Мощность, выделяемая в цепи переменного тока

      Мгновенное значение мощности переменного тока равно произведению мгновенного значения напряжения на силу тока:

,

      где   и .

      Раскрыв , получим

.

      Практический интерес представляет не мгновенное значение мощности, а ее среднее значение за период колебания. Учитывая, что , , получим:

,

(4.5.1)

      где , поэтому среднее значение мощности будет равно:

.

(4.5.2)

      Такую же мощность развивает постоянный ток:  .

      Величины   и  называются действующими (или эффективными) значениями тока и напряжения. Все амперметры и вольтметры градируются по действующим значениям тока и напряжения.

      Учитывая действующие значения тока и напряжения, выражение средней мощности (4.5.1) можно записать в виде:

,

(4.5.4)

      где множитель  называется коэффициентом мощности.

      Формула (4.5.4) показывает, что мощность, выделяемая в цепи переменного тока, в общем случае, зависит не только от силы тока и напряжения, но и от сдвига фаз между ними. Если в цепи отсутствует реактивное сопротивление Х, то  и . Если цепь содержит только реактивное сопротивление (

R = 0), то  и средняя мощность равна нулю, какими бы большими ни были ток и напряжение.

      Если  имеет значение существенно меньше единицы, то для передачи заданной мощности при данном напряжении генератора нужно увеличивать силу тока I, что приводит либо к выделению джоулевой теплоты, либо потребует увеличения сечения проводов, что повышает стоимость линий электропередачи. Поэтому на практике всегда стремятся увеличить . Наименьшее допустимое значение  для промышленных установок составляет примерно 0,85.

      В таблице 4.1 приведены сравнительные характеристики механических и электромагнитных колебаний.

Таблица 4.1

Колебания
механические		электромагнитные
Дифференциальное уравнение		Дифференциальное уравнение
Масса		Индуктивность катушки
Коэффициент жесткости		Обратная величина емкости
Смещение		Заряд
Скорость		Сила тока
Потенциальная энергия		Энергия электрич. поля
Кинетическая энергия		Энергия магнитного поля
Собств. частота пружинного маятника		Собств. частота колебательного контура
Период колебаний		Период колеб. Формула Томсона
Циклич. частота затухающих колебаний		Циклич. частота затухающих колебаний
Коэффициент затухания		Коэффициент затухания
Логарифмич. декремент затухания		Логарифмич. декремент затухания
Добротность пружинного маятника		Добротность колебательного контура
Резонансная частота		Резонансная частота

---

§52. Мощность, выделяемая в цепи переменного тока

Мгновенное значение мощности переменного тока равно произведению мгновенных значений напряжения и силы тока:

где U(t)=U_mcost, I(t)=I_mcos(t – ) (см. выражения (149.1) и (149.11)). Раскрыв cos(

t – ), получим

Практический интерес представляет не мгновенное значение мощности, а ее среднее значение за период колебания. Учитывая, что cos² t= ¹/₂, sin  t cos  t = 0, получим

(152.1)

Из векторной диаграммы (см. рис. 216) следует, что U_m

сos  = RI_m. Поэтому

Такую же мощность развивает постоянный ток .

Величины

называются соответственно действующими (или эффективными) значениями тока и напряжения. Все амперметры и вольтметры градуируются по действующим значениям тока и напряжения.

Учитывая действующие значения тока и напряжения, выражение средней мощности (152.1) можно запасать в виде

(152.2)

где множитель соs  называется коэффициентом мощности.

Формула (152.2) показывает, что мощность, выделяемая в цепи переменного тока, в общем случае зависит не только от силы тока и напряжения, но и от сдвига фаз между ними. Если в цепи реактивное сопротивление отсутствует, то cos =1 и P=IU. Если цепь содержит только реактивное сопротивление (R=0), то cos=0 и средняя мощ­ность равна нулю, какими бы большими ни были ток и напряжение. Если cos

 имеет значения, существенно меньшие единицы, то для передачи заданной мощности при данном напряжении генератора нужно увеличивать силу тока I, что приведет либо к выделению джоулевой теплоты, либо потребует увеличения сечения проводов, что повышает стоимость линий электропередачи. Поэтому на практике всегда стремятся увеличить соs, наименьшее допустимое значение которого для промышленных уста­новок составляет примерно 0,85.

48. 49 Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний (механических и электромагнитных) и его решение

Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого-либо периодически действующего фактора

X(t), изменяющего по гармоническому закону:

Если рассматривать механические колебания, то роль X(t) играет внешняя вынуж­дающая сила

(147.1)

С учетом (147.1) закон движения для пружинного маятника (146.9) запишется в виде

Используя (142.2) и (146.10), придем к уравнению

(147.2)

Если рассматривать электрический колебательный контур, то роль X(t) играет подводимая к контуру внешняя периодически изменяющаяся по гармоническому закону э.д.с. или переменное напряжение

(147.3)

Тогда уравнение (143.2) с учетом (147.3) можно записать в виде

Используя (143.4) и (146.11), придем к уравнению

(147.4)

Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся э.д.с., называются соответственно вынужденными механическими и вынужденными электромагнитными колебаниями.

Уравнения (147.2) и (147.4) можно свести к линейному неоднородному дифференци­альному уравнению

(147.5)

применяя впоследствии его решение для вынужденных колебаний конкретной физичес­кой природы (x₀ в случае механических колебаний равно F₀/m, в случае электромагнит­ных — U_m/L).

Решение уравнения (147.5) равно сумме общего решения (146.5) однородного урав­нения (146.1) и частного решения неоднородного уравнения. Частное решение найдем в комплексной форме (см. § 140). Заменим правую часть уравнения (147.5) на комплексную величину х₀:

(147.6)

Частное решение этого уравнения будем искать в виде

Подставляя выражение для s и его производных в уравнение (147.6), получаем

(147.7)

Так как это равенство должно быть справедливым для всех моментов времени, то время t из него должно исключаться. Отсюда следует, что =. Учитывая это, из уравнения (147.7) найдем величину s₀ и умножим ее числитель и знаменатель на

Это комплексное число удобно представить в экспоненциальной форме:

где

(147.8)

(147.9)

Следовательно, решение уравнения (147.6) в комплексной форме примет вид

Его вещественная часть, являющаяся решением уравнения (147.5), равна

(147.10)

где А и  задаются соответственно формулами (147.8) и (147.9).

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения (147.5) имеет вид

(147.11)

Решение уравнения (147.5) равно сумме общего решения однородного уравнения

(147.12)

(см. (146.5)) и частного решения (147.11). Слагаемое (147.12) играет существенную роль только в начальной стадии процесса (при установлении колебаний) до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения, определяемого равенством (147.8). Графически вынужденные колебания представлены на рис. 209. Следовательно, в установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой  и являют­ся гармоническими; амплитуда и фаза колебаний, определяемые выражениями (147.8) и (147.9), также зависят от .

Запишем формулы (147.10), (147.8) и (147.9) для электромагнитных колебаний, учитывая, что (см. (143.4)) и (см. (146.11)):

(147.13)

Продифференцировав Q=Q_mcos(t–) по t, найдем силу тока в контуре при устано­вившихся колебаниях:

(147.14)

где

(147.15)

Выражение (147.14) может быть записано в ввде

где = – /2 — сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением (см. (147.3)). В соответствии с выражением (147.13)

(147.16)

Из формулы (147.16) вытекает, что ток отстает по фазе от напряжения (>0), если L>1/(С), и опережает напряжение (<0), если L<1/(С).

Формулы (147.15) и (147.16) можно также получить с помощью векторной диаграм­мы. Это сделано в §149 для переменных токов.

§ 152. Мощность, выделяемая в цепи переменного тока

где (см. выражения (149.1) и (149.11)). Раскрыв

получим

Мгновенное значение мощности переменного тока равно произведению мгновенных значений напряжения и силы тока:

Практический интерес представляет не мгновенное значение мощности, а ее среднее значение за период колебания. Учитывая, чтополучим

Из векторной диаграммы (см. рис. 216) следует, чтоПоэтому

Такую же мощность развивает постоянный токВеличины

называются соответственно действующими (или эффективными) значениями тока и на­пряжения. Все амперметры и вольтметры градуируются по действующим значениям тока и напряжения.

Учитывая действующие значения тока и напряжения, выражение средней мощности (152.1) можно записать в виде

где множительназывается коэффициентом мощности.

Формула (152.2) показывает, что мощность, выделяемая в цепи переменного тока, в общем случае зависит не только от силы тока и напряжения, но и от сдвига фаз между ними. Если в цепи реактивное сопротивление отсутствует, тоиЕсли

цепь содержит только реактивное сопротивлениетои средняя мощ-

ность равна нулю, какими бы большими ни были ток и напряжение. Еслиимеет

значения, существенно меньшие единицы, то для передачи заданной мощности при данном напряжении генератора нужно увеличивать силу токачто приведет либок выделению джоулевой теплоты, либо потребует увеличения сечения проводов, что повышает стоимость линий электропередачи. Поэтому на практике всегда стремятся увеличитьнаименьшее допустимое значение которого для промышленных уста-

новок составляет примерно 0,85.

Глава 19 Упругие волны

§ 153. Волновые процессы. Продольные и поперечные волны

Колебания, возбужденные в какой-либо точке среды (твердой, жидкой или газообраз­ной), распространяются в ней с конечной скоростью, зависящей от свойств среды, передаваясь от одной точки среды к другой. Чем дальше расположена частица среды от источника колебаний, тем позднее она начнет колебаться. Иначе говоря, фазы колеба­ний частиц среды и источника тем больше отличаются друг от друга, чем больше это расстояние. При изучении распространения колебаний не учитывается дискретное

284

(молекулярное) строение среды и среда рассматривается как сплошная, т. е. непрерыв­но распределенная в пространстве и обладающая упругими свойствами.

Процесс распространения колебаний в сплошной среде называется волновым про­цессом (или волной). При распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице среды передаются лишь состояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества.

Среди разнообразных волн, встречающихся в природе и технике, выделяются следующие их типы: волны на поверхности жидкости, упругие и электромагнитные волны. Упругими (или механическими) волнами называются механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде. Упругие волны бывают продольные и попереч­ные. В продольных волнах частицы среды колеблются в направлении распространения волны, в поперечных — в плоскостях, перпендикулярных направлению распростране­ния волны.

Продольные волны могут возбуждаться в средах, в которых возникают упругие силы при деформации сжатия и растяжения, т. е. твердых, жидких и газообразных телах. Поперечные волны могут возбуждаться в среде, в которой возникают упругие силы при деформации сдвига, т. е. в твердых телах; в жидкостях и газах возникают только продольные волны, а в твердых телах — как продольные, так и поперечные.

Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими. На рис. 220 представлена гармоническая поперечная волна, распространяющаяся со скоростью v вдоль оси х, т. е. приведена зависимость между смещениемчастиц среды, участвующих в волновом процессе,и расстоянием х этих частиц (например, частицы В) от источника колебаний О для какого-то фиксированного момента времени t. Приведенный график функциипохож на график гармонического колебания, однако они различны по существу. График волны дает зависимость смещения всех частиц среды от расстояния до источника колебаний в данный момент времени, а график колебаний зависимость смещения данной частицы от времени.

Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны А (рис. 220). Длина волны равна тому расстоянию, на которое распространяется определенная фаза колебания за период, г. е

или, учитывая, что— частота колебаний,

Если рассмотреть волновой процесс подробнее, то ясно, что колеблются не только частицы, расположенные вдоль оси х, а колеблется совокупность частиц, расположен-

ных в некотором объеме, т. е. волна, распространяясь от источника колебаний, охва­тывает все новые и новые области пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется волновым фронтом. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновых поверхностей можно провести бесчисленное множество, а волновой фронт в каждый момент времени — один. Волновой фронт также является волновой поверхностью. Волновые поверхности могут быть любой формы, а в про­стейшем случае они представляют собой совокупность плоскостей, параллельных друг другу, или совокупность концентрических сфер. Соответственно волна называется плоской или сферической.

§ 152. Мощность, выделяемая в цепи переменного тока

Мгновенное значение мощности перемен­ного тока равно произведению мгновенных значений напряжения и силы тока:

P(t)=U(t)I(t),

где U(t)=U_mcost, I(t)= I_mcos(t-) (см. выражения (149.1) и (149.11)). Раск­рыв cos(t-), получим

Р(t) = I_mU_mcos(t-)cost= I_m(U_m(cos²tcos+sintcostsin).

Практический интерес представляет не мгновенное значение мощности, а ее сред­нее значение за период колебания. Учиты­вая, что <cos²t>=¹/₂, <sintcost)=0, получим

<Р>=¹/₂I_mU_mсоs. (152.1)

Из векторной диаграммы (см. рис. 216) следует, что U_mcosfi=RI_m. Поэтому

<P>=¹/₂RI²_m.

Такую же мощность развивает постоян­ный ток I = I_m/2. Величины

I= I_m/2, U=U_m/2

называются соответственно действующи­ми (или эффективными) значениями тока

и напряжения. Все амперметры и вольт­метры градуируются по действующим зна­чениям тока и напряжения.

Учитывая действующие значения тока и напряжения, выражение средней мощно­сти (152.1) можно записать в виде

<P>=IUcos, (152.2)

где множитель cos называется коэффи­циентом мощности.

Формула (152.2) показывает, что мощ­ность, выделяемая в цепи переменного тока, в общем случае зависит не только от силы тока и напряжения, но и от сдвига фаз между ними. Если в цепи реактивное сопротивление отсутствует, то cos=1 и Р=IU. Если цепь содержит только реактивное сопротивление (R=0), то cos=0 и средняя мощность равна нулю, какими бы большими ни были ток и на­пряжение. Если cos имеет значения, су­щественно меньшие единицы, то для пере­дачи заданной мощности при данном на­пряжении генератора нужно увеличивать силу тока I, что приведет либо к выделе­нию джоулевой теплоты, либо потребует увеличения сечения проводов, что повы­шает стоимость линий электропередачи. Поэтому на практике всегда стремятся увеличить cos, наименьшее допустимое значение которого для промышленных установок составляет примерно 0,85.

241

Контрольные вопросы

• Что такое колебания? свободные колебания? гармонические колебания? периодические про­цессы?

• Дайте определения амплитуды, фазы, периода, частоты, циклической частоты колебания.

• Какова связь амплитуды и фазы смещения, скорости и ускорения при прямолинейных гармони­ческих колебаниях?

• В чем заключается идея метода вращающегося вектора амплитуды?

• Выведите формулы для скорости и ускорения гармонически колеблющейся точки как функции времени.

• Выведите и прокомментируйте формулы для кинетической, потенциальной и полной энергии при гармонических колебаниях.

• Чему равно отношение полной энергии гармонического колебания к максимальному значению возвращающей силы, вызывающей это колебание?

• Как можно сравнить между собой массы тела, измеряя частоты колебаний при подвешивании этих масс к пружине?

• Что называется гармоническим осциллятором? пружинным маятником? физическим? матема­тическим?

• Выведите формулы для периодов колебаний пружинного, физического и математического маятников.

• Что такое приведенная длина физического маятника?

• Какие процессы происходят при свободных гармонических колебаниях в колебательном кон­туре? Чем определяется их период?

• Запишите и проанализируйте дифференциальное уравнение свободных гармонических колеба­ний в контуре.

• Что такое биения? Чему равна частота биений? период?

• Какова траектория точки, участвующей одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях с одинаковыми периодами? Когда получается окружность? прямая?

• Как по виду фигур Лиссажу можно определить отношение частот складываемых колебаний?

• Запишите дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. Проанализи­руйте их для механических и электромагнитных колебаний.

• Как изменяется частота собственных колебаний с увеличением массы колеблющегося тела?

• По какому закону изменяется амплитуда затухающих колебаний? Являются ли затухающие колебания периодическими?

• Почему частота затухающих колебаний должна быть меньше частоты собственных колебаний системы?

• Что такое коэффициент затухания? декремент затухания? логарифмический декремент за­тухания? В чем заключается физический смысл этих величин?

• При каких условиях наблюдается апериодическое движение?

• Что такое автоколебания? В чем их отличие от вынужденных и свободных незатухающих колебаний? Где они применяются?

• Что такое вынужденные колебания? Запишите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и решите его. Проведите их анализ для механических и электромагнитных колеба­ний.

• От чего зависит амплитуда вынужденных колебаний? Запишите выражение для амплитуды и фазы при резонансе.

• Нарисуйте, проанализируйте резонансные кривые для амплитуды смещения (заряда) и скоро­сти (тока). В чем их отличие?

• Почему добротность является важнейшей характеристикой резонансных свойств системы?

• Чему равен сдвиг фаз между смещением и вынуждающей силой при резонансе?

• Что называется резонансом? Какова его роль?

• От чего зависит индуктивное сопротивление? емкостное сопротивление? Что называется ре­активным сопротивлением?

• Как сдвинуты по фазе колебания переменного напряжения и переменного тока текущего через конденсатор? катушку индуктивности? резистор? Ответ обосновать также с помощью вектор­ных диаграмм.

242

• Нарисуйте и объясните векторную диаграмму для цепи переменного тока с последовательно включенными резистором, катушкой индуктивности и конденсатором.

• Назовите характерные признаки резонанса напряжений; резонанса токов. Приведите графики резонанса токов и напряжений.

• Как вычислить мощность, выделяемую в цепи переменного тока? Что называется коэффици­ентом мощности?

Задачи

18.1. Материальная точка, совершающая гармонические колебания с частотой v = 2 Гц, в момент времени t=0 проходит положение, определяемое координатой x₀=6 см, со скоростью v₀=14 см/с. Определить амплитуду колебаний. [6.1 см]

18.2. Полная энергия гармонически колеблющейся точки равна 30 мкДж, а максимальная сила, действующая на точку, равна 1,5 мН. Написать уравнение движения этой точки, если период колебаний равен 2 с, а начальная фаза /3. [х= 0,04cos(t+/3)]

18.3. При подвешивании грузов массами m₁ =500 г и m₂=400 г к свободным пружинам последние удлинились одинаково (l=15 см). Пренебрегая массой пружин, определить: 1) периоды колебаний грузов; 2) который из грузов при одинаковых амплитудах обладает большей энер­гией и во сколько раз. [1) 0,78 с; 2) 1,25]

18.4. Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень длиной 25 см. Опреде­лить, на каком расстоянии от центра масс должна быть точка подвеса, чтобы частота колеба­ний была максимальной. [7,2 см]

18.5. Два математических маятника, длины которых отличаются на l=16 см, совершают за одно и то же время: один n₁=10 колебаний, другой n₂=6 колебаний. Определить длины маятни­ков l₁ и l₂. [l₁=9 см, l₂=25 см]

18.6 Колебательный контур содержит катушку с общим числом витков, равным 50, индуктивностью 5 мкГн и конденсатор емкостью 2нФ. Максимальное напряжение на обкладках кон­денсатора составляет 150 В. Определить максимальный магнитный поток, пронизывающий катушку. [0,3 мкВб]

18.7. Разность фаз двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового периода 8 с и одинаковой амплитудой 2 см составляет /4. Написать уравнение движения, получаю­щегося в результате сложения этих колебаний, если начальная фаза одного из них равна

нулю. [х=0,037 cos(t/4+/8)]

18.8. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями x=cost и y=cost/2.

Определить уравнение траектории точки и вычертить ее с нанесением масштаба. [2y²-x=1]

18.9. За время, за которое система совершает 100 полных колебаний, амплитуда уменьшается в три раза. Определить добротность системы. [286]

18.10. Колебательный контур содержит катушку индуктивностью 25 мГн, конденсатор емкостью 10 мкФ и резистор сопротивлением 1 Ом. Конденсатор заряжен количеством электричества Q_m=l мКл. Определить: 1) период колебаний контура; 2) логарифмический декремент затухания колебаний; 3) уравнение зависимости изменения напряжения на обкладках кон­денсатора от времени. [1) 3,14 мс; 2) 0,05; 3) U= 100е^-20tcos636t]

18.11. Последовательно соединенные резистор с сопротивлением 110 Ом и конденсатор подключены к внешнему переменному напряжению с амплитудным значением 110 В. Оказалось, что амплитудное значение установившегося тока в цепи 0,5 А. Определить разность фаз между током и внешним напряжением. [60°]

243

18.12. В цепь переменного тока частотой 50 Гц включена катушка длиной 50 см и площадью по­перечного сечения 10 см², содержащая 3000 витков. Определить активное сопротивление катушки, если сдвиг фаз между напряжением и током составляет 60°. [4,1 Ом]

18.13. Генератор, частота которого составляет 32 кГц и амплитудное значение напряжения равно 120 В, включен в резонирующую цепь, емкость которой 1 нФ. Определить амплитудное значение напряжения на конденсаторе, если активное сопротивление цепи 5 Ом. [119 кВ]

18.14. Колебательный контур содержит катушку индуктивностью 5 мГц и конденсатор емкостью 2 мкФ. Для поддержания в колебательном контур незатухающих гармонических колебаний с амплитудным значением напряжения на конденсаторе 1 В необходимо подводить среднюю мощность 0,1 мВт. Считая затухание колебаний в контуре достаточно малым, определить добротность данного контура. [100]

* Ж. Лиссажу (1822—1880) — француз­ский физик.

* Ж. Фурье (1768—1830) —французский ученый.

Мощность, выделяемая в цепи переменного тока

Мгновенное значение мощности переменного тока равно произведению мгновенных значений напряжения и силы тока:

P(t)=U(t)I(t),

где U(t)=U_mcost, I(t)= I_mcos(t-) (см. выражения

Раскрыв cos(t-), получим

Р(t) = I_mU_mcos(t-)cost= I_m(U_m(cos²tcos+sintcostsin).

Практический интерес представляет не мгновенное значение мощности, а ее среднее значение за период колебания. Учитывая, что <cos²t>=¹/₂, <sintcost)=0, получим

<Р>=¹/₂I_mU_mсоs.

Из векторной диаграммы (см. рис. 216) следует, что U_mcosfi=RI_m. Поэтому

<P>=¹/₂RI²_m.

Такую же мощность развивает постоянный ток I = I_m/2. Величины

I=I_m/2, U=U_m/2

называются соответственно действующими (или эффективными) значениями тока

и напряжения. Все амперметры и вольтметры градуируются по действующим значениям тока и напряжения.

Учитывая действующие значения тока и напряжения, выражение средней мощности можно записать в виде

<P>=IUcos, (152.2)

где множитель cos называется коэффициентом мощности.

Формула показывает, что мощность, выделяемая в цепи переменного тока, в общем случае зависит не только от силы тока и напряжения, но и от сдвига фаз между ними. Если в цепи реактивное сопротивление отсутствует, то cos=1 и Р=IU. Если цепь содержит только реактивное сопротивление (R=0), то cos=0 и средняя мощность равна нулю, какими бы большими ни были ток и напряжение. Если cos имеет значения, существенно меньшие единицы, то для передачи заданной мощности при данном напряжении генератора нужно увеличивать силу тока I, что приведет либо к выделению джоулевой теплоты, либо потребует увеличения сечения проводов, что повышает стоимость линий электропередачи. Поэтому на практике всегда стремятся увеличить cos, наименьшее допустимое значение которого для промышленных установок составляет примерно 0,85.

1 Мощность выделяемая в цепи переменного тока

Мгновенное значение мощности переменного тока равно произведению мгновенных значений напряжения и силы тока: 222где U(t)=Umcoswt, I(t)=Imcos(wt – j) (см. выражения (149.1) и (149.11)). Раскрыв cos(wt – j), получимЗная действующие значения тока и напряжения, выражение средней мощности запишем какгде множитель соsφ называется коэффициентом мощности.

2 Электрический излучаемый диполь как система движущих зарядов. Интенсивность излучения электрического диполя

Простейшей излучающей системой является электрический диполь, момент р, которого изменяется с течением времени. Такой колеблющийся диполь называется осциллятором, или элементарным вибратором. Осцилляторами широко пользуются в физике для моделирования и расчета полей излучения реальных систем. А, поле излучения близко к полю излучения осциллятора, имеющего такой же электрический момент, как и вся излучающая система

Билет19

1 Закон Ома в дифференциальной форме. Вывод закона Ома на основе классической теории.

Сопротивление зависит как от материала, по которому течёт ток, так и от геометрических размеров проводника.Полезно переписать закон Ома в так называемой дифференциальной форме, в которой зависимость от геометрических размеров исчезает, и тогда закон Ома описывает исключительно электропроводящие свойства материала. Для изотропных материалов имеем: — jвектор плотности тока, — удельная проводимость,—E вектор напряжённости электрического поля.

2Явление самоиндукции. Правело ленца. Потокосцепление. Индуктивность

При прохождении по контуру непостоянного тока магнитный поток самоиндукции изменяется и в контуре наводится э. д. с. индукции. Возникновение электродвижущей силы индукции в результате изменения тока в цепи получило название явления самоиндукции, а сама э. д. с. — э.д.с. самоиндукции, обозначаемой через _с.

Правило Ленца правило для определения направления индукционного тока: Индукционный ток, возникающий при относительном движении проводящего контура и источника магнитного поля, всегда имеет такое направление, что его собственный магнитный поток компенсирует изменения внешнего магнитного потока, вызвавшего этот ток индукционный ток направлен против основного тока. индукционный ток направлен в том же направлении, что и основной ток.

Если магнитный поток, сцепляющийся с рассматриваемым контуром (например, первым), создается током I2 во втором контуре, то для линейной среды потокосцепление будет пропорционально току I2. При этом потокосцепление называют потокосцеплением взаимной индукции и обозначают ₁₂ или Ψ_1мВеличину М₁₂ называют взаимной индуктивностью контуров.

Индукти́вность (или коэффициент самоиндукции) — коэффициент пропорциональности между электрическим током, текущим в каком-либо замкнутом контуре и магнитным потоком, создаваемым этим током через поверхность[1], краем которой является этот контур ;Ф— магнитный поток, I — ток в контуре, L — индуктивность; Через индуктивность выражается ЭДС самоиндукции в контуре, возникающая при изменении в нём тока При заданной силе тока индуктивность определяет энергию магнитного поля ток

Билет20

§ 152. Мощность, выделяемая в цепи переменного тока

Мгновенное значение мощности перемен­ного тока равно произведению мгновенных значений напряжения и силы тока:

P(t)=U(t)I(t),

где U(t)=U_mcost, I(t)= I_mcos(t-) (см. выражения (149.1) и (149.11)). Раск­рыв cos(t-), получим

Р(t) = I_mU_mcos(t-)cost= I_m(U_m(cos²tcos+sintcostsin).

Практический интерес представляет не мгновенное значение мощности, а ее сред­нее значение за период колебания. Учиты­вая, что <cos²t>=¹/₂, <sintcost)=0, получим

<Р>=¹/₂I_mU_mсоs. (152.1)

Из векторной диаграммы (см. рис. 216) следует, что U_mcosfi=RI_m. Поэтому

<P>=¹/₂RI²_m.

Такую же мощность развивает постоян­ный ток I = I_m/2. Величины

I= I_m/2, U=U_m/2

называются соответственно действующи­ми (или эффективными) значениями тока

и напряжения. Все амперметры и вольт­метры градуируются по действующим зна­чениям тока и напряжения.

Учитывая действующие значения тока и напряжения, выражение средней мощно­сти (152.1) можно записать в виде

<P>=IUcos, (152.2)

где множитель cos называется коэффи­циентом мощности.

Формула (152.2) показывает, что мощ­ность, выделяемая в цепи переменного тока, в общем случае зависит не только от силы тока и напряжения, но и от сдвига фаз между ними. Если в цепи реактивное сопротивление отсутствует, то cos=1 и Р=IU. Если цепь содержит только реактивное сопротивление (R=0), то cos=0 и средняя мощность равна нулю, какими бы большими ни были ток и на­пряжение. Если cos имеет значения, су­щественно меньшие единицы, то для пере­дачи заданной мощности при данном на­пряжении генератора нужно увеличивать силу тока I, что приведет либо к выделе­нию джоулевой теплоты, либо потребует увеличения сечения проводов, что повы­шает стоимость линий электропередачи. Поэтому на практике всегда стремятся увеличить cos, наименьшее допустимое значение которого для промышленных установок составляет примерно 0,85.

241

Контрольные вопросы

• Что такое колебания? свободные колебания? гармонические колебания? периодические про­цессы?

• Дайте определения амплитуды, фазы, периода, частоты, циклической частоты колебания.

• Какова связь амплитуды и фазы смещения, скорости и ускорения при прямолинейных гармони­ческих колебаниях?

• В чем заключается идея метода вращающегося вектора амплитуды?

• Выведите формулы для скорости и ускорения гармонически колеблющейся точки как функции времени.

• Выведите и прокомментируйте формулы для кинетической, потенциальной и полной энергии при гармонических колебаниях.

• Чему равно отношение полной энергии гармонического колебания к максимальному значению возвращающей силы, вызывающей это колебание?

• Как можно сравнить между собой массы тела, измеряя частоты колебаний при подвешивании этих масс к пружине?

• Что называется гармоническим осциллятором? пружинным маятником? физическим? матема­тическим?

• Выведите формулы для периодов колебаний пружинного, физического и математического маятников.

• Что такое приведенная длина физического маятника?

• Какие процессы происходят при свободных гармонических колебаниях в колебательном кон­туре? Чем определяется их период?

• Запишите и проанализируйте дифференциальное уравнение свободных гармонических колеба­ний в контуре.

• Что такое биения? Чему равна частота биений? период?

• Какова траектория точки, участвующей одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях с одинаковыми периодами? Когда получается окружность? прямая?

• Как по виду фигур Лиссажу можно определить отношение частот складываемых колебаний?

• Запишите дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. Проанализи­руйте их для механических и электромагнитных колебаний.

• Как изменяется частота собственных колебаний с увеличением массы колеблющегося тела?

• По какому закону изменяется амплитуда затухающих колебаний? Являются ли затухающие колебания периодическими?

• Почему частота затухающих колебаний должна быть меньше частоты собственных колебаний системы?

• Что такое коэффициент затухания? декремент затухания? логарифмический декремент за­тухания? В чем заключается физический смысл этих величин?

• При каких условиях наблюдается апериодическое движение?

• Что такое автоколебания? В чем их отличие от вынужденных и свободных незатухающих колебаний? Где они применяются?

• Что такое вынужденные колебания? Запишите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и решите его. Проведите их анализ для механических и электромагнитных колеба­ний.

• От чего зависит амплитуда вынужденных колебаний? Запишите выражение для амплитуды и фазы при резонансе.

• Нарисуйте, проанализируйте резонансные кривые для амплитуды смещения (заряда) и скоро­сти (тока). В чем их отличие?

• Почему добротность является важнейшей характеристикой резонансных свойств системы?

• Чему равен сдвиг фаз между смещением и вынуждающей силой при резонансе?

• Что называется резонансом? Какова его роль?

• От чего зависит индуктивное сопротивление? емкостное сопротивление? Что называется ре­активным сопротивлением?

• Как сдвинуты по фазе колебания переменного напряжения и переменного тока текущего через конденсатор? катушку индуктивности? резистор? Ответ обосновать также с помощью вектор­ных диаграмм.

242

• Нарисуйте и объясните векторную диаграмму для цепи переменного тока с последовательно включенными резистором, катушкой индуктивности и конденсатором.

• Назовите характерные признаки резонанса напряжений; резонанса токов. Приведите графики резонанса токов и напряжений.

• Как вычислить мощность, выделяемую в цепи переменного тока? Что называется коэффици­ентом мощности?

Задачи

18.1. Материальная точка, совершающая гармонические колебания с частотой v = 2 Гц, в момент времени t=0 проходит положение, определяемое координатой x₀=6 см, со скоростью v₀=14 см/с. Определить амплитуду колебаний. [6.1 см]

18.2. Полная энергия гармонически колеблющейся точки равна 30 мкДж, а максимальная сила, действующая на точку, равна 1,5 мН. Написать уравнение движения этой точки, если период колебаний равен 2 с, а начальная фаза /3. [х= 0,04cos(t+/3)]

18.3. При подвешивании грузов массами m₁ =500 г и m₂=400 г к свободным пружинам последние удлинились одинаково (l=15 см). Пренебрегая массой пружин, определить: 1) периоды колебаний грузов; 2) который из грузов при одинаковых амплитудах обладает большей энер­гией и во сколько раз. [1) 0,78 с; 2) 1,25]

18.4. Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень длиной 25 см. Опреде­лить, на каком расстоянии от центра масс должна быть точка подвеса, чтобы частота колеба­ний была максимальной. [7,2 см]

18.5. Два математических маятника, длины которых отличаются на l=16 см, совершают за одно и то же время: один n₁=10 колебаний, другой n₂=6 колебаний. Определить длины маятни­ков l₁ и l₂. [l₁=9 см, l₂=25 см]

18.6 Колебательный контур содержит катушку с общим числом витков, равным 50, индуктивностью 5 мкГн и конденсатор емкостью 2нФ. Максимальное напряжение на обкладках кон­денсатора составляет 150 В. Определить максимальный магнитный поток, пронизывающий катушку. [0,3 мкВб]

18.7. Разность фаз двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового периода 8 с и одинаковой амплитудой 2 см составляет /4. Написать уравнение движения, получаю­щегося в результате сложения этих колебаний, если начальная фаза одного из них равна

нулю. [х=0,037 cos(t/4+/8)]

18.8. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями x=cost и y=cost/2.

Определить уравнение траектории точки и вычертить ее с нанесением масштаба. [2y²-x=1]

18.9. За время, за которое система совершает 100 полных колебаний, амплитуда уменьшается в три раза. Определить добротность системы. [286]

18.10. Колебательный контур содержит катушку индуктивностью 25 мГн, конденсатор емкостью 10 мкФ и резистор сопротивлением 1 Ом. Конденсатор заряжен количеством электричества Q_m=l мКл. Определить: 1) период колебаний контура; 2) логарифмический декремент затухания колебаний; 3) уравнение зависимости изменения напряжения на обкладках кон­денсатора от времени. [1) 3,14 мс; 2) 0,05; 3) U= 100е^-20tcos636t]

18.11. Последовательно соединенные резистор с сопротивлением 110 Ом и конденсатор подключены к внешнему переменному напряжению с амплитудным значением 110 В. Оказалось, что амплитудное значение установившегося тока в цепи 0,5 А. Определить разность фаз между током и внешним напряжением. [60°]

243

18.12. В цепь переменного тока частотой 50 Гц включена катушка длиной 50 см и площадью по­перечного сечения 10 см², содержащая 3000 витков. Определить активное сопротивление катушки, если сдвиг фаз между напряжением и током составляет 60°. [4,1 Ом]

18.13. Генератор, частота которого составляет 32 кГц и амплитудное значение напряжения равно 120 В, включен в резонирующую цепь, емкость которой 1 нФ. Определить амплитудное значение напряжения на конденсаторе, если активное сопротивление цепи 5 Ом. [119 кВ]

18.14. Колебательный контур содержит катушку индуктивностью 5 мГц и конденсатор емкостью 2 мкФ. Для поддержания в колебательном контур незатухающих гармонических колебаний с амплитудным значением напряжения на конденсаторе 1 В необходимо подводить среднюю мощность 0,1 мВт. Считая затухание колебаний в контуре достаточно малым, определить добротность данного контура. [100]

* Ж. Лиссажу (1822—1880) — француз­ский физик.

* Ж. Фурье (1768—1830) —французский ученый.