Site Loader

Содержание

Логические операции — урок. Информатика, 8 класс.

Познакомимся с основными логическими операциями, которые можно выполнять над высказываниями. Они соответствуют связкам, употребляемым в нашей речи. Простые высказывания состоят из одной законченной мысли, а составные из нескольких, для их связи и используются логические операции.

Конъюнкция (логическое умножение) — логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум высказываниям новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

Для записи конъюнкции используются следующие знаки: И,ˆ,⋅,&.

Например: A И B,AˆB,A⋅B,A&B.

Конъюнкцию можно описать в виде таблицы, которую называют таблицей истинности:


 

В таблице истинности перечисляются все возможные значения исходных высказываний (столбцы \(A\) и \(B\)), причём соответствующие им двоичные числа, как правило, располагают в порядке возрастания: \(00, 01, 10, 11\). В последнем столбце записан результат выполнения логической операции для соответствующих операндов.

 

Пример: 

\(A\) = «Джордж Буль создал новую область науки — математическую логику»,

\(B\) = «Клод Шеннон связал математическую логику с работой компьютера».

Построим сложное высказывание A И B: «Джордж Буль создал новую область науки — математическую логику, и Клод Шеннон связал математическую логику с работой компьютера» истинно только в том случае, когда одновременно истинны оба исходных высказывания.

Дизъюнкция

Рассмотрим два высказывания:

\(A\) = «Идея использования в логике математической символики принадлежит Готфриду Вильгельму Лейбницу»,

\(B\) = «Лейбниц является основоположником бинарной арифметики».

Очевидно, новое высказывание «Идея использования в логике математической символики принадлежит Готфриду Вильгельму Лейбницу или Лейбниц является основоположником бинарной арифметики» ложно только в том случае, когда одновременно ложны оба исходных высказывания.

Дизъюнкция — логическая операция, которая каждым двум высказываниям ставит в соответствие новое высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны.

Для записи дизъюнкции используются следующие знаки: ИЛИ;∨;|;+.

Например: A ИЛИ B;A∨B;A|B;A+B.

Дизъюнкция определяется следующей таблицей истинности:



 

Обрати внимание!

Дизъюнкцию также называют логическим сложением.

Инверсия

Инверсия — логическая операция, которая каждому высказыванию ставит в соответствие новое высказывание, значение которого противоположно исходному.

Для записи инверсии используются следующие знаки: НЕ;¬;−

Например: НЕ А;¬А;А−.
Инверсия определяется следующей таблицей истинности:

 


 

Обрати внимание!

Инверсию также называют логическим отрицанием.

Отрицанием высказывания «У меня дома есть компьютер» будет высказывание «Неверно, что у меня дома есть компьютер» или, что в русском языке то же самое, что «У меня дома нет компьютера».

Отрицанием высказывания «Я не знаю китайский язык» будет высказывание «Неверно, что я не знаю китайский язык» или, что в русском языке: «Я знаю китайский язык».

Отрицанием высказывания «Все юноши \(8-х\) классов — отличники» является высказывание «Неверно, что все юноши \(8-х\) классов — отличники», другими словами, «Не все юноши \(8-х\) классов — отличники».


Таким образом, при построении отрицания к простому высказыванию либо используется речевой оборот «неверно, что …», либо отрицание строится к сказуемому, тогда к соответствующему глаголу добавляется частица «не».

 

Каждое сложное высказывание можно записать в виде логического выражения, которое содержит логические переменные, операции, скобки.

 

Последовательность выполнения логических операций:

  1. Инверсия;
  2. Конъюнкция;
  3. Дизъюнкция.

Если в выражении присутствуют скобки, то приоритет операций меняется, сначала выполняются действия в скобках.

Исключающее или используется в режиме. Пример решения задачи XOR — исключающего ИЛИ

Абсолютно все цифровые микросхемы состоят из одних и тех же логических элементов – «кирпичиков» любого цифрового узла. Вот о них мы и поговорим сейчас.

Логический элемент – это такая схемка, у которой несколько входов и один выход. Каждому состоянию сигналов на входах, соответствует определенный сигнал на выходе.

Итак, какие бывают элементы?

Элемент «И» (AND)

Иначе его называют «конъюнктор».

Для того, чтобы понять как он работает, нужно нарисовать таблицу, в которой будут перечислены состояния на выходе при любой комбинации входных сигналов. Такая таблица называется «таблица истинности ». Таблицы истинности широко применяются в цифровой технике для описания работы логических схем.

Вот так выглядит элемент «И» и его таблица истинности:

Поскольку вам придется общаться как с русской, так и с буржуйской тех. документацией, я буду приводить условные графические обозначения (УГО) элементов и по нашим и по не нашим стандартам.

Смотрим таблицу истинности, и проясняем в мозгу принцип. Понять его не сложно: единица на выходе элемента «И» возникает только тогда, когда на оба входа поданы единицы. Это объясняет название элемента: единицы должны быть И на одном, И на другом входе.

Если посмотреть чуток иначе, то можно сказать так: на выходе элемента «И» будет ноль в том случае, если хотя бы на один из его входов подан ноль. Запоминаем. Идем дальше.

Элемент «ИЛИ» (OR)

По другому, его зовут «дизъюнктор».

Любуемся:

Опять же, название говорит само за себя.

На выходе возникает единица, когда на один ИЛИ на другой ИЛИ на оба сразу входа подана единица. Этот элемент можно назвать также элементом «И» для негативной логики: ноль на его выходе бывает только в том случае, если и на один и на второй вход поданы нули.

Элемент «НЕ» (NOT)

Чаще, его называют «инвертор».

Надо чего-нибудь говорить по поводу его работы?

Элемент «И-НЕ» (NAND)

Элемент И-НЕ работает точно так же как «И», только выходной сигнал полностью противоположен. Там где у элемента «И» на выходе должен быть «0», у элемента «И-НЕ» — единица. И наоборот. Э то легко понять по эквивалентной схеме элемента:

Элемент «ИЛИ-НЕ» (NOR)

Та же история – элемент «ИЛИ» с инвертором на выходе.

Следующий товарищ устроен несколько хитрее:

Элемент «Исключающее ИЛИ» (XOR)

Он вот такой:

Операция, которую он выполняет, часто называют «сложение по модулю 2». На самом деле, на этих элементах строятся цифровые сумматоры.

Смотрим таблицу истинности. Когда на выходе единицы? Правильно: когда на входах разные сигналы. На одном – 1, на другом – 0. Вот такой он хитрый.

Эквивалентная схема примерно такая:

Ее запоминать не обязательно.

Собственно, это и есть основные логические элементы. На их основе строятся абсолютно любые цифровые микросхемы. Даже ваш любимый Пентиум 4.

Ну и напоследок – несколько микросхем, внутри которых содержатся цифровые элементы. Около выводов элементов обозначены номера соответствующих ног микросхемы. Все микросхемы, перечисленные здесь, имеют 14 ног. Питание подается на ножки 7 (-) и 14 (+). Напряжение питания – смотри в таблице в предыдущем параграфе.

В Булевой алгебре, на которой базируется вся цифровая техника, электронные элементы должны выполнять ряд определённых действий. Это так называемый логический базис. Вот три основных действия:

    ИЛИ — логическое сложение (дизъюнкция ) — OR ;

    И — логическое умножение (конъюнкция ) — AND ;

    НЕ — логическое отрицание (инверсия ) — NOT .

Примем за основу позитивную логику, где высокий уровень будет «1», а низкий уровень примем за «0». Чтобы можно было более наглядно рассмотреть выполнение логических операций, существуют таблицы истинности для каждой логической функции. Сразу нетрудно понять, что выполнение логических функций «и» и «или» подразумевают количество входных сигналов не менее двух, но их может быть и больше.

Логический элемент И.

На рисунке представлена таблица истинности элемента «И » с двумя входами. Хорошо видно, что логическая единица появляется на выходе элемента только при наличии единицы на первом входе и на втором. В трёх остальных случаях на выходе будут нули.

Вход X1
Вход X2 Выход Y
0 0 0
1 0 0
0 1 0
1 1
1

На принципиальных схемах логический элемент «И» обозначают так.

На зарубежных схемах обозначение элемента «И» имеет другое начертание. Его кратко называют AND .

Логический элемент ИЛИ.

Элемент «ИЛИ » с двумя входами работает несколько по-другому. Достаточно логической единицы на первом входе или на втором как на выходе будет логическая единица. Две единицы так же дадут единицу на выходе.

Вход X1 Вход X2 Выход Y
0
0 0
1 0 1
0 1 1
1 1 1

На схемах элемент «ИЛИ» изображают так.

На зарубежных схемах его изображают чуть по-другому и называют элементом OR .

Логический элемент НЕ.

Элемент, выполняющий функцию инверсии «НЕ » имеет один вход и один выход. Он меняет уровень сигнала на противоположный. Низкий потенциал на входе даёт высокий потенциал на выходе и наоборот.

Вход X Выход Y
0 1
1
0

Вот таким образом его показывают на схемах.

В зарубежной документации элемент «НЕ» изображают следующим образом. Сокращённо называют его NOT .

Все эти элементы в интегральных микросхемах могут объединяться в различных сочетаниях. Это элементы: И-НЕ, ИЛИ-НЕ, и более сложные конфигурации. Пришло время поговорить и о них.

Логический элемент 2И-НЕ.

Рассмотрим несколько реальных логических элементов на примере серии транзисторно-транзисторной логики (ТТЛ) К155 с малой степенью интеграции. На рисунке когда-то очень популярная микросхема К155ЛА3, которая содержит четыре независимых элемента 2И — НЕ . Кстати, с помощью её можно собрать простейший маячок на микросхеме .

Цифра всегда обозначает число входов логического элемента. В данном случае это двухвходовой элемент «И» выходной сигнал которого инвертируется. Инвертируется, это значит «0» превращается в «1», а «1» превращается в «0». Обратим внимание на кружочек на выходах — это символ инверсии . В той же серии существуют элементы 3И-НЕ, 4И-НЕ, что означает элементы «И» с различным числом входов (3, 4 и т.д.).

Как вы уже поняли, один элемент 2И-НЕ изображается вот так.

По сути это упрощённое изображение двух объёдинённых элементов: элемента 2И и элемента НЕ на выходе.

Зарубежное обозначение элемента И-НЕ (в данном случае 2И-НЕ). Называется NAND .

Таблица истинности для элемента 2И-НЕ.

Вход X1 Вход X2 Выход Y
0 0 1
1 0 1
0 1
1
1 1 0

В таблице истинности элемента 2И — НЕ мы видим, что благодаря инвертору получается картина противоположная элементу «И». В отличие от трёх нулей и одной единицы мы имеем три единицы и ноль. Элемент «И — НЕ» часто называют элементом Шеффера.

Логический элемент 2ИЛИ-НЕ.

Логический элемент 2ИЛИ — НЕ представлен в серии К155 микросхемой 155ЛЕ1. Она содержит в одном корпусе четыре независимых элемента. Таблица истинности так же отличается от схемы «ИЛИ» применением инвертирования выходного сигнала.

Таблица истинности для логического элемента 2ИЛИ-НЕ.

Вход X1 Вход X2 Выход Y
0 0 1
1 0 0
0 1 0
1 1 0

Изображение на схеме.

На зарубежный лад изображается так. Называют как NOR .

Мы имеем только один высокий потенциал на выходе, обусловленный подачей на оба входа одновременно низкого потенциала. Здесь, как и на любых других принципиальных схемах, кружочек на выходе подразумевает инвертирование сигнала. Так как схемы И — НЕ и ИЛИ — НЕ встречаются очень часто, то для каждой функции имеется своё условное обозначение. Функция И — НЕ обозначается значком «& «, а функция ИЛИ — НЕ значком «1 «.

Для отдельного инвертора таблица истинности уже приведена выше. Можно добавить, что количество инверторов в одном корпусе может достигать шести.

Логический элемент «исключающее ИЛИ».

К числу базовых логических элементов принято относить элемент реализующий функцию «исключающее ИЛИ». Иначе эта функция называется «неравнозначность».

Высокий потенциал на выходе возникает только в том случае, если входные сигналы не равны. То есть на одном из входов должна быть единица, а на другом ноль. Если на выходе логического элемента имеется инвертор, то функция выполняется противоположная — «равнозначность». Высокий потенциал на выходе будет появляться при одинаковых сигналах на обоих входах.

Таблица истинности.

Вход X1 Вход X2 Выход Y
0 0 0
1 0 1
0 1 1
1 1 0

Эти логические элементы находят своё применение в сумматорах. «Исключающее ИЛИ» изображается на схемах знаком равенства перед единицей «=1 «.

На зарубежный манер «исключающее ИЛИ» называют XOR и на схемах рисуют вот так.

Кроме вышеперечисленных логических элементов, которые выполняют базовые логические функции очень часто, используются элементы, объединённые в различных сочетаниях. Вот, например, К555ЛР4. Она называется очень серьёзно 2-4И-2ИЛИ-НЕ.

Её таблица истинности не приводится, так как микросхема не является базовым логическим элементом. Такие микросхемы выполняют специальные функции и бывают намного сложнее, чем приведённый пример. Так же в логический базис входят и простые элементы «И» и «ИЛИ». Но они используются гораздо реже. Может возникнуть вопрос, почему эта логика называется транзисторно-транзисторной.

Если посмотреть в справочной литературе схему, допустим, элемента 2И — НЕ из микросхемы К155ЛА3, то там можно увидеть несколько транзисторов и резисторов. На самом деле ни резисторов, ни диодов в этих микросхемах нет. На кристалл кремния через трафарет напыляются только транзисторы, а функции резисторов и диодов выполняют эмиттерные переходы транзисторов. Кроме того в ТТЛ логике широко используются многоэмиттерные транзисторы. Например, на входе элемента 4И стоит четырёхэмиттерный

Бит — это минимальная единица измерения объёма информации, так как она хранит одно из двух значений — 0 (False) или 1 (True). False и True в переводе на русский ложь и истина соответственно. То есть одна битовая ячейка может находиться одновременно лишь в одном состоянии из возможных двух. Напомню, два возможных состояния битовой ячейки равны — 1 и 0.
Есть определённые операции, для манипуляций с битами. Эти операции называются логическими или булевыми операциями, названные в честь одного из математиков — Джорджа Буля (1815-1864), который способствовал развитию этой области науки.
Все эти операции могут быть применены к любому биту, независимо от того, какое он имеет значение — 0(нуль) или 1(единицу). Ниже приведены основные логические операции и примеры их использования.

Логическая операция И (AND)

Обозначение AND: &

Логическая операция И выполняется с двумя битами, назовем их a и b. Результат выполнения логической операции И будет равен 1, если a и b равны 1, а во всех остальных (других) случаях, результат будет равен 0. Смотрим таблицу истинности логической операции and.

a(бит 1) b(бит 2) a(бит 1) & b(бит 2)
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

Логическая операция ИЛИ (OR)

Обозначение OR: |

Логическая операция ИЛИ выполняется с двумя битами (a и b). Результат выполнения логической операции ИЛИ будет равен 0, если a и b равны 0 (нулю), а во всех остальных (других) случаях, результат равен 1 (единице). Смотрим таблицу истинности логической операции OR.

a(бит 1) b(бит 2) a(бит 1) | b(бит 2)
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

Логическая операция исключающее ИЛИ (XOR). b(бит 2)

0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

Логическая операция НЕ (not)

Обозначение NOT: ~
Логическая операция НЕ выполняется с одним битом. Результат выполнения этой логической операции напрямую зависит от состояния бита. Если бит находился в нулевом состоянии, то результат выполнения NOT будет равен единице и наоборот. Смотрим таблицу истинности логической операции НЕ.

a(бит 1) ~a(отрицание бита)
0 1
1 0

Запомните эти 4 логические операции. Используя эти логические операции, мы можем получить любой возможный результат. Подробно об использовании логических операций в С++ читаем .

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для построения таблицы истинности для логического выражения .y) .
  • Максимальное количество переменных равно 10 .
  • Проектирование и анализ логических схем ЭВМ ведётся с помощью специального раздела математики — алгебры логики. В алгебре логики можно выделить три основные логические функции: «НЕ» (отрицание), «И» (конъюнкция), «ИЛИ» (дизъюнкция).
    Для создания любого логического устройства необходимо определить зависимость каждой из выходных переменных от действующих входных переменных такая зависимость называется переключательной функцией или функцией алгебры логики.
    Функция алгебры логики называется полностью определённой если заданы все 2 n её значения, где n – число выходных переменных.
    Если определены не все значения, функция называется частично определённой.
    Устройство называется логическим, если его состояние описывается с помощью функции алгебры логики.
    Для представления функции алгебры логики используется следующие способы:

    • словесное описание – это форма, которая используется на начальном этапе проектирования имеет условное представление.
    • описание функции алгебры логики в виде таблицы истинности.
    • описание функции алгебры логики в виде алгебраического выражения: используется две алгебраические формы ФАЛ:
      а) ДНФ – дизъюнктивная нормальная форма – это логическая сумма элементарных логических произведений. ДНФ получается из таблицы истинности по следующему алгоритму или правилу:
      1) в таблице выбираются те строки переменных для которых функция на выходе =1 .
      2) для каждой строки переменных записывается логическое произведение; причём переменные =0 записываются с инверсией.
      3) полученное произведение логически суммируется.
      Fднф= X 1 *Х 2 *Х 3 ∨ Х 1 x 2 Х 3 ∨ Х 1 Х 2 x 3 ∨ Х 1 Х 2 Х 3
      ДНФ называется совершенной, если все переменные имеют одинаковый ранг или порядок, т.е. в каждое произведение обязательно должны включаться все переменные в прямом или инверсном виде.
      б) КНФ – конъюнктивная нормальна форма – это логическое произведение элементарных логических сумм.
      КНФ может быть получена из таблицы истинности по следующему алгоритму:
      1) выбираем наборы переменных для которых функция на выходе =0
      2) для каждого набора переменных записываем элементарную логическую сумму, причём переменные =1 записываются с инверсией.
      3) логически перемножаются полученные суммы.
      Fскнф=(X 1 V X 2 V X 3) ∧ (X 1 V X 2 V X 3) ∧ (X 1 V X 2 V X 3) ∧ (X 1 V X 2 V X 3)
      КНФ называется совершенной , если все переменные имеют одинаковый ранг.
    По алгебраической форме можно построить схему логического устройства , используя логические элементы.

    Рисунок1- Схема логического устройства

    Все операции алгебры логики определяются таблицами истинности значений. Таблица истинности определяет результат выполнения операции для всех возможны х логических значений исходных высказываний. Количество вариантов, отражающих результат применения операций, будет зависеть от количества высказываний в логическом выражении. Если число высказываний в логическом выражении N, то таблица истинности будет содержать 2 N строк, так как существует 2 N различных комбинаций возможных значений аргументов.

    Операция НЕ — логическое отрицание (инверсия)

    Логическая операция НЕ применяется к одному аргументу, в качестве которого может быть и простое, и сложное логическое выражение. Результатом операции НЕ является следующее:
    • если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным;
    • если исходное выражение ложно, то результат его отрицания будет истинным.
    Для операции отрицания НЕ приняты следующие условные обозначения:
    не А, Ā, not A, ¬А, !A
    Результат операции отрицания НЕ определяется следующей таблицей истинности:
    Результат операции отрицания истинен, когда исходное высказывание ложно, и наоборот.

    Операция ИЛИ — логическое сложение (дизъюнкция, объединение)

    Логическая операция ИЛИ выполняет функцию объединения двух высказываний, в качестве которых может быть и простое, и сложное логическое выражение. Высказывания, являющиеся исходными для логической операции, называют аргументами. Результатом операции ИЛИ является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинно будет хотя бы одно из исходных выражений.
    Применяемые обозначения: А или В, А V В, A or B, A||B.
    Результат операции ИЛИ определяется следующей таблицей истинности:
    Результат операции ИЛИ истинен, когда истинно А, либо истинно В, либо истинно и А и В одновременно, и ложен тогда, когда аргументы А и В — ложны.

    Операция И — логическое умножение (конъюнкция)

    Логическая операция И выполняет функцию пересечения двух высказываний (аргументов), в качестве которых может быть и простое, и сложное логическое выражение. Результатом операции И является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинны оба исходных выражения.
    Применяемые обозначения: А и В, А Λ В, A & B, A and B.
    Результат операции И определяется следующей таблицей истинности:
    A B А и B
    0 0 0
    0 1 0
    1 0 0
    1 1 1

    Результат операции И истинен тогда и только тогда, когда истинны одновременно высказывания А и В, и ложен во всех остальных случаях.

    Операция «ЕСЛИ-ТО» — логическое следование (импликация)

    Эта операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием, а второе — следствием из этого условия.
    Применяемые обозначения:
    если А, то В; А влечет В; if A then В; А→ В.
    Таблица истинности:
    A B А → B
    0 0 1
    0 1 1
    1 0 0
    1 1 1

    Результат операции следования (импликации) ложен только тогда, когда предпосылка А истинна, а заключение В (следствие) ложно.

    Операция «А тогда и только тогда, когда В» (эквивалентность, равнозначность)

    Применяемое обозначение: А ↔ В, А ~ В.
    Таблица истинности:
    A B А↔B
    0 0 1
    0 1 0
    1 0 0
    1 1 1

    Операция «Сложение по модулю 2» (XOR, исключающее или, строгая дизъюнкция)

    Применяемое обозначение: А XOR В, А ⊕ В.
    Таблица истинности:
    A B А⊕B
    0 0 0
    0 1 1
    1 0 1
    1 1 0

    Результат операции эквивалентность истинен только тогда, когда А и В одновременно истинны или одновременно ложны.

    Приоритет логических операций

    • Действия в скобках
    • Инверсия
    • Конъюнкция (&)
    • Дизъюнкция (V), Исключающее ИЛИ (XOR), сумма по модулю 2
    • Импликация (→)
    • Эквивалентность (↔)

    Совершенная дизъюнктивная нормальная форма

    Совершенная дизъюнктивная нормальная форма формулы (СДНФ) это равносильная ей формула, представляющая собой дизъюнкцию элементарных конъюнкций, обладающая свойствами:
    1. Каждое логическое слагаемое формулы содержит все переменные, входящие в функцию F(x 1 ,x 2 ,…x n).
    2. Все логические слагаемые формулы различны.
    3. Ни одно логическое слагаемое не содержит переменную и её отрицание.
    4. Ни одно логическое слагаемое формулы не содержит одну и ту же переменную дважды.
    СДНФ можно получить или с помощью таблиц истинности или с помощью равносильных преобразований.
    Для каждой функции СДНФ и СКНФ определены единственным образом с точностью до перестановки.

    Совершенная конъюнктивная нормальная форма

    Совершенная конъюнктивная нормальная форма формулы (СКНФ) это равносильная ей формула, представляющая собой конъюнкцию элементарных дизъюнкций, удовлетворяющая свойствам:
    1. Все элементарные дизъюнкции содержат все переменные, входящие в функцию F(x 1 ,x 2 ,…x n).
    2. Все элементарные дизъюнкции различны.
    3. Каждая элементарная дизъюнкция содержит переменную один раз.
    4. Ни одна элементарная дизъюнкция не содержит переменную и её отрицание.

    Часто, для того чтобы продемонстрировать ограниченные возможности однослойных персептронов при решении задач прибегают к рассмотрению так называемой проблемы XOR – исключающего ИЛИ .

    Суть задачи заключаются в следующем. Дана логическая функция XOR – исключающее ИЛИ. Это функция от двух аргументов, каждый из которых может быть нулем или единицей. Она принимает значение , когда один из аргументов равен единице, но не оба, иначе . Проблему можно проиллюстрировать с помощью однослойной однонейронной системы с двумя входами, показанной на рисунке ниже.

    Обозначим один вход через , а другой через , тогда все их возможные комбинации будут состоять из четырех точек на плоскости. Таблица ниже показывает требуемую связь между входами и выходом, где входные комбинации, которые должны давать нулевой выход, помечены и , единичный выход – и .

    Точки Значение Значение Требуемый выход
    0 0 0
    1 0 1
    0 1 1
    1 1 0

    Один нейрон с двумя входами может сформировать решающую поверхность в виде произвольной прямой. Для того, чтобы сеть реализовала функцию XOR, заданную таблицей выше, нужно расположить прямую так, чтобы точки были с одной стороны прямой, а точки – с другой. Попытавшись нарисовать такую прямую на рисунке ниже, убеждаемся, что это невозможно. Это означает, что какие бы значения ни приписывались весам и порогу, однослойная нейронная сеть неспособна воспроизвести соотношение между входом и выходом, требуемое для представления функции XOR.

    Однако функция XOR легко формируется уже двухслойной сетью, причем многими способами. Рассмотрим один из таких способов. Модернизуем сеть на рисунке, добавив еще один скрытый слой нейронов:

    Отметим, что данная сеть дана как есть, т.е. можно считать, что она уже обучена. Цифры над стрелками показывают значения синаптических весов. В качестве функции активации применим функцию единичного скачка с порогом , имеющую следующий график:

    Тогда результат работы такой нейронной сети можно представить в виде следующей таблицы:

    Точки Значение Значение Требуемый выход
    0 0 0 0 0 0
    1 0 1 1 0 1
    0 1 1 0 1 1
    1 1 0 0 0 0

    Каждый из двух нейрон первого слоя формирует решающую поверхность в виде произвольной прямой (делит плоскость на две полуплоскости), а нейрон выходного слоя объединяет эти два решения, образуя решающую поверхность в виде полосы, образованной параллельными прямыми нейронов первого слоя:

    Нейронная сеть, используемая в этой статье для решения задачи XOR, примитивна и не использует всех возможностей многослойных сетей. Очевидно, что многослойные нейронные сети обладают большей представляющей мощностью, чем однослойные, только в случае присутствия нелинейности. А в данной сети применена пороговая линейная функция активации. Такую сеть нельзя будет обучить, например, применив алгоритм обратного распространения ошибки.

    Урок 5. Логические законы и противоречия

    В прошлом уроке были рассмотрены условия истинности для категорических атрибутивных высказываний в силлогистике. Мы показали, что разные типы высказываний при одних условиях истинны, а при других – ложны. При этом нам ни разу не встречались высказывания, которые были бы всегда истинны или всегда ложны. Между тем, такие высказывания бывают. Первые называются логическими законами, а вторые – логическими противоречиями. О них мы и поговорим в этом уроке.

    Во введении к курсу было сказано, что логика – это нормативная наука о формах и приёмах рациональной познавательной деятельности. Как и любая другая наука, логика также формулирует свои законы. Однако в отличие от других наук, законы эти являются нормативными, то есть они не описывают процесс человеческого мышления, а предписывают, как человек должен мыслить, если он хочет, чтобы его рассуждение было корректным. Таким образом, логические законы представляют собой некие общие принципы, которыми люди должны руководствоваться в процессе рассуждения.

    Если попытаться дать более строгое определение, то:

    Логический закон – это определённая логическая форма, благодаря которой высказывание в целом принимает значение «истина», независимо от конкретного содержания его частей.

    По этой причине логические законы также иногда называют логическими тавтологиями: о чём бы мы не говорили, высказывания, имеющие форму логических законов, всегда оказываются истинными. К тому же они кажутся «бесплодными», потому что мы не можем извлечь из них никакой реальной информации о мире.

    Логические противоречия – полная противоположность логическим законам, то есть это такая логическая форма, при которой высказывание в целом всегда принимает значение «ложь», независимо от содержания его частей.

    Содержание:

    Таблицы истинности

    Как же определить, что определённое высказывание всегда принимает значение «истина» или «ложь»? Логики придумали для этого очень удобный метод, который получил название «таблиц истинности». Как понятно из названия, они представляют собой таблицы, в которых в верхнюю строку записывается логическая форма высказываний, а в столбцы под каждым компонентом записываются их истинностные значения. Давайте построим таблицу истинности для высказывания «Идёт дождь».

    Идёт дождь

    Истина

    Ложь

    Здесь всё довольно ясно: «Идёт дождь» – это простое высказывание, которое может принимать значение либо «истина», либо «ложь». Обычно для удобства логики сокращают значения до «и» и «л», а само высказывание записывают маленькой буквой латинского алфавита: p, q, r, s и т.д. Поэтому в классическом виде таблица истинности для одного простого высказывания будет выглядеть так:

    Давайте теперь представим, что у нас есть два высказывания: «Идёт дождь» и «Светит солнце». Пока они никаким образом не связаны между собой. Однако поскольку их уже два, то у нас возможны уже не две, а четыре комбинации: оба высказывания истинны, оба высказывания ложны, истинно либо первое, либо второе высказывание. Таблица истинности для них будет включать уже четыре строки для значений.

    p

    q

    и

    и

    и

    л

    л

    и

    л

    л

    Если у нас есть три высказывания («Идёт дождь», «Светит солнце», «Трава зеленеет»), то таблица будет включать уже восемь строк для значений, так как в таком случае возможны восемь комбинаций.

    p

    q

    r

    и

    и

    и

    и

    и

    л

    и

    л

    и

    и

    л

    л

    л

    и

    и

    л

    и

    л

    л

    л

    и

    л

    л

    л

    Чем больше разных высказываний вы хотите рассмотреть, тем больше комбинаций из значений возможно. Число этих комбинаций для n высказываний вычисляется по формуле 2n. Так для четырёх высказываний, число комбинаций – шестнадцать, для пяти – тридцать два и т.д.

    Таблицы истинности строятся и в силлогистике, однако выглядят они немного иначе. В левый столбец обычно помещается диаграмма, изображающая то или иное отношение между терминами S и P, а справа помещаются различные типы высказываний и их истинностные значения.

    Это сводная таблица истинности для всех типов атрибутивных высказываний, которые мы обсуждали в прошлом уроке (единичные высказывания не включены отдельно, так как их условия истинности приравниваются к условиям истинности для общих высказываний).

    Далее, понятно, что обычно в рассуждении высказывания каким-то образом связаны между собой с помощью пропозициональных связок. Мы зададим истинностные значения для основных связок, которые используются чаще всего в естественном языке.

    Логическое отрицание используется, когда в высказывании отрицается наличие некоторой ситуации в мире, говорится об её отсутствии. Например, «Дождь не идёт», «Комната была небольшой», «Неправда, что они друзья». В логике обычно передается через выражения «неверно, что p» или просто «не-p».

    p

    неверно, что p

    и

    л

    л

    и

    Как видно из таблицы, если высказывание истинно, то его отрицание будет принимать значение «ложь», если же высказывание само по себе ложно, то – «истина». Предположим, что вместо p мы имеем высказывание «Маргарет Тэтчер была первой и на настоящий момент единственной женщиной-премьер-министром Великобритании». Это истинное высказывание. Соответственно, если взять его отрицание: «Маргарет Тэтчер не была первой и на настоящий момент единственной женщиной-премьер-министром Великобритании», то оно будет ложным. Если же взять высказывание «Все болезни от нервов», которое является ложным, то его отрицание «Неверно, что все болезни от нервов» будет истинным.

    Конъюнкция представляет собой одновременное утверждение наличия двух ситуаций. В естественном языке она обычно передаётся союзами «и», «а», «но» и конструкциями типа «в то же время», «одновременно», «вместе» и т.д. Примеры конъюнкции можно увидеть в высказываниях «Пошёл дождь, и я спрятался под навес», «Витя хотел пойти в кино, а я хотел поиграть в футбол», «Белкин ждал директора целый час, но так и не дождался». Как видно, конъюнкция соединяет два или более простых высказываний в одно сложное.

    p

    q

    p и q

    и

    и

    и

    и

    л

    л

    л

    и

    л

    л

    л

    л

    Конъюнктивное высказывание может быть истинным, только если все его части истинны. Если хотя бы одно простое высказывание, входящее в её состав ложно, то тогда и конъюнкция в целом ложна. Пример истинной конъюнкции: «44-го президента США зовут Барак, а его жену – Мишель». Все следующие высказывания будут ложными: «44-го президента США зовут Барак, а его жену – Мэгги», «44-го президента США зовут Борат, а его жену – Мишель», «44-го президента США зовут Джон, а его жену – Элен».

    Дизъюнкция утверждает, что хотя бы одна из двух или более ситуаций имеет место. В естественном языке она выражается словами «или» и «либо». Примеры дизъюнктивных высказываний: «Маша была замужем за Анатолием или за Николаем», «Он работает над проектом ИК-25 либо ПФ-40». Хотя это не так очевидно, как в случае с конъюнкцией, дизъюнкция также объединяет в одно сложное высказывание два или более простых высказывания. Если мы выявляем логическую форму, то правильной была бы запись: «Маша была замужем за Анатолием, или Маша была замужем за Николаем».

    p

    q

    p или q

    и

    и

    и

    и

    л

    и

    л

    и

    и

    л

    л

    л

    Из таблицы понятно, что дизъюнкция ложна, только когда все простые высказывания, входящие в её состав ложны. К примеру, ложным будет высказывание «Уганда находится в Центральной Америке или Западной Европе». Когда хотя бы одна из частей дизъюнкции истина, она в целом также будет истинной. Например, истинным является высказывание «Нот всего семь или шесть». При этом важно отметить, что выражение «хотя бы одна» подразумевает, что и обе части могут быть истинными. Иллюстрацией может служить следующее высказывание: «Велосипеды бывают двухколёсными или трёхколесными». Велосипеды бывают и такими, и другими, поэтому высказывание истинно. Однако нередки случаи, когда мы хотим указать, что лишь одна из альтернатив истинна, но никак не обе вместе. Рассмотрим высказывание «Картина “Герника” принадлежит кисти Пикассо или Тициана». Здесь либо одно, либо другое. Они даже не могли написать её вместе, так как жили в разных веках. В таких ситуациях говорят о строгой дизъюнкции, которая будет истинна исключительно при истинности одного из её членов. Обычно она выражается словами «либо, либо».

    p

    q

    либо p, либо q

    и

    и

    л

    и

    л

    и

    л

    и

    и

    л

    л

    л

    Материальная импликация – это связка, которая передаёт отношения причинно-следственной связи между высказываниями. Она выражается словами «если, то». «Если Люся – полная отличница, то и по математике у неё должна быть пятёрка». Смысл импликации состоит в том, что если первое простое высказывание верно, то и второе тоже будет верным.

    p

    q

    Если p, то q

    и

    и

    и

    и

    л

    л

    л

    и

    и

    л

    л

    и

    Попробуем разобраться с этой таблицей. Проблема в том, что истинностные значения материальной импликации, в отличие от значений других пропозициональных связок, совсем не являются интуитивными. С первой строкой всё ясно: если первое высказывание верно, и второе высказывание верно, то импликация в целом тоже верна. Пример: «Если птицы улетают на юг, то, значит, наступила осень». Со второй строкой тоже всё более или менее понятно: если первое высказывание истинно, а второе ложно, то отношения следования между ними нет. Вспомните отрывок из «Золотого ключика», в котором Мальвина пытается научить Буратино арифметике:

    – Предположим у вас в кармане два яблока, и некто забрал у вас одно из них. Сколько у вас останется яблок?
    – Два.
    – Но почему?
    – Ведь я не отдам Некту яблоко, пусть он и дерись!

    Рассуждения Буратино можно представить в виде высказывания «Если некто забрал одно из имеющихся у меня двух яблок, у меня всё равно осталось два яблока». Если первая часть истинна, то вторая, безусловно, ложна, а потому и импликация в целом ложна. Способностей к арифметике у Буратино, действительно, не было.

    С последними двумя строчками дело обстоит сложнее. Проблема в том, что для них сложно придумать пример на естественном языке. Когда логики формулировали значение материальной импликации, они пользовались математическим примером. Они взяли высказывание «Для всякого числа верно, что если оно кратно 4, то оно кратно и двум». Если это высказывание верно для всякого числа, то оно должно быть верным и для любого конкретного числа: 5, 6, 8, 12 и т.д. Если подставить в высказывание 8, то получим: «если 8 кратно 4, то оно кратно и 2». Здесь и первая, и вторая части истинны. Мы получили первую строку. Если подставить число 6, «если 6 кратно 4, то оно кратно и 2», то мы получаем третью строку (первая часть ложна, а вторая истинна). Если подставить 5, «если 5 кратно 4, то 5 кратно и двум», то выходит последняя строка (обе части ложны). Однако мы всё же можем подобрать примеры для всех этих ситуации, поэтому импликация истинна. Но вот для второй строки пример подобрать нельзя: нет такого числа, которое было бы кратно 4, но некратно 2. Поэтому вторая строка ложна.

    Итак, мы разобрали истинностные значения основных связок, теперь мы можем посмотреть, какие их комбинации приведут к тому, что высказывание подобной формы будет всегда истинным, независимо от его содержания, другими словами – будет логическим законом.

    Логические законы

    Сразу стоит оговориться, что логических законов довольно много. Кроме того, обычно они формулируются в рамках конкретной логической системы: логики высказываний, логики предикатов, силлогистики, модальной логики и т.д. То, что является законом в одной системе, совсем необязательно будет законом в другой системе. Однако существует несколько основных законов, которые будут верны в любой логической системе. О них мы и расскажем.

    1

    Закон тождества

    Закон тождества обычно формулируется в виде формулы «А есть А» или «Если А, то А».

    Проверим этот закон с помощью таблицы истинности. Во-первых, у нас всего одно выражение – А, поэтому таблица будет включать только две комбинации: А истинно и А ложно. Во-вторых, связка «Если …, то …» выступает как знак материальной импликации. Таким образом, мы должны взять первую и последнюю строку из таблицы для материальной импликации.

    А

    Если А

    то А

    Истинностное значение импликации

    и

    и

    и

    и

    л

    л

    л

    и

    Закон тождества также может быть сформулирован и в силлогистике для высказываний «Все А есть А» и «Некоторые А есть А»:

    Какой бы термин мы не подставили на место А, высказывания, имеющие эти формы, всегда будут истинными: «Все кошки – это кошки», «Все туфли – это туфли», «Некоторые автомобили – это автомобили», «Некоторые дома – это дома» и т.п.

    Как понятно из названия этого закона, он говорит о том, что А тождественно самому себе. Что это означает? Смысл этого закона состоит в утверждении того, что языковые выражения (будь то термин или целое высказывание) не могут менять своё значение в процессе рассуждения. Языковые знаки должны трактоваться однозначно, их употребление должно быть стабильным. Если я утверждаю, что какое-то высказывание истинно, например, что высказывание «Красота спасёт мир» истинно, я не могу следующим шагом утверждать, что оно ложно. И наоборот, если я утверждаю, что какое-то высказывание ложно, оно не может вдруг ни с того ни с сего превратиться в истинное. Рассуждение должно быть последовательным.

    Чаще всего закон тождества нарушается при так называемой подмене понятий: в ходе рассуждения используется один и тот же термин, но значения в него вкладываются каждый раз разные. К примеру, возьмём следующее рассуждение: «Знание – сила. Сила – это векторная физическая величина, мера интенсивности воздействия на данное тело других тел и полей. Следовательно, знание – это векторная физическая величина, мера интенсивности воздействия на данное тело других тел и полей». Такое рассуждение не может быть верным, так как здесь нарушен принцип тождества: термин «сила» употребляется в первом и втором предложении в разных значениях.

    2

    Закон противоречия

    Закон противоречия гласит: неверно, что А и не-А.

    Построим таблицу истинности.

    А

    Неверно, что

    А

    и

    не-А

    и

    и

    и

    л

    л

    л

    и

    л

    л

    и

    В первом столбце даны значения А («истина» и «ложь»). Соответственно, мы просто копируем эти значения в третий столбец. Значения для не-А в пятом столбце будут прямо обратными для значений А, поэтому получаем «ложь», «истина». В четвёртом столбце располагается конъюнкция между А и не-А. Она не может быть истинной ни в одном из случаев. Поэтому её значение всегда «ложь». Наконец, второй столбец представляет значение выражения полностью – это отрицание конъюнкции между А и не-А. Поскольку конъюнкция ложна, то её отрицание будет истинным. В итоге, мы видим, что выражение в целом всегда истинно.

    Если же мы возьмём выражение типа «А и не-А», то оно как раз будет представлять собой противоречие. Из таблицы мы видим, что такое выражение всегда будет принимать значение «ложь».

    Согласно закону противоречия (иногда его называют законом непротиворечия) невозможно,  чтобы одновременно оказались истинными высказывание и его прямое отрицание: неверно, что снег идёт и в то же время не идёт, неверно, что Катя любит ананасы и не любит ананасы. Важно сделать следующее замечание: противоречия возникает только тогда, когда утверждение и отрицание делаются об одном и том же объекте, в одно и то же время, в одном и тот же отношении. Например, высказывания «Снег идёт на Северном полюсе, но снег не идёт в Зимбабве», «Толя ходил в кино вчера, а сегодня не ходил», «Катя любит ананасы, а Петя не любит ананасы», «Вася любит кататься на коньках и не любит кататься на лыжах» не являются противоречиями. Все они говорят либо о разных предметах, либо о разных временных отрезках, либо о разных аспектах одного предмета. Поэтому не всё, что выглядит как противоречие, действительно является таковым. Такие кажущиеся противоречия называют мнимыми. Пример мнимого противоречия можно найти в дзенской притче «Бокудзю и ручей»:
     

    Один дзэнский монах, Бокудзю, говорил: «Иди и пересеки ручей, но не позволяй воде прикоснуться к тебе». 
    А через ручей около его монастыря не было никакого моста. Многие пытались сделать это, но когда они пересекали ручей, то, конечно же, вода прикасалась к ним. Поэтому однажды один монах пришел к нему и сказал: 
    — Вы задали нам неразрешимую задачу. Мы пытаемся пересечь этот ручей; через него нет никакого моста. Если бы был мост, то мы, конечно же, пересекли бы ручей, и вода не прикоснулась бы к нам. Но мы вынуждены идти через поток, и вода прикасается к нам. 
    И Бокудзю сказал: 
    — Я пойду и пересеку его, а вы наблюдайте. 
    И Бокудзю пересёк ручей. Вода, конечно, прикоснулась к его ногам, и они сказали: 
    — Смотрите, вода прикоснулась к вам! 
    Бокудзю сказал: 
    — Насколько я знаю, она не прикоснулась ко мне. Я был просто свидетелем. Вода прикоснулась к моим ногам, но не ко мне. Я был просто свидетельствующим.

    Между тем, чтобы пересечь ручей без моста и не позволить воде прикоснуться к себе, нет противоречия, потому что в данном случае человеческое я рассматривает в разных отношениях: как тело, и как дух. Тело проходит через ручей и намокает, но дух остаётся безмятежным и не затронутым водой.

    Как и закон тождества, закон противоречия требует от нас быть последовательными в рассуждениях. Либо мы принимаем, что высказывание истинно, либо мы принимаем, что оно ложно, но не то и другое вместе. Смешение истины и лжи приводит к тому, что всё рассуждение обесценивается, так как мы уже не можем быть уверены в сделанном выводе. Противоречия опасны потому, что с точки зрения логики из них можно вывести всё что угодно, то есть высказывание формы «Если А и не-А, то В» всегда будет истинным. Вы можете сами проверить это с помощью таблицы истинности. «Если дождь идёт, и дождь не идёт, то Чехов – автор “Войны и мира”». Если допускать противоречия, подобное «рассуждение» оказывается возможным. Поэтому логика ставит запрет на противоречия.

    Нужно сказать, что противоречия бывают не только явными, но и скрытыми. Очевидно, что чаще всего никто старается не допускать в своём рассуждении наличия двух прямо противоположных высказываний. Однако, не редки случаи, когда противоречие прячется за вроде бы правильными формулировками. Приведём несколько примеров, которые хорошо это иллюстрируют: «Мы заставим их стать свободными», «Мы будем бороться за мир, и камня на камне не останется от нашей борьбы». Понятно, что идея свободы предполагает, что человека не заставляют, а он сам принимает решения, а идея мира предполагает отсутствия борьбы или войны.

    Обычно появление противоречия – это знак того, что в рассуждение где-то закралась ошибка. Исправление этой ошибки, снимет и противоречие. Ошибка может скрываться в сделанных умозаключениях, но может содержаться и в изначально избранных посылках. По этой причине приведение к противоречию играет ключевую роль в так называемых доказательствах от противного. Наверное, все помнят их со школьных уроков геометрии. Доказательство от противного строится на том, что нужно обосновать какой-то тезис, но прямое его доказательство найти не получается. Тогда берётся его отрицание, и в определённый момент рассуждения мы наталкиваемся на противоречие, а это знак того, что отрицание тезиса было неверным. Так что противоречие может играть и позитивную роль в рассуждении.

    В заключение, добавим, что в советской философии, превозносившей Маркса и Гегеля, появилось целое направление под названием «диалектическая логика», которая якобы допускала наличие противоречий и даже оценивала их положительно. Такая точка зрения строилась на том, что противоречия – это источник движения и развития, а потому это хорошо, если мы сталкиваемся с ними. Ещё и сегодня можно встретить людей, которые придерживаются подобного мнения. Однако нужно понимать, что речь здесь не идёт о противоречии в логическом смысле (как форме высказывания, которое при любой интерпретации принимает значение «ложь»). Скорее, под противоречием тут следует мыслить несовместимость, плохую сочетаемость ситуаций, феноменов, характеров и т.д. Так во Франции конца XVIII века желание буржуазии участвовать в политической жизни страны плохо сочеталось с формой правления абсолютной монархии, что в итоге привело к буржуазной революции. Можно сказать, что между ними возникло противоречие, но это не имеет никакого отношения к логике.

    3

    Закон исключённого третьего

    Закон исключённого третьего имеет следующую форму: А или неверно, что А.

    Построим таблицу истинности:

    А

    или

    неверно, что А

    и

    и

    л

    л

    и

    и

    Если А принимает значение «истина» и «ложь», то «неверно, что А» соответственно будет принимать значения «ложь» и «истина». Их дизъюнкция всегда будет истинной.

    Закон исключённого третьего очень похож на закон противоречия, потому что он точно также утверждает, что высказывание и его отрицание не могут быть одновременно истинными. Истинно либо одно, либо другое, и третьего не дано. Истинно или высказывание «Глинка был композитором», или его отрицание «Глинка не был композитором», но они не могут быть истинными одновременно. Опять же здесь также стоит следить за тем, чтобы высказывания относились к одному и тому же предмету, говорили о нём в одном и том же отношении и в одно и то же время.

    Нужно отметить, что законом исключённого третьего часто пользуются в качестве уловки, пытаясь представить какую-либо сложную ситуацию в виде простой оппозиции. К примеру: «Ты с нами или ты против нас», «Женщины бывают либо умными, либо красивыми», «Они либо патриоты, либо предатели». Особенно часто этим приёмом любят пользоваться политики, пытаясь представить, будто их оппоненты защищают какую-то радикальную позицию, которой те на самом деле не придерживаются. Отчасти эта склонность сводить всё многообразие фактов и позиций к двум противоположностям обусловлена чисто психологическими механизмами работы человеческого мышления. Всё дело в том, что наше мышление работает по так называемому принципу когнитивной экономии: вместо того, чтобы тратить время и энергию на анализ всей сложности ситуации, мы предпочитаем представить её в виде грубой полярной схемы. Поэтому если ваш собеседник или демагог из телевизора говорит вам, что «третьего не дано», подумайте, так ли это: не заключается ли между двумя членами оппозиции целый спектр разнообразных возможностей.

    Кроме того, с законом исключённого третьего нужно быть аккуратными ещё и потому, что значения высказываний во многих случаях определяются относительно конкретного контекста. Помните Ивана и его детей из прошлого урока? Вполне можно было бы сказать в соответствии с законом исключённого третьего: «Дети Ивана либо лысы, либо нет, третьего не дано». Но ни одна из этих альтернатив не может нас удовлетворить, так как у Ивана нет детей. Таким образом, прежде чем применять закон исключённого третьего, сверьтесь с контекстом высказывания.


    Законы тождества, противоречия и исключённого третьего фундаментальны и выполняются в любых логических системах. Без соблюдения этих законов невозможно делать правильные умозаключения. Иногда к ним присоединяют ещё так называемый закон достаточного основания. Этот закон гласит, что любое утверждение должно быть корректно обосновано. Хотя это очень важный принцип, на котором должны базироваться любые рассуждения, законом в собственно логическом смысле он не является, так как не представим в виде логической формы, которая при любой трактовке принимала бы значение «истина». Скорее, это общее требование, вытекающее из самой идеи логичного рассуждения, целью которого как раз и является обоснование тезиса путём правильных умозаключений. О том, как правильно делать умозаключения, мы начнём рассказывать в следующем уроке. 

    Проверьте свои знания

    Если вы хотите проверить свои знания по теме данного урока, можете пройти небольшой тест, состоящий из нескольких вопросов. В каждом вопросе правильным может быть только 1 вариант. После выбора вами одного из вариантов, система автоматически переходит к следующему вопросу. На получаемые вами баллы влияет правильность ваших ответов и затраченное на прохождение время. Обратите внимание, что вопросы каждый раз разные, а варианты перемешиваются.

    Ксения Галанина

    УРОК №22

    УРОК №22

    УРОК № 22

    Таблицы истинности предложений

    Задание по чтению: 6.3 (стр. 325-331)

    Щелкните здесь, чтобы пропустить следующее обсуждение и сразу переходите к заданиям.

    Мы можем построить истину таблицы для выписок который покажет все возможные комбинации значений истинности для составные части (буквы).Количество строк (рядов) * в правде таблица зависит от количества различных компонентов в заявление (т. е. сколько существует разных букв).

    От вас не потребуется более 16 строк истины. table, так что просто помните, что:

    2 разных букв требуется

    4

    строк
    3 разных букв требуется

    8

    строк
    4 разных букв требуется

    16

    строк

    См. Текст для получения подробных инструкций по настройке таблица истинности.

    ШАГОВ:

    1. Запишите ваше сложное предложение, обозначенное символами, в одном line с правильным количеством строк под ней.

    2. Создайте столбец для каждой буквы и оператора в предложение. Пока не обращайте внимания на круглые скобки, но не затемните их, потому что вам нужно будет прочитать их позже.

    3. Начиная с крайней левой буквы , введите столбец ниже со значениями истинности.

    4. Двигаясь вправо, создавая новый столбец для каждого новое письмо и игнорирование операторов. ПРИМЕЧАНИЕ: повторений та же буква получает ту же конфигурацию T и F

    При настройке таблицы вы делаете первый столбец * (независимо от того, будет ли таблица 4, 8 или 16 строк) всегда наполовину верно (1-ая половина) и наполовину ложно. Следующий столбец вы ставите вдвое меньше последовательных Т, чем в первом столбце прежде чем переключиться на F.

    В каждом столбце будет вдвое меньше последовательные T и F, чем в предыдущем столбце. Ваш последний столбец всегда будет чередовать 1T и 1F, 1T и 1F.

    Так, например, в восьмерке стол вы сначала начнете с четырех последовательных Т (поскольку четыре из восьми), то в следующем столбце вы начнете с двух последовательных Т (потому что два — это из четырех), и в вашем последнем столбце будет только один T (потому что один из двух).Ваш последний столбец должен всегда чередуются одна буква Т и одна буква F.

    5. После первоначальной настройки таблицы истинности это просто вопрос соблюдения правил для связок (функций истинности). Запоминание «песнопений» из Урока №20 будет здесь очень кстати. Здесь вы снова будете «распаковать» изнутри круглых скобок наружу.

    Начиная с самого сокровенного круглые скобки (или одна из них, если их больше одной), двигайтесь вниз по столбцу, сразу глядя на столбцы рядом с ним для истинностных значений простых предложения.

    Возможно, вы захотите слегка вычеркните «использованные» столбцы, когда закончите с их.

    Когда один столбец завершено, вы будете использовать его и следующий неиспользуемый столбец для заполнения пустого столбца следующего более основного оператора, затем ход это наруж.

    Когда вы заполнили последний столбец выделите это как-нибудь. Это главный оператор — это это то, что вы будете «читать».

    Чтение таблиц истинности

    Как только таблица истинности заполнена, мы можем интерпретировать таблицу и узнайте что-нибудь о нашем заявлении.

    Первые вы научитесь классифицировать отдельные операторы . Вы делаете это, глядя на столбец под основным соединительным элементом.

    Во-вторых, , вы научитесь сравнивать два утверждения. Установленный вверх по таблице истинности с утверждениями рядом, используя двойная линия, чтобы разделить их.Заполните таблицу и сравните основные связующие столбцы каждого утверждения. ПРИМЕЧАНИЕ: То же буква получает ту же конфигурацию столбца в ОБЕИХ заявления.

    Заявление. . . , когда основной соединительный столбец показывает:
    Эквивалент то же в каждой строке
    Противоречивое наоборот в каждом ряду
    Ни то, ни другое то же на одних и напротив на некоторых (у минимум по одному из каждого)
    Согласованный По крайней мере одна строка, которая является T в обеих таблицах истинности
    Несоответствие В обеих таблицах нет строки с буквой T.

    Logic Coach Assignment: I 1-10, II 1-10

    Задание: (по 10 баллов)

    ПРИМЕЧАНИЕ : Всегда проверяйте, скопировали ли вы проблему правильно!

    A. Используйте таблицы истинности, чтобы определить, символизированные высказывания тавтологи, противоречивый или контингент.

    1.(А Б) против С

    2. F (G ~ H)

    3. P (R P)

    4. (R S) (R ~ S)

    5. (N P) v (P N)

    B. Используйте таблицы истинности, чтобы определить, соответствуют ли следующие пары утверждений логически эквивалентны, противоречивы или ни то, ни другое. Также укажите являются ли они последовательными или непоследовательными.

    1.~ (P Q) ~ P v ~ Q

    2. P Q Q P

    3. P (Q v R) (P Q) v (P R)

    4. А ~ В A B

    5. ~ (S v T) ~ (S T)

    Домой | Содержание | Следующее задание | Вопросы

    таблиц истинности

    таблиц истинности

    приложений таблиц истинности

    Мы научились составлять предложения на английском языке и переводить их в логические утверждения, используя буквы и символы для логических связок.И мы узнали, как получить набор значений истинности утверждения во всех возможных случаях, составив таблицу истинности. Теперь мы можем использовать эти инструменты для решения двух важных задач:

    1. Мы можем доказать, что два разных логических утверждения эквивалентны или не эквивалентны друг другу.
    2. Мы можем проверить правильность структуры логических аргументов.

    Как определить, эквивалентны ли два разных логических утверждения

    Чтобы определить, эквивалентны ли два логических утверждения или нет, нам нужно создать таблицу истинности для каждого утверждения и сравнить значения истинности утверждений в каждом случае. Если оба утверждения имеют таблицы истинности с точно такими же значениями истинности в последнем столбце, то два утверждения логически эквивалентны, и одно утверждение может быть заменено другим в логическом аргументе без изменения смысла.

    Давайте рассмотрим несколько примеров:

    Пример 1

    Является ли ~ ( p q ) эквивалентом ~ p∧ ~ q?

    Поскольку мы знаем, что в арифметике 2 ( x +3) = 2 x +6, мы можем начать задаваться вопросом, можем ли мы распределить знак отрицания по набору круглых скобок в логических утверждениях.Другими словами, является ли ~ ( p q ) эквивалентом ~ p∧ ~ q ?

    Единственный способ узнать это — составить таблицу истинности для ~ ( p q ) и таблицу истинности для ~ p∧ ~ q , а затем сравнить значения истинности в каждой таблице. :

    п

    кв

    p∧q

    ~ ( p∧q )

    т

    т

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    п

    q

    ~ п.

    ~ q

    ~ p∧ ~ q

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    т

    т

    Чтобы это сравнение работало, мы должны сравнить и ту же строку в каждой таблице истинности; например, мы должны сравнить строку, где p = T и q = T в таблице истинности для ~ ( p∧q ) со строкой, где p = T и q = T в Таблица истинности для ~ p∧ ~ q .Нас интересует, имеют ли два разных утверждения одинаковое значение истинности в абсолютно одинаковых условиях . Итак, если бы мы сравнили строку, где p = T и q = T в таблице истинности для ~ ( p∧q ), со строкой, где p = T и q = F в таблица истинности для ~ p∧ ~ q , мы будем рассматривать два разных набора условий, и поэтому сравнение значений истинности для каждого утверждения в этом случае приведет к ошибке.

    В двух таблицах истинности, которые я создал выше, вы можете видеть, что я перечислил все значения истинности p и q в в том же порядке . Это сделано для того, чтобы я мог сравнивать значения в последнем столбце в двух таблицах истинности, не беспокоясь о том, сопоставляю ли я правильные строки — поскольку строки уже находятся в том же порядке, я могу просто сравнить последний столбец таблицы одна таблица с последним столбцом другой, например:

    п

    q

    ~ ( p∧q )

    ~ p∧ ~ q

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    т

    В этом случае значения истинности для ~ ( p∧q ) и ~ p∧ ~ q равны , а не , поэтому мы можем заключить, что эти два утверждения не эквивалентны !

    Итак, это ответ на наш вопрос; если у нас есть ~ ( p∧q ), мы не можем просто замените его на ~ p∧ ~ q .Если мы заменим ~ ( p∧q ) на ~ p∧ ~ q , мы фактически будем , изменяя смысл нашего утверждения.

    Но есть ли другой способ избавиться от скобок? Другими словами, есть ли другой оператор, эквивалентный ~ ( p∧q ), не содержащий скобок? Попробуем другой вариант:

    Пример 2:

    Является ли ~ ( p q ) эквивалентом ~ p∨ ~ q?

    Чтобы проверить это утверждение, мы должны составить таблицу истинности для ~ ( p q ) и таблицу истинности для ~ p∨ ~ q , а затем сравнить значения истинности в каждой таблице:

    п

    q

    p∧q

    ~ ( p∧q )

    т

    т

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    п

    q

    ~ п.

    ~ q

    ~ p∨ ~ q

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    т

    В двух таблицах истинности, которые я создал выше, вы можете видеть, что я перечислил все значения истинности p и q в в том же порядке .Это сделано для того, чтобы я мог сравнивать значения в последнем столбце в двух таблицах истинности, не беспокоясь о том, сопоставляю ли я правильные строки — поскольку строки уже находятся в том же порядке, я могу просто сравнить последний столбец таблицы одна таблица с последним столбцом другой, например:

    п

    q

    ~ ( p∧q )

    ~ p∨ ~ q

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    В этом случае значения истинности для ~ ( p∧q ) и ~ p∨ ~ q в точности совпадают, поэтому мы можем заключить, что эти два утверждения эквивалентны:

    ~ ( p∧q ) ~ p∨ ~ q

    Итак, если мы когда-либо встретим ~ ( p∧q ) , мы можем заменить его на ~ p∨ ~ q , не изменяя логического смысла утверждения !

    Теперь давайте попробуем сравнить два более сложных оператора, чтобы убедиться, что они эквивалентны:

    Пример 3:

    Является ли утверждение (~ r ∧ ( p → ~ q )) → p эквивалентом r p?

    Чтобы проверить это утверждение, мы должны составить таблицу истинности для (~ r ∧ ( p → ~ q )) → p и таблицу истинности для r p , а затем сравнить значения истинности в каждой таблице.

    Будьте осторожны — поскольку мы хотим сравнить (~ r ∧ ( p → ~ q )) → p , который содержит буквы p , q и r , с r p , мы должны убедиться, что ОБЕИ таблицы истинности содержат ВСЕ ТРИ БУКВЫ p , q и r (хотя обычно, когда мы составляем таблицу истинности r p , мы будем использовать только две буквы р и р ).Это потому, что для СРАВНЕНИЯ двух таблиц истинности они должны иметь ТОЧНО ОДИНАКОВЫЕ СТРОКИ.

    п

    кв

    р

    ~ д

    р → ~ д

    ~ r

    ~ r ∧ ( p → ~ q ) (~ р ∧ ( р → ~ q )) → р

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    т

    т

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    т

    т

    т

    Ф

    п

    кв

    р

    r p

    т

    т

    т

    т

    т

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    т

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    В двух таблицах истинности, которые я создал выше, вы можете видеть, что я перечислил все значения истинности p, q и r в в том же порядке .Это сделано для того, чтобы я мог сравнивать значения в последнем столбце в двух таблицах истинности, не беспокоясь о том, сопоставляю ли я правильные строки — поскольку строки уже находятся в том же порядке, я могу просто сравнить последний столбец таблицы одна таблица с последним столбцом другой выглядит так:

    п

    кв

    р

    (~ р ∧ ( р → ~ q )) → р r p

    т

    т

    т

    т

    т

    т

    т

    Ф

    т

    т

    т

    Ф

    т

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    т

    т

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    В этом случае значения истинности для (~ r ∧ ( p → ~ q )) → p и r p точно такие же, поэтому мы можем заключить, что эти два утверждения являются эквивалент:

    (~ r ∧ ( p → ~ q )) → p ≡r p

    Итак, если мы когда-нибудь встретим (~ r ∧ ( p → ~ q )) → p , мы можем заменить его на r p , не меняя логического смысла утверждения !

    Как определить, верна ли структура логического аргумента

    Мы можем использовать таблицы истинности, чтобы определить, верна ли структура логического аргумента.Чтобы определить, верна ли структура логического аргумента, нам сначала нужно преобразовать наш аргумент в серию логических утверждений, написанных с использованием букв и логических связок. Как только мы это сделаем, мы сможем создать таблицы истинности для каждого утверждения в аргументе.

    Затем нам нужно создать таблицу истинности для каждого утверждения предпосылки и таблицу истинности для утверждения заключения и сравнить значения истинности утверждений предпосылки и утверждения заключения в каждом случае. Если значение истинности заключения истинно в КАЖДОМ случае, когда ВСЕ посылки истинны, то аргумент имеет допустимую структуру. Если существует хотя бы один случай , в котором все посылки верны, но вывод ложен, тогда ясно, что истинность заключения не следует непосредственно из посылок, и, следовательно, аргумент недействителен.

    Примечание: Если НЕТ случаев, в которых все предпосылки верны, то аргумент действителен по умолчанию. Потому что, если невозможно, чтобы все посылки были истинными одновременно, то невозможно найти обстоятельство, при котором все посылки истинны, а вывод ложен, поэтому невозможно доказать, что аргумент недействителен; следовательно, аргумент становится действительным по умолчанию.

    Давайте рассмотрим несколько примеров аргументов и определим, имеют ли они допустимую структуру или нет:

    Пример аргумента 1:

    Если сейчас октябрь, то занятия в сессии.

    Сейчас октябрь.

    Таким образом, занятия в сессии.

    Если мы допустим p = «Сейчас октябрь» и q = «Классы в сеансе», то мы можем переписать этот аргумент, используя буквы и логические связки, например:

    p q

    п

    Следовательно, q.

    Этот аргумент имеет две посылки:

    1. p q
    2. п.

    И вывод: q .

    Затем мы создаем таблицы истинности как для посылок, так и для заключения. Опять же, поскольку наш аргумент содержит две буквы: p и q , , все наши таблицы истинности должны содержать как p , так и q , и все строки должны быть в одном порядке :

    Помещение 1:

    п

    q

    р → д

    т

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    Помещение 2:

    p

    q

    п

    т

    т

    т

    т

    Ф

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    Вывод:

    п

    q

    q

    т

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    В трех таблицах истинности, которые я создал выше, вы можете видеть, что я перечислил все значения истинности p и q в в том же порядке .Это сделано для того, чтобы я мог сравнивать значения в последнем столбце в каждой из таблиц истинности, не беспокоясь о том, сопоставляю ли я правильные строки — поскольку строки уже находятся в том же порядке, я могу просто сравнить последний столбец каждой таблицы с последним столбцом других таблиц, например:

    п

    q

    р → д

    п

    q

    т

    т

    т

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Здесь мы отделили помещения от столбцов с первыми буквами и от столбца с выводами темными черными линиями.Теперь все, что нам нужно сделать, это посмотреть на все случаи, в которых ВСЕ предпосылки ИСТИННЫ. Мы выделяем эти примеры желтым цветом в таблице истинности:

    п

    q

    р → д

    п

    q

    т

    т

    т

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Итак, у нас есть только одна строка, в которой все помещений верны.Напомним, что для того, чтобы аргумент был действительным, всякий раз, когда все предпосылки верны, заключение также должно быть верным. Верен ли вывод и в этой строке? Да!

    Таким образом, мы можем сделать вывод, что этот аргумент действителен !

    Пример аргумента 2:

    Если сейчас октябрь, то занятия в сессии.

    Занятия продолжаются.

    Значит, октябрь.

    Если мы допустим p = «Сейчас октябрь» и q = «Классы в сеансе», то мы можем переписать этот аргумент, используя буквы и логические связки, например:

    p q

    q

    Следовательно, п.

    Этот аргумент имеет две посылки:

    1. p q
    2. q

    И вывод: р, .

    Затем мы создаем таблицы истинности как для посылок, так и для заключения. Опять же, поскольку наш аргумент содержит две буквы: p и q , , все наши таблицы истинности должны содержать как p , так и q , и все строки должны быть в одном порядке :

    Помещение 1:

    п

    q

    р → д

    т

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    Помещение 2:

    p

    q

    q

    т

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    Вывод:

    п

    q

    п

    т

    т

    т

    т

    Ф

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    В трех таблицах истинности, которые я создал выше, вы можете видеть, что я перечислил все значения истинности p и q в в том же порядке .Это сделано для того, чтобы я мог сравнивать значения в последнем столбце в каждой из таблиц истинности, не беспокоясь о том, сопоставляю ли я правильные строки — поскольку строки уже находятся в том же порядке, я могу просто сравнить последний столбец каждой таблицы с последним столбцом других таблиц, например:

    п

    q

    р → д

    q

    п

    т

    т

    т

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Здесь мы отделили помещения от столбцов с первыми буквами и от столбца с выводами темными черными линиями.Теперь все, что нам нужно сделать, это посмотреть на все случаи, в которых ВСЕ предпосылки ИСТИННЫ. Мы выделяем эти примеры желтым цветом в таблице истинности:

    п

    q

    р → д

    q

    п

    т

    т

    т

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    Факс

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Итак, у нас есть две строки, в которых все помещений верны.Напомним, что для того, чтобы аргумент был действительным, всякий раз, когда все предпосылки верны, заключение также должно быть верным. Верен ли вывод и в первом желтом ряду? Да! Верен ли вывод и во втором желтом ряду? Нет! Это означает, что существует случай, в котором все предпосылки верны, но вывод ложен, поэтому этот аргумент должен быть неверным!

    Итак, мы можем сделать вывод, что этот аргумент неверен !

    Пример аргумента 3:

    Имею проходной балл по этому классу.

    Я не сдал с опозданием ни одну домашнюю работу и прошел все тесты.

    Я проваливаю урок химии или этот.

    Следовательно, неверно, что я плохо разбираюсь в химии, только если я сдал часть своих домашних заданий поздно.

    Если мы допустим p = «Я сдаю этот класс», q = «Я сдаю некоторые домашние задания поздно», r = «Я сдаю все тесты» и s = «Я сдаю мой урок химии «, то мы можем переписать этот аргумент, используя буквы и логические связки, например:

    п

    ~ q r

    ~ с ~ с

    Следовательно, ~ ~ с → q .

    Примечание: этот аргумент сложен, потому что нам нужно переписать очень много предложений, прежде чем мы сможем превратить их в символы, как мы это сделали выше. Вот как мы бы переписали этот аргумент, чтобы было легче распознавать правильные логические связки:

    Я прохожу этот курс.

    Неправда, что я поздно сдал домашнее задание и прошел все тесты.

    Я не сдам свой урок химии или я не сдам этот урок.

    Следовательно, если неверно, что я не сдаю химию, значит, я сдал некоторые домашние задания с опозданием.

    Вернитесь к исходному аргументу и посмотрите, сможете ли вы понять, почему мы можем переписать каждое из предложений в аргументе таким образом, не меняя их значения. (Если у вас возникли проблемы с этим, вам следует еще раз взглянуть на лекцию по логике 1).

    Этот аргумент имеет три посылки:

    1. п.
    2. ~ q r
    3. ~ с ~ с

    И вывод: ~ ~ с → q .

    Затем мы создаем таблицы истинности как для посылок, так и для заключения. Опять же, поскольку наш аргумент содержит четыре буквы: p , q , r и s , , все наши таблицы истинности должны содержать обе эти четыре буквы и содержать все строки в том же порядке. :

    Помещение 1:

    п

    q

    р

    с

    п

    т

    т

    т

    т

    т

    т

    т

    т

    Ф

    т

    т

    т

    Ф

    т

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    т

    т

    т

    Ф

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    Помещение 2:

    p

    q

    р

    с

    ~ q r

    т

    т

    т

    т

    Ф

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    т

    т

    т

    Ф

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    Помещение 3:

    п

    q

    р

    с

    ~ с ~ с

    т

    т

    т

    т

    Ф

    т

    т

    т

    Ф

    т

    т

    т

    Ф

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    Ф

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    т

    т

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    Ф

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    Вывод:

    п

    q

    р

    с

    ~ ~ с → q

    т

    т

    т

    т

    т

    т

    т

    т

    Ф

    т

    т

    т

    Ф

    т

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    Ф

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    т

    т

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    Ф

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    В ЧЕТЫРЕХ таблицах истинности, которые я создал выше, вы можете видеть, что я перечислил все значения истинности для p , q , r и s в в том же порядке .Это сделано для того, чтобы я мог сравнивать значения в последнем столбце в каждой из таблиц истинности, не беспокоясь о том, сопоставляю ли я правильные строки — поскольку строки уже находятся в том же порядке, я могу просто сравнить последний столбец каждой таблицы с последним столбцом других таблиц, например:

    п

    q

    р с

    п

    ~ q r

    ~ с ~ с

    ~ ~ с → q

    т

    т

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    т

    т

    Ф

    т

    Ф

    т

    т

    т

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    т

    т

    Ф

    т

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    Ф

    т

    т

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    т

    Здесь мы отделили помещения от столбцов с первыми буквами и от столбца с выводами темными черными линиями.Теперь все, что нам нужно сделать, это посмотреть на все случаи, в которых ВСЕ предпосылки ИСТИННЫ. Мы выделяем эти примеры желтым цветом в таблице истинности:

    п

    q

    р с

    п

    ~ q r

    ~ с ~ с

    ~ ~ с → q

    т

    т

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    т

    т

    Ф

    т

    Ф

    т

    т

    т

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    т

    т

    Ф

    т

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    Ф

    т

    т

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    т

    Итак, у нас есть только одна строка, в которой все помещений верны.Напомним, что для того, чтобы аргумент был действительным, всякий раз, когда все предпосылки верны, заключение также должно быть верным. Верно ли заключение и в желтом ряду? Да! Это означает, что НЕТ случая, в котором все предпосылки верны, но вывод ложен, поэтому этот аргумент должен быть верным!

    Таким образом, мы можем сделать вывод, что этот аргумент действителен !

    Пример аргумента 4:

    x y .

    x = 10 тогда и только тогда, когда x = y .

    Если y не четное число, то x = 10.

    Следовательно, y - нечетное число.

    Если мы допустим, что p будет « x = y », q будет « x = 10 », а r будет « y — четное число», то мы можем переписать этот аргумент, используя буквы и логические связки вроде этого:

    ~ стр.

    q p

    ~ r → q

    Следовательно, ~ r .

    Обратите внимание, что утверждения « y нечетное число» и « y нечетное число» означают одно и то же и поэтому эквивалентны.

    Этот аргумент имеет три посылки:

    1. ~ стр.
    2. q p
    3. ~ r → q

    И вывод: ~ r .

    Затем мы создаем таблицы истинности как для посылок, так и для заключения.Опять же, поскольку наш аргумент содержит три буквы: p , q и r , , все наши таблицы истинности должны содержать обе эти три буквы и должны иметь все строки в том же порядке :

    Помещение 1:

    п

    q

    р

    ~ стр.

    т

    т

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    т

    т

    Ф

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    Помещение 2:

    p

    q

    р

    q p

    т

    т

    т

    т

    т

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    Помещение 3:

    п

    q

    р

    ~ r → q

    т

    т

    т

    т

    т

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    т

    т

    Ф

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    Вывод:

    п

    q

    р

    ~ r

    т

    т

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    В трех таблицах истинности, которые я создал выше, вы можете видеть, что я перечислил все значения истинности для p , q, и r , в в том же порядке .Это сделано для того, чтобы я мог сравнивать значения в последнем столбце в каждой из таблиц истинности, не беспокоясь о том, сопоставляю ли я правильные строки — поскольку строки уже находятся в том же порядке, я могу просто сравнить последний столбец каждой таблицы с последним столбцом других таблиц, например:

    п. q р

    ~ стр.

    q p

    ~ r → q

    ~ r

    т

    т

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    т

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    т

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    Здесь мы отделили помещения от столбцов с первыми буквами и от столбца с выводами темными черными линиями.Теперь все, что нам нужно сделать, это посмотреть на все случаи, в которых ВСЕ предпосылки ИСТИННЫ. Мы выделяем эти примеры желтым цветом в таблице истинности:

    п. q р

    ~ стр.

    q p

    ~ r → q

    ~ r

    т

    т

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    т

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    т

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    т

    т

    Факс

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    Итак, у нас есть только одна строка, в которой все помещений верны.Напомним, что для того, чтобы аргумент был действительным, всякий раз, когда все предпосылки верны, заключение также должно быть верным. Верно ли заключение и в желтом ряду? Нет! Это означает, что существует случай, в котором все предпосылки верны, но вывод ложен, поэтому этот аргумент должен быть неверным!

    Итак, мы можем сделать вывод, что этот аргумент неверен !

    Пример аргумента 5:

    Я получил высшую оценку в классе на последнем тесте, и у меня отличная посещаемость.

    Если я простужусь, то всегда пропускаю хотя бы одно занятие.

    На прошлой неделе я простудился.

    Следовательно, если я пропустил хотя бы одно занятие, то на последнем тесте я не получил наивысшую оценку в этом классе.

    Если мы допустим p = «Я получил высшую оценку в классе по последнему тесту», q = «У меня отличная посещаемость» и r будет «Я простужусь», то мы можем переписать этот аргумент с использованием букв и логических связок, например:

    p∧ q

    r ~ q

    р

    Следовательно, ~ r → ~ p .

    Обратите внимание, что утверждения «У меня не идеальная посещаемость» и «Я пропускаю хотя бы одно занятие» означают одно и то же и, следовательно, эквивалентны.

    Этот аргумент имеет три посылки:

    1. p∧ q
    2. r ~ q
    3. р

    И вывод: ~ r → ~ p .

    Затем мы создаем таблицы истинности как для посылок, так и для заключения.Опять же, поскольку наш аргумент содержит три буквы: p , q и r , , все наши таблицы истинности должны содержать обе эти три буквы и должны иметь все строки в том же порядке :

    Помещение 1:

    п

    q

    р

    p∧ q

    т

    т

    т

    т

    т

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    Помещение 2:

    p

    q

    р

    r ~ q

    т

    т

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    Помещение 3:

    п

    q

    р

    р

    т

    т

    т

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    т

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    Вывод:

    п

    q

    р

    ~ r → ~

    т

    т

    т

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    т

    т

    Ф

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    В трех таблицах истинности, которые я создал выше, вы можете видеть, что я перечислил все значения истинности для p , q, и r , в в том же порядке .Это сделано для того, чтобы я мог сравнивать значения в последнем столбце в каждой из таблиц истинности, не беспокоясь о том, сопоставляю ли я правильные строки — поскольку строки уже находятся в том же порядке, я могу просто сравнить последний столбец каждой таблицы с последним столбцом других таблиц, например:

    п. q р

    p∧ q

    r ~ q

    р

    ~ r → ~ p

    т

    т

    т

    т

    Ф

    т

    т

    т

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    Ф

    т

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    Здесь мы отделили помещения от столбцов с первыми буквами и от столбца с выводами темными черными линиями.Теперь все, что нам нужно сделать, это посмотреть на все случаи, в которых ВСЕ предпосылки ИСТИННЫ. Мы выделяем эти примеры желтым цветом в таблице истинности:

    п. q р

    p∧ q

    r ~ q

    р

    ~ r → ~ p

    т

    т

    т

    т

    Ф

    т

    т

    т

    т

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    Ф

    т

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    Ф

    т

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    т

    т

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

    т

    Ф

    т

    Но нет экземпляров , в которых все помещений верны! Напомним, что для того, чтобы аргумент был действительным, всякий раз, когда все предпосылки верны, заключение также должно быть верным.Поскольку у нас никогда не бывает случая, в котором все предпосылки истинны , это означает, что НЕТ случая, в котором все предпосылки истинны, но вывод ложен, поэтому этот аргумент должен быть действительным по умолчанию .

    Таким образом, мы можем сделать вывод, что этот аргумент действителен !

    Осторожно! Если НЕТ случаев, в которых ВСЕ посылки истинны, то у нас никогда не может быть случая, когда все посылки истинны, но вывод ложен, поэтому мы не можем сказать, что аргумент неверен.Поэтому в этом случае мы всегда говорим, что аргумент действителен (по умолчанию).

    Теперь вернитесь в Blackboard, чтобы ответить на вопросы лекции по логике 3: Оценка аргументов и эквивалентных утверждений!

    2. «Если… то…». и «Дело не в том, что…» — Краткое введение в логику

    2.1 Условное

    Как мы отметили в главе 1, есть предложения естественного языка, например английского, которые не являются атомарными предложениями. Наши примеры включают

    Если Линкольн победит на выборах, то Линкольн станет президентом.

    Земля не является центром Вселенной.

    Мы можем рассматривать их как атомарные предложения, но тогда мы потеряем много важной информации. Например, первое предложение говорит нам кое-что о взаимосвязи между элементарными предложениями «Линкольн побеждает на выборах» и «Линкольн будет президентом». И второе предложение выше, как можно предположить, будет иметь интересную связь с предложением «Земля — ​​центр Вселенной». Чтобы сделать эти отношения явными, нам нужно будет понять, что означают «если… то…» и «не».Таким образом, было бы полезно, если бы наш логический язык мог выражать такие предложения таким образом, чтобы эти элементы были явными. Начнем с первого.

    Предложение «Если Линкольн победит на выборах, то Линкольн будет президентом» содержит два атомарных предложения: «Линкольн победит на выборах» и «Линкольн станет президентом». Таким образом, мы могли бы представить это предложение, позволив

    Линкольн побеждает на выборах

    будет представлено на нашем логическом языке как

    А давая

    Линкольн станет президентом

    будет представлена ​​

    Q

    Тогда все выражение можно представить в виде

    Если P, то Q

    Однако было бы полезно заменить английскую фразу «if… then…» одним символом на нашем языке.Наиболее часто используемый такой символ — «→». Таким образом, мы бы написали

    P → Q

    Однако следует отметить еще одну вещь. Возможно, мы захотим объединить это сложное предложение с другими предложениями. В этом случае нам нужен способ определить, что это одно предложение, когда оно сочетается с другими предложениями. Есть несколько способов сделать это, но наиболее знакомый (хотя и не самый элегантный) — использовать круглые скобки. Таким образом, запишем наше выражение

    (P → Q)

    Этот вид приговора называется «условным».Его также иногда называют «материальным условием». Первое составное предложение (предложение перед стрелкой, которое в этом примере — «P») называется «антецедентом». Второе предложение (то, которое стоит после стрелки, в этом примере — «Q») называется «консеквент».

    Мы умеем писать условные выражения, но что они означают? Как и раньше, мы примем значение, которое придают условия истинности, то есть описание того, когда предложение является истинным или ложным. Мы делаем это с помощью таблицы истинности.Но теперь наше предложение состоит из двух частей, которые являются атомарными предложениями, P и Q. Обратите внимание, что любое атомарное предложение может быть истинным или ложным. Это означает, что мы должны рассмотреть четыре возможных типа ситуаций. Мы должны учитывать, когда P истинно, а когда ложно, но тогда нам нужно рассмотреть эти два типа ситуаций дважды: один раз, когда Q истинно, и один раз, когда Q ложно. Таким образом, левая часть нашей таблицы истинности будет выглядеть так:

    п. Q
    т Т
    т Ф.
    Ф Т
    Ф Ф.

    Мы должны рассмотреть четыре возможных варианта развития мира.

    Обратите внимание: поскольку существует два возможных значения истинности (истина и ложь), всякий раз, когда мы рассматриваем другое атомарное предложение, существует вдвое больше возможностей, которыми может быть мир, которые мы должны рассмотреть. Таким образом, для n атомарных предложений наша таблица истинности должна иметь 2n строк. В случае условного выражения, сформированного из двух элементарных предложений, как в нашем примере (P → Q), наша таблица истинности будет иметь 22 строки, что составляет 4 строки. Мы видим, что это именно так.

    Теперь мы должны решить, что означает условие.В какой-то степени это зависит от нас. Важно то, что как только мы определим семантику условного оператора, мы будем придерживаться нашего определения. Но мы хотим уловить как можно больше смысла английского «if… then…», оставаясь при этом абсолютно точными в нашем языке.

    Давайте рассмотрим, каким может быть мир. Для первой строки таблицы истинности мы имеем, что P истинно, а Q истинно. Предположим, мир таков, что Линкольн побеждает на выборах, а также Линкольн будет президентом.Тогда, сказал бы я правду, если бы сказал: «Если Линкольн победит на выборах, то Линкольн станет президентом»? Большинство людей согласны с этим. Точно так же предположим, что Линкольн победит на выборах, но Линкольн не будет президентом. Будет ли верным фраза «Если Линкольн победит на выборах, то Линкольн станет президентом»? Большинство согласны с тем, что сейчас это было бы ложью. Итак, первые строки нашей таблицы истинности бесспорны.

    п. Q (P → Q)
    т т т
    т F Ф
    Ф т
    Ф F

    Однако некоторым студентам трудно определить, какие значения истинности должны быть в следующих двух строках.Обратите внимание, что наш принцип двухвалентности требует, чтобы мы заполняли эти строки. Мы не можем оставить их пустыми. Если бы мы это сделали, мы бы сказали, что иногда условное выражение не может иметь истинного значения; то есть мы могли бы сказать, что иногда некоторые предложения не имеют значения истинности. Но наш принцип двухвалентности требует, чтобы во всех ситуациях каждое предложение было либо истинным, либо ложным, но никогда и тем и другим, никогда ни тем и другим. Итак, если мы собираемся соблюдать принцип двухвалентности, тогда мы должны указать либо T, либо F для каждой из последних двух строк.

    Здесь полезно изменить наш пример. Давайте рассмотрим два разных примера, чтобы проиллюстрировать, как лучше всего заполнить оставшуюся часть таблицы истинности для условного выражения.

    Сначала предположим, что я говорю вам следующее: «Если вы дадите мне 50 долларов, я куплю вам билет на концерт сегодня вечером». Пусть

    Ты дашь мне 50 долларов

    будет представлено в нашей логике

    R

    и пусть

    Я куплю тебе билет на концерт сегодня вечером.

    будет представлена ​​

    S

    Тогда наше предложение —

    (R → S)

    И его таблица истинности — насколько мы сейчас понимаем — это:

    р S (R → S)
    т т т
    т F Ф
    Ф т
    Ф F

    То есть, если вы дадите мне деньги, и я куплю вам билет, мое утверждение, что «Если вы дадите мне 50 долларов, я куплю вам билет на концерт сегодня вечером», верно.И, если вы дадите мне деньги, а я не куплю вам билет, я солгал, и мое заявление не соответствует действительности. А теперь предположим, что вы не дадите мне 50 долларов, а я куплю вам билет на концерт в подарок. Было ли мое заявление ложным? Нет. Я просто купил тебе билет в подарок, но, по-видимому, купил бы его, если бы ты дал мне деньги. Точно так же, если вы не дадите мне денег, и я не куплю вам билет, это полностью согласуется с моим утверждением.

    Итак, лучший способ заполнить таблицу истинности следующий.

    р S (R → S)
    т т т
    т F Ф
    Ф т т
    Ф F т

    Во-вторых, рассмотрим другое предложение, которое имеет то преимущество, что оно очень четкое по отношению к этим двум последним строкам.Предположим, что a — конкретное натуральное число, только мы с вами не знаем, что это за число (натуральные числа — это целые положительные числа: 1, 2, 3, 4…). Рассмотрим теперь следующее предложение.

    Если a делится без остатка на 4, то a без остатка делится на 2.

    (Под «делимым без остатка» я имею в виду делимый без остатка.) Первое, что нужно спросить себя: верно ли это предложение? Я надеюсь, что мы все согласимся, что это так, даже если мы не знаем, что такое a. Пусть

    a делится на 4 без остатка

    будет представлено в нашей логике

    U

    и пусть

    a делится на 2

    без остатка.

    будет представлена ​​

    В

    Тогда наше предложение —

    (U → V)

    И его таблица истинности — насколько мы сейчас понимаем — это:

    U В (U → V)
    т т т
    т F Ф
    Ф т
    Ф F

    Теперь рассмотрим случай, когда а равно 6.Это похоже на третью строку таблицы истинности. Дело не в том, что 6 без остатка делится на 4, но в том случае, когда 6 без остатка делится на 2. И рассмотрим случай, когда а равно 7. Это похоже на четвертую строку таблицы истинности; 7 не делится без остатка ни на 4, ни на 2. Но мы согласились, что условие истинно — независимо от значения a! Итак, таблица истинности должна быть: [3]

    U В (U → V)
    т т т
    т F Ф
    Ф т т
    Ф F т

    Следуя этой схеме, мы также должны заполнить нашу таблицу о выборах:

    п.
    Q (P → Q)
    т т т
    т F Ф
    Ф т т
    Ф F т

    Если вас это не устраивает, может быть полезно подумать об этих последних двух строках как о пустых случаях.Условное выражение говорит нам о том, что произойдет, если антецедент верен. Но когда антецедент ложен, мы просто по умолчанию принимаем значение true.

    Теперь мы готовы предложить более формальным образом синтаксис и семантику условного оператора.

    Синтаксис условного оператора: если Φ и Ψ — предложения, то

    (Φ → Ψ)

    — это приговор.

    Семантика условного оператора представлена ​​таблицей истинности. Для любых предложений Φ и Ψ:

    Φ Ψ (Φ → Ψ)
    т т т
    т F Ф
    Ф т т
    Ф F т

    Помните, что эта таблица истинности теперь является определением.Он определяет значение «→». Мы соглашаемся использовать символ «→» для обозначения этого и впредь.

    Элементы логики высказываний, такие как «→», которые мы добавляем в наш язык, чтобы сформировать более сложные предложения, называются «функциональными связками истинности». Надеюсь, понятно, почему: значение этого символа дано в функции истинности. (Если вы не знакомы или не уверены в идее функции, подумайте о функции как о машине, которая принимает один или несколько входных данных, а затем всегда выдает ровно один результат.Для условного выражения входными данными являются два значения истинности; и на выходе получается одно значение истинности. Например, поместите T F в функцию истинности под названием «→», и вы получите F.)

    2.2 Альтернативные фразы на английском языке для условного. Только если.

    Английский включает множество альтернативных фраз, которые кажутся эквивалентными условному. Кроме того, в английском и других естественных языках порядок условных обозначений иногда меняется на обратный. Мы можем уловить общий смысл этих случаев, осознав, что каждая из следующих фраз будет переведена как (P → Q).(В этих примерах мы смешиваем английский язык и нашу логику высказываний, чтобы лаконично проиллюстрировать вариации.)

    Если P, то Q.

    Q, если P.

    При условии, что P, Q.

    Q, при условии, что P.

    Учитывая, что P, Q.

    Q, учитывая, что P.

    При условии, что P, Q.

    Q, при условии, что P.

    Когда P, то Q.

    Q, когда P.

    P подразумевает

    кв.

    Q подразумевается P.

    P достаточно для Q.

    Q необходим для P.

    Странность английского языка состоит в том, что слово «only» меняет значение «if». Вы можете убедиться в этом, если рассмотрите следующие два предложения.

    Фифи — это кошка, если Фифи — млекопитающее.

    Фифи — кошка, только если Фифи — млекопитающее.

    Предположим, мы знаем, что Фифи — это организм, но не знаем, что это за организм. Фифи могла быть собакой, кошкой, серым китом, божьей коровкой, губкой. Кажется очевидным, что первое предложение не обязательно верно.Если, например, Фифи — серый кит, то верно, что Фифи — млекопитающее, но неверно, что Фифи — кошка; Итак, первое предложение было бы ложным. Но второе предложение выглядит так, как будто оно должно быть правдой (учитывая то, что мы с вами знаем о кошках и млекопитающих).

    Таким образом, мы должны осознавать, что «только если» не означает то же самое, что и «если». (Если бы это было так, эти два предложения имели бы одинаковое значение истинности во всех ситуациях.) Фактически, кажется, что «только если» лучше всего можно выразить условным выражением, где «только если» появляется перед следствием (помните, консеквент — это вторая часть условного выражения, на которую указывают стрелки).Таким образом, предложений такой формы:

    P, только если Q.

    Только если Q, P.

    лучше всего выражаются формулой

    (P → Q)

    2.3 Проверьте свое понимание условного

    Иногда людей сбивают с толку условные обозначения. Отчасти это происходит потому, что некоторые люди путают их с другим типом связки, определяющей функцию истины, о которой мы узнаем позже, которая называется «бикондиционной». Кроме того, иногда «if… then…» используется в английском языке по-другому (см. Раздел 17.7, если вам интересно узнать об альтернативных возможных значениях). Но с этого момента мы будем понимать условность, как описано выше. Чтобы проверить, правильно ли вы усвоили условное выражение, рассмотрите следующую загадку. [4]

    У нас есть набор из четырех карт на рисунке 2.1. Каждая карта имеет следующее свойство: с одной стороны у нее есть форма, а с другой — буква. Мы перемешиваем и перемешиваем карты, переворачивая некоторые во время перемешивания. Затем выкладываем четыре карты:

    Фигура 2.1

    Учитывая наше ограничение, заключающееся в том, что каждая карта имеет букву на одной стороне и форму на другой, мы знаем, что карта 1 имеет форму на невидимой стороне; карта 2 имеет букву на невидимой стороне; и так далее.

    Теперь рассмотрим следующую претензию:

    Для каждой из этих четырех карт, если карта имеет Q на лицевой стороне карты, то у нее есть квадрат на стороне формы карты.

    Вот наша загадка: какое минимальное количество карт мы должны перевернуть, чтобы проверить, верно ли это утверждение для всех четырех карт; и какие это карты, которые мы должны перевернуть? Конечно, мы могли бы перевернуть их все, но головоломка просит вас идентифицировать все и только карты, которые будут проверять претензию.

    Прекратите читать сейчас и посмотрите, сможете ли вы определиться с ответом. Имейте в виду, что люди обычно плохо справляются с этой головоломкой. Подумайте об этом немного. Ответ дан ниже в задаче 1.

    2.4 Альтернативные символы для условного

    Некоторые книги по логике и некоторые логики используют альтернативные символы для различных функциональных связок истины. Значения (то есть таблицы истинности) всегда одинаковы, но используемые символы могут быть разными. По этой причине мы найдем время в этом тексте, чтобы кратко рассмотреть альтернативные символы.

    Условное условие иногда обозначается следующим символом: «⊃». Таким образом, в таком случае (P → Q) будет записано

    (P⊃Q)

    2,5 Отрицание

    В главе 1 мы рассматривали в качестве примера предложение

    Земля не является центром Вселенной.

    На первый взгляд такое предложение может показаться принципиально непохожим на условное. В нем не два предложения, а только одно. В предложении есть «не», но оно не связывает два предложения.Однако мы все еще можем думать об этом предложении как о построении функциональной связки истины, если мы готовы признать, что это предложение эквивалентно следующему предложению.

    Это не тот случай, когда Земля является центром Вселенной.

    Если это предложение эквивалентно предыдущему, то мы можем трактовать «Это не так» как функциональную связку истины. Традиционно эту громоздкую английскую фразу заменяют одним символом «¬». Тогда, смешав нашу логику высказываний с английской, мы получим

    ¬Земля — ​​центр Вселенной.

    И если мы позволим W быть предложением на нашем языке, имеющим значение Земля — ​​центр Вселенной , мы напишем

    ¬W

    Эта связка называется «отрицание». Его синтаксис: если Φ — предложение, то

    ¬Φ

    — это приговор. Мы называем такое предложение «приговором отрицания».

    Семантика отрицательного предложения также очевидна и дается следующей таблицей истинности.

    Отрицать истинный приговор — значит говорить неправду.Отрицать ложное предложение — значит сказать правду.

    Наш синтаксис всегда рекурсивен. Это означает, что синтаксические правила можно многократно применять к продукту правила. Другими словами, наш синтаксис говорит нам, что если P — предложение, то ¬P — это предложение. Но теперь обратите внимание, что снова применяется то же правило: если ¬P — это предложение, то ¬¬P — это предложение. И так далее. Точно так же, если P и Q — предложения, синтаксис условного выражения говорит нам, что (P → Q) — это предложение. Но тогда так же ¬ (P → Q), как и (¬ (P → Q) → (P → Q)).И так далее. Если у нас есть только одно атомарное предложение, наш рекурсивный синтаксис позволит нам формировать бесконечно много разных предложений с отрицанием и условным выражением.

    2.6 Альтернативные символы для отрицания

    В некоторых текстах может использоваться символ «~» для отрицания. Таким образом, ¬P будет выражено с помощью

    .

    ~

    п.

    2.7 Проблемы

    1. Ответ на нашу карточную игру был таков: вам нужно перевернуть только карты 3 и 4. Поначалу это может показаться многим запутанным.Но помните значение условия: оно может быть ложным только в том случае, если первая часть истинна, а вторая ложна. Предложение, которое мы хотим проверить, звучит так: «Для каждой из этих четырех карт, если карта имеет Q на стороне буквы карты, то у нее есть квадрат на стороне формы карты». Пусть Q означает «у карты есть Q на лицевой стороне карты». Пусть S означает «карта имеет квадрат на стороне формы карты». Затем мы могли бы составить таблицу истинности, чтобы выразить смысл проверяемого утверждения:
    Q S (Q → S)
    т т т
    т F Ф
    Ф т т
    Ф F т

    Оглянитесь на карты.Первая карта имеет букву R. Итак, предложение Q ложно. Но тогда мы оказываемся в ситуации, подобной двум последним строкам таблицы истинности, и условное выражение не может быть ложным. Нам не нужно проверять эту карту. На второй карте есть квадрат. Это означает, что S верно для этой карты. Но тогда мы оказываемся в ситуации, представленной либо первой, либо третьей строкой таблицы истинности. Опять же, утверждение, что (Q → S) не может быть ложным ни в одном случае по отношению к этой карте, поэтому нет смысла проверять эту карту.Третья карта показывает Q. Это соответствует ситуации, которая похожа на первую или вторую строку таблицы истинности. Тогда мы не можем сказать, истинно или ложно (Q → S) для этой карты, не перевернув карту. Точно так же последняя карта показывает ситуацию, когда S ложно, поэтому мы находимся в ситуации, представленной либо второй, либо последней строкой таблицы истинности. Мы должны перевернуть карту, чтобы определить, является ли (Q → S) истинным или ложным для этой карты.

    Попробуйте решить эту головоломку еще раз. Рассмотрим следующее утверждение о тех же четырех картах: если на лицевой стороне карты есть звезда, значит, на буквенной стороне карты есть буква R.Какое минимальное количество карт вы должны перевернуть, чтобы проверить это заявление? Какие это карты?

    1. Рассмотрим следующие четыре карты на рисунке 2.2. Каждая карта имеет букву на одной стороне и фигуру на другой стороне.
    Рисунок 2.2

    Для каждого из следующих утверждений, чтобы определить, верно ли утверждение для всех четырех карт, опишите (1) минимальное количество карт, которое вы должны перевернуть, чтобы проверить претензию, и (2) какие эти карты находятся.

    1. На лицевой стороне карты нет буквы Q.
    2. На лицевой стороне карты нет восьмиугольника.
    3. Если на стороне формы карты есть треугольник, то на стороне буквы карты есть буква P.
    4. Буква R отображается на лицевой стороне карты только в том случае, если на лицевой стороне карты есть ромб.
    5. На лицевой стороне карты изображен шестиугольник при условии, что на лицевой стороне карты есть буква P.
    6. Ромб появляется на лицевой стороне карты только в том случае, если на лицевой стороне карты есть буква P.

    3. Что из следующего имеет правильный синтаксис? Какие из них имеют неправильный синтаксис?

    1. п → Q
    2. ¬ (P → Q)
    3. (¬P → Q)
    4. (P¬ → Q)
    5. (P → ¬Q)
    6. ¬¬P
    7. ¬P¬
    8. (¬P¬Q)
    9. (¬P → ¬Q)
    10. (¬P → ¬Q) ¬

    4. Используйте следующий ключ перевода, чтобы перевести следующие предложения в логику высказываний.

    Ключ перевода
    Логика Английский
    п. Абэ умеет.
    Q Абэ честный.
    1. Если Эйб честен, Эйб может.
    2. Абэ честен, только если Абэ может.
    3. Абэ может, если Абэ честен.
    4. Эйб честен, только если способен на это.
    5. Абэ не умеет.
    6. Дело не в том, что Эйб не может.
    7. Абэ не может, только если Абэ не честен.
    8. Абэ может, при условии, что Абэ нечестен.
    9. Если Эйб не может, значит, Абэ нечестен.
    10. Дело не в том, что если Эйб может, то Абэ честен.

    5. Составьте свой собственный ключ перевода, чтобы перевести следующие предложения в логику высказываний. Затем используйте свой ключ, чтобы перевести предложения в логику высказываний. Ваш ключ перевода должен содержать только атомарные предложения. Это должны быть все и только элементарные предложения, необходимые для перевода следующих английских предложений. Пусть вас не беспокоит, что некоторые предложения неверны.

    1. Джози кошка.
    2. Джози — млекопитающее.
    3. Джози не млекопитающее.
    4. Если Джози не кошка, значит, Джози не млекопитающее.
    5. Джози — рыба.
    6. Если Джози — млекопитающее, Джози не рыба.
    7. Джози — кошка, только если Джози — млекопитающее.
    8. Джози — рыба, только если Джози не млекопитающее.
    9. Дело не в том, что Джози не млекопитающее.
    10. Джози не кошка, если Джози рыба.

    6. В этой задаче будет использоваться принцип рекурсивности нашего синтаксиса. Перевод этих предложений сложнее. Придумайте свой собственный ключ перевода, чтобы перевести следующие предложения в логику высказываний. Ваш ключ перевода должен содержать только атомарные предложения; это должны быть все и только элементарные предложения, необходимые для перевода следующих английских предложений.

    1. Том не может не сдать экзамен.
    2. Если Том учится, Том сдаст экзамен.
    3. Это не тот случай, если Том учится, то Том сдает экзамен.
    4. Если Том не учится, то Том не сдаст экзамен.
    5. Если Том учится, Том сдаст экзамен — при условии, что он вовремя проснется.
    6. Если Том сдает экзамен, то если Стив учится, Стив сдает экзамен.
    7. Дело не в том, что если Том сдает экзамен, то, если Стив учится, Стив сдает экзамен.
    8. Если Том не сдает экзамен, то если Стив учится, Стив сдает экзамен.
    9. Если Том не сдает экзамен, это не тот случай, если Стив будет учиться, Стив будет сдавать экзамен.
    10. Если Том не сдает экзамен, то если Стив не учится, Стив не сдает экзамен.

    7. Составьте свой собственный ключ перевода, чтобы переводить следующие предложения на английский язык. Выпишите английские эквиваленты в английских предложениях, которые кажутся (насколько это возможно) естественными.

    1. (П → С)
    2. ¬¬R
    3. (S → R)
    4. ¬ (S → R)
    5. (¬S → ¬¬R)
    6. ¬¬ (К → С)
    7. (¬R → S)
    8. (R → ¬S)
    9. (¬R → ¬S)
    10. ¬ (¬R → ¬S)

    [3] Во втором примере с неизвестным номером a одна вещь немного забавная.Мы не сможем найти число, которое делится без остатка на 4 и не делится без остатка на 2, поэтому мир никогда не будет похож на описанный во второй строке этой таблицы истинности. Об этом нужно сказать две вещи. Во-первых, эта странность возникает из-за математических фактов, а не фактов нашей логики высказываний, то есть нам нужно знать, что означает «делимый», что означают «4» и «2» и так далее, чтобы понять предложение. . Итак, когда мы видим, что вторая строка невозможна, мы основываем это на нашем знании математики, а не на знании логики высказываний.Во-вторых, некоторые условные выражения могут быть ложными. При определении условного выражения нам необходимо учитывать все возможные условные выражения; Итак, мы должны определить условное выражение для любого случая, когда антецедент истинен, а следствие ложно, даже если этого не может произойти в данном конкретном примере.

    [4] См. Wason (1966).

    3 таблицы истинности | Шансы и окончания

    В этой главе мы познакомимся с несколькими последними концепциями дедуктивной логики, которые нам понадобятся, и изучим полезную технику в процессе: таблицы истинности.

    Коннекторы

    Сложные предложения могут быть построены из других, более простых предложений:

    • Эйгон — тиран и Брэндон — волшебник.
    • Либо Эйгон — тиран , либо Брэндон — волшебник.
    • Это неправда, что Эйгон тиран.

    ⊕Обратите внимание, мы называем , это неправда, что — связка, даже если она на самом деле не связывает два предложения вместе.

    Здесь мы использовали два простых предложения, чтобы построить более длинные и более сложные, используя термины и , или / или , и , это неверно, что . Такие термины называются связками .

    Три перечисленные связки — единственные, которые нам понадобятся в этой книге. У каждого есть название и сокращенный символ:

    .
    соединение и \ (\ клин \) \ (А \ клин В \)
    дизъюнкция или / или \ (\ vee \) \ (А \ Вее Б \)
    отрицание это неправда, что \ (\ neg \) \ (\ neg A \)

    Вот еще несколько примеров сложных предложений:

    • \ (F \ wedge \ neg G \): во Флориде тепло, а в Женеве — нет.
    • \ (\ neg J \ vee \ neg K \): Либо Цзин не придет на вечеринку, либо Камаль не придет.

    Иногда нам также нужны круглые скобки, чтобы избежать двусмысленности. Рассмотрим пример из арифметики: \ [4 \ div 2 \ times 2 = 1. \] Верно ли это уравнение? Это зависит от того, что вы имеете в виду. На первом месте стоит операция деления или умножение? Поэтому мы используем круглые скобки, чтобы пояснить: \ (4 \ div (2 \ times 2) = 1 \), но \ ((4 \ div 2) \ times 2 = 4 \).

    В логике мы также используем круглые скобки, чтобы предотвратить двусмысленность.Рассмотреть возможность: \ [A \ vee B \ клин C. \] Это утверждение неоднозначно, имеет две интерпретации. В английском языке мы можем различать их через запятую:

    • Либо Эйгон — тиран, либо Брэндон — волшебник, а Черчи — королева.
    • Либо Эйгон — тиран, либо Брэндон — волшебник, а Черчи — королева.

    Обратите внимание, как в этих заявлениях делаются разные утверждения. Первый занимает определенную позицию по отношению к Черчи: она королева. Остается только открытым вопрос, является ли Эйгон тираном или Брэндон волшебником.В то время как второе утверждение не занимает определенной позиции ни по одному из наших трех персонажей. Может быть, Эйгон тиран, а может, и нет. Может быть, Брэндон — волшебник, а Черчи — королева, а может, и нет.

    В логике мы используем круглые скобки, чтобы пояснить, какое толкование мы имеем в виду:

    • \ ((А \ вее В) \ клин С \).
    • \ (А \ вее (В \ клин С) \).

    Обратите внимание, что первая инструкция — это, прежде всего, инструкция \ (\ wedge \). Он использует \ (\ wedge \) для объединения более простых операторов \ (C \) и \ (A \ vee B \) вместе.В то время как второй оператор — это в первую очередь оператор \ (\ vee \). Он использует \ (\ vee \) для объединения \ (A \) с \ (B \ wedge C \).

    Мы называем последнюю связку, использованную для построения утверждения, главной связкой .

    • \ ((A \ vee B) \ wedge C \): основная связка — \ (\ wedge \).
    • \ (A \ vee (B \ wedge C) \): основная связка — \ (\ vee \).

    Еще два примера:

    • \ (\ neg (A \ vee B) \): основная связка — \ (\ neg \).
    • \ (\ neg A \ vee B \): основная связка \ (\ vee \).

    Технически последний пример должен иметь круглые скобки, чтобы избежать двусмысленности, например: \ ((\ neg A) \ vee B \). Но все становится беспорядочно и трудночитаемым, если мы добавляем круглые скобки вокруг каждого отрицания. Итак, у нас есть особое понимание \ (\ neg \), чтобы все было в порядке.

    ⊕Это особое понимание \ (\ mathbin {\ sim} \) отражает понимание знака минус в арифметике.

    Символ отрицания \ (\ mathbin {\ sim} \) применяется только к предложению, непосредственно следующему за ним.

    Итак, в предложении \ (\ neg A \ vee B \) \ (\ neg \) применяется только к \ (A \). А в \ (\ neg (A \ wedge B) \ vee C \) это относится только к \ (A \ wedge B \).

    Таблицы истинности

    Истинность сложного предложения, построенного с использованием наших трех связок, зависит от истинности его компонентов. Например, \ (\ neg A \) ложно, если \ (A \) истинно, и истинно, если \ (A \) ложно:

    Таблица 3.1: Таблица истинности для \ (\ neg \)

    Чуть сложнее правило для \ (\ & \):

    Таблица 3.2: Таблица истинности для \ (\ wedge \)

    Теперь есть четыре строки, потому что \ (\ & \) объединяет два предложения \ (A \) и \ (B \) вместе, чтобы сделать более сложное предложение \ (A \ & B \). Поскольку каждое из этих утверждений может быть либо истинным, либо ложным, есть \ (2 \ times 2 = 4 \) возможных ситуаций, которые необходимо рассмотреть.

    Обратите внимание, что только в одной из этих ситуаций \ (A \ & B \) истинно, а именно в первой строке, где и \ (A \), и \ (B \) истинны.

    Таблица истинности для \ (\ vee \) («либо / или») немного более удивительна:

    Таблица 3.3: Таблица истинности для \ (\ vee \)

    Теперь комплексное утверждение всегда верно, за исключением одного случая: последняя строка, где \ (A \) и \ (B \) оба ложны. Имеет смысл, что \ (A \ vee B \) ложно, когда ложны обе стороны. Но почему это правда, когда верны обе стороны? Разве выражение «Либо \ (A \), либо \ (B \)» не означает, что истинно только для одного ?

    Иногда это имеет значение. Но иногда это означает «Либо A, либо B, или оба ». Рассмотрим этот обмен:

    X: Что ты делаешь завтра вечером?
    Y: Я иду либо к другу домой, либо в клуб.Я могу даже сделать и то, и другое, если будет время.

    Человек Y не обязательно меняет свое мнение. Они могли просто прояснить: они делают по крайней мере одну из этих вещей, а возможно, даже обе.

    Хотя в английском языке «или / или» часто используется для обозначения всего лишь того или другого, в логике мы используем более разрешительное прочтение. Итак, \ (A \ vee B \) означает либо \ (A \), либо \ (B \), либо оба .

    Мы всегда можем передать более строгое значение «или / или» с помощью более сложной конструкции: \ [(A \ vee B) \ клин \ neg (A \ клин B).\] Это говорит: \ [\ mbox {Либо $ A $, либо $ B $ истинно, и это не тот случай, когда оба $ A $ и $ B $ истинны}. \] Это просто очень явный способ сказать: либо одно, либо другое, но не оба.

    Мы даже можем проверить, улавливает ли сложная конструкция желаемый смысл, используя таблицу истинности. Начнем с пустой таблицы, в заголовке которой перечислены все формулы, которые мы используем для построения, до последней, сложной, которая нас интересует:

    \ (\; \)
    \ (\; \)
    \ (\; \)
    \ (\; \)

    Затем мы подставляем возможные значения истинности для простейших предложений, \ (A \) и \ (B \):

    Затем мы сверимся с приведенными выше таблицами истинности для \ (\ & \) и \ (\ vee \), чтобы заполнить столбцы на следующем уровне сложности:

    Т Т Т Т
    т F Т F
    Ф Т Т F
    Ф F F F

    Тогда переходите на следующий уровень сложности.Чтобы заполнить столбец для \ (\ neg (A \ wedge B) \), мы сверяемся с столбцом для \ (A \ wedge B \) и применяем правила из таблицы для \ (\ neg \):

    Т Т Т Т F
    т F Т F Т
    Ф Т Т F Т
    Ф F F F Т

    Наконец, мы сверяемся со столбцами для \ (A \ vee B \) и \ (\ neg (A \ wedge B) \) и таблицей для \ (\ & \), чтобы заполнить столбец для \ ((A \ vee B) \ клин \ neg (A \ & B) \):

    Т Т Т Т F F
    т F Т F Т Т
    Ф Т Т F Т Т
    Ф F F F Т F

    Такие сложные конструкции сначала сложно, но не беспокойтесь.С практикой они быстро превращаются в рутину.

    Логические истины и противоречия

    Некоторые утверждения оказываются верными в каждой строке таблицы истинности. Рассмотрим \ (A \ vee \ neg A \), например:

    Такие предложения особенно интересны, потому что они должны быть верными. Их правда гарантирована, просто по логике. Мы называем их логическими истинами или тавтологиями .

    Другая сторона этой медали — утверждения, которые ложны в каждой строке таблицы истинности, например \ (A \ wedge \ neg A \):

    Эти положения называются противоречиями .

    Обратите внимание, что отрицание противоречия является логической истиной. Например, рассмотрим таблицу истинности для \ (\ neg (A \ wedge \ neg A) \):

    Таблицы взаимной эксклюзивности и истины

    Таблицы истинности могут использоваться, чтобы установить, что два утверждения являются взаимоисключающими. Очень простой пример — предложения \ (A \) и \ (\ neg A \):

    В таблице нет строки, в которой оба утверждения верны. И если два утверждения не могут быть истинными, они исключают друг друга по определению.

    Чуть более сложный пример — пара предложений \ (A \ vee B \) и \ (\ neg A \ wedge \ neg B \). В их таблице истинности (3.4) также нет строки, где истинны \ (A \ vee B \) и \ (\ neg A \ wedge \ neg B \). Таким образом, они исключают друг друга.

    Таблица 3.4: Утверждения \ (A \ vee B \) и \ (\ neg A \ wedge \ neg B \) являются взаимоисключающими.

    Т Т F F Т F
    т F F Т Т F
    Ф Т Т F Т F
    Ф F Т Т F Т

    Вхождение и эквивалентность

    Таблицы истинности также могут использоваться для подтверждения допустимости аргумента.Вот очень простой пример:

    \ (А \ клин В \).
    Следовательно, \ (A \).

    Очевидно, что посылка не может быть истинной, а вывод — ложным, поэтому аргумент действителен (если немного глупо). Соответственно, в таблице истинности нет строки, где \ (A \ wedge B \) оказывается истинным, а \ (A \) — ложным:

    Единственная строка, где \ (A \ wedge B \) оказывается истинным, — это первая строка. И в этой строке \ (A \) тоже верно. Таким образом, аргумент от \ (A \ wedge B \) к \ (A \) действителен.

    Еще один пример:

    \ (А \ ви В \).
    \ (\ neg A \).
    Следовательно, \ (B \).

    Этот аргумент действителен, потому что первая посылка говорит, что по крайней мере одно из двух утверждений \ (A \) и \ (B \) должно быть истинным, а вторая строка говорит, что это не \ (A \). Таким образом, согласно заключению, это должно быть \ (B \), что верно. И снова в таблице истинности нет строки, где и \ (A \ vee B \), и \ (\ neg A \) истинны, а \ (B \) ложно:

    Т Т F Т
    т F F Т
    Ф Т Т Т
    Ф F Т F

    Единственная строка, в которой оба \ (A \ vee B \) и \ (\ neg A \) истинны, — это третья строка, а \ (B \) истинно в этой строке.Итак, еще раз таблица истинности говорит нам, что этот аргумент верен.

    В предыдущей главе мы представили концепцию логического следования. \ (A \) логически влечет за собой \ (B \), когда невозможно, чтобы \ (A \) было истинным, а \ (B \) — ложным. Когда одно предложение влечет за собой другое, в таблице истинности нет строки, в которой первое утверждение истинно, а второе ложно.

    Иногда следствие идет в обоих направлениях: первое предложение влечет за собой второе , а второе влечет за собой первое .Например, не только \ (A \ клин B \) влечет \ (B \ клин A \), но также \ (B \ клин A \) влечет \ (A \ клин B \).

    Мы говорим, что такие предложения логически эквивалентны . Что касается таблиц истинности, их столбцы идеально совпадают, они являются идентичными копиями T и F.

    Т Т Т Т
    т F F F
    Ф Т F F
    Ф F F F

    Более сложным примером являются предложения \ (\ neg (A \ vee B) \) и \ (\ neg A \ wedge \ neg B \):

    Т Т F F Т F F
    т F F Т Т F F
    Ф Т Т F Т F F
    Ф F Т Т F Т Т

    Здесь снова столбцы под этими двумя предложениями идентичны.

    Сводка

    Связки могут использоваться для построения более сложных предложений, например \ (A \ wedge B \) или \ (A \ vee \ neg B \). Мы ввели три связки:

    • \ (\ neg A \) означает, что \ (A \) неверно.
    • \ (A \ wedge B \) означает, что оба \ (A \) и \ (B \) верны.
    • \ (A \ vee B \) означает, что либо \ (A \) истинно, либо \ (B \) истинно, или оба истинны .

    В сложном предложении главная связка — это последняя связка, используемая для ее построения из более простых компонентов.В \ (A \ vee \ neg B \) основной связкой является \ (\ vee \).

    Справедливость аргумента может быть установлена ​​с помощью таблицы истинности, если нет строки, в которой все посылки отмечены буквой Т, а в заключении — F.

    Таблицы истинности также могут использоваться для установления того, что два предложения являются взаимоисключающими, если в таблице нет строки, в которой оба предложения имеют T.

    Логически эквивалентные предложения влекут одно за другим. Когда два предложения имеют одинаковые столбцы в таблице истинности, они логически эквивалентны.

    Упражнения

    1. Использование следующих сокращений:

      \ [ \ begin {выровнено} A & = \ mbox {Аша любит Cerci}, \\ B & = \ mbox {Балон любит Черчи}, \ end {выровнен} \]

      перевести каждое из следующих значений в логические (например, \ (\ neg A \ vee B \)).

      1. Аша не любит Черчи.
      2. Аша любит Черчи, а Балон любит Черчи.
      3. Аша любит Черчи, а Бэлон — нет.
      4. Ни Аша, ни Бейлон не любят Черчи.
    2. Для каждой пары предложений используйте таблицу истинности, чтобы определить, являются ли они взаимоисключающими.

      1. \ (A \ клин B \) и \ (A \ клин \ neg B \).
      2. \ (A \) и \ (\ neg B \).
      3. \ (A \ vee \ neg A \) и \ (A \ wedge \ neg A \).
    3. Для каждой пары предложений используйте таблицу истинности, чтобы определить, являются ли они логически эквивалентными.

      1. \ (\ neg A \ vee B \) и \ (\ neg (A \ клин \ neg B) \).
      2. \ (A \) и \ ((A \ клин B) \ vee (A \ клин \ neg B) \).
      3. \ (A \) и \ ((B \ клин A) \ vee (B \ клин \ neg A) \).
    4. Предложение \ (A \ vee (B \ wedge C) \) содержит три простых предложения, поэтому его таблица истинности состоит из 8 строк. Заполните оставшуюся часть таблицы:

      Т Т Т
      т Т F
      т F Т
      т F F
      Ф Т Т
      Ф Т F
      Ф F Т
      Ф F F
    5. Используйте таблицу истинности, чтобы определить, эквивалентны ли предложения \ (A \ vee (B \ wedge C) \) и \ ((A \ vee B) \ wedge (A \ vee C) \).

    6. Верно или неверно: если \ (A \) и \ (B \) являются взаимоисключающими, то \ (A \) и \ (\ neg B \) логически эквивалентны.

    7. Если мы рассматриваем два совместимых предложения \ (A \) и \ (B \), таблица истинности имеет \ (4 \) строк. Если есть три совместимых предложения \ (A \), \ (B \) и \ (C \), есть \ (8 \) строк.

      1. Сколько строк будет, если у нас есть четыре совместимых предложения?
      2. В целом, сколько строк содержит \ (n \) совместимые предложения?
      3. Сколько строк там, если у нас есть три предложения \ (A \), \ (B \) и \ (C \), но \ (A \) и \ (B \) несовместимы (они исключают друг друга). ).Предположим, что остальные пары совместимы.
    8. Предположим, в семье двое детей.

      1. Сколько существует способов распределения их дней рождения между \ (12 \) месяцами в году?
      2. Предположим, мы знаем, что двое братьев и сестер родились в разные месяцы. Сколько тогда возможностей?
      3. Предположим, в другой семье трое детей. Мы не знаем, есть ли у кого-нибудь из них один и тот же месяц рождения. Сколько возможностей в этом случае?

    17.6: Таблицы истинности: условные, двусмысленные

    Ранее мы обсуждали условные операторы, в которых мы предпринимаем действия в зависимости от значения условия. Теперь мы рассмотрим другую версию условного выражения, иногда называемого импликацией, в котором говорится, что вторая часть должна логически вытекать из первой.

    Условный

    Условное выражение — это логический составной оператор, в котором оператор \ (p \), называемый антецедентом, подразумевает оператор \ (q \), называемый консеквентом.

    Условное выражение записывается как \ (p \ rightarrow q \) и переводится как «если \ (p \), то \ (q \)».

    Пример 19

    Английское высказывание «Если идет дождь, то есть облака, это небо» является условным утверждением. Это имеет смысл, потому что если предшествующее «идет дождь» верно, то последующее «в небе облака» также должно быть истинным.

    Обратите внимание, что это утверждение ничего не говорит нам о том, чего ожидать, если не будет дождя; в небе могут быть облака, а может и нет.Если антецедент ложен, то консеквент становится неактуальным.

    Пример 20

    Предположим, вы заказываете футболку команды онлайн во вторник и хотите получить ее к пятнице, чтобы можно было надеть ее на субботнюю игру. На сайте написано, что если вы заплатите за ускоренную доставку, вы получите майку к пятнице. В какой ситуации сайт лжет?

    Возможны четыре исхода:

    1) Вы оплачиваете ускоренную доставку и получаете майку до

    пятницы.

    2) Вы оплачиваете ускоренную доставку и не получаете майку до

    пятницы.

    3) Вы не платите за ускоренную доставку и получите майку до

    пятницы.

    4) Вы не платите за ускоренную доставку и не получаете майку до

    пятницы.

    Только один из этих результатов доказывает, что веб-сайт лгал: второй результат, при котором вы платите за ускоренную доставку, но не получаете майку к пятнице.Первый результат — это именно то, что было обещано, так что с этим проблем нет. Третий результат — не ложь, потому что на веб-сайте никогда не говорилось, что произойдет, если вы не заплатите за ускоренную доставку; возможно, майка будет доставлена ​​к пятнице, вне зависимости от того, заплатили вы за ускоренную доставку или нет. Четвертый результат не является ложью, потому что, опять же, веб-сайт не обещал, когда свитер будет доставлен, если вы не оплатите ускоренную доставку.

    Может показаться странным, что третий результат в предыдущем примере, в котором первая часть ложна, а вторая истинна, не является ложью.Однако помните, что если антецедент ложен, мы не можем судить о следствии. На сайте никогда не говорилось, что оплата ускоренной доставки была только способом получить майку к пятнице.

    Пример 21

    Друг говорит вам: «Если вы загрузите эту фотографию в Facebook, вы потеряете работу». При каких условиях вы можете сказать, что ваш друг был неправ?

    Возможны четыре исхода:

    1) Вы загружаете картинку и теряете работу

    2) Вы загружаете картинку и не теряете работу

    3) Вы не загружаете картинку и теряете работу

    4) Вы не загружаете картинку и не теряете работу

    Есть только один возможный случай, в котором вы можете сказать, что ваш друг был неправ: второй вариант, когда вы загружаете картинку, но при этом сохраняете свою работу.В последних двух случаях ваш друг ничего не сказал о том, что произойдет, если вы не загрузите изображение, поэтому вы не можете сказать, что его утверждение было неправильным. Даже если вы не загрузили изображение и все равно потеряли работу, ваш друг никогда не говорил, что вы гарантированно сохраните свою работу, если не загрузите изображение; вы можете потерять работу из-за того, что пропустили смену или вместо этого ударили босса.

    В традиционной логике условное выражение считается истинным до тех пор, пока нет случаев, в которых антецедент истинен, а следствие ложно.

    Таблица истинности условного

    \ (\ begin {array} {| c | c | c |}
    \ hline p & q & p \ rightarrow q \\
    \ hline \ mathrm {T} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} \\
    \ hline \ mathrm {T} & \ mathrm {F} & \ mathrm {F} \\
    \ hline \ mathrm {F} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} \\
    \ hline \ mathrm {F} & \ mathrm {F} & \ mathrm {T} \\
    \ hline
    \ end {array} \)

    Опять же, если антецедент \ (p \) ложен, мы не можем доказать, что утверждение является ложью, поэтому результат третьей и четвертой строк верен.

    Пример 22

    Постройте таблицу истинности для утверждения \ ((m \ wedge \ sim p) \ rightarrow r \)

    Раствор

    Мы начинаем с построения таблицы истинности с 8 строками, чтобы охватить все возможные сценарии. Затем мы можем сосредоточиться на антецеденте, \ (m \ wedge \ sim p \).

    \ (\ begin {array} {| c | c | c |}
    \ hline m & p & r \\
    \ hline \ mathrm {T} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} \\
    \ hline \ mathrm {T} & \ mathrm {T} & \ mathrm {F} \\
    \ hline \ mathrm {T} & \ mathrm {F} & \ mathrm {T} \\
    \ hline \ mathrm {T } & \ mathrm {F} & \ mathrm {F} \\
    \ hline \ mathrm {F} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} \\
    \ hline \ mathrm {F} & \ mathrm {T } & \ mathrm {F} \\
    \ hline \ mathrm {F} & \ mathrm {F} & \ mathrm {T} \\
    \ hline \ mathrm {F} & \ mathrm {F} & \ mathrm {F } \\ \ hline
    \ end {array} \)

    \ (\ begin {array} {| c | c | c | c |}
    \ hline m & p & r & \ sim p \\
    \ hline \ mathrm {T} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} & \ mathrm {F} \\
    \ hline \ mathrm {T} & \ mathrm {T} & \ mathrm {F} & \ mathrm {F} \\
    \ hline \ mathrm {T} & \ mathrm {F} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} \\
    \ hline \ mathrm {T} & \ mathrm {F} & \ mathrm {F} & \ mathrm {T} \\
    \ hline \ mathrm {F} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} & \ mathrm {F} \\
    \ hline \ mathrm {F} & \ mathrm {T} & \ mathrm {F} & \ mathrm {F} \ \
    \ hline \ mathrm {F} & \ mathrm {F} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} \\
    \ hline \ mathrm {F} & \ mathrm {F} & \ mathrm {F} & \ mathrm {T} \\
    \ hline
    \ end {array} \)

    \ (\ begin {array} {| c | c | c | c | c |}
    \ hline m & p & r & \ sim p & m \ wedge \ sim p \\
    \ hline \ mathrm {T} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} & \ mathrm {F} & \ mathrm {F} \\
    \ hline \ mathrm {T} & \ mathrm {T} & \ mathrm {F} & \ mathrm { F} & \ mathrm {F} \\
    \ hline \ mathrm {T} & \ mathrm {F} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} \\
    \ hline \ mathrm { T} & \ mathrm {F} & \ mathrm {F} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} \\
    \ hline \ mathrm {F} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} & \ mathrm {F} & \ mathrm {F} \\
    \ hline \ mathrm {F} & \ mathrm {T} & \ mathrm {F} & \ mathrm {F} & \ mathrm {F} \\
    \ hline \ mathrm {F} & \ mathrm {F} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} & \ mathrm {F} \\
    \ hline \ mathrm {F} & \ mathrm {F} & \ mathrm {F} & \ mathrm {T} & \ mathrm {F} \\
    \ hline
    \ end {array} \)

    Теперь мы можем создать столбец для условного выражения.Поскольку отслеживать все Ts и \ (\ mathrm {Fs} \) может сбивать с толку, почему бы нам не скопировать столбец для \ (r \) справа от столбца для \ (m \ wedge \ дурачок\) ? Это значительно упрощает чтение условного выражения слева направо.

    \ (\ begin {array} {| c | c | c | c | c | c | c |}
    \ hline m & p & r & \ sim p & m \ wedge \ sim p & r & (m \ клин \ sim p) \ rightarrow r \\
    \ hline \ mathrm {T} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} & \ mathrm {F} & \ mathrm {F} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} \\
    \ hline \ mathrm {T} & \ mathrm {T} & \ mathrm {F} & \ mathrm {F} & \ mathrm {F} & \ mathrm {F} & \ mathrm {T} \\
    \ hline \ mathrm {T} & \ mathrm {F} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} \\
    \ hline \ mathrm {T} & \ mathrm {F} & \ mathrm {F} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} & \ mathrm {F} & \ mathrm {F} \\
    \ hline \ mathrm { F} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} & \ mathrm {F} & \ mathrm {F} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} \\
    \ hline \ mathrm {F} & \ mathrm {T} & \ mathrm {F} & \ mathrm {F} & \ mathrm {F} & \ mathrm {F} & \ mathrm {T} \\
    \ hline \ mathrm {F} & \ mathrm {F} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} & \ mathrm {F} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} \\
    \ hline \ mathrm {F} & \ mathrm {F} & \ mathrm { F} & \ mathrm {T} & \ mathrm {F} & \ mathrm {F} & \ mathrm {T} \\
    \ hline
    \ end {array} \)

    Когда \ (m \) истинно, \ (p \) ложно, а \ (r \) ложно — четвертая строка таблицы — тогда антецедент \ (m \ wedge \ sim p \) будет истина, но как следствие ложь, что приводит к недопустимому условному выражению; каждый другой случай дает допустимое условное выражение.

    Если вам нужна реальная ситуация, которую можно смоделировать с помощью \ ((m \ wedge \ sim p) \ rightarrow r \), подумайте вот о чем: пусть \ (m = \) мы заказываем фрикадельки, \ (p = \) мы заказываем макароны, и \ (r = \) Роб счастлив. Утверждение \ ((m \ wedge \ sim p) \ rightarrow r \) гласит: «Если мы заказываем фрикадельки и не заказываем макароны, то Роб счастлив». Если \ (m \) истинно (мы заказываем фрикадельки), \ (p \) ложно (мы не заказываем макароны) и \ (r \) ложно (Роб недоволен), то утверждение ложно. , потому что мы удовлетворили антецедент, но Роб не удовлетворил следствие.{\ prime \ prime} \ quad \ sim q \ rightarrow \ sim p \)

    Пример 23

    Снова рассмотрим условное выражение «Если идет дождь, то в небе облака». Кажется разумным предположить, что это правда.

    Обратное выражение: «Если на небе облака, значит, идет дождь». Это не всегда правда.

    Обратное будет: «Если не идет дождь, то на небе нет облаков». Точно так же это не всегда так.

    Контрапозитив будет: «Если на небе нет облаков, значит, не идет дождь.Это утверждение верно и эквивалентно исходному условному выражению.

    Глядя на таблицы истинности, мы можем видеть, что исходное условное и контрпозитивное логически эквивалентны, а обратное и обратное логически эквивалентны.


    Эквивалентность

    Условное утверждение и его противоположность логически эквивалентны.

    Обратное и обратное условное выражение логически эквивалентно.

    Другими словами, исходное утверждение и контрапозитив должны согласовываться друг с другом; они оба должны быть истинными, или они оба должны быть ложными.Точно так же обратное и обратное должны согласовываться друг с другом; они оба должны быть истинными, или они оба должны быть ложными.

    Имейте в виду, что символическая логика не может идеально представить английский язык. Например, нам может потребоваться изменить время глагола, чтобы показать, что одно произошло раньше другого.

    Пример 24

    Предположим, что это утверждение верно: «Если я съем это гигантское печенье, меня тошнит». Какое из следующих утверждений также должно быть верным?

    1. Если меня тошнит, значит, я съел это гигантское печенье.
    2. Если я не съем это гигантское печенье, меня не тошнит.
    3. Если меня не тошнит, значит, я не ел это гигантское печенье.

    Раствор

    1. Это обратное, что не обязательно верно. Меня могло тошнить по другой причине, например, когда я пил простоквашу.
    2. Это обратное, что не обязательно верно. Опять же, я мог чувствовать себя плохо по какой-то другой причине; отказ от cookie не гарантирует, что я не почувствую себя плохо.
    3. Это контрапозитив, и это правда, но мы должны подумать несколько задом наперед, чтобы объяснить это. Если бы я съел печенье, меня бы тошнило, но, поскольку я не чувствую себя плохо, я, должно быть, не ел это печенье.

    Еще раз обратите внимание, что исходное утверждение и контрпозитив имеют одинаковое значение истинности (оба верны), а обратное и обратное имеют одинаковое значение истинности (оба ложны).

    Попробовать 5

    «Если вы разогреваете лосося на кухне для персонала, я буду на вас зол.”Если это утверждение верно, какое из следующих утверждений также должно быть верным?

    1. Если вы не готовите лосося в микроволновой печи на кухне для персонала, я не буду на вас злиться.
    2. Если я не злюсь на тебя, то ты не готовил лосося в микроволновке на кухне для персонала.
    3. Если я злюсь на тебя, то ты приготовил лосося в микроволновой печи на кухне для персонала.
    Ответ

    Вариант b верен, потому что он противоречит исходному утверждению.

    Рассмотрим высказывание «Если вы припаркуетесь здесь, то получите билет». Какой набор условий подтвердит ложность этого утверждения?

    1. Вы не паркуетесь здесь, а получаете билет.
    2. Вы не паркуетесь здесь и не получаете билет.
    3. Вы паркуетесь здесь и не получаете билет.

    Первые два утверждения не имеют отношения к делу, потому что мы не знаем, что произойдет, если вы припаркуетесь в другом месте. Однако третье утверждение противоречит условному утверждению «Если вы припаркуетесь здесь, то получите билет», потому что вы припарковались здесь, но не получили билет.Этот пример демонстрирует общее правило; отрицание условного выражения может быть записано в виде союза: «Это не тот случай, когда вы припаркуетесь здесь, тогда вы получите билет» эквивалентно «Вы припаркуетесь здесь и , вы не получите билет».

    Отрицание условного

    Отрицание условного оператора логически эквивалентно соединению антецедента и отрицания консеквента.

    \ (\ sim (p \ rightarrow q) \) эквивалентно \ (p \ wedge \ sim q \)

    Пример 25

    Какое из следующих утверждений эквивалентно отрицанию «Если сковороду не смазывать жиром, то еда прилипнет к ней»?

    1. Я не смазал сковороду, и еда не прилипла к ней.
    2. Я не смазал сковороду маслом, и еда на ней прилипла.
    3. Я смазал сковороду маслом, еда не прилипала.

    Раствор

    1. Это правильно; это соединение антецедента и отрицания следствия. Чтобы опровергнуть тот факт, что отсутствие смазки сковороды приведет к прилипанию пищи, я должен не смазывать сковороду жиром и не допускать прилипания пищи.
    2. По сути, это исходное утверждение без отрицания; «если… то» заменено на «и».
    3. По сути, это соответствует исходному утверждению и не может его опровергнуть.

    Попробовать 6

    «Если ты пойдешь плавать менее чем через час после обеда, у тебя начнутся судороги». Какое из следующих утверждений эквивалентно отрицанию этого утверждения?

    1. Я пошел плавать больше чем через час после обеда, и у меня начались судороги.
    2. Я пошел плавать менее чем через час после обеда, и у меня не было судорог.
    3. Я пошел плавать больше чем через час после обеда, и у меня не было судорог.
    Ответ

    Вариант b эквивалентен отрицанию; он сохраняет первую часть неизменной и отменяет вторую часть.

    В повседневной жизни мы часто имеем в виду более сильный смысл, когда используем условное утверждение. Подумайте: «Если вы отправите свои часы сегодня, то в следующую пятницу вам будут платить». На самом деле представитель по заработной плате имеет в виду следующее: «Если вы отправите свои часы работы сегодня, то вам будут платить в следующую пятницу, а если вы не отправите свои часы сегодня, то в следующую пятницу вам не заплатят».Условный оператор, если t , то p также включает в себя обратный оператор: если не t , то не p . Более компактный способ выразить это утверждение: «Вам будут платить в следующую пятницу , если и только если вы отправите свой табель учета рабочего времени сегодня». Заявление такой формы называется двояко .

    Двусторонняя

    Двуусловное выражение — это логическое условное выражение, в котором антецедент и консеквент взаимозаменяемы.{\ prime \ prime} \).

    Поскольку биконусный оператор \ (p \ leftrightarrow q \) эквивалентен \ ((p \ rightarrow q) \ wedge (q \ rightarrow p), \), мы можем рассматривать его как условный оператор в сочетании с его обратным выражением: if \ (p \), то \ (q \) и , если \ (q \), то \ (p \). Двунаправленная стрелка показывает, что условный оператор идет слева направо и справа налево. Двусловное условие считается истинным, если антецедент и следствие имеют одинаковое значение истинности; то есть они либо оба верны, либо оба ложны.

    Таблица истинности для двусмысленной

    \ (\ begin {array} {| c | c | c |}
    \ hline p & q & p \ leftrightarrow q \\
    \ hline \ mathrm {T} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} \\
    \ hline \ mathrm {T} & \ mathrm {F} & \ mathrm {F} \\
    \ hline \ mathrm {F} & \ mathrm {T} & \ mathrm {F} \\
    \ hline \ mathrm {F} & \ mathrm {F} & \ mathrm {T} \\
    \ hline
    \ end {array} \)

    Обратите внимание, что четвертая строка, где оба компонента ложны, истинна; Если вы не отправите свой табель учета рабочего времени и вам не заплатят, человек из платежной ведомости сказал вам правду.

    Пример 26

    Предположим, что это утверждение верно: «Мусоровоз едет по моей улице тогда и только тогда, когда сегодня утро четверга». Какое из следующих утверждений может быть правдой?

    1. Сегодня полдень в четверг, и сегодня утром мусоровоз не проезжал по моей улице.
    2. Сегодня понедельник, по моей улице едет мусоровоз.
    3. Сегодня среда, 23:59, и мусоровоз сегодня не проезжал по моей улице.

    Раствор

    1. Этого не может быть.Это похоже на вторую строку таблицы истинности; правда, что я только что пережил утро четверга, но неверно, что приехал мусоровоз.
    2. Это не может быть правдой. Это похоже на третью строку таблицы истинности; неверно, что сегодня четверг, но это правда, что приехал мусоровоз.
    3. Это могло быть правдой. Это похоже на четвертую строку таблицы истинности; неверно, что сегодня четверг, но также неверно, что приехал мусоровоз, поэтому все сложилось так, как должно.

    Попробовать 7

    Предположим, что это утверждение верно: «Я ношу свои кроссовки тогда и только тогда, когда я тренируюсь». Определите, должно ли каждое из следующих утверждений быть верным или ложным.

    1. Я тренируюсь, но на мне нет кроссовок.
    2. Я ношу кроссовки и не занимаюсь спортом.
    3. Я не занимаюсь спортом и не ношу кроссовки.
    Ответ

    Варианты a и b неверны; c верно.

    Пример 27

    Создайте таблицу истинности для утверждения \ ((A \ vee B) \ leftrightarrow \ sim C \)

    Раствор

    Всякий раз, когда у нас есть три составных утверждения, мы начинаем с перечисления всех возможных комбинаций значений истинности для \ (A, B, \) и \ (C. \). После создания этих трех столбцов мы можем создать четвертый столбец для антецедента, \ (А \ ви В \). Теперь мы временно проигнорируем столбец для \ (C \) и сосредоточимся на \ (A \) и \ (B \), записывая значения истинности для \ (A \ vee B \).

    \ (\ begin {array} {| c | c | c |}
    \ hline A & B & C \\
    \ hline \ mathrm {T} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} \\
    \ hline \ mathrm {T} & \ mathrm {T} & \ mathrm {F} \\
    \ hline \ mathrm {T} & \ mathrm {F} & \ mathrm {T} \\
    \ hline \ mathrm {T } & \ mathrm {F} & \ mathrm {F} \\
    \ hline \ mathrm {F} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} \\
    \ hline \ mathrm {F} & \ mathrm {T } & \ mathrm {F} \\
    \ hline \ mathrm {F} & \ mathrm {F} & \ mathrm {T} \\
    \ hline \ mathrm {F} & \ mathrm {F} & \ mathrm {F } \\
    \ hline
    \ end {array} \)

    \ (\ begin {array} {| c | c | c | c |}
    \ hline A & B & C & A \ vee B \\
    \ hline \ mathrm {T} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} \\
    \ hline \ mathrm {T} & \ mathrm {T} & \ mathrm {F} & \ mathrm {T} \\
    \ hline \ mathrm {T} & \ mathrm {F} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} \\
    \ hline \ mathrm {T} & \ mathrm {F} & \ mathrm {F} & \ mathrm {T} \\
    \ hline \ mathrm {F} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} \\
    \ hline \ mathrm {F} & \ mathrm {T} & \ mathrm {F} & \ mathrm {T} \\
    \ hline \ mathrm {F} & \ mathrm {F} & \ mathrm {T} & \ mathrm {F} \\
    \ hline \ mathrm {F} & \ mathrm {F} & \ mathrm {F} & \ mathrm {F} \\
    \ hline
    \ end {array} \)

    Затем мы можем создать столбец для отрицания \ (C \).(Игнорируйте столбец \ (A \ vee B \) и просто инвертируйте значения в столбце \ (C \).)

    \ (\ begin {array} {| c | c | c | c | c |}
    \ hline A & B & C & A \ vee B & \ sim C \\
    \ hline \ mathrm {T} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} & \ mathrm {F} \\
    \ hline \ mathrm {T} & \ mathrm {T} & \ mathrm {F} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} \\
    \ hline \ mathrm {T} & \ mathrm {F} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} & \ mathrm {F} \\
    \ hline \ mathrm {T} & \ mathrm {F} & \ mathrm {F} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} \\
    \ hline \ mathrm {F} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} & \ mathrm { T} & \ mathrm {F} \\
    \ hline \ mathrm {F} & \ mathrm {T} & \ mathrm {F} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} \\
    \ hline \ mathrm { F} & \ mathrm {F} & \ mathrm {T} & \ mathrm {F} & \ mathrm {F} \\
    \ hline \ mathrm {F} & \ mathrm {F} & \ mathrm {F} & \ mathrm {F} & \ mathrm {T} \\
    \ hline
    \ end {array} \)

    Наконец, мы находим значения истинности \ ((A \ vee B) \ leftrightarrow \ sim C \).Помните, что двояковыпуклое условие истинно, когда значения истинности двух частей совпадают, но оно ложно, когда значения истинности не совпадают.

    \ (\ begin {array} {| c | c | c | c | c | c |}
    \ hline A & B & C & A \ vee B & \ sim C & (A \ vee B) \ leftrightarrow \ sim C \\
    \ hline \ mathrm {T} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} & \ mathrm {F} & \ mathrm {F} \\
    \ hline \ mathrm { T} & \ mathrm {T} & \ mathrm {F} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} \\
    \ hline \ mathrm {T} & \ mathrm {F} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} & \ mathrm {F} & \ mathrm {F} \\
    \ hline \ mathrm {T} & \ mathrm {F} & \ mathrm {F} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} \\
    \ hline \ mathrm {F} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} & \ mathrm {F} & \ mathrm { F} \\
    \ hline \ mathrm {F} & \ mathrm {T} & \ mathrm {F} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} & \ mathrm {T} \\
    \ hline \ mathrm { F} & \ mathrm {F} & \ mathrm {T} & \ mathrm {F} & \ mathrm {F} & \ mathrm {T} \\
    \ hline \ mathrm {F} & \ mathrm {F} & \ mathrm {F} & \ mathrm {F} & \ mathrm {T} & \ mathrm {F} \\
    \ hline
    \ end {array} \)

    Чтобы проиллюстрировать эту ситуацию, предположим, что вашему начальнику нужно, чтобы вы выполняли либо проект \ (A \), либо проект \ (B \) (или и то, и другое, если у вас есть время).Если вы выполните один из проектов, вы не получите никудышный отзыв (\ (C \) — это убойный). Итак, \ ((A \ vee B) \ leftrightarrow \ sim C \) означает: «Вы не получите скучный отзыв тогда и только тогда, когда вы выполните проект \ (A \) или проект \ (B \)». Глядя на несколько строк таблицы истинности, мы можем увидеть, как это работает. В первой строке все \ (A, B, \) и \ (C \) верны: вы выполнили оба проекта и получили скучную рецензию, чего не сказал ваш начальник! Вот почему окончательный результат первой строки ложный.В четвертой строке \ (A \) истинно, \ (B \) ложно, а \ (C \) ложно: вы выполнили проект \ (A \) и не получили скучный отзыв. Это то, что сказал ваш босс, поэтому окончательный результат этой строки верен. А в восьмой строке \ (A, B \) и \ (C \) все неверны: вы не выполняли ни один проект и не получили скучный отзыв. Это , а не , как сказал ваш босс, поэтому окончательный результат этой строки будет ложным. (Даже если вы можете быть счастливы, что ваш босс не реализовал угрозу, таблица истинности показывает, что ваш босс солгал о том, что может произойти.)

    Булева алгебра — Булева логика — GCSE Computer Science Revision

    Булева алгебра и таблицы истинности могут использоваться для описания логических выражений . Наиболее распространенными логическими операторами являются И , ИЛИ и НЕ (всегда заглавными буквами). У каждого оператора есть стандартный символ, который можно использовать при рисовании схем логических вентилей.

    Описание логических элементов НЕ, И, ИЛИ и XOR

    Элемент НЕ

    Элемент НЕ имеет только один вход.Выход схемы будет противоположным входу. Если вводится 0, то вывод равен 1. Если вводится 1, то выводится 0.

    Если A — вход, а Q — выход, таблица истинности выглядит следующим образом:

    Логическое выражение записывается как Q = NOT A .

    Логический элемент И

    Логический элемент И может использоваться на логическом элементе с двумя входами. И сообщает нам, что оба входа должны быть равны 1, чтобы на выходе было 1.

    Таблица истинности будет выглядеть так:

    Логическое выражение записывается как Q = A AND B .

    Логический элемент ИЛИ

    Логический элемент ИЛИ имеет два входа. Один или оба входа должны быть равны 1 для выхода 1, в противном случае на выходе будет 0.

    Таблица истинности будет выглядеть так:

    Логическое выражение записывается как Q = A OR B .

    Элемент исключающее ИЛИ

    Элемент исключающее ИЛИ работает так же, как вентиль ИЛИ, но будет выводить 1 только в том случае, если один или другой (не оба) входа равны 1.

    Логический элемент исключающее ИЛИ обозначен дополнительной изогнутой линией для слева от основной формы.

    Таблица истинности будет выглядеть так:

    Логическое выражение записывается как Q = A XOR B .

    NAND и NOR | Прядильные номера

    Мы представляем два новых гейта: NAND и NOR. Они имеют преимущества в размере и скорости из-за того, как транзисторные схемы реализуют вентили.

    Автор Вилли Макалистер.


    Содержание


    Первое, что мы добавляем в нашу коллекцию простых ворот, — это И-И и И-И-И.

    Логический элемент NAND

    Логический элемент И-НЕ (сокращенно от НЕ-И) совпадает с И, за которым следует НЕ. Вы можете видеть, как мы сложили символы вместе,

    Уравнение для логического элемента И-НЕ: C = A · B

    Таблица истинности для NAND противоположна AND. Вы перечисляете одни и те же входы, но инвертируете вывод в каждой строке,

    Есть несколько способов подумать о таблице истинности NAND.

    • Опишите, когда выход ИСТИНА: Выход ИСТИНА, если любые входов ЛОЖЬ.
    • Опишите, когда выход ЛОЖЬ: Выход ЛОЖЬ, если оба входа ИСТИНА.

    NOR ворота

    Элемент НЕ-ИЛИ (НЕ-ИЛИ) совпадает с ИЛИ, за которым следует НЕ. Мы объединяем символы OR и NOT вместе, чтобы получить NOR,

    .

    Уравнение для логического элемента ИЛИ-НЕ: C = A + B

    Таблица истинности для ИЛИ — противоположность ИЛИ. Вы перечисляете одни и те же входы, но инвертируете вывод в каждой строке,

    Есть несколько способов думать о таблице истинности NOR.

    • Опишите, когда выход ИСТИНА: Выход ИСТИНА, если оба входов ЛОЖЬ.
    • Опишите, когда выход ЛОЖЬ: Выход ЛОЖЬ, если любые входов ИСТИНА.

    Почему существуют ворота NAND и NOR?

    Почему мы беспокоимся о создании вентилей NAND и NOR? Почему бы просто не соединить вместе И, ИЛИ и НЕ всякий раз, когда нам нужно? Мы еще не рассмотрели, как создавать логические вентили, но есть несколько очень веских причин для определения NAND и NOR,

    .
    • Электронные схемы естественно инвертирующие.
      • Независимо от того, строите ли вы затвор с полевыми МОП-транзисторами или биполярными транзисторами, простейшая схема для реализации функций И ​​или ИЛИ также инвертирует выходной сигнал «бесплатно». Если вам нужен неинвертирующий вентиль, вам нужно добавить инвертор, чтобы отменить «свободную» инверсию.
    • Простой меньше.
      • Вы хотите использовать как можно меньше транзисторов и затворов. В матрице логических элементов, полузаказных ASIC или специализированных интегральных схемах логический элемент И-НЕ всегда меньше логического элемента И.Ворота ИЛИ всегда меньше ворот ИЛИ.
    • Простой — быстрее.
      • Естественно инвертирующий логический элемент И-НЕ всегда быстрее, чем комбинация И + НЕ.
    • Простая экономия энергии.
      • Простые вентили имеют меньше узлов, которые должны изменять каждый логический переход. Меньшее количество движущихся узлов означает меньшее количество заряда, а значит, меньший заряд должен поступать от источника питания. Это означает, что ваша цифровая штуковина с батарейным питанием служит намного дольше.Разве не было бы хорошо, если бы ваш мобильный телефон оставался заряженным в течение месяца, а не дня?

    Научиться конструировать с переворачивающимися воротами — большая победа. Мы скоро расскажем об этом.

    Проверка концепции

    Запишите четыре таблицы истинности для И НЕ ИЛИ ИЛИ, бок о бок.

    Сравните и сопоставьте шаблоны вывода, чтобы понять, чем они отличаются,

    • Опишите, какие входы составляют выход 1.
    • Опишите, какие входы делают выход 0.

    Привыкайте к описанию ворот по-разному. Часто, когда вы разрабатываете логику, вы начинаете со словесного описания того, что вы хотите, а затем переводите это в ворота.

    Сводка

    Уравнение для логического элемента И-НЕ: C = A · B

    Уравнение для логического элемента ИЛИ-НЕ: C = A + B

    Даже если вы никогда не планируете разрабатывать цифровое оборудование, хорошо понимать, почему инвертирующие вентили (И-НЕ и ИЛИ-ИЛИ) предпочтительнее для проектирования логики.

    alexxlab

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *