Примеры решения задач

Пример 1. Найти момент инерции тонкого однородного диска массой и радиусаотносительно: а) оси симметрии, перпендикулярной к плоскости диска; б) оси, совпадающей с диаметром диска.

Р е ш е н и е. а)Выберем на диске цилиндрический слой радиуса и шириной(см. рис. 3а). Так как все элементы цилиндрического слоя находятся на одном расстоянии от центра кольца, его момент инерции равен

(14)

где – масса кольца, которую можно найти, определив поверхностную плотность материала дискаи умножив ее на площадь поверхности кольцат.е.

Подставляя это значение в (14) интегрируя пов пределах от 0 до, найдем момент инерции диска относительно оси симметрии

(15)

б) Для нахождения момента инерции диска относительно диаметра, например оси воспользуемся соотношением (6).

Проведем три взаимно перпендикулярные осипересекающиеся в центре диска (рис. 3б). Очевидно, что, тогда из уравнения (6) следует

Подставляя в это выражение значение из уравнения (15), найдем момент инерции диска относительно диаметра

Пример 2. Найти момент инерции однородного шара массы и радиусаотносительно оси, совпадающей с центром шара.

Ре ш е н и е. Вычисление момента инерции шара прямым методом, т.е. с использованием уравнения (1) довольно трудоемкая математическая задача, поэтому для нахождения этого момента инерции воспользуемся соотношением (5). Проведем три взаимно перпендикулярные осипересекающиеся в центре шара (см. рис. 4). Очевидно, что

поэтому соотношение (5) перепишем в виде

(16)

где – искомый момент инерции,– момент инерции шара относительно центра шара.

Для нахождения момента инерции выберем тонкий сферический слой радиусаи толщинойцентр которого совпадает с центром шара (на рис. 4 он выделен цветом). Все элементы этого слоя находятся на одинаковом расстоянии от центра шара, поэтому его момент инерции относительно центра шара равен

. (17)

Объемная плотность шара равна , умножая ее на объем тонкого сферического слоянайдем массу сферического слоя

Подставляя это выражение в (17) и интегрируя в пределах от 0 до , найдем момент инерции шара относительно центра

С учетом этого из уравнения (16) находим искомый момент инерции шара

Пример 3. Однородный цилиндр радиуса раскрутили вокруг его оси до угловой скоростии поместили затем в угол (рис.

5) Коэффициент трения между стенками угла и цилиндром равенСколько оборотов сделает цилиндр до остановки?

Р е ш е н и е. Расставим силы, действующие на цилиндр. Запишем уравнение, описывающее выражение цилиндра относительно его оси

(18)

где – момент инерции цилиндра относительно этой оси. Знак “–” в левой части этого уравнения обусловлен тем, что при замедленном движении модуль углового ускоренияТак как нам необходимо найти число оборотов, которое сделает цилиндр до остановки, исключим из уравнения (18) время. Для этого умножим и разделим левую часть уравнения (18) на

где – угловая скорость вращения цилиндра в некоторый момент времени. После преобразований получим

. (19)

Прежде чем решать это уравнение, найдем выражения для сил трения. Так как центр цилиндра покоится,

Запишем это уравнение в проекциях на оси и(см. рис. 5)

Решая эту систему уравнений, учитывая, что аполучим выражения для сил трения

Подставляя эти выражения в уравнение (19) и интегрируя левую часть этого уравнения в пределах от до 0, а правую часть в пределах от 0 до, найдем число оборотов, которое сделает цилиндр до остановки

Пример 4. Однородный шар скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. Найти ускорениецентра шара и кинетическую энергию шара через времяпосле начала движения.

Р е ш е н и е. Решим задачу двумя способами.

а) Шар совершает плоское движение. Свяжем подвижную систему отсчета с центром шара. Эта система движется поступательно относительно наклонной плоскости, а шар в этой системе вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Расставим силы, действующие на шар в процессе движения (см. рис.6). Запишем теорему о движении центра масс в проекции на ось (см. рис.6)

(20)

Уравнение вращательного движения шара вокруг оси, проходящей через центр масс имеет вид

(21)

где – угловое ускорение шара,– момент инерции шара относительно оси вращения. Решая совместно уравнения (20) и (21), найдем ускорение центра шараи его угловое ускорение

(22)

Используя формулу (13) для кинетической энергии тела, совершающего плоское движение, и учитывая, что в интересующий нас момент времени и(т.к.ипостоянные), найдем кинетическую энергию шара через времяпосле начала движения

б) Так как шар катится без проскальзывания, точка соприкосновения шара с наклонной плоскостью имеет скорость равную нулю. Поэтому прямая, перпендикулярная плоскости рисунка и проходящая через точкуявляется мгновенной осью вращения.

Относительно этой оси шар совершает вращательное движение, поэтому для описания движения достаточно записать уравнение (12) в виде

(23)

где – момент инерции шара относительно мгновенной оси вращения. Согласно теореме Штейнера момент инерцииравен

Подставляя это выражение в уравнение (23), находим ускорение центра шара и его угловое ускорение(см. уравнения (22)).

Кинетическая энергия шара, в этом случае, определяется только вращательным движением

Заметим, что при любом способе решения, кинетическую энергию шара можно найти из закона сохранения энергии (сила трения работы не совершает, т.к. эта сила – сила трения покоя). Пусть за время высота центра шара изменилась на(см. рис.6), тогда

(24)

где – расстояние, пройденное центром шара за времяПодставляя в (24) выражение дляи, находим кинетическую энергию шара

Пример 5.

Однородный стержень длины может вращаться вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через один из его концов (рис. 7). Систему равномерно вращают с угловой скоростьювокруг вертикальной оси. Пренебрегая трением, найти уголмежду стержнем и вертикалью.

Р е ш е н и е. Решим задачу двумя способами. Первое решение приведем в инерциальной системе отсчета, т.е. в системе, в которой стержень вращается. Второе решение – в неинерциальной системе отсчета, жестко связанной со стержнем.

а) Система отсчета, в которой будем решать задачу, на рис. 7 не показана. Решение задачи относительно вертикальной оси вращения не даст желаемого результата, т.к. моменты сил, действующих на стержень (сила тяжести и сила реакции в точке ), относительно этой оси равны нулю, и величина момента импульса остается постоянной.

Поэтому будем решать задачу относительно точки подвеса стержня. Напомним, что уравнение моментов относительно точки имеет вид

откуда видно, что направление изменения момента импульса совпадает по направлению с направлением момента силдействующих на стержень, поэтому в дальнейшем это уравнение будем записывать для модулейи

(25)

Момент силы реакции в точке равен нулю, т.

к. плечо этой силы равно нулю. Направление момента силы тяжести показано на рис.7, а величина равна

(26)

Найдем величину и направление момента импульса стержня относительно точкиДля этого выделим на стержне небольшой участок длинойи массойположение которого относительно точкизададим радиус-вектором(см. рис. 7). Обозначим величину момента импульса этого участка какТак как стержень вращается вокруг вертикальной оси, так как показано на рисунке, скоростьэтого участка будет направлена за плоскость рисунка, поэтому как следует из определения момента импульса

,

он будет направлен перпендикулярно стержню, как показано на рис. 7. Очевидно, что направления всех моментов импульса остальных участков стержня будут иметь такое же направление, поэтому результирующий момент импульса будет также перпендикулярен стержню. Учитывая, что векторы ивзаимно перпендикулярны, величинаравна

Интегрируя это уравнение

найдем величину момента импульса стержня относительно точки

Момент импульса поворачивается вместе со стержнем, и за время повернется на некоторый угол, получив приращение(см. рис.8). Найдем величину этого приращения

или

. (27)

Подставляя уравнение (26) и (27) в уравнением моментов (25), получим

где . Преобразуем это уравнение к виду

. (28)

Если величина

уравнение (28) имеет одно решение , и это положение устойчивое, т.е. стержень будет занимать вертикальное положение и будет вращаться вокруг собственной оси.

Если то уравнение (28) будет иметь два решение

и ,

причем можно показать, что первое решение перестает быть устойчивым, и стержень отклонится на угол, определяемый вторым решением.

б) Решим теперь задачу в неинерциальной системе отсчета, жестко связанной со стержнем. В этой системе отсчета на стержень, кроме сил взаимодействия действует центробежная сила инерции. Так как стержень находится в равновесии, сумма моментов сил, действующих на стержень, должна равняться нулю, т.е.

где – величина момента силы тяжести,– величина момента центробежной силы инерции относительно точкиВеличина момента силы тяжести определяется уравнением (26). Для нахождения момента центробежной силы инерции воспользуемся рис. 7, считая, что стержень покоится.

На выделенный участок стержня действует центробежная сила инерции

величина момента которой, относительно точки равна

Интегрируя это выражение по всей длине стержня, получим

.

Подставляя это выражение и соотношение (26) в уравнение моментов (25), получим уравнение

,

в точности совпадающее с уравнением (28).

Надо заметить, что решение этой задачи в неинерциальной системе отсчета много проще, чем в инерциальной.

Пример 6. Однородная тонкая квадратная пластинка массы может свободно вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси, совпадающей с одной из ее сторон. В центр пластины по нормали к ней упруго ударяется шарик массылетевший со скоростьюНайти величину скорости шарикасразу после удара.

Р е ш е н и е. Система “пластина-шарик” незамкнута, так как для удержания оси пластины в неподвижном состоянии к ней необходимо приложить внешние силу. Однако надо заметить, что момент этих внешних сил относительно оси равны нулю, т.к. они приложены непосредственно к оси.

Для решения задачи воспользуемся законами сохранения энергии (удар упругий) и законом сохранения момента импульса (сумма момента внешних сил относительно оси равен нулю). Будем считать, что длина стороны пластины равна и шарик после удара будет лететь в прежнем направлении, тогда

,

где – момент инерции пластины относительно оси,– угловая скорость, с которой пластина будет вращаться после удара вокруг оси.

Для простоты решения этой системы перепишем ее в виде

(29)

Разделив первое уравнение не второе, получим

(30)

Решая совместно уравнения (29) и(30) и учитывая, что момент инерции пластины относительно оси, совпадающей с одной из ее сторон равен (докажите это самостоятельно), найдем скорость шарика после удара

Заметим, что если , скорость шарика после удара становится отрицательной. Это означает, что пришарик полетит в обратную сторону.

Пример 7. Однородный диск радиуса и массылежит на гладкой горизонтальной поверхности. На боковую поверхность диска плотно намотана нить, к свободному концукоторой приложили постоянную горизонтальную силуПосле начала движения диска точкапереместилась на расстояниеНайти угловую скорость диска к этому моменту времени.

Р е ш е н и е. Под действием силы диск будет совершать плоское движение. Свяжем подвижную систему отсчета с центром масс диска. Величину ускорения центра масснайдем из второго закона Ньютона, записанного в проекции на направление движения

. (31)

В системе отсчета, связанной с центром масс, диск вращается с угловым ускорением , которое найдем из уравнения вращательного движения диска

(32)

где – момент инерции диска, относительно оси вращения.

Найдем величины скорости центра масс диска и угловой скорости его вращения к моменту времени, когда точка приложения силысовершит перемещениеТак как в начальный момент времени диск покоился, а величины ускоренийине меняются с течением времени (см. уравнения (31) и (32)), получим

Исключая из этих уравнений время найдем связь между скоростью центра масс и угловой скоростью вращения диска

(33)

Запишем теорему об изменении кинетической энергии для диска

(34)

где – работа всех сил, действующих на диск. Силы тяжести и сила реакции опоры работу на совершают, работу совершает только постоянная силаПо определению работа постоянной силы равна произведению модуля силы наперемещение точки приложения силы, таким образом

. (35)

Подставляя выражения (33) и (35) в уравнение (34), найдем величину угловой скорости диска к моменту времени, когда точка приложения силы совершит перемещение

Задачи на геометрические характеристики | ПроСопромат.ру

Определить главные центральные моменты инерции, осевые моменты сопротивления  сечения, составленного из стандартных профилей проката.

Сечение состоит из двух неравнополочных уголков 75×50х5 (маркировка в мм) и швеллера № 16 (№ швеллера говорит о его высоте в см).

1. Определим положение центра тяжести сечения.

Сечение симметрично относительно оси у, проводим её как ось – главную и центральную. Координата х_С=0. Для нахождения у_С проводим случайную ось х′ (выбранную случайным образом). Обозначим центры тяжести всех профилей и выпишем необходимые характеристики профилей из сортамента прокатной стали.

Фигуры 1,2 – уголки 75×50х5

А₁=А₂=6,11 см²

I_х1= I_х2=34,8 см⁴

I_у1= I_у2=12,5 см⁴

Фигура 3 – швеллер №16

А₃=18,1 см²,    

I_х3=747 см⁴, 

I_у3=63,3 см⁴.

Покажем на схеме и определим координаты у для профилей

у₁ = у₂ = у₀ =2,39 см,

у₁= —z₀ =-1,8 см.

Определим координату у_С по формуле

 ,

где А_i – площадь каждого профиля,

      у_i – координата.

Проводим главную центральную ось х вниз от оси х′ на 0,11 см, наносим т.С – центр тяжести всего сечения.

2. Определяем главные центральные моменты инерции по формулам перехода:

,

где I_xi , I_yi — моменты инерции каждой фигуры;

А_i – площадь сечения каждой фигуры;

а_i – расстояние от центра тяжести каждой фигуры до главной центральной оси х;

b_i – расстояние от центра тяжести каждой фигуры до главной центральной оси у.

Определяем а_i (смотрим схему)

а₁ = а₂ = у₁+|у_С|= 2,39 + 0,11 = 2,5см,

а₃= — (|у₃|-|у_С|) = -1,69см.

Определяем I_х. Следует обратить внимание на то, что фигура 3 – швеллер – повернут, поэтому, для определения I_х следует из сортамента взять I_у швеллера.

I_х3=63,3см⁴

Определяем I_у.  Для швеллера (повернут)  I_у3 =  I_х = 747см⁴.

Определим размеры b_i, показываем на схеме.

b₁= —х₀ = -1,17см,

b₂= х₀ = 1,17см,

b₃=0, т. к. центр тяжести швеллера лежит на оси у.

3. Определим осевые моменты сопротивления сечения по формулам:

Из схемы видно ,что

Тогда

Запись опубликована 08.09.2016 автором admin в рубрике Задачи на геометрические характеристики.

Определить главные центральные моменты инерции сечения геометрической формы.

1. Определим положение центра тяжести сечения.

Сечение симметрично относительно оси у, поэтому нанесем ось у – ось, на которой находится центр тяжести всего сечения. Координата х_С=0, значит, следует определить координату у_С.

Выберем случайную ось х′ — внизу сечения.

Разобьем сечение на простые фигуры:

фигура 1 – прямоугольник с основанием 8 см и высотой 6 см, отмечаем центр тяжести прямоугольника – т. С₁

фигура 2 – равнобедренный треугольник с основанием 8 см и высотой 3 см, отмечаем его центр тяжести – т. С₂.

Теперь  вычислим площади каждой фигуры и определим  координаты у каждой фигуры, затем координаты нанесем на схему

Прямоугольник

Треугольник

Теперь определим координату центра тяжести всего сечения по формуле:

Тогда

Отмечаем у_С на схеме, центр тяжести всего сечения – т. С — и проводим через эту точку главную центральную ось х.

По формулам перехода определяем главные центральные моменты инерции сечения:

,

где I_xi  , I_yi  — моменты инерции каждой фигуры;

А_i– площадь сечения каждой фигуры;

а_i – расстояние от центра тяжести каждой фигуры до главной центральной оси х;

b_i – расстояние от центра тяжести каждой фигуры до главной центральной оси у.

Фигура 1 – прямоугольник

Расстояние а₁ от С₁ до оси х покажем на схеме. Из схемы видно, что а₁=- ( у_С — у₁ )= -0,8 см. Так как С₁находится на оси у, то b₁=0.

Фигура 2 – треугольник

Находим а₂ =  у₂ — у_С = 7 — 3,8= 3,2 см, отмечаем на схеме.

b₂=0, т.к. С₂ находится на оси у.

Подставляем значения в формулы перехода и определяем:

— главный центральный момент инерции сечения относительно оси х

— главный центральный момент инерции сечения относительно оси у

Таким образом,

Запись опубликована 06. 09.2016 автором admin в рубрике Задачи на геометрические характеристики.

Для заданного поперечного сечения, состоящего из швеллера и равнобокого (равнополочного) уголка   требуется определить главные центральные моменты инерции

1)  Вычерчиваем сечение в масштабе.

2)  Разбиваем на простейшие фигуры:

       1. Швеллер №30 (пользуемся сортаментом прокатных профилей):

   2. Уголок :

3)  В каждой фигуре найти собственный центр тяжести С₁ и С_{2   ,}провести собственные оси.

4)  Выбрать вспомогательные оси  .

5) Относительно вспомогательных осей определить центр тяжести всей фигуры:

Через найденный центр тяжести проводим центральные оси.

6) Находим моменты инерции всей фигуры относительно центральных осей, используя формулы перехода между параллельными осями

При определении центробежного момента инерции следует помнить ,что если фигура имеет хотя бы одну ось симметрии, то эта ось является главной, вторая ось, перпендикулярная ей, тоже главная. Центробежный момент относительно главных осей равен 0. Таким образом, для швеллера  

Для уголка  см⁴,  знак зависит от расположения уголка (см. Таблицы «Знак центробежного момента для уголков»). В нашем случае он положительный.

Здесь: а_i – расстояния между центральной осью Х и собственным центром тяжести каждой фигуры,

b_i – расстояние между центральной осью Y и собственным центром тяжести каждой фигуры 

Как видим из вычислений, центробежный момент инерции сечения значит, центральные оси Х;Y не являются главными!

7) Определим положение главных осeй через угол α₀:

Знак «-» означает, что надо повернуть оси Х, У по часовой стрелке.

8) Определим главные моменты инерции сечения

 9) Проверка: Сумма моментов инерции относительно любых двух взаимно перпендикулярных осей есть величина постоянная:

Проверка выполняется.

 

Запись опубликована 06.12.2014 автором admin в рубрике Задачи на геометрические характеристики.

Найти главные центральные моменты инерции.

 

1. Подготовка исходных данных.

Из сортамента выписываем:

— для двутавра №10:

— для швеллера №20:

Нумеруем составные части, показываем их центры тяжести (С₁, С₂, С₃) и собственные центральные оси каждой из них (х₁,у₁; х₂,у₂; х₃,у₃).

2.  Поскольку сечение имеет одну ось симметрии, то она – одна из главных центральных (у₀). Найдем положение центра тяжести на этой оси. Для этого выберем вспомогательную ось х‘, перпендикулярную оси симметрии, и реализуем формулу:

которая и определит расстояние от оси х‘ до искомого центра тяжести.

Тогда А=А₁+А₂+А₃=2×20+14,3+28,83=83,15 см²,

тогда

Показываем на схеме центр тяжести «С» и проводим вторую главную центральную ось х₀.

Ординаты собственных центров тяжести простых фигур в системе главных центральных осей:

3. Вычисляем главные центральные моменты инерции

Итак, 

 

 

 

Запись опубликована 20. 09.2014 автором admin в рубрике Задачи, Задачи на геометрические характеристики.

Определить главные центральные моменты инерции сечения.

Составные простые части сечения: прямоугольник 100×60см (I),  полукруг r=30см  (IIи III), треугольник 100×30см (IV). 

Вертикальная ось симметрии у₀ является одной из главных центральных осей.

1. Найдем положение центра тяжести сечения на оси симметрии. Для этого выберем вспомогательную ось х‘, перпендикулярную оси симметрии. Пусть она совпадает с осями: х₁, х₂, х₃

.

 

Общая площадь А = А₁ — А₂ — А₃ + А₄ = 6000 – 1415 – 1415 + 1500 = 4670см².

Статический момент относительно вспомогательной оси х‘:

Тогда

значит, центр тяжести сечения располагается на 12,8см выше вспомогательной оси х‘.

 

2. Вычисляем осевые моменты инерции    

Они и будут главными центральными моментами инерции сечения.

Здесь применялись формулы:

 

 

 

Запись опубликована 20.09.2014 автором admin в рубрике Задачи, Задачи на геометрические характеристики.

Найти главные центральные моменты инерции сечения, состоящего из листа 40×2см и двух уголков №14/9.

Исходные данные из сортамента для неравнобокого уголка №14/9.

Сечение имеет одну ось симметрии. Она – одна из главных центральных. Обозначаем её х₀. Чтобы показать вторую главную центральную ось, надо найти положение центра тяжести на оси симметрии:

Выбираем вспомогательную ось у‘, перпендикулярную к оси симметрии и вычисляем статический момент сложного сечения относительно этой оси:

Проводим главную центральную ось у₀ через найденный центр тяжести.  

Вычисляем непосредственно главные центральные моменты инерции:

Таким образом, 

 

Запись опубликована 20.09.2014 автором admin в рубрике Задачи, Задачи на геометрические характеристики.

Требуется найти главные центральные моменты инерции.

Сечение имеет две оси симметрии. Следовательно, центр тяжести совпадает с точкой пересечения этих осей, а сами они оказываются главными центральными осями.

Остается лишь вычислить осевые моменты инерции относительно осей х₀ и у₀.

«Разбиваем» сечение на простые фигуры: прямоугольник 6×8см и два круга r=1см. Тогда:

Итак

,

 

 

Запись опубликована 20. 09.2014 автором admin в рубрике Задачи, Задачи на геометрические характеристики.

Требуется определить величины главных центральных моментов инерции.

Сечение имеет одну ось  симметрии.

На основании первого признака главных осей для симметричных сечений можно утверждать, что ось симметрии является одной из главных центральных осей. Обозначаем ее «у₀». Значит, вторая главная центральная ось, перпендикулярная оси симметрии, должна проходить через центр тяжести сечения.

Следовательно, нам достаточно только найти положение центра тяжести на оси симметрии, а для этого необходимо вычислить одну лишь координату его по формуле:

С этой целью выбираем вспомогательную ось х‘, «разбиваем» сложное сечение на прямоугольник со сторонами 10 и 4см и треугольник с основанием 4см и высотой 3см.

Тогда:

Проводим через найденный центр тяжести вторую главную центральную ось х₀.

Расстояние между осями х₁ и х₀: а₁=5 — 4,3 =0,7см, а расстояние между осями х₂ и х₀: а₂=10 – 1 — 4,3 = 4,7см.

Таким образом, положение главных центральных осей найдено, осталось вычислить величины главных центральных моментов инерции:

 

Запись опубликована 20.09.2014 автором admin в рубрике Задачи, Задачи на геометрические характеристики.

х‘, у‘ – вспомогательные оси при определении положения центра тяжести сечения,

S_х’, S_у’ – статические моменты относительно вспомогательных осей,

х_с, у_с – координаты центра тяжести сечения, а также и обозначение случайных (т. е. не главных) центральных осей,

х₀, у₀ – главные центральные оси,

α₀– угол поворота главных центральных осей от случайных центральных осей х_с и у_с,

, — главные центральные моменты инерции,

с_i – центры тяжести отдельных фигур, из которых состоит сечение сложной формы,

х_i, у_i – собственные центральные оси отдельных фигур, а также и координаты центров тяжести отдельных фигур в системе вспомогательных осей х‘, у‘,

а_i, в_i – расстояния между собственными центральными осями отдельных фигур х_i, у_i и случайными центральными осями всего сечения х_с, у_с.

 

Запись опубликована 12. 09.2014 автором admin в рубрике Задачи, Задачи на геометрические характеристики.

Требуется определить положение главных центральных осей и величины главных центральных моментов инерции.

Сечение имеет сложную форму, состоит их 4^х простых фигур:

I – швеллера №30^а,

II – прямоугольника 2×40см,

III – двутавра №20^а,

IV – равнобокого уголка №12 (d=10мм).

Всё начинается с подготовки исходных данных. С этой целью необходимо сделать выписки из таблиц Сортамента прокатных сечений (см. рубрику «Таблицы»).

Этап 0. Подготовительный

Фигура I. Швеллер №30^а

Фигура II – прямоугольник 2×40см, В сортаменте прокатной стали этой фигуры нет, поскольку все геометрические характеристики ее свободно вычисляются

Фигура III. Двутавр №20^а.

Фигура IV. Равнобокий уголок №12 (d=10мм).

Пользуясь данными сортамента, на схеме сечения, вычерченной в достаточно крупном масштабе, показываем положение центров тяжести каждой из фигур и собственные центральные оси х_i, у_i.

Этап 1. Определение положения центра тяжести сечения. Сечение не имеет осей симметрии. Поэтому придётся определять две координаты центра тяжести, используя формулы:

Для реализации этих формул выбираем вспомогательные оси х‘ и у‘ (см.схему сечения).

Площади отдельных фигур: А₁=43,89см², А₂=2×40=80см²,

А₃=35,5см², А₄=23,3см².

Координаты центров тяжести отдельных фигур:

Площадь всего сечения А=182,7см².

Тогда координаты собственных центров тяжести отдельных фигур в системе случайных центральных осей х_с, у_сбудут:

а₁=2,66см,                            b₁=-7,5см

а₂=-2,34см,                           b₂=-1,93см

а₃=-7,34см,                           b₃=9,07см

а₄=14,33см,                           b₄=2,4см.

Этап 2.  Определение моментов инерции относительно случайных центральных осей  х_с, у_с.

Справочные сведения о знаке собственного центробежного момента инерции уголка (равнобокого и неравнобокого):

Справочные сведения для определения собственного центробежного момента инерции неравнобокого уголка:  

Этап 3. Определение положения главных центральных осей

Положительный угол  α₀ соответствует повороту против часовой стрелки главных осей относительно случайных (см.схему).

Этап 4. Определение величин главных центральных моментов инерции

Правило: Ось с максимальным главным моментом инерции «тяготеет» к более тяжелой случайной оси. Поэтому в нашем случае:

тогда 

 

Проверки.

1. Выполнение закона суммы осевых моментов инерции.

Для этого сравним

.

 

получаем:

Разница в последней цифре дает незначительную погрешность <<5%, что вполне допустимо в инженерных расчетах.

2. Проверка правильности вычислений.

Суть ее в том, что если все сделано правильно, то центробежный момент инерции сечения относительно найденных нами главных осей должен равняться нулю.

Подставляя сюда    и sin13˚20’=0,2306,                                                    cos13˚20’=0,9730,имеем

погрешность составляет:

И эта проверка выполняется.

 

 

Запись опубликована 11.09.2014 автором admin в рубрике Задачи, Задачи на геометрические характеристики.

Альтернативный метод определения MoI

Расчет момента инерции может быть очень, очень, очень сложной задачей для объекта любой сложности. Вообще говоря, у нас есть четыре варианта:

Вариант 1: Сложная математика

Уууууу

Вариант 2: Головоломка

Математика для расчета момента инерции сложна. В большинстве случаев это достигается путем взятия заранее полученных формул момента инерции и составления их вместе, как головоломки. Например, представьте, что вы пытаетесь рассчитать момент инерции куба с прямоугольным отверстием. Вы не хотите заниматься математикой, но никто не подготовил для вас точную формулу.

Вместо этого вы разбиваете задачу на несколько более простых компонентов (тех, у которых есть формулы), вычисляете момент инерции каждого, а затем складываете их все вместе.

Это похоже на расчет момента инерции лезвия, крестовины, рукояти и навершия по отдельности и сложение их всех вместе. К сожалению, на странице Википедии, где перечислены моменты инерции, похоже, нет записей о крестовинах и лезвиях мечей.

Пока нет…

Вариант 3: Компьютерная магия

«Численные методы» на языке инженеров означают «к черту математику, пусть компьютер найдет решение методом перебора». По сути, форма разбита на массу очень маленьких и разрешимых элементов, а компьютер обрабатывает математику. Этот метод известен как анализ конечных элементов (FEA), и он заменяет умную математику (что-то, с чем компьютеры плохо справляются) для выполнения тонны простой математики (с которой компьютеры очень хороши). Если вы когда-либо видели контурную диаграмму напряжений или температурный анализ объекта, вы смотрите на результаты МКЭ. В фигуре ниже вы можете увидеть маленькие кусочки, на которые эта фигура была разбита компьютером.

С точки зрения HEMA есть две трудности:

1. Этот тип программного обеспечения стоит дорого. Удачи в этом, если только вы не одалживаете лицензию в своей школе или на работе.
2. Вам нужны очень точные размеры меча. Вам понадобится не только хорошая трехмерная модель сложной геометрии лезвия и рукояти, но и хвостовик внутри рукояти.

Вариант 4. Переместите и посмотрите, что произойдет

Учитывая, что статическое тестирование невозможно, а вычисление момента инерции очень сложно, решение состоит в том, чтобы переместить объект и посмотреть, что произойдет. Момент инерции – это сопротивление вращению. Таким образом, если приложен известный крутящий момент и наблюдается вращение, мы можем рассчитать, каким был момент инерции.

В прошлом Винсент Ле Шевалье подготовил документацию по использованию маятникового теста для измерения характеристик вращающихся лопастей и дал очень хорошие результаты. (Измерение мечей как маятников)

Фотографии установки Винсента

Я никогда не был большим поклонником такого подхода. Не потому, что он не работает, он работает очень хорошо. Просто мне это казалось слишком сложным, и мне было интересно, смогу ли я сделать это лучше.

Спойлеры, если вы не хотите читать статью до конца: я не смог. Но, поскольку я беру на себя обязательство быть более честным, чем 99% научного сообщества, здесь я сообщаю о своих отрицательных результатах.

Теория

Вращательное ускорение (и замедление) объекта определяется его моментом инерции. Вот почему мы заинтересованы в собственности. Связь между ускорением вращения и моментом инерции такая же, как и более известная связь между линейным ускорением и массой (F = мА).

τ = α * I

α = ускорение вращения τ = Момент (он же Крутящий момент) I = Момент инерции

Итак, если мы знаем ускорение вращения и крутящий момент, мы знаем момент инерции.

Представим меч, стоящий на точке опоры. (Это неуравновешенное положение; если вы установите меч таким образом, он упадет.) Мы начинаем с создания диаграммы свободного тела, которая представляет собой диаграмму всех сил, действующих на интересующий нас объект. В этом случае набросок ясно дает понять, какой момент воздействует на меч.

«Начните со свободной диаграммы тела» настолько священно среди профессоров физики, что обычно можно получить приличное количество частичных знаков сожаления, нацарапав один за вопрос, который вы понятия не имеете, как решить.

Удобно то, что вы можете измерить где угодно . Поскольку нас интересует момент, а не сила, мы можем измерить где угодно и получить тот же результат. Если вы измерите близко к кончику, вы получите малую силу и большую длину, если вы измерите ближе к крестовине, вы получите большую силу и малую длину. Тот же конечный результат.

Измерение ускорения

Измерение ускорения меча было выполнено с использованием высокоскоростной записи падения меча. Я установил меч точно так, как показано на диаграмме моего свободного тела выше, однако кончик меча удерживался тонкой нитью.

Как только нить перерезана, меч начинает падать, и вычисляется ускорение лезвия.

Красные метки — это положение лезвия в каждом кадре.

Сложив все вместе, мы получим красивую кривую ускорения наконечника.

И бац! У нас есть все необходимое, чтобы получить момент инерции.

Подтверждение

Прежде чем я смогу броситься тестировать мечи, мне нужно проверить мой метод*. Теоретически это совершенно правильно, но приведет ли это к хорошему результату?

*Ладно, я сразу выбежал и проверил меч. Но я знал, что пока не могу доверять результатам.

Для проверки метода я купил железную трубу длиной 4 фута. Почему? Потому что это объект, похожий на меч и обладающий известным моментом инерции. Помните, как я упомянул, что для определенных фигур существуют заранее выведенные формулы? Длинный стержень — одна из таких форм. Зная массу и длину, я смог вычислить момент инерции.

Хотя трубка и не такая ловкая и острая, как меч, она сама по себе представляет угрозу.

Я выполнил тест дважды, используя две разные опорные точки, чтобы убедиться, что мои результаты воспроизводятся. Воспроизводимость была хорошей, не отличной, но были и другие плохие новости.

Метод не очень близок к фактическому расчетному значению трубы. Это означает, что использование этого для получения точных результатов на мечах — все еще несбыточная мечта!

Вывод

В заключение, я не собираюсь использовать этот метод в ближайшее время. Ниже я подробно расскажу о том, что именно пошло не так (это неотъемлемое свойство поля зрения камеры), и у меня есть некоторые идеи о том, как именно изменить способ измерения. Но, к счастью, у нас есть существующий и точный метод, которым можно пользоваться. Пришло время обмотать веревку петлями вокруг гвоздей!

Вещи для ботаников

Прежде чем мы углубимся в источники ошибок, давайте подумаем, какие ошибки мы ищем. Все результаты испытаний занижали момент инерции, что означает, что меч падал быстрее, чем ожидалось.

Примечание. Значение, которое я показываю на графике окончательных результатов, представляет собой MoI вокруг центра масс. Значения рассчитываются относительно точки поворота, а затем переносятся в центр масс с использованием теоремы о параллельных осях. Поскольку этот расчет уменьшает экспериментальное и теоретическое значение на одно и то же число, процентная ошибка меньше для расчета вокруг точки разворота. Я все еще обдумываю все последствия этого — может ли это быть просто изящным трюком, чтобы скрыть ошибку теста, или может быть полезен для динамики меча, поскольку у нас почти никогда нет меча, вращающегося вокруг своего центра в расчетах.

Искажение камеры (1)

Длина видеоматериала может искажаться в зависимости от того, насколько далеко вы находитесь от центра камеры. Одно и то же расстояние будет искажено, так что одна и та же «длина» на финальном видео будет разной в зависимости от того, находится ли объект в центре фокуса камеры или рядом с краем видео.

Теоретически вы можете легко вычислить это с помощью тригонометрии, как я сделал на диаграмме выше. Однако современные камеры используют много причудливых линз и программной коррекции, чтобы попытаться свести к минимуму такие вещи, поэтому невозможно узнать, какой эффект это оказывает. Что я могу сделать, так это проверить окончательные результаты.

Я осмотрел измерительную ленту на заднем плане, чтобы убедиться, что все отметки на рулетке имеют одинаковый интервал. Все результаты отличались в пределах 3% друг от друга и, казалось, не имели какой-либо заметной тенденции, когда я двигался вверх или вниз по ленте. И 3% действительно снижают мою способность точно измерять с этим разрешением. На изображении ниже вы видите сегменты линии «минимальной» и «максимальной» длины рядом друг с другом, которые я вполне могу определить на глаз.

(Для тех, кто ведет счет дома, 0,03 * 0,01 м означает, что линейные сегменты совпадают с точностью до 300 микрометров.)

Искажение камеры (2)

Известная проблема с использованием захвата движения связана с расстоянием от камеры. Это эффект перспективы, хотя он также проявляется в зависимости от бокового положения. Даже если два объекта находятся на одинаковом горизонтальном расстоянии от камеры, они находятся на разном общем расстоянии. (Черт бы побрал этого Пифагора!)

Что произойдет, если я измерю толщину трубы вверху и внизу капли?

Похоже, это виновник. Я старался держать измерительную ленту максимально близко к трубе; однако труба имеет свою толщину, искажающую вид по ширине! С такой близкой камерой (для хорошего разрешения) это невозможно исправить с помощью простой экспериментальной настройки. Конечно, все решаемо с большим количеством математики, но это намного больше постобработки, чем разумно. Особенно, если я хочу иметь возможность измерять большое количество мечей.

Итак, я должен внести изменения. Я, вероятно, попытаюсь засечь время падения на фиксированном расстоянии, что позволит мне избежать необходимости проводить измерения с камеры. Сначала я отверг этот подход, потому что полагал, что будут кадр или два, где будет неоднозначно, падает он или нет. Это добавит фактор ошибки к конечному измерению времени, но я думаю, что в целом это не будет иметь значения.

Аутичная инерция – Исследования и размышления о том, почему аутичные люди застревают

Главная  >  Аутичная инерция

Этот сайт посвящен аутистической инерции . Суть в том, чтобы предоставлять обновления и контактировать по поводу моих исследований по этому вопросу, но я также могу прокомментировать другие исследования, которые я нахожу. Мой личный блог находится здесь: Wading Through Treacle.

---

Инерция в физике

В физике термин «инерция» — это тенденция объекта оставаться в одном и том же состоянии движения (включая отсутствие движения), если что-то внешнее не изменит его. Это обычно указывается как:

1. Движущийся объект имеет тенденцию оставаться в движении, если он не остановлен или не изменен силой, и
2. Объект в состоянии покоя имеет тенденцию оставаться в покое, если не будет изменен (перемещен) силой.

Аутическая инерция

В данном контексте инерцией обладает не объект, а внимание, мышление или движение человека. Аутичные люди склонны останавливаться на одной задаче (или вообще ни на одной задаче), если только их не остановит (или не запустит) крупная внешняя сила или огромный акт воли. Это относится как к началу работы или сосредоточению внимания, так и к остановке после того, как вы чем-то заняты.

Аутичная инертность может быть связана с другими состояниями, которые являются частью аутизма или часто сопровождают его, например, тревога , исполнительная дисфункция или кататония . Некоторые люди, испытывающие проблемы инерционного типа, могут предпочесть один из этих терминов для их описания.

На что похожа аутичная инерция?

Инерция может влиять на очень мелкие движения, а также на обширные области. Кто-то с инерцией может «застрять» на полпути в движении, таком как наливание, в результате чего он прольется. Они также могут застрять в повторяющихся движениях или мыслях. Инерция может быть гиперфокусом, например, на основной интересующей теме, или фиксацией на мелких деталях текстуры объекта.

Инерция может включать в себя трудности с:

• «началом работы», началом работы, приведением тела в движение,
• изменением активности и/или концентрации внимания,
• адаптацией движений к быстро меняющейся обстановке,
• выполнением задачи без полное понимание того, что нужно делать и почему,
• остановка внимания на нужном фокусе (т.е. само внимание находится «в движении»),
• начало и остановка движений,
• смена объекта фокусировки,
• менять задачи,
• делать что-то, несмотря на то, что знает как и хочет.

Как инертность влияет на жизнь

Инертность может быть одной из самых неприятных характеристик для очень способного аутичного человека. Несмотря на то, что он умен и мотивирован, инерция может затруднить выполнение любой задачи. Это может быть даже основным препятствием на пути к самостоятельной жизни. С другой стороны, инерция может иметь преимущества. Способность к гиперфокусировке позволяет работать в течение длительных периодов времени — часто работать всю ночь и продолжаться несколько дней. Тематическая инерция может привести к большой глубине понимания конкретного предмета. Когда инерция сосредоточена в нужном направлении, ее почти невозможно остановить. Если мешающие аспекты можно приспособить или преодолеть, инерция может стать большим преимуществом.

Я работаю над сбором доказательств того, что это реальная проблема для аутичных людей. А пока, если это затронет вас или кого-то из ваших знакомых, постарайтесь проявить понимание. Обвинение аутичного человека только усложнит работу. Действия, как будто проблема связана с произвольным контролем движений, обычно работают лучше, чем стратегии, которые должны мотивировать. Отношение к трудностям как к инвалидности, а не как к недостатку характера, позволяет использовать другой, более мягкий и поддерживающий подход.