Момент инерции и момент сопротивления

05-12-2012: Адольф Сталин

Было бы неплохо объяснить на наглядном примере для особо одаренных, типа меня, что такое момент инерции и с чем его едят. На специализированных сайтах как-то всё очень запутанно, а у Дока есть явный талант довести информацию, быть может не самую сложную, но очень грамотно и понятно

---

05-12-2012: Доктор Лом

В принципе, что такое момент инерции и откуда он взялся, достаточно подробно объяснено в статье «Основы сопромата, расчетные формулы», здесь лишь повторюсь: «W — это момент сопротивления поперечного сечения балки, другими словами, площадь сжимаемой или растягиваемой части сечения балки, умноженная на плечо действия равнодействующей силы». Момент сопротивления необходимо знать для расчетов конструкции на прочность, т.е. по предельным напряжениям. Момент инерции необходимо знать для определения углов поворота поперечного сечения и прогиба (смещения) центра тяжести поперечного сечения, так как максимальные деформации возникают в самом верхнем и в самом нижнем слое изгибаемой конструкции, то определить момент инерции можно, умножив момент сопротивления на расстояние от центра тяжести сечения до верхнего или нижнего слоя, поэтому для прямоугольных сечений I=Wh/2. При определении момента инерции сечений сложных геометрических форм сначала сложная фигура разбивается на простейшие, затем определяются площади сечения этих фигур и моменты инерции простейших фигур, затем площади простейших фигур умножаются на квадрат расстояния от общего центра тяжести сечения до центра тяжести простейшей фигуры. Момент инерции простейшей фигуры в составе сложного сечения равен моменту инерции фигуры + квадрат расстояния умноженный на площадь. Затем полученные моменты инерции суммируются и получается момент инерции сложного сечения. Но это максимально упрощенные формулировки (хотя, соглашусь, все равно выглядит достаточно мудрено). Со временем напишу отдельную статью.

---

05-12-2012: Гиви

В принципе все предельно ясно, но здесь проще www.kataltim.ru

---

20-04-2013: Petr

Не нужно полностью доверять поданной в сайтах информации. Её никто по-хорошему не проверяет. И ссылки на неё не даются. Так в Таблице 1. «Формы сечения, площади сечений, моменты инерции и моменты сопротивления для конструкций достаточно простых геометрических форм» для тонкостенной трубы дается определение, что отношение диаметра к толщине оболочки должно быть больше 10. По другим источникам — должно быть больше 20!!! (Н.М. Беляев. Сопротивление материалов. М.1996. стр.160. или Н.И.Безухов. Основы теории упругости, пластичности и ползучести.М.1961.стр.390)

---

21-04-2013: Доктор Лом

Верно. Доверять нельзя. Но логическое мышление пока никто не отменял. Самый правильный вариант — рассчитывать момент инерции или момент сопротивления для любой трубы по формулам, приведенным для обычной трубы (на 1 пункт выше). Формулы, приводимые для тонкостенной трубы, в любом случае будут приближенными и годятся только для первичного расчета и об этом забывать нельзя.

Впрочем параметры максимально допустимой толщины стенки исправил.

---

25-06-2013: Саня

требуется определить момент инерции для сложного нестандартного сечения. сечение: прямоугольник с двумя пазами. внешне похоже на букву «Ш». не получается найти какую либо информацию. буду признателен за какую нибудь информацию

---

25-06-2013: Доктор Лом

Посмотрите статью «Расчет прочности потолочного профиля для гипсокартона» (http://doctorlom.3)*3,14/32.
Объясните, пожалуйста, правильность этой формулы (или неправильность).

---

04-11-2014: Доктор Лом

Формула из приведенного вами источника неправильная (ею можно пользоваться только для приблизительных вычислений) и проверить это легко.
Чтобы определить момент инерции сечения трубы, достаточно вычесть из момента инерции стержня круглого сечения (тут при вычислениях используется наружный диаметр трубы) момент инерции отверстия (внутренний диаметр, ведь внутри трубы никакого материала нет, на то она и труба). После простейших математических преобразований мы получим формулу момента инерции трубы, приведенную в таблице.

А для того, чтобы определить момент сопротивления, нужно момент инерции разделить на максимальное расстояние от центра тяжести до самой дальней точки сечения, соответственно на D/2, или умножить на 2/D.
В итоге получить указанную вами формулу невозможно и чем толще будет стенка трубы, тем больше будет погрешность при использовании этой формулы.

---

04-11-2014:

Радик

Спасибо, док!

---

11-11-2014: Ильгам

Не смог найти инфо о том в каких единицах (мм, см, м) все значения в формулах.
Попробовал посчитать Wz для уголка 210х90мм (если у швел.24П срезать верхнюю полку), получилось 667,5 см3, при условии что все значения в см.
Для примера, у швел.24П (до срезания полки) Wx(Wz)=243 см3.

---

11-11-2014: Доктор Лом

Это общие формулы. В каких единицах подставите значения, в таких и получите результат, только само собой уже в кубических. Но если начали подставлять, например, в сантиметрах, то так и нужно продолжать.

У швеллера без полки момент сопротивления по умолчанию не может быть больше чем у целого швеллера. Для приблизительного определения момента сопротивления швеллера без полки вы можете воспользоваться формулами для неравнополочного уголка (только для определения Wz, для Wy эти формулы не подойдут).

---

04-01-2015: Valerij

Если сечение трубы ослаблено несколькими значительными отверстиями, как учесть это при расчёте момента инерции и момента сопротивления? Труба 32.39см и в ней 9 отв. диам.2.8см в сечении(шаг отвермтий 10см. по длине трубы).

---

05-01-2015: Доктор Лом

Для определения момента инерции вам нужно вычесть из момента инерции трубы момент инерции вашего отверстия. Для этого нужно определить площадь сечения отверстия и затем умножить ее на квадрат расстояния до центра трубы плюс собственный момент инерции отверстия. Больше подробностей в статье «Моменты инерции поперечных сечений».
Если расчет не требует особой точности и диаметр отверстия в 5 и более раз меньше диаметра трубы (вроде ваш случай, если 32.39 — это наружный диаметр), то сегмент отверстия можно привести к прямоугольнику. Если отверстие не сквозное, то следует дополнительно определить положение центра тяжести трубы с отверстием для того, чтобы потом вычислить новое значение момента сопротивления.

Но и это еще не все. Вам следует учесть, что возле отверстий возникают значительные локальные напряжения.

---

09-10-2015: Борис

Неравноплечий уголок.При вычислении Wy не y,а H-y

---

09-10-2015: Доктор Лом

Не пойму, о чем вы. Определение момента сопротивления относительно оси у в таблицах вообще не приводится.

---

09-10-2015: Борс

Для треугольников при вычислении Wzп h в квадрате.

---

09-10-2015: Борис

Пардон,Wz

---

09-10-2015: Доктор Лом

Все верно. Теперь понял, о чем вы. Более корректно было бы указать момент сопротивления для верхней и для нижней части сечения, а я указал только для нижней. Ну а при определении момента сопротивления треугольников банально пропущен квадрат.

Исправил. Спасибо за внимательность.

---

28-04-2016: Jama

Здравствуете! Кто может помочь о правильности расчета http://ej.kubagro.ru/2011/02/pdf/19.pdf
я не могу понят откуда значение берется момент сопротивления. Помогите пожалуйста!

---

28-04-2016: Доктор Лом

Что именно вам не понятно (вычитывать весь документ у меня нет времени). Если речь о балке, лежащей на упругом основании, то скорее всего балка эта имеет прямоугольное сечение (см. таблицу 1).

---

29-08-2016: Максим

Здравствуйте ! Имеется швеллер № 12. В верхний пояс будут вкручиваться саморезы и винты для крепления кровли. Как учесть ослабление швеллера, т.е как определить W ослабленного сечения.

---

29-08-2016: Доктор Лом

Если максимально упростить, то:
Сначала определяете момент инерции отверстия (для упрощения расчетов его можно принимать прямоугольным). Затем из момента инерции швеллера вычитаете момент инерции отверстия, затем делите полученный момент инерции на половину высоты швеллера и получаете момент сопротивления.

---

21-03-2017: игорь

здравствуйте,Сергей. я прочитал некоторые ваши статьи,очень интересно и понятно(в основном).я хотел бы рассчитать балку двутаврового сечения,но не могу найти Ix и Wx. дело в том что она не стандартная,я её буду делать сам,из дерева.можете ли вы мне помочь? я оплачу.только я не смогу оплатить электронными средствами т.к. не знаю как этим пользоваться.

---

21-03-2017: Доктор Лом

Игорь, я отправил вам письмо.

---

30-08-2017: Али

Уважаемый доктор, желаю вам всего найлучшего. Помогите пожалуйста, какими формулами нужны для подбора и проверки на прочность балку следующих сечений,:Швеллер,уголок и бульбовый профиль, имея допускаемый момент сопротивления W=58,58cm3. спасибо большое и жду вашу помощь.

---

31-08-2017: Доктор Лом

Посмотрите статью «Расчет стальных однопролетных балок с шарнирными опорами при изгибе согласно СП 16.2/8 почему деленная на 8 и почему иногда делим на 6 и 24 итд подскажите пожалуйста только это не понял

---

StudyPort.Ru — Механика твердого тела

Страница 1 из 4

1.147. Точка 1 тела, вращающегося с угловой скоростью ω, имеет в некоторый момент времени скорость v₁. Найти для того же момента времени скорость v₂ точки 2, смещенной относительно точки 1 на r₁₂.

1.148. Тело совершает плоское движение в плоскости x, y. Центр масс тела С перемещается вдоль оси x с постоянной скоростью v₀. В момент t=0 центр масс совпадал с началом координат О. Одновременно тело вращается в указанном на рис. 1.26 направлении со скоростью ω. Написать выражение для радиус-вектора r точки пересечения мгновенной оси вращения тела с плоскостью x, y.

1.149. Балка массы m=300 кг и длины l=8,00 м лежит на двух опорах (рис. 1.27). Расстояния от концов балки до опор: l₁=2,00 м, l₂=1,00 м. Найти силы F₁ и F₂, с которыми балка давит на опоры.

1.150. Лестница длины l=5,00 м и массы m=11,2 кг прислонена к гладкой стене под углом α=70° к полу (рис. 1.28). Коэффициент трения между лестницей и полом k=0,29. Найти: а) силу F₁, с которой лестница давит на стену, б) предельное значение угла α₀, при котором лестница начинает скользить.

1.151. Протяженное тело произвольной формы брошено под некоторым углом к горизонту. Как движется центр масс тела в случае, если сопротивлением воздуха можно пренебречь?

1.152. Невесомая нерастяжимая нить скользит без трения по прикрепленному к стене желобу (рис. 1.29) под действием грузов, массы которых m₁=1,00 кг и m₂=2,00 кг. С каким ускорением w_C движется при этом центр масс грузов?

1.153. На рис. 1.30 изображены две частицы 1 и 2, соединенные жестким стержнем. Могут ли скорости частиц быть такими, как на рисунке? Частицы и скорости лежат в плоскости рисунка.

1.154. Две частицы (материальные точки) с массами m₁ и m₂ соединены жестким невесомым стержнем длины l. Найти момент инерции I этой системы относительно перпендикулярной к стержню оси, преходящей через центр масс.

1.155. Найти момент инерции I однородного круглого прямого цилиндра массы m и радиуса R относительно оси цилиндра.

1.156. Плотность цилиндра длины l=0,100 м и радиуса R=0,0500 м изменяется с расстоянием от оси линейно от значения ρ₁=500 кг/м³ до ρ₂=3ρ₁=1500 кг/м³ значения Найти: а) среднюю по объему плотность <ρ>_v цилиндра; сравнить ее со средней по радиусу плотностью <ρ>_r, б) момент инерции I цилиндра относительно оси; сравнить его с моментом инерции I’ однородного цилиндра такой же массы и размеров.

 

1.157. Найти момент инерции I однородного шара радиуса R и массы m относительно оси, проходящей через центр шара.

1.158. Прямой круглый однородный конус имеет массу m и радиус основания R. Найти момент инерции I конуса относительно его оси.

1.159. Найти момент инерции тонкого однородного стержня длины l и массы m относительно перпендикулярной к стержню оси, проходящей через: а) центр масс стержня, б) конец стержня.

1.160. Найти момент инерции однородной прямоугольной пластинки массы m, длины a и ширины b относительно перпендикулярной к ней оси, проходящей через: а) центр пластинки, б) одну из вершин пластинки. Сравнить полученные результаты с ответом к предыдущей задаче.

1.161. Найти момент инерции I однородного куба относительно оси, проходящей через центры противолежащих граней. Масса куба m, длина ребра a.

1.163. Найти момент инерции однородной пирамиды, основанием которой служит квадрат со стороной a, относительно оси, проходящей через вершину и центр основания. Масса пирамиды равна m.

1.164. Найти отношение моментов инерции: а) пирамиды (с квадратным основанием) и конуса одинаковой высоты, плотности и массы, б) куба и шара одинаковой плотности и массы (у куба, как и у шара, момент инерции относительно любой проходящей через центр оси одинаков; см. задачу 1,162. Имеются в виду оси, проходящие через вершину и центр основания в случае а) и проходящие через центр в случае б).

1.165. Найти главные моменты инерции тонкого однородного диска массы m и радиуса R. Иметь в виду, что вычисление целесообразно производить в полярных координатах r и φ.

1.166. Вычислить момент инерции однородного круглого прямого цилиндра относительно оси, перпендикулярной к оси симметрии цилиндра и проходящей через его центр. Масса цилиндра m, радиус R, высота h. Сравнить полученный результат с ответами к задачам 1.159 и 1.165. Рассмотреть предельные случаи: R<<h и h<<R.

MYsopromat.ru: Моменты инерции простейших фигур

В расчетной практике часто встречаются сечения в виде простейших фигур (прямоугольников, кругов, треугольников и т. п.) или их комбинаций. При вычислении моментов инерции таких фигур обычно пользуются заранее выведенными расчетными формулами. Рассмотрим некоторые из фигур.

Прямоугольник и параллелограмм (рис. 6.4). Выделим элементарную полоску площадью dF=bdy и подставим это значение dF под знак интеграла (6.5):

Рис. 6.4	Рис. 6.5

.

Следовательно, момент инерции прямоугольника и параллелограмма с основанием b и высотой h относительно центральной оси, параллельной основанию,

.

(6.16)

Моменты инерции этих фигур относительно осей, проходящих через основание, находим по формуле (6.13):

.

(6.17)

Моменты инерции прямоугольника относительно осей y_c и y вычисляются по формулам (6.16) и (6.17), где b заменяется на h, а h на b:

.	(6.18)
.	(6.19)

Треугольник с основанием b и высотой h (рис. 6.5).

Разобьем треугольник на элементарные полоски, параллельные его основанию. Площадь такой полоски

.

Тогда момент инерции треугольника относительно оси, проходящей через основание,

.

(6.20)

Подсчитывая по формулам переноса момент инерции треугольника относительно центральной оси, параллельной основанию, получаем

.

(6.21)

Круг и полукруг диаметра d (рис. 6.6). Подсчитываем сначала полярный момент инерции круга. Для этого выделим в сечении окружностями радиуса ρ и ρ+dρ элементарное кольцо площадью dF=2πρdρ и вычислим I_y по формуле (6.7):

.

(6.22)

Рис. 6.6.

Обычно размеры круглого сечения выражают через диаметр d и подсчитывают I_p по формуле

.

(6.23)

Осевые моменты инерции круга найдем с помощью соотношения (6.8). Замечая, что в силу симметрии круга I_z=I_y, получаем для осевых моментов инерции круга выражение

.

(6.24)

Центральные оси y и z делят круг на четыре совершенно одинаковые части с равными моментами инерции относительно этих осей. Следовательно, моменты инерции круга и полукруга относительно осей y и z должны быть равны соответственно учетверенным и удвоенным моментам инерции относительно тех же осей одной четверти круга. Из сказанного следует, что моменты инерции полукруга относительно оси симметрии y и оси z, проходящей через его основание (рис. 6.2), будут одинаковы и равны половине момента инерции круга,

,

(6.25)

а моменты инерции четверти круга

.

(6.26)

    

Кинематика и динамика вращательного движения

Контроль знаний

(продолжение. См. № 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29/01)

Кинематика и динамика вращательного движения

38. (I) Найдите момент инерции велосипедного колеса диаметром 68 см и суммарной массой обода и шины 1,3 кг. Объясните, почему массой ступицы при расчете можно пренебречь.

Calculate the moment of inertia of a 68-cm-diameter bicycle wheel. The rim and tire together have a mass of 1.3 kg. Why can the mass of the hub be ignored?

Решение

Момент инерции обруча равен I = mR². Подставляя m = 1,3 кг, R = 0,34 м, находим I = 1,3 • (0,34)² = 0,15 (кг • м²).

39. (I) Молекула кислорода состоит из двух атомов кислорода суммарной массой 5,3 Ч 10^–26 кг. Момент инерции молекулы относительно оси, проходящей через ее центр масс перпендикулярно соединяющему атомы отрезку, равен 1,9 Ч 10^–46 кг Ч м². Оцените эффективное расстояние между атомами.

An oxygen molecule consists of two oxygen atoms whose total mass is 5.3 • 10^–16 kg and whose moment of inertia about an axis at its center and perpendicular to the line joining them is 1.9 • 10^–46 kg•m². Estimate, from these data, the effective distance between the two atoms.

Решение

Момент инерции молекулы О₂ равен моменту инерции гантели I = 2mR², где m – масса атома, M = 2m – суммарная масса. Отсюда расстояние между атомами Подставляя заданные значения, получаем d=1,2•10^–10м.

40. (I) Используя теорему Штейнера, найдите момент инерции тонкого однородного стержня массой m и длиной L относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец. Известно, что момент инерции стержня относительно его центра масс равен

Use the parallel-axis theorem to show that the moment of inertia of a thin rod about an axis perpendicular to the rod at one end is  assuming that if the axis passes through the center, .

Решение

Теорема Штейнера утверждает, что если I₀ – момент инерции тела (системы тел) относительно оси, проходящей через центр масс тела, то момент инерции относительно параллельной оси, расположенной на расстоянии a от нее, равен I = I₀ + ma², где m – полная масса тела.

Разобьем мысленно тело на отдельные материальные точки с массами mi и радиус-векторами r_i (относительно центра масс). По определению, момент инерции
При параллельном смещении оси, относительно которой рассчитывается момент инерции, на вектор a, новый момент инерции запишется как
Мы использовали определение центра масс, согласно которому в системе центра масс и возможность выносить общий множитель (в том числе вектор) за знак суммы.

41. (II) Используя связь между моментами инерции относительно точки и относительно трех взаимно перпендикулярных осей, проходящих через эту точку, найдите момент инерции тонкой плоской квадратной пластины со стороной s относительно оси, проходящей через центр пластины: а) вдоль ее диагонали; б) параллельно одной из сторон.

Use the perpendicular-axis theorem to determine a formula for the moment of inertia of a thin, square plate of side s about an axis (a) through its center and along a diagonal of the plate, (b) through the center and parallel to a side.

Решение

Три перпендикулярные оси образуют прямоугольную декартовую систему координат. Обозначим оси соответственно x, y, z. Тогда момент инерции относительно точки начала координат можно записать в виде (см. решение задачи 40):

где I_k – момент инерции относительно k-й оси.

Для плоских тел момент инерции относительно точки (например центра масс) совпадает с моментом инерции относительно оси, проходящей через эту точку перпендикулярно плоскости тела. Этот момент называется полярным моментом инерции. Момент относительно оси, лежащей в плоскости тела, называется экваториальным. Из доказанного выше следует, что полярный момент плоского тела равен сумме двух экваториальных, оси которых взаимно перпендикулярны. Из симметрии квадрата следует, что экваториальные моменты для осей, направленных по диагонали и вдоль одной из сторон, одинаковы.

Для квадратной пластины проще всего находится момент инерции относительно экваториальной оси, проходящей через центр параллельно одной из сторон: он такой же, как для однородного стержня длины s (относительно его центра масс). Согласно условию задачи 40 он равен
Используя симметрию квадрата, отсюда легко найти полярный момент инерции

42. (II) Найдите момент инерции тонкого обруча радиусом R и массой m относительно оси, направленной по касательной к обручу.

Determine a formula for the moment of inertia of a thin hoop of radius R and mass M about an axis tangent to its circular outline.

Решение

Используя решения задач 40 и 41, находим

43. (II) Два одинаковых однородных шара массой m и радиусом r₀ каждый соединены тонким невесомым стержнем длиной r0, так что центры шаров находятся на расстоянии 3r₀ друг от друга. Определите момент инерции системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его центр. Какой будет ошибка, если считать массу каждого шара сосредоточенной в его центре?

Two uniform solid spheres of mass M and radius r₀ are connected by a thin (massless) rod of length r₀ so that the centers are 3r0 apart. (a) Determine the moment of inertia of this system about an axis perpendicular to the rod at its center. (b) What would be the percentage error if the masses of each sphere were assumed to be concentrated at their centers and a very simple calculation were made?

Решение

Момент инерции шара относительно оси, проходящей через его центр, равен
Действительно, момент инерции I_c относительно центра шара равен если учесть, что dm = r4pr²dr, 

Согласно решению задачи 41:

Используя теорему Штейнера и свойство аддитивности момента инерции, находим искомую величину I = 5,3mr₀². Этот результат точный.

Если считать массу каждого шара сосредоточенной в его центре, то искомый момент равен I₁ = 4,5mr₀². Отклонение от точного ответа составляет 18%.

44. (II) Два однородных диска одинаковой толщины радиусами R₁ и R₂ соответственно касаются плоскими основаниями так, что их центры совпадают. Найдите момент инерции системы относительно оси, проходящей через центры дисков перпендикулярно их основанию. Плотности дисков одинаковы, суммарная масса дисков m.

The flat sides of two uniform solid cylindrical wheels of radii R₁ and R₂ are placed next to each other with their centers superposed. They are of equal thickness and are made of material of equal density. Find the moment of inertia of the system in terms of R₁, R₂, and M, the total mass of the system, as calculated about an axis passing through their centers perpendicular to the faces of the wheels.

Решение

Момент инерции тела цилиндрической формы относительно оси симметрии равен (см. решение задачи 25). Из условия следует, что

Сумма масс равна m, отсюда

Момент инерции системы равен

45. (II) Шар массой m и радиусом r, закрепленный на конце тонкого невесомого стержня, вращается в горизонтальной плоскости вокруг оси АВ по окружности радиусом R. Расчитайте момент инерции системы относительно оси АВ точно и приближенно, считая, что вся масса шара сосредоточена в его центре. Найдите ошибку, возникающую во втором случае, для r = 10 см и R = 1 м.

A ball of mass M and radius r on the end of a thin massless rod is rotated in a horizontal circle of radius R about an axis of rotation AB, as shown in Figure. (a) Considering the mass of the ball to be concentrated at its center of mass, calculate its moment of inertia about AB. (b) Using the parallel-axis theorem and considering the finite radius of the ball, calculate the moment of inertia of the ball about AB. (c) Calculate the percentage error introduced by the point mass approximation for r = 10 cm and R = 1.0 m.

Решение

Задачи решены Ю.А.Кокшаровым и А.В.Берковым

Момент инерции плоской фигуры относительно оси, лежащей ее плоскости

Содержание:

Момент инерции плоской фигуры относительно оси, лежащей ее плоскости

Вид сверху момент инерции вокруг лежащего вала На тот самолет.. Да. Формула (244) также может быть применена для расчета параллелограмма, который показан на рисунке. 34?Поскольку этот параллелограмм может быть получен из прямоугольника, обозначенного пунктирной линией, путем перемещения параллельно оси z элемента, изображенного на рисунке, площадь элемента и его расстояние от оси z не изменяются даже при таком движении.

То же, что и прямоугольник. 1! / / ТШ 4 Рисунок 342. При расчете момента инерции треугольника относительно основания (рис. 343) площадь элементов показана на рисунке、 Равный th формула(243) — Х. У’chu = б- «： Метод расчета, показанный в предыдущем примере, может быть применен к наиболее распространенным случаям.

• Момент инерции получается путем деления фигуры на небольшие полоски, параллельные оси, и интегрирования их, как в Формуле (243). 1 * 1. \ * И ГА ’ \ В、 ’1.И Рисунок 343. Если момент инерции вокруг оси можно разделить на известную часть фигуры, то расчет часто может быть simplified.на рис. 344, а и 344 В.

  Смотрите также:

  Предмет сопротивление материалов: сопромат 

  Калькулятор массового момента инерции

  Расчет момента инерции является очень важным аспектом классической механики и инженерии. Кроме того, инерционные расчеты — не сложная задача, если подумать о других инженерных расчетах. Но расчет сложных инерциальных систем может стать тяжелым бременем для инженера, который делает подобные вещи вручную.

  Здесь мы подготовили калькулятор, с помощью которого вы можете рассчитать момент инерции массы ваших систем. Кроме того, мы объяснили теоретическую основу момента инерции массы для пользователей этого калькулятора.

  Как пользоваться калькулятором массового момента инерции?

  -code-

  На самом деле это очень простой калькулятор. Вам просто нужно ввести количество масс, которые вы хотите включить в расчет момента инерции масс. Нажмите клавишу «Ввод», чтобы продолжить расчет.

  После этого программа спросит у вас массу и расстояние от этой массы до оси вращения. Потому что каждая масса должна вращаться вокруг одной и той же оси, чтобы вычислить кумуляцию момента инерции массы.Программа будет запрашивать у вас эту информацию столько, сколько вы ввели количество масс.

  Нажмите кнопку «Рассчитать!», Чтобы рассчитать момент инерции массы всей системы.

  Что такое момент инерции массы?

  Масса, которая вращается вокруг оси (Источник изображения: www.acs.psu.edu/drussell/bats/bat-moi-details.html)

  На самом деле момент инерции массы — очень важная величина, которую необходимо вычислить, чтобы используется в других инженерных расчетах. Момент инерции массы в пространстве — это произведение ее массы на квадрат расстояния этой массы до оси вращения.

  Если вам необходимо вычислить момент инерции сложной массы, вы можете разделить эту сложную форму на более простые геометрические формы для расчета всей системы.

  Эти подфигуры представляют собой независимые массы, и вы можете рассчитать момент инерции всех этих форм с помощью этого калькулятора, чтобы найти момент инерции всех систем. 4} {4}

  , где R — радиус окружности.2 dA

  , где A — площадь формы, а y — расстояние любой точки внутри области A от заданной оси вращения.

  Из этого определения становится ясно, что момент инерции не является свойством только формы, но всегда связан с осью вращения. Тем не менее, часто можно использовать термин «момент инерции окружности», отсутствующий для обозначения оси. В зависимости от контекста может подразумеваться ось, проходящая через центр, однако для более сложных форм не гарантируется, что подразумеваемая ось будет очевидной.

  Из определения также очевидно, что момент инерции всегда должен иметь положительное значение, поскольку внутри интеграла есть только квадратный член.

  Нахождение уравнения для момента инерции окружности

  Используя приведенное выше определение, которое применяется для любой замкнутой формы, мы попытаемся прийти к окончательному уравнению для момента инерции окружности вокруг оси x, проходящей через его центр. Сначала мы должны определить систему координат. Поскольку у нас круглая область, декартова система x, y — не лучший вариант.Вместо этого мы выбираем полярную систему, у которой полюс O совпадает с центром круга, а полярная ось L совпадает с осью вращения x, как показано на рисунке ниже. Независимые переменные — это r и φ. В частности, для любой точки плоскости r — это расстояние от полюса, а φ — угол от полярной оси L, измеренный против часовой стрелки.

  В этой системе координат дифференциальная область dA теперь принимает вид: dA = dr \: ds = dr \ 🙁 rd \ varphi) = r \: dr \: d \ varphi, где ds — длина дифференциальной дуги для дифференциального угла. dφ.

  Кроме того, область, заключенная в круг, должна иметь следующие границы:

  • r \ in [0, R]
  • \ varphi \ in [0,2 \ pi]

  Кроме того, координата y любая точка может быть выражена через полярные координаты r и φ. Для этого рассмотрим для произвольной точки P (см. Рисунок) прямоугольный треугольник синего цвета и с помощью простой тригонометрии найдем: y = r \ sin \ varphi

  Следовательно, определенный интеграл для момента инерции окружности должен можно записать как:

  I_x = \ int ^ R_0 \ int ^ {2 \ pi} _0 r ^ 2 \ sin ^ 2 \ varphi \: r \: d \ varphi dr

  Сначала мы интегрируем по переменной φ.4} {4}

  Оказывается, новый момент инерции резко увеличен по сравнению с центроидным. Это более общая характеристика. Поскольку расстояние от центроида возведено в квадрат, это влияет на момент инерции намного больше, чем площадь A.

  Момент инерции массы

  В физике термин момент инерции имеет другое значение. Это связано с распределением массы объекта (или нескольких объектов) вокруг оси. Это отличается от определения, которое обычно дается в инженерных дисциплинах (также на этой странице) как свойство площади формы, обычно поперечного сечения, вокруг оси.Термин секундный момент области кажется более точным в этом отношении.

  Приложения

  Момент инерции (второй момент или площадь) используется в теории балок для описания жесткости балки против изгиба (см. Теорию изгиба балки). Изгибающий момент M, приложенный к поперечному сечению, связан с его моментом инерции следующим уравнением:

  M = E \ times I \ times \ kappa

  , где E — модуль Юнга, свойство материала, и κ кривизна балки из-за приложенной нагрузки.2}. Следовательно, из предыдущего уравнения можно увидеть, что когда к поперечному сечению балки прикладывается определенный изгибающий момент M, развиваемая кривизна обратно пропорциональна моменту инерции I. Интегрирование кривизны по длине балки, отклонение при некоторая точка вдоль оси x также должна быть обратно пропорциональна I.

  Видеоурок: Момент инерции

  Стенограмма видео

  В этом видео мы узнаем о моменте инерции.Узнаем, что это такое, почему это имеет значение, и как его рассчитать. Для начала представьте, что вы проведение забега под названием «Гонка фигур». Вверху наклонной плоскости, вы поместили полое кольцо, цельный шар, длинный цельный цилиндр и полый сферическая оболочка. По сигналу все четыре формы одновременно отпускаются и позволяют начать скатывание вниз по склону. Некоторые из этих фигур катятся спускаться с горы легче, чем другие.И они продвигаются вперед в гонка.

  Если вы хотите предсказать заранее раз, какая из фигур выиграет гонку, будет полезно кое-что узнать о моменте инерции. Мы можем начать понимать понятие момента инерции, понимая, что некоторые линейные переменные имеют ротационные аналоги, и наоборот. Например, рассмотрим линейный переменная 𝑠, обозначающая расстояние.

  Во вращающемся мире переменную, которая соответствует 𝑠, мы можем назвать 𝜃 для углового расстояния. Эти две переменные соответствуют друг друга. Они оба описывают расстояние путешествовал. Было бы удивительно узнать эта масса также является линейной переменной. Вот что мы подразумеваем под этим. Когда мы рисуем свободное тело диаграмма сил, действующих на массу, мы знаем, что эти силы движутся через центр масс, то есть его центр масс.

  Силы, действующие таким образом, имеют тенденцию переводить, а не вращать нашу массу 𝑚. Так масса в ответ на силы такие как эти или любые силы, которые мы можем нарисовать, используя диаграмму свободного тела, имеет тенденцию перемещаться в линию. Но теперь мы представим другой сценарий. Вместо наших сил всегда возникающие или проходящие через центр масс нашего объекта, теперь мы рассмотрим сценарии, в которых силы действуют вдоль некоторой оси, отличной от линии, проходящей через центр массы.Такие силы, как правило, заставляют наша масса вращается. И в зависимости от формы и распределение нашей массы, то вращение будет более или менее трудным.

  Это понятие, стоящее за моментом инерция, часто обозначаемая большой. Вместо движения наших сил через центр масс объекта, что приведет к его линейному перемещению, наши силы сейчас действуют за пределами этого центра. Или даже если силы двинутся через центр массы, мы могли бы рассматривать движение относительной массы к оси вращения на некотором расстоянии от ее центра.

  Мы видим этот момент инерции всегда приходится иметь дело с вращением. И именно в этом смысле момент инерции подобен вращающейся массе. Скажем, у нас есть случайной формы масса, подверженная действию силы, которая движется через центр масс объекта. И мы скажем, что эта сила заставляет массу двигаться по круговой траектории вокруг оси вращения. Учитывая, что у нас есть сила на массы, которая движется по круговой траектории, согласно второму закону движения Ньютона, мы можем напишите линейное выражение этого как равно 𝑚 раз 𝑎.

  Интересно, что есть ротационный версия второго закона Ньютона. И мы можем найти эту версию по учитывая, что наша масса находится на расстоянии от центра вращения. И если вектор 𝐹 и вектор перпендикулярны друг другу, мы можем написать, что 𝐹 умноженное на равно момент инерции, вращательная масса запомнить, умноженная на угловое ускорение 𝛼. Так что не только отдельные переменные есть линейные и вращательные пары, но также и второй закон Ньютона.Есть линейный и вращательный версия. Это вращательное выражение Второй закон движения Ньютона, который дает нам немного лучше почувствовать какой момент инерции.

  Как мы рассматриваем эту связь между массой и моментом инерции может возникнуть вопрос: измерение массы достаточно просто. Пока мы знаем ускорение благодаря гравитации мы можем поставить тело на весы и таким образом вычислить его массу.Но как насчет 𝐼? А как насчет момента объекта инерция?

  Получается, что объект момент инерции 𝐼 можно измерить с помощью простого маятника. Если мы прикрепим фигуру, момент которой инерции мы хотим измерить до плеча маятника и позволить ему свободно качаться под влияние силы тяжести, мы видим, что движение маятника вперед и назад делает это вращение. Мы можем исследовать, насколько легко или массе трудно сделать это вращение, варьируя длину маятник, а также амплитуда, из которой он выпущен.

  Для более распространенных форм пример из которых мы имеем здесь полый цилиндр, момент инерции этих форм о конкретных осях уже было рассчитано. И мы можем найти их в стол. В качестве примеров различных форм и их соответствующие моменты инерции, момент инерции точечной массы равен равной массе этой точки, умноженной на квадрат ее расстояния от ось вращения.С другой стороны, твердая сфера, вращаясь вокруг своего центра, имеет момент инерции в две пятых своей массы, умноженной на ее радиус в квадрате. И твердый стержень, вращающийся вокруг одного конец стержня имеет момент инерции, равный одной трети его массы, умноженной на длину стержня. стержень квадратный.

  Это поднимает важный момент о моменте инерции. Мы говорили о том, как момент инерции 𝐼 и массы подобны друг другу.Момент инерции объекта 𝐼 зависит не только от формы и плотности объекта, как масса, но 𝐼 также зависит от оси вращения. Например, если мы измеряем момент инерции нашего полого цилиндра в этом случае, тогда это измеренное значение будет зависеть не только от массы нашего цилиндра, но и от его положения или ориентация.

  Если переместить цилиндр так, чтобы теперь вместо его центра один из его концов прикреплен к плечу маятника или, если мы повернули его так, чтобы он находился на одной линии с плечом маятника, в каждом из этих трех случаев мы вероятно будет измерять другой момент инерции, ту же форму, другую момент.Итак, когда мы идем к столу, чтобы посмотреть до момента инерции определенной формы, мы должны быть осторожны, чтобы гарантировать что ось вращения нашей формы соответствует нашему сценарию. В противном случае мы запишем неверный или несоответствующий момент инерции.

  Помимо поиска момент инерции объекта, также возможно его вычислить. Чтобы подумать, как мы можем это сделать, давайте снова рассмотрим наш момент инерции точечной массы, то есть бесконечно малая масса со значением массы 𝑚 на расстоянии 𝑟 от оси вращения.В этих условиях эта точка момент инерции массы был определен как ее масса, умноженная на квадрат.

  А теперь представим, что мы охватываем или окружить нашу точечную массу гораздо большей протяженной массой. Точечная масса 𝑚 является бесконечно малый компонент этой большей массы. И можно даже сказать, что это большая масса просто состоит из бесконечного множества бесконечно малых точек массы. Если для каждого бесконечно малой элемент массы, который составляет эту большую массу, мы вычисляем этот элемент массы, умноженный на квадрат расстояния от оси вращения, затем сложение всех этих частей за счет интеграции мы решим общий момент инерции этого протяженная масса произвольной формы.

  Обычно при расчете интеграл для определения момента инерции объекта, мы выражаем дифференциал элемент массы 𝑑𝑚 через 𝑑𝑟 некоторым образом, в зависимости от формы массы мы хотим решить. Помимо расчета объекта момент инерции с нуля, есть еще один инструмент момента инерции, который нам понадобится научиться, прежде чем практиковаться в этих идеях.

  Этот инструмент известен как параллельный осевая теорема.Вот один из способов подумать об этом теорема. Скажите, что у нас есть твердая сфера который вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Ранее мы видели, что момент инерция этой формы, вращающейся вокруг центра масс, составляет две пятых ее массы, умноженной на его радиус в квадрате. И мы отметили, что этот результат зависит от положения оси вращения. Если бы эта ось двигалась, тогда так будет общий момент инерции этой массы.

  Скажем, например, что мы переместите нашу ось вращения из центра сферы в какую-нибудь другую точку. И мы скажем, что это отделены от центра сферы расстоянием. Вот что такое параллельная ось Теорема говорит нам об этой ситуации. Эта теорема говорит, что если мы двинемся наша ось вращения в другое положение, но держите ось параллельно исходной ориентация. Тогда новый момент инерции вращающийся объект равен сумме моментов инерции вращающегося объекта о его центре масс плюс его масса, умноженная на квадрат расстояния между исходная и конечная оси вращения.

  Это полный рот. Но это означает, что мы можем воспользоваться моментом инерции объекта, вращающегося вокруг своего центра масса при вычислении ее момента инерции, вращающегося вокруг некоторой другой оси. Этот инструмент очень полезен в решение для момента инерции, когда наша ось вращения смещается. И это важно знать, чтобы используйте его, наши две оси должны быть параллельны друг другу. Зная все это, давай возьмем попрактикуйтесь с моментом инерции на примере.

  Стержень и сфера объединены в образуют систему. Длина стержня 𝐿 0,50 метров. А его масса составляет 2,0 килограмма. Радиус сферы 𝑅 равен 20,0 сантиметры. А его масса составляет 1,0 килограмм. Система может вращаться вокруг точка 𝐴 на конце стержня, противоположном сфере, или около точки где стержень и сфера соединяются, как показано на схеме. Найдите момент инерции система о точке 𝐴.Найдите момент инерции система о точке 𝐵.

  Эти два значения можно назвать 𝐼 sub 𝐴 и 𝐼 sub 𝐵. Учитывая информацию, которую мы дано, что нам сообщили длину стержня, его массу, радиус сферы и ее массы, мы можем начать решение для 𝐼 sub, выписав этот момент инерции как суммы компонентов этой системы стержня и сфера. 𝐼 sub 𝐴 равно моменту инерция стержня, вращающегося вокруг точки 𝐴, плюс момент инерции сферы вращается примерно в одной точке.

  Когда мы рассматриваем поиск моменты инерции двух частей нашей системы, мы знаем, что сможем найти момент инерции стержня, вращающегося вокруг своего конца, как в этом случае. Но на момент инерции сфере, мы сможем найти это значение для сферы, вращающейся вокруг своего центра. Но в этом случае сфера вращаться не вокруг своего центра, а вокруг точки 𝐴.

  Чтобы помочь нам, мы можем вспомнить Теорема о параллельной оси.Эта теорема говорит, что если у нас есть масса 𝑚 с осью вращения, смещенной на расстояние 𝑑 от центра масс, то общий момент инерции этого объекта равен моменту инерции объекта относительно его центра масс плюс его масса, умноженная на расстояние в квадрате между двумя параллельными осями. Это означает, что когда дело доходит до момент инерции шара, вращающегося вокруг точки, этот момент инерции равен моменту инерции шара относительно его центра масс плюс его умножить массу на расстояние от оси вращения, в нашем случае 𝐿 плюс 𝑅, в квадрате.

  Если мы пойдем и посмотрим в таблицы момент инерции стержня, вращающегося вокруг одного из его концов, мы видим, что это одна треть массы стержня, умноженная на длину стержня в квадрате. Более того, когда мы смотрим вверх момент инерции шара, вращающегося вокруг своего центра, мы видим, что значение равно до двух пятых массы сферы, умноженной на квадрат ее радиуса. Все это означает, что мы можем переписать момент инерции нашей системы, вращающейся вокруг точки, составляет одну треть от масса стержня, умноженная на квадрат его длины, плюс две пятых массы сферы умноженное на квадрат радиуса плюс, в силу теоремы о параллельности оси, масса сфера, умноженная на длину стержня плюс радиус сферы, количество в квадрате.

  Поскольку нам даны значения для все четыре переменные в нашей постановке задачи, мы готовы подключить и решить для 𝐼 sub 𝐴. Когда мы подключаемся ко всем этим значения, мы стараемся преобразовать радиус нашей сферы из единиц сантиметра в единицы измерения, чтобы согласовать с единицами измерения в остальной части нашего выражения. Сложив эти три термина вместе, мы находим результат с двумя значащими цифрами 0.67 килограмм на метр в квадрате. Это момент инерции эта система вращается вокруг точки.

  Далее мы хотим рассмотреть то же самое система, но другая ось вращения. Теперь наша ось вращения находится на место соединения стержня и сферы. И снова момент инерции нашей системы равна стержню плюс сфера для этого конкретная ось вращения. Поскольку стержень, опять же, вращаясь вокруг одного из своих концов, мы снова можем использовать отношение для момента инерция относительно такой оси.Точно так же сфера не вращается вокруг своего центра масс, момент инерции которого мы знаем, но вращается вокруг оси на расстоянии ее радиуса 𝑅 от этого центра.

  Наше уравнение для 𝐼 sub 𝐵 ​​- это то же, что и наше уравнение для 𝐼 sub, за исключением одного члена. Вместо нашего расстояния 𝑑 быть плюс 𝑅, теперь это просто 𝑅, радиус нашей сферы. Когда мы подключаемся к этим значениям, снова конвертируя радиус нашей сферы в единицы измерения, мы обнаруживаем, что 𝐼 sub 𝐵 с двумя значащими цифрами равно 0.22 килограмма на метр в квадрате. Это момент инерции эта система вращается вокруг оси через точку 𝐵.

  Давайте подведем итог тому, что мы узнали о моменте инерции. Мы видели, что момент объекта инерции эквивалентна его вращательной массе. Момент инерции, символизируемый заглавная, зависит от массы, формы и оси объекта, по которой он вращается. около. Общие моменты инерции могут быть посмотрел в таблицу.Или их можно рассчитать с помощью отношения момент инерции равен интегралу каждой бесконечно малой элемент массы, который составляет большую массу, умноженную на расстояние каждого элемента от ось вращения в квадрате.

  момент инерции — Calculator.org

  
  

  Что такое момент инерции?

  Момент инерции, также известный как инерция вращения, аналогичен инерции линейного движения.Необходимо указать момент инерции относительно оси вращения. Согласно первому закону движения Ньютона «тело сохраняет текущее состояние движения, если только на него не действует какая-то внешняя сила». Момент инерции связан с распределением массы по всему телу, а не только с массой тела. Поэтому два тела одинаковой массы могут иметь разные моменты инерции.

  Если рассматривать твердое тело как систему частиц и взаимное положение этих частиц не меняется, то момент инерции точечной массы равен: I = m.r ² , для каждой частицы так, чтобы момент инерции был равен массе, умноженной на квадрат расстояния, где m = масса частицы, а r = расстояние от оси вращения до частицы. . Момент инерции также называют моментом второй массы. Первый момент массы равен массе, умноженной на расстояние, м.р. Центр масс системы частиц или твердого тела может быть получен с использованием концепции первого момента.

  Момент инерции объекта — это мера того, насколько сложно изменить угловое движение этого объекта вокруг оси.Например, мы можем взять два диска одинаковой массы, но диаметр одного больше другого. В результате его масса будет распределена дальше от оси вращения, и для ускорения первого диска потребуется больше усилий, чем для второго. Это потому, что первый диск имеет больший момент инерции.

  Если форма объекта изменится, то изменится и момент инерции этого объекта. Когда фигурист тянет вытянутые руки, ее вращение ускоряется, потому что ее момент инерции уменьшается, и, следовательно, увеличивается угловой момент.Эта инерция также отвечает за устойчивость гироскопа.

  Кинетическая энергия вращения

  Кинетическая энергия вращения тела может быть выражена через его момент инерции. Учитывая массы m, движущиеся со скоростью v, энергия вращения T для каждой равна массе T = 1 / 2mv ² = 1 / 2m (wr) ² = 1 / 2mr2w2 = 1 / 2Iw ² где w — угловая скорость Когда вектор углового момента параллелен вектору угловой скорости, их можно связать с помощью уравнения L = wI , где угловой момент равен L, а угловая скорость ω.Если момент инерции постоянен, крутящий момент на объекте и его угловое ускорение связаны соотношением T = I α , где t — крутящий момент, а α — угловое ускорение.

  Теорема о параллельной оси

  После того, как момент инерции был вычислен для вращения вокруг центра масс твердого тела, можно также вычислить момент инерции для любых параллельных осей вращения, без необходимости возвращаться к формальному определению. Если ось вращения смещена на расстояние R от центра масс оси вращения (т.е.грамм. диск вращается вокруг точки около его края, а не в центре) смещенный и центральный момент инерции связаны следующим образом: мы можем легко вычислить момент инерции для параллельных осей вращения, если вычислим момент инерции для вращений о центре масс. Если ось вращения находится на расстоянии R от центра масс, мы получаем следующее уравнение. I (смещенный) = I (центр) + M.R ²

  Формулы момента инерции

  Тонкая цилиндрическая оболочка с открытыми концами радиуса r и массы m: I = m.р ²

  Толстостенная цилиндрическая труба с открытыми концами, внутренним радиусом r1, внешним радиусом r2 и массой m: I = 1/2 м. (R1 ² + r2 ² )

  Сплошной цилиндр радиуса r и массы m: I = m.r ² /2

  Тонкий сплошной диск радиуса r и массы m: I = m.r ² /2

  Тонкая круглая пяльца радиуса r и массы m: I = m.r ²

  Твердая сфера радиуса r и массы m: I = 2m.р ² /5

  Добавьте эту страницу в закладки в своем браузере, используя Ctrl и d или используя одну из следующих служб: (открывается в новом окне)

  Момент инерции куба — объяснение, вывод, формулы и часто задаваемые вопросы

  Момент инерции играет во вращательном движении ту же роль, что и масса в поступательном движении. Другими словами, момент инерции — это измерение сопротивления тела изменению его вращательного движения. Например, если тело находится в состоянии покоя.Чем больше момент инерции тела, тем труднее привести его во вращательное движение. Так же, чем больше момент инерции тела, тем труднее остановить его вращательное движение.

  Момент инерции куба вычисляется по разным уравнениям в зависимости от положения его оси. Когда ось вращения находится в центре:

  Понятие плотности площади (σ)

  Плотность площади можно найти, выбрав и определив крошечную полосу массы с разной шириной.Теперь напишем выражение для плотности площади для всего куба, а затем для крошечных полос разной ширины. Добавьте все отдельные полоски с помощью интегрального исчисления.

  Из концепции плотности площади, которая представляет собой массу, деленную на площадь, плотность площади (σ) является интенсивным свойством, что означает, что она не зависит от количества материала, а также до тех пор, пока масса однородна, ее Плотность площади одинакова, независимо от того, выбрали ли вы всю или небольшую полосу разницы ширины.

  Плотность площади в макромасштабе задается следующим уравнением: dm / da = σ

  Определение момента инерции куба

  Чтобы получить момент инерции куба, когда его ось проходит через центр, мы предположим, что твердый куб имеет массу m, высоту h, ширину w и глубину d.Теперь момент инерции куба подобен моменту инерции квадратного ламинара со стороной вокруг оси, проходящей через центр. Кроме того, мы будем предполагать, что поверхностная плотность пластинки равна ρ. Затем мы возьмем элемент пластинки с декартовыми координатами x, y на плоскости как dx -dy. Таким образом, его масса должна быть = ρdxdy.

  Чтобы найти Момент инерции тела, воспользуемся ρ (x2 + y2) dx dy.

  Теперь следующий шаг включает интеграцию, при которой мы интегрируем всю пластину.Мы получаем;

  -a / 2∫a / 2 -a / 2∫a / 2 ρ (x2 + y2) dx dy = ρa4 / 6.

  Затем нам нужно будет подставить значения массы пластинки, которая равна ρ = ma2.

  И получаем, I = ma2 / 6

  Теперь следующий случай, когда ось проходит через ребро, мы разберемся, как выполняется вывод ниже.

  Уравнение для момента инерции записывается как:

  I = ∫ r2dm

  Теперь нам нужно найти MOI вокруг оси, проходящей через ребро, мы возьмем его за ось z.

  Двигаясь дальше, нам придется рассматривать куб как разбиваемый на бесконечно малые массы. Таким образом, мы можем предположить, что их размеры равны dy, dx и dz. С этим мы получаем;

  dm = ρdxdydz

  Здесь ρ = плотность

  Если мы посмотрим на формулу момента инерции, приведенную выше, у нас также будет r. Это расстояние от оси z до массы dm. Пусть координаты массы «dm» равны x, y и z). Теперь расстояние «r» будет;

  r = √ (x2 + y2)

  r2 = x2 + y2

  Между тем, значения x, y и z будут варьироваться от O до b в зависимости от длины ребер.

  Теперь нам нужно будет подставить значения, которые мы получили до сих пор, в уравнение момента инерции и, наконец, выполнить интегрирование.

  I = ∫ r2dm

  I = o∫b o∫b o∫b (x2 + y2) ρdxdydz

  I = ρ 2b5 / 3

  Масса куба, m = ρb3.

  Наконец, подставив его в уравнение, мы получаем;

  I = 2mb2 / 3

  Нахождение момента инерции через диагональ грани куба

  Из рисунка видно, что момент инерции квадратной пластины может быть задан как

  I = 2 × (Момент инерции треугольной пластины)

  Таким образом, момент инерции треугольной пластины равен

  Itri = MR2 / 6

  ∴ I = 2 × Itri

  I = 2 × (M r2 / 6 )

  И из приведенного выше рисунка r = a / √2

  Теперь мы можем считать, что куб состоит из квадратных пластин массой dm, уложенных друг на друга до высоты a.

  Итак, суммарный момент инерции куба относительно диагонали равен

  0I∫ dI = 1/12 (0M∫a2dm) /

  I = Ma2 / 12

  Момент инерции массы

  Момент инерции массы:

  Момент инерции массы является одной из мер распределения масса объекта относительно заданной оси.Момент инерции массы обозначается I и задается для одиночной частицы массой м как

  Io = r2m

  , где O-O — ось, вокруг которой оценивается момент инерции массы, а r — перпендикулярное расстояние между массой и ось О-О. Как видно из приведенного выше уравнения, момент инерции массы имеет единицы массы, умноженные на длину в квадрате .Момент инерции массы должен не путать с моментом инерции площади, который имеет единицы длины в степени четыре. Моменты инерции массы естественным образом появляются в уравнениях движения и обеспечивают информация о насколько сложно (сколько есть инерции) вращать частицу вокруг заданной оси.

  Момент инерции массы твердого тела: при расчете момент инерции массы твердого тела, тело представляет собой сумму частиц, каждая имеет массу дм .Интегрирование используется для суммирования момента инерции каждый дм, чтобы получить массовый момент инерции тела. Уравнение для массового момента инерция твердого тела

  Интеграция закончилась массу можно заменить интегрированием по объему, площади или длине. В течение целых трех размерное тело, используя плотность, можно связать элемент массы с элементом объем. В этом случае плотность имеет единицы массы на кубическую длину, и соотношение задано как

  и уравнение для момент инерции массы становится

  Интеграл равен фактически тройной интеграл.Если используется прямоугольная система координат, то dV = dxdydz . Если используются цилиндрические координаты, то

  Для двухмерного тела как пластина или оболочку можно использовать плотность на единицу площади (единицы массы на квадрат длины), чтобы изменить интегрирование с использованием соотношения

  где A — площадь поверхности, а d — дифференциальный элемент площадь.Например, для прямоугольных координат dA = dxdy и для полярных координат . После этой подстановки получается уравнение для вычисления момента инерции массы как

  Если тело представляет собой стержень , например объект , то один можно использовать соотношение

  , чтобы получить

  , где l — координата по длине стержня, а плотность выражается в единицах массы на единицу длины.

  Радиус вращения:

  Где-то вместо момента инерции массы радиус вращения к . Момент инерции массы можно рассчитать из k используя соотношение

  где м — это полная масса кузова. Радиус вращения можно интерпретировать как расстояние от оси, на котором можно разместить одиночную частицу массой м , равно массы твердого тела, и эта частица имеет тот же массовый момент инерции, что и оригинальный кузов.

  Теорема о параллельной оси:

  Момент инерции вокруг любой оси можно вычислить от момента инерции вокруг параллельной оси, проходящей через центр масс. Уравнение для вычисления этого называется теоремой о параллельных осях и имеет вид

  .

  , где d — расстояние между исходной осью а ось, проходящая через центр масс, м — это полная масса тела, и — момент инерции вокруг оси, проходящей через центр масс.

  Композитные тела:

  Если тело состоит из нескольких тел, для расчета момент инерции относительно данной оси можно просто вычислить момент инерции каждую часть вокруг данной оси, а затем сложите их, чтобы получить момент инерции массы все тело.

  Может ли autocad рассчитать момент инерции?

  Моменты инерции можно рассчитать в AutoCAD Mechanical.

  Как рассчитать свойства сечения в AutoCAD?

  Команда MASSPROP

  Используя эту команду, вы можете найти такие свойства, как центроид, момент инерции и радиус вращения для 3D-объекта. Чтобы использовать эту команду, введите «MASSPROP» в командной строке и нажмите Enter. Затем выберите объект в области рисования и снова нажмите Enter.

  Где второй момент площади в AutoCAD?

  Затем мы находим второй момент инерции области относительно центроида области, используя функцию MASSPROP.Команду REGION можно активировать одним из следующих способов: Набрав «MASSPROP» (без кавычек) в командной строке. с помощью кнопки MASSPROP, которая находится в раскрывающемся списке ИНСТРУМЕНТЫ -> ЗАПРОС (рисунок 3).

  Как найти центроид в AutoCAD?

  Преобразует область в область. Установите ПСК в левую нижнюю угловую точку объекта. Найдите центроид (CG) с помощью команды «Massprop» (например, 17.4, 17.0 или 15.8, 13.1), которая дает размеры CG из нижнего левого угла объекта.

  Как найти центр тяжести в AutoCAD?

  Чтобы найти центр тяжести, необходимо сначала преобразовать элемент массы в трехмерное тело, а затем использовать команду МАССПРОП.
  …

  1. Выберите объект 3D Solid.
  2. Щелкните правой кнопкой мыши. Щелкните Преобразовать в> Массовый элемент.
  3. Введите Да в командной строке, чтобы стереть выбранный объект.
  4. Нажмите ENTER или введите N, чтобы присвоить элементу массы имя.

  Что такое модуль упругости пластического сечения?

  Модуль пластического сечения представляет собой сумму площадей поперечного сечения на каждой стороне PNA (которые могут быть или не равны), умноженных на расстояние от локальных центроидов двух областей до PNA: модуль пластического сечения также может называться описанием «Первый момент области».Фигура.

  Как определить модуль упругости сечения неправильной формы?

  Модуль упругого сечения определяется как S = I / y, где I — второй момент площади (или момент инерции), а y — расстояние от нейтральной оси до любого данного волокна. Это часто указывается с использованием y = c, где c — расстояние от нейтральной оси до самого крайнего волокна, как показано в таблице ниже.

  Как AutoCAD рассчитывает инерцию?

  Расчет момента инерции (AutoCAD Mechanical Toolset)

  1. Щелкните вкладку «Содержимое» панель «Расчет» «Момент инерции».…
  2. Выберите объект, для которого вы хотите вычислить момент инерции, и нажмите Enter.
  3. Проверьте, правильно ли заполнена область объекта.
  4. Укажите направление сил нагрузки.
  5. Введите текст для описания момента блокировки момента инерции.

  Как рассчитывается момент инерции?

  Для точечной массы момент инерции равен массе, умноженной на квадрат перпендикулярного расстояния к оси вращения, I = mr2.Это соотношение точечных масс становится основой для всех других моментов инерции, поскольку любой объект может быть построен из набора точечных масс.

  Как AutoCAD рассчитывает массовые характеристики?

  Расчет массовых характеристик

  С помощью команды MASSPROP вы можете анализировать 2D-области и 3D-тела на предмет их массовых свойств, включая объем, площадь, моменты инерции, центр тяжести и т. Д. Результат вычислений можно сохранить в текстовый файл.

  Как найти центр тяжести нестандартного объекта?

  Нарисуйте на объекте линию вдоль нити.Для шага 2 повторите процедуру с другой точки на объекте. Теперь на объекте нарисованы две пересекающиеся линии. Центр тяжести — это точка пересечения линий. Эта процедура подходит для объектов неправильной формы, которые трудно сбалансировать.

  Сколько объектов AutoCAD находится в прямоугольнике?

  один объект

  Как создать среднюю точку в AutoCAD?

  2 Нарисуйте линию посередине области рисования.