Найти момент инерции и момент импульса земли относительно оси вращения: Найти момент инерции I и момент импульса L земного шара относительно оси вращения. — RC74 — интернет-магазин радиоуправляемых моделей

Содержание

вращение относительно оси

Задача 13133

Шар радиусом 10 см и массой 5 кг вращается вокруг оси симметрии по закону φ = A + Bt² + Ct³, где В = 2 рад/с², С = –0,5 рад/с³. Определить момент сил относительно оси вращения для момента времени t = 3 c.

Задача 40581

Человек стоит в центре скамьи Жуковского и вместе с ней вращается по инерции. Частота вращения n₁, момент инерции тела человека относительно оси вращения I = 1,6 кг·м². В вытянутых в стороны руках человек держит две гири массой m = 2 кг каждая. Расстояние между гирями l₁ = 1,6 м. Если человек опустит руки и расстояние между гирями станет l₂, то частота вращения будет n₂ = 1,2 c^–1. Найти l₂. Моментом инерции скамьи можно пренебречь.

Задача 22002

Человек стоит в центре скамьи Жуковского и вместе с ней вращается, совершая 30 об/мин. Момент инерции тела человека относительно оси вращения — около 1,2 кг·м

2. В вытянутых руках у человека две гири массой 3 кг каждая. Расстояние между гирями 160 см. Как станет вращаться система, если человек опустит руки и расстояние между гирями станет равным 40 см? Момент инерции скамьи 0,6 кг·м²; изменением момента инерции рук и трением пренебречь.

Задача 23633

Человек стоит в центре скамьи Жуковского и вместе с ней вращается по инерции с частотой n₁ = 0,5 с^–1. В вытянутых руках человек держит по гире массой m = 2 кг каждая, Исходное расстояние между гирями l₁

= 1,6 м. Какой будет частота вращения n₂ скамьи с человеком, когда он опустит руки и расстояние между гирями l₂ станет равным 0,4 м? Считать, что момент инерции тела человека и скамьи относительно оси вращения не изменяется и равен I₀ = 1,6 кг·м².

Задача 40021

Человек стоит в центре скамьи Жуковского и вместе с ней вращается по инерции. Частота вращения n₁ = 0,5 с^–1. Момент инерции J₀ тела человека относительно оси вращения равен 1,6 кг·м². В вытянутых в стороны руках человек держит по гире массой m = 2 кг каждая. Расстояние между гирями l₁ = 1,6 м. Определить частоту вращения n

2 скамьи с человеком, когда он опустит руки и расстояние l₂ между гирями станет равным 0,4 м. Моментом инерции скамьи пренебречь.

Задача 40858

Задача 26612

Груз массою m = 4 кг, опускаясь вниз приводит с помощью нити во вращение цилиндра радиуса R = 0,4 м. Момент инерции цилиндра относительно оси вращения I = 0,2 кг·м

2. Определить кинематическую энергию системы тел в момент времени, когда скорость груза v = 2 м/с.

Задача 26624

Балка 1 массой m₁ = 200 кг лежит на валах 2 и 3, моменты инерции которых относительно оси вращения I₁ = I₂ = 0,1 кг·м². Определить силу F, которую необходимо приложить к балке, чтобы сообщить ей ускорение а = 1 м/с², если радиус r = 0,1 м.

Задача 12951

Система, состоящая из стержня массой M = 213 г и закрепленных на нем двух одинаковых грузов массами m = 50 г, вращается с частотой n₁ = 30 об/мин относительно центра стержня. Длина стержня a = 40 см, грузы размещены симметрично относительно оси вращения на расстояние l = 20 см друг от друга. В процессе вращения грузы сместились вдоль стержня на расстояние Δ = 18 см относительно исходного положения таким образом, что расстояние между ними осталось неизменным. Определить частоту вращения получившейся системы n

Задача 14004

Определить момент инерции и момент импульса Земного шара относительно его оси вращения. Радиус Земли 6400 км. Гравитационная постоянная 6,6·10^–11 Н·м²/кг².

Задача 17987

Полый цилиндр вращается относительно оси, совпадающей с осью цилиндра. Закон вращения имеет вид φ = 10 – 5t + 0,5t

2. Определить момент инерции и массу цилиндра, если его радиус 0,05 м. Момент силы относительно оси вращения, действующий на цилиндр, 0,75 Н·м.

1.3.2. Момент силы. Момент инерции и момент импульса атт

Момент силы  величина, характеризующая вращательный эффект силы. При вращении АТТ вокруг неподвижной оси Ozпроекция момента силы относительно любой точки О, лежащей на этой оси, который определяется векторным произведением радиуса-вектора проведенного из точки О в точкуприложения силы, на вектор силы :

, (32)

совпадает с моментом силы _М_z относительно этой оси.

_{Если
угловая скорость направлена по оси}_Oz_{и проекция момента силы на ось вращения
положительна, то такой момент силы
называют вращающим, иначе – тормозящим.}

Момент инерции – величина, характеризующая распределение массы в теле и являющаяся мерой инертности тела при вращательном движении.

Моментом инерции тела относительно неподвижной оси Оz называется скалярная величина

(33)

где m_i  масса i-й частицы тела;

r_i  расстояние от i-й частицы тела до оси вращения Оz;

N  число частиц, из которых состоит тело.

Индекс «z» у момента инерции обозначает, что момент инерции определяется относительно оси Оz.

В случае непрерывного распределения массы тела сумма, стоящая в формуле (33), заменяется интегралом:

(34)

Определение интеграла (34) в общем случае представляет собой сложную задачу. Однако ситуация упрощается, когда нужно вычислить моменты инерции однородных симметричных тел относительно осей, проходящих через центры масс тел и являющихся осями симметрии.

Центр инерции (центр масс) АТТ (системы частиц) – это такая точка, координаты которой определяются из соотношений:

; (35) ; (36). (37)

Скорость центра инерции (центра масс) АТТ (системы частиц) можно рассчитать по формуле:

. (38)

Результаты вычисления моментов инерции ряда тел правильной геометрической формы относительно оси Оz, проведенной через центр масс твердого тела, приведены в табл. 1.

Таблица 1

Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической

формы относительно оси, проходящей через их центр масс

Обруч (полый цилиндр)	Диск (сплошной цилиндр)	Шар	Стержень

Если ось Оz не проходит через центр масс, то момент инерции определяется по

теореме Гюйгенса-Штейнера:

(39)

где  момент инерции относительно оси вращения Оz;

момент инерции относительно оси симметрии, параллельной оси Оz и проходящей через центр масс;

d – расстояние между осями;

m – масса тела.

Момент импульса (момент количества движения, кинетический момент) твердого тела характеристика вращательного движения.

Момент импульса абсолютно твердого тела относительно неподвижного центра Оравен геометрической сумме моментов импульсов всех точек тела относительно того же центра:

(40)

Если абсолютно твердое тело вращается вокруг неподвижной оси Оz, то

(41)

где  проекция момента импульса на ось Оz;

момент инерции твердого тела относительно оси Оz.

Задачи

41.(1) В плоскости yОz на частицу, координаты которой y = 4,1 м , z = 2,8 м, действует cила 6,3 Н, направленная под прямым углом к радиус-вектору частицы (рис. 2). Чему равен момент этой силы относительно точки О?

42.(1) По окружности радиусом 5,5 м (центр окружности – точка

О) в плоскости yОz со скоростью 0,98 м/с движется частица массой 12 кг (рис.3.). Чему равен момент импульса этой частицы относительно точки О?

43.(2) Определить момент инерции тонкого кольца радиусом 20 см и массой 100 г относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через любую точку на кольце.

44.(2) Найти момент импульса Земли относительно собственной оси вращения.

45.(2) Механическая система состоит из двух частиц, массы которых равны соответственно 0,12 г и 0,24 г. Первая частица находится в точке с координатами (3; 5; 0), вторая – в точке (6; 2; 0) (координаты даны в сантиметрах). Вычислить: 1) координаты центра масс; 2) скорость центра масс, если частицы начнут движение вдоль оси х навстречу друг другу каждая со скоростью 11 см/с относительно этой оси. Показать на чертеже положение центра масс и вектор скорости центра масс.

3. Задачи по Динамике вращательного движения

абсолютно твердого тела

3.1. Момент инерции и момент импульса абсолютно твердого тела

17) Определить момент инерции тонкого кольца радиусом 20 см и массой 100 г относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через любую точку на кольце.

18) Два маленьких шарика массой 40 и 120 г соединены стержнем, длина которого равна 20 см, а масса ничтожно мала. Определить момент инерции системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через а) середину стержня; б) центр масс системы.

19) Найти момент импульса Земли относительно ее собственной оси вращения. Считать Землю шаром радиусом 6000 км и плотностью 5500 кг/м³.

20) Два шара массой 2 и 5 кг и радиусом 10 и 15 см соответственно соединены однородным тонким стержнем массой 5 кг и длиной 30см (рис. 3, а). Найти момент инерции этой системы относительно осиОz, проходящей на расстоянии 10 см от центра большего шара перпендикулярно стержню. Какой момент импульса будет иметь система, если ее привести во вращение с частотой 5 об/с относительно этой оси?

21) На тонком стержне длиной 1 м и массой 1 кг укреплены два одинаковых шара массой 3 кг и радиусом 10 см каждый. Центр первого шара совпадает с краем стержня, а второго с его серединой. Стержень вращается с частотой 5 об/с относительно осиОz, проходящей через его свободный край перпендикулярно стержню. Найти момент инерции и момент импульса системы относительно этой оси (рис. 3, б).

22) В центре горизонтальной платформы массой 60 кг и радиусом 1 м прикреплен шар массой 10 кг и радиусом 20 см. На краю платформы лежит диск массой 5 кг и радиусом 10 см. Край диска совпадает с краем платформы(рис. 3, в). Найти момент инерции системы относительно осиОz, проходящей через центр платформы. Чему равен момент импульса системы относительно этой оси, если платформа вращается с частотой 1 об/с?

Рис. 3

23) Два одинаковых тонких стержня массой 900 г и длиной 20 см каждый образуют крестовину (рис. 3, г). На одном из стержней укреплены одинаковые шары массой 600 г и радиусом 5 см каждый. Центры шаров совпадают с краями стержня. Найти момент инерции системы относительно оси, проходящей через центр крестовины перпендикулярно обоим стержням. Какой момент импульса будет иметь система относительно этой оси, если систему привести во вращение с частотой 10 об/с?

24) Два одинаковых тонких стержня массой 900 г и длиной 20 см каждый образуют крестовину (рис. 3, д). На обоих стержнях укреплены одинаковые шары массой 600 г и радиусом 5 см каждый. Центры шаров на первом стержне совпадают с его краями. На втором стержне шары укрепленына расстоянии 5 см от краев стержня. Найти момент инерции системы относительно оси, проходящей через центр крестовины перпендикулярно обоим стержням.

25) Система состоит из трех одинаковых тонких стержней, состыкованных под углом 120 друг к другу. Масса каждого стержня равна 800 г, длина – 30 см. На стержнях укреплены одинаковые шары массой 900 г и радиусом 8 см каждый. Центры двух шаров совпадают с краями стержней, а центр третьего  с серединой стержня. Стержни вращаются с частотой 7 об/с относительно оси Оz (рис. 3, е). Найти момент инерции и момент импульса системы относительно этойоси.

26) На тонком железном стержне длиной 6 см и массой 10 г укреплены три одинаковых железных шара вплотную друг к другу. Диаметр каждого шара равен 2 см, масса равна 30 г. Найти момент инерции системы относительно оси, проходящей через край стержня (рис. 3, ж).

27) На тонком стержне укреплены два одинаковых диска вплотную друг к другу так, что поверхности дисков соприкасаются со стержнем (рис. 3, з). Масса каждого диска равна 600 г, диаметр равен 4 см. Стержень вращается с частотой 6 об/с относительно оси, проходящей через его край перпендикулярно плоскости дисков. Найти момент инерции и момент импульса системы относительно этой оси.

28*) Найти момент инерции плоской однородной прямоугольной пластины массой 900 г относительно оси, совпадающей с одной из сторон пластины, если длина другой стороны равна 20 см.

29*) Определить момент инерции полого шара массой 0,5 кг относительно оси, касательной к шару. Внешний радиус шара равен 0,02 м, внутренний  0,01 м.

30*) Два одинаковых стержня длиной 1 м и массой 6 кг каждый образуют крестовину. На концах одного из стержней закреплен диск массой 3 кг и радиусом 20 см так, что плоскость диска параллельна второму стержню. На конце второго стержня закреплен шар массой 10 кг и радиусом 30 см. Центр шара совпадает с краем стержня (рис. 3, и). Система вращается с частотой 4 об/с относительно оси Оz, проходящей через центр шара параллельно первому стержню. Найти момент инерции и момент импульса системы относительно этой оси.

II. Физические основы механики. Модуль №2 2 страница

Ответ: а) t=1,5 с; б) t=2,5 с; в) t=0,5 с; г) t=3,5 с; д) t=4,5 с.

3. Два бруска массами m₁=1 кг и m₂=4 кг, соединенные шнуром, лежат на столе (рис. 1). Какова будет сила натяжения шнура, соединяющего бруски, если силу в F=10 Н приложить ко второму бруску? Трением пренебречь.

Ответ: а) T=12 Н; б) T=3 Н; в) T=13 Н; г) T=5 Н; д) T=2 Н.

4. Диск радиусом R=0,5 м и массой m=2 кг вращается с угловым ускорением 5 с^-2 вокруг оси, проходящей через точку, расположенную на расстоянии l=R от центра масс диска перпендикулярно его плоскости (рис. 2). Определить величину вращающего момента.

Ответ: а) M =0,075 Н×м; б) M=0,75 Н×м; в) M=1,75 Н×м;

г) M=2,75 Н×м; д) M=3,75 Н×м.

5. Шар массой 10 кг и радиусом 20 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Уравнение вращения шара имеет вид j=5+4t²-t³. Какова величина момента сил в момент времени, равный 2 с?

Ответ: а) M = 3,64 Н×м; б) M= -0,64 Н×м; в) M = 0,64 Н×м;

г) M = =-2,64 Н×м; д) M= -3,64 Н×м.

6. Один из двух математических маятников совершил за некоторое время n₁=6 колебаний, а другой – n₂=10 колебаний. Разность длин маятников Dl=16×10^{-2 м. Найти длины маятников ℓ}₁ и ℓ₂.

Ответ: а) ℓ₁=0,25 м, ℓ₂=0,09 м; б) ℓ₁=0,4 м, ℓ₂=0,24 м; в) ℓ₁=0,5 м, ℓ₂=0,34 м; г) ℓ₁=1,0 м, ℓ₂=0,84 м; д) ℓ₁=0,6 м; ℓ₂=0,44 м.

7. Во сколько раз циклическая резонансная частота вынужденных колебаний будет больше циклической частоты собственных колебаний системы при коэффициенте затухания β=0,2w₀, где w₀ – циклическая частота собственных незатухающих колебаний?

Ответ: а) в 3,96 раза; б) в 2,96 раза; в) в 1,96 раза; г) в 0,96 раза; д) в 0,096 раза.

Вариант № 9

1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси X имеет вид x=2+t-0,5t². Найти ускорение a точки.

Ответ: а) a=2 м/с²; б) a= -2 м/с²; в) a= -1 м/с²; г) a=1 м/с²;

д) a=1,2 м/с².

2. На вал радиусом 10 см намотана нить, к концу которой привязана гиря (рис. 1). Опускаясь равноускоренно, гиря прошла расстояние 200 см за 10 с. Найти тангенциальное ускорение точки, лежащей на поверхности вала.

Ответ: а) a_t=4 м/с²; б) a_t=0,04 м/с²; в) a_t=0,4 м/с²;

г) a_t=0,08 м/с²; д) a_t=0,8 м/с².

3. Автомобиль весит 9,8×10³ Н. Во время движения автомобиля по горизонтальной дороге на него действует сила трения, равная 0,1 его веса. Чему должна быть равна сила тяги, развиваемой двигателем автомобиля, чтобы он двигался равномерно?

Ответ: а) F=98×10³ Н; б) F=9,8×10³ Н; в) F=0,98×10³ Н; г) F=0,98 Н; д) F=9,8×10³ Н.

4. Тонкий стержень длиной l=50 см и массой m=400 г вращается с угловым ускорением e=3 рад/c² около оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно к его длине (рис. 2). Определить величину вращающего момента M.

Ответ: а) М=0,025 Н×м; б) М=0,035 Н×м;

в) М=0,045 кг×м²/c²; г) М=0,055 Н×м; д) М=0,065 Н×м.

5. Шар массой 10 кг и радиусом 20 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Уравнение вращения шара имеет вид j=5+4t²-t³. Какова величина момента импульса шара в момент времени, равный 2 с?

Ответ: а) L=3,64 (кг×м²)/с; б) L=-0,64 (кг×м²)/с; в) L=0,64(кг×м²)/с; г) L=-2,64 (кг×м²)/с; д) L=-3,64 (кг×м²)/с.

6. Найти массу груза, который на пружине с жесткостью 250Н/м совершает 100 полных колебаний за 80 с.

Ответ: а) m=5 кг; б) m=4 кг; в) m=3 кг; г) m=2 кг; д) m=1 кг.

7. Во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний будет меньше резонансной амплитуды, если частота изменения вынуждающей силы будет больше резонансной частоты в два раза? Коэффициенты затухания β принять равным 0,1w₀, где w₀ – циклическая частота собственных незатухающих колебаний.

Ответ: а) в 14,8 раза; б) в 15,8 раза; в) в 16,8 раза; г) 17,8 раза;

д) в 18,8 раза.

Вариант № 10

1. Две материальные точки движутся согласно уравнениям x₁=10+t+2t² и x₂=3+2t+0,2t². В какой момент времени скорости этих точек одинаковы?

Ответ: а) t=2 с; б) t=3 с; в) t=0,28 с; г) t= -2,8 с; д) t=2,8 с.

2. На вал радиусом 10 см намотана нить, к концу которой привязана гиря (рис. 1). Опускаясь равноускоренно, гиря прошла расстояние 200 см за 10 с. Найти нормальное ускорение точки, лежащей на поверхности вала, в конечный момент движения.

Ответ: а) a_n=16 м/с²; б) a_n=0,16 м/с²; в) a_n=1,6 м/с²;

г) a_n=160 м/с²; д) a_n=0,016 м/с².

3. Автомобиль весит 9,8×10³ Н. Во время движения автомобиля по горизонтальной дороге, на него действует сила трения, равная 0,1 его веса. Чему должна быть равна сила тяги, развиваемой двигателем автомобиля, чтобы он двигался с ускорением 2 м/с²?

Ответ: а) F=0,98∙10³ Н; б) F=1,98∙10³Н; в) F=3,98∙10³Н;

г) F=2,98∙10³ Н; д) F=4,98∙10³ Н.

4. Тонкий стержень длиной 50 см и массой 400 г вращается под действием вращающего момента M=0,1Н×м около оси, проходящей через точку, находящуюся на расстоянии l=0,25 м от середины стержня перпендикулярно к его длине (рис. 2). Определить угловое ускорение стержня.

Ответ: а) e=7 с^-2; б) e=6 с^-2; в) e=5 с^-2; г) e=4 с^-2; д) e=3 с^-2.

5. Определить момент инерции шара, массой 10кг и радиусом 20 см (рис. 3), относительно оси, расположенной на расстоянии l=0,5R от центра шара.

Ответ: а) I=0,5 кг×м²; б) I=0,46 кг×м²; в) I=0,36 кг×м²; г) I=0,26 кг×м²; д) I=0,16 кг×м².

6. Уравнение колебаний пружинного маятника массой 200 г имеет вид x=0,05cos(8pt+p/3). Определить жесткость пружины, если ее массой можно пренебречь.

Ответ: а) k=1,26 Н/м; б) k=12,6 Н/м; в) k=126 Н/м; г) k=226 Н/м; д) k=326 Н/м.

7. При выступлении одного из популярных певцов в зрительном зале неожиданно зазвенели стекла окон. Определить собственную циклическую частоту стекол, если коэффициенты затухания β=0,2w₀, где w₀ – циклическая частота собственных незатухающих колебаний, а частота отклика n=1200 Гц.

Ответ: а) n=826 Гц; б) n=926 Гц; в) n=1026 Гц; г) n=1226 Гц;

д) n=1426 Гц.

Вариант № 11

1. Две материальные точки движутся согласно уравнениям x₁=4t+8t²-16t³ и x₂=2t-4t²+t³. В какой момент времени ускорения этих точек будут одинаковы?

Ответ: а) t=0,54 с; б) t=0,44 с; в) t=0,34 с; г) t=0,24 с; д) t=0,14 с.

2. Найти, во сколько раз нормальное ускорение точки, лежащей на ободе вращающегося диска, больше ее тангенциального ускорения для того момента, когда вектор полного ускорения этой точки составляет угол 30^о с вектором ее линейной скорости (рис. 1).

Ответ: а) a_n/a_t=0,5; б) a_n/a_t=0,8; в) a_n/a_t=0,68; г) a_n/a_t=0,7;

д) a_n/a_t=0,58.

3. С каким ускорением поднимается лифт, если пружинные весы с гирей в 2 кг в момент начала подъема показали 24 Н? Принять g=10м/с².

Ответ: а) a=1 м/с²; б) a=2 м/с²; в) a=4 м/с²; г) a=3 м/с²; д) a=2,5 м/с².

4. Тонкий стержень массой 300 г вращается с угловым ускорением e=4 рад/c² под действием вращающего момента M=0,1 Н×м около оси, проходящей через точку, находящуюся на расстоянии d=0,25 м от середины стержня перпендикулярно к его длине. Определить длину стержня (рис. 2).

Ответ: а) l=0,4 м; б) l=0,5 м; в) l=0,6 м; г) l=0,7 м; д) l=0,8 м.

5. Определить момент инерции медного шара радиусом R=10 см относительно оси, расположенной на расстоянии l=0,5R от центра шара.

Ответ: а) I=5,4×10^{-3 кг}×м²; б) I=2,4×10^{-3 кг}×м²; в) I=3,4×10^-3 кг×м²;

г) I=4,4×10^{-3 кг}×м²; д) I=1,4×10^{-3 кг}×м².

6. К пружине подвешен груз массой 10 кг. Сколько колебаний может совершить этот пружинный маятник за 5 с, если под действием силы 20 Н пружина растягивается на 3 см?

Ответ: а) N=3,5; б) N=4,5; в) N=5,5; г) N=6,5; д) N=7,5.

7. Определить период колебаний математического маятника длиной l=1 м в лифте, движущемся вертикально с ускорением a=1,8м/с², направленным вниз.

Ответ: а) T=5,2 с; б) T=4,2 с; в) T=3,2 с; г) T=2,2 с; д) T=1,2 с.

Вариант № 12

1. Две материальные точки движутся согласно уравнениям x₁=4t+8t²-16t³ и x₂=2t-4t²+t³. Найти скорости этих точек в момент времени, когда их ускорения одинаковы.

Ответ: а) v₁=36 м/с; v₂=17 м/с; б) v₁=3,6 м/с; v₂=17 м/с; в) v₁=5,6 м/с; v₂=-17 м/с; г) v₁=17 м/с; v₂=-39,6 м/с; д) v₁=39,6 м/с; v₂=-17 м/с.

2. Найти угловое ускорение колеса, если известно, что через 2 с после начала движения вектор полного ускорения точки, лежащей на ободе, составляет угол α=60^о с направлением линейной скорости этой точки (рис. 1).

Ответ: а) e=44 с^-2; б) e=4,4 с^-2; в) e=0,044 с^-2;

г) e=440 с^-2; д) e=0,43 с^-2.

3. Тело равномерно скользит по наклонной плоскости с углом a. Чему равен коэффициент трения f?

Ответ: а) f=sina; б) f=cosa; в) f=tga; г) f=ctga; д) f=sina×cosa.

4. Тонкий стержень длиной 0,5 м под действием вращающего момента M=1 Н×м вращается с угловым ускорением e=3 рад/c² относительно оси, проходящей через точку, находящуюся на расстоянии d=0,5l (l – длина стержня) от середины стержня перпендикулярно к его длине (рис. 2). Определить массу стержня.

Ответ: а) m=2 кг; б) m=3 кг; в) m=4 кг; г) m=5 кг; д) m=6 кг.

5. Определить момент инерции Земли относительно оси вращения.

Ответ: а) I=20,7×10³⁷ кг×м²; б) I=11,7×10³⁷ кг×м²; в) I=9,7×10³⁷ кг×м²; г) I=5,7×10³⁷ кг×м²; д) I=3,7×10³⁷ кг×м².

6. Какова длина математического маятника, совершающего колебания по закону x=0,04cos(2t+0,8)?

Ответ: а) l=0,45 м; б) l=1,45 м; в) l=1,95 м; г) l=2,45 м;

д) l=2,95 м.

7. Стержень длиной 40 см колеблется около оси, перпендикулярной стержню и проходящей через один из его концов. Определить период колебаний такого маятника. Принять g=9,8 м/с².

Ответ: а) T=0,94 с; б) T=1,04 с; в) T=1,14 с; г) T=1,24 с;

д) T=1,34 с.

Вариант № 13

1. Точка движется по окружности радиусом R=4 м. Закон ее движения выражается уравнением s=8-2t². Определить момент времени t, когда нормальное ускорение а_n точки равно 9 м/с².

Ответ: а) t=1,5 с; б) t=2,5 с; в) t=3,5 с; г) t=4,5 с; д) t=5,5 с.

2. Стационарный искусственный спутник движется по окружности в плоскости земного экватора, оставаясь все время над одним и тем же пунктом земной поверхности. Определить угловую скорость w спутника.

Ответ: а) w=7,27∙10^-5 рад/с; б) w=3∙10^-5 рад/с; в) w=7 рад/с;

г) w=5,3 рад/с; д) w=4,3×10^-5 рад/с.

3. Две гири с массами m₁=1 кг и m₂=2 кг соединены нерастяжимой, невесомой нитью, перекинутой через невесомый блок. Найти ускорение, с которым движутся гири (рис. 1). Трением в блоке пренебречь. Принять g=9,8 м/с².

Ответ: а) а=3,27 м/с²; б) а=0,3 м/с²; в) а=9,8 м/с²;

г) а=0,98 м/с²; д) а=0,4 м/с².

4. Шар массой 10 кг и радиусом 20 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Уравнение вращения шара имеет вид j=5+4t²-t³. Какова величина момента сил в момент времени, равный 2 с.

Ответ: а) M = 3,64 Н×м; б) M = -0,64 Н×м; в) M = 0,64 Н×м;

г) M= =-2,64 Н×м; д) M= -3,64 Н×м.

5. Определить момент импульса Земли относительно оси вращения.

Ответ: а) L = 17×10³³ (кг×м²)/с; б) L = 15×10³³ (кг×м²)/с;

в) L=12×10³³ (кг×м²)/с; г) L=7×10³³ (кг×м²)/с; д) L=3×10³³ (кг×м²)/с.

Ответ: а) ℓ₁=0,25 м, ℓ₂=0,09 м; б) ℓ₁=0,4 м, ℓ₂=0,24 м; в) ℓ₁=0,5 м, ℓ₂=0,34 м; г) ℓ₁=1,0 м, ℓ₂=0,84 м; д) ℓ₁=0,6 м; ℓ₂=0,44 м.

7. Обруч диаметром 56,6 см висит на гвозде, вбитом в стену, и совершает малые колебания в плоскости, параллельной стене. Найти частоту этих колебаний. Принять g=9,8 м/с².

Ответ: а) n=0,96 Гц; б) n=0,76 Гц; в) n=0,66 Гц; г) n=0,56 Гц;

д) n=0,46 Гц.

Вариант № 14

1. На вал радиусом 10 см намотана нить, к концу которой привязана гиря (рис. 1). Опускаясь равноускоренно, гиря прошла расстояние 200 см за 10 с. Найти тангенциальное ускорение точки, лежащей на поверхности вала.

Ответ: а) a_t=4 м/с²; б) a_t=0,04 м/с²; в) a_t=0,4 м/с²;

г) a_t=0,08 м/с²; д) a_t=0,8 м/с².

2. Определить нормальное ускорение точек, лежащих на земной поверхности на широте Москвы (j=58^o, R₃=6400 км).

Ответ: а) a_nМ=0,18 м/с²; б) a_nМ=1,8 м/с²; в) a_nМ=18 м/с²;

г) a_nМ=180 м/с²; д) a_nМ=0,018 м/с².

3. Две гири с массами 2 кг и 1 кг соединены нерастяжимой, невесомой нитью, перекинутой через невесомый блок (рис. 2). Найти силу натяжения нити, действующую на гири. Трением в блоке пренебречь. Принять g=9,8 м/с².

Ответ: а) Т= 1,31 Н; б) Т= 2,31 Н; в) Т= 23,31 Н;

г) Т= 13,1 Н; д) Т= 3,31 Н.

4. Шар массой 10 кг и радиусом 20 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Уравнение вращения шара имеет вид j=5+4t²-t³. Какова величина момента импульса шара в момент времени, равный 2 с?

Ответ: а) L=3,64 (кг×м²)/с; б) L=-0,64 (кг×м²)/с; в) L=0,64(кг×м²)/с; г) L=-2,64 (кг×м²)/с; д) L=-3,64 (кг×м²)/с.

5. Обруч массой m=1 кг и радиусом 100 см (рис. 3) вращается относительно оси, проходящей через центр масс с угловой скоростью 100 рад/с. Определить модуль момента импульса обруча.

Ответ: а) L=150 (кг×м²)/с; б) L=80 (кг×м²)/с;

в) L=120 (кг×м²)/с; г) L=100 (кг×м²)/с; д) L=130 (кг×м²)/с.

6. Найти массу груза, который на пружине с жесткостью 250Н/м совершает 100 полных колебаний за 80 с.

Ответ: а) m=5 кг; б) m=4 кг; в) m=3 кг; г) m=2 кг; д) m=1 кг.

7. Диск радиусом 10 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. Определить период колебаний такого физического маятника. Принять g=9,8 м/с².

Ответ: а) T=0,58 с; б) T=0,68 с; в) T=0,78 с; г) T=0,88 с;

д) T=0,98 с.

Вариант № 15

1. На вал радиусом 10 см намотана нить, к концу которой привязана гиря (рис. 1). Опускаясь равноускоренно, гиря прошла расстояние 200 см за 10 с. Найти нормальное ускорение точки, лежащей на поверхности вала, в конечный момент движения.

Ответ: а) a_n=16 м/с²; б) a_n=0,16 м/с²; в) a_n=1,6 м/с²; г) a_n=160 м/с²; д) a_n=0,016 м/с².

2. Определить линейную скорость точек, лежащих на земной поверхности на экваторе (R₃=6400 км).

Ответ: а) v_э=4,65 м/с; б) v_э=46,5 м/с; в) v_э=0,465 м/с; г) v_э=465 м/с; д) v_э=4650 м/с.

3. Радиус кривизны выпуклого моста, двигаясь по которому со скоростью 72 км/ч автомобиль не оказывает давления на мост в верхней его точке (рис. 2), равен (принять ускорение свободного падения g=10 м/с²):

Ответ: а) R=50 м; б) R=100 м; в) R=40 м; г) R=120 м; д) R=60 м.

4. Определить момент инерции шара, массой 10кг и радиусом 20 см (рис. 3), относительно оси, расположенной на расстоянии l=0,5R от центра шара.

Ответ: а) I=0,5 кг×м²; б) I=0,46 кг×м²; в) I=0,36 кг×м²; г) I=0,26 кг×м²; д) I=0,16 кг×м².

5. Определить момента инерции обруча, массой m=1 кг и радиусом R=100 см относительно оси, перпендикулярной его плоскости, расположенной на расстоянии l=0,5R от центра (рис. 4).

Ответ: а) I=5,25 кг×м²; б) I=4,25 кг×м²;

в) I=3,25 кг×м²; г) I=2,25 кг×м²; д) I=1,25 кг×м².

Ответ: а) k=1,26 Н/м; б) k=12,6 Н/м; в) k=126 Н/м; г) k=226 Н/м; д) k=326 Н/м.

7. Тонкий однородный стержень длиною 60 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через конец стержня. Определить длину математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний стержня.

Ответ: а) ℓ=1,4 м; б) ℓ=1 м; в) ℓ=0,4 м; г) ℓ=2 м; д) ℓ=0,8 м.

Вариант № 16

1. Найти, во сколько раз нормальное ускорение точки, лежащей на ободе вращающегося диска, больше ее тангенциального ускорения для того момента, когда вектор полного ускорения этой точки составляет угол 30^о с вектором ее линейной скорости (рис. 1).

Ответ: а) a_n/a_t=0,5; б) a_n/a_t=0,8; в) a_n/a_t=0,68; г) a_n/a_t=0,7;

д) a_n/a_t=0,58.

2. Колесо вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением j=А+2t+1t³. Найти угловую скорость w через время t=2,00 с после начала движения.

Ответ: а) w=0,14 рад/с; б) w=1,4 рад/с; в) w=24 рад/с; г) w=14 рад/с; д) w=2,4 рад/с.

3. Невесомый блок укреплен на конце стола. Гири равной массы соединены нитью перекинутой через блок (рис. 2). Коэффициент трения одной из гирь о стол равен 0,1. Найти ускорение, с которым движутся гири. Трением в блоке пренебречь.

Ответ: а) а=5,1 м/с²; б) а=7,3 м/с²; в) а=9 м/с²; г) а=1,23 м/с²;

д) а=4,4 м/с².

4. Определить момент инерции медного шара радиусом R=10 см относительно оси, расположенной на расстоянии l=0,5R от центра шара.

Ответ: а) I=5,4×10^{-3 кг}×м²; б) I=2,4×10^{-3 кг}×м²; в) I=3,4×10^-3 кг×м²;

г) I=4,4×10^{-3 кг}×м²; д) I=1,4×10^{-3 кг}×м².

5. Определить момента инерции алюминиевого цилиндра (рис. 3) радиусом R=100 см и высотой h=0,5 м относительно оси, перпендикулярной плоскости его оснований, расположенной на расстоянии l=0,5R от центра.

Ответ: а) I=3,2×10³ кг×м²; б) I=4,2×10³ кг×м²;

в) I=5,2×10³ кг×м²; г) I=6,2×10³ кг×м²; д) I=7,2×10³ кг×м².

Ответ: а) N=3,5; б) N=4,5; в) N=5,5; г) N=6,5; д) N=7,5.

7. Физический маятник в виде тонкого кольца совершает малые колебания около оси, проходящей через одну из точек кольца перпендикулярно его плоскости. Найти длину математического маятника, обладающего тем же периодом, что и данное кольцо.

Ответ: а) ℓ=2R м; б) ℓ=3R м; в) ℓ=4 Rм; г) ℓ=5R м; д) ℓ=6R м.

Вариант № 17

1. Найти угловое ускорение колеса, если известно, что через 2 с после начала движения вектор полного ускорения точки, лежащей на ободе, составляет угол α=60^о с направлением линейной скорости этой точки (рис. 1).

Ответ: а) e=44 с^-2; б) e=4,4 с^-2; в) e=0,044 с^-2;

г) e=440 с^-2; д) e=0,43 с^-2.

2. Колесо вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением j=А+2t+t³. Найти угловое ускорение e в момент времени t=0,5 c.

Ответ: а) e=3 рад/с²; б) e=1 рад/с²; в) e=2 рад/с²; г) e=0,3 рад/с²; д) e=0,03 рад/с².

3. Невесомый блок укреплен на конце стола. Гири равной массы по 1 кг каждая соединены нитью перекинутой через блок. Коэффициент трения одной из гирь о стол равен 0,1 (рис. 2). Найти силу натяжения нити. Трением в блоке пренебречь.

Ответ: а) Т=5,4 Н; б) Т=1,8 Н; в) Т= – 2,8 Н; г) Т=3,8 Н; д) Т=2,8 Н.

4. Определить момент инерции Земли относительно оси вращения.

Ответ: а) I=20,7×10³⁷ кг×м²; б) I=11,7×10³⁷ кг×м²; в) I=9,7×10³⁷ кг×м²; г) I=5,7×10³⁷ кг×м²; д) I=3,7×10³⁷ кг×м².

5. Свинцовый цилиндр радиусом 10 см высотой h=0,2 м вращается относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярной основанию цилиндра (рис. 3), с угловой скоростью 100 рад/с. Определить модуль момента импульса такого цилиндра.

Ответ: а) L=1,55 (кг×м²)/с; б) L=15,5 (кг×м²)/с; в) L=25,5 (кг×м²)/с; г) L=35,5 (кг×м²)/с; д) L=45,5 (кг×м²)/с.

6. Стержень длиной 40 см колеблется около оси, перпендикулярной стержню и проходящей через один из его концов. Определить период колебаний такого маятника. Принять g=9,8 м/с².

Ответ: а) T=0,94 с; б) T=1,04 с; в) T=1,14 с; г) T=1,24 с;

д) T=1,34 с.

7. Логарифмический декремент затухания маятника l=0,003. Определить число N полных колебаний, которые должен совершить маятник, чтобы амплитуда уменьшилась в два раза.

Ответ: а) N=91; б) N=121; в) N=151; г) N=191; д) N=231.

Вариант № 18

1. Стационарный искусственный спутник движется по окружности в плоскости земного экватора, оставаясь, все время над одним и тем же пунктом земной поверхности. Определить угловую скорость w спутника.

Ответ: а) w=7,27∙10^-5 рад/с; б) w=3∙10^-5 рад/с; в) w=7 рад/с;

г) w=5,3 рад/с; д) w=4,3×10^-5 рад/с.

Дата добавления: 2015-07-11; просмотров: 393 | Нарушение авторских прав

Читайте в этой же книге: II. Физические основы механики. Модуль №2 4 страница | II. Физические основы механики. Модуль №2 5 страница | III. Основы молекулярной физики 1 страница | III. Основы молекулярной физики 2 страница | III. Основы молекулярной физики 3 страница | III. Основы молекулярной физики 4 страница | Некоторые формулы курса общей физики | Приложение 2. Правила приближённых вычислений | Приложение 3. Таблицы физических величин |

mybiblioteka.su — 2015-2021 год. (0.05 сек.)

Момент силы. Момент инерции и момент импульса АТТ

Момент силы — величина, характеризующая вращательный эффект силы. При вращении АТТ вокруг неподвижной оси Oz проекция момента силы относительно любой точки О, лежащей на этой оси, который определяется векторным произведением радиуса-вектора проведенного из точки О в точку приложения силы, на вектор силы :

, (32)

совпадает с моментом силы М_zотносительно этой оси.

Если угловая скорость направлена по оси Ozи проекция момента силы на ось вращения положительна, то такой момент силы называют вращающим, иначе – тормозящим.

Моментом инерции тела относительно неподвижной оси Оz называется скалярная величина

(33)

где m_i — масса i-й частицы тела;

r_i — расстояние от i-й частицы тела до оси вращения Оz;

N — число частиц, из которых состоит тело.

Индекс «z» у момента инерции обозначает, что момент инерции определяется относительно оси Оz.

В случае непрерывного распределения массы тела сумма, стоящая в формуле (33), заменяется интегралом:

(34)

Центр инерции (центр масс) АТТ (системы частиц) – это такая точка, координаты которой определяются из соотношений:

; (35) ; (36) . (37)

Скорость центра инерции (центра масс)АТТ (системы частиц)можно рассчитать по формуле:

. (38)

Таблица 1

Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической

формы относительно оси, проходящей через их центр масс

Обруч (полый цилиндр)	Диск (сплошной цилиндр)	Шар	Стержень

Если ось Оz не проходит через центр масс, то момент инерции определяется по теореме Гюйгенса-Штейнера:

(39)

где — момент инерции относительно оси вращения Оz;

— момент инерции относительно оси симметрии, параллельной оси Оz и проходящей через центр масс;

d – расстояние между осями;

m – масса тела.

Момент импульса (момент количества движения, кинетический момент) твердого тела — характеристика вращательного движения.

Момент импульса абсолютно твердого тела относительно неподвижного центра О равен геометрической сумме моментов импульсов всех точек тела относительно того же центра:

(40)

Если абсолютно твердое тело вращается вокруг неподвижной оси Оz, то

(41)

где — проекция момента импульса на ось Оz;

— момент инерции твердого тела относительно оси Оz.

Задачи

42.(1) По окружности радиусом 5,5 м (центр окружности – точка О) в плоскости yОz со скоростью 0,98 м/с движется частица массой 12 кг (рис.3.). Чему равен момент импульса этой частицы относительно точки О?

44.(2) Найти момент импульса Земли относительно собственной оси вращения.

StudyPort.Ru — Вращательное движение твердых тел

Страница 1 из 3

3.1. Найти момент инерции J и момент импульса L земного шара относительно оси вращения.

Решение:

3.2. Два шара одинакового радиуса R = 5 см закреплены на концах невесомого стержня. Расстояние между шарами r = 0,5 м. Масса каждого шара m = 1 кг. Найти: а) момент инерции J₁ системы относительно оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно к нему; б) момент инерции J₂ системы относительно той же оси, считая шары материальными точками, массы которых сосредоточены в их центрах; в) относительную ошибку б = (J₁ — J₂)/ J₂, которую мы допускаем при вычислении момента инерции системы, заменяя величину J₁ величиной J₂.

Решение:

3.3. К ободу однородного диска радиусом R = 0,2 м прило касательная сила F = 98,1 Н. При вращении на диск действует момент сил трения M_тр₌98,1 Н*м. Найти массу m дисков, если известно, что диск вращается с угловым ускоре е = 100 рад/с².

Решение:

3.4. Однородный стержень длиной l = 1 м и массой m = 0,5 кг вращается в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину стержня. С каким угловым ускорением е вращается стержень, если на него действует момент сил М = 98,1 мН*м?

Решение:

3.5. Однородный диск радиусом R = 0,2 м и массой m = 0,5 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно к его плоскости. Зависимость угловой скорости w вращения диска от времени t дается уравнением w = А + Bt, где В = 8 рад/с². Найти касательную силу F, приложенную к ободу диска. Трением пренебречь.

Решение:

3.6. Маховик, момент инерции которого J = 63,6кгм² враща с угловой скоростью w = 31,4 рад/с. Найти момент сил тор М, под действием которого маховик останавливается через время t = 20 с. Маховик считать однородным диском.

Решение:

3.7. К ободу колеса радиусом 0,5м и массой m = 50 кг при касательная сила F = 98,1 Н. Найти угловое ускорение s колеса. Через какое время t после начала действия силы колесо будет иметь частоту вращения n = 100 об/с? Колесо считать однородным диском. Трением пренебречь.

Решение:

3.8. Маховик радиусом R = 0,2 м и массой m = 10 кг соединен с мотором при помощи приводного ремня. Сила натяжения ремня, идущего без скольжения, T = 14,7Н. Какую частоту вра n будет иметь маховик через время t = 10 с после начала движения? Маховик считать однородным диском. Трением пренебречь.

Решение:

3.9. Маховое колесо, момент инерции которого J = 245 кг л, вращается с частотой n = 20 об/с. Через время t = 1 мин после того, как на колесо перестал действовать момент сил М, оно остановилось. Найти момент сил трения и число оборотов N, которое сделало колесо до полной остановки после прекра действия сил. Колесо считать однородным диском.

Решение:

З.10. Две гири с массами m₁ =2 кг и m₂=1кг соединены нитью, перекинутой через блок массой m = 1 кг. Найти ускорение а, с которым движутся гири, и силы натяжения T₁ и T₂ нитей, к которым подвешены гири. Блок считать однородным диском. Трением пренебречь.

Решение:

3.11. На барабан массой m₀=9кг намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 2 кг. Найти ускорение а гру. Барабан считать однородным цилиндром. Трением прене.

Решение:

3.12. На барабан радиусом R = 0,5 м намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 10 кг. Найти момент инерции J барабана, если известно, что груз опускается с ускорением а = 2,04 м/с².

Решение:

3.13. На барабан радиусом R = 20 см, момент инерции кото J = 0,1 кгм², намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 0,5 кг. До начала вращения барабана высота груза над полом h_Q = 1 м. Через какое время t груз опустится до пола? Найти кинетическую энергию W_K груза в момент удара о пол и силу натяжения нити T. Трением пренебречь.

Решение:

3.14. Две гири с разными массами соединены нитью, переки через блок, момент инерции которого J = 50 кгм² и радиус R = 20 см. Момент сил трения вращающегося блока = 98,1 Нм. Найти разность сил натяжения нити T₁ -T₂по обе стороны блока, если известно, что блок вращается с угловым ускорением e = 2,36 рад/с². Блок считать однородным диском.

Решение:

3.15. Блок массой m = 1 кг укреплен на конце стола ( см. рис. и задачу 2.31). Гири 1 и 2 одинаковой массы m₁=m₂=1кг соединены нитью, перекинутой через блок. Коэффициент трения гири 2 о стол к = 0,1 . Найти ускорение а, с которым движутся гири, и силы натяжения T₁и T₂нитей. Блок считать однород диском. Трением в блоке пренебречь.

Решение:

3.16. Диск массой m = 2 кг катится без скольжения по гори плоскости со скоростью v = 4 м/с. Найти кинети энергию W_k диска.

Решение:

3.17. Шар диаметром D = 6 см и массой m = 0,25 кг катится без скольжения по горизонтальной плоскости с частотой враще n = 4 об/с. Найти кинетическую энергию W_K шара.

Решение:

3.18. Обруч и диск одинаковой массы m₁ = m₂ катятся без скольжения с одной и той же скоростью v. Кинетическая энер обруча W_Kl =4кгсм. Найти кинетическую энергию W_k2 диска.

Решение:

3.19. Шар массой m = 1 кг катится без скольжения, ударяется о стенку и откатывается от нее. Скорость шара до удара о стенку v = 10 см/с, после удара u = 8 см/с. Найти количество теплоты Q, выделившееся при ударе шара о стенку.

Решение:

3.20. Найти относительную ошибку б, которая получится при вычислении кинетической энергии W_K катящегося шара, если не учитывать вращения шара.

Решение:

Момент инерции и момент импульса абсолютно твердого тела

Торговля Момент инерции и момент импульса абсолютно твердого тела

просмотров — 233

Оценка реферата

При проверке реферата преподаватель-рецензент должен отметить ошибки, допущенные в работе, и разъяснить их.

В случае если реферат полностью не отвечает требованиям написания работы, он возвращается студенту для переработки и при повторном рецензировании представляется в двух вариантах (первичном и повторном). Преподаватель обращается к первому варианту для проверки исправленных ошибок.

По результатам реферата может быть проведено собеседование. Цель собеседования — проверить знание теоретического материала, установить самостоятельность работы.

20) Два шара массой 2 и 5 кг и радиусом 10 и 15 см соответственно соединены однородным тонким стержнем массой 5 кг и длиной 30 см (рис. 3, а). Найти момент инерции этой системы относительно оси Оz, проходящей на расстоянии 10 см от центра большего шара перпендикулярно стержню. Какой момент импульса будет иметь система, если ее привести во вращение с частотой 5 об/с относительно этой оси?

21) На тонком стержне длиной 1 м и массой 1 кг укреплены два одинаковых шара массой 3 кг и радиусом 10 см каждый. Центр первого шара совпадает с краем стержня, а второго — с его серединой. Стержень вращается с частотой 5 об/с относительно оси Оz, проходящей через его свободный край перпендикулярно стержню. Найти момент инерции и момент импульса системы относительно этой оси (рис. 3, б).

22) В центре горизонтальной платформы массой 60 кг и радиусом 1 м прикреплен шар массой 10 кг и радиусом 20 см. На краю платформы лежит диск массой 5 кг и радиусом 10 см. Край диска совпадает с краем платформы (рис. 3, в). Найти момент инерции системы относительно оси Оz, проходящей через центр платформы. Чему равен момент импульса системы относительно этой оси, если платформа вращается с частотой 1 об/с?

Рис. 3

24) Два одинаковых тонких стержня массой 900 г и длиной 20 см каждый образуют крестовину (рис. 3, д). На обоих стержнях укреплены одинаковые шары массой 600 г и радиусом 5 см каждый. Центры шаров на первом стержне совпадают с его краями. На втором стержне шары укреплены на расстоянии 5 см от краев стержня. Найти момент инерции системы относительно оси, проходящей через центр крестовины перпендикулярно обоим стержням.

25) Система состоит из трех одинаковых тонких стержней, состыкованных под углом 120° друг к другу. Масса каждого стержня равна 800 г, длина – 30 см. На стержнях укреплены одинаковые шары массой 900 г и радиусом 8 см каждый. Центры двух шаров совпадают с краями стержней, а центр третьего — с серединой стержня. Стержни вращаются с частотой 7 об/с относительно оси Оz (рис. 3, е). Найти момент инерции и момент импульса системы относительно этой оси.

26) На тонком железном стержне длиной 6 см и массой 10 г укреплены три одинаковых железных шара вплотную друг к другу. Диаметр каждого шара равен 2 см, масса равна 30 ᴦ. Найти момент инерции системы относительно оси, проходящей через край стержня (рис. 3, ж).

29*) Определить момент инерции полого шара массой 0,5 кг относительно оси, касательной к шару. Внешний радиус шара равен 0,02 м, внутренний — 0,01 м.

11.3: Угловой момент — Physics LibreTexts

Цели обучения

Опишите векторную природу углового момента
Найдите полный угловой момент и крутящий момент относительно заданной точки начала системы частиц
Вычислить угловой момент твердого тела, вращающегося вокруг фиксированной оси
Расчет крутящего момента на твердом теле, вращающемся вокруг фиксированной оси
Использование сохранения углового момента при анализе объектов, изменяющих скорость вращения

Почему Земля продолжает вращаться? С чего все завелось? Почему гравитационное притяжение Земли не приближает Луну к Земле? И как фигуристке удается вращаться все быстрее и быстрее, просто втягивая в себя руки? Почему ей не нужно прикладывать крутящий момент, чтобы вращаться быстрее?

Ответ на эти вопросы состоит в том, что как полное линейное движение (импульс) во Вселенной сохраняется, так и полное вращательное движение сохраняется.Мы называем полное вращательное движение угловым моментом, вращательным эквивалентом количества движения. В этой главе мы сначала определяем, а затем исследуем угловой момент с различных точек зрения. Однако сначала мы исследуем угловой момент отдельной частицы. Это позволяет нам развить угловой момент для системы частиц и для твердого тела.

Угловой момент отдельной частицы

На рисунке \ (\ PageIndex {1} \) показана частица в позиции \ (\ vec {r} \) с линейным импульсом \ (\ vec {p} \) = m \ (\ vec {v} \) с уважение к происхождению.Даже если частица не вращается вокруг начала координат, мы все равно можем определить угловой момент в терминах вектора положения и линейного момента.

Угловой момент частицы

Угловой момент \ (\ vec {l} \) частицы определяется как перекрестное произведение \ (\ vec {r} \) и \ (\ vec {p} \) и перпендикулярен плоскости содержащий \ (\ vec {r} \) и \ (\ vec {p} \):

\ [\ vec {l} = \ vec {r} \ times \ vec {p} \ ldotp \ label {11.5} \]

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): В трехмерном пространстве вектор положения \ (\ vec {r} \) определяет местонахождение частицы в плоскости xy с линейным импульсом \ (\ vec {p} \).Угловой момент относительно начала координат равен \ (\ vec {l} = \ vec {r} \ times \ vec {p} \), который находится в z-направлении. Направление \ (\ vec {l} \) задается правилом правой руки, как показано.

Цель выбора направления момента количества движения, перпендикулярного плоскости, содержащей \ (\ vec {r} \) и \ (\ vec {p} \), аналогична выбору направления момента вращения, перпендикулярного плоскости плоскость \ (\ vec {r} \) и \ (\ vec {F} \), как описано в разделе «Вращение с фиксированной осью». Величина углового момента находится из определения перекрестного произведения,

\ [l = rp \ sin \ theta, \]

, где \ (\ theta \) — угол между \ (\ vec {r} \) и \ (\ vec {p} \).Единицы углового момента: кг • м ² / с. Как и в случае с определением крутящего момента, мы можем определить плечо рычага \ (r_ \ perp \), которое представляет собой перпендикулярное расстояние от вектора импульса \ (\ vec {p} \) до начала координат, \ (r_ \ perp = r \ грех \ тета \). При таком определении величина углового момента становится равной

\ [l = r _ {\ perp} p = r _ {\ perp} mv \ ldotp \]

Мы видим, что если направление \ (\ vec {p} \) таково, что оно проходит через начало координат, то \ (\ theta \) = 0, и угловой момент равен нулю, потому что плечо рычага равно нулю.В этом отношении величина углового момента зависит от выбора начала координат. Если мы возьмем производную углового момента по времени, то получим выражение для крутящего момента на частице:

\ [\ begin {align *} \ frac {d \ vec {l}} {dt} & = \ frac {d \ vec {r}} {dt} \ times \ vec {p} + \ vec {r} \ times \ frac {d \ vec {p}} {dt} \\ [4pt] & = \ vec {v} \ times m \ vec {v} + \ vec {r} \ times \ frac {d \ vec { p}} {dt} \\ [4pt] & = \ vec {r} \ times \ frac {d \ vec {p}} {dt} \ ldotp \ end {align *} \]

Здесь мы использовали определение \ (\ vec {p} \) и тот факт, что вектор, пересекающийся сам с собой, равен нулю.Из второго закона Ньютона \ (\ frac {d \ vec {p}} {dt} = \ sum \ vec {F} \), чистой силы, действующей на частицу, и определения чистого крутящего момента, мы можем написать

\ [\ frac {d \ vec {l}} {dt} = \ sum \ vec {\ tau} \ ldotp \ label {11.6} \]

Обратите внимание на сходство с линейным результатом второго закона Ньютона \ (\ frac {d \ vec {p}} {dt} = \ sum \ vec {F} \). Следующая стратегия решения проблем может служить руководством для расчета углового момента частицы.

Стратегия решения проблем: угловой момент частицы

Выберите систему координат, относительно которой необходимо вычислить угловой момент.
Запишите радиус-вектор точечной частицы в записи единичного вектора.
Запишите вектор импульса частицы в записи единичного вектора.
Возьмите векторное произведение \ (\ vec {l} = \ vec {r} \ times \ vec {p} \) и воспользуйтесь правилом правой руки, чтобы установить направление вектора углового момента.
Посмотрите, есть ли зависимость от времени в выражении вектора углового момента. Если есть, значит, крутящий момент существует относительно начала координат, и используйте \ (\ frac {d \ vec {l}} {dt} = \ sum \ vec {\ tau} \) для вычисления крутящего момента.Если в выражении для углового момента нет зависимости от времени, то чистый крутящий момент равен нулю.

Пример \ (\ PageIndex {2} \): угловой момент и крутящий момент на метеоре

Метеор входит в атмосферу Земли (рис. \ (\ PageIndex {2} \)), и кто-то наблюдает за ним на земле, прежде чем он сгорит в атмосфере. Вектор \ (\ vec {r} \) = 25 км \ (\ hat {i} \) + 25 км \ (\ hat {j} \) дает положение метеора относительно наблюдателя. В тот момент, когда наблюдатель видит метеор, он имеет импульс \ (\ vec {p} \) = (15.0 кг) (- 2,0 км / с \ (\ hat {j} \)), и он ускоряется с постоянной скоростью 2,0 м / с ² (\ (- \ hat {j} \)) на своем пути, которую для наших целей можно принять за прямую линию.

Каков момент количества движения метеора относительно начала координат, которое находится в месте нахождения наблюдателя?
Какой крутящий момент на метеоре относительно начала координат?

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): Наблюдатель на земле видит метеор в позиции \ (\ vec {r} \) с линейным импульсом \ (\ vec {p} \).

Стратегия

Мы разлагаем ускорение на x- и y-компоненты и используем кинематические уравнения, чтобы выразить скорость как функцию ускорения и времени. Мы вставляем эти выражения в линейный импульс, а затем вычисляем угловой момент, используя перекрестное произведение. Поскольку векторы положения и импульса находятся в плоскости xy, мы ожидаем, что вектор углового момента будет располагаться вдоль оси z. Чтобы найти крутящий момент, мы берем производную по времени от углового момента.{5} \; N \; \ cdotp m (- \ hat {k}) \ ldotp \ end {split} $$

Значение

Поскольку метеор ускоряется вниз к Земле, его радиус и вектор скорости изменяются. Следовательно, поскольку \ (\ vec {l} = \ vec {r} \ times \ vec {p} \), угловой момент изменяется как функция времени. Крутящий момент на метеоре относительно начала координат, однако, постоянен, потому что плечо рычага \ (\ vec {r} _ {\ perp} \) и сила, действующая на метеор, постоянны. Этот пример важен тем, что показывает, что угловой момент зависит от выбора начала координат, относительно которого он рассчитывается.Методы, использованные в этом примере, также важны для определения углового момента для системы частиц и твердого тела.

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Протон, вращающийся вокруг магнитного поля, совершает круговое движение в плоскости бумаги, как показано ниже. Круговой путь имеет радиус 0,4 м, а скорость протона составляет 4,0 x 10 ⁶ м / с. Каков угловой момент протона относительно начала координат?

Угловой момент системы частиц

Угловой момент системы частиц важен во многих научных дисциплинах, одной из которых является астрономия.Рассмотрим спиральную галактику, вращающийся остров звезд, подобный нашему Млечному Пути. Отдельные звезды можно рассматривать как точечные частицы, каждая из которых имеет свой угловой момент. Векторная сумма отдельных угловых моментов дает полный угловой момент галактики. В этом разделе мы разрабатываем инструменты, с помощью которых мы можем вычислить полный угловой момент системы частиц.

В предыдущем разделе мы ввели угловой момент одиночной частицы около указанной точки начала координат.Выражение для этого углового момента: \ (\ vec {l} = \ vec {r} \ times \ vec {p} \), где вектор \ (\ vec {r} \) идет от начала координат до частицы, а \ (\ vec {p} \) — импульс частицы. Если у нас есть система из N частиц, каждая из которых имеет вектор положения из начала координат, заданное как \ (\ vec {r} _ {i} \), и каждая имеет импульс \ (\ vec {p} _ {i} \), тогда полный угловой момент системы частиц около начала координат равен векторной сумме отдельных угловых моментов около начала координат. То есть

\ [\ vec {L} = \ vec {l} _ {1} + \ vec {l} _ {2} + \ cdots + \ vec {l} _ {N} \ ldotp \ label {11.7} \]

Точно так же, если на частицу i действует чистый крутящий момент \ (\ vec {\ tau_ {i}} \) относительно начала координат, то мы можем найти чистый крутящий момент вокруг начала координат, создаваемый системой частиц, дифференцируя уравнение 11.7:

\ [\ frac {d \ vec {L}} {dt} = \ sum_ {i} \ frac {d \ vec {l} _ {i}} {dt} = \ sum_ {i} \ tau_ {i} \ ldotp \]

Сумма отдельных крутящих моментов создает чистый внешний крутящий момент в системе, который мы обозначаем \ (\ sum \ vec {\ tau} \). Таким образом,

\ [\ frac {d \ vec {L}} {dt} = \ sum_ {i} \ tau_ {i} \ ldotp \ label {11.8} \]

Уравнение \ ref {11.8} утверждает, что скорость изменения полного углового момента системы равна чистому внешнему крутящему моменту, действующему на систему, когда обе величины измеряются относительно заданного начала координат . Уравнение \ ref {11.8} может применяться к любой системе, имеющей чистый угловой момент, включая твердые тела, как обсуждается в следующем разделе.

Пример \ (\ PageIndex {2} \): угловой момент трех частиц

Ссылаясь на рисунок \ (\ PageIndex {1a} \):

Определите полный угловой момент трех частиц около начала координат.
Какова скорость изменения момента количества движения?

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): Три частицы в плоскости xy с разными векторами положения и импульса.

Стратегия

Запишите векторы положения и импульса для трех частиц. Вычислите отдельные угловые моменты и сложите их как векторы, чтобы найти полный угловой момент. Затем проделайте то же самое с крутящими моментами.

Решение

Частица 1: $$ \ vec {r} _ {1} = -2.{2} / с \; \ hat {k} \ ldotp $$
Отдельные силы и рычаги равны $$ \ begin {split} \ vec {r} _ {1 \ perp} & = 1.0 \; м \; \ hat {j}, \; \ vec {F} _ {1} = -6,0 \; N \; \ hat {i}, \; \ vec {\ tau} _ {1} = 6.0 \; N \; \ cdotp m \; \ hat {k} \\ \ vec {r} _ {2 \ perp} & = 4.0 \; м \; \ hat {i}, \; \ vec {F} _ {2} = 10,0 \; N \; \ hat {i}, \; \ vec {\ tau} _ {2} = 40,0 \; N \; \ cdotp m \; \ hat {k} \\ \ vec {r} _ {3 \ perp} & = 2.0 \; м \; \ hat {j}, \; \ vec {F} _ {3} = -8,0 \; N \; \ hat {j}, \; \ vec {\ tau} _ {3} = -16,0 \; N \; \ cdotp m \; \ hat {k} \ ldotp \ end {split} $$ Следовательно: $$ \ sum_ {i} \ vec {\ tau} _ {i} = \ vec {\ tau} _ {1} + \ vec {\ tau } _ {2} + \ vec {\ tau} _ {3} = 30 \; N \; \ cdotp m \; \ hat {k} \ ldotp $$

Значение

Этот пример иллюстрирует принцип суперпозиции для углового момента и момента системы частиц.Необходимо соблюдать осторожность при оценке радиус-векторов \ (\ vec {r} _ {i} \) частиц для вычисления угловых моментов и плеч рычага, \ (\ vec {r} _ {i \ perp} \ ) для расчета крутящих моментов, так как это совершенно разные величины.

Угловой момент твердого тела

Мы исследовали угловой момент отдельной частицы, который мы обобщили на систему частиц. Теперь мы можем использовать принципы, рассмотренные в предыдущем разделе, для развития концепции углового момента твердого тела.У небесных объектов, таких как планеты, есть угловой момент из-за их вращения и орбит вокруг звезд. В технике все, что вращается вокруг оси, несет угловой момент, например, маховики, пропеллеры и вращающиеся части в двигателях. Знание угловых моментов этих объектов имеет решающее значение для проектирования системы, частью которой они являются.

Чтобы определить угловой момент твердого тела, мы моделируем твердое тело как состоящее из сегментов малых масс, \ (\ Delta \) m _i. {o} \ ldotp \]

Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): (a) Твердое тело вынуждено вращаться вокруг оси z.Твердое тело симметрично относительно оси z. Массовый сегмент \ (\ Delta \) m _i расположен в позиции \ (\ vec {r} _ {i} \), что составляет угол \ (\ theta_ {i} \) относительно оси z. . Показано круговое движение бесконечно малого массового сегмента. (b) \ (\ vec {l} _ {i} \) — угловой момент массового сегмента и имеет компонент вдоль оси z (\ (\ vec {l} _ {i} \)) _z.

Используя правило правой руки, вектор углового момента указывает в направлении, показанном на рисунке \ (\ PageIndex {4b} \).Сумма угловых моментов всех массовых сегментов содержит компоненты как вдоль, так и перпендикулярно оси вращения. Каждый массовый сегмент имеет перпендикулярную составляющую углового момента, которая компенсируется перпендикулярной составляющей идентичного массового сегмента на противоположной стороне твердого тела. Таким образом, компонент вдоль оси вращения является единственным компонентом, который дает ненулевое значение при суммировании по всем массовым сегментам. {2} \ ldotp \]

Суммирование \ (\ sum_ {i} \ Delta \) (R _i) ² — это просто момент инерции I твердого тела относительно оси вращения.Для тонких пялец, вращающихся вокруг оси, перпендикулярной плоскости пялец, все R _i равны R, поэтому сумма сводится к R ² \ (\ sum_ {i} \ Delta \) m. _i = mR ², который представляет собой момент инерции для тонкого обруча, показанного на рисунке 10.20. Таким образом, величина момента количества движения вдоль оси вращения твердого тела, вращающегося с угловой скоростью \ (\ omega \) вокруг оси, составляет

\ [L = I \ omega \ ldotp \ label {11.9} \]

Это уравнение аналогично величине импульса p = mv.Направление вектора углового момента направлено вдоль оси вращения, заданной правилом правой руки.

Пример \ (\ PageIndex {3} \): угловой момент манипулятора робота

Рука робота на марсоходе, таком как Curiosity , показанном на рисунке \ (\ PageIndex {5} \), имеет длину 1,0 м и имеет щипцы на свободном конце для захвата камней. Масса руки составляет 2,0 кг, а масса щипцов — 1,0 кг (рисунок \ (\ PageIndex {5} \)). Рука робота и щипцы переходят из состояния покоя в состояние \ (\ omega \) = 0.1 \ (\ pi \) рад / с за 0,1 с. Он вращается вниз и поднимает марсианский камень массой 1,5 кг. Ось вращения — это точка, в которой рука робота соединяется с марсоходом.

Каков угловой момент манипулятора робота относительно оси вращения через 0,1 с, когда рука перестала ускоряться?
Каков угловой момент манипулятора робота, когда он держит в щипцах марсианский камень и вращается вверх?
Когда рука не имеет камня в щипцах, каков крутящий момент в точке, где рука соединяется с марсоходом, когда он ускоряется от состояния покоя до своей конечной угловой скорости?

Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): рука робота на марсоходе наклоняется и поднимает марсианский камень.(кредит: модификация работы NASA / JPL-Caltech)

Стратегия

Мы используем уравнение \ ref {11.9}, чтобы найти угловой момент в различных конфигурациях. Когда рука вращается вниз, правило правой руки дает вектор углового момента, направленный за пределы страницы, который мы будем называть положительным z-направлением. Когда рука вращается вверх, правило правой руки задает направление вектора углового момента на страницу или в отрицательном z-направлении. Момент инерции — это сумма отдельных моментов инерции.{2} / s \ ldotp \] Теперь вектор углового момента направлен на страницу в направлении \ (- \ hat {k} \) по правилу правой руки, поскольку теперь манипулятор робота вращается по часовой стрелке.

Мы находим крутящий момент, когда рука не имеет камня, взяв производную углового момента с помощью уравнения \ ref {11.8} \ (\ frac {d \ vec {L}} {dt} = \ sum \ vec {\ тау}\). Но поскольку L = I \ (\ omega \) и понимая, что направление углового момента и векторов крутящего момента находятся вдоль оси вращения, мы можем исключить векторные обозначения и найти \ [\ frac {dL} {dt} = \ frac {d (I \ omega)} {dt} = I \ frac {d \ omega} {dt} = I \ alpha = \ sum \ tau, \], который является вторым законом Ньютона для вращения.{2}) = 1,67 \ пи \; N \; \ cdotp m \ ldotp \]

Значение

Угловой момент в (a) меньше, чем в (b) из-за того, что момент инерции в (b) больше, чем (a), в то время как угловая скорость такая же.

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Что имеет больший угловой момент: твердая сфера массы m, вращающаяся с постоянной угловой частотой \ (\ omega_ {0} \) вокруг оси z, или твердый цилиндр той же массы и скорости вращения вокруг оси z?

Авторы и ссылки

Сэмюэл Дж.Линг (Государственный университет Трумэна), Джефф Санни (Университет Лойола Мэримаунт) и Билл Мобс со многими авторами. Эта работа лицензирована OpenStax University Physics в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution License (4.0).

Энергия и угловой момент

Если мы надавим на объект в прямом направлении, пока объект Двигаясь вперед, мы ведем позитивную работу над объектом.Объект ускоряется, потому что мы настаиваем на этом. F = ma. Обретает кинетическую энергию. В поступательная кинетическая энергия ан объект массой m, центр масс которого движется со скоростью v, равен K = ½mv ².

Поступательная кинетическая энергия = ½ массы * скорость ²

Кинетическая энергия увеличивается пропорционально скорости. Когда скорость автомобиля увеличивается вдвое, его энергия увеличивается в четыре раза.
Вращающийся объект также обладает кинетической энергией.Когда объект вращается вокруг центра масс, его кинетическая скорость вращения энергия — это K = ½Iω ².

Кинетическая энергия вращения = ½ момента инерции * (угловая скорость) ².

Когда угловая скорость вращающегося колеса удваивается, его кинетическая энергия увеличивается в четыре раза.
Когда объект совершает поступательное и вращательное движение, мы можем смотреть на движение центра масс и движение вокруг центра масс раздельно.Полная кинетическая энергия — это сумма поступательной кинетической энергии центра массы (CM) и кинетической энергии вращения около CM.

Прокат

Рассмотрим колесо радиуса r и массы m, катящееся по плоской поверхности в x-направление.
Смещение Δx и угловое смещение Δθ связаны соотношением Δx = rΔθ.
Величины линейной скорости и угловой скорости связаны соотношением v _CM = rω.
Кинетическая энергия диска складывается из кинетической энергии движения центр масс ½mv _CM ² = ½mr ² ω ², и кинетическая энергия движения вокруг центра масс ½Iω ².
Полная кинетическая энергия

KE _tot = ½mr ² ω ² + ½Iω ² = ½ [mr ² + I] ω ² = ½ [m + I / r ²] v ².

Пример:

Предположим, что колесо представляет собой однородный диск. Момент инерции I однородного диска относительно оси, перпендикулярной плоскости диск через его CM составляет ½mr ².
Таким образом, кинетическая энергия диска KE _tot = (3/4) mr ² ω ².

Отношение поступательной энергии к кинетической энергии вращения равно E _trans / E _rot = г-н ² / I.
Если два катящихся объекта имеют одинаковую общую кинетическую энергию, то объект с меньшим моментом инерции имеет больший поступательная кинетическая энергия и большая скорость.

Задача:

Предположим, что диск и кольцо с одинаковым радиусом катятся по наклонной высоте. h и угол тета. Если они оба начнут из состояния покоя при t = 0, какой из них достигнет внизу сначала?

Решение:

Подумайте сами, а потом посмотрите этот видеоклип .Ваш ответ был правильным?

Модуль 6: Вопрос 2

Предположим, вы разрабатываете гоночный велосипед и пришло время поработать над колесами. Вам говорят, что колеса должны иметь определенную массу, но вы можете сконструировать их как колеса со спицами (как традиционные велосипедные колеса), или вы можете сделать их как имеющие сплошные диски насквозь. Какой дизайн вы бы выбрали, учитывая, что гоночный аспект машины самый главный? Пожалуйста, объясни!

Обсудите это со своими однокурсниками на дискуссионном форуме!

Пример:

Нажав кнопку ниже, вы можно воспроизводить или переходить по видеоклипу покадрово.Каждый шаг соответствует временному интервалу (1/30) с. В зажиме такой же крутящий момент действует на предметы с разные моменты инерции. Крутящий момент — это произведение веса и маленький рычаг. Момент инерции объекта в виде линейки изменяется. потому что массы добавляются на больших расстояниях от центра. Когда груз опустился на такое же расстояние Δy, была проделана та же работа, и система имеет ту же кинетическую энергию, поскольку она начинается с отдыха.Без учета трения W = τΔθ = mgΔy = ½Iω ². Однако система с большим моментом инерции I имеет меньшую угловую скорость ω. (Сравните углы поворота линейки за шаг без с прикрепленными массами и с массами, прикрепленными в разных местах.)

Проблема:

Три частицы связаны жесткими стержнями пренебрежимо малой массы, лежащими вдоль ось Y, как показано.
Если система вращается вокруг оси x с угловой скоростью 2 рад / с, найти
(a) момент инерции относительно оси x и полное вращательное кинетическая энергия рассчитана из ½Iω ², и
(b) линейная скорость каждой частицы и оцененная полная кинетическая энергия от Σ½m _i v _i ².

Решение:

Рассуждение:
Момент инерции I = ∑m _i r _i ². Здесь r _i — перпендикулярное расстояние частицы i от ось абсцисс.
Линейная скорость частицы i равна v _i. = ωr _и.
Детали расчета:
(a) I = (4 кг) (9 м ²) ^{+
(2 кг) (4 м ²) ^{+
(3 кг) (16 м ²) ^{= 92 кгм ².
Кинетическая энергия вращения K = ½Iω ² = 46 * 4 / с ² = 184 Дж.
(b) Линейная скорость массы 4 кг составляет v = 6 м / с, а ее кинетическая энергия составляет ½ мв ² = 72 Дж.
Линейная скорость массы 2 кг составляет v = 4 м / с, а ее кинетическая энергия составляет ½ мв ² = 16 Дж.
Линейная скорость массы 3 кг равна v = 8 м / с, а ее кинетическая энергия составляет ½ мв ² = 96 Дж.
Сумма кинетических энергий трех частиц составляет 184 Дж.}}}

Угловой момент вокруг оси является мерой вращательного движения объекта. об этой оси. Для вращений вокруг оси симметрии объекта угловой момент L определяется как произведение момент инерции объекта I, умноженный на его угловую скорость ω вокруг выбранной оси.

L = I ω .

Проблема:

Световой стержень длиной 1 м вращается в плоскости xy вокруг оси через центр стержня.К нему присоединяются две частицы массой 4 кг и 3 кг. заканчивается. Определить угловой момент системы в момент времени скорость каждой частицы 5 м / с.

Решение:

Рассуждение:
Мы предполагаем, что массой и моментом инерции стержня можно пренебречь.
Пусть ось z пройдет через центр стержня и укажет за пределы страницы.
Момент инерции системы относительно оси z равен I = ∑m _i r _i ², где r _i — расстояние i-й частицы от центра стержень.
Детали расчета:
Момент инерции системы относительно оси z равен
3 кг * (0,5 м) ² + 4 кг * (0,5 м) ² = 1,75 кгм ².
Угловая скорость системы равна ω = (v / r) k = ((5 м / с) / (0,5 м)) k = (10 / s) k .
Здесь k — единичный вектор или указатель направления, указывающий на z-направление (вне страницы).
Угловой момент системы равен L = I ω = (17.5 кгм ² / с) к .

Угловой момент — вектор. Для одиночной частицы ее направление — это направление углового скорость (определяется правилом правой руки). Угловой момент объекта равен изменен путем подачи ему углового импульса . An угловой импульс Δ L — изменение углового импульс. Вы даете объекту угловой импульс, позволяя воздействовать на него крутящему моменту. для временного интервала Δt.

Δ L = τ Δt
угловой импульс = крутящий момент * время

Если у объекта много независимо вращающихся частей, полный угловой момент объекта складывается из угловых импульсы всех его частей.

Задача:

Обычно вы слегка толкаете дверь шкафа, и она плавно закрывается. за 5 секунд. Но сегодня вы спешите и тренируетесь в 3 раза больше, чем обычно. крутящий момент на нем.
(a) Если вы нажимаете на него в течение обычного времени с таким увеличенным крутящим моментом, как его угловой момент отличается от обычного значения?
(б) Сколько времени потребуется двери туалета, чтобы закрываться после вашего поспешного толкать?

Решение:

Рассуждение:
(a) Когда вы толкаете дверь, вы прикладываете крутящий момент (сила, умноженная на плечо рычага) на определенное время, и дверь приобретает угловой момент L = I ω .Если увеличить силу в раз 3 и нажимать в течение того же времени, угловой момент увеличивается на фактор в три. Момент инерции двери не меняется, поэтому его угловая скорость должна увеличиться в 3 раза.
(b) угловая скорость = угловое смещение / время, время = угловое смещение / угловая скорость
Время, необходимое для закрытия двери, уменьшится в три раза.
время = (5 с) / 3 = 1,66 с.

Сохранение углового момента

Полный угловой момент одиночного объекта равен постоянным, если внешний крутящий момент не действует на объект.Объект не может оказывать крутящий момент на себя. Полный угловой момент двух взаимодействующие объекты также постоянны, если на объекты не действует внешний крутящий момент. Третий закон Ньютона гласит, что силы, действующие между объектами, равны по величине и противоположному направлению. В силы взаимодействия создают вращающие моменты, равные по величине и противоположные по величине. направление. Эти моменты изменяют угловой момент каждого объекта на одно и то же суммы, но изменения будут иметь противоположные направления.Когда мы суммируем их находим изменение полного углового момента, получаем ноль.

Если на систему взаимодействующих объектов не действует никакой внешний крутящий момент, то их полный угловой момент постоянен.

В видеоролике, показанном ниже, суммарный угловой момент точек системы вверх. Человек останавливает прялку, и табурет начинает вращаться.

Ваш браузер не поддерживает видео в формате HTML5.

Некоторые из первых кадров

Когда человек прикладывает крутящий момент к колесу, колесо прилагает крутящий момент к персона.Величины угловых моментов колеса и человек меняется с той же скоростью, но их сумма остается постоянной.

Задача:

Женщина 60 кг стоит на краю горизонтального поворотного стола, инерции 500 кгм ², а радиус 2 м. Поворотный стол первоначально в состоянии покоя и может свободно вращаться вокруг вертикальной оси без трения через его центр. Затем женщина начинает ходить по ободу по часовой стрелке (если смотреть сверху на систему) с постоянной скоростью 1.5 м / с относительно Земли.
(a) В каком направлении и с какой угловой скоростью вращается поворотный стол?
б) Сколько работы делают женщины, чтобы привести себя и поворотный стол в движение?

Решение:

Полный момент количества движения относительно любой оси Вселенной сохраняется. Однако угловой момент отдельного объекта изменяется, когда действует чистый крутящий момент. на объекте за конечный промежуток времени. И наоборот, если нет чистого крутящего момента действует на объект, то его угловой момент постоянен.

Глава 10 Карточки | Quizlet

Стратегия
Угловое ускорение напрямую выражается выражением α = net τ / I:
α = τ / I.

Чтобы найти α, мы должны сначала вычислить крутящий момент τ (который одинаков в обоих случаях) и момент инерции I (который больше во втором случае). Чтобы найти крутящий момент, отметим, что приложенная сила перпендикулярна радиусу и трение незначительно, так что
τ = rFsin θ = (1,50 м) (250 Н) = 375 Н · м.

Решение для (a)
Момент инерции твердого диска относительно этой оси показан на рисунке 10.12 должно быть
1 / 2MR2,

10,47
, где M = 50,0 кг и R = 1,50 м, так что
I = (0,500) (50,0 кг) (1,50 м) 2 = 56,25 кг⋅м2.

Теперь, после подстановки известных значений, мы находим, что угловое ускорение составляет
α = τ / I = 375 Н⋅м / 56,25 кг⋅м2 = 6,67рад2.

Решение для (b)
Мы ожидаем, что угловое ускорение для системы будет меньше в этой части, потому что момент инерции больше, когда ребенок находится на карусели. Чтобы найти полный момент инерции I, мы сначала находим момент инерции Ic ребенка, считая ребенка эквивалентом точечной массы на расстоянии 1.25 м от оси. Тогда
Ic = MR2 = (18,0 кг) (1,25 м) 2 = 28,13 кг⋅м2.

Полный момент инерции — это сумма моментов инерции карусели и ребенка (относительно одной оси). Чтобы оправдать эту сумму, рассмотрите определение I:
I = 28,13 кг⋅м2 + 56,25 кг⋅м2 = 84,38 кг⋅м2.

Подстановка известных значений в уравнение для α дает
α = τ / I = 375 Н · м / 84,38 кг · м2 = 4,44 рад2.

Обсуждение
Угловое ускорение меньше, когда ребенок находится на карусели, чем когда карусель пуста, как и ожидалось.Найденные угловые ускорения довольно велики, отчасти из-за того, что трение считалось незначительным. Если, например, отец продолжал толкать перпендикулярно в течение 2,00 с, он дал бы карусели угловую скорость 13,3 рад / с, когда она пуста, и только 8,89 рад / с, когда на ней сидит ребенок. В оборотах в секунду эти угловые скорости составляют 2,12 об / с и 1,41 об / с соответственно. В первом случае отец разгонялся до 50 км / ч. Летние Олимпийские игры, вот он! Подтверждение этих чисел оставлено читателю в качестве упражнения.

классическая механика — Почему угловой момент объекта вокруг своей оси равен моменту количества движения неподвижной параллельной оси?

Угловой момент — это не величина, которая стоит сама по себе. Угловой момент не описывает ось вращения или что-то конкретное с движением в целом. Угловой момент описывает только , где действует поступательный момент в пространстве. В некотором смысле угловой момент — это просто момент количества движения . Аналогично тому, как крутящий момент является моментом силы.

Оба имеют одинаковое определение

$$ \ begin {align} \ boldsymbol {L} & = \ boldsymbol {r} \ times \ boldsymbol {p} & \ boldsymbol {\ tau} = \ boldsymbol {r} \ times \ boldsymbol {F} \ end {align} $$

, где часть $ \ boldsymbol {r} \ times $ буквально учитывает расстояние по перпендикуляру к оси импульса (оси удара) или оси силы (линии действия).

Но подождите, это не поступательный импульс всегда через центр масс, поскольку $ \ boldsymbol {p} = m \, \ boldsymbol {v} _ {\ rm CM} $.

Один из способов определить импульс — это куда и насколько ударить объект , чтобы полностью остановить его движение . Требуемый импульс должен действовать вдоль оси импульса и иметь равную и противоположную величину импульсу. Таким образом, импульс мгновенно устранит как поступательный, так и вращательный момент.

Итак, летящей пуле действительно нужен импульс $ — \ boldsymbol {p} $ через центр масс, и она мгновенно остановится.

Точно так же, как сила $ \ boldsymbol {F} $, проходящая через центр масс, будет иметь эквивалентный крутящий момент $ \ boldsymbol {\ tau} = \ boldsymbol {r} \ times \ boldsymbol {F} $, импульс $ \ boldsymbol {p} $ тела имеет эквивалентный вращательный момент $ \ boldsymbol {L} = \ boldsymbol {r} \ times \ boldsymbol {p} $.2} \ end {align} $$

Итак, теперь давайте посмотрим на твердое тело с моментом инерции массы. Посмотрите на камень, используемый для завивки, когда он перемещается и вращается на горизонтальной поверхности без трения (почти).

Если бы вы остановили движение камня и просто пнули его по центру масс, вы остановите поступательный импульс, но он будет продолжать вращаться, сохраняя свой вращательный момент.

Вам придется пнуть его ногой со смещением от центра масс, чтобы остановить любое движение.2} $$

Теперь это можно упростить до следующего $ \ | \ boldsymbol {r} \ | = r = \ frac {I \ omega} {mv} = \ frac {I} {mc} $, где $ I $ — момент инерции массы относительно оси вращения, $ m $ — масса, а $ c $ — расстояние между мгновенным центром вращения (поскольку камень вращается и перемещается одновременно) и центром масс.

Это похоже на пул, где вы ударяете по битку со смещением $ r $, чтобы получить «английский» или «спин». Результирующий центр вращения находится в точке $ c = \ frac {I} {m r} $.

Как видно из начала координат, вращательный момент состоит из двух частей: одна из-за того, что центр масс движется со смещением относительно начала координат, а вторая из-за собственного вращения.

$$ \ boldsymbol {L} = \ mathbf {I} _ {\ rm CM} \ boldsymbol {\ omega} + \ boldsymbol {r} _ {\ rm CM} \ times \ boldsymbol {p} $$

Это тот же расчет углового момента, что и для Земли, видимой с Солнца, с компонентами как орбиты, так и вращения. 2}} $$

Эта ось важна, поскольку описывает импульсное состояние твердого тела.Импульс, приложенный вдоль оси, с равной и противоположной величиной поступательному импульсу, полностью и мгновенно остановит твердое тело.

Есть особый случай для чисто вращающегося объекта, когда однократное приложение импульса остановило бы вращение, но также сообщило бы поступательное движение. Итак, в этом случае вам нужна пара импульсов (два равных и противоположных импульса, смещенных друг относительно друга), так же как пара сил создает крутящий момент.

Решение OpenStax College Physics, Глава 10, Задача 37 (Задачи и упражнения)

Стенограмма видеозаписи

Это ответы по физике из колледжа с Шоном Дычко.Орбитальный момент Луны — это орбитальный момент инерции, умноженный на орбитальную угловую скорость. Мы можем смоделировать его как единую точечную массу на расстоянии ° от Земли, это расстояние от Земли до Луны. Это масса Луны и ее орбитальная скорость. Итак, у нас есть 7,35 умноженное на десять, чтобы получить двадцать два килограмма, умноженное на 3,84, умноженное на десять, на восемь квадратных метров, и его орбитальная скорость будет равна одной орбите, которая равна двум пи радианам, разделенным на его орбитальный период.Это время, необходимое для того, чтобы сделать один полный оборот. Таким образом, он делает два пи радиана каждые 2,36 умноженных на десять до шести секунд. Это дает 2,89 умноженных на десять до тридцати четырех килограмм-метров в секунду. Теперь что касается момента вращения, у нас есть момент инерции вращения, умноженный на угловую скорость вращения. Теперь в этом случае мы моделируем его как сферу, твердую сферу, вращающуюся вокруг оси, проходящей через диаметр. Итак, у нас есть двойная масса Луны, умноженная на радиус Луны, квадрат, деленный на пять, а затем умноженный на ее угловую скорость вращения, которая оказывается такой же, как угловая скорость ее орбиты, потому что приливные эффекты вызвали Луна вращается ровно один раз, когда она один раз обходит Землю, что является еще одним способом сказать, что одна и та же сторона Луны всегда обращена к Земле.Итак, у нас есть двойная масса, умноженная на радиус Луны, 1,74 умноженная на десять на шесть метров, квадрат, который, деленный на пять, умноженный на два пи радиана, деленный на 2,36 умноженное на десять на шесть секунд. Мы получаем 2,37 раза по десять до двадцати девяти килограмм-метров в секунду. Таким образом, эти два угловых момента различаются на порядок, на пять порядков, от десяти до тридцати четырех и от десяти до двадцати девяти. Мы этого ожидали. Мы ожидали, что угловой момент вращения будет намного меньше, чем орбитальный угловой момент, потому что, учитывая, что угловые скорости вращения на орбите одинаковы, поскольку они покрывают два пи радиана за один период обращения.Тогда, учитывая, что это те же самые, мы знаем, что вращательный момент инерции должен быть намного, намного меньше момента инерции для орбиты, потому что расстояние от Земли до Луны намного больше, чем радиус Луны, и поэтому это согласуется с тем, что орбитальные угловые скорости одинаковы, а момент инерции при вращении намного меньше, чем на орбите. Таким образом, угловой момент вращения меньше орбитального момента.

Какая сила заставляет Землю вращаться вокруг собственной оси? Может ли его вращение когда-нибудь замедлиться? | Примечания и запросы

СПЕКУЛЯТИВНАЯ НАУКА

Какая сила заставляет Землю вращаться вокруг собственной оси? Может ли его вращение когда-нибудь замедлиться?

Брендан О’Брайен, Уотфорд, Великобритания

В конце концов, одна сторона Земли всегда будет обращена к Солнцу. (поскольку одна и та же сторона Луны всегда обращена к Земле) Солнечная гравитационные силы в конечном итоге замедлят скорость вращения Земли до одного оборота в год (одна и та же сторона Земли всегда будет обращена к Солнцу)
Ларри Дж., Молайн, США

Простой.Коровы летают, но не собаки, поэтому собаки нападают на коров, а коровы бегут на Луну или «прыгают на Луну» — и сила их ног, отталкивающая землю, заставляет ее вращаться.
Озотен, Озотрен

Кто-нибудь когда-нибудь спрашивал у Бога ответ ??? эти ответы кажутся великой комедией, какой ответ правильный ???
Mano, Ченнаи Индия

Одной из причин вращения Земли является гравитация. Еще одна причина того, что в центре Земли находится огромный шар из жидкого железа.Он всегда вращается, и вместе с ним вращается и Земля.
Mary Lam, Пекин, Китай

Ответ прост и возвышен: Земля вращается, потому что этого хочет Бог. Нет никакого научного объяснения или теории, которые можно было бы доказать.
Спиннинг, Хонг Ког

У меня есть так много ответов выше на вопрос, как земля вращается и как она вращается точно вокруг своей оси, как она поддерживает свою ось и свою скорость и как это может происходить постоянно, когда она окружена вакуумом.Даны ответы: угловой момент, момент инерции и внутренняя динамика, но Я бы задала этот вопрос всем. Если у вас есть правильные ответы на все эти QQ. Почему до сих пор ни одно тело не может смоделировать подобный образец малобюджетной планеты или вселенной в условиях невесомости или вакуумного ящика. Возьмем даже прозрачный вакуумный ящик размером с автобус, машину или комнату. Может ли кто-нибудь создать планету из массы, окруженную газом, и показать демонстрацию того, как работают Земля и другие планеты ??????????????????????
balaji, Ченнаи Индия

«ТЕОРИЯ ТРИОРИГИНА», открытая проф.У Пак Джэ У есть четкие ответы, стоящие за этим чудо-миром, потому что он обнаружил, что самый фундаментальный порядок (сознания), вечно существующий, — это этот чудо-мир. Профессор Пак также является основателем мировых практик суджок-терапии и оннури-медицины.
Dr Jain, Бхопал, Индия

Согласно специальной и общей теории относительности (лучшая модель ньютоновской механики в небесном масштабе). Земля катится в четырехмерном пространстве. Другие ответы выше также действительны.(Угловой момент). Принципы этого легко продемонстрировать.
Даррен, Стэнмор Англия

Моя теория: Геологические силы, подобные измельчению тектонических плит (т.е. возвратно-поступательная сила, переходящая в круговое движение, как в одном из устройств Да Винчи). Если бы вся геологическая активность прекратилась, вращение Земли в конечном итоге замедлилось бы и остановилось бы так же, как наша Луна.
Брайан, Баунд-Брук, США

Добавьте свой ответ

12.КАТАНИЕ, МОМЕНТ И УГЛОВОЙ МОМЕНТ

12. КАТАНИЕ, МОМЕНТ И УГЛОВОЙ МОМЕНТ

Рисунок 12.1. Вращательное движение колеса

Колесо, катящееся по поверхности, имеет как линейное, так и вращательное скорость. Предположим, угловая скорость колеса [омега]. В дается соответствующая линейная скорость любой точки на ободе колеса. по

где R — радиус колеса (см. рисунок 12.1). Когда колесо соприкасается с землей, его нижняя часть покоится по отношению к земля. Это означает, что помимо вращательного движения колесо совершает поступательное движение со скоростью, равной + v _см (см. рисунок 12.2). Делаем вывод, что верх колеса движется вдвое быстрее центра, а нижняя часть колеса вообще не двигается.

Рисунок 12.2. Движение колеса складывается из вращательного и поступательного движение.

Альтернативный способ взглянуть на движение колеса — рассматривать его как чистое вращение (с той же угловой скоростью [омега]) вокруг мгновенного неподвижная ось через нижнюю часть колеса (точка P, рисунок 12.3).

Рисунок 12.3. Движение колеса вокруг оси через P.

Кинетическая энергия колеса, показанного на рисунке 12.3, может быть легко вычислена. используя формулы, полученные в главе 11

где I _P — инерция вращения вокруг оси через P, а [омега] — скорость вращения колеса.Вращательная инерция вокруг оси, проходящей через P, I _P, связано с инерцией вращения вокруг оси, проходящей через центр масс, I _см

Кинетическую энергию колеса теперь можно переписать как

где первый член — кинетическая энергия, связанная с вращением колеса вокруг оси, проходящей через его центр масс, а второй член равен связанный с поступательным движением колеса.

Пример задачи 12-1

На рисунке 12.4 показан диск с массой M и инерцией вращения I на наклонном самолет. Масса выпущена с высоты h. Какова его конечная скорость при низ самолета?

Диск выходит из состояния покоя. Его полная механическая энергия в этот момент равна равна его потенциальной энергии

Когда диск достигает нижней части плоскости, весь его потенциал энергия преобразуется в кинетическую энергию.Кинетическая энергия диска будет состоят из вращательной и поступательной кинетической энергии:

Момент инерции диска равен

где R — радиус диска. Кинетическая энергия диска может теперь можно переписать как

Рисунок 12.4. Масса на наклонной плоскости.

Сохранение механической энергии означает, что E _i = E _f или

Это показывает, что скорость диска равна

Теперь рассмотрим два разных диска с одинаковой массой M, но разными. моменты инерции.В этом случае конечная кинетическая энергия может быть записана как

Для сохранения энергии теперь требуется

или

Делаем вывод, что в данном случае диск с наименьшим моментом инерция имеет наибольшую конечную скорость .

Рисунок 12.5. Проблема 13П.

Задача 15П

Небольшой твердый шарик массы m и радиуса r катится, не скользя по контурная дорожка, показанная на рисунке 12.5, вышедший из покоя где-то на прямом участке трассы. С какой минимальной высоты над нижней частью дорожки должен быть выпущен шарик, чтобы не уйти дорожка вверху петли.

Мрамор не покинет след наверху петли, если центростремительный сила превышает силу тяжести в этой точке:

или

Кинетическая энергия мрамора наверху состоит из вращательной энергии. и поступательная энергия

где мы предположили, что шарик катится по дорожке (нет скольжение).Момент инерции мрамора равен

Используя это выражение, получаем для кинетической энергии

Мрамор достигнет вершины, если

Общая механическая энергия мрамора в верхней части loop-the-loop равно

Начальная энергия мрамора — это всего лишь его потенциальная энергия на высота h

Сохранение энергии теперь означает, что

или

Пример задачи 12-2: йо-йо

Рисунок 12.6. Йо-йо.

На рисунке 12.6 схематично изображено йо-йо. В чем его линейность ускорение?

На йо-йо действуют две силы: восходящая сила, равная натяжению. в шнуре и гравитационной силе. Ускорение системы зависит от этих двух сил:

Вращательное движение йо-йо определяется прилагаемым крутящим моментом. натяжением T (момент силы тяжести равен нулю)

Ускорение вращения a связано с линейным ускорением а:

Теперь мы можем записать следующие уравнения для натяжения T

Теперь можно рассчитать линейное ускорение a

Таким образом, йо-йо скатывается по струне с постоянным ускорением.Ускорение может быть уменьшено за счет увеличения инерции вращения и за счет уменьшения радиуса оси.

Рисунок 12.7. Движение частицы P в плоскости x-y.

Частица с массой m движется в плоскости x-y (см. Рис. 12.7). А единственная сила F действует на частицу, и угол между силой и вектор положения — [фи]. По определению, крутящий момент, прилагаемый этой силой к масса относительно начала нашей системы координат равна

где r _[invtee] называется плечом силы F относительно происхождения.Согласно определению векторного произведения, вектор [тау] лежит параллельно оси z, а его направление (вверх или вниз) можно определить с помощью правила правой руки. Определенный таким образом крутящий момент имеет значение только по отношению к указанному происхождению. Направление крутящий момент всегда находится под прямым углом к плоскости, образованной векторами r и F. Крутящий момент равен нулю, если r = 0 м, F = 0 Н или r параллельно или антипараллельно относительно F.

Угловой момент L частицы P на рисунке 12.7, относительно происхождение, определяется как

Из этого определения следует, что если частица удаляется прямо от начала координат или прямо к нему, угловой момент, связанный с это движение равно нулю. Частица будет иметь другой угловой момент, если origin выбирается в другом месте. Частица, движущаяся по кругу, будет имеют угловой момент (относительно центра окружности), равный

Мы снова замечаем сходство между определением линейного импульс и определение момента количества движения.

Частица может иметь угловой момент, даже если она не движется в круг. Например, на рисунке 12.8 показано расположение и направление импульс частицы P. Момент импульса частицы P относительно происхождение задается как

Рисунок 12.8. Угловой момент частицы P.

Изменение углового момента частицы может быть получено следующим образом: дифференцируя уравнение для l по времени

Делаем вывод, что

Это уравнение показывает, что , если чистый крутящий момент, действующий на частицу, равен нуля, его угловой момент будет постоянным .

Пример задачи 12-3

На рисунке 12.9 показан объект P в свободном падении. Объект стартует с покоя на положение, указанное на рисунке 12.9. Каков его момент количества движения относительно к происхождению, как функция времени?

Скорость объекта P как функция времени определяется выражением

Момент импульса объекта P равен

Следовательно,

который равен моменту силы тяжести по отношению к Происхождение.

Рисунок 12.9. Свободное падение и угловой момент

Рисунок 12.10. Пара действие — реакция.

Если мы посмотрим на систему частиц, полный угловой момент L система представляет собой векторную сумму угловых моментов каждого из отдельных частицы:

Изменение полного углового момента L связано с изменением угловой момент отдельных частиц

Некоторые моменты являются внутренними, некоторые — внешними.внутренний крутящие моменты идут парами, и их векторная сумма равна нулю. Это показано на рисунке 12.10. На рисунке 12.10 показаны частицы A и B, которые взаимодействуют через центральную силу. Третий закон Ньютона гласит, что силы входят пары: если B прикладывает силу F _AB к A, то A будет прикладывать силу F _BA на B. F _AB и F _BA связаны как следует

Крутящий момент, создаваемый каждой из этих сил относительно начала координат, легко рассчитывается

Ясно, что эти два момента в сумме дают ноль

Чистый крутящий момент для каждой пары действие-реакция по отношению к происхождение, равно нулю.

Делаем вывод, что

Это уравнение — еще один способ выразить второй закон Ньютона. в угловых величинах.

Предположим, мы имеем дело с твердым телом, вращающимся вокруг оси z. В импульс каждого массового элемента параллелен плоскости x-y, и перпендикулярно вектору положения. Величина углового момента этот элемент массы

Компонент z этого углового момента равен

Z-компонента полного углового момента L твердого тела может можно получить суммированием по всем элементам массы в теле

Из определения инерции вращения твердого тела мы можем сделать вывод, что

Это проекция полного углового момента на вращение ось.Вращательная инерция I в этом уравнении также должна быть рассчитана с помощью относительно той же оси вращения. Только если ось вращения симметрична оси твердого тела будет ли вектор полного момента импульса совпадать с ось вращения.

Если никакие внешние силы не действуют на систему частиц или если внешний крутящий момент равен нулю, полный угловой момент системы сохраняется. В угловой момент остается постоянным, независимо от того, какие изменения происходят в система.

Задача 54E

Инерция вращения коллапсирующей вращающейся звезды изменяется до одной трети от его начальное значение. Каково отношение новой кинетической энергии вращения к начальная кинетическая энергия вращения?

Конечная инерция вращения I _f связана с начальной инерция вращения I _i следующим образом

На систему не действуют никакие внешние силы, а полный угловой момент равен законсервировано

Начальная кинетическая энергия вращения равна

Конечная кинетическая энергия вращения определяется как

Рисунок 12.11. Задача 61П.

Задача 61П

Таракан с массой m бегает против часовой стрелки по ободку ленивого Susan (круглая тарелка, установленная на вертикальной оси) радиуса R и вращательного инерция I с подшипниками качения. Скорость таракана (относительно земля) равна v, тогда как ленивая Сьюзен вращается по часовой стрелке с угловой скоростью [омега] ₀. Таракан находит на ободке хлебную крошку и конечно, останавливается.а) Какова угловая скорость ленивой Сьюзен после таракан останавливается? (б) Сохраняется ли механическая энергия?

Предположим, что ленивая Сьюзен расположена в плоскости x-y (см. Рис. 12.11). Инерционный момент таракана составляет ^м. v. Угловой момент таракана, относительно происхождения, дается по номеру

Направление момента количества движения можно найти, используя правую правило.Направление оси z выбрано таким, чтобы угловой момент таракан совпадает с положительной осью z. Ленивая Сьюзен движется по часовой стрелке (см. рисунок 12.11), а его угловой момент указывает вдоль отрицательная ось z. Его угловой момент равен
.

где I — инерция вращения тарелки. Обратите внимание, что поскольку вращение по часовой стрелке, [omega] ₀ меньше нуля. Общая угловой момент системы равен

Инерция вращения тарелки плюс таракан равна
.

Поскольку внешний крутящий момент, действующий на систему, равен нулю, общий угловой момент сохраняется.Скорость вращения системы после остановки тараканов предоставляется по номеру

Начальная кинетическая энергия системы равна

Конечная кинетическая энергия системы равна

Изменение кинетической энергии системы

Изменение кинетической энергии системы отрицательное, и мы сделать вывод, что механическая энергия не сохраняется.Утрата механического энергия возникает из-за работы, совершаемой силой трения между поверхностью ленивая Сьюзен и ноги таракана.

Рисунок 12.12. Прецессирующая вершина.
Волчок, установленный на вращение, будет медленно вращаться вокруг вертикальной оси. Это движение называется прецессией. Для любой точки на оси вращения вверху вектор положения параллелен вектору углового момента.
Вес верха создает внешний крутящий момент относительно начала координат ( система координат определяется так, чтобы начало координат совпало с контактом точка верха на полу, см. рисунок 12.12). Величина этого крутящего момента это

Направление крутящего момента перпендикулярно вектору положения и к силе. Это также означает, что крутящий момент перпендикулярен угловой момент волчка. Внешний крутящий момент вызывает изменение угловой момент системы

Это уравнение показывает, что изменение углового момента dL, которое происходит за время, когда dt должен указывать в том же направлении, что и вектор крутящего момента.Поскольку крутящий момент находится под прямым углом к L, он не может изменить величину L, но он может изменить свое направление. В результате получается поворот угловой вектор импульса вокруг оси z. Угол прецессии d [фи] связан с изменение момента количества движения системы:

Это показывает, что скорость прецессии равна

Это уравнение показывает, что чем быстрее волчок вращается, тем медленнее он вращается. прецессы.Кроме того, прецессия равна нулю, если g = 0 м / с ² и прецессия не зависит от угла [тета].
Отправляйте комментарии, вопросы и / или предложения по электронной почте на адрес [email protected] и / или посетите домашнюю страницу Фрэнка Вольфса. .

вращение относительно оси

1.3.2. Момент силы. Момент инерции и момент импульса атт

3. Задачи по Динамике вращательного движения

3.1. Момент инерции и момент импульса абсолютно твердого тела

II. Физические основы механики. Модуль №2 2 страница

Момент силы. Момент инерции и момент импульса АТТ

StudyPort.Ru — Вращательное движение твердых тел

Момент инерции и момент импульса абсолютно твердого тела

Торговля Момент инерции и момент импульса абсолютно твердого тела

Читайте также

11.3: Угловой момент — Physics LibreTexts

Угловой момент отдельной частицы

Угловой момент системы частиц

Угловой момент твердого тела

Авторы и ссылки

Энергия и угловой момент

Энергия и угловой момент

Прокат

Пример:

Задача:

Модуль 6: Вопрос 2

Пример:

Проблема:

Проблема:

Задача:

Сохранение углового момента

Задача:

Глава 10 Карточки | Quizlet

классическая механика — Почему угловой момент объекта вокруг своей оси равен моменту количества движения неподвижной параллельной оси?

Решение OpenStax College Physics, Глава 10, Задача 37 (Задачи и упражнения)

Какая сила заставляет Землю вращаться вокруг собственной оси? Может ли его вращение когда-нибудь замедлиться? | Примечания и запросы

12.КАТАНИЕ, МОМЕНТ И УГЛОВОЙ МОМЕНТ

alexxlab

Добавить комментарий Отменить ответ

Рубрики