4.5. Зависимости между моментами инерции при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции. Радиус инерции сечения

Вычислим моменты инерции фигуры произвольной формы относительно осей, повернутых относительно заданных осей ина угол(Рис.4.14)

Рис.4.14

Пусть моменты инерции относительно осей иизвестны. Выберем произвольную площадкуи выразим ее координаты в системе осейичерез координаты в прежних осяхи:

,. (4.27)

Найдем осевые и центробежный моменты инерции фигуры относительно повернутых осей и:

. (4.28)

Принимая во внимание, что

;и,

получим:

.

(4.28)

Таким же образом установим:

. (4.29)

Центробежный момент инерции принимает вид:

или

. (4.30)

Выразим осевые моменты через синус и косинус двойного угла. Для этого введем следующие функции:

. (4.31)

Подставляя (4.31) в формулы (4.27) и (4.28), получим:

. (4.32)

. (4.33)

Если сложить выражения для осевых моментов инерции (4.32) и (4.33), то получим:

. (4.34)

Условие (4.34) представляет условие инвариантности суммы осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей, т.е. сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей не зависит от величины угла поворота осей и является величиной постоянной.Ранее это условие было получено на том основании, что сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей равнялась величине полярного момента инерции относительно точки пересечения этих осей.

Исследуем уравнение для момента инерции на экстремум и найдем такое значение угла, при котором момент инерции достигнет экстремальной величины. Для этого возьмем первую производную от момента инерциипо углу(выражение (4.32)) и результат приравняем нулю. При этом положим.

(4.35)

Выражение в скобках представляет собой центробежный момент инерции относительно осей, наклоненных к оси под углом. Относительно этих осей центробежный момент инерции равен нулю:

, (4.36)

а это означает, что новые оси являются главными осями.

Ранее было определено, что главными осями инерции являются оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю. Сейчас это определение можно расширить – это оси, относительно которых осевые моменты инерции имеют экстремальные значения. Моменты инерции относительно этих осей называютсяглавными моментами инерции.

Найдем положение главных осей инерции. Из выражения (4.36) можно получить:

. (4.37)

Полученная формула дает для угла два значения:и.

Следовательно, существуют две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых моменты инерции имеют экстремальные значения. Как уже отмечалось выше, такие оси называются главными осями инерции. Остается установить, относительно какой из осей момент инерции достигает максимального значения, а относительно какой – минимального значения. Решить эту задачу можно путем исследования второй производной от выражения (4.32) по углу . Подставив в выражение для второй производной значение углаилии исследуя знак второй производной, можно судить о том, какой из углов соответствует максимальному моменту инерции, какой – минимальному. Ниже будут приведены формулы, которые дадут однозначное значение угла.

Найдем экстремальные значения для моментов инерции. Для этого преобразуем выражение (4.32) , вынося за скобку :

. (4.38)

Используем известную из тригонометрии функцию и подставим в нее выражение (4.37), получим:

. (4.39)

Подставляя в формулу (4.38) выражение (4.39) и производя необходимые вычисления, получаем два выражения для экстремальных моментов инерции, которые не включают в себя угол наклона осей :

; (4.40)

. (4.41)

Из формул (4.40) и (4.41) видно, что величины главных моментов инерции определяются непосредственно через моменты инерции относительно осей и. Поэтому их можно определять, не зная положения самих главных осей.

Зная экстремальные значения моментов инерции иможно помимо формулы (4.37) определять положение главных осей инерции.

Приведем без вывода формулы, позволяющие находить углы имежду осьюи главными осями:

;(4.42)

Угол определяет положение оси, относительно которой момент инерции достигает максимальной величины (), уголопределяет положение оси, относительно которой момент инерции достигает минимальной величины ().

Введем еще одну геометрическую характеристику, которая называется радиусом инерции сечения. Обозначается эта характеристика буквой и может быть вычислена относительно осейиследующим образом:

;(4.43)

Радиус инерции находит широкое применение в задачах сопротивления материалов и его применение будет рассмотрено в следующих разделах курса.

Рассмотрим несколько примеров расчетов конструкций с учетом поворота осей и с использованием радиуса инерции сечения.

Пример 4.7. Моменты инерции сечения прямоугольной формы относительно главных осей равны соответственносм⁴,см⁴. При повороте на 45⁰моменты инерции относительно новых осей оказались одинаковыми. Чему равна их величина?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся выражением (4.28) с учетом того, что центробежный момент инерции относительно главных осей равен нулю:

. (а)

Подставим в формулу (а) численные значения для моментов инерции и угла поворота осей:

см⁴.

Пример 4.8. У которой из фигур (Рис.4.15), имеющих одинаковую площадь, радиус инерции относительно оси , будет наибольшим? Определить наибольший радиус инерции сечения относительно оси

.

Решение:

1. Найдем площадь каждой из фигур и размеры сечений. Площадь фигур равняется для третьей фигуры см².

Диаметр первого сечения найдем из выражения:

см.

Размер стороны квадрата:

см.

Основание треугольника:

см.

Рис.4.15

2. Находим моменты и радиусы инерции каждого из сечений относительно центральной оси .

Для сечения круглой формы:

см⁴;см.

Для сечения квадратной формы:

см⁴;см.

Для сечения прямоугольной формы:

;

Для сечения треугольной формы:

см⁴;см.

Наибольший радиус инерции оказался у сечения прямоугольной формы и равен он см.

Изменение моментов инерции при повороте осей. Главные оси инерции. Главные моменты инерции

Содержание:

Изменение моментов инерции при повороте осей. Главные оси инерции. Главные моменты инерции

• Изменение момента инерции при вращении оси. Главная ось инерции. Основные моменты инерции Преобразуем систему координат оси Хоу вокруг точки 0 в некоторый угол а, т. е. в положение uOv(рис. 19.3) и найти значения моментов инерции JU, Jv и Jnv для осей vO и uO. При вращении системы осей HOU против

часовой стрелки угол a считается положительным. Тринадцать.* Для осуществления перехода к новой оси используется новая система координат HOU\v=y cos a-x sin a; и—y sin a+x cos a.

Тогда момент инерции к оси OI равен Ju=J V. dA=|(y cos a-x sin a) 2dA=cos2af Y2dA+ А. Людмила Фирмаль

А. +sin2x2f dA-2 sin cosu a[xydA. Один Или Ju-Jx cos2a+Jy sin2a-Jxy sin2a. (19.7) момент инерции для оси OV выглядит следующим образом: Jv=Jx2dA=[(sin a+x cos a) 2dA= Один = Грех? a [y2dA-J-cos2a / x2dA+2sin a cos a / xydA А. А. Или СП=JX используется sin2a-Ж-Ж Г cos2a4-Jxy sin2a.

(19.8)центробежный момент инерции выглядит следующим образом:птенец=J в Увда = Дж (Г, потому что А-х Sin а) (т/Син с+ Один +X cos a) dA=s * n cos2a. (19.9) сумма моментов инерции оси относительно оси, перпендикулярной друг другу, имеет постоянное значение при вращении под любым углом a. если центробежный

Примеры решения, формулы и задачи

Решение задач	Лекции
Расчёт найти определения	Учебник методические указания

• момент инерции равен нулю (/yy==0), а осевые моменты достигают крайних значений (один-максимум, а другой-минимум), то их взаимно перпендикулярные оси называются. С основными осями инерции.). (19.10)) Из Формулы (19.10) получены два значения угла поворота a и+90°, соответствующие положению осей вращения OI и Ov. Ось с высоким осевым моментом инерции всегда находится под меньшим углом, чем ось (ox и Oy), где осевой момент инерции более важен. Через любую точку на плоскости сечения или вне ее можно провести главную ось инерции.

  Расчет сопротивления материала осуществляется только относительно главной оси инерции, которая проходит через центроид площади поперечного Людмила Фирмаль

  сечения. Момент инерции к главной центральной оси называется моментом инерции главной центральной оси. Сумма моментов инерции главных центральных осевых моментов имеет минимальное значение суммы всех возможных осевых моментов инерции (Jx+ / i/=rnin). Расположение главной оси инерционного центра для простой симметричной фигуры обычно определяется без расчета, так как в случае симметричной диаграммы центробежный момент инерции относительно оси симметрии равен нулю. Для сложных участков положение главной оси инерции определяется по формуле (19.10).

  Решение задач по технической механике

  Зависимость между моментами инерции при повороте координатных осей

  По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

  Положим, что для произвольного сечения (рис. 1.13) моменты инерции относительно координатных осей z и y известны, а также известен центробежный момент инерции Izy. Требуется установить зависимости для моментов инерции относительно осей 11 zy, повернутых на угол по отношению к исходным осям z и y (рис. 1.13). Будем считать угол положительным, если поворот координатной системы происходит против хода часовой стрелки.

  Пусть для данного сечения IzI. yДля решения поставленной задачи найдем зависимость между координатами площадки dA в исходных и повернутых осях. Из рис.1.13 следует: Из треугольника из треугольника С учетом этого получаем Аналогично для координаты y1 получаем Учитывая, что окончательно имеем 1Воспользовавшись полученными зависимостями (1.23), (1.24) и выражениями для моментов инерции сечения (1.8), (1.9) и (1.11), определяем момент инерции относительно новых (повернутых) осей z1 и y1:

  Аналогично Центробежный момент инерции I относительно повернутых осей определится зависимостью После раскрытия скобок получим Складывая, получаем Сумма моментов инерции относительно взаимно перпендикулярных осей не меняется при их повороте и равна полярному моменту инерции сечения. Вычитая (1.27) из (1.26) получаем Формула (1.30) может служить для вычисления центробежного момента инерции относительно осей z и y , по известным моментам инерции относительно осей z , y и z1, y1, а формула (1.29) – для проверки вычислений моментов инерции сложных сечений. 1.8.

  Главные оси и главные моменты инерции сечения С изменением угла (см. рис. 1.13) меняются и моменты инерции. При некоторых значениях угла 0 моменты инерции имеют экстремальные значения. Осевые моменты инерции, имеющие максимальные и минимальные значения называются главными осевыми моментами инерции сечения. Оси, относительно которых осевые моменты инерции имеют максимальные и минимальные значения, являются главными осями инерции.

  С другой стороны, как уже отмечалось выше, главные оси, это оси относительно которых центробежный момент инерции сечения равен нулю.

  Для определения положения главных осей для сечений произвольной формы возьмём первую производную по от I и приравняем ее нулю: Откуда Эта формула определяет положения двух осей, относительно одной из которых осевой момент инерции максимален, а относительно другой – минимален. Необходимо заметить, что формула (1.31) может быть получена из (1.28), приравняв ее нулю.

  Если подставить значения угла, определяемого из выражения (1.31), в (1.26) и (1.27), то после преобразования получим формулы, определяющие главные осевые моменты инерции сечения По своей структуре эта формула аналогична формуле (4.12), определяющей главные напряжения (см. разд. 4.3). Если IzI, yто, исходя из исследований второй производной , вытекает, что максимальный момент инерции Imax имеет место относительно главной оси, повернутой на угол по отношению к оси z, а минимальный момент инерции – относительно другой главной оси, расположенной под углом 0 Если II, yто все меняется наоборот.

  Значения главных моментов инерции Imax и I могут быть вычислены и по зависимостям (1.26) и (1.27), если подставить в них вместо значения . При этом сам собой решается вопрос: относительно какой главной оси получается максимальный момент инерции и относительно какой оси – минимальный? Необходимо обратить внимание, что если для сечения главные центральные моменты инерции относительно осей z и y равны, то у этого сечения любая центральная ось является главной и все главные центральные моменты инерции одинаковы (круг, квадрат, шестиугольник, равносторонний треугольник и др.).

  Это легко устанавливается из зависимостей (1.26), (1.27) и (1.28). Действительно, предположим, что для какого-то сечения оси z и y ─ главные центральные оси и кроме того I. yТогда из формул (1.26) и (1.27) получим, что Izy , 1а из формулы (1.28) убедимся, что 11 е. любые оси являются главными центральными осями инерции такой фигуры. 1.9.

  Возможно вам будут полезны данные страницы:

  Понятие о радиусе инерции Момент инерции сечения относительно какой-либо оси можно представить в виде произведения площади сечения на квадрат некоторой величины, называемой радиусом инерции площади сечения где iz ─ радиус инерции относительно оси z . Тогда из (1.33) следует: Главным центральным осям инерции соответствуют главные радиусы инерции: 1.10. Моменты сопротивления Различают осевые и полярные моменты сопротивления. 1. Осевым моментом сопротивления называется отношение момента инерции относительно данной оси к расстоянию до наиболее удаленной точки поперечного сечения от этой оси.

  Осевой момент сопротивления относительно

  оси z: а относительно оси y : max где ymax и zmax─ соответственно расстояния от главных центральных осей z и y до точек наиболее удаленных от них. При расчетах используются главные центральные оси инерции и главные центральные моменты, поэтому под Iz и Iy в формулах (1.36) и (1.37) будем понимать главные центральные моменты инерции сечения. Рассмотрим вычисление моментов сопротивления некоторых простых сечений. 1. Прямоугольник (см. рис. 1.2): 2. Круг (см. рис. 1.8): 3. Трубчатое сечение кольцевое (рис. 1.14): .

  Для прокатных профилей моменты сопротивления приводятся в таблицах сортамента и в их определении нет необходимости (см. прил. 24 – 27). 2. Полярным моментом сопротивления называется отношение полярного момента инерции к расстоянию от полюса до наиболее удаленной точки сечения max 30 В качестве полюса обычно принимается центр тяжести сечения. Например, для круглого сплошного сечения (рис. 1.14): Для трубчатого круглого сечения . Осевые моменты сопротивления Wz и Wy характеризуют чисто с геометрической стороны сопротивляемость стержня (балки) деформации изгиба, а полярный момент сопротивления W сопротивляемость кручению.

  Таблица. Осевые моменты инерции, моменты сопротивления и радиусы инерции плоских фигур.

  	Навигация по справочнику TehTab.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Материалы — свойства, обозначения / / Сопротивление материалов. Сопромат.  / / Таблица. Осевые моменты инерции, моменты сопротивления и радиусы инерции плоских фигур. Таблица. Осевые моменты инерции, моменты сопротивления и радиусы инерции плоских фигур. (Моменты инерции J даны для главных центральных осей. Радиус инерции i=(J/F)1/2, где F — площадь сечения). Легенда: π — математическая константа (3,14) d, D — диаметр r — радиус с — отношение 2х диаметров друг к другу s — толщина Легенда: h — высота α — диаметр b — ширина, длина О — центр Форма поперечного сечения Осевой момент инерции, J, см4 Момент сопротивления W, см3 Радиус инерции i, см Круг Кольцо c=d1/d Тонкостенное кольцо s≤(D/10) Полукруг Vo=2d/3π=0,2122d=0,4244r Круговой сегмент Круговой сектор — Круговое полукольцо Сектор кругового кольца — Профиль с симметричными закруглениями — Эллипс Квадрат Полый квадрат   Полый тонкостенный квадрат   s<(B/15) Квадрат, поставленный на ребро Срез верхнего и нижнего углов увеличивает Wx; при срезе углов на С=1/18 диагонали с каждой стороны момент сопротивления увеличивается до Wx=0,124b3 Полый квадрат, поставленный на ребро Прямоугольник   Прямоугольник повернутый Полый прямоугольник Полый тонкостенный прямоугольник Сечение из двух равных прямоугольников Треугольник  При вычислении напряжения в вершине треугольника при вычислении напряжения в точке основания Поставленный на ребро треугольник Трапеция При вычислении напряжений в точках верхнего основания в точках нижнего основания Трапеция Тавр Для нижних волокон Для верхних волокон Корытное сечение  Крестообразное сечение Правильный шестиугольник Правильный восьмиугольник
  Нашли ошибку? Есть дополнения? Напишите нам об этом, указав ссылку на страницу.{∾} $ Оцените сложность задачи: 0 голосов, средняя сложность: 0.0000 Чтобы предложить решение пожалуйста войдите или зарегистрируйтесь Геометрические характеристики плоских сечений ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Рассмотрим Геометрические характеристики плоских сечений ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Рассмотрим поперечное сечение произвольной формы. Выберем произвольную прямоугольную систему координат YOZ. Разобьем поперечное сечение на конечное число элементарных площадок. Выделим одну из них (∆Ai), которая имеет координаты zi, yi. Результат суммирования (интегрирования) всех площадок дает площадь поперечного сечения A. где n – число элементарных площадок. Умножив площадь каждой площадки (∆Ai) на координату yi и просуммировав эти произведения, получим значение которое называется статическим моментом площади относительно оси z. По аналогии получим статический момент площади относительно оси y Умножив каждую площадку (∆Ai) на квадрат координаты yi и просуммировав эти произведения, получим значение которое назовем осевым моментом инерции площади относительно оси z. По аналогии получим значение осевого площади относительно оси y. момента инерции Умножив площадь каждой площадки (∆Ai) на квадрат расстояния i от начала координат (полюса) O и просуммировав эти произведения, получим значение полярного момента сопротивления Умножив каждую площадку (∆Ai) на свои координаты yi и zi и просуммировав эти произведения, получим значение центробежного момента инерции СВОЙСТВА ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ. ПЛОЩАДЬ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ А Размерность характеристики – м 2 или ее производные – см 2, мм 2 и т. д. Величина A, всегда положительна. Иногда, для ее вычисления приходится прибегать к искусственному приёму. I II A = AI – AII где AI – площадь прямоугольника, AII – площадь эллипса. СТАТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ПЛОЩАДИ S (SУ, SZ) Размерность характеристики – м 3 или см 3, мм 3 и т. д. В зависимости от расположения сечения относительно осей координат статические моменты могут быть положительными, отрицательными и равными нулю. Рис. 1 В соответствии с рисунком, величина Sz для площадей I, II, V – положительна, а для площадей III, IV, VI – отрицательна. Величина Sy для площадей I, IV, V – положительна, а для II, III, VI – отрицательна. Ось, относительно которой характеристика S равна нулю, называют центральной, а точку пересечения таких осей – центром тяжести сечения. ОСЕВОЙ МОМЕНТ ИНЕРЦИИ J (JУ; JZ) Размерность характеристики – м 4 или см 4, мм 4 и т. д. Величина J всегда положительна, т. к. при любом разбиении сечения на элементарные площадки их расстояния до координатных осей возводятся в квадрат, а суммирование произведений положительных величин дает положительный результат. По расположению сечения относительно координатных осей можно дать сравнительную оценку величины J. В соответствии с рисунком, величина Jz 1 больше Jz, т. к. расстояние элементарных площадок до оси z 1 (y 1) больше, чем до оси z (y). По той же причине Jy > Jz Чем дальше от оси расположено сечение, тем большее значение принимает соответствующая характеристика. Из всех параллельных осей координат характеристика минимальна относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения. ПОЛЯРНЫЙ МОМЕНТ ИНЕРЦИИ JP Размерность характеристики – м 4 или см 4, мм 4 и т. д. Величина Jp согласно всегда положительна. В соответствии с рисунком По определению Или полярный момент инерции относительно начала координат равен сумме осевых моментов инерции относительно любой пары взаимно перпендикулярных осей, проходящих через это начало координат и расположенных в плоскости сечения. ЦЕНТРОБЕЖНЫЙ МОМЕНТ ИНЕРЦИИ JZY Размерность характеристики – м 4 или см 4, мм 4 и т. д. Величина Jzy может быть положительной, отрицательной и равной нулю в зависимости от произведения координат y и z. В соответствии с Рис. 1, величина Jzy для площадей I, V (обе координаты большинства элементарных площадок положительны), III, VI (обе координаты большинства элементарных площадок отрицательны) положительна, а для площадей II, IV (одна из координат положительна, другая отрицательна) – отрицательна. Рассмотрим поперечное сечение, имеющее ось симметрии (ось y на рисунке). Центробежный момент этих площадок будет yzΔA+ (-z)yΔA=0. Для любой площадки, расположенной по одну сторону от оси y всегда можно выделить аналогичную площадку, находящуюся симметрично с другой стороны оси. Попарное суммирование центробежных моментов инерции таких площадок дает в результате ноль. Следовательно, если сечение имеет хотя бы одну ось симметрии, то центробежный момент инерции относительно прямоугольной системы координат, одна из осей которой – ось симметрии, а другая – любая, ей перпендикулярная, равен нулю. Систему координат, относительно которой Jzy равен нулю, называют главной. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ СЕЧЕНИЯ Согласно известной из курса «Теоретическая механика» теореме о равенстве момента равнодействующей силы сумме моментов составляющих сил будут иметь место равенства: Левые части выражений представляют собой согласно статические моменты Sy и Sz сечения площадью A, а координаты yc и zc центр тяжести сечения. Следовательно: Или для сложной фигуры, которую можно разбить на конечное число простых: где Ai, zi, yi – площади и координаты центра тяжести простой фигуры, n – число простых фигур. Порядок определения положения центра тяжести сложной фигуры: 1 Выбрать произвольную систему координат. 2 Разбить сложную фигуру на простые составляющие (площадь и координаты центров тяжести которых легко определить) и отметить центры тяжести каждой простой фигуры. 3 Вычислить площади простых фигур (Ai) и координаты их центров тяжестей (yi и zi) в выбранной по пункту 1 произвольной системе координат. 4 Вычислить по формулам (1) координаты центра тяжести сложной фигуры и отложить величины yc и zc в выбранной по пункту 1 произвольной системе координат. Примечания: При выборе произвольной системы координат желательно руководствоваться соображениями облегчения дальнейшего решения. Центр тяжести сечения, имеющего ось симметрии, находится на этой оси. Пример Определить положение составного сечения центра тяжести Решение. Выбираем произвольную исходную систему координат YOZ. Разбиваем фигуру на составляющие: I — прямоугольник со сторонами 4 a и 2 a; II- прямоугольник со сторонами a и 4 a. На рисунке разбиение показано штриховой линией. Вычислим площади простых фигур и координаты их центров тяжести Вычисляем координаты центра тяжести сложной фигуры Откладываем значения yc и zc в системе координат YOZ и отмечаем центр тяжести сложной фигуры ( С ), yc и zc – центральные оси МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ПРОСТЕЙШИХ ФИГУР Прямоугольник Разобьем сечение на элементарные площадки в виде полос и выделим одну из них. Площадь полосы Подставим это значение в выражение для Jz Аналогично получаем Треугольник Разобьем сечение на элементарные площадки в виде полос и выделим штриховкой одну из них. Ширина полосы by меняется в зависимости от расстояния y. Закон изменения by установим из соотношения Или Площадь полосы Тогда момент инерции Круг Подсчитаем сначала полярный момент инерции круга. Для этого выделим в сечении окружностями радиуса и +d элементарное кольцо площадью • и вычислим Jp или Учитывая что получаем для осевых моментов инерции круга выражение Для сечений, выполненных в виде прокатных профилей (двутавр, швеллер, уголок), Значения геометрических характеристик приведены в соответствующих сортаментах. Зависимость между моментами инерции при переходе к параллельным осям Предположим, что моменты инерции Jy, Jzy данного сечения относительно осей y и z известны Выберем новую систему координат Y 1 O 1 Z 1, оси которой параллельны прежним. Расстояния между осями обозначим a и b соответственно. Рассмотрим элементарную площадку d. A. Координаты ее в старой системе координат равны y и z. В новой системе они равны и Подсчитаем новые значения моментов инерции т. к. получим аналогично Если старая система координат была центральной (характеристики S в этом случае равны нулю), то выражения принимают вид: Из формул следует, что наименьшее значение осевые моменты инерции имеют относительно центральных осей сечения, так как величины a 2 A и b 2 A всегда положительны. Изменение моментов инерции при повороте осей координат Предположим, что известны моменты инерции Jy, Jz и Jzy сечения относительно осей y и z старой системы координат с началом в точке O Выберем новую систему координат Y 1 Z 1 с началом в той же точке O, но повернутую на некоторый угол относительно старой. Будем считать угол положительным при повороте старой системы координат к новой против хода часовой стрелки. Рассмотрим элементарную площадку d. A с координатами y и z в старой системе координат. Определим координаты y 1 и z 1 этой же площадки в новой системе координат, выразив их через старые значения. Подсчитаем новые значения моментов инерции или (1) Аналогично (2) Сложив между собой уравнения, получим Следовательно, сумма осевых моментов инерции при повороте осей координат постоянной. Центробежный момент инерции остается Или (3) Главные оси и главные моменты инерции Из формул вытекает, 1) моменты инерции меняют свое значение при повороте осей на угол , т. е. являются функциями угла. Экстремальные значения осевых моментов инерции сечения называют главными, а оси, относительно которых моменты инерции экстремальны – главными осями. 2) если осевой момент инерции относительно некоторой оси максимален, то относительно перпендикулярной ей оси он имеет минимальное значение. 3) главные оси инерции взаимно перпендикулярны. Исследуем функцию JZ 1 на экстремум, для чего возьмем производную по углу : Найдем угол 0, на который необходимо повернуть оси y и z, чтобы они совпали с главными. Для этого приравняем нулю производную (4) Сравнение (3) и (4) дает при = 0. Следовательно, относительно главных осей центробежный момент инерции сечения равен нулю, что отмечалось ранее. Из (4) следует (5) подставив угол 0 из (5) в (1) и (2) получим Если начало координат главных осей инерции совпадает с центром тяжести сечения, то такую систему координат называют главной центральной Изменение моментов инерции при повороте осей Изменение моментов инерции при повороте осей. Рассмотрим изменение моментов инерции при повороте осей координат. Положим, даны моменты инерции некоторого сечения относительно осей x и y (не обязательно центральных). Требуется определить Ju, Jv, Juv— моменты инерции относительно осей u,v, повернутых на угол а.  Так проекция ОАВС равна проекции замыкающей: u=y sin а + x cos a (1) v=y cos a – x sin a (2) Исключим u,v  в выражениях моментов инерции: Рекомендация для Вас — 4 Общие сведение о методах археологических исследования. Ju= ∫v2dF;  Jv= ∫u2dF;  Juv= ∫uvdF. Подставив в выражения (1) и (2) получим:  Ju=Jxcos2a – Jxysin 2a + Jy sin2 a   Jv=Jxsin2a + Jxysin 2a + Jy cos2 a    (3)  Juv=Jxycos2a + sin 2a(Jx-Jy)/2 Ju +Jv=Jx +Jy=∫F(y2+x2)dF => Сумма осевых моментов инерции относительно 2х взаимно перпенд. Осей не зависит от угла а. Заметим, что x2+y2=p2. p— расстояние от начала координат до элементарной площадки.  Т.о. Jx +Jy=Jp.(4)  Jp=∫F p2dF –полярный момент, не зависит от поворота х,у Кинетическая энергия вращения | Безграничная физика Кинетическая энергия вращения: работа, энергия и сила Кинетическая энергия вращения — это кинетическая энергия вращения объекта, которая является частью его общей кинетической энергии. Цели обучения Выразите кинетическую энергию вращения как функцию угловой скорости и момента инерции и свяжите ее с полной кинетической энергией Основные выводы Ключевые моменты Кинетическая энергия вращения может быть выражена как: [латекс] \ text {E} _ {\ text {rotational}} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ {2} [/ latex] где [латекс] \ omega [/ latex] — угловая скорость, а [latex] \ text {I} [/ latex] — момент инерции вокруг оси вращения. Механическая работа, прикладываемая во время вращения, равна крутящему моменту, умноженному на угол поворота: [latex] \ text {W} = \ tau \ theta [/ latex]. Мгновенная мощность тела, ускоряющегося под углом, равна крутящему моменту, умноженному на угловую скорость: [latex] \ text {P} = \ tau \ omega [/ latex]. Существует тесная взаимосвязь между результатом для вращательной энергии и энергией, удерживаемой линейным (или поступательным) движением. Ключевые термины крутящий момент : вращательное или скручивающее действие силы; (Единица СИ ньютон-метр или Нм; британская единица измерения фут-фунт или фут-фунт) инерция : свойство тела сопротивляться любому изменению его равномерного движения; эквивалент его массе. угловая скорость : векторная величина, описывающая объект в круговом движении; его величина равна скорости частицы, а направление перпендикулярно плоскости ее кругового движения. Кинетическая энергия вращения — это кинетическая энергия вращения объекта, являющаяся частью его общей кинетической энергии. Рассмотрение энергии вращения отдельно вокруг оси вращения объекта дает следующую зависимость от момента инерции объекта: Кинетическая энергия вращения : Вещи, которые катятся без скольжения, имеют некоторую часть своей энергии как поступательную кинетическую, а остальную часть — как кинетическую кинетику вращения.{2} [/ латекс], где [latex] \ omega [/ latex] — угловая скорость, а [latex] \ text {I} [/ latex] — момент инерции вокруг оси вращения. Механическая работа, прикладываемая во время вращения, равна крутящему моменту ([latex] \ tau [/ latex]), умноженному на угол поворота ([latex] \ theta [/ latex]): [latex] \ text {W} = \ tau \ theta [/латекс]. {2} [/ latex]. Во вращающейся системе момент инерции играет роль массы, а угловая скорость играет роль линейной скорости. В качестве примера давайте вычислим кинетическую энергию вращения Земли (анимировано на Рисунке 1). Поскольку Земля имеет период около 23,93 часа, она имеет угловую скорость 7,29 × 10 −5 рад / с. У Земли есть момент инерции I = 8,04 × 10 37 кг · м2. Следовательно, он имеет кинетическую энергию вращения 2,138 × 10 29 Дж. Вращающаяся Земля : Вращение Земли является ярким примером кинетической энергии вращения. Частично это можно использовать с помощью приливной энергии. Дополнительное трение двух глобальных приливных волн создает физическую энергию, бесконечно замедляя угловую скорость Земли. Благодаря сохранению углового момента этот процесс передает угловой момент орбитальному движению Луны, увеличивая ее расстояние от Земли и ее орбитальный период. Момент инерции Момент инерции — это свойство массы, которое измеряет ее сопротивление вращательному ускорению вокруг одной или нескольких осей. Цели обучения Определить свойство массы, описываемое моментом инерции Основные выводы Ключевые моменты Первый закон Ньютона, который описывает инерцию тела при линейном движении, может быть расширен до инерции тела, вращающегося вокруг оси, с использованием момента инерции. Объект, который вращается с постоянной угловой скоростью, будет продолжать вращаться, если на него не действует внешний крутящий момент. Чем больше крутящий момент, тем больше угловое ускорение. Ключевые термины крутящий момент : вращательное или скручивающее действие силы; (Единица СИ ньютон-метр или Нм; британская единица измерения фут-фунт или фут-фунт) инерция : свойство тела сопротивляться любому изменению его равномерного движения; эквивалент его массе. Момент инерции Момент инерции — это свойство распределения массы в пространстве, которое измеряет сопротивление массы вращательному ускорению вокруг одной или нескольких осей.Первый закон Ньютона, который описывает инерцию тела при линейном движении, может быть распространен на инерцию тела, вращающегося вокруг оси, с использованием момента инерции. То есть объект, который вращается с постоянной угловой скоростью, будет продолжать вращаться, если на него не воздействует внешний крутящий момент. Таким образом, момент инерции играет во вращательной динамике ту же роль, что и масса в линейной динамике: он описывает взаимосвязь между угловым моментом и угловой скоростью, а также крутящим моментом и угловым ускорением. Момент инерции : Краткое введение в момент инерции (инерции вращения) для студентов-физиков, изучающих математические вычисления. Момент инерции I объекта можно определить как сумму mr 2 для всех точечных масс, из которых он состоит, где m — масса, а r — расстояние массы от центра объекта. 2 [/ latex], где r теперь расстояние между двумя осями, а [latex] \ text {I} _ {\ text {cm}} [/ latex] — это момент инерции при вращении вокруг центра масс, который вы научились рассчитывать в предыдущем абзаце. Общее соотношение между крутящим моментом, моментом инерции и угловым ускорением: net τ = I α, или α = (net τ) / I. Net τ — это общий крутящий момент от всех сил относительно выбранной ось. Такие моменты могут быть положительными или отрицательными и складываются как обычные числа. Соотношение τ = Iα является вращательным аналогом второго закона Ньютона и очень применимо. Это уравнение действительно для любого крутящего момента, приложенного к любому объекту и относительно любой оси. Как и следовало ожидать, чем больше крутящий момент, тем больше угловое ускорение. Например, чем сильнее ребенок толкает карусель, тем медленнее он разгоняется с тем же крутящим моментом. Основное соотношение между моментом инерции и угловым ускорением состоит в том, что чем больше момент инерции, тем меньше угловое ускорение. Момент инерции зависит не только от массы объекта, но и от его распределения массы относительно оси, вокруг которой он вращается.Например, будет намного легче разогнать карусель, полную детей, если они будут стоять близко к ее оси, чем если все они будут стоять у внешнего края. Момент инерции карусели : Отец толкает карусель на детской площадке за край и перпендикулярно ее радиусу для достижения максимального крутящего момента. 5.4: Момент инерции — Physics LibreTexts Предположим, у нас есть масса m на конце безмассовой палки длиной \ (r \), вращающейся вокруг другого конца палки.2 \). По аналогии с массой, представляющей инерцию тела, испытывающего линейное ускорение, мы будем идентифицировать эту величину как инерцию тела, испытывающего вращательное ускорение, которое мы назовем моментом инерции и обозначим как \ (I \): \ [\ boldsymbol {\ tau} = I \ boldsymbol {\ alpha} \ label {крутящий момент} \] Уравнение \ ref {крутящий момент} — вращательный аналог второго закона движения Ньютона. {2} \ sigma \ mathrm {d} A = I_ {y} + I_ {x} \] Обратите внимание, что последние две строки таблицы 5.1 (моменты инерции тонкого плоского прямоугольника) удовлетворяют теореме о параллельности осей. 2 Подобно одномерному и двумерному аналогам центра масс сплошного объекта (4.1.3), существуют одно- и двумерные аналоги \ ref {интеграл}, которые вы получаете заменой \ (\ rho \) с \ (\ lambda \) или \ (\ sigma \) и dV на dx или dA, соответственно. Вращение — момент инерции Момент инерции Когда дело доходит до поступательного движения, идея массы довольно проста: тяжелые объекты толкать труднее.То же самое и с вращением: тяжелый объект повернуть сложнее, но это не просто вес. И форма объекта, и точка, вокруг которой он вращается, имеют решающее значение для определения того, насколько легко или сложно вращаться. Математически мы описываем влияние размера и формы на вращение с помощью того, что называется моментом инерции объекта , сокращенно I . Момент инерции — это мера того, насколько инерции обладает объект — его сопротивление, в данном случае, вращательному движению.Большие и тяжелые предметы будут иметь высокий момент инерции, и их будет трудно повернуть; более мелкие предметы неправильной формы также могут иметь высокий момент инерции и их так же трудно повернуть. Короче говоря, чем большую массу объект имеет вдали от оси, вокруг которой он вращается, тем больше работы требуется для его поворота. Для точечной массы, вращающейся вокруг точки на расстоянии r , ее момент инерции равен: Мы измеряем момент инерции в кг · м 2 , взвешенную оценку массы по расстоянию. Если существует множество вращающихся точечных масс, их коллективный момент инерции является просто суммой всех индивидуальных моментов инерции объекта: Применяя некоторую магию исчисления, мы можем взять эту сумму -частями аспект момента инерции и вычислить I для сложных твердых тел, таких как сферы или цилиндры. Показательный пример даже для тех, кто не склонен к исчислению: хула-хуп. Представьте себе хула-хуп, сделанный из очень, очень маленьких кусков обруча, каждый из которых имеет массу м , и склеенных вместе: Во время хула каждый кусок обруча вращается с одинаковым радиусом r (радиус хула-хупа).Тогда каждый кусок обруча имеет момент инерции вокруг этой оси вращения I кусок = mr 2 . Момент инерции обруча складывается из суммы всех кусков: I обруч = м 1 r 2 + м 2 r 2 + м 3 r 2 + … = Mr 2 , где — общая масса обруча.Тот же процесс работает с дисками, стержнями, кубами, но процесс суммирования немного сложнее. Вот разбивка некоторых распространенных форм: Теорема о параллельной оси Если вы помните все время до нашего обсуждения количества движения, вы могли заметить, что все эти моменты инерции вычисляются вокруг оси вращения, которая движется прямо через центр масс объекта. Для другой точки вращения объекта — скажем, стержня, вращающегося вокруг одного конца, как турникет, а не вокруг своего центра — мы используем теорему о параллельности оси , чтобы найти момент инерции объекта.Единственная загвоздка в том, что новая ось вращения должна быть параллельна оси, проходящей через центр масс. В таком случае: I || — новый момент инерции вокруг новой оси вращения, I см — исходный момент инерции вокруг оси через центр масс, M — масса объекта, а d — расстояние между старой и новой осями вращения. Вращение вокруг оси, которая не проходит через центр масс, будет всегда увеличиваться I — член Md 2 не может быть отрицательным, потому что другая ось вращения всегда будет иметь больше массы объекта. дальше, чем ось, проходящая через центр масс. Общие ошибки Помните, что моменты, перечисленные для обычных форм, верны только в том случае, если ось вращения проходит через центр масс в указанном направлении. Для оси вращения, расположенной в другой точке (но в том же направлении), мы можем использовать теорему о параллельности оси, чтобы получить правильный момент инерции; для другого направления вращения момент инерции может быть совершенно другим. Brain Snack В то время как теорема о параллельной оси проделала отличную работу по объяснению моментов инерции для многих простых и сложных форм, единственным движением объекта, которое всегда ускользало от объяснения даже самым проницательным физикам, является круговое движение Мика Джаггера. ось микрофонной стойки. Физика фиджет спиннеров: объяснение момента инерции Это все, что вам сейчас нужно знать о моменте инерции. Физический маятник Теоретически я мог бы измерить массу и размер спиннера, чтобы вычислить момент инерции, используя эту третью формулу. Но это было бы сложно, потому что спиннер не имеет хорошей математической формы и не имеет однородной плотности. Вместо этого я буду определять момент инерции с помощью физического маятника. Вы, наверное, знакомы с небольшой массой, раскачивающейся на веревке. Это основной маятник. Он имеет период колебания: Нет, я не буду выводить это выражение, потому что оно сложнее, чем вы думаете. Но в этом выражении L представляет длину струны, а g представляет местное гравитационное поле (9,8 Н / кг). Также мне нравится использовать T для периода, так как P слишком очевиден (и уже взят). Теперь, если вы замените веревку чем-то жестким, например, палкой, вы получите физический маятник. В этом случае вы определяете период колебаний для малых амплитуд с помощью: В этом случае I представляет момент инерции относительно оси вращения (точки поворота). L представляет собой расстояние от точки поворота до центра масс, а м представляет собой массу объекта. Итак, вы можете представить, как вращаете объект и определяете момент инерции по периоду колебаний.Да, но что, если вам нужен момент инерции через какую-то другую ось? В этом случае вы используете теорему о параллельных осях. В нем говорится, что если вы знаете момент инерции объекта относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно другой оси (но параллельно первой, отсюда и название), составляет: Здесь m представляет массу объекта, а d расстояние от оси центра масс до новой оси. Измерение момента инерции Теперь эксперимент.Я прикреплю спиннер к палке массой всего 1 грамм. Я прикреплю ручку к датчику вращения, чтобы я мог измерить угол наклона ручки и период колебаний. Если я хочу найти момент инерции относительно центра прядильщика, я могу использовать период физического маятника и теорему о параллельности оси, чтобы определить эту взаимосвязь (я пропустил некоторые алгебраические вещи): Вот ключевая часть — то, что я пытаюсь объяснить своим студентам, изучающим физику.Я не буду определять только одну точку и использовать ее, чтобы найти I для счетчика. Вместо этого я буду измерять период спиннером на некотором расстоянии ( L ). Затем я изменю расстояние и найду новый период. Имея эти данные, я могу построить график T , умноженный на L , в сравнении с L 2 (на самом деле я нанесу все это на график в левой части уравнения). Да, я знаю, что это выглядит странно, но это должна быть прямая линия, а точка пересечения оси Y будет моментом инерции прядильщика.Бум. Ой, а как насчет массы флешки? А масса резинки крепления блесны? Да, технически это имеет значение, но я все равно продолжу, и вы не сможете меня остановить. Пересечение оси y этого графика составляет 5,4 x 10 -5 кг * м 2 . Это момент инерции прядильщика непоседы. Но ждать! Позвольте мне получить грубое приближение, чтобы увидеть, правильно ли это. Если бы спиннер был твердым диском с однородной плотностью, у него был бы момент инерции: Я знаю, что масса спиннера равна 0.0519 кг и радиусом около 3,7 см. Принимая это приближение, я получаю расчетное значение 7,1 x 10 -5 кг * м 2 — достаточно близко. Кроме того, должно быть ясно, что прядильщик непоседы не является диском и не имеет однородной плотности. А теперь бонус: Тот же эксперимент с металлическим кольцом. Размещая кольцо на разных расстояниях, я получаю аналогичный график: Из точки пересечения оси y я получаю момент инерции со значением 1,27 x 10 -4 кг * м 2 .Кольцо имеет радиус 0,0375 метра и массу 0,0919 кг. Поскольку момент инерции кольца равен MR 2 , я могу вычислить теоретическое значение для этого объекта. Расчетный момент инерции 1,29 x 10 -4 кг * м 2 . Черт возьми. Это действительно сработало. По большей части. Энергия вращения Энергия вращения Энергия вращения Если мы толкаем объект вперед, пока объект движется Вперед, ведем позитивную работу по объекту.Объект ускоряется, потому что мы настаиваем на этом. F = ma. Обретает кинетическую энергию. Поступательная кинетическая энергия объект с массой m, центр масс которого движется со скоростью v, равен K = ½mv 2 . Поступательная кинетическая энергия = ½ массы * скорость 2 Кинетическая энергия увеличивается пропорционально скорости. Когда скорость машины увеличивается вдвое, его энергия увеличивается в четыре раза. Вращающийся объект обладает кинетической энергией, даже если объект в целом не имеет поступательное движение.Если мы рассмотрим объект, состоящий из набора частиц, тогда каждая частица i имеет кинетическую энергию K i = ½m i v i 2 . Таким образом, полная кинетическая энергия вращающегося объекта равна . K = ∑K i = ½m i v i 2 = ∑½mr i 2 ω 2 = ½ω 2 ∑mr i 2 . Запишем K = ½ (mr i 2 ) ω 2 = ½Iω 2 . Величина в скобках называется моментом инерции I = ∑m i r i 2 объекта вокруг оси вращения. Момент инерции системы относительно оси вращение можно найти, умножив массу m i каждого частица в системе на квадрат ее перпендикулярного расстояния r i от оси вращения, и суммируя все эти произведения, I = ∑m i r i 2 . Для системы с при непрерывном распределении масс сумма превращается в интеграл, I = ∫r 2 дм. Агрегаты момент инерции — это единица массы, умноженная на квадрат расстояния, например кгм 2 . Когда объект вращается вокруг По оси кинетическая энергия вращения равна K = ½Iω 2 . Кинетическая энергия вращения = ½ момента инерции * (угловая скорость) 2 . Когда угловая скорость вращающегося колеса увеличивается вдвое, его кинетическая энергия увеличивается на фактор четыре. Когда объект совершает поступательное и вращательное движение, мы можем смотреть на движение центра масс и движение вокруг центра масс в отдельности. Полная кинетическая энергия складывается из поступательных кинетическая энергия центра массы (CM) и кинетической энергии вращения относительно CM . Момент инерции объекта зависит от масса объекта, и как эта масса распределена относительно оси вращение.Момент инерции всегда определяется относительно оси вращения. Чем дальше основная масса от оси вращения, тем больше инерция вращения (момент инерции) объекта. Пример: Представьте себе два колеса одинаковой массы. Одно из них — сплошное колесо с его масса равномерно распределена по всей конструкции, в то время как другая имеет большая часть массы сосредоточена у обода. Колесо с массой около обода имеет больший момент инерция. Пример: Момент инерции кругового диска, вращающегося вокруг оси через свой центр, перпендикулярный плоскости диска, отличается от момент инерции диска, вращающегося вокруг оси через его центр в плоскости диска. Моменты инерции многих объектов с симметричным распределением масс о различных осях симметрии можно посмотреть в таблицах. Ссылка: Список моментов инерции Проблема: Три частицы связаны жесткими стержнями пренебрежимо малой массы, лежащими вдоль ось Y, как показано. Если система вращается вокруг оси x с угловой скоростью 2 рад / с, найти (a) момент инерции относительно оси x и полное вращательное кинетическая энергия рассчитана из ½Iω 2 , и (b) линейная скорость каждой частицы и оцененная полная кинетическая энергия от Σ½m i v i 2 . Решение: Рассуждение: Момент инерции I = ∑m i r i 2 . Здесь r i — перпендикулярное расстояние частицы i от ось абсцисс. Линейная скорость частицы i равна v i. = ωr i . Детали расчета: (a) I = (4 кг) (9 м 2 ) + (2 кг) (4 м 2 ) + (3 кг) (16 м 2 ) = 92 кгм 2 . Кинетическая энергия вращения K = ½Iω 2 = 46 * 4 / с 2 = 184 Дж. (b) Линейная скорость массы 4 кг равна v = 6 м / с, а ее кинетическая энергия равна ½ мв 2 = 72 Дж. Линейная скорость массы 2 кг равна v = 4 м / с, а ее кинетическая энергия равна ½ мв 2 = 16 Дж. Линейная скорость массы 3 кг равна v = 8 м / с, а ее кинетическая энергия равна ½ мв 2 = 96 Дж. Сумма кинетических энергий трех частиц составляет 184 Дж. Проблема: Четыре частицы на рисунке справа связаны жесткими стержнями. Начало координат находится в центре прямоугольника. Рассчитайте момент инерции системы относительно оси z. Решение: Рассуждение: Момент инерции I = ∑m i r i 2 . Здесь r i — перпендикулярное расстояние частицы i от ось z. Детали расчета: Каждая частица — это расстояние r = (9 + 4) ½ м = (13) ½ м от ось вращения. I = (3 кг + 2 кг + 4 кг + 2 кг) * 13 м 2 = 143 кг · м 2 . Проблема: Найдите момент инерции очень тонкого обруча масса m и радиус r относительно оси симметрии. Решение: Рассуждение: Масса распределена непрерывно, поэтому ∑m -> ∫dm.Все элементы массы dm представляют собой перпендикуляр расстояние r от оси вращения. I = ∫ r 2 dm = r 2 ∫dm = mr 2 . Теорема о параллельной оси Рассмотрим составной объект, например два соединенных диски на рисунке справа. Центр масс этого объекта находится в начале координат. Найти момент инерции объект о CM мы можем использовать теорему о параллельных осях. Эта теорема утверждает, что момент инерции объекта относительно любой оси равен сумма двух слагаемых. Первое слагаемое — момент инерции объекта относительно параллельные оси через его центр масс. Второй член — произведение массы объект M, умноженный на квадрат расстояния R его центра масс от оси в вопрос. I = I CM + MR 2 . Мы можем рассматривать составной объект как сумму его частей, и для каждой части вычислять момент инерции относительно оси z. Для диска 1 имеем I 1 = I CM1 + M 1 R 1 2 , а для диска 2 имеем I 2 = I CM2 2 + M 2 R 2 2 . Тогда момент инерции составного объекта относительно оси z равен I = I 1 + I 2 . Для однородного диска массы M момент инерции относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной плоскости диска, равен ½MR 2 . Таким образом, для объекта на рисунке мы имеем момент инерции относительно ось z I = (3/2) MR 2 + (3/2) MR 2 = 3MR 2 . Прокат Кинетическая энергия объекта с поступательным и вращательным движением равна сумма его поступательной и вращательной кинетической энергии. Поступательная кинетическая энергия = ½ мВ CM 2 . Кинетическая энергия вращения = ½Iω 2 . Полная кинетическая энергия = ½ мВ CM 2 + ½Iω 2 . Рассмотрим колесо радиуса r и массы m, катящееся по плоской поверхности в x-направление. Смещение Δx и угловое смещение Δθ связаны соотношением Δx = rΔθ. Величины линейной скорости и угловой скорости связаны соотношением v CM = rω. Кинетическая энергия колеса — это сумма кинетической энергии движения колеса. центр масс ½mv CM 2 = ½mr 2 ω 2 , и кинетическая энергия движения вокруг центра масс ½Iω 2 . Полная кинетическая энергия KE tot = ½mr 2 ω 2 + ½Iω 2 = ½ [mr 2 + I] ω 2 = ½ [m + I / r 2 ] v 2 . Пример: Предположим, что колесо представляет собой однородный диск. Момент инерции I однородного диска относительно оси, перпендикулярной плоскости диск через его CM составляет ½mr 2 . Таким образом, кинетическая энергия диска KE tot = (3/4) mr 2 ω 2 . Отношение поступательной кинетической энергии к вращательной составляет E trans / E rot = MR 2 / I. Если два катящихся объекта имеют одинаковую общую кинетическую энергию, то объект с меньшим моментом инерции имеет больший поступательная кинетическая энергия и большая скорость. Проблема: Предположим, что диск и кольцо с одинаковым радиусом катятся по наклонной высоте. h и угол тета.Если они оба начнут из состояния покоя при t = 0, какой из них достигнет внизу сначала? Решение: Подумайте сами, а потом посмотрите этот видеоклип . Ваш ответ был правильным? Модуль 8: Вопрос 2 Предположим, вы разрабатываете гоночный велосипед и пришло время поработать над колесами. Вам говорят, что колеса должны иметь определенную массу, но вы можете сконструировать их как колеса со спицами (как традиционные велосипедные колеса), или вы можете сделать их как имеющие сплошные диски насквозь.Какой дизайн вы бы выбрали, учитывая, что гоночный аспект машины самый главный? Пожалуйста, объясни! Обсудите это со своими однокурсниками на дискуссионном форуме! Модуль 8: Вопрос 3 Опишите преобразования энергии, происходящие при броске йо-йо вниз. а затем снова поднимается по своей веревке, чтобы попасть в руку пользователя. Обсудите это со своими однокурсниками на дискуссионном форуме! Основная ось — обзор Приложение 7.1 Соотношения между лагранжевым ω eL , эйлеровым ω eE и относительными упругими спинами ω eR Здесь используется метод Хилла главных осей для получения соотношений между лагранжевым, эйлеровым и относительным упругим спинами; см. также Hill (1978) и Ogden (1984). Полярное и спектральное разложение градиента упругой деформации дает (A7.1) Fe = ReUe = VeRe, Ue = λieNie⊗Nie, Ve = ∑λienie⊗nie. , где R e — правильный ортогональный тензор, а U e и V e обозначают правый и левый симметричные тензоры упругого растяжения.Скаляры λ i e обозначают главные значения упругого растяжения. Nie и nie; i = 1,2,3 обозначают главные направления Лагранжа и Эйлера тензоров U e и V e — называемые главными осями упругости Лагранжа и Эйлера. Во время упругой деформации тела относительно некоторой фиксированной эталонной конфигурации триады Ни и ни (лагранжева и эйлера) вращаются в фиксированной глобальной системе координат.Это вращение описывается упругими спинами Лагранжа ω eL и Эйлерова ω eE , которые, в свою очередь, порождаются тензорами вращения R eL и R eE , соответственно (A7.2) ωeL≡R˙eLReLT, N˙ie = ωeLNie, ωeE≡R˙eEReET, n˙ie = ωeEnie. Относительный упругий спин ωeR≡R˙eReT, определяющий вращение главных осей эйлерова упругости относительно главных осей упругости Лагранжа, порождается тензором вращения R¯e (A7.3) ReE = ReReL, ωeR≡R˙eReT, nie = ReNie, Re = ∑Rijenie⊗Nje. Дифференцирование (A7.3) 1 по времени — R˙eE≡ωeEReE, R˙eE = R˙eReL + ReR˙eL = ωeRReReL + ReωeLReL и использование (A7.2), (A7.3) это (A7.4) ωeL = ReTωeE − ωeRRe. При дифференциации материалов (A7.1) 1 и использовании определений скорости упругого растяжения d e и упругого вращения ω e (A7.5) de = 12Le + LeT, ωe = 12Le − LeT, F˙e = LeFe, получается (A7.6) ReTdeRe = 12U˙eUe − 1 + Ue − 1U˙e, ReTωe − ωeRRe = 12U˙eUe − 1 − Ue − 1U˙e. Компоненты Ue − 1, U˙e и ω eL (см. (A7.1), (A7.2) 1 ) на главных осях упругости Лагранжа обозначены 1/ λ i e , U˙¯ije, ω ij eL (A7.7) U˙e = ∑U˙¯ijeNie⊗Nje, Ue − 1 = ∑ 1 / λieNie⊗Nie, ωeL = ∑ωijeLNie⊗Nje. Компоненты d e , ω e , ω eE , ω eR на главных осях упругих элементов Эйлера обозначены d ij e , ω ij e (см. (A7.5) 1,2 ), ω ij eE (см. (A7.2) 3 ) и ω ij eR (см. (A7.3 ) 2 ) (A7.8) de = Σdijenie⊗nje, ωe = Σωijenie⊗nje, ωeE = ΣωijeEnie⊗nje, ωeR = ΣωijeRnie⊗nje. Тогда выражения, входящие в правую часть (A7.6), могут быть записаны на главных осях упругости Лагранжа как (A7.9) 12U˙eUe − 1 + Ue − 1U˙e = ∑12U˙¯ije / λje + U˙¯ije / λieNie⊗Nje, 12U˙eUe − 1 − Ue − 1U˙e = ∑12U˙¯ije / λje − U˙¯ije / λieNie⊗Nje. Используя соотношения (A7.7) — (A7.9), уравнения (A7.4) и (A7.6) сводятся к следующим соотношениям: (A7.10) ωijeL = ωijeE − ωijeR, dije = λie + λje2λieλjeU˙¯ije, ωije − ωijeR = λie − λje2λieλjeU˙¯ije. Исключая из приведенных выше соотношений U˙¯ije, получаем, что (A7.11) ωije − ωijeR = λie − λjeλie + λjedije. В последовательности необходимы выражения для компонент U˙¯ije тензора U˙e на главных осях упругих Лагранжа. (A7.12) U˙e = ∑U˙¯ijeNie⊗Nje = ∑λ˙ieNie⊗Nie + ∑λieN˙ie⊗Nie + ∑λieNie⊗N˙ie. Для получения требуемой формулы коротационная производная тензора U e вычисляется с использованием упругого спина Лагранжа ω eL , определяющего мгновенное вращение главных осей упругости Лагранжа (см. A7.2)) (A7.13) Ue¯oeL≡ReLDDtReLTUeReLReLT = U˙e + UeωeL − ωeLUe = ∑λ˙ieNie⊗Nie. Используя (A7.7) и выполняя простые манипуляции, это (A7.14) U˙e = ∑U˙¯ijeNie⊗Nje = ∑ [λ˙ie + λje − λieωijeL] Nie⊗Nje или , в скалярной форме (A7.15) U˙¯ije = λ˙ie, i = j, U˙¯ije = λje − λieωijeL, i ≠ j. Подставляя (A7.15) 1 на (A7.10) 2 для i = j, получаем (A7.16) diie = λ˙ie / λie. Приведенное выше соотношение справедливо независимо от истории вращения главных осей упругости Лагранжа. Подставляя (A7.15) 2 на (A7.10) 3 для i j, получаем (A7.17) ωijeR − ωije = λie − λje22λieλjeωijeL. Устранение ω ij eR из приведенного выше и (A7.10) 1 , это (A7.18) ωijeE − ωije = λie2 + λje22λieλjeωijeL. Наконец, исключение U˙¯ije из (A7.15) 2 и (A7.10) 2 дает (A7.19) ωijeL = 2λieλjeλje2 − λie2dijeλie ≠ λje, и замену вышеуказанного согласно (A7.18), получаем (A7.20) ωijeE − ωije = λie2 + λje2λje2 − λie2dijeλie ≠ λje. Из вышесказанного следует, что мгновенное вращение главных осей упругого Лагранжа зависит только от состояния деформации Ue = Ueλie и мгновенной скорости упругого растяжения d e . Кинетика • Кинетика вращательного движения Лыжники вольного стиля могут совершить несколько поворотов вокруг продольной и поперечной осей за один прыжок. Как это возможно, что во время одиночного прыжка они могут вращать свое тело с лыжами на ногах, ускорять или замедлять это вращение и вращаться очень медленно незадолго до приземления? Как гимнасты, фигуристы и другие спортсмены могут увеличивать и уменьшать скорость своего вращения, не касаясь земли? Почему спортсмены используют вращательную технику в метании молота? В следующей главе мы попытаемся представить теоретическую основу для ответа на такие вопросы. Инерция вращающихся тел Сопротивление объекта изменениям его вращения называется инерцией вращающегося тела. В телах с большей инерцией вращения требуется больше энергии для увеличения или уменьшения их угловой скорости или для изменения положения их оси вращения. Более тяжелое колесо велосипеда будет сопротивляться движению на старте и, с другой стороны, его будет трудно остановить на финише по сравнению с более легким колесом. Только люди с отличным чувством равновесия могут оставаться неподвижными на велосипеде, в то время как практически любой может удерживать равновесие на движущемся велосипеде.За всеми этими явлениями стоит инерция. Более тяжелое колесо имеет большую инерцию, потому что его масса больше. Более того, при вращении колесо сопротивляется любым изменениям положения своей оси вращения — поэтому на движущемся велосипеде намного легче удерживать равновесие. Мера инерции зависит не только от массы тела, но и от того, как его масса распределена по отношению к оси вращения. Удар более длинной клюшкой сложнее, чем удар более короткой клюшкой. Момент инерции Момент инерции — это мера сопротивления объекта изменениям его вращения: , где Дж 0 (кг⋅м 2 ) — момент инерции по отношению к оси, проходящей через центр тяжести, Σ — символ суммы, м i (кг) — масса i th элемента тела (например, сегмента человеческого тела), а r i (м) — расстояние i th элемента тела от оси вращения, проходящего через центр тяжести. Каждый сегмент человеческого тела сопротивляется изменениям вращательного движения. Мерой такого сопротивления является произведение массы сегмента и квадрата его расстояния от оси вращения, то есть момента инерции. В то время как инерция тел при поступательном движении зависит только от одной величины (массы), инерция вращающихся тел зависит от двух величин (массы и расстояния элемента от оси вращения — характеристики распределения массы вокруг оси вращения. ).Эти две величины не имеют одинакового влияния на момент инерции. Влияние массы на инерцию вращающихся тел намного меньше, чем влияние распределения массы. Увеличение массы вдвое увеличит момент инерции только вдвое, а увеличение радиуса вращения 64 вдвое увеличит момент инерции данного тела в четыре раза. Например, длина бейсбольной биты имеет гораздо большее влияние на время, необходимое для удара по снаряду (мячу) с использованием идентичной техники, чем масса бейсбольной биты. При использовании спортивного снаряжения (биты, ракетки, клюшки, клюшки и т. Д.) Мы создаем силу, которая вращает эти части снаряжения вокруг топора, который не проходит через их центр тяжести. Такой момент инерции можно рассчитать как: , где Дж (кг · м 2 ) — момент инерции относительно оси, не проходящей через центр тяжести, Дж 0 (кг · м 2 ) — момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести, м, (кг) — масса кузова (оборудования), а r (м) — расстояние между осью вращения и параллельной осью, проходящей через центр тяжести данного тела.Это означает, что момент инерции тела по отношению к оси, которая не проходит через центр тяжести, всегда больше момента инерции по отношению к оси, которая проходит через центр тяжести и параллельна ему. При качественной оценке сопротивления тела изменению вращения в спортивной практике наиболее важным фактором, влияющим на инерцию данного вращающегося тела, является расстояние массы тела от оси вращения. Каждое тело имеет бесконечно много возможных моментов инерции, потому что оно может вращаться вокруг бесконечного числа осей вращения. В физическом воспитании и спорте мы в основном используем три основных оси для оценки движения: переднезаднюю (колесо в гимнастике выполняется вокруг переднезадней оси), поперечное (сальто вокруг поперечной оси) и продольное (пируэты выполняются вокруг продольной оси). Преднамеренное изменение момента инерции тела человека Человеческое тело не является твердым, потому что отдельные части человеческого тела могут двигаться относительно друг друга.По этой причине момент инерции человеческого тела относительно одной оси — величина переменная. Это означает, что мы можем намеренно изменить момент инерции нашего тела так, чтобы это было выгодно для достижения лучших спортивных результатов или выполнения данной двигательной задачи. Фигурист может более чем удвоить свой момент инерции относительно продольной оси, отведя руки до уровня плеч. Гимнаст может уменьшить момент инерции относительно поперечной оси в сальто до половины, если свернется калачиком достаточно плотно (рис.23). Спринтер сгибает колени и тазобедренные суставы при увеличении угловой скорости ног, за счет чего уменьшает момент инерции своей ноги по отношению к оси вращения, проходящей через тазобедренные суставы. Рисунок 23 Гимнаст выполняет сложный опорный прыжок с двойным сальто вперед в положении на корточках во второй фазе своего полета — опорном прыжке Роша. Гимнастка сгибается калачиком во время сальто, чтобы намеренно уменьшить момент инерции. Гимнасты, фигуристы, атлеты и многие другие спортсмены намеренно изменяют момент инерции, чтобы выполнять двигательные навыки с большей эффективностью. Производители спортивного инвентаря также стараются создавать изделия с таким моментом инерции, чтобы способствовать большей эффективности в выполнении двигательных навыков. Спускники используют более длинные лыжи, чем гонщики слалома. Более длинные лыжи дают лыжникам необходимую устойчивость при движении со скоростью около 100 км / ч. Слаломистам нужны лыжи для быстрой смены направления, т. Е. Лыжи с меньшим моментом инерции относительно оси вращения лыжника. Поэтому гонщики слалома используют более короткие лыжи. Производители некоторых слаломных лыж даже заполняют носки лыж легким материалом, чтобы уменьшить их момент инерции. Момент инерции и линейная скорость Из предыдущих глав мы знаем, что, например, более длинная хоккейная клюшка дает более высокую скорость лезвия, если мы можем наносить удары с той же угловой скоростью. Шайба полетит с большей скоростью. Почему же хоккеисты не используют двухметровые хоккейные клюшки? К сожалению, если мы сделаем хоккейную клюшку более длинной, мы также увеличим ее момент инерции, что значительно затруднит увеличение угловой скорости такой клюшки, потому что необходимо использовать больше энергии, т.е.е. необходимо выполнить больше работы. Следовательно, хоккейная клюшка должна иметь оптимальную длину, чтобы ее можно было использовать для нанесения ударов с высокой скоростью без необходимости преодолевать высокое сопротивление инерции. Влияние момента инерции на скорость присутствует и в другом оборудовании, таком как клюшки для гольфа, теннисные ракетки, бейсбольные биты и т. Д. Угловой момент Угловой момент L (кг · м / с) определяется как произведение момента инерции J (кг · м 2 ) тела вокруг оси на его угловую скорость ω (рад / с) с относительно той же оси: Единица углового момента — кг · м / с.Момент импульса — это векторная величина, у него есть величина и направление. Направление углового момента совпадает с направлением угловой скорости, которая его определяет. Угловой момент твердого тела Угловой момент зависит от двух величин: момента инерции и угловой скорости. Для абсолютно твердых тел изменение момента инерции зависит только от одной переменной величины — от угловой скорости, поскольку момент инерции твердых тел не изменяется 65 .В телах, которые не являются идеально твердыми (человеческое тело), ​​изменение углового момента может быть вызвано как изменением угловой скорости, так и изменением момента инерции. Угловой момент человеческого тела Сумма угловых моментов отдельных сегментов человеческого тела дает приблизительное значение углового момента всего тела 66 . Например, при беге правая рука вращается вперед, а левая рука вращается назад, и точно так же ноги вращаются в противоположных направлениях.Учитывая тот факт, что угловой момент является векторной величиной и, следовательно, имеет значение направление вращения данного сегмента относительно выбранной поперечной оси, угловой момент всего тела относительно поперечной оси равен нулю 67 . Интерпретация первого закона Ньютона для вращательного движения Угловой момент данного тела постоянен, если на него не начинает действовать ненулевой результирующий внешний момент силы. Для занятий спортом это означает, что невозможно начать вращение человеческого тела уже после взлета 76 .Поэтому тренеры по гимнастике и акробатике учат своих подопечных начинать вращение уже в момент взлета. Первый закон Ньютона не утверждает, что угловая скорость должна оставаться неизменной, когда не действует внешний силовой момент. Следовательно, угловая скорость тела может быть изменена после взлета (во время прыжка), если мы активно изменяем угловой момент тела. Затем угловая скорость тела изменяется таким образом, чтобы угловой момент после взлета всегда был постоянным: L = Jω = постоянный.Когда, например, лыжник после плохо выполненного прыжка через могула решает развернуться, он, таким образом, увеличивает угловой момент своего тела по отношению к своей оси вращения, и его угловая скорость вращения уменьшается, так что его угловой момент остается таким же, как и в момент вращения. момент вскоре после взлета. В момент приземления лыжник может находиться в таком положении, чтобы он мог продолжить бег и удерживать равновесие, не падая на спину. При вращении человеческое тело может управлять скоростью вращения, перемещая свои части тела; концентрация массы тела ближе к оси вращения увеличит скорость вращения, перемещение массы тела дальше от оси вращения уменьшит скорость вращения с тем же угловым моментом 69 . Другой очень типичный пример использования преднамеренного изменения углового момента в спорте — это эффект изменения скорости вращения фигуристами при выполнении пируэтов. Трение между льдом и коньком незначительно, поэтому фигурист после взлета может довольно долго вращаться на одной ноге. Если фигурист поднимает руки вверх, его угловой момент меньше, чем когда он вытягивает руки в стороны. Угловой момент — это произведение угловой скорости и момента инерции относительно оси вращения.Во время взлета фигурист получает момент импульса, который остается неизменным до следующего взлета 70 . Следовательно, уменьшение момента инерции должно сопровождаться увеличением угловой скорости. Фигурист, таким образом, уменьшает угловую скорость своего вращения, вытягивая руки в стороны, или увеличивает угловую скорость своего вращения, прижимая руки к телу. Зрителям очень интересно наблюдать за бесконечными вариациями пируэтов с изменяющейся скоростью в составе разнообразного набора акробатических элементов. Гимнасты, лыжники, танцоры, фигуристы и т. Д. Контролируют скорость вращения своего тела, изменяя момент инерции своего тела по отношению к оси вращения (керлинг — разгибание, отведение — приведение и т. Д.) Интерпретация второго закона Ньютона для вращательного движения Изменение момента количества движения тела прямо пропорционально результирующему моменту силы, действующей на это тело, и такое изменение имеет направление внешнего момента силы. Для абсолютно твердых тел с постоянным моментом инерции относительно выбранной оси вращения мы можем описать отношения между кинематическими и кинетическими величинами следующим образом: Если результирующий внешний силовой момент M (Н · м) действует на тело, тело приобретает угловое ускорение ε (рад / с 2 ), которое имеет направление этого момента силы. Угловое ускорение будет прямо пропорционально моменту внешней силы и обратно пропорционально моменту инерции Дж (кг · м 2 ) тела по отношению к оси вращения: Приведенное выше уравнение не применяется к телам, которые не являются идеально твердыми, например, человеческому телу.Для человеческого тела результирующий внешний момент силы равен скорости, с которой изменяется угловой момент: Результирующий момент внешней силы, действующей на тело, прямо пропорционален скорости изменения углового момента. Изменение момента количества движения может иметь следующие последствия: уменьшение или увеличение угловой скорости изменение положения оси вращения изменение момента инерции Угловое ускорение тела или изменение момента инерции не обязательно означает, что на тело действует внешний момент силы, потому что общий угловой момент тела, которое не является идеально жестким, может оставаться постоянным, даже если тело ускоряется или при изменении его момента инерции Угловой импульс и угловой момент Угловой импульс равен изменению момента количества движения.Мера такого изменения углового момента зависит от длительности момента силы и его величины. Как мы уже упоминали, более длинное плечо создает больший момент силы. Увеличение продолжительности момента силы кажется более простым способом увеличения углового момента, но в спорте время является важным фактором и в определенных ситуациях не может быть увеличено по желанию. Однако в исключительных случаях это возможно. Фигурист, например, вращается вокруг продольной оси, встав на кончик одного конька и упираясь другим коньком в лед.Толкающая нога должна находиться как можно дальше от продольной оси, чтобы создать максимально возможный момент силы. Если фигурист выстраивает свое тело таким образом, чтобы его момент инерции относительно продольной оси был как можно меньше, он может иметь достаточное ускорение при взлете. При следующем взлете он уже имеет большую угловую скорость и, следовательно, меньше времени для отталкивания ото льда. Таким образом, фигурист может развернуть свое тело, чтобы увеличить момент инерции незадолго до взлета.Больший момент инерции приводит к меньшей угловой скорости относительно продольной оси и, следовательно, к большему времени для взлета. Чем дольше фигурист действует с силой во время взлета, тем больший угловой импульс передается и тем сильнее изменяется угловой момент. Точно так же метатели диска принимают положение с максимальным моментом инерции в начале броска, в то время как в конце броска, в момент выпуска диска, их момент инерции намного меньше.В упражнениях, где целью является вращение с максимальной скоростью, спортсмены вначале принимают положение с максимальным моментом инерции, чтобы иметь возможность действовать с моментом силы в течение более длительного времени и максимизировать угловой импульс и, следовательно, изменение углового момента. Как только создается достаточный угловой момент, спортсмены принимают положение с меньшим моментом инерции и, таким образом, увеличивают скорость вращения в нужный момент, например, в момент освобождения диска. Интерпретация третьего закона Ньютона для вращательного движения Момент силы, с помощью которого первое тело действует на второе тело, создает момент силы равной величины, с помощью которого второе тело действует на первое тело одновременно, но в противоположном направлении.Мы также не должны забывать, что эти силовые моменты имеют одну и ту же ось вращения. Действие этих силовых моментов различно, потому что они действуют на разные тела. Хорошим примером использования третьего закона Ньютона для вращательного движения является момент силы, создаваемый четырехглавой мышцей бедра (особенно широкой мышцей бедра) во время разгибания коленного сустава. Когда эти мышцы сокращаются, создается момент силы, который вращает голень в одном направлении, и в то же время создается другой момент силы, равной величины, но в противоположном направлении, который вращает бедро.Эти два противоположных вращения производят разгибание в коленном суставе. Сравнение кинетических величин линейного и вращательного движения Таблица 4 полезна для сравнения кинетических величин линейного и вращательного движения. Здесь мы можем наблюдать совокупность знаний о кинетике линейного и вращательного движения, сравнивать их различия и понимать, в каких аспектах эти два типа движения схожи. Таблица 4 Сравнение кинетических величин линейного и вращательного движения. 9018 Угловой момент L = Jω Линейное перемещение Количество Используемый символ и основное уравнение Единица СИ Масса м кг N Сила Импульс p = mv кг · м / с Импульс силы I = ΣFΔt Н · с 900 Вращательное движение инерции J = Σmr 2 кг · м 2 Момент roce M = rx F Н · м 9146 кг · м 2 / с Угловой импульс H = ΣMΔt Н · м · с 64 Радиус вращения — это расстояние, которое указывает, на каком расстоянии от оси вращения должна быть сосредоточена полная масса тела, чтобы оказывать такое же сопротивление изменениям вращательного движения, как и данное тело в его исходном состоянии. для меня.е. чтобы иметь тот же момент инерции. Zpět 65 Предполагается фиксированное положение оси вращения по отношению к телу. Zpět 66 Точный расчет углового момента человеческого тела относительно оси, проходящей через центр тяжести, выглядит следующим образом: L = Σ ( J i ω i + m i r 2 i / cg ω i / cg ), где i — это сегмент человеческого тела, а cg — центр тяжести.Zpět 67 При технически исправном беге на длинные дистанции туловище не должно вращаться или наклоняться. Zpět 68 За исключением ситуаций, когда человеческое тело начинает вращаться под действием сопротивления окружающей среды (воды, воздуха). Причиной этого так называемого вторичного вращения является сила Кориолиса, создаваемая сегментом человеческого тела, движущимся за пределы соответствующей плоскости вращения тела. alexxlab Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт Рубрики Прост Радио Разное Своими руками Советы Схем Схемы Транзист Транзисторы Электрон Электроника