Момент инерции колеса: Механика: методические указания к общему физическому практикуму — RC74 — интернет-магазин радиоуправляемых моделей

Содержание

формулы для стержня и колеса

Любые перемещения тел в пространстве, траектория которых является окружностью, предполагают знание не только угловой скорости, но и момента инерции для описания этого движения. Что такое момент инерции, а также чему он равен для стержня и колеса, ответит данная статья.

Вращение и момент инерции

Физическая величина, которая называется моментом инерции, обозначается, как правило, буквой I и появляется в физике при рассмотрении момента импульса материальной точки, которая вращается вокруг оси. Момент импульса L в скалярной форме записывается следующим выражением:

L = r*m*v

Здесь r — дистанция до оси материальной точки, m — ее масса, v — линейная скорость. Используя связь последней со скоростью угловой ω, получаем выражение:

L = r2*m*ω, где ω = v/r

Отвечая на вопрос о том, что такое момент инерции, следует сказать, что это величина I = r2*m. То есть она зависит от массы вращающегося объекта, быстро растет с увеличением расстояния до оси и измеряется в кг*м2.

Общее выражение для момента инерции

Введенная в предыдущем пункте формула для величины I справедлива, если размеры объекта пренебрежимо малы по сравнению с дистанцией до оси r (вращение Земли вокруг нашей звезды). Если же линейные размеры объекта становятся сравнимыми с расстоянием r, тогда необходимо для вычисления I пользоваться более общей формулой, которая дана ниже:

I = ∫m(r2*dm)

Из нее видно, что подынтегральное выражение представляет собой момент инерции материальной точки. Сумма же всех моментов от точек с массой dm составляет полный момент инерции I для всего тела.

Эта формула является мощным инструментом для определения I тела абсолютно любой формы. Согласно формуле величина I является аддитивной, то есть позволяет разбить тело на отдельные части, вычислить их моменты инерции, а затем сложить полученные результаты для получения величины I тела.

Физический смысл величины I

Зная, что такое момент инерции, необходимо сказать несколько слов о том, как его значение отражается на поведении и характеристиках вращения реальных объектов.

Большая величина I приводит к тому, что тело очень тяжело раскрутить вокруг оси. Для этого приходится выполнить значительную работу и приложить существенные усилия. Примером тела с большим I является автомобильный маховик — тяжелый металлический диск, жестко закрепленный на коленвале двигателя. Наоборот, если величина I системы невелика, то ее можно быстро раскрутить и так же быстро и легко остановить. Примером для этого случая является алюминиевый обод велосипедного колеса.

Приведенное выше обсуждение говорит о том, что момент инерции характеризуется инерционностью процесса вращения, то есть выполняет ту же самую роль, что и масса тела при приложении к ней силы с целью придания ускорения.

Отличие массы и момента инерции заключается не только в единицах измерения, но и в том, что последний является функцией вращательной системы, а не только геометрии тела и его массы.

Момент инерции относительно оси вращения, пересекающей центр масс стержня

Рассмотрим пример использования интегральной формулы для решения реальных задач. Первым делом решим простую проблему: имеется стержень тонкий длиной l и массой m. Вращения оси проходит перпендикулярно этому стержню через центр массы объекта. Необходимо определить величину I для этой системы.

Выпишем общую формулу для инерции момента стержня относительно оси, имеем:

I = ∫m(r2*dm)

Поскольку ось перпендикулярна рассматриваемому телу, и сам стержень имеет бесконечно малую толщину, то можно мысленно разрезать его на тонкие слои плоскостями, параллельными оси. В таком случае получаем, что элемент массой dm может быть представлен следующим равенством:

dm = ρ*S*dr

Здесь ρ — плотность материала, S — поперечное сечение, которое является постоянной величиной и стремится к нулю (стержень бесконечно тонкий). Подставим это выражение в общую формулу:

I = ρ*S*∫+l/2-l/2(r2*dr)

Заметим, что подставленные пределы интегрирования по r соответствуют условию задачи (ось делит стержень на две равные части). Выполняя интегрирование, получаем:

I = ρ*S*(r3/3)|+l/2-l/2 = m*l2/12, где m = ρ*S*l

Таким образом, момент инерции стержня тонкого, когда ось проходит через центр масс, в 12 раз меньше такового для материальной точки той же массы, находящейся на расстоянии l от оси.

Величина I для стержня с осью вращения на конце объекта

Рассмотрим, что такое момент инерции, в несколько иной ситуации. Имеем тот же самый объект (тонкий стержень), но теперь ось проходит через конец. Как изменится момент инерции в этом случае? Применяем тот же метод разбиения стержня и последующего интегрирования, как в предыдущем пункте, получаем:

I = ρ*S*∫l0(r2*dr)

Заметим, что изменились лишь пределы интегрирования. Решением будет следующее равенство:

I = m*l2/3

Выражение показывает, что тот же самый стержень будет обладать в 4 раза большим моментом инерции (труднее раскрутить), если ось вращения переместить с его центра на край.

Рассматривая решение этих двух задач, следует сделать важный вывод: при расчете величины I нельзя сводить всю массу объекта в его центр и выполнять расчет, как для материальной точки. Вычисление следует проводить только с использованием интегрального выражения.

Значение I для колеса со спицами

Момент инерции колеса можно определить, используя свойство аддитивности рассматриваемой величины. Для этого мысленно разберем колесо на отдельные части, которые представляют собой спицы и обод. Поскольку спица — это тонкий стержень, и ось ее вращения проходит через конец, то для нее справедлива формула, полученная в предыдущем пункте.

Что касается обода колеса, то его момент инерции аналогичен таковому для материальной точки, находящейся на расстоянии радиуса колеса и имеющей массу обода.

Складывая моменты инерции всех элементов, получаем:

I = n*mc*r2/3 + mo*r2

Здесь mc и mo — массы спицы и обода, соответственно, n — число спиц. Если все спицы весят намного меньше обода, тогда момент инерции колеса будет равен:

I =mo*r2, если n*mc

Знание величины I для колеса является важным при расчете скорости угловой и момента импульса вращения колес любого транспортного средства (автомобиля, велосипеда).

Определение момента инерции колеса (Лабораторная работа № 2)

Физика \ Физика

Страницы работы

4 страницы (Word-файл)

Посмотреть все страницы

Скачать файл

Содержание работы

РАБОТА №2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ КОЛЕСА

Цель работы: определить момент инерции колеса с предельной относительной погрешностью e, не превышающей 5%.

Приборы и принадлежности: колесо, платформа, набор грузов, технические весы, секундомер, штангенциркуль.

ТЕОРИЯ

Установка состоит из колеса, на вал которого накручена нить. К нити подвешена платформа для грузов. Накручивая нить на вал, поднимают платформу на некоторую высоту h₁ (положение А на рисунке 1). Высота отсчитывается от положения груза при полностью раскрученной нити. Если груз отпустить, он начнет двигаться вниз под действием силы тяжести и с помощью нити приведет во вращение колесо. Когда нить полностью раскрутится (положение В), колесо, вращаясь по инерции, начнет поднимать груз. Дойдя до некоторой высоты h

2 (h₂< h₁), груз остановится (положение С).

Для определения момента инерции колеса используем закон сохранения энергии. Так как при движении системы колесо-груз действуют неконсервативные силы (силы трения в подшипнике и силы сопротивления воздуха), то механическая энергия системы уменьшается.

По закону сохранения энергии приращение механической энергии равно работе неконсервативных сил:

, (1)

где Е₁ и Е₂ — механическая энергия системы соответственно в начальном и конечном положениях, А_НК — работа неконсервативных сил при перемещении системы между этими положениями.

Применим соотношение ( l ) к перемещению системы «колесо-груз» из положения А (начальное положение) в положение В (конечное положение). Примем потенциальную энергию груза равной нулю в его нижнем положении.

Когда груз находится на высоте h

1, механическая энергия системы равна потенциальной энергии груза:

, где (2)

m — масса груза с платформой.

Когда груз находится в нижнем положении, механическая энергия системы состоит из кинетической энергии груза и колеса:

, (3) где v — скорость груза в нижнем положении,w — угловая скорость в этот же момент времени, I — момент инерции колеса.

Обозначим равнодействующую всех неконсервативных сил через F. Работа этих сил при перемещении груза из верхнего в нижнее положение

. (4)

Подставив (2), (3), (4) в (I), получаем уравнение, составленное по закону сохранения энергии для рассматриваемого движения:

. (5)

Отсюда

. (6)

Определим v, w, t.

Так как груз движется равноускоренно без начальной скорости, то

, (7)

где a — ускорение груза, t — время движения груза из верхнего положения в нижнее.

Из соотношений (7) получаем

. (8)

Нить, на которой подвешен груз, намотана на вал, поэтому точки, лежащие на поверхности вала, имеют линейную скорость равную скорости груза. Следовательно, v=wr, где r- радиус вала. Отсюда, используя (8), получаем

. (9)

Для определения F применим закон сохранения энергии (I) к перемещению системы «колесо-груз» из положения А в положение С. В положении С механическая энергия системы равна потенциальной энергии груза:

. (10)

При перемещении системы из А в С

. (11)

Подставим (2), (10), (11) в (1):

. (12)

Отсюда

. (13)

Подставим (8), (9), (13) в (6). После преобразования получим

. (14)

ИЗМЕРЕНИЯ

1. Измерить штангенциркулем диаметр вала и определить радиус вала.

Результаты занести в таблицу.

2. Определить на технических весах массу платформы и трех грузов.

3. Подвесить платформу с двумя грузами к нити и поднять их на высоту h₁ (в таблицу записать положение А грузов, отсчитанное по вертикальной шкале). Отпустив груз, измерить секундомером время t его движения до нижнего положения, когда нить полностью раскрутится. Когда груз поднимется и остановится, зафиксировать положение колеса в этот момент и определить положение С по вертикальной шкале. Определить также нижнее положение В груза при полностью раскрученной нити. Все измерения положений А, В, С проводить одинаковом образом, например по низу платформы.

4. Измерения t и положений С провести 6 раз, накручивая вал 3 раза в одну сторону и 3 раза в другую. Это даст возможность скомпенсировать ошибку, связанную с возможной разбалансировкой колеса.

5. Определить h₁ = В — А( h₁ берите одинаковым во всех измерениях), , h₂ = B — , .

6. Измерения п.п. 2 — 5 провести также для 2-х других грузов, массу взять большe, чем в первом случае.

7. Измерения п.п. 2 — 5 провести также для 3-х других грузов.

8. Вычислить I по формуле (14) для трех различных масс грузов.

9. Рассчитать погрешности.

10.Записать окончательный результат.

Таблица.

r,м	A,м	B,м	h₁,м	m,кг	t,с	C,м	h₂,м	I,кг×м²

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.

a) Чему равен момент инерции материальной точки, тела?

b) Единица измерения момента инерции.

c) От чего зависит момент инерции тела?

d) Зависит ли момент инерции колеса в работе от массы груза? Обоснуйте ответ.

2. Чему равна механическая работа в случае:

a) постоянной силы (прямолинейное движение)?

b) переменной силы?

3. a) Что такое консервативные и неконсервативные силы? Какие неконсервативные силы действуют в работе?

b) Сформулируйте закон сохранения механической энергии.

4. Составьте уравнение по закону сохранения энергии для перехода системы колесо — груз из состояния, когда груз находится на высоте h

1, в состояние, когда груз останавливается на высоте h₂. Какую величину вы определяете из этого уравнения?

5. Составьте уравнение по закону сохранения энергии для перехода системы колесо — груз из состояния, когда груз находится на высоте h₁ в состояние, когда нить полностью раскручена и скорость системы максимальна.

6. a) Как связаны линейная и угловая скорости ?

b) Какие точки вращающейся системы имеют линейную скорость равную скорости груза и почему?

c) Напишите основные формулы кинематики равноускоренного движения. Как они применяются в работе для вывода расчётной формулы? Почему движение груза можно считать равноускоренным?

ЛИТЕРАТУРА

1. Савельев И.В., Курс общей физики, том 1.

2. Трофимова Т.И., Курс физики.

3. Сивухин Д.В., Курс общей физики, том 1.

Информация о работе

Скачать файл

Выбери свой ВУЗ

АлтГТУ 419
АлтГУ 113
АмПГУ 296
АГТУ 267
БИТТУ 794
БГТУ «Военмех» 1191
БГМУ 172
БГТУ 603
БГУ 155
БГУИР 391
БелГУТ 4908
БГЭУ 963
БНТУ 1070
БТЭУ ПК 689
БрГУ 179
ВНТУ 120
ВГУЭС 426
ВлГУ 645
ВМедА 611
ВолгГТУ 235
ВНУ им. Даля 166
ВЗФЭИ 245
ВятГСХА 101
ВятГГУ 139
ВятГУ 559
ГГДСК 171
ГомГМК 501
ГГМУ 1966
ГГТУ им. Сухого 4467
ГГУ им. Скорины 1590
ГМА им. Макарова 299
ДГПУ 159
ДальГАУ 279
ДВГГУ 134
ДВГМУ 408
ДВГТУ 936
ДВГУПС 305
ДВФУ 949
ДонГТУ 498
ДИТМ МНТУ 109
ИвГМА 488
ИГХТУ 131
ИжГТУ 145
КемГППК 171
КемГУ 508
КГМТУ 270
КировАТ 147
КГКСЭП 407
КГТА им. Дегтярева 174
КнАГТУ 2910
КрасГАУ 345
КрасГМУ 629
КГПУ им. Астафьева 133
КГТУ (СФУ) 567
КГТЭИ (СФУ) 112
КПК №2 177
КубГТУ 138
КубГУ 109
КузГПА 182
КузГТУ 789
МГТУ им. Носова 369
МГЭУ им. Сахарова 232
МГЭК 249
МГПУ 165
МАИ 144
МАДИ 151
МГИУ 1179
МГОУ 121
МГСУ 331
МГУ 273
МГУКИ 101
МГУПИ 225
МГУПС (МИИТ) 637
МГУТУ 122
МТУСИ 179
ХАИ 656
ТПУ 455
НИУ МЭИ 640
НМСУ «Горный» 1701
ХПИ 1534
НТУУ «КПИ» 213
НУК им. Макарова 543
НВ 1001
НГАВТ 362
НГАУ 411
НГАСУ 817
НГМУ 665
НГПУ 214
НГТУ 4610
НГУ 1993
НГУЭУ 499
НИИ 201
ОмГТУ 302
ОмГУПС 230
СПбПК №4 115
ПГУПС 2489
ПГПУ им. Короленко 296
ПНТУ им. Кондратюка 120
РАНХиГС 190
РОАТ МИИТ 608
РТА 245
РГГМУ 117
РГПУ им. Герцена 123
РГППУ 142
РГСУ 162
«МАТИ» — РГТУ 121
РГУНиГ 260
РЭУ им. Плеханова 123
РГАТУ им. Соловьёва 219
РязГМУ 125
РГРТУ 666
СамГТУ 131
СПбГАСУ 315
ИНЖЭКОН 328
СПбГИПСР 136
СПбГЛТУ им. Кирова 227
СПбГМТУ 143
СПбГПМУ 146
СПбГПУ 1599
СПбГТИ (ТУ) 293
СПбГТУРП 236
СПбГУ 578
ГУАП 524
СПбГУНиПТ 291
СПбГУПТД 438
СПбГУСЭ 226
СПбГУТ 194
СПГУТД 151
СПбГУЭФ 145
СПбГЭТУ «ЛЭТИ» 379
ПИМаш 247
НИУ ИТМО 531
СГТУ им. Гагарина 114
СахГУ 278
СЗТУ 484
СибАГС 249
СибГАУ 462
СибГИУ 1654
СибГТУ 946
СГУПС 1473
СибГУТИ 2083
СибУПК 377
СФУ 2424
СНАУ 567
СумГУ 768
ТРТУ 149
ТОГУ 551
ТГЭУ 325
ТГУ (Томск) 276
ТГПУ 181
ТулГУ 553
УкрГАЖТ 234
УлГТУ 536
УИПКПРО 123
УрГПУ 195
УГТУ-УПИ 758
УГНТУ 570
УГТУ 134
ХГАЭП 138
ХГАФК 110
ХНАГХ 407
ХНУВД 512
ХНУ им. Каразина 305
ХНУРЭ 325
ХНЭУ 495
ЦПУ 157
ЧитГУ 220
ЮУрГУ 309

Полный список ВУЗов

3.3: Колесо реакции — Инженерные тексты LibreTexts

Последнее обновление
Сохранить как PDF

Идентификатор страницы: 7637

William L. Hallauer Jr.0010

Реактивные колеса используются для управления ориентацией космического корабля. Основным компонентом реактивного колеса является ротор, «колесо», которое обычно либо не вращается, либо вращается с постоянной, отличной от нуля, скоростью вращения. Когда двигатель увеличивает или уменьшает скорость вращения от нормального значения, на транспортное средство, к которому прикреплено реактивное колесо, действует управляющий момент.

Рисунок \(\PageIndex{1}\): Сборка реактивного колеса в лаборатории: фотография слева, схематический чертеж справа

Блок реактивного колеса, изображенный на рисунке \(\PageIndex{1}\), представляет собой небольшое лабораторное устройство, используемое в экспериментальных исследованиях. Его основное функционирование такое же, как и у пригодного для полетов узла реактивного колеса. Вращающимися элементами являются колесо, вал и ротор двигателя. Обозначим их совокупную вращательную инерцию вокруг оси вала как \(J\), также называемую моментом инерции . Вал удерживается в подшипниках, которые смазываются, но тем не менее создают тормозной момент. Угол поворота вращающихся элементов обозначается \(\theta(t)\) и графически представлен на рисунке \(\PageIndex{1}\) двунаправленной стрелкой и Правило правой руки , указывающее полярность вращения. Скорость вращения (угловая скорость, скорость вращения) обозначается \(\dot{\theta}(t)\equiv p(t)\), этот символ обычно используется для обозначения угловой скорости в авиационных приложениях.

Мы идеализируем момент сопротивления как линейно-вязкостную форму \(c_{\theta} \times p(t)\), где \(c_{\theta}\) — постоянная вязкостного демпфирования при вращении, которую можно измерить на реальном оборудовании. Также обозначим через \(M_{m}(t)\) крутящий момент, прикладываемый к вращающимся элементам электродвигателем, причем этот крутящий момент является независимой входной величиной.

На приведенном ниже рисунке представлена диаграмма свободного тела (FBD) всех моментов (в данном случае крутящих моментов), действующих на вращающиеся элементы, при этом сопротивление подшипника показано как один крутящий момент, даже если оно фактически распределено по всем поверхностям подшипника:

Рисунок \(\PageIndex{2}\)

Чтобы вывести уравнение движения, мы запишем закон Ньютона 2 ^и для вращения вокруг оси вала, основанный на FBD:

\[\Sigma(\text {Моменты})_{\text{об оси вала}}=(\text{инерция вращения}) \times(\text{ускорение вращения})_{\text{об оси вала} } \номер\]

\[M_{m}(t)-c_{\theta} p=J \dot{p} \quad \Rightarrow \quad J \dot{p}+c_{\theta} p=M_{m}(t )\метка{уравнение:3. 1} \]

Преобразование уравнения \(\ref{eqn:3.1}\) в стандартную форму заказа 1 ^st дает

\[\dot{p}-\left(-\frac{c_{\theta}}{J}\right) p=\frac{1}{J} M_{m}(t) \Rightarrow \dot{ p} -a p = b M_ {m} (t) \ quad \ text { где } a = — \ frac {c _ {\ theta}} {J} \ text { и } b = \ frac {1} {J} \метка{уравнение:3.2} \]

Эта страница под названием 3.3: Reaction Wheel используется в соответствии с лицензией CC BY-NC 4.0. Автор, ремикс и/или куратор Уильям Л. Халлауэр-младший (Инициатива открытого образования технических библиотек Вирджинии) использует исходный контент, который был отредактировано в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

Наверх

Была ли эта статья полезной?

Тип изделия
Раздел или Страница
Автор
Уильям Л. Халлауэр мл.
Лицензия
CC BY-NC
Версия лицензии
4,0
Показать оглавление
нет
Теги
1. реактивное колесо
2. источник@https://vtechworks.lib.vt.edu/handle/10919/78864

Использование видео прямого измерения для определения момента инерции вращения велосипедного колеса

Джозеф Флэки ([email protected]), Технический колледж долины Чиппева.

Резюме

Это задание дает учащимся возможность применить принципы вращательного движения к реальной ситуации, используя видео с прямыми измерениями. Учащиеся будут работать вместе в небольших группах, чтобы определить момент инерции велосипедного колеса, используя видео по физике прямого измерения.

Классическая механика | Средняя школа (9–12 лет), Вводный колледж, Нижний колледж (13–14 лет)

Развернуть для более подробной информации

Классификация видов деятельности и связь с соответствующими ресурсами

Свернуть

Темы

Классическая механика

Класс

Средняя школа (9–12), Вводный курс в колледж, Начальный уровень колледжа (13–14)

Цели обучения

Учащиеся будут применять концепции углового ускорения, крутящего момента и инерции вращения, а также второй закон Ньютона для вращения в реальной ситуации.
Учащиеся будут применять взаимосвязь между линейным и угловым движением для вращающегося объекта.
Учащиеся будут практиковаться в сборе данных с видео прямых измерений.
Учащиеся также будут полагаться на свои предварительные знания по одномерному анализу силы объекта, который ускоряется.
Учащиеся также будут развивать совместное поведение при обучении во время совместной работы.

Контекст для использования

Это задание предназначено для курса физики, основанного на алгебре, в техническом колледже. Размер класса варьируется от 20 до 24 студентов в лабораторных условиях с доступными компьютерами или ноутбуками. В зависимости от объема введения, включенного в задание, учащиеся должны потратить от 30 минут до часа на его выполнение. Для выполнения упражнения не требуется никакого дополнительного оборудования, но его можно дополнить физическим велосипедным колесом или системой шкивов. Это задание не предназначено для того, чтобы учащиеся впервые познакомились с видео с прямыми измерениями.

Перед выполнением задания учащиеся должны иметь четкое представление об ускоряющих системах, иметь опыт решения задач на соединение объектов, круговых измерений и законов движения Ньютона. Упражнение планируется использовать в 2-часовой лабораторной/лекционной обстановке. Будет представлен материал об угловом движении и моменте инерции, последует задание, а занятие завершится обсуждением наших результатов. В зависимости от уровня навыков учащихся, задание должно быть легко адаптировано к другим условиям путем включения более подробной информации/введения.

Описание и учебные материалы

Описание материала, устные инструкции для учащихся и возможные дополнительные вопросы можно найти в следующем текстовом документе:

Момент инерции для велосипедного колеса (Microsoft Word 29kB Jul13 12)

Видео, относящееся к материалу можно найти на следующем веб-сайте:

Велосипедное колесо, ускоренное падающим весом

Видео необходимо загрузить на компьютеры учащихся и открыть в QuickTime, чтобы можно было продвигать видео кадр за кадром.

Учебные заметки и советы

Это задание разделено на 3 части: представление материала, анализ видео учащимися и обсуждение. Подача материала должна содержать аналогичные проблемы, относящиеся к видео.