Тема 3. Момент силы относительно точки. Пара сил. Момент пары сил — Мегаобучалка

Моментом силы относительно центра называется произведение модуля силы на кратчайшее расстояние от центра момента до линии действия силы. Момент силы относительно точки обозначается символом и определяется следующим образом:

где кратчайшее расстояние от центра до линии действия силы .

Момент силы считается положительным, если сила стремится повернуть тело вокруг центра против хода часовой стрелки и отрицательным, если по ходу часовой стрелки.

Рис.10.

Момент силы относительно точки, в системе международных единиц измеряется:

Свойства момента силы относительно точки:

1. Момент силы относительно центра равен нулю, если сила равна нулю или, если линия действия силы проходит через центр (плечо равно нулю).

2. Момент силы не изменяется при переносе точки приложения силы вдоль ее линии действия.

3. Не изменяя значение момента силы относительно точки, можно увеличить значение силы и уменьшить плечо момента силы и наоборот уменьшить модуль силы и увеличить плечо момента силы относительно точки.

Рис.11.

Система двух равных по модулю, параллельных и противоположно направленных сил называется парой сил.

Рис.12.

Пара сил не имеет равнодействующей, и силы пары не уравновешиваются. Проекция пары на любую ось равна нулю. Это следует из определения пары сил. Действие пары на тело характеризуется ее моментом.

Расстояние между линиями действия сил пары называется ее плечом. Моментом пары называется произведение модуля сил, образующих пару, на ее плечо. Момент пары сил положителен, если пара стремится вращать тело против часовой стрелки, и отрицателен в противоположном случае. Момент пары определяется по формуле:

Теорема. Алгебраическая сумма моментов обеих сил, составляющих пару, относительно любой точки в плоскости пары равна моменту самой пары.

Доказательство: Берем сумму моментов от пары сил и (рис.12б.).

Сумма моментов равно моменту самой пары, теорема доказана.

Контрольные вопросы:

 

1. Что такое момент силы относительно точки?

______

2. Что такое плечо момента силы относительно точки?

______

3. Единица измерения момента силы относительно точки?

__

4. Первое свойство момента силы относительно точки…

__

__

__

5. Второе свойство момента силы относительно точки…

__

__

__

6. Трете свойство момента силы относительно точки…

__

__

__

7. Что такое момент пары сил?

__

__

__

8. Основные свойства пары сил…

__

__

__

9. Как определяется момент пары сил?

__

__

__

10. Теорема о плоскости действия момента пары сил…

__

__

__

 

1.1.3. Момент силы относительно точки и оси. Пара сил

Момент силы относительно центра. Опыт 
показывает, что эффект дей-ствия силы, приложенной к телу (например, к рычагу, 
штурвалу) на разных расстояниях от точки закрепления тела, зависит от так 
называемого м о м е н т а 
 с и л ы относительно точки закрепления.
Моментом силы относительно центра О называется произведение модуля силы на 
кратчайшее расстояние от центра О до линии действия силы. 
                  (1.6)
где h — кратчайшее расстояние от центра О до линии действия 
силы 
Момент силы считается 
положительным, если сила стремится повернуть тело вокруг центра О против хода 
часовой стрелки и отрицательным, если по ходу часовой стрелки (рис. 1.24, 1.25). 
Размерность момента силы Н*м.
 
                            Рис. 1.24                      Рис. 1.25
Момент 
силы не изменяется при переносе точки приложения силы вдоль ее линии действия. 
Момент силы относительно центра О равен нулю, если сила равна нулю или, если 
линия действия силы проходит через центр О (плечо рав-но нулю). Графически 
абсолютная величина момента силы относительно центра О вы-ражается удвоенной 
площадьюОАВ
= 2SОАВ
Момент 
силы относительно центра как векторное произведение. Введенного 
понятия «момент силы относительно центра как алгебраическая ве-личина» 
оказывается недостаточно в случае сил, произвольно расположенных в пространстве. 
Плоскости поворота у разных сил будут различными и должны задаваться 
дополнительно. Удобно ввести понятие «момент силы относительно центра как в е к 
т о р», модуль которого равен произведению модуля силы на ее плечо, а 
направление перпендикулярно плоскости, проходящей через линию действия силы и 
центр момента.
 Вектор момента силы прикладывают в центре момента и направляют в сторону, откуда сила 
видна вращающей тело в направлении, противоположном ходу часовой стрелки (рис. 
1.26). Соединим центр момента О с точкой приложения силы радиусом-вектором и 
найдем векторное произведение
По определению векторного произведения его модуль
||= 2SОАВ
Модуль вектора момента силы акже равен удвоенной площади ОАВ
 =
Направление векторного 
произведения также совпадает с направлением вектора момента. Следовательно, 
вектор-момент силыотносительно центра О можно 
рассматривать как векторное произведение радиус-векторапроведенного из этой точки в точку 
приложения силы, на вектор силы 

 
Рис. 1.26                       Рис. 1.27
Момент силы относительно оси. Чтобы охарактеризовать 
вращательный эффект, создаваемый силой, стремящейся повернуть тело вокруг 
некоторой оси, вводится понятие «момента силы относительно оси». Рассмотрим 
твердое тело, которое может вращаться вокруг оси OZ (рис.1.27). Пусть на тело 
действует сила приложенная в точке 
А. Проведем через точку А плоскость OXY, перпендикулярную оси OZ, и разложим 
силу на две составляющие:параллельную оси OZ, и  , лежащую в плоскости XY. Составляющая, 
параллельная оси OZ, крутящего момента не создает, а, следовательно, весь 
вращательный эффект, создаваемый силой  ,будет вызван ее составляющей 
 
Моментом силы относительно оси называют момент проекции 
этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси 
с этой плоскостью. Момент силы относительно 
оси считается положительным, если смотря навстречу оси Z, можно видеть проекцию 
< стремящейся вращать плоскость XY вокруг оси Z в сторону, противополож-ную 
вращению часовой стрелки. 
 Момент силы относительно оси равен нулю: 
 
1) если=0, т.е. линия 
действия силы параллельна оси OZ;
2) если h = 0, т.е. линия действия силы 
пересекает ось OZ.
Следовательно, если сила и ось лежат в одной 
плоскости, то момент силы относительно этой оси равен нулю. Пара сил. Момент 
пары. Система двух равных по модулю, параллельных и противоположно направленных 
сил  называется п а р о й с и л 
(рис. 1.28). 
Пара сил не имеет равнодействующей и силы пары не 
уравновешиваются. 
Действие пары на тело характеризуется ее моментом. 
1. 
Вектор-момент перпендикулярен плоскости действия пары. 
 2. Направлен в ту 
сторону, чтобы, смотря с его конца, вращение было происходящим против хода 
часовой стрелки. 
3. Величина вектора равна в выбранном масштабе численному значению момента 
пары.
Вектор-момент пары равен векторному произведению радиуса-вектора  на ту из сил пары, к началу которой 
направлен вектор 
 (1.10)
или
 (1.11)
по 
модулю
 (1.12)
Пары сил в 
пространстве эквивалентны, если их моменты геометрически равны. Геометрическая 
сумма моментов составляющих пар сил равна моменту эквивалентной им парыт.е. ()
(1.13)

Пары сил, произвольно расположенные в 
пространстве, взаимно уравно-вешиваются в том случае, если геометрическая сумма 
их моментов равна нулю. Если пары сил расположены в одной плоскости, то моменты 
этих пар сил, на-правленные по одной прямой, складываются а л г е б р а и ч е с 
к и. Момент пары сил, эквивалентный системе пар сил на плоскости, равен 
алгеб-раической сумме моментов составляющих пар (рис. 1.29).
 где  . Пары сил, расположенные в одной 
плоскости, взаимно уравновешиваются, если алгебраическая сумма их моментов равна 
нулю 
Рис. 1.28                          Рис. 1.29
Силовое 
воздействие на самолет часто приводится к паре сил. Например, аэродинамические 
силы (силы сопротивления воздуха вращению) воздушного винта складываются в пару, 
называемую аэродинамическим (реактивным) мо-ментом винта Мв (рис. 1.30). Чем 
большую мощность развивает двигатель, тем больше реактивный момент, вызывающий 
крен самолета. Этот момент уравно-вешивают некоторым отклонением элеронов; 
аэродинамические силы  и Y составляют 
пару с моментом, равным значению реактивного момента воздушного винта и обратным 
его направлению. 
 
 Рис. 1.30               Рис. 1.31             Рис. 1.32


 
«Момент силы относительно точки. Пара сил».
 Министерство образования и науки РС(Я)
 Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение РС(Я) «Усть-Алданский техникум»
 МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА 
 открытого урока по дисциплине «Техническая механика»
Раздел «Теоретическая механика. Статика»
Тема: «Момент силы относительно точки. Пара сил».
Составитель Атласов Б.П. преподаватель
ГБПОУ РС(Я) «Усть-Алданский техникум»
с.Хоногор, 2017г.
 СОДЕРЖАНИЕ
 Пояснительная записка……………………………………………………………………………………………………3
 Технологическая карта…………………………………………………………………………………………………. .5
 Структура и содержание занятия…………………………………………………………………………………….7
 План- конспект занятия…………………………………………………………………………………………………..9
 Заключение………………………………………………………………………………………12
 Список использованных источников …………………………………………………………………………….13
 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
 Модернизация содержания и организация образовательного процесса в техникуме и их совершенствование должны обеспечивать повышение качества подготовки специалистов среднего звена, их профессиональную мобильность и конкурентоспособность.
 Для того чтобы развить у будущего специалиста способности логического и синтетического мышления, способности к осознанному анализу самостоятельной деятельности в условиях неопределенности, творческую активность и ответственность за выполненную работу, необходимо использовать такие обучающие технологии, которые могли бы помочь педагогам в достижение этих целей.
 Одной из таких технологий является информационная технология, которая сводится к применению компьютерных технологий, программного обеспечения, мультимедийного проектора, Интернет и других средств работы с информацией.
 Внедрение информационных технологий в обучение предоставляет студентам многообразие выбора вариантов изучения учебного материала, индивидуальной работы, самостоятельного изучения.
 Сущность и специфика процесса усвоения научных знаний определяется так же функциями основных его субъектов-преподавателя и студентов, характером их взаимодействия.
 Учебно-познавательная деятельность студентов представляет собой целостный подход усвоения системы научных знаний, формирование творческих умений и навыков путем пошагового продвижения в образовании, умственном развитии и воспитании от одной фазы стадии учебного занятия к другой посредством решения интеллектуально-насыщенных пароговых учебных задач в ходе коллективно-индивидуального, социально-профессионального взаимодействия педагога студентов, а также студентов между собой.
 Предложенная разработка урока-презентации с использованием интерактивной доски обеспечивает реализацию новых подходов к обучению, предоставляет студентам новое средство, а преподавателю метод управления знаниями.
 На таких занятиях видна работа не только преподавателя- насколько он умело, мастерски преподнес материал, отработал навыки решения задач с обучаемыми, но студентов, включая подготовительный этап, где прослеживается тесная межпредметная связь. Каждый студент получает возможность оценить не только свою работу, но и работу своих товарищей.
 В ходе командно-мыслительной деятельности проявляются и воспитываются такие личностные качества, как решительность, умение отстаивать свою точку зрения, умения убеждать, ответственность за принимаемые решения, умение давать объективную оценку.
 Предложенная разработка повышает эффективность и качество процесса овладения знаниями и позволяет:
 проводить постоянный мониторинг усвоения учебного материала
 расширять возможности самостоятельной работы с учебным материалом
 обеспечивать гибкость организации личностно-ориентированного учебного процесса
 значительно повышает эффективность педагогического труда
 сочетать работу в компьютерном кабинете с самостоятельной работой с учебным материалом во внеурочное время.
 Применение мультимедийных проекторов, программ Power Point и составление в ней презентации, позволяет реализации главных принципов дидактики:
 наглядности, доступности, достоверности;
 подачи информации в более полном объеме;
 ускорению темпа изложения учебного материала;
 комплексному воздействию на органы чувств и, как следствие, активизации мыслительной деятельности, формирования учебно-познавательной мотивации;
 созданию проблемных ситуаций и организации поисковой деятельности.
 Применение тестовых оболочек позволяет проводить быстрый, объективный, качественный контроль усвоения учебного материала.
 Методическая разработка урока-презентации представляет собой опыт применения информационных технологий в преподавании дисциплин «Техническая механика»
 Технологическая карта учебного занятия
 Дисциплины: Техническая механика
 Специальность:  «Механизация сельского хозяйства»
 Курс: 2
 Раздел: Теоретическая механика. Статика.
 Тема: «Момент силы относительно точки. Пара сил».
 Цели урока:
 Обучающая: Подвести студентов к пониманию знаний о вращательном движении и образующих его силах, системах сил.
 Сформировать у обучающихся понятие о моменте сил, о парах сил, моменте пары сил, основных свойствах пар.
 Научить обучающихся, определять момент сил относительно точки и пары сил, условия равновесия системы пар сил.
 Развивающая: Развивать у обучающихся интерес к изучаемой дисциплине, самостоятельность, умение применять эти знания на практике, умение логически мыслить.
 Воспитательная: Побудить интерес к специальности, воспитать ответственность и самоконтроль.
 Основные методы обучения: словесные, наглядные, практические, поисковые, самостоятельная работа, тестирование.
 Тип занятия: Комбинированный урок.
 Вид занятия: Урок-презентация.
 Квалификационные требования:
 Знать: обозначение, модуль и определение моментов сил относительно точки и пары сил, условия равновесия системы пар сил.
 Уметь: Определять моменты пар сил и момент силы относительно точки, определять момент результирующей пары сил.
 Общие компетенции, формируемые на занятии (ОК): ОК 8, ОК 9.
 Профессиональные компетенции, формируемые на занятии (ПК):
 ПК1.1- ПК1.6.
 Межпредметные связи: физика, математика, информатика
 Исторический справочник.
 Первый, кто обратил внимание на важную роль в механике момента силы относительно точки, был Леонардо да Винчи (1452 -1519).
 Современную практику понятия момента силы относительно точки дал П. Вариньон (1654 -1722).
 Понятие о паре сил ввел в механику французский ученый Луи Пуансо (1777 -1859).
 Комплексное методическое обеспечение и оборудование занятия: интерактивная доска, мультимедиапроектор, компьютеры, презентации, карты с задачами, видеофрагменты, тестовая оболочка и тесты.
 .
 Структура и содержание занятия
 элемен
 та заня
тия
Элементы занятия
Время, мин.
 Деятельность
преподавателя
 Деятельность
студентов
Методы и приемы работы
1
Организационный момент
3 мин
 — приветствие;
 -создание благоприятного, психологического климата;
 — проверка наличия обучающихся;
— проверка готовности к занятию;
 — приветствие преподавателя;
 — демонстрация готовности к занятию;
Вводная беседа, показ слайдов.
2
Актуализация опорных знаний
5 мин
 — проведение фронтального устного опроса;
 — ответы на вопросы;
— комментарии к ответам.
Работа с презентацией
3
Мотивация учебной деятельности
2 мин
 — озвучивание темы, плана и целей занятия;
— мотивация развития умений и навыков
 — осмысление целей и плана занятий.
— участие в мотивации учебной деятельности;
Беседа, объяснение, показ слайдов, рассказ.
4
Усвоение новых знаний
25 мин
 — раскрытие вопросов урока
 1.Момент силы относительно точки
 2.Пара сил и момент пары;
 3. Решение задач и выполнение контрольных тестов.
 — Демонстрация слайдов презентации, видеофрагментов;
 -решение практических задач;
 — мотивация аналитической деятельности студентов;
— обучение самостоятельно решать задачи.
 — по первому вопросу показ презентации, выполненной при самостоятельной подготовке к уроку;
 — формирование понятийного аппарата
 — осмысление материала;
 Беседа, объяснение, рассказ, демонстрация видеоматериа
ла, слайдов презентации, вопросы, практические задания.
5
Закрепление учебного материала
5 мин
 — направление последовательности выполнения задач;
 — демонстрация блиц вопросов;
 — самоконтроль по итогам тестирования,
— демонстрация видеоролика с фрагментами лабораторных испытаний.
 — решение задач у доски,
 — работа в коллективе;
 — тестирование,
 — работа по индивидуальному заданию,
— просмотр и осмысление материала видео-ролика по теме «Пара сил и момент силы относительно точки»
Практические, наглядные, тестирование.
6
Подведение итогов занятия
3 мин
 — комментарии преподавателя о результатах достижения поставленных целей,
— выставление оценок
— обсуждение и анализ учебного материала;
Демонстрация рассказ, беседа, объяснение.
7
 Домашнее задание
Задание для самостоятельной работы.
2 мин
— обсуждение и пояснение домашнего задания, ориентированного на закрепление полученных знаний
 — осмысление домашнего задания;
— обсуждение возможных вариантов его выполнения.
Беседа, объяснение
 ПЛАН – КОНСПЕКТ УРОКА
 Организационный момент.
 1. Психологический и эмоциональный настрой студентов на выполнение учебных задач 
 Актуализация знаний студентов
 Краткое повторение и проверка знаний студентов по пройденному материалу
 (фронтальный экспресс опрос):
 а) Что называется силой? Чем определяется действие силы на тело? (слайд 2)
 б) Что называется системой сил? (слайд 3)
 в) Какие силы называют эквивалентными? (слайд 4)
 г) Какая система сил называется уравновешенной? (слайд 4)
 д) Какая система сил называется равнодействующей? (слайд 4)
 Демонстрация ролика о видах сил в природе.
 Изложение нового материала: 
 Сообщение темы занятия, постановка цели и задач. (слайд 5)
 Тема: «Момент относительной точки. Пара сил»
 Вопросы: 1. Момент силы относительно точки.
 2. Пара сил, момент пары сил. Основные свойства пар.
 3. Решение практических задач и выполнение контрольных тестов.
 1. Момент силы относительно точки. (рассказ обучающего с показом презентации , выполненной при самостоятельном изучении данного вопроса)
 Если на тело, закрепленное в некоторой точке О, действует сила F, то тело повернется относительно этой точке. Вращательное движение тела характеризуется вращательным моментом. (Пример: гайка закрепленная, которую затягивают гаечным ключом определенной длины, прикладывая к концу ключа мускульное усилия).  
 Моментом силы относительно точки называется произведение модуля силы на ее плечо.  m0 (F) = F · h 
 Плечом силы  относительно точки называется кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы.
 Единица момента силы [m] = [F] · [h] = сила х длина = ньютон х метр
 Условимся считать момент силы положительным, если сила стремиться вращать свое плечо вокруг центра момента по часовой стрелки, и наоборот.
 Момент силы относительно точки, лежащей на линии действия этой силы, равен нулю, т. к. в этом случаи плечо h = 0 .
 Задание: Напишите выражения для момента сил относительно точки.   
 2 Пара сил и момент пары.
 Пример пары сил на карандаше. (слайд 6)
 Теорию о парах сил разработал французский ученый-механик Л. Пуансо (1777-1859гг) 
 Система двух параллельных сил, равных по модулю и направленных в противоположенные стороны называется парой сил  (слайд7).Условное изображение (Fк , Fк/ ).
 Пара сил производит на тело вращательное действие (слайд7)
 Плоскость в которой расположена пара, называется плоскостью действия пары .
 Кратчайшее расстояние между линиями действия сил есть плечо пары.
 Моментом пары называется произведение модуля одной силы, составляющих пару на плечо. m (F1 , F2) = F1 · h = F2 ·h (слайд 9)
 Условимся, считать момент пары положительным, если она стремится повернуть тело по часовой стрелке (слайд 10).
 Пример1: Какие силы из системы сил образуют пару сил?  (слайд 11)
  Основные свойства пар.
 Пару сил можно перемещать в плоскости ее действия. (слайд 12).
 Сложение пар сил. 
 Систему пар сил можно заменить равнодействующей парой. Момент равнодействующей пары равен алгебраической сумме моментов пар составляющих систему. (слайд 12).
 Эквивалентность пар. 
 Две пары. Моменты, которых равны, эквивалентны (действие их на плечо аналогично) (слайд 13).
 Равновесие пар.
 Для равновесие пар необходимо и достаточно, что бы алгебраическая сумма моментов пар системы равнялась нулю: МƩ = 0  (слайд 13).
 Пример 2: Решение задачи (слайд 14)
 Закрепление изученного материала.
 Ответы на вопросы теста за компьютером.
 Выполнение индивидуальных заданий по картам.
 Решение задачи у доски. (слайд 15)
 Ответы на блиц-вопросы. (слайд 16)
 Просмотр видео-ролика по теме «Пара сил и момент силы относительно точки».
 Подведение итогов урока.
 Комментарии и объявление оценок
 Домашнее задание (слайд 17).
 Изучить 3.3; 4.1-4.5. стр 29-35 Учебного пособия: Эрдеди А.А. «Теоретическая механика. Сопротивление материалов».
 Составить задачи по теме: «Пара сил и момент пары», используя формулу
 m ? m
 F h F h ? h
 Для выполнения этого задания вам нужно ознакомиться с информацией учебника со стр. 33-35.
 ЗАКЛЮЧЕНИЕ
 В настоящей лекции студенты познакомились с новой наукой, которая будет являться базой для изучения таких предметов как теоретическая механика, сопротивление материалов, детали машин. Кроме того все спец. предметы связаны с изучением устройства машин и механизмов в основе своей базируются так же на основных законах изучаемых в статике. Механика — это наука о движении тел, однако покой (равновесие)
 является частным случаем от движения. Само название науки и название ее разделов – статика, кинематика, динамика вошли в повседневную нашу жизнь: статическое нагружение, кинематограф, гидродинамика, аэродинамика, механизм, механизация и т.д.
 Рассмотренный в методической разработке материал изложен доступно, наглядно и понятно. Прослушав лекцию, просмотрев слайды, студенты смогут легко ориентироваться в вопросах рассмотренных на лекции и смогут самостоятельно привести примеры из своего жизненного опыта.
 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
 Основная
 Эрдеди А.А. Теоретическая механика. Сопротивление материалов: учебное пособие для студентов — 8-ое издание, стер. -М.: Издательский центр «Академия», 2007г -320 с.
 Олофинская В.П. Техническая механика: Курс лекций с вариантами практических и тестовых заданий: учебное пособие — М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2003 г. — 349 с.
 Ивченко В.А. Техническая механика: учебное пособие — М.: ИНФРА -М, 2003 г — 157 с.
 Дополнительная литература.
 Веринина Л.И. Теоретическая механика: учебник для нач. проф. образования — 5-ое издание, стер — М.: издательский центр «Академия», 2007 г -224 с.
 Аркуша А.Н. Техническая механика. Теоретическая механика и сопротивление материалов: учеб — 2 -ое изд. доп. — М.: Высшая школа 1991 г. 352 с.
Лекция С3
Лекция 3  (С3).
МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА И ОСИ.  ПАРЫ СИЛ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Моментом силы относительно центра (обозначается )  называется векторное произведение радиус-вектора , проведенного из точки  в точку приложения силы, на вектор силы   (рис. 3.1)
.
 
Вектор момента направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат сила и точка, в ту сторону, откуда поворот от  действия силы виден происходящим против хода часовой стрелки.  Вектор момента характеризует положение плоскости и направление вращательного действия силы, а также дает меру этого действия:
 ,  где  −  плечо силы (кратчайшее расстояние от центра момента до линии действия силы).
Если линия действия силы проходит через центр момента, то ее момент относительно этой точки равен нулю.
 
 
 
 
 
Если силы расположены в одной плоскости (плоская система сил), то используется понятие алгебраического момента силы. Алгебраическим моментом силы относительно  центра  называется  взятое  со  знаком плюс  или  минус произведение модуля силы на плечо. Знак плюс берется в том случае, если сила стремится поворачивать плоскость относительно центра против хода часовой стрелки (рис. 3.2). 
 
 
 
 
 
 
 
Для характеристики вращательного действия силы на тело, закрепленное на оси, служит момент силы относительно оси (обозначается )  (рис. 3.3). Моментом силы относительно оси называется алгебраическая величина, равная проекции вектора момента силы относительно произвольной точки оси на эту ось: .
 
Рассмотрим основные способы вычисления момента силы относительно оси.
1. Аналитический
По правилу вычисления векторного произведения:
Откуда
,
 ,
.
2. Геометрический
 
 
 
 
Для вычисления момента силы относительно оси необходимо провести плоскость  (рис. 3.4), перпендикулярную данной оси , спроецировать силу на эту плоскость и вычислить момент проекции  относительно точки  − точки пересечения оси  с плоскостью . Эквивалентность этих двух способов вытекает из равенств
 .
Момент положителен, если, глядя с положительного направления оси, вращение видно происходящим против хода часовой стрелки.
 
Момент силы относительно оси равен нулю, если сила параллельна оси или линия действия силы пересекает ось.
 
 
 
При вычислении моментов силы относительно координатных осей ее бывает удобно предварительно разложить на составляющие, параллельные координатным осям, и находить момент каждой составляющей отдельно.
 
 
 
 
 
 
 
 
Система двух равных по модулю параллельных сил , направленных   в   противоположные   стороны    называется    парой сил (рис. 3.5). Расстояние  между линиями действия сил − плечо пары.
Для характеристики действия пары сил на твердое тело вводится понятие момента пары.
 
 
 
 
 
Вектор момента пары сил равен векторному моменту одной из сил пары относительно точки приложения другой силы (рис. 3.6):
,            .
Он направлен перпендикулярно плоскости  действия пары в ту сторону, откуда видно, что  вращение происходит против хода часовой стрелки.   Момент пары − это свободный вектор, и он полностью определяет действие пары на твердое тело.
 
Для пар, расположенных в одной плоскости, используется понятие алгебраического момента пары.
Алгебраический момент пары сил равен алгебраическому моменту одной из сил пары относительно точки приложения другой силы или, то же самое, равен взятому со знаком плюс или минус произведению модуля одной из сил пары на плечо. Момент пары положителен, если пара стремится повернуть  плоскость против хода часовой стрелки.
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
Суммарное вращательное действие сил, составляющих пару, определяется следующей теоремой: 
Теорема. Сумма моментов сил пары относительно произвольной точки равна моменту пары.
Доказательство. Выберем произвольную точку  (рис. 3.7) . Сумма моментов сил пары относительно точки :
,
так как , то   .
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Теорема 1. Пару сил, приложенную к твердому телу, можно перемещать в плоскости действия, сохраняя при этом ее момент.
 Доказательство. Выберем в плоскости действия пары сил  произвольный отрезок  и восстановим перпендикуляры в его концах до пересечения с линиями действия сил  и  (рис. 3.8). Перенесем силы  и  по линиям их действия в точки  и  и разложим на составляющие  и . Система сил , а силы  и  образуют пару сил и могут быть перенесены по линиям их действия в точки  и .  В результате эквивалентных преобразований пара сил  заменена парой сил , момент которой равен моменту заданной пары. Действительно, рассматривая площадь параллелограмма   ,  из подобия соответствующих треугольников          .                               
 
Теорема 2. Пару сил, действующую на твердое тело, можно переносить в любую плоскость, параллельную плоскости ее действия.
Доказательство.  Плечо   пары сил , лежащей в плоскости , переместим параллельно в положение  на плоскости  (рис. 3.9)  и приложим систему сил   ,,   .
Силы  имеют равнодействующую , которая приложена в точке пересечения диагоналей параллелограмма . Силы  также имеют равнодействующую , которая направлена в противоположную сторону. То есть . По второй аксиоме статики  ~.  В результате эквивалентных преобразований пары сил   заменена парой сил  в параллельной плоскости, которая имеет тот же момент и   стремится повернуть  тело в том же направлении.
 
Теорема 3. Две пары, действующие на твердое тело и лежащие в пересекающихся плоскостях, эквивалентны одной паре, момент которой равен геометрической сумме моментов составляющих  пар.
Доказательство. Рассмотрим  две  пары    и                 с моментами     и   ,    лежащие  в    пересекающихся  плоскостях    и    .   Пользуясь  теоремой  1,  перенесем   пары   так,   чтобы   силы были приложены в точках  и  на линии пересечения плоскостей (рис. 3.10).  По правилу сложения сил имеем  и .
Система сил  образует пару.  Момент этой пары , 
где              ,        , 
 т.е.   .     
 
 
В частном случае две пары, лежащие в одной плоскости, эквивалентны одной паре, момент которой равен алгебраической сумме моментов составляющих  пар.   Из теоремы следует, что любую систему пар можно заменить одной парой, момент которой равен сумме моментов составляющих пар. Это позволяет получить условие равновесия системы пар. 
 Для равновесия системы пар, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов пар равнялась нулю:
     −   в случае пространственной системы пар; 
    −   для системы пар, расположенных в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Что такое пара сил? Чему равен момент пары? — Мегаобучалка
Пара сил. Момент пары.
Парой сил (или просто парой) называются две силы, равные по ве­личине, параллельные и направленные в противоположные стороны (рис.22). Очевидно,  ,  и  .
Рис.22
 
Несмотря на то, что сумма сил равна нулю, эти силы не уравновешиваются. Под действием этих сил, пары сил, тело начнёт вращаться. И вращательный эффект будет определяться моментом пары:
 .
Расстояние a между линиями действия сил называется плечом пары.
Если пара вращает тело против часовой стрелки, момент её считается положительным (как на рис.22), если по часовой стрелке – отрицательным.
Для того, чтобы момент пары указывал и плоскость, в которой происходит вращение, его представляют вектором.
Вектор момента пары  направляется перпендикулярно плоскости, в которой расположена пара, в такую сторону, что если посмотреть от­туда, увидим вращение тела против часовой стрелки (рис. 23).
Нетрудно доказать, что вектор мо­мента пары  – есть вектор этого векторного произведения (рис. 23). И за­метим, что он равен вектору момента силы  относительно точки А, точки приложения второй силы:
 .
О точке приложения вектора  бу­дет сказано ниже. Пока приложим его к точке А.
Рис.23
Свойства пар
1) Проекция пары на любую ось равна нулю. Это следует из определения пары сил.
2) Найдём сумму моментов сил  и  составляющих пару, относительно какой-либо точки О (рис.24).
Рис.24
 
Покажем радиусы-векторы точек А1 и А2 и вектор  , соединяющий эти точки. Тогда момент пары сил относительно точки О
 .
Но  . Поэтому  .
Но  , а  .
Значит  .
Момент пары сил относительно любой точки равен моменту этой пары.
Отсюда следует, что, во-первых, где бы не находилась точка О и, во-вторых, где бы не располагалась эта пара в теле и как бы она не была повёрнута в своей плоскости, действие её на тело будет одинаково. Так как момент сил, составляющих пару, в этих случаях один и тот же, рав­ный моменту этой пары  .
Поэтому можно сформулировать ещё два свойства.
3) Пару можно перемещать в пределах тела по плоскости действия и переносить в любую другую параллельную плоскость.

 
4) Так как действие на тело сил, составляющих пару, определяется лишь её моментом, произведением одной из сил на плечо, то у пары можно изменять силы и плечо, но так, чтобы момент пары остался прежним. Например, при силах F1=F2=5 H и плече а = 4 см момент пары m = 20 H×см. Можно силы сделать равными 2 Н, а плечо а = 10 см. При этом момент останется прежним 20 Нсм и действие пары на тело не из­менится.
Все эти свойства можно объединить и, как следствие, сделать вы­вод, что пары с одинаковым вектором момента  и неважно где расположенные на теле, оказывают на него равное действие. То есть такие пары эквивалентны.
Исходя из этого, на расчётных схемах пару изображают в виде дуги со стрелкой, указывающей направление вращения, и рядом пишут величину момента m. Или, если это пространственная конструкция, по­казывают только вектор момента этой пары. И вектор момента пары можно прикладывать к любой точке тела. Значит вектор момента пары  – свободный вектор.
И ещё одно дополнительное замечание. Так как момент пары ра­вен вектору момента одной из сил её относительно точки приложения второй силы, то момент пары сил относительно какой-либо оси z – есть проекция вектора момента пары  на эту ось:
 ,
где  – угол между вектором  и осью z.