Вектор. Сложение векторов
Изучение математики приводит к постоянному обогащению и увеличению многообразия средств моделирования объектов и явлений окружающей среды. Так, расширение понятия числа позволяет представить количественную характеристику объектов окружающей среды, с помощью новых классов геометрических фигур получается описывать разнообразие их форм. Но развитие естественных наук и запросы самой математики требуют введения и изучения новых и новых средств моделирования. В частности, большое количество физических величин невозможно охарактеризовать только числами, потому что важно и направление их действия. А благодаря тому, что направленные отрезки характеризуют и направления, числовые значения, то на этой основе и получилось новое понятие математики – понятие вектора.
Выполнение основных математических действий над ними тоже определилось по физическим соображениям, и это в конце концов привело к основанию векторной алгебры, которая сейчас выполняет огромную роль при формировании физических теорий. Одновременно с этим, в математике, такой вид алгебры и ее обобщения стали очень удобным языком, а также средством получения и определения новых результатов.
Что же такое вектор?
Вектором называют совокупность всех направленных отрезков, имеющих одинаковую длину и заданное направление. Каждый из отрезков этой совокупности называют изображением вектора.
Понятно, что вектор обозначается своим изображением. Все направленные отрезки, которые изображают вектор а, имеют одинаковую длину и направление, которые называются, соответственно, длиной (модулем, абсолютным значением) и направлением вектора. Его длина обозначается IaI. Два вектора называют равными, если у них одинаковое направление и одинаковая длина.
Направленный отрезок, началом которого является точка А, а концом – точка В, однозначно характеризуется упорядоченной парой точек (А; В). Рассмотрим также множество пар (А; А), (В; В)… . Это множество обозначает вектор, который называется нулевым и обозначается 0. Изображением нулевого вектора является любая точка. Модуль нулевого вектора считается равным нулю. Понятие направления нулевого вектора не определено.
Для любого ненулевого вектора определяют вектор, противоположный заданному, то есть такой, который имеет такую же длину, но противоположное направление. Векторы, имеющие одинаковое либо противоположные направления, называются коллинеарными.
Возможности применения векторов связаны с введением действий над векторами и созданием векторной алгебры, которая имеет много общих свойств с обычной «числовой» алгеброй (хотя, конечно, есть и существенные отличия).
Сложение двух векторов (неколлинеарных) выполняется по правилу треугольника (поместим начало вектора b в конец вектора a, тогда вектор a +b соединяет начало вектора a с концом вектора b) или параллелограмма (поместим начала векторов a и b в одну точку, тогда вектор a + b, имея начало в той же точке, является диагональю параллелограмма, который построен на векторах a и b). Сложение векторов (нескольких) можно выполнить, воспользовавшись правилом многоугольника. Если слагаемые коллинеарны, то соответствующие геометрические конструкции сокращаются.
Операции с векторами, которые заданы координатами, сводятся к операциям с числами: сложение векторов – сложение соответствующих координат, например, если а = (х1; у1), а b = (х2; у2), то a + b = ( x1 + x2; y1 + y2).
Правило сложения векторов обладает всеми алгебраическими свойствами, которые присущи сложению чисел:
- От перестановки слагаемых сумма не меняется:
a +b = b + a
Сложение векторов с помощью этого свойства следует из правила параллелограмма. Действительно, какая разница, в каком порядке суммировать векторы a и b, если диагональ параллелограмма всё равно одна и та же? - Свойство ассоциативности:
(a +b) + c = a + (b + c). - Прибавление к вектору нулевого вектора ничего не меняет:
a +0 = a
Это совершенно очевидно, если представить себе такое сложение с точки зрения правила треугольника. - У каждого вектора a есть противоположный вектор, обозначаемый — a; сложение векторов, положительных и отрицательных, будет равняться нулю: a + (- a) = 0.
5.6.4 Коллинеарные векторы. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
Видеоурок: Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
Лекция: Коллинеарные векторы. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
Если некоторые вектора размещены на одной прямой или параллельны друг другу, то такие векторы можно назвать коллинеарными.
Условия коллинеарности
- Если некоторый вектор умножить на число, то получившийся вектор будет коллинеарным первоначальному. Или же наоборот, если существует некоторое число, при умножении на которое вектора уравняются, то данные векторы коллинеарны:
- Если найти отношение соответствующих координат двух векторов, и получить их пропорциональность, то данные векторы коллиниарны. Данное условие можно использовать только в том случае, если не происходит сравнение некоторого вектора с нулевым.
- Если произведение двух векторов привело к тому, что получился нулевой вектор, это значит, что первоначальные вектора коллинеарны. Условие справедливо векторов, заданных в пространстве.
Разложение вектора на два неколлинеарных вектора
Если на плоскости существует некоторый вектор, то его можно разложить на некоторые два неколлинеарные вектора.
Давайте введем два единичных вектора, один из которых выходит из нуля и идет вдоль оси ОХ – вектор i, а другой вдоль оси ОУ — j.
Так как любой вектор имеет координаты вдоль х и вдоль у, то любой вектор можно разложить на два неколлинеарные – один будет идти параллельно оси ОХ, а второй – оси ОУ.
Это значит, что на рисунке изображен вектор р, который является суммой двух векторов с соответствующими координатами.
30. Операция сложения векторов и ее свойства
Определение 11. Суммой двух векторов
Теорема 5. Сумма A + B любых двух векторов A и B определяется однозначно.
Доказательство. В силу теоремы 4 достаточно доказать, что сумма векторов не зависит от выбора начальной точки
Теорема 6. Для любых векторов A, B, C Справедливы свойства:
1) A + B = B + A — Коммутативный закон сложения;
2) A
3) A + 0 = A — Свойство нулевого вектора;
4) A + (-A) = 0 — Свойство противоположно
Доказательство. Справедливость свойств 1 и 2 вытекает из определения 11 (см. рис. 10 и 11), а свойств 3 и 4 из определений нулевого и противоположного векторов.
Сумму двух неколлинеарных векторов A и B можно найти по Правилу параллелограмма . Для этого необходимо из одной точки O отложить оба вектора A = И
Сумму любого конечного числа векторов можно найти по правилу многоугольника (см. рис. 12).
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Коллинеарность векторов, условия коллинеарности векторов.
Условия коллинеарности векторов
Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:
Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, чтоa = n · b
Условия коллинеарности векторов 2. Два
N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.
N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.
Примеры задач на коллинеарность векторов
Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости
Пример 1. Какие из векторов a = {1; 2}, b = {4; 8}, c = {5; 9} коллинеарны?Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае плоской задачи для векторов a и b примет вид:
Значит:
| Вектора a и b коллинеарны т.к. | 1 | = | . | |
| 4 | 8 |
| Вектора a и с не коллинеарны т.к. | 1 | ≠ | 2 | . |
| 5 | 9 |
| Вектора с и b не коллинеарны т.к. | 5 | ≠ | 9 | . |
| 4 | 8 |
Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:
b = na.
Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay. Если вектора колинеарны то
| n = | by | = | 6 | = 2 |
| ay | 3 |
Найдем значение na:
na = {2 · 0; 2 · 3} = {0; 6}Так как b = na, то вектора a и b коллинеарны.
Пример 3. найти значение параметра n при котором вектора a = {3; 2} и b = {9; n} коллинеарны.Значит:
Решим это уравнение:
Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6.
Примеры задач на коллинеарность векторов в пространстве
Пример 4. Какие из векторов a = {1; 2; 3}, b = {4; 8; 12}, c = {5; 10; 12} коллинеарны?Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае пространственной задачи для векторов a и b примет вид:
| ax | = | ay | = | az | . |
| b |
by | bz |
Значит:
Вектора a и b коллинеарны т.к. 14 = 28 = 312
Вектора a и с не коллинеарны т.к. 15 = 210 ≠ 312
Вектора с и b не коллинеарны т.к. 54 = 108 ≠ 1212
Пример 5. Доказать что вектора a = {0; 3; 1} и b = {0; 6; 2} коллинеарны.Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:
b = na.
Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay. Если вектора колинеарны то
| n = | by | = | 6 | = 2 |
| ay | 3 |
Найдем значение na:
na = {2 · 0; 2 · 3; 2 · 1} = {0; 6; 2}Так как b = na, то вектора a и b коллинеарны.
Пример 6. найти значение параметров n и m при которых вектора a = {3; 2; m} и b = {9; n; 12} коллинеарны.Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности
| ax | = | ay | = | az | . |
| bx | by | bz |
Значит:
Из этого соотношения получим два уравнения:
Решим эти уравнения:
Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6 и m = 4.
