Видео: Введение в векторные обозначения

Стенограмма видеозаписи

В этом видео мы поговорим о векторах и обозначениях, которые мы используем для их представления.

Теперь это немного отличается от страны к стране. Итак, мы покажем вам самые разные способы показать одно и то же, используя разные обозначения. И вам просто нужно выбрать тот вид обозначений, который работает там, где вы находитесь.

𝐴 вектор — это набор чисел, который может быть представлен в подходящем пространстве отрезком линии определенной длины и направления. В этом случае у нас есть двумерный вектор, который представляет перенос трех единиц в направлении 𝑥, поэтому мы идем на три положительных по оси и две отрицательные единицы в направлении, поэтому мы идем отрицательные три [отрицательные два] в направлении. Итак, чтобы перейти от 𝐴 к 𝐵, мы делаем три в-направлении и два отрицательных в-направлении.

Векторы использовались астрономами еще в семнадцатом веке как способ записи и отслеживания движения планет в ночном небе. Само слово происходит от латинского, что означает носитель. Поэтому постарайтесь думать о векторах как о значении, в каком направлении и как далеко мне следует двигаться, если я хочу, чтобы меня несли от 𝐴 к 𝐵 по прямой. Теперь подумайте, что этот набор инструкций можно применить к любой начальной точке, чтобы воспроизвести то же относительное движение. Итак, в этом случае мы только что переместились на определенное расстояние в-направлении, не сильно изменившись в-направлении.Таким образом, один и тот же набор инструкций может применяться с разных начальных и конечных положений.

Когда мы рисуем векторы, мы используем отрезок линии определенной длины и стрелку, чтобы мы могли видеть предполагаемое направление движения. В определениях вы часто увидите, что векторы имеют начальную и конечную точки. Но помните, что вы можете взять вектор и разместить его в любом месте пространства, чтобы представить такое же относительное движение, при условии, что вы убедитесь, что он имеет одинаковую длину и ориентацию.Фактически, начальная и конечная точки фактически не фиксированы. Они просто помогают рассчитать направление и расстояние движения. Итак, если я добавлю координаты 𝐴 и 𝐵 к моей диаграмме, я могу увидеть, что я двигался четыре в-направлении и два в-направлении. Таким образом, вектор — это комбинация этих двух компонентов, 𝑥-компонента и 𝑦-компонента.

Теперь мы увидим, что означают все эти числа, и через мгновение подумаем о векторах более глубоко.Но прежде всего давайте зададимся вопросом, почему мы должны вообще использовать векторы. Мы можем количественно оценить многие вещи с помощью числа, а иногда и единицы. Например, масса, объем площади, длина — все они могут быть представлены числом, а иногда и единицей измерения. Например, десять килограммов, двенадцать квадратных сантиметров, тысяча кубических сантиметров и так далее. Все это называется скалярными величинами. Теперь у векторных величин есть дополнительный аспект — направление. Таким образом, они могли описать, например, перевод определенной величины в определенном направлении.Так, например, перевод из пункта 𝐴 в пункт 𝐵. Они также могут представлять, скажем, скорость определенной скорости в определенном направлении. Точно так же они могут использоваться для обозначения ускорения или даже силы, приложенной в определенном направлении. Итак, векторные величины относятся к ситуациям, когда нам нужно число, чтобы представить величину чего-либо, но нам также нужно знать конкретно о направлении, в котором оно действует.

Итак, какие обозначения мы используем для векторов? Мы убедились, что графически мы можем использовать отрезок линии определенной длины, ориентированный в определенном направлении.Но мы также можем использовать буквы и цифры для обозначения векторов, хотя существует несколько различных соглашений, в зависимости от того, где вы живете. Итак, давайте для начала подумаем о двухмерном пространстве, но его можно легко расширить до трехмерного или даже более высокого измерения, просто добавив дополнительные числа.

Итак, один способ называется составной формой. Здесь мы сначала записываем объем перевода в направлении, а затем объем перевода в направлении. К сожалению, есть три популярных формата.У одного есть угловые скобки, у другого — векторный формат вертикального столбца, а другой выглядит как аннотация координат. Если мы хотим дать нашим векторам имя, тогда одна популярная и полезная нотация — пометить его, используя его начальную и конечную точки, со стрелкой вверху, показывающей, что есть что. Буквы обычно в верхнем регистре, начальная точка — первая, а конечная — вторая. В зависимости от того, где вы живете, вы будете использовать стрелку или половину стрелки в виде гарпуна вверху. Итак, давайте посмотрим на них сейчас.

Итак, для этих двоих, это обычно в плотно написанном формате, у вас будут заглавные буквы 𝐴 и 𝐵 курсивом, со стрелкой в ​​виде гарпуна над ними. А для обозначения вектора-столбца, которое обычно ассоциируется с заглавными буквами, не являющимися начальными буквами, с нормальной стрелкой, показывающей направление от 𝐴 к 𝐵. Надеюсь, вы узнаете систему, которая используется в вашем районе, по учебникам или школьной работе. Итак, если мы хотим изобразить вектор, идущий от 𝐵 к 𝐴, мы могли бы использовать любой из этих форматов здесь слева.𝐵𝐴 — отрицательное три, отрицательное четыре, бутог — потому что, чтобы перейти от 𝐵 к 𝐴, нам нужно было пройти отрицательное три в 𝑥-направлении и отрицательное четыре в-направлении. Таким образом, порядок букв, направление стрелки и знак чисел имеют решающее значение, когда дело доходит до написания наших векторов.

Теперь, чтобы добавить путаницы, если мы просто хотим присвоить конкретную букву a-a вектору, а не указывать его начальную и конечную точки, мы тоже можем это сделать. Но опять же, есть много разных соглашений, которые мы можем использовать.На самом деле это довольно сложно, когда вы записываете это, чтобы представить это на экране. Но обычно вы можете использовать жирную версию этой буквы, может быть в верхнем регистре, может быть в нижнем регистре. Итак, если бы мы назвали наш вектор 𝑣, он был бы полужирным или курсивом, равным трем, четырем в этом конкретном обозначении.

Теперь люди, использующие обозначение вектора-столбца, также используют жирную букву для обозначения имени вектора. Итак, если бы мы хотели назвать вектор 𝑣, это была бы жирная буква шрифта.Но когда мы пишем его от руки, мы можем написать его как обычную букву 𝑣 от руки, но с подчеркиванием под ней, чтобы показать, что это вектор. Так что это всего лишь способ помочь вам писать векторы в рукописной нотации.

И люди, которые используют обозначение координат для векторов, опять же, использовали бы жирную букву, но они поместили одну из этих маленьких гарпунных стрелок над буквой, чтобы обозначить тот факт, что это вектор. Или, иногда, они могут даже использовать курсивную версию этой буквы с гарпуном поверх нее, чтобы обозначить вектор.

Звучит немного запутанно, когда мы так говорим об этом. Но из контекста вопросов, на которые вы изучаете, вы будете знать, какие обозначения они используют и что означают векторы. Итак, давайте взглянем на пару примеров векторов.

Итак, вектор 𝐴𝐵 равен, мы перемещаем пять в направлении, чтобы добраться от 𝐴 до 𝐵, и мы перемещаем положительную тройку в направлении 𝑦, поэтому наш вектор будет определен как пять [пять, три ]. Итак, есть три разных способа написать это, путешествие от 𝐴 до 𝐵.Во всех случаях мы добавляем пять к 𝑥-координате, которая была у нас в точке 𝐴, чтобы получить координату, которая была у нас в точке 𝐵. И мы добавляем три к ac- к 𝑦-координате, которая у нас была в 𝐴, чтобы получить 𝑦-координату, которая у нас есть в. Итак, это перевод пять, три.

Итак, теперь давайте рассмотрим вектор в противоположном направлении от 𝐵 до 𝐴. Как бы это выглядело? На этот раз мы делаем минус пять в-направлении и минус три в-направлении. Идем налево и вниз.Поэтому мы напишем, что, поскольку 𝐵𝐴 — минус пять, минус три в любом из форматов, которые вы выберете. Теперь, поскольку каждый компонент нашего вектора является отрицательным по сравнению с компонентом, который у нас был в соответствующем векторе, мы можем сказать, что 𝐵𝐴 равно отрицательному 𝐴𝐵 или отрицательно 𝐴𝐵 в этом формате. Итак, что мы можем видеть, это отрицание вектора; мы путешествуем точно на такое же расстояние, но в браке — мы делаем это в совершенно противоположном направлении.

И помните, у нас также была возможность просто пометить наш вектор одной буквой.Так что мы могли бы выделить жирный 𝑢, подчеркнутый 𝑢 или жирным шрифтом с маленькой гарпунной стрелкой наверху. Поэтому вместо этого обозначения мы могли бы использовать наши отдельные буквы. Все означает одно и то же, и все они, вероятно, те, с которыми вы столкнетесь в вопросах, когда будете смотреть на векторы.

Теперь в этом примере перевод из 𝐶 в 𝐷 включает добавление шести к 𝑥-координате и вычитание четырех из 𝑦-координаты, чтобы перейти от-координаты к-координате.Итак, вот три разных обозначения: угловые скобки, векторы-столбцы и то, что выглядит как обозначение координат — шесть, отрицательное четыре — и разные способы написания 𝐶𝐷 с разными стрелками или стрелками-гарпунами над ними. В качестве альтернативы, мы могли бы пометить 𝐶𝐷 отдельной отдельной буквой либо жирным 𝑣, либо подчеркнутым 𝑣, либо жирным 𝑣 с гарпуном над ним. И мы могли бы заменить наши этими буквами. Таким образом, жирный шрифт доступен во всех случаях. Иногда вы можете просто написать жирным шрифтом 𝑣 с подчеркиванием, а иногда вам понадобится жирный 𝑣 с небольшим гарпуном поверх него.

Итак, теперь мы можем представлять векторы различными способами. Давайте также подумаем о множестве векторов. Вектор 𝑤 представляет собой перенос трех, положительных трех, в 𝑥-направлении и отрицательных двух в 𝑦-направлении. Тогда два 𝑤 были бы просто переводом вдвое лучше в каждом направлении. Таким образом, вы можете представить это как две точки, поставленные встык друг за другом. И все, что мы сделали, потому что у нас есть два 𝑤, мы удваиваем 𝑥-компонент, мы удваиваем 𝑦-компоненты. В каждом из этих форматов получается шесть, минус четыре.А три 𝑤 будут просто тремя копиями вектора, размещенными встык. Таким образом, мы получили девять отрицательных шести.

И снова, с отрицательным знаком 𝑤, мы берем отрицательный результат каждого компонента. Таким образом, отрицательное из трех — это отрицательное три, отрицательное из двух — положительное два. Таким образом, в своем компонентном формате отрицательное 𝑤 равно отрицательному три, два.

Итак, чтобы подвести итог, векторы имеют длину и направление. Векторы представляют собой путешествие из 𝐴 в. У них есть 𝑥-компонент и 𝑦-компонент.Мы видели несколько различных форматов, которые вы могли бы использовать в зависимости от того, где вы живете, для представления этих компонентов. И у нас есть выбор обозначений относительно того, используем ли мы начальную точку и конечную точку, чтобы пометить их, или мы используем только букву для представления вектора с определенным направлением. Мы также увидели, что направление важно. Так, например, вектор 𝐵𝐴 является отрицательным для 𝐴𝐵. У него такая же величина, но действует прямо противоположное направление. И мы также видели, что когда мы удваиваем или утроиваем или умножаем вектор на определенное число, мы просто умножаем отдельные компоненты вектора на это число.Итак, вектор два 𝐴𝐵 в два раза больше 𝑥 и в два раза больше-компоненты.

Надеюсь, после этого краткого введения в векторы вы теперь знакомы с различными обозначениями, что означают векторы и почему мы их используем.

Векторное обозначение

Инженерия на курсах Альберты »Декартово векторное представление

Векторы и их действия: Декартово векторное представление

Декартовы системы координат

Удобный набор направлений — это набор перпендикулярных направлений, называемых ортогональными осями .Ортогональный означает перпендикулярный. Положительное направление оси устанавливает ориентир для определения положительного (или отрицательного) направления вектора вдоль (параллельно) оси. Например, ось x , показанная на рис. 2.14a, находится в положительном направлении и в отрицательном направлении по отношению к оси x .

Для разложения вектора в двумерной плоскости необходимы две ортогональные оси (рис. 2.14b). Для разложения пространственного вектора (вектора в трехмерном пространстве) необходимы три ортогональные оси (рис.2.14c). Набор ортогональных осей, пересекающихся в точке (начало ), называется декартовой системой координат или декартовой системой координат .

Единичный вектор

Единичный вектор. Единичный вектор — это вектор величины.Любой вектор может быть записан как скалярное умножение единичного вектора с тем же направлением, что и исходный вектор: таким образом, что обозначение указывает единичный вектор () в направлении. Любой вектор может стать единичным вектором, если масштабировать с учетом этого. Вектор называется единичным вектором. Создание единичного вектора из вектора называется нормализацией вектора . Единичный вектор вектора имеет то же направление, что и исходный вектор.

Поэкспериментируйте с помощью следующего интерактивного инструмента, чтобы выяснить, как вектор является скалярным множителем своего единичного вектора.

Декартово векторное представление

Компоненты вектора вдоль ортогональных осей называются прямоугольными компонентами или декартовыми компонентами . Вектор, разложенный (разрешенный) на его прямоугольные компоненты, может быть выражен с использованием двух возможных обозначений, а именно скалярной записи (скалярные компоненты) и декартовой векторной записи. Оба обозначения объясняются для двумерных (плоских) условий, а затем расширяются до трех измерений в следующих разделах.

Компоненты прямоугольных векторов копланарных векторов

Рассмотрим вектор и его прямоугольные компоненты, разрешенные в декартовой системе, как показано на рис. 2.15. Компоненты вектора и разрешены и обозначаются символами и соответственно. Нижними индексами и обозначены оси, которым параллельны компоненты. Величина компонент вектора равна и. По определению, величина вектора — это положительное число. Следовательно, величина компонента вектора не содержит никакой информации о смысле направления.Чтобы включить информацию о направлениях компонентов вектора в декартовой системе координат, определены скалярные обозначения , или скалярных компонентов . Скалярные компоненты вектора — это величины его прямоугольных компонент со знаком. Скалярная составляющая является положительной, если составляющая вектора направлена ​​вдоль положительной оси, и отрицательной, если составляющая вектора направлена ​​вдоль отрицательной оси (противоположной положительному направлению оси). Для компонент вектора и показанных на рис.2.15 скалярные компоненты обозначены и. Обратите внимание на обычный и курсивный шрифт, используемый для обозначений. Скалярные компоненты вектора, показанного на рис. 2.15a, положительны. Однако скалярными компонентами вектора, показанного на рис. 2.15b, являются и. Скалярная составляющая отрицательна, поскольку ее векторная составляющая направлена ​​в отрицательном направлении оси y .

С осью связан единичный вектор, показывающий положительное направление оси.Любой вектор, параллельный оси, может быть записан как скалярный множитель единичного вектора оси. Скалярный множитель равен скалярной составляющей (величина со знаком) вектора, параллельного оси. Скалярный множитель положительный, если вектор направлен в направлении единичного вектора оси, и отрицательный в противном случае.

Единичные векторы, связанные с декартовыми осями x и y , обозначены жирными строчными буквами и, соответственно, и их соответствующие маленькие стрелки отображаются на декартовых осях (рис.2.16). Другие возможные обозначения — и.

Прямоугольные компоненты любого вектора теперь могут быть выражены через единичные векторы декартовой оси,

(2.1a)

где и — скалярные компоненты.

Как правило, любой вектор можно записать как,

(2.1b)

Примечание: с использованием CVN эквивалентно разрешению вектора в декартовой системе координат.

Примечание: в CVN, заглавные буквы (не полужирный), такие как, и, представляют скалярные компоненты. Их значения могут быть отрицательными или положительными, в зависимости от направлений компонентов относительно, и. В формулировках более поздней главы, где CVN не используется, заглавные буквы для простоты обозначают величины векторных или векторных компонентов.

Примечание: компонентов вектора являются векторами, тогда как скалярные компоненты (координаты вектора) являются скалярными (т.е.е. знаковые величины).

Используя следующий интерактивный инструмент, вы можете наблюдать компоненты (вектора) и скалярные компоненты вектора. Посмотрите, как вектор представлен в CVN. Измените направление вектора ползунком угла и наблюдайте за значениями скалярных компонентов. Когда скалярные компоненты принимают отрицательные значения?

ПРИМЕР 2.4.1

Определите скалярные компоненты, показанные на рисунке ниже, и запишите вектор в CVN.

РЕШЕНИЕ

Примечание: расположение вектора относительно начала декартовой системы координат не влияет на его декартовы компоненты. Вы всегда можете рассматривать (рисовать) параллельные оси с декартовыми осями в хвосте вектора и вычислять его компоненты.

Стоит отметить отношения между скалярными компонентами, величиной и направлением вектора. Рассмотрим декартову систему координат, в которой углы отсчитываются против часовой стрелки от положительной оси x , как показано на рис.2.17. Тогда выполняются следующие уравнения:

(2,2)

Для облегчения вычислений при указании направления плоского вектора в декартовой системе отсчета можно также использовать (острый) угол, который вектор образует с любой из декартовых осей. Если и являются углами вектора с осями x и y соответственно, выполняются следующие уравнения:

(2.3)

Обратите внимание, что абсолютные значения скалярных компонентов, которые являются модулями декартовых компонент вектора, используются в функциях тригонометрии. Рис. 2.18a демонстрирует три случая разложения вектора по заданным углам и. Обратите внимание на знаки скалярных компонент, основанных на декартовых компонентах векторов.

Другой возможный способ задания направления плоского вектора — это небольшой треугольник с наклоном .Небольшой наклонный треугольник передает информацию об угле, который вектор образует с осью (рис. 2.18b).

Примечание: будьте осторожны с указанием направления вектора и правильной формулировкой, которую вы должны использовать для вычислений.

Примечание: использование углов (которые вектор образует с декартовыми осями) для задания направления вектора имеет преимущество вычислений, которое находится в области обратных тригонометрических функций, и.

Компоненты прямоугольных векторов пространственных векторов

Для обработки вектора в трех измерениях должна быть определена трехмерная декартова система координат. Обычная трехмерная декартова система координат — это правая система координат . Система координат из трех ортогональных осей называется правой, если большой палец правой руки указывает в положительном направлении, когда пальцы сгибаются от (положительной) оси x к (положительной) оси y (рис.2.19а). Другой способ определить правую декартову систему координат — следовать правилу для правых трех пальцев , как показано на рис. 2.19b. В трех измерениях единичные векторы осей обозначены, и, как показано на рис. 2.19c.

Щелкните правой кнопкой мыши и поверните следующую трехмерную правую декартову систему координат, чтобы увидеть ее различные ориентации.

Любой вектор в трех измерениях можно разделить на три прямоугольных компонента. Вектор, выраженный в CVN (трех измерениях), записывается как

(2,4)

где, и — компоненты вектора (прямоугольные или декартовы), и, и — скалярные компоненты (рис. 2.20a). Величина есть. Это можно доказать, рассмотрев заштрихованные треугольники на рис. 2.20b и дважды используя теорему Пифагора.

Направление в трехмерной декартовой системе координат может быть определено с помощью углов направления координат , и измерено от положительных осей x , y и z соответственно к вектору (рис. 2.20. в). Эти углы ограничены как. Следующее соотношение имеет место между величиной вектора, скалярными компонентами и углами направления координат,

(2,5)

Следующий интерактивный пример иллюстрирует прямоугольные компоненты вектора в трех измерениях.Измените скалярные компоненты (координаты головной точки) с помощью ползунков, чтобы увидеть, как вектор выражается в CVN.

Углы направления координат вектора демонстрируются в следующем интерактивном примере.

Три угла направления координат не являются независимыми и связаны этим уравнением:

(2,6)

, что означает, что, зная два угла, можно легко получить третий.

Чтобы доказать уравнение.2.6 вектор выражается его декартовыми компонентами и делится на его величину

, который по формуле. 2.5, записывается как:

и ведет к,

, что доказывает уравнение. 2.6.

Векторное обозначение

Векторное обозначение

Векторы — это величины, которые имеют как величину, так и направление.

Запишите вектор в столбец, при этом движение в направлении «x» будет верхним числом, а движение в направлении «y» — нижним числом.

Вектор `((5), (7))` дает смещение в положительном направлении `x`, а 7 — в направлении` y`.

Векторы записываются разными способами.

Вектор может быть записан для обозначения начальной и конечной точек: `vec (AB)`. Направление важно: вектор идет от A, к B.

Вектор также может отображаться как одна буква: это печатается как a (жирный шрифт a). При написании от руки подчеркните букву: `ul (a)`.

Обратите внимание, что все они описывают один и тот же вектор:

`vec (AB) = ul (a) =` a

Вектор, который равен другому вектору, имеет такую ​​же величину и направление, хотя они не обязательно могут быть из того же места.

Вектор `vec (BA)` — это вектор, идущий от B к A. Поскольку он движется в противоположном направлении, он является отрицательным по отношению к исходному вектору.

Вектор `vec (AB) = -vec (BA)`

Или используя другой синтаксис:

Если вектор `vec (AB)` = a и `vec (BA)` = b , то

a = — b

Пример 1

Вектор определяется как vec (AB) = ((3), (4)) `. Второй вектор определяется как vec (CD) = ((7), (4)) `.

Перемещается ли вектор `vec (AB)` на ту же величину в направлении `y`, что и` -vec (CD) `?

Отрицательный знак перед вектором делает движения «x» и «y» противоположными.

Ответ: Нет, поскольку vec (AB) перемещает 4 в направлении y. `-vec (CD)` перемещает -4 в направлении `y`, поскольку принимает отрицательное значение вектора.

Пример 2

Вектор a определяется как ((-3), (- 4)) `. Вектор b определяется как `((4), (3))`. Имеет ли a = — b ?

При ответе на вопрос «да / нет» всегда указывайте уважительную причину.

Ответ: Нет; ни смещение «x», ни смещение «y» не равны и не противоположны.

Как создавать векторы в Word

Word предлагает различные способы создания вектора в документе:

I.Используя уравнение:

Этот способ идеально подходит, если вам не нужно заботиться о формате и совместимости с предыдущими версиями Microsoft Office (рекомендуемый подход для физических и математических наук, требующий большого количества математических операций в тексте с согласованными шрифтами для всех уравнений и символов) :

1. В абзаце, куда вы хотите вставить вектор , затем щелкните Alt + = , чтобы вставить блок верховой езды:

2. В блоке верховой езды введите величину вектора и выберите ее. Это может быть одна буква, несколько букв или даже выражение.

Например:.

3. На вкладке Equation в группе Structures нажмите кнопку Accent :

В списке Accent выберите Bar или Стрелка вправо вверх :

Примечание : Если вы хотите продолжить работу с этим уравнением, дважды щелкните стрелку вправо, чтобы выйти из поля под вектором: & RightArrow; &Правая стрелка; .Итак, чтобы продолжить работу с уравнением, в нем не должно быть выбранных данных:

II. Использование автозамены для математики:

Когда вы работаете с большим количеством документов и часто нужно вставить один специальный символ, вам не нужно каждый раз вставлять уравнение. Microsoft Word предлагает полезную функцию под названием Автозамена . Автозамена Параметры в Microsoft Word предлагают два разных способа быстрого добавления любого специального символа или даже большие фрагменты текста:

Используя этот метод, вы можете воспользоваться опциями Автозамена математикой , не вставляя уравнение.Чтобы включить или выключить Автозамену из Math символов, выполните следующие действия:

1. На вкладке Файл щелкните Параметры :

2. В диалоговом окне Word Options на На вкладке «Коррекция » нажмите кнопку «Параметры автозамены … «:

3. В диалоговом окне Автозамена на вкладке Автозамена математикой выберите параметр Использовать правила автозамены математикой вне областей :

После нажатия OK вы можете использовать любое из перечисленных Имена символов , и Microsoft Word заменит их соответствующими символами:

Примечание : Если вам не нужна последняя замена, нажмите Ctrl + Z , чтобы отменить ее.

III. Использование диалогового окна символа:

Microsoft Word предлагает очень удобную возможность комбинировать два символа (см. Наложение персонажей). Чтобы добавить к символу какой-либо элемент, такой как bar , апостроф и т. Д., Введите символ и сразу же вставьте векторную метку из подмножества Combining Diacritical Marks for Symbols любого шрифта (если он существует).

Чтобы объединить элемент с введенным символом, откройте диалоговое окно Symbol :

На вкладке Вставить в группе Символы нажмите кнопку Символ , а затем нажмите Другие символы… :

В диалоговом окне Symbol :

• В списке Font выберите шрифт Segoe IU Symbol ,
• Дополнительно, чтобы найти символы быстрее, в списке Subset выберите Combining Diacritical Marks for Symbols subset ,
• Выберите символ:
• Нажмите кнопку Вставить , чтобы вставить символ,
• Нажмите кнопку OK , чтобы закрыть диалоговое окно Symbol .

4.1 Векторы смещения и скорости

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Вычислить векторы положения в задаче многомерного смещения.
• Найдите смещение в двух или трех измерениях.
• Рассчитайте вектор скорости с учетом вектора положения как функцию времени.
• Рассчитайте среднюю скорость в нескольких измерениях.

Смещение и скорость в двух или трех измерениях являются прямым расширением одномерных определений.Однако теперь они являются векторными величинами, поэтому вычисления с ними должны производиться по правилам векторной алгебры, а не скалярной алгебры.

Вектор смещения

Чтобы описать движение в двух и трех измерениях, мы должны сначала установить систему координат и условные обозначения для осей. Обычно мы используем координаты x , y и z , чтобы найти частицу в точке P ( x , y , z ) в трех измерениях.Если частица движется, переменные x , y и z являются функциями времени ( t ):

[латекс] x = x (t) \ quad y = y (t) \ quad z = z (t). [/ латекс]

Вектор положения от начала системы координат до точки P равен [latex] \ overset {\ to} {r} (t). [/ latex] В обозначении единичного вектора, введенном в разделе «Системы координат и компоненты вектора», [latex] \ overset {\ to} {r} (t) [/ latex] равно

(рисунок) показывает систему координат и вектор к точке P , где частица могла находиться в конкретный момент времени t . Обратите внимание на ориентацию осей x , y и z . Эта ориентация называется правой системой координат (системы координат и компоненты вектора), и она используется на протяжении всей главы.

Рисунок 4.2 Трехмерная система координат с частицей в позиции P (x (t), y (t), z (t)).

С нашим определением положения частицы в трехмерном пространстве, мы можем сформулировать трехмерное смещение. (Рисунок) показывает частицу в момент времени [latex] {t} _ {1} [/ latex], расположенную в [latex] {P} _ {1} [/ latex] с вектором положения [latex] \ overset {\ to} {r} ({t} _ {1}). [/ latex] Позже [latex] {t} _ {2}, [/ latex] частица находится в [latex] {P} _ {2} [/ latex] с вектором положения [latex] \ overset {\ to} {r} ({t} _ {2}) [/ латекс]. Вектор смещения [latex] \ text {Δ} \ overset {\ to} {r} [/ latex] находится путем вычитания [latex] \ overset {\ to} {r} ({t} _ {1} ) [/ latex] из [латекса] \ overset {\ to} {r} ({t} _ {2}) \ text {}: [/ latex]

[латекс] \ text {Δ} \ overset {\ to} {r} = \ overset {\ to} {r} ({t} _ {2}) — \ overset {\ to} {r} ({t } _ {1}).[/ латекс]

Сложение векторов обсуждается в разделе «Векторы». Обратите внимание, что это та же операция, которую мы проделали в одном измерении, но теперь векторы находятся в трехмерном пространстве.

Рисунок 4.3 Смещение [латекс] \ text {Δ} \ overset {\ to} {r} = \ overset {\ to} {r} ({t} _ {2}) — \ overset {\ to} {r} ({t} _ {1}) [/ latex] — это вектор от [latex] {P} _ {1} [/ latex] к [latex] {P} _ {2} [/ latex].

Следующие примеры иллюстрируют концепцию смещения в нескольких измерениях.

Пример

Полярный орбитальный спутник

Спутник находится на круговой полярной орбите вокруг Земли на высоте 400 км, то есть он проходит прямо над головой на Северном и Южном полюсах. Каковы величина и направление вектора смещения от, когда он находится прямо над Северным полюсом, до того момента, когда он находится на широте [latex] -45 \ text {°} [/ latex]?

Стратегия

Мы делаем картину проблемы, чтобы визуализировать решение графически. Это поможет нам понять смещение.Затем мы используем единичные векторы для определения смещения.

Решение

Рис. 4.4 Два вектора положения вычерчиваются из центра Земли, который является началом системы координат, с осью Y как север и осью x как восток. Вектор между ними — это смещение спутника.

В обозначении единичного вектора векторы положения равны

[латекс] \ begin {array} {cc} \ overset {\ to} {r} ({t} _ {1}) = 6770. \, \ Text {km} \ hat {j} \ hfill \\ \ overset {\ to} {r} ({t} _ {2}) = 6770.\, \ text {km} \, (\ text {cos} \, 45 \ text {°}) \ hat {i} +6770. \, \ text {km} \, (\ text {sin} (- 45 \ text {°})) \ hat {j}. \ end {array} [/ latex]

Вычисляя синус и косинус, получаем

[латекс] \ begin {array} {cc} \ hfill \ overset {\ to} {r} ({t} _ {1}) & = \ hfill & 6770. \ hat {j} \ hfill \\ \ hfill \ overset {\ to} {r} ({t} _ {2}) & = \ hfill & 4787 \ hat {i} -4787 \ hat {j}. \ hfill \ end {array} [/ latex]

Теперь мы можем найти [latex] \ text {Δ} \ overset {\ to} {r} [/ latex], смещение спутника:

[латекс] \ text {Δ} \ overset {\ to} {r} = \ overset {\ to} {r} ({t} _ {2}) — \ overset {\ to} {r} ({t } _ {1}) = 4787 \ hat {i} -11 557 \ hat {j}.{-1} (\ frac {-11,557} {4787}) = — 67,5 \ text {°}. [/ латекс]

Значение

Построение смещения дает информацию и смысл решения задачи с помощью единичного вектора. При построении смещения нам необходимо включить его компоненты, а также его величину и угол, который он составляет с выбранной осью — в данном случае осью x ((Рисунок)).

Рисунок 4.5 Вектор смещения с компонентами, углом и величиной.

Обратите внимание, что в этом примере спутник прошел криволинейный путь по своей круговой орбите, чтобы перейти от своего начального положения к конечному положению.Он также мог пройти 4787 км на восток, затем на 11,557 км к югу, чтобы прибыть в то же место. Оба этих пути длиннее вектора смещения. Фактически, вектор смещения дает кратчайший путь между двумя точками в одном, двух или трех измерениях.

Многие приложения в физике могут иметь серию смещений, как обсуждалось в предыдущей главе. Общее смещение — это сумма отдельных смещений, только на этот раз нам нужно быть осторожными, потому что мы добавляем векторы.Проиллюстрируем эту концепцию на примере броуновского движения.

Пример

Броуновское движение

Броуновское движение — это хаотическое случайное движение взвешенных в жидкости частиц, возникающее в результате столкновений с молекулами жидкости. Это движение трехмерное. Смещения в числовом порядке частицы, совершающей броуновское движение, могут выглядеть в микрометрах следующим образом ((Рисунок)):

[латекс] \ begin {array} {cc} \ hfill \ text {Δ} {\ overset {\ to} {r}} _ {1} & = \ hfill & 2.0 \ hat {i} + \ hat {j} +3.0 \ hat {k} \ hfill \\ \ hfill \ text {Δ} {\ overset {\ to} {r}} _ {2} & = \ hfill & \ text {-} \ hat {i} +3.0 \ hat {k} \ hfill \\ \ hfill \ text {Δ} {\ overset {\ to} {r}} _ {3} & = \ hfill & 4.0 \ hat {i} -2.0 \ hat {j} + \ hat {k} \ hfill \\ \ hfill \ text {Δ} {\ overset {\ to} {r}} _ {4} & = \ hfill & -3.0 \ hat {i} + \ hat {j} +2.0 \ hat {k}. \ hfill \ end {array} [/ latex]

Каково полное смещение частицы от начала координат?

Рисунок 4.6 Траектория частицы, совершающей случайные смещения броуновского движения.Общее смещение показано красным.

Решение

[латекс] \ begin {array} {cc} \ hfill \ text {Δ} {\ overset {\ to} {r}} _ {\ text {Total}} & = \ sum \ text {Δ} {\ overset {\ to} {r}} _ {i} = \ text {Δ} {\ overset {\ to} {r}} _ {1} + \ text {Δ} {\ overset {\ to} {r}} _ {2} + \ text {Δ} {\ overset {\ to} {r}} _ {3} + \ text {Δ} {\ overset {\ to} {r}} _ {4} \ hfill \\ & = (2.0-1.0 + 4.0-3.0) \ hat {i} + (1.0 + 0-2.0 + 1.0) \ hat {j} + (3.0 + 3.0 + 1.0 + 2.0) \ hat {k} \ hfill \\ & = 2.{-1} (\ frac {9} {2}) = 77 \ text {°}, [/ latex] относительно оси x в плоскости xz.

Значение

Из рисунка видно, что величина полного смещения меньше суммы величин отдельных смещений.

Вектор скорости

В предыдущей главе мы нашли мгновенную скорость, вычислив производную функции положения по времени. Мы можем проделать ту же операцию в двух и трех измерениях, но мы используем векторы.Мгновенный вектор скорости теперь равен

[латекс] \ overset {\ to} {v} (t) = \ underset {\ text {Δ} t \ to 0} {\ text {lim}} \ frac {\ overset {\ to} {r} ( t + \ text {Δ} t) — \ overset {\ to} {r} (t)} {\ text {Δ} t} = \ frac {d \ overset {\ to} {r}} {dt}. [/ латекс]

Давайте посмотрим на взаимную ориентацию вектора положения и вектора скорости графически. На (Рис.) Мы показываем векторы [латекс] \ overset {\ to} {r} (t) [/ latex] и [latex] \ overset {\ to} {r} (t + \ text {Δ} t), [/ latex], которые определяют положение частицы, движущейся по траектории, представленной серой линией.Когда [latex] \ text {Δ} t [/ latex] стремится к нулю, вектор скорости, заданный (Рисунок), становится касательным к траектории частицы в момент времени t .

Рисунок 4.7 Частица движется по траектории, обозначенной серой линией. В пределе, когда [latex] \ text {Δ} t [/ latex] приближается к нулю, вектор скорости становится касательным к траектории частицы.

(Уравнение) также можно записать в терминах компонентов [латекс] \ overset {\ to} {v} (t). [/ latex] С

[латекс] \ overset {\ to} {r} (t) = x (t) \ hat {i} + y (t) \ hat {j} + z (t) \ hat {k}, [/ латекс ]

мы можем написать

где

[латекс] {v} _ {x} (t) = \ frac {dx (t)} {dt}, \ quad {v} _ {y} (t) = \ frac {dy (t)} {dt }, \ quad {v} _ {z} (t) = \ frac {dz (t)} {dt}.{2} \ hat {i} + (2.0 + 3.0t) \ hat {j} + 5.0t \ hat {k} \ text {m}. [/ latex] (a) Каковы мгновенные скорость и скорость при t = 2,0 с? (б) Какая средняя скорость составляет от 1,0 до 3,0 с?

Решение

Используя (рисунок) и (рисунок) и взяв производную функции положения по времени, находим

(a) [латекс] v (t) = \ frac {d \ mathbf {\ text {r}} (t)} {dt} = 4.0t \ hat {i} +3.0 \ hat {j} +5.0 \ шляпа {k} \ text {m / s} [/ latex] [latex] \ overset {\ to} {v} (2.{2}} = 9,9 \, \ text {м / с}. [/ латекс]

(b) Из (Рисунок),

[латекс] \ begin {array} {cc} \ hfill {\ overset {\ to} {v}} _ {\ text {avg}} & = \ frac {\ overset {\ to} {r} ({t } _ {2}) — \ overset {\ to} {r} ({t} _ {1})} {{t} _ {2} — {t} _ {1}} = \ frac {\ overset { \ to} {r} (3.0 \, \ text {s}) — \ overset {\ to} {r} (1.0 \, \ text {s})} {3.0 \, \ text {s} -1.0 \, \ text {s}} = \ frac {(18 \ hat {i} +11 \ hat {j} +15 \ hat {k}) \, \ text {m} — (2 \ hat {i} +5 \ hat {j} +5 \ hat {k}) \, \ text {m}} {2.0 \, \ text {s}} \ hfill \\ & = \ frac {(16 \ hat {i} +6 \ hat {j} +10 \ hat {k}) \, \ text {m}} {2.0 \, \ text {s}} = 8.0 \ hat {i} +3.0 \ hat {j} +5.0 \ hat {k} \ text {m / s}. \ Hfill \ end {array} [/ latex]

Значение

Мы видим, что средняя скорость совпадает с мгновенной скоростью при t = 2,0 с, в результате линейной функции скорости. В общем случае этого не должно быть. Фактически, в большинстве случаев мгновенная и средняя скорости не совпадают.

Проверьте свое понимание

Функция положения частицы [latex] \ overset {\ to} {r} (t) = 3.{2} \ hat {i} \ text {and} \ overset {\ to} {v} \ text {(3.0s)} = 81.0 \ hat {i} \ text {m / s}. [/ latex] (b) Поскольку функция скорости нелинейна, мы подозреваем, что средняя скорость не равна мгновенной скорости. Проверяем это и находим

[латекс] {\ overset {\ to} {v}} _ {\ text {avg}} = \ frac {\ overset {\ to} {r} ({t} _ {2}) — \ overset {\ to} {r} ({t} _ {1})} {{t} _ {2} — {t} _ {1}} = \ frac {\ overset {\ to} {r} (4.0 \, \ text {s}) — \ overset {\ to} {r} (2.0 \, \ text {s})} {4.0 \, \ text {s} -2.0 \, \ text {s}} = \ frac {( 144,0 \ hat {i} -36,0 \ hat {i}) \, \ text {m}} {2.0 \, \ text {s}} = 54.0 \ hat {i} \ text {m / s}, [/ latex]

, который отличается от [latex] \ overset {\ to} {v} \ text {(3.0s)} = 81.0 \ hat {i} \ text {m / s}. [/ латекс]

Независимость перпендикулярных движений

Когда мы смотрим на трехмерные уравнения для положения и скорости, записанные в обозначении единичного вектора (Рисунок) и (Рисунок), мы видим, что компоненты этих уравнений являются отдельными и уникальными функциями времени, которые не зависят друг от друга. Движение в направлении x не имеет части своего движения в направлениях y и z , и аналогично для двух других координатных осей.Таким образом, движение объекта в двух или трех измерениях можно разделить на отдельные независимые движения по перпендикулярным осям системы координат, в которой происходит движение.

Чтобы проиллюстрировать эту концепцию относительно перемещения, рассмотрим женщину, идущую от точки A до точки B в городе с квадратными кварталами. Женщина, идущая по пути от A до B , может пройти на восток столько кварталов, а затем на север (два перпендикулярных направления) для другого набора кварталов, чтобы добраться до B .Насколько далеко она идет на восток, зависит только от ее движения на восток. Точно так же, как далеко она идет на север, зависит только от ее движения на север.

Независимость движения

В кинематическом описании движения мы можем рассматривать горизонтальные и вертикальные компоненты движения отдельно. Во многих случаях движение в горизонтальном направлении не влияет на движение в вертикальном направлении, и наоборот.

Пример, иллюстрирующий независимость вертикальных и горизонтальных движений, дают два бейсбольных мяча.Один бейсбольный мяч выпадает из отдыха. В тот же момент другой бросается горизонтально с той же высоты, и он следует по кривой. Стробоскоп фиксирует положение шаров через фиксированные промежутки времени при их падении ((Рисунок)).

Рисунок 4.8 Схема движения двух одинаковых шаров: один падает из состояния покоя, а другой имеет начальную горизонтальную скорость. Каждая последующая позиция представляет собой равный временной интервал. Стрелки обозначают горизонтальную и вертикальную скорости в каждой позиции.Мяч справа имеет начальную горизонтальную скорость, тогда как шар слева не имеет горизонтальной скорости. Несмотря на разницу в горизонтальных скоростях, вертикальные скорости и положения идентичны для обоих мячей, что показывает, что вертикальное и горизонтальное движения независимы.

Примечательно, что для каждой вспышки строба вертикальное положение двух шариков одинаково. Это сходство подразумевает, что вертикальное движение не зависит от того, движется ли мяч горизонтально.(Предполагая, что сопротивление воздуха отсутствует, на вертикальное движение падающего объекта влияет только сила тяжести, а не какие-либо горизонтальные силы.) Тщательный осмотр мяча, брошенного в горизонтальном направлении, показывает, что он проходит одинаковое расстояние по горизонтали между вспышками. Это связано с тем, что после броска на мяч в горизонтальном направлении не действуют дополнительные силы. Этот результат означает, что горизонтальная скорость постоянна и на нее не влияют ни вертикальное движение, ни сила тяжести (которая является вертикальной). Обратите внимание, что этот случай верен только для идеальных условий.В реальном мире сопротивление воздуха влияет на скорость мячей в обоих направлениях.

Двумерная кривая траектория горизонтально брошенного мяча состоит из двух независимых одномерных движений (горизонтального и вертикального). Ключ к анализу такого движения, называемого движением снаряда , состоит в том, чтобы разделить его на движения в перпендикулярных направлениях. Разложение двумерного движения на перпендикулярные компоненты возможно, потому что компоненты независимы.

Сводка

• Функция положения [latex] \ overset {\ to} {r} (t) [/ latex] дает положение как функцию времени частицы, движущейся в двух или трех измерениях.Графически это вектор от начала выбранной системы координат до точки, в которой частица находится в определенное время.
• Вектор смещения [latex] \ text {Δ} \ overset {\ to} {r} [/ latex] дает кратчайшее расстояние между любыми двумя точками на траектории частицы в двух или трех измерениях.
• Мгновенная скорость определяет скорость и направление частицы в определенный момент времени на ее траектории в двух или трех измерениях и является вектором в двух и трех измерениях.
• Вектор скорости касается траектории частицы.
• Смещение [латекс] \ overset {\ to} {r} (t) [/ latex] может быть записано как векторная сумма одномерных смещений [латекс] \ overset {\ to} {x} (t), \ overset {\ to} {y} (t), \ overset {\ to} {z} (t) [/ latex] по направлениям x , y и z .
• Скорость [латекс] \ overset {\ to} {v} (t) [/ latex] может быть записана как векторная сумма одномерных скоростей [латекс] {v} _ {x} (t), {v } _ {y} (t), {v} _ {z} (t) [/ latex] по направлениям x , y и z .
• Движение в любом заданном направлении не зависит от движения в перпендикулярном направлении.

Концептуальные вопросы

Какую форму имеет траектория частицы, если расстояние от любой точки A до точки B равно величине смещения от A к B ?

Приведите пример траектории в двух или трех измерениях, вызванной независимыми перпендикулярными движениями.

Если мгновенная скорость равна нулю, что можно сказать о наклоне функции положения?

Наклон должен быть нулевым, потому что вектор скорости касается графика функции положения.

Проблемы

Координаты частицы в прямоугольной системе координат: (1.0, –4.0, 6.0). Каков вектор положения частицы?

[латекс] \ overset {\ to} {r} = 1.0 \ hat {i} -4.0 \ hat {j} +6.0 \ hat {k} [/ latex]

Положение частицы изменяется с [latex] {\ overset {\ to} {r}} _ {1} = (2.0 \ text {} \ hat {i} +3.0 \ hat {j}) \ text { cm} [/ latex] в [latex] {\ overset {\ to} {r}} _ {2} = (- 4.0 \ hat {i} +3.0 \ hat {j}) \, \ text {cm}. [/ latex] Какое смещение частицы?

18-я лунка на поле для гольфа Pebble Beach находится на изгибе слева на длине 496.0 мес. Фервей от ти принимается в направлении х . Гольфист наносит удар с мишени с расстояния 300,0 м, что соответствует смещению [латекс] \ text {Δ} {\ overset {\ to} {r}} _ {1} = 300,0 \, \ text {m} \ hat {i}, [/ latex] и попадает во второй выстрел 189,0 м со смещением [латекс] \ text {Δ} {\ overset {\ to} {r}} _ {2} = 172.0 \, \ text {m} \ hat {i} +80,3 \, \ text {m} \ hat {j}. [/ latex] Каким будет окончательное смещение мяча для гольфа от тройника?

[латекс] \ text {Δ} {\ overset {\ to} {r}} _ {\ text {Total}} = 472.0 \, \ text {m} \ hat {i} +80.3 \, \ text {m} \ hat {j} [/ latex]

Птица летит прямо на северо-восток на расстояние 95,0 км за 3,0 ч. Если ось x направлена ​​на восток, а ось y направлена ​​на север, каково смещение в обозначении единичного вектора для птицы? Какая средняя скорость поездки?

Велосипедист едет на 5,0 км на восток, затем на 10,0 км [латекс] 20 \ text {°} [/ latex] к западу от севера. С этого момента она едет на 8,0 км на запад. Каково окончательное смещение, с которого велосипедист стартовал?

[латекс] \ text {Сумма перемещений} = — 6.4 \, \ text {km} \ hat {i} +9.4 \, \ text {km} \ hat {j} [/ latex]

Защитник «Нью-Йорк Рейнджерс» Даниэль Жирарди стоит у ворот и передает хоккейную шайбу на 20 м и [латекс] 45 \ text {°} [/ latex] прямо по льду на левый фланг Криса Крайдера, ожидающего у синей линии. Крайдер ждет, пока Жирарди дойдет до синей линии, и передает шайбу прямо по льду ему в 10 метрах от него. Какое окончательное перемещение шайбы? См. Следующий рисунок.

Положение частицы [латекс] \ overset {\ to} {r} (t) = 4.{2} \ hat {k}, \ enspace \ overset {\ to} {v} (0) = 0, \ enspace \ overset {\ to} {v} (1.0) = 8.0 \ hat {i} +6.0 \ шляпа {k} \ text {m / s} [/ latex],

г. [латекс] {\ overset {\ to} {v}} _ {\ text {avg}} = 4.0 \ text {} \ hat {i} +2.0 \ hat {k} \, \ text {m / s} [/ латекс]

Клэй Мэтьюз, полузащитник «Грин Бэй Пакерс», может развивать скорость до 10,0 м / с. В начале игры Мэтьюз бежит вниз по полю на [latex] 45 \ text {°} [/ latex] по отношению к 50-ярдовой линии и преодолевает 8,0 м за 1 секунду. Затем он бежит прямо по полю на [latex] 90 \ text {°} [/ latex] по отношению к 50-ярдовой линии на протяжении 12 м, с прошедшим временем 1.2 с. (а) Каково окончательное смещение Мэтьюза с начала пьесы? б) Какова его средняя скорость?

F-35B Lighting II — истребитель с коротким взлетом и вертикальной посадкой. Если он выполняет вертикальный взлет на высоту 20,00 м над землей, а затем следует по траектории полета под углом [latex] 30 \ text {°} [/ latex] по отношению к земле в течение 20,00 км, каково окончательное смещение?

[латекс] \ text {Δ} {\ overset {\ to} {r}} _ {1} = 20,00 \, \ text {m} \ hat {j}, \ text {Δ} {\ overset {\ to } {r}} _ {2} = (2.{4} \ text {m} \ hat {j} [/ latex]

Глоссарий

вектор смещения

вектор из начального положения в конечное положение на траектории частицы

вектор положения

вектор от начала выбранной системы координат до положения частицы в двух- или трехмерном пространстве

Вектор скорости

вектор, задающий мгновенную скорость и направление частицы; касательная к траектории

Численность, математика и статистика — Набор академических навыков

Обозначения i, j (Механика)

Векторное обозначение

Индексная нотация для векторного исчисления включает базисные векторы $ \ underline {e} _x $ и $ \ underline {e} _y $ для двух измерений.

Однако в примерах, которые следуют в разделе «Механика», мы будем использовать обозначения $ i, j $.

Обозначение $ i, j $

Вектор можно описать с помощью нотации $ \ mathbf {i, j} $.

Единичный вектор — это вектор длины 1, в декартовых координатах единичные векторы вдоль оси обозначаются $ \ mathbf {i} $ и $ \ mathbf {j} $ соответственно.

Любой двумерный вектор можно записать в виде $ a \ mathbf {i} + b \ mathbf {j} $.

Рабочий пример: представление векторов

Нарисуйте схему

Нарисуйте диаграмму, представляющую вектор $ 5 \ mathbf {i} — 2 \ mathbf {j} $.

Решение

Возьмем 5 единиц в направлении единичного вектора $ \ mathbf {i} $ и 2 единицы в направлении единичного вектора $ — \ mathbf {j} $.

Рабочий пример: проблемы с векторами

Проблемы

Учитывая, что $ \ mathbf {x} = 8 \ mathbf {i} + 4 \ mathbf {j} $ и $ \ mathbf {y} = 12 \ mathbf {i} — 3 \ mathbf {j} $, найдите $ \ mathbf {x} + \ mathbf {y} $, $ \ mathbf {y} — \ mathbf {x} $, $ 3 \ mathbf {x} + \ frac {1} {2} \ mathbf {y} $, величина $ \ mathbf {x} $ и угол между $ \ mathbf {y} $ и положительной осью $ x $.

Решение

Мы можем складывать векторы, рассматривая термины $ \ mathbf {i} $ и $ \ mathbf {j} $ по отдельности. \ begin {align} \ mathbf {x} + \ mathbf {y} & = \ left (8 \ mathbf {i} + 4 \ mathbf {j} \ right) + \ left (12 \ mathbf {i} — 3 \ mathbf {j} \ right), \\ & = \ left (8 \ mathbf {i} + 12 \ mathbf {i} \ right) + \ left (4 \ mathbf {j} — 3 \ mathbf {j} \ right ), \\ & = 20 \ mathbf {i} + \ mathbf {j}. \ end {align} Мы можем сделать то же самое, вычитая векторы. \ begin {align} \ mathbf {y} — \ mathbf {x} & = \ left (12 \ mathbf {i} — 3 \ mathbf {j} \ right) — \ left (8 \ mathbf {i} + 4 \ mathbf {j} \ right), \\ & = \ left (12 \ mathbf {i} — 8 \ mathbf {i} \ right) + \ left (- 3 \ mathbf {j} — 4 \ mathbf {j} \ справа), \\ & = 4 \ mathbf {i} — 7 \ mathbf {j}.\ end {align} У нас также есть \ begin {align} 3 \ mathbf {x} + \ frac {1} {2} \ mathbf {y} & = 3 \ left (8 \ mathbf {i} + 4 \ mathbf {j} \ right) + \ frac {1} {2} \ left (12 \ mathbf {i} — 3 \ mathbf {j} \ right), \\ & = \ left (24 \ mathbf {i} + 12 \ mathbf {j} \ right) + \ left (6 \ mathbf {i} — \ frac {3} {2} \ mathbf {j} \ right), \\ & = \ left (24 \ mathbf {i} + 6 \ mathbf {i} \ right) + \ left (12 \ mathbf {j} — \ frac {3} {2} \ mathbf {j} \ right), \\ & = 30 \ mathbf {i} + \ frac {21} {2} \ mathbf {j}.