6.2. Найти единичный вектор того же направления что и .
Единичный вектор находится: , где– модуль вектора.
Находим
тогда
Ответ: .
Примечание. Координаты единичного вектора должны быть не больше единицы.
6.3. Найти длину и направляющие косинусы вектора . Сравните с ответом в предыдущем пункте. Сделайте выводы.
Длина вектора – это есть его модуль:
, а направляющие косинусы мы можем найти по формуле одного из способов задания векторов:
Из полученного мы видим, что направляющие косинусы это и есть координаты единичного вектора.
Ответ: ,,,.
6.4. Найти .
Необходимо выполнить действия умножения вектора на число, сложения и модуль.
Почленно перемножаем координаты векторов на число.
Почленно складываем координаты векторов.
Находим модуль
вектора.
Ответ:
6.5. Определить координаты вектора , коллинеарного вектору, зная, чтои он направлен в сторону, противоположную вектору.
Вектор коллинеарен вектору, значит, его единичный вектор равен единичному векторутолько со знаком минус, т.к. направлен в противоположную сторону.
Единичный вектор имеет длину равную 1, значит, если его умножить на 5, то его длинна будет равна пяти.
Находим
Ответ:
6.6. Вычислить скалярные произведения и. Перпендикулярны ли векторыи,имежду собой?
Выполним скалярное произведение векторов.
Если вектора перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.
Мы видим, что в нашем случае вектораиперпендикулярны.
Ответ: ,, векторы не перпендикулярны.
Примечание. Геометрический смысл скалярного
произведения малоприменим на практике,
но все-таки существует.
Результат такого
действия можно изобразить и вычислить
геометрически.
6.7. Найти работу, совершённую материальной точкой к которой приложена сила , при перемещении её из точки B в точку С.
Физический смысл скалярного произведения – это работа. Вектор силы здесь , вектор перемещения – это. А произведение этих векторов и будет искомой работой.
Находим работу
Ответ: -3.
6.8. Найти внутренний угол при вершине A и внешний угол при вершине C треугольника ABC.
Из определения, скалярного произведения векторов получим формулу нахождения угла: .
Далее, нам нужно определить вектора, между которыми будем искать угол.
Внутренний угол будем искать как угол между векторами, выходящими из одной точки.
Для нахождения
внешнего угла нужно совмещать вектора,
таким образом, чтоб они выходили из
одной точки.
Стоит заметить, что , только имеют разные начальные координаты.
Находим необходимые вектора и углы
Ответ: внутренний угол при вершине А = , внешний угол при вершине В =.
Вспомним вектора-орты: ,,.
Проекция находится также из скалярного произведения
–проекция b на a.
Ранее полученные нами вектора
, ,
Находим проекцию
Находим вторую проекцию
Ответ: ,
Примечание. Знак минуса при нахождении проекции означает то, что проекция опускается не на сам вектор, а в противоположную сторону, на линию на которой лежит этот вектор.
6.10. Вычислить .
Выполним векторное произведение векторов
Найдем модуль
Синус угла между векторами найдём из определения векторного произведения векторов
Ответ:
,,.
6.11. Найти площадь треугольника
Геометрический смысл модуля векторного произведения состоит в том, что это площадь параллелограмма, образованного этими векторами. А площадь треугольника равна половине площади параллелограмма.
Площадь треугольника также можно найти как произведение высоты, на основание, делённое на два, из этого можно вывести формулу нахождения высоты.
Таким образом, найдём высоту
Ответ: ,.
6.12. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам и.
Результатом скалярного произведения есть вектор, который перпендикулярный двум исходным. А единичный вектор – это вектор, делённый на его длину.
Ранее, нами было найдено:
,
Ответ: .
6.13. Определить
величину и направляющие косинусы момента
силы
,
приложенной к А относительно точки С.
Физический смысл векторного произведения – это момент силы. Приведём иллюстрацию к данному заданию.
Находим момент силы
Ответ: .
6.14. Лежат ли векторы ,ив одной плоскости? Могут ли эти векторы образовывать базис пространства? Почему? Если могут, разложите по этому базису вектор.
Чтобы проверить лежат ли вектора в одной плоскости необходимо выполнить смешанное произведение этих векторов.
Смешанное произведение не равно нулю, следовательно, вектора не лежат в одной плоскости (не компланарные) и могут образовывать базис. Разложим по этому базису.
Разложим по базису, решив уравнение
Ответ: Векторы ,ине лежат в одной плоскости..
6.15. Найти . Чему равен объём пирамиды с вершинами A, B, C, D и её высота, опущенная из точки A на основание BCD.
Геометрический
смысл смешанного произведения в том,
что это объём параллелепипеда образованного
этими векторами.
Объём же пирамиды в шесть раз меньше объёма параллелепипеда.
Объём пирамиды, ещё можно найти так:
Получим формулу нахождения высоты
Находим
Находим высоту
Ответ: объём = 2.5, высота =.
6.16. Вычислить и.
–над этим заданием предлагаем вам подумать самим.
–выполним произведение.
Ответ: .
6.17. Вычислить
Выполним действия по частям
1)
2)
3)
4)
5)
Суммируем полученные значения
Ответ: .
6.18. Найти вектор , зная, что он перпендикулярен векторами, а его проекция на векторравна 5.
Разобьем данную задачу на две подзадачи
1) Найдём вектор, перпендикулярный векторам ипроизвольной длинны.
Перпендикулярный вектор мы получим в результате векторного произведения
Ранее, нами было найдено:
Искомый вектор отличается лишь длинной, от полученного
2) Найдем через уравнение
Ответ:
6.
19. Найти вектор
,
удовлетворяющий условиям,,.
Рассмотрим более детально данные условия.
Это система линейных уравнений. Составим и решим данную систему.
Ответ:
6.20. Определить координаты какого-либо вектора , компланарного с векторамии, и перпендикулярного вектору.
В данном задании два условия: компланарность векторов и перпендикулярность, выполним сначала первое условие, а потом второе.
1) Если вектора компланарны, значит их смешанное произведение равно нулю.
Отсюда получим некоторую зависимость координат вектора
Найдем вектор .
2) Если вектора перпендикулярны, значит их скалярное произведение равно нулю
Мы получили вторую зависимость координат искомого вектора
Для любого значения вектор будет удовлетворять условиям. Подставим.
Ответ: .
Аналитическая геометрия
Как найти орт вектора? Ответ на webmath.
{2}}}=\frac{-2 \cdot \bar{i}+2 \cdot \bar{j}}{\sqrt{4+4}}=\frac{-2 \cdot \bar{i}+2 \cdot \bar{j}}{\sqrt{8}}=$$
$$=\frac{-2 \cdot \bar{i}+2 \cdot \bar{j}}{2 \sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \bar{i}+\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \bar{j}$$Таким образом, искомый орт вектора $\bar{a}$ имеет координаты $\bar{e}=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}} ; \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
Ответ. $\bar{e}=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}} ; \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Даны точки $A(3 ;-1 ; 4)$ и $B(2 ; 0 ; 2)$ . Найти орт вектора $\overline{A B}$
Решение. Найдем координаты вектора $\overline{A B}$, для этого из координат конца вектора (точки $B$ ) вычтем соответствующие координаты начала (точки $A$ ):
$$\overline{A B}=(2-3 ; 0-(-1) ; 2-4)=(-1 ; 1 ;-2)$$Для нахождения орта полученного вектора воспользуемся формулой
$$\bar{e}=\frac{a_{x} \cdot \bar{i}+a_{y} \cdot \bar{j}+a_{z} \cdot \bar{k}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}$$Подставим в неё координаты вектора $\overline{A B}$, будем иметь:
$$\bar{e}=\frac{-1 \cdot \bar{i}+1 \cdot \bar{j}-2 \cdot \bar{k}}{\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}+(-2)^{2}}}=\frac{-1 \cdot \bar{i}+1 \cdot \bar{j}-2 \cdot \bar{k}}{\sqrt{1+1+4}}=$$ $$=\frac{-1 \cdot \bar{i}+1 \cdot \bar{j}-2 \cdot \bar{k}}{\sqrt{6}}=-\frac{1}{\sqrt{6}} \cdot \bar{i}+\frac{1}{\sqrt{6}} \cdot \bar{j}-\frac{2}{\sqrt{6}} \cdot \bar{k}$$Таким образом, орт вектора $\overline{A B}$ имеет координаты $\bar{e}=\left(-\frac{1}{\sqrt{6}} ; \frac{1}{\sqrt{6}} ;-\frac{2}{\sqrt{6}}\right)$
Ответ.
$\bar{e}=\left(-\frac{1}{\sqrt{6}} ; \frac{1}{\sqrt{6}} ;-\frac{2}{\sqrt{6}}\right)$
Читать дальше: как найти вектор по точкам.
Как найти единичные векторы и базисные векторы — Криста Кинг Математика
Что такое единичные векторы и базисные векторы?
Мы знаем, что каждый вектор по своему определению содержит информацию о своем направлении и величине (помните, что «величина» означает просто «длину»).
Привет! Я Криста.
Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.
Единичный вектор
Любой вектор с величиной ???1??? называется единичным вектором, ???\vec{u}???. В общем случае единичный вектор не обязательно должен указывать в определенном направлении. Пока вектор имеет длину в одну единицу, это единичный вектор.
Но часто нас интересует изменение конкретного вектора ???\vec{v}??? (с длиной, отличной от ???1???), в соответствующий единичный вектор.
В этом случае этот единичный вектор должен указывать в том же направлении, что и ???\vec{v}???. 92???.
Как найти единичный вектор и базисные векторы
Пройти курс
Хотите узнать больше о линейной алгебре? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂
Нахождение единичного вектора в направлении некоторого другого вектора
Пример
Нахождение единичного вектора в направлении ???\vec{v}=(-4,-2)??? . 92}???
???||\vec{v}||=\sqrt{16+4}???
???||\vec{v}||=\sqrt{20}???
Единичный вектор ???\vec{u}??? ???1??? единица длины и находится прямо поверх ???\vec{v}???, указывая в том же направлении, что и ???\vec{v}???, так что это может выглядеть примерно так:
Меньший треугольник, образованный единичным вектором ???\vec{u}??? подобен большему треугольнику, образованному ???\vec{v}???.
Итак, мы можем составить пропорцию, чтобы найти горизонтальную составляющую ???\vec{u}???.
???\frac{-4}{\sqrt{20}}=\frac{a}{1}???
???a=\frac{-4}{\sqrt{20}}=-\frac{2}{\sqrt{5}}???
Установите соотношение, чтобы найти вертикальную составляющую единичного вектора.
???\frac{-2}{\sqrt{20}}=\frac{b}{1}???
???b=\frac{-2}{\sqrt{20}}=-\frac{1}{\sqrt{5}}???
Следовательно, мы можем сказать, что единичный вектор в направлении ???\vec{v}=(-4,-2)??? имеет компоненты
???\vec{u}=\left(-\frac{2}{\sqrt{5}},-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)???
Если мы рационализируем здесь знаменатели (как мы научились делать это еще в алгебре), мы можем сказать, что единичный вектор, который указывает в том же направлении, что и ???\vec{v}=(-4,-2)? ??
???\vec{u}=\left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}},-\frac{ 1}{\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\right)???
???\vec{u}=\left(-\frac{2\sqrt{5}}{5},-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)???
В этом последнем примере мы нашли единичный вектор, сначала используя теорему Пифагора, чтобы найти величину данного вектора, а затем используя долю подобных треугольников, чтобы найти компоненты ???\vec{u}? ???.
Но есть более простой способ найти единичный вектор, указывающий на ???\vec{v}???. Единичный вектор, указывающий в направлении ???\vec{v}??? всегда дается 92}=\sqrt{1+16+4}=\sqrt{21}???
Затем подключить ???||\vec{v}||??? и ???\vec{v}??? в формулу для ???\vec{u}??? найти направление ???\vec{v}???.
???\vec{u}=\frac{1}{||\vec{v}||}\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{21}}\begin{bmatrix} 1\\4\\-2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{21}}\\ \frac{4}{\sqrt{21}}\\-\frac {2}{\sqrt{21}}\end{bmatrix}???
Базисные векторы
Часто единичный вектор записывается как ???\hat{u}???, а не в типичном векторном обозначении ???\vec{u}???. Маленькая «шапочка» над ???u??? там, чтобы сказать нам, что длина вектора???1???. Каждый раз, когда вы видите вектор со «шляпой», это означает, что длина вектора равна ???1???, поэтому обычно это обозначение используется конкретно для единичного вектора.
Есть несколько специальных единичных векторов, которые мы будем часто использовать как в векторном исчислении, так и в линейной алгебре.
Они называются стандартными базисными векторами.
В двумерном пространстве мы определяем два определенных базисных вектора, ???\hat{i}=(1,0)??? и ???\шляпа{j}=(0,1)???. Как видно из их компонентов, они оба имеют длину ???1???. В трехмерном пространстве базисные векторы равны ???\hat{i}=(1,0,0)???, ???\hat{j}=(0,1,0)???, и ???\шляпа{к}=(0,0,1)???.
Иногда вы увидите, что базисные векторы представлены без «шляпы», так же как выделенные полужирным шрифтом символы ???\bold{i}???, ???\bold{i}??? и ??? \жирный{я}???. 92??? в качестве отправной точки мы можем фактически построить каждый вектор в двумерном пространстве, просто добавляя масштабированные комбинации ???\hat{i}??? и ???\шляпа{j}???. Мы определим это более подробно позже, но эти масштабированные комбинации (суммы масштабированных векторов) называются линейными комбинациями.
Например, вектор ???\vec{a}=(6,4)??? движется ???6??? единиц в горизонтальном направлении, или ???\шляпа{i}??? раз ???4???. Он также движется ???4??? единиц в вертикальном направлении, или ???4??? раз ???\шляпа{j}???.
Таким образом, мы могли бы написать линейную комбинацию, которая выражает вектор, где мы масштабируем ???\hat{i}=(1,0)??? на ???6??? и масштаб ???\hat{j}=(0,1)??? на ????4??.
???\vec{a}=(6,4)=6\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}+4\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}?? ?
???\vec{a}=(6,4)=\begin{bmatrix}6\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\4\end{bmatrix}???
???\vec{a}=(6,4)=\begin{bmatrix}6+0\\0+4\end{bmatrix}???
???\vec{a}=(6,4)=\begin{bmatrix}6\\4\end{bmatrix}???
Это означает, что мы можем определить новую нотацию для выражения вектора:
???\vec{a}=(6,4)=6\hat{i}+4\hat{j}???
Мы выражали векторы как координатную точку, как матрицы строк и столбцов, а теперь как комбинацию базисных векторов ???\hat{i}??? и ???\шляпа{j}???. 93???, то есть ???\шляпа{i}=(1,0,0)???, ???\шляпа{j}=(0,1,0)???, и ?? ?\шляпа{к}=(0,0,1)???.
Переезжаем ???-3??? единиц в направлении оси ???x???, ???2??? единиц в направлении оси ???y???, а ???-1??? единиц в направлении оси ???z???.
???\vec{a}=(-3,2,-1)=-3\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}0\\ 1\\0\end{bmatrix}-1\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}???
???\vec{a}=(-3,2,-1)=\begin{bmatrix}-3\\0\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\2\ \0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\0\\-1\end{bmatrix}???
???\vec{a}=(-3,2,-1)=\begin{bmatrix}-3+0+0\\ 0+2+0\\ 0+0-1\end{bmatrix }???
???\vec{a}=(-3,2,-1)=\begin{bmatrix}-3\\ 2\\ -1\end{bmatrix}???
Итак, мы можем выразить ???\vec{a}=(-3,2,-1)??? с точки зрения базисных векторов как
???\vec{a}=-3\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}???
Получить доступ к полному курсу линейной алгебры
Изучение математикиКриста Кинг математика, изучение онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, линейная алгебра, единичные векторы, базисные векторы, линейные комбинации
0 лайковЕдиничные векторы — Mathonline
Единичные векторы
Сгиб Содержание Единичные векторы Пример 1 Пример 2 |
Определение: Вектор $\vec{u}$ считается единичным вектором , если норма $\vec{u}$ равна $1$, то есть $\| \vec{и} \| = 1$. 2} = \ sqrt {\ frac {1 {4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$. 92} = \sqrt{25} = 5$. Если бы мы хотели найти единичный вектор, который идет в том же направлении, что и $\vec{u}$, все, что мы сделали бы, это применили бы нашу формулу, то есть $\vec{u}_{unit} = \vec{u} \фракция{1}{\| \vec{u} \|} = (3, 4) \cdot \frac{1}{5} = (\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$.Пример 1Найдите единичный вектор, который идет в том же направлении, что и вектор $\vec{u} = (1, 2, 3)$, а затем убедитесь, что этот новый вектор имеет величину $1$ и идет в в том же направлении, что и $\vec{u}$. Чтобы решить это уравнение, нам сначала нужно вычислить $\| \vec{u} \|$: 92} \\ \| \vec{и} \| = \sqrt{14} \end{align} Теперь мы можем применить приведенную выше формулу, чтобы найти единичный вектор, который идет в том же направлении, что и вектор $\vec{u}$, и имеет величину 1. (3)\begin{align} \vec{u}_{unit} = \vec{u} \frac{1}{\| \vec{u} \|} \\ \vec{u}_{единица} = (1, 2, 3) \cdot \frac{1}{\sqrt{14}} \\ \vec{u}_{ unit} = (\frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}) \end{align} Проверить величину этого вектора довольно просто.  |
