6.6. Главные оси инерции и главные моменты инерции

6.6. ГЛАВНЫЕ ОСИ ИНЕРЦИИ И ГЛАВНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ

При изменении угла α значения Iz1, Iy1, Iz1y1 (6.13) изменяются, и при некотором значении угла α0 они принимают экстремальные значения. Взяв первую производную по углу α от формул (6.13) и приравняв ее нулю, получим: Эта формула определяет положение двух осей, относительно одной из которых осевой момент максимален, а относительно другой – минимален. Такие оси называют главными. Моменты инерции относительно главных осей называют главными моментами инерции. Их вычисляют следующим образом: Главные оси обладают следующими свойствами: центробежный момент инерции относительно них равен нулю; моменты инерции относительно главных осей экстремальны; для симметричных сечений оси симметрии являются главными. Главные оси, проходящие через центр тяжести фигуры, называют главными центральными осями инерции. Пример 6.4. Определить, каким образом изменяется момент инерции квадратного сечения при его повороте.

Решение. Момент инерции относительно повернутой оси: Поскольку оси z, y квадрата являются осями симметрии, то есть главными, то центробежный момент инерции относительно них Izy = 0: Выводы. 1. Моменты инерции квадратного сечения с изменением положения центральных осей остаются постоянными. 2. В квадрате и других правильных многоугольниках (треугольниках, пятиугольниках) любая центральная ось является и главной. Такие фигуры называют фигурами равного сопротивления. Пример 6.5. Для фигуры, представленной в примере 6.1, определить главные центральные моменты инерции. Решение. Расстояния между центральной осью составной фигуры и собственными центральными осями элементов Моменты инерции относительно центральных осей, параллельных основанию и высоте a1= y1 – yC = 5 – 3,5 = 1,5 см; a2= y2 – yC = 1 – 3,5 = –2,5 см; b1= z1 – zC = 1 – 2,5 = –1,5 см; b2= z2 – zC = 5 – 2,5 = 2,5 см. Центробежный момент инерции Направления главных осей инерции Угол α0 (положительный) откладываем против хода часовой стрелки от оси с большим моментом инерции, то есть zC . Величины главных центральных моментов инерции

Главные оси инерции и главные моменты инерции (Лекция №18)

   Как уже известно, зная для данной фигуры центральные моменты инерции , и , можно вычислить момент инерции и относительно любой другой оси.

   При этом можно за основную систему осей принять такую систему, при которой формулы существенно упрощаются. Именно, можно найти систему координатных осей, для которых центробежный момент инерции равен.нулю. В самом деле, моменты инерции и всегда положительны, как суммы положительных слагаемых, центробежный же момент

может быть и положительным и отрицательным, так как слагаемые zydF могут быть разного знака в зависимости от знаков z и у для той или иной площадки. Значит, он может быть равен нулю.

   Оси, относительно которых центробежный момент инерции обращается в нуль, называются главными осями инерции. Если начало такой системы помещено в центре тяжести фигуры, то это будут

главные центральные оси. Эти оси мы будем обозначать и ; для них

Найдем, под каким углом наклонены к центральным осям у и z (фиг. 198) главные оси.

Рис.1. Расчетная модель для определения положения главных осей инерции.

 

   В известном выражении для перехода от осей yz к осям , для центробежного момента инерции дадим углу значение ; тогда оси и , совпадут c главными, и центробежный момент инерции будет равен нулю:

или

откуда:

(1)

   Этому уравнению удовлетворяют два значения , отличающиеся на 180°, или два значения , отличающиеся на 90°. Таким образом, это уравнение дает нам положение двух осей, составляющих между собой прямой угол. Это и будут главные центральные оси и , для которых .

   Пользуясь этой формулой, можно по известным , и получить формулы для главных моментов инерции и . Для этого опять воспользуемся выражениями для осевых моментов инерции общего положения. Они определяют значения и если вместо подставить

(2)

   Полученными соотношениями можно пользоваться при решении задач. Одним из главных моментов инерции является , другим .

   Формулы (2) можно преобразовать к виду, свободному от значения . Выражая и через и подставляя их значения в первую формулу (2), получим, делая одновременно замену из формулы (1):

Заменяя здесь из формулы (1) дробь на

получаем

(3)

   К этому же выражению можно прийти, делая подобное же преобразование второй формулы (3).

   За основную систему центральных осей, от которых можно переходить к любой другой, можно взять не

Оу и Oz, а главные оси и ; тогда в формулах не будет фигурировать центробежный момент инерции (). Обозначим угол, составленный осью , (Рис.2) с главной осью , через . Для вычисления , и , переходя от осей и нужно в ранее найденных выражениях для , и , заменить угол через , а , и — через , и . В результате получаем:

   По своему виду эти формулы совершенно аналогичны формулам для нормальных и касательных напряжений по двум взаимно-перпендикулярным площадкам в элементе, подвергающемся растяжению в двух направлениях. Укажем лишь формулу, позволяющую из двух значений угла выделить то, которое соответствует отклонению первой главной оси (дающей max

J) от начального положения оси у:

   Теперь можно окончательно формулировать, что надо сделать, чтобы получить возможность простейшим образом вычислять момент инерции фигуры относительно любой оси. Необходимо через центр тяжести фигуры провести оси Оу и Oz так, чтобы, разбивая фигуру на простейшие части, мы могли легко вычислить моменты , и после этого следует найти по формуле (14.17) величину угла и вычислить главные центральные моменты инерции и по формулам (14.18).

Рис.2. Расчетная модель нахождения положения главных осей.

 

   Далее, можно найти момент инерции относительно любой центральной оси (Рис.2), наклоненной к под углом :

   Зная же центральный момент инерции , можно сейчас же найти момент инерции относительно любой параллельной ей оси , проходящей на расстоянии (рис.2) от центра тяжести:

   Во многих случаях удается сразу провести главные оси фигуры; если фигура имеет ось симметрии, то это и будет одна из главных осей. В самом деле, при выводе формулы мы уже имели дело с интегралом, представляющим собой центробежный момент инерции сечения относительно осей у и z; было доказано, что если ось Oz является осью симметрии, этот интеграл обращается в нуль.

   Стало быть, в данном случае оси

Оу и Oz являются главными центральными осями инерции сечения. Таким образом, ось симметрии — всегда главная центральная ось; вторая главная центральная ось проходит через центр тяжести перпендикулярно к оси симметрии.

   Пример. Найти моменты инерции прямоугольника (Рис.3) относительно осей и и центробежный момент его относительно тех же осей.

Рис.3. Пример расчета моментов инерции.

 

   Центральные оси у и z как оси симметрии будут главными осями; моменты инерции сечения относительно этих осей равны:

Центральные моменты относительно повернутых осей и равны:

Центробежный момент инерции относительно осей и равен:

Координаты центра тяжести прямоугольника относительно осей и равны:

Моменты инерции относительно осей и равны:

Центробежный момент инерции равен:

 

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции.

   Как известно, центральные моменты инерции являются наименьшими из всех моментов относительно ряда параллельных осей.

   Найдем теперь крайние значения (максимум и минимум) для центральных моментов инерции. Возьмем ось , и начнем ее вращать, т. е. менять угол ; при этом будет изменяться величина

Наибольшее и наименьшее значения этого момента инерции соответствуют углу , при котором производная обращается в нуль. Эта производная равна:

Подставляя в написанное выражение и приравнивая его нулю, получаем:

отсюда

   Таким образом, осями с наибольшим и наименьшим центральными моментами инерции будут главные центральные оси. Так как при повороте центральных осей сумма соответствующих моментов инерции не меняется, то

Когда один из центральных моментов инерции достигает наибольшего значения, другой оказывается минимальным, т, е. если

то

   Следовательно, главные центральные оси инерции — это такие взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр тяжести сечения, относительно которых центробежный момент инерции обращается в нуль, а осевые моменты инерции имеют наибольшее и наименьшее значения.

Дальше…

Главные оси и главные моменты инерции

Из формул (6.29) — (6.31) видно, что при повороте осей координат центробежный момент инерции меняет знак, а следовательно, существует такое положение осей, при котором центробежный момент равен нулю.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения обращается в нуль, называются главными осями, а главные оси, проходящие через центр тяжести сечения — главными центральными осями инерции сечения.

Моменты инерции относительно главных осей инерции сечения называются главными моментами инерции сечения и обозначаются через I₁ и I₂ причем I₁>I₂. Обычно, говоря о главных моментах, подразумевают осевые моменты инерции относительно главных центральных осей инерции.

Предположим, что оси u и v главные. Тогда

.

Отсюда

.

(6.32)

Уравнение (6.32) определяет положение главных осей инерции сечения в данной точке относительно исходных осей координат. При повороте осей координат изменяются также и осевые момента инерции. Найдем положение осей, относительно которых осевые моменты инерции достигают экстремальных значений. Для этого возьмем первую производную от I_u по α и приравняем ее нулю:

,

отсюда

.

К тому же результату приводит и условие dI_v /dα. Сравнивая последнее выражение с формулой (6.32), приходим к заключению, что главные оси инерции являются осями, относительно которых осевые моменты инерции сечения достигают экстремальных значений.

Для упрощения вычисления главных моментов инерции формулы (6.29) — (6.31) преобразовывают, исключая из них с помощью соотношения (6.32) тригонометрические функции:

.

(6.33)

Знак плюс перед радикалом соответствует большему I₁, а знак минус — меньшему I₂ из моментов инерции сечения.

Укажем на одно важное свойство сечений, у которых осевые моменты инерции относительно главных осей одинаковы. Предположим, что оси y и z главные (I_yz=0), а I_y=I_z. Тогда согласно равенствам (6.29) — (6.31) при любом угле поворота осей α центробежный момент инерции I_uv=0, а осевые I_u=I_v.

Итак, если моменты инерции сечения относительно главных осей одинаковы, то все оси, проходящие через ту же точку сечения, являются главными и осевые моменты инерции относительно всех этих осей одинаковы: I_u=I_v=I_y=I_z. Этим свойством обладают, например, квадратные, круглые, кольцевые сечения.

Формула (6.33) аналогична формулам (3.25) для главных напряжений. Следовательно, и главные моменты инерции можно определять графическим способом методом Мора.

    

8.Главные оси инерции и главный момент инерции.

Главные оси инерции и главные моменты инерции.

При изменении угла величины Ix1, Iy1 и Ix1y1 изменяются. Найдем значение угла, при котором Ix1 и Iy1имеют экстремальные значения; для этого возьмем от Ix1 или Iy1 первую производную по и преравняем ее нулю:илиоткуда(1.28)

Эта формула определяет положение двух осей, относительно одной из которых осевой момент инерции максимален, а относительно другой — минемален.

Такие оси называют главными. Моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции.

Значения главных моментов инерции найдем из формул (1.23) и (1.24), подставив в них из формулы (1.28), при этом используем известные формулы тригонометрии для функций двойных углов.

После преобразований получим следующую формулу для определения главных моментов инерции:  (1.29)

Исследуя вторую производную можно установить, что для данного случая (Ix < Iy) максимальный момент инерции Imax имеет место относительно главной оси, повернутой на угол по отношению к оси х, а минимальный момент инерции — относительно другой, перпендикулярной оси. В большинстве случаев в этом исследовании нет надобности, так как по конфигурации сечений видно, какая из главных осей соответствует максимуму момента инерции.

Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями.

Во многих случаях удается сразу определить положение главных центральных осей. Если фигура имеет ось симметрии, то она является одной из главных центральных осей, вторая проходит через центр тяжести сечения перпендикулярно первой. Сказанное следует из того обстоятельства, что относительно оси симметрии и любой оси, ей перпендикулярной, центробежный момент инерции равен нулю.

В случае если два главных центральных момента инерции сечения равны между собой, то у этого сечения любая центральная ось является главной, и все главные центральные моменты инерции одинаковы (круг, квадрат, шестиугольник, равносторонний шестиугольник).

9.Основные геометрические характеристики сечений

Здесь: C — центр тяжести плоских сечений;

A — площадь сечения;

I_x , I_y — осевые моменты инерции сечения относительно главных осей;

I_xI , I_yI — осевые моменты инерции относительно вспомогательных осей;

I_p — полярный момент инерции сечения;

W_x , W_y — осевые моменты сопротивления;

W_p — полярный момент сопротивления

Прямоугольное сечение

Сечение равнобедренный треугольник

10.Основные виды сил, действующие на тело. Момент силы относительно центра. Свойства момента сил.

При рас­смот­ре­нии ме­ха­ни­че­ских задач боль­шин­ство сил, дей­ству­ю­щих на тела, можно от­не­сти к трем ос­нов­ным раз­но­вид­но­стям:

— сила все­мир­но­го тя­го­те­ния;

— сила тре­ния;

— сила упру­го­сти.

Все окру­жа­ю­щие нас тела при­тя­ги­ва­ют­ся к Земле, это обу­слов­ле­но дей­стви­ем сил все­мир­но­го тя­го­те­ния. Если мы будем пре­не­бре­гать со­про­тив­ле­ни­ем воз­ду­ха, то мы уже знаем, что все тела па­да­ют на Землю с оди­на­ко­вым уско­ре­ни­ем – уско­ре­ни­ем сво­бод­но­го па­де­ния.

Как и вся­кий пред­мет, тело, под­ве­шен­ное на пру­жине, стре­мит­ся упасть вниз из-за при­тя­же­ния Земли, но, когда пру­жи­на рас­тя­нет­ся до неко­то­рой длины, тело оста­нав­ли­ва­ет­ся, то есть при­хо­дит в со­сто­я­ние ме­ха­ни­че­ско­го рав­но­ве­сия. Мы уже знаем, что ме­ха­ни­че­ское рав­но­ве­сие на­сту­па­ет, когда сумма сил, дей­ству­ю­щих на тело, равна нулю. Это озна­ча­ет, что сила тя­же­сти, дей­ству­ю­щая на груз, долж­на урав­но­ве­сить­ся с неко­то­рой силой, дей­ству­ю­щей со сто­ро­ны пру­жи­ны. Эта сила, на­прав­лен­ная про­тив силы тя­же­сти и дей­ству­ю­щая со сто­ро­ны пру­жи­ны, на­зы­ва­ет­ся силой упру­го­сти.

Прой­дя неко­то­рое рас­сто­я­ние, тело оста­нав­ли­ва­ет­ся, ско­рость тела умень­ша­ет­ся от на­чаль­но­го зна­че­ния до нуля, то есть уско­ре­ние тела – ве­ли­чи­на от­ри­ца­тель­ная. Сле­до­ва­тель­но, на тело со сто­ро­ны по­верх­но­сти дей­ству­ет сила, ко­то­рая стре­мит­ся оста­но­вить это тело, то есть дей­ству­ет про­тив его ско­ро­сти. Эта сила на­зы­ва­ет­ся силой тре­ния.  

Момент силы относительно центра (точки).

    Моментом силы F относительно центра (точки) О называется вектор m_o(F) равный векторному произведению радиуса вектора r,  проведенного из центра О в точку А приложения силы, на вектор силы F:

    Вектор m_o(F) приложен в точке О и направлен  плоскости, проходящей через центр О и силу F, в ту сторону, откуда сила видна стремящейся повернуть тело вокруг центра О против хода часовой стрелки.

    Модуль m_o(F) равен произведению модуля силы F на плечо h:

где плечо h  перпендикуляр, опущенный из центра О на линию действия силы F.

    Момент m_o(F) характеризует вращательный эффект силы F относительно центра (точки) О.

    Свойства момента силы:

    1. Момент силы относительно центра не изменяется при переносе силы вдоль линии ее действия в любую точку;

    2. Если линия действия силы проходит через центр О (h = 0), то момент силы относительно центра О равен нулю.

решение задач. Лекции. Геометрические характеристики сечений. Главные оси инерции и главные моменты инерции.

Меню сайта Расчет геометрических характеристик сечений он-лайн NEW — считает любые сечения (сложные). Определяет: площадь сечения, моменты инерции, моменты сопротивления. Расчет балок на прочность он-лайн — построение эпюр Mx, Qy, нахождение максимального изгибающего момента Mx, максимальной сдвигающей силы Qy, расчет прогибов, подбор профиля и др. Все просто, все он-лайн. + Полное расписанное решение! Теперь и для статически неопределимых балок! Расчет рам, ферм балок он-лайн NEW — эпюры Q, M, N, перемещения узлов. Удобный графический интерфейс. Считает любые схемы. Лекции — теория, практика, задачи… Примеры решения задач Справочная информация — ГОСТы, сортамент проката, свойства материалов и другое. Программы по сопромату (построение эпюр, различные калькуляторы, шпоры и другое). Форум сопромата и механики Книги — разная литература по теме. Заказать задачу Друзья сайта (ссылки) WIKIbetta Разработчикам (сотрудничество) Веб-мастерам (партнёрка) О проекте, контакты Подпроекты

Базовый курс лекций по сопромату, теория, практика, задачи. ::Оглавление:: 1. Геометрические характеристики сечений. 1.5. Главные оси инерции и главные моменты инерции. При изменении угла величины Ix1, Iy1 и Ix1y1 изменяются. Найдем значение угла, при котором Ix1 и Iy1 имеют экстремальные значения; для этого возьмем от Ix1 или Iy1 первую производную по и преравняем ее нулю: или откуда           (1.28) Эта формула определяет положение двух осей, относительно одной из которых осевой момент инерции максимален, а относительно другой — минемален. Такие оси называют главными. Моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции. Значения главных моментов инерции найдем из формул (1.23) и (1.24), подставив в них из формулы (1.28), при этом используем известные формулы тригонометрии для функций двойных углов. После преобразований получим следующую формулу для определения главных моментов инерции:           (1.29) Исследуя вторую производную можно установить, что для данного случая (Ix y) максимальный момент инерции Imax имеет место относительно главной оси, повернутой на угол по отношению к оси х, а минимальный момент инерции — относительно другой, перпендикулярной оси. В большинстве случаев в этом исследовании нет надобности, так как по конфигурации сечений видно, какая из главных осей соответствует максимуму момента инерции. Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями. Во многих случаях удается сразу определить положение главных центральных осей. Если фигура имеет ось симметрии, то она является одной из главных центральных осей, вторая проходит через центр тяжести сечения перпендикулярно первой. Сказанное следует из того обстоятельства, что относительно оси симметрии и любой оси, ей перпендикулярной, центробежный момент инерции равен нулю. В случае если два главных центральных момента инерции сечения равны между собой, то у этого сечения любая центральная ось является главной, и все главные центральные моменты инерции одинаковы (круг, квадрат, шестиугольник, равносторонний шестиугольник). ::Оглавление::

Сообщество Вход Решение задач Расчет редукторов Для Android (рекомендую) NEW Mobile Beam 2.0 Программа для расчета балок на прочность на Вашем Android устройстве… Java 2 ME

Главный центральный момент — инерция

Главный центральный момент — инерция

Cтраница 2

Булава, главные центральные моменты инерции которой равны Л В ф С, подброшена над землей.  [16]

Лшп — минимальный главный центральный момент инерции поперечного сечения; / — длина стержня; ц-коэффициент приведения длины, зависящий от способов закрепления концов стержня.  [17]

Что представляют собой главные и главные центральные моменты инерции.  [18]

Что представляют собой главные и главные центральные моменты инерции.  [19]

Для определения главных центральных моментов инерции таких сечений ( будем называть их составными) их разбивают на простейшие части, для каждой из которых могут быть вычислены по известным формулам площади, координаты центров тяжести, моменты инерции относительно собственных главных центральных осей.  [20]

Ниже приведено вычисление главных центральных моментов инерции для ряда простейших сечений. В случае симметричного сечения положение главных центральных осей легко определяется. Одна из главных осей является осью симметрии, а другая проходит через центр тяжести перпендикулярно к ней. Для некоторых сечений, как например для круга и кольца, всякая центральная ось является осью симметрии, и любые две взаимно-перпендикулярные центральные оси будут здесь главными.  [22]

Переходим к вычислению главных центральных моментов инерции. Моменты инерции всего сечения определяются как разности моментов инерции прямоугольника и круга.  [23]

Поэтому для определения главного центрального момента инерции сечения относительно этой оси достаточно сложить моменты каждого из профилей относительно той же оси.  [24]

В следующем параграфе вычислены главные центральные моменты инерции для ряда простейших сечений. В случае симметричного сечения положение главных центральных осей легко определяется. Одна из главных осей является осью симметрии, а другая проходит через центр тяжести перпендикулярно к ней. Для некоторых сечений, как, например, для круга и кольца, всякая центральная ось является осью симметрии, и любые две взаимно перпендикулярные центральные оси будут здесь главными.  [25]

Установить, как изменятся главные центральные моменты инерции и моменты сопротивления круглого сечения, если абсциссы всех точек окружности увеличить в п раз, как показано на рисунке пунктиром.  [26]

Qlt 2 93 — главные центральные моменты инерции тела; at, a2, сс3 — углы Эйлера ( прецессия, нутация, вращение), которые составляют главные центральные оси инерции тела с осями инерциальнои системы отсчета; J Fx, FX FX, — проекции главного вектора реакций упругих связей на оси инерциальнои системы отсчета; jMxt, jMx, МХз — проекции вектора главного момента реакций упругих связей на главные центральные оси инерции тела.  [27]

Какому условию должны удовлетворять главные центральные моменты инерции твердого тела, чтобы существовали точки, для которых эллипсоид инерции представляет собой сферу.  [28]

Определить, во сколько раз главные центральные моменты инерции коробчатого сечения, составленного из равнобо-ких уголков 200 х 200 х 20 мы отличаются от соответствующих моментов инерции крестового сечения, составленного из тех же профилей.  [29]

Страницы:      1    2    3    4

главный момент инерции — это… Что такое главный момент инерции?

главный момент инерции

Момент инерции системы относительно главной оси инерции

Политехнический терминологический толковый словарь. Составление: В. Бутаков, И. Фаградянц. 2014.

• главный вектор системы сил
• главный момент количеств движения системы относительно оси

Смотреть что такое «главный момент инерции» в других словарях:

• главный момент инерции — Момент инерции системы относительно главной оси инерции. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 102. Теоретическая механика. Академия наук СССР. Комитет научно технической терминологии. 1984 г.] Тематики теоретическая механика Обобщающие термины …   Справочник технического переводчика

• главный момент инерции — pagrindinis inercijos momentas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. principal moment of inertia vok. Hauptträgheitsmoment, n rus. главный момент инерции, m pranc. moment d’inertie principal, m; moment principal d’inertie, m …   Fizikos terminų žodynas

• центральный главный момент инерции — главный центральный момент инерции; отрасл. центральный главный момент инерции Момент инерции системы относительно главной центральной инерции …   Политехнический терминологический толковый словарь

• главный центральный момент инерции — Нрк центральный главный момент инерции Момент инерции системы относительно главной центральной оси инерции. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 102. Теоретическая механика. Академия наук СССР. Комитет научно технической терминологии. 1984 г.] …   Справочник технического переводчика

• главный центральный момент инерции — главный центральный момент инерции; отрасл. центральный главный момент инерции Момент инерции системы относительно главной центральной инерции …   Политехнический терминологический толковый словарь

• МОМЕНТ ИНЕРЦИИ — величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступат. движении. В механике различают М. и. осевые и центробежные. Осевым М. и. тела относительно оси z наз. величина, определяемая… …   Физическая энциклопедия

• главный момент дисбалансов ротора — главный момент дисбалансов Ндп. нуравновешенность пары результирующий момент суммарный момент Момент, равный геометрической сумме моментов всех дисбалансов ротора относительно его центра масс. Примечания 1. Главный момент дисбалансов… …   Справочник технического переводчика

• главный момент дисбалансов — 3.6 главный момент дисбалансов : Векторная сумма всех моментов дисбалансов, распределенных вдоль оси ротора, относительно плоскости главного вектора дисбалансов1). 1) Данное определение отличается от приведенного в ИСО 1925. Примечания 1 Главный… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

• Главный момент дисбалансов ротора — 27. Главный момент дисбалансов ротора Главный момент дисбалансов Ндп. Результирующий момент Суммарный момент Неуравновешенность пары D. Unwuchtmoment Е. Basic (main) unbalance couple Couple unbalance F. Moment de desequilibre resultant… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

• ЦЕНТРОБЕЖНЫЙ МОМЕНТ ИНЕРЦИИ — одна из величин, характеризующих распределение масс в теле (механич. системе). Ц, м. и. вычисляются как суммы произведений масс mk точек тела (системы) на две из координат xk, yk, zk этих точек: Значения Ц. м. и. зависят от направлений… …   Физическая энциклопедия

Моментов инерции — обзор

§ 51. Многоатомные газы

Свободную энергию многоатомного газа, как и двухатомного газа, можно записать как сумму поступательной, вращательной и колебательной частей. Поступательная часть по-прежнему характеризуется значениями теплоемкости и химической постоянной

(51,1) ctr = 32, ζtr = 32log (m / 2πℏ2).

Из-за больших моментов инерции многоатомных молекул (и соответствующей малости их вращательных квантов) их вращение всегда можно трактовать классически. ^† Многоатомная молекула имеет три степени свободы вращения и три основных момента инерции: I ₁ , I ₂ , I ₃ , которые в целом различны; поэтому его кинетическая энергия вращения равна

(51,2) εrot = Mξ22I1 + Mη22I2 + Mζ22I3,

где ξ, η, ζ — координаты во вращающейся системе, оси которой совпадают с главными осями инерции молекулы; пока мы не будем рассматривать частный случай молекул, состоящих из коллинеарных атомов.Это выражение подставляется в статистическую сумму

(51.3) Zrot = ∫′e − εrot / Tdτrot,

, где

dτrot = 1 (2πℏ) 3dMξdMηdMζdϕξdϕηdϕζ,

, а штрих, как обычно, означает, что интегрирование должно производиться только по физически различным ориентациям молекулы.

Если молекула имеет оси симметрии, вращения вокруг этих осей оставляют молекулу неизменной и сводятся к обмену идентичными атомами. Понятно, что количество физически неразличимых ориентаций молекулы равно количеству возможных различных поворотов вокруг осей симметрии, включая поворот на 360 ° (тождественное преобразование).Обозначив это число ^† через σ, мы можем взять интегрирование в (51.3) просто по всем ориентациям и разделить на σ.

В продукте d ϕ _ξ d ϕ _η d ϕ _ζ трех бесконечно малых углов поворота, d ϕ _ξ d ϕ _η можно рассматривать как элемент телесного угла d o _ζ для направлений оси ζ. Интегрирование по o _ζ не зависит от интегрирования по вращениям d ϕ _ζ вокруг оси ζ и дает 4π.Интегрирование по ϕ _ζ дает еще 2π. Интегрируя также по M _ξ , M _η , M _ζ от –∞ до ∞, окончательно получаем

Zrot = 8π2σ (2πℏ) 3 (2πT) 3/2 (I1I2I3) 1/2 = (2T) 3/2 (πI1I2I3) 1/2 / σℏ3.

Следовательно, свободная энергия равна

(51,4) F = −32NTlogT − NTlog (8πI1I2I3) 1 / 2σℏ3.

Таким образом, для удельной теплоемкости вращения, в соответствии с § 44,

(51,5) crot = 32,

и химическая константа

(51.6) ζrot = log (8πI1I2I3) 1 / 2σℏ3.

Для линейной молекулы , то есть такой, в которой все атомы коллинеарны, есть, как и в двухатомной молекуле, только две вращательные степени свободы и один момент инерции I . Удельная теплоемкость вращения и химическая постоянная, как и в двухатомном газе, равны

(51,7) crot = 1, ζrot = log (2I / σℏ2),

, где σ = 1 для асимметричной молекулы (такой как NNO) и σ = 2 для молекулы, симметричной относительно ее средней точки (такой как ОСО).

Колебательная часть свободной энергии многоатомного газа вычисляется аналогично тому, как это было для двухатомного газа, приведенному выше. Единственное отличие состоит в том, что многоатомная молекула имеет не одну, а несколько колебательных степеней свободы: нелинейная молекула из n атомов явно имеет r _виб = 3 n –6 колебательных степеней свободы, а для линейная молекула из n атомов r _vib = 3 n –5 (см. § 44).Число колебательных степеней свободы определяет количество нормальных мод колебаний молекулы, каждой из которых соответствует частота ω, _α (суффикс α, обозначающий нормальные моды). Следует помнить, что некоторые из частот ω, _α могут быть равными, и в этом случае рассматриваемая частота называется вырожденной .

В гармоническом приближении, где колебания предполагаются малыми (будут рассматриваться только температуры, для которых это так), все нормальные моды независимы, а энергия колебаний является суммой энергий отдельных мод.Таким образом, колебательная статистическая сумма представляет собой произведение статистических сумм отдельных мод, а свободная энергия F _vib является суммой выражений типа (49.1):

(51.8) Fvib = NT∑αlog ( 1 − e − ℏωα / T).

Каждая частота появляется в этой сумме количество раз, равное ее вырождению. Аналогичные суммы получены для колебательных частей других термодинамических величин.

Каждый из нормальных режимов дает в своем собственном классическом пределе ( T ħω _α ) вклад cvib (α) = 1 в удельную теплоемкость; для T больше наибольшего ħω _α мы должны получить

(51.9) cvib = rvib.

Однако на практике этот предел не достигается, поскольку многоатомные молекулы обычно разлагаются при значительно более низких температурах.

Различные частоты ω _α для многоатомной молекулы обычно находятся в очень широком интервале. По мере повышения температуры различные нормальные режимы последовательно вносят вклад в удельную теплоемкость. Вследствие этого удельную теплоемкость многоатомных газов часто можно рассматривать как приблизительно постоянную в довольно широких интервалах температур.

Мы можем упомянуть возможность любопытного перехода от вибрации к вращению, примером которого является молекула этана C ₂ H ₆ . Эта молекула состоит из двух групп CH ₃ , расположенных на определенном расстоянии друг от друга и определенным образом ориентированных друг к другу. Одно из нормальных колебаний молекулы — это «крутильное» колебание, при котором одна из групп CH ₃ закручена относительно другой. По мере увеличения энергии колебаний увеличивается их амплитуда и, в конечном итоге, при достаточно высоких температурах колебание превращается в свободное вращение.Вклад этой степени свободы в удельную теплоемкость, которая составляет приблизительно 1, когда колебания полностью возбуждены, поэтому начинает уменьшаться при дальнейшем повышении температуры, асимптотически приближаясь к значению 12, типичному для вращения.

Наконец, можно упомянуть, что если молекула имеет ненулевой спин S (например, молекулы NO ₂ и ClO ₂ ), химическая константа включает член

(51.10) ζS = журнал (2S + 1).

ПРОБЛЕМА

Определите вращательную статистическую сумму для метана при низких температурах.

РЕШЕНИЕ

Как уже упоминалось в первом примечании к этому разделу, квантовый расчет Z _rot для метана требуется при достаточно низких температурах.

Молекула CH ₄ представляет собой тетраэдр типа сферической вершины, поэтому ее уровни вращения равны ħ ² J ( J + 1) / 2 I , где I — общее значение трех главных моментов инерции, а Дж и вращательного квантового числа.Поскольку спин i ядра H равен 12, а спин ядра C ¹² равен нулю, полный ядерный спин молекулы CH ₄ может быть равен 0, 1 или 2, причем соответствующие ядерные статистические веса равны 1, 3 или 5; см. Quantum Mechanics , § 105, Problem 5. Для любого заданного значения J существует определенное количество состояний, соответствующих значениям полного ядерного спина. В следующей таблице приведены эти числа для первых пяти значений J .

Ядерное вращение	0	1	2
J = 0	—	—	1	— 1
2	2	1	—
3	—	2	1
4	2	2	значение 1 Z rot , который получается с учетом общей степени вырождения относительно ориентации углового момента вращения и ядерного спина, необходимо разделить на 16, если энтропия должна быть измерена из значения log (2 i + 1) 4 = журнал 16 (ср.первую сноску к § 48). Результат: Zrot = 516 + 916e − ℏ2 / IT + 2516e − 3ℏ2 / IT + 7716e − 6ℏ2 / IT + 11716e − 10ℏ2 / IT +…. 10.6: Расчет моментов инерции В предыдущем подразделе мы определили момент инерции, но не показали, как его вычислить. В этом подразделе мы покажем, как рассчитать момент инерции для нескольких стандартных типов объектов, а также как использовать известные моменты инерции, чтобы найти момент инерции для смещенной оси или для составного объекта.2 \] для всех точечных масс, составляющих объект. Поскольку \ (r \) — это расстояние до оси вращения от каждой части массы, составляющей объект, момент инерции для любого объекта зависит от выбранной оси. Чтобы убедиться в этом, возьмем простой пример двух масс на конце безмассового (пренебрежимо малая масса) стержня (рис. \ (\ PageIndex {1} \)) и вычислим момент инерции относительно двух разных осей. В этом случае суммирование по массам является простым, потому что две массы на конце штанги могут быть аппроксимированы как точечные массы, и поэтому сумма имеет только два члена.{2} \ ldotp \] Из этого результата можно сделать вывод, что вращать штангу вокруг конца в два раза сложнее, чем вокруг ее центра. Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): (а) Штанга с осью вращения, проходящей через ее центр; (б) штанга с осью вращения, проходящей через один конец. В этом примере у нас было две точечные массы, и сумму было просто вычислить. Однако, чтобы иметь дело с объектами, которые не являются точечными, нам нужно тщательно продумать каждый из членов уравнения.Уравнение просит нас суммировать каждый «кусок массы» на определенном расстоянии от оси вращения. Но что именно означает каждый «кусок массы»? Напомним, что при выводе этого уравнения каждая часть массы имела одинаковую величину скорости, что означает, что вся часть должна находиться на одном расстоянии r от оси вращения. Однако это невозможно, если мы не возьмем бесконечно малый кусок массы dm, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {2} \). Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): Использование бесконечно малой массы для вычисления вклада в общий момент инерции.{2} dm \ ldotp \ label {10.19} \] Фактически, это та форма, которая нам нужна для обобщения уравнения для сложных форм. Лучше всего подробно проработать конкретные примеры, чтобы понять, как рассчитать момент инерции для конкретных форм. Этому посвящена большая часть остальной части этого раздела. Однородный тонкий стержень с осью через центр Рассмотрим однородный (по плотности и форме) тонкий стержень массы M и длины L, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {3} \). Нам нужен тонкий стержень, чтобы мы могли предположить, что площадь поперечного сечения стержня мала и стержень можно представить как набор масс вдоль одномерной прямой линии.В этом примере ось вращения перпендикулярна стержню и для простоты проходит через среднюю точку. Наша задача — вычислить момент инерции относительно этой оси. Ориентируем оси так, чтобы ось z была осью вращения, а ось x проходила через длину стержня, как показано на рисунке. Это удобный выбор, потому что затем мы можем интегрировать по оси x. Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): Расчет момента инерции I для однородного тонкого стержня вокруг оси, проходящей через центр стержня. Мы определяем dm как небольшой элемент массы, составляющий стержень. Интеграл момента инерции является интегралом по распределению масс. Однако мы знаем, как интегрироваться по пространству, а не по массе. Поэтому нам нужно найти способ связать массу с пространственными переменными. Мы делаем это, используя линейную массовую плотность \ (\ lambda \) объекта, которая является массой на единицу длины. Поскольку массовая плотность этого объекта однородна, мы можем написать \ [\ lambda = \ frac {m} {l} \; или\; m = \ lambda l \ ldotp \] Если мы возьмем дифференциал каждой части этого уравнения, мы найдем \ [dm = d (\ lambda l) = \ lambda (dl) \] , поскольку \ (\ lambda \) постоянно.Для удобства мы решили сориентировать стержень по оси x — именно здесь такой выбор становится очень полезным. Обратите внимание, что кусок стержня dl полностью лежит вдоль оси x и имеет длину dx; фактически, в этой ситуации dl = dx. {2} \ lambda dx \ ldotp \] Последний шаг — быть осторожным с нашими пределами интеграции.{2} \ ldotp \ end {split} \] Затем мы вычисляем момент инерции для того же однородного тонкого стержня, но с другим выбором оси, чтобы мы могли сравнить результаты. Мы ожидаем, что момент инерции будет меньше относительно оси, проходящей через центр масс, чем ось конечной точки, как это было в примере со штангой в начале этого раздела. Это происходит потому, что больше массы распределяется дальше от оси вращения. Унифицированный тонкий стержень с осью на конце Теперь рассмотрим тот же однородный тонкий стержень массы \ (M \) и длины \ (L \), но на этот раз переместим ось вращения к концу стержня.{2} \ ldotp \ label {ThinRod} \ end {align} \] Обратите внимание, что инерция вращения стержня вокруг его конца больше, чем инерция вращения относительно его центра (в соответствии с примером штанги) в четыре раза. Теорема о параллельных осях Сходство между процессом определения момента инерции стержня относительно оси, проходящей через его середину, и вокруг оси, проходящей через его конец, поразительно, и предполагает, что существует более простой метод определения момента инерции стержня, проходящего через его середину. {2} \ nonumber \] Единый тонкий диск вокруг оси, проходящей через центр Интегрирование для определения момента инерции двумерного объекта немного сложнее, но на этом уровне исследования обычно делается одна форма — однородный тонкий диск вокруг оси, проходящей через его центр (Рисунок \ (\ PageIndex {5 } \)). Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): Расчет момента инерции тонкого диска вокруг оси, проходящей через его центр. Поскольку диск тонкий, мы можем считать массу распределенной полностью в плоскости xy. Мы снова начнем с отношения для плотности поверхностной массы , которая является массой на единицу площади поверхности. Поскольку он однороден, поверхностная плотность массы \ (\ sigma \) постоянна: \ [\ sigma = \ frac {m} {A} \] или \ [\ sigma A = m \], поэтому \ [dm = \ sigma (dA) \] Теперь мы используем упрощение для области.{2} \ ldotp \ end {split} \] Обратите внимание, что это соответствует значению, приведенному на рисунке 10.5.4. Расчет момента инерции составных объектов Теперь рассмотрим составной объект, подобный изображенному на рисунке \ (\ PageIndex {6} \), который изображает тонкий диск на конце тонкого стержня. Это не может быть легко интегрировано, чтобы найти момент инерции, потому что это объект неоднородной формы. Однако, если мы вернемся к первоначальному определению момента инерции как суммы, мы можем заключить, что момент инерции составного объекта может быть найден из суммы каждой части объекта: \ [I_ {total} = \ sum_ {i} I_ {i} \ ldotp \ label {10.21} \] Важно отметить, что моменты инерции объектов в уравнении \ (\ PageIndex {6} \) равны относительно общей оси . В случае этого объекта это был бы стержень длиной L, вращающийся вокруг своего конца, и тонкий диск радиуса \ (R \), вращающийся вокруг оси, смещенной от центра на расстояние \ (L + R \) , где \ (R \) — радиус диска. Определим, что масса стержня равна m r , а масса диска равна \ (m_d \). Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): Составной объект, состоящий из диска на конце стержня.{2} \ ldotp \] Применение расчета момента инерции для решения задач Теперь давайте рассмотрим некоторые практические применения расчета момента инерции. Пример \ (\ PageIndex {1} \): человек на карусели Ребенок весом 25 кг стоит на расстоянии \ (r = 1.0 \, m \) от оси вращающейся карусели (рисунок \ (\ PageIndex {7} \)). Карусель можно представить как сплошной однородный диск массой 500 кг и радиусом 2,0 м. Найдите момент инерции этой системы. Рисунок \ (\ PageIndex {7} \): Расчет момента инерции ребенка на карусели. Стратегия Эта задача включает вычисление момента инерции. Нам даны масса и расстояние до оси вращения ребенка, а также масса и радиус карусели. Поскольку масса и размер ребенка намного меньше, чем у карусели, мы можем аппроксимировать ребенка как точечную массу. Используемые обозначения: m c = 25 кг, r c = 1.{2} \ ldotp \ nonumber \] Значение Значение должно быть близко к моменту инерции карусели, потому что она имеет гораздо большую массу, распределенную от оси, чем ребенок. Пример \ (\ PageIndex {2} \): стержень и твердая сфера Найдите момент инерции стержня и твердой сферы вокруг двух осей, как показано ниже. Удочка имеет длину 0,5 м и массу 2,0 кг. Радиус сферы 20.0 см и имеет массу 1,0 кг. Стратегия Поскольку в обоих случаях у нас есть составной объект, мы можем использовать теорему о параллельных осях, чтобы найти момент инерции относительно каждой оси. В (а) центр масс сферы расположен на расстоянии \ (L + R \) от оси вращения. В (b) центр масс сферы расположен на расстоянии \ (R \) от оси вращения. В обоих случаях момент инерции стержня действует относительно оси на одном конце.{2} \ ldotp \ end {split} \] Значение Использование теоремы о параллельных осях упрощает вычисление момента инерции составных объектов. Мы видим, что момент инерции больше в (а), чем в (б). Это потому, что ось вращения находится ближе к центру масс системы в (b). Простая аналогия — это стержень. Момент инерции относительно одного конца равен \ (\ frac {1} {3} \) mL 2 , но момент инерции через центр масс по его длине равен \ (\ frac {1} {12} \ ) мл 2 . Пример \ (\ PageIndex {3} \): угловая скорость маятника Маятник в форме стержня (рисунок \ (\ PageIndex {8} \)) выходит из состояния покоя под углом 30 °. Он имеет длину 30 см и массу 300 г. Какова его угловая скорость в самой низкой точке? Рисунок \ (\ PageIndex {8} \): Маятник в виде стержня выходит из состояния покоя под углом 30 °. Стратегия Используйте сохранение энергии для решения проблемы. В момент срабатывания маятник обладает гравитационной потенциальной энергией, которая определяется по высоте центра масс над его самой низкой точкой при качании.{2}) \ left (\ dfrac {3} {0,3 \; m} \ right) (1 — \ cos 30)} = 3,6 \; рад / с \ ldotp \ nonumber \] Значение Обратите внимание, что угловая скорость маятника не зависит от его массы. Массовый момент инерции Массовый момент инерции (момент инерции) — I — это мера сопротивления объекта изменению направления вращения. Момент инерции имеет такое же отношение к угловому ускорению, как масса к линейному ускорению. Момент инерции тела зависит от распределения массы в теле относительно оси вращения Для точечной массы Момент инерции равен массе, умноженной на квадрат перпендикулярного расстояния к вращению. ось отсчета и может быть выражена как I = mr 2 (1) , где I = момент инерции ( кг · м 2 , slug ft 2 , фунт f фут 2 ) м = масса (кг, снаряды) r = расстояние между осью и массой вращения (м, фут) Пример — Момент инерции одиночной массы Создание трехмерных моделей с помощью бесплатного расширения Engineering ToolBox Sketchup Extension Момент инерции с учетом для вращения вокруг оси z единичной массы 1 кг , распределенной в виде тонкого кольца, как показано на рисунке выше, можно рассчитать как I z = (1 кг) ((1000 мм) ( 0.001 м / мм)) 2 = 1 кг м 2 Момент инерции — распределенные массы Точечная масса является основой для всех других моментов инерции, поскольку любой объект может быть «построен» «из набора точечных масс. I = ∑ i m i r i 2 = m 1 r 1 2 + m 2 r 2 2 + ….. + m n r n 2 (2) Для твердых тел с непрерывным распределением соседних частиц формулу лучше выразить в виде интеграла I = ∫ r 2 дм (2b) , где дм = масса бесконечно малой части тела Преобразование между единицами измерения момента инерции Умножение на от 2 10241 9,4 9,42 10 4 до кг · м 2 г · см 2 фунтов м футов 2 фунтов 9001 9002 9002 пуля футов 2 пуля в 2 кг м 2 1 1 10 7 2.37 10 1 3,42 10 3 7,38 10 -1 1,06 10 2 г см 2 1 10 -7 1 2,37 10 -6 3,42 10 -4 7,38 10 -8 1,06 10 5 фунтов м футов 2 — 4,2 9242 2 — 4,2 9242 4.21 10 5 1 1,44 10 2 3,11 10 -2 4,48 фунтов м дюймов 2 2,9324 900 10 2,93 10 3 6,94 10 -3 1 2,16 10 -4 3,11 10 -2 фт36 10 7 3,22 10 1 4,63 10 3 1 1,44 10 2 заглушка в 2 2,23 10 -1 3,22 10 1 6,94 10 -3 1 Момент инерции — общая формула для аэродинамического уравнение: I = kmr 2 (2c) , где k = инерционная постоянная — в зависимости от формы корпуса Радиус вращения ) Радиус вращения — это расстояние от оси вращения, где сосредоточенная точечная масса равна Моменту инерции переменного тока. Туальное тело.Радиус вращения тела может быть выражен как r g = (л / м) 1/2 (2d) , где r g = радиус вращения ( м, футы) I = момент инерции корпуса ( кг · м 2 , снаряд футов 2 ) м = масса корпуса (кг, пробки) Некоторые типовые тела и их моменты инерции Цилиндр Тонкостенный полый цилиндр Моменты инерции для полого тонкостенного цилиндра сопоставимы с точечной массой (1) и могут быть выражены как : I = mr 2 (3a) где m = масса полости (кг, снаряды) r = расстояние между ось и тонкостенная полость (м, футы) r o = расстояние между осью и внешней полостью (м, футы) Полый цилиндр I = 1/2 м (r i 2 + r o 2 ) (3b) где м = масса полости (кг, снаряды) r i = расстояние между осью и внутренним пространством полый (м, фут) r o = расстояние между осью и внешней полостью (м, фут) Цельный цилиндр I = 1/2 mr 2 (3c) , где m = масса цилиндра (кг, снаряды) r = расстояние между осью и внешним цилиндром (м, футы) Круглый диск 900 04 I = 1/2 mr 2 (3d) где m = масса диска (кг, снаряды) r = расстояние между осью и внешним диском (м, футы) Сфера Тонкостенная полая сфера I = 2/3 mr 2 (4a) где m = масса полой сферы (кг, ) r = расстояние между осью и полостью (м, футы) Сплошная сфера I = 2/5 mr 2 (4b) , где m = масса сферы (кг, снаряды) r = радиус в сфере (м, фут) Прямоугольная плоскость Моменты инерции для прямоугольной плоскости с xis через центр можно выразить как I = 1/12 м (a 2 + b 2 ) (5) , где a, b = короткая и длинная стороны Моменты инерции для прямоугольной плоскости с осью вдоль кромки могут быть выражены как I = 1/3 ма 2 (5b) Slender Rod Моменты инерции для тонкого стержня с осью через центр можно выразить как I = 1/12 м L 2 (6) где L = длина стержня Моменты инерции для тонкого стержня с осью сквозной конец может быть выражен как I = 1/3 м L 2 (6b) What Is M момент инерции в физике? Момент инерции объекта — это расчетная мера для твердого тела, которое совершает вращательное движение вокруг фиксированной оси: то есть, он измеряет, насколько сложно было бы изменить текущую скорость вращения объекта.Это измерение рассчитывается на основе распределения массы внутри объекта и положения оси, что означает, что один и тот же объект может иметь очень разные значения момента инерции в зависимости от местоположения и ориентации оси вращения. Концептуально момент инерции можно рассматривать как представление сопротивления объекта изменению угловой скорости, аналогично тому, как масса представляет сопротивление изменению скорости при невращающем движении в соответствии с законами движения Ньютона.Расчет момента инерции определяет силу, необходимую для замедления, ускорения или остановки вращения объекта. В Международной системе единиц (единица СИ) момент инерции равен одному килограмму на квадратный метр (кг-м 2 ). В уравнениях он обычно представлен переменной I или I P (как в показанном уравнении). Простые примеры момента инерции Насколько сложно повернуть конкретный объект (перемещать его по кругу относительно точки поворота)? Ответ зависит от формы объекта и от того, где сосредоточена масса объекта.Так, например, величина инерции (сопротивления изменению) довольно мала в колесе с осью посередине. Вся масса равномерно распределена вокруг точки поворота, поэтому небольшой крутящий момент на колесе в правильном направлении заставит его изменить свою скорость. Однако это намного сложнее, и измеренный момент инерции будет больше, если вы попытаетесь перевернуть то же колесо против его оси или повернуть телефонный столб. Использование момента инерции Момент инерции объекта, вращающегося вокруг неподвижного объекта, полезен при вычислении двух ключевых величин во вращательном движении: Вы можете заметить, что приведенные выше уравнения очень похожи на формулы для линейной кинетической энергии и количества движения, с моментом инерции « I» вместо массы « м» и угловой скоростью « ω» вместо скорости « v «, что еще раз демонстрирует сходство между различными концепциями вращательного движения и в более традиционных случаях линейного движения. Расчет момента инерции На рисунке на этой странице показано уравнение расчета момента инерции в самом общем виде. В основном он состоит из следующих шагов: Измерьте расстояние r от любой частицы в объекте до оси симметрии Квадратное расстояние Умножьте этот квадрат расстояния на массу частицы Повторить для каждой частицы в объекте Сложите все эти значения Для очень простого объекта с четко определенным количеством частиц (или компонентов, которые можно обработать как как частицы), можно просто выполнить вычисление этого значения методом грубой силы, как описано выше.В действительности, однако, большинство объектов настолько сложны, что это практически невозможно (хотя некоторые умные компьютерные коды могут сделать метод грубой силы довольно простым). Вместо этого существует множество методов расчета момента инерции, которые особенно полезны. Ряд обычных объектов, таких как вращающиеся цилиндры или сферы, имеют очень четко определенные формулы момента инерции. Существуют математические средства решения проблемы и расчета момента инерции для тех объектов, которые более необычны и нерегулярны и, следовательно, представляют большую проблему. Калькулятор массового момента инерции Калькулятор массового момента инерции — это сложный инструмент, который помогает оценить момент инерции объектов различной формы. Эта физическая величина иначе известна как угловая масса или инерция вращения. Момент инерции — характерное свойство твердого тела. Она играет такую ​​же роль в динамике вращательного движения , как нормальная масса в динамике поступательного движения . Например, масса в уравнении кинетической энергии заменяется моментом инерции в уравнении энергии вращения. Вы можете воспользоваться калькулятором момента инерции массы прямо сейчас — просто выберите цифру и введите ее параметры . Или читайте дальше, чтобы узнать, что такое момент инерции, каковы его единицы и как рассчитать момент инерции. В следующем тексте мы также подготовили таблицу моментов инерции с примерно 23 различными цифрами . Он содержит почти все наиболее распространенные формы объектов. Какой момент инерции? — моментов инерции Момент инерции — это мера инерции вращения тела относительно заданной фиксированной оси вращения .Он определяет крутящий момент, необходимый для желаемого углового ускорения. Это похоже на то, как масса определяет силу, необходимую для желаемого ускорения. Другими словами, момент инерции говорит нам, насколько сложно привести объект во вращение вокруг определенной оси . Помните, что выбор оси очень важен, от него может сильно зависеть конечное значение момента инерции! Физический размер момента инерции составляет масса * длина² .Единица измерения момента инерции в системе СИ — это килограмм-метр в квадрате кг * м² , а в британских или американских единицах — фунт-фут во втором квадрате фунт * фут * с² или фунт-фут в квадрате фунт * фут² . С помощью калькулятора момента инерции массы вы можете выполнять расчеты в любых единицах измерения, которые вам нравятся. Уравнение момента инерции Момент инерции I материальной точки равен произведению ее массы м и квадрата расстояния r от оси вращения.Его можно выразить следующим уравнением момента инерции: I = м * r² Если вы рассматриваете тело, состоящее из n материальных точек, то полный момент инерции — это просто сумма их моментов инерции: I = Σ (mi * ri²) где Σ — символ суммирования. Он суммирует все компоненты от i = 1 до i = n , mi — масса i-й материальной точки, ri — расстояние i-й материальной точки от оси вращения. Однако для тел с постоянным распределением массы сумма в приведенной выше формуле становится интегралом: I = (r² * дм) , где интеграция происходит по всему объему V корпуса. Хотя интегрирование — не всегда простая задача, существует множество готовых формул для момента инерции конкретных твердых тел. Вы можете выбрать цифру из списка в этом калькуляторе момента инерции массы или проверить таблицу момента инерции в следующем разделе. Момент инерции массы тела, которое мы только что описали, и второй момент площади часто путают. Помните, что массовый момент инерции единиц равен кг * м² ( фунт * фут * с² или фунт * фут² ), а второй момент единицы площади равен м7 ( фут⁴ ). Таблица моментов инерции Вы уже узнали, что такое момент инерции и как его можно вычислить, исходя из его определения. В таблице ниже мы перечислили уравнения момента инерции для простых объектов с постоянной плотностью массы, которые можно выбрать в нашем калькуляторе момента инерции массы.При вычислении моментов инерции иногда полезно использовать теоремы о параллельной оси и перпендикулярной оси для оценки моментов инерции относительно различных осей. Данные и цифры из Википедии № Описание Число и моменты инерции # 1 — шар Сплошной шар радиуса r и массы m с осью вращения, проходящей через его центр. # 2 — круглая обруч Тонкая круглая обруч радиуса r и массы m с тремя осями вращения, проходящими через его центр: параллельно осям x, y или z. # 3 — кубоид Сплошной кубоид длиной l, шириной w, высотой h и массой m с четырьмя осями вращения, проходящими через его центр: параллельно длине l, ширине w, высоте h или самая длинная диагональ d. # 4 — цилиндр Цельный цилиндр радиуса r, высоты h и массы m с тремя осями вращения, проходящими через его центр: параллельно осям x, y и z. # 5 — цилиндрическая труба Цилиндрическая труба с внутренним радиусом r₁, внешним радиусом r₂, высотой h и массой m с тремя осями вращения, проходящими через ее центр: параллельно осям x, y и z. # 6 — цилиндрическая оболочка Цилиндрическая оболочка радиуса r и массы m с осью вращения, проходящей через ее центр, параллельную высоте. # 7 — диск Тонкий твердый диск радиуса r и массы m с тремя осями вращения, проходящими через его центр: параллельно осям x, y или z. # 8 — додекаэдр Твердый и полый, правильный додекаэдр (двенадцать плоских граней) со стороной s и массой m с осью вращения, проходящей через его центр и одну из вершин. куда # 9 — эллипсоид Твердый эллипсоид полуосей a, b, c и массы m с тремя осями вращения, проходящими через его центр: параллельно полуосям a, b или c. # 10 — икосаэдр Твердый и полый правильный икосаэдр (двадцать плоских граней) со стороной s и массой m с осью вращения, проходящей через его центр и одну из вершин. куда # 11 — равнобедренный треугольник Равнобедренный треугольник массы m, угла при вершине 2β и длины общей стороны L с осью вращения через вершину, перпендикулярную плоскости. # 12 — октаэдр Сплошной и полый правильный октаэдр (восемь плоских граней) со стороной s и массой m с осью вращения, проходящей через его центр и одну из вершин. # 13 — точечная масса Точечная масса m на расстоянии r от оси вращения. # 14 — прямоугольная пластина Тонкая прямоугольная пластина длиной l, шириной w и массой m с осью вращения, проходящей через ее центр перпендикулярно плоскости. # 15 — правильный многоугольник Плоский правильный многоугольник с n вершинами, радиусом описанной окружности R и массой m с осью вращения, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости. Радиус R можно выразить стороной s. # 16 — правый круговой конус (полый) Полый правый круговой конус радиуса r, высоты h и массы m с тремя осями вращения, проходящими через его центр: параллельно осям x, y или z. # 17 — правый круговой конус (сплошной) Сплошной правый круговой конус радиуса r, высоты h и массы m с тремя осями вращения, проходящими через его центр: параллельно осям x, y или z. № 18 — стержень стержень длиной L и массой m с двумя осями вращения: вокруг его центра и одним концом. # 19 — сфера Полая сфера радиуса r и массы m с осью вращения, проходящей через ее центр. # 20 — сферическая оболочка Сферическая оболочка с внутренним радиусом r₁, внешним радиусом r₂ и массой m с осью вращения, проходящей через ее центр. # 21 — тетраэдр Твердый и полый правильный тетраэдр (четыре плоские грани) со стороной s и массой m с осью вращения, проходящей через его центр и одну из вершин. # 22 — тор Тор с малым радиусом a, большим радиусом b и массой m с осями вращения, проходящими через его центр: перпендикулярно большему диаметру и параллельно большому диаметру. # 23 — две точечные массы Две точечные массы m₁ и m₂ с приведенной массой μ, разделенные расстоянием r с осью вращения, проходящей через центр масс и перпендикулярной линии, соединяющей две частицы . 12.3.5 Момент инерции © Х.Föll (скрипт Iron, Steel и Swords) 12.3.5 Момент инерции Что такое Момент инерции? Момент инерция, иногда также называемая , угловая масса или инерция вращения , является внутренним свойство всего, что имеет массу и определенное тело или форму.Мы знаем это тензор, но пока мы рассматриваем его как число , которое можно использовать для описания определенного свойство тела, как и другие числа, определяющие, например, его массу, объем, модуль Юнга, цвет, размер бюстгальтера или средний доход. Тела с одинаковой массой могут иметь очень разные моменты инерции, так как они могут иметь разные объемы, цвета или коэффициенты сексуальной привлекательности. Следующая картинка дает представление о том, что необходимо учитывать при определяем момент инерции данного тела. Рассмотрим тела показано ниже. Удлиненный стержень массой 100 с чем-то (кг, г, фунты, унции, …), различные сферы на конце тонкого и практически безмассового стержня, всегда с общей массой 100 и центром масс прямо посередине, плюс тело. Угадайте, какой крутящий момент нужен, чтобы заставить все эти тела вращаться одинаково. пути («с равным ускорением скорости вращения») вокруг оси указаны.Я обозначил свою догадку по длине стрелок крутящего момента. Невозможно угадать точную длину стрелок крутящего момента, но одно уверен: гораздо легче вращать стержень вокруг его длинной оси, чем вокруг его центр, или одна большая сфера по сравнению с двумя сферами далеко на тонкий стержень. Усилие или крутящий момент, необходимые для получения определенного ускорения вращательного скорость прямо пропорциональна моменту инерции. Длина красного стрелки на картинке ниже, таким образом, также символизируют момент инерции тела, рассматриваемые для показанных осей вращения. Вращающиеся тела одинаковой массы, но разной массы моменты инерции Ось вращения проходит через центр масс во всех примерах Из рисунка также видно, что и одно и то же тело может иметь совершенно разные моменты инерции. Только отдача один номер , таким образом, означает, что вы также даете ось вращения . Практическое правило мы можем утверждать, что расстояние масс от оси вращения — это то, что считается моментом инерции. Далекие массы крутить сложнее примерно чем массы, близкие к оси. Фактически, расстояние от поворота ось отсчитывает квадратично . Удвойте это, и вам нужно в четыре раза больше усилий, потому что момент инерции увеличивается в четыре раза .. Вычисление момента инерции для любого объекта (относительно заданной оси) есть легко сделать, если следовать этому простому рецепту: Разделите свое тело на крошечные кубики (представьте, что оно создано крошечным конструктором Лего. блоки). Возьмите массу куба и умножьте ее на квадрат расстояния до ту конкретную ось вращения, проходящую через центр масс, который вы иметь в виду. Это дает вам число в единицах: кг · м 2 . Писать вниз это число. Повторите процедуру для всех остальных блоков, которые вам нужно было произвести. тело. Сложите все числа. Результат дает вам момент инерции в единицах кг · м 2 относительно выбранной оси. Конечно, если знаешь хоть немного немного об исчислении, вы знаете, что рецепт выше говорит вам сделать интеграл и что все вышеперечисленное сводится к уравнению короче, чем слова «момент инерции». Как это работает, показано в науке ссылка на сайт. Однако гораздо проще измерить момент инерции вашего меча, чем его вычислить.Как это будет сделано, я буду изложено в науке ссылка и здесь. А теперь посмотрим на единственное действительно важный момент во всем этом: Момент инерции для вращательных движений , какова масса для поступательных движений. Когда вы бросаете копье, бейсбольный мяч или камень (поступательное движение) вы «чувствуете» по существу массу объект, противодействующий силе, которую вы прилагаете.Увеличиться сложнее массы движутся. Когда вы вращаете гироскоп или меч, вы чувствуете момент инерции. противодействуя прилагаемому крутящему моменту. Сложнее получить большие моменты инерционное вращение. Конечно, момент инерции заключает в себе массу объекта. Но как это масса, распределенная относительно оси вращения, также является частью момента инерция, а это обычно важнее массы. Если вы все еще со мной, вы можете отметили, что у нас все еще есть две основные проблемы в отношении момента инерция наших мечей: Есть много (фактически бесконечно много) возможных осей вращения, по которым можно двигаться через центр масс некоторого тела.На картинке выше показаны два для стержень и тело. Вращательное поведение двух случаев и, следовательно, момент инерции будет совсем другим. Нам нужно два числа для двух осей! Три числа по трем осям и так далее? Напротив, если мы повернем идеальный сфера, все оси равны — только одно число для момента инерции нужен для всех возможных осей! Используя свой меч, я редко вращаю его вокруг центра масс. Я доволен поверните его вокруг оси или точки поворота рукояти (потому что я вращаю запястье) или ось даже не внутри меча, как ось, проходящая через мой локоть или плечо.Как правило, я могу вращать его вокруг любой оси, о которой только могу подумать. Другой бесконечность возможностей и бесконечно много моментов инерции? Хорошие вопросы. В ответы очевидны и просты — для людей с некоторым опытом в физике и знание тензорной алгебры. Начнем: Момент инерции оказывается равным тензор — набор не более 9 «нормальные» номера; но в нашем случае подойдет уже 6 или меньше.А тензор — это математическая сущность немного более продвинутая, чем вектор (что-то требуются три «нормальных числа» для его определения), но все же довольно простой прочее и просто своего рода продвинутый номер. Если известен тензор момента инерции для вращений вокруг осей, проходящих через центр масс, вы легко можете рассчитать его значение для любой оси . Ну может ты и не можешь, но я и мой У друзей здесь нет проблем. Итак, момент инерции — это «число», как указано выше, просто не обычное или «нормальный» скучный вид.Вы уже сталкивались с этим раньше. Ты бы дайте скорость вашего автомобиля как нормальное число — например, 123 км / ч — но при более внимательном рассмотрении вы понимаете, что скорость — это вектор — сущность, которая требует трех «нормальные» числа, чтобы полностью описать его величину (123 здесь) и пространственное направление движения. Обычно вы задаете компоненты скорости по трем осям некоторой координаты система — три числа! Момент инерции — это тензор, нечто более сложное, чем вектор. но все же в той математической лиге, где «нормальные» числа или скаляров известны как тензоры нулевого ранга, векторы 1-го ранга, тензоры типа момента инерции (или стресс и тензоры деформации) 2-го ранга и т. д. Таким образом, момент инерции — это сущность, однозначно связанная с некоторой совокупностью материал. Нам нужно знать это, если мы хотим произвести какие-либо расчеты, связанные с вращения тела. Модуль Юнга, например, также оказался при ближайшем рассмотрении оказывается тензором. Модуль Юнга на самом деле тензор 4-го ранга, требуется до 21 «нормальных» чисел или скаляров для полностью опишите это. Работа с моментом инерции А теперь хорошие новости: не все топоры вращения равны! У вас может быть бесконечно много осей, проходящих через центр масс какого-то тела, но одно или два сразу бросаются в глаза, если это тело не совсем неправильное, но имеет некоторую симметрию.Давайте посмотрим на некоторые примеры: Основные оси Эти специальные оси называются « главных осей » и — неожиданно — одна из они будут соответствовать максимально возможному моменту инерции, который тело может есть, еще один — к самому маленькому, а третий — к чему-то посередине.Оказывается (после тяжелой математики) только вращения вокруг главных осей устойчивы, а вращающийся вокруг оси с наибольшим или наименьшим моментом инерция самая устойчивая. Если два из трех моментов инерции идентичны (например, для цилиндров или тела в форме яйца) только ось с уникальным значением момента инерция стабильна. Что означает «стабильный» в этот контекст? Ну, вообще ничего, пока мы смотрим на вращение жестких тел в космосе без трения.Ситуация изменится, если мы посмотрим на вращение реальных тел в среде с некоторыми (когда-либо малое) трение. Тела, вращающиеся вокруг произвольной оси в среде с гравитацией и некоторое (небольшое) трение или другие помехи (например, дуновение ветра) начнутся качаться и в конечном итоге вращаться вокруг оси с самым большим, наименьший или уникальный момент инерции. Это одна из причин, по которым сваренное вкрутую яйцо заставляет вращаться, лежа на со временем его бок выпрямится и встанет на кончик.Это на самом деле далеко сложнее, но здесь начинается самое интересное. Вращающиеся предметы могут очень странные вещи! Вращающееся яйцо, стоящее на кончике Слава Богу (или мне), нам не нужно вникнуть в это. Пока скорость вращения не очень велика, мы не придется много беспокоиться о стабильных и нестабильных осях, центробежных силах и всем остальном. захватывающий материал, связанный с «гироскопами». Когда вы взмахиваете мечом, вызывая вращательное движение, вы делаете часть полного круга за доли секунды. Таким образом, его скорость вращения составляет около одного оборота в секунду. или 60 об. / мин. Это не считается большой скоростью вращения, поэтому мы забываем о сложности, упомянутые выше. Нам нужно покопаться в еще один аспект момента инерции.Теперь вы понимаете, почему ваш боевой топор, когда вы его бросите, полетит так: Игра топором Сверху видим брошенный топор, сначала вращение вокруг точки поворота рядом с кулаком, но после отпускания в свободном полет, вращающийся вокруг своего центра масс.Это стабильное вращение, потому что ось вращения — это не только главная ось, но и ось с наибольшим момент инерции. Во втором и третьем примере топор также вращается вокруг основные оси, но его полет менее устойчив. Вероятно, начнется колебание. Конечно, никто никогда так не метает топор (как бы вы это сделали?). The Ось вращения не проходит через центр Масса Наконец-то я перехожу к настоящему Мир! Вы уже поняли, что любое движение можно преобразовать в чистый перевод и чистый поворот , но есть много движений, которые выглядят очень похоже на просто вращения, и почему вы должны описывать это как смесь? Представьте маятник часов, вашу поездку на карусели, циферблаты вашего смотреть.Мы назвали эти повороты «вращениями опорных точек». Я буду подробнее об этом в следующем подразделе, здесь мне нужно только указать хорошие новости: Повороты точки поворота можно описать и моментом инерции! Давайте посмотрим на теперь осмысленные повороты точки поворота.То, на что мы смотрим, вращается вокруг где-то фиксировала ось ; в поворотной точке, что не обязательно должен быть идентичен центру масс. Вот примеры: Вращения вокруг точек поворота В левом случае точка поворота совпадает с центром масс. в В правом случае точка поворота находится за пределами объекта (меча), возможно, в вашем локоть.Середина соответствует вращению запястья. Для всех трех случаев нам нужен крутящий момент. Вы можете представить, что крутящий момент будет передаваться коленчатым валом перпендикулярно к экрана и заканчивая точкой поворота. Если вы можете себе это представить, вы точно так же хорошо могу представить крутящий момент в виде стрелки в направлении коленчатого вала, «сидя» на точке поворота, длина которой пропорциональна значение приложенного крутящего момента.Именно так я описал крутящий момент в текст. Если ваши мышцы так или иначе задействованы в передавая крутящий момент, они обязательно почувствуют возрастающее сопротивление вращательное движение, если расстояние между центром масс и шарниром балл увеличивается. Мы уже знаем, что сопротивление вращению вокруг центр масс задавался моментом инерции этой оси вращения. Для вращения вокруг какой-либо другой оси или точки поворота, как показано, нам нужно использовать « теорема о параллельной оси » (« Satz von Steiner » на немецком языке), и это довольно простая теорема. В нем указано, что момент инерции для некоторая ось задается моментом инерция оси, проходящей через центр масс параллельно оси считается, плюс масса, умноженная на расстояние между осями в квадрате. Давайте посмотрим на пример: если ваши оси или точка поворота вашего 1 кг меч на на 10 см от центра масс на , вы добавляете 1 кг · (0.1 м) 2 = 0,02 кгм 2 до заданного момента инерции для центра масс. Вы не должны вникать в это. Все это означает, что на квадратично на сложнее размахивать мечом или топора с увеличением расстояния между выбранной вами опорной точкой и центр массы. Это уже объясняет, почему размахивать мечом намного проще. с определенным весом, чем топор с таким же весом. В первом случае центр масс находится недалеко от рукояти, где находится точка поворота; в во втором случае расстояние большое. Мы приближаемся к возможности чтобы обсудить «обращение» с удлиненными предметами, такими как мечи, топоры или клюшки для гольфа, «чувство», которое вы испытываете, раскачивая их, и почему маленькие различия в геометрии могут иметь большое значение. Однако прежде чем мы это сделаем, мы нужно немного глубже вникнуть в динамику этих объектов. Частично просто для развлечения, отчасти потому, что есть еще несколько полезных вещей, которые нужно изучить. Уравнения и определения для массы, плоскости и полярности Термин «момент инерции» часто используется в общем, но в зависимости от контекста и применения он может относиться к одному из три разных момента инерции: массовый, плоский или полярный. Чтобы знать, какой из них необходим для данного расчета или анализа, важно понимать различия между ними и то, как каждый из них связан с поведением объекта. Формула момента инерции масс Момент инерции массы описывает способность объекта противостоять угловому ускорению, которое зависит от того, как масса объекта распределена относительно оси вращения (т.е.д., форма объекта). Момент инерции массы обычно обозначается как «I», хотя «J» обычно используется в технических справочниках, таких как характеристики инерции двигателя или редуктора. Единицы измерения — масса-расстояние в квадрате: кгм 2 или фунт-фут 2 . (Обратите внимание, что иногда также используется slug-ft 2 .) Изображение предоставлено: brilliant.org Во многих приложениях объект моделируется как точечная масса, а момент инерции массы — это просто масса объекта, умноженная на квадрат радиуса (расстояния до оси вращения). Изображение предоставлено: brilliant.org Момент инерции массы важен для выбора двигателя, где коэффициент инерции — отношение инерции нагрузки к инерции двигателя — играет значительную роль в определении того, насколько хорошо двигатель может управлять ускорением нагрузки. и замедление. Формулы плоского и полярного моментов инерции Плоский и полярный моменты инерции подпадают под классификацию «второго момента площади». Планарный момент инерции описывает, как площадь распределена относительно базовой оси (обычно центроидальной или центральной оси).Это важно, поскольку определяет сопротивление области изгибу. Уравнение для плоского момента инерции берет второй интеграл от расстояния до плоскости отсчета, умноженный на дифференциальный элемент площади. Результат выражается в единицах длины в четвертой степени: м 4 или 4 . Изображение предоставлено: arizona.edu Полярный момент инерции аналогичен плоскому моменту инерции, но применим к цилиндрическому объекту и описывает его сопротивление кручению (скручиванию из-за приложенного крутящего момента). Уравнение для полярного момента инерции по существу такое же, как и для плоского момента инерции, но в случае полярного момента расстояние измеряется до оси, параллельной поперечному сечению области. Полярный момент инерции иногда обозначается буквой J вместо I, но его единицы такие же, как и для плоского момента инерции: m 4 или 4 . alexxlab Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт Рубрики Прост Радио Разное Своими руками Советы Схем Схемы Транзист Транзисторы Электрон Электроника