Неколлинеарные векторы сложение: 1. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число — RC74 — интернет-магазин радиоуправляемых моделей

Содержание

Как называется правило сложения двух неколлинеарных векторов?

А) Правило Пифагора Б) Правило равенства треугольников

В) Правило треугольника Г) Правило параллелограмма

Как называются векторы, если они сонаправлены и их длины равны?

А) Сонаправленными Б) Коллинеарными

В) Противоположнонаправленными Г) Равными

Какие вектора называются коллинеарными?

А) Ненулевые векторы, которые лежат на перпендикулярных прямых.

Б) Ненулевые векторы, которые лежат на одной прямой.

В) Ненулевые векторы, которые лежат либо на одной прямой, либо на параллельных

прямых.

Г) Ненулевые векторы, которые пересекаются.

Как называются граничные точки вектора?

А) Границами В) Начало и конец

Б) Первая точка и последняя точка Г) Концы отрезка

Как называется длина отрезка АB?

А) Расстояние В) Нулевой вектор

Б) Отрезок ненулевого вектора Г) Модуль

Какие из следующих величин называются векторными: скорость, масса, сила,

Время, температура, длина, площадь, работа?

А) Скорость, время В) Сила, температура

Б) Скорость, сила Г) Длина, площадь, работа

Сколько векторов можно отложить от любой точки, равных данному вектору?

А) Бесконечное множество В) Три

В) Ни одного Г) Только один

Какой вектор является нулевым?

А) вектор, у которого начало совпадает с его концом

Б) вектор, длина которого равна 0

В) все ответы верны.

10. Векторы сонаправлены, если…

А) они коллинеарны и одинаково направлены

Б) лежат на одной прямой

В) лежат на параллельных прямых.

11. Чтобы найти координаты вектора надо…

А) координаты конца вектора сложить с соответствующими координатами начала вектора.

Б) из координат начала вектора вычесть соответствующие координаты конца вектора.

В) из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты начала вектора.

12. По правилу треугольника вектор суммы выходит из _________________ первого вектора

и заканчивается в _________________ второго.

13. Два вектора называются противоположными, если их сумма равна ______вектору.

14. Каковы координаты вектора

А) Б. В. Г.

15. Найдите расстояние между точками M (0; -8) и N (-1; 0).

А) -3. Б) 3. В). Г).

16. Найдите скалярное произведение векторов и, если A (0, -5), B (3, 6),

С (-8, 10).

А) -180. Б) -59. В) 29. Г) 11.

17. Найдите координаты вектора, если P (1, -3) и Q (3, -1).

А) (2, 0). Б) (2, 2). В) (2, -2). Г) (1, 2).

18. Найдите координаты вектора , если , и .

Какое утверждение верное?

А) Любые два сонаправленных вектора коллинеарны;

Б) Любые два коллинеарных вектора противоположно направлены;

В) Любые два коллинеарных вектора равны;

Г) Любые два коллинеарных вектора и сонаправленные равны.

Какое утверждение неверное?

А) Длины противоположных векторов не могут быть неравны;

Б) Если длины векторов неравны, то и векторы неравны;

В) Если длины векторов равны, то и векторы равны.

Тест по теме «Векторы и координаты»

Вариант 2

8 класс. Геометрия. Векторы. Применение векторов к решению задач. — Векторы. Повторение теории. Решение задач с применением векторов.

Комментарии преподавателя

Повторение теории. Задачи

Напомним, что существуют такие физические величины, для которых важна не только величина, но и направление. Такие величины называются векторными, или векторами, и обозначаются они направленным отрезком, то есть таким отрезком, у которого отмечены начало и конец. Введено было понятие коллинеарных векторов, то есть таких, которые лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Мы рассматриваем вектор, который можно отложить от любой точки, заданный вектор от произвольно выбранной точки можно отложить единственным образом.

Было введено понятие равных векторов – это такие сонаправленные векторы, длины которых равны. Сонаправленными называются коллинеарные векторы, направленные в одну сторону.

Были введены правила треугольника и параллелограмма – правила сложения векторов.

Заданы два вектора – векторы и . Найдем сумму этих двух векторов . Для этого отложим из некоторой точки А вектор . – направленный отрезок, точка А – его начало, а точка В – конец. Из точки В отложим вектор . Тогда вектор называют суммой заданных векторов: – правило треугольника (см. Рис. 1).

Рис. 1

Задано два вектора – векторы и . Найдем сумму этих двух векторов по правилу параллелограмма.

Откладываем из точки А вектор и вектор (см. Рис. 2). На отложенных векторах можно построить параллелограмм. Из точки В откладываем вектор , векторы и равны, стороны ВС и

Рис. 2

АВ1 параллельны. Аналогично параллельны и стороны АВ и В1С, таким образом, мы получили параллелограмм. АС – диагональ параллелограмма.

Для сложения нескольких векторов применяют правило многоугольника (см. Рис. 3). Нужно из произвольной точки отложить первый вектор, из его конца отложить второй вектор, из конца второго вектора отложить третий и так далее, когда все векторы отложены – соединить начальную точку с концом последнего вектора, в итоге получится сумма нескольких векторов.

Рис. 3

Кроме того, мы рассмотрели понятие обратного вектора – вектора, имеющего такую же длину, как заданный, но ему противонаправленного.

Пример 1 – задача 747: выпишите пары коллинеарных сонаправленных векторов, которые определяются сторонами параллелограмма; укажите противоположно направленные векторы;

Задан параллелограмм MNPQ (см. Рис. 4). Выпишем пары коллинеарных векторов. В первую очередь это векторы и . Они не только коллинеарные, но и равные, т.к. они сонаправлены, и длины их равны по свойству параллелограмма (в параллелограмме противоположные стороны равны). Следующая пара . Аналогично

Рис. 4

выпишем коллинеарные векторы второй пары сторон: ; .

Противоположно направленные векторы: , , , .

Пример 2 – задача 756: начертите попарно неколлинеарные векторы , и . Постройте векторы ;; ;.

Для выполнения данного задания можем пользоваться правилом треугольника или параллелограмма.

Способ 1 – с помощью правила треугольника (см. Рис. 5):

Рис. 5

Способ 2 – с помощью правила параллелограмма (см. Рис. 6):

Рис. 6

Комментарий: мы применяли в первом способе правило треугольника – откладывали из произвольно выбранной точки А первый вектор, из его конца – вектор, противоположный второму, соединяли начало первого с концом второго, и таким образом получали результат вычитания векторов. Во втором способе мы применили правило параллелограмма – построили на нужных векторах параллелограмм и его диагональ – искомую разность, помня тот факт, что одна из диагоналей – это сумма векторов, а вторая – разность.

Пример 3 – задача 750: докажите, что если векторы и равны, то середины отрезков AD и BC совпадают. Докажите обратное утверждение: если середины отрезков AD и BC совпадают, то векторы и равны (см. Рис. 7).

Из равенства векторов и следует, что прямые АВ и CD параллельны, и что отрезки АВ и CD равны. Вспомним признак параллелограмма: если у четырехугольника пара противоположных сторон лежит на параллельных прямых, и их длины равны, то данный четырехугольник – параллелограмм.

Рис. 7

Таким образом, четырехугольник ABCD, построенный на заданных векторах, – параллелограмм. Отрезки AD и BC являются диагоналями параллелограмма, одно из свойств которого: диагонали параллелограмма пересекаются и в точке пересечения делятся пополам. Таким образом, доказано, что середины отрезков AD и BC совпадают.

Докажем обратное утверждение. Для этого воспользуемся другим признаком параллелограмма: если в некотором четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм. Отсюда четырехугольник ABCD – параллелограмм, и его противоположные стороны параллельны и равны, таким образом, векторы и коллинеарны, очевидно, что они сонаправлены, и модули их равны, отсюда векторы и равны, что и требовалось доказать.

Пример 4 – задача 760: докажите, что для любых неколлинеарных векторов и справедливо неравенство (см. Рис. 8)

Отложим из произвольной точки А вектор , получим точку В, из нее отложим неколлинеарный ему вектор . По правилу параллелограмма или треугольника получим сумму векторов – вектор . Имеем треугольник .

Длина суммы векторов соответствует длине стороны АС треугольника. По неравенству треугольника длина стороны АС меньше, чем сумма длин двух других сторон АВ и ВС, что и требовалось доказать.

Рис. 8

Применение векторов к решению задач

Напомним, что мы уже изучили некоторые факты о векторах, и теперь умеем определять равные векторы, коллинеарные векторы, сонаправленные и противоположно направленные. Также мы умеем складывать векторы по правилу треугольника и параллелограмма, складывать несколько векторов по правилу многоугольника, умеем умножать вектор на число. Решение задач с векторами использует все эти знания. Перейдем к решению некоторых примеров.

Пример 1 – задача 769: отрезок ВВ1 – медиана треугольника . Выразите через векторы и векторы , , и .

Отметим, что векторы и неколлинеарны, то есть прямые АВ и АС не параллельны.

В дальнейшем мы узнаем, что любой вектор может быть выражен через два неколлинеарных вектора.

Выразим первый вектор (см. Рис. 1): , т. к. по условию ВВ1 – медиана треугольника, значит, векторы и имеют равные модули, кроме того, очевидно, что они коллинеарны и при этом сонаправлены, значит, данные вектора равны.

Рис. 1

Для выражения следующего вектора воспользуемся правилом параллелограмма для вычитания. Мы помним, что одна из диагоналей параллелограмма, построенного на двух векторах, соответствует сумме этих векторов, а вторая – их разности. Диагональ, соответствующая разности векторов, следует от конца к началу, таким образом, если построить на заданных векторах и параллелограмм, то его диагональ будет соответствовать разности .

Вектор является противоположным к заданному вектору , отсюда .

Вектор аналогично вектору можно представить в виде разности векторов . При выражении следует учесть тот факт, что точка В1 является серединой отрезка АС, значит, векторы и равны, значит, вектор можно представить как удвоенное произведение вектора .

Перед решением задачи мы сказали, что через заданные два неколлинеарных вектора можно выразить любой вектор. Выразим, например, медиану АА1 (см. Рис. 2).

Получили систему уравнений, выполним их сложение:

Векторы в сумме составляют нулевой вектор, так как они коллинеарны и противонаправлены, а модули их равны, таким образом получаем:

Рис. 2

Поделим обе части уравнения на два, получим:

Из данной задачи можно сделать вывод, что если заданы два неколлинеарных вектора, то любой третий вектор на плоскости можно однозначно выразить через эти два вектора. Для этого необходимо применить правило сложения векторов, либо методом треугольника, либо параллелограмма, и правило умножения вектора на число.

Пример 2: доказать с помощью векторов свойство средней линии треугольника (см. Рис. 3).

Задан произвольный треугольник , точки M и N – середины сторон АВ и АС соответственно, MN – средняя линия треугольника. Свойство средней линии: средняя линия параллельна основанию треугольника и равна его половине.

Доказательство данного свойства аналогично для треугольника и трапеции.

Рис. 3

Выразим вектор двумя способами:

Получили систему уравнений:

Выполним сложение уравнений системы:

Сумма векторов – это нулевой вектор, длины этих векторов равны по условию, кроме того, они очевидно коллинеарны и противонаправлены. Аналогично суммой векторов будет нулевой вектор. Получаем:

Поделим обе части уравнения на два:

Таким образом, мы получили, что средняя линия треугольника равна половине его основания. Кроме того, из равенства вектора половине вектора следует, что эти векторы коллинеарны и сонаправлены, а значит, прямые MN и ВС параллельны.

Таким образом, мы доказали свойство средней линии трапеции при помощи векторов.

Пример 3: задан произвольный треугольник (см. Рис. 4). В нем проведены медианы АА1, ВВ1, СС1. Точка пересечения медиан – М. Вектор соответствует силе , – силе , – силе . Доказать, что .

Напомним, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Иногда точку пересечения медиан называют центром тяжести треугольника.

Выполним сложение векторов , воспользуемся для этого правилом параллелограмма (см. Рис. 5).

Рис. 4

Получаем:

С другой стороны, , так как BMCD – параллелограмм, диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, А1 – точка пересечения диагоналей параллелограмма, значит, отрезки МА1 и А1D равны, отсюда, по свойству точки пересечения медиан, длины векторов и равны, но данные векторы противонаправлены, а значит, их сумма

Рис. 5

равна нулевому вектору. Мы помним, что вектор , а вектор , таким образом, , что и требовалось доказать.

Пример 4 – задача 773: докажите, что для любых векторов и справедливо следующее неравенство:

Решение: представим разность векторов в виде суммы: . Также обратим внимание на тот факт, что длины противонаправленных векторов и равны: . Таким образом, можно переписать исходное выражение:

Для удобства введем новую переменную: и перепишем выражение:

. А данное неравенство – неравенство треугольника – было доказано в предыдущем уроке. Отметим, что равенство наблюдается в том случае, когда треугольник вырождается в отрезок.

Итак, мы вспомнили все основные определения и свойства векторов, вспомнили основные операции над векторами, рассмотрели применение векторов при решении различных задач, доказали некоторые свойства фигур и решили наиболее распространенные типы задач.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/vektory/vektory-povtorenie-teorii-zadachi

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/vektory/primenenie-vektorov-k-resheniyu-zadach

http://metodbook.ru/index.php/matematika/9-testy-po-geometrii-9-klass/8-itogovyj-test-po-teme-vektory-variant-1.html

http://metodbook.ru/index.php/matematika/9-testy-po-geometrii-9-klass/9-itogovyj-test-po-teme-vektory-variant-2.html

http://uslide.ru/images/22/28455/960/img5.jpg

http://www.studfiles.ru/html/2706/538/html_OqWQ3sDQeV.5bGa/htmlconvd-WBhq8w_html_73af1ab4.png

http://uchkollektor39.ru/uploads/images/items/29cc1d8d90989d9f0e3df70c3d95a9ee.jpg

http://rushkolnik.ru/tw_files2/urls_3/891/d-890061/890061_html_m5ff065f.jpg

http://cs1-48v4.vk-cdn.net/p24/3551abddfac0c8.mp3?extra=amJxaBk9gfTT0lPmsOEwb8Rn_T2twbNJh2OUazYT-T9cSSu4_1787ibMzOu6ytv1rZKrpdEq7XnWZN1f-bjAuKyWIFf7mzw

http://matssir.ucoz.ru/_ld/0/33_G8p84-85.pptx

http://nsportal.ru/sites/default/files/2014/05/11/vektory._dokazatelstvo.pptx

http://v.5klass.net/zip/b66d124d0243f848a0bf454b75404034.zip

Урок 3. Сложение и вычитание векторов

Первой операцией над векторами является сложение векторов.

Если материальная точка переместилась из точки А в точку В, а потом из точки В в точку С, то в результате она перейдёт из точки А в точку С.

Поэтому говорят, что направленные отрезкихарактеризующие эти перемещения, складываясь, дают направленный отрезокЭто записывают так:В этом случае видно, что процесс сложения векторов происходит так:Если векторы неколлинеарные, то их сумма представляется диагональю построенного на них параллелограмма.

Чтобы найти сумму двух неколлинеарных векторов

нужно:
– отложить от произвольной точки О векторы – использовать эти векторы как стороны параллелограмма;

– построить вектор

Найти сумму векторов:РЕШЕНИЕ:Разложение вектора на составляющие.

При изучении и использовании векторов часто приходится говорить о так называемом разложении вектора на составляющие.

Составляющими данного вектора называют такие векторы, сумма которых равна этому вектору.

Данный вектор <<составляется>> из составляющих как сумма слагаемых и разлагается на них как на слагаемые, поэтому говорят о разложении на составляющие.

Пусть в плоскости α даны две прямые а и b, пересекающиеся в точке О. Возьмём какой-нибудь вектори отложим его от точки О.Если точка V не лежит ни на прямой а, ни на прямой b, то проведём через точку V прямыеи построим параллелограмм OAVB. Его диагональю будет отрезок OV, а его стороны ОА и ОВ лежат соответственно на прямых а и b. По правилу параллелограмма для сложения векторов получимВекторыявляются составляющими векторапо прямым а и b,Если V ∈ a, тоа составляющая по b нулевая:Аналогично в случае, когдаМы выполнили разложение вектора по двум пересекающимся прямым.

Можно разложить вектор по двум неколлинеарным векторам.

Возьмём два неколлинеарных вектораОтложим их от точки О.Пусть– вектор параллельный плоскости ОВС. Отложим его от точки О.Через точку А проведём прямые, параллельные векторамТогдаВекторыколлинеарны.
Значит,и поэтомуТакое представление векторачерез векторыназывают разложение вектора по неколлинеарным векторам.

Разность векторов.

Введём операцию разности двух векторов. Эта операция вводится так же как и для чисел.

Разностью векторовназывают такой векторкоторый в сумме с вычитаемым векторомдаёт векторРазностью векторовбудет векторто есть вектор, который соединяет концы векторови направлен от вычитаемого к уменьшаемому.ПРИМЕР:

Определение разности векторов с помощью координат.

Координаты разности двух векторов равняются разности соответствующих координат вектора – уменьшаемого и вектора – вычитаемого.Теорема о разности векторов.

Задания для самостоятельной работы

Начертите коллинеарные, неколлинеарные векторы.
Какое из утверждений верно:

а) если векторы противоположно направлены, то они коллинеарны;

б) если векторы коллинеарны, то они сонаправлены;

в) противоположно направленные и противоположные векторы – это одно и то же?

3. Будут ли векторы компланарными, если||? А если||и||? А если?

4. Будут ли равны между собой все единичные векторы? Почему?

5. Какой вектор противоположен сам себе?

§2. Сложение и вычитание векторов

Линейными операциями над векторами называется сложение, вычитание векторов и умножение вектора на число.

Результатом сложения векторов является их сумма. Сумма векторов иобозначается.

Существует два правила сложения двух векторов: правило треугольника и правило параллелограмма.

Правило треугольника

Чтобы сложить векторы и, надо взять произвольную точку и от нее отложитьпоследовательно сначала вектор , затем вектор. Вектор, начало которого совпадает с началом вектора(т.е. первого вектора), а конец – с концом вектора(т.е. второго вектора), есть искомая сумма. На рис. 4.

По правилу треугольника можно складывать любые векторы.

Коротко правило треугольника можно записать так:

для любых трех точек А,В и С .

Правило параллелограмма

Чтобы сложить векторы и, надо привести их к общему началу, т.е. взять произвольную точкуА, построить такие точки В и С, что и, и достроить полученную фигуру до параллелограмма. Вектор- искомая сумма (рис. 5).

По правилу параллелограмма можно складывать только неколлинеарные векторы.

Свойства сложения векторов:

1⁰. .

2⁰. .

3⁰. .

4⁰. .

Суммой трех векторов и называется вектор . Учитывая свойство 4⁰, скобки можно опустить и обозначать сумму в виде .

Суммой n векторов называется вектор и обозначается так: .

При построении суммы n векторов пользуются правилом многоугольника.

Правило многоугольника

Чтобы найти сумму n векторов, надо взять произвольную точку и отложить от нее последовательно эти векторы. Вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец – с концом последнего (n-го вектора), есть искомая сумма.

Разностью векторов и называется такой вектор , что. Разность – это результат вычитания векторов. Разность векторовиобозначается так:.

Правило построения разности двух векторов

Чтобы построить разность векторов и, надо привести их к общему началу. Тогда вектор, начало которого совпадает с концом второго вектора (т.е. вектора), а конец – с концом первого (т.е.), есть искомая разность.

На рис. 6.

По правилу треугольника

откуда получаем краткую запись правила нахождения разности векторов:

Задания для самостоятельной работы

1. Начертите два не исходящих из одной точки неколлинеарных вектора. Постройте их сумму сначала по правилу треугольника, затем по правилу параллелограмма. Постройте их разность.

2. Начертите два коллинеарных вектора. Постройте их сумму и разность.

3. Запишите правило треугольника для точек . Сколькими способами можно это сделать?

4. Даны три точки . Представьте векторв виде разности двух векторов.

5. Начертите 5 векторов и постройте их сумму, пользуясь правилом многоугольника.

Коспект интегрированного урока (геометрия + физика) в 8-м классе по теме «Сложение векторов. Законы сложения векторов. Правило параллелограмма»

Тема урока: “Сложение векторов. Законы сложения векторов. Правило параллелограмма”.

Тип урока: изучение нового материала.

Цели:

объяснить учащимся правила сложения векторов;
научить применять полученные знания при решении геометрических и физических задач;
установление межпредметных связей;
воспитание у учащихся культуры мышления;
воспитание критического отношения к знаниям, умения делать выводы, применять полученные знания.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент.

II. Актуализация знаний.

Дайте определение вектора.
Как изображают и обозначают векторы?
Какие векторы называются коллинеарными, сонаправленными, противоположно направленными, равными?
Повторить откладывание вектора от заданной точки.
Какие физические величины являются векторными величинами.

III. Сообщение темы и цели урока.

IV. Теоретическое сообщение учителя (беседа с учащимися).

Понятие вектора появилось в работах немецкого математика XIX в. Г. Грассмана и ирландского математика У. Гамильтона; затем оно было охотно воспринято многими математиками и физиками. В современной математике и её приложениях это понятие играет важнейшую роль. Векторы применяются в классической механике Галилея-Ньютона (в ее современном изложении), в теории относительности, квантовой физике, в математической экономике и многих других разделах естествознания, не говоря уже о применении векторов в различных областях математики.

В механике, в том числе и в кинематике, при описании движения тел широко используются векторные величины, поэтому необходимо уметь выполнять действия с ними. Рассмотрим первое действие с векторами – сложение.

V. Объяснение новой темы.

Задача. Автомобиль переместился из города А в город В, а затем из города В в город С. В результате этих двух перемещений автомобиль переместился из пункта А в пункт С.

Эти перемещения можно представить векторами , и (Рисунок 1).

Рисунок 1

Поскольку перемещение из т. А в т. С складывается из перемещений из т. А в т. В и из т.В в т. С, то вектор естественно назвать суммой векторов и : = + .

Как найти сумму векторов и ?

Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки вектор , равный вектору . Затем от точки В отложим вектор , равный вектору . Вектор называется суммой векторов и .

Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. Рисунок 1 поясняет это название.

Сумма векторов и обозначается так: + .

Складывая по правилу треугольника произвольный вектор с нулевым вектором, приходим к выводу, что для любого вектора справедливо равенство + = .

Правило треугольника можно сформулировать также следующим образом: если А, В и С – произвольные точки, то + = . Это равенство справедливо для произвольных точек А, В и С, в частности, в том случае, когда две из них или даже три из них совпадают.

IV. Первичное закрепление.

Задача 1. Турист прошел 20 км на восток из города А в город В, а потом 30 км на восток в город С. Выбрав подходящий масштаб, начертите векторы и .
Равны ли векторы + и ?

Задача 2. Вертолет, пролетев в горизонтальном полете по прямой 40 км, повернул под углом 90° и пролетел еще 30 км. Найдите путь и перемещение вертолета.

V. Законы сложения векторов.

Сложение векторов, как и сложение чисел, подчиняется переместительному и сочетательному законам.

Переместительный закон выражается формулой

+ = + .

Рассмотрим рисунок 2, на котором векторы и приложены в одной точке и служат сторонами параллелограмма. Диагональ этого параллелограмма, идущая из общего начала векторов и , равна (как вектор) с одной стороны сумме + , с другой стороны — сумме + .

Сочетательный закон, выражается формулой

( + ) + = + ( + ).

В справедливости которой можно убедиться с помощью рисунок 3.


Рисунок 2	Рисунок 3

Благодаря переместительному и сочетательному законам можно при сложении векторов так же, как и при сложении чисел, не обращать внимания ни на порядок слагаемых, ни на их группировку. В частности, можно писать просто + + , опуская скобки.

При доказательстве переместительного закона было обосновано так называемое правило параллелограмма сложения неколлинеарных векторов: чтобы сложить неколлинеарные векторы и , нужно отложить от какой-нибудь точки А векторы = и = и построить параллелограмм ABCD (рисунок 2). Тогда вектор = + . Правило параллелограмма часто используется в физике, например при сложении двух сил.

VI. Сложение сил.

Силу, приложенную к телу, удобно изображать вектором, направление которого совпадает с направлением действия силы, а абсолютная величина пропорциональна величине силы. Как показывает опыт, при таком способе изображения сил равнодействующая двух или нескольких сил, приложенных к телу в одной точке, изображается суммой соответствующих им векторов. На рисунке 4 к телу в точке А приложены две силы, изображенные векторами и . Равнодействующая этих сил изображается вектором = + .


Рисунок 4	Рисунок 5

Представление силы в виде суммы сил, действующих в двух заданных направлениях, называется разложением силы по этим направлениям.

Удобно производить разложение вектора по двум перпендикулярным осям. В этом случае составляющие вектора называются проекциями вектора на оси (рисунок 5).

Задача. С какой силой F надо удерживать груз весом Р на наклонной плоскости, чтобы он не сползал вниз (рисунок 6)?

Рисунок 6

Решение:

Пусть О – центр тяжести груза, к которому приложена сила Р. Разложим вектор по двум взаимно перпендикулярным направлениям, как показано на рисунке 6. Сила перпендикулярна наклонной плоскости и не вызывает перемещения груза. Сила , удерживающая груз, должна быть равной по величине и противоположной по направлению силе . Поэтому

F = Р sina .

IX. Домашнее задание

Задачи:

Катер прошел по озеру в направлении на северо-восток 2 км, а затем в северном направлении еще 1 км. Найдите геометрическим построением модуль и направление перемещения.
Группа туристов прошла сначала 400 м на северо-запад, затем 500 м на восток и еще 300 м на север. Найдите геометрическим построением модуль и направление перемещения туристов.
Группа туристов, двигаясь с постоянной по модулю скоростью 5 км/ч, сначала в течение 1 ч идет на север, затем в течение 0,5 ч идет на восток и, наконец, в течение 1,5 ч – на юг. Где окажется группа после прохождения этих трех участков? Сколько времени ей потребуется на возвращение в исходную точку по прямой?

X. Подведение итогов урока и выставление оценок.

Литература

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. Геометрия, учебник для 7–9 классов средней школы. – М.: Просвещение, 2000.
Любич Ю.И., Шор Л.А. Кинематический метод в геометрических задачах (Серия: “Популярные лекции по математике”). – М.: Наука, 1976 г.
Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н. Физика, 10 класс. – М.: Просвещение, 2002.

План-конспект урока по теме «Сложение и вычитание векторов»

План-конспект урока

по теме «Сложение и вычитание векторов» (9 класс)

I. Целиурока.

— формировать умения реализовывать новые способы деятельности – складывать и вычитать векторы;

-формировать умение выражать свои мысли грамотным математическим языком;

-вырабатывать умение ставить перед собой цель чтения, находить в тексте требуемую информацию, преобразовывать текст, объяснять назначение рисунка;

-вырабатывать умение работать в группе: устанавливать рабочие отношения, эффективно сотрудничать, способствовать продуктивной деятельности;

-воспитывать трудолюбие, дисциплинированность, ответственность за результат своей деятельности.

II. Задачи урока.

Учащиеся должны знать:

понятия суммы двух и более векторов; законы сложения векторов; понятие вектора, противоположного данному;

уметь:

строить сумму двух и более векторов, пользуясь правилами треугольника, параллелограмма, многоугольника; строить разность двух векторов двумя способами.

III.Тип урока: урок открытия нового знания посредством изучения текста учебника при работе в группах.

IV.Ход урока.

1. Орг. момент.

Учитель и ученики приветствуют друг друга. Учитель проверяет готовность учащихся к уроку, настраивает учеников на работу.

2.Актуализация знаний учащихся.

1) Ответьте на вопросы:

-Что такое вектор?

-что такое нулевойвектор?

— что такое длина вектора, как его по другому называют?

2) Попробуйте продемонстрировать действие некоторой силы на какое-нибудь тело(в случае затруднения учащихся предложить одному из них, например, потянуть другого за руку).

Каков результат действия силы на тело? – Тело движется (перемещается) в направлении действия силы.

Можно ли предугадать направление движения тела, если известно направление силы? – Да.

А если на тело будут действовать две или несколько сил? — Можно заменить эти силы, приложенные к телу, одной силой, равноценной по своему действию этим силам. Поскольку сила – векторная величина, то можно заменить несколько векторов одним, но по особым правилам. От чего эти правила зависят? – От точки приложения и направления векторов зависит точка приложения и направление равнодействующего вектора.(Если учащиеся затрудняются с ответом, подвести их к нему посредством наводящих вопросов.)

3) Приводится пример перемещения материальной точки (п.79), учащимся предлагается сформулировать тему урока – сложение векторов и действие, противоположное сложению – вычитание векторов.

3.Основная часть.

1) Работа в группах.

Класс делится на 3 группы. Каждой группе предлагается изучить текст учебника(пп 79, 80, 81, 82), рассмотреть рисунки и записать в тетрадь краткие ответы на вопросы (выдаются каждой группе).Один человек от группы по окончании работы доложит ее результат.

Вопросы для групп 1,2:

1. Выполнение какого действия вы изучаете?

2. Назовите количество векторов-компонентов этого действия.

3.Как должны располагаться векторы-компоненты друг относительно друга? (подсказка: используйте понятия «начало вектора», «конец вектора»).

4.Как располагается вектор-результат действия относительно векторов-компонентов этого действия? (см. подсказку выше)

5. Какую фигуру образуют векторы-компоненты и вектор-результат?

Вопросы для группы 3(наиболее сильные учащиеся):

1. Выполнение какого действия вы изучаете?

2. Назовите количество векторов-компонентов этого действия.

5.Рассмотрите второй способ выполнения этого действия. Какое дополнительное действие нужно выполнить?

2) Обсуждение результатов работы групп.

Один человек из каждой группы докладывает результат работы, при необходимости ему оказывают помощь члены его группы и учитель. В процессе обсуждения обращается внимание учащихся на то, что рассматривалось сложение и вычитание неколлинеарных векторов и при изучении разных вопросов группам пришлось отвечать на одни и те же вопросы. Поэтому результаты работы всех групп можно оформить единым образом, а именно в виде таблицы.

3)Работа в тетрадях.

Сколько строк должно быть в этой таблице? — 4 (по количеству групп) содержательные, плюс одна плюс одна(у второй группы два способа выполнения действия).

Сколько столбцов? (Обсуждается предполагаемое количество столбцов, учитель корректирует ответы учащихся) – 4(по количеству вопросов) плюс один для иллюстрации и один для комментариев.

Каково наполнение отдельных ячеек? Какими лучше сделать их размеры? Как лучше расположить тетрадь?

Действие

с векторами

Количество

компо-нентов

Расположе-ние

векторов-компонентов

Расположение

вектора-результата

Графическая

иллюстрация

комментарий

Сложение

Конец одного – начало другого (друг за другом)

Начало в начале одного слагаемого, конец в конце второго

Рисунок типа рис.249

Правило треугольника

Сложение

Выходят из одной точки

Диагональ параллелограмма, построенного на данных векторах, с началом в данной точке

Рисунок типа рис.252

Правило параллелограмма

Сложение

Более 2

Конец одного – начало другого (друг за другом)

Начало в начале первого слагаемого, конец в конце последнего

Рисунок типа рис.254

Правило многоугольника

вычитание

Выходят из одной точки

Соединяет концы векторов, направлен к уменьшаемому

Рисунок типа рис.256

вычитание

Рисунок типа рис.258

Заменить вычитаемое противоположным ему, см. правило треугольника

Ответьте на вопросы:

Какое правило применяют, когда суммируют два вектора?
Что называют разностью двух векторов?
Какие законы действий с векторами встретились вам во время чтения текста?

Запишем их в тетрадь.

Для любых векторов и справедливы равенства:

1. (переместительный закон)

2. (сочетательный закон)

Какие еще равенства справедливы?

3. для любого вектора ;

4. для любых векторов и

V. Первичное закрепление: работа в тетрадях и на доске.

Начертить попарно неколлинеарные векторы и ипостроить векторы ;.

VI. Итог урока.

Что нового вы узнали на уроке? Что показалось наиболее сложным? Будете ли вы использовать таблицу при выполнении домашнего задания? Верны ли установленные нами правила действий для коллинеарных векторов?

VII. Домашнее задание. Таблица, №755,№757, №764(а).

Векторы: третий уровень сложности — Журнал «Код»: программирование без снобизма

Для большинства людей искусственный интеллект — это нечто сложное и таинственное. А для математиков это синоним фразы «перемножение матриц». С точки зрения человека, который владеет линейной алгеброй, в искусственном интеллекте нет ничего загадочного.

Мы хотим, чтобы вы тоже смогли понять искусственный интеллект на уровне математики. Для этого у нас идёт цикл статей про линейную алгебру:

Сама тема несложная, но конкретно этот шаг вам ничего не даст в практическом смысле. Но если вам хватит терпения, на базе этих знаний мы уже перейдём к матрицам.

Что за коллинеарность

Представьте два вектора, которые находятся в одной плоскости и располагаются параллельно друг другу. При этом у них может быть разная длина. Такое расположение делает связку векторов коллинеарными, или, по-простому, линейно зависимыми.

И наоборот: если вектора находятся в одной плоскости и располагаются не параллельно друг относительно друга, то их считают линейно независимыми — неколлинеарными. Пока что ничего сложного.

Сложение коллинеарных и неколлинеарных векторов

Очевидно, что сложить два коллинеарных вектора очень легко: откладываем второй вектор от начала первого, получится новый вектор. Он будет коллинеарным своим слагаемым, они все будут лежать, грубо говоря, на одной линии.

Можно представить, что вы идёте прямо: каждый ваш шаг — это вектор. Каждый новый шаг — новый вектор. Но если все их сложить, получится один большой прямой вектор длиной как все ваши шаги.

Теперь попробуем сложить пару неколлинеарных векторов. Это как если бы мы сначала сделали шаг немного правее, а потом сделали бы шаг влево. Шага два, но если соединить начало и конец пути, он не будет совпадать с траекториями наших шагов. Появится какой-то новый вектор, с новым направлением, и он будет неколлинеарным по отношению к своим слагаемым.

Также пару неколлинеарных векторов из одной плоскости можно растянуть и развернуть в пространстве. Если их сложить, также появится новый вектор.

У математиков такой вектор называют базисом. Когда базис находится на плоскости или в пространстве, то он может единственным образом превращаться обратно в пару неколлинеарных векторов, которые его сформировали.

Правило работает, когда мы масштабируем и меняем расположение векторов в пространстве. Если мы изменим направление исходных векторов, то получим новый базис.

Базис — понятие из высшей математики, поэтому, если сейчас сложно, не отчаивайтесь. Студенты-математики когда-то тоже отчаивались.

Как определять неколлинеарность

Когда мы работаем с короткими векторами, всё очевидно: нарисовали систему координат, отложили на ней векторы, они либо совпали, либо не совпали. Если совпали — коллинеарные, если нет — неколлинеарные.

А теперь представьте, что вектора настолько огромные, что мы физически не можем их нарисовать и сопоставить. Например,

Как такое нарисовать? Как проверить коллинеарность? Вот тут начинается магия алгебры.

Есть три способа проверки линейной зависимости векторов. Для простоты вычислений проверим эти три способа на вот этих всё ещё простых векторах:

По этим координатам ответим на два вопроса: являются ли предложенные вектора линейно зависимыми (то есть коллинеарными) и можно ли их раскладывать по базису.

Первый способ. Запишем простую систему уравнений: возьмём первую координату каждого вектора и приравняем её ко второй координате каждого вектора, умноженной на неизвестное число λ. Вычислим λ и сравним результаты.

👉 Знак λ здесь по традиции и для удобства. На самом деле это просто некое неизвестное число. Вместо этой буквы могли быть X, Y, Z или N, но так как у нас вектора уже называются X и Y, а N в математике используется для других целей, возьмём λ — это греческая буква «лямбда», давний предок нашей русской буквы «Л».

Составляем систему уравнений:

Вычисляем значение λ:

Сравниваем результат и делаем вывод:

Мы получили разное значение для неизвестного числа λ и поэтому наши векторы будут считаться линейно независимыми. Из них можно получить базис.

Если бы значение λ совпало, то мы бы имели дело с линейно зависимыми векторами.

Второй способ. Проверяем координаты векторов на пропорциональность: берём первую координату первого вектора, делим её на первую координату второго вектора. Повторяем это же действие со вторыми координатами: берём вторую координату первого вектора и делим её на вторую координату второго вектора.

Получаем такую пропорцию:

Считаем значение и сравниваем результат:

Равенство не выполняется, и поэтому между векторами нет зависимости.

Третий способ. Используем четыре элемента наших координат для поиска определителя — скалярной величины, с которой мы подробно познакомимся в следующих статьях во время решения матричных уравнений. Сейчас нам не нужны подробности, и для проверки линейной зависимости достаточно формулы.

Записываем в две строки координаты наших векторов:

Переводим координаты векторов в определитель — добавляем с двух сторон вертикальную черту и получаем простую квадратную матрицу размером 2 на 2:

В полученной матрице две диагонали. Числа −6 и −1 образуют главную диагональ; числа −4 и 5 — вторую диагональ. Чтобы найти определитель, нам нужно умножить числа главной и второй диагонали, а затем вычесть их разницу.

Если из координат вектора мы получили определитель и он не равен нулю, то векторы считаются линейно независимыми и подходят для разложения по базису.

И наоборот: нулевой определитель указывает на линейную зависимость векторов.

Что из этого нужно запомнить

С точки зрения векторов важно, они сонаправленные или нет. По-другому — они коллинеарны или нет.
Коллинеарность влияет на то, что можно делать с этими векторами. Например, неколлинеарные векторы можно разложить по базису.
Базис — это вектор, который можно разложить на те самые неколлинеарные векторы.
Коллинеарность легко проверяется через уравнения. Строить векторы на координатной плоскости необязательно.

Что дальше

Следующий шаг — матрицы. Это те самые, которые лежат в основе всех нейронок и искусственного интеллекта. Матрица — это таблица чисел, с которыми можно проводить различные вычисления.

Текст:

Александр Бабаскин

Редактура:

Максим Ильяхов

Художник:

Даня Берковский

Корректор:

Ирина Михеева

Вёрстка:

Мария Дронова

Соцсети:

Олег Вешкурцев

Нажми и учись — неколлинеарные векторы

: Родительская категория: Физика 11-У

1. Неколлинеарные векторы

Когда векторы находятся в одной плоскости, но не действуют по одной и той же линии действия, они известны как неколлинеарные векторы.

Неколлинеарные векторы можно добавить тремя разными способами:

Общее правило добавления векторов независимо от метода по-прежнему: «складывать векторы от хвоста к голове».Когда два или более вектора складываются вместе, результирующий вектор известен как «результирующий ».

Обратите внимание, что на приведенной ниже иллюстрации результат V _T представляет собой сумму векторов V ₁ и V _2. V _T рисуется от хвоста первого вектора ( V ₁ ) к голове последнего вектора ( V ₂ ).

2. Направление векторов

Теперь предположим, что мы помещаем результирующий вектор d в набор координат x-y с его хвостом в начале координат (0,0). Мы хотим узнать его направление.

Обратите внимание, что d находится в направлении, отличном от стандартного направления Север-Юг-Восток-Запад.

Мы используем компас (или навигационную систему направления), чтобы обозначить его направление.

На диаграмме выше показано, как сообщить направление вектора в стандартном формате.

Этот вектор находится 60 ⁰ к востоку от севера (или 30 ⁰ к северу от востока) и имеет величину 10 м. Мы можем нарисовать этот вектор с помощью транспортира и линейки.

Наша отправная точка — ось Y, и мы перемещаемся на 60 ⁰ от северного положения к восточному положению (ось X).

Стандартное обозначение для сообщения величины и направления вектора d :

d = 10 м [N60 ⁰ E].

Примечание: мы также можем сказать, что d = 10 м [E30 ⁰ N].

Учитывая два неколлинеарных вектора, необходимо ли, чтобы они определяли плоскость?

Сеть обмена стеков

Сеть Stack Exchange состоит из 178 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

0
+0
Авторизоваться Подписаться

Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил 5 лет, 8 месяцев назад

Просмотрено 1к раз

Я где-то читал, что любые два неколлинеарных вектора определяют плоскость.Но я, кажется, не понимаю, как два скошенных вектора могут определять плоскость.

Создан 24 дек.

2122 бронзовых знака

Думаю, у вас проблема с геометрическим изображением вектора в виде стрелки.Если вы считаете, что вектор может быть где угодно в пространстве, тогда два вектора могут лежать на наклонных линиях. Тогда вы правы: самолет не определяют. Это часто полезный взгляд на векторы в физике.

Но … при изучении векторов в математике принято, что (на картинке, которую вы себе представляете) все они начинаются в начале системы координат. Затем вы должны «увидеть», как два вектора, лежащие на двух разных линиях, проходящих через начало координат, будут охватывать плоскость.

Если у вас есть правильная картина, другие ответы (с алгеброй) будут иметь больше смысла.

Создан 24 дек.

Итан Болкер

74.2k55 золотых знаков8686 серебряных знаков165165 бронзовых знаков

$ \ endgroup $ $ \ begingroup $

Если вы назовете «плоскость» $ 2- $ мерным векторным пространством, то для некоторого векторного пространства $ V $, если у вас есть два неколлинеарных вектора $ v_1 \ in V $ и $ v_2 \ in V $, они являются базой $ P = \ mathrm {Span} (v_1, v_2) $.Действительно, семейство $ (v_1, v_2) $:

бесплатно: если $ \ lambda_1v_1 + \ lambda_2v_2 = 0 $ с $ \ lambda_1 \ neq0 $, тогда $ v_1 = \ frac {\ lambda_2} {\ lambda_1} v_2 $ и ваши векторы будут колинеарными, тот же аргумент, если $ \ lambda_2 \ neq 0, $
генерирующий: по определению.

Создан 24 дек.

Воздушный Шар

7,31911 золотых знаков1010 серебряных знаков2424 бронзовых знака

$ \ endgroup $ $ \ begingroup $

Поскольку два вектора неколлинеарны… их перекрестное произведение не равно нулю, а является вектором, перпендикулярным плоскости, определяемой данными двумя векторами ….

Создан 24 дек.

JasserJasser

2,8461111 серебряных знаков2323 бронзовых знака

$ \ endgroup $ 3

Не тот ответ, который вы ищете? Посмотрите другие вопросы с метками векторы или задайте свой вопрос.

Mathematics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScript

Ваша конфиденциальность

Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь с тем, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в отношении файлов cookie.

Принимать все файлы cookie Настроить параметры

Добавление компонентов (т. Е. Аналитический метод сложения векторов)

Ранее в этом уроке мы узнали, что векторы, ориентированные под прямым углом друг к другу, можно сложить вместе с помощью теоремы Пифагора.Например, два вектора смещения с величиной и направлением 11 км, север и 11 км, восток, могут быть сложены вместе, чтобы получить результирующий вектор, направленный как на север, так и на восток. Когда два вектора складываются вместе, как показано ниже, в результате получается гипотенуза прямоугольного треугольника. Стороны прямоугольного треугольника имеют длину 11 км и 11 км. Результат можно определить с помощью теоремы Пифагора; его величина составляет 15,6 км. Решение показано под диаграммой.

Этот подход Пифагора является полезным подходом для добавления любых двух векторов, направленных под прямым углом друг к другу. Прямоугольный треугольник имеет две стороны плюс гипотенузу; так что теорема Пифагора идеально подходит для сложения двух векторов под прямым углом. Но есть пределы полезности теоремы Пифагора при решении задач сложения векторов. Например, сложение трех или четырех векторов не приводит к образованию прямоугольного треугольника с двумя сторонами и гипотенузой.Поэтому на первый взгляд может показаться, что невозможно использовать теорему Пифагора для определения результата сложения трех или четырех векторов. Кроме того, теорема Пифагора работает, когда два добавленных вектора находятся под прямым углом друг к другу — например, для добавления вектора севера и вектора востока. Но что делать, если два складываемых вектора не расположены под прямым углом друг к другу? Есть ли способ с помощью математики надежно определить результат для таких ситуаций сложения векторов? Или студенту-физику остается определять такие результирующие с помощью масштабированной векторной диаграммы? Здесь, на этой странице, мы узнаем, как подходить к более сложным ситуациям сложения векторов, комбинируя концепцию векторных компонентов (обсуждавшихся ранее) и принципов векторного разрешения (обсужденных ранее) с использованием теоремы Пифагора (обсуждавшейся ранее).

Сложение трех или более прямоугольных векторов

В качестве первого примера рассмотрим следующую задачу сложения векторов:

Пример 1:

Студент проезжает на своей машине 6,0 км на север, затем делает поворот направо и едет на 6,0 км на восток. Наконец, ученик поворачивает налево и едет еще 2,0 км на север. Какова величина общего перемещения студента?

Как и любая проблема в физике, успешное решение начинается с выработки мысленной картины ситуации.Построение диаграммы, подобной приведенной ниже, часто оказывается полезным в процессе визуализации.

Когда эти три вектора складываются вместе по принципу «голова к хвосту», результатом является вектор, который простирается от хвоста первого вектора (6,0 км, север, показан красным) до стрелки третьего вектора (2,0 км, Север, показан зеленым цветом). Схема сложения векторов «голова к хвосту» показана ниже.

Как видно на диаграмме, результирующий вектор (нарисованный черным цветом) не является гипотенузой любого прямоугольного треугольника — по крайней мере, не любого сразу очевидного прямоугольного треугольника.Но можно ли заставить этот результирующий вектор быть гипотенузой прямоугольного треугольника? Ответ — да! Для этого необходимо изменить порядок добавления трех векторов. Вышеупомянутые векторы были нарисованы в том порядке, в котором они были запущены. Студент поехал на север, затем на восток, а затем снова на север. Но если сложить три вектора в порядке 6.0 км, N + 2.0 км, N + 6.0 км, E, то диаграмма будет выглядеть так:

После изменения порядка добавления трех векторов результирующий вектор теперь является гипотенузой прямоугольного треугольника.Длина перпендикулярных сторон прямоугольного треугольника составляет 8,0 м, север (6,0 км + 2,0 км) и 6,0 км, восток. Величину результирующего вектора (R) можно определить с помощью теоремы Пифагора.

R ² = (8,0 км) ² + (6,0 км) ²
R ² = 64,0 км ² + 36,0 км ²
R ² = 100,0 км ²
R = SQRT (100,0 км2)
R = 10,0 км

(SQRT означает квадратный корень)

На первой диаграмме сложения векторов выше три вектора были добавлены в том порядке, в котором они управляются.На второй диаграмме сложения векторов (непосредственно выше) порядок, в котором были добавлены векторы, был изменен. Это изменение порядка не повлияло на размер полученного результата. Это иллюстрирует важный момент о добавлении векторов: результат не зависит от порядка, в котором они добавляются. Сложение векторов A + B + C дает тот же результат, что и добавление векторов B + A + C или даже C + B + A . Пока все три вектора включены с указанными величиной и направлением, результат будет таким же.Это свойство векторов является ключом к стратегии, используемой при определении ответа на приведенный выше пример проблемы. Чтобы проиллюстрировать эту стратегию, давайте рассмотрим ситуацию сложения векторов, описанную в Примере 2 ниже.

Пример 2:

Mac и Тош делают Vector Walk Lab . Начиная с дверей своего класса физики, они проходят 2 метра на юг. Они делают поворот направо и идут 16.0 метров, запад. Они снова поворачивают направо и проходят 24,0 метра на север. Затем они поворачивают налево и проходят 36 метров на запад. Какова величина их общего смещения?

Графическое представление данной проблемы поможет визуализировать происходящее. На схеме ниже показано такое представление.

Когда эти четыре вектора складываются вместе по принципу « голова к хвосту », в результате получается вектор, который простирается от хвоста первого вектора (2.0 м, юг, показан красным) до стрелки четвертого вектора (36,0 м, запад, показан зеленым). Схема сложения векторов «голова к хвосту» показана ниже.

Результирующий вектор (нарисованный черным цветом и обозначенный R ) на приведенной выше диаграмме сложения векторов не является гипотенузой какого-либо сразу очевидного правого треугольника. Но, изменив порядок сложения этих четырех векторов, можно заставить этот результирующий вектор быть гипотенузой прямоугольного треугольника. Например, добавляя векторы в порядке 2.0 м, S + 24,0 м, N + 16,0 м, W + 36,0 м. W, результирующая становится гипотенузой прямоугольного треугольника. Это показано на диаграмме сложения векторов ниже.

После перестановки векторов результирующая теперь гипотенуза прямоугольного треугольника, имеющего две перпендикулярные стороны длиной 22,0 м, север и 52,0 м, запад. 22,0 м, северная сторона, получается из 2,0 м, юга и 24,0 м, сложенных вместе. 52,0 м, западная сторона — результат 16,0 м, запад и 36,0 м, сложенные вместе.Величину результирующего вектора (R) можно определить с помощью теоремы Пифагора.

R ² = (22,0 м) ² + (52,0 м) ²
R ² = 484,0 м ² + 2704,0 м ²
R ² = 3188,0 м ²
R = SQRT (3188,0 м2 ²)
R = 56,5 м

(SQRT означает квадратный корень)

Как видно из этих двух примеров, результат сложения трех или более векторов под прямым углом может быть легко определен с помощью теоремы Пифагора.Это включает добавление векторов в другом порядке.

SOH CAH TOA и направление векторов

Вышеупомянутое обсуждение объясняет метод определения величины результирующего для трех или более перпендикулярных векторов. Тема направления в обсуждении проигнорирована. Теперь обратим внимание на способ определения направления результирующего вектора. В качестве беглого обзора напомним, что ранее в этом уроке было введено соглашение для выражения направления вектора.Соглашение, известное как «против часовой стрелки» от восточного соглашения, часто сокращается как соглашение CCW . Используя это соглашение, направление вектора часто выражается как угол поворота вектора против часовой стрелки вокруг его хвоста от востока.

Чтобы начать обсуждение, давайте вернемся к , Пример 1 выше, где мы попытались добавить три вектора: 6.0 км, N + 6.0 км, E + 2.0 км, N. В решении порядок сложения трех векторов был переставлен так, чтобы образовался прямоугольный треугольник, в результате чего получилась гипотенуза треугольника.Треугольник перерисовывается справа. Обратите внимание, что угол в нижнем левом углу треугольника обозначен как тета (Θ). Тета (Θ) представляет угол, который вектор образует с северной осью. Тета (Θ) можно вычислить с помощью одной из трех тригонометрических функций, представленных ранее в этом уроке — синуса, косинуса или тангенса. Мнемоника SOH CAH TOA — полезный способ запомнить, какую функцию использовать. В этой задаче мы хотим определить угловую меру тэты (), и нам известна длина стороны, противоположной тэте (Θ) — 6.0 км — и длина стороны, прилегающей к углу тета (Θ) — 8,0 км. TOA SOH CAH TOA указывает, что тангенс любого угла — это отношение длин стороны, противоположной стороне, смежной с этим углом. Таким образом, тангенциальная функция будет использоваться для вычисления угловой меры теты (Θ). Работа представлена ниже.

Касательная (Θ) = напротив / рядом
Касательная (Θ) = 6,0 / 8,0
Касательная (Θ) = 0,75
Θ = загар ^-1 (0,75)
Θ = 36.869… °
Θ = 37 °

Проблема не исчезнет после того, как будет вычислено значение тета (Θ). Теперь эту угловую меру необходимо использовать для определения направления. Один из способов сделать это — просто указать, что направление полученного результата — 37 ° к востоку от севера. В качестве альтернативы можно использовать условное обозначение против часовой стрелки. Поскольку угол, который получается в результате с востоком, является дополнением к углу, который получается с севером, мы могли бы выразить направление как 53 ° против часовой стрелки.

Теперь мы рассмотрим Пример 2 как второй пример того, как использовать SOH CAH TOA для определения направления результирующего.В Примере 2 мы пытались определить величину 2,0 м. S + 16,0 м, W + 24,0 м, N + 36,0 м, W. Решение заключалось в изменении порядка сложения так, чтобы в результате получилась гипотенуза прямоугольного треугольника с известными сторонами. Правый треугольник показан ниже. Результат отображается черным цветом. Еще раз обратите внимание, что угол в правом нижнем углу треугольника обозначен как тета (Θ). Тета (Θ) представляет угол, который вектор образует с северной осью.

Theta (Θ) можно вычислить с помощью касательной функции.В этой задаче мы хотим определить угловую меру тета (Θ), и нам известна длина стороны, противоположной тета (Θ) — 52,0 м — и длина стороны, примыкающей к углу тета (Θ) — 22,0 м. TOA SOH CAH TOA указывает, что тангенс любого угла — это отношение длин стороны, противоположной стороне, смежной с этим углом. Таким образом, тангенциальная функция будет использоваться для вычисления угловой меры теты (Θ). Работа представлена ниже.

Касательная (Θ) = напротив / рядом
Касательная (Θ) = 52.0 / 22,0
Касательная (Θ) = 2,3636…
Θ = загар ^-1 (2,3636…)
Θ = 67,067… °
Θ = 67,1 °

Таким образом, направление вектора может быть определено так же, как он всегда определяется — путем определения угла поворота против часовой стрелки с востока. Поскольку результат — гипотенуза прямоугольного треугольника, этого можно достичь, сначала найдя угол, который получается с одной из ближайших осей треугольника. После этого нужно немного подумать, чтобы связать угол с направлением.

Добавление неперпендикулярных векторов

Теперь мы рассмотрим ситуации, в которых два (или более) добавляемых вектора не расположены под прямым углом друг к другу. Теорема Пифагора неприменима к таким ситуациям, поскольку применима только к прямоугольным треугольникам. Два неперпендикулярных вектора не образуют прямоугольный треугольник. Тем не менее, можно заставить два (или более) неперпендикулярных вектора преобразовываться в другие векторы, которые образуют прямоугольный треугольник.Уловка включает в себя концепцию векторного компонента и процесс векторного разрешения.

Компонент вектора описывает влияние вектора в заданном направлении. Любой вектор , расположенный под углом , имеет две компоненты; один направлен горизонтально, а другой — вертикально. Например, северо-западный вектор имеет северную составляющую и западную составляющую. Вместе эффект этих двух компонентов равен общему эффекту вектора под углом . В качестве примера рассмотрим самолет, который летит на северо-запад из аэропорта Чикаго О’Хара в сторону границы с Канадой.Вектор северо-западного смещения плоскости имеет две составляющие — северную и западную. При сложении эти две составляющие равны общему северо-западному смещению. Это показано на схеме ниже.

Вектор северо-запад имеет северную и западную составляющие, которые представлены как A _x и A _y . Можно сказать что
A = A _x + A _y
Поэтому всякий раз, когда мы думаем о векторе северо-запад, мы можем думать вместо двух векторов — вектора севера и вектора запада.Два компонента A, _x + A _y могут быть заменены на один вектор A в задаче.
Теперь предположим, что ваша задача включает в себя сложение двух неперпендикулярных векторов вместе. Мы будем называть векторы A и B . Вектор A — это скошенный вектор , который не является ни горизонтальным, ни вертикальным. А вектор B — красивый, вежливый вектор, направленный горизонтально. Ситуация показана ниже.
Конечно, неприятный вектор A, состоит из двух компонентов — A, _x, и A, _y . Эти две компоненты вместе равны вектору A . То есть A = A _x + A _y .

И поскольку это правда, можно сказать, что A + B = A _x + A _y + B .

Таким образом, проблема A + B превратилась в проблему, в которой все векторы расположены под прямым углом друг к другу. Nasty был заменен на nice , и это должно порадовать любого студента-физика. Поскольку все векторы расположены под прямым углом друг к другу, их сложение приводит к результату, который находится в гипотенузе прямоугольного треугольника. Затем можно использовать теорему Пифагора для определения величины результирующего.

Чтобы увидеть, как этот процесс работает с реальной проблемой сложения векторов, рассмотрим пример 3, показанный ниже.
Пример 3:
Макс играет среднего полузащитника футбольной команды Юга.Во время одной игры в матче в прошлую пятницу вечером против New Greer Academy, он сделал следующие движения после того, как мяч был перехвачен при третьем падении. Сначала он дал задний ход в южном направлении на 2,6 метра. Затем он переместился влево (на запад) на расстояние 2,2 метра. Наконец, он сделал пол-оборота и пробежал вниз по полю на расстояние 4,8 метра в направлении 240 ° против часовой стрелки с востока (30 ° з.д.), прежде чем окончательно выбить ветер из широкого приемника New Greer. Определите величину и направление общего смещения Макса.

Как обычно, решение начинается с диаграммы добавляемых векторов.

Для облегчения обсуждения три вектора были помечены как векторы A , B и C . Результат — векторная сумма этих трех векторов; диаграмма сложения векторов «голова к хвосту» показывает, что результат направлен на юго-запад. Из трех добавляемых векторов вектор C явно является отвратительным вектором .Его направление не строго на юг и не на запад. Решение включает в себя разложение этого вектора на его составляющие.

Процесс векторного разрешения обсуждался ранее в этом уроке. Процесс включает использование величины, синуса и косинуса для определения x- и y-компонентов вектора. Вектор C составляет угол 30 ° с южным направлением. Изобразив прямоугольный треугольник с горизонтальным и вертикальным катетами и C в качестве гипотенузы, становится возможным определить компоненты вектора C.Это показано на схеме ниже. Сторона, примыкающая к этому углу в 30 ° в треугольнике, является вертикальной стороной; вертикальная сторона представляет собой вертикальную (южную) составляющую C — C _y. Итак, чтобы определить C _y, используется функция косинуса. Сторона, противоположная углу 30 °, является горизонтальной стороной; горизонтальная сторона представляет собой горизонтальную (западную) составляющую C — C _x. Значения C _x и C _y можно определить с помощью SOH CAH TOA. Функция косинуса используется для определения компонента, направленного на юг, поскольку компонент, направленный на юг, примыкает к углу 30 °.Синусоидальная функция используется для определения западной составляющей, поскольку западная составляющая является стороной, противоположной углу 30 °. Работа представлена ниже.

Теперь наша задача сложения векторов была преобразована из добавления двух хороших векторов и одного неприятного вектора в добавление четырех хороших векторов.

Поскольку все векторы ориентированы вдоль обычных осей север-юг и восток-запад, они могут быть добавлены в любом порядке, чтобы получить прямоугольный треугольник, гипотенуза которого является результирующей.Такая диаграмма представлена ниже.

Перпендикулярные стороны треугольника имеют длину 4,6 метра и 6,756 метра. Длина горизонтальной стороны (4,6 м) была определена путем сложения значений B (2,2 м) и C _x (2,4 м). Длина вертикальной стороны (6,756… м) определялась сложением значений A (2,6 м) и C _y (4,156… м). Результирующая величина (R) теперь может быть определена с помощью теоремы Пифагора.
R ² = (6.756… м) ² + (4,6 м) ²
R ² = 45,655… м ² + 21,16 м ²
R ² = 66,815… м ²
R = SQRT (66,815… м ²)
R = 8,174… м
R = ~ 8,2 м

Направление результирующей можно определить, найдя угол, который она составляет с вектором север-юг или восток-запад. На диаграмме справа показан угол тета (Θ), отмеченный внутри треугольника сложения векторов.Этот угол тета — это угол, который получается в результате с западом. Его значение можно определить с помощью функции касательной. Функция касательной (как в TOA) связывает значение угла с отношением длин противоположной стороны к соседней стороне. То есть,
касательная (Θ) = (6,756… м) / (4,6 м) = 1,46889…

Используя функцию обратной тангенсации, можно определить угол тета (Θ). На большинстве калькуляторов для этого используются кнопки 2-го касания.
Θ = загар ^-1 (1.46889…) = 55,7536… °
Θ = ~ 56 °
Этот угол 56 ° представляет собой угол между результирующим вектором (нарисованным черным цветом выше) и направлением на запад. Это делает направление 56 ° к югу от запада. Направление результирующего, основанное на соглашении против часовой стрелки от восточного (CCW), можно определить, добавив 180 ° к 56 °. Таким образом, направление против часовой стрелки составляет 236 °.
Пример 4 предоставляет последний пример того, как объединить разрешение вектора со сложением векторов, чтобы добавить три или более неперпендикулярных вектора.Поскольку этот пример включает в себя три особенно неприятных вектора , таблица будет использоваться для организации информации о величине и направлении компонентов. Использование таблицы — разумная идея, когда проблемы усложняются.

Пример 4:
Кэмерон Пер (его друзья называют его Кэмом) и компания Baxter Nature отправляются в поход. Начиная с домашней базы, они совершают следующие движения.
A: 2,65 км, 140 ° против часовой стрелки
А: 4.77 км, 252 ° против часовой стрелки
C: 3,18 км, 332 ° против часовой стрелки
Определите величину и направление их общего смещения.

Наглядное представление ситуации показано ниже.

Чтобы определить результат, три отдельных вектора разделяются на горизонтальные и вертикальные компоненты. Информация об угле каждого вектора используется для формирования прямоугольного треугольника, в котором вектор является гипотенузой, а его перпендикулярные стороны ориентированы по осям восток-запад и север-юг.Это показано на схеме ниже.

Затем тригонометрические функции — синус, косинус и тангенс — используются для определения величины горизонтальной и вертикальной составляющих каждого вектора. Работа показана и организована в таблице ниже.
Вектор
Компонент Восток-Запад
Компонент Север-Юг

A
2.65 км
140 ° против часовой стрелки (2,65 км) • cos (40 °)
= 2,030… км, запад
(2,65 км) • sin (40 °)
= 1,703… км, север

B
4.77 км
252 ° против часовой стрелки (4,77 км) • sin (18 °)
= 1,474… км, запад
(4,77 км) • cos (18 °)
= 4,536… км, юг

С
3.18 км
332 ° против часовой стрелки (3.18 км) • cos (28 °)
= 2,808… км, восток
(3,18 км) • sin (28 °)
= 1,493… км, юг

Сумма
А + В + С 0.696 км, Запад 4.326 км, юг
Последняя строка вышеприведенной таблицы представляет собой сумму всех компонентов Восток-Запад и сумму всех компонентов Север-Юг. Результирующий состоит из этих двух компонентов.Результирующая определяется путем сложения этих двух компонентов, чтобы сформировать прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна результирующей. Обычно это включает в себя добавление всех горизонтальных компонентов для определения общей длины горизонтальной стороны прямоугольного треугольника… и добавление всех вертикальных компонентов для определения общей длины вертикальной стороны прямоугольного треугольника. Это делается в таблице выше, просто добавляя еще одну строку в таблицу для векторной суммы всех компонентов.При сложении компонентов восток-запад всех отдельных векторов необходимо учитывать, что компонент, направленный на восток, и компонент, направленный на запад, суммируются как положительный и отрицательный . Некоторые студенты предпочитают думать об этом как о вычитании, а не как о сложении. На самом деле это действительно сложение — сложение векторов с противоположным направлением. Точно так же северная и южная составляющие также суммируются как положительный и отрицательный .Как только нижняя строка определена точно, величина результирующего может быть определена с помощью теоремы Пифагора.
R ² = (0,696 км) ² + (4,326 км) ²
R ² = 0,484 км ² + 18,714 км ²
R ² = 19,199 км ²
R = SQRT (19.199 км ²)
R = ~ 4.38 км

Направление результирующего смещения можно определить, построив последний треугольник из составляющих результирующего.Компоненты результирующего — это просто сумма компонентов восток-запад и север-юг. После этого SOH CAH TOA используется для определения угла, который получается в результате с ближайшей осью. Схема показана справа. Угол, обозначенный как тета (Θ), представляет собой угол между результирующим вектором и западной осью. Этот угол можно рассчитать следующим образом:
Касательная (Θ) = напротив / рядом
Касательная (Θ) = (4,326 км) / (0,696 км)
Касательная (Θ) = 6,216
Θ = загар ^-1 (6.216)
Θ = 80,9 °

Эта угловая мера представляет собой угол поворота вектора к югу от западного направления. Это будет выглядеть как 80,9 ° к югу от запада. Поскольку запад равен 180 ° против часовой стрелки от востока, направление также может быть выражено против часовой стрелки (CCW) от восточного соглашения как 260,9 °.
Итак, в результате нашего анализа общее смещение составляет 4,38 км при направлении 260,9 ° (против часовой стрелки).
На этой странице были рассмотрены следующие вопросы:
Как можно сложить три или более перпендикулярных вектора, чтобы определить результат?
Как можно сложить два или более неперпендикулярных вектора, чтобы определить результат?
По обоим вопросам мы обнаружили, что любые два, три или более вектора можно преобразовать или переставить так, чтобы они складывались вместе, образуя прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза является результирующей.После того, как прямоугольный треугольник сформирован, можно использовать теорему Пифагора и SOH CAH TOA для вычисления результата.
Мы хотели бы предложить … Иногда просто прочитать об этом недостаточно. Вы должны с ним взаимодействовать! И это именно то, что вы делаете, когда используете один из интерактивных материалов The Physics Classroom. Мы хотели бы предложить вам совместить чтение этой страницы с использованием нашего интерактивного приложения «Назови этот вектор», интерактивного элемента «Сложение векторов» или «Интерактивной игры по угадыванию векторов».Все три интерактивных элемента можно найти в разделе «Интерактивная физика» нашего веб-сайта и обеспечить интерактивный опыт с навыком добавления векторов.

Поэкспериментируйте с виджетом ниже, а затем попробуйте решить задачи в разделе «Проверьте свое понимание», чтобы проверить свои навыки добавления векторов с помощью компонентов.
Практика!
Виджет ниже вычисляет сумму трех векторов, если известны x- и y-компоненты.Используйте виджет, чтобы попрактиковаться и проверить проблему.
Проверьте свое понимание Рассмотрим схему ниже. В сетке представлены девять уникальных помеченных мест. Каждый квадрат в сетке представляет собой площадь 20 х 20 метров. Справа по сетке — в восточном направлении, а вверх по сетке — в северном направлении. Используйте сетку, чтобы ответить на несколько следующих вопросов.

1.Предположим, что человек начинает с позиции A и идет в позицию E, а затем в позицию G. Заполните приведенную ниже таблицу, чтобы указать компоненты восток-запад и север-юг отдельных этапов прогулки и компоненты результирующего смещения. . Сделайте измерения вне сетки. Наконец, используйте теорему Пифагора и SOH CAH TOA, чтобы определить величину и направление результирующего смещения.
Вектор
Компонент Восток-Запад
Компонент Север-Юг

A до E

от E до G

Результат
От A до G
Величина результата: _________________________
Направление результата: _________________________
2.Используя ту же сетку, повторите измерения для прогулки от точки C до точки B и до точки F. Выполните измерения вне сетки и используйте теорему Пифагора и SOH CAH TOA, чтобы определить величину и направление результирующего смещения.
Вектор
Компонент Восток-Запад
Компонент Север-Юг

C по B

От B до F

Результат
C по F
Величина результата: _________________________
Направление результата: _________________________
3.Наконец, используйте ту же сетку, чтобы повторить измерения для прогулки от точки I до точки B, от точки G до точки H. Выполните измерения вне сетки и используйте теорему Пифагора и SOH CAH TOA, чтобы определить величину и направление движения. результирующее смещение.
Вектор
Компонент Восток-Запад
Компонент Север-Юг

I до B

B до G

G до H

Результат
I к H
Величина результата: _________________________
Направление результата: _________________________
4.Во время своего недавнего похода в продуктовый магазин Клэр де Иль прошла 28 м до конца прохода. Затем она повернула направо и прошла 12 м до конца прохода. Наконец, она сделала еще один поворот направо и прошла 12 м в направлении, противоположном ее первоначальному направлению. Определите величину результирующего смещения Клэр. (Фактическое направление — восток, запад, север, юг — не в фокусе.)
5. В заключительной игре прошлогоднего регулярного сезона Южный играл в Академии Нью-Грира за Чемпионат Конференции.В последней игре игры звездный защитник Эйвери отвлекся от схватки и ускользнул назад (на север) на 8,0 ярдов. Затем он пробежал боком (на запад) из кармана на 12,0 ярдов, прежде чем, наконец, бросил передачу на 34,0 ярда прямо вниз (на юг) Кендаллу для выигрышного тачдауна. Определите величину и направление смещения мяча.
6. Миа Андер выходит через парадную дверь своего дома и идет по пути, показанному на схеме справа (не в масштабе).Прогулка состоит из четырех этапов и имеет следующие величины:
.
A = 46 м
B = 142 м
C = 78 м
D = 89 м

Определите величину и направление результирующего смещения Миа. Рассмотрите возможность использования таблицы для организации своих расчетов.
коллинеарных векторов
Условие коллинеарности векторов
Два вектора коллинеарны, если выполнено одно из этих условий:
Условие коллинеарности векторов 1.Два вектора a и b коллинеарны, если существует такое число n, что
а = н · б
Условие коллинеарности векторов 2. Два вектора коллинеарны , если отношения их координат равны.
N.B. Условие 2 недействительно, если один из компонентов вектора равен нулю.
N.B. Условие 3 применяется только к трехмерным (пространственным) задачам.
Доказательство условия коллинеарности 3
Пусть есть два коллинеарных вектора a = {a _x; а _y; a _z} и b = {na _x; на _и; na _z}.Находим их перекрестное произведение
a × b = i j k = i (a _y b _z — a _z b _y) — j (a _x b _z — a _z b _x) + k (a _x b _y — a _y b _x) =
a _x a _y a _z
b _x b _y b _z

= i (a _y na _z — a _z na _y) — j (a _x na _z — a _z na _x) + k (a _x na _y — a _y na _x) = 0 i + 0 j + 0 k = 0
Примеры задач
Примеры плоских задач
Пример 1.Какой из векторов a = {1; 2}, b = {4; 8}, c = {5; 9} коллинеарны?
Решение: Поскольку векторы не содержат компонентов, равных нулю, используйте условие коллинеарности 2, которое в случае плоской задачи для векторов a и b будет выглядеть:
означает:
Векторы a и b коллинеарны, потому что 1 = 2 .
4 8
Векторы a и с не коллинеарны, потому что 1 ≠ 2 .
5 9
Векторы с и b не коллинеарны, потому что 5 ≠ 9 .
4 8
Пример 2. Докажите, что вектор a = {0; 3} и b = {0; 6} коллинеарны.
Решение: Поскольку компоненты вектора содержат ноль, то, используя условие коллинеарности 1, мы находим число n, для которого:
b = нет.
Для этого находим ненулевую компоненту вектора a, в данном случае это _y. Если векторы коллинеарны, то
n = б _г = 6 = 2
a _y 3
Рассчитать значение na:
на = {2 · 0; 2 · 3} = {0; 6}
Поскольку b = 2a, векторы a и b коллинеарны.
Пример 3. Найти значение n, при котором векторы a = {3; 2} и b = {9; n} коллинеарны.
Решение: Поскольку векторы не содержат компонентов, равных нулю, то используйте условие коллинеарности 2
означает:
Решите это уравнение:
Ответ: векторов a и b коллинеарны при n = 6.

Примеры пространственных задач
Пример 4. Какой из векторов a = {1; 2; 3}, b = {4; 8; 12}, c = {5; 10; 12} коллинеарны?
Решение: Поскольку векторы не содержат компонентов, равных нулю, используйте условие коллинеарности 2, которое в случае плоской задачи для векторов a и b будет выглядеть:
a _x = a _y = a _z .
b _x б _г b _z
Значит:
Векторы a и b коллинеарны, потому что 1 = 2 = 3 .
4 8 12
Векторы a и с не коллинеарны, потому что 1 = 2 ≠ 3 .
5 10 12
Векторы с и b не коллинеарны, потому что 5 = 10 ≠ 12 .
4 8 12
Пример 5. Докажите, что вектор a = {0; 3; 1} и b = {0; 6; 2} коллинеарны.
Решение: Поскольку компоненты вектора содержат ноль, то, используя условие коллинеарности 1, мы находим число n, для которого:
b = нет.
Для этого находим ненулевую компоненту вектора a, в данном случае это _y. Если векторы коллинеарны, то
n = б _г = 6 = 2
a _y 3
Рассчитать значение na:
на = {2 · 0; 2 · 3; 2 · 1} = {0; 6; 2}
Поскольку b = 2a, векторы a и b коллинеарны.
Пример 6. Найдите значение n и m, при котором векторы a = {3; 2; m} и b = {9; n; 12} коллинеарны.
Решение: Поскольку векторы не содержат компонентов, равных нулю, то используйте условие коллинеарности 2
a _x = a _y = a _z .
b _x б _г b _z
Значит:
Из этих соотношений получаем два уравнения:
Решите это уравнение:
Ответ: векторов a и b коллинеарны, когда n = 6 и m = 4.
Какая пара из следующих сил никогда не даст равнодействующей силы 2 Ньютона? — Mvorganizing.org
Какая пара из следующих сил никогда не даст равнодействующей силы 2 Ньютона?
1 н. И 3 н.
Чему равны 6N и 8N?
Есть две силы 6Н и 8Н. Если силы имеют противоположное направление, то результирующая сила равна 2Н в направлении 8Н. Таким образом, максимальная сила для этой пары сил составляет 14 Н, а минимальная сила — 2 Н.Из предложенных четырех вариантов правильный ответ — 11 N.
Что такое равнодействующая сила в механике?
Результирующая сила. Результирующая сила на объект: сила, остающаяся после того, как равные и противоположные силы уравновешиваются; одна сила, которая будет иметь тот же эффект, что и все силы; векторная сумма сил на объекте.
Какой из приведенных ниже наборов может представлять величину?
2,4,8.
Какой из приведенных ниже наборов может представлять величину трех векторов, добавляющих 2 0?
Ответ.Пояснение: сумма трех векторов будет равна нулю только тогда, когда все три следуют свойству треугольника. т.е. сумма двух сторон любого треугольника всегда больше или равна третьей стороне.
Какая составляющая вектора?
Векторная величина имеет две характеристики: величину и направление. При сравнении двух векторных величин одного и того же типа вы должны сравнить как величину, так и направление. На этом слайде мы описываем математическую концепцию, уникальную для векторов; компоненты вектора.
Какой из следующих наборов сил не может дать нулевую результирующую?
Три вектора с величинами 10, 10 и 25 не могут дать нулевой результат. Если три вектора дают нулевой результат, тогда сумма значений любых двух больше или равна величине третьего, а разница меньше или равна величине третьего.
Что такое векторная сумма n компланарных сил?
Следовательно, векторная сумма N компланарных сил, имеющая величину F, когда каждая сила составляет угол 2πN с предыдущей, равна нулю.
Какой из следующих наборов величин трех сил не может привести к нулю равнодействующей?
Ответ. Ответ: Никто не может сделать только вариант C, потому что это триплет Пифагора, поэтому образует замкнутый прямоугольный треугольник, поэтому его результат равен нулю.
Какое минимальное количество копланарных векторов?
Согласно закону сложения векторов треугольника, необходимо минимум три вектора, чтобы получить нулевой результат. Таким образом, мы можем сказать, что требуется минимум 3 компланарных вектора для представления одной и той же физической величины, имеющей разные величины, которые можно сложить, чтобы получить нулевой результат.
Как узнать, компланарны ли два вектора?
Копланарные векторы
Если есть три вектора в трехмерном пространстве и их тройное скалярное произведение равно нулю, то эти три вектора компланарны.
Если есть три вектора в трехмерном пространстве, и они линейно независимы, то эти три вектора компланарны.
Какое минимальное количество векторов может дать ноль?
три вектора
Какое минимальное количество ненулевых неколлинеарных векторов требуется для создания нулевого вектора?
три.Значит, вам нужно больше векторов. Таким образом, u, v, w неколлинеарны и в сумме дают нулевой вектор.
Сколько минимального числа векторов в разных плоскостях можно добавить к нулевому результату?
4
Могут ли три вектора, не лежащие в плоскости, давать нулевой результат?
Движение в плоскости. Результирующая из двух векторов лежит в одной плоскости. Следовательно, три вектора в одной плоскости не могут дать результирующий ноль. Чтобы результат трех векторов был равен нулю, результат двух должен быть равен третьему и противоположен ему.
Какое минимальное количество векторов можно добавить, чтобы получить результирующий вектор?
Два вектора можно сложить вместе, чтобы определить результат (или результирующий).
Могут ли четыре вектора равняться нулю?
Но когда мы берем четыре вектора, которые не находятся в одной плоскости, их прямоугольные компоненты компенсируют друг друга, поэтому их результат равен нулю.
Что из следующего не является существенным для трех векторов для получения нулевого результата?
Ответ.Они не обязаны действовать вдоль сторон параллелограмма, остальные все параметры необходимы для того, чтобы равнодействующая трех векторов была равна нулю. Это потому, что если их расположить как стороны параллелограмма, они не дадут ноль.
Какое обязательное условие для сложения векторов?
Обязательным условием сложения двух векторов является то, что они должны находиться в одном векторном пространстве. Это означает, что оба должны иметь равное количество компонентов и должны быть представлены в i cap и j cap.
Какие из следующих условий являются достаточными и существенными для того, чтобы величина была вектором?
Величина может быть взята за вектор, если она подчиняется следующему условию: (i) Величина имеет как величину, так и направление. (ii) Величина подчиняется законам сложения векторов.
Какое максимальное количество компонентов может быть преобразовано в вектор?
Вектор можно разбить на бесконечные компоненты (но только на 3 ортогональные)
Что такое треугольный закон сложения векторов?
Закон сложения векторов треугольника гласит, что когда два вектора представлены как две стороны треугольника с порядком величины и направлением, тогда третья сторона треугольника представляет величину и направление результирующего вектора.
Какова формула сложения векторов?
Чтобы сложить или вычесть два вектора, добавьте или вычтите соответствующие компоненты. Пусть → u = ⟨u1, u2⟩ и → v = ⟨v1, v2⟩ — два вектора. Сумма двух или более векторов называется результирующей. Результат двух векторов можно найти с помощью метода параллелограмма или метода треугольника.
Что такое сложение вектора параллелограмма?
Параллелограмм Закон векторов Если два вектора действуют одновременно в точке, то это может быть представлено как по величине, так и по направлению соседними сторонами, начерченными из точки.По закону параллелограмма сторона OC параллелограмма представляет собой результирующий вектор R.
Как вы доказываете сложение векторов?
Утверждение закона сложения векторов параллелограмма: если два вектора считаются смежными сторонами параллелограмма, то результат двух векторов задается вектором, который является диагональю, проходящей через точку соприкосновения двух векторов.
Сложение вектора — обзор
3.10 Закон гиропараллелограмма
Закон сложения гиропараллелограмма дает коммутативную бинарную операцию между гировекторами в пространствах гиропараллелограммов Эйнштейна, показанную на рис.3.9. Как показано в теореме 3.15, он полностью аналогичен обычному параллелограммному закону сложения векторов в евклидовой геометрии [89].
Теорема 3.15 Закон (сложение) гиропараллелограмма
Пусть ABDC — гиропараллелограмм в гиропараллелограмме Эйнштейна (ℝcn, ⊕, ⊗), n∈ℕ. Тогда
(3,59) A⊕B⊞⊖A⊕C = ⊖A⊕D.
Доказательство
По следствию 2.56, с. 57, а по условию гиропараллелограмма (3.55) имеем (см.рис.3.9 для n = 2)
(3.60) ⊖A⊕B⊞⊖A⊕C = ⊖A⊕B⊞C⊖A = ⊖A⊕D.
Гиропараллелограмм ABDC в плоскости гиропараллелограмма Эйнштейна (ℝc2, ⊕, ⊗) показан на рис. 3.9 вместе с законом сложения гиропараллелограммов.
Следующая теорема устанавливает связь между противоположными гиро- зидами гиропараллелограмма.
Теорема 3.16
Противоположные гирозиды гиропараллелограмма ABDC в пространстве гировекторов Эйнштейна (ℝcn, ⊕, ⊗), показаны на Рис.3.8 и 3.9 , равны по модулю вращения,
(3.61) ⊖C⊕D = gyrC⊖BgyrB⊖A⊖A⊕B = gyrC⊖BB⊖A⊖B⊕D = gyrB⊖CgyrC⊖ A⊖A⊕C = gyrB⊖CC⊖A
и, что эквивалентно,
(3.62) ⊖C⊕D = gyrC⊖B⊖B⊕A⊖C⊕A = gyrC⊖B⊖B⊕ Д.
Две противоположные гироскопические стороны гиропараллелограмма совпадают, имеют равные гирольные длины,
(3,63) A⊕B = ⊖C⊕D⊖A⊕C = ⊖B⊕D.
Доказательство
По теореме 2.21, с. 30 мы имеем идентификатор гирогруппы
(3.64) A⊕D = A⊕C⊕gyr⊖AC⊖C⊕D,
и по теореме 3.15, учитывая определение кооперации гирогрупп ⊞, имеем
(3.65) ⊖A⊕D = ⊖A ⊕C⊞⊖A⊕B = ⊖A⊕C⊕gyr⊖A⊕CA⊖B⊖A⊕B
для гиропараллелограмма ABDC . Сравнивая правую часть (3.64) и крайнюю правую часть (3.65) и используя левое сокращение, получаем
(3.66) gyr⊖A⊕CA⊖B⊖A⊕B = gyr⊖AC⊖ C⊕D.
Идентичность (3.66) может быть записана в терминах Идентичности (2.212), стр. 54, а также
(3.67) gyrA⊖CgyrC⊖BgyrB⊖A⊖A⊕B = gyr⊖AC⊖C⊕D,
который сводится к первому тождеству в (3.61) путем исключения gyr [ A , ⊖ C ] на обоих стороны (3.67). Точно так же, меняя местами B и C , можно проверить вторую идентичность в (3.61).
Эквивалентность между (3.61) и (3.62) следует из гироавтоморфного обратного свойства и инверсии гирации.
Наконец, (3.63) следует из (3.61), поскольку инерции сохраняют гирольную длину.
Ньютоновский аналог закона сложения гиропараллелограммов (3.59) дает закон сложения параллелограммов
(3.68) −A + B + −A + C = −A + DEuclidean Geometry,
, где A , B , D , C — это вершины евклидова параллелограмма, где — A + B , — A + C и — A + D — три евклидовых вектора, которые исходят из точка A , а точка D удовлетворяет условию параллелограмма
(3.69) D = B + C − A Евклидова геометрия
в ℝn, что аналогично условию гиропараллелограмма (3.55) в cn.
Условие параллелограмма (3.69) эквивалентно условию середины параллелограмма
(3.70) 12A + D = 12B + CE Евклидова геометрия,
, согласно которому диагонали AD и BC параллелограмма ABDC in ℝn пересекаются друг с другом в своих серединах. Эта эквивалентность полностью аналогична эквивалентности условия гиропараллелограмма (3.55) и связанное с ним условие точки гиропараллелограмма (3.58).
Экспериментальное свидетельство, подтверждающее физическое значение закона сложения скоростей гиропараллелограмма Эйнштейна (3.59), обеспечивается релятивистской интерпретацией явления космологической аберрации звезд, как подробно объяснено в [93, гл. 13]. В этом свидетельстве одна из задействованных скоростей — это скорость света в пустом пространстве, равная c . По мнению М. Хауснера [37, прим. п. 48], похоже, что нет никаких экспериментальных или даже теоретических доказательств существования закона сложения скоростей параллелограмма.
Закон сложения гиропараллелограммов Эйнштейна ⊞ коллинеарных скоростей совпадает с законом сложения Эйнштейна ⊕ коллинеарных скоростей. Экспериментальное свидетельство, подтверждающее закон сложения скоростей Эйнштейна для коллинеарных скоростей, предоставлено знаменитым экспериментом Физо 1851 года [54].
Для неколлинеарных скоростей, однако, закон сложения Эйнштейна некоммутативный, но гирокоммутативный, в то время как закон сложения гиропараллелограмма Эйнштейна коммутативен, так что в общем случае ≠ ⊞. Наряду с вышеупомянутым экспериментальным подтверждением закона сложения гиропараллелограммов Эйнштейна, который предлагает явление космологической звездной аберрации, нет никаких экспериментальных доказательств, подтверждающих справедливость закона сложения Эйнштейна неколлинеарных скоростей [41, 58].
Эйнштейн знал, что его закон сложения скоростей удовлетворяет ньютоновскому закону параллелограмма скоростей только в первом приближении. Таким образом, в 1905 году он отметил, что
«Das Gesetz vom Parallelogramm der Geschwindigkeiten gilt также nach unserer Theorie nur in erster Annäherung».
А. Эйнштейн [15]
[Таким образом, закон параллелограмма скоростей справедлив в соответствии с нашей теорией только в первом приближении.]
Эйнштейновские скорости регулируются гиперболической геометрией и ее пространственной структурой гировектора, как и ньютоновские скорости регулируются евклидовой геометрией и ее структурой векторного пространства.Соответственно, скорости Эйнштейна подчиняются закону сложения гиропараллелограммов гировекторов, так же как ньютоновские скорости подчиняются закону сложения параллелограммов векторов.
Закон гиропараллелограмма (3.59) сложения гировекторов в гиперболической геометрии, показанный на рис. 3.9, аналогичен закону параллелограмма сложения векторов в евклидовой геометрии, показанному на рис. 3.7, и задается сочетанием гировекторов. Гировекторы v , в свою очередь, определяются в терминах разностей гироскопов Эйнштейна как, например, v = ⊖ A ⊕ B .
Асимметрия в A и B разности гироскопов ⊖ A ⊕ B в пространствах гировекторов Эйнштейна так же естественна, как и асимметрия в A и B разности — A + A B в евклидовом пространстве.
Аналогично симметрия в ⊖ A ⊕ B и ⊖ A ⊕ C гировектора (⊖ A ⊕ B ) ⊞ (⊖ A ⊕37 C ⊕37 C Гировекторные пространства Эйнштейна столь же естественны, как и аналогичная симметрия сложения векторов (- A + B ) + (- A + C ) в евклидовых пространствах.Примечательно, что для того, чтобы провести аналогии между ньютоновскими и эйнштейновскими композициями скоростей, мы должны использовать как гирокоммутативную операцию ⊕, так и коммутативную кооперацию ⊞ пространств гировекторов Эйнштейна.
Наряду с аналогиями обнаруживается и замечательная противоречие. Сложение ньютоновских скоростей + и закон сложения параллелограммов + ньютоновских скоростей совпадают. Напротив, сложение эйнштейновских скоростей ⊕ и закон сложения гиропараллелограммов ⊞ эйнштейновских скоростей не совпадают.Причина ясна: из-за наличия инерции сложение скорости Эйнштейна, как правило, некоммутативно, в то время как сложение гиропараллелограмма ⊞ является коммутативным.
Таким образом, мы видим, что
1.
гиперболо-релятивистский аналог евклидово-ньютоновской разности — A + B — это гироскопическая разность ⊖ A ⊕ B , где оба A + B и ⊖ A ⊕ B асимметричны в A и B , а
2.
гиперболо-релятивистский аналог евклидово-ньютоновской суммы A + B — это cogyrosum A ⊞ B , где оба A + B и A ⊞1537 — это симметрично в A и B .
Примечательно, что и гиродобавление, и когиродобавление в пространствах гировекторов Эйнштейна спускаются к обычному сложению векторов в ассоциативном случае, но некоторые стандартные свойства сложения векторов имеют тенденцию разделяться между этими двумя операциями в пространствах гировекторов.Таким образом, оба оказались полезными в нашей задаче по аналогии с классическими результатами. Важным моментом в этом случае является взаимодействие двух операций при исследовании гиропараллелограммов и гиропараллелограммов в гировекторных пространствах.
Гиропараллелограмм и его закон гиропараллелограмма будут расширены в разд. 7.11 к бигиропараллелограмму и его закону бигиропараллелограмма.
Распространенные ошибки студентов в задаче № 4 ͑ сложение коллинеарных векторов ͒: …
Контекст 1
… Курсы, основанные на алгебре, и более 90% курсов, основанных на исчислении, изучали физику в средней школе. В этих опросах значительное большинство студентов сообщают о предыдущем исследовании векторов, включая двумерное сложение векторов, либо на уроках физики в средней школе, либо на курсах математики в средней школе и / или колледже. ͑ Это касается примерно двух третей студентов, обучающихся по курсу алгебры, и примерно 90% студентов, обучающихся по курсу, основанному на исчислении. ͒ Эти результаты согласуются с выводом Найта о том, что 88% студентов в первой четверти вводного курса физики, основанного на исчислении, в его учебном заведении ранее обучались векторам.Конечно, все студенты курсов второго семестра, то есть Физики 112 A-II ͔ и Физики 222 ͓ C-II, имели обширный опыт векторных представлений и вычислений в своих университетских курсах первого семестра. Они представляют 44% от общей выборки населения в этом исследовании. Викторина проводилась в секциях декламации примерно по 25 студентов в каждой ͒ в течение первой недели занятий на всех четырех курсах, до того, как проводилось обучение переносчикам. Тест не засчитывался для оценки курса и не был возвращен. На Рисунке 1 показан процент правильных ответов на каждый элемент теста для студентов во всех четырех курсах.Теперь мы переходим к более подробному обсуждению ответов студентов на каждую отдельную проблему. Проблема №1: величина вектора. Выполнение этой задачи в целом было хорошим, с диапазоном правильных ответов от 63% до 87% для четырех разных групп. Однако более трети студентов в A-I не ответили на этот вопрос правильно, что указывает на то, что знания учащихся даже по этому базовому свойству вектора не могут приниматься как должное. Наиболее распространенной ошибкой было предположение, что векторы могут иметь равные величины только тогда, когда они параллельны или антипараллельны друг другу ͑ например, выбирая ͉ D ᠬ ͉ ϭ ͉ G ᠬ ͉, но не ͉ D ᠬ ͉ ϭ ͉ F ᠬ ͉ ϭ ͉ G ᠬ ͉).Проблема №2: Направление вектора. Значительное количество учащихся всех классов допустили ошибки по этому вопросу ͑ 23% — 45% неверных ответов. Примечательно, что на курсах первого и второго семестра была очень небольшая разница в успеваемости как в последовательностях, основанных на алгебре, так и на исчислении. Такое небольшое повышение успеваемости предполагает, что, особенно по этой проблеме, небольшое улучшение понимания происходит в течение первого семестра, то есть в A-I и C-I ͒.Единственный наиболее распространенный неправильный ответ заключался в том, чтобы перечислить оба вектора F ᠬ и G ᠬ вместо только F ᠬ, таким образом отражая путаницу в отношении требования, чтобы векторы с одинаковым направлением были параллельны друг другу. ͑ Или, возможно, этот ответ указывает на заблуждение относительно того, как распознать, когда два вектора параллельны. ͒ Эта ошибка составила 20% всех ответов ͑ почти половину всех неправильных ответов ͒ в курсе по алгебре, без существенной разницы между A-I и A-II. Однако также было значительное количество студентов, ответивших «нет»; эта категория составила 11% всех ответов в курсе алгебры ͑ четверть всех неправильных ответов как в A-I, так и в A-II ͒.Примечательно, что те студенты, которые ответили «нет», очень часто прямо утверждали, что все углы — или «наклоны» — были разными, несмотря на наличие сетки, которая была предназначена для облегчения оценки результатов. углы. Другой вариант, который с некоторой частотой появлялся в ответах студентов, был вектор C ᠬ, таким образом приравнивая направление вектора A ᠬ к направлению Ϫ A ᠬ. ͓ Стоит отметить, что за пределами США свойство, которое мы называем «направлением», часто предполагает наличие двух отдельных свойств: «ориентация», «направление действия» и «чувство». ͑ свободно, «куда он указывает» ͒, см., Например, Ref.7. ͔ Задача №3: Качественное сложение векторов. Успеваемость по этой задаче была очень хорошей для студентов на всех курсах, с правильными ответами в диапазоне 83–96% правильных ответов. Тем не менее, студентов не просили давать объяснения своего ответа, и свидетельства, полученные в результате успеваемости учащихся по задачам №4 и №5, убедительно свидетельствуют о том, что многие студенты пришли к правильному ответу на проблему №3 благодаря использованию явно неверного алгоритма, т. Е. , алгоритм «разделить разницу» будет обсуждаться после задачи №5 ͒.Поскольку использование этого алгоритма отражает существенную путаницу в отношении сложения векторов, кажется вероятным, что задача № 3 сама по себе не дает достоверной оценки понимания учащимися этой векторной операции. Проблема №4: Сложение одномерных векторов. Студенты курсов, посвященных математическому анализу, очень хорошо справились с задачей № 4: C-I, 84% — правильно; C-II, 92% правильных. Однако значительная часть студентов курсов по алгебре не смогла решить эту задачу: A – I, 58% — правильно; A-II, 73% правильных.В A-I 19% всех неправильных ответов состояли из двухконечной стрелки, как показано на рис. 2 ͑ a ͒; в A-II этот ответ составлял только 11% неправильных ответов. Часто эта стрела имела длину в восемь блоков, но обычно использовалась и другая длина. Репрезентативные объяснения этого ответа заключались в следующем: «R ᠬ получается путем соединения конца A ᠬ с концом B ᠬ» и «Это просто два вектора, соединенные вместе». курс на основе алгебры ͑ 23% всех неверных ответов в AI и A-II вместе должен был показать результат по горизонтали с неправильной величиной и / или направлением.Многие студенты получили наклонный результат; в A-I они составили 20% неправильных ответов, а в A-II этот показатель вырос до 36%. Большинство из этих студентов не показывали свои работы, но у тех, кто это делал, обычно была диаграмма, аналогичная той, что представлена на рис. 2 ͑ b ͒ –2 ͑ d ͒. Иногда эти студенты объясняли, что они использовали метод «кончик к хвосту», или слова в этом отношении. Успеваемость по задаче №4 была не такой хорошей, как по задаче №3, особенно на курсах по алгебре. Мы подозреваем, что по сравнению с проблемой №3, может быть труднее получить правильное решение проблемы №4, используя неправильный алгоритм.Мы вернемся к этому вопросу при обсуждении проблемы №5. Задача № 5: Сложение двумерных векторов. Подавляющее большинство задач общей программы физики, связанных с векторными величинами, требует понимания этой базовой операции. Мы обнаружили, что большинство студентов курса, основанного на исчислении, правильно решили эту задачу — 58% в CI, 73% в C-II ͒, но только меньшинство студентов из курса, основанного на алгебре, смогли сделать это ͑ 22% в AI, 44 % в A-II ͒. Наиболее распространенной ошибкой для всех четырех групп было рисование результирующего вектора, выровненного по горизонтальной оси или почти около, направленного влево ͓ Рис.3 ͑ а ͔͒. Величины горизонтальных компонентов в этом классе ответов сильно различались. Хотя некоторые из студентов, допустивших эту ошибку, успешно определили чистый горизонтальный компонент, то есть пять квадратов влево ͒, все не смогли понять, что чистый вертикальный компонент будет на один квадрат вверх. На диаграммах многих студентов явно показан алгоритм, который они использовали для получения этого результата: объединение векторов A ᠬ и B ᠬ на общем уровне дает чистую вертикальную составляющую, равную нулю (см. Рис. 3b).Этот ответ обычно был явной попыткой реализовать правило сложения параллелограмма. Некоторые студенты явно использовали очень похожий алгоритм ͓ см. Рис. 3 ͑ c ͔͒, чтобы получить явно связанную ошибку, то есть результирующий вектор с правильным вертикальным компонентом и направленным влево, но с неправильным горизонтальным компонентом. Хотя конкретный пример этого ответа показан на рис. 3 ͑ d, величины горизонтальных компонентов, представленных в ответах студентов, охватывают широкий диапазон.Нам было непонятно, как они смогли получить правильный вертикальный компонент, при этом все еще имея неправильный горизонтальный компонент. Кажется возможным, что расположение векторов A ᠬ и B ᠬ на странице, то есть один поверх другого, способствовало такому результату. Примечательно, что в большинстве случаев, когда учащиеся рисовали диаграммы, указывающие на правило сложения параллелограмма, им не удавалось прийти к правильному ответу на эту проблему. Вместо этого они создали варианты рис.3 ͑ b ͒ или 3 ͑ c ͒, либо допустили другую ошибку из-за неточного рисования параллелограмма. Большинство студентов, нарисовавших результирующие векторы, аналогичные приведенным на рис. 3 ͑ a ͒ и 3 ͑ d не показали диаграммы, объясняющей, как они получили свой результат. Следовательно, мы не можем быть уверены, что они использовали один и тот же алгоритм для получения этой результирующей разности разделения. Доля всего класса, давшего неправильные ответы, соответствующие либо рис. 3 a ͒, либо рис. 3 ͑ d ͒ ͑, независимо от горизонтального компонента ͒, составила A-I, 42%; A-II, 29%; C-I, 21%; и C-II, 13%.Следующая наиболее частая ошибка в этой проблеме возникла из-за ошибочного использования алгоритма «от кончика к кончику», в котором результирующий вектор начинается на вершине вектора A ᠬ и заканчивается на вершине вектора B ᠬ или, реже , указывает от вершины B ᠬ к вершине A ᠬ.

Вектор	Компонент Восток-Запад	Компонент Север-Юг
A 2.65 км 140 ° против часовой стрелки	(2,65 км) • cos (40 °) = 2,030… км, запад	(2,65 км) • sin (40 °) = 1,703… км, север
B 4.77 км 252 ° против часовой стрелки	(4,77 км) • sin (18 °) = 1,474… км, запад	(4,77 км) • cos (18 °) = 4,536… км, юг
С 3.18 км 332 ° против часовой стрелки	(3.18 км) • cos (28 °) = 2,808… км, восток	(3,18 км) • sin (28 °) = 1,493… км, юг
Сумма А + В + С	0.696 км, Запад	4.326 км, юг

a × b =	i	j	k	= i (a _y b _z — a _z b _y) — j (a _x b _z — a _z b _x) + k (a _x b _y — a _y b _x) =
	a _x	a _y	a _z
	b _x	b _y	b _z

Векторы a и b коллинеарны, потому что	1	=	2	.
	4		8

Векторы a и с не коллинеарны, потому что	1	≠	2	.
	5		9

Векторы с и b не коллинеарны, потому что	5	≠	9	.
	4		8

Как называется правило сложения двух неколлинеарных векторов?

8 класс. Геометрия. Векторы. Применение векторов к решению задач. — Векторы. Повторение теории. Решение задач с применением векторов.

Урок 3. Сложение и вычитание векторов

Задания для самостоятельной работы

§2. Сложение и вычитание векторов

Правило треугольника

Правило параллелограмма

Правило многоугольника

Правило построения разности двух векторов

Задания для самостоятельной работы

Коспект интегрированного урока (геометрия + физика) в 8-м классе по теме «Сложение векторов. Законы сложения векторов. Правило параллелограмма»

ХОД УРОКА

I. Организационный момент.

II. Актуализация знаний.

III. Сообщение темы и цели урока.

IV. Теоретическое сообщение учителя (беседа с учащимися).

V. Объяснение новой темы.

IV. Первичное закрепление.

V. Законы сложения векторов.

VI. Сложение сил.

IX. Домашнее задание

X. Подведение итогов урока и выставление оценок.

План-конспект урока по теме «Сложение и вычитание векторов»

Векторы: третий уровень сложности — Журнал «Код»: программирование без снобизма

Что за коллинеарность

Сложение коллинеарных и неколлинеарных векторов

Как определять неколлинеарность

Что из этого нужно запомнить

Что дальше

Нажми и учись — неколлинеарные векторы

1. Неколлинеарные векторы

2. Направление векторов

Учитывая два неколлинеарных вектора, необходимо ли, чтобы они определяли плоскость?

Сеть обмена стеков

Не тот ответ, который вы ищете? Посмотрите другие вопросы с метками векторы или задайте свой вопрос.

Добавление компонентов (т. Е. Аналитический метод сложения векторов)

Сложение трех или более прямоугольных векторов

SOH CAH TOA и направление векторов

Добавление неперпендикулярных векторов

коллинеарных векторов

Условие коллинеарности векторов

Примеры задач

Примеры плоских задач

Примеры пространственных задач

Какая пара из следующих сил никогда не даст равнодействующей силы 2 Ньютона? — Mvorganizing.org

Какая пара из следующих сил никогда не даст равнодействующей силы 2 Ньютона?

Чему равны 6N и 8N?

Что такое равнодействующая сила в механике?

Какой из приведенных ниже наборов может представлять величину?

Какой из приведенных ниже наборов может представлять величину трех векторов, добавляющих 2 0?

Какая составляющая вектора?

Какой из следующих наборов сил не может дать нулевую результирующую?

Что такое векторная сумма n компланарных сил?

Какой из следующих наборов величин трех сил не может привести к нулю равнодействующей?

Какое минимальное количество копланарных векторов?

Как узнать, компланарны ли два вектора?

Какое минимальное количество векторов может дать ноль?

Какое минимальное количество ненулевых неколлинеарных векторов требуется для создания нулевого вектора?

Сколько минимального числа векторов в разных плоскостях можно добавить к нулевому результату?

Могут ли три вектора, не лежащие в плоскости, давать нулевой результат?

Какое минимальное количество векторов можно добавить, чтобы получить результирующий вектор?

Могут ли четыре вектора равняться нулю?

Что из следующего не является существенным для трех векторов для получения нулевого результата?

Какое обязательное условие для сложения векторов?

Какие из следующих условий являются достаточными и существенными для того, чтобы величина была вектором?

Какое максимальное количество компонентов может быть преобразовано в вектор?

Что такое треугольный закон сложения векторов?

Какова формула сложения векторов?

Что такое сложение вектора параллелограмма?

Как вы доказываете сложение векторов?

Сложение вектора — обзор

3.10 Закон гиропараллелограмма

Распространенные ошибки студентов в задаче № 4 ͑ сложение коллинеарных векторов ͒: …

alexxlab

Добавить комментарий Отменить ответ

Рубрики