Момент силы как обозначается: Недопустимое название — Циклопедия — RC74 — интернет-магазин радиоуправляемых моделей

Содержание

Алгебраический момент силы относительно точки

Основные понятия статики

В статике твердого тела рассматриваются свойства сил, приложенных к твердому телу. В частности, изучается приведение сложных систем сил к более простому виду и устанавливаются условия равновесия различных систем сил, действующих на твердое тело или материальную точку.

Материальная точка – простейшая модель материального тела любой формы, размеры которого достаточно малы и которое можно принять за геометрическую точку, имеющую определенную массу.

Механической системой называется любая совокупность материальных точек, положение и движение которых между собой связаны.

Абсолютно твердым телом (или неизменяемой механической системой) называют механическую систему, расстояния между точками которой не изменяются при любых взаимодействиях.

Силой называют одну из векторных мер действия одного материального объекта на другой рассматриваемый объект. Сила кроме числового значения характеризуется точкой приложения и направлением действия. Она является

векторной величиной. Силу как величину векторную обозначают какой-либо буквой со знаком вектора, например или . Для выражения числового значения силы или ее модуля используется знак модуля от вектора, т.е. , или те же буквы, но без знака вектора, т. е. , .

Системой сил называют совокупность сил, действующих на рассматриваемый материальный объект.

Системой сил, эквивалентной нулю (или равновесной системой сил), называют такую систему сил, действие которой на твердое тело или материальную точку, находящиеся в покое или движущиеся по инерции, не приводит к изменению состояния покоя или движения по инерции этого тела или материальной точки.

Две системы сил и называются эквивалентными, если их действие по отдельности на одно и то же твердое тело или материальную точку одинаково при прочих равных условиях. Условие эквивалентности двух систем сил и выражают в форме:

~ ,

где и – число сил в системах.

Равнодействующей силой рассматриваемой системы сил называют силу, действие которой на твердое тело или материальную точку эквивалентно действию этой системы сил. Равнодействующая сила обозначается , условие ее эквивалентности рассматриваемой системе сил выражается в виде:

~ .

Отметим, что не каждая система сил имеет равнодействующую

Уравновешивающей силой заданной системы сил считается такая сила, добавление которой к заданной дает новую систему, эквивалентную нулю. Если является уравновешивающей силой системы сил , то, согласно определению, она удовлетворяет условию:

~0.

Момент силы

Алгебраический момент силы относительно точки

Алгебраическим моментом силы относительно точки называют произведение модуля силы на плечо силы относительно этой точки, взятое со знаком плюс или минус (рис. 1).

. (1)

Плечом силы относительно точки называют кратчайшее расстояние между этой точкой и линией действия силы, т.е. длину отрезка перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы .

Если сила стремится вращать тело вокруг моментной точки (точки, относительно которой вычисляют алгебраический момент силы) против часовой стрелки, то берем знак плюс, если по часовой стрелке – знак минус.

Алгебраический момент силы относительно точки равен нулю, если линия действия силы проходит через моментную точку. Сумма алгебраических моментов относительно точки двух равных по модулю, но противоположных по направлению сил, действующих вдоль одной прямой, равна нулю.

Узнать еще:

Момент силы | Вращательное движение

Итак, если мы будем действовать на тело с постоянной силой, приложенной к центру масс, оно будет поступательно ускоряться. Но если мы подействуем на какую-либо другую его точку, оно начнет вращаться. Именно эту ситуацию мы теперь и рассмотрим.

Представьте вращающуюся дверь.

Это вид сверху. На самом деле, такая конструкция обычно состоит из трех или четырех соединенных между собой дверей, но мы сейчас ограничимся двумя.

Итак, двери закреплены на центральном вале и могут свободно вращаться. С кинематикой такого движения мы уже знакомы, но что насчет динамики? Тут есть о чем поговорить.

Первая физическая величина, которая вводится для изучения динамики вращательного движения, называется моментом силы. Момент силы характеризует вращательную “мощь” той или иной силы. Это векторная величина. Обозначается обычно большой буквой M. Единица измерения – Н⋅м. Знак момента силы определяется направлением, в котором происходит вращение: если против часовой стрелки – он будет положительным, если по часовой стрелке – отрицательным.

Чтобы найти величину момента силы, нужно прежде всего понять, где находиться ось вращения. В нашем примере она проходит через центр масс, но это не значит, что так происходит всегда. Если жесткая фиксация будет находится в другой точке, вся система будет двигаться вокруг нее. Например, обычная дверь вращается вокруг одного из своих краев.

Допустим, разобрались мы с осью вращения. Что дальше? Как можно узнать величину момента силы?

Если момент силы характеризует вращающий потенциал той или иной силы, он, в первую очередь, зависит от величины этой самой силы. Чем больше будет внешнее воздействие, тем сильнее будет вращение.

Кроме того, многое зависит от точки, к которой будет приложена вращающая сила. Наверняка вы и сами замечали следующее: легкость, с которой вращается дверь, зависит от того, куда вы прикладывайте свою силу. Чем дальше вы находитесь от дверного косяка, тем проще вам заставить дверь повернуться. И наоборот: чем вы ближе – тем труднее это сделать.

В общем, модуль момента силы зависит также от расстояния между осью вращения и точкой приложения силы. Такое расстояние часто называют плечом силы. У этого термина есть и более строгое определение: плечо силы – это вектор, соединяющий ось вращения и линию, вдоль которой действует вызывающая вращение сила. Этот самый вектор обычно обозначается маленькой буквой l со стрелочкой наверху. Измеряется в метрах.

Подытожим все с помощью математики:

\boxed{M=Fl\sin\alpha}

Угол \alpha – это угол между вектором силы и вектором плеча силы. А для чего вообще здесь нужен синус этого угла? Разберемся с этим на конкретном примере.

Предположим, что сила, вращающая дверь вокруг ее центра, приложена под некоторым углом, скажем в 30 градусов.

Как вы понимаете, только часть этой силы, ее вертикальная составляющая, вызывает вращение. Этот компонент как раз и находится через синус 30 градусов.

А 30 градусов – это, помимо всего прочего, угол между вектором силы и вектором плеча этой силы.

Строго говоря, чтобы найти угол между векторами, нужно соединить их концы, поэтому вы и видите этот перенос на рисунке. Если предположить, что модуль силы \vec{F} составляет 20 ньютонов, а расстояние между линией ее действия и осью вращения равно 3 метрам, получим следующее значение момента силы:

M=Fl\sin\alpha

M=20\thickspaceН×3\thickspaceм×\sin30\degree

M=30\thickspaceН⋅м

Интересно, что бы вы сделали, если бы сила была направлена вот так:

У некоторых людей тут происходит сбой программы. Сначала они берут синус 45 градусов, пытаясь найти вертикальный компонент вызывающей вращение силы. Потом они вспоминают, что в формуле речь идет об угле между вектором силы и вектором плеча силы, а он ведь равен не 45, а 135 градусам.

Они начинают все пересчитывать и, может быть, даже громко возмущаться, если забыли, как пользоваться тригонометрической окружностью.

А ведь синусы смежных углов всегда равны… Ответ будет одним и тем же вне зависимости от выбранного пути.

Момент силы

Момент силы

«Кто овладел творениями Архимеда,

будет меньше удивляться открытиям

самых великих людей нашего времени»

Г.В. Лейбниц

В данной теме разговор пойдёт о моменте силы.

В прошлой теме говорилось о простых механизмах, которые служат для преобразования механического действия на тело, позволяя изменить точку приложения силы, ее модуль и направление. Выяснили, что рычагом является любое твердое тело, которое может поворачиваться относительно неподвижной опоры или оси.

Разделили рычаги на два вида — рычаг первого и рычаг второго рода. Рычагом первого рода называется рычаг, ось вращения которого расположена между точками приложения сил, а сами силы направлены в одну сторону. Рычагом второго рода называется рычаг, ось вращения которого расположена по одну сторону от точек приложения сил, а сами силы направлены противоположно друг другу. Расстояние от точки опоры до прямой, вдоль которой действует сила, называется плечом силы.

Вывели условие равновесия рычага, согласно которому, рычаг находится в равновесии при условии, что приложенные к нему силы обратно пропорциональны длинам их плеч.

Применим основное свойство пропорции для условия равновесия рычага. Тогда условие равновесия рычага примет вид:

Произведение модуля силы на ее плечо — это новая физическая величина, которая называется моментом силы (обозначается буквой М).

Измеряется момент силы в Ньютон-метрах (Н·м).

[M] = [Н·м]

Момент силы характеризует действие силы и показывает, что это действие зависит как от модуля силы, так и от ее плеча.

Сформулируем условие равновесия рычага через правило моментов: рычаг под действием двух создающих моменты сил находится в равновесии в том случае, если момент силы, вращающей рычаг по часовой стрелке, равен моменту силы, вращающей рычаг против часовой стрелки.

В рассмотренном в прошлой теме опыте силы, действующие на рычаг, были равны, соответственно, 8 Н и 4 Н, а их плечи составляли 2,5 и 5 делений рычага соответственно. Т.е. моменты этих сил равны при равновесии рычага.

А возможно ли равновесие рычага, когда на него действует более двух сил? Да, возможно. Рассмотрим рисунок.

На нем изображен рычаг и несколько сил, действующих на него. Чтобы такой рычаг находился в равновесии нам необходимо:

1. Найти сумму моментов всех сил, вращающих рычаг по часовой стрелке

Необходимо отметить, плечо силы F₅ — это не расстояние OC, а расстояние OB — кратчайшее по перпендикуляру к прямой CB.

2. Найти сумму моментов сил, вращающих рычаг против часовой стрелки.

3. Сравнить сумму моментов всех сил, вращающих рычаг по часовой стрелки и сумму моментов сил, вращающих рычаг против часовой стрелки.

И если эти суммы равны между собой, то рычаг будет находиться в равновесии.

Возникает вопрос: Почему не учли силу F₃? Если посмотреть на рисунок, то можно заметить, что плечо этой силы равно нулю. Значит и момент ее равен нулю, и она не влияет на равновесие рычага.

Правило моментов (или условие равновесия рычага) лежит в основе действия различного вида инструментов и устройств, применяемых как в технике, так и в быту там, где требуется получить выигрыш в силе.

Давайте рассмотрим некоторые из них.

Ножницы — рычаг первого рода, ось вращения которого проходит через винт, соединяющий их две половинки. В зависимости от назначения, устройство ножниц бывает различным.

Например, для резки бумаги применяются ножницы, длина лезвий которых сопоставима с длиной ручек, так как при резке бумаги нет необходимости прикладывать большую силу. Ножницы, предназначенные для резки металла, имеют более длинные, по сравнению с размерами лезвия, ручки, так как сила сопротивления металла достаточно большая. И для того чтобы ее уравновесить, необходимо увеличивать плечо действующей силы. А в кусачках — инструменте, предназначенном для «перекусывания» проволоки — разница между длиной режущей части и ручками еще больше.

Рычаги можно обнаружить и в педалях автомобиля, и в клавишах пианино, рукоятки тисков и рычаге сверлильного станка. Также на принципе рычага основано действие рычажных весов. Например, учебные весы или весы, стоящие в магазинах, действуют как равноплечий рычаг.

Множество рычагов можно найти в теле человека, животных, насекомых и птиц. Две кости, соединенные суставом и мышца, прикрепленная к этим костям, и представляют собой самый обычный рычаг.

Рычаги присутствуют даже в растениях. Для примера рассмотрим шалфей обыкновенный. Хоть он и называется «обыкновенным», но он не такой простой цветок.

По своей форме его цветки немного напоминают раскрытую пасть змеи. Из-под верхней «губы» даже высовывается «жало» — это две далеко вытянутые тычинки цветка. Внутри цветка на дне крохотной воронки светится капелька сладкого нектара. Этим нектаром шалфей приманивает шмеля, который и опыляет его. Как только насекомое залезает внутрь цветка за нектаром, из-под верхнего лепестка появляются две тычинки на длинных ножках и касаются спинки шмеля, обсыпая ее пыльцой. Потом шмель перелетает на другой цветок шалфея, залезает внутрь, и пыльца с его спинки попадает прямо на рыльце пестика, а цветку только это и нужно.

Где же у цветков шалфея рычаг? Оказывается, это тычинки с пыльцой. От оси у тычинок цветка отходят два плеча— длинное и короткое. На конце длинного, похожего на коромысло, плеча висит пыльцевой мешочек. А короткое плечо сплющено и закрывает вход в глубину цветка. Подтянется шмель своим хоботком к нектару и обязательно толкнет короткое плечо. А оно тотчас приведет в движение длинное плечо-коромысло. То в свою очередь ударяет по спине шмеля своими пыльниками — вот и сработал рычаг. А шмель летит дальше, касается рыльца пестика нового цветка и опыляет его.

Упражнения.

Задача 1. Определите, с какой силой натянута мышца бицепса при подъеме ядра массой 10 кг, если расстояние от центра ядра до локтя составляет 32 см, а от локтя до места крепления мышцы — 4 см?

Задача 2. На рисунке изображен рычаг, на котором имеются крючки, прикрепленные через одинаковые расстояния. Крючки пронумерованы от минус 3 до 3, причем ноль приходится на середину рычага. К некоторым крючкам прикреплено по нескольку грузов одинаковой массы. Имеется еще один такой же не подвешенный груз. К крючку с каким номером его нужно подвесить, чтобы рычаг находился в равновесии?

Основные выводы:

– Момент силы — это физическая величина, равная произведению модуля силы, вращающей тело, на ее плечо.

– Единицей измерения момента силы является Ньютон-метр.

[M] = [Н·м]

– Правило моментов: рычаг под действием двух создающих моменты сил находится в равновесии в том случае, если момент силы, вращающей рычаг по часовой стрелке, равен моменту силы, вращающей рычаг против часовой стрелки.

Как обозначается вращающий момент в физике. Вращающий момент

Момент силы (синонимы: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент ) — векторная физическая величина , равная векторному произведению радиус-вектора , проведённого от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело .

Понятия «вращающий» и «крутящий» моменты в общем случае не тождественны, так как в технике понятие «вращающий» момент рассматривается как внешнее усилие, прикладываемое к объекту, а «крутящий» — внутреннее усилие, возникающее в объекте под действием приложенных нагрузок (этим понятием оперируют в сопротивлении материалов).

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

✪ 7 кл — 39. Момент силы. Правило моментов

✪ Момент силы тяжести.Гантеля и рука

✪ Сила и масса

✪ Момент силы. Рычаги в природе, технике, быту | Физика 7 класс #44 | Инфоурок

✪ Зависимость углового ускорения от момента сил 1

Субтитры

Общие сведения

Специальные случаи

Формула момента рычага

Очень интересен особый случай, представляемый как определение момента силы в поле:

| M → | = | M → 1 | | F → | {\displaystyle \left|{\vec {M}}\right|=\left|{\vec {M}}_{1}\right|\left|{\vec {F}}\right|} , где: | M → 1 | {\displaystyle \left|{\vec {M}}_{1}\right|} — момент рычага, | F → | {\displaystyle \left|{\vec {F}}\right|} — величина действующей силы.

Проблема такого представления в том, что оно не дает направления момента силы, а только его величину. Если сила перпендикулярна вектору r → {\displaystyle {\vec {r}}} , момент рычага будет равен расстоянию до центра и момент силы будет максимален:

| T → | = | r → | | F → | {\displaystyle \left|{\vec {T}}\right|=\left|{\vec {r}}\right|\left|{\vec {F}}\right|}

Сила под углом

Если сила F → {\displaystyle {\vec {F}}} направлена под углом θ {\displaystyle \theta } к рычагу r, то M = r F sin ⁡ θ {\displaystyle M=rF\sin \theta } .

Статическое равновесие

Для того чтобы объект находился в равновесии, должна равняться нулю не только сумма всех сил, но и сумма всех моментов силы вокруг любой точки. Для двумерного случая с горизонтальными и вертикальными силами: сумма сил в двух измерениях ΣH=0, ΣV=0 и момент силы в третьем измерении ΣM=0.

Момент силы как функция от времени

M → = d L → d t {\displaystyle {\vec {M}}={\frac {d{\vec {L}}}{dt}}} ,

где L → {\displaystyle {\vec {L}}} — момент импульса.

Возьмём твердое тело. Движение твёрдого тела можно представить как движение конкретной точки и вращения вокруг неё.

Момент импульса относительно точки O твёрдого тела может быть описан через произведение момента инерции и угловой скорости относительно центра масс и линейного движения центра масс.

L o → = I c ω → + [ M (r o → − r c →) , v c → ] {\displaystyle {\vec {L_{o}}}=I_{c}\,{\vec {\omega }}+}

Будем рассматривать вращающиеся движения в системе координат Кёнига , так как описывать движение твёрдого тела в мировой системе координат гораздо сложнее.

Продифференцируем это выражение по времени. И если I {\displaystyle I} — постоянная величина во времени, то

M → = I d ω → d t = I α → {\displaystyle {\vec {M}}=I{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}=I{\vec {\alpha }}} ,

где α → {\displaystyle {\vec {\alpha }}} — угловое ускорение , измеряемое в радианах в секунду за секунду (рад/с 2). Пример: вращается однородный диск.

Если тензор инерции меняется со временем, то движение относительно центра масс описывается с помощью динамического уравнения Эйлера:

M c → = I c d ω → d t + [ w → , I c w → ] {\displaystyle {\vec {M_{c}}}=I_{c}{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}+[{\vec {w}},I_{c}{\vec {w}}]} .

В физике рассмотрение задач с вращающимися телами или системами, которые находятся в равновесии, осуществляется с использованием концепции «момент силы». В этой статье будет рассмотрена формула момента силы, а также ее использование для решения указанного типа задач.

в физике

Как было отмечено во введении, в данной статье пойдет речь о системах, которые могут вращаться либо вокруг оси, либо вокруг точки. Рассмотрим пример такой модели, изображенной на рисунке ниже.

Мы видим, что рычаг серого цвета закреплен на оси вращения. На конце рычага имеется черный кубик некоторой массы, на который действует сила (красная стрелка). Интуитивно понятно, что результатом воздействия этой силы будет вращение рычага вокруг оси против часовой стрелки.

Моментом силы называется величина в физике, которая равна векторному произведению радиуса, соединяющего ось вращения и точку приложения силы (зеленый вектор на рисунке), и самой внешней силе. То есть силы относительно оси записывается следующим образом:

Результатом этого произведения будет вектор M¯. Направление его определяют, исходя из знания векторов-множителей, то есть r¯ и F¯. Согласно определению векторного произведения, M¯ должен быть перпендикулярен плоскости, образованной векторами r¯ и F¯, и направлен в соответствии с правилом правой руки (если четыре пальца правой руки расположить вдоль первого умножаемого вектора в направлении к концу второго, то отставленный вверх большой палец укажет, куда направлен искомый вектор). На рисунке можно видеть, куда направлен вектор M¯ (синяя стрелка).

Скалярная форма записи M¯

На рисунке в предыдущем пункте сила (красная стрелка) действует на рычаг под углом 90 o . В общем же случае она может быть приложена под совершенно любым углом. Рассмотрим изображение ниже.

Здесь мы видим, что на рычаг L сила F уже действует под некоторым углом Φ. Для этой системы формула момента силы относительно точки (показана стрелкой) в скалярном виде примет форму:

M = L * F * sin(Φ)

Из выражения следует, что момент силы M будет тем больше, чем ближе направление действия силы F к углу 90 o по отношению к L. Наоборот, если F действует вдоль L, то sin(0) = 0, и сила не создает никакого момента (M = 0).

При рассмотрении момента силы в скалярной форме часто пользуются понятием «рычага силы». Эта величина представляет собой расстояние между осью (точкой вращения) и вектором F. Применяя это определение к рисунку выше, можно сказать, что d = L * sin(Φ) — это рычаг силы (равенство следует из определения тригонометрической функции «синус»). Через рычаг силы формулу для момента M можно переписать так:

Физический смысл величины M

Рассматриваемая физическая величина определяет способность внешней силы F оказывать вращательное воздействие на систему. Чтобы привести тело во вращательное движение, ему необходимо сообщить некоторый момент M.

Ярким примером этого процесса является открывание или закрывание двери в комнату. Взявшись за ручку, человек прикладывает усилие и поворачивает дверь на петлях. Каждый сможет это сделать. Если же попытаться открыть дверь, воздействуя на нее вблизи петель, то потребуется приложить большие усилия, чтобы сдвинуть ее с места.

Другим примером является откручивание гайки ключом. Чем короче будет этот ключ, тем труднее выполнить поставленную задачу.

Указанные особенности демонстрирует силы через плечо, которая была приведена в предыдущем пункте. Если M считать постоянной величиной, то чем меньше d, тем большую F следует приложить для создания заданного момента силы.

Несколько действующих сил в системе

Выше были рассмотрены случаи, когда на систему, способную к вращению, действует всего одна сила F, но как быть, когда таких сил несколько? Действительно, эта ситуация является более частой, поскольку на систему могут действовать силы различной природы (гравитационная, электрическая, трение, механическая и другие). Во всех этих случаях результирующий момент силы M¯ может быть получен с помощью векторной суммы всех моментов M i ¯, то есть:

M¯ = ∑ i (M i ¯), где i — номер силы F i

Из свойства аддитивности моментов следует важный вывод, который получил название теоремы Вариньона, названной так по фамилии математика конца XVII — начала XVIII века — француза Пьера Вариньона. Она гласит: «Сумма моментов всех сил, оказывающих воздействие на рассматриваемую систему, может быть представлена в виде момента одной силы, которая равна сумме всех остальных и приложена к некоторой точке». Математически теорему можно записать так:

∑ i (M i ¯) = M¯ = d * ∑ i (F i ¯)

Эта важная теорема часто используется на практике для решения задач на вращение и равновесие тел.

Совершает ли работу момент силы?

Анализируя приведенные формулы в скалярном или векторном виде, можно прийти к выводу, что величина M — это некоторая работа. Действительно, ее размерность равна Н*м, что в СИ соответствует джоулю (Дж). На самом деле момент силы — это не работа, а лишь величина, которая способна ее совершить. Чтобы это произошло, необходимо наличие кругового движения в системе и продолжительного во времени действия M. Поэтому формула работы момента силы записывается в следующем виде:

В этом выражении θ — это угол, на который было произведено вращение моментом силы M. В итоге единицу работы можно записать как Н*м*рад или же Дж*рад. Например, значение 60 Дж*рад говорит о том, что при повороте на 1 радиан (приблизительно 1/3 окружности) создающая момент M сила F совершила работу в 60 джоулей. Эту формулу часто используют при решении задач в системах, где действуют силы трения, что будет показано ниже.

Момент силы и момент импульса

Как было показано, воздействие на систему момента M приводит к появлению в ней вращательного движения. Последнее характеризуется величиной, которая получила название «момент импульса». Его можно вычислить, применяя формулу:

Здесь I — это момент инерции (величина, которая играет такую же роль при вращении, что и масса при линейном движении тела), ω — угловая скорость, она связана с линейной скоростью формулой ω = v/r.

Оба момента (импульса и силы) связаны друг с другом следующим выражением:

M = I * α, где α = dω / dt — угловое ускорение.

Приведем еще одну формулу, которая важна для решения задач на работу моментов сил. С помощью этой формулы можно вычислить кинетическую энергию вращающегося тела. Она выглядит так:

Равновесие нескольких тел

Первая задача связана с равновесием системы, в которой действуют несколько сил. На рисунке ниже приведена система, на которую действуют три силы. Необходимо рассчитать, какой массы предмет необходимо подвесить к этому рычагу и в какой точке это следует сделать, чтобы данная система находилась в равновесии.

Из условия задачи можно понять, что для ее решения следует воспользоваться теоремой Вариньона. На первую часть задачи можно ответить сразу, поскольку вес предмета, которые следует подвесить к рычагу, будет равен:

P = F 1 — F 2 + F 3 = 20 — 10 + 25 = 35 Н

Знаки здесь выбраны с учетом того, что сила, вращающая рычаг против часовой стрелки, создает отрицательный момент.

Положение точки d, куда следует подвесить этот вес, вычисляется по формуле:

M 1 — M 2 + M 3 = d * P = 7 * 20 — 5 * 10 + 3 * 25 = d * 35 => d = 165/35 = 4,714 м

Отметим, что с помощью формулы момента силы тяжести мы вычислили эквивалентную величину M той, которую создают три силы. Чтобы система находилась в равновесии, необходимо подвесить тело весом 35 Н в точке 4,714 м от оси с другой стороны рычага.

Задача с движущимся диском

Решение следующей задачи основано на использовании формулы момента силы трения и кинетической энергии тела вращения. Задача: дан диск радиуса r = 0,3 метра, который вращается со скоростью ω = 1 рад/с. Необходимо рассчитать, какое расстояние способен он пройти по поверхности, если коэффициент трения качения равен μ = 0,001.

Эту задачу легче всего решить, если воспользоваться законом сохранения энергии. Мы располагаем начальной кинетической энергией диска. Когда он начнет катиться, то вся эта энергия расходуется на нагрев поверхности за счет действия силы трения. Приравнивая обе величины, получим выражение:

I * ω 2 /2 = μ * N/r * r * θ

Первая часть формулы — это кинетическая энергия диска. Вторая часть — это работа момента силы трения F = μ * N/r, приложенной к краю диска (M=F * r).

Учитывая, что N = m * g и I = 1/2m * r 2 , вычисляем θ:

θ = m * r 2 * ω 2 /(4 * μ * m * g) = r 2 * ω 2 /(4 * μ *g) = 0,3 2 * 1 2 /(4 * 0,001 * 9,81) = 2,29358 рад

Поскольку 2pi радиан соответствуют длине 2pi * r, тогда получаем, что искомое расстояние, которое пройдет диск, равно:

s = θ * r = 2,29358 * 0,3 = 0,688 м или около 69 см

Отметим, что на данный результат масса диска никак не влияет.

Враща́тельное движе́ние — вид механического движения. При вращательном движении абсолютно твёрдого тела его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Центры всех окружностей лежат при этом на одной прямой, перпендикулярной к плоскостям окружностей и называемой осью вращения. Ось вращения может располагаться внутри тела и за его пределами. Ось вращения в данной системе отсчёта может быть как подвижной, так и неподвижной. Например, в системе отсчёта, связанной с Землёй, ось вращения ротора генератора на электростанции неподвижна.

Кинетические характеристики:

Вращение твердого тела, как целого характеризуется углом , измеряющегося в угловых градусах или радианах, угловой скоростью (измеряется в рад/с)и угловым ускорением(единица измерения — рад/с²).

При равномерном вращении (T оборотов в секунду):

Частота вращения — число оборотов тела в единицу времени.-

Период вращения — время одного полного оборота. Период вращения T и его частота связаны соотношением.

Линейная скорость точки, находящейся на расстоянии R от оси вращения

Угловая скорость вращения тела

Момент силы (синонимы: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент) — векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора (проведённого от оси вращения к точке приложения силы — по определению), на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.

Момент силы измеряется в ньютон-метрах. 1 Н·м — момент силы, который производит сила 1 Н на рычаг длиной 1 м. Сила приложена к концу рычага и направлена перпендикулярно ему.

Моме́нт и́мпульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение. Момент импульса замкнутой системы сохраняется

Зако́н сохране́ния моме́нта и́мпульса (закон сохранения углового момента) — один из фундаментальных законов сохранения. Математически выражается через векторную сумму всех моментов импульса относительно выбранной оси для замкнутой системы тел и остается постоянной, пока на систему не воздействуют внешние силы. В соответствии с этим момент импульса замкнутой системы в любой системе координат не изменяется со временем.

Закон сохранения момента импульса есть проявление изотропности пространства относительно поворота.

16.Уравнение динамики вращательного движения. Момент инерции.

Основное уравнение динамики вращательного движения материальной точки — угловое ускорение точки при ее вращении вокруг неподвижной оси пропорционально вращающему моменту и обратно пропорционально моменту инерции.

М = E*J или E = M/J

Сравнивая полученное выражение со вторым законом Ньютона с поступательным законом, видим, что момент инерции J является мерой инертности тела во вращательном движении. Как и масса величина аддитивная.

Момент инерции — скалярная (в общем случае — тензорная) физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения СИ: кг·м².Обозначение: I или J.

Различают несколько моментов инерции — в зависимости от многообразия, от которого отсчитывается расстояние точек.

Свойства момента инерции:

1.Момент инерции системы равен сумме момента инерции её частей.

2.Момент инерции тела является величиной, иманентно присущей этому телу.

Момент инерции твердого тела — это велина, характеризующая распределение массы в теле и являющаяся мерой инертности тела при вращательном движении.

Формула момента инерции:

Теорема Штейнера:

Момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр инерции, сложенной с величиной m*(R*R), где R — расстояние между осями.

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина Ja, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

Осевой момент инерции тела Ja является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

Центральный момент инерции (или момент инерции относительно точки O) — это величина

Которая равна произведению силы на ее плечо.

Момент силы вычисляют при помощи формулы:

где F — сила, l — плечо силы.

Плечо силы — это самое короткое расстояние от линии действия силы до оси вращения тела. На рисунке ниже изображено твердое тело, которое может вращаться вокруг оси. Ось вращения этого тела является перпендикулярной к плоскости рисунка и проходит через точку, которая обозначена как буква О. Пле-чом силы F t здесь оказывается расстояние l , от оси вращения до линии действия силы. Определяют его таким образом. Первым шагом проводят линию действия силы, далее из т. О, через которую проходит ось вращения тела, опускают на линию действия силы перпендикуляр. Длина этого перпендикуляра оказывается плечом данной силы.

Момент силы характеризует вращающее действие силы . Это действие зависит как от силы, так и от плеча. Чем больше плечо, тем меньшую силу необходимо приложить, чтобы получить желаемый результат, то есть один и тот же момент силы (см. рис. выше). Именно поэтому открыть дверь, толкая ее возле петель, намного сложнее, чем берясь за ручку, а гайку отвернуть намного легче длинным, чем коротким гаечным ключом.

За единицу момента силы в СИ принимается момент силы в 1 Н , плечо которой равно 1м — ньютон-метр (Н · м).

Правило моментов.

Твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси, находится в равновесии, если момент силы М 1 вращающей его по часовой стрелке, равняется моменту силы М 2 , которая вращает его против часовой стрелки:

Правило моментов есть следствие одной из теорем механики , которая была сформулирована французским ученым П. Вариньоном в 1687 г.

Пара сил.

Если на тело действуют 2 равные и противоположно направленные силы, которые не лежат на одной прямой, то такое тело не находится в равновесии, так как результирующий момент этих сил относительно любой оси не равняется нулю, так как обе силы имеют моменты, направленные в одну сторону. Две такие силы, одновременно действующие на тело, называют парой сил . Если тело закреплено на оси, то под действием пары сил оно будет вращаться. Если пара сил приложена «свободному телу, то оно будет вращаться вокруг оси. проходящей через центр тяжести тела, рисунке б .

Момент пары сил одинаков относительно любой оси, перпендикулярной к плоскости пары. Суммарный момент М пары всегда равен произведению одной из сил F на расстояние l между силами, которое называется плечом пары , независимо от того, на какие отрезки l , и разделяет положение оси плечо пары:

Момент нескольких сил, равнодействующая которых равна нулю, будет одинаковым относи-тельно всех осей, параллельных друг другу, поэтому действие всех этих сил на тело можно заме нить действием одной пары сил с тем же моментом.

Почти две тысячи лет просуществовало правило рычага, открытое Архимедом еще в третьем веке до нашей эры, пока в семнадцатом веке с легкой руки французского ученого Вариньона не получило более общую форму.

Правило момента сил

Было введено понятие момента сил. Момент силы — это физическая величина, равная произведению силы на ее плечо:

где M — момент силы,
F — сила,
l — плечо силы.

Из правила равновесия рычага напрямую вытекает правило моментов сил:

F1 / F2 = l2 / l1 или, по свойству пропорции F1 * l1= F2 * l2, то есть M1 = M2

В словесном выражении правило моментов сил звучит следующим образом: рычаг находится в равновесии под действием двух сил, если момент силы, вращающей его по часовой стрелке, равен моменту силы, вращающей его против часовой стрелки. Правило моментов сил справедливо для любого тела, закрепленного вокруг неподвижной оси. На практике момент силы находят следующим образом: по направлению действия силы проводят линию действия силы. Потом из точки, в которой находится ось вращения, проводят перпендикуляр до линии действия силы. Длина этого перпендикуляра будет равняться плечу силы. Умножив значение модуля силы на ее плечо, получаем значение момента силы относительно оси вращения. То есть, мы видим, что момент силы характеризует вращающее действие силы. Действие силы зависит и от самой силы и от ее плеча.

Применение правила моментов сил в различных ситуациях

Отсюда вытекает применение правила моментов сил в различных ситуациях. Например, если мы открываем дверь, то толкать ее мы будем в районе ручки, то есть, подальше от петель. Можно проделать элементарный опыт и убедиться, что толкать дверь тем легче, чем дальше мы прилагаем силу от оси вращения. Практический эксперимент в данном случае прямо подтверждается формулой. Так как, дабы моменты сил при разных плечах были равны, надо, чтобы большему плечу соответствовала меньшая сила и наоборот, меньшему плечу соответствовала большая. Чем ближе к оси вращения мы прилагаем силу, тем она должна быть больше. Чем дальше от оси мы воздействуем рычагом, вращая тело, тем меньшую силу нам необходимо будет приложить. Числовые значения легко находятся из формулы для правила моментов.

Именно исходя из правила моментов сил мы берем лом или длинную палку, если нам надо приподнять что-то тяжелое, и, подсунув под груз один конец, тянем лом возле другого конца. По этой же причине шурупы мы вворачиваем отверткой с длинной ручкой, а гайки закручиваем длинным гаечным ключом.

Момент силы. Рычаги в технике, быту и природе

Просмотр содержимого документа
«Момент силы. Рычаги в технике, быту и природе»

Момент силы. Рычаг в технике, быту и природе

Составитель: Бычкова Т.В., учитель

МБОУ СОШ №3 с.Хороль Приморский край

Повторение

Что представляет собой рычаг?
Что называют плечом силы?
Как найти плечо силы?
В чем состоит правило равновесия рычага?
Чем отличается рычаг 1-го рода от рычага 2-го рода?

Момент силы

Правило равновесия рычага

F1/F2 = l2/l1

Пользуясь свойством пропорции, запишем правило в таком виде:

F1l1 = F2l2

Произведение модуля силы, вращающей тело, на ее плечо называется моментом силы ; он обозначается буквой M

M = Fl

Рычаг находится в равновесии под действием двух сил, если момент силы, вращающей его по часовой стрелке, равен моменту силы, вращающей его против часовой стрелки

Это правило называют правилом моментов

M1= M2

За единицу момента силы принимается момент силы в 1Н , плечо которой равно 1м.

Эта единица называется ньютон-метр(Нм )

Рычаги в технике, быту и природе

Правило равновесия рычага лежит в основе действия различного рода инструментов и устройств, применяемых в технике и быту там, где требуется выигрыш в силе или в пути.

Выигрыш в силе мы имеем при работе с ножницами.

Ножницы – это рычаг, ось вращения которого проходит через винт, соединяющий обе половинки ножниц.

Действующей силой F1 является мускульная сила руки человека, сжимающего ножницы. Противодействующей силой F2 – сила сопротивления того материала, который режут.

Рычаги различного вида имеются у многих машин и инструментов

ручка швейной машины

педали или ручной тормоз

велосипеда

педали автомобиля

клавиши фортепиано

на принципе рычага основано действие и рычажных весов

Рычаги встречаются также в разных частях тела животных и человека.

Это, например, конечности, челюсти.

И еще немного примеров

Закрепление

Выполните письменно упражнение 32 стр.180

Домашнее задание

§ 59,60
Упр. 576,577,578 из «Сборник задач по физике 7-9 классы» А.В. Перышкин

Литература и ресурсы

Учебник «Физика 7 класс» А.В. Перышкин
Интернет-ресурсы
«Сборник задач по физике 7-9 классы» А.В. Перышкин

Калькулятор Крутящий момент | Преобразование единиц крутящего момента

Крутящий момент, момент силы — направленность сил на осуществление поворота объекта вокруг оси или точки опоры. В математике крутящий момент определяется как векторное производное расстояния и силы, которой свойственно производить вращение. Проще говоря, крутящий момент — это мера силы вращения объекта, такого как маховик или болт. Как правило, символ — греческая буква Тау (Т) или иногда обозначается буквой «М», от слова «момент». Единицей СИ для крутящего момента является ньютон-метр (Н•м). Единицы фунт-сила-фут, фунт-сила-дюйм и унция-сила-фут также используются для крутящего момента. Для всех этих величин слово «сила» часто выпадает, к примеру, фунт-сила-дюйм сокращается до «фунт-дюйм».

Конвертер крутящего момента

Переводим из

Переводим в

Основные единицы
Килоньютон на метр	кН·м
Ньютон на метр	Н·м
Фунт-Сила-Дюйм	lbf∙in
Другие единицы
Дина-сантиметр	дин·см
Дина-Метр	дин·м
Дина-Миллиметр	дин·мм
Грамм-Сила-Сантиметр	гс·см
Грамм-Сила-Метр	гс·м
Грамм-Сила-Миллиметр	гс·мм
Килограмм-Сила-Сантиметр	кгс∙см
Килограмм-Сила-Метр	кгс∙м
Килограмм-Сила-Миллиметр	кгс∙мм
Ньютон сантиметр	Н∙cм
Ньютон-Миллиметр	Н∙мм
Унция-Сила-Дюйм	ozf∙in

Основные единицы
Килоньютон на метр	кН·м
Ньютон на метр	Н·м
Фунт-Сила-Дюйм	lbf∙in
Другие единицы
Дина-сантиметр	дин·см
Дина-Метр	дин·м
Дина-Миллиметр	дин·мм
Грамм-Сила-Сантиметр	гс·см
Грамм-Сила-Метр	гс·м
Грамм-Сила-Миллиметр	гс·мм
Килограмм-Сила-Сантиметр	кгс∙см
Килограмм-Сила-Метр	кгс∙м
Килограмм-Сила-Миллиметр	кгс∙мм
Ньютон сантиметр	Н∙cм
Ньютон-Миллиметр	Н∙мм
Унция-Сила-Дюйм	ozf∙in

Результат конвертации:

Единица измерения момента затяжки

Немного теории для полного понимания момента затяжки резьбовых соединений.

Момент силы, приложенный к гаечному ключу.

Момент силы (он же: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент) — векторная физическая величина, равная произведению радиус-вектора, проведенного от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.

Но понятия «вращающий» и «крутящий» моменты в общем случае не тождественны, т.к в технике понятие «вращающий» момент рассматривается как внешнее усилие, прикладываемое к объекту, а «крутящий» — внутреннее усилие, возникающее в объекте под действием приложенных нагрузок (этим понятием оперируют в сопротивлении материалов).

В физике момент силы можно понимать как «вращающая сила». В системе СИ единицами измерения для момента силы является ньютон-метр, Символ момента силы M . Момент силы иногда называют моментом пары сил, это понятие возникло в трудах Архимеда над рычагами. Сила, приложенная к рычагу, умноженная на расстояние до оси вращения рычага, есть момент силы. Например, сила в 3 ньютона, приложенная к рычагу на расстоянии 2 метров от его оси вращения, это то же самое, что сила в 1 ньютон, приложенная к рычагу на расстоянии 6 метров до оси вращения. Более точно, момент силы частицы определяется как векторное произведение:

где F — сила, действующая на частицу, а r — радиус-вектор частицы.

Момент силы измеряется в ньютон-метрах. 1 Н•м — момент силы, который производит сила 1 Н на рычаг длиной 1 м. Сила приложена к концу рычага и направлена перпендикулярно ему.

Посчитать: – кликни на любое число
Определения величин: наведи на любую величину

Ньютон (Н, N) — Newton.

Производная единица системы СИ, имеющая специальное название.

1 ньютон равен силе, сообщающей телу массой 1 кг. ускорение 1 м/с 2 в направлении ее действия.

Названа в честь Исаака Ньютона (1643-1727)- английского физика и математика, создавшего теоретические основы механики и астрономии и открывшего закон всемирного тяготения.

Дина (дин, dyn) — dyne.

Название происходит от греческого dýnamis — сила.

Дина — Основная единица давления системы СГС, которую в настоящее время вытеснила система СИ.

Дина равная силе, которая массе в 1 грамм сообщает ускорение 1 см/с 2 и , соответственно, соотношение между диной и ньютоном (единицей силы в Международной системе единиц): 1 Дина = 0,00001 Ньютонов (точно).

Килограмм-сила (кгс или кГ, kgf или kG), kilogram-force

Единица силы системы единиц МКГСС.

Равен силе, сообщающей телу массой один килограмм, ускорение 9,80665 м/с 2 (нормальное ускорение свободного падения, принятое 3-й Генеральной конференцией по мерам и весам, 1901).

1 кгс = 9,80665 ньютонов (точно).

В ряде европейских государств для килограмм-силы официально принято название килопонд (обозначается kp).

Фунт силы (lbf, иногда Lb), pound-force.

Британская единица силы.

Масса фунта-силы равна весу одного фунта.

Ускорение свободного падения в британской системе мер было равно 32,1740 футов в секунду за секунду, а после принятия международного значения нормального ускорения свободного падения (1901) равного 9,80665 м/c 2 , преобразовалось в 32,1740485564304 футов в секунду в секунду.

Cейчас 1 фунт силы равен 4,4482216152605 ньютонов (точно) или 0,45359237 килограмм силы (точно).

kip (килофунт силы)

Единица силы, распространенная в США с 20-го века по настоящее время и используется в основном архитекторами и инженерами. Образовано от слияния ’kilo’ + ’pound’.

1 kip равен 1000 фунтов силы или 4448,2216152605 ньютонов (точно).

Грамм-сила, pond, понд (гс или Г, p, pond, G) pond, gramm — force.

Грамм-сила — дольная единица силы в системе единиц МКГСС .

В ряде стран эту меру силы называют pond (русское ’понд’ почти никогда не используется).

1 грамм силы равен 0,001 килограмм-силы (точно) или 0,00980665 ньютонов.

Также может быть определен как сила, сообщающая массе 1 грамм ускорение, равное 980,665 см/с 2 .

Немного теории для полного понимания момента затяжки резьбовых соединений.

Момент силы, приложенный к гаечному ключу.

где F — сила, действующая на частицу, а r — радиус-вектор частицы.

Посчитать: – кликни на любое число
Определения величин: наведи на любую величину

Ньютон (Н, N) — Newton.

Производная единица системы СИ, имеющая специальное название.

1 ньютон равен силе, сообщающей телу массой 1 кг. ускорение 1 м/с 2 в направлении ее действия.

Дина (дин, dyn) — dyne.

Название происходит от греческого dýnamis — сила.

Дина — Основная единица давления системы СГС, которую в настоящее время вытеснила система СИ.

Килограмм-сила (кгс или кГ, kgf или kG), kilogram-force

Единица силы системы единиц МКГСС.

1 кгс = 9,80665 ньютонов (точно).

В ряде европейских государств для килограмм-силы официально принято название килопонд (обозначается kp).

Фунт силы (lbf, иногда Lb), pound-force.

Британская единица силы.

Масса фунта-силы равна весу одного фунта.

Cейчас 1 фунт силы равен 4,4482216152605 ньютонов (точно) или 0,45359237 килограмм силы (точно).

kip (килофунт силы)

1 kip равен 1000 фунтов силы или 4448,2216152605 ньютонов (точно).

Грамм-сила, pond, понд (гс или Г, p, pond, G) pond, gramm — force.

Грамм-сила — дольная единица силы в системе единиц МКГСС .

В ряде стран эту меру силы называют pond (русское ’понд’ почти никогда не используется).

1 грамм силы равен 0,001 килограмм-силы (точно) или 0,00980665 ньютонов.

Также может быть определен как сила, сообщающая массе 1 грамм ускорение, равное 980,665 см/с 2 .

Единицы измерения момента затяжки.

При измерении момента затяжки используют следующие еденицы:

Система СИ : [N·m] Ньютон·метр

100 [cN·m] = 1 [N·m] = 0.001 [kN·m]

Метрическая система: [kgf·m] килограмм-сила·метр

1000 [gf·cm] = 1 [kgf·cm] = 0.01 [kgf·m]

Американская система: [lbf·ft] фунт-сила·фут

16 [ozf·in] = 1 [lbf·in] = 0.0833 [lbf·ft]

Воспользуйтесь конвертером для перевода единиц измерений в разные системы.

Введите число, выберите единицу измерения и нажмите кнопку «посчитать»:

Workout 4 Solutions — CSEC PHYSICS

b) Сформулируйте принцип моментов

Принцип моментов гласит, что для равновесия сумма сил в направлении против часовой стрелки равна сумме сил в направлении по часовой стрелке

c) Велосипедист подвешивает свой велосипед так, чтобы заднее колесо соприкасалось с земля и ручка прикреплена к легкой веревке, как показано на рисунке ниже. Вся сборка находится в равновесии.

i) Обозначьте стрелками на рисунке силы, действующие на велосипед.

T- натяжение струны

W — вес велосипеда; вес всегда действует в центре тяжести.

R — это сила реакции колеса на землю.

[обратите внимание, что эта письменная часть ответа предназначена только для ясности и не является необходимой частью ответа]

ii) Сформулируйте два уравнения, уравнивающих эти силы

Используйте две вещи, которые верны, если тело находится в равновесии …

T + R = W i) сумма сил в одном направлении = сумма сил в противоположном направлении

W x 0,8 = T x 1,75 ii) должен применяться принцип моментов. Здесь взяты моменты о заднем колесе

iii) Велосипед имеет массу 20 кг.Используйте результат, полученный в Части c ii), чтобы определить натяжение струны.
[Ускорение свободного падения, g = 10 мс ^-2]

W = мг
W = 20 кг x 10 мс ^-2

W = 200 Н

Используйте значение W во втором уравнении

200 x 0,8 = T x 1,75
160 = T x 1.75

T = 160 / 1,75

T = 91,4 N

2. Бумага Wheelbarrow 2008 2
a) i) Нарисуйте диаграмму, иллюстрирующую действие множителя силы рычаг

подойдет простая диаграмма лома, показывающая действие и расположение усилия и нагрузки, а также указывающая на шарнир

ii) Объясните действие рычага умножителя силы

Умножитель силы использует меньшее усилие для перегрузки большая сила.Расстояние, пройденное усилием, намного больше, чем расстояние, пройденное грузом.

б) На рисунке ниже показана тачка и камни общей массой 43 кг. Тачка находится в равновесии с двумя из трех сил. действующий на него изображен на рисунке.

i) определить характер и точку действия третьей силы, действующей на тачку.
Напишите уравнение, показывающее соотношение между ТРЕМЯ силами.

Первая действующая сила — это сила реакции R от земли.Он действует в том месте, где колесо касается земли.

Уравнение, связывающее три силы: R + F = W

Это лучшее уравнение для использования, поскольку оно включает все три силы. Если бы вы использовали уравнение для принципа моментов и взяли моменты относительно колеса, это исключило бы силу R из уравнения и не удовлетворило бы вопрос.

ii) Рассчитайте

a) вес, W

, используя W = mg

W = 43 x 10 = 430 N

b) значение приложенной силы, F
принимая моменты относительно центра колеса

сумма моментов по часовой стрелке = сумма моментов против часовой стрелки
W x 0.6 = F x 1,5

430 x 0,6 = F x 1,5

258 = F x 1,5

F = 258 / 1,5 = 172 Н

[Ускорение свободного падения, g = 10 мс ^-2]

Карта механики — момент об оси

Петля на двери, такая как показанная выше, допускает вращение только вдоль оси петли. Поскольку это соответствует моментам вдоль оси шарнира, может быть полезно специально рассчитать момент силы, действующей вокруг оси шарнира.Изображение из общественного достояния, автор не указан.

Иногда полезно иметь возможность вычислить момент силы, действующей вокруг определенной оси, которая имеет отношение к проблеме. Примером может служить сила на двери хранилища на изображении справа. Если мы возьмем момент относительно точки (скажем, одной из петель на двери), мы можем обнаружить, что вектор момента не совпадает с осью этой петли. В этом случае компонент вектора момента, который совпадает с осью шарнира, вызовет вращение, в то время как компонент вектора момента, который не совпадает с осью шарнира, вызовет моменты реакции в шарнире.Если нас интересует только вращение двери, мы захотим найти момент, который сила действует именно вокруг оси петель.

Расчет момента относительно оси с помощью точечного произведения:

Чтобы найти момент силы относительно определенной оси, мы находим момент, который сила действует вокруг некоторой точки на этой оси, а затем находим компонент вектора момента, который совпадает с интересующей нас осью.

Чтобы сделать это математически, мы используем перекрестное произведение для вычисления момента силы относительно любой точки вдоль оси, а затем берем скалярное произведение единичного вектора вдоль оси и вектора момента, который мы только что вычислили.

Момент силы вокруг оси — это скалярное произведение вектора u и перекрестного произведения r и F

\ [M = \ vec {u} \ cdot \ left (\ vec { r} \; \ times \ vec {F} \ right) \]

Единичный вектор u имеет величину, равную единице, и будет указывать в направлении интересующей нас оси. Ваш окончательный ответ от этой операции будет скалярным значением (имеющим величину, но без направления).Это величина момента вокруг данной оси, направление задается единичным вектором и .

Второе условие равновесия

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

Укажите второе условие, необходимое для достижения равновесия.
Объясните крутящий момент и факторы, от которых он зависит.
Опишите роль крутящего момента в механике вращения.

Крутящий момент

Второе условие, необходимое для достижения равновесия, включает недопущение ускоренного вращения (поддержание постоянной угловой скорости. Вращающееся тело или система могут находиться в равновесии, если скорость их вращения постоянна и не изменяется под действием действующих на нее сил. Чтобы понять, какие факторы влияют на вращения, давайте подумаем, что происходит, когда вы открываете обычную дверь, вращая ее на петлях.

Несколько знакомых факторов определяют, насколько эффективно вы открываете дверь.См. Рисунок 1. Прежде всего, чем больше сила, тем эффективнее она открывает дверь — очевидно, чем сильнее вы толкаете, тем быстрее открывается дверь. Кроме того, решающее значение имеет момент, когда вы нажимаете. Если приложить силу слишком близко к петлям, дверь откроется медленно, если вообще откроется. Большинство людей смущались, совершая эту ошибку и натыкаясь на дверь, когда она открывалась не так быстро, как ожидалось. Наконец, также важно направление, в котором вы толкаете. Наиболее эффективное направление — перпендикулярно двери — мы толкаем в этом направлении почти инстинктивно.

Рис. 1. Крутящий момент — это сила поворота или скручивания, показанная здесь для вращения двери на петлях (если смотреть сверху). Крутящий момент имеет как величину, так и направление. (a) Эта сила создает крутящий момент против часовой стрелки, что означает, что дверь будет вращаться против часовой стрелки из-за F . Обратите внимание, что r _⊥ — это перпендикулярное расстояние оси поворота от линии действия силы. (b) Меньший крутящий момент против часовой стрелки создается меньшей силой F ‘, действующей на том же расстоянии от шарниров (точка поворота).(c) Та же сила, что и в (a), создает меньший крутящий момент против часовой стрелки при приложении на меньшем расстоянии от шарниров. (d) Та же сила, что и в (a), но действующая в противоположном направлении, создает крутящий момент по часовой стрелке. (e) Меньший крутящий момент против часовой стрелки создается силой той же величины, действующей в той же точке, но в другом направлении. Здесь θ меньше 90 °. (f) Крутящий момент здесь равен нулю, поскольку сила просто тянет за петли, не производя вращения. В этом случае θ = 0º.

Величина, направление и точка приложения силы включены в определение физической величины, называемой крутящим моментом. Крутящий момент — вращательный эквивалент силы. Это мера эффективности силы в изменении или ускорении вращения (изменение угловой скорости в течение определенного периода времени). В форме уравнения величина крутящего момента определена равной

[латекс] \ tau = rF \ sin \ theta \\ [/ латекс]

, где τ (греческая буква тау) — символ крутящего момента, r — расстояние от точки поворота до точки приложения силы, F — величина силы, а θ — угол между силой и вектором, направленным от точки приложения к точке поворота, как показано на рисунках 1 и 2.Альтернативное выражение для крутящего момента дано в терминах перпендикулярного плеча рычага r _⊥, как показано на Рисунке 1 и Рисунке 2, который определяется как

r _⊥ = r sin θ

, так что

τ = r _⊥ F .

Рис. 2. Сила, приложенная к объекту, может создавать крутящий момент, который зависит от положения точки поворота. (a) Три фактора r, F и θ для точки поворота A на теле показаны здесь — r — это расстояние от выбранной точки поворота до точки, в которой применяется сила F , и θ — угол между F и вектором, направленным от точки приложения к точке поворота.Если объект может вращаться вокруг точки A, он будет вращаться против часовой стрелки. Это означает, что крутящий момент направлен против часовой стрелки относительно оси поворота A. (b) В этом случае точка B является точкой поворота. Крутящий момент от приложенной силы вызовет вращение по часовой стрелке вокруг точки B, так что это будет крутящий момент по часовой стрелке относительно B.

Перпендикулярное плечо рычага r _⊥ — это кратчайшее расстояние от точки поворота до линии, вдоль которой действует F; он показан пунктирной линией на рисунках 1 и 2.Обратите внимание, что отрезок линии, определяющий расстояние r _⊥, перпендикулярен F, как следует из его названия. Иногда легче найти или визуализировать r _⊥, чем найти одновременно r и θ . В таких случаях может быть удобнее использовать для крутящего момента τ = r _⊥ F , чем τ = rF sin θ , но оба значения одинаково допустимы.

Единица измерения крутящего момента в системе СИ — это ньютон на метр, обычно записывается как Н · м.Например, если вы толкаете перпендикулярно двери с силой 40 Н на расстоянии 0,800 м от петель, вы прикладываете крутящий момент 32 Н · м (0,800 м × 40 Н × sin 90º) относительно петель. Если уменьшить усилие до 20 Н, крутящий момент уменьшится до 16 Н · м и так далее.

Крутящий момент всегда рассчитывается относительно некоторой выбранной точки поворота. При той же приложенной силе другой выбор местоположения оси даст другое значение крутящего момента, поскольку и r , и θ зависят от местоположения оси.Любая точка в любом объекте может быть выбрана для расчета крутящего момента относительно этой точки. Объект может не поворачиваться относительно выбранной «точки поворота».

Обратите внимание, что для вращения в плоскости крутящий момент имеет два возможных направления. Крутящий момент задается либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки относительно выбранной точки поворота, как показано для точек B и A, соответственно, на рисунке 2. Если объект может вращаться вокруг точки A, он будет вращаться против часовой стрелки, что означает, что крутящий момент силы равен показано против часовой стрелки относительно A.Но если объект может вращаться вокруг точки B, он будет вращаться по часовой стрелке, что означает, что крутящий момент для показанной силы направлен по часовой стрелке относительно B. Кроме того, величина крутящего момента больше, когда плечо рычага длиннее.

Теперь, , второе условие, необходимое для достижения равновесия , состоит в том, что чистый внешний крутящий момент в системе должен быть равен нулю . Внешний крутящий момент создается внешней силой. Вы можете выбрать точку, вокруг которой рассчитывается крутящий момент.Точка может быть физической точкой поворота системы или любой другой точкой в пространстве, но это должна быть одна и та же точка для всех крутящих моментов. Если второе условие (чистый внешний крутящий момент в системе равен нулю) выполняется для одного выбора точки поворота, оно также будет выполняться для любого другого выбора точки поворота в интересующей системе или вне ее. (Это верно только в инерциальной системе отсчета.) Второе условие, необходимое для достижения равновесия, выражается в форме уравнения как

нетто τ = 0

, где нетто означает всего.Моменты, которые находятся в противоположных направлениях, имеют противоположные знаки. Обычным условием является называть крутящий момент против часовой стрелки (ccw) положительным, а крутящий момент по часовой стрелке (cw) отрицательным. Когда двое детей балансируют на качелях, как показано на рисунке 3, они удовлетворяют двум условиям равновесия. У большинства людей есть прекрасная интуиция относительно качелей, зная, что более легкий ребенок должен сидеть дальше от оси, а более тяжелый ребенок может удерживать более легкую от земли на неопределенное время.

Рисунок 3.Двое детей, балансирующих на качелях, удовлетворяют обоим условиям равновесия. Более легкий ребенок садится дальше от оси, чтобы создать крутящий момент, равный по величине крутящему моменту более тяжелого ребенка.

Пример 1. Она увидела крутящие моменты на качелях

Двое детей, показанные на рисунке 3, балансируют на качелях с незначительной массой. (Это предположение сделано для упрощения примера — последуют более сложные примеры.) Первый ребенок имеет массу 26,0 кг и сидит на расстоянии 1,60 м от опоры. (A) Если второй ребенок имеет массу 32.0 кг, как далеко она от оси? (b) Что такое F _p, поддерживающая сила, оказываемая шарниром?

Стратегия

Должны быть выполнены оба условия равновесия. В части (а) нас спрашивают о расстоянии; таким образом, необходимо использовать второе условие (относительно крутящих моментов), поскольку первое (касающееся только сил) не содержит в себе расстояний. Чтобы применить второе условие равновесия, мы сначала идентифицируем интересующую систему как качели плюс два ребенка.Мы принимаем опорную ось за точку, относительно которой рассчитываются крутящие моменты. Затем мы определяем все внешние силы, действующие на систему.

Решение (а)

Три внешние силы, действующие на систему, — это вес двух детей и поддерживающая сила оси. Давайте рассмотрим крутящий момент, создаваемый каждым из них. Крутящий момент определен равным

τ = rF sin θ

Здесь θ = 90º, так что sin θ = 1 для всех трех сил.Это означает, что r _⊥ = r для всех трех. Крутящие моменты, создаваемые этими тремя силами, во-первых,

τ ₁ = r ₁ w ₁

секунды,

τ ₂ = — r ₂ w ₂

и третий,

[латекс] \ begin {array} {lll} {\ tau} _ {\ text {p}} & = & {r} _ {\ text {p}} {F} _ {\ text {p}} \ \ & = & 0 \ cdot {F} _ {\ text {p}} \\ & = & 0.\ end {array} \\ [/ latex]

Обратите внимание, что знак минус был вставлен во второе уравнение, потому что этот крутящий момент направлен по часовой стрелке и, следовательно, является отрицательным по соглашению. Поскольку F _p действует непосредственно на точку поворота, расстояние r _p равно нулю. Сила, действующая на шарнир, не может вызвать вращения, так же как нажатие непосредственно на петли двери не приведет к ее вращению. Теперь второе условие равновесия состоит в том, что сумма крутящих моментов на обоих дочерних элементах равна нулю.Следовательно,

τ ₂ = — τ ₁,

или

r ₂ w ₂ = r ₁ w ₁.

Вес — это масса, умноженная на ускорение свободного падения. Вводя мг для w , получаем

r ₂ m ₂ g = r ₁ m ₁ g .

Решить это для неизвестного r ₂ :

[латекс] {r} _ {2} = {r} _ {1} \ frac {{m} _ {1}} {{m} _ {2}} \\ [/ latex]

Величины в правой части уравнения известны; таким образом, r ₂ равно

[латекс] {r} _ {2} = \ left (\ text {1,60 м} \ right) \ frac {\ text {26,0 кг}} {\ text {32,0 кг}} = \ text {1,30 м} \ \ [/ латекс]

Как и ожидалось, более тяжелый ребенок должен сидеть ближе к оси (1,30 м против 1,60 м), чтобы сбалансировать качели.

Решение (b)

Эта деталь требует силы F _p. Самый простой способ найти это — использовать первое условие равновесия, равное

нетто F = 0

Все силы вертикальные, так что мы имеем дело с одномерной задачей вдоль вертикальной оси; следовательно, условие можно записать как

нетто F _y = 0

, где мы снова называем вертикальную ось осью y .Выбирая положительное направление вверх и используя знаки плюс и минус для обозначения направления сил, мы видим, что

F _p — w ₁ — w ₂ = 0.

Это уравнение дает то, что можно было предположить вначале:

F _p = w ₁ + w ₂.

Итак, ось обеспечивает опорное усилие, равное общему весу системы:

F _p = м ₁ г + м ₂ г .{2} \ right) \\ & = & \ text {568 N.} \ End {array} \\ [/ latex]

Обсуждение

Два результата интуитивно понятны. Более тяжелый ребенок садится ближе к стержню. Ось поддерживает вес двух детей. Часть (b) также может быть решена с использованием второго условия равновесия, поскольку оба расстояния известны, но только в том случае, если точка поворота выбрана где-нибудь, кроме места фактического поворота качелей!

Некоторые аспекты предыдущего примера имеют большое значение.Во-первых, выбор оси в качестве точки, вокруг которой рассчитываются крутящие моменты, упростил задачу. Поскольку F _p воздействует на точку поворота, его плечо рычага равно нулю. Следовательно, крутящий момент, создаваемый опорной силой F _p, равен нулю относительно этой точки поворота. Второе условие равновесия выполняется при любом выборе точки поворота, поэтому мы выбираем точку поворота, чтобы упростить решение проблемы.

Во-вторых, в этой задаче отменено ускорение свободного падения, и мы остались с соотношением масс. Так будет не всегда . Всегда вводите правильные силы — не забегайте вперед, чтобы ввести какое-то соотношение масс.

В-третьих, вес каждого ребенка распределяется по области качелей, но мы относились к весам так, как если бы каждая сила была приложена в одной точке. Это не приближение — расстояния r ₁ и r ₂ — это расстояния до точек, находящихся непосредственно под центром тяжести каждого ребенка. Как мы увидим в следующем разделе, масса и вес системы могут действовать так, как если бы они находились в одной точке.

Наконец, обратите внимание, что понятие крутящего момента имеет значение помимо статического равновесия. Крутящий момент во вращательном движении играет ту же роль, что сила в линейном движении. Мы рассмотрим это в следующей главе.

Эксперимент на вынос

Возьмите кусок глины для лепки и положите его на стол, затем втирайте в него цилиндр, чтобы линейка могла балансировать на круглой стороне цилиндра, пока все оставалось неподвижным. Положите пенни на расстоянии 8 см от оси.Куда бы вам нужно было положить два гроша для равновесия? Три пенни?

Сводка раздела

Второе условие гарантирует, что эти крутящие моменты также сбалансированы. Крутящий момент — это вращательный эквивалент силы, вызывающей вращение, и определяется как
[латекс] \ tau = rF \ sin \ theta \\ [/ латекс]
, где τ — крутящий момент, r — расстояние от точки поворота до точки приложения силы, F — величина силы, а θ — угол между F и вектор, направленный от точки действия силы к точке поворота.Перпендикулярное плечо рычага r _⊥ определено как
[латекс] {r} _ {\ perp} = r \ sin {\ theta} \\ [/ latex]
, так что
[латекс] \ tau = {r} _ {\ perp} F \\ [/ latex].
Перпендикулярное плечо рычага r _⊥ — это кратчайшее расстояние от точки поворота до линии, вдоль которой действует F . В системе СИ для крутящего момента используется ньютон-метр Н · м. Второе условие, необходимое для достижения равновесия, заключается в том, что чистый внешний крутящий момент в системе должен быть равен нулю:
[латекс] \ text {net} \ tau = 0 \\ [/ latex]
По соглашению, крутящий момент против часовой стрелки положительный, а крутящий момент по часовой стрелке отрицательный.

Концептуальные вопросы

1. Какие три фактора влияют на крутящий момент, создаваемый силой относительно конкретной точки поворота?

2. Разрушительный шар используется для разрушения здания. Остается стоять одна высокая бетонная стена без опоры. Если разрушающий шар ударится о стену рядом с верхом, будет ли стена с большей вероятностью упасть из-за вращения у основания или падения прямо вниз? Поясните свой ответ. Как она, скорее всего, упадет, если ее ударили с той же силой по основанию? Учтите, что это зависит от того, насколько прочно стена прикреплена к основанию.

3. Механики иногда кладут кусок трубы на рукоятку гаечного ключа, пытаясь открутить очень тугой болт. Как это помогает? (Это также опасно, поскольку может сломать болт.)

Задачи и упражнения

1. (a) Открывая дверь, вы нажимаете на нее перпендикулярно с силой 55,0 Н на расстоянии 0,850 м от петель. Какой крутящий момент вы прикладываете к петлям? б) Имеет ли значение, если вы нажимаете на ту же высоту, что и петли?

2.При затяжке болта вы нажимаете перпендикулярно гаечному ключу с усилием 165 Н на расстоянии 0,140 м от центра болта. (а) Какой крутящий момент вы прикладываете в ньютон × метры (относительно центра болта)? (b) Преобразуйте этот крутящий момент в фут-фунты.

3. Двое детей толкают дверь в разные стороны во время игры. Оба толкаются горизонтально и перпендикулярно двери. Один ребенок толкает с силой 17,5 Н на расстоянии 0,600 м от петель, а второй ребенок толкает на расстоянии 0.450 м. Какую силу должен приложить второй ребенок, чтобы дверь не двигалась? Предположим, трение незначительно.

4. Используйте второе условие для равновесной сети τ = 0, чтобы вычислить F _p в Примере 1, используя любые данные, полученные или решенные для части (а) примера.

5. Повторите задачу с качелями в Примере 1 с центром масс качелей на 0,160 м слева от оси (со стороны более легкого ребенка) и при условии, что масса качелей составляет 12,0 кг.Остальные данные, приведенные в примере, остаются без изменений. Ясно покажите, как вы следуете шагам стратегии решения проблем для статического равновесия.

Глоссарий

крутящий момент:: эффективность силы поворота или скручивания

Плечо перпендикулярного рычага:: кратчайшее расстояние от точки поворота до линии, по которой лежит F

Единицы крутящего момента в системе СИ:: ньютон на метр, обычно записывается как Н · м

центр тяжести:: точка, в которой предполагается сосредоточить общий вес тела

Избранные решения проблем и упражнения

1.(a) 46,8 Н · м (b) Неважно, на какой высоте вы толкаете. Крутящий момент зависит только от величины приложенной силы и перпендикулярного расстояния приложения силы от шарниров. (Детям не труднее открывать дверь, потому что они толкают ниже, чем взрослым, им труднее, потому что они недостаточно далеко отталкиваются от петель.)

3. 23.3 N

5. Дано:

[латекс] \ begin {array} {ccc} {m} _ {1} & = & \ text {26,0 кг,} {m} _ {2} = \ text {32.0 кг,} {m} _ {\ text {s}} = \ text {12,0 кг,} \\ {r} _ {1} & = & \ text {1,60 м,} {r} _ {\ text { s}} = \ text {0,160 м, найти (a)} {r} _ {2,} \ text {(b)} {F} _ {\ text {p}} \ end {array} \\ [/ латекс]

а) Поскольку балансируют дети:

[латекс] \ begin {array} {c} \ text {net} {\ tau} _ {\ text {cw}} = — \ text {net} {\ tau} _ {\ text {ccw}} \\ \ Rightarrow {w} _ {1} {r} _ {1} + {m} _ {\ text {s}} {gr} _ {\ text {s}} = {w} _ {2} {r} _ {2} \\ \ end {array} \\ [/ latex]

Итак, решение для r ₂ дает:

[латекс] \ begin {array} {lll} {r} _ {2} & = & \ frac {{w} _ {1} {r} _ {1} + {m} _ {\ text {s} } {\ mathit {gr}} _ {\ text {s}}} {{w} _ {2}} = \ frac {{m} _ {1} {\ mathit {gr}} _ {1} + { m} _ {\ text {s}} {\ mathit {gr}} _ {\ text {s}}} {{m} _ {2} g} = \ frac {{m} _ {1} {r} _ {1} + {m} _ {\ text {s}} {r} _ {\ text {s}}} {{m} _ {2}} \\ & = & \ frac {\ left (\ text {26.0 кг} \ right) \ left (\ text {1,60 м} \ right) + \ left (\ text {12,0 кг} \ right) \ left (\ text {0,160 м} \ right)} {\ text {32,0 кг }} \\ & = & \ text {1,36 м} \ end {array} \\ [/ latex]

б) Поскольку дети не двигаются:

[латекс] \ begin {array} {c} \ text {net} F = 0 = {{F} _ {\ text {p}}} — {{w} _ {1}} — {{w} _ {2}} — {{w} _ {\ text {s}}} \\ \ Rightarrow {F} _ {\ text {p}} = {{w} _ {1}} + {{w} _ { 2}} + {{w} _ {\ text {s}}} \ end {array} \\ [/ latex]

Так что

[латекс] \ begin {array} {lll} {F} _ {\ text {p}} & = & \ left (\ text {26.{2} \ right) \\ & = & \ text {686 N} \ end {array} \\ [/ latex]

Moment Equilibrium — обзор

Механическое моделирование

Во время деформации объектов, подвергающихся различным нагрузкам и ограничениям, они подчиняются фундаментальным законам механики, таким как второй и третий законы Ньютона и законы сохранения. В соответствии с этими законами поддерживается как силовое, так и моментное равновесие. Таким образом, можно построить серию уравнений равновесия для управления эволюцией механической модели.

Для единицы деформируемого объекта, показанной на рис. 14.2, уравнение равновесия выводится как: σ _{ij , j} + f _i = 0, i , j = 1, 2, 3; а для динамической системы уравнение движения установки: σ _{ij , j} + f _i = ρu _{i , tt} + μu _{i , t}, где ρ — массовая плотность, μ — коэффициент демпфирования и u _{i , t}, u i _tt обозначают первую и вторую производные смещения u _i.

Для дискретной модели второй закон Ньютона обычно формулируется следующим образом: ft = md2Xdt2, где X — это положение точечной массы, а f — это сумма приложенных к ней сил. Этот закон можно распространить на неточечные массы, рассмотрев характерное воздействие на центр масс и вращающий момент вокруг него. Второй закон Ньютона также можно использовать для описания движения деформируемого объекта в форме Лагранжа:

∂∂tμ∂r∂t + γ∂r∂t + δεrδr = frt.

Здесь r ( X, t ) — положение материальной точки в объекте в момент времени t , μ, — матрица масс объекта, γ — плотность затухания, δεrδr обозначает внутренние силы, возникающие в результате деформаций, а f ( r , t ) — это приложенная извне сила.

Исходя из второго закона Ньютона, законы сохранения применяются к движению, вращательному моменту и механической энергии. Сохранение энергии означает, что в данной механической системе внутренняя энергия развивается в соответствии с работой внешних сил, приложенных к системе. Для деформируемой механической модели внутренняя энергия включает потенциальную энергию, возникающую в результате работы внутренних консервативных сил, и кинетическую энергию, возникающую в результате движения объекта. Сохранение момента — еще один аспект механического сохранения, вытекающий из второго закона Ньютона.Этот закон может проявляться в проблеме контакта между объектами.

12.2 Примеры статического равновесия — University Physics Volume 1

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

Выявление и анализ ситуаций статического равновесия
Построение диаграммы свободного тела для протяженного объекта в статическом равновесии
Установка и решение условий статического равновесия для объектов, находящихся в равновесии, в различных физических ситуациях

Все примеры в этой главе представляют собой плоские задачи.Соответственно, мы используем условия равновесия в компонентной форме от (Рисунок) до (Рисунок). Мы ввели стратегию решения проблем на (Рисунок), чтобы проиллюстрировать физический смысл условий равновесия. Теперь мы обобщим эту стратегию в виде списка шагов, которые необходимо соблюдать при решении задач статического равновесия для протяженных твердых тел. Мы выполняем пять практических шагов.

Стратегия решения проблем: статическое равновесие

Укажите объект для анализа. Для некоторых систем, находящихся в равновесии, может потребоваться рассмотреть более одного объекта.Определите все силы, действующие на объект. Определите вопросы, на которые вам нужно ответить. Определите информацию, содержащуюся в проблеме. В реальных задачах некоторая ключевая информация может быть скрыта в ситуации, а не предоставлена явно.
Создайте диаграмму свободного тела для объекта. (a) Выберите для задачи справочную рамку xy . Нарисуйте для объекта диаграмму свободного тела, включая только силы, действующие на него. Если возможно, представьте силы в виде их компонентов в выбранной системе отсчета.Когда вы делаете это для каждой силы, вычеркните исходную силу, чтобы ошибочно не включить одну и ту же силу в уравнения. Обозначьте все силы — это понадобится вам для правильного расчета чистых сил в направлениях x и y . Для неизвестной силы направление должно быть задано произвольно; думайте об этом как о «рабочем направлении» или «предполагаемом направлении». Правильное направление определяется знаком, который вы получаете в окончательном решении. Знак плюс
означает, что рабочее направление является фактическим направлением.Знак минус
означает, что фактическое направление противоположно предполагаемому рабочему направлению. (б) Выберите положение оси вращения; Другими словами, выберите точку поворота, относительно которой вы будете вычислять моменты действующих сил. На схеме свободного тела укажите расположение оси и плеч рычага действующих сил — это понадобится вам для правильного расчета крутящих моментов. При выборе шарнира имейте в виду, что шарнир можно разместить где угодно, но руководящий принцип заключается в том, что лучший выбор максимально упростит расчет чистого крутящего момента вдоль оси вращения.
Составьте уравнения равновесия для объекта. (a) Используйте диаграмму свободного тела, чтобы записать правильное состояние равновесия (рисунок) для компонентов силы в направлении x . (b) Используйте диаграмму свободного тела, чтобы написать правильное состояние равновесия (рисунок) для компонентов силы в направлении y . (c) Используйте диаграмму свободного тела, чтобы записать правильное состояние равновесия (рисунок) для крутящих моментов вдоль оси вращения. Используйте (Рисунок) для оценки величин и значений крутящего момента.
Упростите и решите систему уравнений равновесия, чтобы получить неизвестные величины. На данный момент ваша работа связана только с алгеброй. Имейте в виду, что количество уравнений должно быть таким же, как и количество неизвестных. Если количество неизвестных больше, чем количество уравнений, проблема не может быть решена.
Оцените выражения для неизвестных величин, которые вы получили в своем решении. В ваших окончательных ответах должны быть правильные числовые значения и правильные физические единицы.В противном случае используйте предыдущие шаги, чтобы отследить ошибку до ее источника и исправить ее. Кроме того, вы можете самостоятельно проверить свои числовые ответы, переместив точку поворота в другое место и снова решив проблему, что мы и сделали на (рис.).

Обратите внимание, что построение диаграммы свободного тела для задачи равновесия твердого тела является наиболее важным компонентом в процессе решения. Без правильной настройки и правильной диаграммы вы не сможете записать правильные условия равновесия.Также обратите внимание, что диаграмма свободного тела для протяженного твердого тела, которое может совершать вращательное движение, отличается от диаграммы свободного тела для тела, которое испытывает только поступательное движение (как вы видели в главах о законах движения Ньютона). В поступательной динамике тело представляется как его ЦМ, в котором все силы прилагаются к телу, а крутящие моменты отсутствуют. Это не относится к динамике вращения, где протяженное твердое тело не может быть представлено одной точкой. Причина этого в том, что при анализе вращения мы должны идентифицировать крутящие моменты, действующие на тело, а крутящий момент зависит как от действующей силы, так и от плеча рычага.Здесь диаграмма свободного тела для протяженного твердого тела помогает нам определить внешние моменты.

Пример

Балансировка крутящего момента

Три гири прикреплены к единой измерительной линейке, как показано на (Рисунок). Масса измерительного стержня составляет 150,0 г, а масса слева от точки опоры составляет

.
и
Найдите массу
, который уравновешивает систему, когда она прикреплена к правому концу ручки, и нормальную силу реакции на опоре, когда система уравновешена.
Рис. 12.9 При балансировке крутящего момента горизонтальная балка опирается на точку опоры (обозначена буквой S), а массы прикрепляются к обеим сторонам оси. Система находится в статическом равновесии, когда балка не вращается. Он уравновешен, когда луч остается ровным.
Стратегия
Для схемы, показанной на рисунке, мы выделяем следующие пять сил, действующих на измерительную линейку:
— масса массы
— масса массы
— вес всей измерительной линейки;
— масса неизвестной массы
— нормальная сила реакции в точке опоры S .
Мы выбираем систему отсчета, где направление оси y — это направление силы тяжести, направление оси x — вдоль измерительной ручки, а ось вращения (ось z ) ) перпендикулярна оси x и проходит через точку опоры S . Другими словами, мы выбираем ось в точке соприкосновения измерительной линейки с опорой. Это естественный выбор для поворота, потому что эта точка не перемещается при вращении ручки.Теперь мы готовы создать диаграмму свободного тела для измерительной ручки. Мы указываем ось и присоединяем пять векторов, представляющих пять сил, вдоль линии, представляющей стержень измерителя, располагая силы относительно оси (рисунок). На этом этапе мы можем идентифицировать рычаги пяти сил, учитывая информацию, предоставленную в задаче. Для трех висящих грузов проблема явно связана с их расположением вдоль стержня, но информация о расположении груза w дается неявно.Ключевое слово здесь — «униформа». Из наших предыдущих исследований мы знаем, что ЦМ однородной палки находится в ее средней точке, поэтому именно здесь мы прикрепляем груз w на отметке 50 см.
Рисунок 12.10 Схема свободного тела для дозирующей штанги. Поворот выбирается в точке поддержки S.
Решение
Используя (Рисунок) и (Рисунок) для справки, мы начинаем с нахождения плеч рычагов пяти сил, действующих на палку:
Теперь мы можем найти пять крутящих моментов относительно выбранной оси:
Второе условие равновесия (уравнение для крутящих моментов) для измерительной ручки —
При подстановке значений крутящего момента в это уравнение мы можем опустить крутящие моменты, дающие нулевой вклад.Таким образом, второе условие равновесия —
.
Выбор
— направление параллельно
первое условие равновесия ручки —
Подставляя силы, первое условие равновесия становится
Мы решаем эти уравнения одновременно для неизвестных значений
и
В (Рисунок) мы отменяем коэффициент g и переставляем члены, чтобы получить
Для получения
делим обе стороны на
, так что у нас
Чтобы найти нормальную силу реакции, переставляем члены на (Рисунок), переводя граммы в килограммы:
Значение
Обратите внимание, что (рисунок) не зависит от значения г .Таким образом, баланс крутящего момента может использоваться для измерения массы, поскольку изменения значений г и на поверхности Земли не влияют на эти измерения. Это не относится к пружинным весам, поскольку они измеряют силу.
Проверьте свое понимание
Повторите (рисунок), используя левый конец измерительной ручки для расчета крутящего момента; то есть, поместив ось на левый конец измерительной ручки.
[показывать-ответ q = ”fs-id11637134
″] Показать решение [/ показывать-ответ]
[скрытый-ответ a = ”fs-id11637134
″]
316.7 г; 5.8 N
[/ hidden-answer]
В следующем примере мы покажем, как использовать первое условие равновесия (уравнение для сил) в векторной форме, заданной (Рисунок) и (Рисунок). Мы представляем это решение, чтобы проиллюстрировать важность подходящего выбора системы отсчета. Хотя все инерциальные системы отсчета эквивалентны, а численные решения, полученные в одном кадре, такие же, как и в любом другом, неподходящий выбор системы отсчета может сделать решение довольно длинным и запутанным, тогда как мудрый выбор системы отсчета делает решение простым.Мы покажем это в эквивалентном решении той же проблемы. Этот конкретный пример иллюстрирует применение статического равновесия к биомеханике.
Пример
Силы в предплечье
Тяжелоатлет держит в предплечье гирю весом 50,0 фунтов (эквивалент 222,4 Н), как показано на (Рисунок). Его предплечье находится на отметке
.
относительно его плеча. Предплечье поддерживается сокращением двуглавой мышцы, которое вызывает крутящий момент вокруг локтя.Предполагая, что напряжение в двуглавой мышце действует в вертикальном направлении, определяемом силой тяжести, какое напряжение должна прикладывать мышца, чтобы удерживать предплечье в показанном положении? Какая сила действует на локтевой сустав? Предположим, что вес предплечья незначителен. Дайте окончательные ответы в единицах СИ.
Рисунок 12.11 Предплечье вращается вокруг локтя (E) за счет сокращения двуглавой мышцы, что вызывает напряжение.
Стратегия
Мы идентифицируем три силы, действующие на предплечье: неизвестная сила
в локтевом суставе; неизвестное напряжение
в мышце; и вес
с магнитудой
Мы принимаем систему отсчета с осью x вдоль предплечья и шарниром в локте.Вертикальное направление — это направление веса, которое совпадает с направлением плеча. Ось x составляет угол
с вертикалью. Ось y перпендикулярна оси x . Теперь создадим диаграмму свободного тела для предплечья. Сначала мы рисуем оси, точку поворота и три вектора, представляющие три идентифицированные силы. Затем располагаем угол
и представьте каждую силу ее компонентами x и y , не забывая перечеркнуть исходный вектор силы, чтобы избежать двойного счета.Наконец, мы помечаем силы и их рычаги. Схема свободного тела для предплечья показана на (Рисунок). На этом этапе мы готовы создать условия равновесия для предплечья. Каждая сила имеет компоненты x и y ; следовательно, у нас есть два уравнения для первого условия равновесия, по одному уравнению для каждой составляющей чистой силы, действующей на предплечье.
Рис. 12.12 Схема свободного тела для предплечья: шарнир расположен в точке E (локоть).
Обратите внимание, что в нашей системе отсчета вклад во второе условие равновесия (для крутящих моментов) происходит только от y -компонент сил, потому что x -компоненты сил параллельны плечам их рычагов, поэтому что на любой из них у нас
в (рисунок). Для компонентов y у нас есть
в (рисунок). Также обратите внимание, что крутящий момент силы в локте равен нулю, потому что эта сила приложена к шарниру.Таким образом, вклад в чистый крутящий момент вносят только крутящие моменты
.
и
Решение
Из диаграммы свободного тела видно, что составляющая x чистой силы удовлетворяет уравнению
и y -компонент чистой силы удовлетворяет
(рисунок) и (рисунок) — это два уравнения первого условия равновесия (для сил).Затем мы читаем из диаграммы свободного тела, что чистый крутящий момент вдоль оси вращения равен
.
(рисунок) — второе условие равновесия (по крутящим моментам) для предплечья. На диаграмме свободного тела показано, что рычаги имеют длину
.
и
На этом этапе нам не нужно преобразовывать дюймы в единицы СИ, потому что, пока эти единицы согласованы на (Рисунок), они взаимно сокращаются. Снова используя диаграмму свободного тела, находим величины составляющих сил:
Мы подставляем эти величины в (Рисунок), (Рисунок) и (Рисунок), чтобы получить, соответственно,
Когда мы упрощаем эти уравнения, мы видим, что остались только два независимых уравнения для двух неизвестных величин силы, F и T , потому что (Рисунок) для компонента x эквивалентен (Рисунок) для компонента y .Таким образом, мы получаем первое условие равновесия для сил
и второе условие равновесия моментов
Величина напряжения в мышце получается путем решения (Рисунок):
Сила в локте определяется решением (рисунок):
Отрицательный знак в уравнении говорит нам, что действительная сила в локте антипараллельна рабочему направлению, принятому для построения диаграммы свободного тела.В окончательном ответе мы переводим силы в единицы силы СИ. Ответ
Значение
Здесь стоит отметить два важных момента. Первый касается преобразования в единицы СИ, который может быть выполнен в самом конце решения, если мы сохраняем согласованность в единицах. Второй важный вопрос касается шарнирных соединений, например, локтевого. При первоначальном анализе проблемы следует всегда предполагать, что шарнирные соединения прилагают силу в произвольном направлении , а затем вы должны решить для всех компонентов шарнирной силы независимо.В этом примере сила в локтевом суставе оказывается вертикальной, потому что задача предполагает, что напряжение бицепса также является вертикальным. Однако такое упрощение не является общим правилом.
Решение
Предположим, мы используем систему отсчета с направлением оси y вдоль 50-фунтовой массы и осью, расположенной в колене. В этой системе отсчета все три силы имеют только и -компонент, поэтому у нас есть только одно уравнение для первого условия равновесия (для сил).Нарисуем диаграмму свободного тела для предплечья, как показано на (Рисунок), с указанием оси поворота, действующих сил и их плеч рычагов по отношению к оси поворота, а также углов
.
и
что силы
и
(соответственно) с их рычагами. В определении крутящего момента, данном (Рисунок), угол
— угол направления вектора
отсчитывает против часовой стрелки и от радиального направления плеча рычага, который всегда направлен от оси вращения.По такому же соглашению угол
измеряется против часовой стрелки от радиального направления плеча рычага до вектора
При таком выполнении ненулевой крутящий момент легче всего вычислить путем прямой подстановки в (рисунок) следующим образом:
Рис. 12.13 Диаграмма свободного тела для предплечья для эквивалентного решения. Ось находится в точке Е (колено).
Второе условие равновесия,
теперь можно записать как
Из диаграммы свободного тела первое условие равновесия (для сил) равно
.
(рисунок) идентичен (рисунок) и дает результат
(рисунок) дает
Мы видим, что эти ответы идентичны нашим предыдущим ответам, но второй выбор системы отсчета приводит к эквивалентному решению, которое является более простым и быстрым, поскольку не требует разделения сил на их прямоугольные составляющие.
Проверьте свое понимание
Повторите (рисунок), предполагая, что предплечье представляет собой объект однородной плотности, который весит 8,896 Н.
[показывать-ответ q = ”fs-id1163709773449 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1163709773449 ″]
[/ hidden-answer]
Пример
Лестница, упирающаяся в стену
Единая лестница
в длину и весит 400.0 Н. Лестница упирается в скользкую вертикальную стену, как показано на (Рисунок). Угол наклона лестницы к черновому полу —
.
Найдите силы реакции пола и стены на лестницу и коэффициент трения покоя
на стыке лестницы с полом, что предотвращает скольжение лестницы.
Рисунок 12.14 Лестница длиной 5,0 м упирается в стену без трения.
Стратегия
Мы можем выделить четыре силы, действующие на лестницу. Первая сила — это сила нормальной реакции Н, от пола в вертикальном направлении вверх. Вторая сила — это сила трения покоя
.
направлен горизонтально по полу к стене — эта сила предотвращает скольжение лестницы. Эти две силы действуют на лестницу в точке ее контакта с полом. Третья сила — это вес w лестницы, прикрепленный к ее CM, расположенной посередине между ее концами.Четвертая сила — это сила нормального противодействия F от стены в горизонтальном направлении от стены, приложенная в точке контакта со стеной. Других сил нет, потому что стена скользкая, что означает отсутствие трения между стеной и лестницей. На основе этого анализа мы принимаем систему отсчета с осью y в вертикальном направлении (параллельно стене) и осью x в горизонтальном направлении (параллельно полу).В этом кадре каждая сила имеет либо горизонтальную, либо вертикальную составляющую, но не обе, что упрощает решение. Подбираем ось в точке соприкосновения с полом. На диаграмме свободного тела для лестницы мы указываем ось, все четыре силы и их плечи рычагов, а также углы между плечами рычагов и силами, как показано на (Рисунок). При нашем выборе положения оси вращения отсутствует крутящий момент ни от нормальной силы реакции N , ни от статического трения f , потому что они оба действуют на ось.
Рисунок 12.15 Схема свободного тела для лестницы, упирающейся в стену без трения.
Решение
На диаграмме свободного тела чистая сила в направлении x составляет
чистая сила в направлении y составляет
, а чистый крутящий момент по оси вращения в точке поворота равен
.
где
— это крутящий момент массы Вт и
— момент реакции F .Из диаграммы свободного тела мы определяем, что плечо рычага реакции у стены равно
.
и плечо рычага веса
С помощью диаграммы свободного тела мы определяем углы, которые будут использоваться на (Рисунок) для крутящих моментов:
для крутящего момента от силы реакции со стенкой и
для крутящего момента из-за веса. Теперь мы готовы использовать (рисунок) для вычисления крутящих моментов:
Подставляем крутящие моменты в (рисунок) и решаем
Мы получаем нормальную силу реакции с полом, решая (рисунок):
Величина трения получается путем решения (рисунок):
Коэффициент трения покоя
Чистая сила, действующая на лестницу в точке контакта с полом, представляет собой векторную сумму нормальной реакции пола и сил статического трения:
Его величина —
.
и его направление
Здесь мы должны выделить два общих замечания о практическом использовании.Во-первых, обратите внимание, что когда мы выбираем точку поворота, нет никаких ожиданий, что система действительно развернется вокруг выбранной точки. Лестница в этом примере совсем не вращается, а твердо стоит на полу; тем не менее, его точка контакта с полом — хороший выбор для шарнира. Во-вторых, обратите внимание, когда мы используем (рисунок) для вычисления отдельных крутящих моментов, нам не нужно разделять силы на их нормальные и параллельные компоненты по отношению к направлению плеча рычага, и нам не нужно учитывать смысл крутящий момент.Если угол на (Рис.) Правильно определен — с помощью диаграммы свободного тела — как угол, измеренный против часовой стрелки от направления плеча рычага к направлению вектора силы, (Рис.) Дает как величину и чувство крутящего момента. Это связано с тем, что крутящий момент представляет собой векторное произведение вектора рычага на плечо, пересекаемого с вектором силы, и (рисунок) выражает прямоугольную составляющую этого векторного произведения вдоль оси вращения.
Значение
Этот результат не зависит от длины лестницы, поскольку L отменяется во втором состоянии равновесия (рисунок).Независимо от длины или длины лестницы, если ее вес составляет 400 Н, а угол с полом равен
.
наши результаты остаются в силе. Но лестница соскользнет, если чистый крутящий момент станет отрицательным (рисунок). Это происходит для некоторых углов, когда коэффициент статического трения недостаточен для предотвращения скольжения лестницы.
Проверьте свое понимание
Для ситуации, описанной на (Рисунок), определите значения коэффициента
статического трения, при котором лестница начинает скользить, учитывая, что
— угол между лестницей и полом.
[показывать-ответ q = ”fs-id1163713423927 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1163713423927 ″]
[/ hidden-answer]
Пример
Усилие на дверных петлях
Распашная дверь весом
поддерживается петлями A и B , так что дверь может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через петли (рисунок). Дверь имеет ширину
и дверная плита имеет однородную массовую плотность.Петли располагаются симметрично у края двери таким образом, чтобы вес двери равномерно распределялся между ними. Расстояние между петлями составляет
.
Найдите силы на петлях, когда дверь приоткрыта.
Рисунок 12.16 Распашная вертикальная дверь 400-N поддерживается двумя петлями, прикрепленными в точках A и B.
Стратегия
Силы, которые дверь оказывает на петли, можно найти, просто изменив направление сил, которые петли воздействуют на дверь.Следовательно, наша задача найти силы от петель на двери. На дверную плиту действуют три силы: неизвестная сила
от петли
неизвестная сила
от петли
и известная масса
прикреплен в центре масс дверной плиты. CM расположен в геометрическом центре двери, потому что плита имеет однородную массовую плотность.Мы принимаем прямоугольную систему отсчета с осью y вдоль направления силы тяжести и осью x в плоскости плиты, как показано на панели (a) (Рисунок), и разделяем все силы на их прямоугольные составляющие. Таким образом, у нас есть четыре неизвестных составляющих силы: две составляющие силы
и
и две составляющие силы
и
На схеме свободного тела мы представляем две силы на шарнирах их векторными компонентами, предполагаемые ориентации которых произвольны.Потому что есть четыре неизвестных
и
мы должны составить четыре независимых уравнения. Одно уравнение — это условие равновесия сил в направлении x . Второе уравнение — это условие равновесия сил в направлении y . Третье уравнение — это условие равновесия крутящих моментов при вращении вокруг шарнира. Поскольку вес равномерно распределяется между петлями, мы имеем четвертое уравнение:
Чтобы установить условия равновесия, мы рисуем диаграмму свободного тела и выбираем точку поворота на верхнем шарнире, как показано на панели (b) (Рисунок).Наконец, мы решаем уравнения для неизвестных компонентов силы и находим силы.
Рисунок 12.17 (a) Геометрия и (b) диаграмма свободного тела двери.
Решение
Из диаграммы свободного тела для двери мы имеем первое условие равновесия сил:
Выбираем шарнир в точке P (верхний шарнир, согласно диаграмме свободного тела) и записываем второе условие равновесия для крутящих моментов при вращении вокруг точки P :
Мы используем диаграмму свободного тела, чтобы найти все члены в этом уравнении:
При оценке
мы используем геометрию треугольника, показанного в части (а) рисунка.Теперь подставляем эти моменты в (рисунок) и вычисляем
Следовательно, значения горизонтальных составляющих сил равны
.
Силы на двери
Силы на петлях находятся из третьего закона Ньютона как
Значение
Обратите внимание, что если бы задача была сформулирована без предположения о том, что вес равномерно распределен между двумя петлями, мы не смогли бы ее решить, потому что количество неизвестных было бы больше, чем количество уравнений, выражающих условия равновесия.
Проверьте свое понимание
Решите проблему, показанную на (Рисунок), приняв положение поворота в центре масс.
[показывать-ответ q = ”fs-id1163713175857 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1163713175857 ″]
[/ hidden-answer]
Проверьте свое понимание
Человек массой 50 кг стоит на расстоянии 1,5 м от одного конца унифицированных лесов длиной 6,0 м и массой 70,0 кг. Найдите натяжение двух вертикальных тросов, поддерживающих подмости.
[показать-ответ q = ”478065 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
[скрытый-ответ a =” 478065 ″] 711,0 N; 466.0 N [/ hidden-answer]
Проверьте свое понимание
Знак 400.0-N висит на конце форменной стойки. Стойка имеет длину 4,0 м и вес 600,0 Н. Стойка поддерживается петлей на стене и тросом, другой конец которого привязан к стене на высоте 3,0 м над левым концом стойки. Найдите натяжение опорного троса и усилие петли на стойке.
[показать-ответ q = ”723276 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
[скрытый-ответ a =” 723276 ″] 1167 N; 980 с.ш. направлено вверх на
.
над горизонтом [/ hidden-answer]
Резюме
Разнообразные инженерные задачи могут быть решены путем применения условий равновесия для твердых тел.
В приложениях идентифицируйте все силы, которые действуют на твердое тело, и отметьте их рычаги, вращающиеся вокруг выбранной оси вращения.Постройте диаграмму свободного тела для тела. Чистые внешние силы и крутящие моменты можно четко определить по правильно построенной диаграмме свободного тела. Таким образом, вы можете установить первое условие равновесия для сил и второе условие равновесия для крутящих моментов.
При создании условий равновесия мы можем принять любую инерциальную систему отсчета и любое положение точки поворота. Все варианты приводят к одному ответу. Однако некоторые варианты могут чрезмерно усложнить процесс поиска решения.Независимо от того, какой выбор мы делаем, мы получаем один и тот же ответ. Единственный способ овладеть этим навыком — это практика.
Концептуальные вопросы
Можно ли упереть лестницу в неровную стену, когда пол без трения?
Покажите, как пружинные весы и простую точку опоры можно использовать для взвешивания объекта, вес которого превышает максимальное значение на весах.
[показывать-ответ q = ”fs-id1163709751583 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1163709751583 ″]
(Проба)
[/ hidden-answer]
Художник поднимается по лестнице.Будет ли лестница соскользнуть с большей вероятностью, когда художник находится внизу или вверху?
Проблемы
Равномерная доска стоит на ровной поверхности, как показано ниже. Доска имеет массу 30 кг и длину 6,0 м. Какую массу можно поместить на его правый конец, прежде чем он наклонится? ( Подсказка: Когда доска собирается опрокинуться, она соприкасается с поверхностью только по краю, который становится мгновенной осью вращения.)
Унифицированные качели, показанные ниже, уравновешены на точке опоры, расположенной 3.0 м от левого конца. Маленький мальчик справа имеет массу 40 кг, а больший мальчик слева имеет массу 80 кг. Какая масса у доски?
[show-answer q = ”3 ″] Показать решение [/ show-answer]
[hidden-answer a =” 3 ″] 40 кг [/ hidden-answer]
Чтобы вытащить свою машину из грязи, мужчина привязывает один конец веревки к переднему бамперу, а другой конец — к дереву на расстоянии 15 м, как показано ниже. Затем он тянет за центр веревки с силой 400 Н, в результате чего ее центр смещается на 0.30 м, как показано. Какова сила троса на машине?
Унифицированные подмости весом 40,0 кг и длиной 6,0 м поддерживаются двумя световыми кабелями, как показано ниже. Маляр весом 80,0 кг стоит на расстоянии 1,0 м от левого конца строительных лесов, а его малярное оборудование — в 1,5 м от правого конца. Если натяжение левого троса вдвое больше, чем правого троса, найдите натяжение тросов и массу оборудования.
[показать-ответ q = ”512258 ″] Показать ответ [/ раскрыть-ответ]
[скрытый-ответ a =” 512258 ″] правый кабель, 444.3 Н; левый кабель, 888,5 Н; вес оборудования 156,8 Н; 16,0 кг [/ hidden-answer]
Когда конструкция, показанная ниже, поддерживается в точке P , она находится в состоянии равновесия. Найдите величину силы F и силу, приложенную в точке P . Вес конструкции незначительный.
Чтобы подняться на крышу, человек (массой 70,0 кг) приставляет алюминиевую лестницу длиной 6,00 м (массой 10,0 кг) к дому на бетонную площадку с основанием лестницы 2.00 м от дома. Лестница упирается в пластиковый водосточный желоб, который, как мы можем предположить, не имеет трения. Центр масс лестницы находится на расстоянии 2,00 м от низа. Человек стоит на высоте 3,00 м от дна. Найдите нормальные силы реакции и трения лестницы у ее основания.
[показывать-ответ q = ”fs-id1163713204708 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1163713204708 ″]
784 N, 376 N
[/ hidden-answer]
Единая горизонтальная стойка весит 400.0 Н. Один конец стойки прикреплен к шарнирной опоре у стены, а другой конец стойки прикреплен к знаку, который весит 200,0 Н. Стойка также поддерживается тросом, прикрепленным между концом стойки. и стена. Предполагая, что весь вес знака прикреплен к самому концу стойки, найдите натяжение троса и усилие на шарнире стойки.
Предплечье, показанное ниже, расположено под углом
относительно плеча и 5.Масса 0 кг удерживается в руке. Общая масса предплечья и кисти составляет 3,0 кг, а их центр масс находится на расстоянии 15,0 см от локтя. (а) Какова величина силы, которую двуглавая мышца прилагает к предплечью для
?
(b) Какова величина силы, действующей на локтевой сустав для того же угла? (c) Как эти силы зависят от угла

[show-answer q = ”233949 ″] Показать решение [/ show-answer]
[hidden-answer a =” 233949 ″] a.539 Н; б. 461 Н; c. не зависят от ракурса [/ hidden-answer]
Унифицированная стрела, показанная ниже, весит 3000 Н. Она поддерживается горизонтальной растяжкой и шарнирной опорой в точке A . Какие силы действуют на стрелу из-за троса и опоры в точке A ? Действует ли сила A вдоль стрелы?
Унифицированная стрела, показанная ниже, весит 700 Н, а объект, свисающий с ее правого конца, весит 400 Н. Стрела поддерживается световым кабелем и шарниром на стене.Рассчитайте натяжение троса и усилие на шарнире на стреле. Действует ли сила на шарнире вдоль стрелы?
[раскрыть-ответ q = ”612620 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
[скрытый-ответ a =” 612620 ″] натяжение 778 Н; на петле 778 Н на
выше горизонтали; нет [/ hidden-answer]
Стрела 12,0 м, AB , крана, поднимающего груз массой 3000 кг, показана ниже. Центр масс стрелы находится в ее геометрическом центре, а масса стрелы составляет 1000 кг.Для показанного положения рассчитайте натяжение T в тросе и усилие на оси A .
Унифицированный люк, показанный ниже, имеет размер 1,0 м на 1,5 м и весит 300 Н. Он поддерживается одной петлей (H) и легкой веревкой, привязанной между серединой двери и полом. Дверь удерживается в показанном положении, где ее плита составляет
.
Угол
с горизонтальным полом и веревкой составляет
угол с полом.Найдите натяжение веревки и усилие на петле.
[раскрыть-ответ q = ”460173 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
[скрытый-ответ a =” 460173 ″] 1500 Н; 1620 N при
[/ hidden-answer]
Мужчина весом 90 кг ходит на козле, как показано ниже. Длина козлы 2,0 м, высота 1,0 м, масса 25,0 кг. Рассчитайте нормальную силу реакции на каждую ногу в точке контакта с полом, когда человек находится на расстоянии 0,5 м от дальнего конца козлы.( Подсказка: На каждом конце сначала найдите общую силу реакции. Эта сила реакции представляет собой векторную сумму двух сил реакции, каждая из которых действует вдоль одной ноги. Нормальная сила реакции в точке контакта с полом является нормальной (с относительно пола) составляющая этой силы.)
Определите момент каждой из трех сил
Определите момент каждой из трех сил относительно точки A.
Изображение предоставлено: Hibbeler, R.C., S.C. Fan, Kai Beng.Яп и Питер Скьявоне. Статика: механика для инженеров. Сингапур: Pearson, 2013.
Решение:
Покажите мне окончательный ответ ↓
Давайте сначала нарисуем компоненты каждой силы, перпендикулярной нашей контрольной точке A. Компоненты, которые проходят через нашу контрольную точку, не будут нарисованы, поскольку они не создавайте момента по этому поводу.
Пунктирными линиями показаны все составляющие силы, создающей момент относительно точки A.
Давайте посмотрим на силу F_1.0) = 1299 Н \ cdotm \ circlearrowright
Наконец, давайте посмотрим на силу F_3. Обратите внимание, как x- и y-компоненты силы F_3 создают моменты вокруг точки A. X-компонента имеет перпендикулярное расстояние 4 м, а y-составляющая имеет перпендикулярное расстояние 5 м. Также важно отметить, что x-компонента создаст отрицательный момент или, скорее, момент, противоположный другим силам, потому что он будет вращать согнутый рычаг против часовой стрелки вокруг точки A.
\ circlearrowright M_A = (500) (\ dfrac {4} {5}) (5) — (500) (\ dfrac {3} {5}) (4) = 800 N \ cdotm \ circlearrowright
Окончательные ответы :
F_1: \ circlearrowright M_A = 433 N \ cdotm \ circlearrowright
F_2: \ circlearrowright M_A = 1299 N \ cdotm \ circlearrowright
F_3: \ circlearrowright M_A = 800 N \ cdotm \ circlearrowright
Механика: Статика (издание SI), 13-е издание, глава 4, вопрос 4-7.
Момент силы
Момент силы
Следующий текст используется только для обучения, исследований, стипендий, образовательных целей и информационных целей в соответствии с принципами добросовестного использования.
Мы благодарим авторов текстов и исходный веб-сайт, который дает нам возможность поделиться своими знаниями
Физика
Помимо ускорения объекта, сила может заставить тело повернуться на или повернуться на , i.е. сила может иметь поворотный эффект.
Чтобы количественно оценить этот поворотный эффект, у нас есть следующее соотношение, называемое Момент силы:
Момент силы = сила × перпендикулярное расстояние
Единица момента силы — ньютон-метр (Нм).
Два закона равновесия

Если объект находится в равновесии, то:
Векторная сумма сил в любом направлении равна нулю (силы вверх = силы вниз, т.е.е. он не ускоряется).
Сумма моментов относительно любой точки равна нулю (моменты по часовой стрелке = моменты против часовой стрелки, т.е. она не вращается).
Пара
Две параллельные силы с одинаковой величиной, действующие в противоположных направлениях, называются парой .
Например, поворот рулевого колеса (или два человека на противоположных концах вращающейся двери).
Момент пары: Крутящий момент
Момент пары известен как Torque
Момент пары (крутящий момент) = сила x расстояние
Момент = сила × расстояние

Расстояние в этом случае соответствует расстоянию между двумя силами, а не расстоянию между одной силой и серединой).
Обязательный эксперимент: Чтобы проверить законы равновесия для набора копланарных сил.
Знаете ли вы?
Учебники часто предполагают, что водная плотина шире у основания, потому что давление больше на большей глубине, но хотя это правда, более серьезной проблемой является момент силы от воды, текущей сверху. Вы понимаете почему?
Завершение программы Cert Physics Syllabus
Содержание
Глубина обработки
Деятельность
СТС
Моменты
Определение.
Рычаги.
Пара.
Простые эксперименты с несколькими весами.
Соответствующие расчеты.
Крутящий момент, например краны, двери.
Руль на велосипедах.
Ссылка на счетчики с подвижной катушкой и простой двигатель.
Условия равновесия
Векторная сумма сил в любом направлении равна нулю.Сумма моментов относительно любой точки равна нулю.
Соответствующие расчеты.
Статическое и динамическое равновесие.

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАКОНОВ РАВНОВЕСИЯ ДЛЯ КОМПЛЕКТА СОПЛАНАРНЫХ СИЛ
ПРИБОР : два ньютон-метра, измерительная линейка, гири, скрепки, спиртовой уровень, электронные весы
ДИАГРАММА

ПРОЦЕДУРА
Найдите и отметьте центр тяжести измерительной линейки, подвесив ее на нитке и отрегулировав положение нитки таким образом, чтобы измерительная линейка располагалась горизонтально.
Найдите и отметьте массу измерительной линейки, взвесив ее на электронных весах.
Установите устройство, как показано, и перемещайте грузы, пока палка не окажется в горизонтальном положении и в равновесии (не вращается). Ньютон-метры должны быть вертикальными.
Запишите показания каждого ньютон-метра и положение на линейке каждого гиря, каждого ньютон-метра и значения самих гирь.
РЕЗУЛЬТАТЫ И РАСЧЕТЫ
ПЕРВЫЙ ЗАКОН: ОБЩИЕ СИЛЫ ВВЕРХ = ОБЩИЕ СИЛЫ ВНИЗ
ЗАПУСК №
1-й
ньютон-метр (Н)
2-я
ньютон-метр (Н)
Всего восходящих сил (Н)
W1
(Н)
W2
(Н)
Масса измерительной штанги
(Н)
Суммарное усилие, направленное вниз (Н)
1
2
ВТОРОЙ ЗАКОН: ВСЕГО МОМЕНТОВ ПО ЧАСОВОЙ СТРЕЛКЕ = ВСЕГО МОМЕНТОВ ПО ЧАСОВОЙ СТРЕЛКЕ
Моменты по часовой стрелке

№ прогона
W1
(Н)
д1
(м)
W1d1
(Нм)
W2
(Н)
д2
(м)
W2d2
(Нм)
WMS
дмс
Wdms
(мс = метр)
Всего
моментов по часовой стрелке
1
2
№ прогона
f3
1-й
ньютон-метр: (Н)
d3
(м)
f3d3
(Н · м)
f4
2-й
ньютон-метр: (Н)
d4
(м)
f4d4
(Н · м)
Суммарные моменты против часовой стрелки
1
2
Моменты против часовой стрелки
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Из наших результатов видно, что мы смогли проверить оба закона в пределах экспериментальной ошибки.
ИСТОЧНИКИ ОШИБОК / МЕРЫ ПРЕДОСТОРОЖНОСТИ
При снятии показаний убедитесь, что весы Newton расположены вертикально, а измерительная ручка — горизонтально.
Используйте большие веса (т. Е. Кратные 1N), чтобы уменьшить процентные ошибки.
ПРИМЕЧАНИЯ
Почему мы должны гарантировать, что все силы вертикальные?
Поскольку момент силы определяется как сила, умноженная на расстояние по перпендикуляру между силой и точкой опоры.Таким образом, самый простой способ убедиться, что силы и расстояния перпендикулярны друг другу, — это расположить измерительную ручку горизонтально, а затем все остальные силы должны быть перпендикулярны ей, то есть вертикальны.
Должны ли мы использовать крайнюю левую часть в качестве ориентира?
При вычислении моментов мы обычно используем отметку 0 см в качестве точки опоры и измеряем все расстояния от этой точки. Строго говоря, мы можем взять любую точку на измерителе в качестве точки отсчета (или точки опоры), но отметка 0 см является самой простой.
Вы должны уметь вычислять другие баллы (на экзамене 2002 года студентов просили вычислить моменты около отметки 10 см). Помимо всех расстояний, теперь рассчитываемых от отметки 10 см, другое изменение может заключаться в том, что некоторые силы, которые создавали момент по часовой стрелке вокруг отметки 0 см, теперь могут создавать момент против часовой стрелки относительно отметки 10 см.
Некоторые из первых вопросов в учебнике просят вас рассчитать моменты в разных положениях на одной и той же измерительной ручке; это хорошая практика, которая подтверждает идею о том, что фактическое положение точки опоры не имеет значения в этих ситуациях.
Осторожно!
Настройка устройства может занять много времени, а вся настройка может быть довольно ненадежной, поэтому вы можете принять во внимание следующий совет:
Как только у вас все настроено и сбалансировано, нарисуйте схему и укажите на ней положение и силу каждого объекта.
Это должно быть сделано как можно быстрее, пока прибор еще не устоял, прежде чем какой-нибудь псих ударится о него и все рухнет.
Тогда начнутся слезы.
После того, как у вас есть все соответствующие показания, вы должны заполнить таблицу и провести расчеты — таким образом, если ваши результаты не соответствуют вашим результатам, вы можете перепроверить их, не настраивая все заново.
Вы были предупреждены!
Используйте большие грузы
Большие грузы не только уменьшат процент ошибок, связанных с самими грузами, но также помогут замаскировать ошибки, связанные с различными силами, не являющимися горизонтальными и вертикальными.
Если вы любите приключения, вы можете попробовать три или четыре веса, действующие вниз, а не только два.
Экзаменационные вопросы
Определите момент силы.
Почему гайку легче повернуть более длинным гаечным ключом, чем более коротким?
Объясните, почему ручка двери находится на стороне, противоположной петлям двери.
Кран — это пример рычага. Приведите еще один пример рычага.

Каковы два условия равновесия набора копланарных сил?
На диаграмме показаны силы 5 Н, приложенные к водопроводному крану.
Рассчитайте момент пары (крутящий момент) на отводе.

[2003 г.]
Метрическая палка подвешена на нитке на отметке 20 см, как показано на схеме. Вес W измерительной линейки проходит через отметку 50 см. На отметке 15 см помещается груз 2 Н.
Вычислите момент груза 2 Н на отметке 20 см.
Какой момент у W на отметке 20 см?
Если измерительная линейка находится в состоянии равновесия, найдите значение Вт .
Мужчина открывает дверь, прикладывая к двери силу 5 Н.
Расстояние от точки приложения силы до точки опоры — 120 см.
Рассчитайте момент приложенной силы. (M = Fd)

[2006 г.]
На схеме показан кран в состоянии равновесия.
Приведите одно условие, необходимое для того, чтобы кран находился в равновесии.
Каков момент бетонной плиты 9000 Н относительно оси крана?
Рассчитайте значение нагрузки, отмеченное знаком X.

Обязательный эксперимент
Студент исследовал законы равновесия для набора копланарных сил, действующих на метр. Вес измерительной линейки составлял 1,2 Н, а ее центр тяжести находился на отметке 50 см.
Учащийся прилагал указанные силы к измерительной линейке до тех пор, пока она не пришла в равновесие.
Как ученик узнал, что стрелка индикатора находится в равновесии?
Скопируйте диаграмму и покажите все силы, действующие на дозатор.
Найдите общую направленную вверх силу, действующую на измерительную линейку.
Найдите общую направленную вниз силу, действующую на измерительную линейку.
Объясните, как эти значения подтверждают один из законов равновесия.
Найдите сумму моментов восходящих сил против часовой стрелки вокруг отметки 0.
Найдите сумму моментов нисходящих сил по часовой стрелке относительно отметки 0.
Объясните, как эти значения подтверждают другой закон равновесия.
Студент исследовал законы равновесия для набора копланарных сил, действующих на измеритель.
Учащийся обнаружил, что центр тяжести измерительной линейки находится на отметке 50,4 см, а ее вес составляет 1,2 Н.
Как студент нашел центр тяжести?
Как ученик определил вес метра?
Почему центр тяжести измерительной ручки не на отметке 50?Отметка 0 см?
Учащийся приложил вертикальные силы к измерительной ручке и отрегулировал их до тех пор, пока измерительная ручка не окажется в равновесии.
Как ученик узнал, что измерительная линейка находится в равновесии?
Студент записал следующие данные.

положение на дозаторе / см
11,5
26,2
38,3
70.4
80,2
величина силы / Н
2,0
4,5
3,0
5,7
4,0
направление силы
вниз
вверх
вниз
вверх
вниз
Рассчитайте чистую силу, действующую на дозатор.
Рассчитайте общий момент по часовой стрелке вокруг вертикальной оси измерительной линейки.
Рассчитайте общий момент против часовой стрелки относительно вертикальной оси измерительной линейки.
Используйте эти результаты, чтобы проверить законы равновесия
Студент исследовал законы равновесия для набора копланарных сил, действующих на измеритель.
Вес измерительной линейки составлял 1 Н, а ее центр тяжести находился в точке 50.Отметка 5 см.
К измерителю были прикреплены два пружинных противовеса и несколько грузов.
Их положения регулировали до тех пор, пока измерительная линейка не находилась в горизонтальном равновесии, как показано на диаграмме.
Показание на пружинных весах, прикрепленных к отметке 20 см, составило 2 Н, а показание на других пружинных весах — 4 Н.
Другой конец каждого пружинного баланса был прикреплен к неподвижной опоре.
Вычислите сумму восходящих сил и сумму нисходящих сил, действующих на измерительную линейку.
Объясните, как эти экспериментальные значения подтверждают один из законов равновесия для набора копланарных сил.
Вычислите сумму моментов по часовой стрелке и сумму моментов против часовой стрелки вокруг оси через отметку 10 см на измерительной линейке.
Объясните, как эти экспериментальные значения подтверждают второй закон равновесия для набора копланарных сил.
Опишите, как был найден центр тяжести измерительной линейки.
Почему было важно, чтобы пружинные весы висели вертикально?

Решения для экзаменов
Момент силы = сила × перпендикулярное расстояние между силой и точкой опоры.
Расстояние от точки опоры больше, поэтому эффект поворота больше.
Для максимального увеличения расстояния между силой и точкой опоры.
Лом / гвоздь / щелкунчик / тачка / щипцы / дверная ручка и т. Д.
Силы вверх = силы вниз // (алгебраическая) сумма действующих сил равна нулю
(Алгебраическая) сумма моментов (сил относительно любой точки) равна нулю
Момент = сила × расстояние = 5 × 0,06 = 0,3 Н м
M = F × d = 2 × 0,05 = 0,1 Н · м
M = F × d = 0.3 Вт
0,1 = 0,3 Вт Þ Вт = 0,33 Н
Момент = 5 × 1,2 = 6 Н · м
Моменты по часовой стрелке должны равняться моментам против часовой стрелки.
Момент = F × расстояние = 9000 × 10 =
Н м.

9000 × 10 = 30x Þ x = 3000 Н.

Обязательный эксперимент
Он был ровным / горизонтальным / без движения.
То же, что на схеме, но на отметке 50 см также должен быть указан вес измерительной линейки (1,2 Н).
20,2 N
15 + 4 + 1,2 = 20,2 N
Сумма сил равна нулю / восходящие силы = нисходящие силы
Момент = F × d: (0,3 × 10) + (0,9 × 10,2) = 12,18 Н · м
Момент = F × d: (0,27 × 4) + (0.5 × 1,2) + (0,7 × 15) = 12,18 Н · м
Сумма моментов равна нулю (сумма моментов по часовой стрелке = сумма моментов против часовой стрелки)

Подвесив измерительную линейку на опору для ниток и отрегулировав положение нитки так, чтобы измерительная линейка оставалась горизонтальной.
Положив на электронные весы.
Материал не имеет идеально однородной плотности.
Измерительная рейка была в покое.
Fup = 4,5 + 5,7 = 10,2 N и Fdown = 2 + 3 +1,2 +4 = 10,2 N
Þ чистая сила = 0
(через ноль) Момент = 2 (0,115) + 3 (0,383) +1,2 (0,504) +4,0 (0,802) = 0,23 + 1,149 + 0,6048 + 3,208 = 5,2 Н · м
(через ноль) Момент = 4,5 (0,262) +5,7 (0,704) = 5,1918 Н · м = 5,2 Н
Fup = Fdown
Суммарные моменты по часовой стрелке = Суммарные моменты против часовой стрелки
Вниз = 2 +1 +1.8 + 1,2 = 6 (N)
Векторная сумма сил в любом направлении равна нулю (силы вверх = силы вниз).
Момент = сила × расстояние
Сумма моментов против часовой стрелки = 2,8 Н · м
Сумма моментов по часовой стрелке = 2,8 Н · м
Сумма моментов относительно любой точки равна нулю.
Подвесьте измерительную ручку на веревке и отрегулируйте положение, пока измерительная ручка не уравновесится.
Обратите внимание на положение.
Момент силы = сила × перпендикулярное расстояние, поэтому, если показания на измерительной линейке должны соответствовать этим перпендикулярным расстояниям, тогда измерительная линейка должна быть перпендикулярна пружинным балансам, а если измерительная линейка расположена горизонтально, то пружинные балансы должен быть вертикальным.
Источник: http://www.thephysicsteacher.ie/LC%20Physics/Student%20Notes/10.3%20Moments.doc
Ссылка на веб-сайт: http: // www.thephysicsteacher.ie
Автор: не указан в исходном документе текста выше
Момент силы
Момент силы
Главная
Это правильное место, где вы найдете ответы на свои вопросы, например:
Кто? Какие ? Когда ? Где ? Почему ? Который ? Как ? Что означает «Момент силы»? Что означает момент силы?
Момент силы Записки по физике
Аланпедия.

Содержание	Глубина обработки	Деятельность	СТС

Моменты	Определение. Рычаги. Пара.	Простые эксперименты с несколькими весами. Соответствующие расчеты.	Крутящий момент, например краны, двери. Руль на велосипедах. Ссылка на счетчики с подвижной катушкой и простой двигатель.

Условия равновесия	Векторная сумма сил в любом направлении равна нулю.Сумма моментов относительно любой точки равна нулю.	Соответствующие расчеты.	Статическое и динамическое равновесие.

ЗАПУСК №	1-й ньютон-метр (Н)	2-я ньютон-метр (Н)	Всего восходящих сил (Н)	W1 (Н)	W2 (Н)	Масса измерительной штанги (Н)	Суммарное усилие, направленное вниз (Н)
1
2

№ прогона	W1 (Н)	д1 (м)	W1d1 (Нм)	W2 (Н)	д2 (м)	W2d2 (Нм)	WMS	дмс	Wdms (мс = метр)	Всего моментов по часовой стрелке
1
2

положение на дозаторе / см	11,5	26,2	38,3	70.4	80,2
величина силы / Н	2,0	4,5	3,0	5,7	4,0
направление силы	вниз	вверх	вниз	вверх	вниз