Site Loader
2dA$$
где [math]\rho[/math] – расстояние от площадки dA до полюса, относительно которой вычисляется полярный момент инерции.

Центробежным моментом инерции сечения относительно осей x и y называется сумма произведений элементарных площадок dA на их расстояния до этих осей:
$$J_{xy} = \int_{A}x y dA$$
где x,у — расстояние от элементарной площадки dA до осей х и y (смотри рисунок).

Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным и, в частном случае, равным нулю. Если взаимно перпендикулярные оси x и y или одна из них являются осями симметрии фигуры, то относительно таких осей центробежный момент инерции равен нулю. [math]J_{xy} = 0[/math].

Полярный момент инерции относительно какой – либо точки равен сумме осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей, проходящих через эту точку. $$J_{\rho} = J_x + J_y $$

Содержание

Зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей

Формулы для моментов инерции при параллельному переносе осей:
$$J_{x_{1}} = \int_{A}(y+a)^2dA = J_{x} +2aS_x + a^2A$$
$$J_{y_{1}} = \int_{A}(x+b)^2dA = J_{y} + 2bS_y + b^2A$$
$$J_{x_{1}y_1} = \int_{A}(y+a)(x+b)dA = J_{x y} + aS_y+ bS_x + abA$$

Если Sx и Sy равны нулю.2 \alpha + J_{xy} sin (2\alpha)$$

и для центробежного момента инерции: $$J_{x_1 y_1} = {J_x – J_y\over 2}* sin(2\alpha) + J_{xy} cos(2\alpha)$$

Некоторые свойства моментов инерции сечения

  • Размерность – длина4 ( обычно см4)
  • Осевой и полярный моменты инерции – величины всегда положительные, так как координаты произвольной площадки входят в формулы в квадрате.
  • При повороте осей сумма осевых моментов инерции не изменяется. $$J_{x_1} + J_{y_1} = J_x + J_y$$
  • Полярный момент инерции относительно точки равен сумме осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей, проходящих через эту точку: [math] J_p=J_x+J_y[/math]
  • Момент инерции составного сечения равен сумме моментов инерции элементов этого сечения.


Связанные статьи

метки: момент инерции

4.2. Осевые, полярный и центробежный моменты инерции

Рассмотрим еще несколько геометрических характеристик плоских фигур. Одна из этих характеристик носит название осевого или экваториального момента инерции. Эта характеристика относительно осей и(Рис.4.1) принимает вид:

; . (4.4)

Основным свойством осевого момента инерции является то, что он не может быть меньше нуля или равным нулю. Этот момент инерции всегда больше нуля: ;. Единица измерения осевого момента инерции – (длина4).

Соединим отрезком прямой линии начало координат с бесконечно малой площадьюи обозначим этот отрезок буквой(Рис.4.4). Момент инерции фигуры относительно полюса – начала координат – называется полярным моментом инерции:

. (4.5)

Этот момент инерции так же, как и осевой, всегда больше нуля () и имеет размерность – (длина4).

Запишем условие инвариантности суммы экваториальных моментов инерции относительно двух взаимно перепендикулярных осей. Из рис.4.4 видно, что .

Рис.4.4

Подставим это выражение в формулу (4.5), получим:

(4.6)

Формулируется условие инвариантности следующим образом: сумма осевых моментов инерции относительно двух любых взаимно перпедикулярных осей есть величина постоянная и равная полярному моменту инерции относительно точки пересечения этих осей.

Момент инерции плоской фигуры относительно одновременно двух взаимно перепендикулярных осей называется двухосным или центробежным моментом инерции. Центробежный момент инерции имеет следующий вид:

. (4.7)

Центробежный момент инерции имеет размерность – (длина4). Он может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называютсяглавными осями инерции

. Докажем, что ось симметрии плоской фигуры является главной осью.

Рассмотрим плоскую фигуру, изображенную на рис.4.5.

Рис.4.5

Выберем слева и справа от оси симметрии два элемента с бесконечно малой площадью. Центр тяжести всей фигуры находится в точке С. Поместим начало координат в точку С и обозначим координаты выбранных элементов по вертикали буквой“”, по горизонтали – для левого элемента “”, для правого элемента “”. Вычислим сумму центробежных моментов инерции для выбранных элементов с бесконечно малой площадью относительно осей и:

(4.8)

Если проинтегрировать выражение (4.8) слева и справа, получим:

, (4.9)

так как, если ось является осью симметрии, то для любой точки, лежащей слева от этой оси, всегда найдется ей симметричная.

Анализируя полученное решение, приходим к выводу, что ось симметрии является главной осью инерции. Центральная осьтакже является главной осью, хотя она и не является осью симметрии, так как центробежный момент инерции вычислялся одновременно двух осейии оказался равным нулю.

Знак — центробежный момент — инерция

Знак — центробежный момент — инерция

Cтраница 1

Знак центробежного момента инерции в рассматриваемых случаях нетрудно установить непосредственно по чертежу, так сказать, прикинуть, каких слагаемых ( положительных или отрицательных) будет больше при суммировании подынтегральных выражений. На рис. 5.10, в заштрихованы квадранты сечения / и / / /, для которых произведения ХоУо, а значит и величины x0yodA, положительны.  [1]

Как отражается на знаке центробежного момента инерции сечения изменение положительных направлений одной или обеих координатных осей.  [2]

Для этого необходимо показать, что при повороте системы координат на 90

знак центробежного момента инерции меняется на противоположный. Следовательно, при непрерывном повороте осей они неизбежно займут такое положение, при котором центробежный момент инерции обратится в нуль.  [3]

В зависимости от положения осей центробежный момент инерции может быть положительным или отрицательным, а также равным нулю. В самом деле, центробежный момент инерции площади фигуры, показанной на рис. 14, а, относительно выбранной системы осей положителен, так как координаты г, у всех элементов положительны. При повороте осей вокруг начала координат на 90 ( рис. 14, б) знак центробежного момента инерции фигуры

меняется на обратный, так как в этом положении координаты г всех элементов положительны, а координаты у — отрицательны.  [4]

В зависимости от положения осей центробежный момент инерции может быть положительным или отрицательным, а также равным нулю. В самом деле, центробежный момент инерции площади фигуры, показанной на рис. 14, а, относительно выбранной системы осей положителен, так как координаты z, у всех элементов положительны. При повороте осей вокруг начала координат на 90 ( рис. 14, б) знак центробежного момента инерции фигуры меняется на обратный, так как в этом положении координаты z всех элементов положительны, а координаты у — отрицательны.  [5]

В зависимости от положения осей центробежный момент инерции может быть положительным или отрицательным, а также равным нулю. В самом деле, центробежный момент инерции площади фигуры, показанной на рис. 14, а, относительно выбранной системы осей положителен, так как координаты г, у всех элементов положительны. При повороте осей вокруг начала координат на 90 ( рис. 14, б) знак центробежного момента инерции фигуры меняется на обратный, так как в этом положении координаты г всех элементов положительны, а координаты у — отрицательны.  [6]

Если фигура расположена в первом квадранте системы координат, как это имеет место-в случае, представленном на рис. АЛ, то) центробежный момент инерции положителен, поскольку все элементы площади dF имеют положительные координаты х и у. Если фигура расположена во втором квадранте, центробежный момент инерции будет отрицательным, поскольку у всех элементов координаты у положительны, а координаты х отрицательны. Аналогично фигуры в третьем и четвертом квадрантах будут иметь соответственно положительные и отрицательные центробежные моменты инерции. В случае когда фигура располагается в двух или более квадрантах,

знак центробежного момента инерции будет зависеть от распределения площади этой фигуры относительно осей. Рассмотрим частный случай — когда одна из осей представляет собой ось симметрии фигуры.  [7]

Страницы:      1

определение, формулы, примеры решения задач

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Осевым (или экваториальным) моментом инерции сечения относительно оси называется величина, которую определяют как:

Выражение (1) обозначает, для вычисления осевого момента инерции берется по всей площади S сумма произведений бесконечно малых площадок () умноженных на квадраты расстояний от них до оси вращения:

Сумма осевых моментов инерции сечения относительно взаимно перпендикулярных осей (например, относительно осей X и Y в декартовой системе координат) дают полярный момент инерции () относительно точки пересечения этих осей:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Полярным моментом инерции называют момент инерции сечением по отношению к некоторой точке.

Осевые моменты инерции всегда больше нуля, так как в их определениях (1) под знаком интеграла стоят величина площади элементарной площадки (), всегда положительная и квадрат расстояния от этой площадки до оси.

Если мы имеем дело с сечением сложной формы, то часто при расчетах используют то, что осевой момент инерции сложного сечения по отношению к оси равен сумме осевых моментов инерции частей этого сечения относительно той же оси. Однако следует помнить, что нельзя суммировать моменты инерции, которые найдены относительно разных осей и точек.

Осевой момент инерции относительно оси проходящей через центр тяжести сечения имеет наименьшее значение из всех моментов относительно параллельных с ней осей. Момент инерции относительно любой оси () при условии ее параллельности с осью, проходящей через центр тяжести равен:

где — момент инерции сечения относительно оси проходящей через центр тяжести сечения; — площадь сечения; — расстояние между осями.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание Чему равен осевой момент инерции равнобедренного треугольного сечения относительно оси Z, проходящей через центр тяжести () треугольника, параллельно его основанию? Высота треугольника равна .

Решение Выделим на треугольном сечении прямоугольную элементарную площадку (см. рис.1). Она находится на расстоянии от оси вращения, длина одной ее стороны , другая сторона . Из рис.1 следует, что:

Площадь выделенного прямоугольника с учетом (1.1) равна:

Для нахождения осевого момента инерции используем его определение в виде:

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание Найдите осевые моменты инерции относительно перпендикулярных осей X и Y (рис.2) сечения в виде круга диаметр которого равен d.

Решение Для решения задачи удобнее начать с нахождения полярного момента относительно центра сечения (). Все сечение разобьем на бесконечно тонкие кольца толщиной , радиус которых обозначим . Тогда элементарную площадь найдем как:

Рассмотрим еще несколько геометрических характеристик плоских фигур. Одна из этих характеристик носит название осевого или экваториального момента инерции. Эта характеристика относительно осей и
(Рис.4.1) принимает вид:

;
. (4.4)

Основным свойством осевого момента инерции является то, что он не может быть меньше нуля или равным нулю. Этот момент инерции всегда больше нуля:
;
. Единица измерения осевого момента инерции – (длина 4).

Соединим отрезком прямой линии начало координат с бесконечно малой площадью
и обозначим этот отрезок буквой(Рис.4.4). Момент инерции фигуры относительно полюса – начала координат – называется полярным моментом инерции:


. (4.5)

Этот момент инерции так же, как и осевой, всегда больше нуля (
) и имеет размерность – (длина 4).

Запишем условие инвариантности суммы экваториальных моментов инерции относительно двух взаимно перепендикулярных осей. Из рис.4.4 видно, что
.

Подставим это выражение в формулу (4.5), получим:

Формулируется условие инвариантности следующим образом: сумма осевых моментов инерции относительно двух любых взаимно перпедикулярных осей есть величина постоянная и равная полярному моменту инерции относительно точки пересечения этих осей.

Момент инерции плоской фигуры относительно одновременно двух взаимно перепендикулярных осей называется двухосным или центробежным моментом инерции. Центробежный момент инерции имеет следующий вид:

. (4.7)

Центробежный момент инерции имеет размерность – (длина 4). Он может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называютсяглавными осями инерции . Докажем, что ось симметрии плоской фигуры является главной осью.

Рассмотрим плоскую фигуру, изображенную на рис.4.5.

Выберем слева и справа от оси симметрии два элемента с бесконечно малой площадью
. Центр тяжести всей фигуры находится в точке С. Поместим начало координат в точку С и обозначим координаты выбранных элементов по вертикали буквой“”, по горизонтали – для левого элемента “
”, для правого элемента “”. Вычислим сумму центробежных моментов инерции для выбранных элементов с бесконечно малой площадью относительно осей и:

Если проинтегрировать выражение (4.8) слева и справа, получим:

, (4.9)

так как, если ось является осью симметрии, то для любой точки, лежащей слева от этой оси, всегда найдется ей симметричная.

Анализируя полученное решение, приходим к выводу, что ось симметрии является главной осью инерции. Центральная осьтакже является главной осью, хотя она и не является осью симметрии, так как центробежный момент инерции вычислялся одновременно двух осейии оказался равным нулю.

Если через точку О провести координатные оси , то по отношению к этим осям центробежными моментами инерции (или произведениями инерции) называют величины определяемые равенствами:

где — массы точек; — их координаты; при этом очевидно, что и т. д.

Для сплошных тел формулы (10) по аналогии с (5) принимают вид

В отличие от осевых центробежные моменты инерции могут быть как положительными, так и отрицательными величинами и, в частности, при определенным образом выбранных осях могут обращаться в нули.

Главные оси инерции. Рассмотрим однородное тело, имеющее ось симметрии. Проведем координатные оси Охуz так, чтобы ось была направлена вдоль оси симметрии (рис. 279). Тогда в силу симметрии каждой точке тела с массой тк и координатами будет соответствовать точка с другим индексом, но с такой же массой и с координатами, равными . В результате получим, что так как в этих суммах все слагаемые попарно одинаковы по модулю и противоположны по знаку; отсюда, учитывая равенства (10), находим:

Таким образом, симметрия в распределении масс относительно оси z характеризуется обращением в нуль двух центробежных моментов инерции . Ось Oz, для которой центробежные моменты инерции содержащие в своих индексах наименование этой оси, равны нулю, называется главной осью инерции тела для точки О.

Из изложенного следует, что если тело имеет ось симметрии, то эта ось является главной осью инерции тела для любой своей точки.

Главная ось инерции не обязательно является осью симметрии. Рассмотрим однородное тело, имеющее плоскость симметрии (на рис. 279 плоскостью симметрии тела является плоскость ). Проведем в этой плоскости какие-нибудь оси и перпендикулярную им ось Тогда в силу симметрии каждой точке с массой и координатами будет соответствовать точка с такой же массой и координатами, равными . В результате, как и в предыдущем случае, найдем, что или откуда следует, что ось является главной осью инерции для точки О. Таким образом, если тело имеет плоскость симметрии, то любая ось, перпендикулярная этой плоскости, будет главной осью инерции тела для точки О, в которой ось пересекает плоскость.

Равенства (11) выражают условия того, что ось является главной осью инерции тела для точки О (начала координат).

Аналогино, если то ось Оу будет для точки О главной осью инерции. Следовательно, если все центробежные моменты инерции равны нулю, т. е.

то каждая из координатных осей является главной осью инерции тела для точки О (начала координат).

Например, на рис. 279 все три оси являются для точки О главными осями инерции (ось как ось симметрии, а оси Ох и Оу как перпендикулярные плоскостям симметрии).

Моменты инерции тела относительно главных осей инерции называются главными моментами инерции тела.

Главные оси инерции, построенные для центра масс тела, называют главными центральными осями инерции тела. Из доказанного выше следует, что если тело имеет ось симметрии, то эта ось является одной из главных центральных осей инерции тела, так как центр масс лежит на этой оси. Если же тело имеет плоскость симметрии, то ось, перпендикулярная этой плоскости и проходящая через центр масс тела, будет также одной из главных центральных осей инерции тела.

В приведенных примерах рассматривались симметричные тела, чего для решения задач, с которыми мы будем сталкиваться, достаточно. Однако можно доказать, что через любую точку какого угодно тела можно провести, по крайней мере, три такие взаимно перпендикулярные оси, для которых будут выполняться равенства (11), т. е. которые будут главными осями инерции тела для этой точки.

Понятие о главных осях инерции играет важную роль в динамике твердого тела. Если по ним направить координатные оси Охуz, то все центробежные моменты инерции обращаются в нули и соответствующие уравнения или формулы существенно упрощаются (см. § 105, 132). С этим понятием связано также решение задач о динамическом уравнении вращающихся тел (см. § 136), о центре удара (см. § 157) и др.


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ.

Как показывает опыт, сопротивление стержня различным деформациям зависит не только от размеров поперечного сечения, но и от формы.

Размеры поперечного сечения и форма характеризуются различными геометрическими характеристиками: площадь поперечного сечения, статические моменты, моменты инерции, моменты сопротивления и др.

1. Статический момент площади (момент инерции первой степени).

Статический моментом инерции площади относительно какой-либо оси, называется сумма произведений элементарных площадок на расстояние до этой оси, распространенная на всю площадь (рис. 1)


Рис.1

Свойства статического момента площади:

1. Статический момент площади измеряется в единицах длинны третьей степени (например, см 3).

2. Статический момент может быть меньше нуля, больше нуля и, следовательно, равняться нулю. Оси, относительно которых статический момент равен нулю, проходят через центр тяжести сечения и называются центральными осями.

Если x c иy c – координаты цента тяжести, то

3. Статический момент инерции сложного сечения относительно какой-либо оси равен сумме статических моментов составляющих простых сечений относительно той же оси.

Понятие статического момента инерции в науке о прочности используется для определения положения центра тяжести сечений, хотя надо помнить, что в симметричных сечениях центр тяжести лежит на пересечении осей симметрии.

2. Момент инерции плоских сечений (фигур) (моменты инерции второй степени).

а) осевой (экваториальный) момент инерции.

Осевым моментом инерции площади фигуры относительно какой-либо оси называется сумма произведений элементарных площадок на квадрат расстояния до этой оси распространения на всю площадь (рис. 1)

Свойства осевого момента инерции.

1. Осевой момент инерции площади измеряется в единицах длинны четвертой степени (например, см 4).

2. Осевой момент инерции всегда больше нуля.

3. Осевой момент инерции сложного сечения относительно какой-либо оси равен сумме осевых моментов составляющих простых сечений относительно той же оси:

4. Величина осевого момента инерции характеризует способность стержня (бруса) определенного поперечного сечения сопротивляться изгибу.

б) Полярный момент инерции .

Полярным моментом инерции площади фигуры относительно какого-либо полюса называется сумма произведений элементарных площадок на квадрат расстояния до полюса, распространенная на всю площадь (рис. 1).

Свойства полярного момента инерции:

1. Полярный момент инерции площади измеряется в единицах длины четвертой степени (например, см 4).

2. Полярный момент инерции всегда больше нуля.

3. Полярный момент инерции сложного сечения относительно какого-либо полюса (центра) равен сумме полярных моментов составляющих простых сечений относительно этого полюса.

4. Полярный момент инерции сечения равен сумме осевых моментов инерции этого сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей, проходящих через полюс.

5. Величина полярного момента инерции характеризует способность стержня (бруса) определенной формы поперечного сечения сопротивляться кручению.

в) Центробежный момент инерции.

ЦЕНТРОБЕЖНЫМ МОМЕНТОМ ИНЕРЦИИ площади фигуры относительно какой-либо системы координат называется сумма произведений элементарных площадок на координаты, распространенная на всю площадь (рис. 1)

Свойства центробежного момента инерции:

1. Центробежный момент инерции площади измеряется в единицах длинны четвертой степени (например, см 4).

2. Центробежный момент инерции может быть больше нуля, меньше нуля, и равняться нулю. Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями инерции. Две взаимно перпендикулярные оси, из которых хотя бы одна является осью симметрии, будут главными осями. Главные оси, проходящие через центр тяжести площади, называются главными центральными осями, а осевые моменты инерции площади – главными центральными моментами инерции.

3. Центробежный момент инерции сложного сечения в какой-либо системе координат равен сумме центробежных моментов инерции составляющих фигур в той же схеме координат.

МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОСЕЙ.


Рис.2

Дано: оси x, y – центральные;

т.е. осевой момент инерции в сечении относительно оси, параллельной центральной, равен осевому моменту относительно своей центральной оси плюс произведение площади на квадрат расстояния между осями. Отсюда следует, что осевой момент инерции сечения относительно центральной оси имеет минимальную величину в системе параллельных осей.

Сделав аналогичные выкладки для центробежного момента инерции, получим:

J x1y1 =J xy +Aab

т.е. центробежный момент инерции сечения относительно осей, параллельных центральной системе координат, равен центробежному моменту в центральной системе координат плюс произведение площади на расстояние между осями.

МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ В ПОВЕРНУТОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

т.е. сумма осевых моментов инерции сечения есть величина постоянная, не зависит от угла поворота осей координат и равна полярному моменту инерции относительно начала координат. Центробежный момент инерции может менять свою величину и обращаться в «0».

Оси, относительно которых центробежный момент равен нулю будут главными осями инерции, а если они проходят через центр тяжести, то они называются главными осями инерции и обозначаются «u» и «».

Моменты инерции относительно главных центральных осей называются главными центральными моментами инерции и обозначаются , причем главные центральные моменты инерции имеют экстремальные значения, т.е. один «min», а другой «max».

Пусть угол «a 0 » характеризует положение главных осей, тогда:

по этой зависимости определяем положение главных осей. Величину же главных моментов инерции после некоторых преобразований, определяем по следующей зависимости:

ПРИМЕРЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОСЕВЫХ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ, ПОЛЯРНЫХ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ И МОМЕНТОВ СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРОСТЕЙШИХ ФИГУР.

1. Прямоугольное сечение

Оси x и y – здесь и в других примерах – главные центральные оси инерции.

Определим осевые моменты сопротивления:

2. Круглое сплошное сечение. Моменты инерции.

Допустим, что имеется система координат с началом в точке O и осями OX; OY; OZ. По отношению к данным осям центробежными моментами инерции (произведениями инерции) называются величины , которые определяются равенствами:

где — массы материальных точек, на которые разбивают тело; — координаты соответствующих материальных точек.

Центробежный момент инерции обладает свойством симметрии, это следует из его определения:

Центробежные моменты тела могут быть положительными и отрицательными, при определённом выборе осей OXYZ они могут обращаться в ноль.

Для центробежных моментов инерции существует аналог теоремы Штейнберга. Если рассмотреть две системы координат: и . Одна из этих систем имеет начало координат в центе масс тела (точка C), оси систем координат являются попарно параллельными (). Пусть в системе координат координатами центра масс тела являются (), тогда:

где — масса тела.

Главные оси инерции тела

Пусть однородное тело имеет ось симметрии. Построим координатные оси так, чтобы ось OZ была направлена вдоль оси симметрии тела. Тогда, как следствие симметрии каждой точке тела с массой и координатами соответствует точка, имеющая другой индекс, но такую же массу и координаты: . В результате получаем, что:

так как в данных суммах все слагаемые имеют свою равную по величине, но противоположную по знаку пару. Выражения (4) эквивалентны записи:

Мы получили, что осевая симметрия распределения масс по отношению к оси OZ характеризуется равенством нулю двух центробежных моментов инерции (5), которые содержат среди своих индексов наименование этой оси. В таком случае ось OZ называется главной осью инерции тела для точки О.

Главная ось инерции не всегда является осью симметрии тела. Если тело обладает плоскостью симметрии, то любая ось, которая перпендикулярна этой плоскости, является главной осью инерции для точки O, в которой ось пересекает рассматриваемую плоскость. Равенства (5) отображают условия того, что ось OZ является главной осью инерции тела для точки O (начала координат). Если выполняются условия:

то ось OY будет для точки O главной осью инерции.

В том случае, если выполняются равенства:

то все три координатные оси системы координат OXYZ являются главными осями инерции тела для начала координат.

Моменты инерции тела по отношению к главным осям инерции называются главными моментами инерции тела. Главные оси инерции, которые построены для центра масс тела, носят название главных центральных осей инерции тела.

Если тело обладает осью симметрии, то она является одной из главных центральных осей инерции тела, поскольку центр масс находится на этой оси. В том случае, если тело имеет плоскость симметрии, то ось, нормальная к этой плоскости и проходящая через центр масс тела является одной из главных центральных осей инерции тела.

Понятие главных осей инерции в динамике твердого тела имеет существенное значение. Если вдоль них направить оси координат OXYZ, то все центробежные моменты инерции становятся равными нулю, при этом значительно упрощаются формулы, которые следует применять при решении задач динамики. С понятием о главных осях инерции связано решение задач о динамическом уравнении тела находящегося во вращении и о центре удара.

Момент инерции тела (и центробежный в том числе) в международной системем единиц измеряются в:

Центробежный момент инерции сечения

Центробежным моментом инерции сечения (плоской фигуры) относительно двух взаимно нормальных осей (OX и OY) называют величину, равную:

выражение (8) говорит о том, что центробежный момент инерции сечения относительно взаимно перпендикулярных осей есть сумма произведений элементарных площадок () на расстояния от них до рассматриваемых осей, по всей площади S.

Единицей измерения моментов инерции сечения в СИ является:

Центробежный момент инерции сложного сечения по отношению к любым двум взаимно нормальным осям равен сумме центробежных моментов инерции составляющих его частей относительно этих осей.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание Получите выражение для центробежного момента инерции прямоугольного сечения относительно осей (X,Y).
Решение Сделаем рисунок.

Для определения центробежного момента инерции выделим из имеющегося прямоугольника элемент его площади (рис.1) , площадь которой равна:

На первом этапе решения задачи найдем центробежный момент инерции () вертикальной полосы, имеющей высоту и ширину , которая находится на расстоянии от оси Y (учтем, что при интегрировании для всех площадок в избранной вертикальной полоске величина является постоянной):

Не удается найти страницу | Autodesk Knowledge Network

(* {{l10n_strings.REQUIRED_FIELD}})

{{l10n_strings.CREATE_NEW_COLLECTION}}*

{{l10n_strings.ADD_COLLECTION_DESCRIPTION}}

{{l10n_strings.COLLECTION_DESCRIPTION}} {{addToCollection.description.length}}/500 {{l10n_strings.TAGS}} {{$item}} {{l10n_strings.PRODUCTS}} {{l10n_strings.DRAG_TEXT}}  

{{l10n_strings.DRAG_TEXT_HELP}}

{{l10n_strings.LANGUAGE}} {{$select.selected.display}}

{{article.content_lang.display}}

{{l10n_strings.AUTHOR}}  

{{l10n_strings.AUTHOR_TOOLTIP_TEXT}}

{{$select.selected.display}} {{l10n_strings.CREATE_AND_ADD_TO_COLLECTION_MODAL_BUTTON}} {{l10n_strings.CREATE_A_COLLECTION_ERROR}}

определение, формулы, примеры решения задач. Расчет винтовых цилиндрических пружин

Базовый курс лекций по сопромату, теория, практика, задачи.
1. Геометрические характеристики сечений.

1.3. Моменты инерции простых сечений.

1. Прямоугольник (рис. 1.5,а). Вычислим момент инерции сечения относительно оси Х0 , проходящей через центр тяжести параллельно основанию.

За dA примем площадь бесконечно тонкого слоя dA = bdy. Тогда

Итак,
(1.11)

Аналогично, получим
(1.12)

2. Круг (рис. 1.5,б). Сначала определим полярный момент инерции относительно центра круга

За dA принимаем площадь бесконечно тонкого кольца толщиной dp

тогда

Следовательно,
(1.13)

Теперь легко найдем Ixo . Действительно, для круга согласно формуле (1.9.), имеем Iр = 2Iхо = 2Iуо , откуда
(1.14)

2. Кольцо (рис. 1.5,в). Осевой момент инерции в этом случае равен разности моментов инерции внешнего и внутреннего кругов
(1.15)
где c = d/D.

Аналогично полярный момент инерции
(1.16)

2. Треугольник (рис. 1.5,г). Определим момент инерции относительно оси x1 , параллельной основанию и проходящей через вершину треугольника

За dA примем площадь бесконечно тонкой трапеции KBDE, площадь которой можно считать равной площади прямоугольника:

DA = by dy,

Где by — длина прямоугольника.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Осевым (или экваториальным) моментом инерции сечения относительно оси называется величина, которую определяют как:

Выражение (1) обозначает, для вычисления осевого момента инерции берется по всей площади S сумма произведений бесконечно малых площадок () умноженных на квадраты расстояний от них до оси вращения:

Сумма осевых моментов инерции сечения относительно взаимно перпендикулярных осей (например, относительно осей X и Y в декартовой системе координат) дают полярный момент инерции () относительно точки пересечения этих осей:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Полярным моментом инерции называют момент инерции сечением по отношению к некоторой точке.

Осевые моменты инерции всегда больше нуля, так как в их определениях (1) под знаком интеграла стоят величина площади элементарной площадки (), всегда положительная и квадрат расстояния от этой площадки до оси.

Если мы имеем дело с сечением сложной формы, то часто при расчетах используют то, что осевой момент инерции сложного сечения по отношению к оси равен сумме осевых моментов инерции частей этого сечения относительно той же оси. Однако следует помнить, что нельзя суммировать моменты инерции, которые найдены относительно разных осей и точек.

Осевой момент инерции относительно оси проходящей через центр тяжести сечения имеет наименьшее значение из всех моментов относительно параллельных с ней осей. Момент инерции относительно любой оси () при условии ее параллельности с осью, проходящей через центр тяжести равен:

где — момент инерции сечения относительно оси проходящей через центр тяжести сечения; — площадь сечения; — расстояние между осями.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание Чему равен осевой момент инерции равнобедренного треугольного сечения относительно оси Z, проходящей через центр тяжести () треугольника, параллельно его основанию? Высота треугольника равна .

Решение Выделим на треугольном сечении прямоугольную элементарную площадку (см. рис.1). Она находится на расстоянии от оси вращения, длина одной ее стороны , другая сторона . Из рис.1 следует, что:

Площадь выделенного прямоугольника с учетом (1.1) равна:

Для нахождения осевого момента инерции используем его определение в виде:

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание Найдите осевые моменты инерции относительно перпендикулярных осей X и Y (рис.2) сечения в виде круга диаметр которого равен d.

Решение Для решения задачи удобнее начать с нахождения полярного момента относительно центра сечения (). Все сечение разобьем на бесконечно тонкие кольца толщиной , радиус которых обозначим . Тогда элементарную площадь найдем как:

Рассматривая в предыдущих разделах простейшие виды деформаций — осевое растяжение и сжатие, смятие, скалывание — мы выяснили, что их сопротивление действующей силе пропорционально только размерам площади поперечного сечения элемента, на который действует сила. Так, при одинаковой площади сечения, одном и том же материале и одинаковой силе, действующей на каждый из стержней, изображенный на рис. 9.14, в них возникнут равные напряжения.
Переходя далее к изучению других более сложных видов деформаций (кручение, изгиб, внецентренное сжатие и др.) мы увидим, что в этих случаях сопротивление элемента конструкции внешним силам зависит не только от площади его поперечного сечения, но и от распределения этой площади в плоскости сечения, т. е. от формы сечения.
Из обыденного опыта ясно, что согнуть стержень 4 в вертикальном направлении труднее, чем стержень 5, а стержень 6 имеет еще большую жесткость, хотя площади сечений всех этих стержней одинаковые (рис. 9.14).

Параметрами, характеризующими геометрические свойства различных плоских фигур, кроме площади, являются: статические моменты, моменты инерции, моменты сопротивления и радиусы инерции.
Статический момент площади . Представим брус с произвольной формой поперечного сечения площадью F , в плоскости которого проведена ось х (рис. 9.15). Выделим элемент площади dF , расположенный на расстоянии у от оси х .. Статическим моментом элементарной площадки , относительно оси х называют произведение этой площадки на ее расстояние до оси:


Статический момент всей площади F относительно оси х равен сумме статических моментов всех элементарных площадок, которые могут быть выделены на рассматриваемой площади:


Из теоретической механики известно, что координаты центра тяжести площади фигуры определяют по формулам:

Поэтому

Следовательно, статический момент фигуры площадью F относительно какой-нибудь оси равен произведению площади на расстояние центра тяжести фигуры до этой оси. Размерность статического момента — единица длины в кубе ( , ).
Оси, проходящие через центр тяжести сечения, называют центральными.Если фигура имеет ось симметрии, то последняя всегда проходит через центр тяжести фигуры, т. е. оси симметрии одновременно являются и центральными осями.
Будем также иметь в виду, что статический момент сложной фигуры относительно некоторой оси равен сумме статических моментов относительно той же оси простых фигур, на которые может быть разбита исходная сложная фигура:
Рис. 9.16. Схема к определению координат центра тяжести сложной фигуры.

Для решения этой задачи выберем две оси координат х и у , совпадающие со сторонами фигуры. Разобьем фигуру, все размеры которой должны быть известны, на элементарные части — прямоугольники — координаты центров тяжести которых очевидны, так как эти части симметричны. Составим теперь выражения для вычисления статического момента всей площади, например относительно оси у . Это можно сделать двумя способами:
а) взять сумму статических моментов отдельных площадей
В этих выражениях F — площадь всей фигуры; — координата ее центра тяжести; — площади отдельных частей фигуры, а — координаты их центров тяжести.
Приравнивая друг к другу написанные выше формулы, получим уравнение с одной неизвестной :
Аналогично этому расстояние центра тяжести фигуры от оси х может быть выражено так:

Составляя интеграл, в котором подынтегральное выражение представляет собой произведение элемента площади на квадрат расстояния до начала координат (рис. 9.17), получим полярный момент инерции :
Отметим еще одну характеристику, в которой площадка dF умножается на произведение координат


Эту величину называют центробежным моментом инерции . Приведенные моменты инерции измеряются в единицах длины» взятой в четвертой степени (, ).
Осевые и полярные моменты инерции фигуры — величины положительные и не могут быть равными нулю. Центробежный момент инерции в зависимости от положения осей может быть положительным или отрицательным, а также равным нулю. Две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называют главными осями инерции и обозначаются . Для симметричной фигуры ось симметрии является и главной осью.
Осевые моменты инерции, определенные относительно главных осей, имеют максимальное и минимальное значения.
Так же как и для статического момента, момент инерции сложной фигуры равен сумме моментов инерции образующих ее фигур. Подчеркнем, что сказанное справедливо в том случае, когда все моменты инерции вычисляются относительно одной и той же оси.
Для моментов инерции существует еще одно правило, часто используемое в расчетах. Применительно к осевым моментам оно «формулируется следующим образом: момент инерции фигуры относительно оси, параллельной центральной, равен моменту инерции относительно центральной оси плюс произведение площади фигуры, на квадрат расстояния между осями (рис. 9.18):
Для центробежных моментов инерции соответствующее правило в аналитическом виде выглядит так:


Для получения значения момента инерции конкретной фигуры в принципе надо решить соответствующий интеграл по площади этой фигуры. Однако с целью облегчения инженерных расчетов такие интегралы для наиболее распространенных форм поперечных сечений строительных элементов уже решены и результаты решений в виде формул представлены в таблицах, одна из которых помещена в приложении 3.
Кроме того, в ГОСТах на все стандартные профили проката, выпускаемые в нашей стране (уголки, двутавры и др.), даются значения осевых моментов инерции и других геометрических характеристик для каждого типоразмера проката (см. приложение 4).
Наконец, для сложных по форме сечений моменты инерции определяют, используя изложенные выше два правила: о сложении моментов инерции и о пересчете моментов инерции относительно одних осей на другие оси.
Момент сопротивления . Осевым моментом сопротивления плоской фигуры относительно какой-либо оси, лежащей в плоскости фигуры, называется частное от деления момента инерции относительно той же оси на расстояние до наиболее удаленной точки фигуры (см. рис. 9.17):
Моменты сопротивления имеют размерность длины в кубе (, ).
Формулы для расчетов осевых моментов сопротивлений наиболее часто встречающихся фигур приведены в приложении 3, а конкретные значения этой характеристики для профилей стального проката даны в ГОСТах (приложение 4). Отметим, что в отличие от моментов инерции моменты сопротивления складывать нельзя.
Радиус инерции . Радиусом инерции называется величина, получаемая по формуле
а для круга диаметром d радиус инерции относительно оси, проходящей через центр круга, равен
Сфера применения рассмотренных выше геометрических характеристик сечений будет раскрыта при изучении видов деформаций, которым посвящены следующие подразделы настоящей главы.

I = ∑r i 2 dF i =∫r 2 dF (1.1)

В принципе и определение и формула, его описывающая, не сложные и запомнить их намного легче, чем вникнуть в суть. Но все-таки попробуем разобраться, что же такое момент инерции и откуда он взялся.

Понятие момент инерции пришло в сопромат и строительную механику из другого раздела физики, изучающего кинематику движения, в частности вращательное движение. Но все равно начнем издалека.

Я точно не знаю, упало ли Исааку Ньютону на голову яблоко, упало оно рядом, или вообще не падало, теория вероятности допускает все эти варианты (к тому же в этом яблоке слишком много от библейской легенды о древе познания), однако я уверен, что Ньютон был наблюдательным человеком, способным делать выводы из своих наблюдений. Так наблюдательность и воображение позволили Ньютону сформулировать основной закон динамики (второй закон Ньютона), согласно которому масса тела m , умноженная на ускорение a , равна действующей силе Q (вообще-то более привычным для силы является обозначение F, но так как дальше мы будем иметь дело с площадью, которая также часто обозначается как F, то я использую для внешней силы, рассматриваемой в теоретической механике как сосредоточенная нагрузка, обозначение Q, сути дела это не меняет):

Q = ma (1.2)

По мне величие Ньютона именно в простоте и понятности данного определения. А еще, если учесть, что при равноускоренном движении ускорение а равно отношению приращения скорости ΔV к периоду времени Δt , за который скорость изменилась:

a = Δv/Δt = (v — v о)/t (1.3.1)

при V о = 0 a = v/t (1.3.2)

то можно определить основные параметры движения, такие как расстояние, скорость, время и даже импульс р , характеризующий количество движения:

p = mv (1.4)

Например, яблоко, падающее с разной высоты под действием только силы тяжести, будет падать до земли разное время, иметь разную скорость в момент приземления и соответственно разный импульс. Другими словами, яблоко, падающее с бóльшей высоты, будет дольше лететь и сильнее треснет по лбу незадачливого наблюдателя. И все это Ньютон свел к простой и понятной формуле.

А еще Ньютон сформулировал закон инерции (первый закон Ньютона): если ускорение а = 0 , то в инерциальной системе отсчета невозможно определить, находится ли наблюдаемое тело, на которое не действуют внешние силы, в состоянии покоя или движется прямолинейно с постоянной скоростью. Это свойство материальных тел сохранять свою скорость, пусть даже и нулевую, называется инертностью. Мерой инертности является инерционная масса тела. Иногда инерционная масса называется инертной, но сути дела это не меняет. Считается, что инерционная масса равна гравитационной массе и потому часто не уточняется, какая именно масса имеется в виду, а упоминается просто масса тела.

Не менее важным и значимым является и третий закон Ньютона, согласно которому сила действия равна силе противодействия, если силы направлены по одной прямой, но при этом в противоположные стороны . Не смотря, на кажущуюся простоту, и этот вывод Ньютона гениален и значение этого закона трудно переоценить. Об одном из применений этого закона чуть ниже.

Однако данные положения справедливы только для тел, движущихся поступательно, т.е. по прямолинейной траектории и при этом все материальные точки таких тел двигаются с одинаковой скоростью или одинаковым ускорением. При криволинейном движении и в частности при вращательном движении, например, когда тело вращается вокруг своей оси симметрии, материальные точки такого тела перемещаются в пространстве с одинаковой угловой скоростью w , но при этом линейная скорость v у различных точек будет разная и эта линейная скорость прямо пропорциональна расстоянию r от оси вращения до этой точки:

v = wr (1.5)

при этом угловая скорость равна отношению приращения угла поворота Δφ к периоду времени Δt , за который угол поворота изменился:

w = Δφ/Δt = (φ — φ о)/t (1.6.1)

при φ о = 0 w = φ/t (1.7.2)

соответственно нормальное ускорение а n при вращательном движении равно:

a n = v 2 /r = w 2 r (1.8)

И получается, что для вращательного движения мы не можем прямо использовать формулу (1.2), так как при вращательном движении одного только значения массы тела недостаточно, требуется еще знать распределение этой массы в теле. Получается, что чем ближе материальные точки тела к оси вращения, тем меньшую силу требуется приложить, чтобы заставить тело вращаться и наоборот, чем дальше материальные точки тела от оси вращения, тем большую силу нужно приложить, чтобы заставить тело вращаться (в данном случае речь идет о приложении силы в одной и той же точке). К тому же при вращении тела более удобно рассматривать не действующую силу, а вращающий момент, так как при вращательном движении точка приложения силы также имеет большое значение.

Поразительные свойства момента нам известны со времен Архимеда и если применить понятие момента к вращательному движению, то значение момента М будет тем больше, чем больше расстояние r от оси вращения до точки приложения силы F (в строительной механике внешняя сила часто обозначается как Р или Q ):

М = Qr (1.9)

Из этой также не очень сложной формулы выходит, что если сила будет приложена по оси вращения, то никакого вращения не будет, так как r = 0, а если сила будет приложена на максимальном удалении от оси вращения, то и значение момента будет максимальным. А если мы подставим в формулу (1.9) значение силы из формулы (1.2) и значение нормального ускорения и формулы (1.8), то получим следующее уравнение:

М = mw 2 r·r = mw 2 r 2 (1.10)

В частном случае когда тело является материальной точкой, имеющей размеры намного меньше, чем расстояние от этой точки до оси вращения, уравнение (1.10) применимо в чистом виде. Однако для тела, вращающегося вокруг одной из своих осей симметрии, расстояние от каждой материальной точки составляющей данное тело, всегда меньше одного из геометрических размеров тела и потому распределение массы тела имеет большое значение, в этом случае требуется учесть эти расстояния отдельно для каждой точки:

M = ∑r i 2 w 2 m i (1.11.1)

М с = w 2 ∫r 2 dm

И тогда получается, что согласно третьему закону Ньютона в ответ на действие вращающего момента будет возникать так называемый момент инерции I . При этом значения вращающего момента и момента инерции будут равны, а сами моменты направлены в противоположные стороны. При постоянной угловой скорости вращения, например w = 1, основными величинами, характеризующими вращающий момент или момент инерции будут масса материальных точек, составляющих тело, и расстояния от этих точек до оси вращения. В итоге формула момента инерции примет следующий вид:

[- М] = I = ∑r i 2 m i (1.12.1)

I c = ∫r 2 dm (1.11.2) — при вращении тела вокруг оси симметрии

где I — общепринятое обозначение момента инерции, I c — обозначение осевого момента инерции тела, кг/м 2 . Для однородного тела, имеющего одинаковую плотность ρ по всему объему тела V формулу осевого момента инерции тела можно записать так:

I c = ∫ρr 2 dV (1.13)

Таким образом момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении, подобно тому как масса является мерой инертности тела при поступательном прямолинейном движении .

Все круг замкнулся. И тут может возникнуть вопрос, какое отношение все эти законы динамики и кинематики имеют к расчету статических строительных конструкций? Оказывается, что ни на есть самое прямое и непосредственное. Во-первых потому, что все эти формулы выводились физиками и математиками в те далекие времена, когда таких дисциплин, как «Теоретическая механика» или «Теория сопротивления материалов» попросту не существовало. А во-вторых потому, что весь расчет строительных конструкций и построен на основе указанных законов и формулировок и пока ни кем не опровергнутом утвержении о равенстве гравитационной и инертой масс. Вот только в теории сопротивления материалов все еще проще, как ни парадоксально это звучит.

А проще потому, что при решении определенных задач может рассматриваться не все тело, а только его поперечное сечение, а при необходимости несколько поперечных сечений. Но в этих сечениях действуют такие же физические силы, правда имеющие несколько иную природу. Таким образом, если рассматривать некое тело, длина которого постоянна, а само тело является однородным, то если не учитывать постоянные параметры — длину и плотность (l = const, ρ = const ) — мы получим модель поперечного сечения. Для такого поперечного сечения с математической точки зрения будет справедливым уравнение:

I р = ∫r 2 dF (2.1) → (1.1)

где I p — полярный момент инерции поперечного сечения, м 4 . В итоге мы получили формулу, с которой начинали (а вот стало ли понятнее, что такое момент инерции сечения, не знаю).

Так как в теории сопротивления материалов часто рассматриваются прямоугольные сечения, да и прямоугольная система координат более удобна, то при решении задач обычно рассматриваются два осевых момента инерции поперечного сечения:

I z = ∫y 2 dF (2.2.1)

I y = ∫z 2 dF (2.2.2)

Рисунок 1 . Значения координат при определении осевых моментов инерции.

Тут может возникнуть вопрос, почему использованы оси z и у , а не более привычные х и у ? Так уж сложилось, что определение усилий в поперечном сечении и подбор сечения, выдерживающего действующие напряжения, равные приложенным усилиям — две разные задачи. Первую задачу — определение усилий — решает строительная механика, вторую задачу — подбор сечения — теория сопротивления материалов. При этом в строительной механике рассматривается при решении простых задач достаточно часто стержень (для прямолинейных конструкций), имеющий определенную длину l , а высота и ширина сечения не учитываются, при этом считается, что ось х как раз и проходит через центры тяжести всех поперечных сечений и таким образом при построении эпюр (порой достаточно сложных) длина l как раз и откладывается по оси х , а по оси у откладываются значения эпюр. В то же время теория сопротивления материалов рассматривает именно поперечное сечение, для которого важны ширина и высота, а длина не учитывается. Само собой при решении задач теории сопротивления материалов, также порой достаточно сложных используются все те же привычные оси х и у . Мне такое положение дел кажется не совсем правильным, так как не смотря на разницу, это все же смежные задачи и потому будет более целесообразным использование единых осей для рассчитываемой конструкции.

Значение полярного момента инерции в прямоугольной системе координат будет:

I р = ∫r 2 dF = ∫y 2 dF + ∫z 2 dF (2.3)

Так как в прямоугольной системе координат радиус — это гипотенуза прямоугольного треугольника, а как известно квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. А еще существует понятие центробежного момента инерции поперечного сечения:

I xz = ∫xzdF (2.4)

Среди осей прямоугольной системы координат, проходящих через центр тяжести поперечного сечения, есть две взаимно-перпендикулярные оси, относительно которых осевые моменты инерции принимают максимальное и минимальное значение, при этом центробежный момент инерции сечения I zy = 0 . Такие оси называют главными центральными осями поперечного сечения, а моменты инерции относительно таких осей — главными центральными моментами инерции

Когда в теории сопротивления материалов речь заходит о моментах инерции, то как правило в виду имеются именно главные центральные моменты инерции поперечного сечения. Для квадратных, прямоугольных, круглых сечений главные оси будут совпадать с осями симметрии. Моменты инерции поперечного сечения также называют геометрическими моментами инерции или моментами инерции площади, но суть от этого не изменяется.

В принципе самому определять значения главных центральных моментов инерции для поперечных сечений наиболее распространенных геометрических форм — квадрата, прямоугольника, круга, трубы, треугольника и некоторых других — большой необходимости нет. Такие моменты инерции давно определены и широко известны. А при расчете осевых моментов инерции для сечений сложной геометрической формы справедлива теорема Гюйгенса-Штейнера:

I = I c + r 2 F (2.5)

таким образом, если известны площади и центры тяжести простых геометрических фигур, составляющих сложное сечение, то определить значение осевого момента инерции всего сечения не составит труда. А для того, чтобы определить центр тяжести сложного сечения, используются статические моменты поперечного сечения. Более подробно статические моменты рассматриваются в другой статье, здесь лишь добавлю. Физический смысл статического момента следующий: статический момент тела — это сумма моментов для материальных точек, составляющих тело, относительно некоторой точки (полярный статический момент) или относительно оси (осевой статический момент), а так как момент — это произведение силы на плечо (1.9), то и определяется статический момент тела соответственно:

S = ∑M = ∑r i m i = ∫rdm (2.6)

и тогда полярный статический момент поперечного сечения будет:

S р = ∫rdF (2.7)

Как видим, определение статического момента сходно с определением момента инерции. Но есть и принципиальная разница. Статический момент потому и называется статическим, что для тела, на которое действует сила тяжести, статический момент равен нулю относительно центра тяжести. Другими словами такое тело находится в состоянии равновесия, если опора приложена к центру тяжести тела. А согласно первому закону Ньютона такое тело или находится в состоянии покоя или движется с постоянной скоростью, т.е. ускорение = 0. А еще с чисто математической точки зрения статический момент может быть равен нулю по той простой причине, что при определении статического момента необходимо учитывать направление действия момента. Например относительно осей координат, проходящих через центр тяжести прямоугольника, площади верхней части и нижней части прямоугольника будут положительными так как символизируют силу тяжести, действующую в одном направлении. При этом расстояние от оси до центра тяжести можно рассматривать как положительное (условно: момент от силы тяжести верхней части прямоугольника пытается вращать сечение по часовой стрелке), а до центра тяжести нижней части — как отрицательное (условно: момент от силы тяжести нижней части прямоугольника пытается вращать сечение против часовой стрелки). А так как такие площади численно равны и равны расстояния от центров тяжести верхней части прямоугольника и нижней части прямоугольника, то сумма действующих моментов и составит искомый 0.

S z = ∫ydF = 0 (2.8)

А еще этот великий ноль позволяет определять опорные реакции строительных конструкций. Если рассматривать строительную конструкцию, к которой приложена например сосредоточенная нагрузка Q в некоторой точке, то такую строительную конструкцию можно рассматривать, как тело с центром тяжести в точке приложения силы, а опорные реакции в этом случае рассматриваются, как силы приложенные в точках опор. Таким образом зная значение сосредоточенной нагрузки Q и расстояния от точки приложения нагрузки до опор строительной конструкции, можно определить опорные реакции. Например для шарнирно опертой балки на двух опорах значение опорных реакций будет пропорционально расстоянию до точки приложения силы, а сумма реакций опор будет равна приложенной нагрузке. Но как правило при определении опорных реакций поступают еще проще: за центр тяжести принимается одна из опор и тогда сумма моментов от приложенной нагрузки и от остальных опорных реакций все равно равна нулю. В этом случае момент от опорной реакции относительно которой составляется уравнение моментов, равен нулю, так как плечо действия силы = 0, а значит в сумме моментов остаются только две силы: приложенная нагрузка и неизвестная опорная реакция (для статически определимых конструкций).

Таким образом принципиальная разница между статическим моментом и моментом инерции в том, что статический момент характеризует сечение, которое сила тяжести как бы пытается сломать пополам относительно центра тяжести или оси симметрии, а момент инерции характеризует тело, все материальные точки которого перемещаются (или пытаются переместиться в одном направлении). Возможно, более наглядно представить себе эту разницу помогут следующие достаточно условные расчетные схемы для прямоугольного сечения:

Рисунок 2 . Наглядная разница между статическим моментом и моментом инерции.

А теперь вернемся еще раз к кинематике движения. Если проводить аналогии между напряжениями, возникающими в поперечных сечениях строительных конструкций, и различными видами движения, то в центрально растягиваемых и центрально сжатых элементах возникают напряжения равномерные по всей площади сечения. Эти напряжения можно сравнить с действием некоторой силы на тело, при котором тело будет двигаться прямолинейно и поступательно. А самое интересное, это то, что поперечные сечения центрально-растянутых или центрально сжатых элементов действительно движутся, так как действующие напряжения вызывают деформации. И величину таких деформаций можно определить для любого поперечного сечения конструкции. Для этого достаточно знать значение действующих напряжений, длину элемента, площадь сечения и модуль упругости материала, из которого изготовлена конструкция.

У изгибаемых элементов поперечные сечения также не остаются на месте, а перемещаются, при этом перемещение поперечных сечений изгибаемых элементов подобно вращению некоего тела относительно некоторой оси. Как вы уже наверное догадались, момент инерции позволяет определить и угол наклона поперечного сечения и перемещение Δl для крайних точек сечения. Эти крайние точки для прямоугольного сечения находятся на расстоянии, равном половине высоты сечения (почему — достаточно подробно описано в статье «Основы сопромата. Определенение прогиба «). А это в свою очередь позволяет определить прогиб конструкции.

А еще момент инерции позволяет определить момент сопротивления сечения . Для этого момент инерции нужно просто разделить на расстояние от центра тяжести сечения до наиболее удаленной точки сечения, для прямоугольного сечения на h/2. А так как исследуемые сечения не всегда симметричны, то значение момента сопротивления может быть разным для разных частей сечения.

А началось все с банального яблока… хотя нет, начиналось все со слова.

Результат расчетов зависит не только от площади сечения, поэтому при решении задач по сопромату не обойтись без определения геометрических характеристик фигур : статических, осевых, полярного и центробежного моментов инерции. Обязательно необходимо уметь определять положение центра тяжести сечения (от положения центра тяжести зависят перечисленные геометрические характеристики). К дополнению к геометрическим характеристикам простых фигур: прямоугольника, квадрата, равнобедренного и прямоугольного треугольников, круга, полукруга . Указаны центр тяжести и положение главных центральных осей, и определены относительно них геометрические характеристики при условии, что материал балки однородный.

Геометрические характеристики прямоугольника и квадрата

Осевые моменты инерции прямоугольника (квадрата)

Геометрические характеристики прямоугольного треугольника

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Геометрические характеристики равнобедренного треугольника

Осевые моменты инерции равнобедренного треугольника

При расчетах на изгиб, кручение, сложное сопротивление и устойчивость используются более сложные геометрические характеристики: статические моменты,

1 Лекция 5. Геометрические характеристики плоских сечений 1.Площадь плоских сечений. 2.Статические моменты сечения. 3.Моменты инерции плоских сечений простой формы. 4.Моменты инерции сечений сложной формы. 5.Изменение моментов инерции сечения при повороте осей координат. 6.Главные оси инерции и главные моменты инерции. 7.Понятие о радиусе и эллипсе инерции сечения. В расчетах конструкций на механическую надежность очень часто приходится оперировать такими характеристиками плоских фигур, как статический момент, осевой и полярный моменты инерции. Хотя вычисление вышеназванных геометрических характеристик относится к числу простейших задач интегрального исчисления, тем не менее, в силу их узкого прикладного значения они практически не рассматриваются во втузовском курсе высшей математики. По установившейся традиции геометрические характеристики плоских фигур изучаются в курсе сопротивления материалов. Геометрические характеристики числовые величины (параметры), определяющие размеры, форму, расположение поперечного сечения однородного по упругим свойствам деформируемого элемента конструкции (и, как следствие, характеризующие сопротивление элемента различным видам деформации). Площадь плоских сечений Площадь сечения является одной из геометрических характеристик, используемых, главным образом, в расчетах на растяжение и сжатие. При расчетах на кручение, изгиб, а также на устойчивость используются более сложные геометрические характеристики: статические моменты, моменты инерции, моменты сопротивления и т.д. Проектирование конструкций с оптимальными формами и размерами сечений является одним из путей снижения веса и стоимости машин и сооружений. Площадь, ограниченная произвольной кривой, есть (1) Для вычисления геометрических характеристик сложных сечений, состоящих из простейших фигур, они разбиваются на конечное число n простейших частей. В этом случае. (2) Площадь является простейшей геометрической характеристикой сечения, имеет размерность L 2. Отметим два важных свойства: площадь всегда положительна и не зависит от выбора системы координат. Для сечений, составленных из профилей стандартного проката, площадь каждого профиля и остальные необходимые для расчетов размеры принимаются по таблицам ГОСТов на прокатную сталь. При расчетах на изгиб, кручение, сложное сопротивление и устойчивость используются более сложные геометрические характеристики: статические моменты,

2 моменты инерции сечений, которые зависят не только от формы и размеров сечений, но также от положения осей и точек (полюсов), относительно которых они вычисляются. Статические моменты сечения Статическим моментом плоского сечения относительно некоторой оси называется, взятая по всей его площади А, сумма произведений площадей элементарных площадок da на их расстояния от этой оси (рис. 4.1): ; (3) (5) где y c расстояние от центра тяжести всего плоского сечения до оси x; x c расстояние от центра тяжести всего сечения до оси y. Статический момент сложного сечения относительно некоторой оси равен сумме статических моментов всех частей этого сечения относительно той же оси: (4) (6) В формулах (6) введены обозначения: А 1, А 2,, А n площади простых элементов, составляющих плоское сложное сечение; x 1, y 1, x 2, y 2, x 3, y 3,, x n, y n координаты центров тяжести простых составляющих сложного плоского сечения относительно выбранных осей х и у. Из выражений (4) можно определить координаты центра тяжести плоского сечения: виде (7) Для сложного поперечного сечения формулы (7) можно представить в следующем (8) Зависимости между статическими моментами одного и того же сечения относительно двух параллельных друг другу осей х и х 1, а также у и у 1 имеют вид: где параметры a, b показаны на рис (9)

3 Рис.4.2 У к а з а н и я. 1. Изменение положительного направления оси у вызывает изменение знака статического момента S x. Аналогично, изменение положительного направления оси х вызывает изменение знака статического момента S y. 2. Статический момент сечения равен нулю относительно любой оси, проходящей через центр тяжести этого сечения. 3. Если плоское сечение имеет ось симметрии, то эта ось всегда проходит через центр тяжести плоского сечения, а поэтому, согласно п.2, статический момент сечения относительно оси симметрии всегда равен нулю. 4. Если плоское сечение имеет две оси симметрии, то центр тяжести сечения лежит на пересечении этих осей симметрии. Пример 1. Определить статический момент полукруга радиусом R (рис. 4.3) относительно горизонтальной оси z, совпадающей с диаметром, и координату центра тяжести y c. Решение. Рис.4.3 По формуле (3) имеем. Выделим на рис. 4.3 на расстоянии y элементарную площадку df с помощью двух хорд, параллельных оси z, на расстоянии dy друг от друга. Как следует из рис. 4.3 тогда и Подставляя найденные значения y и df в выражение S z, получим

4 Координата центра тяжести сечения y c определяется по формуле (7): Пример 2. Определить положение центра тяжести неравнобокого уголка (пренебрегая закруглениями его полок) относительно осей z и y, совпадающих с наружными сторонами контура (рис. 4.4). Найденные значения координат сравнить с табличными значениями по ГОСТ Рис.4.4 Решение. Пренебрегая загружением полок уголка, разбиваем фигуру на два прямоугольника, как показано на рис Для первого (1) прямоугольника Для второго (2) прямоугольника Координаты центра тяжести сечения определяем по формулам (8): По данным сортамента с учетом закруглений координаты центра тяжести равны z c =2,28см; y c =5,23см.

5 Для проверки правильности вычислений определим статические моменты относительно центральных осей, которые должны быть равны нулю: Графическая проверка: точка С должна находиться на отрезке С 1 С 2.. Моменты инерции плоских сечений простой формы В дополнение к статическим моментам в системе координат x0y рассмотрим три интегральных выражения: (10) Первые два интегральных выражения называются осевыми моментами инерции относительно осей x и y, а третье центробежным моментом инерции сечения относительно осей x, y. Для сечений, состоящих из n-числа областей (рис. 4.5), формулы (10) будут иметь вид: Рис. 4.5 Рассмотрим, как изменяются моменты инерции сечения при параллельном переносе координатных осей x и y (см. рис. 4.6). Преобразуя формулы (10), получим: (11) Рис. 4.6

6 Если предположить, что оси x 1 и y 1 (см. рис. 4.6) являются центральными, тогда и выражения (11) упрощаются и принимают вид: (12) Оси называются центральными, если они проходят через центр тяжести фигуры, т. е. статические моменты относительно этих осей равны нулю. Главными осями инерции фигуры называются оси относительно которых центробежный момент инерции равен нулю. Если фигура имеет хотя бы одну ось симметрии, то эта ось является главной осью. Определим осевые моменты инерции прямоугольника относительно осей x и y, проходящих через его центр тяжести (рис. 4.6). В качестве элементарной площадки dа возьмем полоску шириной b и высотой dy (рис. 4.4). Тогда будем иметь: Аналогичным образом можно установить, что. Центробежный момент инерции сечения относительно осей, хотя бы одна из которых является осью симметрии, равен нулю. Для систем, рассматриваемых в полярной системе координат (рис. 4.7, а), вводится также полярный момент инерции: где. радиус вектор точки тела в заданной полярной системе координат. Рис. 4.7 Вычислим полярный момент инерции круга радиуса R. На рис. 4.7, a показана элементарная площадка, очерченная двумя радиусами и двумя концентрическими поверхностями, площадью. Интегрирование по площади заменим двойным интегрированием:. Hайдем зависимость между полярным и осевыми моментами инерции для круга. Из геометрии видно (рис. 4.7, б), что,

7 следовательно,. Так как оси x и y для круга равнозначны, то. Полярный момент инерции кольца может быть найден как разность моментов инерции двух кругов: наружного (радиусом R) и внутреннего (радиусом r):. Размерность моментов инерции L 4. Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны, центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным, равным нулю. Для фигур, имеющих более двух осей симметрии, осевые моменты инерции относительно всех центральных осей равны между собой. К таким фигурам относятся равносторонний треугольник, квадрат, круг и т.д. Моменты инерции простых сечений Вычислим моменты инерции простейших фигур. Прямоугольник Определим моменты инерции относительно осей, совпадающих со сторонами, и относительно центральных осей. По определению. Рис. 4.8 Элемент площади равен da = bdy, следовательно. По формуле, откуда, учитывая что А = bh, y c = 0,5h, находим Аналогично получим и. Треугольник Момент инерции относительно оси х, cовпадающей с основанием,. Но da = b(y)dy, b(y) = (b/h)(h-y). Cледовательно,.

8 . Рис. 4.9 По формуле параллельного переноса, откуда. Круг Для любых центральных осей, поэтому. Как известно, полярный момент инерции круга равен. Рис Следовательно,. Кольцо ( ). Момент инерции относительно оси (рис.4.11) можно определить как разность моментов инерции наружного и внутреннего круга: Для тонкого кольца существует приближенная формула, где d ср средний диаметр, t — толщина кольца.. Рис Моменты инерции сечений сложной формы Момент инерции сечения сложной формы относительно некоторой оси равен сумме моментов инерций его составных частей относительно той же оси:

9 , (13) что непосредственно следует из свойств определенного интеграла. Таким образом, для вычисления момента инерции сложной фигуры надо разбить ее на ряд простых фигур, вычислить моменты инерции этих фигур, а затем просуммировать их. Пример 3. Определить момент инерции сечения, показанного на рис. 4.12, относительно оси симметрии, a=10 см. Рис.4.12 Решение. Разбиваем заданное сечение на простейшие элементы: I — Равнобедренный треугольник, II — прямоугольник, III — круг. Момент инерции сложной фигуры относительно оси z согласно формуле (13):. Определяем моменты инерции слагаемых простейших элементов: Для равнобедренного треугольника: ; для прямоугольника согласно формуле: для круга согласно формуле: ;. Окончательно получим: I z =4,0a 4 +10,67a 4-0,0491a 4 =14,6a 4 =14, =1, см 4. Пример 4. Определить момент инерции симметричного сечения, показанного на рис. 4.13, относительно вертикальной оси симметрии y. Двутавр 10 (ГОСТ ). Швеллер 5 (ГОСТ ).

10 Рис.4.13 Решение. Разбиваем исходное сечение на простейшие элементы, моменты инерций которых приводятся в справочниках: I — двутавр, II и III — швеллеры. По сортаменту на стандартные прокатные профили имеем: Для двутавра 10 (ГОСТ ): H=10 см, B=7 см, F=14,2 см 2, I x =244 см 4, I y =35,3 см 4. Для швеллера 5 (ГОСТ ): h=5 см, b=3,7 см, F=6,90 см 2, I x =26,1 см 4, I y =8,41 см 4, x 0 =1,35 см. Момент инерции сечения относительно оси y согласно (13) т.к. оба швеллера расположены идентично относительно оси y. Для двутавра. Для швеллера сортам.=26,1 см 4. Окончательно имеем:. Изменение моментов инерции сечения при повороте осей координат Найдем зависимость между моментами инерции относительно осей х, у и моментами инерции относительно осей х 1, у 1, повернутых на угол. Пусть J x > J y и положительный угол отсчитывается от оси х против часовой стрелки. Пусть координаты точки М до поворота x, y, после поворота x 1, y 1 (рис. 4.14). Рис.4.14 Из рисунка следует:

11 Теперь определим моменты инерции относительно осей х 1 и у 1 : или. (14) Аналогично:. (15) Сложив почленно уравнения (14), (15), получим: (16), т.е. сумма моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей остается постоянной и не изменяется при повороте системы координат. Пример 5. Найти моменты инерции прямоугольника (рис.4.15) относительно осей и и центробежный момент его относительно тех же осей. Рис.4.15 Решение. Центральные оси у и z как оси симметрии будут главными осями; моменты инерции сечения относительно этих осей равны: Центральные моменты относительно повернутых осей и равны: Центробежный момент инерции относительно осей и равен: Координаты центра тяжести прямоугольника относительно осей и равны: Моменты инерции относительно осей и равны:

12 Центробежный момент инерции равен: Главные оси инерции и главные моменты инерции С изменением угла поворота осей каждая из величин и меняется, а сумма их остается неизменной. Следовательно, существует такое значение, при котором моменты инерции достигают экстремальных значений, т.е. один из моментов инерции достигает своего максимального значения, в то время другой момент инерции принимает минимальное значение. Для нахождения значения возьмем первую производную от (или ) и приравняем ее нулю: или откуда,,. (17) Покажем, что относительно полученных осей центробежный момент инерции равен нулю. Для этого приравняем правую часть уравнения (16) нулю: откуда,, т.е. получили ту же формулу для. Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты инерции принимают экстремальные значения называются главными осями. Если эти оси являются также и центральными, то они называются главными центральными осями. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции. Обозначим главные оси через и. Тогда. Если сечение имеет ось симметрии, то эта ось всегда является одной из главных центральных осей инерции сечения. В литературе главные оси иногда обозначаются через и. Главные моменты инерции и могут быть также определены по формулам:,,

13 При повороте осей координат удовлетворяется следующее равенство: Моменты сопротивления относительно главных центральных осей u и v могут быть подсчитаны по формулам: где, — координаты точек сечения, наиболее удаленных от главных центральных осей u и v. Эти координаты можно вычислить, используя связь между координатами в повернутых на угол осях по формулам: Понятие о радиусе и эллипсе инерции сечения Радиусом инерции плоской фигуры относительно какой-либо оси, называется длина перпендикуляра, отсчитываемая от этой оси и вычисляемая по формуле: (18) После определения моментов инерции относительно главных осей можно построить эллипс инерции это эллипс, полуоси которого равны радиусам инерции относительно главных осей. Радиус инерции откладывается вдоль главной оси, а вдоль оси (рис. 4.16). Построение эллипса инерции удобно использовать для анализа правильности определения моментов инерции. Эллипс инерции должен быть вытянут в том направлении, в котором вытянута фигура. Рис.4.16 Пример 6. Определить радиусы инерции для сечения неравнобедренного уголка (рис. 4.17). Построить эллипс инерции этого сечения.

14 Рис.4.17 Решение. Осевые радиусы инерций сечения определяются по формулам: F уголка 16/10 =25,3 см 2 Построенный эллипс инерции показан на рис Моменты сопротивления Осевой момент сопротивления относительно рассматриваемой оси величина равная моменту инерции относительно той же оси отнесенному к расстоянию до наиболее удаленной от этой оси точки ;. Полярный момент сопротивления Осевой и полярный моменты инерции имеют размерность м 3. Стандартные прокатные профили В балках из металла обычно применяются сложные поперечные сечения, потому что в них материал может быть использован экономичнее, чем в таких сечениях, как прямоугольник и круг.

15 Так, известно, что валы делают полыми, чтобы удалить ту часть материала, которая слабо работает. Известно также, что при изгибе балок материал около нейтральной оси принимает на себя малые нормальные напряжения и также не может быть использован полностью. Поэтому целесообразнее переделать прямоугольное сечение так, чтобы удалить материал у нейтральной оси и часть его сэкономить, а часть перенести в верхнюю и нижнюю зоны балки, где он будет работать более интенсивно. Так получается из прямоугольного сечения профиль двутавра, обладающего той же прочностью и меньшим весом. Применение двутавра целесообразно при материалах, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию (большинство металлов). Сечения в виде тавра, применяются или в случаях, вызываемых специальными конструктивными обстоятельствами, или для таких материалов, как чугун, бетон, у которых сопротивления растяжению и сжатию резко разнятся между собой; последнее обстоятельство требует, чтобы напряжения в крайних волокнах были различными. Как видно из изложенного, при решении вопроса о наиболее экономичном проектировании сечения следует стремиться к тому, чтобы при одной и той же площади F получить наибольший момент сопротивления и момент инерции. Это ведет к размещению большей части материала подальше от нейтральной оси. Однако для некоторых сечений можно увеличить момент сопротивления не добавлением, а, наоборот, путем срезки некоторой части сечения, наиболее удаленной от нейтральной оси. Так, например, для круглого сечения срезка заштрихованных сегментов (рис.4.18) несколько увеличивает момент сопротивления, так как при этом мы уменьшаем момент инерции сечения в меньшей степени, чем расстояние до крайнего волокна. Рис.4.18 Нашей промышленностью выпускаются стандартные прокатные профили (двутавр, швеллер, уголок равнобокий, уголок неравнобокий), которые могут быть использованы как готовые элементы конструкций (балки, стойки, элементы ферм и т.д.). Размеры прокатных профилей стандартизированы и сведены в таблицы сортаментов прокатной стали, которые приводятся в приложениях почти всех учебников и сборников задач по сопротивлению материалов. В этих таблицах приводятся все размеры сечений и основные геометрические характеристики прокатных профилей в соответствии с их номером. Алгоритм расчета геометрических характеристик плоских сечений При анализе геометрических характеристик плоских сечений любой сложности важнейшей задачей является определение положения главных центральных осей, величин главных центральных моментов инерции и моментов сопротивления сечений. Можно рекомендовать следующий порядок определения положения главных центральных осей, величин главных центральных моментов инерции и моментов сопротивления сложного профиля, состоящего из простых частей, характеристики которых либо известны, либо легко определяются. 1. Заданное сечение вычерчивается в определенном масштабе и разбивается на элементы геометрические характеристики которых представлены в сортаменте, либо могут быть вычислены по элементарным формулам, элементы нумеруются, номера элементов указываются на чертеже.

16 2. Проводим прямоугольную систему осей z, y. Начальные оси могут задаваться произвольно. Однако, для упрощения вычислений удобно, если начальные оси проходят через центр тяжести одного или нескольких элементов сечения, на которые разбито заданное сечение. Все начальные размеры, необходимые для вычисления геометрических характеристик элементов и определения координат центров тяжестей элементов указываются на чертеже. Для прокатных профилей на чертеже сечения указываются необходимые для расчета размеры, взятые из таблиц проката. 3. Определяем координаты центров тяжести элементов сечения относительно начальных осей z c, y c. и геометрические характеристики сечений относительно собственных осей элементов А i,,,. Собственные оси элементов оси, параллельные начальным осям z c, y c. проходящие через центры тяжестей элементов сечения. Замечание. Необходимо проявлять внимательность при определении координат центров тяжестей элементов сечения и их геометрических характеристик, так как ошибки, допущенные на этом этапе не имеют алгоритма проверки и приводят к ошибочным результатам при дальнейших вычислениях. 4. Определяем координаты центра тяжести всего сечения по формулам: ;. Центральные оси х, у (оси проходящие через центр тяжести всего сечения), параллельные начальным осям показываются на чертеже. Для самостоятельной проверки правильности, определения координат центра тяжести сложного сечения делается проверка, согласно которой вычисляются статические моменты всего сечения относительно осей,. Должны иметь место равенства и в пределах точности производимых вычислений. 5. Проводим систему центральных осей,, таким образом, чтобы наиболее просто можно было вычислить моменты инерции частей фигуры относительно этих осей. Для этого определяем моменты инерции частей фигуры относительно собственных центральных осей, проведенных параллельно осям,, используя при этом формулы перехода к параллельным осям (12). Суммируя, получаем значения,,. 6. Определяем координаты центров тяжести элементов сечения относительно центральных осей сечения: ;. Замечание. Геометрические характеристики сечений, координаты центров тяжести сечений относительно начальных и центральных осей целесообразно оформить в виде таблицы (см. пример расчета), 7. Проводим контроль правильности определения координат центров тяжести сечения и его элементов. Для этого вычисляется статический момент сечения относительно центральных осей, которые при правильном расчете должны равняться нулю: ;. Замечание. Все расчеты проводятся с ограниченной точностью. Инженерные расчеты, обычно, проводят с учетом 3 4 значащих цифр. Оставлять большее число значащих цифр нецелесообразно, так как исходные данные (исходные размеры и значения геометрических характеристик) не обеспечивают большую точность и поэтому результаты с большим числом значащих цифр нельзя считать более достоверными. Точность результата оценивают, обычно, относя невязку (разность между приближенным и точным значением) к точному или приближенному значению. Однако, если результатом вычислений должен быть ноль, такой подход невозможен. В этом случае отдельно

17 подсчитывают положительные и отрицательные слагаемые и абсолютное значение невязки и относят невязку к сумме положительных (или отрицательных) слагаемых:. Погрешность инженерных расчетов обычно не должна превышать 3%. 8. Определяем геометрические характеристики сечения осевые, полярный и центробежный моменты инерции сечения относительно центральных осей ; ; ;. Заметим, что площадь, осевые и полярный моменты инерции являются строго положительными характеристиками сечений. Однако, для сечений с отверстиями бывает удобным считать отверстия элементами сечений с отрицательными характеристиками. 9. Определяем положение главных центральных осей. Положительный угол откладывается против хода часовой стрелки, отрицательный — по ходу часовой стрелки. 10. Определяем значения главных центральных моментов инерции и, причем ось, относительно которой имеет место максимальный, главный центральный момент инерции, обозначаем буквой u (I max =I u ), а ей перпендикулярную ось, относительно которой имеет место минимальный, главный центральный момент инерции, обозначаем буквой v (I min =I v ). Для самостоятельного контроля правильности решения задачи на данном этапе делаются следующие проверки: а) Определяется центробежный момент инерции относительно главных центральных осей, который согласно определению должен быть равен нулю, I uv =0. б) Также могут быть определены главные центральные моменты инерции сложного сечения I u, I v. в) Должно удовлетворяться равенство:. 11. Для определения моментов сопротивления сложного сечения необходимо определить точки, наиболее удаленные от главных центральных осей, координаты которых относительно главных центральных осей u max и v max могут быть определены по формулам перехода к повернутым осям. Для проверки, координаты точек, наиболее удаленных от главных центральных осей, могут быть определены и графически непосредственно с чертежа, выполненного в масштабе. 12. Для определения радиусов инерции производятся вычисления по формулам (18). При построении эллипса инерции от центра тяжести сечения по осям u и v откладываем в масштабе чертежа величины i v и i u каждый соответственно перпендикулярно своей оси. На этих отрезках, как на полуосях, строится эллипс инерции. Для проверки (или более точного построения эллипса инерции) могут быть отложены величины и. Вопросы для самопроверки — Для чего необходимы геометрические характеристики плоских сечений? — Что такое статический момент плоской фигуры? Какова его размерность? — Какими свойствами обладает статический момент? — Относительно каких осей статический момент равен нулю?

18 — Как определяется положение центра тяжести сечения? — Вывести формулы для определения осевых моментов инерции простых фигур: прямоугольник, круг. — Выведите зависимости между осевыми и центробежным моментами инерции сечения для параллельных осей. — Как определяются координаты центра тяжести сложной площади? — Что понимается под осевым, полярным и центробежным моментами инерций? Какими свойствами они обладают? Их размерность? — Что такое полярный момент инерции? — Почему осевые и полярные моменты инерции не могут быть отрицательными? — Относительно какой из параллельных осей осевой момент инерции наименьший? — Когда используют полярный момент сопротивления? — Для определения каких напряжений используют осевой момент сопротивления? — Как записываются формулы перехода для моментов инерции при параллельном переносе осей? — Какие свойства имеют главные центральные моменты инерции сечений? — Как определяют главные моменты инерции сложных сечений, имеющих оси симметрии? — Чему равен осевой момент инерции относительно центральной оси? — Чему равен осевой момент инерции для круга и кольца? — Какие оси называются главными центральными осями инерции? — Какими выражениями определяются величины главных моментов инерции и положение главных осей? Получите эти выражения? — Для каких сечений положение главных осей можно указать без вычислений? — Получите соотношение между осевыми и полярными моментами инерции сечения? — Получите выражения главных центральных моментов инерции для прямоугольного и кругового сечений? — Что такое момент сопротивления сечения? Чему он равен для прямоугольного и круглого сечения? — Что такое радиус инерции? — Как строится эллипс инерции сечения? Для чего он строится? — Что такое главные центральные оси инерции? — Какая геометрическая характеристика используется при определении прогиба? — Какая геометрическая характеристика используется при определении угла закручивания? — Какая геометрическая характеристика используется для определения максимальных касательных напряжений при кручении и максимальных нормальных напряжений при изгибе? — Назовите основные геометрические характеристики поперечных сечений. — Какие оси называются центральными осями? — Напишите зависимости между моментами инерции относительно параллельных осей. — Как изменяются моменты инерции при повороте координатных осей? — Какие оси и какие моменты инерции называются главными? — Напишите значения моментов инерции для простых сечений: прямоугольника, треугольника, круга, полукруга. — В какой последовательности определяется положение главных центральных осей для составных сечений? — Вычислите полярный момент инерции круга диаметром 80 мм?

19 — Вычислите полярный момент инерции поперечного сечения трубы? Наружный диаметр трубы d н =100 мм, внутренний d в =90 мм. — Определите, на сколько процентов уменьшится полярный момент инерции кольца по сравнению с кругом, если наружный диаметр кольца d н равен диаметру круга d? Отношение внутреннего диаметра кольца к наружному. — Диаметр сплошного вала увеличили в 2 раза. Во сколько раз увеличатся осевые моменты инерции? ( ) — Осевые моменты сечения равны соответственно J x = 2,5 мм 4 и J y = 6,5 мм 4. Определите полярный момент сечения? — Осевой момент инерции кольца относительно оси Ох J x =4 см 4. Определите величину J p? — Вставьте (устно) пропущенное слово: Статическим моментом площади сложного сечения называется сумма произведений площадей на расстояние от до их центров тяжести. — Вставьте (устно) пропущенные слова: Координата центра тяжести сечения y c определяется как отношение суммы к сумме.. — Вставьте (устно) пропущенные слова: Осевым моментом инерции площади поперечного сечения называется взятый по всей площади сечения F интеграл от произведения элементарных площадок на их расстояния от до этих площадок. — Зависит ли статический момент сечения от расстояния фигуры до оси, относительно которой он вычисляется? — Во сколько раз изменится осевой момент инерции I zc сечения бруса, если он от круглого сечения был обработан до квадратного? — Определите i min прямоугольного сечения со сторонами a и 4a. — Определите i oc для круглого сечения диаметром d=16 см. — Вычислить момент инерции сплошного круглого сечения диаметром d=4 см относительно центральной оси. — Определить, на сколько (в %) уменьшится площадь и полярный момент инерции кольцевого сечения по сравнению со сплошным круглым, если наружный диаметр кольца Д равен диаметру круга Д. Отношение внутреннего диаметра кольца d к наружному Д равно 0,5. — Для заданных сечений определить: статические моменты площади относительно оси х 0, центробежный момент инерции,осевые моменты инерции,,принять а=5 см, h =10 cм, b = 6 см, D = 8 см,.

20 г) а) б) в) а) ; ; ; б) ; ; ; в) ; ; ; г) ; ; ; — Где располагается центр тяжести тела, имеющего ось симметрии? 1) на оси симметрии; 2) положение центра тяжести нельзя определить. — Чему равен статический момент сечения относительно оси y c, проходящей через центр тяжести сечения? 1) 2) 3). — Какова размерность статического момента? 1) [длина] 2 2) [длина] 3 3) [длина] 4. — Может ли статический момент сечения быть отрицательным? 1) может 2) не может.

21 оси? — Зависит ли статической момент площади от расположения площади относительно 1) зависит; 2) не зависит. — Может ли осевой момент инерции быть отрицательным числом? 1) может; 2) не может. — Какова размерность моментов инерции сечения? 1) [длина] 2 2) [длина] 3 3) [длина] 4. — Какие значения может приобретать осевой момент инерции I z? 1) 2) 3). — Какой из моментов инерции сечения может быть отрицательным? 1) I z 2) I y 3) I zy 4) I p. раза?. — Как изменится осевой момент инерции круга, если его диаметр увеличить в два 1) увеличится в 2 раза; 2) увеличится в 4 раза; 3) увеличится в 16 раз. — Какую размерность имеет радиус инерции сечения? 1) [длина]; 2) [длина] 2 ; 3) [длина] 3 ; 4) [длина] 4. 4) — Для балки из пластичного материала, какой формы сечение будет рациональным? 1) 2) 3) — Относительно какой оси момент инерции треугольника будет минимальным?

22 3). — Если ось z 2 проходит через центр тяжести, то момент инерции относительно этой оси равен: — Момент инерции относительно оси z равен. Чтобы вычислить момент инерции относительно оси z 1 необходимо воспользоваться формулой:

23 — Если в поперечном сечении оси y,z являются главными, то относительно этих осей центробежный момент будет 1) максимальным; 2) минимальным; 3) равным нулю; 4) равен. — Влияние геометрических характеристик плоских сечений на прочность и жесткость элементов конструкции: 1) не влияют на прочность и жесткость; 2) зависит от направления внешней нагрузки; 3) от конфигурации сечения зависит величина напряжений и деформаций. — Осевые моменты инерции: 1) сумма осевых моментов инерции величина постоянная; 2) сумма осевых моментов инерции величина не постоянная; 3) сумма осевых моментов инерции зависит от нагрузки. — Осевой момент сопротивления круга: 1) 2) 3) — Осевой момент сопротивления прямоугольника: ; 3). — Полярный момент инерции кольца: 3). — Чему равен полярный момент круга? — Что такое статический момент площади поперечного сечения? 1) Статическим моментом сечения называется взятая по всей его площади А сумма произведений элементарных площадок на их квадрат расстояние то этой оси, т.е.

24 . 2) Статическим моментом сечения относительно некоторой оси называется взятая по всей его площади сумма произведений элементарных площадок da на из расстояние от этой оси:. 3) Статическим моментом сечения относительно некоторой оси называется взятая по всей его площади А сумма произведений элементарных площадок на их расстояние от этой оси: 4) Cтатическим моментом сечения относительно некоторой оси называется взятая по всей его площади А сумма произведений элементарных площадок da на расстояние до двух взаимно-ортогональных осей: — Если (J y и J z =0) и (J yz =0), то какие оси являются главными осями инерции? 1) Только оси max и min. 2) Оси системы координат y-z. 3) Любые оси, полученные поворотом системы координат (y-z). 4) Только главные центральные оси инерции. — Чему равен статический момент относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения? 1) S z =0. 2) S y =0, 3) S y =0, S z =0. 4) — Если в плоскости сечения проведен ряд параллельных осей, относительно какой из них осевой момент инерции имеет наименьшее значение? 1. Относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения. 2. Относительно оси, наиболее удаленной от центра тяжести сечения. 3. Относительно оси, где центробежный момент инерции равен Относительно оси, совпадающей с осью симметрии сечения. — Статический момент сечения относительно оси Х определяется: — Какова размерность статического момента сечения?

25 1) см 4 ; 2) см 2 ; 3) см 3 ; 4) см. — Чему равен осевой момент инерции прямоугольника с размерами bxh относительно центральной оси у? — Чему равен осевой момент инерции круга относительно оси, проходящей через его центр тяжести? 4) — Осевой момент инерции сечения относительно оси Y равен: — Какой интеграл определяет полярный момент инерции сечения?

26 — Осевой момент инерции квадрата с размерами (аха) относительно центральной оси Х равен: — Какой знак имеют осевые моменты инерции? 1) положительный; 2) отрицательный; 3) равен нулю. — Какова размерность осевых моментов инерции сечения? 1) см 4 ; 2) см 2 ; 3) см 3 ; 4) см. — Чему равен полярный момент инерции круга относительно его центра? — Чему равна сумма осевых моментов инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей? — Какой момент инерции может принимать отрицательные значения?

27 — Чему равен статический момент сечения относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения? 3). — Какая ось является центральной для данного сечения? 1) х 1 ; 2) х 2 ; 3) х 3. — Определить знак центробежного момента инерции данного сечения. 3) =0. — Единицы измерения полярного момента инерции сечения. 1) см 4 ; 2) см 2 ; 3) см 3 ; 4) см. — Осевой момент инерции полукруга относительно основания равен:

28 — По какой формуле определяются положения главных центральных осей инерции сечения? 3). — Связь между осевыми и полярным моментами инерции 3). — Какова размерность центробежного момента инерции сечения? 1) см 4 ; 2) см 2 ; 3) см 3 ; 4) см. — Определить статический момент треугольника относительно оси, проходящей через основание. — Осевой момент инерции прямоугольника с размерами bхh относительно центральной оси Y равен:

29 — Осевой момент инерции треугольника относительно центральной оси Хс, если его высота h и основание b, равен: 4) — Определить относительно какой оси: х с или у с момент инерции прямоугольника больше, если размеры прямоугольника b и h (h>b). 1) х; 2) у с ; 3) х с ; 4) y. — Центробежный момент инерции сечения в интегральной форме: — Теорема о параллельном переносе осей для центробежного момента инерции сечения записывается: 3).

30 — Определить центробежный момент инерции прямоугольника, с размерами bхh, относительно осей, проходящих через центр тяжести сечения. 3) 0; — Осевой момент инерции кольца с размерами dхd относительно центральной оси Х равен: — Осевой момент инерции сечения относительно оси Х равен: — Чему равен осевой момент инерции прямоугольника, с размерами bхh, относительно оси абсцисс, проходящей через центр тяжести прямоугольника? — Если в плоскости сечения проведен ряд параллельных осей, относительно какой из них осевой момент инерции имеет наименьшее значение?

31 1) относительно оси, наиболее удаленной от центра тяжести сечения; 2) относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения; 3) момент инерции не изменится. — Как меняется момент инерции при параллельном переносе осей, если центральная ось Х с 2) 3). — Чему равен полярный момент инерции кольца относительно его центра? 90? — Как изменится центробежный момент инерции при повороте осей координат на 3). — Какими формулами необходимо воспользоваться для определения координат центра тяжести сечения? 1) и ; 2) и ; 3) нет правильного ответа. — Измениться ли сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей при их повороте? 1) нет; ; 2) да; ; 3) да; ; 4) нет правильного ответа. — Осевой момент инерции треугольника относительно оси проходящей через основание равен:

32 4) — Величины главных моментов инерции определяются по формуле: Какая величина отсутствует в формуле? — Будет ли равен нулю центробежный момент инерции сечения, имеющего одну ось симметрии? 1) нет; 2) да; 3) не зависит. — Чему равен центробежный момент инерции относительно главных осей инерции? 1) J ХУ >0; 2) J ХУ <0; 3) J ХУ =0. — Определить на каком расстоянии друг от друга нужно расположить два швеллера 14, чтобы осевые моменты инерции сечения были равны между собой.

33 1) 4,63 см; 2) 20,4 см; 3) 7,35 см; 4) 16,0 см. — Определить осевой момент инерции сечения относительно оси x. 1) 0,78а 4 ; 2) 0,928а 4 ; 3) 0,578а 4 ; 4) 0,43а 4 — Для данного сечения швеллер 10 определить : а) осевой момент инерции сечения относительно оси ; б) осевой момент инерции сечения относительно оси. а) 1) 43 см 4 ; 2) 186 см 4 ; 3) 446,5 см 4 ; 4) 20,4 см 4 ; б) 1) 43 см 4 ; 2) 186 см 4 ; 3) 446,5 см 4 ; 4) 20,4 см 4. — Для сечения, составленного из двух неравнобоких уголков 100х63х10,определить момент инерции J x. 1) 1059,4 см 4 ; 2) 308 см 4 ; 3) 483 см 4 ;

34 4) 683 см 4. — Определить центробежный момент инерции прямоугольника с размерами в = 5 см, h = 10 см относительно осей проходящих через его стороны. 1) 416,7 см 4 ; 2) 625 см 4 ; 3) 432 см 4 ; 4) 625 см 4. — Определить моменты инерции сечения относительно центральных осей х С и у С, с = 5 см 4) ; — Определить момент инерции сечения относительно центральной оси у С.

35 — Определить на каком расстоянии друг от друга нужно расположить два двутавра 20, чтобы осевые моменты инерции сечения были равны между собой. 1) 20,2 см; 2) 16,04 см; 3) 12,24 см; 4) 32,24 см. — Определить моменты инерции сечения относительно центральных осей х С и у С. ; ; ; 4) ;.

домашних заданий и упражнений — Может ли момент инерции быть отрицательным?

домашнее задание и упражнения — Может ли момент инерции быть отрицательным? — Обмен физическими стеками
Сеть обмена стеков

Сеть Stack Exchange состоит из 178 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетить Stack Exchange
  1. 0
  2. +0
  3. Авторизоваться Подписаться

Physics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для активных исследователей, ученых и студентов-физиков.Регистрация займет всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил

Просмотрено 6к раз

$ \ begingroup $ Закрыто. Этот вопрос не по теме. В настоящее время он не принимает ответы.

Хотите улучшить этот вопрос? Обновите вопрос, чтобы он соответствовал теме Physics Stack Exchange.

Закрыт 6 лет назад.

Q: Определите момент инерции однородного круглого диска с радиусом $ r $ и массой $ M $, и ось проходит через точку на окружности.2} {3}. $$ Тяжелая работа! Но все напрасно !! Момент инерции отрицательный ??? Где я ошибся ?? Пожалуйста помоги.

$ \ endgroup $ 5 $ \ begingroup $

с вашим определением $ dA $, вы должны интегрировать между r и 0, потому что вы начинаете в центре, а радиус кольца увеличивается по мере того, как вы идете для (r-x) от x = r до x = 0

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *