Момент силы относительно неподвижной точки: Момент силы | Физика для студентов | Студенту | Статьи и обсуждение вопросов образования в Казахстане | Образовательный сайт Казахстана — RC74 — интернет-магазин радиоуправляемых моделей

Содержание

4.3. Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Моментом силы относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса — вектора , проведенного из точки О в точку А приложения cилы, на силу(рис.22): М=[] .

Моментом силы относительно неподвижной оси является скалярная величина M_z, равная проекции на эту ось вектора момента силы, определенного относительно произвольной точки О данной осиz (рис. 23). Значение момента M_z не зависит от выбора положения точки О на оси z.

Если ось z совпадает с направлением вектора , то момент, силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью: М_z=[]_z.

Найдем выражение для работы при вращении тела (рис. 24). Пусть сила приложена в точке В, находящейся от оси вращения на расстоянии r,  – угол между направлением силы и радиусом-вектором . Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела.

При повороте тела на бесконечно малый угол d точка приложения В проходит путь ds=rd, и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения:

dA=Fsinrd.(4.4)

Так как Frsin=Fl=M_z – момент силы относительно оси Z, то можно записать, что dA=M_zd. Таким образом, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.

Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии: dA=dT, но , поэтомуили.

Учитывая, что , получим

. (4.5)

Уравнение (4.5) представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого телаотносительно неподвижной оси. Можно показать, что если ось вращения совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство

где J — главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).

4.4. Момент импульса и закон его сохранения

При сравнении законов поступательного и вращательного движений просматривается аналогия между ними, только во вращательном движении вместо силы «выступает» ее момент, роль массы играет момент инерции. Какая же величина будет аналогом импульса тела? Ею является момент импульса тела относительно оси.

Моментом импульса (количество движения) материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением:

где –псевдовектор, его направление совпадает с направлением посту-пательного движения правого винта при его вращении от к;- радиус-вектор, проведенный из точки О в точку А ;- импульс материальной точки (рис.22) .

Модуль вектора момента импульса:

где - угол между векторами и, 1 — плечо вектораотносительно точки О.

Моментом импульса относительно неподвижной оси Z называется скалярная величина L_z, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно точки О данной оси. Значение момента импульса L_z не зависит от положения точки О на оси z.

При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса r с некоторой скоростью . Скорость и импульс перпендикулярны этому радиусу, т.е. радиус является плечом вектора. Поэтому можем записать, что момент импульса отдельной частицы.

(4.6)

и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта.

Момент импульса твердого телаотносительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц:

Используя формулу , получим,

т.е. .(4.7) Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.

Продифференцируем уравнение (4.7) по времени:

т.е..

Это выражение – еще одна форма уравнения (закона) динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси. Можно показать, что имеет место векторное равенство

. (4.8)

В замкнутой системе момент внешних сил и,откуда

.(4.9)

Выражение (4.9) представляет собой закон сохранения момента импуль-са: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.

Закон сохранения момента импульса – фундаментальный закон природы. Он связан со свойством симметрии пространства – его изотропностью, т.е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол).

Продемонстрировать закон сохранения момента импульса можно с помощью скамьи Жуковского. Пусть человек, сидящий на скамье, которая без трения вращается вокруг вертикальной оси, и держащий в вытянутых руках гантели .приведен во вращение с угловой скоростью .

Если человек прижмет гантели к себе, то момент инерции системы уменьшится. Поскольку момент внешних сил равен нулю, момент импульса системы сохраняется, и угловая скорость вращения ₂ возрастает. Гимнаст во время прыжка через голову поджимает к туловищу руки и ноги, чтобы уменьшить свой момент инерции и увеличить тем самым угловую скорость вращения.

Уравнение моментов в физике

Определение и уравнение моментов

Пусть О — какая-либо неподвижная точка в инерциальной системе отсчета. Ее называют началом или полюсом. Обозначим через радиус-вектор, проведенный из этой точки к точке приложения силы (рис. 1) .

рис. 1.

Моментом нескольких сил относительно точки называется векторная сумма моментов этих сил относительно той же точки:

Момент импульса материальной точки

Системы n материальных точек моментом импульса относительно некоторой точки О называется векторная сумма моментов импульсов этих точек относительно того же начала:

Производная по времени от момента импульса механической системы относительно неподвижной точки (полюса О) равна сумме моментов внешних сил , действующих на систему:

Для материальной точки уравнение моментов записывается:

Уравнение (6) называется уравнением моментов для системы материальных точек. Это основной закон динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки.

В проекциях на оси неподвижной декартовой системы координат с началом в полюсе О уравнение моментов системы записывается в виде:

где — проекции момента импульса на соответствующую ось; — проекции суммарного момента сил на соответствующую ось.

Уравнение моментов позволяет получить ответ на следующие вопросы:

найти момент силы ( суммарного момента внешних сил) относительно интересующей нас точки в любой момент времени, если известна зависимость от времени момента импульса частицы (системы частиц) относительно той же точки;
определить приращение момента импульса частицы (системы частиц) относительно точки О за любой промежуток времени, если известна зависимость от времени момента силы (суммарного момента внешних сил), действующей на эту частицу ( систему частиц) относительно той же точки.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Шпоры – 12-15 – В помощь студентам БНТУ – курсовые, рефераты, лабораторные !

12. Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Моментом силы F относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора г, проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу F (рис. 25):

M = [rF].

Здесь М — псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от г к F.

Модуль момента силы

M = Frsinα= Fl, (18.1)

где α — угол между г и F; rsinα =l — кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О — плечо силы.

Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величина Мz, равная проекции на эту ось вектор а М момента силы, определенного относительно произвольной точки О данной оси 2 (рис.26). Значение момента Мz не зависит от выбора положения точки О на оси z.

Если ось z совпадает с направлением вектора М, то момент силы представля

ется в виде вектора, совпадающего с осью:

Мz = [rF]z.

Найдем выражение для работы при вращении тела (рис.27). Пусть сила F приложена в точке В, находящейся от оси вращения на расстоянии r, α — угол между направлением силы и радиусом-вектором r. Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на бесконечно малый угол dφ точка приложения В проходит путь ds= rdφ, и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения:

dA=Fsinαrdφ. (18.2) Учитывая (18.1), можем записать dA=Mzdφ,

где Frsinα = Fl =Mz — момент силы относительно оси z. Таким образом, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.

Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии:

dA = dT, но

Учитывая, что ω=dφ/dt, получим

Уравнение (18.3) представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

Можно показать, что если ось вращения совпадает с главной осью инерции (см. §20), проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство

где J — главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).

13. Момент инерции

При изучении вращения твердого тела пользуются понятием момента инерции. Моментом инерции системы (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с координатами х, у, z.

В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой Л и радиусом R относительно его геометрической оси (рис.23). Разобьем

цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r и внешним — r+dr. Момент инерции каждого полого цилиндра dJ = r2dm (так как dr<<r, то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равно r), где dm — масса всего элементарного цилиндра; его объем 2πrhdr. Если ρ — плотность материала, то dm=ρ•2πrhdr и dJ = 2πρr3dr. Тогда момент инерции сплошного цилиндра

но так как πR’2h — объем цилиндра, то его масса m = πR2hρ, а момент инерции

J = 1/2R2.

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела J относительно любой оси вращения равен моменту его инерции Jc относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями: J = Jc + ma2. (16.1)

Таблица 1

В заключение приведем значения моментов инерции (табл. 1) для некоторых тел (тела считаются однородными, т — масса тела).

14. Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина Lz, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси. Значение момента импульса Lz не зависит от положения точки О на оси z.

При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса ri с некоторой

скоростью vi. скорость vi; и импульс mivi

перпендикулярны этому радиусу, т. е. радиус является плечом вектора mivi. Поэтому можем записать, что момент импульса отдельной частицы

Liz = тiviri (19.1)

и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта.

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц:

Используя формулу (17.1) vi = ωri, получим

т. е.

Lz = Jzω. (19.2)

Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.

Продифференцируем уравнение (19.2) по времени:

т. е.

dLz/dt= Mz

Это выражение — еще одна форма уравнения (закона) динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.

Можно показать, что имеет место векторное равенство

dL/dt= М. (19.3)

В замкнутой системе момент внешних сил М=0 и dL/dt=0, откуда

L = const. (19.4)

Выражение (19.4) представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

Закон сохранения момента импульса — фундаментальный закон природы, Он связан со свойством симметрии пространства — его изотропностью,

15. Кинематика гармонических колебаний.

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени.

Колебания называются свободными (или собственными), если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему (систему, совершающую колебания). Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания — колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса). Рассмотрение гармонических колебаний важно но двум причинам: 1) колебания, встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому; 2) различныепериодические процессы (процессы, повторяющиеся через равные промежутки времени) можно представить как наложение гармонических колебаний. Гармонические колебания величины s описываются уравнением типа .

s=Acos(ω0t+φ), (140.1)

где А – максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебаний, ω0 круговая (циклическая) частотой, φ – начальная фаза колебаний

в момент времени t=0, (ω0t+φ)— фаза колебаний в момент времени t. Так как косинус изменяется в пределах от +1 до -1, то s может, принимать значения от + А до -А.

Определенные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через, промежуток времени Т, называемый периодом колебания, за который фаза колебания получает приращение 2π, т. е.

ω0(t+T)+φ=(ω0t +φ)+2π,

откуда

T=2π/ω0. (140.2)

Величина, обратная периоду колебаний,

v=1/T, (140.3)

т. о. число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется частотой колебаний. Сравнивая (140.2) и (140.3), получим

ω0=2πv.

Единица частоты — герц (Гц):1Гц — частота периодического процесса, при которой за 1 с совершается один цикл процесса.

Запишем первую и вторую производные по времени от гармонически колеблющейся величины s (соответственно скорость и ускорение):

т. е. имеем гармонические колебания с той же циклической частотой. Амплитуды величин (140.4) и (140.5) соответственно равны Аω0 и Aω20. Фаза скорости (140.4) отличается от фазы величины (140.1) на π/2, а фаза ускорения (140.5) отличается от фазы величины (140.1) на π. Следовательно, в моменты времени, когда s=0,

ds/dt приобретает наибольшие значения;

когда же s достигает максимального отрицательного значения, то d2s/dt2 приобретает

наибольшее положительное значение (рис. 198).

Из выражения (140.5) следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний

d2s/dt2+ω20s=0 ( 140.6)

(где учтено, что s=Acos(ω0t+φ)). Решением этого уравнения является выражение (140.1).

Момент силы с примерами решения и образцами выполнения

Содержание:

Момент силы
Момент силы относительно точки (центра)
Момент силы относительно оси
Зависимость между моментом силы относительно точки и оси, проходящей через эту точку
Моменты силы относительно координатных осей
Теорема Вариньона для пространственной системы сходящихся сил (Теорема о моменте равнодействующей силы)

Момент силы (момент силы относительно точки; также: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент) — эо векторная физическая величина, характеризующая действие силы на механический объект, которое может вызвать его вращательное движение.

На странице -> решение задач по теоретической механике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретической механики.

Момент силы

Система сходящихся сил, которая будет рассмотрена в главе 2, является особой среди
систем сил. Только в этой системе линии действия сил имеют одну точку пересечения. Поэтому для ее изучения достаточно основных понятий статики, рассмотренных в разделе 1. Для изучения других систем сил необходимо ознакомиться с понятиями момента силы и пары сил.

Понятие о моменте силы — одно из основных понятий механики, которое широко используется и в теоретических исследованиях и при практических расчетах. К понятию момента силы человечество пришло, рассматривая равновесие и движение тел, имеющих точку или ось вращения (в частности блоков и рычагов, которые использовались в практике еще до нашей эры).

Например, на неподвижный блок (рис. 3.1) действует сила , вращающей его вокруг горизонтальной оси О. Стержень АВ (рис. 3.2), который имеет неподвижную шарнирную опору A, будет вращаться вокруг оси шарнира под действием собственной силы тяжести В обоих примерах сила обуславливает вращательное движение тела. По мере вращательного действия силы на тело является момент силы.

Момент силы относительно точки (центра)

Заданная сила , изображена вектором , приложенная к некоторому телу в точке А. Определим момент силы относительно точки О (рис. 3.3). Векторным моментом силы относительно точки О называется вектор, приложенный в точке О, равный векторному произведению радиуса вектора точки приложения силы на вектор силы:

где — радиус-вектор точки приложения силы относительно точки О.

Определим величину (модуль) и направление вектора . Согласно понятиям и свойствам векторного произведения двух векторов, величина (Модуль) момента силы относительно точки О равна:

Обозначим . Поскольку Тогда:

где (рис. 3.3) — высота опущенная из вершины В (с точки О) на сторону АВ этого треугольника, совпадает с линией действия силы. Короткое расстояние от точки О до линии действия силы называется плечом силы относительно этой точки. Из этого следует, что модуль (величина) момента силы относительно точки равна произведению величины силы на ее плечо относительно этой точки.

Вектор направляется по правилу векторного произведения: векторный момент силы относительно точки (Центра) является перпендикулярным к плоскости, в которой размещены сила и точка (центр) так, чтобы с его конца было видно попытки силы возвращать тело вокруг точки (Центра) против хода часовой стрелки.
Заметим, что . Поэтому:

Модуль момента силы относительно точки равен удвоенной площади треугольника, вершинами которого является точка и начало и конец вектора

Если линия действия силы проходит через точку (центр), то h = 0, и из формулы (3.2) видно, что момент силы относительно этой точки будет равняться нулю.

Момент силы относительно точки не изменяется при переносе силы вдоль ее линии действия, поскольку неизменным остается плечо силы относительно точки (рис. 3.4).

Если на тело действует плоская система сил, то векторы моментов всех сил системы относительно некоторого центра, что лежит в плоскости действия сил, будут перпендикулярны этой плоскости, а следовательно, параллельные и их можно считать скалярными величинами, которые отличаются только величиной и знаками.

В этом случае целесообразно ввести понятие алгебраического момента силы относительно точки (центра), равный взятом со знаком «+» или «-» произведения модуля силы на плечо относительно этой точки (центра)

Будем считать момент положительным, если сила пытается вращать тело вокруг точки (центра) против хода часовой стрелки (рис. 3.5, а), и отрицательным — если по ходу часовой стрелки (рис. 3.5, б). Единицы момента силы:

Момент силы относительно оси

Изучая пространственные системы сил, будем использовать понятие момента силы относительно оси.

Моментом силы относительно оси называется величина, равная алгебраическому моменту проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью.

Пусть к телу в некоторой точке А приложена сила (Рис. 3.6). определим момент силы относительно произвольной оси . Проведем плоскость П, перпендикулярную оси .
Точку пересечения плоскости П с осью обозначим А. Спроектируем силу на плоскость П и получим силу

Согласно определению

Таким образом, чтобы определить момент силы относительно оси, необходимо:
— спроектировать эту силу на плоскость, перпендикулярную оси;
— найти точку пересечения оси с этой перпендикулярной плоскостью;
— определить алгебраический момент полученной проекции относительно точки пересечения оси с плоскостью.

Из формулы (3.5) следует, что момент силы относительно оси равен нулю, если:
1) сила параллельна оси, тогда
2) линия действия силы пересекает ось, тогда

Эти два условия эквивалентны одному условию: момент силы относительно оси равен нулю, когда сила и ось лежат в одной плоскости. поскольку момент силы относительно оси , то согласно принятому правилу знаков моментов следует, что момент силы относительно оси положительный, если, смотря с конца оси, видим, что проекция этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, пытается вращать тело вокруг оси против часовой стрелки (рис. 3.7, а). если вращение происходит в направлении хода часовой стрелки, то момент силы относительно оси будет отрицательным (рис. 3.7, б). Можно доказать, что момент силы относительно оси не зависит от выбора точки О на этой оси.

Зависимость между моментом силы относительно точки и оси, проходящей через эту точку

Теорема 3.1. Проекция векторного момента силы относительно точки на ось, проходящей через эту точку, равен моменту силы относительно этой оси.

Доказательство. Сила приложена в точке А пространства. Выберем произвольную точку О и проведем оси (рис. 3.8). Определим момент силы относительно оси и относительно точки О на ней.
Известно, что

где

Из курса элементарной геометрии известно, что

где — угол между плоскостями этих треугольников, а следовательно, и угол между перпендикулярами к этим плоскостей.

Поскольку вектор перпендикулярный плоскости, а ось перпендикулярна к

Учитывая равенства (3.6), (3.7), получим

Знак полностью определяется знаком .

Поскольку

что и требовалось доказать.

Моменты силы относительно координатных осей

Пусть на тело действует сила приложенная в точке А (рис. 3.9). выберем произвольную точку О и из нее проведем оси декартовой системы координат.
Определим момент силы относительно этих осей. Для этого запишем выражение для момента силы относительно точки О.

Согласно (3.1),где — радиус-вектор точки А относительно точки О.
Вектор силы и радиусвектор через проекции на оси координат выражаются:

где — координаты точки А; — орты выбранной системы координат.

Тогда векторное произведение можно записать в виде определителя:

Раскрывая этот определитель, получим

Представим векторный момент через его проекции на оси координат:

Сравнивая правые части равенств (3.9) и (3.10), получим:

Поскольку точка О принадлежит осями , то из формул (3.11), учитывая зависимость (3.8), получим выражения:

Теорема Вариньона для пространственной системы сходящихся сил (Теорема о моменте равнодействующей силы)

Теорема 3.2. Момент равнодействующей пространственной системы сходящихся сил
относительно некоторого центра (точки) равна векторной сумме моментов составляющих сил относительно того же центра (точки).

Доказательство. На тело действует пространственная система сходящихся сил линии действия которых пересекаются в точке В (Рис. 3.10, а). заменим
данную систему сил эквивалентной системой, все силы которой приложенные в точке В
(Рис. 3.10, б). Равнодействующую системы, прилагаемую в той же точке В, обозначим . Найдем момент равнодействующей относительно точки (центра) О. Согласно формуле (3.1), где — радиус-вектор точки приложения всех сил системы и равнодействующей относительно центра О.

Известно, что . Тогда

Итак, получили равенство

Теорема доказана.

Уравнение (3.13) является математическим записи теоремы Вариньона для пространственной системы сходящихся сил.
В случае плоской системы сходящихся сил теорема Вариньона запишется так:

Итак, момент равнодействующей плоской системы сходящихся сил относительно некоторого центра (точки), лежащий в плоскости действия сил, равна алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно этого самого центра (точки).

Рассмотрим пример на применение теоремы Вариньона.

Задача. На согнутый под прямым углом стержень АВС действуют силы и как показано на рис. 3.11. Найти моменты этих сил относительно точки А, если

Решение.

Для определения момента силы относительно точки используем теорему Вариньона.
Разложим силу на две составляющие: горизонтальную и вертикальную . Величины этих составляющих Тогда, согласно теоремой 3.2, получим:

Услуги по теоретической механике:

Заказать теоретическую механику
Помощь по теоретической механике
Заказать контрольную работу по теоретической механике

Учебные лекции:

Статика
Система сходящихся сил
Пара сил
Произвольная система сил
Плоская произвольная система сил
Трение
Расчет ферм
Расчет усилий в стержнях фермы
Пространственная система сил
Произвольная пространственная система сил
Плоская система сходящихся сил
Пространственная система сходящихся сил
Равновесие тела под действием пространственной системы сил
Естественный способ задания движения точки
Центр параллельных сил
Параллельные силы
Система произвольно расположенных сил
Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки
Кинематика
Кинематика твердого тела
Движения твердого тела
Динамика материальной точки
Динамика механической системы
Динамика плоского движения твердого тела
Динамика относительного движения материальной точки
Динамика твердого тела
Кинематика простейших движений твердого тела
Общее уравнение динамики
Работа и мощность силы
Обратная задача динамики
Поступательное и вращательное движение твердого тела
Плоскопараллельное (плоское) движение твёрдого тела
Сферическое движение твёрдого тела
Движение свободного твердого тела
Сложное движение твердого тела
Сложное движение точки
Плоское движение тела
Статика твердого тела
Равновесие составной конструкции
Равновесие с учетом сил трения
Центр масс
Колебания материальной точки
Относительное движение материальной точки
Статические инварианты
Дифференциальные уравнения движения точки под действием центральной силы и их анализ
Динамика системы материальных точек
Общие теоремы динамики
Теорема об изменении кинетической энергии
Теорема о конечном перемещении плоской фигуры
Потенциальное силовое поле
Метод кинетостатики
Вращения твердого тела вокруг неподвижной точки

Момент силы и момент импульса. Уравнение динамики вращательного движения

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4

Опыт показывает, что под действием силы, приложенной к телу, оно не всегда начнет вращаться. Чтобы привести тело во вращение, необходим отличный от нуля момент силы.

Моментом силы относительно неподвижной точкиО называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора , проведенным из т.О в точку приложения силы, на саму силу :

. (2.5.1)

Направление вектора определяется по правилу правого винта и его модуль равен:

. (2.5.2)

Величина — кратчайшее расстояние между линией действия силы и т.О называется плечом силы(см. рис.2.2).

Моментом силы относительно неподвижной оси Z называется скалярная величина , равная проекции на эту ось вектора момента силы, определенного относительно произвольной т.О данной оси. (рис. 2.3)

Значение не зависит от положения т.О на оси Z.

Если ось Z совпадает с направлением вектора , то момент силы относительно оси представляется в виде вектора.

Моментом импульсаматериальной точки относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением:

. (2.5.3)

Его модуль равен : .

Моментом импульса относительно некоторой оси вращения Zназывается скалярная величина , равная проекции на эту ось вектора , определенного относительно любой т.О, принадлежащей оси Z.

Момент импульса твердого тела относительно оси равен сумме моментов импульса отдельных частиц:

. (2.5.4)

Используя формулу , получим:

(2.5.5)

Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость.

Продифференцируем уравнение (2.5.4) по времени.

Тогда

. (2.5.6)

Это выражение является математической записью уравнения динамики вращательного движенияотносительно неподвижной оси:

Производная момента импульса твердого тела относительно оси по времени равна результирующему моменту сил относительно той же оси.

С учетом направлений векторов и , можно записать в векторном виде:

. (2.5.7)

Для твердого тела , следовательно, при неизменном моменте инерции получим:

С учетом (2.5.6) имеем: или .

Учет направлений соответствующих векторов позволяет записать еще одну форму закона динамики вращательного движения.

. (2.5.8)

Таким образом, угловое ускорение, приобретаемое телом, прямо пропорционально результирующему моменту сил относительно оси вращения и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно этой оси.

Поиск по сайту:

Л. С. Куликова Младший редактор

Т.И.Трофимова
Курс физики

Издание второе, исправленное и дополненное

Допущено

Государственным комитетом СССР

по народному образованию

в качестве учебного пособия для студентов

технических специальностей

высших учебных заведений

Москва «Высшая школа» 1990

ББК 22.3

Т70

УДК 53

Рецензенты:

кафедра физики Ленинградского политехнического института им. М. И. Калинина;

кафедра физики Уральского политехнического института им. С. М. Кирова

Трофимова Т. И.

Т70 Курс физики: Учеб. пособие для вузов.—2-е изд., перераб. и доп.— М.: Высш. шк., 1990.— 478 с.: ил. ISBN 5-06-001540-8

Пособие составлено в соответствии с программой по физике для студентов вузов. Оно состоит из семи частей, в которых излагаются физические основы механики, молекулярной физики и термодинамики, электричества и магнетизма, оптики, квантовой физики атомов, молекул и твердых тел, физики атомного ядра и элементарных частиц. В пособии устанавливается логическая преемственность и связь между классической и современной физикой.

Во второе издание (1-е—1985 г.) внесены изменения, приведены контрольные вопросы и задачи для самостоятельного решения.

Т 1604010000 (4309000000)—363 ^ББК^22.3

001(01)-90 102-90 ⁵³

ISBN 5-06-001540-8 © Т. И. Трофимова, 1990
Учебное издание Трофимова Таисия Ивановна КУРС ФИЗИКИ

Зав. редакцией

Е. С. Гридасова

Редактор

Л. С. Куликова

Младший редактор

Н. П. Майкова

Художественный редактор В. И. Пономаренко

Художник

Ю. Д. Федичкин

Технический редактор Г. А. Фетисова

Корректор

Г. И. Кострикова

ИБ № 8563

Изд. № ФМ—14. Сдано в набор 17.08.89. Подп, в печать 03.05.90. Формат 70Х 100¹/₁₆. Бум. офс. № 2. Гарнитура литературная. Печать офсетная. Объем 39,00 уел. печ. л. 78,00 усл. кр.-отт. 40,26 уч.-изд. л. Тираж 100000 экз. Зак. № 298. Цена 1 р. 70 к. Издательство «Высшая школа», 101430, Москва, Неглинная ул., д. 29/14.

Ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового Красного Знамени Ленинградское производственно-техническое объединение «Печатный Двор» имени А, М. Горького при Госкомпечати СССР. 197136, Ленинград, П-136, Чкаловский пр., 15.

Предисловие

Учебное пособие написано в соответствии с действующей программой курса физики для инженерно-технических специальностей высших учебных заведений.

Небольшой объем учебного пособия достигнут с помощью тщательного отбора и лаконичного изложения материала.

Книга состоит из семи частей. В первой части дано систематическое изложение физических основ классической механики, а также рассмотрены элементы специальной (частной) теории относительности. Вторая часть посвящена основам молекулярной физики и термодинамики. В третьей части изучаются электростатика, постоянный электрический ток и электромагнетизм. В четвертой части, посвященной изложению колебаний и волн, механические и электромагнитные колебания рассматриваются параллельно, указываются их сходства и различия и сравниваются физические процессы, происходящие при соответствующих колебаниях. В пятой части рассмотрены элементы геометрической и электронной оптики, волновая оптика и квантовая природа излучения. Шестая часть посвящена элементам квантовой физики атомов, молекул и твердых тел. В седьмой части излагаются элементы физики атомного ядра и элементарных частиц.

Изложение материала ведется без громоздких математических выкладок, должное внимание обращается на физическую суть явлений и описывающих их понятий и законов, а также на преемственность современной и классической физики. Обозначения и единицы физических величин соответствуют Государственным стандартам СССР и стандартам СЭВ.

При подготовке второго издания заново написаны некоторые параграфы, внесены исправления и дополнения по всему курсу, расширен иллюстративный материал. К каждой главе даны контрольные вопросы и задачи.

Для обозначения векторных величин на всех рисунках и в тексте использован полужирный шрифт, за исключением величин, обозначенных греческими буквами, которые по техническим причинам набраны в тексте светлым шрифтом со стрелкой.

Настоящий курс предназначен для студентов высших технических учебных заведений дневной формы обучения с ограниченным числом часов по физике, с возможностью его использования на вечерней и заочной формах обучения.

Автор выражает глубокую признательность коллегам и читателям, чьи доброжелательные замечания и пожелания способствовали улучшению книги. Автор считает своим долгом поблагодарить кафедру физики Уральского политехнического института и кафедру экспериментальной физики Ленинградского политехнического института, взявших на себя труд рецензирования рукописи при подготовке второго издания.

Автор будет благодарен за замечания и советы по улучшению пособия. Просьба направлять их в издательство «Высшая школа» по адресу. 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., д. 29/14.

Автор

Что такое вращающий момент

Вращающий момент — это… Что такое Вращающий момент?

Момент силы (синонимы: крутящий момент; вращательный момент; вращающий момент) — физическая величина, характеризующая вращательное действие силы на твёрдое тело.

Момент силы приложенный к гаечному ключу

Отношение между векторами силы, момента силы и импульса во вращающейся системе

Момент силы

В физике момент силы можно понимать как «вращающая сила». В системе СИ единицами измерения для момента силы является ньютон-метр, хотя сантиньютон-метр (cN•m), футо-фунт (ft•lbf), дюйм-фунт (lbf•in) и дюйм-унция (ozf•in) также часто используются для выражения момента силы. Символ момента силы τ (тау). Момент силы иногда называют моментом пары сил, это понятие возникло в трудах Архимеда над рычагами. Вращающиеся аналоги силы, массы и ускорения есть момент силы, момент инерции и угловое ускорение соответственно. Сила, приложенная к рычагу, умноженная на расстояние до оси рычага, есть момент силы. Например, сила в 3 ньютона, приложенная к рычагу, расстояние до оси которого 2 метра, это то же самое, что 1 ньютон, приложенный к рычагу, расстояние до оси которого 6 метров. Более точно, момент силы частицы определяется как векторное произведение:

где — сила, действующая на частицу, а — радиус-вектор частицы!

Предыстория

Строго говоря, вектор, обозначающий момент сил, введен искуственно, так как является удобным при вычислении работы по криволинейному участку относительно неподвижной оси и удобен при вычислении общего момента сил всей системы, так как может суммироваться. Для того, чтобы понять откуда появилось обозначение момента сил и как до него додумались, стоит рассмотреть действие силы на рычаг, относительно неподвижной оси.

Работа, совершаемая при действии силы на рычаг , совершающего вращательное движение вокруг неподвижной оси, может быть рассчитана исходя из следующих соображений.

Пусть под действием этой силы конец рычага смещается на бесконечно малый отрезок , которому соответствует бесконечно малый угол . Обозначим через вектор, который направлен вдоль бесконечно малого отрезка и равен ему по модулю. Угол между вектором силы и вектором равен , а угол и вектором силы .

Следовательно, бесконечно малая работа , совершаемая силой на бесконечно малом участке равна скалярному произведению вектора и вектора силы, то есть .

Теперь попытаемся выразить модуль вектора через радиус вектор , а проекцию вектора силы на вектор , через угол .

В первом случае, используя теорему Пифагора, можно записать следующее равенство , где в случае малого угла справедливо и следовательно

Для проекции вектора силы на вектор , видно, что угол , так как для бесконечно малого перемещения рычага , можно считать, что траектория перемещения перпендикулярна рычагу , а так как , получаем, что .

Теперь запишем бесконечно малую работу через новые равенства или .

Теперь видно, что произведение есть ни что иное как модуль векторного произведения векторов и , то есть , которое и было принято обозначить за момент силы или модуля вектора момента силы .

И теперь полная работа записывается очень просто или .

Единицы

Момент силы имеет размерность сила на расстояние, и в системе СИ единицей момента силы является «ньютон-метр». Джоуль, единица СИ для энергии и работы, тоже определяется как 1Н*м, но эта единица не используется для момента силы. Когда энергия представляется как результат «сила на расстояние», энергия скалярная, тогда как момент силы — это «сила, векторно умноженная на расстояние» и таким образом она (псевдо) векторная величина. Конечно, совпадение размерности этих величин не простое совпадение; момент силы 1Н*м, приложенный через целый оборот, требует энергии как раз 2*π джоулей. Математически

где Е — энергия, τ — вращающий момент, θ — угол в радианах.

Специальные случаи

Формула момента рычага

Момент рычага

Очень интересен особый случай, представляемый как определение момента силы в поле:

τ = МОМЕНТ РЫЧАГА * СИЛУ

Проблема такого представления в том, что оно не дает направления момента силы, а только его величину, поэтому трудно рассматривать в.м. в 3-хмерном случае. Если сила перпендикулярна вектору r, момент рычага будет равен расстоянию до центра и момент силы будет максимален

= РАССТОЯНИЕ ДО ЦЕНТРА * СИЛУ

Сила под углом

Если сила F направлена под углом θ к рычагу r, то τ = r*F*sinθ, где θ это угол между рычагом и приложенной силой

Статическое равновесие

Для того чтобы объект находился в равновесии, должна равняться нулю не только сумма всех сил, но и сумма всех моментов силы вокруг любой точки. Для 2-хмерного случая с горизонтальными и вертикальными силами: сумма сил в двух измерениях ΣH=0, ΣV=0 и момент силы в третьем измерении Στ=0.

Момент силы как функция от времени

Момент силы — производная по времени от момент импульса,

где L — момент импульса. Момент импульса твердого тела может быть описан через произведение момента инерции и угловой скорости.

То есть если I постоянная, то

где α — угловое ускорение, измеряемое в радианах в секунду за секунду.

Отношение между моментом силы и мощностью

Если сила совершает действие на каком-либо расстоянии, то она совершает механическую работу. Также если момент силы совершает действие через угловое расстояние, он совершает работу.

= МОМЕНТ СИЛЫ * УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ

В системе СИ мощность измеряется в Ваттах, момент силы в ньютон-метрах, а УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ в радианах в секунду.

Отношение между моментом силы и работой

= МОМЕНТ СИЛЫ * УГОЛ

В системе СИ работа измеряется в Джоулях, момент силы в Ньютон * метр, а УГОЛ в в радианах.

Обычно известна угловая скорость в радианах в секунду и время действия МОМЕНТА .

Тогда совершенная МОМЕНТОМ силы РАБОТА рассчитывается как:

= МОМЕНТ СИЛЫ * *

Момент силы относительно точки

Если имеется материальная точка , к которой приложена сила , то момент силы относительно точки равен векторному произведению радиус-вектора , соединяющий точки O и OF, на вектор силы :

Момент силы относительно оси

Моментом силы относительно оси называется момент проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси относительно точки пересечения оси с этой плоскостью.

Единицы измерения

Момент силы измеряется в ньютон-метрах. 1 Н•м — момент силы, который производит сила 1 Н на рычаг длиной 1 м.

Измерение момента

На сегодняшний день измерение момента силы осуществляется с помощью тензометрических, оптических и индуктивных датчиков нагрузки. В России при решении задач измерения момента в основном используется оборудование зарубежных производителей (HBM (Германия), Kyowa (Япония), Dacell (Корея) и ряда других).

См. также

Момент инерции
Момент импульса
Теорема Вариньона

Wikimedia Foundation. 2010.

15.Вращательное движение. Момент силы и момент импульса.

Враща́тельное движе́ние — вид механического движения. При вращательном движении абсолютно твёрдого тела его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Центры всех окружностей лежат при этом на одной прямой, перпендикулярной к плоскостям окружностей и называемой осью вращения. Ось вращения может располагаться внутри тела и за его пределами. Ось вращения в данной системе отсчёта может быть как подвижной, так и неподвижной. Например, в системе отсчёта, связанной с Землёй, ось вращения ротора генератора на электростанции неподвижна.

Кинетические характеристики:

Вращение твердого тела, как целого характеризуется углом , измеряющегося в угловых градусах или радианах, угловой скоростью (измеряется в рад/с)и угловым ускорением(единица измерения — рад/с²).

При равномерном вращении (T оборотов в секунду):

Частота вращения — число оборотов тела в единицу времени.-

Период вращения — время одного полного оборота. Период вращения T и его частота связаны соотношением .

Линейная скорость точки, находящейся на расстоянии R от оси вращения

Угловая скорость вращения тела

Момент силы (синонимы: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент) — векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора (проведённого от оси вращения к точке приложения силы — по определению), на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.

Момент силы измеряется в ньютон-метрах. 1 Н·м — момент силы, который производит сила 1 Н на рычаг длиной 1 м. Сила приложена к концу рычага и направлена перпендикулярно ему.

Моме́нт и́мпульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение. Момент импульса замкнутой системы сохраняется

Зако́н сохране́ния моме́нта и́мпульса (закон сохранения углового момента) — один из фундаментальных законов сохранения. Математически выражается через векторную сумму всех моментов импульса относительно выбранной оси для замкнутой системы тел и остается постоянной, пока на систему не воздействуют внешние силы. В соответствии с этим момент импульса замкнутой системы в любой системе координат не изменяется со временем.

Закон сохранения момента импульса есть проявление изотропности пространства относительно поворота.

16.Уравнение динамики вращательного движения. Момент инерции.

Основное уравнение динамики вращательного движения материальной точки — угловое ускорение точки при ее вращении вокруг неподвижной оси пропорционально вращающему моменту и обратно пропорционально моменту инерции.

М = E*J или E = M/J

Сравнивая полученное выражение со вторым законом Ньютона с поступательным законом, видим, что момент инерции J является мерой инертности тела во вращательном движении. Как и масса величина аддитивная.

Момент инерции — скалярная (в общем случае — тензорная) физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения СИ: кг·м².Обозначение: I или J.

Различают несколько моментов инерции — в зависимости от многообразия, от которого отсчитывается расстояние точек.

Свойства момента инерции:

1.Момент инерции системы равен сумме момента инерции её частей.

2.Момент инерции тела является величиной, иманентно присущей этому телу.

Момент инерции твердого тела — это велина, характеризующая распределение массы в теле и являющаяся мерой инертности тела при вращательном движении.

Формула момента инерции:

Теорема Штейнера:

Момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр инерции, сложенной с величиной m*(R*R), где R — расстояние между осями.

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина Ja, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

Осевой момент инерции тела Ja является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

Центральный момент инерции (или момент инерции относительно точки O) — это величина

Вращательный момент

Физика > Вращательный момент

Изучите вращательный момент в физике. Узнайте, что такое момент вращательного движения, силы и инерции, роль вектора, угловой скорости и углового движения.

Вращательный момент – сила, заставляющая объекты поворачиваться или вращаться вокруг своей оси.

Задача обучения

Описать воздействие вращательного момента на объект.

Основные пункты

Вращательный момент находят при помощи умножения активной силы на дистанцию к оси вращения (рычаг момента).
Вращательный момент смещается, потому что сила отображает движение.
Единица – Ньютон на метр.

Термины

Вектор – определенное количество, характеризующееся величиной и направлением (между двумя точками).
Угловая скорость – векторная величина, характеризующая объект в движении по кругу.
Угловое движение – смещение тела вокруг статичной точки или оси (вроде планет и маятника). Равняется углу, проходящему в точке или оси по линии, отображенной на теле.

Вращательный момент – тенденция силы поворачивать или вращать смещающийся объект. Ее можно измерить при помощи момента сила. Вращательный момент в угловом движении соответствует силе смещения. В результате получаем угловое ускорение или угловое торможение частички. Можно измерить при помощи уравнения:

T = r × F

Процесс вращения – особенный случай для углового движения. Момент вращательного движения вычисляется относительно оси, поэтому вектор r ограничивается перпендикулярным размещением относительно оси вращения. То есть, плоскость движения перпендикулярна оси вращения.

Вращательный момент – поперечная производная силы рычага момента. Он активируется каждый раз, когда объект пребывает во вращении. Также момент можно выразить через угловое ускорение объекта.

Вращательный момент с позиции рычага момента

Вычислить направление вращательного момента намного легче, чем угловую скорость. Почему? Просто сам вращательный момент приравнивается к векторному произведению двух векторов, а угловая скорость – один из двух объектов векторного движения. Если мы знаем направление двух действующих объектов, то легко находим и направление вращательного момента.

Он зависит от силы, дистанции и оси вращения, поэтому единицей выступает ньютон на метр.

(1 оценок, среднее: 5,00 из 5)

Вращательный момент — это… Что такое Вращательный момент?

Момент силы приложенный к гаечному ключу

Отношение между векторами силы, момента силы и импульса во вращающейся системе

Момент силы

где — сила, действующая на частицу, а — радиус-вектор частицы!

Предыстория

Теперь запишем бесконечно малую работу через новые равенства или .

И теперь полная работа записывается очень просто или .

Единицы

где Е — энергия, τ — вращающий момент, θ — угол в радианах.

Специальные случаи

Формула момента рычага

Момент рычага

Очень интересен особый случай, представляемый как определение момента силы в поле:

τ = МОМЕНТ РЫЧАГА * СИЛУ

= РАССТОЯНИЕ ДО ЦЕНТРА * СИЛУ

Сила под углом

Если сила F направлена под углом θ к рычагу r, то τ = r*F*sinθ, где θ это угол между рычагом и приложенной силой

Статическое равновесие

Момент силы как функция от времени

Момент силы — производная по времени от момент импульса,

То есть если I постоянная, то

где α — угловое ускорение, измеряемое в радианах в секунду за секунду.

Отношение между моментом силы и мощностью

= МОМЕНТ СИЛЫ * УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ

Отношение между моментом силы и работой

= МОМЕНТ СИЛЫ * УГОЛ

В системе СИ работа измеряется в Джоулях, момент силы в Ньютон * метр, а УГОЛ в в радианах.

Обычно известна угловая скорость в радианах в секунду и время действия МОМЕНТА .

Тогда совершенная МОМЕНТОМ силы РАБОТА рассчитывается как:

= МОМЕНТ СИЛЫ * *

Момент силы относительно точки

Момент силы относительно оси

Единицы измерения

Момент силы измеряется в ньютон-метрах. 1 Н•м — момент силы, который производит сила 1 Н на рычаг длиной 1 м.

Измерение момента

См. также

Момент инерции
Момент импульса
Теорема Вариньона

Wikimedia Foundation. 2010.

Момент силы 10Н относительно неподвижной точки O класс 11 физика CBSE

Подсказка: Мера поворачивающего эффекта силы известна как крутящий момент. Сила, которая действует на тело крутящего момента, известна как момент силы. Крутящий момент действует вокруг действия лески. Мы можем использовать формулу момента формулы, которая равна произведению силы на расстояние от линии действия.

Полное пошаговое решение:
Учитывая, что момент силы составляет 5 Н · м относительно точки O, когда мы прикладываем силу 10 Н.Мы знаем, что момент силы задается формулой
$
\ Rightarrow {\ text {r}} \ times {\ text {F}}
\ Rightarrow {\ text {5 = r}} \ times {\ text {10 }}
\ Rightarrow {\ text {r = 0}} {\ text {.5m}}
$

Следовательно, мы прикладываем силу на перпендикулярном расстоянии 0,5 м.

Дополнительная информация: Момент силы определяется как поворачивающий эффект силы, приложенной к системе вращения на расстоянии от оси вращения. Момент равен величине силы, умноженной на расстояние по вертикали между линией его действия и осью вращения.Пересечение плоскости и оси обычно называют центром момента, а расстояние по перпендикуляру от центра момента до линии действия силы называется рукой момента.
Есть случаи, в которых моменты силы вычислить легче, чем моменты вокруг фиксированной точки, поскольку моменты силы должны быть вычислены. Может оказаться, что определение расстояния, перпендикулярного силе, труднее, чем определение расстояния, перпендикулярного компонентам силы.Момент нескольких сил вокруг точки — это просто алгебраическая сумма их составляющих моментов относительно одной точки

Примечание: Момент также можно рассматривать как результат вывода сил из прямой линии между точками нагрузки системы. и его поддержка. В этом случае синяя сила — тривиальная сила. Чтобы добраться до него у основания колонны, он должен сделать квадратный путь с балкой. Чем больше объезд, тем больше моментов. Самая эффективная структурная система имеет наименьший потенциал.

Сделан из стержня, который вращается в фиксированной точке? — Реабилитацияrobotics.net

Сделан из стержня, который вращается в фиксированной точке?

Рычаг — это простой механизм, состоящий из стержня, который вращается вокруг фиксированной точки. Неподвижная точка рычага называется точкой опоры.

Какой простой механизм представляет собой жесткий стержень, который вращается вокруг фиксированной точки, называемой точкой опоры?

рычаг

Что может винт делать такого, чего не могут другие простые машины?

Геометрически винт можно рассматривать как узкую наклонную плоскость, обернутую вокруг цилиндра.Как и другие простые машины, винт может увеличивать силу; небольшая вращающая сила (крутящий момент) на валу может оказывать большое осевое усилие на нагрузку.

Какое усилие может приложить винт?

Если винт имеет шаг резьбы 8 на дюйм, это означает, что он перемещается на 1/8 дюйма за каждый оборот. Наденьте на него маховик диаметром 2 фута, и ваша рука будет перемещаться на 75 дюймов за каждый оборот (окружность). Это означает, что вы получаете увеличение силы 600: 1 (соотношение 75 и 1/8 дюйма).

Как вкрутить винт?

Используйте отвертку с головкой, которая плотно входит в головку винта. Положите ладонь одной руки на тыльную сторону рукоятки отвертки, а другой рукой обхватите рукоятку, готовую к повороту. Вдавите отвертку тыльной рукой в винт с максимальной силой, а другой рукой поверните.

Как рассчитать усилие, прилагаемое винтом?

Расчет усилия зажима от момента затяжки болта

T = крутящий момент (дюйм-фунт)
K = Константа для учета трения (0.15 — 0,2 для этих агрегатов)
D = Диаметр болта (дюймы)
P = Сила зажима (фунты)

Где используется домкрат?

Винтовой домкрат или винтовой домкрат — это тип домкрата, который приводится в действие поворотом ходового винта. Он обычно используется для подъема умеренно тяжелых грузов, например транспортных средств; поднимать и опускать горизонтальные стабилизаторы самолета; и как регулируемые опоры для больших нагрузок, например, фундаменты домов.

Почему домкрат снабжен длинным плечом?

Таким образом, чтобы создать больший крутящий момент (или легко его вращать), домкрат снабжен длинным рычагом.

Почему дверь легче открыть, приложив усилие к ее свободному концу?

(iv) Дверь легче открыть, приложив силу к ее свободному концу, потому что увеличенное перпендикулярное расстояние уменьшает величину силы, необходимой для открытия двери, поскольку момент силы является произведением силы и перпендикулярного расстояния.

Может ли момент силы быть нулевым, если сила не равна нулю, если да, то когда?

Да, момент силы действительно может быть равен нулю, если сила не вызывает (вращательного) смещения.Это происходит, когда направление приложения силы параллельно радиальному вектору.

При каком условии момент силы будет равен нулю?

Если момент должен быть взят относительно точки из-за силы F, то для того, чтобы момент развился, линия действия не может проходить через эту точку. Если линия действия действительно проходит через эту точку, момент равен нулю, потому что величина плеча момента равна нулю.

Может ли момент силы быть отрицательным?

Направление момента противоположно направлению силы.Условие таково: моменты по часовой стрелке положительны. против часовой стрелки моменты отрицательны.

Какое условное обозначение для момента силы?

Направление (момента силы) → τ перпендикулярно плоскости, содержащей → r и → F, и определяется правилом правого винта.

Какая сила принимает положительный знак?

растягивающее усилие

Как узнать, движется ли момент по часовой стрелке или против часовой стрелки?

Моменты

Момент против часовой стрелки действует вниз слева, а момент по часовой стрелке действует вниз справа.
Перпендикулярное расстояние — это кратчайшее расстояние между шарниром и линией действия силы.

Как можно уменьшить момент силы?

Момент данной силы вокруг данной оси вращения может быть уменьшен путем уменьшения перпендикулярного расстояния силы от оси вращения.

Как сила тяги связана с давлением?

Решение: Давление рассчитано на единицу осевого усилия на поверхности, следовательно, давление прямо пропорционально силе.Чем больше тяга, тем больше давление и меньше тяга, тем меньше давление.

Каким должен быть угол между силой и перемещением для максимальной работы?

0 °

Как можно увеличить момент силы?

Использование моментов

Качели уравновешивают, если моменты с каждой стороны оси вращения равны.
Если гайку трудно открутить коротким гаечным ключом, поможет более длинный гаечный ключ.
Используя тот же принцип, вы можете увеличить момент, прикладываемый рычагом или ломом, и это поможет вам легче перемещать тяжелые предметы.

Момент силы и крутящий момент одинаковы?

Момент создается боковой силой, и он не вращается или имеет тенденцию к изгибу тела под действием приложенной силы. Крутящий момент используется для измерения муфты. Крутящий момент считается силой, которая вращает тело вокруг оси. Момент — это сила, которая заставляет тело двигаться (а не вращаться).

Что мы называем «толканием» или «притягиванием» объекта?

Сила — это толкание или притяжение объекта, которое заставляет объект ускоряться, замедляться или оставаться на одном месте.Другими словами, сила — это то, что заставляет объект двигаться. Трение и гравитация — это два типа сил, которые влияют на движение объекта.

Фиксированная ось — обзор

8.1.2 Динамика Земли, Солнца и Луны

Солнце вращается вокруг фиксированной оси, а его экватор почти совпадает с плоскостью орбиты Земли. На своем экваторе Солнце вращается с угловой скоростью один оборот за 25 дней, а его полюса вращаются немного медленнее. Направление вращения — против часовой стрелки, если смотреть из космоса к северу от Земли.Путь Земли вокруг Солнца приблизительно эллиптический, и когда Земля вращается вокруг Солнца, Земля также вращается. Ось вращения Земли наклонена по отношению к Солнцу примерно на 23,5 °. Движение Земли, ее Луны и Солнца показано на рисунке 8.6.

Рисунок 8.6. Вращение, наклон и орбитальное движение Земли. Не в масштабе.

Сезонные колебания возникают в результате обращения Земли по орбите вокруг Солнца, что схематично показано на рисунке 8.6. Сочетание наклона Земли и эллиптической траектории приводит к изменению теплового излучения, принимаемого поверхностью Земли. Сравнительно кратковременные изменения происходят днем и ночью из-за угловой скорости Земли. Изменение расстояния между Землей и Солнцем и угла наклона Земли приводит к более долгосрочным изменениям, связанным с сезонами. Причину сезонных изменений можно описать со ссылкой на Рисунок 8.7. Поскольку Земля движется с осью, наклоненной под углом к вертикали, в течение года северный полюс Земли иногда наклоняется к Солнцу, а иногда — от него.Северное полушарие получает максимальное количество часов солнечного света и, следовательно, теплового излучения от Солнца, когда северный полюс наклонен к Солнцу, положение (а), определяющее лето в северном полушарии. В этот период южный полюс наклонен от Солнца, так что южное полушарие получает меньше солнечного света и меньшего теплового излучения, что определяет зиму в южном полушарии. На другой стороне орбиты положение (c), когда северный полюс наклонен от Солнца, а южный полюс наклонен к Солнцу, определяет зиму в северном полушарии и лето в южном полушарии.Эти крайние значения орбиты также соответствуют тому, что Земля находится на максимальном расстоянии от Солнца из-за эллиптической орбиты Земли вокруг Солнца. Летом в северном полушарии Земля находится дальше от Солнца (151 × 10 ⁶ км), чем зимой (146 × 10 ⁶ км).

Рисунок 8.7. Времена года на Земле. Не в масштабе.

Поскольку Земля вращается вокруг Солнца, соотношение дневного света и темноты в данный день изменяется из-за наклона Земли, за исключением экватора, где количество световых часов всегда одинаково.Между крайностями лета и зимы находятся осеннее и весеннее равноденствия, когда период дневного света и темноты на экваторе равны. Это происходит примерно 21 марта и 21 сентября. Когда равноденствия происходят в Тропике Рака 21 июня и в Тропике Козерога 21 декабря, это называется солнцестоянием. Количество солнечного света, падающего на Землю, можно количественно определить с помощью инсоляции . Инсоляция определяется как тепловое излучение, получаемое от Солнца на единицу площади поверхности Земли.Из-за наклона Земли есть несколько месяцев без инсоляции к северу или югу от широты 66,5 °. Между тропиками рака и Козерога существует небольшая сезонная разница в уровнях солнечной радиации, поскольку Солнце не выходит за эти границы. В этих регионах сезоны, как правило, характеризуются всего двумя периодами: засушливым и влажным.

Поскольку Земля вращается и не является жесткой, она деформировалась в сплюснутую сфероидальную форму с выпуклостью вдоль экватора. Это показано на рисунке 8.8. Экваториальный радиус составляет около 6378,4 км, а полярный радиус — 6356,9 км. Средний радиус принят 6371 км.

Рисунок 8.8. Схема сплющенной сфероидальной формы Земли в сравнении со сферой. Не в масштабе.

Луна обращается вокруг Земли за 29,5 дней. Его плоскость наклонена к Земле на 5 °, и всегда одной стороной к Земле. Градиент гравитационного поля заставляет объект в поле растягиваться в радиальном направлении. Гравитационная сила Луны сильнее на частицах на стороне Земли, ближайшей к Луне, в то время как центробежная сила, вызванная вращением Земли, сильнее на частицах, наиболее удаленных от центра масс системы Земля-Луна.Это распределение сил отталкивает поверхностные частицы от центра Земли и создает на Земле силовое поле, поднимающее приливы. Поскольку вода деформируется, гравитация Луны имеет тенденцию перемещать воду в точку, ближайшую к Луне, создавая выпуклость на водной поверхности Земли. В то же время центробежные силы, действующие на поверхности, противоположной Луне, создают аналогичную выпуклость из воды. Таким образом, есть две выпуклости с двумя углублениями между выпуклостями (рис. 8.9). Они соответствуют двум приливам и двум отливам с длиной волны, равной половине окружности Земли.Поскольку Земля совершает один оборот примерно за 24 часа, выпуклости, как правило, остаются под Луной, когда Земля вращается.

Рисунок 8.9. Схематическое образование океанических приливных выпуклостей из-за дифференциальных гравитационных сил. F ₃ & gt; F ₂ & gt; F ₁ (масштабы прогиба сильно преувеличены).

Точка на Земле, которая изначально находится в центре прилива, проходит через прилив, обратно в прилив и обратно, и обратно в исходное положение прилива в пределах одного оборота Земли.Однако, пока Земля вращается, Луна также вращается вокруг Земли и движется на восток по своей орбите. По прошествии 24 часов точка на Земле, которая изначально находилась ближе всего к Луне, соответствующая выпуклости на водной поверхности, больше не находится непосредственно под Луной. Земля должна повернуться еще на 12 °, что потребует дополнительных 50 минут, чтобы привести начальную точку в соответствие с Луной. Этот период определяет разницу между днем и лунным приливным днем, при этом лунный приливный день определяется как 24 часа 50 минут.Вот почему соответствующие приливы обычно прибывают в любое место примерно на час позже каждый день. Солнце также действует, создавая приливную волну, но из-за удаленного расположения Солнца гравитационные и центробежные силы, вызывающие приливы, составляют всего 46% от лунных и имеют соответственно меньшее, но все же значительное влияние.

Некоторые атмосферные потоки и явления происходят в сроки, короткие по сравнению с сезонами. Другие циркуляции потока сохраняются как почти постоянные модели потока.Метеорология — это изучение погоды и климата. Разница между климатом и погодой проводится по шкале. Погода относится к состоянию атмосферы на местном уровне и обычно имеет временной масштаб от минут до месяцев. Климат относится к долгосрочному поведению атмосферы в определенном регионе.

Угловой момент

Момент импульса для жесткого тела

Для твердого тела, испытывающего плоское (двумерное) движение, угловой момент задается следующим общим скалярным уравнением:

Где:

H _G — момент количества движения твердого тела относительно центра масс G

I _G — момент инерции твердого тела относительно оси, проходящей через центр масс G и перпендикулярной плоскости движения.

w — угловая скорость твердого тела относительно земли.

На рисунке ниже показан общий случай, когда твердое тело совершает плоское (двумерное) движение.

Обратите внимание, что H _G на самом деле является векторной величиной, имеющей величину I _G w . Но поскольку направление H _G всегда перпендикулярно плоскости движения, мы можем отказаться от векторных обозначений.

Если твердое тело имеет фиксированную точку O , которая прикреплена к земле, мы можем вычислить угловой момент твердого тела относительно точки O вместо точки G . Единственное отличие от уравнения (1) состоит в том, что момент инерции будет вычисляться относительно оси, проходящей через точку O и перпендикулярной плоскости движения.

На рисунке ниже показан случай, когда твердое тело совершает плоское (двумерное) движение и вращается вокруг фиксированной точки O .

Для твердого тела, испытывающего плоское (двумерное) движение и вращающегося вокруг фиксированной точки O , угловой момент может быть выражен как:

Где:

H _o — момент количества движения твердого тела относительно точки O

I _o — момент инерции твердого тела относительно оси, проходящей через фиксированную точку O и перпендикулярной плоскости движения.

w — угловая скорость твердого тела относительно земли.

Для твердого тела, испытывающего плоское (двумерное) движение, сумма моментов относительно центра масс G равна скорости изменения момента количества движения относительно центра масс G .Таким образом,

И если твердое тело вращается вокруг фиксированной точки O , мы можем написать

Левая часть уравнений (3) и (4) представляет собой сумму моментов относительно точки G или точки O .

Опуская индексы G и O , мы можем написать

Проинтегрируем это уравнение от времени t _i до времени t _f , и мы получим

Термин слева определяется как внешний импульс, действующий на твердое тело (между t _i и t _f ), возникающий из-за суммы внешних моментов, действующих на твердое тело. (либо о точке G , либо о фиксированной точке O на твердом теле).

Если на твердое тело не действуют внешние моменты (относительно точки G или неподвижной точки O ), то

Таким образом, для твердого тела сохраняется угловой момент (между t _i и t _f ). Обратите внимание, что приведенное выше уравнение также применимо к случаю, когда момент инерции I непостоянен, например, когда тело деформируется (т.е. не является жестким).

Для общего трехмерного движения угловой момент твердого тела задается следующими общими скалярными уравнениями:

Где:

H _x — x -компонент углового момента твердого тела.

H _y — y -компонент углового момента твердого тела.

H _z — z -компонент углового момента твердого тела.

w _x , w _y , w _z — компоненты угловой скорости твердого тела относительно земли, разрешенные по локальным осям xyz (см. Рисунок ниже).Чтобы вычислить эти компоненты, необходимо сначала определить вектор угловой скорости твердого тела относительно глобальных осей XYZ, а затем разрешить этот вектор по направлениям x , y , z , чтобы найти компоненты w _x , w _y , w _z . Часто это делается с помощью тригонометрии.

I _x — момент инерции твердого тела относительно локальной оси x , проходящей через центр масс G (см. Рисунок ниже)

I _y — момент инерции твердого тела относительно локальной оси y , проходящей через центр масс G (см. Рисунок ниже)

I _z — момент инерции твердого тела относительно локальной оси z , проходящей через центр масс G (см. Рисунок ниже)

I _xy — произведение инерции ( xy ) твердого тела относительно осей xyz с началом в точке G

I _yz — произведение инерции ( yz ) твердого тела относительно осей xyz с началом в точке G

I _zx — произведение инерции ( zx ) твердого тела относительно осей xyz с началом в точке G

Момент инерции равен

Произведение инерционных условий выражается как

Обратите внимание, что мы можем сориентировать локальные оси xyz так, чтобы произведения инерции I _xy , I _yz , I _zx были равны нулю.В результате моменты инерции I _x , I _y , I _z становятся главными моментами инерции. Для каждого твердого тела существуют основные направления инерции. Если тело имеет две или три плоскости симметрии, главные направления инерции будут совмещены с этими плоскостями.

Если I _x , I _y , I _z — главные моменты инерции, уравнения (6) упрощаются, в результате чего:

Если твердое тело имеет фиксированную точку O , которая прикреплена к земле, уравнения (6) и (7) также будут применяться к точке O .Единственное отличие состоит в том, что (в уравнениях (6) и (7)) локальные оси xyz имеют начало в фиксированной точке O на твердом теле (вместо точки G ), как показано ниже. В результате, моменты инерции и произведение моментов инерции вычисляются относительно точки O .

Для твердого тела, испытывающего общее трехмерное движение, сумма моментов относительно центра масс G или неподвижной точки O равна скорости изменения углового момента (либо примерно центр масс G или неподвижная точка O ).Таким образом,

Обратите внимание, что моменты вычисляются с их составляющими, разрешенными по локальным осям xyz .

Из уравнения (8),

Проинтегрируем это уравнение от времени t _i до времени t _f , и мы получим

Термин слева определяется как внешний импульс, действующий на твердое тело (между t _i и t _f ), возникающий из-за суммы внешних моментов, действующих на твердое тело. .

Еще раз, это уравнение применимо для обоих случаев, когда локальные оси xyz имеют начало в точке G или фиксированной точке O на твердом теле.

Если на твердое тело не действуют внешние моменты (относительно точки G или неподвижной точки O ), то

Таким образом, для твердого тела сохраняется угловой момент (между t _i и t _f ).

В случае, когда мы хотим определить угловой момент твердого тела относительно произвольной точки, см. Задачу № 9 на странице задач импульса.

Вывод уравнений углового момента для твердого тела (необязательно)

Уравнения для плоского (двумерного) движения естественным образом следуют из уравнений для общего трехмерного движения, поэтому необходимо только вывести уравнения для трехмерного движения.

Чтобы вывести трехмерные уравнения для момента количества движения твердого тела, мы должны применить уравнение для момента количества движения элемента с малой массой в твердом теле, а затем просуммировать его по всему твердому телу.Проблема создается, как показано на рисунке ниже.

Обратите внимание, что для доказательства, которое следует за локальными осями xyz, берет свое начало в центре масс G твердого тела.

Для элемента с малой массой m _i в твердом теле мы определяем угловой момент относительно точки G как:

Где:

r _iG — вектор положения от точки G до местоположения м _i .Этот вектор отсчитывается относительно локальных осей xyz.

м _i — масса небольшого элемента произвольной массы в твердом теле. Этот элемент массы достаточно мал, чтобы его можно было рассматривать как частицу.

v _iG — вектор скорости этого элемента массы относительно точки G и разрешенный по локальным осям xyz

Дифференциальное уравнение (10) относительно времени:

Сейчас,

Следовательно, первый член в правой части уравнения (11) равен нулю.

А из уравнений общего движения твердого тела:

Где:

v _i — вектор скорости массы m _i относительно инерциальной системы отсчета (земля) и разрешенный по локальным осям xyz . Чтобы вычислить v _i , необходимо сначала определить v _i относительно глобальных осей XYZ, а затем разрешить этот вектор по локальным осям xyz .Часто это делается с помощью тригонометрии.

v _G — вектор скорости точки G относительно инерциальной системы отсчета (земля) и разрешенный вдоль местных осей xyz . Чтобы вычислить v _G , необходимо сначала определить v _G относительно глобальных осей XYZ, а затем разрешить этот вектор по локальным осям xyz . Часто это делается с помощью тригонометрии.

Дифференциальное уравнение (12) относительно времени:

Где:

a _i — вектор ускорения массы m _i относительно инерциальной системы отсчета (земля) и разрешенный по локальным осям xyz .Чтобы вычислить a _i , нужно сначала определить a _i относительно глобальных осей XYZ, а затем разрешить этот вектор по локальным осям xyz . Часто это делается с помощью тригонометрии.

a _G — вектор ускорения точки G относительно инерциальной системы отсчета (земля) и разрешенный по локальным осям xyz . Чтобы вычислить a _G , необходимо сначала определить a _G относительно глобальных осей XYZ, а затем разрешить этот вектор по локальным осям xyz .Часто это делается с помощью тригонометрии.

Подставляем уравнение (13) в уравнение (11), и получаем

По второму закону Ньютона,

где F _i — вектор (результирующей) силы, действующей на частицу m _i .

Уравнение (14) принимает вид

Суммируя по всем частицам m _i в твердом теле, мы имеем

Второй член справа равен нулю, потому что a _G постоянен при суммировании и

Чтобы понять, почему вышеприведенное уравнение верно, перейдите к центру масс.

Таким образом,

По определению, правая часть этого уравнения представляет собой сумму моментов внешних сил, действующих на твердое тело, относительно точки G .

Приведенное выше уравнение говорит нам, что скорость изменения момента количества движения твердого тела относительно точки G равна сумме моментов внешних сил, действующих на тело, относительно точки G . Это доказывает уравнение (8).

Теперь давайте снова посмотрим на уравнение (10):

Из уравнений общего движения твердого тела:

Осталось выполнить векторное умножение на векторное произведение в этом уравнении, а затем просуммировать H _iG по всему твердому телу, используя интегрирование.Сделав это, мы приходим к уравнениям (6) для углового момента относительно точки G . Полный вывод здесь не показан, поскольку это в основном математическое упражнение, подобное выводу уравнений Эйлера.

Теперь, если бы мы начали с самого начала и предположили фиксированную точку O на твердом теле вместо точки G в выводах, мы пришли бы к той же форме уравнений, что и (6) — (9 ). Как упоминалось ранее, единственное отличие состоит в том, что локальные оси xyz имеют начало в фиксированной точке O на твердом теле (вместо точки G ).Это означает, что моменты инерции и произведение моментов инерции вычисляются относительно точки O . Кроме того, сумма моментов будет взята около точки O вместо точки G .

Вернуться на страницу Dynamics

Вернуться на домашнюю страницу Real World Physics Problems

пожаловаться на это объявление

10.7 Второй закон вращения Ньютона — University Physics Volume 1

Учебные цели

К концу этого раздела вы сможете:

Рассчитайте крутящие моменты на вращающихся системах вокруг фиксированной оси, чтобы найти угловое ускорение
Объясните, как изменения момента инерции вращающейся системы влияют на угловое ускорение с фиксированным приложенным крутящим моментом.

В этом разделе мы собрали все части, изученные до сих пор в этой главе, для анализа динамики вращающихся твердых тел.Мы проанализировали движение с помощью кинематики и кинетической энергии вращения, но еще не связали эти идеи с силой и / или крутящим моментом. В этом разделе мы вводим вращательный эквивалент второго закона движения Ньютона и применяем его к твердым телам с фиксированной осью вращения.

Второй закон Ньютона для вращения

К настоящему времени мы нашли много аналогов переводным терминам, используемым в этом тексте, в том числе, совсем недавно, крутящий момент, вращательный аналог силы. Возникает вопрос: существует ли уравнение, аналогичное второму закону Ньютона, ΣF → = ma →, ΣF → = ma →, которое включает крутящий момент и вращательное движение? Чтобы исследовать это, мы начнем со второго закона Ньютона для отдельной частицы, вращающейся вокруг оси и совершающей круговое движение.Давайте приложим силу F → F → к точечной массе м , которая находится на расстоянии r от точки поворота (рис. 10.37). Частица вынуждена двигаться по круговой траектории с фиксированным радиусом, а сила касается круга. Мы применяем второй закон Ньютона для определения величины ускорения a = F / ma = F / m в направлении F → F →. Напомним, что величина тангенциального ускорения пропорциональна величине углового ускорения на a = rαa = rα.Подставляя это выражение во второй закон Ньютона, получаем

Фигура 10,37 Объект поддерживается горизонтальным столом без трения и прикрепляется к точке поворота шнуром, обеспечивающим центростремительную силу. Сила F → F → применяется к объекту перпендикулярно радиусу r , заставляя его ускоряться относительно точки поворота. Сила перпендикулярна r .

Умножьте обе части этого уравнения на r ,

Обратите внимание, что левая часть этого уравнения — это крутящий момент вокруг оси вращения, где r — плечо рычага, а F — сила, перпендикулярная r .Напомним, что момент инерции точечной частицы равен I = mr2I = mr2. Таким образом, крутящий момент, приложенный перпендикулярно к точечной массе на рисунке 10.37, составляет

Крутящий момент на частице равен моменту инерции относительно оси вращения, умноженному на угловое ускорение . Мы можем обобщить это уравнение на твердое тело, вращающееся вокруг фиксированной оси.

Второй закон Ньютона для вращения

Если на твердое тело вокруг фиксированной оси действует более одного крутящего момента, то сумма крутящих моментов равна моменту инерции, умноженному на угловое ускорение:

∑iτi = Iα.∑iτi = Iα.

10,25

Член IαIα является скалярной величиной и может быть положительным или отрицательным (против часовой стрелки или по часовой стрелке) в зависимости от знака чистого крутящего момента. Помните, что угловое ускорение против часовой стрелки положительно. Таким образом, если твердое тело вращается по часовой стрелке и испытывает положительный крутящий момент (против часовой стрелки), угловое ускорение будет положительным.

Уравнение 10.25 — это второй закон Ньютона для вращения, который говорит нам, как связать крутящий момент, момент инерции и кинематику вращения.Это называется уравнением вращательной динамики. С помощью этого уравнения мы можем решить целый класс задач, связанных с силой и вращением. Имеет смысл, что соотношение силы, необходимой для вращения тела, будет включать в себя момент инерции, поскольку именно эта величина говорит нам, насколько легко или сложно изменить вращательное движение объекта.

Вывод второго закона Ньютона для вращения в векторной форме

Как и раньше, когда мы нашли угловое ускорение, мы также можем найти вектор крутящего момента.Второй закон ΣF → = ma → ΣF → = ma → говорит нам о взаимосвязи между результирующей силой и тем, как изменить поступательное движение объекта. У нас есть векторный вращательный эквивалент этого уравнения, который можно найти с помощью уравнения 10.7 и рисунка 10.8. Уравнение 10.7 связывает угловое ускорение с векторами положения и тангенциального ускорения:

a → = α → × r → .a → = α → × r →.

Мы формируем векторное произведение этого уравнения с r → r → и используем тождество с перекрестным произведением (обратите внимание, что r → · α → = 0r → · α → = 0):

r → × a → = r → × (α → × r →) = α → (r → · r →) −r → (r → · α →) = α → (r → · r →) = α → r2 .r → × a → = r → × (α → × r →) = α → (r → · r →) −r → (r → · α →) = α → (r → · r →) = α → r2 .

Теперь образуем векторное произведение второго закона Ньютона с вектором положения r →, r →,

Σ (r → × F →) = r → × (ma →) = mr → × a → = mr2α → .Σ (r → × F →) = r → × (ma →) = mr → × a → = mr2α →.

Определяя первый член слева как сумму крутящих моментов, а mr2mr2 как момент инерции, мы приходим ко второму закону вращения Ньютона в векторной форме:

Στ → = Iα → .Στ → = Iα →.

10,26

Это уравнение в точности соответствует уравнению 10.25, но с крутящим моментом и угловым ускорением как векторами.Важным моментом является то, что вектор крутящего момента находится в том же направлении, что и угловое ускорение.

Применение уравнения динамики вращения

Прежде чем применять уравнение динамики вращения к некоторым повседневным ситуациям, давайте рассмотрим общую стратегию решения проблем для использования с этой категорией проблем.

Стратегия решения проблем

Вращательная динамика

Изучите ситуацию, чтобы определить, крутящий момент и масса участвуют во вращении.Нарисуйте тщательный набросок ситуации.
Определите интересующую систему.
Нарисуйте диаграмму свободного тела. То есть нарисуйте и обозначьте все внешние силы, действующие на интересующую систему.
Определите точку поворота. Если объект находится в равновесии, он должен быть в равновесии для всех возможных точек поворота — выберите ту, которая максимально упрощает вашу работу.
Примените ∑iτi = Iα∑iτi = Iα, вращательный эквивалент второго закона Ньютона, чтобы решить проблему. Необходимо соблюдать осторожность, чтобы использовать правильный момент инерции и учитывать крутящий момент относительно точки вращения.
Как всегда, проверьте решение, чтобы убедиться, что оно разумно.

Пример 10,16

Расчет влияния распределения массы на карусель

Представьте, что отец толкает карусель на игровой площадке на рис. 10.38. Он прилагает силу 250 Н к краю карусели массой 50,0 кг, радиус которой составляет 1,50 м. Вычислите угловое ускорение, возникающее (а), когда никого нет на карусели, и (б), когда ребенок весом 18,0 кг сидит на расстоянии 1,25 м от центра.Считайте саму карусель однородным диском с незначительным трением.

Фигура 10,38 Отец толкает карусель на детской площадке за край и перпендикулярно ее радиусу, чтобы добиться максимального крутящего момента.

Стратегия

Чистый крутящий момент задается непосредственно выражением ∑iτi = Iα∑iτi = Iα. Чтобы найти αα, мы должны сначала вычислить чистый крутящий момент ττ (который одинаков в обоих случаях) и момент инерции I (который равен больше во втором случае).

Решение

Момент инерции твердого диска относительно этой оси, показанный на рисунке 10.20, равен У нас M = 50,0 кг, M = 50,0 кг и R = 1,50 мR = 1,50 м, поэтому I = (0,500) (50,0 кг) (1,50 м) 2 = 56,25 кг-м2. I = (0,500) (50,0 кг) (1,50 м) 2 = 56,25 кг-м2. Чтобы найти чистый крутящий момент, отметим, что приложенная сила перпендикулярна радиусу, а трение незначительно, так что τ = rFsinθ = (1,50 м) (250,0 Н) = 375,0 Н-м. τ = rFsinθ = (1,50 м) (250,0 Н) = 375,0 Н-м. Теперь, после подстановки известных значений, мы обнаруживаем, что угловое ускорение равно α = τI = 375.0 Н-м 56,25 кг-м2 = 6,67 рад2. Α = τI = 375,0 Н-м 56,25 кг-м2 = 6,67 рад2.
Мы ожидаем, что угловое ускорение системы будет меньше в этой части, потому что момент инерции больше, когда ребенок находится на карусели. Чтобы найти полный момент инерции I , мы сначала находим момент инерции ребенка IcIc, аппроксимируя ребенка как точечную массу на расстоянии 1,25 м от оси. потом Ic = mR2 = (18,0 кг) (1,25 м) 2 = 28,13 кг-м2. Ic = mR2 = (18,0 кг) (1,25 м) 2 = 28,13 кг-м2. Суммарный момент инерции — это сумма моментов инерции карусели и ребенка (относительно одной оси): I = 28.13 кг-м2 + 56,25 кг-м2 = 84,38 кг-м2. I = 28,13 кг-м2 + 56,25 кг-м2 = 84,38 кг-м2. Подстановка известных значений в уравнение для α дает α = τI = 375,0 Н-м 84,38 кг-м2 = 4,44 рад2. α = τI = 375,0 Н-м 84,38 кг-м2 = 4,44 рад2.

Значение

Как и ожидалось, угловое ускорение меньше, когда ребенок находится на карусели, чем когда карусель пуста. Обнаруженные угловые ускорения довольно велики, отчасти из-за того, что трение считалось незначительным. Если, например, отец продолжал толкать перпендикулярно на 2.00 с, он дал бы карусели угловую скорость 13,3 рад / с, когда она пуста, и только 8,89 рад / с, когда на ней сидит ребенок. В оборотах в секунду эти угловые скорости составляют 2,12 об / с и 1,41 об / с соответственно. В первом случае отец разгонялся до 50 км / ч.

Проверьте свое понимание 10,7

Лопасти вентилятора реактивного двигателя имеют момент инерции 30,0 кг-м230,0 кг-м2. За 10 с они вращаются против часовой стрелки из состояния покоя до скорости вращения 20 об / с.(а) Какой крутящий момент необходимо приложить к лопастям для достижения этого углового ускорения? (b) Какой крутящий момент требуется для остановки лопастей вентилятора, вращающихся со скоростью 20 об / с, за 20 с?

Рычаги Рычаг — это твердое тело, которое может вращаться вокруг фиксированной точки, называемой точкой опоры.

Презентация на тему: «Рычаги Рычаг — это твердое тело, которое может вращаться вокруг фиксированной точки, называемой точкой опоры» — стенограмма презентации:

ins [data-ad-slot = «4502451947»] {display: none! important;}} @media (max-width: 800px) {# place_14> ins: not ([data-ad-slot = «4502451947»]) {display: none! important;}} @media (max-width: 800px) {# place_14 {width: 250px;}} @media (max-width: 500 пикселей) {# place_14 {width: 120px;}} ]]>

1 Рычаги Рычаг — это твердое тело, которое может вращаться вокруг фиксированной точки, называемой точкой опоры.

2 Момент силы — это вращающий эффект силы.
Моменты Момент силы — это вращающий эффект силы. Момент = Сила X Перпендикулярное расстояние до точки опоры Когда рычаг уравновешен, моменты по часовой стрелке равны моментам против часовой стрелки.

3 Расчеты на рычагах
40 см 20N X Найдите значение X, которое будет уравновешивать стержень счетчика.

4 Больше практики X 30 см 20N 15см 40N 100N 20см Найдите X в приведенном выше примере.

5 Равновесие Когда тело находится в состоянии покоя, говорят, что оно находится в равновесии.
Условия равновесия: Векторная сумма всех сил равна нулю Сумма моментов относительно любой точки равна нулю

6 Эксперимент для проверки законов равновесия
50 Пружинные весы Подставка для реторты

7 Метод Определите вес измерительной линейки с помощью пружинных весов.
Установите прибор, как показано, и отрегулируйте положение грузов до тех пор, пока измерительная линейка не окажется в горизонтальном положении и в равновесии. Обратите внимание на вес и показания пружинных весов. Отметьте расстояния всех грузов и пружинных противовесов от точки 0 см. Вычислите моменты по часовой стрелке и против часовой стрелки, а также силы, направленные вверх и вниз.

8 Результаты По часовой стрелке Против часовой стрелки Вес Н Расстояние м Момент Нм 2 0.1 0,2 16 0,15 2,4 1 3 0,8 0,45 0,9 0,5 0,6 1,2 1,8 Всего 4,8 Нм 4,8 Нм Восходящие силы = 11 Н Нисходящие силы = = 11 Н

q2-момент-силы-25 | LIDO

Решение:

Приложенная сила = 25 Н

\ расстояние бота от точки поворота =?

Момент силы = Сила \ раз \ расстояние до бота

2,5 = 25 \ раз \ расстояние бота

расстояние = 2,5 / 25 = 1/10 м = 10 см

«Альтон, добро пожаловать в видео с вопросами и ответами для Little Learning.Итак, перед нами стоит интересный вопрос. Момент силы 25 Нугента о смещении составляет 2 балла 5 Ньютон-метр. Итак, здесь дан момент силы, мы должны обозначить перпендикулярное расстояние силы от этой точки. Итак, мы должны сначала понять. Что мы подразумеваем под моментом? Конечно? У меня соус тоже нам представлен. Крутящий момент доктора Пола и, таким образом, поворачивает эффект силы. Итак, мы знаем, что Старк, или Тау, или момент силы равен силе, действующей на объект, умноженной на перпендикулярное расстояние.Итак, перпендикулярное расстояние справа от точки вращения. Итак, предположим, давайте посмотрим на диаграмму здесь. Итак, это ось вращения. Это будет расстояние по перпендикуляру. Итак, они говорят о том, что это перпендикулярное расстояние от оси вращения, верно? Итак, мы говорим об этом расстоянии. Хорошо, вернемся к формуле. Таким образом, перпендикулярное расстояние от оси Куки. Все посмотрите на картинку. Вот как это выглядит, как будто это ось вращения, только что дебетованная, и когда мы прикладываем здесь силу, умножение на перпендикулярное расстояние от оси дает нам момент силы.Теперь давайте подставим значения. Итак, что нам здесь дано? Итак, нам уже дан тау, уже дан нам и момент, конечно, дан как 2 балла 5 Ньютон-метр. Сделайте здесь акцент. Таким образом, телл вытесняется перпендикулярно расстоянию: единица силы — Ньютон, единица расстояния — метр. Следовательно. Единицей измерения тау будет Ньютон-метр. Таким образом, тау уже дан как 2 балла. 5 Ньютон-метр сила дана как 25 Ньютон, чтобы найти перпендикулярное расстояние. То есть перпендикулярное расстояние — вот что у нас есть для борьбы типа.Так что же нам делать? Мы подаем заявку на замену значений в. Формула выше, так что это формула ментальной Силы. Позвольте мне просто выделить это для вас. Итак, это формула, которую мы должны использовать здесь. Теперь давайте подставим значения в формулу работ. Таким образом, вместо приданого право 2,5 равно силе, равной 95 на определенное расстояние. Назовем его G. Мы этого не знаем. Они дали нам 2,5 на 25 равно D. Или 1 на 10 метр — это D. Переведем в сантиметр.