но показывает изменение градиента на границе раздела нижнего электрода. Барьер охватывает весь I-слой и разрушается в пределах первых нескольких нанометров от нижнего электрода. Моделирование показывает, что наличие концентраций легирующей примеси акцепторного типа на границе электродов Nb: SrTiO ₃ в легированном донором слое Fe: SrTiO ₃ воспроизводит характерные особенности измеренного потенциала.Правдоподобным объяснением концентрации акцепторов на границе раздела фаз являются вакансии Sr на поверхности подложки Nb: SrTiO ₃ . Основываясь на наших результатах, мы делаем вывод, что падение напряжения на нижних интерфейсах устройств Pt / Fe: SrTiO ₃ / Nb: SrTiO ₃ нельзя игнорировать во время гальванопластики и резистивного переключения. Таким образом, необходимо также учитывать перемещение кислородных вакансий вблизи нижнего электрода во время резистивного переключения.