Как называется правило сложения двух неколлинеарных векторов?
А) Правило Пифагора Б) Правило равенства треугольников
В) Правило треугольника Г) Правило параллелограмма
Как называются векторы, если они сонаправлены и их длины равны?
А) Сонаправленными Б) Коллинеарными
В) Противоположнонаправленными Г) Равными
Какие вектора называются коллинеарными?
А) Ненулевые векторы, которые лежат на перпендикулярных прямых.
Б) Ненулевые векторы, которые лежат на одной прямой.
В) Ненулевые векторы, которые лежат либо на одной прямой, либо на параллельных
прямых.
Г) Ненулевые векторы, которые пересекаются.
Как называются граничные точки вектора?
А) Границами В) Начало и конец
Б) Первая точка и последняя точка Г) Концы отрезка
Как называется длина отрезка АB?
А) Расстояние В) Нулевой вектор
Б) Отрезок ненулевого вектора Г) Модуль
Какие из следующих величин называются векторными: скорость, масса, сила,
Время, температура, длина, площадь, работа?
А) Скорость, время В) Сила, температура
Б) Скорость, сила Г) Длина, площадь, работа
Сколько векторов можно отложить от любой точки, равных данному вектору?
А) Бесконечное множество В) Три
В) Ни одного Г) Только один
Какой вектор является нулевым?
А) вектор, у которого начало совпадает с его концом
Б) вектор, длина которого равна 0
В) все ответы верны.
10. Векторы сонаправлены, если…
А) они коллинеарны и одинаково направлены
Б) лежат на одной прямой
В) лежат на параллельных прямых.
11. Чтобы найти координаты вектора надо…
А) координаты конца вектора сложить с соответствующими координатами начала вектора.
Б) из координат начала вектора вычесть соответствующие координаты конца вектора.
В) из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты начала вектора.
12. По правилу треугольника вектор суммы выходит из _________________ первого вектора
и заканчивается в _________________ второго.
13. Два вектора называются противоположными, если их сумма равна ______вектору.
14. Каковы координаты вектора
А) Б. В. Г.
15. Найдите расстояние между точками M (0; -8) и N (-1; 0).
А) -3. Б) 3. В). Г).
16. Найдите скалярное произведение векторов и, если A (0, -5), B (3, 6),
С (-8, 10).
А) -180. Б) -59. В) 29. Г) 11.
17. Найдите координаты вектора, если P (1, -3) и Q (3, -1).
А) (2, 0). Б) (2, 2). В) (2, -2). Г) (1, 2).
18. Найдите координаты вектора , если , и .
Какое утверждение верное?
А) Любые два сонаправленных вектора коллинеарны;
Б) Любые два коллинеарных вектора противоположно направлены;
В) Любые два коллинеарных вектора равны;
Г) Любые два коллинеарных вектора и сонаправленные равны.
Какое утверждение неверное?
А) Длины противоположных векторов не могут быть неравны;
Б) Если длины векторов неравны, то и векторы неравны;
В) Если длины векторов равны, то и векторы равны.
Тест по теме «Векторы и координаты»
Вариант 2
8 класс. Геометрия. Векторы. Применение векторов к решению задач. — Векторы. Повторение теории. Решение задач с применением векторов.
Комментарии преподавателя
Повторение теории. Задачи
Напомним, что существуют такие физические величины, для которых важна не только величина, но и направление. Такие величины называются векторными, или векторами, и обозначаются они направленным отрезком, то есть таким отрезком, у которого отмечены начало и конец. Введено было понятие коллинеарных векторов, то есть таких, которые лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.
Мы рассматриваем вектор, который можно отложить от любой точки, заданный вектор от произвольно выбранной точки можно отложить единственным образом.
Было введено понятие равных векторов – это такие сонаправленные векторы, длины которых равны. Сонаправленными называются коллинеарные векторы, направленные в одну сторону.
Были введены правила треугольника и параллелограмма – правила сложения векторов.
Заданы два вектора – векторы и . Найдем сумму этих двух векторов . Для этого отложим из некоторой точки А вектор . – направленный отрезок, точка А – его начало, а точка В – конец. Из точки В отложим вектор . Тогда вектор называют суммой заданных векторов: – правило треугольника (см. Рис. 1).
Рис. 1
Задано два вектора – векторы и . Найдем сумму этих двух векторов по правилу параллелограмма.
Откладываем из точки А вектор и вектор (см. Рис. 2). На отложенных векторах можно построить параллелограмм. Из точки В откладываем вектор , векторы и равны, стороны ВС и
Рис. 2
АВ1 параллельны. Аналогично параллельны и стороны АВ и В1С, таким образом, мы получили параллелограмм. АС – диагональ параллелограмма.
Для сложения нескольких векторов применяют правило многоугольника (см. Рис. 3). Нужно из произвольной точки отложить первый вектор, из его конца отложить второй вектор, из конца второго вектора отложить третий и так далее, когда все векторы отложены – соединить начальную точку с концом последнего вектора, в итоге получится сумма нескольких векторов.
Рис. 3
Кроме того, мы рассмотрели понятие обратного вектора – вектора, имеющего такую же длину, как заданный, но ему противонаправленного.
Задан параллелограмм MNPQ (см. Рис. 4). Выпишем пары коллинеарных векторов. В первую очередь это векторы и . Они не только коллинеарные, но и равные, т.к. они сонаправлены, и длины их равны по свойству параллелограмма (в параллелограмме противоположные стороны равны). Следующая пара . Аналогично
Рис. 4
выпишем коллинеарные векторы второй пары сторон: ; .
Для выполнения данного задания можем пользоваться правилом треугольника или параллелограмма.
Способ 1 – с помощью правила треугольника (см. Рис. 5):
Рис. 5
Способ 2 – с помощью правила параллелограмма (см. Рис. 6):
Рис. 6
Комментарий: мы применяли в первом способе правило треугольника – откладывали из произвольно выбранной точки А первый вектор, из его конца – вектор, противоположный второму, соединяли начало первого с концом второго, и таким образом получали результат вычитания векторов. Во втором способе мы применили правило параллелограмма – построили на нужных векторах параллелограмм и его диагональ – искомую разность, помня тот факт, что одна из диагоналей – это сумма векторов, а вторая – разность.
Пример 3 – задача 750: докажите, что если векторы и равны, то середины отрезков AD и BC совпадают. Докажите обратное утверждение: если середины отрезков AD и BC совпадают, то векторы и равны (см. Рис. 7).
Из равенства векторов и следует, что прямые АВ и CD параллельны, и что отрезки АВ и CD равны. Вспомним признак параллелограмма: если у четырехугольника пара противоположных сторон лежит на параллельных прямых, и их длины равны, то данный четырехугольник – параллелограмм.
Рис. 7
Таким образом, четырехугольник ABCD, построенный на заданных векторах, – параллелограмм. Отрезки AD и BC являются диагоналями параллелограмма, одно из свойств которого: диагонали параллелограмма пересекаются и в точке пересечения делятся пополам. Таким образом, доказано, что середины отрезков AD и BC совпадают.
Докажем обратное утверждение. Для этого воспользуемся другим признаком параллелограмма: если в некотором четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм. Отсюда четырехугольник ABCD – параллелограмм, и его противоположные стороны параллельны и равны, таким образом, векторы и коллинеарны, очевидно, что они сонаправлены, и модули их равны, отсюда векторы и равны, что и требовалось доказать.
Пример 4 – задача 760: докажите, что для любых неколлинеарных векторов и справедливо неравенство (см. Рис. 8)
Отложим из произвольной точки А вектор , получим точку В, из нее отложим неколлинеарный ему вектор . По правилу параллелограмма или треугольника получим сумму векторов – вектор . Имеем треугольник .
Длина суммы векторов соответствует длине стороны АС треугольника. По неравенству треугольника длина стороны АС меньше, чем сумма длин двух других сторон АВ и ВС, что и требовалось доказать.
Рис. 8
Применение векторов к решению задач
Напомним, что мы уже изучили некоторые факты о векторах, и теперь умеем определять равные векторы, коллинеарные векторы, сонаправленные и противоположно направленные. Также мы умеем складывать векторы по правилу треугольника и параллелограмма, складывать несколько векторов по правилу многоугольника, умеем умножать вектор на число. Решение задач с векторами использует все эти знания. Перейдем к решению некоторых примеров.
Пример 1 – задача 769: отрезок ВВ1 – медиана треугольника . Выразите через векторы и векторы , , и .
Отметим, что векторы и неколлинеарны, то есть прямые АВ и АС не параллельны.
В дальнейшем мы узнаем, что любой вектор может быть выражен через два неколлинеарных вектора.
Выразим первый вектор (см. Рис. 1): , т. к. по условию ВВ1 – медиана треугольника, значит, векторы и имеют равные модули, кроме того, очевидно, что они коллинеарны и при этом сонаправлены, значит, данные вектора равны.
Рис. 1
Для выражения следующего вектора воспользуемся правилом параллелограмма для вычитания. Мы помним, что одна из диагоналей параллелограмма, построенного на двух векторах, соответствует сумме этих векторов, а вторая – их разности. Диагональ, соответствующая разности векторов, следует от конца к началу, таким образом, если построить на заданных векторах и параллелограмм, то его диагональ будет соответствовать разности .
Вектор является противоположным к заданному вектору , отсюда .
Вектор аналогично вектору можно представить в виде разности векторов . При выражении следует учесть тот факт, что точка В1 является серединой отрезка АС, значит, векторы и равны, значит, вектор можно представить как удвоенное произведение вектора .
Перед решением задачи мы сказали, что через заданные два неколлинеарных вектора можно выразить любой вектор. Выразим, например, медиану АА1 (см. Рис. 2).
Получили систему уравнений, выполним их сложение:
Векторы в сумме составляют нулевой вектор, так как они коллинеарны и противонаправлены, а модули их равны, таким образом получаем:
Рис. 2
Поделим обе части уравнения на два, получим:
Из данной задачи можно сделать вывод, что если заданы два неколлинеарных вектора, то любой третий вектор на плоскости можно однозначно выразить через эти два вектора. Для этого необходимо применить правило сложения векторов, либо методом треугольника, либо параллелограмма, и правило умножения вектора на число.
Пример 2: доказать с помощью векторов свойство средней линии треугольника (см. Рис. 3).
Задан произвольный треугольник , точки M и N – середины сторон АВ и АС соответственно, MN – средняя линия треугольника. Свойство средней линии: средняя линия параллельна основанию треугольника и равна его половине.
Доказательство данного свойства аналогично для треугольника и трапеции.
Рис. 3
Выразим вектор двумя способами:
Получили систему уравнений:
Выполним сложение уравнений системы:
Сумма векторов – это нулевой вектор, длины этих векторов равны по условию, кроме того, они очевидно коллинеарны и противонаправлены. Аналогично суммой векторов будет нулевой вектор. Получаем:
Поделим обе части уравнения на два:
Таким образом, мы получили, что средняя линия треугольника равна половине его основания. Кроме того, из равенства вектора половине вектора следует, что эти векторы коллинеарны и сонаправлены, а значит, прямые MN и ВС параллельны.
Таким образом, мы доказали свойство средней линии трапеции при помощи векторов.
Пример 3: задан произвольный треугольник (см. Рис. 4). В нем проведены медианы АА1, ВВ1, СС1. Точка пересечения медиан – М. Вектор соответствует силе , – силе , – силе . Доказать, что .
Напомним, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
Выполним сложение векторов , воспользуемся для этого правилом параллелограмма (см. Рис. 5).
Рис. 4
Получаем:
С другой стороны, , так как BMCD – параллелограмм, диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, А1 – точка пересечения диагоналей параллелограмма, значит, отрезки МА1 и А1D равны, отсюда, по свойству точки пересечения медиан, длины векторов и равны, но данные векторы противонаправлены, а значит, их сумма
Рис. 5
равна нулевому вектору. Мы помним, что вектор , а вектор , таким образом, , что и требовалось доказать.
Пример 4 – задача 773: докажите, что для любых векторов и справедливо следующее неравенство:
Решение: представим разность векторов в виде суммы: . Также обратим внимание на тот факт, что длины противонаправленных векторов и равны: . Таким образом, можно переписать исходное выражение:
Для удобства введем новую переменную: и перепишем выражение:
. А данное неравенство – неравенство треугольника – было доказано в предыдущем уроке. Отметим, что равенство наблюдается в том случае, когда треугольник вырождается в отрезок.
Итак, мы вспомнили все основные определения и свойства векторов, вспомнили основные операции над векторами, рассмотрели применение векторов при решении различных задач, доказали некоторые свойства фигур и решили наиболее распространенные типы задач.
Первой операцией
над векторами является сложение векторов.
Если материальная
точка переместилась из точки А в точку В, а потом из точки В в точку С, то в результате она перейдёт из точки А в точку С.
Поэтому говорят, что
направленные отрезкихарактеризующие эти перемещения, складываясь,
дают направленный отрезокЭто записывают так:В этом случае видно,
что процесс сложения векторов происходит так:Если
векторы неколлинеарные, то их сумма представляется диагональю построенного на
них параллелограмма.
Чтобы
найти сумму двух неколлинеарных векторов
нужно:
–
отложить от произвольной точки О векторы – использовать
эти векторы как стороны параллелограмма;
–
построить вектор
Найти сумму векторов:РЕШЕНИЕ:Разложение
вектора на составляющие.
При
изучении и использовании векторов часто приходится говорить о так называемом
разложении вектора на составляющие.
Составляющими данного вектора называют такие векторы,
сумма которых равна этому вектору.
Данный
вектор <<составляется>> из составляющих как сумма слагаемых и
разлагается на них как на слагаемые, поэтому говорят о разложении на
составляющие.
Пусть
в плоскости α даны две прямые а и b,
пересекающиеся в точке О.
Возьмём какой-нибудь вектори отложим его от точки О.Если точка V не лежит
ни на прямой а, ни
на прямой b, то
проведём через точку V прямыеи построим параллелограмм OAVB. Его диагональю будет
отрезок OV, а
его стороны ОА и ОВ лежат
соответственно на прямых а и b. По
правилу параллелограмма для сложения векторов получимВекторыявляются составляющими векторапо прямым а и b,Если V ∈ a, тоа составляющая по b нулевая:Аналогично в случае, когдаМы
выполнили разложение вектора по двум пересекающимся прямым.
Можно
разложить вектор по двум неколлинеарным векторам.
Возьмём
два неколлинеарных вектораОтложим их от точки О.Пусть– вектор параллельный плоскости ОВС. Отложим его от точки О.Через точку А проведём
прямые, параллельные векторамТогдаВекторыколлинеарны. Значит,и поэтомуТакое представление векторачерез векторыназывают разложение вектора по неколлинеарным векторам.
Разность векторов.
Введём операцию разности двух векторов. Эта операция вводится так же как и
для чисел.
Разностью
векторовназывают такой векторкоторый в сумме с
вычитаемым векторомдаёт векторРазностью векторовбудет векторто есть вектор, который соединяет концы векторови направлен от вычитаемого к уменьшаемому.ПРИМЕР:
Определение разности векторов с помощью координат.
Координаты разности двух векторов равняются разности соответствующих
координат вектора – уменьшаемого и вектора – вычитаемого.Теорема о разности векторов.
Задания для самостоятельной работы
Начертите
коллинеарные, неколлинеарные векторы.
Какое из утверждений
верно:
а) если векторы
противоположно направлены, то они
коллинеарны;
б) если векторы
коллинеарны, то они сонаправлены;
в) противоположно
направленные и противоположные векторы
– это одно и то же?
3. Будут ли векторы
компланарными, если||?
А если||и||?
А если?
4. Будут ли равны
между собой все единичные векторы?
Почему?
5. Какой вектор
противоположен сам себе?
§2. Сложение и вычитание векторов
Линейными
операциями над векторами называется сложение,
вычитание векторов и умножение вектора
на число.
Результатом
сложения векторов является их сумма.
Сумма векторов
иобозначается.
Существует два
правила сложения двух векторов: правило
треугольника и правило параллелограмма.
Правило треугольника
Чтобы сложить
векторы
и,
надо взять произвольную точку и от нее
отложитьпоследовательно сначала вектор
,
затем вектор.
Вектор, начало которого совпадает с
началом вектора(т.е. первого вектора), а конец – с концом
вектора(т.е. второго вектора), есть искомая
сумма. На рис. 4.
По правилу
треугольника можно складывать любые векторы.
Коротко правило
треугольника можно записать так:
для
любых трех точек А,В и С .
Правило параллелограмма
Чтобы сложить
векторы
и,
надо привести их к общему началу, т.е.
взять произвольную точкуА,
построить такие точки В и С,
что
и,
и достроить полученную фигуру до
параллелограмма.
Вектор- искомая сумма (рис. 5).
По правилу
параллелограмма можно складывать тольконеколлинеарные векторы.
Свойства сложения
векторов:
10.
.
20.
.
30.
.
40.
.
Суммой трех
векторов
и называется вектор
.
Учитывая свойство 40,
скобки можно опустить и обозначать
сумму в виде
.
Суммой n векторов называется вектор и обозначается
так: .
При построении
суммы n векторов пользуются правилом
многоугольника.
Правило многоугольника
Чтобы найти сумму nвекторов,
надо взять произвольную точку и отложить
от нее последовательно эти векторы.
Вектор, начало которого совпадает с
началом первого вектора, а конец – с
концом последнего (n-го
вектора), есть искомая сумма.
Разностью векторов
и называется такой вектор
,
что.
Разность – это результат вычитания
векторов. Разность векторовиобозначается так:.
Правило построения разности двух векторов
Чтобы построить
разность векторов
и,
надо привести их к общему началу. Тогда
вектор, начало которого совпадает с
концом второго вектора (т.е. вектора),
а конец – с концом первого (т.е.),
есть искомая разность.
На
рис. 6.
По правилу
треугольника
,
откуда получаем
краткую запись правила нахождения
разности векторов:
.
Задания для самостоятельной работы
1. Начертите два
не исходящих из одной точки неколлинеарных
вектора. Постройте их сумму сначала по
правилу треугольника, затем по правилу
параллелограмма. Постройте их разность.
2. Начертите два
коллинеарных вектора. Постройте их
сумму и разность.
3. Запишите правило
треугольника для точек
.
Сколькими способами можно это сделать?
4. Даны три точки
.
Представьте векторв виде разности двух векторов.
5. Начертите 5
векторов и постройте их сумму, пользуясь
правилом многоугольника.
Коспект интегрированного урока (геометрия + физика) в 8-м классе по теме «Сложение векторов. Законы сложения векторов. Правило параллелограмма»
Тема урока: “Сложение векторов. Законы
сложения векторов. Правило параллелограмма”.
Тип урока: изучение нового материала.
Цели:
объяснить учащимся правила сложения векторов;
научить применять полученные знания при
решении геометрических и физических задач;
установление межпредметных связей;
воспитание у учащихся культуры мышления;
воспитание критического отношения к знаниям,
умения делать выводы, применять полученные
знания.
ХОД УРОКА
I. Организационный момент.
II. Актуализация знаний.
Дайте определение вектора.
Как изображают и обозначают векторы?
Какие векторы называются коллинеарными,
сонаправленными, противоположно направленными,
равными?
Повторить откладывание вектора от заданной
точки.
Какие физические величины являются векторными
величинами.
III. Сообщение темы и цели урока.
IV. Теоретическое сообщение учителя (беседа с
учащимися).
Понятие вектора появилось в работах
немецкого математика XIX в. Г. Грассмана и
ирландского математика У. Гамильтона; затем оно
было охотно воспринято многими математиками и
физиками. В современной математике и её
приложениях это понятие играет важнейшую роль.
Векторы применяются в классической механике
Галилея-Ньютона (в ее современном изложении), в
теории относительности, квантовой физике, в
математической экономике и многих других
разделах естествознания, не говоря уже о
применении векторов в различных областях
математики.
В механике, в том числе и в кинематике,
при описании движения тел широко используются
векторные величины, поэтому необходимо уметь
выполнять действия с ними. Рассмотрим первое
действие с векторами – сложение.
V. Объяснение новой темы.
Задача. Автомобиль переместился из
города А в город В, а затем из города В в город С. В
результате этих двух перемещений автомобиль
переместился из пункта А в пункт С.
Эти перемещения можно представить
векторами , и (Рисунок 1).
Рисунок 1
Поскольку перемещение из т. А в т. С
складывается из перемещений из т. А в т. В и из т.В
в т. С, то вектор
естественно назвать суммой векторов и : = + .
Как найти сумму векторов и ?
Отметим произвольную точку А и отложим
от этой точки вектор ,
равный вектору . Затем
от точки В отложим вектор , равный вектору .
Вектор называется
суммой векторов и .
Это правило сложения векторов
называется правилом треугольника. Рисунок 1
поясняет это название.
Сумма векторов и обозначается
так: + .
Складывая по правилу треугольника
произвольный вектор с
нулевым вектором, приходим к выводу, что для
любого вектора
справедливо равенство
+ = .
Правило треугольника можно
сформулировать также следующим образом: если А, В
и С – произвольные точки, то + = . Это равенство справедливо для
произвольных точек А, В и С, в частности, в том
случае, когда две из них или даже три из них
совпадают.
IV. Первичное закрепление.
Задача 1. Турист прошел 20 км на восток
из города А в город В, а потом 30 км на восток в
город С. Выбрав подходящий масштаб, начертите
векторы и .
Равны ли векторы + и ?
Задача 2. Вертолет, пролетев в
горизонтальном полете по прямой 40 км, повернул
под углом 90° и пролетел еще 30 км. Найдите путь и
перемещение вертолета.
V. Законы сложения векторов.
Сложение векторов, как и сложение
чисел, подчиняется переместительному и
сочетательному законам.
Переместительный закон выражается
формулой
+ = + .
Рассмотрим рисунок 2, на котором
векторы и приложены в одной точке и
служат сторонами параллелограмма. Диагональ
этого параллелограмма, идущая из общего начала
векторов и , равна (как вектор) с
одной стороны сумме + , с другой стороны —
сумме + .
Сочетательный закон, выражается
формулой
( + ) + = + ( + ).
В справедливости которой можно
убедиться с помощью рисунок 3.
Рисунок 2
Рисунок 3
Благодаря переместительному и
сочетательному законам можно при сложении
векторов так же, как и при сложении чисел, не
обращать внимания ни на порядок слагаемых, ни на
их группировку. В частности, можно писать просто + + ,опуская
скобки.
При доказательстве переместительного
закона было обосновано так называемое правило
параллелограмма сложения неколлинеарных
векторов: чтобы сложить неколлинеарные векторы и , нужно отложить от какой-нибудь точки А
векторы = и = и построить
параллелограмм ABCD (рисунок 2). Тогда вектор = + . Правило
параллелограмма часто используется в физике,
например при сложении двух сил.
VI. Сложение сил.
Силу, приложенную к телу, удобно
изображать вектором, направление которого
совпадает с направлением действия силы, а
абсолютная величина пропорциональна величине
силы. Как показывает опыт, при таком способе
изображения сил равнодействующая двух или
нескольких сил, приложенных к телу в одной точке,
изображается суммой соответствующих им
векторов. На рисунке 4 к телу в точке А приложены
две силы, изображенные векторами и .
Равнодействующая этих сил изображается вектором
= + .
Рисунок 4
Рисунок 5
Представление силы в виде суммы сил,
действующих в двух заданных направлениях,
называется разложением силы по этим
направлениям.
Удобно производить разложение вектора
по двум перпендикулярным осям. В этом случае
составляющие вектора называются проекциями
вектора на оси (рисунок 5).
Задача. С какой силой F надо
удерживать груз весом Р на наклонной плоскости,
чтобы он не сползал вниз (рисунок 6)?
Рисунок 6
Решение:
Пусть О – центр тяжести груза, к
которому приложена сила Р. Разложим вектор по двум взаимно
перпендикулярным направлениям, как показано на
рисунке 6. Сила
перпендикулярна наклонной плоскости и не
вызывает перемещения груза. Сила , удерживающая груз, должна быть
равной по величине и противоположной по
направлению силе .
Поэтому
F = Р sina .
IX. Домашнее задание
: п.79, 80. № 762 (а).
Задачи:
Катер прошел по озеру в направлении на
северо-восток 2 км, а затем в северном направлении
еще 1 км. Найдите геометрическим построением
модуль и направление перемещения.
Группа туристов прошла сначала 400 м на
северо-запад, затем 500 м на восток и еще 300 м на
север. Найдите геометрическим построением
модуль и направление перемещения туристов.
Группа туристов, двигаясь с постоянной по
модулю скоростью 5 км/ч, сначала в течение 1 ч идет
на север, затем в течение 0,5 ч идет на восток и,
наконец, в течение 1,5 ч – на юг. Где окажется
группа после прохождения этих трех участков?
Сколько времени ей потребуется на возвращение в
исходную точку по прямой?
X. Подведение итогов урока и выставление
оценок.
Литература
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. Геометрия, учебник для
7–9 классов средней школы. – М.: Просвещение, 2000.
Любич Ю.И., Шор Л.А. Кинематический метод в
геометрических задачах (Серия: “Популярные
лекции по математике”). – М.: Наука, 1976 г.
План-конспект урока по теме «Сложение и вычитание векторов»
План-конспект урока
по теме «Сложение и вычитание векторов» (9 класс)
I. Целиурока.
— формировать умения реализовывать новые способы деятельности – складывать и вычитать векторы;
-формировать умение выражать свои мысли грамотным математическим языком;
-вырабатывать умение ставить перед собой цель чтения, находить в тексте требуемую информацию, преобразовывать текст, объяснять назначение рисунка;
-вырабатывать умение работать в группе: устанавливать рабочие отношения, эффективно сотрудничать, способствовать продуктивной деятельности;
-воспитывать трудолюбие, дисциплинированность, ответственность за результат своей деятельности.
II. Задачи урока.
Учащиеся должны знать:
понятия суммы двух и более векторов; законы сложения векторов; понятие вектора, противоположного данному;
уметь:
строить сумму двух и более векторов, пользуясь правилами треугольника, параллелограмма, многоугольника; строить разность двух векторов двумя способами.
III.Тип урока: урок открытия нового знания посредством изучения текста учебника при работе в группах.
IV.Ход урока.
1. Орг. момент.
Учитель и ученики приветствуют друг друга. Учитель проверяет готовность учащихся к уроку, настраивает учеников на работу.
2.Актуализация знаний учащихся.
1) Ответьте на вопросы:
-Что такое вектор?
-что такое нулевойвектор?
— что такое длина вектора, как его по другому называют?
2) Попробуйте продемонстрировать действие некоторой силы на какое-нибудь тело(в случае затруднения учащихся предложить одному из них, например, потянуть другого за руку).
Каков результат действия силы на тело? – Тело движется (перемещается) в направлении действия силы.
Можно ли предугадать направление движения тела, если известно направление силы? – Да.
А если на тело будут действовать две или несколько сил? — Можно заменить эти силы, приложенные к телу, одной силой, равноценной по своему действию этим силам. Поскольку сила – векторная величина, то можно заменить несколько векторов одним, но по особым правилам. От чего эти правила зависят? – От точки приложения и направления векторов зависит точка приложения и направление равнодействующего вектора.(Если учащиеся затрудняются с ответом, подвести их к нему посредством наводящих вопросов.)
3) Приводится пример перемещения материальной точки (п.79), учащимся предлагается сформулировать тему урока – сложение векторов и действие, противоположное сложению – вычитание векторов.
3.Основная часть.
1) Работа в группах.
Класс делится на 3 группы. Каждой группе предлагается изучить текст учебника(пп 79, 80, 81, 82), рассмотреть рисунки и записать в тетрадь краткие ответы на вопросы (выдаются каждой группе).Один человек от группы по окончании работы доложит ее результат.
Вопросы для групп 1,2:
1. Выполнение какого действия вы изучаете?
2. Назовите количество векторов-компонентов этого действия.
3.Как должны располагаться векторы-компоненты друг относительно друга? (подсказка: используйте понятия «начало вектора», «конец вектора»).
4.Как располагается вектор-результат действия относительно векторов-компонентов этого действия? (см. подсказку выше)
5. Какую фигуру образуют векторы-компоненты и вектор-результат?
Вопросы для группы 3(наиболее сильные учащиеся):
1. Выполнение какого действия вы изучаете?
2. Назовите количество векторов-компонентов этого действия.
3.Как должны располагаться векторы-компоненты друг относительно друга? (подсказка: используйте понятия «начало вектора», «конец вектора»).
4.Как располагается вектор-результат действия относительно векторов-компонентов этого действия? (см. подсказку выше)
5.Рассмотрите второй способ выполнения этого действия. Какое дополнительное действие нужно выполнить?
2) Обсуждение результатов работы групп.
Один человек из каждой группы докладывает результат работы, при необходимости ему оказывают помощь члены его группы и учитель. В процессе обсуждения обращается внимание учащихся на то, что рассматривалось сложение и вычитание неколлинеарных векторов и при изучении разных вопросов группам пришлось отвечать на одни и те же вопросы. Поэтому результаты работы всех групп можно оформить единым образом, а именно в виде таблицы.
3)Работа в тетрадях.
Сколько строк должно быть в этой таблице? — 4 (по количеству групп) содержательные, плюс одна плюс одна(у второй группы два способа выполнения действия).
Сколько столбцов? (Обсуждается предполагаемое количество столбцов, учитель корректирует ответы учащихся) – 4(по количеству вопросов) плюс один для иллюстрации и один для комментариев.
Каково наполнение отдельных ячеек? Какими лучше сделать их размеры? Как лучше расположить тетрадь?
Действие
с векторами
Количество
компо-нентов
Расположе-ние
векторов-компонентов
Расположение
вектора-результата
Графическая
иллюстрация
комментарий
Сложение
2
Конец одного – начало другого (друг за другом)
Начало в начале одного слагаемого, конец в конце второго
Рисунок типа рис.249
Правило треугольника
Сложение
2
Выходят из одной точки
Диагональ параллелограмма, построенного на данных векторах, с началом в данной точке
Рисунок типа рис.252
Правило параллелограмма
Сложение
Более 2
Конец одного – начало другого (друг за другом)
Начало в начале первого слагаемого, конец в конце последнего
Рисунок типа рис.254
Правило многоугольника
вычитание
2
Выходят из одной точки
Соединяет концы векторов, направлен к уменьшаемому
Рисунок типа рис.256
вычитание
2
Рисунок типа рис.258
Заменить вычитаемое противоположным ему, см. правило треугольника
Ответьте на вопросы:
Какое правило применяют, когда суммируют два вектора?
Что называют разностью двух векторов?
Какие законы действий с векторами встретились вам во время чтения текста?
Запишем их в тетрадь.
Для любых векторов и справедливы равенства:
1. (переместительный закон)
2. (сочетательный закон)
Какие еще равенства справедливы?
3. для любого вектора ;
4. для любых векторов и
V. Первичное закрепление: работа в тетрадях и на доске.
Начертить попарно неколлинеарные векторы и ипостроить векторы ;.
VI. Итог урока.
Что нового вы узнали на уроке? Что показалось наиболее сложным? Будете ли вы использовать таблицу при выполнении домашнего задания? Верны ли установленные нами правила действий для коллинеарных векторов?
VII. Домашнее задание. Таблица, №755,№757, №764(а).
Векторы: третий уровень сложности — Журнал «Код»: программирование без снобизма
Для большинства людей искусственный интеллект — это нечто сложное и таинственное. А для математиков это синоним фразы «перемножение матриц». С точки зрения человека, который владеет линейной алгеброй, в искусственном интеллекте нет ничего загадочного.
Мы хотим, чтобы вы тоже смогли понять искусственный интеллект на уровне математики. Для этого у нас идёт цикл статей про линейную алгебру:
Сама тема несложная, но конкретно этот шаг вам ничего не даст в практическом смысле. Но если вам хватит терпения, на базе этих знаний мы уже перейдём к матрицам.
Что за коллинеарность
Представьте два вектора, которые находятся в одной плоскости и располагаются параллельно друг другу. При этом у них может быть разная длина. Такое расположение делает связку векторов коллинеарными, или, по-простому, линейно зависимыми.
И наоборот: если вектора находятся в одной плоскости и располагаются не параллельно друг относительно друга, то их считают линейно независимыми — неколлинеарными. Пока что ничего сложного.
Коллинеарные векторыНеколлинеарные векторы
Сложение коллинеарных и неколлинеарных векторов
Очевидно, что сложить два коллинеарных вектора очень легко: откладываем второй вектор от начала первого, получится новый вектор. Он будет коллинеарным своим слагаемым, они все будут лежать, грубо говоря, на одной линии.
Можно представить, что вы идёте прямо: каждый ваш шаг — это вектор. Каждый новый шаг — новый вектор. Но если все их сложить, получится один большой прямой вектор длиной как все ваши шаги.
Теперь попробуем сложить пару неколлинеарных векторов. Это как если бы мы сначала сделали шаг немного правее, а потом сделали бы шаг влево. Шага два, но если соединить начало и конец пути, он не будет совпадать с траекториями наших шагов. Появится какой-то новый вектор, с новым направлением, и он будет неколлинеарным по отношению к своим слагаемым.
Также пару неколлинеарных векторов из одной плоскости можно растянуть и развернуть в пространстве. Если их сложить, также появится новый вектор.
У математиков такой вектор называют базисом. Когда базис находится на плоскости или в пространстве, то он может единственным образом превращаться обратно в пару неколлинеарных векторов, которые его сформировали.
Правило работает, когда мы масштабируем и меняем расположение векторов в пространстве. Если мы изменим направление исходных векторов, то получим новый базис.
Базис — понятие из высшей математики, поэтому, если сейчас сложно, не отчаивайтесь. Студенты-математики когда-то тоже отчаивались.
Мы изменили пару неколлинеарных векторов и сформировали из них базис — получили новый фиолетовый вектор с собственной системой координатТеперь мы изменили исходные неколлинеарные векторы и получили новый базис — это оранжевый вектор
Как определять неколлинеарность
Когда мы работаем с короткими векторами, всё очевидно: нарисовали систему координат, отложили на ней векторы, они либо совпали, либо не совпали. Если совпали — коллинеарные, если нет — неколлинеарные.
А теперь представьте, что вектора настолько огромные, что мы физически не можем их нарисовать и сопоставить. Например,
Как такое нарисовать? Как проверить коллинеарность? Вот тут начинается магия алгебры.
Есть три способа проверки линейной зависимости векторов. Для простоты вычислений проверим эти три способа на вот этих всё ещё простых векторах:
По этим координатам ответим на два вопроса: являются ли предложенные вектора линейно зависимыми (то есть коллинеарными) и можно ли их раскладывать по базису.
Первый способ. Запишем простую систему уравнений: возьмём первую координату каждого вектора и приравняем её ко второй координате каждого вектора, умноженной на неизвестное число λ. Вычислим λ и сравним результаты.
👉 Знак λ здесь по традиции и для удобства. На самом деле это просто некое неизвестное число. Вместо этой буквы могли быть X, Y, Z или N, но так как у нас вектора уже называются X и Y, а N в математике используется для других целей, возьмём λ — это греческая буква «лямбда», давний предок нашей русской буквы «Л».
Составляем систему уравнений:
Вычисляем значение λ:
Сравниваем результат и делаем вывод:
Мы получили разное значение для неизвестного числа λ и поэтому наши векторы будут считаться линейно независимыми. Из них можно получить базис.
Если бы значение λ совпало, то мы бы имели дело с линейно зависимыми векторами.
Второй способ. Проверяем координаты векторов на пропорциональность: берём первую координату первого вектора, делим её на первую координату второго вектора. Повторяем это же действие со вторыми координатами: берём вторую координату первого вектора и делим её на вторую координату второго вектора.
Получаем такую пропорцию:
Считаем значение и сравниваем результат:
Равенство не выполняется, и поэтому между векторами нет зависимости.
Третий способ. Используем четыре элемента наших координат для поиска определителя — скалярной величины, с которой мы подробно познакомимся в следующих статьях во время решения матричных уравнений. Сейчас нам не нужны подробности, и для проверки линейной зависимости достаточно формулы.
Записываем в две строки координаты наших векторов:
Переводим координаты векторов в определитель — добавляем с двух сторон вертикальную черту и получаем простую квадратную матрицу размером 2 на 2:
В полученной матрице две диагонали. Числа −6 и −1 образуют главную диагональ; числа −4 и 5 — вторую диагональ. Чтобы найти определитель, нам нужно умножить числа главной и второй диагонали, а затем вычесть их разницу.
Если из координат вектора мы получили определитель и он не равен нулю, то векторы считаются линейно независимыми и подходят для разложения по базису.
И наоборот: нулевой определитель указывает на линейную зависимость векторов.
Что из этого нужно запомнить
С точки зрения векторов важно, они сонаправленные или нет. По-другому — они коллинеарны или нет.
Коллинеарность влияет на то, что можно делать с этими векторами. Например, неколлинеарные векторы можно разложить по базису.
Базис — это вектор, который можно разложить на те самые неколлинеарные векторы.
Коллинеарность легко проверяется через уравнения. Строить векторы на координатной плоскости необязательно.
Что дальше
Следующий шаг — матрицы. Это те самые, которые лежат в основе всех нейронок и искусственного интеллекта. Матрица — это таблица чисел, с которыми можно проводить различные вычисления.
Текст:
Александр Бабаскин
Редактура:
Максим Ильяхов
Художник:
Даня Берковский
Корректор:
Ирина Михеева
Вёрстка:
Мария Дронова
Соцсети:
Олег Вешкурцев
Нажми и учись — неколлинеарные векторы
Родительская категория: Физика 11-У
1. Неколлинеарные векторы
Когда векторы находятся в одной плоскости, но не действуют по одной и той же линии действия, они известны как неколлинеарные векторы.
Неколлинеарные векторы можно добавить тремя разными способами:
Общее правило добавления векторов независимо от метода по-прежнему: «складывать векторы от хвоста к голове».Когда два или более вектора складываются вместе, результирующий вектор известен как «результирующий ».
Обратите внимание, что на приведенной ниже иллюстрации результат V T представляет собой сумму векторов V 1 и V 2. V T рисуется от хвоста первого вектора ( V 1 ) к голове последнего вектора ( V 2 ).
2. Направление векторов
Теперь предположим, что мы помещаем результирующий вектор d в набор координат x-y с его хвостом в начале координат (0,0). Мы хотим узнать его направление.
Обратите внимание, что d находится в направлении, отличном от стандартного направления Север-Юг-Восток-Запад.
Мы используем компас (или навигационную систему направления), чтобы обозначить его направление.
На диаграмме выше показано, как сообщить направление вектора в стандартном формате.
Этот вектор находится 60 0 к востоку от севера (или 30 0 к северу от востока) и имеет величину 10 м. Мы можем нарисовать этот вектор с помощью транспортира и линейки.
Наша отправная точка — ось Y, и мы перемещаемся на 60 0 от северного положения к восточному положению (ось X).
Стандартное обозначение для сообщения величины и направления вектора d :
d = 10 м [N60 0 E].
Примечание: мы также можем сказать, что d = 10 м [E30 0 N].
Учитывая два неколлинеарных вектора, необходимо ли, чтобы они определяли плоскость?
Имеются ли два неколлинеарных вектора, необходимо ли, чтобы они определяли плоскость? — Обмен математическими стеками
Сеть обмена стеков
Сеть Stack Exchange состоит из 178 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.
Посетить Stack Exchange
0
+0
Авторизоваться
Подписаться
Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.
Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу
Кто угодно может задать вопрос
Кто угодно может ответить
Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх
Спросил
Просмотрено
1к раз
$ \ begingroup $
Я где-то читал, что любые два неколлинеарных вектора определяют плоскость.Но я, кажется, не понимаю, как два скошенных вектора могут определять плоскость.
Создан 24 дек.
Деванг
2122 бронзовых знака
$ \ endgroup $ 1 $ \ begingroup $
Думаю, у вас проблема с геометрическим изображением вектора в виде стрелки.Если вы считаете, что вектор может быть где угодно в пространстве, тогда два вектора могут лежать на наклонных линиях. Тогда вы правы: самолет не определяют. Это часто полезный взгляд на векторы в физике.
Но … при изучении векторов в математике принято, что (на картинке, которую вы себе представляете) все они начинаются в начале системы координат. Затем вы должны «увидеть», как два вектора, лежащие на двух разных линиях, проходящих через начало координат, будут охватывать плоскость.
Если у вас есть правильная картина, другие ответы (с алгеброй) будут иметь больше смысла.