• перпендикулярен к векторам $\vec{a}\text{ и }\vec{b}$ ;

• образует с ними правую тройку векторов, то есть, направлен так, что, смотря навстречу этому вектору, мы увидим поворот от вектора $\vec{a}$ к вектору $\vec{b}$ на наименьший угол происходящим против хода часовой стрелки;

• равен по модулю удвоенной площади треугольника, построенного на этих векторах:

$$|\vec{c}| = |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\sin(\vec{a},\,\vec{b})$$

Для доказательства теоремы отметим, во-первых, что вектор, равный векторному произведению векторов $\vec{r}\text{ и }\vec{P}$ будет коллинеарным вектору $\vec{M_0}(\vec{P})$.

Чтобы убедиться в этом, достаточно отложить эти векторы от одной точки (Рис.1в). Итак, $(\vec{r} \times \vec{P}) \uparrow \uparrow \vec{M_0}(\vec{P})$.

Во-вторых, модуль векторного произведения этих векторов будет равен:

$$|\vec{r} \times \vec{P}| = |\vec{r}|\cdot|\vec{P}|\cdot\sin(\vec{r},\,\vec{P}) = P \cdot d =|\vec{M_0}(\vec{P})|$$

, откуда и следует соотношение теоремы.

Следствием этой теоремы является:

Теорема Вариньона (о моменте равнодействующей сходящихся сил). Вектор- момент равнодействующей системы сходящихся сил относительно произвольного центра О равен геометрической сумме вектор-моментов всех сил системы относительно этого центра:

$$\vec{M_0}(\vec{R}) = \sum_{i=1}^{i=n}\vec{M_{0\,\,i}}(\vec{P_i})$$

В самом деле, момент равнодействующей, с учетом теоремы 1 и аналитического определения равнодействующей сходящихся сил, будет равен:

$$ \vec{M_0}(\vec{R})= \vec{R}\times\vec{r} \,\,\,\;\;\text{ , т.к. } \vec{M_0}(\vec{P}) = ( \vec{r} \times \vec{P}) \\ \vec{R}\times\vec{r}= \vec{r}\times\sum_{i=1}^{i=n}\vec{P_i} \,\,\,\;\;\text{ , т.к. } (\vec{P_1}, \vec{P_2}, \dots, \vec{P_n}) \sim \vec{R} = \sum_{i=1}^{i=n} \vec{P_i} \\ \vec{r}\times\sum_{i=1}^{i=n}\vec{P_i} = \sum_{i=1}^{i=n}(\vec{r}\times\vec{P_i}) = \sum_{i=1}^{i=n}\vec{M_{0\,\,i}}(\vec{P_i}) $$

Для плоской системы сходящихся сил геометрическая сумма в теореме Вариньона переходит в алгебраическую:

$$M_0(R)=\sum_{i=1}^{i=n}M_{0\,\,i}(\vec{P_i})$$

Кинетика • Момент силы

Представьте, что вы в тренажерном зале делаете упражнения для укрепления грудных мышц или разгибателей колен на специальном мультипрессе. Вы устанавливаете нагрузку на 50 кг, но вскоре вы обнаружите, что сопротивление, которое вы чувствуете, также зависит от положения вашей ноги на руке при данном мультипрессе. Во время упражнения нагрузка в 50 кг иногда может показаться вам «половинной». Почему так получается, что мы можем поднимать тяжелые грузы с относительно небольшой силой?

Этот парадокс можно объяснить с помощью концепции момента силы.Момент силы — это стремление силы скручивать или вращать объект. Движения наших конечностей относительно суставов вызываются моментами силы, создаваемыми нашими мышцами. Благодаря мышцам, создающим моменты силы в наших суставах, мы можем двигаться.

Что такое момент силы?

Момент силы — это мера тенденции силы заставить тело вращаться.

Например, гимнаст на турнике начнет вращаться, только если он создаст соответствующий момент силы по отношению к турнику.Существует три типа ситуаций, в которых внешняя сила действует на свободное тело ⁵² :

1. Центральная сила — внешняя сила, векторная линия которой ⁵³ проходит через центр тяжести тела. Центральная сила вызывает только линейное движение. Это сила, которая действует на бобслей в прямой части трассы ⁵⁴ .
2. Эксцентрическая сила ⁵⁵ — внешняя сила, векторная линия которой ⁵⁶ не проходит через центр тяжести тела.Эксцентрическая сила вызывает изменения как линейного, так и вращательного движения. Сила, действующая на гимнаст в момент взлета в приземистом своде над лошадью является хорошим примером здесь.
3. Пара сил — силы одинаковой величины, но противоположного направления, не лежащие на одной линии. Такие пары сил вызывают только изменения во вращательном движении. Результат этих двух сил равен нулю, поэтому согласно первому закону Ньютона эти силы не вызывают изменения линейного движения.

Момент определения силы

Величина момента силы, действующего вокруг точки ⁵⁷ , прямо пропорциональна величине действующей силы и расстоянию этой точки от векторной линии силы, создающей момент.Расстояние между векторной линией силы и выбранной точкой называется плечом момента (рис. 15).

Рисунок 15 Схема свободного тела — прыжок с шестом. Синяя точка — это центр тяжести спортсмена. Черные стрелки обозначают силы реакции, через которые шест действует на руки спортсмена. Синие стрелки представляют плечи момента относительно оси вращения и центра тяжести.

Верно следующее: M = Fr , где M ⁵⁸ — величина момента силы (Н · м), F — величина силы, создающей момент (Н), и r — плечо момента (м).

Момент силы как вектор определяется с помощью векторного произведения вектора положения r ⁵⁹ и силы F :

Чтобы полностью описать момент силы, нам нужно знать величину, направление и точку приложения силы, которая производит импульс, и мы должны выбрать точку момента. Если вектор силы лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения тела, полезно выбрать в качестве точки момента точку пересечения этой плоскости и оси вращения.

Примеры использования момента силы в спорте

При гребле на байдарке или каноэ мы используем весло. Очень важно тщательно выбирать положение, в котором мы держим весло. Удерживание весла в различных положениях означает различные моменты силы при вождении и управлении лодкой. Поскольку точка вращения находится в том месте, где мы держим ракетку верхней рукой, чем ниже мы ставим нижнюю руку, тем больше момент силы. Практически это означает, что наши удары будут длиннее, но с более высоким вращающим эффектом при той же силе удара.Например, когда мы учим новичков грести, необходимо следить за тем, чтобы их нижняя рука была достаточно низкой, чтобы они могли управлять лодкой, несмотря на меньшее усилие.

В теннисе, гольфе, хоккее и т. Д. Момент силы зависит от того, как мы держим ракетку, клюшку для гольфа, хоккейную клюшку и т. Д. Правильный захват необходим. Но правильный хват может варьироваться в зависимости от потребностей конкретного спортсмена в конкретной ситуации. Момент силы также должен использоваться в видах спорта, где либо спортсмен, либо оборудование, которое он использует, вращаются.В боевых искусствах, таких как дзюдо или греко-римская борьба, спортсмены выбирают зацепы для создания максимально возможного момента силы.

Момент силы мышц

Вышеупомянутые примеры моментов силы в спорте были примерами внешних моментов силы, действующих на человеческое тело или спортивное снаряжение. Что заставляет наши руки и ноги вращаться вокруг суставов? Мышцы создают моменты силы, которые вращают наши руки и ноги. Мышцы создают силы, которые действуют на прикрепления, а затем и на скелет.На рис. 16 мы можем видеть силу, создаваемую двуглавой мышцей плеча на предплечье, когда положение локтевого сустава изменяется с полного разгибания на сгибание на 90 °. Всегда ли мышцы производят один и тот же момент силы во время этого движения? Способность двуглавой мышцы плеча создавать момент силы в локтевом суставе зависит от положения локтевого сустава. Момент плеча мышечной силы меняется в зависимости от взаимного положения отдельных сегментов сустава (рис. 16). Изменение угла сустава вызывает изменение моментного плеча мышечной силы.Этот факт частично объясняет, почему наши мышцы способны создавать значительно большие моменты силы в определенных положениях по сравнению с другими положениями, в которых моменты силы, создаваемые теми же мышцами, намного меньше.

Рисунок 16 Момент плеча мышечной силы двуглавой мышцы плеча уменьшается с r ₁ до r ₂ при разгибании в локтевом суставе. Центр вращения локтевого сустава отмечен белой точкой.Вставка двуглавой мышцы плеча отмечена черной точкой в ​​положении 90 ° и синей точкой в ​​положении 120 °. Стрелками отмечены силы, с помощью которых прикрепление двуглавой мышцы плеча действует на бугорки лучевой кости и на апоневроз двуглавой мышцы глубокой фасции на медиальном участке предплечья.

Силы и моменты силы в статическом равновесии

Чтобы тело оставалось в статическом равновесии, сумма внешних сил и сумма внешних силовых моментов, действующих на это тело, должны быть равны нулю.

Следовательно, должно выполняться следующее:

Оценка мышечных сил с помощью уравнений статического равновесия

Можем ли мы узнать силы, с помощью которых отдельные мышцы действуют на прикрепления, а затем и на кости, когда, например, мы поднимаем штангу? Представьте, что мы держим штангу весом 30 кг.Наш локтевой сустав согнут на 90 °, а предплечье параллельно полу. Если длина нашего предплечья 0,4 м, с какого момента штанга воздействует на наше предплечье по отношению к оси вращения (локтевому суставу)?

Штанга создаст момент силы, действующий на наше предплечье с величиной 118 Н · м по часовой стрелке с нашей точки зрения. Обозначим направление вращения по часовой стрелке как отрицательное. Чтобы удерживать штангу, сгибатели локтя должны создавать момент силы той же величины, что и у штанги, но с противоположным направлением — в нашем случае против часовой стрелки.Если сгибатели локтевого сустава зафиксированы на расстоянии примерно 0,03 м от оси локтевого сустава на предплечье, выполняется следующее:

Сгибатели локтя должны создавать силу почти 4000 Н, чтобы удерживать штангу весом 30 кг! Это означает, что наши мышцы должны создавать относительно большие силы для создания эффективных моментов в наших суставах, потому что их плечо момента часто довольно короткое. Хороший момент в том, что для создания эффективных моментов достаточно, чтобы наши мышцы лишь слегка сокращались (укорачивались).

Центр тяжести

Центр тяжести — это воображаемая точка тела, в которой, как можно предположить, сосредоточен общий вес тела. ⁶⁰ . Понятие центра тяжести помогает нам представить движения спортсменов и их снаряжения. Он заменяет реальные движения человеческого тела, потому что человеческое тело имеет сложную форму и, кроме того, эта форма постоянно меняется во время движения. Такое упрощение сложного тела до одной точки помогает нам лучше понять реальные движения человеческого тела и других объектов.

Можно считать, что в центре тяжести сосредоточен общий вес тела, потому что это точка приложения гравитационной силы данного тела.

Центр тяжести — это точка, вокруг которой все гравитационные силы, действующие на все отдельные точки тела, идеально сбалансированы. Таким образом, центр тяжести является точкой равновесия. Что это означает? Наше тело, например, состоит из отдельных сегментов, таких как голова, плечо, предплечье, кисть, туловище, бедро, голень и ступня.Человеческое тело можно в упрощенном виде представить как модель из четырнадцати сегментов. Гравитационная сила действует на каждый из этих четырнадцати сегментов. Эти гравитационные силы, действующие на отдельные сегменты, создают моменты силы, векторная сумма которых по отношению к центру тяжести тела равна нулю. В центре тяжести наше тело находится в равновесии. Но ненулевые моменты гравитационной силы возникают по отношению ко всем другим точкам человеческого тела, поэтому человеческое тело (или любой объект) не находится в равновесии.

Центр тяжести — это точка, вокруг которой идеально сбалансирована сила тяжести элементов массы тела (например, сегментов человеческого тела).

Определение центра тяжести тела человека

Если нам известна сила тяжести, действующая на отдельные сегменты, и их положение относительно начала выбранной системы отсчета, мы можем вычислить центр тяжести как:

, где r _T — вектор положения центра тяжести тела, r _i — вектор положения сегмента i ^th , m _i — масса сегмента i ^th , m — масса корпуса, а N — количество сегментов ⁶¹ .

Указанное выше соотношение можно переписать в координатную форму:

, где x _T , y _T , z _T — координаты центра тяжести корпуса, а x _i , y _i , z _i — координаты центров тяжести отдельных сегментов тела.

Как мы уже знаем, человеческое тело не является абсолютно твердым телом, и поэтому положение центра тяжести зависит от положения отдельных сегментов.Представим, что мы стоим в основной анатомической позиции. Сагиттальная плоскость делит тело на правую и левую части. Поскольку человеческое тело почти симметрично относительно сагиттальной плоскости, центр тяжести будет расположен очень близко к этой плоскости. Если мы поднимем правую руку, центр тяжести сместится вправо и вверх. Несмотря на то, что человеческое тело не симметрично в сагиттальном направлении, центр тяжести находится где-то во фронтальной плоскости, которая разделяет тело на переднюю и заднюю части.Эта плоскость проходит примерно через плечи и бедра, а затем чуть впереди лодыжек. Если вытянуть руки вперед, центр тяжести тоже сместится вперед. Оценить положение центра тяжести в вертикальной плоскости гораздо сложнее. В базовом анатомическом положении центр тяжести находится в области крестцовых позвонков с 3 ^rd по 4 крестца.

Рисунок 17 Центр тяжести человеческого тела при ходьбе (синий).

У женщин центр тяжести вертикально ниже, чем у мужчин, потому что их тела больше в области таза, но их плечи уже.Положение центра тяжести у женщин находится на относительной высоте 55% от общего роста, а у мужчин — 57%. У детей положение центра тяжести относительно выше, чем у взрослых, потому что у детей относительно большая голова и короче ноги, чем у взрослых.

Рисунок 18 Центр тяжести не обязательно должен находиться внутри человеческого тела. Центр тяжести гимнастки ниже отмечен синей точкой.

Понятие центра тяжести и его использование для повышения производительности

Теперь мы можем подумать о том, как движение сегментов нашего тела влияет на нашу моторику и производительность посредством изменения положения центра тяжести.Если мы подпрыгиваем в воздухе и теряем контакт с полом, на нас действует только сила гравитации, и мы превращаемся в снаряд. Под действием силы тяжести с момента взлета наш центр тяжести равномерно ускоряется вниз (9,81 м / с ² ). В начале нашего прыжка наш центр тяжести имеет максимальную скорость и под действием силы тяжести постепенно замедляется, пока не остановится на максимальной высоте прыжка. Движение наших рук и ног не может влиять на движение центра тяжести, потому что мы не касаемся других тел и не можем создавать контактные силы.Результирующая сила, действующая на нас, по-прежнему остается всего лишь силой тяжести. На траекторию центра тяжести нашего тела не могут повлиять наши движущиеся руки и ноги, но движения отдельных рук и ног влияют друг на друга. Так, например, если мы сгибаем колени во время прыжка, высота рук уменьшается, так что центр тяжести все еще движется по той же траектории, определяемой с момента взлета ⁶² .

Баскетболисты, например, пытаясь заблокировать мяч, подпрыгивают, подняв только одну руку.Другая рука и обе ноги не согнуты и не двигаются относительно туловища. Волейболисты также прыгали выше всего, подняв только одну руку и вытянув ноги. Почему же тогда волейболисты, в отличие от баскетболистов, прыгают с поднятыми над головой руками? Ответ прост. Баскетболисты знают, куда направляется мяч, и пытаются заблокировать мяч только в том случае, если он направляется в корзину. Однако волейболисты не имеют возможности узнать, куда направится мяч после удара, и поэтому им лучше прыгать, подняв обе руки над головой, чтобы покрыть более широкую область над сеткой, хотя таким образом они не могут прыгать так высоко, как в противном случае они могли бы.

Когда мы смотрим на некоторые зрелищные прыжки баскетболистов, фигуристов, танцоров, гимнастов и т. Д., Мы можем увидеть, что они иногда кажутся подвешенными в воздухе. Это всего лишь эффект относительного движения отдельных сегментов тела друг к другу. Если, например, баскетболист, прыгающий под корзину, сгибает колени, траектория его центра тяжести остается параболической, но его руки и мяч дольше остаются на той же высоте. Этот факт создает иллюзию полета, потому что мяч в руках игрока не падает, хотя его центр тяжести падает.

Как положение центра тяжести влияет на устойчивость человеческого тела?

Стабильность тела — это мера его способности вернуться в положение равновесия после нарушения.

Во многих видах спорта и человеческой деятельности спортсмены или люди в целом не хотят терять равновесие из-за определенной позиции или положения. Они хотят быть в максимально стабильном положении. Борцы стараются сохранять максимально устойчивую позицию, чтобы их не опрокинули соперники.Биатлонистам, теннисистам, баскетболистам, лучникам — всем им нужна стабильная позиция, чтобы лучше всего проявлять свои способности. С другой стороны, в некоторых видах спорта успех определяется способностью очень быстро менять положение. Спринтерам на старте необходимо как можно скорее покинуть свои стартовые позиции. Горнолыжники, подающие теннисисты, пловцы на старте, футбольные вратари — все они должны иметь возможность менять свое положение как можно быстрее, когда наступает подходящий момент. Для этого создают не очень устойчивую подготовительную позицию.

Факторы, влияющие на стабильность

Устойчивости тел зависят от высоты центра тяжести над полом, размером зоны поддержки и массой тела.

Как мы можем объяснить с помощью механики, что именно эти три фактора влияют на стабильность? Мы знаем, что для сбалансированного тела верно то, что сумма всех моментов силы, действующих на это тело, должна быть равна нулю. Отсюда следует:

, где F — сила, пытающаяся вывести тело из равновесия, h — плечо момента, F _G — сила тяжести, а b — его сила тяжести. момент руки.

Факторы в левой части уравнения минимизируют увеличение устойчивости, а факторы в правой части уравнения максимизируют увеличение устойчивости. Это означает, что чем выше гравитационная сила тела, тем выше момент силы в правой части уравнения и по этой причине также выше устойчивость тела. Удлинение плеча силы тяжести также увеличивает стабильность. Длина b — это горизонтальное расстояние медианы ⁶³ от края (точки) поворота.Следовательно, устойчивость тела зависит от направления сил, которые пытаются его нарушить. Высота, на которой сила может воздействовать на тело, принимается как доля от общей высоты этого тела. Чем выше сила F, тем выше момент силы в правой части уравнения и, следовательно, шансы на сохранение устойчивости становятся меньше.

Тот факт, что высота центра тяжести влияет на устойчивость, лучше объясняется соотношением между работой и потенциальной энергией.Самая устойчивая стойка или положение человеческого тела — это положение с минимальной потенциальной энергией. Когда противник пытается помешать нам из сбалансированной позиции с минимальной потенциальной энергией, он / она должен выполнить больше работы, чем если бы мы были в позиции с большей потенциальной энергией. Наиболее устойчивыми считаются те положения тела человека, которые позволяют разместить центр тяжести ниже точки вращения. Гимнастка в висе на турнике — хороший тому пример. Если его потревожить из уравновешенного положения, он возвращается, не выполняя никакой работы.Это стабильное равновесие. С другой стороны, когда центр тяжести находится выше точки вращения, устойчивость ниже (рис. 19). Гимнастка, стоящая на руках, — хороший тому пример. Если его потревожить из сбалансированного положения, он, скорее всего, перевернется и не вернется в сбалансированное положение. Его потенциальная энергия была слишком велика, потому что его центр тяжести находился выше точки вращения. Это неустойчивое равновесие. В спорте тоже есть примеры безразличного равновесия. Это особая ситуация, когда ось вращения проходит через центр тяжести.Во время вращения потенциальная энергия тела не меняется. Если борец лежит на полу и расставляет руки и ноги так, что его центр тяжести находится почти на одном уровне с полом, можно говорить о безразличном равновесии.

Рисунок 19 Неустойчивое равновесие. Центр тяжести (синий) находится над точкой вращения.

Движение человека, центр тяжести и устойчивость

Человеческое тело не является твердым телом, и его форма может изменяться при движении рук, ног, головы и туловища.Поэтому люди могут контролировать свою стабильность, меняя положение тела.

Например, как мы начинаем шаг при ходьбе? Сначала мы наклоняемся вперед, пока наша середина не окажется перед нашей стопой. Потом теряем равновесие и начинаем падать. Падение прерывается другой ногой, и весь процесс повторяется снова. Поэтому мы можем описать ходьбу как серию контролируемых падений, приземлений и взлетов. Во многих видах спорта спортсмены стараются максимизировать свою стабильность в целом или только в одном конкретном направлении.В некоторых видах спорта мы стараемся в определенных ситуациях максимизировать подвижность (и минимизировать стабильность).

Если сила, которая пытается помешать нам, имеет определенное направление, мы должны использовать изменение основы нашей позиции, чтобы достичь большей стабильности. Например, при игре ударом справа теннисисты стараются расставить ноги далеко друг от друга в направлении летящего мяча и, таким образом, улучшить баланс между передней и задней сторонами (Рис. 20). Они стоят боком к мячу, и одна нога находится в направлении удара — их ступни не стоят рядом.Подобную технику используют боксеры и баскетболисты. Положение с одной ногой впереди очень удобно во многих спортивных ситуациях. Это позволяет уменьшить или увеличить импульс и силу удара в заданное время, но также дает большую стабильность.

Рисунок 20 Теннисисты на определенных этапах гребка используют специальное положение для максимальной устойчивости в направлении гребка.

В определенных ситуациях люди повышают устойчивость с помощью снаряжения.Люди с травмами ног часто используют костыли для повышения устойчивости. Лыжники повышают свою устойчивость спереди назад с помощью лыж. Чем длиннее лыжи, тем лучше устойчивость спереди и сзади. Вот почему у даунхиллеров лыжи длиннее, чем у слаломистов. Им нужна лучшая устойчивость спереди назад. Мы часто используем короткие лыжи для занятий фанкарвингом. Короткие лыжи помогают инструкторам определить, правильно ли занимают ученики базовое положение при спуске с горы. Если во время тренировки на коротких лыжах ученик начинает падать вперед или назад, это является признаком неправильного базового положения на лыжах с точки зрения устойчивости спереди назад.

Спринтеры на старте стараются занять позицию, которая позволила бы им двигаться вперед как можно быстрее. Центр тяжести спринтера находится перед носком передней ноги, вокруг которого будет вращаться тело во время первого шага. После сигнала спринтер поднимает руки и сразу начинает падать вперед. Его / ее останавливает сила его / ее ног. Пловцы так же начинают с позиции минимальной устойчивости.

⁵² Свободное тело имеет шесть степеней свободы — его движение не ограничено в пространстве.Zpět

⁵³ Векторная линия проходит через начальную и конечную точки вектора силы. Zpět

⁵⁴ Бобслей не является свободным телом, но, тем не менее, действие центральной силы вызывает только линейное движение. Zpět

⁵⁵ Эксцентричность в данном случае означает тип силы, а не тип мышечного сокращения. Zpět

⁵⁶ Векторная линия проходит через начальную и конечную точки вектора силы. Zpět

⁵⁷ Точка, до которой определяется момент силы.Он может располагаться на оси вращения, вдали от нее или даже от самого тела. Zpět

⁵⁸ На английском языке момент силы также называется крутящий момент и обозначается с большой буквы T . Zpět

⁵⁹ Также называется радиус-вектором. Zpět

⁶⁰ Это точка приложения результирующей гравитационной силы, состоящей из всех гравитационных сил, действующих на все элементы массы тела. Zpět

⁶¹ Если выбранными сегментами являются голова, туловище, левое и правое плечо, левое и правое предплечье, левая и правая рука, левое и правое бедро, левая и правая голень, а также левая и правая ступня, тогда N = 14.Zpět

⁶² Если сопротивление воздуха не принимается во внимание Zpět

⁶³ Медиана — это линия, на которой лежит вектор гравитационной силы. Следовательно, он проходит через центр тяжести и находится вертикально. Zpět

CCCBDB список экспериментальных дипольных моментов

Пожалуйста, направляйте комментарии об этой странице по адресу [email protected].