4.3. Моменты инерции простых фигур
Как уже отмечалось выше, к числу простых плоских фигур относятся три фигуры: прямоугольник, треугольник и круг. Простыми эти фигуры считаются потому, что положение центра тяжести этих фигур заранее известно. Все остальные фигуры могут быть составлены из этих простых фигур и считаются сложными. Вычислим осевые моменты инерции простых фигур относительно их центральных осей.
1. Прямоугольник.Рассмотрим сечение прямоугольного профиля размерами(Рис.4.6). Выделим элемент сечения двумя бесконечно близко расположенными сечениями на расстоянииот центральной оси.
Рис.4.6
Вычислим момент инерции прямоугольного сечения относительно оси :
.
(4.10)
Момент инерции прямоугольного сечения относительно оси найдем аналогично. Здесь вывод не приводится.
. (4.11)
Центробежный момент инерции относительно осей иравен нулю, так как осииявляются осями симметрии, а, следовательно, главными осями.
2. Равнобедренный треугольник.Рассмотрим сечение треугольного профиля размерами(Рис.4.7). Выделим элемент сечения двумя бесконечно близко расположенными сечениями на расстоянииот центральной оси. Центр тяжести треугольника находится на расстояниот основания. Треугольник принимается равнобедренным, так что осьсечения является осью симметрии.
Рис.4.7
Вычислим момент инерции сечения относительно оси :
. (4.12)
Величину определим из подобия треугольников:
; откуда .
Подставляя выражения для в (4.12) и интегрируя, получим:
. (4.13)
Момент инерции для равнобедренного треугольника относительно оси находится аналогичным образом и равен:
Центробежный момент инерции относительно осей иравен нулю, так как осьявляется осью симметрии сечения.
3. Круг. Рассмотрим сечение круглого профиля диаметром(Рис.4.8). Выделим элемент сечения двумя бесконечно близко расположенными концентрическими окружностями, расположенными на расстоянииот центра тяжести круга.
Рис.4.8
Вычислим полярный момент инерции круга, воспользовавшись выражением (4.5):
. (4.15)
Используя условие инвариантности для суммы осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей (4.6) и учитывая, что для круга в силу симметрии , определяем величину осевых моментов инерции:
. (4.16)
Откуда:
. (4.17)
Центробежный момент инерции относительно осей иравен нулю, так как осииявляются осями симметрии сечения.
4.4. Зависимости между моментами инерции относительно параллельных осей
При вычислении моментов инерции для сложных фигур следует запомнить одно правило: значения для моментов инерции можно складывать,
Рассмотрим определение моментов инерции относительно параллельных осей инерции, изображенных на рис.4.9.
Рис.4.9
Воспользуемся выражениями для осевых моментов инерции (4.4) и для центробежного момента инерции (4.7). Подставим в эти выражения вместо текущих координат иэлемента с бесконечно малой площадью координатыив новой системе координат. Получим:
. (4.18)
. (4.19)
.
Анализируя полученные выражения, приходим к выводу, что при вычислении моментов инерции относительно параллельных осей к моментам инерции, вычисленных относительно исходных осей инерции, следует призводить добавки в виде дополнительных членов, которые могут оказаться намного больше значений для моментов инерции относительно исходных осей. Поэтому пренебрегать этими дополнительными членами ни в коем случае нельзя.
Рассмотренный случай представляет собой самый общий случай параллельного переноса осей, когда в качестве исходных были взяты произвольные оси инерции. В большинстве расчетов встречаются частные случаи определения моментов инерции.
. (4.21)
. (4.22)
. (4.23)
Здесь оси ицентральные оси инерции.
Второй частный случай. Исходные оси являются главными осями инерции. Тогда, учитывая, что относительно главных осей инерции центробежный момент инерции равен нулю, получим:
. (4.24)
. (4.25)
. (4.26)
Здесь оси иглавные оси инерции.
Воспользуемся полученными выражениями и рассмотрим несколько примеров вычисления моментов инерции для плоских фигур.
Пример 4.2.Определить осевые моменты инерции фигуры, приведенной на рис. 4.10, относительно центральных осейи.
Рис.4.10
Решение:
В предыдущем примере 4.1 для изображенной на рис.4.10 фигуры было определено положение центра тяжести С. Координата центра тяжести откладывалась от оси и составила. Вычислим расстоянияимежду осямиии осямии. Эти расстояния составили соответственнои. Так как исходные осииявляются центральными осями для простых фигур в виде прямоугольников, для определения момента инерции фигуры относительно осивоспользуемся выводами для первого частного случая, в частности, формулой (4.21).
см4.
см4.
Центробежный момент инерции относительно осей иравен нулю, так как ось инерцииявляется главной осью (осью симметрии фигуры).
Пример 4.3. Чему равен размер b (в см) фигуры, изображенной на рис. 4.11, если момент инерции фигуры относительно оси равен 1000 см4?
Рис.4.11
Выразим момент инерции относительно оси через неизвестный размер сечения, воспользовавшись формулой (4.21), учитывая, что расстояние между осямииравно 7см:
см4. (а)
Решая выражение (а) относительно размера сечения , получим:
см.
Пример.4.4. Какая из фигур, изображенных на рис.4.12 , имеет больший момент инерции относительно оси , если обе фигуры имеют одинаковую площадьсм2?
Рис.4.12
Решение:
1. Выразим площади фигур через их размеры и определим:
а) диаметр сечения для круглого сечения:
см2; Откудасм.
б) размер стороны квадрата:
; Откудасм.
2. Вычисляем момент инерции для круглого сечения:
см4.
3. Вычисляем момент инерции для сечения квадратной формы:
см4.
Сравнивая полученные результаты, приходим к выводу, что наибольшим моментом инерции будет обладать сечение квадратной формы по сравнению с сечение круглой формы при одинаковой у них площади.
Пример 4.5.Определить полярный момент инерции (в см4) сечения прямоугольной формы относительно его центра тяжести, если ширина сечения см, высота сечениясм.
Решение:
1. Найдем моменты инерции сечения относительно горизонтальной и вертикальнойцентральных осей инерции:
см4;см4.
2. Определяем полярный момент инерции сечения как сумму осевых моментов инерции:
см4.
Пример 4.6. Определить момент инерции фигуры треугольной формы изображенной на рис.4.13, относительно центральной оси , если момент инерции фигуры относительно осиравен 2400 см4.
Рис.4.13
Решение:
Момент инерции сечения треугольной формы относительно главной оси инерции будет меньше по сравнению с моментом инерции относительно осина величину. Поэтому присм момент инерции сечения относительно осинайдем следующим образом:
см4.
Легенда:
|
Легенда:
|
||
|
Форма поперечного сечения |
Осевой момент инерции, J, см4 |
Момент сопротивления W, см3 |
Радиус инерции i, см |
| Круг |
|||
| Кольцо c=d1/d |
|||
| Тонкостенное кольцо s≤(D/10) |
|||
| Полукруг Vo=2d/3π=0,2122d=0,4244r |
|||
| Круговой сегмент |
|||
| Круговой сектор |
— | ||
| Круговое полукольцо |
|||
| Сектор кругового кольца |
— | ||
| Профиль с симметричными закруглениями |
— | ||
|
Эллипс |
|||
|
Квадрат |
|||
|
Полый квадрат
|
|||
|
Полый тонкостенный квадрат s<(B/15) |
|||
| Квадрат, поставленный на ребро |
Срез верхнего и нижнего углов увеличивает Wx; при срезе углов на С=1/18 диагонали с каждой стороны момент сопротивления увеличивается до Wx=0,124b3 |
||
| Полый квадрат, поставленный на ребро |
|||
|
Прямоугольник
|
|||
| Прямоугольник повернутый |
|||
|
Полый прямоугольник |
|||
|
Полый тонкостенный прямоугольник |
|||
|
Сечение из двух равных прямоугольников |
|||
|
Треугольник |
При вычислении напряжения в вершине треугольника |
||
|
Поставленный на ребро треугольник |
|||
|
Трапеция |
При вычислении напряжений в точках верхнего основания |
||
|
Трапеция |
|||
|
Тавр |
Для нижних волокон Для верхних волокон |
||
|
Корытное сечение |
|||
|
Крестообразное сечение |
|||
|
Правильный шестиугольник |
|||
|
Правильный восьмиугольник |
|||
Моменты инерции простых сечений — Студопедия.Нет
В данном разделе приводятся формулы для вычисления моментов инерции простейших фигур, из которых могут быть составлены более сложные (составные) сечения.
Прямоугольник.Рассмотрим прямоугольное сечение со сторонами b и h, представленное на рис. 3.7. Центр тяжести прямоугольника С расположен на пересечении диагоналей. Оси Сz и Сy являются главными центральными осями инерции. Так как обе они являются осями симметрии, то Jzy = 0.
Рис 3.7. К выводу моментов инерции прямоугольника
Найдем осевые моменты инерции относительно осей Сz и Сy, подставляя dA=dzdy в формулы (3.3) и производя интегрирование:
| (3.20) |
Аналогично:
| (3.21) |
Так как вертикальная ось является осью симметрии, получаем Jzy=0.
Треугольники.Аналогичным образом можно вычислить моменты инерции треугольников. Выводы этих формул здесь не приводятся.
Произвольный треугольник. Приведем только формулу для вычисления осевого момента инерции относительно центральной оси Сz.
Рис 3.8. К определению момента инерции произвольного треугольника
Основание b и высота h, а, следовательно, и площади трех треугольников будут одинаковыми. Центры тяжести расположены на расстоянии одной трети высоты от основания. Осевые моменты инерции относительно центральной оси z также будут одинаковыми и определяются по формуле
| (3.22) |
Равнобедренный треугольник. Оси Сz и Сy являются главными центральными осями инерции, так как Сy – ось симметрии.
Рис 3.9. К определению момента инерции равнобедренного треугольника
Поэтому центробежный момент инерции относительно этих осей равен нулю, а Jz и Jyбудут являться главными моментами инерции.
Прямоугольный треугольник. Как следует из раздела, в котором рассмотрен произвольный треугольник, для прямоугольного треугольника получим:
| (3.24) |
Рис 3.10. К определению моментов инерции прямоугольного треугольника
Центробежный момент инерции для треугольника, показанного на рис. 3.10, а, будет равен
| (3.19) |
а для треугольника, изображенного на рис. 3.10, б,
| (3.20) |
Рассуждения по поводу определения знака Jzy аналогичны тем, которые были приведены ранее при обсуждении знака центробежного момента инерции уголка. Центробежный момент инерции Jzy прямоугольного треугольника, расположенного так, как показано на рис. 3.10,а, будет положительным. Если разбить сечение на четыре части и по каждой из них отдельно определить центробежные моменты инерции, то интегралы, вычисленные для частей, расположенных в I и III четвертях будут положительными (произведение zy больше нуля), а для частей во II и IV четвертях будут отрицательными. Однако за счет того, что части в I и III четвертях сами по себе больше и дальше удалены от осей, положительная составляющая окажется больше. На рис. 3.10, б представлено другое положение прямоугольного треугольника относительно осей координат. В этом случае похожие рассуждения приведут к тому, что сумма центробежных моментов инерции по всем четырем частям будет отрицательной.
Круг и кольцо. Получим сначала формулу для вычисления полярного момента инерции круга (рис. 3.11). Площадь малого элемента равна .
| Рис 3.11. К определению моментов инерции круга и кольца |
Произведем интегрирование в полярных координатах:
| (3.21) |
Учитывая равенство Jр = Jz + Jy и очевидное равенство осевых моментов инерции, получаем формулы для определения моментов инерции круга относительно осей, проходящих через его центр
| ; . | (3.22) |
Формулы для кольца получим, вычитая из момента инерции внешнего круга момент инерции внутреннего круга радиусом r1 и вводя обозначение k = d1/d:
| ; . | (3.23) |
Полукруг.Положение центра тяжести и формулы для определения моментов инерции полукруга (рис. 3.12) приведем без вывода:
| Рис 3.12. К определению моментов инерции полукруга |
Осевой момент инерции, теория и примеры
Определение и общие понятия осевого момента инерции
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Осевым (или экваториальным) моментом инерции сечения относительно оси называется величина, которую определяют как:
Выражение (1) обозначает, для вычисления осевого момента инерции берется по всей площади S сумма произведений бесконечно малых площадок () умноженных на квадраты расстояний от них до оси вращения:
Сумма осевых моментов инерции сечения относительно взаимно перпендикулярных осей (например, относительно осей X и Y в декартовой системе координат) дают полярный момент инерции () относительно точки пересечения этих осей:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Полярным моментом инерции называют момент инерции сечением по отношению к некоторой точке.
Осевые моменты инерции всегда больше нуля, так как в их определениях (1) под знаком интеграла стоят величина площади элементарной площадки (), всегда положительная и квадрат расстояния от этой площадки до оси.
Если мы имеем дело с сечением сложной формы, то часто при расчетах используют то, что осевой момент инерции сложного сечения по отношению к оси равен сумме осевых моментов инерции частей этого сечения относительно той же оси. Однако следует помнить, что нельзя суммировать моменты инерции, которые найдены относительно разных осей и точек.
Осевой момент инерции относительно оси проходящей через центр тяжести сечения имеет наименьшее значение из всех моментов относительно параллельных с ней осей. Момент инерции относительно любой оси () при условии ее параллельности с осью, проходящей через центр тяжести равен:
где – момент инерции сечения относительно оси проходящей через центр тяжести сечения; – площадь сечения; – расстояние между осями.
Примеры решения задач
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
Меню сайтаРасчет геометрических характеристик сечений он-лайн NEW — считает любые сечения (сложные). Определяет: площадь сечения, моменты инерции, моменты сопротивления.
Расчет балок на прочность он-лайн — построение эпюр Mx, Qy, нахождение максимального изгибающего момента Mx, максимальной
сдвигающей силы Qy, расчет прогибов, подбор профиля и др. Все просто, все он-лайн. Расчет рам, ферм балок он-лайн NEW — эпюры Q, M, N, перемещения узлов. Удобный графический интерфейс. Считает любые схемы. Лекции — теория, практика, задачи… Примеры решения задач Справочная информация — ГОСТы, сортамент проката, свойства материалов и другое. Программы по сопромату (построение эпюр, различные калькуляторы, шпоры и другое). Форум сопромата и механики Книги — разная литература по теме. Заказать задачу Друзья сайта (ссылки) WIKIbetta Разработчикам (сотрудничество) Веб-мастерам (партнёрка) О проекте, контакты Подпроекты |
Базовый курс лекций по сопромату, теория, практика, задачи.::Оглавление:: 1. Геометрические характеристики сечений. 1.3. Моменты инерции простых сечений. 1. Прямоугольник (рис. 1.5,а). Вычислим момент инерции сечения относительно оси Х0, проходящей через центр тяжести параллельно основанию. За dA примем площадь бесконечно тонкого слоя dA = bdy.
Тогда Аналогично, получим 2. Круг (рис. 1.5,б). Сначала определим полярный момент инерции относительно центра круга За dA принимаем площадь бесконечно тонкого кольца толщиной dp тогда Следовательно, Теперь легко найдем Ixo. Действительно, для круга согласно формуле (1.9.), имеем Iр = 2Iхо = 2Iуо, откуда 2. Кольцо (рис. 1.5,в). Осевой момент инерции в этом случае равен разности моментов инерции внешнего и внутреннего кругов Аналогично полярный момент инерции 2. Треугольник (рис. 1.5,г). Определим момент инерции относительно оси x1, параллельной основанию и проходящей через вершину треугольника За dA примем площадь бесконечно тонкой трапеции KBDE, площадь которой можно считать равной площади прямоугольника: dA = bydy, где by — длина прямоугольника. Легко получить из подобия треугольников by = yb/h; тогда Определим момент инерции относительно центральной оси; для этого используем формулу (1.10) Определим момент инерции относительно оси, проходящей через основание: ::Оглавление:: |
СообществоВходРешение задачРасчет редукторовДля Android (рекомендую)NEW Mobile Beam 2.0 Программа для расчета балок на прочность на Вашем Android устройстве… Java 2 ME |
Геометрические характеристики сплошных сечений 017
Внимание! Размер «с» игнорируется!
Внимание! Размер «a» игнорируется!
Ошибка! Проверьте правильность построения треугольника и формат ввода данных.
Площадь треугольника:
Центр тяжести треугольника:
Размеры треугольника:
Моменты инерции треугольника:
Полярные моменты инерции треугольника:
Радиусы инерции треугольника:
Моменты сопротивления треугольника:
Верхние волокна:
Нижние волокна:
Левые волокна:
Правые волокна:
Момент — инерция — треугольник
Момент — инерция — треугольник
Cтраница 1
Момент инерции треугольника ( рис. АЛО) относительно основания уже был получен ранее ( см. выражение ( А. [1]
Найти моменты инерции треугольника, ограниченного прямыми х у а, х — а, у а, относительно осей Оде, Оу и относительно начала координат, если плотность пропорциональна ординате точки. [2]
Найти момент инерции треугольника относительно оси, проходящей через центр тяжести и параллельной основанию ( фиг. [3]
Найти момент инерции треугольника с основанием b и высотой h относительно его основания. [4]
Найти моменты инерции треугольника, ограниченного прямыми х у-а, х а, у — а, относительно осей Ох, Оу и относительно начала координат, если плотность пропорциональна ординате точки. [5]
Найти моменты инерции треугольника с высотой h и основанием b относительно центральных осей, одна из которых параллельна основанию, а вторая совпадает с высотой. [6]
Определить момент инерции треугольника ( рис. 2.86) относительно оси xlt проходящей через его основание. [7]
Найти Момент инерции треугольника ABC относительно оси X, вот. [8]
Найти момент инерции однородного треугольника с основанием а и высотой h относительно: 1) оси, содержащей его основание; 2) оси, проходящей через вершину параллельно основанию; 3) оси, проходящей через центр масс треугольника параллельно основанию. [9]
Вычислить также момент инерции треугольника относительно основания АС. [10]
Вычислить значения моментов инерции треугольника ( рис. 4.6) относительно оси, совпадающей с основанием треугольника, и оси, проходящей через центр тяжести треугольника параллельно его основанию. [11]
Во сколько раз момент инерции треугольника относительно оси, проходящей вдоль его основания, меньше момента инерции относительно оси, проходящей через вершину параллельно основанию. [12]
Найти статический момент и момент инерции треугольника с основанием а и высотой / г относительно его основания. [13]
Найти статический момент и момент инерции треугольника с основанием а и высотой h относительно его основания. [14]
Найти статический момент и момент инерции треугольника с основанием а и высотой / i относительно его основания. [15]
Страницы: 1 2
3} {12}Это может быть доказано применением теоремы о параллельных осях (см. 3} {12}
С учетом того, что b_2 = b-b_1 и центральная параллельная ось yy находится на расстоянии \ frac {2} {3} (\ frac {b} {2} -b_1) от y’-y ‘, что позволяет найти момент инерции Iy, используя теорему о параллельных осях (см. ниже).2
где I ‘- момент инерции относительно произвольной оси, I — момент инерции относительно центральной оси, параллельной первой, d — расстояние между двумя параллельными осями и A — площадь shape (= bh / 2 в случае треугольника).
Для произведения инерции Ixy теорема о параллельных осях принимает аналогичную форму:
I_ {xy ‘} = I_ {xy} + A d_ {x} d_ {y}
, где Ixy — произведение инерции, относительно центроидных осей x, y и Ixy ‘- это произведение инерции относительно осей, параллельных центроидным осям x, y, имеющим смещения от них d_ {x} и d_ {y} соответственно.
Вращенные оси
Для преобразования моментов инерции из одной системы осей x, y в другую u, v, повернутую на угол φ, используются следующие уравнения:
\ begin {split} I_u & = \ frac {I_x + I_y} {2} + \ frac {I_x-I_y} {2} \ cos {2 \ varphi} -I_ {xy} \ sin {2 \ varphi} \\ I_v & = \ frac {I_x + I_y} {2} — \ frac {I_x-I_y} {2} \ cos {2 \ varphi} + I_ {xy} \ sin {2 \ varphi} \\ I_ {uv} & = \ frac {I_x-I_y } {2} \ sin {2 \ varphi} + I_ {xy} \ cos {2 \ varphi} \ end {split}
, где Ix, Iy — моменты инерции относительно начальных осей, а Ixy — произведение инерции.2} {24}
Принимая во внимание, что расстояния от точки 0 до центроида равны d_x = — \ frac {2} {3} (\ frac {b} {2} -b_1) и d_y = — \ frac {h} { 3}, произведение инерции Ixy относительно центроида можно найти с помощью теоремы о параллельных осях.
Калькулятор общего назначения для преобразования моментов инерции и произведения инерции любой 2D-формы из-за вращения оси доступен здесь.
Главные оси
В главных осях, которые повернуты на угол θ относительно исходных центроидных осей x, y, произведение инерции становится равным нулю.По этой причине любая ось симметрии формы также является главной осью. Моменты инерции относительно главных осей I_I, I_ {II} называются главными моментами инерции и являются максимальным и минимальным для любого угла поворота системы координат. Если Ix, Iy и Ixy известны для произвольной центроидной системы координат x, y, то главные моменты инерции и угол поворота θ главных осей можно найти с помощью следующих выражений:
\ begin {split} I_ {I, II} & = \ frac {I_x + I_y} {2} \ pm \ sqrt {\ left (\ frac {I_x-I_y} {2} \ right) ^ 2 + I_ {xy} ^ 2} \\ \ tan 2 \ theta & = — \ frac {2I_ {xy}} {I_x-I_y} \ end {split}
Вы можете рассчитать основные моменты инерции, используя наш соответствующий калькулятор, доступный здесь.4.
Момент инерции массы
В физике термин момент инерции имеет другое значение. Это связано с распределением массы объекта (или нескольких объектов) вокруг оси. Это отличается от определения, которое обычно дается в инженерных дисциплинах (также на этой странице) как свойство площади формы, обычно поперечного сечения, вокруг оси. Термин секундный момент области кажется более точным в этом отношении.
Приложения
Момент инерции (второй момент или площадь) используется в теории балок для описания жесткости балки против изгиба (см. Теорию изгиба балки).2}. Следовательно, из предыдущего уравнения можно увидеть, что когда к поперечному сечению балки прикладывается определенный изгибающий момент M, развиваемая кривизна обратно пропорциональна моменту инерции I. Интегрирование кривизны по длине балки, отклонение при некоторая точка вдоль оси x также должна быть обратно пропорциональна I.
Площадь Момент инерции равнобедренного треугольника
Площадь, момент инерции и центроид равнобедренного треугольника. 4
Примечание: используйте точку «.»как десятичный разделитель.
Равносторонний треугольник: Треугольник, все три стороны которого равны.
Второй момент области: The способность поперечного сечения противостоять изгибу.
Радиус вращения (Площадь): The расстояние от оси, на котором площадь тела может считаться равной сосредоточена, а площадь второго момента этой конфигурации равна второй момент — площадь фактического тела относительно той же оси.
МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ТРЕУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ О ЦЕНТРОИДАЛЬНОЙ ОСИ
Мы обсуждали «Момент инерции прямоугольного сечения», «Момент инерции полости прямоугольное сечение »и аналогично мы также видели« Момент инерции для круглого сечения » и «Момент инерции полого кругового раздел »в наших предыдущих постах.Сегодня мы увидим здесь метод определения момент инерции для треугольного сечения относительно линии, проходящей через центр силы тяжести и параллельно основанию треугольного сечения с помощью эта почта.
Рассмотрим одно треугольное сечение ABC как
показано на следующем рисунке. Предположим, что ось X-X проходит через центр тяжести и параллельно основанию треугольного сечения.
У нас будет для определения момента инерции треугольного сечения относительно оси XX который проходит через центр тяжести и параллельно основанию треугольное сечение.
b = Ширина треугольного сечения ABC
h = глубина или высота треугольного сечения ABC
I XX = момент инерции треугольное сечение вокруг оси ХХ, проходящей через центр силы тяжести и параллельно основанию треугольного сечения
I BC = момент инерции треугольное сечение около его основания i.е. Линия BC
I BC = b.h 3 /12
Площадь треугольника, A = b. ч / 2
Расстояние между ЦТ и основанием треугольника section = h / 3
Теперь определим значение или выражение для момента инерции треугольного сечения относительно оси XX, которая проходит через центр тяжести и параллельно основанию треугольника раздел Мы будем использовать здесь понятие параллельной оси. теорема, чтобы обеспечить ценность или выражение для момента инерции треугольного сечения относительно оси ХХ.Позволь нам напомним теорему о параллельности оси, которая связана с определением момент инерции.I BC = I G + A. (h / 3) 2
I G = I BC — A. (h / 3) 2
I G = b.h 3 /12 — (b. H / 2). (в / 3) 2
I G = b.h 3 /12 — b. ч 3 /18
I G = b.h 3 /36Есть ли у вас какие-либо предложения? Напишите, пожалуйста, в комментарии ящик
Артикул:Прочность материала, по Р.К. Бансал
Изображение предоставлено: Google
Мы увидим еще одну важную тему, то есть момент инерция однородного тонкого стержня в категории прочности материала.
Также читать пожаловаться на это объявление(a) Используйте уравнение 10.17. Пусть элемент массы состоит из вертикальной ленты внутри треугольника шириной d x, высотой y и толщиной w. С x, представляющим расположение ленты, покажите, что y = h x / L. Покажите, что плотность материала равна \ rho = 2 M / L w h.{2}. Используйте уравнение 10.17 для расчета момента инерции. (b) Пусть I представляет неизвестный момент инерции относительно оси, проходящей через угол треугольника. Обратите внимание, что Пример 9.15 демонстрирует, что центр масс треугольника составляет две трети пути по длине L от угла к стороне высоты h. Пусть I _ {\ mathrm {CM}} представляет момент инерции треугольника относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной стороне h. Продемонстрируйте, что I = I _ {\ mathrm {CM}} + 4 M L ^ {2} / 9.{2} / 9. Продемонстрируйте, что сумма моментов инерции треугольников, показанных в частях (a) и (b) рисунка, должна быть моментом инерции прямоугольного листа массы 2M и длины L, вращающегося как дверь вокруг оси вдоль его край высотой h. Используйте информацию из Таблицы 10.2, чтобы записать момент инерции прямоугольника и установить его равным сумме моментов инерции двух треугольников. Решите уравнение, чтобы найти момент инерции треугольника относительно оси, проходящей через его центр масс, через M и L.Приступите к поиску оригинального неизвестного I.
Стенограмма видео
давайте начнем с треугольника. У нас есть длина треугольника, который нужно удерживать на высоте, чтобы соответствовать возрасту на расстоянии от X, мы принимаем рост равным Почему у нас y больше X, это означает возраст больше l Так почему же возраст равен L A раз X, спасибо. Теперь момент инерции дается интегрированием нашего квадрата d m. Теперь R — расстояние от этой точки. Итак, X в квадрате на d m — это масса этой области, так что общая масса, деленная на общую площадь, равна половине площади церкви, умноженной на площадь, которая составляет половину y над X.Теперь проинтегрируем от нуля до l. Ага. Заштрихованный участок — это почему DX Итак, все это может выходить за рамки интегрирования, гм, в течение l h интегрирования от нуля до l X в квадрате раз. Почему восемь больше l X Итак, еще раз, тезис строчными буквами, э-э, возраст старше l X для y. Таким образом, возраст старше 1 X DX равен. Раз это после индикации, потому что дополнительные 4/4, так что при падении более четырех. Так что это становится половиной отряда AM. Теперь для второго случая мы можем использовать историю параллакса. Гм, я равняюсь, я вижу его таким образом m раз Ну, более трех в квадрате равняется.Я вижу его. Плюс для миллиметра в квадрате больше девяти. Теперь относительно горизонтальной оси, которую мы имеем, i h равно. Я вижу em, таким образом, m l над тремя равными квадратам. Я их вижу. 2) ))) для вычисления момента инерции массы относительно оси z. Момент инерции массы треугольной пластины относительно оси z через центроид, перпендикулярно пластине, формула определяется как 1/72 массы, умноженной на трехкратную сумму квадрат основания треугольника и 4-кратный квадрат высоты треугольника.Момент инерции массы относительно оси z обозначается символом I zz .
Как рассчитать момент инерции массы треугольной пластины относительно оси z через центр тяжести перпендикулярно пластине с помощью этого онлайн-калькулятора? Чтобы использовать этот онлайн-калькулятор для расчета момента инерции массы треугольной пластины относительно оси z через центр тяжести, перпендикулярно пластине, введите массу (м) , основание треугольника (b) и высоту треугольника (h) и нажмите кнопку «Рассчитать».2))) .
Момент инерции площади — типовые поперечные сечения II
Момент инерции площади или Момент инерции площади — , также известный как Второй момент площади — I , это свойство формы, которое используется для прогнозирования прогиба, изгиба и напряжения в балках.
Момент инерции площади для типичного поперечного сечения II
Угол с равными опорами
Момент инерции площади для угла с равными опорами можно рассчитать как
I x = 1/3 [2c 4 — 2 (c — t) 4 + t (h — 2 c + 1/2 t) 3 ] (1a)
, где
c = y t cos 45 o (1b)
и
y t = (h 2 + ht + t 2 ) / [2 (2 h — t) cos 45 o ] (1c)Угол с неравными опорами
Момент инерции площади для угла с неравными опорами можно рассчитать как
I x = 1/3 [t (h — y d ) 3 + по d 3 — b 1 (y d — t) 3 ] (2a)
I y = 1/3 [t (b — x d ) 3 + hx d 3 — h 1 (x d — t) 3 ] (2b)
где
x d = (b 2 + h 1 t) / (2 (b + h 1 )) (2c)
y d = (h 2 + b 1 t) / (2 (h + b 1 ))
Треугольник
Момент инерции площади для треугольника можно рассчитать как
I x = bh 3 /36 (3a)
I y = hb (b 2 — b a b c ) / 36 (3b)
Прямоугольный треугольник
Момент инерции площади для прямоугольного треугольника можно рассчитать как
I x = bh 3 /36 (4a)
I y = h b 3 /36 (4b)
Получите треугольник момента инерции.Подпишитесь на RSS
Используя наш сайт, вы подтверждаете, что прочитали и поняли нашу Политику конфиденциальности и Условия использования файлов cookie.
Полиуретановый спрейEngineering Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для профессионалов и студентов инженерных специальностей. Регистрация займет всего минуту. Как это делается?
Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу. Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх. Главная Вопросы Теги Пользователи без ответа. Вывод формулы для момента инерции поверхности равнобедренного треугольника Задайте вопрос.Спрашивал 3 года 5 месяцев назад. Последняя активность 3 года 5 месяцев назад. Просмотрен 4k раз. Любая помощь будет высоко ценится!
Suba Thomas 1, 4 4 серебряных знака 11 11 бронзовых знаков. Skydiver Skydiver 2 2 серебряных знака 7 7 бронзовых знаков. Активные самые старые голоса.
Suba Thomas Suba Thomas 1, 4 4 серебряных знака 11 11 бронзовых знаков. С тех пор я пришел к тому же выводу, что и вы, и сам решил проблему, но приятно видеть, что я был прав в своих предположениях. Спасибо, что помогли мне! Зарегистрируйтесь или войдите в систему. Зарегистрируйтесь с помощью Google.Зарегистрируйтесь через Facebook. Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль. Опубликовать как гость Имя. Электронная почта обязательна, но не отображается. Блог Overflow. Дорожная карта сообщества Q2. Показано на Meta. Рекомендации сообщества и модератора по эскалации проблем с помощью нового ответа….
Отзыв о дорожной карте сообщества на второй квартал. Связанные 5. Горячие сетевые вопросы. Лента вопросов. Engineering Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScript. Используя наш сайт, вы подтверждаете, что прочитали и поняли нашу Политику конфиденциальности и Условия использования.
Physics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для активных исследователей, ученых и студентов-физиков. Регистрация займет всего минуту. Кроме того, здесь нет симметрии, поэтому использование небольших полос масс для интеграции также не поможет. Итак, мне не удалось запустить Пожалуйста, помогите.
На самом деле, вычислить момент инерции MOI прямоугольного треугольника не так уж и сложно. И вы можете сделать свой треугольник из большого прямоугольного треугольника за вычетом прямоугольного треугольника меньшего размера. Я согласен с fibonatic, что проще всего использовать полярные координаты.
Но я думаю, что достаточно легко убедить вас, что вы можете справиться с любой разумной проблемой MOI. Используйте эту формулу и теорему о параллельных осях, чтобы получить MOI меньшего прямоугольного треугольника, который вам нужно удалить из большего, чтобы получить свой треугольник.
Я надеюсь, что это помогло, и если вы все еще не можете решить эту проблему, я попытаюсь добавить решение к этому уравнению.
Теперь у меня есть способ получить его напрямую. И снова это оказалось легкой задачей. Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу.Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх.
Главная Вопросы Теги Пользователи без ответа.
Момент инерции треугольника
Момент инерции треугольной пластины Задать вопрос. Спросил 6 лет 11 месяцев назад. Была активна 6 лет 10 месяцев назад. Просмотрен 15k раз. Если вы решите проблему путем интеграции, пожалуйста, помогите мне получить срок интеграции. Например, вы упомянули, что знакомы с теоремой о параллельной оси, поэтому отредактируйте вопрос, включив в него, как вы пытались ее применить и на каком шаге вы застряли.Итак, я не смог начать.
Уравнение момента инерции и формулы твердых объектов
Покажите доказательства того, что вы приложили усилия. Кроме того, «приказ» людям «указать точный термин интеграции и то, как мы его получаем», может заставить других отказываться от ответа. Я предлагаю перефразировать это. Пожалуйста, проголосуйте против еще раз:.
Я редактировал. Активные самые старые голоса. Шаг 4: Используйте теорему о параллельных осях, чтобы получить ваш MOI относительно любого источника, который вы хотите.
Майк Майк Возможно, какой-нибудь простой способ! Ниже приводится список вторых моментов площади некоторых форм.Второй момент площади, также известный как момент инерции площади, является геометрическим свойством площади, которое отражает то, как ее точки распределены относительно произвольной оси. Единицей измерения второго момента площади является длина в четвертой степени, L 4, и ее не следует путать с массовым моментом инерции.
Однако, если деталь тонкая, момент инерции массы равен удельной площади, умноженной на момент инерции площади. Теорема о параллельных осях может использоваться для определения второго момента площади твердого тела вокруг любой оси, учитывая момент инерции тела относительно параллельной оси, проходящей через центр масс объекта, и перпендикулярное расстояние d между осями.Из Википедии, бесплатной энциклопедии. Перенаправлен из Списка моментов инерции области. Основная статья: Теорема о параллельной оси.
Получено Категории: Механика Списки, связанные с физикой. Пространства имен Статья Обсуждение. Просмотры Читать Редактировать Просмотр истории. Используя этот сайт, вы соглашаетесь с Условиями использования и Политикой конфиденциальности. Кольцо с внутренним радиусом r 1 и внешним радиусом r 2.
Закрашенный полукруг с радиусом r относительно горизонтальной линии, проходящей через центр тяжести площади. Закрашенный эллипс, радиус которого по оси x равен a, а радиус по оси y равен b.Это результат теоремы о параллельности оси. Полый прямоугольник с внутренним прямоугольником шириной b 1 и высотой h 1. Заполненная треугольная область с шириной основания bheight h и смещением верхней вершины относительно оси, проходящей через центроид.
Это следствие теоремы о параллельности осей. Заполненный правильный шестиугольник со стороной a. Результат действителен как для горизонтальной, так и для вертикальной оси, проходящей через центроид, и, следовательно, также действителен для оси с произвольным направлением, проходящей через начало координат.Момент инерции, иначе известный как момент инерции массы, угловая масса или инерция вращения твердого тела, представляет собой величину, которая определяет крутящий момент, необходимый для желаемого углового ускорения вокруг оси вращения; аналогично тому, как масса определяет силу, необходимую для желаемого ускорения.
Это зависит от распределения массы тела и выбранной оси, при этом большие моменты требуют большего крутящего момента для изменения скорости вращения тела.
Это обширное аддитивное свойство: для точечной массы момент инерции равен массе, умноженной на квадрат перпендикулярного расстояния к оси вращения.Момент инерции жесткой составной системы — это сумма моментов инерции составляющих ее подсистем, взятых относительно одной оси.
Его простейшее определение — это второй момент массы по отношению к расстоянию от оси. Для тел, вынужденных вращаться в плоскости, имеет значение только их момент инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости, скалярное значение.
Когда тело может свободно вращаться вокруг оси, необходимо приложить крутящий момент, чтобы изменить его угловой момент.Величина крутящего момента, необходимая для того, чтобы вызвать любое заданное угловое ускорение, скорость изменения угловой скорости пропорциональна моменту инерции тела. Момент инерции играет роль во вращательной кинетике, которую инерция массы играет в линейной кинетике — оба показателя характеризуют сопротивление тела изменениям в его движении. Момент инерции зависит от того, как масса распределяется вокруг оси вращения, и будет варьироваться в зависимости от выбранной оси.
Для удлиненного твердого тела момент инерции — это просто сумма всех маленьких частей массы, умноженная на квадрат их расстояний от оси вращения.
Для протяженного тела правильной формы и однородной плотности это суммирование иногда дает простое выражение, которое зависит от размеров, формы и общей массы объекта. Христиан Гюйгенс ввел этот параметр в свое исследование колебаний тела, висящего на стержне, известного как составной маятник. Собственная частота колебаний составного маятника получается из отношения крутящего момента, создаваемого силой тяжести на массу маятника, к сопротивлению ускорению, определяемому моментом инерции.
Сравнение этой собственной частоты с частотой простого маятника, состоящего из единственной точки массы, дает математическую формулировку момента инерции протяженного тела.
Момент инерции также появляется в кинетической энергии импульса и в законах движения Ньютона для твердого тела как физический параметр, сочетающий его форму и массу. Есть интересное различие в способе появления момента инерции при плоском и пространственном движении.
Ordinanza n. 47/2020Момент инерции вращающегося маховика используется в машине, чтобы противостоять изменениям приложенного крутящего момента, чтобы сгладить его вращательную мощность.Момент инерции самолета относительно его продольной, горизонтальной и вертикальной осей определяет, как управляющие силы на управляющих поверхностях его крыльев, руля высоты и руля направления влияют на движения самолета по крену, тангажу и рысканью.
Длинные руки Блэк-ХартЕсли угловой момент системы постоянен, то по мере уменьшения момента инерции угловая скорость должна увеличиваться. Избранные темы. Авторизоваться Зарегистрироваться.
Список секундных моментов области
Только поисковые заголовки.Поиск Расширенный поиск…. Авторизуйтесь. Поддержите PF! Купите школьные учебники, материалы и товары повседневного спроса здесь! JavaScript отключен. Для лучшего опыта, пожалуйста, включите JavaScript в вашем браузере, прежде чем продолжить.
Момент инерции треугольника относительно центральной оси.
Расчет момента инерции треугольникаМбигралы для начала темы Дата начала 8 декабря. Часто мы можем найти эти значения в таблице, как на приведенном ниже рисунке, и применить другую идею, называемую тером с параллельной осью, чтобы найти моменты. про разные оси.Кажется, на картинке его нет. Это также может проиллюстрировать мое непонимание того, что такое момент инерции на самом деле. Помощник по домашнему заданию. Автор аналитики. Золотой член. Я собирался поставить это прямо по центру. Почетный персонал SteamKing. Советник по науке.
Вы всегда можете использовать определение и вычислить, какова будет инерция относительно оси Y. Я думаю, что эта картинка показывает, где я пытаюсь ответить на этот вопрос.
Обратите внимание, что я предполагаю, что «обычная» ось y этого треугольника совпадает с центроидной осью y.Я не могу объяснить, почему я так думаю, за исключением того, что кажется, что так и должно быть из-за симметрии. Повторяю пост 6. Я говорю, что не знаю, как это сделать. Ситуация такова: я знаю момент инерции относительно оси x и относительно центроидной оси x, потому что он указан в таблице. Теперь, основываясь на симметрии, вы можете применить определение момента инерции, чтобы вычислить момент инерции относительно оси y, которая равна центральной оси y.
Но я не знаю, как это сделать.Возникает вопрос: как рассчитать момент инерции относительно оси y для равностороннего треугольника, используя определение момента инерции? И вам нужно изучить, как были получены формулы в вашей книге. Спасибо, haruspex, это была недостающая информация! Системное моделирование и анализ. Моделирование предприятия для проектирования управления. Высокопроизводительные вычисления. Оценка моментов инерции. Концепция момента инерции важна для решения многих задач проектирования и анализа, возникающих в машиностроении и гражданском строительстве.
Требуется при проектировании машин, мостов и других инженерных систем. Вычисление моментов инерции часто бывает обременительным. В общем случае необходимо вычислять аналитические интегралы.
Программа установки перестала работатьВ особых случаях, связанных с составными формами, необходимо изменить большое количество повторяющихся формул и чисел. Maple — идеальный инструмент для выполнения обеих этих операций. Рейтинг сообщества :. Расскажите другим об этом приложении!
Клен Клен Sim Maple T.Отраслевые решения. Инженерные приложения. Образовательные решения. Прикладное исследование. Списки электронной почты Maplesoft. Членство в Maplesoft. Условия использования Конфиденциальность Товарные знаки. Кленовый документ.
Maple Mathematics: инженерная математика. Образование: инженерное. Физика: Другое. Инженерия: инженерная математика. Машиностроение: Механика.
Момент инерции
Скачать документ Maple. Предварительный просмотр этого приложения. Момент инерции, обозначенный I, измеряет степень сопротивления объекта ускорению вращения вокруг определенной оси и является вращательным аналогом массы.Его не следует путать со вторым моментом площади, который используется при расчетах балок. Момент инерции массы часто называют инерцией вращения, а иногда и угловой массой.
Для простых объектов с геометрической симметрией часто можно определить момент инерции в точном выражении в замкнутой форме. Обычно это происходит, когда массовая плотность постоянна, но в некоторых случаях плотность также может изменяться по всему объекту. В общем, может быть непросто символически выразить момент инерции форм с более сложным распределением масс и отсутствием симметрии.
При вычислении моментов инерции полезно помнить, что это аддитивная функция, и использовать теоремы о параллельной оси и перпендикулярной оси.
В этой статье в основном рассматриваются симметричные распределения массы с постоянной плотностью по всему объекту, а ось вращения берется через центр масс, если не указано иное. Ниже приведены скалярные моменты инерции. В общем, момент инерции — это тензор (см. Ниже).
Режим постоянного тока означаетТочечная масса не имеет момента инерции вокруг собственной оси, но с помощью теоремы о параллельных осях достигается момент инерции вокруг удаленной оси вращения.Это выражение предполагает, что стержень представляет собой бесконечно тонкую, но жесткую проволоку. Это выражение предполагает, что толщиной оболочки можно пренебречь. Кроме того, точечная масса m на конце стержня длиной r имеет тот же момент инерции, а значение r называется радиусом вращения.
Этот список тензоров момента инерции дан для главных осей каждого объекта. Чтобы получить скалярные моменты инерции I, указанные выше, тензорный момент инерции I проецируется вдоль некоторой оси, определяемой единичным вектором n согласно формуле :.В приведенной выше таблице n будет единицей декартового базиса e xe ye z для получения I xI yI z соответственно. Из Википедии, бесплатной энциклопедии.
