Момент инерции тела и материальной точки. Формулы для цилиндра и стержня. Физический смысл величины — OneKu
Содержание статьи:
- Динамика вращения
- Момент инерции твердого тела
- Величина I для цилиндра
- Величина I для стержня
- Физический смысл величины
В школьном курсе физики большое внимание уделяется описанию кинематики и динамики поступательного движения тел в трехмерном пространстве. Но вращательное движение играет не менее важную роль в технике и природе. В данной статье рассмотрим, что понимают под моментом инерции тела при его вращении вокруг оси.
Динамика вращения
Прежде чем давать определение момента инерции тела, расскажем, для чего нужна эта величина и в каких уравнениях она появляется. В первую очередь, это главное уравнение динамики вращения — формула моментов. Записывается она так:
Вам будет интересно:Карцер – это помещение с особым режимом содержания
M = I*α.
Здесь M, α и I — это момент силы, ускорение угловое и инерции момент, соответственно. По сути, это уравнение можно назвать вторым ньютоновским законом для вращательного движения. Несложно догадаться, что величина I здесь играет ту же самую роль, что инерционная масса в случае поступательного движения.
Помимо приведенного уравнения, существует еще одна важная формула, которая применяется часто для решения задач на вращение тел — это закон сохранения момента импульса. Его, как правило, записывают в следующей удобной для практики форме:
I*ω = const.
Как видим, здесь инерции момент тоже является ключевой величиной, ω — это скорость угловая.
Момент инерции твердого тела
Теперь пришло время дать определение величине I. Сначала рассмотрим его для материальной точки. Ее моментом инерции называется произведение массы на квадрат расстояния до оси вращения. Если массу обозначить буквой m, а дистанцию до оси от точки буквой r, то формула для I запишется так:
I = m*r2.
Как видно, I выражается в кг*м2. Равенство для точки можно использовать для определения момента инерции тела относительно оси. В этом случае применяют следующее интегральное выражение:
I = ∫m(r2*dm).
Эта формула применяется для вычисления величин I абсолютно любых систем с разными геометрическими формами. Последнее равенство также используют при решении практических задач в следующем виде:
I = ∫V(ρ*r2*dV).
Где ρ — плотность вещества. Ниже в статье покажем, как использовать интегральное равенство для решения конкретных задач.
Величина I для цилиндра
Каждый школьник представляет себе фигуру «цилиндр». По правде говоря, они бывают самыми разными (эллиптическими, гиперболическими, наклонными). Здесь рассмотрим самый простой случай. Это круговой прямой цилиндр, который ограничен цилиндрической поверхностью и двумя одинаковыми кругами. Ось вращения фигуры проходит через ее центр масс и через центры обоих оснований. Вычислим относительно нее инерции момент тела.
Запишем исходную формулу:
I = ∫V(ρ*r2*dV).
Чтобы ее применить, представим себе цилиндр в виде тонко нарезанных круглых одинаковых слоев. Обозначим их толщину dl, радиус фигуры равен R, а высота — L. Теперь каждый тонкий слой объемом pi*R2*dl разрежем на бесконечное множество колец, толщина каждого из которых равна dr. После выполнения всех описанных мысленных геометрических операций можно записать формулу для элементарного объема dV, то есть для объема одного кольца:
dV = 2*pi*r*dr*dl.
В результате этого представления исходное выражение для I преобразуется в формулу с двойным интегралом:
I = ∫L∫R(ρ*r2*2*pi*r*dr*dl) = 2*pi*ρ*L*R4/4 = M*R2/2.
Где буквой M обозначена масса всего цилиндра.
Таким образом, мы получили конечное выражение для инерции момента цилиндра. Как видно, он определяется только радиусом фигуры и ее массой и не зависит от длины (высоты). Последнее означает, что аналогичную формулу можно применять для определения величины I для диска любой толщины.
Величина I для стержня
Теперь применим формулу для определения момента инерции тонкого стержня. Принципиальным моментом здесь является тот факт, что его толщина должна быть намного меньше длины L. Массу стержня обозначим буквой M. Момент инерции рассчитаем для положения оси, которая проходит через центр масс тела и перпендикулярна ему.
Начнем расчет все с той же формулы, что и в случае с цилиндром:
I = ∫V(ρ*r2*dV).
Мысленно разрежем весь стержень на тонкие слои. Обозначим площадь сечения каждого из них S, а его толщину — dl. Тогда получаем формулу для dV:
dV = S*dl.
Теперь можно вычислить инерции момент тела:
I = ∫-L/2+L/2(ρ*S*l2*dl).
Заметим, что каждый слой находится от оси вращения на расстоянии l, поэтому мы заменили букву r. Кроме того, обращаем внимание на пределы интегрирования, которые имеют такое значение потому, что ось проходит точно через середину стержня. В итоге получаем:
I = ∫-L/2+L/2(ρ*S*l2*dl) = ρ*S*l3/3|-L/2+L/2 = M*L2/12.
С помощью аналогичных рассуждений и вычислений можно показать, что если ось вращения проходит через какой-либо конец стержня, то его момент инерции будет в четыре раза больше, то есть:
I = M*L2/3.
Физический смысл величины
Выше мы уже сказали несколько слов о том, что означает момент инерции тела с физической точки зрения. Здесь остановимся несколько подробнее на этом вопросе.
Если внимательно посмотреть на формулу для I, то можно увидеть, что эта величина зависит не только от самой массы тела, но и от ее распределения, то есть от формы тела, а также от его положения относительно оси вращения.
Ярким примером являются обычная швабра или просто стержень. Каждый человек хоть раз в жизни раскручивал швабру вокруг оси, проходящей вдоль ее ручки или перпендикулярно ей. В первом случае легкого движения ладоней достаточно, чтобы придать угловое ускорение швабре, во втором же — приходится прилагать некоторую силу рук, чтобы раскрутить ее. Объяснить этот факт просто.
В первом случае момент инерции практически равен нулю, во втором — он имеет некоторую конечную величину.
Карта сайта || Филиал КузГТУ г.Прокопьевск
|
|
Момент инерции
от Mini Physics
Момент инерции является мерой сопротивления объекта изменениям его вращательного движения, точно так же, как масса является мерой тенденции объекта сопротивляться изменениям его линейного движения.
Масса — это внутреннее свойство объекта, но I зависит от физического расположения этой массы и оси вращения.
Размер: ML 9{2} \, dV \end{align}$$
Расчет момента инерции обычных форм:
- Резюме
- Униформа Жесткий стержень («Урок для начинающих»)
- Полый/сплошной цилиндр
- Однородная сплошная сфера
- Тонкая сферическая оболочка
Теорема о параллельной оси
Теорема о параллельной оси утверждает, что момент инерции относительно любой оси, параллельной и находящейся на расстоянии D от оси, проходящей через центр масс, равен: 9{2} \end{align}$$
Готово.
Теорема о перпендикулярной оси
Теорема об перпендикулярной оси утверждает, что сумма моментов инерции относительно любых двух перпендикулярных осей в плоскости тела равна моменту инерции относительно оси, проходящей через точку пересечения, перпендикулярной плоскости тела. объект.
$$I_{z} = I_{x} + I_{y}$$
Эта теорема работает только для плоских фигур (двумерные тела: тела незначительной толщины).
Радиус вращения 9{2} \\ k &= \sqrt{\frac{I}{M}} \end{aligned}$$
Радиус вращения действует как некий «средний» радиус – как если бы вся масса объекта были сосредоточены на этом расстоянии от оси.
Например:
Радиус вращения для однородного цилиндра и сферы:
$$\begin{aligned} k_{\text{цилиндр}} &= R \sqrt{\frac{1}{2} } = 0,707 R \\ k _ {\ text {сфера}} &= R \ sqrt {\ frac {2} {5}} = 0,632 R \ end {align} $ $
Далее: Крутящий момент и угловое ускорение
Предыдущий: Вращательная кинематика
Назад к механике (UY1)
Делиться значит заботиться:
Категории Механика Теги
Момент инерции и его физическое значение
Момент инерции и его физический смысл
Согласно первому закону движения Ньютона, тело должно оставаться в состоянии покоя или равномерного движения, если только оно не принуждается какой-либо внешней силой,
называемой силой.
Неспособность материального тела изменить свое состояние покоя или равномерного движения само по себе называется инерцией. Инерция есть основное свойство материи. Для данной силы, чем больше масса, тем выше будет сопротивление движению или больше инерция. Таким образом, при поступательном движении масса тела измеряет коэффициент инерции. Точно так же и при вращательном движении тело, которое может свободно вращаться вокруг заданной оси, сопротивляется любому изменению, которое желательно произвести в его состоянии. Мера сопротивления будет зависеть от массы тела и распределения массы вокруг оси вращения. Коэффициент инерции при вращательном движении называется моментом инерции тела относительно данной оси. Момент инерции играет ту же роль во вращательном движении, что и масса в поступательном движении. Кроме того, чтобы вызвать изменение состояния вращения, необходимо приложить крутящий момент.
Кинетическая энергия вращения и момент инерции твердого тела
Рассмотрим твердое тело, вращающееся с угловой скоростью ω вокруг оси XOX′.
Он показывает, что момент инерции тела равен удвоенной кинетической энергии вращающегося тела, угловая скорость которого равна одному радиану в секунду. Единицей измерения момента инерции является кг м2, а размерная формула — ML2.
Момент инерции вращающегося твердого тела равен,
Радиус инерции равен корню среднего квадрата расстояния частиц от оси вращения тела. Радиус вращения можно также определить как перпендикулярное расстояние между осью вращения и точкой, в которой должен быть сосредоточен весь вес тела. Также из уравнения (2) K2 = I/M (или) K = √I/M
Теоремы момента инерции
Теорема о параллельных осях
Утверждение
Момент инерции тела относительно любой оси равен сумме его момента инерции относительно параллельной оси, проходящей через его центр тяжести, и произведения массы тела и квадрат расстояния между двумя осями.
Доказательство
Рассмотрим тело с центром тяжести в точке G, как показано на рис. ниже. Ось XX′ проходит через центр тяжести и перпендикулярна плоскости корпуса под углом 90×112. Ось X1X1′ проходит через точку O и параллельна оси XX′. Расстояние между двумя параллельными осями равно х.
Пусть тело разделено на большое количество частиц массой m каждая. Для частицы P, находящейся на расстоянии r от O, ее момент инерции относительно оси X1OX1′ равен m r 2. Момент инерции всего тела относительно оси X1X1′ определяется выражением I0 = Σ mr2 …(1 )
Из точки P провести перпендикуляр PA к расширенному OG и соединить с PG.
В ΔOPA,
OP 2 = OA2 + AP 2
r2 = (x + h)2+AP 2
r2 = x2 + 2xh + h3 + AP2 …(2)
Но из ΔGPA,
GP 2 = GA2 + АП 2
y 2 = h 2 + AP 2 …(3)
Подстановка уравнения (3) в (2),
r 2 = x 2 + 2xh + y 2 …(4)
Подстановка уравнения (4) в (1),
Io = Σm (x2 + 2xh + y2)
= Σmx2 + Σ2mxh + Σmy2
= Mx2 + My2 + 2xΣmh …(5)
Здесь My2 = IG — момент инерции тела относительно линии, проходящей через центр тяжести.
Сумма крутящих моментов всех частиц относительно центра тяжести равна нулю, так как тело уравновешивается относительно центра тяжести G.
Σ (mg) (h) = 0 (или) Σ mh = 0 [так как g — константа] …(6)
∴ уравнение (5) принимает вид I0 = Mx2 + IG …(7)
Таким образом, теорема о параллельных осях доказана.
Теорема о перпендикулярных осях
Утверждение
Момент инерции плоского ламинарного тела относительно оси, перпендикулярной плоскости, равен сумме моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей в плоскости пластинки такой что три взаимно перпендикулярные оси имеют общую точку пересечения.
Доказательство
Рассмотрим плоскую пластинку с осями OX и OY в плоскости пластинки, как показано на рис. ниже. Ось OZ проходит через O и равна
перпендикулярно плоскости пластинки. Пусть пластинка разделена на большое количество частиц, каждая из которых имеет массу m. Частица в точке P на расстоянии r от O имеет координаты (x, y).
