Физические основы механики

Если какое-либо тело привести во вращение относительно произвольной оси и затем предоставить самому себе, то положение оси вращения в пространстве, вообще говоря, изменится: ось будет либо поворачиваться, либо перемещаться относительно инерциальной системы отсчета. Для того, чтобы произвольно взятую ось удерживать в неизменном положении, к ней необходимо приложить определенные силы.

Ось вращения тела, положение которой в пространстве сохраняется без приложения извне каких-либо сил, называется свободной осью тела.

Можно показать, что существуют по крайне мере три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс тела, которые могут служить свободными осями. Такие оси называются главными осями инерции тела.

Моменты инерции тела относительно главных осей называются главными моментами инерции.

Для тел, обладающих осевой симметрией (например, у однородного цилиндра), одна из главных осей совпадает с осью симметрии, а две любые оси, перпендикулярные к оси симметрии и друг другу и проходящие через центр масс тела, также являются главными (рис. 7.15). Моменты инерции относительно двух последних осей равны друг другу, а момент инерции относительно оси симметрии отличен от них

Такое тело называется симметричным волчком.

Рис. 7.15. Главные оси однородного цилиндра

У тела с центральной симметрией (например, у однородного шара) любые три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр симметрии, являются главными. Для них

Такие тела называются шаровыми волчками. Любая ось шарового волчка, проходящая через центр симметрии, является главной (а, значит, и свободной).

В общем случае главные моменты инерции тела различны, то есть

Такое тело называется асимметричным волчком. Примером асимметричного волчка может служить однородный прямоугольный параллелепипед (рис. 7.16).

Рис. 7.16. Главные оси однородного параллелепипеда

При «почти» свободном вращении на тело могут действовать малые возмущения. Если при таких возмущениях ось вращения мало изменяет свое положение, то вращение называется устойчивым. В противном случае говорят о неустойчивом вращении.

Пусть для асимметричного волчка для определенности имеет место следующее соотношение между главными моментами инерции:

Можно показать, что вращение вокруг осей 1 и 3 (то есть осей с максимальными и минимальными моментами инерции) будет устойчивым, а вокруг оси 2 (с промежуточным по величине моментом инерции) — неустойчивым.

Видео 7.4. Устойчивость полета в воздухе прямоугольного параллелепипеда

Пусть тело вращается вокруг одной из главных осей, например, вокруг оси z. Тогда вектор угловой скорости имеет вид

Компоненты момента импульса тела будут равны

или в векторном виде

То есть этом случае момент импульса параллелен оси вращения

Видео 7.5. Устойчивое вращение стержня, диска и цепочки вокруг той свободной оси, которой соответствует максимальный момент инерции

Если тело вращается в отсутствие внешних сил (), то согласно закону сохранения момента импульса в этом случае

В общем случае вектор угловой скорости вращается вокруг момента импульса. Однако если ось вращения совпадает с одной из главных осей, то ось вращения сохраняет свою ориентацию в пространстве в отсутствие внешних сил.

5.4. Момент инерции твердого тела Физические основы…

Сразу хочу сказать, что здесь никакой воды про момент инерции твердого тела, и только нужная информация. Для того чтобы лучше понимать что такое момент инерции твердого тела , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Физические основы механики.

Чтобы найти момент инерции тела, надо просуммировать момент инерции всех материальных точек, составляющих данное тело

 

(5.4)

В общем случае, если тело сплошное, оно представляет собой совокупность множества точек с бесконечно малыми массами , и моменты инерции тела определяется интегралом

(5. 5)

о где — расстояние от элемента  до оси вращения.

Распределение массы в пределах тела можно охарактеризовать с помощью
плотности

(5.5)

где m — масса однородного тела, V — его объем. Для тела с неравномерно распределенной массой это выражение даетсреднюю плотность.

Плотность в данной точке в этом случае определяется следующим образом

и тогда

(5.6)

Пределы интегрирования зависят от формы и размеров тела Интегрирование уравнения (5.5) наиболее просто осуществить для тех случаев, когда ось вращения проходит через центр тяжести тела . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Рассмотрим результаты интегрирования для простейших (геометрически правильных) форм твердого тела, масса которого равномерно распределена по объему.

Момент инерции полого цилиндра с тонкими стенками, радиуса R.

Для полого цилиндра с тонкими стенками

Сплошной однородный диск. Ось вращения является осью диска радиуса . и массы m с плотностью Высота диска h. Внутри диска на расстоянии вырежем пустотелый цилиндр с толщиной стенки  и массой. Для него

Весь диск можно разбить на бесконечное множество цилиндров, а затем просуммировать:

Момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр тяжести.

Момент инерции стержня длиной L и массой m относительно оси, проходящей:

а) через центр стержня — 

б) через начало стержня — 

Теорема Штейнера. Имеем тело, момент инерции которого относительно оси, проходящей через его центр масс  известен. Необходимо определить момент инерции относительно произвольно оси  параллельной оси .

Согласно теореме Штейнера, момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной данной оси, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями:

(5.7)

Статью про момент инерции твердого тела я написал специально для тебя. Если ты хотел бы внести свой вклад в развии теории и практики, ты можешь написать коммент или статью отправив на мою почту в разделе контакты. Этим ты поможешь другим читателям, ведь ты хочешь это сделать? Надеюсь, что теперь ты понял что такое момент инерции твердого тела и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Физические основы механики

Из статьи мы узнали кратко, но емко про момент инерции твердого тела

Как рассчитать момент инерции твердого тела?

Go Homeshopping Cart

Search

Войдите в Avatar

Электронная почта или Avatar-ID

Пароль

Обновления разблокировки

• ✅ Разблокировать все физические видео
• ✅ Разблокировка All Erraity Solutions
5 «Золотые».
• ✅ Разблокировать все загрузки
• ✅ Скрыть рекламу

Хотите разблокировать весь контент и имеет ?

Да, хочу!

Ответ #1

Уровень 3 (с высшей математикой)

Ответил Александр Фуфаев (07.06.2020 — 22:38)

Итак, вы хотите вычислить момент инерции \( I \ ) жесткой системы, вращающейся вокруг неподвижной оси. Конечно, вы должны определить ось вращения. Момент инерции противодействует вращательному движению и зависит от распределения масс системы, т.е. от массы, распределенной вокруг оси вращения. Здесь мы должны различать, имеет ли система дискретное распределение массы (например, планеты, вращающиеся вокруг Солнца) или если оно имеет непрерывное распределение массы (например, вращающийся цилиндр).

В дискретном распределении масс у вас есть \(N\) масс, распределенных в пространстве и находящихся на разных расстояниях \(r\) от оси вращения. Чтобы определить момент инерции \(I\) для этой дискретной вращающейся системы, нужно знать отдельных масс \(m_i\) и их расстояний по перпендикуляру 92 \end{align} $$

В непрерывном распределении массы у вас нет дискретных масс, но общая масса «размазана» по определенной области пространства. Например, полый цилиндр имеет непрерывное распределение массы, когда его масса размазывается по поверхности. Чтобы вычислить момент инерции \( I \) такой системы, вы должны заменить дискретное суммирование в 1 интегралом, а массы \(m_i\) плотностью массы \(\rho(\boldsymbol {р})\). Затем вы интегрируете по 92 \, \rho(\boldsymbol{r}) \, \text{d}v \end{align} $$

Заданная массовая плотность \(\rho(\boldsymbol{r})\) для трех- размерная система зависит от вектора положения \(\boldsymbol{r} \) и элемента объема \(\text{d}v\), в котором масса \(\rho(\boldsymbol{r}) \text{d }v\) находится на расстоянии \( r_{\perp} \) по перпендикуляру к оси вращения.

Если теоретическое определение с помощью интеграла затруднено (поскольку система не имеет симметрий), то можно определить момент инерции экспериментально . Для этого измеряют общий крутящий момент \(M\) и угловое ускорение \(\alpha\) и вычисляют момент инерции \(I\) по их соотношению:

Второй закон Ньютона. для вращения

Якорь формулы $$ \begin{align} I ~=~ \frac{M}{\alpha} \end{align} $$

Крутящий момент и угловое ускорение диска (непрерывное распределение массы).

Для использования этой формы у вас должен быть включен JavaScript.

Эй! Я Александр Фуфа eV

У меня есть степень в области физики, и я написал этот контент. Для меня важно, чтобы вы были довольны , когда пришли сюда, чтобы получить ответы на свои вопросы и решить проблемы. Но так как у меня нет хрустального шара, я рассчитываю на ваши отзывы. Таким образом, я смогу устранить ошибки и улучшить этот контент, чтобы другие посетители могли извлечь пользу из ваших отзывов.

Насколько вы удовлетворены?

Рейтинг

Момент инерции | Введение и расчеты в твердых телах

Момент инерции
Согласно первому закону движения Ньютона, тело должно оставаться в своем собственном состоянии покоя или равномерного движения, если только к нему не принуждается какая-либо внешняя сила. На основании этого закона инерция есть инертность или неспособность тела изменить свое состояние покоя или равномерного движения самостоятельно. Это фундаментальное свойство материи.

Аналогично, при вращательном движении тело, вращающееся вокруг оси, сопротивляется любому изменению, которое необходимо произвести в его состоянии. Это свойство тела называется инерцией вращения или моментом инерции.

Рассмотрим твердое тело, состоящее из большого количества мелких частиц массой m ₁ , m ₂ , m _3, . ……. m _n . Предположим, что тело вращается вокруг оси YY’ на расстоянии r

1 , r ₂ , ……, r _n , как показано на рисунке

. Моменты инерции этих масс составляют m ₁ r ₁ ² , m ₂ r ₂ ² , m ₃ 6 r 391270146 2  ,……,m _n r _n ²  . Then the moment of inertia I of the body is

     I = m ₁ r ₁ ²  + m ₂ r ₂ ²  + m ₃ r ₃ ²  + ……. + m _n r _n ²

     I = ∑m _i r _i

Следовательно, момент инерции есть сумма произведения их различных частиц на квадрат масс перпендикулярные расстояния от оси вращения.

Расчет момента инерции твердых тел

Рассмотрим тонкий и однородный стержень массы m и длины l, вращающийся вокруг оси YY’, проходящей из его центра. Чтобы найти момент инерции, предположим, что небольшой элемент массы «m» и длины «dx» находится на расстоянии x m от оси вращения.

Момент инерции малой массы I _м = mx ²

….. (i)

Мы знаем, что масса единицы длины стержня P = m/ l                                    

для малого элемента,

ρ = M/DX

M = P DX

M = M/L DX

Интеграционное уравнение (I),

^L/2 ʃ _-L/2 I _м =  ^л/2 ʃ _-l/2 м x ²

I = ^L/2 ʃ _-L/2 M/L x ² DX

I = M/L ^L/2 ʃ _-L/2 x ² DX

47.

47.

7.

7.

7

7. _. x ² . = Ml ²  / 12

Рассмотрим тонкий и однородный стержень массы m и длины l, вращающийся вокруг оси YY, проходящей с одного его конца. Предположим, что WX — другая ось, проходящая через центр стержня.