50

Zrot = 516 + 916e − 2 / IT + 2516e − 3ℏ2 / IT + 7716e − 6ℏ2 / IT + 11716e − 10ℏ2 / IT +….

МЕХАНИКА — ВРАЩЕНИЕ

M.13 (2) — ось вращения

M.13 (3) — качение и скольжение — энергия вращения

M.13 (4 ) — Падающий шар и шарнирный стержень

M.13 (5) — Аберрантное пламя свечи

M.13 (6) — Аппарат момента инерции

М.13 (1) — МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ДИСКА И КОЛЬЦА

Деревянный диск и металлическое кольцо одинакового диаметра (15 см ) и одинаковой массы (605 граммов ) катятся с разными ускорениями. вниз по наклонной плоскости. Можно показать, что кольцо и диск имеют одинаковый диаметр путем наложения и одинаковую массу, поместив их на весы. Теперь, если оба кататься по скамейке для лекций, получая одинаковый толчок, металлическое кольцо будет продолжать катиться дольше, чем диск, потому что его большего момента инерции.Однако, когда кольцо и диск выпускаются одновременно с одной и той же высоты на наклонной плоскости, деревянный диск достигает дна первым из-за его меньшего момента инерции.

Диски, кольца и сферы можно настроить так, чтобы они катились по плоскости, показывая, что все сферы бьют диски, а все диски бьют кольца. При этом одинаково катятся все сферы, все диски и все кольца.

M.13 (2) — ОСЬ ВРАЩЕНИЯ

Это пример тенденции тела вращаться вокруг своей оси с наибольшим моментом инерции.Кольцо, цепь и цилиндр, подвешенные на веревке, по очереди привязаны к крюку вращающего шпинделя. Когда ротатор работает, с привязанным к нему кольцом веревка будет скручена, и вскоре кольцо займет горизонтальное положение. Когда цепь установлена, конечное положение будет сплющенная петля на горизонтальной плоскости. То же самое и с цилиндром: изначально висит в вертикальном положении, когда он вращается, занимает горизонтальное положение. Это также может служить примером природной тенденции к сокращению расхода энергии любой системы до минимума — расстояние между центром тяжести этих объектов и точкой подвеса имеет тенденцию к уменьшению.

M.13 (3) — ПРОКАТКА И СДВИГ — ЭНЕРГИЯ ВРАЩЕНИЯ

Это пример тенденции тела вращаться вокруг своей оси с наибольшим моментом инерции. Кольцо, цепь и цилиндр, подвешенные на веревке, по очереди привязаны к крюку вращающего шпинделя. Когда ротатор работает, с привязанным к нему кольцом веревка будет скручена, и вскоре кольцо займет горизонтальное положение. Когда цепочка настроена, последний положение будет сплющенной петлей на горизонтальной плоскости.То же самое и с цилиндром: изначально висит в вертикальном положении, так как повернутый, занимает горизонтальное положение. Это также может служить примером природной тенденции к сокращению расхода энергии любой системы до минимума. минимум — расстояние между центром тяжести этих объектов и точкой подвеса имеет тенденцию к уменьшению.

M.13 (4) — ПАДЕНИЕ ШАРА И НАВЕСНОЙ УПОР

Свободный конец падающей шарнирной палки (узкая доска) падает быстрее, чем свободно падающий шар, помещенный на другой конец палки, когда их центр масс ускоряется с одинаковой скоростью.

Устройство имеет длину один метр и состоит из двух деревянных досок, установленных одна над другой и шарнирно соединенных с одного конца. Рядом с другим концом верхней доски находится прозрачный пластиковый стаканчик, а на самом конце доски — небольшая опора для стального шара. Установите прибор на плоской поверхности, удерживая верхнюю доску под углом примерно 45 °. Установите мяч на опору и отпустите доску.

Удивительно, но мяч окажется в пластиковом стаканчике, когда две доски будут сидеть вместе.Это также можно попробовать с пластиковым мячом, чтобы показать, что это работает независимо от массы мяча.

M.13 (5) — АБЕРРАНТНОЕ ПЛАМЯ СВЕЧИ

Аппарат представляет собой деревянную платформу (40 см длиной и шириной 6 см ), соединенную в ее центре с вращателем с регулируемой скоростью с прозрачным пластиковым цилиндром (8 см высотой и 5 см в диаметре) в каждый конец. Внутри каждого цилиндра есть свеча. Когда их зажигают, платформа неподвижна, пламя вертикальное.Когда платформа начинает вращаться вокруг своей центральной оси, пламя начинает наклоняться внутрь, указывая друг на друга.

M.13 (6) — МОМЕНТ ВНУТРЕННЕГО УСТРОЙСТВА

Эта установка состоит из двух явно идентичных дисков с одинаковой массой, но с различным распределением масс: у одного массивный центр, а у другого массивное внешнее кольцо.

Резьба наматывается вокруг каждой оси и проходит через шкив для поддержки груза.Если позволить весам упасть, диск будет вращаться вокруг своих осей: диск с массивным внешним кольцом имеет больший момент инерции, поэтому вращается медленнее, чем пластиковый.

10,4 Момент инерции и вращательной кинетической энергии — Университетская физика, Том 1

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Опишите разницу между вращательной и поступательной кинетической энергией
• Определите физическое понятие момента инерции в терминах распределения массы от оси вращения
• Объясните, как момент инерции твердых тел влияет на их кинетическую энергию вращения
• Использование сохранения механической энергии для анализа систем, подвергающихся как вращению, так и поступательному перемещению
• Расчет угловой скорости вращающейся системы при наличии потерь энергии из-за неконсервативных сил

До сих пор в этой главе мы работали с кинематикой вращения: описанием движения вращающегося твердого тела с фиксированной осью вращения.В этом разделе мы определяем две новые величины, которые полезны для анализа свойств вращающихся объектов: момент инерции и кинетическая энергия вращения. Определив эти свойства, мы получим два важных инструмента, которые нам понадобятся для анализа динамики вращения.

Кинетическая энергия вращения

Любой движущийся объект обладает кинетической энергией. Мы знаем, как рассчитать это для тела, совершающего поступательное движение, но как насчет твердого тела, совершающего вращение? Это может показаться сложным, потому что каждая точка твердого тела имеет разную скорость.Однако мы можем использовать угловую скорость — которая одинакова для всего твердого тела — для выражения кинетической энергии вращающегося объекта. На рис. 10.17 показан пример очень энергичного вращающегося тела: электрического точильного камня, приводимого в движение двигателем. Когда точильный камень выполняет свою работу, летят искры, возникает шум и вибрация. Эта система обладает значительной энергией, часть которой находится в форме тепла, света, звука и вибрации. Однако большая часть этой энергии находится в форме кинетической энергии вращения.

Рис. 10.17 Кинетическая энергия вращения точильного камня преобразуется в тепло, свет, звук и вибрацию. (Источник: Захари Дэвид Белл, ВМС США)

Энергия во вращательном движении — не новая форма энергии; скорее, это энергия, связанная с вращательным движением, такая же, как кинетическая энергия в поступательном движении. Однако, поскольку кинетическая энергия определяется выражением K = 12mv2K = 12mv2, а скорость является величиной, которая различается для каждой точки вращающегося тела вокруг оси, имеет смысл найти способ записать кинетическую энергию через переменную ωω , что одинаково для всех точек твердого вращающегося тела.Для одиночной частицы, вращающейся вокруг фиксированной оси, это легко вычислить. Мы можем связать угловую скорость с величиной поступательной скорости, используя соотношение vt = ωrvt = ωr, где r — расстояние частицы от оси вращения, а vtvt — ее тангенциальная скорость. Подставляя в уравнение для кинетической энергии, находим

В случае твердого вращающегося тела мы можем разделить любое тело на большое количество меньших масс, каждая с массой mjmj и расстоянием до оси вращения rjrj, так что общая масса тела равна сумма индивидуальных масс: M = ∑jmjM = ∑jmj.Каждая меньшая масса имеет тангенциальную скорость vjvj, где на данный момент мы опустили индекс t . Полная кинетическая энергия твердого вращающегося тела

, а поскольку ωj = ωωj = ω для всех масс,

10,16

В уравнении 10.16 используются джоули (Дж). Уравнение в этой форме полное, но неудобное; нам нужно найти способ его обобщить.

Момент инерции

Если мы сравним уравнение 10.16 к тому, как мы записали кинетическую энергию в работе и кинетической энергии, (12mv2) (12mv2), это говорит о том, что у нас есть новая вращательная переменная, которую нужно добавить в наш список наших отношений между вращательными и поступательными переменными. Величина ∑jmjrj2∑jmjrj2 является эквивалентом массы в уравнении для вращательной кинетической энергии. Это новый важный термин для обозначения вращательного движения. Эта величина называется моментом инерции I , в единицах кг · м2 · кг · м2:

10,17

А пока оставим выражение в форме суммирования, представляющее момент инерции системы точечных частиц, вращающихся вокруг фиксированной оси.Отметим, что момент инерции одиночной точечной частицы относительно фиксированной оси равен просто mr2mr2, где r — это расстояние от точечной частицы до оси вращения. В следующем разделе мы исследуем интегральную форму этого уравнения, которую можно использовать для вычисления момента инерции некоторых твердых тел правильной формы.

Момент инерции — это количественная мера инерции вращения, как и в поступательном движении, а масса — это количественная мера линейной инерции, то есть чем массивнее объект, тем больше у него инерции и тем больше у него сопротивление изменению линейной скорости.Точно так же, чем больше момент инерции твердого тела или системы частиц, тем больше его сопротивление изменению угловой скорости вокруг фиксированной оси вращения. Интересно посмотреть, как момент инерции изменяется в зависимости от r, расстояния до оси вращения массовых частиц в уравнении 10.17. Твердые тела и системы частиц с большей массой, сосредоточенные на большем расстоянии от оси вращения, обладают большими моментами инерции, чем тела и системы такой же массы, но сосредоточенные около оси вращения.Таким образом, мы можем видеть, что полый цилиндр имеет большую инерцию вращения, чем твердый цилиндр той же массы при вращении вокруг оси, проходящей через центр. Подставляя уравнение 10.17 в уравнение 10.16, выражение для кинетической энергии вращающегося твердого тела становится

Из этого уравнения видно, что кинетическая энергия вращающегося твердого тела прямо пропорциональна моменту инерции и квадрату угловой скорости. Это используется в устройствах накопления энергии маховиком, которые предназначены для хранения большого количества кинетической энергии вращения.Многие автопроизводители сейчас тестируют в своих автомобилях маховик-накопители энергии, такие как маховик или система рекуперации кинетической энергии, показанные на рис. 10.18.

Рисунок 10.18 Маховик KERS (система рекуперации кинетической энергии), используемый в автомобилях. (кредит: «cmonville» / Flickr)

Вращательные и поступательные величины кинетической энергии и инерции приведены в Таблице 10.4. Столбец отношения не включен, потому что не существует константы, на которую мы могли бы умножить вращательную величину, чтобы получить поступательную величину, как это можно сделать для переменных в Таблице 10.3.

Таблица 10.4 Вращательная и поступательная кинетическая энергия и инерция

Пример 10.8

Момент инерции системы частиц

Рис. 10.19 Шесть шайб расположены на расстоянии 10 см друг от друга на стержне незначительной массы и вращаются вокруг вертикальной оси.

Стратегия

1. Мы используем определение момента инерции для системы частиц и выполняем суммирование, чтобы оценить эту величину.Все массы одинаковы, поэтому мы можем поставить это количество перед символом суммирования.
2. Делаем аналогичный расчет.
3. Подставим результат из (а) в выражение для кинетической энергии вращения.

Решение

1. I = ∑jmjrj2 = (0,02 кг) (2 × (0,25 м) 2 + 2 × (0,15 м) 2 + 2 × (0,05 м) 2) = 0,0035 кг · м2I = ∑jmjrj2 = (0,02 кг) ( 2 × (0,25 м) 2 + 2 × (0,15 м) 2 + 2 × (0,05 м) 2) = 0,0035 кг · м2.
2. I = ∑jmjrj2 = (0,02 кг) (2 × (0,25 м) 2 + 2 × (0,15 м) 2) = 0,0034 кг · м2I = ∑jmjrj2 = (0,02 кг) (2 × (0.25 м) 2 + 2 × (0,15 м) 2) = 0,0034 кг · м2.
3. K = 12Iω2 = 12 (0,0035 кг · м2) (5,0 × 2πрад / с) 2 = 1,73JK = 12Iω2 = 12 (0,0035 кг · м2) (5,0 × 2πрад / с) 2 = 1,73Дж.

Значение

В следующем разделе мы обобщаем уравнение суммирования для точечных частиц и разрабатываем метод вычисления моментов инерции для твердых тел.На данный момент, однако, на рис. 10.20 приведены значения инерции вращения для обычных форм объектов вокруг заданных осей.

Рисунок 10.20. Значения инерции вращения для обычных форм объектов.

Применение кинетической энергии вращения

Теперь давайте применим идеи вращательной кинетической энергии и таблицы моментов инерции, чтобы получить представление об энергии, связанной с несколькими вращающимися объектами. Следующие ниже примеры также помогут вам освоить эти уравнения.Во-первых, давайте рассмотрим общую стратегию решения проблем с вращательной энергией.

Стратегия решения проблем

Энергия вращения

1. Определите, какая энергия или работа участвует во вращении.
2. Определите интересующую систему. Обычно помогает набросок.
3. Проанализируйте ситуацию, чтобы определить виды работ и задействованные энергии.
4. Если нет потерь энергии из-за трения и других неконсервативных сил, механическая энергия сохраняется, то есть Ki + Ui = Kf + UfKi + Ui = Kf + Uf.
5. Если присутствуют неконсервативные силы, механическая энергия не сохраняется, и другие формы энергии, такие как тепло и свет, могут входить в систему или выходить из нее. Определите, что это такое, и при необходимости рассчитайте их.
6. По возможности исключите термины, чтобы упростить алгебру.
7. Оцените численное решение, чтобы увидеть, имеет ли оно смысл в физической ситуации, представленной в формулировке задачи.

Пример 10.9

Расчет энергии вертолета

Рис. 10.21 (a) Эскиз четырехлопастного вертолета.(b) Спасательная операция на воде с участием вертолета спасательной службы Окленда Вестпак. (кредит b: модификация работы «111 Emergency» / Flickr)

Стратегия

Решение

1. Кинетическая энергия вращения равна Мы должны преобразовать угловую скорость в радианы в секунду и вычислить момент инерции, прежде чем сможем найти K .Угловая скорость ωω равна ω = 300об1.00мин2πрад1 оборот1.00мин60.0с = 31,4рад. ω = 300об1.00мин2πрад1 оборот1.00мин60.0с = 31,4рад. Момент инерции одной лопасти — это момент инерции тонкого стержня, вращающегося вокруг своего конца, как показано на рисунке 10.20. Общий I в четыре раза больше этого момента инерции, потому что имеется четыре лопасти. Таким образом, I = 4Ml23 = 4 × (50,0 кг) (4,00 м) 23 = 1067,0 кг · м2. I = 4Ml23 = 4 × (50,0 кг) (4,00 м) 23 = 1067,0 кг · м2. Ввод ωω и I в выражение для кинетической энергии вращения дает K = 0,5 (1067 кг · м2) (31.4 рад / с) 2 = 5,26 × 105 Дж. K = 0,5 (1067 кг · м2) (31,4 рад / с) 2 = 5,26 × 105 Дж.
2. Вводя данные значения в уравнение для поступательной кинетической энергии, получаем K = 12 мв2 = (0,5) (1000,0 кг) (20,0 м / с) 2 = 2,00 × 105 Дж. K = 12 мв2 = (0,5) (1000,0 кг) (20,0 м / с) 2 = 2,00 × 105 Дж. Чтобы сравнить кинетические энергии, мы берем отношение поступательной кинетической энергии к вращательной кинетической энергии. Это соотношение 2,00 × 105 Дж 5,26 × 105 Дж = 0,380,2,00 × 105 Дж 5,26 × 105 Дж = 0,380.

Значение

Пример 10.10

Энергия в бумеранге

Стратегия

Решение

1. Момент инерции: I = 112 мл2 = 112 (1,0 кг) (0,7 м) 2 = 0,041 кг · м2 I = 112 мл2 = 112 (1,0 кг) (0.7м) 2 = 0,041 кг · м2.
   Угловая скорость: ω = (10,0 об / с) (2π) = 62,83рад / с ω = (10,0 об / с) (2π) = 62,83рад / с.
   Таким образом, кинетическая энергия вращения равна KR = 12 (0,041 кг · м2) (62,83рад / с) 2 = 80,93Дж. KR = 12 (0,041 кг · м2) (62,83рад / с) 2 = 80,93Дж. Поступательная кинетическая энергия равна KT = 12 мв2 = 12 (1,0 кг) (30,0 м / с) 2 = 450,0 Дж. KT = 12 мв2 = 12 (1,0 кг) (30,0 м / с) 2 = 450,0 Дж. Таким образом, полная энергия бумеранга равна K Итого = KR + KT = 80,93 + 450,0 = 530,93 Дж. K Итого = KR + KT = 80,93 + 450,0 = 530,93 Дж.
2. Мы используем консервацию механической энергии.Поскольку бумеранг запускается под углом, нам нужно записать полную энергию системы в терминах ее линейной кинетической энергии, используя скорость в направлениях x и y . Общая энергия, когда бумеранг покидает руку, составляет EBefore = 12mvx2 + 12mvy2 + 12Iω2.EBefore = 12mvx2 + 12mvy2 + 12Iω2. Полная энергия на максимальной высоте составляет EFinal = 12mvx2 + 12Iω2 + mgh.EFinal = 12mvx2 + 12Iω2 + mgh. По закону сохранения механической энергии EBefore = EFinalEBefore = EFinal, поэтому после исключения подобных условий мы имеем Поскольку vy = 30.0 м / с (sin40 °) = 19,28 м / св = 30,0 м / с (sin40 °) = 19,28 м / с, находим h = (19,28 м / с) 22 (9,8 м / с2) = 18,97 м. h = (19,28 м / с) 22 (9,8 м / с2) = 18,97 м.

Значение

Проверьте свое понимание 10,4

Винт атомной подводной лодки имеет момент инерции 800.0 кг · м 2800,0 кг · м2. Если погружной гребной винт имеет скорость вращения 4,0 об / с при выключенном двигателе, какова скорость вращения гребного винта через 5,0 с, когда водонепроницаемость системы снизилась на 50 000 Дж?

моментов инерции | Сет Штайн

демонстрационных голов:

• Чтобы показать взаимосвязь между моментом инерции объекта и распределением массы внутри него

Многое из того, что мы знаем о распределении массы внутри планет, получено из их моментов инерции.Момент инерции контролирует скорость вращения планеты, а положение оси вращения зависит от распределения массы в каждом теле. Мы проиллюстрируем эту концепцию «гонкой» металлического кольца и диска, которые имеют одинаковую массу, но разные моменты инерции, вниз по склону.

Момент инерции , и его можно найти, где m _i — масса, а p _i — расстояние от оси вращения частицы i ^th . Если частицы достаточно малы, мы можем заменить первое уравнение интегральным.

Что означают эти уравнения? Во-первых, объекты с большей массой в центре имеют более низкий момент инерции. Поскольку отношение момента инерции к вращению точно аналогично соотношению для момента инерции и движения, тело с меньшим моментом инерции будет вращаться быстрее, чем тело с более высоким моментом инерции, даже если они имеют те же массы и размеры. . Во-вторых, если масса распределена по-разному относительно разных осей, тело будет иметь разный момент инерции.Это важно не только для планетарных исследований, но и для таких вещей, как спутники; более одного спутника потеряно из-за неправильно рассчитанного момента инерции!

Мы проиллюстрируем эти идеи, рассмотрев диски, которые мы считаем двумерными. Для этого эксперимента вам потребуется:

• Одно кольцо и набор дисков (Fischer CHS529721 30,00 $)
• Доска (длина 1 м)
• Книга (.Толщиной 25 м {10 дюймов})

1. Поместите доску на книгу так, чтобы она образовывала наклонную плоскость.

2. Проведите кольцо и диск по комнате; спросите: «Кто выиграет гонку?» Запишите ответы.

3. Поместите кольцо и диск в верхнюю часть доски и отпустите их одновременно. Диск стартует быстрее и быстро отрывается от кольца, потому что диск с меньшим моментом инерции вращается быстрее.

4. Установите доску на ковер. Прежде чем отпустить диск и кольцо, спросите: «Кто поедет дальше?» Поскольку кинетическая энергия вращающегося объекта дается выражением, большинство студентов предсказывают, что объект с большим моментом инерции будет двигаться дальше.Однако, поскольку полная энергия системы постоянна, оба объекта должны пройти примерно одинаковое расстояние.

Для обсуждения:
У кого меньший момент инерции — полый шар или цельный? Как они выглядят по сравнению с полым шаром, наполненным жидкостью? Подтвердите свои ответы!

Связанные страницы:

Моменты инерции для различных форм

Вращательная инерция — Физика колледжа, главы 1-17

Сводка

• Поймите взаимосвязь между силой, массой и ускорением.
• Изучите вращающий эффект силы.
• Изучите аналогию между силой и крутящим моментом, массой и моментом инерции, а также линейным ускорением и угловым ускорением.

Если вы когда-либо крутили колесо велосипеда или толкали карусель, вы знаете, что для изменения угловой скорости требуется сила, как показано на рисунке 1. Фактически, ваша интуиция надежно предсказывает многие из факторов, которые участвуют . Например, мы знаем, что дверь открывается медленно, если мы нажимаем слишком близко к ее петлям.Кроме того, мы знаем, что чем массивнее дверь, тем медленнее она открывается. Первый пример подразумевает, что чем дальше от оси приложена сила, тем больше угловое ускорение; другое значение состоит в том, что угловое ускорение обратно пропорционально массе. Эти отношения должны казаться очень похожими на знакомые отношения между силой, массой и ускорением, воплощенные во втором законе движения Ньютона. На самом деле существуют точные вращательные аналоги как силы, так и массы.

Чтобы определить точное соотношение между силой, массой, радиусом и угловым ускорением, подумайте, что произойдет, если мы приложим силу [латекс] \ boldsymbol {F} [/ latex] к точечной массе [латекс] \ boldsymbol {m} [ / latex], который находится на расстоянии [latex] \ boldsymbol {r} [/ latex] от точки поворота, как показано на рисунке 2.Поскольку сила перпендикулярна [латексу] \ boldsymbol {r}, [/ latex], ускорение [латекс] \ boldsymbol {a = \ frac {F} {m}} [/ latex] достигается в направлении [латекса ] \ boldsymbol {F}. [/ latex] Мы можем изменить это уравнение так, чтобы [latex] \ boldsymbol {F = ma} [/ latex], а затем искать способы связать это выражение с выражениями для вращательных величин. Мы отмечаем, что [latex] \ boldsymbol {a = r \ omega}, [/ latex], и подставляем это выражение в [latex] \ boldsymbol {F = ma}, [/ latex], получая

[латекс] \ boldsymbol {F = mr \ alpha}.2} [/ latex] называется инерцией вращения или моментом инерции точечной массы [латекс] \ boldsymbol {m} [/ latex] на расстоянии [латекс] \ boldsymbol {r} [/ latex] от центр вращения.

ВЫПОЛНЕНИЕ СОЕДИНЕНИЙ: ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Динамика вращательного движения полностью аналогична линейной или поступательной динамике. Динамика связана с силой и массой и их влиянием на движение. Для вращательного движения мы найдем прямые аналоги силе и массе, которые ведут себя так, как мы ожидали из нашего предыдущего опыта.

Прежде чем мы сможем рассматривать вращение чего-либо, кроме точечной массы, подобной той, что изображена на рисунке 2, мы должны распространить идею инерции вращения на все типы объектов.2}, [/ latex], где [latex] \ boldsymbol {M} [/ latex] — его общая масса, а [latex] \ boldsymbol {R} [/ latex] — его радиус. (Мы используем [latex] \ boldsymbol {M} [/ latex] и [latex] \ boldsymbol {R} [/ latex] для всего объекта, чтобы отличать их от [latex] \ boldsymbol {m} [/ latex] и [ latex] \ boldsymbol {r} [/ latex] для точечных масс.) Во всех остальных случаях мы должны обращаться к рисунку 3 (обратите внимание, что таблица — это произведение искусства, которое имеет формы, а также формулы) для формул для [латекса] \ жирный символ {I} [/ latex], полученные в результате интегрирования непрерывного тела.2} [/ latex]), как и следовало ожидать из его определения.

Общее соотношение между крутящим моментом, моментом инерции и угловым ускорением равно

[латекс] \ boldsymbol {\ textbf {net} \ tau = I \ alpha} [/ латекс]

или

[латекс] \ boldsymbol {\ alpha \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {\ textbf {net} \ tau} {I}}, [/ latex]

где net [latex] \ boldsymbol {\ tau} [/ latex] — это общий крутящий момент от всех сил относительно выбранной оси. Для простоты мы будем рассматривать только моменты, действующие под действием сил в плоскости вращения.Такие моменты могут быть положительными или отрицательными и складываются как обычные числа. Отношение в [latex] \ boldsymbol {\ tau = I \ alpha}, \: \ boldsymbol {\ alpha = \ frac {\ textbf {net} \ tau} {I}} [/ latex] является аналогом вращения Ньютона. второй закон и очень широко применяется. Это уравнение действительно для любого крутящего момента , приложенного к к любому объекту , относительно к любой оси .

Как и следовало ожидать, чем больше крутящий момент, тем больше угловое ускорение.Например, чем сильнее ребенок толкает карусель, тем быстрее она разгоняется. Кроме того, чем массивнее карусель, тем медленнее она разгоняется при том же крутящем моменте. Основное соотношение между моментом инерции и угловым ускорением состоит в том, что чем больше момент инерции, тем меньше угловое ускорение. Но есть еще один нюанс. Момент инерции зависит не только от массы объекта, но и от его распределения массы относительно оси, вокруг которой он вращается.Например, карусель, полную детей, будет намного легче разогнать, если они будут стоять близко к ее оси, чем если все они будут стоять у внешнего края. Масса одинакова в обоих случаях; но момент инерции намного больше, когда дети находятся на грани.

ЭКСПЕРИМЕНТ НА ​​ДОМУ

Вырежьте из плотного картона круг радиусом около 10 см. На краю круга напишите числа от 1 до 12, как часы на циферблате. Расположите круг так, чтобы он мог свободно вращаться вокруг горизонтальной оси через его центр, как колесо.(Вы можете свободно прибить круг к стене.) Держите круг неподвижно и с номером 12, расположенным вверху, прикрепите кусок синей замазки (липкий материал, используемый для крепления плакатов к стене) под номером 3. Насколько велик шишка должна быть просто вращать круг? Опишите, как можно изменить момент инерции круга. Как это изменение повлияет на количество синей замазки, необходимое для числа 3, чтобы просто повернуть круг? Измените момент инерции круга, а затем попробуйте повернуть круг, используя разное количество синей замазки.Повторите этот процесс несколько раз.

СТРАТЕГИЯ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМ ДЛЯ ВРАЩАТЕЛЬНОЙ ДИНАМИКИ

1. Изучите ситуацию, чтобы определить, что крутящий момент и масса участвуют в вращении . Нарисуйте тщательный набросок ситуации.
2. Определите интересующую систему .
3. Нарисуйте схему свободного тела . То есть нарисуйте и обозначьте все внешние силы, действующие на интересующую систему.
4. Применить [латекс] \ boldsymbol {\ textbf {net} \ tau = I \ alpha}, \: \ boldsymbol {\ alpha = \ frac {\ textbf {net} \ tau} {I}}, [/ latex ] вращательный эквивалент второго закона Ньютона, чтобы решить задачу .Необходимо соблюдать осторожность, чтобы использовать правильный момент инерции и учитывать крутящий момент относительно точки вращения.
5. Как всегда, проверьте правильность решения .

ПОДКЛЮЧЕНИЕ

В статике чистый крутящий момент равен нулю, а угловое ускорение отсутствует. При вращательном движении чистый крутящий момент является причиной углового ускорения, как и во втором законе движения Ньютона для вращения.

Пример 1: Расчет влияния распределения массы на карусель

Представьте, что отец толкает карусель на детской площадке на рис. 4. Он прилагает силу 250 Н к краю 50,0 кг карусели, имеющей радиус 1,50 м. Вычислите угловое ускорение, возникающее (а), когда никого нет на карусели, и (б), когда ребенок весом 18,0 кг сидит на расстоянии 1,25 м от центра. Считайте саму карусель однородным диском с незначительным тормозящим трением.

Стратегия

Угловое ускорение задается выражением [latex] \ boldsymbol {\ alpha = \ frac {\ textbf {net} \ tau} {I}}: [/ latex]

[латекс] \ boldsymbol {\ alpha \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {\ tau} {I}}. 2 = (18.2}}. [/ Latex]

Обсуждение

Угловое ускорение меньше, когда ребенок находится на карусели, чем когда карусель пуста, как и ожидалось. Найденные угловые ускорения довольно велики, отчасти из-за того, что трение считалось незначительным. Если, например, отец продолжал толкать перпендикулярно в течение 2,00 с, он дал бы карусели угловую скорость 13,3 рад / с, когда она пуста, и только 8,89 рад / с, когда на ней сидит ребенок.В оборотах в секунду эти угловые скорости составляют 2,12 об / с и 1,41 об / с соответственно. В первом случае отец разгонялся до 50 км / ч. Летние Олимпийские игры, вот он! Подтверждение этих чисел оставлено читателю в качестве упражнения.

Проверьте свое понимание

1: Крутящий момент является аналогом силы, а момент инерции является аналогом массы. Сила и масса — это физические величины, которые зависят только от одного фактора. Например, масса связана исключительно с количеством атомов различных типов в объекте.Одинаково ли просты крутящий момент и момент инерции?

• Чем дальше от оси приложена сила, тем больше угловое ускорение; угловое ускорение обратно пропорционально массе.
• Если мы приложим силу [латекс] \ boldsymbol {F} [/ latex] к точечной массе [латекс] \ boldsymbol {m} [/ latex], которая находится на расстоянии [латекс] \ boldsymbol {r} [/ latex ] от точки поворота, и поскольку сила перпендикулярна [латексу] \ boldsymbol {r}, [/ latex], ускорение [латекс] \ boldsymbol {a = F / m} [/ latex] достигается в направлении [ латекс] \ boldsymbol {F}.[/ latex] Мы можем переписать это уравнение так, чтобы

  [латекс] \ boldsymbol {F = ma}, [/ latex]

  , а затем поищите способы связать это выражение с выражениями для вращательных величин. Мы отмечаем, что [latex] \ boldsymbol {a = r \ alpha}, [/ latex], и подставляем это выражение в [latex] \ boldsymbol {F = ma}, [/ latex], получая

  [латекс] \ boldsymbol {F = mr \ alpha} [/ латекс]

• Крутящий момент — это эффективность силы поворота. В этом случае, поскольку [latex] \ boldsymbol {F} [/ latex] перпендикулярно [latex] \ boldsymbol {r}, крутящий момент [/ latex] равен просто [latex] \ boldsymbol {\ tau = rF}.2/4}. [/ Латекс])

  2: Почему момент инерции обруча имеет массу [латекс] \ boldsymbol {M} [/ latex] и радиус [латекс] \ boldsymbol {R} [/ latex] больше, чем момент инерция диска такой же массы и радиуса? Почему момент инерции сферической оболочки, имеющей массу [латекс] \ boldsymbol {M} [/ latex] и радиус [латекс] \ boldsymbol {R} [/ latex], больше, чем у твердой сферы, имеющей такая же масса и радиус?

  3: Приведите пример, в котором малая сила вызывает большой крутящий момент.Приведите другой пример, в котором большая сила вызывает небольшой крутящий момент.

  4: При уменьшении массы гоночного велосипеда наибольшая выгода достигается за счет уменьшения массы шин и колесных дисков. Почему это позволяет гонщику достичь большего ускорения, чем такое же уменьшение массы рамы велосипеда?

  Рис. 5. На изображении показан гоночный велосипед, вид сбоку. Можете ли вы увидеть в конструкции колес этого гоночного велосипеда свидетельство того, что их момент инерции был намеренно уменьшен? (Источник: Хесус Родригес)

  5: Мяч скользит по наклонной поверхности без трения.Затем его катят без проскальзывания и с той же начальной скоростью по другой рампе без трения (с тем же углом наклона). В каком случае он достигает большей высоты и почему?

  Задачи и упражнения

  1: В этой задаче рассматриваются дополнительные аспекты примера 1. (a) Сколько времени требуется отцу, чтобы дать карусели угловую скорость 1,50 рад / с? б) Сколько оборотов он должен совершить, чтобы получить эту скорость? (c) Если он прикладывает замедляющую силу 300 Н на радиусе 1.35 м, сколько времени ему понадобится, чтобы их остановить?

  2: Рассчитайте момент инерции фигуриста с учетом следующей информации. (а) Фигурист весом 60,0 кг приблизительно представляет собой цилиндр с радиусом 0,110 м. (b) Фигурист с вытянутыми руками представляет собой цилиндр, приблизительно равный 52,5 кг, радиус 0,110 м и две руки длиной 0,900 м, каждая по 3,75 кг, которые выходят прямо из цилиндра, как стержни, вращающиеся вокруг своей оси. заканчивается.

  3: Трехглавая мышца задней части плеча разгибает предплечье.2}. [/ Latex] Какова сила, действующая на мышцу, если ее эффективное перпендикулярное плечо рычага составляет 1,90 см?

  5: Предположим, вы прилагаете усилие 180 Н по касательной к точильному камню массой 75,0 кг радиусом 0,280 м (твердый диск).

  (а) Какой крутящий момент прилагается? (b) Какое угловое ускорение предполагает незначительное встречное трение? (c) Каково угловое ускорение, если существует противодействующая сила трения 20,0 Н, действующая на 1,50 см от оси?

  6: Рассмотрим вариант 12.Колесо мотоцикла весом 0 кг показано на рисунке 6. Предположим, что это примерно кольцевое кольцо с внутренним радиусом 0,280 м и внешним радиусом 0,330 м. Мотоцикл стоит на центральной подставке, так что колесо может свободно вращаться. (a) Если приводная цепь действует с силой 2200 Н на радиусе 5,00 см, каково угловое ускорение колеса? (б) Каково тангенциальное ускорение точки на внешнем крае шины? (c) Сколько времени нужно, начиная с состояния покоя, чтобы достичь угловой скорости 80.7 \ textbf {N}} [/ latex] (немного больше, чем тяга ракеты Сатурн V). Как долго Зорч должен продвигаться с этой силой, чтобы достичь своей цели? (Этот период дает Супермену время, чтобы посвятить его другим злодеям.) Ясно покажите, как вы следуете шагам, описанным в Стратегии решения проблем для динамики вращения.

  8: Автомобильный двигатель может развивать крутящий момент 200 Н ∙ м. Рассчитайте угловое ускорение, возникающее, если 95,0% этого крутящего момента приложено к ведущему валу, оси и задним колесам автомобиля, учитывая следующую информацию. 2/12}.2}. [/ Latex] (a) Сколько времени ей нужно, чтобы полностью изменить вращение? б) Что неразумного в результате? (c) Какие посылки необоснованны или непоследовательны?

  11: Необоснованные результаты

  В рекламе утверждается, что автомобилю массой 800 кг помогает его маховик массой 20,0 кг, который может разогнать автомобиль от состояния покоя до скорости 30,0 м / с. Маховик представляет собой диск радиусом 0,150 м. (a) Рассчитайте угловую скорость, которую должен иметь маховик, если 95,0% его энергии вращения используется для того, чтобы автомобиль набрал скорость.б) Что неразумного в результате? (c) Какая предпосылка является необоснованной, а какие несовместимы?

  Глоссарий

  крутящий момент

  эффективность поворота силы

  инерция вращения

  сопротивление изменению вращения. Чем больше инерция вращения у объекта, тем труднее его повернуть на

  момент инерции

  масса, умноженная на квадрат расстояния по перпендикуляру от оси вращения; для точечной массы это [латекс] \ boldsymbol {I = mr ^ 2} [/ latex], и, поскольку любой объект может быть создан из набора точечных масс, это соотношение является основой для всех других моментов инерции

  Упражнения

  Проверьте свое понимание

  1: No.Крутящий момент зависит от трех факторов: величины силы, направления силы и точки приложения. Момент инерции зависит как от массы, так и от ее распределения относительно оси вращения. Таким образом, хотя аналогии точны, эти вращательные величины зависят от большего числа факторов.

  Задачи и упражнения

  1:

  (а) 0,338 с

  (б) 0,0403 изм.

  (в) 0,313 с

  3:

  [латекс] \ boldsymbol {0.2} \ end {array} [/ latex]

  10:

  (а) 2,0 мс

  (b) Временной интервал слишком короткий.

  (c) Момент инерции слишком мал, на один-два порядка величины. Крутящий момент [латекс] \ boldsymbol {500 \ textbf {N} \ cdotp \ textbf {m}} [/ latex] является разумным.

  11:

  (а) 17500 об / мин

  (б) Эта угловая скорость очень велика для диска такого размера и массы. Радиальное ускорение на краю диска> 50 000 gs.

  (c) Масса и радиус маховика должны быть намного больше, что позволяет снизить скорость вращения (угловую скорость).

  sep25_notes

  sep25_notes Момент Инерция — 1

  Определение Момент инерции

  Возможно, вы захотите взглянуть на этот стол моментов инерции для различных объектов.

  Момент инерции стержня — оси через центр

  Рассчитаем момент инерция тонкого стержня длиной L относительно оси, проходящей через центр стержня и перпендикулярно стержню.У стержня есть масса М.

  Посмотрите на вклад небольшой кусок стержня (длина dx), расположенный на расстоянии x от ось. Сначала найдите массу этого куска:

  Теперь найдите момент инерция:

  Обратите внимание, что пределы от 0 до L / 2 — это только половина стержня, поэтому мы умножить на 2.

  Завершение мы найти:

  Момент инерции стержня — оси через один конец

  А теперь посмотрим на это расположение:

  Интеграл сейчас это:

  Момент инерции больше в в этом случае — имеет смысл, потому что есть большая масса дальше от оси, чем в первом случае.

  Момент инерции пялец — оси через центр

  Найдем момент инерции обруча вокруг оси, проходящей через центр обруча, и перпендикулярно плоскости обруча. Что такое обруч? Подумайте о обруч:

  Вся масса расположена одинаково расстояние от исходной точки так

  Поскольку r = R = константа, я могу тянуть это вне интеграла.

  Момент инерции диска — оси через центр

  Перейдем к диску. Вот пример диска:

  Найти момент инерции диска, разбейте его на множество обручей — мы назовем эти кольца толщина dr, как показано ниже.

  Так момент инерции диска меньше, чем у обруча той же массы и радиуса — делает смысл, потому что для обруча вся масса находится так же далеко от оси, как и возможно.

  ---

  А теперь сделаем диск с дыркой:
  .
  

  alexxlab

  Добавить комментарий Отменить ответ

  Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

  Комментарий *

  Имя *

  Email *

  Сайт

  Рубрики

  • Прост
  • Радио
  • Разное
  • Своими руками
  • Советы
  • Схем
  • Схемы
  • Транзист
  • Транзисторы
  • Электрон
  • Электроника