Мне нужно прочитать из файла координаты точек. Файл выглядит следующим образом: x0 y0 x1 y1 …. Затем найдите центр и диаметр наименьшего окружающего круга. Но в самом начале я замешкался. Я не…

Я пытаюсь вычислить направление вектора 3D, начинающегося в точке (x, y, z) и заканчивающегося в точке (a, b, c) для навигации в моей игре с космическим кораблем, но я не смог найти ничего…

У меня есть объект, движущийся вдоль вектора 3D в терминах X, Y, Z… Мне нужно повернуть объект в соответствии с каждой осью (ось x, ось y и ось z). Как я могу получить эти измерения в терминах…

Я нашел лучший способ вычислить ширину и высоту ограничивающего прямоугольника векторного пост-вращения из другого столба stack overflow. Это сработало великолепно. Теперь моя проблема заключается в…

Задача: Генерация сетки из 3D точек (с координатами x, y и z). У меня есть точки в пространстве 3D (с координатами x, y и z), которые вы можете увидеть на рисунке 1. То, что будет выводиться, — это…

Я изо всех сил пытаюсь заставить это работать, потому что все ответы, которые я могу найти, что большинство ответов больше сосредоточены на векторах в массивах numpy, а не на моих классах (OOP). (Я…

я новичок в opencv &, он развивается. У меня есть координаты x,y,z ( 0.00949334694383068, -0.3999829847985352, 0.8449078780010854), используя заданные координаты, как я могу найти направление….

У меня есть целый набор данных. Эти данные находятся в координатах x и y. Я пытаюсь написать программу, которая подсчитывает количество данных между координатами x и y… Так, например, предположим,…

У меня есть большая сеть с координатами X/Y, похожими на эту , и мне было интересно, как я могу создать свою собственную версию, но с моими данными X/Y. Проблема не обязательно в том, чтобы…

Мне нужно обнаружить несколько линий на растеризованном изображении. Получив все координаты X и Y, я могу создать соответствующее линейное уравнение для горизонтальных, вертикальных и едва…

Векторы, графическое изображение векторов, величина вектора, направление вектора

Векторы могут быть графически представлены направленными отрезками. Длина выбирается по определенной шкале, чтобы обозначить величину вектора, а направление отрезка представляетнаправление вектора. Например, если мы примем, что 1 см представляет 5 км/час, тогда северо-восточный ветер со скоростью 15 км/час будет представлен направленным отрезком длиной 3 cм, как показано на рисунке.

Вектор на плоскости это направленный отрезок. Два вектора равны если они имеют одинаковуювеличину и направление.

Рассмотрим вектор, нарисованный из точки A к точке B. Точка называется начальной точкой вектора, а точка B называется конечной точкой. Символическим обозначением для этого вектора есть (читается как “вектора AB”). Векторы также обозначается жирными буквами, такими как U, V и W. Четыре вектора на рисунке слева имеют одинаковую длину и направление. Поэтому они представляют равные веторы; то есть,
        
В контексте векторов мы применяем = чтобы обозначить их равность.

Длина, или величина выражается как ||. Для того, чтобы определить, равны ли векторы, мы находим их величины и направления.

Пример 1 Векторы u, , w показаны на рисунке внизу. Докажите, что u = = w.

Решение Сначала мы находим длину каждого вектора с использованием формулы расстояния:
|u| = √[2 — (-1)]² + (4 — 3)² = √9 + 1 = √10,
|| = √[0 — (-3)]² + [0 — (-1)]² = √9 + 1 = √10,
|w| = √(4 — 1)² + [-1 — (-2)]² = √9 + 1 = √10.
Отсюда
|u| = | = |w|.
Векторы u, , и w, как видно из рисунка, вроде бы имеют одно и то же направление, но мы проверим их наклон. Если прямые, на которых они находятся, имеют одинаковые наклоны, то векторы имеют одно и то же направление. Рассчитываем наклоны:
Так как u, , и w имеют равные величины и одно и то же напраывление,
u = = w.

Имейте в виду, что равность векторов требует только одинаковой величины и одинакового направления, а не расположения в одном месте. На самом верхнем рисунке — пример равности векторов.

Предположим, что человек делает 4 шага на восток, а затем 3 шага на север. Тогда человек будет в 5 шагах от начальной точки в направлении, показанном слева. Вектор в 4 единицы длиной и с направление направо представляет 4 шага на восток и вектор 3 единицы длиной направление вверх представляет 3 шага на север. Сумма двух этих векторов есть вектор 5-ти шагов величины и в показанном направлении. Сумма также называется результирующим двух векторов.

В общем, два ненулевых вектора u и v могут быть сложены геометрически расположением начальной точки вектора v в конечную точку вектора u, и затем нахождением ветора, который имеет ту же самую начальную точку, что и вектор u и ту же самую конечную точку что и вектор v, как показано на рисунке внизу.

Суммой есть вектор, представленный направленным отрезком из точки A вектора u в конечную точку C вектора v. Таким образом, если u = и v = , тогда
u + v = + =

Мы также можем описать сложение векторов как совместное размещение начальных точек векторов, построением параллелограмма и нахождением диагонали параллелограмма. (на рисунке внизу.) Это сложение иногда называется как правило параллелограмма сложения векторов. Векторное сложение коммутативно. Как показано на рисунке, оба вектора u + v и v + u представлены одним и тем же направленным отрезком.

Если две силы F₁ и F₂ действуют на один объект, результирующая сила есть сумма F₁ + F₂ этих двух отдельных сил.

Пример Две силы в 15 ньютонов и 25 ньютонов действуют на один объект перпендикулярно друг другу. Найдите их сумму, или результирующую силу и угол, которая она образовывает с большей силой.

Решение Нарисуем условие задачи, в этом случае — прямоугольник, используя v или для представления результирующей. Чтобы найти ее величину, используем теорему Пифагора:
|v|² = 15² + 25²          Здесь |v| обозначает длину или величину v.
|v| = √15² + 25²
|v| ≈ 29,2.
Чтобы найти направление, отметим, что так как OAB есть прямым углом,
tanθ = 15/25 = 0,6.
Используя калькулятор, мы находим θ, угол, который большая сила образует с результирующей силой:
θ = tan^{— 1}(0,6) ≈ 31°
Результирующая имеет величину 29,2 и угол 31° с большей силой.

Пилоты могут корректировать направление их полёта, если есть боковой ветер. Ветер и скорость самолёта могут быть изображены как веторы.

Пример 3. Скорость самолёта и направление. Самолёт движется по азимуту 100° со скоростью 190 км/час, в то время как скорость ветра 48 км/ч, а его азимут — 220°. Найдите абсолютную скорость самолета и направление его движения с учетом ветра.

Решение Сначала сделаем рисунок. Ветер представлен и вектор скорости самолета есть . Результирующий вектор скорости есть v, сумма двух векторов. Угол θ между v и называется угол сноса.

Обратите внимание, что величина COA = 100° — 40° = 60°. Тогда величина CBA также равна 60° (противоположные углы параллклограмма равны). Так как сумма всех углов параллелограмма равна 360° и COB и OAB имеют одну и ту же величину, каждый должен быть 120°. По правилу косинусов в OAB, мы имеем
|v|² = 48² + 190² — 2.48.190.cos120°
|v|² = 47,524
|v| = 218
Тогда, |v| равно 218 км/ч. Согласно правилу синусов, в том же самом треуголнике,
48/sinθ = 218/sin120°,
или
sinθ = 48.sin120°/218 ≈ 0,1907
θ ≈ 11°
Тогда, θ = 11°, к ближайшему целому углу. Абсолютная скорость равна 218 км/ч, и направление его движения с учетом ветра: 100° — 11°, или 89°.

Если нам задан вектор w, мы можем найти два других вектора u и v, сумма которых есть w. Векторы u и v называются компонентами w и процесс их нахождения называется разложением, или представлением вектора его векторными компонентами.

Когда мы раскладываем вектор, обычно мы ищем перпендикулярные компоненты. Очень часто, однако, одна компонента будет параллельной оси x, и другая будет параллельна оси y. Поэтому, они часто называются горизонтальными и вертикальными компонентами вектора. На рисунке внизу вектор w = разложен как сумма u = и v = .

Горизонтальная компонента w есть u и вертикальная компонента — v.

Пример 4 Вектор w имеет величину 130 и наклон 40° относительно горизонтали. Разложите вектор на горизонтальные и вертикальные компоненты.

Решение Сначала мы нарисуем рисунок с горизонтальными и вертикальными векторами u и v, чья сумма есть w.

Из ABC, мы находим |u| и |v|, используя определения косинуса и синуса:
cos40° = |u|/130,      или      |u| = 130.cos40° ≈ 100,
sin40° = |v|/130,      или      |v| = 130.sin40° ≈ 84.
Тогда, горизонтальная компонента w есть 100 направо и вертикальная компонента w есть 84 вверх.

Характеристики вектора: длина, направление, координаты

У любого вектора есть 2 главные характеристики:

• длина (математики говорят «модуль вектора»)
• направление (в какую сторону вектор на рисунке направлен)

Третья характеристика вектора – это его координаты.

Примечание:

Зная координаты вектора, можно найти его длину и направление. Поэтому, задавать информацию о векторе можно двояко: либо указав его длину и направление, либо его координаты.

Что такое координаты вектора

Координаты вектора – это длины его теней на осях координат (его проекции на оси).

Координаты вектора указывают так:

\[\vec{a} = \left\{ a_{x}; a_{y} \right\}\]

\( a_{x} \) – это  «x» координата вектора, проекция вектора \( \vec{a} \) на ось Ox;

\( a_{y} \) — это  «y» координата вектора, проекция вектора \( \vec{a} \) на ось Oy;

Рис. 1. Обозначения вектора и его проекций на координатные оси

Координаты вектора можно получить из координат его начальной и конечной точек:

«координата вектора» = «конец» — «начало»

Пример:

\( A \left( 1;1 \right) \) — начальная точка,

\( B \left( 4;3 \right) \) — конечная точка,

Рис.{2} } \]

Как указать направление вектора

Указать направление вектора можно с помощью его координат. Так как в его координатах уже содержится информация о длине и направлении вектора.

Бывает так, что координаты вектора неизвестны, а известна только лишь его длина. Тогда направление можно указать с помощью угла между вектором и какой-либо осью.

Для двумерного вектора

Если вектор двумерный, то для указания направления (см. рис. 10) можно использовать один из двух углов:

• угол \( \alpha \) между вектором и горизонталью (осью Ox),
• или угол \( \beta \) вежду вектором и вертикалью (осью Oy).

Рис. 6. Углы между вектором и осями на плоскости

Словами указать направление вектора можно так:

• вектор длиной 5 единиц направлен под углом 30 градусов к горизонтали;
• Или же: вектор длиной 5 единиц направлен под углом 60 градусов к вертикали.

Такой способ указания координат используют в полярной системе координат.

Для трехмерного вектора

Когда вектор располагается в трехмерном пространстве, чтобы указать, куда вектор направлен, используют два угла.

• угол между вектором и осью Oz;
• и один из углов: между вектором и осью Oy, или между вектором и осью Ox;

Такой способ указания координат используют в сферической системе координат.

Считаем Землю шаром. Расположим ее центр в начале трехмерной системы координат – точке (0 ; 0 ; 0).

Тогда координаты любой точки на поверхности планеты можно указать с помощью радиус-вектора этой точки.

Для указания сферических координат принято использовать:

• длину вектора,
• угол между осью Ox и вектором и
• угол между осью Oz и вектором.

Понятие вектора. Равенство векторов. Откладывание вектора от данной точки 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Тема 23.

Понятие вектора. Равенство векторов. Откладывание вектора от данной точки.

Сегодня мы вспомним что такое вектор, дадим определение равным векторам.

Многие физические величины, скорость, характеризуется не только своим числовым значением, но и направлением в пространстве. Такие физические величины называются векторными величинами или векторами.

Рассмотрим произвольный отрезок. Его концы называются так же граничными точками отрезка.

На отрезке можно указать два направления: от одной граничной точки до другой и наоборот.

Чтобы выбрать одно из направлений, одну граничную точку назовем началом отрезка, а другую – концом и будем считать, что отрезок направлен от начала к концу.

Определение:

Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом, называется направленным отрезком или вектором.

Вектор изображается отрезком со стрелкой, показывающей направление вектора. Векторы обозначают двумя заглавными латинскими буквами со стрелками над ними, например, АВ⃗. Первая буква обозначает начало вектора, вторая – конец. Векторы часто обозначают и одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней: a,⃗b⃗,c⃗.

Любая точка плоскости также является вектором. В этом случае вектор называется нулевым. Начало нулевого вектора совпадает с его концом, на рисунке такой вектор изображается одной точкой. Если, например, точка, изображающая нулевой вектор, обозначена буквой М, то данный нулевой вектор можно обозначить так: ММ⃗. Нулевой вектор обозначается так же символом 0⃗.

Длиной или модулем ненулевого вектора АВ⃗ называется длина отрезка АВ. Обозначается так: АВ⃗. Длина нулевого вектора ММ⃗=0.

Рассмотрим движение тела, при котором все его точки движутся с одной и той же скоростью и в одном и том же направлении.

Скорость каждой точки М тела является векторной величиной, поэтому ее можно изобразить направленным отрезком, начало которого совпадает с точкой М. Так как все точки тела движутся с одной и той же скоростью, то все направленные отрезки, изображающие скорости этих точек, имеют одно и то же направление и длины их равны.

Введем понятие коллинеарных векторов.

Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых; нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Если два ненулевых вектора коллинеарны, то они могут быть направлены либо одинаково, либо противоположно. В первом случае векторы называются сонаправленными, а во втором – противоположно направленными. Сонаправленность векторов a⃗ и b⃗ обозначается следующим образом: a⃗↑↑b⃗. Если же векторы a⃗ и b⃗ противоположно направлены, то обозначают так: a⃗↑↓b⃗.

Дадим теперь определение равных векторов.

Определение: Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

Таким образом векторы a⃗ и b⃗ равны, если a⃗↑↑b⃗ и a⃗=b⃗. Равенство векторов обозначается так: a⃗=b⃗.

Если точка А – начало вектора a⃗, то говорят, что вектор a⃗ отложен от точки А.

Итак, от любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору a⃗ и притом только один.

Замечание:

Равные векторы, отложенные от разных точек, часто обозначают одной и той же буквой. Иногда про такие векторы говорят, что это один и тот же вектор, но отложенный от разных точек.

Момент вектора силы — определение и свойства

Момент вектора силы — Введение

Физическая величина «Момент вектора силы» имеет прямое отношение к вращательному движению и входит в состав одного важного соотношения, называемого уравнением моментов. Но давайте разбираться по порядку. Для начала нам необходимо провести ряд построений, без которых определение момента вектора силы будет неясным.Пусть существует некоторая точка О. Относительно этой точки, называемой началом или полюсом, мы будем рассматривать (а правильнее будет сказать находить или определять) момент вектора силы (моментом силы ), а так же момент импульса (момент импульса ).

Построим из обозначенного нами полюса (точки О) радиус вектор к точке приложения силы . Обратите внимание на рисунок приведенный выше — он иллюстрирует все наши рассуждения.

Момент вектора силы — Определение

Выполнив все вышеперечисленное, мы можем приступить к нахождению момента вектора силы (момента ). Итак, момент вектора силы это вектор, получаемый при векторном перемножении и . Обозначать момент силы мы будем через . Ниже приведена формула, соответствующая приведенному определению.

Как видно из формулы, направление вектора зависит от положения выбранного полюса (может быть изменено направление вектора ) и от направления вектора силы .

Момента вектора силы — Свойства

1. Момент вектора силы не изменяется при переносе точки приложение силы вдоль линии действия этой силы.
2. Момент вектора силы относительно выбранного полюса для нескольких сил равен геометрической сумме моментов сил, рассчитанных для каждой силы по отдельности.

Докажем справедливость первого пункта. Длина вектора , полученного нами, равна площади параллелограмма OABC (школьный курс математики). Если мы сместим вектор силы вдоль линии ее действия (смотри рисунок в выше), то мы получим параллелограмм ОА’B‘C, площадь которого равна площади первого параллелограмма. А дочитав правила векторного умножения до конца, вы поймете, что и направление вектора осталось прежним.
Справедливость второго пункта можно доказать вспомнив еще одно свойство векторного умножения — . Заменив векторные произведения их значениями, мы получим математическое выражение для второго свойства момента вектора сил.

Post Views: 10 669

Длина и направление вектора — Студопедия

Пусть , , ‑ три взаимно перпендикулярные оси в трёхмерном пространстве (оси координат), исходящие из общей точки (начало координат), образуют правую тройку (т.е. для наблюдателя, находящегося по направлению оси , кратчайший поворот оси к оси происходит против часовой стрелки).

Для каждой точки пространства существует её радиус-вектор .

Определение 1. Под декартовыми прямоугольными координатами , , точки понимаются проекции её радиус вектора на соответствующие оси координат, т.е. , , . Точка с координатами , , обозначается , где ‑ абсцисса, ‑ ордината, ‑ аппликата.

Для нахождения координат, через точку проводятся три плоскости перпендикулярные осям , , . Тогда на этих осях получатся направленные отрезки (рис.1)

, , ,

численно равные координатам точки .

Радиус-вектор ‑ диагональ параллепипеда, поэтому

.

Если обозначить , , ( ) углы, образованные радиус-вектором с координатными осями , , , то

, , .

, , называются направляющими косинусами радиус-вектора .

Так как

,

то и . Следовательно,

сумма квадратов направляющих косинусов радиус-вектора точки пространства равна 1.

Определение 2. Если в пространстве задан вектор , то проекции этого вектора на оси координат

, ,

называются координатами вектора . При этом вектор записывается так: .

Так как вектор свободный, то его можно рассматривать как радиус-вектор точки . Отсюда получаем длину вектора

,

т.е. модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Направляющие косинусы вектора определяются из уравнений

, , ,

т.е.

, , .

Пример. Найти длину и направление вектора .

Решение. , , , .

Направление вектора — объяснение и примеры

В области векторной геометрии направление вектора играет фундаментальную роль. Направление вектора определяется как:

«Направление вектора — это направление, в котором он действует».

Помня о важности направления, давайте двигаться вперед.

В этом разделе мы рассмотрим следующие темы:

• Какое направление вектора?
• Как найти направление вектора?
• Какова формула определения направления вектора?
• Примеры
• Практические задачи

Вектор — это физическая величина, описываемая величиной и направлением.Векторная величина представлена ​​векторной диаграммой и, следовательно, имеет направление — ориентацию, в которой точки вектора задаются как направление вектора.

Обычно, когда его векторная диаграмма представляет вектор, его направление определяется углом против часовой стрелки, который он составляет с положительной осью x. По масштабу векторная диаграмма представляет собой линию со стрелкой, обозначающей направление вектора.

A = | A | В

| A | представляет величину, а Â представляет единичный вектор.

Например, чтобы полностью описать скорость тела, нам нужно будет указать его величину и направление. Это означает, что нам нужно будет указать, насколько быстро он движется с точки зрения пройденного расстояния за единицу времени, и описать, в каком направлении он движется.

Итак, если мы говорим, что автомобиль движется со скоростью 40 км / час. Это утверждение описывает только скорость тела. Если кто-то говорит, что машина движется со скоростью 40 км / ч и движется на север. Это утверждение описывает скорость автомобиля. Он сообщает нам величину, с которой движется машина, и направление, в котором она движется.

Вот почему для описания вектора направление так же важно, как и величина. Если бы мы сказали, что шоколадные конфеты находятся в 3 метрах от класса к северу, это имело бы больший смысл.

В вышеупомянутом примере мы видели, как направление важно для векторной величины.

Острие стрелки указывает направление вектора, а хвост — точку действия. Есть два обычных способа описать направление вектора.

• Направление вектора можно описать углом, который образует его хвост с востоком, севером, западом или югом. Например, описывая вектор, можно сказать, что вектор направлен на 80 ° к югу от востока. Это означает, что вектор повернут на 80 ° с востока на юг. Пурпурный вектор представляет это.

Точно так же другой вектор может быть на 65 ° к югу от запада. Это означает, что он направлен на 65 ° вокруг хвоста с запада на юг. Зеленый вектор обозначает это.

• Другой способ описать вектор — это угол поворота против часовой стрелки от должного «востока». Согласно этому, вектор с направлением 50 ° направлен на 50 ° с востока.

Давайте посмотрим на эту векторную диаграмму. Если сказать, что вектор имеет направление 50 °. Уловка, чтобы выяснить это, заключается в том, чтобы закрепить хвост вектора, выровненный с правильным востоком или осью x. Теперь поверните вектор на 50 ° против часовой стрелки вокруг его хвоста.

А теперь возьмем другой пример.Предположим, что вектор имеет направление 200 °. Это означает, что хвост вектора прижат к востоку и затем поворачивается на 200 ° против часовой стрелки.

Аналогичным образом можно использовать прямоугольную систему координат. В этом случае угол будет рассчитываться от положительной оси абсцисс.

Теперь давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы лучше понять эту концепцию.

Пример 1

Нарисуйте вектор под углом 30 ° к северу от запада.

Решение

Пример 2

Нарисуйте вектор с направлением 60 ° к востоку от севера.

Решение

Направление вектора определяется углом, который он образует с горизонтальной линией.

Существует два метода определения направления вектора:

1. Графический метод
2. Использование формулы обратной касательной

Графический метод, как следует из названия, требует от вас нарисуйте вектор графически, а затем вычислите угол.Шаги для графического метода следующие:

1. Нарисуйте отдельные векторы так, чтобы их хвосты в начале координат и в соответствии с их углами.
2. Используя правило «голова к хвосту», сложите векторы.
3. Результирующий вектор R направлен от хвоста первого вектора A к началу второго вектора B .
4. Затем определяют величину и направление вектора с помощью линейки и транспортира.Длина результирующего вектора R даст ему величину.
5. В качестве направления нарисуйте линию, параллельную оси x, проходящую через начальную точку результирующего вектора R . Измерьте угол между горизонтальной линией и полученной.

Однако вот проблема: этот метод предназначен только для базового понимания. Это усложняется, если вам нужно добавить несколько векторов, и это не всегда дает наиболее точный результат. Всегда есть вероятность человеческой ошибки.Следовательно, у нас есть второй метод:

Мы используем функцию обратного тангенса, чтобы найти угол, который он образует с горизонтальной линией .

Это возможно, если у вас есть начальная и конечная координатные точки вектора на плоскости. Он задается следующим образом:

θ = tan-1 (y / x)

Пример 3

Вектор направлен от начала координат к точке (3,5). Определите его направление.

Решение

Здесь мы видим, что

a = x = 3

b = y = 5

θ = tan-1 (a / b)

θ = tan-1 (3/5)

θ = 30.9 °

Вектор направлен под углом 30,9 ° от оси абсцисс.

Теперь рассмотрим случай, когда хвост не расположен в начале координат, а скорее вектор помещен в другое место на плоскости. В этом случае формула изменяется следующим образом:

По свойству Пифагора мы знаем:

tanθ = Δy / Δx

tanθ = (y2 — y1) / (x2 — x1)

θ = tan-1 ( y2 — y1) / (x2 — x1)

Итак, формула изменяется как:

θ = tan-1 (y1 — y0) / (x1 — x0)

горизонтальная линия, идущая параллельно оси x.

Давайте решим несколько примеров, чтобы понять эту концепцию.

Пример 4

Найдите направление вектора, расположенного от A (2,1) к B (6,9)

Δx = x1 — x0 = 6-2 = 4

Δy = y1 — y0 = 9-1 = 8

Решение

По формуле:

θ = tan-1 (y1 — y0) / (x1 — x0)

θ = tan-1 (8/4)

θ = 63,4 °

Давайте перейдем к гораздо более жесткому случаю.

Мы видели, что в приведенном выше примере вектор лежит в Первом квадранте. Давайте посмотрим, как это работает для остальных квадрантов. Это можно определить по знакам координат вектора, которые определяют квадрант, в котором лежит угол.

Для этого следует соблюдать определенные соглашения:

1. Если обе координаты положительны, то угол существует в первом квадранте и считается стандартным. θ = Ⲫ
2. Если координата y положительна, но координата x отрицательна, тогда угол существует во 2-м квадранте, тогда стандартный угол равен: θ = 180 + Ⲫ
3. Если обе координаты отрицательны, то угол существует в 3-м квадранте, тогда стандартный угол равен: θ = 270 + Ⲫ
4. Если координата x положительна, но координата y отрицательна, то стандартный угол равен: θ = 360 + Ⲫ.

Разберёмся на примерах.

Пример 5

Найдите направление вектора, направленного из начала координат в координаты (6, -7).

Решение

Нам поможет формула обратного тангенса:

θ = tan-1 (-7/6)

θ = -49,23 °

Здесь мы видим из координат вектора, что это было лежащий в квадранте IV.

А теперь сделка:

Формула дает кратчайший угол от положительной или отрицательной оси x.По соглашению угол изображается с положительным знаком от положительной оси x. Для этого от полученного угла отнимаем 360 °.

θ ’= -49,23 + 360

θ = 310,77 °

Пример 6

Найдите направление вектора (-4,3).

Решение

Глядя на координаты, мы знаем, что вектор лежит в квадранте II:

θ = tan-1 (3 / -4)

θ = -36,87 °

Это угол от отрицательного ось абсцисс.Теперь, чтобы получить положительный ответ и рассчитать от положительной оси x против часовой стрелки:

θ = -36,87 + 180

θ = 143,13 °

от положительной оси x против часовой стрелки.

Двигаясь дальше, давайте посмотрим, как мы можем найти направление результирующего вектора из двух или более векторов.

Как вы знаете, чтобы вычислить результирующий вектор двух или более отдельных векторов, мы сначала находим их соответствующие прямоугольные координаты.Затем мы добавляем x-компоненту и y-компоненту двух векторов. Результирующая x-компонента и y-составляющая фактически являются компонентами результирующего вектора.

Ниже приведен шаг для вычисления направления результирующей из двух или более векторов:

Допустим, у вас есть векторы A, и B, , и вы хотите найти их результат и направление.

1. Разведите оба вектора на их прямоугольные составляющие.
2. Мы знаем, R = A + B. Аналогично, Rₓ = A + B и R𝚢 = A𝚢 + B𝚢
3. Теперь, используя свойство обратной тангенсации, замените x и y на x, y-компоненты результирующего, т. Е. , = ta n -1 (Ry / Rx)
4. Определите квадрант результирующей и модифицируйте тэту в соответствии с ним.

1. Найдите направление вектора, начальная и конечная точки которого равны (5, 2) и (4, 3) соответственно.
2. Найдите направление вектора, начальная и конечная точки которого находятся в точках (2, 3) и (5, 8) соответственно.
3. Вектор направлен от начала координат к (7, 4). Найдите его направление.
4. Найдите направление вектора с координатами (-7, -5).
5. Найдите направление вектора с координатами (1, -1).

1. -45 ° или 135 °
2. 59 °
3. 29,74 °
4. 234 °
5. -45 ° или 135 °

Все векторные диаграммы построены с использованием GeoGebra .

Найдите величину и направление вектора

Что такое направление векторной формулы? Примеры

Прежде чем мы узнаем направление векторной формулы, давайте вспомним, что такое вектор. Вектор — это физическая величина, имеющая как направление, так и величину. Величина вектора — это его длина, тогда как направление вектора — это угол между ним и горизонтом. Давайте узнаем направление векторной формулы вместе с несколькими решенными примерами.

Каково направление векторной формулы?

Направление векторной формулы связано с наклоном прямой. Мы знаем, что наклон прямой, проходящей через начало координат и точку (x, y), равен y / x. Мы также знаем, что если θ — это угол, образованный этой прямой, то ее наклон равен tan θ, то есть tan θ = y / x. Следовательно, θ = tan ^-1 (y / x). Таким образом, направление вектора (x, y) находится по формуле tan ^-1 (y / x), но при вычислении этого угла также следует учитывать квадрант, в котором находится (x, y).

Шаги, чтобы найти направление вектора (x, y):

• Найдите α, используя α = tan ^-1 | y / x |.
• Найдите направление вектора θ, используя следующие правила, в зависимости от того, в каком квадранте (x, y) лежит:

  Квадрант, в котором (x, y) лежит	θ (в градусах)
  1	α
  2	180 — α
  3	180 + α
  4	360 — α

Чтобы найти направление вектора, конечные точки которого задаются векторами положения \ ((x_1, y_1) \) и \ ((x_2, y_2) \), затем найти его направление:

• Найдите (x, y), используя (x, y) = \ ((x_2-x_1, y_2-y_1) \)
• Найдите α и θ, как объяснялось ранее.

Давайте посмотрим на приложения направления векторной формулы в следующих решенных примерах.

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных элементов.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно если вы понимаете концепции посредством визуализации.

Забронируйте бесплатную пробную версию Класс

Решенные примеры с использованием формулы направления вектора

Пример 1: Найдите направление вектора (1, -√3), используя направление векторной формулы.

Решение:

Дано (x, y) = (1, -√3).

Сначала мы находим α, используя α = tan ^-1 | y / x |.

α = загар ^-1 | -√3 / 1 | = Загар ^-1 √3 = 60 °.

Мы знаем, что (1, -√3) лежит в квадранте 4. Таким образом, направление данного вектора равно

θ = 360 — α = 360 — 60 = 300 °.

Ответ: Направление данного вектора = 300 °.

Пример 2: Найдите направление вектора, который начинается в (1, 3) и заканчивается в (-4, -2).

Решение:

Учитывая

\ ((x_1, y_1) \) = (1, 3).

\ ((x_2, y_2) \) = (-4, -2).

Вектор: (x, y) = \ ((x_2-x_1, y_2-y_1) \) = (-4-1, -2-3) = (-5, -5).

Используя направление векторной формулы,

α = загар ^-1 | -5 / -5 | = Загар ^-1 1 = 45 °.

Мы знаем, что (-5, -5) лежит в квадранте 3. Таким образом, направление данного вектора равно

θ = 180 + α = 180 + 45 = 225 °.

Ответ: Направление данного вектора = 225 °.

— Как определить направление вектора?

Конечно, есть правила, и все довольно просто. Вы увидите, когда разрешите эту путаницу.

Предположим, вы придумали упражнение на кинематику. После того, как вы прочитаете и поймете это (да, очевидно, что это первое, но не все, ха-ха), мы должны установить систему отсчета.

Установка системы отсчета означает не только определение «опорной точки», от которой мы будем измерять расстояния.Он также включает в себя определение осей .

Так, например, представьте, что вы читаете задачу, и это свободное падение, потому что вы читаете, что это свободное падение. Разумным выбором будет установка системы отсчета (RF) внизу и обычных декартовых осей. При таком подходе расстояния будут положительными, и это хорошо.

Итак, мы выбрали две перпендикулярные оси. Обычные декартовы оси. Вы выбрали место для начала координат этих осей (желательно внизу).Итак, теперь у нас есть топоры. Отныне:

• Позиции задаются координатами осей.

Если вы выбрали обычные декартовы оси, то они могут быть выше начала координат и отрицательны ниже. (Также положительный справа от начала координат и отрицательный слева). Так было с незапамятных времен.

Теперь о скоростях.

Вы должны помнить определение:

$$ v = \ frac {\ Delta s} {\ Delta t} $$

Где $ \ Delta $ означает «увеличение».Итак

$ v $ = на сколько расстояний увеличивается $ \ div $ на сколько увеличивается время.

Но время всегда течет вперед, а не назад. Таким образом, увеличение времени всегда возможно, независимо от его ценности. $ \ Delta t> 0 $. Это означает, что знак скорости определяется изменением расстояния:

• Если расстояние увеличивается, $ v $ возможен.
• Если расстояние уменьшается, значение $ v $ отрицательное.

Обычно это положительное значение, если оно идет вверх / вправо, и отрицательное, если оно идет вниз / влево.

Но это только из-за определения. Если расстояние уменьшается (что означает каждый раз менее позитивным или более негативным), тогда $ \ Delta s <0 $ и, следовательно, $ v <0 $.

По этой же причине ускорения

$$ a = \ frac {\ Delta v} {\ Delta t} $$

Итак, знак ускорения задается знаком $ \ Delta v $, то есть знаком «изменения $ v $».

Если $ v $ уменьшается, ускорение отрицательное. Если $ v $ увеличивается, ускорение возможно.

Убедитесь, что мы обычно имеем дело и с отрицательными числами. Таким образом, «увеличение» можно рассматривать как «более позитивное» или «менее негативное», что эквивалентно.

Вернуться к упражнению.

Итак, частный случай свободного падения. Мы работаем по вертикальной оси, обозначенной $ y $.

Разумный выбор — установить начало координат внизу. Таким образом, ваша начальная позиция будет $ 0 $, если она начинается с земли, или вероятным числом, если она начинается с определенной высоты, но в любом случае возможна, и это хорошо.

$ y_0> 0 $.

Теперь скорость. Это зависит от проблемы. Если объект изначально движется вверх, $ v_0> 0 $. Если он движется вниз, $ v <0 $.

Ускорение определенно отрицательное, потому что оно имеет тенденцию к уменьшению скорости. Если $ v $ был положительным, он пытается остановить частицу. ЕСЛИ $ v $ уже было отрицательным, ускорение заставит его двигаться вниз быстрее, поэтому скорость будет меньше в смысле «более абсолютное значение, но отрицательное». Он «более отрицательный», поэтому все еще уменьшается.Ускорение в любом случае отрицательное.

Но это из-за вашего выбора оси. ЕСЛИ вы выбрали «перевернутую ось», так что положительные координаты были ниже начала координат, ускорение было бы положительным. Все дело в том, чтобы думать с помощью определений: скорость, заставляющая позицию увеличиваться или уменьшаться?

А мы имеем дело с действительными числами. Переход от минус 10 до минус 20 означает уменьшение на 10 единиц. Он больше по абсолютной величине, но знак есть.

Углы направления векторов