Момент силы — как найти? В чем измеряется? Формулы

Сила: что это за величина

В повседневной жизни мы часто встречаем, как любое тело деформируется (меняет форму или размер), ускоряется или тормозит, падает. В общем, чего только с разными телами в реальной жизни не происходит. Причиной любого действия или взаимодействия является сила.

• Сила — это физическая векторная величина, которая воздействует на данное тело со стороны других тел.

Она измеряется в Ньютонах — это единица измерения названа в честь Исаака Ньютона.

Сила — величина векторная. Это значит, что, помимо модуля, у нее есть направление. От того, куда направлена сила, зависит результат.

Вот стоите вы на лонгборде: можете оттолкнуться вправо, а можете влево — в зависимости от того, в какую сторону оттолкнетесь, результат будет разный. В данном случае результат выражается в направлении движения.

Плечо силы

Для начала давайте разберемся, что такое плечо силы — оно нам сегодня очень пригодится.

Представьте человека. Совершенно обычного. Если он совершенно обычный, у него точно будут плечи — без них получится уже какой-то инопланетянин. Если мы прочертим прямую вдоль линии плеча, а потом еще одну — вдоль линии руки — мы получим две пересекающиеся прямые. Угол между такими прямыми будет равен 90 градусов, а значит эти линии перпендикулярны.

Как анатомическое плечо перпендикулярно руке, так и в физике плечо перпендикулярно, только уже линии действия силы.

То есть перпендикуляр, проведенный от точки опоры до линии действия силы —это плечо силы.

Рычаг

В каждом дворе есть качели, для которых нужны два качающихся (если в вашем дворе таких нет, посмотрите в соседнем). Большая доска ставится посередине на точку опоры. По сути своей, качели —

это рычаг.

Рычаг — простейший механизм, представляющий собой балку, вращающуюся вокруг точки опоры.

Хорошо, теперь давайте найдем плечо этой конструкции. Возьмем правую часть качелей. На качели действует сила тяжести правого качающегося, проведем перпендикуляр от линии действия силы до точки опоры. Получилась, что плечо совпадает с рычагом, разве что рычаг — это вся конструкция, а плечо — половина.

Давайте попробуем опустить качели справа, тогда что получим: рычаг остался тем же самым по длине, но вот сместился на некоторый угол, а вот плечо осталось на том же месте.

Если направление действия силы не меняется, как и точка опоры, то перпендикуляр между ними невозможно изменить.

Момент силы

При решении задач на различные силы нам обычно хватало просто сил. Сила действует всегда линейно (ну в худшем случае под углом), поэтому очень удобно пользоваться законами Ньютона, приравнивать разные силы. Это работало с материальными точками, но не будет так просто применяться к телам, у которых есть форма и размер.

Вот мы приложили силу к краю палки, но при этом не можем сказать, что на другом ее конце будут то же самое ускорение и та же самая сила. Для этого мы вводим такое понятие, как момент силы.

Момент силы — это векторное произведение силы на плечо. Для определения физического смысла можно сказать, что момент — это вращательное действие.

Момент силы M = Fl M — момент силы [Н*м] F — сила [Н] l — плечо [м]

Вернемся к примеру с дверями. Вот мы приложили силу к краю двери — туда, где самый длинный рычаг. Получаем некоторое значение момента силы.

Теперь ту же силу приложим ближе к креплению двери, там, где плечо намного короче. По формуле получим момент меньшей величины.

На себе мы это ощущаем таким образом: нам легче толкать дверь там, где момент больше. То есть, чем больше момент, тем легче идет вращение.

То же самое можно сказать про гаечный ключ. Чтобы закрутить гайку, нужно взяться за ручку дальше гайки.

В этом случае, прикладывая ту же силу, мы получаем большую величину момента за счет увеличения плеча.

Расчет момента силы

Сейчас рассмотрим несколько вариантов того, как момент может рассчитываться. По идее просто нужно умножить силу на плечо, но поскольку мы имеем дело с векторами, все не так просто.

Если сила расположена перпендикулярно оси стержня, мы просто умножаем модуль силы на плечо.

Расстояние между точками A и B — 3 метра.

Момент силы относительно точки A:

           МА=F×AB=F×3м

Если сила расположена под углом к оси стержня, умножаем проекцию силы на плечо.

Обратите внимание, что такие задания могут встретиться только у учеников не раньше 9 класса!

Момент силы относительно точки B:

           MB=F×cos30×AB=F×cos30×3м

Если известно расстояние от точки до линии действия силы, момент рассчитывается как произведение силы на это расстояние (плечо).

Момент силы относительно точки B:

           MB=F×3м

Правило моментов

Вернемся к нашим баранам качелям. Мы умудряемся на них качаться, потому что существует вращательное действие — момент. Силы, с которыми мы действуем на разные стороны этих качелей могут быть разными, но вот моменты должны быть одинаковыми.

Правило моментов говорит о том, что если рычаг не вращается, то сумма моментов сил, поворачивающих рычаг против часовой стрелки, равна сумме моментов сил, поворачивающих рычаг по часовой стрелке.

Это условие выполняется относительно любой точки.

Правило моментов M1 + M2 +…+ Mn = M’1 + M’2 +…+ M’n M1 + M2 +…+ Mn — сумма моментов сил, поворачивающих рычаг по часовой стрелке [Н*м]

Давайте рассмотрим этот закон на примере задач.

Задача 1

К левому концу невесомого стержня прикреплен груз массой 3 кг.

Стержень расположили на опоре, отстоящей от его левого конца на 0,2 длины стержня. Чему равна масса груза, который надо подвесить к правому концу стержня, чтобы он находился в равновесии?

Решение:

Одним из условий равновесия стержня является то, что полный момент всех внешних сил относительно любой точки равен нулю. Рассмотрим моменты сил относительно точки опоры. Момент, создаваемый левым грузом равен mgL5 он вращает стержень против часовой стрелки. Момент, создаваемый правым грузом:Mg4L5 — он вращает по часовой.

Приравнивая моменты, получаем, что для равновесия к правому концу стержня необходимо подвесить груз массой
M = m : 4 = 3 : 4 = 0,75 кг

Ответ: для равновесия к правому концу стержня необходимо подвесить груз массой 0,75 кг

Задача 2

Путешественник несёт мешок с вещами на лёгкой палке. Чтобы удержать в равновесии груз весом 80 Н, он прикладывает к концу B палки вертикальную силу 30 Н. OB = 80 см. Чему равно

OA?

Решение:

По правилу рычага: FB/FA=|OA|/|OB| где FA и FB — силы, приложенные соответственно к точкам A и B. Выразим длину OA:

|OA|=FB/FA)*|OB|=30/80*80=30 см

Ответ: расстояние ОА равно 30 см

Задача 3

Тело массой 0,2 кг подвешено к правому плечу невесомого рычага (см. рисунок). Груз какой массы надо подвесить ко второму делению левого плеча рычага для достижения равновесия?

Решение:

По правилу рычага m1g*l1=m2g*l2

Отсюда m2=l1/l2*m1=3/2*0,2 = 0,3 кг

Ответ: Масса груза равна 0,3 кг

Задача 4

На железной дороге для натяжения проводов используется показанная на рисунке система, состоящая из легких блоков и тросов, натягиваемых тяжелым грузом. Чему равна сила натяжения провода?

Решение:

Система на рисунке состоит из трех блоков: двух подвижных и одного неподвижного. Назначение неподвижного блока заключается только в том, что он меняет направление действия силы, однако никакого выигрыша в силе при этом не возникает. Каждый подвижный блок, напротив, дает выигрыш в силе.

Определим силу, с которой натянута первая нить. Груз растягивает ее с силой:
T = mg = 10*10 = 100 Н

Рассмотрим теперь первый подвижный блок. Так как вся система статична, полная сила, действующая на этот блок, должна быть равна нулю. Первая нить тянет его направо с суммарной силой 2T, значит, натяжение второй нити тоже должно быть равно 2T (вот он — выигрыш в силе). Аналогичное рассмотрение для второго подвижного блока показывает, что натяжение провода должно быть равно

4T = 4*100= 400 Н

Ответ: натяжение провода равно 400 Н

Задача 5 — a.k.a самая сложная задачка

Под действием силы тяжести mg груза и силы F рычаг, представленный на рисунке, находится в равновесии. Вектор силы F перпендикулярен рычагу, груз на плоскость не давит. Расстояния между точками приложения сил и точкой опоры, а также проекции этих расстояний на вертикальную и горизонтальную оси указаны на рисунке.

Если модуль силы F равен 120 Н, то каков модуль силы тяжести, действующей на груз?

Решение:

Одним из условий равновесия рычага является то, что полный момент всех внешних сил относительно любой точки равен нулю. Рассмотрим моменты сил относительно опоры рычага. Момент, создаваемый силой F, равен F*5 м и он вращает рычаг по часовой стрелке. Момент, создаваемый грузом относительно этой точки — mg*0,8 м, он вращает против часовой. Приравнивая моменты, получаем выражение для модуля силы тяжести

mg=F*5/0,8=120*5/0,8=750Н

Ответ: модуль силы тяжести, действующей на груз равен 750 Н

---

---

 

Момент силы.

Теоретическая механика



Момент силы

Говорят, что когда-то великий Архимед изрек фразу: «Дайте мне точку опоры, и я переверну Землю». Современная физика утверждает, что с практической точки зрения, мудрый грек, конечно же, погорячился – даже сдвинуть на доли миллиметра такой массив, как планета с помощью мускульной силы человека – занятие не одного года, а уж перевернуть Землю…
Тем не менее, с теоретической точки зрения Архимед прав – если найти соответствующую точку опоры, то с помощью рычага Землю сдвинуть с места может даже комар. Дело в том, что здесь играет роль не сила, как таковая, а ее момент.

Что же такое – момент силы? Следует сразу оговориться, что момент силы — понятие относительное, поскольку без указания того, относительно какой точки он рассматривается, понятие момента силы теряет смысл (не путать с моментом пары сил, о котором речь пойдет в следующих статьях).

Рассмотрим гайку, которую затягивают гаечным ключом определенной длины, прикладывая к концу ключа мускульное усилие.
Если взять более длинный ключ, то гайку можно завернуть значительно сильнее, прикладывая одинаковое усилие. Из этого следует, что одной и той же силой можно выполнить различное по эффективности вращающее действие на какое-либо тело. В этом и кроется понятие момента силы – это вращающее действие силы относительно какой-либо точки в пространстве.

Понятие момента силы относительно точки ввел гениальный итальянец Леонардо да Винчи (1452-1519), который известен потомкам не только, как великий художник, но и видный ученый своего времени.

Итак, по определению, момент силы относительно точки – это произведение модуля силы на ее плечо.
Плечом в данном случае называется кратчайшее расстояние от рассматриваемой точки до линии действия силы, т. е. перпендикуляр, опущенный из точки на линию действия силы (см. рисунок b).
Математически это определение можно представить в виде формулы:

М₀(F) = Fh,     где h – плечо силы относительно точки 0.

Точка, относительно которой рассматривается момент силы, называется центром момента.

Из приведенной выше формулы очевидно, что единицей измерения момента силы является ньютон × метр (Нм).



Теперь можно оценить справедливость высказывания Архимеда относительно возможности перевернуть Землю — при определенном плече силы, которую способны развить человеческие мускулы, это сделать теоретически возможно, но рука Архимеда должна была описать путь длиной в сотни тысяч километров для того, чтобы сдвинуть земной шар на доли миллиметра, поскольку потребовался бы огромной длины рычаг. Как вы понимаете, практически осуществить подобный подвиг нереально даже для такого уважаемого гения, как Архимед.

Впрочем, бытующее утверждение о трудностях, связанных с перемещением Земли человеческой рукой не совсем безгрешны. Ведь мы, как обыватели, привыкли рассматривать Землю, как весомый предмет, забывая что она, будучи в космическом пространстве, обладает совсем другими весовыми категориями. Поэтому справедливее будет рассматривать не расстояние, на которое мог бы сдвинуть земной шар Архимед, а ускорение, с которым он попытался бы сдвинуть планету со своего места, т. е. фактически — побороть силу инерции Земли, как тела.
И тогда ему не потребовался бы рычаг непомерной длины — прикладывая незначительную силу, сдвинуть Землю можно было бы и двухметровой палкой, но здесь уже возник бы вопрос о времени, в течении которого необходимо было давить на рычаг, чтобы побороть инертность земного шара (как вы понимаете, мускульная сила человека не способна придать планете существенного ускорения).
Опять же, возникает еще одна проблема — Архимеду потребовался бы надежный упор для ног, способный противостоять возмущению Земли на нахальную попытку Архимеда сдвинуть ее с места, а где его найти в открытом космосе?…

Осталось разобраться со знаками для момента силы, ведь он, как и сила, является векторной величиной, т. е. характеризуется не только модулем, но и направлением своего вращающего действия.
При расчетах в технической механике условно считают, что если момент силы стремиться вращать свое плечо вокруг центра момента против часовой стрелки, то он является положительным, если по часовой стрелке — отрицательным (см. рисунок a).

Одна и та же сила относительно разных точек может вызывать и положительный, и отрицательный момент (см. рисунок a).

Отдельный случай, когда рассматриваемая точка (центр момента) лежит на линии действия силы. Очевидно, что в этом случае момент силы относительно этой точки будет равен нулю, поскольку плечо отсутствует (расстояние от линии действия силы до точки равно нулю).

И еще одна важная деталь, которая следует из определения момента силы относительно точки: если переносить силу вдоль линии ее действия, то момент силы относительно любой точки не изменится, поскольку не изменится и расстояние от этой точки до линии действия силы, т. е. плечо (см. рисунок с).

***

Плоская система пар сил



Главная страница

Дистанционное образование

Специальности

Учебные дисциплины

Олимпиады и тесты

Момент силы — определение и свойства

Момент силы относительно точки

Определение момента

Момент силы относительно точки O

– это векторное произведение вектора , проведенного из точки O в точку приложения силы A, на вектор силы :
(1)   .

Если выбрать прямоугольную систему координат Oxyz с центром в точке O, то момент силы будет иметь следующие компоненты:
(1.1)   ;
(1.2)   ;
(1.3)   .
Здесь – координаты точки A в выбранной системе координат:
.
Компоненты представляют собой значения момента силы относительно осей , соответственно.

Определение плеча силы

Плечо силы относительно точки

– это расстояние между линией действия силы и точкой, относительно которой определяется плечо. То есть плечо силы – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы.

Свойства

Если точку приложения силы переместить вдоль линии ее действия, то момент, при таком перемещении, не изменится.
Доказательство ⇓

Абсолютная величина момента силы относительно некоторой точки равна произведению абсолютного значения силы на плечо этой силы относительно выбранной точки.
Доказательство ⇓

Момент относительно точки O, от силы, линия действия которой проходит через эту точку, равен нулю.
Доказательство ⇓

Момент от векторной суммы сил, приложенных к одной точке тела, равен векторной сумме моментов от каждой из сил, приложенных к этой же точке:
.
Доказательство ⇓

Тоже самое относится и к силам, чьи линии продолжения пересекаются в одной точке. При этом в качестве точки приложения суммы сил берется точка пересечения линий их действия.

Если векторная сумма сил равна нулю:
,
то сумма моментов от этих сил не зависит от положения центра, относительно которого вычисляются моменты:
.
Доказательство ⇓

Момент силы является псевдовектором или, что то же самое, аксиальным вектором.

Это свойство следует из свойства векторного произведения. Поскольку векторы и являются истинными (или полярными) векторами, то их векторное произведение является псевдовектором. Это означает то, что мы можем определить только абсолютное значение и ось, вдоль которой направлено векторное произведение. Само же направление по этой оси мы задаем произвольным образом, используя правило правого винта. То есть мы мысленно откладываем векторы и из одного центра. Затем поворачиваем ручку из положения в положение . В результате правый винт смещается в направлении, перпендикулярном плоскости, в которой расположены векторы. Это направление мы и берем за направление векторного произведения.

Но если бы мы определили направление по правилу левого винта, то векторное произведение было бы направлено в противоположную сторону. При этом никакого противоречия не возникает. То есть фактически, аксиальные векторы могут иметь два взаимно противоположных направления. Чтобы не усложнять математические формулы, мы выбираем одно из них, применяя правило правого винта. По этой причине, псевдовекторы нельзя геометрически складывать с истинными векторами. Но их можно перемножать, используя скалярное или векторное произведение.

Момент силы относительно оси

Определение

Часто встречаются случаи, когда нам не нужно знать все компоненты момента силы относительно выбранной точки, а нужно знать только момент силы относительно выбранной оси.

Момент силы относительно оси

– это проекция вектора момента силы относительно произвольной точки, принадлежащей этой оси, на направление оси.

Пусть – единичный вектор, направленный вдоль оси. И пусть O – произвольная точка, принадлежащая ей. Тогда момент силы относительно оси является скалярным произведением:
.
Такое определение возможно, поскольку для любых двух точек O и O′, принадлежащих оси, проекции моментов относительно этих точек на ось равны. Покажем это.

Воспользуемся векторным уравнением :

;
.
Умножим это уравнение скалярно на единичный вектор , направленный вдоль оси:
.
Поскольку вектор параллелен оси, то . Отсюда
.
То есть проекции моментов на ось, относительно точек O и O′, принадлежащих этой оси, равны.

Свойства

Момент относительно оси от силы, линия действия которой проходит через эту ось, равен нулю.
Доказательство ⇓

Момент относительно оси от силы, параллельной этой оси равен нулю.
Доказательство ⇓

Доказательство свойств

Перемещение точки приложения силы вдоль линии ее действия

Все свойства ⇑ Если точку приложения силы переместить вдоль линии действия силы, то момент, при таком перемещении, не изменится.

Доказательство

Пусть сила приложена в точке A. Через точку A проведем прямую, параллельную вектору силы. Эта прямая является линией ее действия. Переместим точку A приложения силы в точку A′, принадлежащую линии действия. Тогда
.
Вектор проведен через две точки линии действия. Поэтому его направление совпадает или противоположно направлению вектора силы . Тогда , где λ – параметр; .   , если точка A′ смещена относительно A в направлении вектора . В противном случае .

Таким образом, вектор, проведенный из O в A′, имеет вид:
.
Найдем момент силы, приложенной в точке A′, применяя свойства векторного произведения:

.
Мы видим, что момент не изменился:
.

Свойство доказано.

Абсолютная величина момента силы

Все свойства ⇑ Абсолютная величина момента силы относительно некоторой точки равна произведению абсолютного значения силы на плечо этой силы относительно выбранной точки.

Доказательство

Абсолютное значение момента M относительно точки O равно произведению силы F на ее плечо d = |OD|.

Пусть мы имеем силу , приложенную в точке A. Рассмотрим момент этой силы относительно некоторой точки O. Заметим, что точки O, A и вектор лежат в одной плоскости. Изобразим ее на рисунке. Через точку A, в направлении вектора проводим прямую AB. Эта прямая называется линией действия силы . Через точку O опустим перпендикуляр OD к линии действия. И пусть D является точкой пересечения линии действия и перпендикуляра. Тогда – плечо силы относительно центра O. Обозначим его буквой . Воспользуемся предыдущим свойством ⇑, согласно которому точку приложения силы можно перемещать вдоль ее линии действия. Переместим ее в точку D. Момент силы:
.
Поскольку векторы и перпендикулярны, то по свойству векторного произведения, абсолютное значение момента:
,
где – абсолютное значение силы.

Заметим, что вектор момента перпендикулярен плоскости рисунка. Его направление определяется по правилу правого винта. Если мы будем вращать винт, проходящий через точку O перпендикулярно плоскости рисунка, в направлении силы F, то он будет перемещаться на нас. Поэтому вектор момента перпендикулярен плоскости рисунка и направлен на нас.

Свойство доказано.

Момент относительно точки от силы, проходящей через эту точку

Все свойства ⇑ Момент относительно точки O, от силы, линия действия которой проходит через эту точку, равен нулю.

Доказательство

Пусть линия действия силы проходит через точку O. Тогда плечо этой силы относительно O равно нулю: . Согласно предыдущему свойству ⇑, абсолютное значение момента силы относительно выбранной точки равно нулю:
.

Свойство доказано.

Момент суммы сил, приложенных в одной точке

Все свойства ⇑ Момент от векторной суммы сил, приложенных к одной точке тела, равен векторной сумме моментов от каждой из сил, приложенных к этой же точке:
.

Доказательство

Пусть силы приложены в одной точке A. Пусть – векторная сумма этих сил. Находим момент относительно некоторой точки O от векторной суммы , приложенной в точке A. Для этого применяем свойства векторного произведения:

.

Свойство доказано.

Момент системы сил, векторная сумма которых равна нулю

Все свойства ⇑ Если векторная сумма сил равна нулю:
,
то сумма моментов от этих сил не зависит от положения центра, относительно которого вычисляются моменты:
.

Доказательство

Пусть силы приложены в точках , соответственно. И пусть точки O и C обозначают два центра, относительно которых мы будем вычислять моменты. Тогда имеют место следующие векторные уравнения:
.
Используем их при вычислении суммы моментов относительно точки O:



.
Здесь мы воспользовались тем, что по условию,
.

Свойство доказано.

Момент относительно оси от силы, проходящей через эту ось

Все свойства ⇑ Момент относительно оси от силы, линия действия которой проходит через эту ось, равен нулю.

Доказательство

В определении ⇑ указано, что момент силы относительно оси – это проекция вектора момента силы относительно произвольной точки, принадлежащей этой оси, на направление оси. В качестве такой точки возьмем точку пересечения линии действия силы с осью. Но, согласно доказанному выше ⇑, момент относительно этой точки равен нулю. Поэтому равна нулю и его проекция на эту ось.

Свойство доказано.

Момент относительно оси от силы, параллельной этой оси

Все свойства ⇑ Момент относительно оси от силы, параллельной этой оси равен нулю.

Доказательство

Пусть O – произвольная точка на оси. Рассмотрим момент силы относительно этой точки. Согласно определению:
.
Согласно свойству векторного произведения, вектор момента перпендикулярен вектору силы . Поскольку вектор силы параллелен оси, то вектор момента ей перпендикулярен. Поэтому проекция момента относительно точки O на ось равна нулю.

Свойство доказано.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 20-09-2019

Момент силы относительно оси в теоретической механике

Момент силы относительно оси

Проекция момента силы относительно точки на какую-либо ось, проходящую через эту точку, называется моментом силы относительно соответствующей оси.

Обозначая символом

момент силы относительно оси , проходящей через центр , будем иметь согласно определению:

где

—модуль момента силы относительно точки , — угол между направлением вектора и направлением оси проекций (рис. 76, а).

Так как всякий свободный вектор вполне определяется своими проекциями па координатные оси, то момент силы относительно какой-либо точки можно определить, найдя моменты данной силы относительно координатных осей, проходящих через эту точку.

Теорема. Момент силы относительно оси равен, алгебраической величине момента проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную к оси. относительно точки пересечения оси с этой плоскостью.

Спроектируем силу

на плоскость , перпендикулярную к оси (рис. 70, а), и найдем момент проекции силы на плоскость относительно точки пересечения оси с этой плоскостью

где площадь

является проекцией на плоскость площади .

Площадь проекции плоской фигуры равна площади проектируемой фигуры, умноженной на косинус угла между плоскостью проектируемой фигуры и плоскостью проекции. Угол между плоскостями измеряется углом между перпендикулярами к этим плоскостям. Так как перпендикуляром к плоскости

является вектор , а перпендикуляром к плоскости — ось , то угол между этими плоскостями равен (рис. 76, а). Следовательно,

Модуль момента силы

относительно точки равен

Таким образом получаем, что

Если направление силы изменить на противоположное, то и вектор

изменит свое направление на противоположное. В этом случае (рис. 76, б) угол между направлением вектора и положительным направлением оси будет тупым и проекция этого век-юра на ось будет отрицательной. Но так как при этом вращение вектора вокруг точки будет направлено по ходу стрелки часов (если смотреть с положительного конца оси ), то будет также отрицательным. Итак,

Тот или другой знак в формуле (34) определяется по следующему правилу: если для наблюдателя, смотрящего на плоскость с положительной стороны оси

, проекция силы на плоскость представляется вращающей тело вокруг оси против хода стрелки часов, то момент считается положительным-, в противном случае его считают отрицательным.

Момент силы относительно оси является, очевидно, скалярной величиной.

Для того чтобы уяснить физический смысл понятия момента силы относительно оси, рассмотрим такой пример.

Пусть сила

, приложенная к телу, которое может вращаться вокруг неподвижной оси, например, к двери, вращающейся на петлях вокруг оси (рис. 77), не лежит на плоскости, перпендикулярной к этой оси.

Разложим силу

на две составляющие: , параллельную оси вращения тела, и , лежащую в плоскости, перпендикулярной к этой осн. Ясно, что составляющая не может вращать тело: она может лишь только перемещать его вдоль оси (снять дверь с петель). Вращательное движение телу может сообщать лишь составляющая . Таким образом, вращательный эффект силы относительно оси определяется вращательным эффектом ее составляющей , являющейся проекцией силы на плоскость, перпендикулярную к оси. Последний же зависит от модуля составляющей и от ее расстояния до оси, т. е. определяется моментом составляющей относительно точки пересечения оси с плоскостью, в которой расположена эта сила.

Понятие о моменте силы относительно оси является одним из важнейших понятий механики. Обобщая его, можно находить момент силы относительно любой оси, независимо от того, может ли в действительности тело вращаться вокруг этой оси.

Для того чтобы определить момент какой-либо силы

относительно какой-либо оси (рис. 78), нужно провести любую плоскость , перпендикулярную к данной оси, и спроектировав силу на эту плоскость, найти алгебраическую величину момента этой проекции силы относительно точки пересечения оси с плоскостью .

Установленный ранее (§ 21) для плоской системы сил алгебраический момент силы относительно точки можно, очевидно, рассматривать как момент силы относительно оси, проходящей через центр момента перпендикулярно к плоскости, в которой лежат эта точка и сила.

Заметим, что:

1) момент силы относительно данной оси не изменяется при перенесении силы вдоль ее линии действия, так как при этом не изменяется ни проекция силы на данную плоскость, ни ее плечо;

2) момент силы относительно оси равен нулю в тех случаях, когда линия действия силы и ось лежат в одной плоскости.

При этом возможны два случая.

а) Сила параллельна оси. В этом случае равна нулю проекция силы на плоскость, перпендикулярную к оси.

б) Линия действия силы пересекает ось. В этом случае проекция силы на плоскость проходит через точку

пересечения оси с плоскостью, и ее плечо относительно этой точки равно нулю.

Пример задачи:

Сбегающая ветвь ремня, действующая на окружности шкива радиусом

, с силой отклонена от средней плоскости шкива на угол . Определить момент силы относительно оси i вала (рис. 79).

Решение:

Спроектируем силу

на плоскость , перпендикулярную к оси вала. Модуль этой проекции . Расстояние ее до точки пересечения оси с плоскостью (т. е. до центра шкива) равно . Таким образом, модуль момента

Если бы средняя линия рассматриваемой части ремня совпадала со средней плоскостью шкива, то момент той же силы относительно оси вала равнялся бы

Пример задачи:

К двери, вращающейся около вертикальной оси

, в точке приложена сила под углом к вертикали; вертикальная плоскость, в которой лежит эта сила, образует с плоскостью двери угол (рис. 80). Определить момент силы относительно оси , если ширина двери .

Решение:

Проведем плоскость

, перпендикулярную к оси и спроектируем силу из эту плоскость; модуль этой проекции . Из точки пересечения оси с плоскостью опускаем перпендикуляр на линию проекции; длина этого перпендикуляра . Таким образом,

Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:

Теоретическая механика — задачи с решением и примерами

Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы:

Моменты в теоретической механике

Определение 1

Теоретическая механика представляет раздел физики, в котором изложены основные законы механических взаимодействий и движений материальных тел.

Понятие момента силы в теоретической механике

Определение 2

В теоретической механике говорится о таком понятии, как момент силы.2}$. Тело, под воздействием пары сил, будет совершать вращательные движения.

Системой сил является комплекс сил, оказывающих непосредственное воздействие на механическую систему. Плоскую систему при этом представляют силы, чьи линии действия лежат в одной плоскости. Пространственную систему – силы, у которых линии действия не лежат в одинаковой плоскости.

Систему сходящихся сил представляют силы, чьи линии действия будут пересекаться в одной точке. В произвольной системе линии действия сил не будут пересекаться в одной точке.

Равновесное состояние характеризует такое положение, тело при котором в момент действия сил или сохраняет неподвижность, или движется равномерным и прямолинейным образом.

Уравновешенной системой сил считается такая система, которая, прилагаясь к свободному твердому телу, сохраняет неизменность его механического состояния (то есть не выводит из равновесия). Равнодействующей силой будет та сила, чье воздействие на тело эквивалентно действиям системы сил.

Проекцию силы на ось представляет заключенный между перпендикулярами отрезок. При этом они проведены из начала и конца вектора силы к данной оси. Проекция положительная при совпадении направленности отрезка и положительного направления оси. Проекцию силы на плоскость представляет вектор на плоскости между перпендикулярами, которые проведены из начала и конца вектора силы к такой плоскости.

Готовые работы на аналогичную тему

Момент силы относительно оси

Замечание 1

Моментом силы относительно оси будет считаться момент проекции такой силы на перпендикулярную оси плоскость в отношении точки их пересечения.

Момент окажется положительным при условии, что поворот, совершаемый силой, осуществляется против часовой стрелки, и отрицательным – если против, записывается это формулой:

$M_z (\vec{F} = M_0 (\vec{F_xy}) = hF_xy$

Для нахождения момента силы относительно оси нужно:

• провести перпендикулярно оси $z$ плоскость и спроецировать на нее силу $F$;
• спроецировать силу $F$ на вышеуказанную плоскость с последующим вычислением величины проекции $F_xy$;
• провести $h$ (плечо) из точки, где пересекается ось с плоскостью, на линию действия проекции $F_xy$ с последующим определением его длины;
• вычислить произведение этого плеча, а также — проекции силы с соответствующим знаком.2}$ следует, что главным и необходимым условием равновесного состояния пространственной системы сходящихся сил будет нулевое значение суммы проекций всех сил на оси $X$, $Y$, $Z$:

  $\sum{F_kx}=0$

  $\sum{F_ky}=0$

  $\sum{F_kz}=0$

  Необходимым условием равновесия для плоской будет нулевое значение суммы проекций всех сил на оси $X$, $Y$:

  $\sum{F_kx}=0$

  $\sum{F_ky}=0$

  Момент силы относительно точки

  Абсолютное значение момента в теоретической механике вычисляется формулой: $M_0(\vec{F})=hF$

  При положительном моменте сила вращает плечо $h$ против часовой стрелки, а при отрицательном – по часовой.

  Согласно свойствам момента силы относительно точки, он сохраняет свою неизменность, если точка приложения силы переносится вдоль линии ее действия. Еще одно свойство проявляется в том, что момент равнодействующей силы относительно точки определяет сумма моментов слагаемых сил в отношении этой точки:

  $M_0(\vec{R})=M_0(\vec{F_1})+M_0(\vec{F_1})$,

  где $\vec{R}=\vec{F_1}+\vec{F_2}$

  Момент пары сил

  Момент пары сил определяет формула: $M(\vec{F},\vec{F})=Fh$где $\vec{F},\vec{F}) – силы, которые составляют пару, $h$ — плечо пары. — плечо пары.

  Момент пары окажется положительным при стремлении сил к вращению плеча против часовой стрелки. Свойства пары сил выражены в: нулевом значении суммы проекций сил на ось; неизменности момента пары при одновременном изменении значения сил и плеча пары, возможности переноса пары в плоскости ее действия при неизменности действия пары на тело.

  Момент силы относительно точки будет выражать следующая формула: $M_0(\vec{F})=hF$. Момент окажется положительным при стремлении силы к вращению плеча против часовой стрелки и отрицательным – когда вращать будет по часовой.

  Свойства момента силы в отношении точки выражаются в следующем: его неизменности в момент переноса точки приложения силы вдоль линии ее действия; момент равнодействующей силы в отношении точки представляет суммарное значение моментов слагаемых сил относительно нее: $M_0(\vec{R})=M_0(\vec{F_1})+M_0(\vec{F_2})$, где $\vec{R}=\vec{F_1}+\vec{F_2}$, нулевом значении момента силы при прохождении линии действия силы через точку ее приложения;

  Приложенную к твердому телу силу возможно перенести.2}$

  Момент силы. Формула момента силы. Момент силы, формулы

  Моментом силы относительно произвольного центра в плоскости действия силы, называется произведение модуля силы на плечо.

  Плечо — кратчайшее расстояние от центра О до линии действия силы, но не до точки приложения силы, т.к. сила-скользящий вектор.

  Знак момента:

  По часовой-минус, против часовой-плюс;

  Момент силы можно выразить как вектор. Это перпендикуляр к плоскости по правилу Буравчика.

  Если в плоскости расположены несколько сил или система сил, то алгебраическая сумма их моментов даст нам главный момент системы сил.

  Рассмотрим момент силы относительно оси, вычислим момент силы относительно оси Z;

  Спроецируем F на XY;

  F xy =Fcosα = ab

  m 0 (F xy)=m z (F), то есть m z =F xy * h = Fcosα * h

  Момент силы относительно оси равен моменту ее проекции на плоскость перпендикулярную оси, взятому на пересечении осей и плоскости

  Если сила параллельна оси или пересекает ее, то m z (F)=0

  Выражение момента силы в виде векторного выражения

  Проведем r а в точку A. Рассмотрим OA x F.

  Это третий вектор m o , перпендикулярный плоскости. Модуль векторного произведения можно вычислить с помощью удвоенной площади заштрихованного треугольника.

  Аналитическое выражение силы относительно координатных осей.

  Предположим, что с точкой О связаны оси Y и Z, X с единичными векторами i, j, k Учитывая, что:

  r x =X * Fx ; r y =Y * F y ; r z =Z * F y получим: m o (F)=x =

  Раскроем определитель и получим:

  m x =YF z — ZF y

  m y =ZF x — XF z

  m z =XF y — YF x

  Эти формулы дают возможность вычислить проекцию вектор-момента на оси, а потом и сам вектор-момент.

  Теорема Вариньона о моменте равнодействующей

  Если система сил имеет равнодействующую, то её момент относительно любого центра равен алгебраической сумме моментов всех сил относительно этой точки

  Если приложить Q= -R , то система (Q,F 1 … F n) будет равен уравновешиваться.

  Сумма моментов относительно любого центра будет равен нулю.

  Аналитическое условие равновесия плоской системы сил

  Это плоская система сил, линии действия которых расположены в одной плоскости

  Цель расчета задач данного типа — определение реакций внешних связей. Для этого используются основные уравнения в плоской системе сил.

  Могут использоваться 2 или 3 уравнения моментов.

  Пример

  Составим уравнение суммы всех сил на ось X и Y.

  Почти две тысячи лет просуществовало правило рычага, открытое Архимедом еще в третьем веке до нашей эры, пока в семнадцатом веке с легкой руки французского ученого Вариньона не получило более общую форму.

  Правило момента сил

  Было введено понятие момента сил. Момент силы — это физическая величина, равная произведению силы на ее плечо:

  где M — момент силы,
  F — сила,
  l — плечо силы.

  Из правила равновесия рычага напрямую вытекает правило моментов сил:

  F1 / F2 = l2 / l1 или, по свойству пропорции F1 * l1= F2 * l2, то есть M1 = M2

  В словесном выражении правило моментов сил звучит следующим образом: рычаг находится в равновесии под действием двух сил, если момент силы, вращающей его по часовой стрелке, равен моменту силы, вращающей его против часовой стрелки. Правило моментов сил справедливо для любого тела, закрепленного вокруг неподвижной оси. На практике момент силы находят следующим образом: по направлению действия силы проводят линию действия силы. Потом из точки, в которой находится ось вращения, проводят перпендикуляр до линии действия силы. Длина этого перпендикуляра будет равняться плечу силы. Умножив значение модуля силы на ее плечо, получаем значение момента силы относительно оси вращения. То есть, мы видим, что момент силы характеризует вращающее действие силы. Действие силы зависит и от самой силы и от ее плеча.

  Применение правила моментов сил в различных ситуациях

  Отсюда вытекает применение правила моментов сил в различных ситуациях. Например, если мы открываем дверь, то толкать ее мы будем в районе ручки, то есть, подальше от петель. Можно проделать элементарный опыт и убедиться, что толкать дверь тем легче, чем дальше мы прилагаем силу от оси вращения. Практический эксперимент в данном случае прямо подтверждается формулой. Так как, дабы моменты сил при разных плечах были равны, надо, чтобы большему плечу соответствовала меньшая сила и наоборот, меньшему плечу соответствовала большая. Чем ближе к оси вращения мы прилагаем силу, тем она должна быть больше. Чем дальше от оси мы воздействуем рычагом, вращая тело, тем меньшую силу нам необходимо будет приложить. Числовые значения легко находятся из формулы для правила моментов.

  Именно исходя из правила моментов сил мы берем лом или длинную палку, если нам надо приподнять что-то тяжелое, и, подсунув под груз один конец, тянем лом возле другого конца. По этой же причине шурупы мы вворачиваем отверткой с длинной ручкой, а гайки закручиваем длинным гаечным ключом.

  Момент силы (синонимы: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент ) — векторная физическая величина , равная векторному произведению радиус-вектора , проведённого от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело .

  Понятия «вращающий» и «крутящий» моменты в общем случае не тождественны, так как в технике понятие «вращающий» момент рассматривается как внешнее усилие, прикладываемое к объекту, а «крутящий» — внутреннее усилие, возникающее в объекте под действием приложенных нагрузок (этим понятием оперируют в сопротивлении материалов).

  Энциклопедичный YouTube

  1 / 5

  7 кл — 39. Момент силы. Правило моментов

  Момент силы тяжести.Гантеля и рука

  Сила и масса

  Момент силы. Рычаги в природе, технике, быту | Физика 7 класс #44 | Инфоурок

  Зависимость углового ускорения от момента сил 1

  Субтитры

  Общие сведения

  Специальные случаи

  Формула момента рычага

  Очень интересен особый случай, представляемый как определение момента силы в поле:

  | M → | = | M → 1 | | F → | {\displaystyle \left|{\vec {M}}\right|=\left|{\vec {M}}_{1}\right|\left|{\vec {F}}\right|} , где: | M → 1 | {\displaystyle \left|{\vec {M}}_{1}\right|} — момент рычага, | F → | {\displaystyle \left|{\vec {F}}\right|} — величина действующей силы.

  Проблема такого представления в том, что оно не дает направления момента силы, а только его величину. Если сила перпендикулярна вектору r → {\displaystyle {\vec {r}}} , момент рычага будет равен расстоянию до центра и момент силы будет максимален:

  | T → | = | r → | | F → | {\displaystyle \left|{\vec {T}}\right|=\left|{\vec {r}}\right|\left|{\vec {F}}\right|}

  Сила под углом

  Если сила F → {\displaystyle {\vec {F}}} направлена под углом θ {\displaystyle \theta } к рычагу r, то M = r F sin ⁡ θ {\displaystyle M=rF\sin \theta } .

  Статическое равновесие

  Для того чтобы объект находился в равновесии, должна равняться нулю не только сумма всех сил, но и сумма всех моментов силы вокруг любой точки. Для двумерного случая с горизонтальными и вертикальными силами: сумма сил в двух измерениях ΣH=0, ΣV=0 и момент силы в третьем измерении ΣM=0.

  Момент силы как функция от времени

  M → = d L → d t {\displaystyle {\vec {M}}={\frac {d{\vec {L}}}{dt}}} ,

  где L → {\displaystyle {\vec {L}}} — момент импульса.

  Возьмём твердое тело. Движение твёрдого тела можно представить как движение конкретной точки и вращения вокруг неё.

  Момент импульса относительно точки O твёрдого тела может быть описан через произведение момента инерции и угловой скорости относительно центра масс и линейного движения центра масс.

  L o → = I c ω → + [ M (r o → − r c →) , v c → ] {\displaystyle {\vec {L_{o}}}=I_{c}\,{\vec {\omega }}+}

  Будем рассматривать вращающиеся движения в системе координат Кёнига , так как описывать движение твёрдого тела в мировой системе координат гораздо сложнее.

  Продифференцируем это выражение по времени. И если I {\displaystyle I} — постоянная величина во времени, то

  M → = I d ω → d t = I α → {\displaystyle {\vec {M}}=I{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}=I{\vec {\alpha }}} ,

  где α → {\displaystyle {\vec {\alpha }}} — угловое ускорение , измеряемое в радианах в секунду за секунду (рад/с 2). Пример: вращается однородный диск.

  Если тензор инерции меняется со временем, то движение относительно центра масс описывается с помощью динамического уравнения Эйлера:

  M c → = I c d ω → d t + [ w → , I c w → ] {\displaystyle {\vec {M_{c}}}=I_{c}{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}+[{\vec {w}},I_{c}{\vec {w}}]} .

  В физике рассмотрение задач с вращающимися телами или системами, которые находятся в равновесии, осуществляется с использованием концепции «момент силы». В этой статье будет рассмотрена формула момента силы, а также ее использование для решения указанного типа задач.

  в физике

  Как было отмечено во введении, в данной статье пойдет речь о системах, которые могут вращаться либо вокруг оси, либо вокруг точки. Рассмотрим пример такой модели, изображенной на рисунке ниже.

  Мы видим, что рычаг серого цвета закреплен на оси вращения. На конце рычага имеется черный кубик некоторой массы, на который действует сила (красная стрелка). Интуитивно понятно, что результатом воздействия этой силы будет вращение рычага вокруг оси против часовой стрелки.

  Моментом силы называется величина в физике, которая равна векторному произведению радиуса, соединяющего ось вращения и точку приложения силы (зеленый вектор на рисунке), и самой внешней силе. То есть силы относительно оси записывается следующим образом:

  Результатом этого произведения будет вектор M¯. Направление его определяют, исходя из знания векторов-множителей, то есть r¯ и F¯. Согласно определению векторного произведения, M¯ должен быть перпендикулярен плоскости, образованной векторами r¯ и F¯, и направлен в соответствии с правилом правой руки (если четыре пальца правой руки расположить вдоль первого умножаемого вектора в направлении к концу второго, то отставленный вверх большой палец укажет, куда направлен искомый вектор). На рисунке можно видеть, куда направлен вектор M¯ (синяя стрелка).

  Скалярная форма записи M¯

  На рисунке в предыдущем пункте сила (красная стрелка) действует на рычаг под углом 90 o . В общем же случае она может быть приложена под совершенно любым углом. Рассмотрим изображение ниже.

  Здесь мы видим, что на рычаг L сила F уже действует под некоторым углом Φ. Для этой системы формула момента силы относительно точки (показана стрелкой) в скалярном виде примет форму:

  M = L * F * sin(Φ)

  Из выражения следует, что момент силы M будет тем больше, чем ближе направление действия силы F к углу 90 o по отношению к L. Наоборот, если F действует вдоль L, то sin(0) = 0, и сила не создает никакого момента (M = 0).

  При рассмотрении момента силы в скалярной форме часто пользуются понятием «рычага силы». Эта величина представляет собой расстояние между осью (точкой вращения) и вектором F. Применяя это определение к рисунку выше, можно сказать, что d = L * sin(Φ) — это рычаг силы (равенство следует из определения тригонометрической функции «синус»). Через рычаг силы формулу для момента M можно переписать так:

  Физический смысл величины M

  Рассматриваемая физическая величина определяет способность внешней силы F оказывать вращательное воздействие на систему. Чтобы привести тело во вращательное движение, ему необходимо сообщить некоторый момент M.

  Ярким примером этого процесса является открывание или закрывание двери в комнату. Взявшись за ручку, человек прикладывает усилие и поворачивает дверь на петлях. Каждый сможет это сделать. Если же попытаться открыть дверь, воздействуя на нее вблизи петель, то потребуется приложить большие усилия, чтобы сдвинуть ее с места.

  Другим примером является откручивание гайки ключом. Чем короче будет этот ключ, тем труднее выполнить поставленную задачу.

  Указанные особенности демонстрирует формула момента силы через плечо, которая была приведена в предыдущем пункте. Если M считать постоянной величиной, то чем меньше d, тем большую F следует приложить для создания заданного момента силы.

  Несколько действующих сил в системе

  Выше были рассмотрены случаи, когда на систему, способную к вращению, действует всего одна сила F, но как быть, когда таких сил несколько? Действительно, эта ситуация является более частой, поскольку на систему могут действовать силы различной природы (гравитационная, электрическая, трение, механическая и другие). Во всех этих случаях результирующий момент силы M¯ может быть получен с помощью векторной суммы всех моментов M i ¯, то есть:

  M¯ = ∑ i (M i ¯), где i — номер силы F i

  Из свойства аддитивности моментов следует важный вывод, который получил название теоремы Вариньона, названной так по фамилии математика конца XVII — начала XVIII века — француза Пьера Вариньона. Она гласит: «Сумма моментов всех сил, оказывающих воздействие на рассматриваемую систему, может быть представлена в виде момента одной силы, которая равна сумме всех остальных и приложена к некоторой точке». Математически теорему можно записать так:

  ∑ i (M i ¯) = M¯ = d * ∑ i (F i ¯)

  Эта важная теорема часто используется на практике для решения задач на вращение и равновесие тел.

  Совершает ли работу момент силы?

  Анализируя приведенные формулы в скалярном или векторном виде, можно прийти к выводу, что величина M — это некоторая работа. Действительно, ее размерность равна Н*м, что в СИ соответствует джоулю (Дж). На самом деле момент силы — это не работа, а лишь величина, которая способна ее совершить. Чтобы это произошло, необходимо наличие кругового движения в системе и продолжительного во времени действия M. Поэтому формула работы момента силы записывается в следующем виде:

  В этом выражении θ — это угол, на который было произведено вращение моментом силы M. В итоге единицу работы можно записать как Н*м*рад или же Дж*рад. Например, значение 60 Дж*рад говорит о том, что при повороте на 1 радиан (приблизительно 1/3 окружности) создающая момент M сила F совершила работу в 60 джоулей. Эту формулу часто используют при решении задач в системах, где действуют силы трения, что будет показано ниже.

  Момент силы и момент импульса

  Как было показано, воздействие на систему момента M приводит к появлению в ней вращательного движения. Последнее характеризуется величиной, которая получила название «момент импульса». Его можно вычислить, применяя формулу:

  Здесь I — это момент инерции (величина, которая играет такую же роль при вращении, что и масса при линейном движении тела), ω — угловая скорость, она связана с линейной скоростью формулой ω = v/r.

  Оба момента (импульса и силы) связаны друг с другом следующим выражением:

  M = I * α, где α = dω / dt — угловое ускорение.

  Приведем еще одну формулу, которая важна для решения задач на работу моментов сил. С помощью этой формулы можно вычислить кинетическую энергию вращающегося тела. Она выглядит так:

  Равновесие нескольких тел

  Первая задача связана с равновесием системы, в которой действуют несколько сил. На рисунке ниже приведена система, на которую действуют три силы. Необходимо рассчитать, какой массы предмет необходимо подвесить к этому рычагу и в какой точке это следует сделать, чтобы данная система находилась в равновесии.

  Из условия задачи можно понять, что для ее решения следует воспользоваться теоремой Вариньона. На первую часть задачи можно ответить сразу, поскольку вес предмета, которые следует подвесить к рычагу, будет равен:

  P = F 1 — F 2 + F 3 = 20 — 10 + 25 = 35 Н

  Знаки здесь выбраны с учетом того, что сила, вращающая рычаг против часовой стрелки, создает отрицательный момент.

  Положение точки d, куда следует подвесить этот вес, вычисляется по формуле:

  M 1 — M 2 + M 3 = d * P = 7 * 20 — 5 * 10 + 3 * 25 = d * 35 => d = 165/35 = 4,714 м

  Отметим, что с помощью формулы момента силы тяжести мы вычислили эквивалентную величину M той, которую создают три силы. Чтобы система находилась в равновесии, необходимо подвесить тело весом 35 Н в точке 4,714 м от оси с другой стороны рычага.

  Задача с движущимся диском

  Решение следующей задачи основано на использовании формулы момента силы трения и кинетической энергии тела вращения. Задача: дан диск радиуса r = 0,3 метра, который вращается со скоростью ω = 1 рад/с. Необходимо рассчитать, какое расстояние способен он пройти по поверхности, если коэффициент трения качения равен μ = 0,001.

  Эту задачу легче всего решить, если воспользоваться законом сохранения энергии. Мы располагаем начальной кинетической энергией диска. Когда он начнет катиться, то вся эта энергия расходуется на нагрев поверхности за счет действия силы трения. Приравнивая обе величины, получим выражение:

  I * ω 2 /2 = μ * N/r * r * θ

  Первая часть формулы — это кинетическая энергия диска. Вторая часть — это работа момента силы трения F = μ * N/r, приложенной к краю диска (M=F * r).

  Учитывая, что N = m * g и I = 1/2m * r 2 , вычисляем θ:

  θ = m * r 2 * ω 2 /(4 * μ * m * g) = r 2 * ω 2 /(4 * μ *g) = 0,3 2 * 1 2 /(4 * 0,001 * 9,81) = 2,29358 рад

  Поскольку 2pi радиан соответствуют длине 2pi * r, тогда получаем, что искомое расстояние, которое пройдет диск, равно:

  s = θ * r = 2,29358 * 0,3 = 0,688 м или около 69 см

  Отметим, что на данный результат масса диска никак не влияет.

  Когда решают задачи на перемещение объектов, то в ряде случаев пренебрегают их пространственными размерами, вводя понятие материальной точки. Для другого типа задач, в которых рассматриваются покоящиеся или вращающиеся тела, важно знать их параметры и точки приложения внешних сил. В этом случае речь идет о моменте сил относительно оси вращения. Рассмотрим этот вопрос в статье.

  Понятие о моменте силы

  Перед тем как приводить относительно оси вращения неподвижной, необходимо пояснить, о каком явлении пойдет речь. Ниже дан рисунок, на котором изображен гаечный ключ длиной d, к концу его приложена сила F. Нетрудно представить, что результатом ее воздействия будет вращение ключа против часовой стрелки и откручивание гайки.

  Согласно определению, момент силы относительно оси вращения представляет собой произведение плеча (d в данном случае) на силу (F), то есть можно записать следующее выражение: M = d*F. Сразу же следует оговориться, что приведенная формула записана в скалярном виде, то есть она позволяет рассчитать абсолютное значение момента M. Как видно из формулы, единицей измерения рассматриваемой величины являются ньютоны на метр (Н*м).

  — векторная величина

  Как выше было оговорено, момент M в действительности представляет собой вектор. Для пояснения этого утверждения рассмотрим другой рисунок.

  Здесь мы видим рычаг длиной L, который закреплен на оси (показано стрелкой). К его концу приложена сила F под углом Φ. Нетрудно себе представить, что эта сила будет вызывать подъем рычага. Формула для момента в векторной форме в этом случае запишется так: M¯ = L¯*F¯, здесь черта над символом означает, что рассматриваемая величина — это вектор. Следует пояснить, что L¯ направлен от к точке приложения силы F¯.

  Приведенное выражение является векторным произведением. Его результирующий вектор (M¯) будет направлен перпендикулярно плоскости, образованной L¯ и F¯. Для определения направления момента M¯ существуют несколько правил (правой руки, буравчика). Чтобы не заучивать их и не путаться в порядке умножения векторов L¯ и F¯ (от него зависит направление M¯), следует запомнить одну простую вещь: момент силы будет направлен таким образом, что если смотреть с конца его вектора, то воздействующая сила F¯ будет вращать рычаг против часовой стрелки. Это направление момента условно принято за положительное. Если же система совершает вращение по часовой стрелки, значит, результирующий момент сил имеет отрицательное значение.

  Таким образом, в рассматриваемом случае с рычагом L величина M¯ направлена вверх (от рисунка к читателю).

  В скалярной форме формула для момента запишется в виде: M = L*F*sin(180-Φ) или M = L*F*sin(Φ) (sin(180-Φ) = sin(Φ)). Согласно определению синуса, можно записать равенство: M = d*F, где d = L*sin(Φ) (см. рисунок и соответствующий прямоугольный треугольник). Последняя формула является аналогичной той, которая была приведена в предыдущем пункте.

  Проведенные выше вычисления демонстрируют, как работать с векторными и скалярными величинами моментов сил, чтобы не допустить ошибок.

  Физический смысл величины M¯

  Поскольку два рассмотренных в предыдущих пунктах случая связаны с вращательным движением, то можно догадаться, какой смысл несет момент силы. Если сила, действующая на материальную точку, является мерой увеличения скорости линейного перемещения последней, то момент силы — это мера ее вращательной способности применительно к рассматриваемой системе.

  Приведем наглядный пример. Любой человек открывает дверь, взявшись за ее ручку. Также это можно сделать, если толкнуть дверь в зоне ручки. Почему никто не открывает ее, толкая в области петель? Очень просто: чем ближе к петлям приложена сила, тем труднее открыть дверь, и наоборот. Вывод предыдущего предложения следует из формулы для момента (M = d*F), откуда видно, что при M = const величины d и F находятся в обратной зависимости.

  Момент силы — аддитивная величина

  Во всех рассмотренных выше случаях имела место лишь одна действующая сила. При решении же реальных задач дело обстоит гораздо сложнее. Обычно на системы, которые вращаются или находятся в равновесии, действуют несколько сил кручения, каждая из которых создает свой момент. В этом случае решение задач сводится к нахождению суммарного момента сил относительно оси вращения.

  Суммарный момент находится путем обычной суммы отдельных моментов для каждой силы, однако, следует не забывать использовать правильный знак для каждого из них.

  Пример решения задачи

  Для закрепления полученных знаний предлагается решить следующую задачу: необходимо вычислить суммарный момент силы для системы, изображенной на рисунке ниже.

  Мы видим, что на рычаг длиной 7 м действуют три силы (F1, F2, F3), причем они имеют разные точки приложения относительно оси вращения. Поскольку направление сил перпендикулярно рычагу, то нет необходимости применять векторное выражение для момента кручения. Можно рассчитать суммарный момент M, используя скалярную формулу и не забывая о постановке нужного знака. Поскольку силы F1 и F3 стремятся повернуть рычаг против часовой стрелки, а F2 — по часовой стрелке, то момент вращения для первых будет положительным, а для второй — отрицательным. Имеем: M = F1*7-F2*5+F3*3 = 140-50+75 = 165 Н*м. То есть суммарный момент является положительным и направлен вверх (на читателя).

  Как найти результирующий момент сил

  Статика. Основные понятия и физические величины.

  Если механическая система, например тело, покоится или движется с постоянной скоростью, то говорят, что тело находится в равновесии.

  Статика – раздел механики, изучает условия равновесия механических систем (тел). Рассмотрим основные понятия и физические величины, которые используются в этом разделе механики.

  Материальная точка – тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь

  Абсолютно твердое тело – тело, деформацией которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Для абсолютно твердого тела расчет равновесия тела значительно упрощается, а результаты расчетов можно применить к реальным телам, деформация которых незначительна.

  Результирующая внешних сил, действующих на данное тело. Это понятие (физическая величина) нам уже знакомо по разделу – динамика. В статике мы расширим это понятие применительно к протяженным телам.

  Момент силы – физическая величина, является мерой силового воздействия для случая, когда тело может совершать вращательное движение. Необходимость введения этой физической величины связана с тем, что при вращательном движении тела результат воздействия определяется не только величиной и направлением действующей силы, но и тем, на каком расстоянии от оси вращения проходит линия действия силы.

  Рассмотрим протяженное тело в виде диска, способное вращаться относительно оси О (рис.6.1). На тело действуют три одинаковые по величине и по направлению силы , и . Но результат действия этих сил различен. Под действием силы диск поворачивался бы по часовой стрелке относительно оси О, под действием силы — против часовой стрелки, действие силы не приводит к вращению диска. Видим, что сила не является исчерпывающей характеристикой воздействия при вращательном движении. Таковой характеристикой воздействия в динамике вращательного движения является момент силы.

  Момент силы определяется как произведение силы на плечо этой силы. Плечом силы называется кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси вращения (рис. 6.1). Если сила поворачивает тело по часовой стрелке относительно оси вращения, то момент М такой силы будем считать положительным. Если сила поворачивает тело против часовой стрелке относительно оси вращения, то момент М такой силы будем считать отрицательным. Рассмотрим, какие моменты создают силы , и , действующие на тело, представленное на рисунке:

  М₁ = +F₁l₁ – момент М₁ положительный, сила поворачивает диск по часовой стрелке;

  М₂ = F₂l₂ =0 – момент М₂ равен нулю, т.к. плечо l₂ силы равно нулю;

  М₃ = —F₃l₃ – момент М₃ отрицательный, сила поворачивает диск против часовой стрелки.

  Нахождение результирующей силы, действующей на тело:

  1) вектор результирующей силы: ;

  2) линия действия результирующей силы определяется исходя из того, что момент результирующей силы относительно любой оси вращения равен сумме моментов действующих сил: .

  Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

  Лучшие изречения: Да какие ж вы математики, если запаролиться нормально не можете. 8447 — | 7339 — или читать все.

  78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

  Отключите adBlock!
  и обновите страницу (F5)
  очень нужно

  Момент силы относительно оси вращения — это физическая величина, которая равна произведению силы на ее плечо.

  Момент силы вычисляют при помощи формулы:

  где F — сила, l — плечо силы.

  Плечо силы – это самое короткое расстояние от линии действия силы до оси вращения тела. На рисунке ниже изображено твердое тело, которое может вращаться вокруг оси. Ось вращения этого тела является перпендикулярной к плоскости рисунка и проходит через точку, которая обозначена как буква О. Пле­чом силы F_t здесь оказывается расстояние l, от оси вращения до линии действия силы. Определяют его таким образом. Первым шагом проводят линию действия силы, далее из т. О, через которую проходит ось вращения тела, опускают на линию действия силы перпендикуляр. Длина этого перпендикуляра оказывается плечом данной силы.

  Момент силы характеризует вращающее действие силы. Это действие зависит как от силы, так и от плеча. Чем больше плечо, тем меньшую силу необходимо приложить, чтобы получить желаемый результат, то есть один и тот же момент силы (см. рис. выше). Именно поэтому открыть дверь, толкая ее возле петель, намного сложнее, чем берясь за ручку, а гайку отвернуть намного легче длинным, чем коротким гаечным ключом.

  За единицу момента силы в СИ принимается момент силы в 1 Н, плечо которой равно 1м — ньютон-метр (Н · м).

  Правило моментов.

  Твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси, находится в равновесии, если момент силы М₁ вращающей его по часовой стрелке, равняется моменту силы М₂, которая вращает его против часовой стрелки:

  Момент силы принято считать положительным, если тело вращается по часовой стрелке, и от­рицательным, если — против.

  Правило моментов есть следствие одной из теорем механики, которая была сформулирована французским ученым П. Вариньоном в 1687 г.

  Пара сил.

  Если на тело действуют 2 равные и противоположно направленные силы, которые не лежат на одной прямой, то такое тело не находится в равновесии, так как результирующий момент этих сил относительно любой оси не равняется нулю, так как обе силы имеют моменты, направленные в одну сторону. Две такие силы, одновременно действующие на тело, называют парой сил. Если тело закреплено на оси, то под действием пары сил оно будет вращаться. Если пара сил приложена «свободному телу, то оно будет вращаться вокруг оси. проходящей через центр тяжести тела, рисунке б.

  Момент пары сил одинаков относительно любой оси, перпендикулярной к плоскости пары. Суммарный момент М пары всегда равен произведению одной из сил F на расстояние l между силами, которое называется плечом пары, независимо от того, на какие отрезки l, и разделяет положение оси плечо пары:

  .

  Момент нескольких сил, равнодействующая которых равна нулю, будет одинаковым относи­тельно всех осей, параллельных друг другу, поэтому действие всех этих сил на тело можно заме нить действием одной пары сил с тем же моментом.

  В статье мы расскажем про момент силы относительно точки и оси, определения, рисунки и графики, какая единица измерения момента силы, работа и сила во вращательном движении, а также примеры и задачи.

  Момент силы представляет собой вектор физической величины, равный произведению векторов плеча силы (радиус-вектор частицы) и силы, действующей на точку. Силовой рычаг представляет собой вектор, соединяющий точку, через которую проходит ось вращения твердого тела с точкой, к которой приложена сила.

  где: r — плечо силы, F — сила приложенная на тело.

  Направление вектора силы момента всегда перпендикулярно плоскости, определяемой векторами r и F.

  Главный момент — любая система сил на плоскости относительно принятого полюса называется алгебраическим моментом момента всех сил этой системы относительно этого полюса.

  Во вращательных движениях важны не только сами физические величины, но и то, как они расположены относительно оси вращения, то есть их моменты. Мы уже знаем, что во вращательном движении важна не только масса, но и момент инерции. В случае силы, ее эффективность для запуска ускорения определяется способом приложения этой силы к оси вращения.

  Взаимосвязь между силой и способом ее применения описывает МОМЕНТ СИЛЫ. Момент силы — это векторное произведение силового плеча R на вектор силы F:

  Как в каждом векторном произведении, так и здесь

  Следовательно, сила не будет влиять на вращение, когда угол между векторами силы F и рычагом R равен 0 o или 180 o . Каков эффект применения момента силы М?

  Мы используем второй Закон движения Ньютона и связь между канатом и угловой скоростью v = Rω в скалярной форме, действительны, когда векторы R и ω перпендикулярны друг другу

  Умножив обе части уравнения на R, получим

  Поскольку mR 2 = I, мы заключаем, что

  Вышеуказанная зависимость справедлива и для случая материального тела. Обратите внимание, что в то время как внешняя сила дает линейное ускорение a, момент внешней силы дает угловое ускорение ε.

  Единица измерения момента силы

  Основной мерой измерения момента силы в системной координате СИ является: [M]=Н•м

  Работа и сила во вращательном движении

  
  

  Работа в линейном движении определяется общим выражением,

  но во вращательном движении,

  Исходя из свойств смешанного произведения трех векторов, можно записать

  Поэтому мы получили выражение для работы во вращательном движении:

  Мощность во вращательном движении:

  Момент силы пример и решение задач относительно точки

  Найдите момент силы, действующей на тело в ситуациях, показанных на рисунках ниже. Предположим, что r = 1m и F = 2N.

  а) поскольку угол между векторами r и F равен 90°, то sin(a)=1:

  M = r • F = 1м • 2N = 2Н • м

  б) потому что угол между векторами r и F равен 0°, поэтому sin(a)=0:

  M = 0
  да направленная сила не может дать точке вращательное движение.

  c) поскольку угол между векторами r и F равен 30°, то sin(a)=0.5:

  M = 0,5 r • F = 1Н • м.

  Таким образом, направленная сила вызовет вращение тела, однако ее эффект будет меньше, чем в случае a).

  Момент силы относительно оси

  Предположим, что данные являются точкой O (полюс) и мощность P. В точке O мы принимаем начало прямоугольной системы координат. Момент силы Р по отношению к полюсным O представляет собой вектор М из (Р), (рисунок ниже).

  Любая точка A на линии P имеет координаты (xo , yo , zo ).
  Вектор силы P имеет координаты Px , Py, Pz. Комбинируя точку A (xo, yo, zo ) с началом системы, мы получаем вектор p. Координаты вектора силы P относительно полюса O обозначены символами Mx, My, Mz. Эти координаты могут быть вычислены как минимумы данного определителя, где ( i, j, k) — единичные векторы на осях координат (варианты): i, j, k

  После решения определителя координаты момента будут равны:

  Координаты вектора моментов Mo (P) называются моментами силы относительно соответствующей оси. Например, момент силы P относительно оси Oz окружает шаблон:

  Mz = Pyxo — Pxyo

  Этот паттерн интерпретируется геометрически так, как показано на рисунке ниже.

  На основании этой интерпретации момент силы относительно оси Oz можно определить, как момент проекции силы P на перпендикуляр оси Oz относительно точки проникновения этой плоскости осью. Проекция силы P на перпендикуляр оси обозначена Pxy, а точка проникновения плоскости Oxy — осью Oс символом O.
  Из приведенного выше определения момента силы относительно оси следует, что момент силы относительно оси равен нулю, когда сила и ось равны, в одной плоскости (когда сила параллельна оси или когда сила пересекает ось).
  Используя формулы на Mx, My, Mz, мы можем рассчитать значение момента силы P относительно точки O и определить углы, содержащиеся между вектором M и осями системы:

  Если сила лежит в плоскости Oxy, то zo = 0 и Pz = 0 (см. Рисунок ниже).

  Момент силы P по отношению к точке (полюсу) O составляет:
  Mx = 0,
  My = 0,
  Mo (P) = Mz = Pyxo — Pxyo.

  Метка крутящего момента:
  плюс (+) — вращение силы вокруг оси O по часовой стрелке,
  минус (-) — вращение силы вокруг оси O против часовой стрелки.

  Тимеркаев Борис — 68-летний доктор физико-математических наук, профессор из России. Он является заведующим кафедрой общей физики в Казанском национальном исследовательском техническом университете имени А. Н. ТУПОЛЕВА — КАИ

  Момент силы

  Величина (τ) момента силы относительно фиксированной точки (O) является произведением величины (F) силы и расстояния по перпендикуляру (d) от точки O до линии действия силы. :

  Вращающий момент скручивает объект; он также известен как крутящий момент и имеет единицы СИ Ньютон-метр (Н · м), что является той же единицей, которая используется для работы (1 Джоуль = 1 Н · м), но это не одно и то же!

  Момент

  — это кросс-произведение

  Где r — вектор положения точки, в которой приложена сила.

  т.

  Это также может отображаться как

  Где r _⊥ представляет собой перпендикулярное расстояние от точки до силы.

  В соглашении момент против часовой стрелки обозначается надстрочным индексом +

  .

  и момент по часовой стрелке с надстрочным индексом —

  или отображение конечных направлений силы как

  и

  Примеры

  Вычислите величину момента, приложенного силой 5 ньютонов к точке A.

  Удлинение перпендикуляра,

  Для пилы в состоянии равновесия полный момент вокруг оси равен нулю.

  Учитывая, что мотопила уравновешена, рассчитайте усилие P.

  Статические жесткие тела

  Суммарный момент относительно любой неподвижной точки тела равен нулю.

  Решить:

  1. Нарисуйте диаграмму сил.
  2. Разрешите каждую силу в выбранном направлении.
  3. Приравняйте сумму сил к нулю.
  4. Повторите для всех направлений силы.
     Вычислите момент каждой силы относительно выбранной точки.
  5. Классифицируйте эти результаты как против часовой стрелки или по часовой стрелке.
  6. Приравняйте общий момент к нулю.

  Пример

  Единая балка длиной 3 м и массой 20 кг поддерживается горизонтально двумя вертикальными тросами.

  Каждая веревка крепится на расстоянии 50 см от края балки.

  Какой вес в Ньютонах следует размещать на одном конце балки

  а) снять натяжение одного из тросов?

  b) увеличить натяжение веревки B вдвое больше, чем у веревки A?

  а)

  Поместите груз (W) на дальний правый край балки:

  Непосредственный эффект W — поворот балки по часовой стрелке, что ослабит левую веревку.Так что при отсутствии напряжения T ₁ = 0

  Принимая моменты о B:

  Требуется вес 40 г Н (приблизительно 392,4 Н).

  б)

  Снова поместите груз (W) на дальний правый край балки:

  Снимая моменты с правого края:

  т.

  Разрешающая сила по вертикали,

  Вес 40 г / 7 Н (примерно 56.06 N) не требуется.

  Пример

  Равномерная лестница массой M кг и длиной l м упирается в гладкую вертикальную стену. Основание лестницы опирается на неровную горизонтальную поверхность. Найдите минимальный угол θ между лестницей и горизонталью, при котором лестница может оставаться неподвижной. Предположим, что коэффициент трения покоя μ равен 1.

  Решение

  Центр тяжести — это середина лестницы.

  S и R — это нормальная реакция лестницы на стену по горизонтали и вертикали.

  Тл — сила трения основания лестницы.

  Вспоминая нижнюю часть лестницы:

  Разрешающая сила по вертикали:

  Разрешающая сила по горизонтали:

  Обратный котангенс должен лежать между 0 и π

  Используя

  Подобные силы параллельны и действуют в одном направлении.

  В отличие от сил параллельны и действуют в противоположных направлениях.

  Пара образована двумя разнородными силами равной величины, которые не действуют по одной и той же линии.

  Пример

  Покажите, что силы вокруг прямоугольника на следующей диаграмме образуют пару; показать, что момент пары не зависит от точки, вокруг которой происходит поворот; найти момент пары, необходимый для достижения равновесия.

  Разрешающая сила, параллельная BA, дает

  Разрешающая сила, параллельная BC, дает

  Система не имеет трансляционного эффекта, поэтому должна быть либо в равновесии, либо сводиться к паре.

  Снимая моменты против часовой стрелки около O

  Снимая моменты против часовой стрелки около A

  Снимая моменты против часовой стрелки около B

  Снимая моменты против часовой стрелки около C

  Снимая моменты против часовой стрелки около D

  Момент пары составляет 2 Н · м по часовой стрелке, поэтому необходимо приложить пару 2 Н · м против часовой стрелки, чтобы привести систему в равновесие.

  © Александр Форрест

  Эффект поворота — Момент силы — CCEA — Редакция GCSE Physics (Single Science) — CCEA

  Сила может заставить объект повернуться вокруг оси.

  Поворачивающий эффект силы называется моментом силы .

  Моменты вращаются вокруг оси по часовой стрелке или против часовой стрелки.

  Момент против часовой стрелки действует вниз слева, а момент по часовой стрелке действует вниз справа

  Расчет момента силы

  Величина момента силы может быть рассчитана с помощью уравнения:

  момент силы = сила F x расстояние по перпендикуляру от оси d

  момент = F xd

  • сила F измеряется в ньютонах (Н)
  • расстояние d измеряется в метрах (м)
  • момент измеряется в ньютон-метрах (Нм)

  Расстояние по перпендикуляру от шарнира до усилия d = 0.50 м.

  Сила F = 10 Н

  Момент = Fd

  Момент = 10 Н x 0,50 м

  Момент = 5 Нм

  Это момент по часовой стрелке.

  Сила будет вращать объект по часовой стрелке вокруг оси вращения.

  Важно помнить, что расстояние d — это перпендикулярное расстояние от оси до линии действия силы (см. Диаграмму).

  Вопрос

  Сила 15 Н прикладывается к дверной ручке на расстоянии 12 см от петли.

  Рассчитайте момент силы.

  Показать ответ

  Перпендикулярное расстояние от оси до силы d = 12 см = 0,12 м.

  Усилие поворота F = 15 Н.

  Момент = Fd.

  Момент = 15 Н x 0,12 м.

  Момент = 1,8 Нм.

  Момент силы 1,8 Нм.

  Вопрос

  Вопрос

  К гаечному ключу прикладывают усилие 40 Н для поворота гайки.

  Перпендикулярное расстояние составляет 30 см.

  Рассчитайте момент силы.

  Показать ответ

  Перпендикулярное расстояние от оси до силы d = 30 см = 0,30 м.

  Усилие поворота F = 40 Н.

  Момент = Fd.

  Момент = 40 Н x 0,30 м.

  Момент = 12 Нм.

  Момент 12 Нм. Это момент по часовой стрелке.

  РАВНОВЕСИЕ МОМЕНТОВ

  Мы рассматриваем равновесие объекта как турник.В лаборатории это будет метр. Равновесие означает, что у него нет поступательного движения (движения, при котором все точки тела движутся с одинаковой векторной скоростью) или вращения. Мы можем определить вращение, выбрав любую точку на теле, назвав эту точку «осью» и учитывая вращение вокруг этой оси.

  На тело может действовать несколько сил, каждая из которых действует в определенной точке. На диаграмме F ₁ действует в точке P ₁ , а F ₂ действует в точке P ₂ ; А — ось.
  
  Мы учитываем только силы, действующие вверх или вниз. Расстояние от точки, где действует сила, до оси называется моментным плечом , d ₁ и d ₂ на диаграмме. Произведение силы на плечо момента называется крутящим моментом (также называемым моментом ) и обозначается греческой буквой тау: t.
  

  t = Fd

  Крутящий момент также имеет знак: он положительный (по соглашению), если он имеет тенденцию вращать объект против часовой стрелки вокруг оси.Он отрицательный, если он имеет тенденцию вращать объект по часовой стрелке вокруг оси. На диаграмме крутящий момент, обусловленный F ₂ , положительный, а крутящий момент, обусловленный F ₁ , отрицательный. У самих сил есть знаки. Мы можем принимать силы положительные, если они направлены вверх, и отрицательные, если они направлены вниз.

  Тогда условия равновесия формулируются просто: сумма всех сил должна быть равна нулю, а сумма всех крутящих моментов должна быть равна нулю.

  St _i = 0
  SF _i = 0

  Здесь «i» — это метка, которая изменяется для всех сил, i = 1, 2, 3 и т. Д.

  Одна конкретная сила требует дальнейшего рассмотрения: вес штанги. Вес (сила земного притяжения) действует не в одной точке, а во всех точках вдоль объекта. Однако для целей определения равновесия вес можно считать сосредоточенным в одной точке, называемой центром масс . Таким образом, стержень, поддерживаемый двумя восходящими силами и удерживаемый в равновесии, выглядит как на рисунке ниже.
  
  Поскольку ось для решения задач может быть выбрана в любом месте стержня, ее удобно выбирать в точке, где действует одна из сил.Тогда плечо момента для этой силы будет равно нулю, и эта сила не войдет в уравнение крутящего момента. Например, мы можем выбрать ось в центре масс.
  
  На этой диаграмме предположим, что F ₁ = 2,0 N, d ₁ = 0,4 м, d ₂ = 0,5 м, а F ₂ неизвестно. W также неизвестно, но d _W = 0, поэтому крутящий момент, обусловленный весом, t _W = 0. Таким образом, уравнение крутящего момента принимает следующий вид:

  т ₁ + т ₂ = 0.

  t ₁ = -F ₁ d ₁ = -2,0 X 0,4 = -0,8,
  t ₂ = + F ₂ d ₂ = F ₂ X 0,5, и поэтому
  

  0,5F ₂ — 0,8 = 0,
  F ₂ = 1,6 Н.

  Обратите внимание, что вес не указан и не определен в приведенном выше обсуждении. Чтобы найти вес, мы должны использовать второе условие равновесия, что сумма всех сил = 0. Поскольку F ₁ и F ₂ находятся вверху, а W — вниз, мы имеем

  2.0 + 1,6 — W = 0, или
  W = 3,6 Н.

  Для многих объектов простой геометрической формы центр масс можно определить по симметрии. Например, центр масс однородного стержня находится в его геометрическом центре. Для метра это отметка 50 см. Из-за износа центр масс может немного отличаться от этой точки. Один из способов определить расположение центра масс — уравновесить штангу, удерживая ее в одной точке снизу.Точка, в которой он уравновешивается, — это центр масс.

  Объяснитель урока: Момент пары

  В этом объяснении мы узнаем, как вычислить момент пары двух сил и результат двух или более пар.

  Давайте сначала определим пару в механике.

  Определение: Пара

  Пара — это пара сил, действующих на одно и то же тело, которые параллельны, но не совпадают. линии действия и которые действуют в противоположных направлениях и имеют равные величины.

  Хотя сумма сил равна нулю, имеется ненулевой чистый момент (т.е. сумма моментов обеих сил) потому что у сил разное направление действий. Разберемся с чистым моментом.

  Рассмотрим пару сил ⃑𝐹 и ⃑𝐹 воздействуя на стержень, перпендикулярно длине стержня. Пусть 𝐹 будет величиной обеих сил. У нас есть ⃑𝐹 = −⃑𝐹,  и ‖‖⃑𝐹‖‖ = ‖‖⃑𝐹‖‖ = 𝐹.

  Найдем моменты сил ⃑𝐹 и ⃑𝐹 относительно точки 𝐴, середина между точками применения и ⃑𝐹.Напомним, что момент силы относительно точки определяется выражением 𝑀 = ± 𝐹𝑑, ⟂ где 𝐹 — величина силы, а 𝑑⟂ — перпендикулярное расстояние между силой и точкой около который момент взят. Если сила производит вращение по часовой стрелке, момент отрицательный. Момент положительный, когда сила производит движение против часовой стрелки. вращение.

  Обе силы производят вращение по часовой стрелке (отрицательное), и их точки приложения находятся на перпендикулярном расстоянии 2 от 𝐴.Момент по часовой стрелке относительно точки точки, следовательно, определяется выражением 𝑀 = −𝐹𝑑2,  и момент около 𝐴 из ⃑𝐹 равен 𝑀 = −𝐹𝑑2.

  Чистый момент пары определяется выражением 𝑀 = 𝑀 + 𝑀𝑀 = −2𝐹𝑑2 = −𝐹𝑑.netnet

  Теперь найдем чистый момент ⃑𝐹 и ⃑𝐹 относительно 𝐵. Пусть 𝑙 — длина стержня. Момент около 𝐵 из ⃑𝐹 отрицательный, потому что ⃑𝐹 производит вращение по часовой стрелке (отрицательное) на 𝐵. Следовательно, момент определяется выражением 𝑀 = −𝑙⋅𝐹.

  Напротив, момент ⃑𝐹 около 𝐵 положителен, поскольку ⃑𝐹 производит вращение против часовой стрелки (положительное) на 𝐵.Мы находим, что 𝑀 = (𝑙 − 𝑑) ⋅𝐹.

  Чистый момент около 𝐵 пары определяется выражением 𝑀 = 𝑀 + 𝑀𝑀 = −𝑙𝐹 + (𝑙 − 𝑑) 𝐹𝑀 = 𝐹 (−𝑙 + 𝑙 − 𝑑) 𝑀 = −𝐹𝑑.netnetnet

  Мы видим, что момент пары имеет одинаковое значение в обоих случаях . Это общее: момент пары примерно одинаков. любая точка тела, на которую пара воздействует. Стоит отметить разницу между точками А и Б. Точка А находится между двумя точки приложения сил, и силы производят вращение в одном и том же смысле.Точка B находится за пределами области между две точки приложения обеих сил пары, и моменты двух сил в паре имеют противоположные знаки, поскольку они производить вращение в противоположных смыслах.

  Свойство: Момент пары

  Момент пары не зависит от точки, в которой взяты моменты пары.

  Силы в паре не обязательно действуют перпендикулярно линии, соединяющей точки, из которых они действуют.Следующие На рисунке показаны три примера пар, где силы в паре не действуют перпендикулярно линии, соединяющей точки. откуда они действуют.

  В этом случае перпендикулярное расстояние, также называемое плечом пары, обозначенное 𝐿 на приведенном выше рисунке, это не расстояние между двумя точками приложения сил. Мы видим, что на двух диаграммах справа рука пары дается Осином. На диаграмме слева, где больше чем 90∘, мы видим, что 𝐿 = 𝑑𝜃 ′ = 𝑑 (180 − 𝜃) = 𝑑𝜃sinsinsin∘, так как грех (180 − 𝑥) = 𝑥∘.Следовательно, мы видим, что плечо пары, перпендикулярное расстояние между силами, всегда определяется выражением 𝐿 = 𝑑𝜃.sin

  Таким образом, момент пары 𝑀 = ± 𝐹𝐿 = ± 𝐹𝑑𝜃.sin

  Мы также можем интерпретировать 𝐹𝑑𝜃sin как (𝐹𝜃) 𝑑sin, то есть произведение абсолютного значения составляющей силы, перпендикулярной стержню, и расстояния между двумя точками приложения сил.

  Свойство: Момент пары

  Момент действия пары в точках 𝐴 и определяется выражением 𝑀 = ± 𝐹𝑑𝜃𝑀 = ± 𝐹𝐿𝑀 = ± | 𝐹 | ⋅𝑑, sin⟂ где 𝐹 — величина обеих сил в паре, 𝑑 — расстояние между 𝐴 а 𝐵, 𝜃 — угол между любой силой и сегментом 𝐴𝐵, 𝐿 — рука пары, а 𝐹⟂ — составляющая силы, перпендикулярная 𝐴𝐵.

  Давайте посмотрим на пример о моменте пары.

  Пример 1: Определение руки пары, эквивалентной системе двух сил

  Если нормой момента пары является 750 Нм, и величина одного из двух силы составляет 50 Н, определить длину плеча момента.

  Ответ

  Нормой момента является величина момента. Величина момента пары — произведение величины любой из сил в паре и 𝐿, длина плеча момента.Поскольку момент указан в ньютон-метры а сила дана в ньютонах, 750 = 50𝐿𝐿 = 75050 = 15 м

  В предыдущем примере мы видим, что величина момента просто определяется произведением величины одного из силы и рука пары.

  Свойство: Величина момента пары

  Величина момента пары определяется как | 𝑀 | = 𝐹𝐿, где 𝐹 — величина любой из сил в паре, а 𝐿 — плечо пара.

  Давайте рассмотрим пример с моментом пары, когда силы не перпендикулярны линии, соединяющей их точки приложения.

  Пример 2: Определение величины пары двух наклонных сил, действующих на двух концах линии

  На рисунке ниже 𝐹 = 3N а 𝐹 и 𝐹 образуют пара. Найдите алгебраическую меру момента этой пары.

  Ответ

  Силы в паре должны иметь равные величины.Если ⃑𝐹 имеет величину 3 Н, тогда ⃑𝐹 также имеет величину 3 Н. Угол между ⃑𝐹 и ⃑𝐹 и линия, соединяющая точки ⃑𝐹 и ⃑𝐹 действовать от 45∘.

  Вращение пары против часовой стрелки и, следовательно, положительное. Величина момента определяется выражением 𝑀 = 𝐹𝜃⋅𝑑sin быть 𝑀 = 3 × 45 × 7√2𝑀 = 3 × √227√2𝑀 = 21⋅.sinNcm

  Правильное математическое определение момента силы дается перекрестным произведением.

  Определение: Момент пары с использованием перекрестного произведения

  Момент силы ⃑𝐹 относительно точки можно найти с помощью перекрестного произведения. Вектор ⃑𝑟 представляет положение вектор от точки, вокруг которой передается момент, до любой точки на линии действия силы. 𝑀 = ⃑𝑟 × ⃑𝐹

  Для пары, образованной двумя силами; ⃑𝐹 действующий в точке 𝐴 и ⃑𝐹 действующий в точке 𝐵 момент пары определяется выражением 𝑀 = 𝐵𝐴 × ⃑𝐹 = 𝐴𝐵 × ⃑𝐹

  Обратите внимание, что в приведенном выше уравнении для момента пары, ⃑𝑟 был заменен вектором между точками приложения сил.Мы можем думать об этом как о том, чтобы взять моменты, связанные с точкой в ​​первом случае, и взять моменты о точке 𝐴 во втором случае.

  Полезный способ оценить перекрестное произведение — рассмотреть определитель матрицы 3 × 3. 𝑀 = ⃑𝑟 × ⃑𝐹 = ||||| ⃑𝑖⃑𝑗⃑𝑘𝑟𝑟𝑟𝐹𝐹𝐹 ||||| 

  Хотя этот метод в основном используется, когда векторы ⃑𝐹 и ⃑𝑟 существуют в трех измерениях, иногда он может быть полезен для 2-х мерные системы. Давайте посмотрим на один такой пример.

  Пример 3: Нахождение перпендикулярного расстояния между двумя векторами силы, образующими Пара

  Учитывая, что две силы ⃑𝐹 = −⃑𝑖 + 2⃑𝑗 и ⃑𝐹 действуют в двух точках (2,2) и (−2, −2) соответственно, чтобы образовать пару, найти перпендикулярное расстояние между двумя силами.

  Ответ

  Поскольку силы образуют пару, их сумма должна быть равна 0. Для полноты мы можем использовать это, чтобы найти ⃑𝐹, однако это не требуется для достижения решения. ⃑𝐹 + ⃑𝐹 = 0⃑𝐹 = −⃑𝐹⃑𝐹 = ⃑𝑖 − 2⃑𝑗

  Перпендикулярное расстояние между линиями действия ⃑𝐹 и ⃑𝐹 — это длина линии, перпендикулярной обеим. Мы можем определить это расстояние как 𝑑.

  Момент пары можно найти по следующей формуле, где 𝐹 — величина любого из силы, 𝑑 — перпендикулярное расстояние между линиями действия сил, а знак момента обозначает направление вращения.𝑀 = ± 𝐹𝑑

  Чтобы лучше понять нашу систему, мы можем переключиться на векторные обозначения и напомнить себе, где эта формула происходит от. Момент силы равен величине силы, умноженной на ее перпендикулярное расстояние от точки, вокруг которой снимается момент.

  Представим себе моменты, связанные с точкой 𝐵. Поскольку в точке действует сила ⃑𝐹, определим вектор ⃑𝑟 как: ⃑𝑟 = 𝐵𝐴.

  Определив 𝜃 как положительный острый угол между линией действия ⃑𝐹 и ⃑𝑟 мы можем выполнить полезное упрощение, используя геометрию прямоугольного треугольника.Здесь мы выразили перпендикулярное расстояние 𝑑 через величину ⃑𝑟 и угол 𝜃. 𝑑 = ‖‖⃑𝑟‖‖𝜃sin

  Обратите внимание, что в этой конкретной системе мы находим расстояние 𝑑, которое является неотрицательным скаляром. Это означает, что нас не интересует знак в нашем уравнении, и, следовательно, направление вращения можно игнорировать.

  Именно по этой причине мы можем определить 𝜃 как положительный острый угол, по сути, отбрасывая любые отрицательные решения. При этом мы упростили нашу систему до учитывайте только величину момента, которая может быть выражена как: ‖‖𝑀‖‖ = ‖‖⃑𝐹‖‖‖‖⃑𝑟‖‖𝜃 = ‖‖⃑𝐹‖‖𝑑.sin

  Преобразование этого уравнения показывает, что если мы сможем найти величины момента и силы ⃑𝐹 мы сможем найти перпендикулярное расстояние 𝑑. 𝑑 = ‖‖𝑀‖‖‖‖⃑𝐹‖‖

  В продолжение напомним, что момент пары можно найти с помощью векторного произведения. В качестве дополнительного бонуса, если мы вспомним определение кросс-продукта, мы подтвердим нашу предыдущую логику, хотя мы не будем вдаваться в подробности здесь. 𝑀 = ⃑𝑟 × ⃑𝐹 = ‖‖⃑𝐹‖‖‖‖⃑𝑟‖‖𝜃⃑𝑛sin

  Напомним, что мы, по сути, берем момент относительно точки.Это означает, что мы будем рассматривать силу ⃑𝐹 и вектор ⃑𝑟 определяется от точки 𝐵 до точки 𝐴. ⃑𝑟 = 𝐵𝐴 = (2,2) — (- 2, −2) = (4,4)

  Стандартный метод для трехмерного векторного произведения включает в себя нахождение определителя матрицы 3 × 3, однако, поскольку ⃑𝐹 и ⃑𝑟 являются двумерными векторами, наши вычисления можно упростить. 𝑀 = ⃑𝑟 × ⃑𝐹 = 𝑟, 𝑟, 0 × 𝐹, 𝐹, 0 = 𝑟𝐹 − 𝑟𝐹⃑𝑘 = (4⋅2−4⋅ (−1)) ⃑𝑘 = (8 + 4) ⃑𝑘 = 12⃑𝑘

  Теперь найдем величину 𝑀 и ⃑𝐹. ‖‖𝑀‖‖ = ‖‖12⃑𝑘‖‖ = 12‖‖⃑𝐹‖‖ = ‖‖ − ⃑𝑖 + 2⃑𝑗‖‖ =  (−1) + 2 = √5

  И, наконец, у нас есть все компоненты, необходимые для нахождения расстояния 𝑑.𝑑 = ‖‖𝑀‖‖‖‖⃑𝐹‖‖ = 12√5 = 12√55

  Это перпендикулярное расстояние между линиями действия сил в паре.

  Несколько пар могут воздействовать на тело одновременно. Когда несколько пар действуют на тело, результирующий момент, связанный с парами, является суммой моментов, создаваемых парами. Давайте посмотрим на пример с участием нескольких пар.

  Пример 4: Анализ системы четырех сил, действующих на горизонтальный стержень, эквивалентный паре

  𝐴𝐵 — это горизонтальный световой стержень, имеющий длина 60 см, где действуют две силы величиной 45 Н каждая. вертикально на 𝐴 и 𝐵 в двух противоположных направлениях.Две другие силы, каждая магнитудой 120 Н, действуют в двух противоположных направления в точках 𝐶 и 𝐷 стержня, где 𝐶𝐷 = 45см. Если они образуют пару, эквивалентную паре, образованной первыми двумя силами, найдите меру угла наклона, который две вторые силы образуют со стержнем.

  Ответ

  Пара 𝑐 образована силами, которые действуют в, а 𝐵 задается формулой 𝑐 = — (45 × 60) ⋅.Ncm

  Пара 𝑐, образованная силами, действующими на 𝐶 и 𝐷 задается 𝑐 = — (120𝜃 × 45) ⋅.sinNcm

  В вопросе указано, что пары эквивалентны, поэтому 𝑐 = 𝑐.

  Угол 𝜃 находится перестановкой: (45 × 60) = (120𝜃 × 45) 60120 = 𝜃𝜃 = 30.sinsin∘

  Ключевые моменты

  • Пара — это пара сил, которые имеют параллельные и четкие линии действия и равные величины, но противоположные направления.
  • Момент, связанный с парой, определяется выражением 𝑀 = ± 𝐹𝑑𝜃sin, где 𝐹 — величина любой из сил в паре, 𝑑 — длина линии, соединяющей точки, из которых действуют силы, и 𝜃 — это угол между ⃑𝐹 и этой линией.
  • Величина момента пары определяется как | 𝑀 | = 𝐹𝐿, где 𝐹 — величина либо сил, а 𝐿 — рука пары.
  • Момент пары можно найти с помощью векторного произведения. 𝑀 = ⃑𝑟 × ⃑𝐹
  • Для пары, образованной двумя силами; ⃑𝐹 действующий в точке 𝐴 и ⃑𝐹 действующий в точке 𝐵: 𝑀 = 𝐵𝐴 × ⃑𝐹 = 𝐴𝐵 × ⃑𝐹
  • Несколько пар могут воздействовать на тело одновременно. Когда несколько пар действуют на тело, результирующий момент из-за пары — это сумма моментов, связанных с парами.

  Крутящий момент или момент силы

  Крутящий момент или момент — тенденция силы вращать объект вокруг оси или точки — определяется как

  • произведение силы на расстояние от точки или оси до объекта. вектор силы

  Крутящий момент можно выразить как

  T = F a (1)

  , где

  T = момент — или крутящий момент силы (Нм, фунт _f футов)
  

  F = приложенная сила (Н, фунт _f )

  a = моментный рычаг (м, фут)

  Пример — Крутящий момент, прилагаемый гаечным ключом

  Сила 250 Н действует при конец длинного ключа 30 см .Прилагаемый крутящий момент можно рассчитать как

  T = (250 Н) (30 см) (0,01 см / м)

  = 75 Нм

  Конвертер момента

  Калькулятор ниже может использоваться для преобразования между некоторыми общие моменты или единицы крутящего момента

  Закон рычага

  Закон рычага — это баланс крутящего момента на неподвижном объекте, который может быть выражен как

  F ₁ / F ₂ = L ₂ / L ₁ (2)

  где

  F = сила (Н, фунт _f )

  L = расстояние от точки (1 или 2) до вектора силы (м, футы) )

  (1) можно преобразовать в

  F ₁ L ₁ = F ₂ L ₂ (2b)

  или

  904 36 T ₁ = T ₂ (2c)

  Пример — Рычаг

  Человек массой 90 кг стоит на одной стороне рычага 2 м от точки равновесия.Усилие на другой стороне рычага на 0,5 м от точки балансировки можно рассчитать, изменив (2) на

  F ₂ = F ₁ L ₁ / L ₂

  = (90 кг) (9,81 м / с ² ) (2 м) / (0,5 м)

  = 3531 Н

  Силы и моменты Mo = F xd Что такое момент?

  Презентация на тему: «Силы и моменты Mo = F x d Что такое момент?» — стенограмма презентации:

  1 Силы и моменты Mo = F x d Что такое момент?
  Лекция 3 Что такое момент? Момент — это разновидность силы.Момент — это вращающая сила. Поворачивающая сила возникает, когда сила прикладывается к чему-то, что имеет шарнир. Момент силы: относительно линии, перпендикулярной плоскости, содержащей силу, равен: произведению силы на перпендикулярное расстояние от силы до линии или оси момента. Mo = F x d 90o F d

  2 Момент силы F вокруг точки O
  Лекция 3 Момент силы вокруг точки или оси (MO) обеспечивает меру тенденции силы, заставляющей тело вращаться вокруг точки или оси.Oz ┴ плоскость xy, в которой лежит Fx. Fx заставляет трубу вращаться вокруг оси z. Fx вызывает момент относительно оси z = (Mo) z NO момент !! Fy проходит через O. Fy не вызывает поворота трубы, потому что линия действия силы проходит через O.

  3 Момент силы F вокруг точки O
  Лекция 3 Ox ┴ плоскость zy, в которой лежит Fz. Fz заставляет трубу вращаться вокруг оси x. Fz вызывает момент относительно оси x (Mo) x.Fz параллельно оси z, момент Fz относительно оси z равен нулю. Fz имеет тенденцию перемещать трубу в направлении z. 3-D момент. Если сила не лежит в плоскости, перпендикулярной оси момента, ее можно разделить на две или три, одна из которых параллельна оси момента, а другие лежащая в плоскости, перпендикулярной оси момента или вращения. X Z Y F Fx Fy Fz A B C D E G H

  4 Момент (скалярный или векторный ?!)
  Лекция 3 Момент (скалярный или векторный ?!) Момент — это вектор, а направление определяется с помощью правила правой руки.Держите пальцы по линии действия силы, а большой палец будет по оси момента. M F r M F r Величина момента Направление момента Направление Мо можно задать с помощью правила правой руки. Против часовой стрелки (CCW) выходит за пределы страницы По часовой стрелке (CW) находится на странице.

  5 Расчет момента в 2-D с использованием компонентов
  Лекция 3 Расчет момента в 2-D с использованием компонентов Выберите положительное направление (CCW или CW).Вычислите каждый момент и сложите их, используя соответствующий знак для каждого члена. Всегда не забывайте указывать единицу момента (Нм или фунт-сила). Пример 1: На следующем рисунке вычислим момент относительно точки O. Мы выбираем CCW как положительное направление для момента, Момент компонента F вдоль x относительно O равен Fx, умноженному на перпендикулярное расстояние от O (или d1), которое равно по часовой стрелке, так что это (- Fx. d1) Момент компонента F вдоль y относительно O равен Fy, умноженному на перпендикулярное расстояние от O (или d2), то есть против часовой стрелки, поэтому это (Fy.d2) Моменты складываются как векторы, поэтому общий момент равен: F

  6 Расчет момента в 2-D с использованием компонентов
  Лекция 3 Вычисление момента в 2-D с использованием компонентов Пример 2: на следующем рисунке, если (q) составляет 60 градусов, а r — 30 мм, а F — 6 Н, то какое — величина момента относительно O. Мы выбираем CCW в качестве положительного направления для момента, Компонент F вдоль r (или F1 = F cos q) не создает момента, поскольку проходит из точки O.Компонент F, перпендикулярный r (или F2 = F sine q), создает момент. Таким образом, общий момент F относительно O равен: Помните: момент относительно O также рассчитывается с использованием величины силы F, умноженной на перпендикулярное расстояние от O до линии действия F, которая равна d: F1 q F2 F F2 Примечание: перемещение a сила, действующая вдоль его линии действия, не меняет момента!

  7 Момент пары Момент пары rB — rA = r (как вектор) M = rx F
  Лекция 3 Момент пары -F d FA Пара определяется как: Две параллельные силы [F и (- F)] имеют Одинаковая величина, противоположное направление и разделенное перпендикулярным расстоянием (d).Момент пары Момент, созданный парой, называется моментом пары. Но: rB — rA = r (как вектор) Таким образом: M = r x F Таким образом, пара моментов — это свободный вектор, который может действовать в любой точке и зависит только от r, а не от rA и rB.

  8 Момент пары Лекция 3 Помните: Скалярная формулировка:
  Величина: M = F. d Направление и чувство с помощью правила правой руки. Формулировка вектора: Величина: M = d x F Примечание: Момент пары не зависит от точки, о которой вы принимаете момент.Другими словами, момент пары одинаков для всех точек пространства. Пример 3: Поперечный ключ используется для снятия накидной гайки с автомобильного колеса. Механик прикладывает моментную пару к гаечному ключу так, чтобы его руки находились на постоянном расстоянии друг от друга. Обязательно ли, чтобы a = b для наиболее эффективного поворота гайки? Объяснять. И каков в этом отношении эффект изменения размера вала c? Силы действуют в вертикальной плоскости.

  9 Момент пары Лекция 3 Пример 3: Решение:
  Момент пары: Mcouple = F.(a + b), момент пары зависит от общего расстояния между захватами. a = b не является необходимым условием для наиболее эффективного поворота гайки. Изменение размера c не влияет на поворот гайки. Пример 4: Определите момент пары двух пар, которые действуют на сборку трубы относительно осей (X, Y и Z). Расстояние от А до В d = 400 мм. Выразите результат как декартов вектор. 50 Н — 50 Н

  10 Момент пары Лекция 3 Пример 3: Решение:
  Давайте проверим три разных вида и посмотрим, какие силы вызывают моменты по осям x, y и z: Скалярный анализ: суммирование моментов по осям (X, Y и Z).

  
  

  Принцип моментов: определение и расчеты — Видео и стенограмма урока

  Правило правой руки

  Рука дает момент на гаечный ключ

  Мы видим, что рука тянет вниз гаечный ключ, а угол между силой (красная стрелка) и гаечным ключом составляет 90o. Угол между гаечным ключом и силой важен, потому что уравнение для момента силы, которое является перекрестным произведением или векторным произведением, включает этот угол.Моменты силы — это векторы, которые включают величину и направление.

  Уравнение 1: нижнее уравнение относится к величине момента

  Здесь:

  • Момент силы имеет единицы ньютон-метры (Нм)
  • r — расстояние (в метрах) от точки поворота до места приложения силы
  • F — приложенная сила в ньютонах (Н)
  • sin — это тригонометрическая функция, представляющая собой отношение противоположной стороны прямоугольного треугольника к гипотенузе треугольника.Функция sin имеет минимум при 0 ° и максимум при 90 °.
  • θ — угол между силой и плечом рычага в градусах

  Направление момента можно определить с помощью правила правой руки. Возьмите правую руку и сделайте свою лучшую форму пистолета. Теперь вытяните средний палец перпендикулярно указательному пальцу.

  Положение правой руки линейки

  
  
  • Указательный палец указывает от точки поворота вдоль плеча рычага
  • Средний палец указывает в направлении перпендикулярной силы на плече рычага
  • Большой палец указывает направление вектора момента

  Если мы применим правило правой руки к нашему сценарию с гаечным ключом, большой палец будет указывать на экран.Если бы у нас была величина силы и расстояние от точки поворота до места приложения силы, мы могли бы получить величину момента. Приведем два примера с числами.

  Пример 1

  Человек прикладывает силу 10 ньютонов на расстоянии 0,5 метра от точки поворота под углом 50 ° к рычагу хранилища банка. Какой момент дает эта сила?

  Решение: мы применяем уравнение 1, чтобы получить величину момента, в которой мы получаем:

  Принцип моментов — это то, что мы сделали за один шаг, чтобы получить величину момента.Разберем его, исходя из определения принципа моментов. Первый шаг — разложить силу на составляющие.

  Зеленая стрелка — параллельная сила, синяя стрелка — перпендикулярная сила

  Можно считать, что синяя стрелка действует перпендикулярно в точке приложения силы красной стрелки. Вычисляя величину перпендикулярной силы, получаем:

  
  

  Зеленая горизонтальная сила бесполезна с точки зрения вращения рычага, потому что уравнение 1 говорит нам использовать синус угла между силой и плечом рычага, который в данном случае равен 0o, а синус 0o равен 0 .Следовательно, момент, обеспечиваемый параллельной составляющей силы, равен 0.

  Давайте получим момент перпендикулярной составляющей, который равен:

  Принцип моментов гласит, что мы складываем все составляющие момента вместе, чтобы получить чистый момент. Поскольку мы знаем, что горизонтальный момент равен 0, мы можем получить чистый момент силы, который также, в конечном счете, равен:

  Как видите, мы получаем один и тот же ответ, используя оба метода.Правило правой руки говорит нам, что направление момента указывает на экран, что мы будем называть отрицательным направлением.

  Пример два

  Давайте представим, что управляющий банка понял, что вы не выключили сигнализацию в хранилище банка, поэтому он подбегает и тянет вверх рычаг с силой 32 ньютона под углом 30o на расстоянии 0,25 м от хранилища. точка опоры. Достаточно ли этого, чтобы рычаг не вращался и не сработал сигнализация?

  Рассчитаем момент, создаваемый новой силой на рычаге.Как видим, после подключения значений получаем:

  Вектор момента указывает за пределы экрана, и, поскольку это направление противоположно направлению вектора другого момента, мы сделаем его положительным. Таким образом, чистый момент фактически равен:

  К счастью, рычаг не поворачивается, так как нет чистого момента. Теперь вам не придется иметь дело с ужасной тревогой и появлением полиции, которая думает, что вы грабите хранилище!

  Резюме урока

  Давайте уделим несколько минут тому, чтобы повторить то, что мы узнали в этом уроке о принципе моментов, как о его определении, так и о том, как мы его вычисляем.