Формула момента силы в физике

Содержание:

Определение и формула момента силы

Определение

Векторное произведение радиус – вектора ($\bar{r}$), который проведен из точки О (рис.1) в точку к которой приложена сила $\bar{F}$ на сам вектор $\bar{F}$ называют моментом силы ($\bar{M}$) по отношению к точке O:

$$\bar{M}=\bar{r} \times \bar{F}(1)$$

На рис.1 точка О и вектор силы ( $\bar{F}$)и радиус – вектор $\bar{r}$ находятся в плоскости рисунка. В таком случае вектор момента силы ($\bar{M}$) перпендикулярен плоскости рисунка и имеет направление от нас. Вектор момента силы является аксиальным. Направление вектора момента силы выбирается таким образом, что вращение вокруг точки О в направлении силы и вектор $\bar{M}$ создают правовинтовую систему. Направление момента сил и углового ускорения совпадают.

Величина вектора $\bar{M}$ равна:

$$M=r F \sin \alpha=l F$$

где $\alpha$ – угол между направлениями радиус – вектора и вектора силы, $l=r \sin \alpha$– плечо силы относительно точки О.{\prime}}$ — радиус-вектор, который проведен из точки О к точке О’, $\bar{F}$ – главный вектор системы сил.

В общем случае результат действия на твердое тело произвольной системы сил такое же, как действие на тело главного момента $\bar{M}$ системы сил и главного вектора системы сил, который приложен в центре приведения (точка О).

Основной закон динамики вращательного движения

$$\bar{M}=\frac{d \bar{L}}{d t}$$

где $\bar{L}$ – момент импульса тела находящегося во вращении.

Для твердого тела этот закон можно представить как:

$$\bar{M}=I \bar{\varepsilon}(6)$$

где I – момент инерции тела, $\bar{\varepsilon}$ – угловое ускорение.

Единицы измерения момента силы

Основной единицей измерения момента силы в системе СИ является: [M]=Н•м

В СГС: [M]=дин•см

Примеры решения задач

Пример

Задание. На рис.1 показано тело, которое имеет ось вращения OO’. Момент силы, приложенный к телу относительно заданной оси, будет равен нулю? Ось и вектор силы расположены в плоскости рисунка.{\circ}$), следовательно, векторное произведение (1.1) нулю не равно. Значит, момент силы отличен от нуля.

Ответ. $\bar{M} \neq 0$

Слишком сложно?

Формула момента силы не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Задание. Угловая скорость вращающегося твердого тела изменяется в соответствии с графиком, который представлен на рис.2. В какой из указанных на графике точек момент сил, приложенных к телу равен нулю?

Решение. Момент сил, приложенных к вращающемуся твердому телу можно найти при помощи основного закона вращательного движения:

$$M=I \varepsilon(2.1)$$

где $\varepsilon$ угловое ускорение вращения тела.его в свою очередь можно выразить через угловую скорость вращения тела как:

$$\varepsilon=\frac{d \omega}{d t}(2.2)$$

Перепишем (2.1), используя (2.2), имеем:

$$M=I \frac{d \omega}{d t}(2.3)$$

Так как $I \neq 0$ (момент инерции не равен нулю), то для выполнения условия M=0 должна быть равна нулю производная от угловой скорости по времени. Производная равна нулю в экстремуме. На рис. экстремумом является точка 3.

Ответ. M=0 в точке 3.

Читать дальше: Формула мощности.

Момент силы. Момент импульса.

Пусть некоторое тело под действием силы F, приложенной в точке А, приходит во вращение вокруг оси ОО’ (рис. 1.14).

Сила действует в плоскости, перпендикулярной оси. Перпендикуляр р, опущенный из точки О (лежащей на оси) на направление силы, называют плечом силы. Произведение силы на плечо определяет модуль мо­мента силы относительно точки О:

М = Fp=Frsinα.

Момент силы

есть вектор, определяемый векторным произведением радиуса-вектора точки приложения силы и вектора силы:

(3.1)
Единица момента силы — ньютон-метр (Н • м).

Направление М можно найти с помощью правила правого винта.

Моментом импульса частицы называется векторное произведение радиус-вектора частицы на её импульс:

или в скалярном виде L = гPsinα

Эта величины векторная и совпадает по направлению с векторами ω.

 

§ 3.2 Момент инерции. Теорема Штейнера

Мерой инертности тел при поступательном движении является масса. Инертность тел при вращательном движении зависит не только от массы, но и от ее распределения в пространстве относительно оси вращения.

Мерой инертности при вращательном движении служит величина, назы­ваемая моментом инерции тела относительно оси вращения.

Моментом инерции материальной точки относительно оси враще­ния называют произведение массы этой точки на квадрат расстояния её от оси:

I_i=m_ir_i² (3.2)

Момент инерции тела относительно оси вращения называют сумму мо­ментов инерции материальных точек, из которых состоит это тело:

(3.3)

Момент инерции тела зависит от того, относительно какой оси оно вращается и как распределена масса тела по объему.

Наиболее просто определяется момент инерции тел, имеющих правильную геометрическую форму и равномерное распределение массы по объему.

· Момент инерции однородного стержняотносительно оси, проходящей через центр инерции и перпендикулярной стержню

(3.6)

· Момент инерции однородного цилиндра относительно оси, перпен­дикулярной его основанию и проходящей через центр инерции,

(3.7)

· Момент инерции тонкостенного цилиндра или обруча относительно оси, перпендикулярной плоскости его основания и проходящей через его центр,

(3.8)

· Момент инерции шара относительно диаметра

(3.9)

Приведенные формулы для моментов инерции тел даны при условии, что ось вращения проходит через центр инерции. Чтобы определить моменты инерции тела относительно произвольной оси, следует воспользоваться теоремой Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси вращения равен сумме момента инерции тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

^(3.11)

[m — масса тела, d — расстояние от центра масс до выбранной оси вра­щения (расстояние между осями)].

Единица момента инерции — килограмм-метр в квадрате (кг • м

2).

Так, момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через его конец, по теореме Штейнера равен

(3.12)

§ 3.3 Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Рассмотрим вначале материальную точку А массой m, движущуюся по окружности радиусом г (рис. 1.16). Пусть на нее действует постоянная сила F, направленная по касательной к окружности. Согласно второму закону Ньютона, эта сила вызывает тангенциальное ускорение или F = ma_τ.

Используя соотношение a_τ = βr , получаем F = m βr.

Умножим обе части написанного выше равенства на r.

Fr = m βr ². (3.13)

Левая часть выражения (3.13) является моментом силы: М= Fr. Правая часть представляет собой произведение углового ускорения β на момент инерции материальной точки А: J= m r ² .

Угловое ускорение точки при ее вращении вокруг неподвижной оси пропорционально вращающему моменту и обратно пропорционально моменту инерции (основное уравнение динамики вращательного движения материальной точки):

М = β J или (3.14)

При постоянном моменте вращающей силы угловое ускорение будет величиной постоянной и его можно выразить через разность угловых скоростей:

(3.15)

Тогда основное уравнение динамики вращательного движения можно записать в виде

или (3.16)

[ —момент импульса (или момент количества движения), МΔt — импульс момента сил (или импульс вращающего момента)].

Основное уравнение динамики вращательного движения можно записать в виде

(3.17)

 

§ 3.4 Закон сохранения момента импульса

Рассмотрим частый случай вращательного движения, когда суммарный момент внешних сил равен нулю. При вращательном движении тела каждая его частица движется с линейной скоростью υ = ωr, [r, — радиус окружности, которую описыва­ет частица массой m, ω — угловая скорость, одинаковая для всех точек тела].

Момент импульса вращающегося тела равен сумме моментов

импульсов отдельных его частиц:

(3.18)

Изменение момента импульса равно импульсу момента сил:

dL=d(Jω)=Jdω=Mdt (3.19)

Если суммарный момент всех внешних сил, действующих на систему тела относительно произвольной неподвижной оси, равен нулю, т.е. М=0, то dL и векторная сумма моментов импульсов тел системы не изменяется с течением времени.

Сумма моментов импульсов всех тел изолированной системы сохраняется неизменной (закон сохранения момента импульса):

d(Jω)=0 Jω=const (3.20)

Согласно закону сохранения момента импульса можно записать

J₁ω₁= J₂ω₂ (3.21)

где J₁ и ω₁ — момент инерции и угловая скорость в начальный момент времени, а и J₂ и ω₂ – в момент времени t.

Из закона сохранения момента импульса следует, что при М=0 в процессе вращения системы вокруг оси любое изменение расстояния от тел до оси вращения должно сопровождаться изменением скорости их обращения вокруг этой оси. С увеличением расстояния скорость вращения уменьшается, с уменьшением – возрастает. Например, гимнаст, совершающий сальто, чтобы успеть сделать в воздухе несколько оборотов, во время прыжка свёртывается клубком. Балерина или фигуристка, кружась в пируэте, разводит руки если хочет замедлить вращение, и, наоборот, прижимает их к телу, когда старается вращаться как можно быстрее.

§ 3.5 Кинетическая энергия вращающегося тела

Определим кинетическую энергию твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Разобьем это тело на n материальных точек. Каждая точка движется с линейной скоростью υ_i=ωr_i, тогда кинетическая энергия точки

или

Полная кинетическая энергия вращающегося твердого тела равна сумме кинетических энергий всех его материальных точек:

(3.22)

(J — момент инерции тела относительно оси вращения)

Если траектории всех точек лежат в параллельных плоскостях (как у цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости, каждая точка перемещается в своей плоскости рис ), это плоское движение. В соответствии с принципом Эйлера плоское движение всегда можно бесчисленным количеством способов разложить на поступательное и вращательное движение. Если шарик падает или скользит вдоль наклонной плоскости, он двигается только поступательно; когда же шарик катится – он ещё и вращается.

Если тело совершает поступательное и вращательное движения одновременно, то его полная кинетическая энергия равна

(3.23)

Из сопоставления формул кинетической энергии для поступательно­го и вращательного движений видно, что мерой инертности при враща­тельном движении служит момент инерции тела.

 

§ 3.6 Работа внешних сил при вращении твёрдого тела

При вращении твёрдого тела его потенциальная энергия не изменяется, поэтому элементарная работа внешних сил равна приращению кинетической энергии тела:

ΔA = ΔE или

Учитывая, что Jβ = M, ωdr = dφ, имеем

ΔA =MΔφ (3.24)

Работа внешних сил при повороте твёрдого тела на конечный угол φ равна

При вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси работа внешних сил определяется действием момента этих сил относительно данной оси. Если момент сил относительно оси равен нулю, то эти силы работы не производят.

Узнать еще:

Вращательное движение — dvsav.ru

Что в курсе механики (простой, не аналитической) всегда вызывало у меня удивление, так это вращательное движение, моменты сил, импульса… В этой заметке рассмотрим основные интересные вещи, связанные с вращением.

• Момент силы и момент импульса
• Момент инерции
• Сохранение момента импульса при изменяющемся моменте инерции
• Энергия поступательного и вращательного движения
• Вращательный дисбаланс
• Колесо на палке, волчок, прецессия

Литература

• Дуглас Джанколи — Физика в 2-х томах — Москва, Мир, 1989. Разделы 9,10 — Вращательное движение.

Момент силы и момент импульса

На рисунке 1 показано определение понятия «момент силы» (греческая буква тау) и «момент импульса» (буква L). Момент силы представляет собой векторное произведение силы, действующей на материальную точку, на радиус-вектор этой точки. Аналогично определяется момент импульса. Связь между моментом силы и моментом импульса мы найдем, если векторно умножим 2-й закон Ньютона для материальной точки на радиус-вектор этой точки.

Рисунок 1 — Момент силы и момент импульса. Определения.

Почему вообще вводят понятие «момент силы», «момент импульса»? Разве для того, чтобы рассчитать движение системы тел, не хватает обычных законов Ньютона? Да, не хватает. Рассматривая систему из нескольких тел (материальных точек) все силы делят на внутренние и внешние по отношению к системе. Внутренние силы действуют между телами системы, а внешние действуют на тела системы со стороны других тел, в систему не входящих. Так вот: если величины внешних сил обычно известны, то величины внутренних сил обычно неизвестны. Введение понятия момента силы позволяет исключить внутренние силы из рассмотрения, поскольку момент внутренних сил обращается в ноль благодаря тому, что силы между двумя материальными точками действуют вдоль линии их соединяющей и тому, что векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю (см. рис. 2). Остается лишь момент внешних сил, поэтому скорость изменения момента импульса системы материальных точек оказывается равной моменту внешних сил.

Рисунок 2 — Момент внутренних сил равен нулю

И все же, откуда взялась эта идея векторного произведения? Нельзя же так с бухты барахты сказать: «а возьму ка я, да умножу векторно 2-й закон Ньютона для мат. точки на ее радиус-вектор»! Я думаю, тут не обошлось без Архимедова принципа рычага и понятий работы и энергии. Действительно, работа, совершаемая силой, поворачивающей тело рычаг на некоторый угол, в точности равна модулю векторного произведения силы на ее плечо, умноженному на этот угол. И в то же время ось вращения как раз перпендикулярна плоскости в которой лежит плечо рычага и сила. Напрашивается ввести понятие момента силы, причем интуитивно понятно и то, что это вектор, и то, каким должны быть его модуль и направление.

Является ли векторное произведение вектором?

Читая учебники, с удивлением узнаю, что векторное произведение несколько отличается от привычного понятия «вектор». На пальцах это объясняют так: возьмем два вектора и их найдем векторное произведение; теперь посмотрим на их отражение в зеркале и найдем векторное произведение векторов отраженных в зеркале — мы увидим, что векторное произведение отраженных векторов направлено противоположно произведению исходных векторов. Т. е. векторное произведение при отражении ведет себя не так, как ведут себя обычные вектора. Поэтому его называют псевдовектором. Однако в классической механике это совершенно неважно, а в остальном векторное произведение ведет себя как обычный вектор, т. е. подчиняется законам коммутативности и ассоциативности сложения, дистрибутивности умножения вектора на скаляр относительно сложения векторов и другим.

Момент относительно точки и относительно оси

Приведенное выше определение — это определение момента силы и импульса относительно точки. Существуют еще понятия момента силы и импульса относительно оси. Эти понятия используются, как правило, при решении задач о вращении тела вокруг некоторой… оси. Момент относительно точки — это вектор (точнее — псевдовектор), момент относительно оси — скаляр (точнее — псевдоскаляр). Момент относительно оси — это проекция на эту ось момента относительно любой точки на оси. Момент силы относительно оси равен произведению силы на расстояние от оси до точки приложения силы (это расстояние называется плечом силы). Аналогично — с моментом импульса. Как показано в следующем разделе, ось вращения можно указать для произвольного движения тела в произвольный момент времени. Другое дело, что эта ось может менять свое направление со временем.

Как будет двигаться твердое тело, на которое не действуют внешние силы?

Этот вопрос меня интересовал. Интуитивно представляется, что это тело будет двигаться поступательно с постоянной скоростью и при этом вращаться вокруг некоторой оси. То, что скорость поступательного движения (скорость центра масс тела) постоянна, легко следует из законов Ньютона. Но как быть с вращением вокруг оси? Наличие оси вращения подразумевает наличие в теле линии, точки которой неподвижны относительно центра масс. Как доказать, что такая линия существует? На помощь приходит теорема Эйлера: Произвольное перемещение твёрдого тела, имеющего неподвижную точку, можно осуществить посредством вращения вокруг некоторой оси, проходящей через эту точку. В доказательстве показывается, что любая матрица поворота имеет собственное число равное 1, а соответствующий собственный вектор задает направление оси вращения. Также Эйлер придумал геометрический способ нахождения оси вращения. Как эта теорема поможет доказать, что тело вращается вокруг оси? А вот как: если рассмотреть бесконечно малое перемещение, которое тело совершает за бесконечно малый промежуток времени, то это перемещение, в виду его бесконечной малости, можно выполнить единственным способом и этот способ согласно теореме Эйлера представляет собой чистое вращение. Ось этого вращения называется «мгновенной осью вращения». Вектор угловой скорости направлен вдоль оси. Поскольку ось проходит через центр масс, вектор момента импульса прямо пропорционален вектору угловой скорости (об этом — ниже). А поскольку момент внешних сил равен нулю, то момент импульса не изменяется, следовательно не изменяется и вектор угловой скорости, следовательно мгновенная ось вращения не меняет своего направления со временем, что и следовало доказать. Аналогично показывается, что если на твердое тело действуют внешние силы, но момент их относительно центра масс тела равен нулю, то тело будет двигаться поступательно и вращаться с постоянной угловой скоростью вокруг некоторой оси, проходящей через его центр масс. Ось вращения будет двигаться поступательно вместе с центром масс тела.

Момент инерции

Если записать аналог 2-го закона Ньютона для тела, вращающегося вокруг оси (рис. 3), то становится очевидной аналогия между силой и моментом силы, скоростью и угловой скоростью, а также массой и некоей величиной, называемой моментом инерции. Насколько я понимаю, момент инерции задается только относительно оси, задавать момент инерции относительно точки бессмысленно. Причем момент инерции имеет смысл задавать относительно не любой оси, а именно той, вокруг которой тело вращается в данный момент. Момент инерции материальной точки относительно оси равен произведению массы этой точки на квадрат расстояния ее до оси. Проекция момента импульса тела на его мгновенную ось вращения равна произведению момента инерции на угловую скорость вращения. Соответственно проекция момента внешних сил на ось вращения равна произведению момента инерции на производную от угловой скорости по времени.
Существует довольно очевидная теорема связи моментов инерции, вычисленных относительно двух параллельных осей (одна из которых проходит через центр масс тела), находящихся на некотором расстоянии друг от друга — эта теорема проиллюстрирована на рисунке 3.

Рисунок 3 — Момент инерции относительно оси

Сохранение момента импульса при изменяющемся моменте инерции.

В учебниках в качестве примера действия закона сохранения момента импульса приводят вращающегося на льду фигуриста. На фигуриста не действует момент сил, поэтому его момент импульса не меняется. Однако фигурист может изменить угловую скорость своего вращения прижимая руки к корпусу или наоборот вытягивая их в стороны, т. е. изменяя свой момент инерции. И если с математической точки зрения тут все понятно, то с точки зрения интуиции… может быть и не очень. Раз угловая скорость повышается, то повышается тангенциальная скорость. Значит, казалось бы, на тело действует тангенциальное ускорение. Но откуда же ему взяться, если мы знаем, что никакой тангенциальной силы на тело не действует? Поэтому я решил рассмотреть эту задачу без привлечения понятия момента, используя только законы Ньютона. На рисунке 4 показана задачка вычисления зависимости скорости вращения груза на веревке, которую тянут по направлению к оси вращения. В задачке я выделяю два направления: нормальное (буква n) — к оси вращения и тангенциальное (буква тау) — по касательной к окружности, которая проходит через вращающийся груз и центр которой находится на оси вращения; эти два направления перпендикулярны друг другу. Так вот, оказывается, что хотя тангенциальная составляющая скорости груза и увеличивается по мере его приближения к оси вращения, это вовсе не означает, что существует ненулевая тангенциальная составляющая ускорения груза. Дело в том, что нормальная составляющая скорости — т. е. та скорость, с которой груз подтягивают к оси вращения, постоянно меняет свое направление, что означает наличие ускорения.

Рисунок 4 — Вращение при изменяющемся моменте инерции

Произвольное движение как сумма поступательного и вращательного

Произвольное движение тела можно описать как поступательное движение его центра масс плюс вращение вокруг оси, проходящей через центр масс. Оговоримся, что поступательное движение центра масс вовсе не обязано быть равномерным так же как ось вращения, проходящая через центр масс не обязана сохранять свое направление неизменным. Кинетическая энергия движения равна сумме кинетической энергии центра масс и кинетической энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр масс. Что понимается под обеими энергиями — показано на рисунке 5.
Аналог 2-ого закона Ньютона для вращательного движения справедлив в только инерциальной системе отсчета и в еще одной системе отсчета, которая в общем случае не является инерциальной (но является очень удобной с точки зрения представления движения в виде суммы поступательного и вращательного) — системе центра масс. Доказательство этого приведено в [Джанколи, раздел 10.5].

Рисунок 5 — Кинетическая энергия движения и момент сил и импульса в системе центра масс

Вращательный дисбаланс

Неожиданным может показаться тот факт, что в общем случае момент импульса не сонаправлен с осью вращения. Яркий пример, иллюстрирующий это — дисбаланс колес автомобиля (рис. 6). Если ось вращения не совпадает с осью симметрии вращающегося тела (предполагаем, что тело однородно), то момент импульса сам будет вращаться вокруг оси вращения, а это значит, что будет существовать момент сил (тоже вращающийся). Откуда берется момент сил? Это силы реакции опор оси вращения. Эти силы будут приводить к разбалтыванию оси, особенно, если частота вращения колеса близка к резонансной частоте колебаний оси.

Рисунок 6 — Вращательный дисбаланс

Колесо на палке, волчок, прецессия

Еще одна вещь, связанная с вращением, которая может показаться загадочной — волчок. Он, как известно, крутится и до определенного момента не падает. По мере того, как вращение волчка замедляется из-за трения, становится заметным, что его ось меняет направление — вращается (это называется прецессией). Момент силы тяжести всегда перпендикулярен моменту импульса волчка, поэтому момент импульса волчка будет поворачиваться вокруг вертикальной оси. Сам волчок никогда не стоит строго вертикально, его ось наклонена, и угол наклона зависит от момента импульса волчка. Аналогичен случай вращающегося колеса на палке (рис. 7). Несмотря на действие силы тяжести, ось колеса не повисает вертикально вниз, а начинает прецессировать. Можно рассчитать и угловую скорость прецессии. Эти примеры приведены в [Джанколи, раздел 10.9].

Рисунок 7 — Колесо на палке

Момент силы, момент импульса, момент инерции — Студопедия

Динамика твердого тела

При изучении закономерностей поступательного движения твердого тела было установлено, что основным уравнением, описывающим данный тип движения, является второй закон Ньютона. Установлено: характеристики движения тела зависят как от выбора систем отсчета, так и от интенсивности взаимодействия тела с окружающими его телами (в инерциальных системах отсчета характеристики движения определяются только взаимодействием).

Для измерения интенсивности взаимодействий использовали величину, называемую силой, а инертность при поступательных движениях оценивали массой тела. Оказывается, для вращательных движений результат взаимодействия зависит как от силы и ее направления, так и от точки приложения. В сказанном нетрудно убедиться на следующем примере: если два человека прикладывают одинаковые усилия перпендикулярно двери, то она будет вращаться в направлении той силы, точка приложения которой наиболее удалена от оси вращения. Для вращательных движений мерой взаимодействия является момент силы.

Рассмотрим понятие момента силы относительно некоторой точки . Построим вектор силы и ее линию действия (пунктирная линия на рис. 4.1.а). Проведем перпендикуляр из точки к линии действия силы, величину которого обозначим и назовем его плечом силы.

Величиной момента силы относительно точки называется произведение величины силы на ее плечо, т.е.:

. (4.1)

Единицы измерения момента силы в системе СИ – .

Для того, чтобы в дальнейшем интенсивно использовать аппарат векторной алгебры, введем понятие вектора момента силы.

Проведем из точки в точку приложения силы радиус–вектор , и назовем его радиус–вектор силы. Из рис. 4.1.а видно, что:

. (4.2.)

С учетом соотношения (4.2), равенство (4.1) примет вид:

. (4.3)

Последнее соотношение позволяет записать для вектора момента силы следующее равенство:

. (4.4)

Порядок перемножения векторов выбирают из соображений так, чтобы векторы образовывали правую тройку векторов (см. рис. 4.1.б). Направление вектора момента силы относительно точки определяется по правилу «буравчика».

Вращаем буравчик от вектора к вектору , тогда его поступательное движение указывает на направление вектора момента силы . Важно помнить, что направление вектора всегда перпендикулярно плоскости, в которой расположены векторы и , или и .

Если радиус–вектор силы задан в декартовой системе координат соотношением , а сам вектор силы как – , ( единичные вектора прямоугольной декартовой системы координат) то вектор момента силы находится следующим образом:

(4.4.а)

Кроме вектора момента силы, в динамике твердого тела часто пользуются проекцией этого вектора на некоторую ось , иначе эту величину называют моментом силы относительно оси. Выберем точку и построим векторы и так, как показано на рис. 4.2.

Из точки построим вектор момента силы , относительно этой точки. Выберем произвольно ось (см. рис. 4.2), и проведем перпендикуляр из конца вектора на ось , получим составляющую вектора по оси. Кроме того, построим плечо силы и отрезок, перпендикулярный оси и линии действия силы , величину которого обозначим и назовем плечом силы относительно оси .

Из рис. 4.2 видно, что длина составляющей связана с длиной вектора следующим соотношением , но . Подставляя из последнего равенства в предыдущее, имеем следующее соотношение для проекции момента силы на ось :

. (4.5)

Таким образом, величина проекции момента силы на ось (момент силы относительно оси ) равна произведению величины силы на ее плечо относительно оси .

Важно помнить, что последнее соотношение позволяет находить только величину проекции вектора на ось . Знак проекции определяется по рисунку. Кроме того, если вектор силы параллелен оси , или ось лежит в плоскости векторов и , то проекция вектора на эту ось равна нулю.

Важной характеристикой динамики твердого тела является момент импульса. Введем понятие момента импульса материальной точки относительно заданной точки .

Рассуждая также, как делали при построении момента вектора силы, построим вектор момента импульса (см. рис. 4.3.а), где перпендикуляр, опущенный из точки на линию действия вектора импульса есть плечо этого вектора относительно точки .

Вектор момента импульса материальной точки относительно заданной точки равен векторному произведению радиус–вектора, проведенного из точки в точку приложения импульса на вектор импульса, т.е.:

. (4.6)

Единицы измерения вектора момента импульса в системе СИ – .

Векторы образуют правую тройку векторов (см. рис. 4.3.б). Направление вектора момента импульса относительно точки определяется по правилу «буравчика». При вращении буравчика от вектора к вектору , его поступательное движение укажет на направление вектора момента импульса .

Важно помнить, что направление вектора всегда перпендикулярно плоскости, в которой расположены векторы и , или и .

Если радиус–вектор импульса задан в декартовой системе координат соотношением , а сам вектор импульса как– , то вектор момента импульса находится из соотношения:

(4.6.а)

Величина вектора момента импульса материальной точки равна произведению величины вектора импульса на его плечо, т.е.:

. (4.7)

Величина проекции момента импульса на ось (момент импульса относительно оси ) равна произведению величины импульса материальной точки на его плечо относительно оси.

Важно помнить, что последнее определение позволяет находить только величину проекции вектора на ось . Кроме того, если вектор импульса параллелен оси , или ось лежит в плоскости векторов и , то проекция вектора на эту ось равна нулю.

Введем понятие вектора момента импульса твердого тела. Момент импульса, как и большинство физических величин, является величиной аддитивной. Возьмем твердое тело и разобьем его на бесконечно малые части, такие, что размер части пренебрежимо мал по сравнению с размерами твердого тела. Определим момент импульса каждой части ( ). Момент импульса всего тела равен при этом сумме моментов всех его частей, т.е.:

. (4.8)

Таким образом мы ввели понятие величины, которая является аналогом вектора импульса твердого тела для поступательного движения.

Для поступательных движений тел мерой инертности является масса. Способность тел сохранять состояние равномерного вращения в отсутствии моментов внешних сил зависит не только от их массы, но и от конфигурации этих тел. Очевидно, что из двух маховиков с равными массами, маховик, имеющий больший радиус, обладает большей способностью сохранять равномерное вращательное движение. Для этих целей вводится понятие момента инерции.

Введем в начале понятие момента инерции материальной точки относительно заданной точки и оси .Выберем материальную точку массой . Проведем из заданной точки радиус–вектор в данную точку, расстояние от нее до оси обозначим через (см. рис. 3.4).

Моментом инерции материальной точки относительно выбранной точки называется величина, равная произведению массы материальной точки на квадрат расстояния от нее до точки , т.е.

. (4.9)

Моментом инерции материальной точки относительно оси называется величина, равная произведению массы точки на квадрат расстояния от материальной точки до оси , т.е.

. (4.10)

Единицы измерения момента инерции в системе СИ – .

Введем понятия момента инерции твердого тела, используем для этого свойство аддитивности этой величины. Разобьем твердое тело на бесконечно малых частей, найдем момент инерции каждой части относительно точки ( ).

Момент инерции твердого тела относительно точки равен сумме моментов инерции бесконечно малых его частей, т.е.:

. (4.11)

Момент инерции твердого тела относительно оси равен сумме произведений масс бесконечно малых частей на квадрат расстояний от данных частей до оси , т.е.:

. (4.12)

Чем точнее мы хотим оценить момент инерции тела с помощью указанных сумм, тем большее число бесконечно малых частей мы должны брать, поэтому точные значения моментов инерций твердого тела относительно точки и оси будут совпадать с пределами от правых частей равенств (4.10) и (4.11) при условии, что , т.е.:

, . (4.12а)

Вопросы для самоконтроля

1. Какие характеристики вращательного движения аналогичны вектору силы и вектору импульса при поступательном движении?

2. Что называется плечом вектора силы относительно точки?

3. Что называется плечом вектора силы относительно оси?

4. Дайте определение вектора момента силы относительно точки. Как вычисляется проекция момента силы на ось (величина момента силы относительно оси)?

5. В каких единицах в системе СИ измеряется момент силы?

6. Как определяется направление вектора момента силы? В каких случаях его величина равна нулю?

7. Зная, что радиус-вектор силы задан выражением , и сам вектор силы как – , запишите соотношение, по которому можно рассчитать вектор момента силы.

8. Что называется плечом вектора импульса относительно точки?

9. Что называется плечом вектора импульса относительно оси?

10. Дайте определение вектора момента импульса материальной точки относительно заданной точки. Как вычисляется проекция момента импульса материальной точки на ось (величина момента импульса относительно оси)?

11. В каких единицах в системе СИ измеряется момент силы?

12. Как определяется направление вектора момента импульса? В каких случаях его величина равна нулю?

13. Зная, что радиус-вектор импульса задан как – , и сам вектор силы как – , запишите соотношение, по которому можно рассчитать вектор момента импульса материальной точки.

14. Что понимается под свойством аддитивности?

15. Дайте определение вектора момента импульса твердого тела. Как вычисляется величина проекции момента импульса тела на ось (момент импульса относительно оси)?

16. В каких единицах в системе СИ измеряется момент импульса?

17. Что называется моментом инерции материальной точки относительно некоторой точки?

18. Дайте определение момента инерции материальной точки относительно заданной оси.

19. Сформулируйте определение момента инерции твердого тела относительно точки.

20. Как находится момент инерции тела относительно оси?

Физические основы механики

Движение материальной точки характеризуется перемещением, скоростью, ускорением. Но при вращении твердого тела все его элементы имеют разные перемещения, различные скорости. Удобно найти переменные, одинаковые для всех элементов твердого тела. Мы их, собственно, уже знаем — угол поворота, угловая скорость, угловое ускорение. Соответственно, изучая динамику вращения, вместо импульса и силы мы будем оперировать их угловыми аналогами — моментом импульса и моментом силы.

Уравнение движения. В теме 4.8 было выведено уравнение движения системы материальных точек в виде

где моменты импульса и силы определялись как

Внутренние силы между телами системы, напомним, выпали из уравнений движения. Абсолютно твердое тело можно рассматривать как систему частиц (материальных точек) с неизменными расстояниями между ними. Поэтому выписанные уравнения применимы для твердого тела, а неизменность расстояний между его точками позволяет характеризовать вращение тела вокруг неподвижной оси единственной координатой — углом поворота. Поэтому мы можем упростить приведенное выше уравнение движения. Прежде всего, нас не интересуют в данный момент напряжения, возникающие в оси. Кроме того, для описания вращения достаточно рассмотреть проекции векторов моментов импульса и силы на ось вращения.

Рис. 7.1. Момент импульса L двух шаров массы m, соединенных стержнем. Вся система вращается вокруг оси z c угловой скоростью ω

Направим ось z вдоль оси вращения и выделим в твердом теле элемент массой , положение которого характеризуется радиус-вектором (рис. 7.2).

Рис. 7.2 Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси 0z

Момент импульса этого элемента есть

Рис. 7.3. Момент импульса системы направлен вдоль оси вращения.

Радиус-вектор можно представить как сумму его проекций на ось z и плоскость ху :

где вектор лежит в плоскости вращения и направлен от оси к выделенному элементу (см. рис. 7.1). Имеем:

Первое слагаемое — вектор, направленный противоположно Поэтому оно не дает вклада в z-компоненту момента импульса. Второе слагаемое — вектор, направленный вдоль оси z. Так как

и

можем написать:

Суммируя по всем элементам тела, получаем

где

Величина называется моментом инерции тела.

Говоря о моменте инерции, всегда указывают, относительно какой именно оси вращения он определен (в данном случае — это ось z). Момент инерции того же тела относительно какой-то другой оси примет иное значение. Сохраняется только общее правило его вычисления: берется сумма по элементам массы, составляющим тело, умноженным на квадраты расстояний этих элементов массы до оси вращения.

В случае непрерывного распределения масс с плотностью сумма заменится на интеграл по всему объему тела:

Если тело однородно, то его плотность во всех точках постоянна и можно вынести из-под знака интеграла.

Записываем теперь уравнение движения в проекции на ось z :

Если момент инерции не зависит от времени, то дифференцировать нужно только угловую скорость, в результате получаем основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела в виде

Производная угловой скорости по времени — это угловое ускорение

Видео 7.1. Основное уравнение динамики вращательного движения. Демонстрация, вытекающей из него связи между угловым ускорением, моментом силы и моментом инерции

Рассмотрим теперь момент внешних сил. Разложим силу на вектор в направлении оси z и вектор, ей ортогональный:

Используя снова аналогичное разложение радиус-вектора

получаем для момента внешних сил :

Первое слагаемое равно нулю. Два следующих содержат единичный орт — вектор k, направленный вдоль оси 0z и, следовательно, не дают вклада в проекцию . Оба вектора

лежат в плоскости xy и, следовательно, последнее слагаемое направлено параллельно оси 0z. Если — угол между этими векторами, то

где — плечо силы (см. тему. 4.8). Силу

надо здесь понимать в алгебраическом смысле: она входит со знаком минус, если сила тормозит вращение.

Момент инерции. Найдем моменты инерции для простейших (геометрически правильных) форм твердого тела, масса которого равномерно распределена по объему.

Рис. 7.4. Моменты инерции различных тел

1. Момент инерции обруча относительно оси, перпендикулярной к его плоскости и проходящей через его центр.

Обруч считается бесконечно тонким, то есть толщиной обода можно пренебречь по сравнению с радиусом . Поскольку в этой системе все массы находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, можно вынести из-под знака интеграла:

где — полная масса обруча.

2. Момент инерции диска относительно оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через центр.

Диск считается бесконечно тонким, если его толщина много меньше радиуса . Момент инерции, согласно определению, величина аддитивная: момент инерции целого тела равен сумме моментов инерции его частей. Разобьем диск на бесконечно тонкие обручи радиусом и шириной (рис. 7.5).

Рис. 7.5 Вычисление момента инерции диска относительно оси z, перпендикулярной его плоскости и проходящей через центр

Площадь поверхности обруча равна произведению его длины окружности на ширину: . Поскольку масса m диска распределена равномерно, масса единицы площади равна , так что масса обруча равна

Момент инерции обруча мы уже знаем:

Осталось просуммировать моменты инерции всех таких обручей:

Такой же результат получится и для момента инерции цилиндра конечной длины относительно его продольной оси.

3. Момент инерции шара относительно его диаметра.

Поступим аналогичным образом: «нарежем» шар на бесконечно тонкие диски толщиной , находящиеся на расстоянии z от центра (рис. 7.6).

Рис. 7.6. Момент инерции шара относительно его диаметра

Радиус такого диска

Объем диска равен его площади, умноженной на толщину:

Массу диска находим, разделив массу шара на его объем и умножив на объем диска:

Момент инерции диска был найден выше. В применении к данному случаю он равен

Момент инерции шара находится интегрированием по всем таким дискам:

4. Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через его середину перпендикулярно стержню.

Пусть стержень имеет длину . Направим ось x вдоль стержня. Начало координат по условию находится в центре стержня (рис. 7.7).

Рис. 7.7. Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через его середину перпендикулярно стержню

Возьмем элемент стержня длиной , находящийся на расстоянии x от оси вращения. Его масса равна

а момент инерции

Отсюда находим момент инерции стержня:

Теорема Штейнера. В приведенных примерах оси проходят через центр масс (центр инерции) тела. Момент инерции относительно других осей вращения определяется в соответствии с теоремой Штейнера:

Рис. 7.8. К выводу теоремы Штейнера

Момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции J_C относительно параллельной оси, проходящей через центр инерции тела, и величины ma² — произведения массы тела на квадрат расстояния от центра инерции тела до выбранной оси, то есть

Продемонстрируем сначала применение теоремы Штейнера. Вычислим момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через его край перпендикулярно стержню. Прямое вычисление сводится к тому же интегралу, возникшему при вычислении момента инерции стержня относительно оси, проходящей через его середину, но взятому в других пределах:

Расстояние до оси, проходящей через центр масс, равно a = l/2. По теореме Штейнера получаем тот же результат:

Вывод теоремы Штейнера иллюстрируется рис. 7.8, 7.9

Рис. 7.9. К выводу теоремы Штейнера

Пусть одна ось проходит в направлении единичного вектора n через центр масс С твердого тела (системы тел), а другая — параллельно ей через некоторую точку 0. Из центра масс в направлении второй оси проводим ортогональный осям вектор a, который определяет положение точки 0. Радиус-векторы некоторого элемента системы массой относительно точек С и 0 обозначаем и , соответственно. Момент инерции этого элемента относительно оси С есть

где — расстояние элемента от оси. По теореме Пифагора (см. рис. 7.9).

Катет равен проекции векторов и на ось вращения, то есть

Используя эти выражения и суммируя по всем элементам системы, находим момент инерции относительно оси, проходящей через точку С, и, аналогичным образом, момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через точку 0 :

Здесь выражение для получено из простой заменой на .

Как видно из рис. 7.9, векторы и связаны между собой:

причем

так как векторы n и а ортогональны и их скалярное произведение

Тогда мы можем преобразовать выражение для :

Первое слагаемое в правой части — момент инерции относительно оси, проходящей через точку C. Третье слагаемое равно , где

— полная масса системы.

Второе слагаемое равно нулю, так как оно пропорционально радиус-вектору центра инерции относительно самого центра инерции. Окончательно:

что и требовалось доказать.

Теорема Штейнера связывает моменты инерции относительно параллельных осей. Иногда оказывается полезной другая теорема, связывающая моменты инерции относительно трех взаимно перпендикулярных осей. Однако эта теорема относится только к плоским фигурам, толщиной которых можно пренебречь по сравнению с размерами в двух других направлениях. Итак, теорема о моментах инерции плоских фигур:

Если через произвольную точку 0 плоской фигуры приведена ортогональная к фигуре ось, то момент инерции относительно этой оси равен сумме моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей, лежащих в плоскости фигуры и проходящих через эту же точку 0.

Иными словами, берем на фигуре произвольную точку 0 и проводим координатные оси так, чтобы 0x и 0y лежали в плоскости фигуры. Тогда, согласно теореме, момент инерции относительно оси 0z равен сумме моментов инерции относительно осей 0x и 0y:

При этом расположение осей 0x, 0y может быть произвольным; главное, чтобы они лежали в плоскости фигуры (рис. 7.10).

Рис. 7.10. Моменты инерции плоской фигуры относительно взаимно перпендикулярных осей

Из рисунка видно, что

что и требовалось доказать.

Найдем, например, момент инерции диска относительно его диаметра. Два ортогональных диаметра диска равноправны, поэтому

Согласно теореме о плоской фигуре

откуда

Теперь можно применить теорему Штейнера, чтобы найти, например, момент инерции относительно оси , параллельной диаметру и проходящей через край диска (см. рис. 7.10):

30 Момент импульса материальной точки

Момент импульса материальной точки

При сравнении законов вращательного и поступательного движений просматривается аналогия между ними, только во вращательном движении вместо силы «выступает» ее момент, роль массы «играет» момент инерции. Какая же величина будет аналогом импульса тела? Ею является момент импульса тело относительно оси.

Моментом импульса (количества движения, кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количество вращательного движения. Векторная величина, вызывающая вращательное движение тела (материальной точки), зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение. Замечание: момент импульса относительно точки — это псевдовектор, а момент импульса относительно оси — скалярная величина.

                                                                                                           (1),

где  – радиус-вектор, определяющий положение частицы относительно точки О, а  – импульс частицы. – псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от   к .

                                                                                            (2),

где α – угол между векторами   и , можно представить в виде произведения плеча l импульса на модуль вектора  (рис. 1):

                                                                                                                (3)

Рекомендуемые файлы

Рисунок 1.

Выясним, от чего зависит изменение момента импульса частицы. С этой целью продифференцируем выражение (1) по времени:

                                                                                           (4)

                                                                                                           (4)

Это выражение – еще одна форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса  твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.

Согласно второму закону Ньютона  – результирующей сил, действующих на частицу. По определению , поэтому можно написать,

                                                                                          (5)

Второе слагаемое является векторным произведением коллинеарных векторов и поэтому равно нулю. Первое слагаемое представляет собой момент силы  относительно той же точки, относительно которой взят момент импульса . Следовательно, мы приходим к соотношению

                                                                                                                     (6),

согласно которому  скорость изменения момента импульса со временем равна суммарному моменту сил, действующих на частицу.

Рассмотрим систему частиц, на которые действуют как внутренние, так и внешние силы. Моментом импульса  системы относительно точки О называется сумма моментов импульса  отдельных частиц:

_.                                                                                                 (7)

Дифференцирование по времени дает, что

                                                                                                             (8)

В соответствии с (6) для каждой из частиц можно написать равенство:

                                                                                     (9),

где  – момент внутренних сил, а  – момент внешних сил, действующих на i-ю частицу. Подстановка этих равенств в (8) приводит к соотношению

                                                                           (10)

Вместе с этой лекцией читают «Закон конгруэнтности Карла Роджерса».

Каждое из этих слагаемых в этих суммах представляет собой сумму моментов сил, действующих на  i-ю частицу. Суммирование осуществляется по частицам. Если перейти к суммированию по отдельным силам, независимо от того к какой из частиц они приложены, индекс_{i  можно опустить.}

Так как суммарный момент внутренних сил равен нулю, окончательно получаем, что

                                                                                                   (11)

Если система замкнута (т.е. внешних сил нет), правая часть равенства (11)  равна нулю и, следовательно, вектор  не изменяется со временем. Отсюда вытекает закон сохранения момента импульса, который гласит: момент импульса замкнутой системы материальных точек сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени. Разумеется,  будет оставаться  постоянным и момент импульса замкнутой системы относительно любой оси, проходящей через точку О. Момент импульса сохраняется и для незамкнутой системы, если сумма моментов внешних сил равна нулю.

Закон сохранения момента импульса – фундаментальный закон природы. Он связан со свойством симметрии пространства – его изотропностью, т.е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол).

Момент силы через момент инерции

В динамике поступательного движения материальной точки кроме кинематических характеристик вводились понятия силы и массы. При изучении динамики вращательного движения вводятся физические вели­чины — момент сил и момент инерции, физический смысл которых рас­кроем ниже.

Пусть некоторое тело под действием силы , приложенной в точке А, приходит во вращение вокруг оси ОО’ (рисунок 5.1).

Рисунок 5.1 – К выводу понятия момента силы

Сила действует в плоскости, перпендикулярной оси. Перпендикуляр р, опущенный из точки О (лежащей на оси) на направление силы, назы­вают плечом силы. Произведение силы на плечо определяет модуль мо­мента силы относительно точки О:

(5.1)

Момент силы есть вектор, определяемый векторным произведением радиуса-вектора точки приложения силы и вектора силы:

(5.2)

Единица момента силы — ньютон-метр (Н . м). Направление вектора момента силы находиться с помощью пра­вила правого винта.

Мерой инертности тел при поступательном движении является масса. Инертность тел при вращательном движении зависит не только от массы, но и от ее распределения в пространстве относительно оси вращения. Мерой инертности при вращательном движении служит величина, назы­ваемая моментом инерции тела относительно оси вращения.

Момент инерции материальной точки относительно оси враще­ния — произведение массы этой точки на квадрат расстояния от оси:

(5.3)

Момент инерции тела относительно оси вращения — сумма мо­ментов инерции материальных точек, из которых состоит это тело:

(5.4)

В общем случае, если тело сплошное и представляет собой совокуп­ность точек с малыми массами dm, момент инерции определяется интег­рированием:

, (5.5)

где r — расстояние от оси вращения до элемента массой dm.

Если тело однородно и его плотность ρ = m/V, то момент инерции тела

(5.6)

Момент инерции тела зависит от того, относительно какой оси оно вращается и как распределена масса тела по объему.

Наиболее просто определяется момент инерции тел, имеющих пра­вильную геометрическую форму и равномерное распределение массы по объему.

Момент инерции однородного стержня относительно оси, прохо­дящей через центр инерции и перпендикулярной стержню,

(5.7)

Момент инерции однородного цилиндра относительно оси, перпен­дикулярной его основанию и проходящей через центр инерции,

(5.8)

Момент инерции тонкостенного цилиндра или обруча относи­тельно оси, перпендикулярной плоскости его основания и проходящей через его центр,

(5.9)

Момент инерции шара относительно диаметра

(5.10)

Определим момент инерции диска относительно оси, проходящей че­рез центр инерции и перпендикулярной плоско­сти вращения. Пусть масса диска – m, а его радиус – R.

Площадь кольца (рисунок 5.2), заключенного между r и , равна .

Рисунок 5.2 – К выводу момента инерции диска

Площадь диска . При постоянной толщине кольца,

откуда или .

Тогда момент инерции диска,

(5.11)

Для наглядности на рисунке 5.3 изображены однородные твердые тела различной формы и указаны моменты инерции этих тел относительно оси, проходящей через центр масс.

Рисунок 5.3 – Моменты инерции I_C некоторых однородных твердых тел.

Теорема Штейнера

Приведенные выше формулы для моментов инерции тел даны при усло­вии, что ось вращения проходит через центр инерции. Чтобы определить моменты инерции тела относительно произвольной оси, следует восполь­зоваться теоремой Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси вращения равен сумме момента инерции J _{отно­сительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инер­ции тела, и величины md} 2 :

(5.12)

где m — масса тела, d — расстояние от центра масс до выбранной оси вра­щения. Единица момента инерции — килограмм-метр в квадрате (кг . м 2 ).

Так, момент инерции однородного стержня длиной l относительно оси, про­ходящей через его конец, по теореме Штейнера равен

(5.13)

Дата добавления: 2017-01-08 ; просмотров: 24860 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Вращательное движение — вид механического движения. При вращательном движении абсолютно твёрдого тела его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Центры всех окружностей лежат при этом на одной прямой, перпендикулярной к плоскостям окружности и называемой осью вращения. Ось вращения может располагаться внутри тела и за его пределами. Ось вращения может быть подвижной и неподвижной.

Аналогия между параметрами кинематики и динамики:

S	ϕR	путь
V	ω	Скорость – угловая скорость
a	β	Ускорение – угловое ускорение
F	M=I*β	Сила – момент силы
m	I=km	Масса – момент инерции
P=mV	L=p*l	Импульс – момент импульса
A=F*S	A=M*ϕ	Работа
W=	W=	Энергия

Момент инерции механической системы относительно неподвижной оси a («осевой момент инерции») — физическая величина Ja, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

где: — масса i-й точки, — расстояние от i-й точки до оси.

Осевой момент инерции тела Ja является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси a подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

Теорема Штейнера

Момент инерции твёрдого тела вокруг произвольной оси равен моменту инерции тела вокруг оси, проходящей через центр массы данного тела параллельно данной оси, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями.

Момент силы. Основной закон динамики вращательного движения.

Момент силы— векторная физическая величина, равная произведению радиус-вектора, проведенного от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.

В физике момент силы можно понимать как «вращающая сила». В системе СИ единицами измерения для момента силы является ньютон-метр.

Основным законом динамики вращательного движения является связь момента силы М с моментом инерции и угловым ускорением β:

Работа при вращательном движении тела

– момент силы относительно оси вращения z.

– векторное произведение.

Кинетическая энергия при вращательном движении

– момент инерции твердого тела, относительно оси z.

Моментом инерции материальной точки называется величина:

Величина I зависит от положения оси вращения и от распределения масс в теле.

Момент импульса. Закон сохранения момента импульса.

Момент импульса характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Замечание: момент импульса относительно точки — это псевдовектор, а момент импульса относительно оси — скалярная величина.

Следует учесть, что вращение здесь понимается в широком смысле, не только как регулярное вращение вокруг оси. Например, даже при прямолинейном движении тела мимо произвольной воображаемой точки, оно также обладает моментом импульса. Наибольшую роль момент импульса играет при описании собственно вращательного движения.

Момент импульса замкнутой системы сохраняется.

Момент импульса частицы относительно некоторого начала отсчёта определяется векторным произведением ее радиус-вектора и импульса:

где — радиус-вектор частицы относительно выбранного неподвижного в данной системе отсчета начала отсчёта, — импульс частицы.

В системе СИ момент импульса измеряется в единицах джоуль-секунда; Дж·с.

Моментом импульса вращающегося тела называют физическую величину, равную произведению момента инерции тела I на угловую скорость ω его вращения. Момент импульса обозначается буквой L:

Поскольку уравнение вращательного движения можно представить в виде:

Окончательно будем иметь:

Это уравнение, полученное здесь для случая, когда I = const, справедливо и в общем случае, когда момент инерции тела изменяется в процессе движения.

Если суммарный момент M внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то момент импульса L = Iω относительно данной оси сохраняется:

ΔL = 0, если M = 0.

Это и есть закон сохранения момента импульса. Иллюстрацией этого закона может служить неупругое вращательное столкновение двух дисков, насажанных на общую ось

Неупругое вращательное столкновение двух дисков.

Закон сохранения момента импульса: = ( + )ω

Дата добавления: 2018-08-06 ; просмотров: 668 ; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ

Момент силы (синонимы: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент) — векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора (проведённого от оси вращения к точке приложения силы — по определению), на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело. В физике момент силы можно понимать как «вращающая сила». В Международной системе единиц (СИ) единицей измерения момента силы является ньютон-метр. Момент силы иногда называют моментом пары сил, это понятие возникло в трудахАрхимеда над рычагами. В простейшем случае, если сила приложена к рычагу перпендикулярно ему, момент силы определяется как произведение величины этой силы на расстояние до оси вращения рычага. Например, сила в 3 ньютона, приложенная к рычагу на расстоянии 2 метров от его оси вращения, создаёт такой же момент, что и сила в 1 ньютон, приложенная к рычагу на расстоянии 6 метров до оси вращения. Более точно, момент силы частицы определяется как векторное произведение:

где — сила, действующая на частицу, а—радиус-вектор частицы.

Моме́нт и́мпульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количествовращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Замечание: момент импульса относительно точки — это псевдовектор, а момент импульса относительно оси — псевдоскаляр.

Момент импульса замкнутой системы сохраняется.

Момент инерции — скалярная (в общем случае — тензорная) физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения в Международной системе единиц (СИ): кг·м².

Обозначение: I или JМоментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина J_a, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

,

11. Зако́н сохране́ния моме́нта и́мпульса (закон сохранения углового момента) — один из фундаментальных законов сохранения. Математически выражается через векторную сумму всех моментов импульса относительно выбранной оси для замкнутой системы тел и остается постоянной, пока на систему не воздействуют внешние силы. В соответствии с этиммомент импульса замкнутой системы в любой системе координат не изменяется со временем.

Закон сохранения момента импульса есть проявление изотропности пространства относительно поворота.

В упрощённом виде: , если система находится в равновесии.

16.Постулаты специальной теории относительности.

Специальная теория относительности (СТО; также частная теория относительности) — теория, описывающая движение, законымеханики и пространственно-временные отношения при произвольных скоростях движения, меньших скорости света в вакууме, в том числе близких к скорости света. В рамках специальной теории относительности классическая механика Ньютона является приближением низких скоростей. Обобщение СТО для гравитационных полей называется общей теорией относительности.

Механика

ньютонов — В чем разница, когда мы измеряем крутящий момент / угловой момент относительно точки и вокруг оси?

Прежде чем вы прочитаете оставшуюся часть моего ответа, вы должны знать, что, строго говоря, мы всегда вычисляем крутящий момент относительно ТОЧКИ. Но есть способ найти крутящий момент вокруг оси, при условии, что ось является осью вращения. Но когда вы обнаруживаете крутящий момент вокруг точки, вам даже не нужно никакого вращательного движения.

Поскольку у вас возникли проблемы с пониманием того, что такое крутящий момент вокруг точки, рассмотрите эти ситуации.

1. Вы стоите в центре круговой трассы, а вокруг вас крутится машина.

2. Вы ждете перехода через дорогу. Вдруг мимо вас проносится машина. Автомобиль на самом деле не вращается и не вращается вокруг вас. Но, чтобы понаблюдать за машиной, нужно повернуть голову.

В этих двух ситуациях, учитывая, что автомобиль движется с увеличивающейся скоростью, у него будет угловой момент относительно точки наблюдения. Поскольку я упоминал, что автомобиль движется с увеличивающейся скоростью, мы знаем, что трение вызывает ускорение автомобиля.Таким образом, можно сказать, что угловой момент автомобиля изменяется из-за момента силы трения, действующей на автомобиль относительно точки (вы «точка»)

---

Сначала позвольте мне рассказать вам, как рассчитать крутящий момент, а затем я скажу вам, когда применять какой метод.

Чтобы вычислить крутящий момент силы, действующей на тело относительно любой точки, мы выполняем операцию $ \ vec {\ tau} $ = $ \ vec {R} $ × $ \ vec {F} $, где,

$ \ vec {F} $ — вектор силы, $ \ vec {R} $ — радиус-вектор, который начинается от вашей контрольной точки и продолжается к точке приложения силы.

Выполняя перекрестное произведение, вы получите направление крутящего момента из-за этой силы. Но вам нужно использовать правило большого пальца правой руки, чтобы получить «эффект вращения», вызванный крутящим моментом. Если вы решаете задачи в области механики, часто легче найти величину действующего крутящего момента, используя T = Приложенная сила * Перпендикулярная составляющая расстояния от исходной точки до точки приложения. Чтобы получить «эффект вращения», вызванный крутящим моментом, вы можете просто представить в своей голове, как приложенная сила на самом деле заставит тело изменить свой угловой момент.

Теперь, чтобы найти момент силы вокруг оси,

1. Выберите любую точку на оси

2. Найдите крутящий момент силы относительно этой точки, используя метод, описанный выше.

3. После того, как вы нашли перекрестное произведение, возьмите компонент вектора крутящего момента ПО ВСЕЙ направлению линии. Это даст вам крутящий момент силы вокруг оси.

Когда какой метод использовать …

Для большинства стандартных проблем механики, с которыми вы можете столкнуться, вы в основном будете иметь дело с твердыми телами, такими как катящиеся сферы, цилиндры, диски и т. Д.Допустим, сфера катится, не скользя по земле. Предположим, что он имеет угловое ускорение. Теперь единственным источником этого углового ускорения будет сила трения земли о сферу. Здесь вы можете взять момент трения относительно центра масс сферы или вокруг оси, проходящей через центр, вокруг которой она вращается. Это не имеет значения, так как крутящий момент будет таким же. Здесь обратите внимание, что крутящий момент вокруг центра масс будет таким же простым, как вычисление крутящего момента вокруг оси, взяв произвольную точку на оси в качестве самого центра.Нам не нужно снова брать какие-либо составляющие этого крутящего момента.

Теперь позвольте мне подойти к тому моменту, когда удобно найти крутящий момент относительно точки. Давайте возьмем тот же пример катящейся сферы, но на этот раз она также скользит по земле. Если мы выберем любую произвольную стационарную точку на земле, линия действия силы трения пройдет через эту точку. Таким образом, момент трения о сфере вокруг этой точки равен нулю. Таким образом, угловой момент сферы вокруг этой точки будет сохраняться.Таким образом, мы можем очень быстро вычислить, например, угловую скорость сферы как функцию скорости ее центра.

Этот метод на самом деле чрезвычайно эффективен, так как не нужно даже знать величину или направление действующего трения. Вы можете просто вслепую сохранить угловой момент при условии, что чистый внешний крутящий момент на сфере равен нулю. Я рекомендую вам решить ту же ситуацию, используя стандартные законы Ньютона. Возможно, вам придется решить около 4 линейных уравнений, чтобы получить тот же ответ.Обратите внимание, что здесь мы нашли крутящий момент вокруг точки, а не вокруг оси вращения

.

домашних заданий и упражнений — Определение момента количества движения относительно оси и сохранение момента количества движения относительно оси

Угловой момент — это вектор с величиной и направлением.

Для общей трехмерной формы, вращающейся в пространстве с вектором скорости вращения $ \ boldsymbol {\ omega} $, он рассчитывается по

$$ \ boldsymbol {L} = \ mathbf {I} \, \ boldsymbol {\ omega} $$

$$ \ pmatrix {L_x \\ L_y \\ L_z} = \ begin {bmatrix} I_ {xx} & I_ {xy} & I_ {xz} \\ I_ {xy} & I_ {yy} & I_ {yz} \\ I_ {xz} & I_ {yz} & I_ {zz} \ end {bmatrix} \ pmatrix {\ omega_x \\ \ omega_y \\ \ omega_z} \ tag {1} $$

, где симметричная матрица 3 × 3 $ \ mathbf {I} $ — это тензор массового момента инерции, выраженный в той же ориентации, что и $ \ boldsymbol {\ omega} $.

Теперь, чтобы сказать, что (скалярный) угловой момент должен сохраняться вдоль определенного направления, скажем, $ \ boldsymbol {n} $ означает, что

$$ L_n = \ boldsymbol {n} \ cdot \ boldsymbol {L} = n_x L_x + n_y L_y + n_z L_z = \ text {(const)} \ tag {2} $$

Вот и все. Я предполагаю, что вектор $ \ boldsymbol {n} $ является единичным вектором выше, чтобы правильно спроецировать вектор импульса в целевом направлении и получить его величину.

Вы можете интерпретировать это как $ L_n = \ | \ boldsymbol {L} \ | \ cos \ theta $, где угол $ \ theta $ — это угол между вектором $ \ boldsymbol {L} $ и вектором $ \ boldsymbol {n} $.

Указанное выше значение углового момента относится только к центру масс. Чтобы измерить угловой момент около в любой другой точке , вам понадобится закон преобразования, так же как вам нужен закон преобразования для скоростей

.

$$ \ boldsymbol {L} _A = \ boldsymbol {L} _O + \ boldsymbol {r} _ {O / A} \ times \ boldsymbol {p} $$, где $ \ boldsymbol {p} = m \, \ boldsymbol {v} _O $ — вектор линейного импульса, а $ \ boldsymbol {r} _ {O / A} $ — положение O относительно контрольной точки A .Вы интерпретируете это как то, что при измерении от любой точки, удаленной от центра масс, угловой момент увеличивается по мере удаления массы.

11.2 Угловой момент | Университетская физика, том 1,

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Опишите векторную природу углового момента
• Найдите полный угловой момент и крутящий момент относительно заданного источника системы частиц
• Вычислить угловой момент твердого тела, вращающегося вокруг фиксированной оси
• Расчет крутящего момента на твердом теле, вращающемся вокруг фиксированной оси
• Использование сохранения углового момента при анализе объектов, изменяющих скорость вращения

Почему Земля продолжает вращаться? С чего все завелось? Почему гравитационное притяжение Земли не приближает Луну к Земле? И как фигуристке удается вращаться все быстрее и быстрее, просто втягивая в себя руки? Почему ей не нужно прикладывать крутящий момент, чтобы вращаться быстрее?

Ответ в новом сохраняемом количестве, поскольку все эти сценарии находятся в закрытых системах.Эта новая величина, угловой момент, аналогична импульсу. В этой главе мы сначала определяем, а затем исследуем угловой момент с различных точек зрения. Однако сначала мы исследуем угловой момент отдельной частицы. Это позволяет нам развить угловой момент для системы частиц и для твердого тела, имеющего цилиндрическую симметрию.

Угловой момент отдельной частицы

(рисунок) показывает частицу в позиции [латекс] \ overset {\ to} {r} [/ latex] с линейным импульсом [латекс] \ overset {\ to} {p} = m \ overset {\ to} { v} [/ latex] относительно происхождения.Даже если частица не вращается вокруг начала координат, мы все равно можем определить угловой момент в терминах вектора положения и линейного момента.

Угловой момент частицы

Угловой момент [latex] \ overset {\ to} {l} [/ latex] частицы определяется как перекрестное произведение [latex] \ overset {\ to} {r} [/ latex] и [латекс] \ overset {\ to} {p} [/ latex] и перпендикулярен плоскости, содержащей [латекс] \ overset {\ to} {r} [/ latex] и [латекс] \ overset {\ to} {p}: [/ latex]

[латекс] \ overset {\ to} {l} = \ overset {\ to} {r} \, × \, \ overset {\ to} {p}.[/ латекс]

Рисунок 11.9 В трехмерном пространстве вектор положения [latex] \ overset {\ to} {r} [/ latex] определяет местонахождение частицы в плоскости xy с линейным импульсом [latex] \ overset {\ to} {p} [/ латекс]. Угловой момент относительно начала координат равен [latex] \ overset {\ to} {l} = \ overset {\ to} {r} \, × \, \ overset {\ to} {p} [/ latex], который находится в z-направлении. Направление [латекса] \ overset {\ to} {l} [/ latex] задается правилом правой руки, как показано.

Намерение выбрать направление углового момента перпендикулярно плоскости, содержащей [латекс] \ overset {\ to} {r} [/ latex] и [latex] \ overset {\ to} {p} [/ latex ] аналогичен выбору направления крутящего момента, которое должно быть перпендикулярно плоскости [латекса] \ overset {\ to} {r} \, \ text {and} \, \ overset {\ to} {F}, [/ latex ], как описано в разделе «Вращение с фиксированной осью».{2} \ text {/} \ text {s} [/ latex].

Как и в случае с определением крутящего момента, мы можем определить плечо рычага [латекс] {r} _ {\ perp} [/ latex], которое представляет собой перпендикулярное расстояние от вектора импульса [латекс] \ overset {\ to} {p} [/ latex] в источник, [latex] {r} _ {\ perp} = r \, \ text {sin} \, \ theta. [/ latex] При таком определении величина углового момента становится

[латекс] l = {r} _ {\ perp} p = {r} _ {\ perp} мв. [/ латекс]

Мы видим, что если направление [latex] \ overset {\ to} {p} [/ latex] таково, что он проходит через начало координат, то [latex] \ theta = 0, [/ latex] и угловой момент равен нулю, потому что плечо рычага равно нулю.В этом отношении величина углового момента зависит от выбора начала координат.

Если мы возьмем производную от углового момента по времени, то получим выражение для крутящего момента на частице:

[латекс] \ frac {d \ overset {\ to} {l}} {dt} = \ frac {d \ overset {\ to} {r}} {dt} \, × \, \ overset {\ to} {p} + \ overset {\ to} {r} \, × \, \ frac {d \ overset {\ to} {p}} {dt} = \ overset {\ to} {v} \, × \, m \ overset {\ to} {v} + \ overset {\ to} {r} \, × \, \ frac {d \ overset {\ to} {p}} {dt} = \ overset {\ to} { r} \, × \, \ frac {d \ overset {\ to} {p}} {dt}.[/ латекс]

Здесь мы использовали определение [latex] \ overset {\ to} {p} [/ latex] и тот факт, что вектор, пересекающийся сам с собой, равен нулю. Согласно второму закону Ньютона [латекс] \ frac {d \ overset {\ to} {p}} {dt} = \ sum \ overset {\ to} {F}, [/ latex] чистая сила, действующая на частицу, и определение чистого крутящего момента, мы можем написать

[латекс] \ frac {d \ overset {\ to} {l}} {dt} = \ sum \ overset {\ to} {\ tau}. [/ латекс]

Обратите внимание на сходство с линейным результатом второго закона Ньютона, [латекс] \ frac {d \ overset {\ to} {p}} {dt} = \ sum \ overset {\ to} {F} [/ latex].Следующая стратегия решения проблем может служить руководством для расчета углового момента частицы.

Стратегия решения проблем: угловой момент частицы

1. Выберите систему координат, относительно которой необходимо вычислить угловой момент.
2. Запишите радиус-вектор точечной частицы в обозначении единичного вектора.
3. Запишите вектор импульса частицы в обозначении единичного вектора.
4. Возьмите перекрестное произведение [латекс] \ overset {\ to} {l} = \ overset {\ to} {r} \, × \, \ overset {\ to} {p} [/ latex] и используйте правый- правило руки, чтобы установить направление вектора момента количества движения.
5. Посмотрите, есть ли зависимость от времени в выражении вектора углового момента. Если есть, то существует крутящий момент относительно начала координат, и используйте [latex] \ frac {d \ overset {\ to} {l}} {dt} = \ sum \ overset {\ to} {\ tau} [/ latex ] для расчета крутящего момента. Если в выражении для углового момента нет зависимости от времени, то чистый крутящий момент равен нулю.

Пример

Угловой момент и крутящий момент на метеоре

Метеор входит в атмосферу Земли ((Рисунок)) и кто-то наблюдает за ним на земле, прежде чем он сгорит в атмосфере.{2} (\ text {-} \ hat {j}) [/ latex] вдоль его пути, который для наших целей можно принять за прямую линию. (а) Каков угловой момент метеора относительно начала координат, которое находится в месте нахождения наблюдателя? б) Каков момент вращения метеора относительно начала координат?

Рисунок 11.10 Наблюдатель на земле видит метеор в позиции [latex] \ overset {\ to} {r} [/ latex] с линейным импульсом [latex] \ overset {\ to} {p} [/ latex] .

Стратегия

Мы разлагаем ускорение на компоненты x и y и используем кинематические уравнения для выражения скорости как функции ускорения и времени.Мы вставляем эти выражения в линейный импульс, а затем вычисляем угловой момент, используя перекрестное произведение. Поскольку векторы положения и импульса находятся в плоскости xy , мы ожидаем, что вектор углового момента будет располагаться вдоль оси z . Чтобы найти крутящий момент, мы берем производную по времени от углового момента.

Решение

Метеор входит в атмосферу Земли под углом [latex] 90,0 \ text {°} [/ latex] ниже горизонтали, поэтому компоненты ускорения в направлениях x и y равны

[латекс] {a} _ {x} = 0, \ enspace {a} _ {y} = — 2.{5} \ text {N} · \ text {m} \ hat {k}. [/ латекс]

Единицы крутящего момента даны как ньютон-метры, не путать с джоулями. В качестве проверки отметим, что плечо рычага является компонентом x вектора [латекс] \ overset {\ to} {\ text {r}} [/ latex] на (Рис. {2}) (\ text {-} \ hat {j}) = 30.{5} \, \ text {N} · \ text {m} (\ text {-} \ hat {k}). \ Hfill \ end {array} [/ latex]

Значение

Поскольку метеор ускоряется вниз к Земле, его радиус и вектор скорости изменяются. Следовательно, поскольку [latex] \ overset {\ to} {l} = \ overset {\ to} {r} \, × \, \ overset {\ to} {p} [/ latex], угловой момент изменяется как функция времени. Крутящий момент на метеоре относительно начала координат, однако, постоянен, потому что плечо рычага [латекс] {\ overset {\ to} {r}} _ {\ perp} [/ латекс] и сила, действующая на метеор, являются постоянными.Этот пример важен тем, что он показывает, что угловой момент зависит от выбора начала координат, относительно которого он рассчитывается. Методы, использованные в этом примере, также важны для определения углового момента для системы частиц и твердого тела.

Проверьте свое понимание

Протон, вращающийся вокруг магнитного поля, совершает круговое движение в плоскости бумаги, как показано ниже. Круговой путь имеет радиус 0,4 м, а скорость протона [латекс] 4.{2} \ text {/} \ text {s} \ hat {k} [/ latex]

Угловой момент системы частиц

Угловой момент системы частиц важен во многих научных дисциплинах, одной из которых является астрономия. Рассмотрим спиральную галактику, вращающийся остров звезд, подобный нашему Млечному Пути. Отдельные звезды можно рассматривать как точечные частицы, каждая из которых имеет свой угловой момент. Векторная сумма отдельных угловых моментов дает полный угловой момент галактики. В этом разделе мы разрабатываем инструменты, с помощью которых мы можем вычислить полный угловой момент системы частиц.

В предыдущем разделе мы ввели угловой момент отдельной частицы около заданной точки начала координат. Выражение для этого углового момента: [latex] \ overset {\ to} {l} = \ overset {\ to} {r} \, × \, \ overset {\ to} {p}, [/ latex], где вектор [latex] \ overset {\ to} {r} [/ latex] — это значение от начала координат до частицы, а [latex] \ overset {\ to} {p} [/ latex] — это линейный импульс частицы. Если у нас есть система из N частиц, каждая из которых имеет вектор положения от начала координат, заданное [latex] {\ overset {\ to} {r}} _ {i} [/ latex], и каждая имеет импульс [latex] { \ overset {\ to} {p}} _ {i}, [/ latex] тогда полный угловой момент системы частиц относительно начала координат равен векторной сумме индивидуальных угловых моментов относительно начала координат.То есть

[латекс] \ overset {\ to} {L} = {\ overset {\ to} {l}} _ {1} + {\ overset {\ to} {l}} _ {2} + \ cdots + { \ overset {\ to} {l}} _ {N}. [/ латекс]

Аналогично, если частица и подвергается действию чистого крутящего момента [латекс] {\ overset {\ to} {\ tau}} _ {i} [/ latex] относительно начала координат, то мы можем найти чистый крутящий момент относительно происхождение за счет системы частиц путем дифференцирования (рисунок):

[латекс] \ frac {d \ overset {\ to} {L}} {dt} = \ sum _ {i} \ frac {d {\ overset {\ to} {l}} _ {i}} {dt } = \ sum _ {i} {\ overset {\ to} {\ tau}} _ {i}.[/ латекс]

Сумма отдельных крутящих моментов создает чистый внешний крутящий момент в системе, который мы обозначаем [латекс] \ sum \ overset {\ to} {\ tau}. [/ latex] Таким образом,

[латекс] \ frac {d \ overset {\ to} {L}} {dt} = \ sum \ overset {\ to} {\ tau}. [/ латекс]

(рисунок) утверждает, что скорость изменения полного углового момента системы равна чистому внешнему крутящему моменту, действующему на систему, когда обе величины измеряются относительно данного источника. (рисунок) может применяться к любой системе, имеющей чистый угловой момент, включая твердые тела, как обсуждается в следующем разделе.

Пример

Угловой момент трех частиц

Ссылаясь на (Рисунок) (а), определите полный угловой момент трех частиц около начала координат. б) Какова скорость изменения углового момента?

Рис. 11.11 Три частицы в плоскости xy с разными векторами положения и импульса.

Стратегия

Запишите векторы положения и импульса для трех частиц. Вычислите отдельные угловые моменты и сложите их как векторы, чтобы найти полный угловой момент.{2} \ text {/} \ text {s} \ hat {k}. [/ латекс]

Отдельные силы и рычаги

[латекс] \ begin {array} {c} {\ overset {\ to} {r}} _ {1 \ perp} = 1.0 \, \ text {m} \ hat {j}, \ enspace {\ overset { \ to} {F}} _ {1} = — 6.0 \, \ text {N} \ hat {i}, \ enspace {\ overset {\ to} {\ tau}} _ {1} = 6.0 \ text { N} · \ text {m} \ hat {k} \ hfill \\ {\ overset {\ to} {r}} _ {2 \ perp} = 4.0 \, \ text {m} \ hat {i}, \ Enspace {\ overset {\ to} {F}} _ {2} = 10.0 \, \ text {N} \ hat {j}, \ enspace {\ overset {\ to} {\ tau}} _ {2} = 40.0 \, \ text {N} · \ text {m} \ hat {k} \ hfill \\ {\ overset {\ to} {r}} _ {3 \ perp} = 2.0 \, \ text {m} \ hat {i}, \ enspace {\ overset {\ to} {F}} _ {3} = — 8.0 \, \ text {N} \ hat {j}, \ enspace { \ overset {\ to} {\ tau}} _ {3} = — 16.0 \, \ text {N} · \ text {m} \ hat {k}. \ hfill \ end {array} [/ latex]

Следовательно:

[латекс] \ sum _ {i} {\ overset {\ to} {\ tau}} _ {i} = {\ overset {\ to} {\ tau}} _ {1} + {\ overset {\ to } {\ tau}} _ {2} + {\ overset {\ to} {\ tau}} _ {3} = 30 \, \ text {N} · \ text {m} \ hat {k}. [/ латекс]

Значение

Этот пример иллюстрирует принцип суперпозиции для углового момента и момента системы частиц.Необходимо соблюдать осторожность при оценке радиус-векторов [латекс] {\ overset {\ to} {r}} _ {i} [/ latex] частиц для вычисления угловых моментов и плеч рычага, [латекс] {\ overset {\ to} {r}} _ {i \ perp} [/ latex] для расчета крутящих моментов, поскольку это совершенно разные величины.

Угловой момент твердого тела

Мы исследовали угловой момент отдельной частицы, который мы обобщили на систему частиц. Теперь мы можем использовать принципы, рассмотренные в предыдущем разделе, для развития концепции углового момента твердого тела.У небесных объектов, таких как планеты, есть угловой момент из-за их вращения и орбит вокруг звезд. В технике все, что вращается вокруг оси, несет угловой момент, например, маховики, пропеллеры и вращающиеся части в двигателях. Знание угловых моментов этих объектов имеет решающее значение для проектирования системы, частью которой они являются.

Чтобы получить угловой момент твердого тела, мы моделируем твердое тело как состоящее из небольших массовых сегментов, [латекс] \ text {Δ} {m} _ {i}.[/ latex] На (рисунке) твердое тело вынуждено вращаться вокруг оси z с угловой скоростью [латекс] \ omega [/ latex]. Все массовые сегменты, составляющие твердое тело, совершают круговое движение вокруг оси z с одинаковой угловой скоростью. В части (а) рисунка показан массовый сегмент [латекс] \ text {Δ} {m} _ {i} [/ latex] с вектором положения [латекс] {\ overset {\ to} {r}} _ {i} [/ latex] от начала координат и радиуса [latex] {R} _ {i} [/ latex] до оси z . Величина его тангенциальной скорости равна [латекс] {v} _ {i} = {R} _ {i} \ omega [/ latex].Поскольку векторы [latex] {\ overset {\ to} {v}} _ {i} \, \ text {и} \, {\ overset {\ to} {r}} _ {i} [/ latex] являются перпендикулярно друг другу, величина углового момента этого массового сегмента составляет

[латекс] {l} _ {i} = {r} _ {i} (\ text {Δ} m {v} _ {i}) \ text {sin} \, 90 \ text {°}. [/ латекс]

Рис. 11.12 (a) Твердое тело вынуждено вращаться вокруг оси z. Твердое тело симметрично относительно оси z. Массовый сегмент [латекс] \ text {Δ} {m} _ {i} [/ latex] расположен в позиции [latex] {\ overset {\ to} {r}} _ {i}, [/ latex], которая образует угол [латекс] {\ theta} _ {i} [/ latex] по отношению к оси z.Показано круговое движение бесконечно малого массового сегмента. (b) [latex] {\ overset {\ to} {l}} _ {i} [/ latex] — угловой момент массового сегмента и имеет компонент вдоль оси z [латекс] {({\ overset {\ to} {l}} _ {i})} _ {z} [/ latex].

Используя правило правой руки, вектор углового момента указывает в направлении, показанном в части (b). Сумма угловых моментов всех массовых сегментов содержит компоненты как вдоль, так и перпендикулярно оси вращения. Каждый массовый сегмент имеет перпендикулярную составляющую углового момента, которая компенсируется перпендикулярной составляющей идентичного массового сегмента на противоположной стороне твердого тела.Таким образом, компонент вдоль оси вращения является единственным компонентом, который дает ненулевое значение при суммировании по всем массовым сегментам. В части (b) компонент [латекс] {\ overset {\ to} {l}} _ {i} [/ latex] вдоль оси вращения составляет

[латекс] \ begin {array} {cc} \ hfill {({l} _ {i})} _ {z} & = {l} _ {i} \ text {sin} \, {\ theta} _ {i} = ({r} _ {i} \ text {Δ} {m} _ {i} {v} _ {i}) \ text {sin} \, {\ theta} _ {i}, \ hfill \\ & = ({r} _ {i} \ text {sin} \, {\ theta} _ {i}) (\ text {Δ} {m} _ {i} {v} _ {i}) = {R} _ {i} \ text {Δ} {m} _ {i} {v} _ {i}.{2}, [/ latex], который представляет собой момент инерции тонкого обруча, показанного на (Рисунок). Таким образом, величина углового момента вдоль оси вращения твердого тела, вращающегося с угловой скоростью [латекс] \ omega [/ latex] вокруг оси, составляет

[латекс] L = I \ omega. [/ латекс]

Это уравнение аналогично величине количества движения [латекс] p = mv [/ латекс]. Направление вектора углового момента направлено вдоль оси вращения, заданной правилом правой руки.

Пример

Угловой момент манипулятора робота

Рука робота на марсоходе, таком как Curiosity , показанном на (Рисунок), имеет длину 1,0 м и на свободном конце имеет щипцы для захвата камней. Масса руки 2,0 кг, масса щипцов 1,0 кг. См. (Рисунок). Рука робота и щипцы перемещаются из состояния покоя в [латекс] \ omega = 0,1 \ pi \, \ text {rad} \ text {/} \ text {s} [/ latex] за 0,1 с. Он вращается вниз и поднимает марсианский камень массой 1,5 кг. Ось вращения — это точка, в которой рука робота соединяется с марсоходом.(a) Каков угловой момент манипулятора робота вокруг оси вращения через 0,1 с, когда рука перестала ускоряться? (б) Каков угловой момент манипулятора робота, когда он держит в своих щипцах марсианский камень и вращается вверх? (c) Когда рука не имеет камня в щипцах, каков крутящий момент в точке, где рука соединяется с марсоходом, когда он ускоряется от состояния покоя до своей конечной угловой скорости?

Рисунок 11.13 Рука робота на марсоходе наклоняется и поднимает марсианский камень.(кредит: модификация работы NASA / JPL-Caltech)

Стратегия

Мы используем (рисунок), чтобы найти угловой момент в различных конфигурациях. Когда рука вращается вниз, правило правой руки дает вектор углового момента, направленный за пределы страницы, который мы назовем положительным направлением z . Когда рука вращается вверх, правило правой руки задает направление вектора углового момента на страницу или в отрицательном направлении z-.{2} \ text {/} \ text {s} \ text {.} [/ Latex]

Теперь вектор углового момента направлен на страницу в направлении [latex] \ text {-} \ hat {k} [/ latex] по правилу правой руки, так как рука робота теперь вращается по часовой стрелке.

Мы находим крутящий момент, когда рука не имеет скалы, взяв производную углового момента, используя (Рисунок) [latex] \ frac {d \ overset {\ to} {L}} {dt} = \ sum \ overset {\ to} {\ tau}. [/ latex] Но поскольку [latex] L = I \ omega [/ latex], и понимая, что направление углового момента и векторов крутящего момента находятся вдоль оси вращения, мы можем исключить векторные обозначения и найти

[латекс] \ frac {dL} {dt} = \ frac {d (I \ omega)} {dt} = I \ frac {d \ omega} {dt} = I \ alpha = \ sum \ tau, [/ латекс]

, который является вторым законом Ньютона для вращения.{2}) = 1,67 \ pi \, \ text {N} · \ text {m}. [/ латекс]

Значение

Угловой момент в (a) меньше, чем в (b), из-за того, что момент инерции в (b) больше, чем (a), в то время как угловая скорость такая же.

Проверьте свое понимание

Который имеет больший угловой момент: твердая сфера массой м , вращающаяся с постоянной угловой частотой [латекс] {\ omega} _ {0} [/ latex] вокруг оси z , или твердый цилиндр того же масса и скорость вращения относительно оси z ?

Показать решение

[латекс] {I} _ {\ text {сфера}} = \ frac {2} {5} m {r} ^ {2}, \ enspace {I} _ {\ text {цилиндр}} = \ frac { 1} {2} м {г} ^ {2} [/ латекс]; Из отношения угловых моментов получаем:

[латекс] \ frac {{L} _ {\ text {цилиндр}}} {{L} _ {\ text {сфера}}} = \ frac {{I} _ {\ text {цилиндр}} {\ omega } _ {0}} {{I} _ {\ text {сфера}} {\ omega} _ {0}} = \ frac {\ frac {1} {2} m {r} ^ {2}} {\ frac {2} {5} m {r} ^ {2}} = \ frac {5} {4} [/ latex].Таким образом, цилиндр имеет [латекс] на 25% [/ латекс] больше углового момента. Это связано с тем, что масса цилиндра распределена дальше от оси вращения.

Сводка

• Угловой момент [латекс] \ overset {\ to} {l} = \ overset {\ to} {r} \, × \, \ overset {\ to} {p} [/ latex] отдельной частицы около обозначенная точка отсчета является векторным произведением вектора положения в данной системе координат и импульса частицы.
• Угловой момент [латекс] \ overset {\ to} {l} = \ sum _ {i} {\ overset {\ to} {l}} _ {i} [/ latex] системы частиц около обозначенного origin — это векторная сумма отдельных импульсов частиц, составляющих систему.
• Чистый крутящий момент в системе относительно данного начала координат — это производная по времени углового момента относительно этого начала: [latex] \ frac {d \ overset {\ to} {L}} {dt} = \ sum \ overset {\ to} {\ tau} [/ латекс].
• Жесткое вращающееся тело имеет угловой момент [латекс] L = I \ omega [/ латекс], направленный вдоль оси вращения. Производная по времени от углового момента [latex] \ frac {dL} {dt} = \ sum \ tau [/ latex] дает чистый крутящий момент на твердом теле и направлен вдоль оси вращения.

Концептуальные вопросы

Можно ли присвоить частице угловой момент без предварительного определения точки отсчета?

Есть ли у частицы, движущейся по прямой линии, точки, в которых угловой момент равен нулю? Предположим, что линия пересекает начало координат.

Показать решение

Все точки на прямой дадут нулевой угловой момент, потому что вектор, пересекающийся с параллельным вектором, равен нулю.

При каких условиях твердое тело имеет угловой момент, но не линейный момент?

Если частица движется относительно выбранной точки начала координат, она имеет линейный импульс. Какие условия должны существовать для того, чтобы угловой момент этой частицы был равен нулю относительно выбранного начала координат?

Показать решение

Частица должна двигаться по прямой, проходящей через выбранную точку начала координат.

Если вы знаете скорость частицы, можете ли вы сказать что-нибудь об угловом моменте частицы?

Проблемы

Частица весом 0,2 кг движется по линии [latex] y = 2.0 \, \ text {m} [/ latex] со скоростью [latex] 5.0 \, \ text {m} \ text {/} \ text { s} [/ латекс]. Каков угловой момент частицы относительно начала координат?

Птица летит над вашим местом на высоте 300,0 м со скоростью 20, горизонтальной по отношению к земле.0 м / с. Птица имеет массу 2,0 кг. Радиус-вектор птицы составляет угол [латекс] \ тета [/ латекс] по отношению к земле. Радиус-вектор птицы и ее вектор импульса лежат в плоскости xy . Каков момент количества движения птицы относительно точки, в которой вы стоите?

Показать решение

Величина векторного произведения радиуса птицы и ее вектора импульса дает [latex] rp \, \ text {sin} \, \ theta [/ latex], что дает [latex] r \, \ text {sin } \, \ theta [/ latex] как высота птицы h .{2} \ text {/} \ text {s} \ hat {k} [/ latex]

Гоночный автомобиль Формулы-1 массой 750,0 кг движется по трассе в Монако и входит в круговой поворот со скоростью 220,0 км / ч против часовой стрелки относительно начала круга. На другом участке дистанции автомобиль входит во второй круговой поворот на скорости 180 км / ч также против часовой стрелки. Если радиус кривизны первого поворота составляет 130,0 м, а радиус второго — 100,0 м, сравните угловые моменты гоночного автомобиля в каждом повороте относительно начала кругового поворота.

Частица массой 5,0 кг имеет вектор положения [latex] \ overset {\ to} {r} = (2.0 \ hat {i} -3.0 \ hat {j}) \ text {m} [/ latex] в определенном момент времени, когда его скорость составляет [латекс] \ overset {\ to} {v} = (3.0 \ hat {i}) \ text {m} \ text {/} \ text {s} [/ latex] относительно Происхождение. а) Каков угловой момент частицы? (b) Если в этот момент на частицу действует сила [латекс] \ overset {\ to} {F} = 5.0 \ hat {j} \, \ text {N} [/ latex], каков крутящий момент источник?

Показать решение

а.{2} \ text {/} \ text {s} \ hat {k} [/ latex];

г. [латекс] \ overset {\ to} {\ tau} = 10.0 \, \ text {N} · \ text {m} \ hat {k} [/ latex]

Используйте правило правой руки, чтобы определить направления угловых моментов относительно начала координат частиц, как показано ниже. Ось z- находится вне страницы.

Предположим, что частицы в предыдущей задаче имеют массу [латекс] {m} _ {1} = 0,10 \, \ text {kg,} \ enspace {m} _ {2} = 0,20 \, \ text {kg,} \ Enspace {m} _ {3} = 0,30 \, \ text {kg,} [/ latex] [latex] {m} _ {4} = 0.40 \, \ text {кг} [/ латекс]. Скорость частиц [латекс] {v} _ {1} = 2.0 \ hat {i} \ text {m} \ text {/} \ text {s} [/ latex], [latex] {v} _ {2} = (3.0 \ hat {i} -3.0 \ hat {j}) \ text {m} \ text {/} \ text {s} [/ latex], [latex] {v} _ {3} = -1,5 \ hat {j} \ text {m} \ text {/} \ text {s} [/ latex], [latex] {v} _ {4} = — 4,0 \ hat {i} \ text {m} \ text {/} \ text {s} [/ latex]. (а) Вычислите угловой момент каждой частицы относительно начала координат. (б) Каков полный угловой момент четырехчастичной системы относительно начала координат?

Показать решение

а.{2} \ text {/} \ text {s} [/ latex]; б. Нет, угловой момент остается прежним, поскольку перекрестное произведение включает только перпендикулярное расстояние от плоскости до земли независимо от того, где она находится на своем пути.

В определенный момент положение частицы весом 1,0 кг таково: [latex] \ overset {\ to} {r} = (2.0 \ hat {i} -4.0 \ hat {j} +6.0 \ hat {k}) \ text {m} [/ latex], его скорость [латекс] \ overset {\ to} {v} = (- 1.0 \ hat {i} +4.0 \ hat {j} +1.0 \ hat {k}) \ text { m} \ text {/} \ text {s} [/ latex], и сила, действующая на него, равна [latex] \ overset {\ to} {F} = (10.0 \ hat {i} +15.0 \ hat {j}) \ text {N} [/ latex]. а) Каков угловой момент частицы относительно начала координат? б) Каков крутящий момент частицы относительно начала координат? (c) Какова скорость изменения углового момента частицы в данный момент?

Частица массой м. падает в точку [latex] (\ text {-} d, 0) [/ latex] и падает вертикально в гравитационном поле Земли [latex] \ text {-} g \ hat {j }. [/ latex] (a) Каково выражение для углового момента частицы вокруг оси z , которая указывает прямо за пределы страницы, как показано ниже? (b) Рассчитайте крутящий момент на частицу вокруг оси z .(c) Равен ли крутящий момент скорости изменения углового момента во времени?

а. [латекс] \ overset {\ to} {v} = \ text {-} gt \ hat {j}, \ enspace {\ overset {\ to} {r}} _ {\ perp} = \ text {-} d \ hat {i}, \ enspace \ overset {\ to} {l} = mdgt \ hat {k} [/ latex];

г. [латекс] \ overset {\ to} {F} = \ text {-} mg \ hat {j}, \ enspace \ sum \ overset {\ to} {\ tau} = dmg \ hat {k} [/ latex] ; c. да

(a) Вычислите угловой момент Земли на ее орбите вокруг Солнца. (b) Сравните этот угловой момент с угловым моментом Земли вокруг своей оси.{2} \ text {/} \ text {s} [/ latex]

Спутник вращается со скоростью 6,0 об / с. Спутник состоит из основного корпуса в форме шара радиусом 2,0 м и массой 10 000 кг и двух антенн, выступающих из центра масс основного корпуса, которые можно аппроксимировать стержнями длиной 3,0 м каждая и массой 10 кг. кг. Антенна лежит в плоскости вращения. Какой угловой момент спутника?

Винт состоит из двух лопастей длиной 3,0 м каждая и массой 120 кг каждая.{4} \, \ text {N} · \ text {m} [/ latex]

Американские горки имеют массу 3000,0 кг и должны безопасно пройти через вертикальную круговую петлю радиусом 50,0 м. Каков минимальный угловой момент подставки в нижней части петли, чтобы она могла безопасно пройти? Пренебрегайте трением на трассе. Возьмите каботажное судно за точечную частицу.

Маунтинбайкер совершает прыжок в гонке и взлетает в воздух. Горный велосипед движется со скоростью 10,0 м / с, прежде чем взлететь. Если масса переднего колеса велосипеда составляет 750 г и имеет радиус 35 см, каков момент количества движения вращающегося колеса в воздухе в момент отрыва велосипеда от земли?

Показать решение

[латекс] \ omega = 28.{2} \ text {/} \ text {s} [/ latex]

Глоссарий

Угловой момент

вращательный аналог количества движения, вычисляемый как произведение момента инерции на угловую скорость

19.2: Угловой момент вокруг точки для частицы

Угловой момент для точечной частицы

Рассмотрим точечную частицу массы m, движущуюся со скоростью \ (\ overrightarrow {\ mathbf {V}} \) (рисунок 19. {- 1} \ right] = [\ mathrm { N} \ cdot \ mathrm {m} \ cdot \ mathrm {s}] = [\ mathrm {J} \ cdot \ mathrm {s}] \).Для этого набора юнитов нет специального названия.

Поскольку угловой момент определяется как вектор, мы начинаем с изучения его величины и направления. Величина углового момента около \ (S \) дается выражением

.

\ [\ left | \ overrightarrow {\ mathbf {L}} _ {s} \ right | = \ left | \ overrightarrow {\ mathbf {r}} _ {S} \ right || \ overrightarrow {\ mathbf {p }} | \ sin \ theta \]

, где \ (θ \) — угол между векторами и \ (\ overrightarrow {\ mathrm {p}} \), и лежит в диапазоне \ ([0 \ leq \ theta \ leq \ pi] \) Аналогично По величине крутящего момента есть два способа определить величину момента количества движения около S.{\ perp} \]

Правило правой руки для направления углового момента

Мы определим направление момента количества движения относительно точки \ (S \) по правилу правой руки. Нарисуйте векторы \ (\ overrightarrow {\ mathbf {r}} _ {S} \ text {и} \ overrightarrow {\ mathbf {p}} \) так, чтобы их хвосты соприкасались. Затем нарисуйте дугу, начиная с вектора \ (\ overrightarrow {\ mathbf {r}} _ {S} \) и заканчивая вектором \ (\ overrightarrow {\ mathrm {p}} \). (Таких дуг две; выберите меньшую.) Эта дуга направлена ​​либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки. Согните пальцы правой руки в том же направлении, что и дуга. Большой палец правой руки указывает в направлении углового момента.

Рис. 19.3 Правило правой руки для определения направления углового момента относительно \ (S \).

Помните, что, как и во всех векторных произведениях, направление углового момента относительно \ (S \) перпендикулярно плоскости, образованной \ (\ overrightarrow {\ mathbf {r}} _ {S} \ text {and} \ overrightarrow {\ mathbf {p}} \).{-1} \ hat {\ mathbf {j}} \). В момент времени t частица проходит через точку (2,0 м, 3,0 м). Найдите направление и величину углового момента относительно точки \ (S \) (начало координат) в момент времени t.

Рисунок 19.4 Пример 19.4

Решение

Выберите декартовы координаты с единичными векторами, показанными на рисунке выше. Вектор от точки \ (S \) до местоположения частицы равен \ (\ overrightarrow {\ mathbf {r}} _ {S} = 2.0 \ mathrm {m} \ hat {\ mathbf {i}} + 3.0 \ mathrm {m} \ hat {\ mathbf {j}} \).{-1} \ hat {\ mathbf {k}}
\ end {align} \]

В приведенном выше примере отношения \ (\ overrightarrow {\ mathbf {i}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {j}} = \ overrightarrow {\ mathbf {k}}, \ overrightarrow {\ mathbf {j}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {i}} = — \ overrightarrow {\ mathbf {k}}, \ quad \ overrightarrow {\ mathbf {i}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {i}} = \ overrightarrow {\ mathbf {j}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {j}} = \ overrightarrow {\ mathbf {0}} \).

Пример \ (\ PageIndex {2} \): угловой момент и круговое движение

Частица массы m движется по окружности радиуса R вокруг оси z в плоскости xy, определяемой соотношением z = 0, с угловой скоростью \ (\ vec {\ omega} = \ omega_ {z} \ hat {\ mathbf { k}}, \ omega_ {z}> 0 \), (рисунок 19.5). Найдите величину и направление углового момента \ (\ overrightarrow {\ mathbf {L}} _ {s} \) относительно точки \ (S \), лежащей в центре круговой орбиты (начало координат).

Рисунок 19.5 Пример 19.2

Решение

Скорость частицы определяется выражением \ (\ overrightarrow {\ mathbf {v}} = R \ omega_ {z} \ hat {\ boldsymbol {\ theta}} \). Вектор от центра круга (точка \ (S \)) к объекту задается выражением \ (\ overrightarrow {\ mathbf {r}} _ {S} = R \ hat {\ mathbf {r}} \ ).{2} \), следовательно, угловой момент около \ (S \) равен

\ [\ overrightarrow {\ mathbf {L}} _ {S} = I_ {S} \ vec {\ omega} \]

Тот факт, что \ (\ overrightarrow {\ mathbf {L}} _ {s} \) находится в том же направлении, что и угловая скорость, обусловлен тем, что точка \ (S \) лежит в плоскости движения.

Пример \ (\ PageIndex {3} \): угловой момент относительно точки вдоль центральной оси для кругового движения

Частица массы m движется по окружности радиуса R с угловой скоростью \ (\ vec {\ omega} = \ omega_ {z} \ hat {\ mathbf {k}}, \ omega_ {z}> 0 \) примерно ось z в плоскости, параллельной плоскости xy, но на расстоянии h над ней (рисунок 19.6). Найдите величину и направление углового момента \ (\ overrightarrow {\ mathbf {L}} _ {s} \) относительно точки \ (S \) (начало координат).

Рисунок 19.6 Пример 19.3

Решение

Самый простой способ вычислить \ (\ overrightarrow {\ mathbf {L}} _ {s} \) — использовать цилиндрические координаты. Начнем с записи двух векторов \ (\ overrightarrow {\ mathbf {r}} _ {S} \ text {и} \ overrightarrow {\ mathbf {p}} \) в полярных координатах. Начнем с вектора от точки \ (S \) (начало координат) до местоположения движущегося объекта, \ (\ overrightarrow {\ mathbf {r}} _ {S} = R \ hat {\ mathbf {r}} + h \ hat {\ mathbf {k}} \).Вектор импульса касается круговой орбиты, поэтому \ (\ overrightarrow {\ mathbf {p}} = m \ overrightarrow {\ mathbf {v}} = m R \ omega_ {z} \ hat {\ mathbf {\ theta}} \). Используя тот факт, что \ (\ hat {\ mathbf {r}} \ times \ hat {\ boldsymbol {\ theta}} = \ hat {\ mathbf {k}} \ text {and} \ hat {\ mathbf {k} } \ times \ hat {\ boldsymbol {\ theta}} = — \ hat {\ mathbf {r}} \), угловой момент относительно точки \ (S \) равен

\ [\ overrightarrow {\ mathbf {L}} _ {s} = \ overrightarrow {\ mathbf {r}} _ {S} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {p}} = (R \ hat {\ mathbf { r}} + h \ hat {\ mathbf {k}}) \ times m R \ omega_ {z} \ hat {\ mathbf {\ theta}} = m R ^ {2} \ omega_ {z} \ hat {\ mathbf {k}} — хм R \ omega_ {z} \ hat {\ mathbf {r}} \]

Рисунок 19.{1/2} \]

Направление \ (\ overrightarrow {\ mathbf {L}} _ {S} \) задается (рис. 19.7)

\ [- \ frac {L_ {S, z}} {L_ {S, r}} = \ frac {R} {h} = \ tan \ phi \]

Мы также приводим геометрический аргумент. Предположим, что частица имеет координаты (x, y, h). Угловой момент относительно начала координат задается выражением \ (\ overrightarrow {\ mathbf {L}} _ {s} = \ overrightarrow {\ mathbf {r}} _ {S} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {p}} \ ). Векторы \ (\ overrightarrow {\ mathbf {r}} _ {S} \ text {и} \ overrightarrow {\ mathbf {p}} \) перпендикулярны друг другу, поэтому угловой момент перпендикулярен плоскости, образованной этими векторами. два вектора.{1/2} м R \ omega_ {z} \]

Величина \ (\ overrightarrow {\ mathbf {L}} _ {s} \) постоянна, но ее направление меняется, когда частица движется по круговой орбите вокруг оси z, сметая конус, как показано на Рисунок 19.8. Мы рисуем вектор \ (\ overrightarrow {\ mathbf {L}} _ {S} \) в начале координат, потому что он определен в этой точке.

Рис. 19.8 Направление момента количества движения относительно точки \ (S \) выметает конус

. Важный момент, который следует иметь в виду при этом вычислении, заключается в том, что для любой точки вдоль оси z, не находящейся в центре круговой орбиты одного частица, угловой момент вокруг этой точки не направлен по оси z, но имеет ненулевую составляющую в плоскости x — y (или в направлении \ (- \ hat {\ mathbf {r}} \) если вы используете полярные координаты).Компонента z углового момента относительно любой точки вдоль оси z не зависит от положения этой точки вдоль оси.

механиков | Определение, примеры, законы и факты

механика , наука, изучающая движение тел под действием сил, включая особый случай, когда тело остается в покое. В первую очередь проблема движения — это силы, которые тела действуют друг на друга. Это приводит к изучению таких тем, как гравитация, электричество и магнетизм, в зависимости от природы задействованных сил.Учитывая силы, можно искать способ, которым тела движутся под действием сил; это предмет собственно механики.

Британская викторина

Викторина «Все о физике»

Кто был первым ученым, проведшим эксперимент по управляемой цепной ядерной реакции? Какая единица измерения для циклов в секунду? Проверьте свою физическую хватку с помощью этой викторины.

Исторически механика была одной из первых возникших точных наук. Его внутренняя красота как математической дисциплины и ранний замечательный успех в количественном учете движений Луны, Земли и других планетных тел оказали огромное влияние на философскую мысль и послужили толчком для систематического развития науки.

Механику можно разделить на три части: статика, которая имеет дело с силами, действующими на покоящееся тело и в нем; кинематика, описывающая возможные движения тела или системы тел; и кинетика, которая пытается объяснить или предсказать движение, которое произойдет в данной ситуации.В качестве альтернативы механику можно разделить по типу изучаемой системы. Простейшей механической системой является частица, определяемая как настолько маленькое тело, что его форма и внутренняя структура не имеют значения в данной задаче. Более сложным является движение системы из двух или более частиц, которые действуют друг на друга и, возможно, испытывают силы, действующие со стороны тел вне системы.

Принципы механики были применены к трем общим областям явлений.Движение таких небесных тел, как звезды, планеты и спутники, можно предсказать с большой точностью за тысячи лет до того, как они произойдут. (Теория относительности предсказывает некоторые отклонения от движения в соответствии с классической или ньютоновской механикой; однако они настолько малы, что их можно наблюдать только с помощью очень точных методов, за исключением задач, затрагивающих всю или большую часть обнаруживаемой Вселенной. Как вторая область, обычные объекты на Земле вплоть до микроскопических размеров (движущиеся со скоростью намного ниже скорости света) правильно описываются классической механикой без значительных исправлений.Инженер, проектирующий мосты или самолеты, может с уверенностью использовать ньютоновские законы классической механики, даже если силы могут быть очень сложными, а вычислениям не хватает прекрасной простоты небесной механики. Третья область явлений включает поведение материи и электромагнитного излучения в атомном и субатомном масштабах. Хотя вначале были достигнуты ограниченные успехи в описании поведения атомов в терминах классической механики, эти явления должным образом рассматриваются в квантовой механике.

Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас

Классическая механика занимается движением тел под действием сил или равновесием тел, когда все силы уравновешены. Этот предмет можно рассматривать как разработку и применение основных постулатов, впервые сформулированных Исааком Ньютоном в его книге Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687), широко известной как Principia . Эти постулаты, называемые законами движения Ньютона, изложены ниже.Их можно использовать для предсказания с большой точностью самых разных явлений, от движения отдельных частиц до взаимодействий очень сложных систем. В этой статье обсуждается множество этих приложений.

В рамках современной физики классическую механику можно понять как приближение, вытекающее из более глубоких законов квантовой механики и теории относительности. Однако такой взгляд на место объекта сильно недооценивает его важность в формировании контекста, языка и интуиции современной науки и ученых.Наш современный взгляд на мир и место человека в нем прочно укоренен в классической механике. Более того, многие идеи и результаты классической механики выживают и играют важную роль в новой физике.

Центральными понятиями классической механики являются сила, масса и движение. Ни сила, ни масса не были четко определены Ньютоном, и оба они были предметом многих философских спекуляций со времен Ньютона. Оба они наиболее известны своими эффектами. Масса — это мера склонности тела сопротивляться изменениям в состоянии движения.С другой стороны, силы ускоряют тела, то есть они изменяют состояние движения тел, к которым они приложены. Взаимодействие этих эффектов — основная тема классической механики.

Хотя законы Ньютона фокусируют внимание на силе и массе, три другие величины приобретают особое значение, потому что их общее количество никогда не меняется. Эти три величины — энергия, (линейный) импульс и угловой момент. Любой из них может быть перемещен из одного тела или системы тел в другое.Кроме того, энергия может менять форму, будучи связанной с единственной системой, проявляясь как кинетическая энергия, энергия движения; потенциальная энергия, энергия позиции; тепло или внутренняя энергия, связанная со случайными движениями атомов или молекул, составляющих любое реальное тело; или любая комбинация из трех. Тем не менее полная энергия, импульс и угловой момент во Вселенной никогда не меняются. Этот факт выражается в физике, говоря, что энергия, импульс и угловой момент сохраняются.Эти три закона сохранения вытекают из законов Ньютона, но сам Ньютон их не выражал. Их нужно было обнаружить позже.

Примечателен тот факт, что, хотя законы Ньютона больше не считаются фундаментальными и даже не совсем правильными, три закона сохранения, вытекающие из законов Ньютона — сохранение энергии, импульса и момента количества движения — остаются в точности верными даже в квантовая механика и теория относительности. Фактически, в современной физике сила больше не является центральным понятием, а масса — лишь одним из множества атрибутов материи.Однако энергия, импульс и угловой момент по-прежнему прочно занимают центральное место. Сохраняющаяся важность этих идей, унаследованных от классической механики, может помочь объяснить, почему этот предмет сохраняет такое большое значение в современной науке.

Разница между моментом и импульсом

Момент и моментум

Моменты и импульс — это понятия физики. Импульс — это определенное физическое свойство, в то время как момент — это широкое понятие, применяемое во многих случаях для измерения эффекта физического свойства вокруг оси и его распределения вокруг оси.

Момент

Моменты обычно относятся к мере воздействия некоторой физической величины вокруг оси. Эта мера вычисляется как произведение физической величины и перпендикулярного расстояния от оси. Момент силы, момент инерции и полярный момент инерции — вот примеры применения этой концепции в механике. Эта концепция далее распространяется на такие области, как статистическая теория, где обсуждаются моменты случайных величин.

Если не указано иное, под моментом обычно понимается момент силы, который является мерой поворачивающего эффекта силы. Момент силы измеряется в Ньютон-метрах (N _м ) в системе СИ, которая похожа на единицу механической работы, но имеет совершенно другое значение.

При приложении силы создается эффект поворота относительно точки, отличной от линии действия силы. Величина этого эффекта или момента прямо пропорциональна величине силы и расстоянию по перпендикуляру к силе от точки.

Момент силы = Сила × Перпендикулярное расстояние от точки до силы

Момент τ = F × x

Если силовая система не имеет равнодействующих моментов, т.е. τ = 0, система находится в состоянии равновесия вращения . Когда момент силы имеет физический смысл, его часто называют «крутящий момент ».

Момент инерции — это мера распределения массы тела вокруг оси.Он вычисляется как сумма произведений массы в каждой точке и расстояния до этой точки от оси.

Если m _i — масса в точке i, а r _i — расстояние до этой точки от рассматриваемой оси, момент инерции определяется как

Дискретная система точечных масс I = ∑m _i

Для твердого тела I = ∫m _i r _i ²

Это важный фактор при рассмотрении вращательного движения физических систем.

Понятие момента применяется во многих случаях в физике, особенно в механике, но во всех случаях оно определяет влияние некоторого физического свойства вокруг оси на расстоянии.

• Электрический дипольный момент — это измерение разности зарядов и направления между двумя или более зарядами.

• Магнитный момент — это мера силы магнитного источника.

• Момент инерции — это мера сопротивления объекта изменениям скорости его вращения.

• Крутящий момент или момент — это стремление силы вращать объект вокруг оси.

• Изгибающий момент — это момент, который приводит к изгибу конструктивного элемента.

• Первый момент площади — это свойство объекта, связанное с его сопротивлением напряжению сдвига.

• Второй момент площади — это свойство объекта, связанное с его сопротивлением изгибу и прогибу.

• Полярный момент инерции — это свойство объекта, связанное с его сопротивлением кручению

• Момент изображения — это статистическое свойство изображения.

• Сейсмический момент — это величина, используемая для измерения силы землетрясения.

Импульс

Импульс (линейный импульс) определяется как произведение массы и скорости. Это одна из важнейших физических величин системы, и это сохраняющееся свойство Вселенной как на микроскопическом, так и на макроскопическом уровнях.

Импульс = масса × скорость ↔ P = mv

Масса — это скаляр, а скорость — вектор. Произведение вектора и скаляра является вектором. Следовательно, импульс — это векторная величина, имеющая величину и направление.

Импульс напрямую связан с состоянием движения частицы, тела или системы и часто используется для описания изменений в физических системах. Импульс используется в следующих ключевых физических концепциях;

Универсальный закон сохранения импульса:

Если на систему не действуют несбалансированные внешние силы, общий импульс системы постоянен.

Если ∑F _{внешний, система} = 0, то ∑mv _{система} = постоянная ↔ ∆mv _{система} = 0

Второй закон Ньютона:

Результирующая сила, действующая на тело, пропорциональна скорости изменения количества движения тела и действует в направлении изменения количества движения.

F _{результат} ∝ dmv / dt ≈ ∆mv / ∆t

А из определения импульса (I)

I = F∆t = ∆mv

Момент количества движения вокруг оси определяется как момент количества движения.Можно показать, что угловой момент равен произведению угловой скорости и момента инерции тела / системы вокруг рассматриваемой оси.

Угловой момент = ∑mv _i r _i ² = Iω

В чем разница между моментом и моментумом?

• Импульс — это произведение массы и скорости тела. Момент — это понятие, которое дает меру влияния физического свойства вокруг оси.Это также дает меру распределения.

• Импульс — это вектор, а моменты могут быть векторными или скалярными.

• Импульс — это сохраняемое свойство вселенной, не зависящее от системы отсчета. Моменты зависят от рассматриваемой оси.

• Момент количества движения вокруг оси — это момент количества движения относительно этой оси.

Момент инерции | Квинтик Спортс

Q4 E Пример 14 — Момент инерции

Предлагаемое использование темы:
Математика / физика (уровень A / AS), спортивные науки (степень 1/2)

Введение

Момент инерции объекта — это показатель уровня силы, которая должна быть приложена, чтобы привести объект или удержать объект в движении вокруг определенной оси вращения.Момент инерции, который является производной от второго закона Ньютона, иногда называют вторым моментом массы и может быть вычислен с помощью уравнения:

I = mr²

Где:
I = момент инерции (кг м²)
m = масса (кг)
r = радиус (м) (кратчайшее расстояние от оси вращения до частицы)

Более высокие моменты инерции указывают на то, что необходимо приложить больше силы, чтобы вызвать вращение, тогда как более низкие моменты инерции означают, что необходимы только небольшие силы.Массы, находящиеся дальше от оси вращения, обладают наибольшим моментом инерции.

Угловой момент объекта, вращающегося вокруг оси, является мерой количества вращения этого объекта, когда на него не действуют внешние крутящие моменты, при этом крутящий момент определяется как момент силы и является мерой того, сколько силы необходимо, чтобы вызвать вращение объекта. Угловой момент — это постоянная величина, что означает, что он остается постоянным, если на него не действуют внешние крутящие моменты, и является произведением момента инерции, умноженного на угловую скорость.Когда тело имеет увеличенный радиус, то есть во время начальной и конечной фаз погружения, момент инерции велик, а угловая скорость мала. В положении пики радиус тела уменьшается по мере приближения каждого сегмента к оси вращения, что приводит к увеличению угловой скорости и уменьшению момента инерции. Таким образом, во время погружения угловой момент постоянен, что означает, что момент инерции обратно пропорционален угловой скорости.

Цели

1. Для поиска и анализа Момента инерции прямого и обратного пикирования.
2. Для сравнения различий моментов инерции обоих погружений.

Методы

Видео были оцифрованы и откалиброваны с помощью

Quintic

Программное обеспечение

.
• Фильтр Баттуорта использовался для сглаживания данных.
• Данные были экспортированы в файл Excel, где они использовались для расчета момента инерции. Графики были подготовлены с использованием этой информации.
• Снимки сделаны.

Используемые функции программного обеспечения Quintic:

• Модуль многоточечной оцифровки
• Фильтр Баттерворта
• Калибровка
• Интерактивные графики и дисплеи данных
• Экспорт данных
• Захват нескольких изображений

Результаты

моментов инерции были найдены для прыжков согнувшись назад и вперед путем вычисления суммы инерций для каждого сегмента тела.Оба погружения были выполнены одним и тем же дайвером, но моменты инерции различаются из-за расстояния каждого сегмента от оси вращения, т. Е. Бедра, различного для обоих погружений и разницы в угловой скорости во время погружений.

Дайверы всегда стремятся выполнить необходимое количество сальто и / или поворотов как можно быстрее, оставляя больше времени для подготовки к входу в воду. Для этого они должны увеличить свою угловую скорость, следовательно, уменьшить момент инерции.Это достигается путем изменения конфигурации их тела, чтобы уменьшить расстояние между центром масс каждого сегмента тела и осью вращения, таким образом, более плотное положение пикинга дает дайверу меньший момент инерции и большую угловую скорость. Когда дайвер покидает доску, на тело не действует крутящий момент. Это означает, что угловой момент сохраняется, когда на него не действует внешний крутящий момент, таким образом, когда момент инерции уменьшается, угловая скорость увеличивается, и наоборот.

Погружение разделено на 3 фазы.Первая фаза — от момента, когда ныряльщик покидает доску, до перехода в положение полной пикинга. Фаза 2 — это выполнение сальто в положении согнувшись, а заключительная фаза — выход из положения согнувшись и подготовка к входу в воду. В фазе 1, когда дайвер покидает доску, на него не действует внешний крутящий момент, поэтому угловой момент сохраняется и остается им на протяжении всего погружения. Когда ныряльщик впервые покидает доску, момент инерции велик из-за конечностей i.е. руки вытянуты и дальше от оси вращения. К концу фазы 1 дайвер принимает положение согнувшись, что означает, что все сегменты тела подтягиваются как можно ближе к оси вращения, уменьшая момент инерции и увеличивая угловую скорость. Момент инерции во второй фазе изменяется в соответствии с угловой скоростью, чтобы сохранить угловой момент. К третьей фазе момент инерции увеличивается, когда дайвер готовится войти в воду и выходит из положения согнувшись.Это связано с тем, что руки вытянуты над головой и, таким образом, находятся дальше от оси вращения, как и в исходном положении. Увеличенный момент инерции снижает угловую скорость и позволяет дайверу подготовиться к входу в воду по как можно более прямой линии, чтобы произвести минимальный всплеск.

График 1: Момент инерции во время прямого пикирования

График 1 показывает расчетный момент инерции дайвера во время пикирования вперед.График разделен на 3 фазы. На этапе 1, когда дайвер покидает доску, инерция составляет 10,25 кгм². После небольшого увеличения инерция быстро уменьшается, когда дайвер принимает положение согнувшись. В конце этой фазы момент инерции составляет 6,86 кгм². Теперь ныряльщик находится в положении полной пикировки и начинает сальто. Во время погружения инерция постоянно изменяется от 6,86 до 9,36 кгм²; это связано с различной угловой скоростью во время каждого сальто. По мере увеличения угловой скорости момент инерции уменьшается, и наоборот, следовательно, угловой момент остается постоянным на протяжении всего погружения.На заключительном этапе инерция сначала уменьшается, но когда дайвер выпрямляется; готовясь войти в воду, момент инерции начинает расти.

Рисунок 1: Пайка вперед

График 2: Момент инерции обратного пикирования

График 2 показывает момент инерции для пикирования назад. График снова разделен на 3 фазы.Первоначально на этапе 1 момент инерции составляет 11,41 кгм². Когда дайвер покинул доску, момент инерции уменьшается и продолжает уменьшаться до тех пор, пока дайвер не займет положение согнувшись в конце фазы 1. Во время второй фазы момент инерции колеблется в соответствии с уменьшающейся угловой скоростью, сохраняя угловой момент постоянная. На кадре 222 дайвер начинает готовиться к входу в воду и, таким образом, начинает выход из положения согнувшись. По мере того, как он это делает, момент инерции увеличивается и продолжает увеличиваться, поскольку дайвер полностью вытягивается, чтобы войти в воду по прямой линии.

Рисунок 2: Пика назад

График 3: Сравнение моментов инерции

График 3 показывает сравнение моментов инерции как для прямого, так и для обратного погружения согнувшись. Погружения сравнивались от кадра последнего контакта с доской до момента входа дайвера в воду. Момент инерции согнувшись вперед более изменчив в течение всего погружения, но оба прыжка по-прежнему следуют схожей схеме.Когда дайвер покидает доску, момент инерции уменьшается для обоих погружений. Прыжок назад согнувшись занимает немного больше времени, чтобы полностью снизиться, так как для достижения положения согнувшись во время пикирования назад требуется немного больше времени. Тем не менее, прыжок согнувшись назад уменьшается до более низкого момента инерции, что означает, что угловая скорость больше и что дайвер находится в более узком положении согнувшись во время согнувшись назад. В конце погружения инерция увеличивается с уменьшением угловой скорости. Пикирование согнувшись назад имеет большее увеличение инерции из-за уменьшения угловой скорости.Поскольку у ныряющего сучкой вперед была меньшая угловая скорость, при входе в воду увеличение инерции меньше.

Заключение

Момент инерции — это расчет силы, необходимой для вращения объекта. Этим значением можно управлять для увеличения или уменьшения инерции. В таких видах спорта, как катание на коньках, прыжки в воду и гимнастика, спортсмены постоянно меняют конфигурацию тела. При увеличении радиуса от оси вращения момент инерции увеличивается, тем самым замедляя скорость вращения.В качестве альтернативы, если спортсмен хочет увеличить скорость вращения, он должен уменьшить радиус, приближая сегменты тела к оси вращения, таким образом уменьшая радиус и момент инерции.

Загрузки

Письменный пример

Видео avi. alexxlab Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт Рубрики Прост Радио Разное Своими руками Советы Схем Схемы Транзист Транзисторы Электрон Электроника