Чтобы привести к ступенчатому виду, или как в научной и учебной литературе называется трапециевидный или треугольный вид. Нужно сделать так чтобы во второй строке во втором столбце место -4 стала 1. Умножаем на \[-\frac{1}{4}\]

В третьем ряду надо – 5 превратить в 0. Множим вторую строку на 5 и слаживаем её с третьей.

\[-\frac{7}{2}\] превращаем в 1. Третий ряд умножаем на \[-\frac{7}{2}\].

Теперь возвращаемся от матрицы к системе уравнений.

Конечный вариант выходит тот же.

\[ \left\{\begin{array}{l} x_{1}=1 \\ x_{2}=2 \\ x_{3}=3 \end{array}\right. \]

Ответ: \[x_{1}=1, x_{2}=2, x_{3}=3\].

Пример №4.

Записываем расширенную матрицу для данного СЛАУ.

\[ \left(\begin{array}{llrr} 3 & 2 & -5 \mid & -1 \\ 2 & -1 & 3 \mid & 13 \\ 1 & 2 & -1 & 9 \end{array}\right) \]

Переставляем третью строку на первое место.

\[ \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & -1 & 9 \\ 3 & 2 & -5 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \mid & 13 \end{array}\right) \]

Убираем 3 с первого столбца второй строки. Первый ряд умножаем на -3 и складываем с вторым.

\[ \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 & 9 \\ 0 & -4 & -2 \mid & -28 \\ 2 & -1 & 3 \mid & 13 \end{array}\right) \]

Убираем 2 с первого столбца второй строки. Первый ряд умножаем на -2 и складываем с третьим.

\[ \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 & 9 \\ 0 & -4 & -2 \mid & -28 \\ 0 & -5 & 5 \mid & -5 \end{array}\right) \]

Превращаем -4 во втором столбце второй строки в 1. Умножаем второй ряд на -\[\frac{1}{4}\].

\[ \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 \mid & 9 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} \mid & 7 \\ 0 & -5 & 5 \mid & -5 \end{array}\right) \]

Убираем -5 с второго столбца третьей строки. Второй ряд умножаем на 5 и складываем с третьим.

\[ \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 \mid & 9 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} \mid & 7 \\ 0 & 0 & \frac{15}{2} \mid & 30 \end{array}\right) \]

Превращаем \[\frac{15}{2}\] с третьего столбце третьей строки в 1. Умножаем третий ряд на \[\frac{2}{15}\]

\[ \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 & 9 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} \mid & 7 \\ 0 & 0 & 1 \mid & 4 \end{array}\right) \]

А теперь возвращаемся к системе линейных алгебраических уравнений.

\[ \left\{\begin{array}{c} x+2 y-z=9 \\ y+\frac{1}{2} z=7 \\ z=4 \end{array}\right. \]

Приступаем к обратному ходу методу Гаусса.

\[ \left\{\begin{array}{c} x+2 y-z=9 \\ y=5 \\ z=4 \end{array}\right. \]

\[ \left\{\begin{array}{l} x=3 \\ y=5 \\ z=4 \end{array}\right. \]

Ответ: х=3, у=5, z=4.

Пример №5.

Переводим в матричную систему и проводим элементарные преобразование.

В конечном результате исходная система свелась к ступенчатой.

\[\left\{\begin{array}{c} x_{1}-x_{2}-5 x_{3}=2 \\ x_{2}+13 x_{3}-5 x_{4}=-3 \end{array}\right.\]

Ответ: \[x_{2}=5 x_{4}-13 x_{3}-3 ; \quad x_{1}=5 x_{4}-8 x_{3}-1\]<span tabindex=»0″ data-mathml=»x2=5×4−13×3−3;x1=5×4−8×3−1″ role=»presentation» style=»font-size: 109%; text-align: center; position: relative;»>x2=5×4−13×3−3;x1=5×4−8×3−1×2=5×4−13×3−3;x1=5×4−8×3−1×2=5×4−13×3−3;x1=5×4−8×3−1

1.7: Использование закона Гаусса — Физика LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

• Том Вайдеман
• Калифорнийский университет, Дэвис

Симметрия избегает интегралов

Великая ирония закона Гаусса заключается в том, что поверхностный интеграл выглядит невероятно устрашающе, но этот закон действительно полезен только потому, что на самом деле не требуется никакого интегрирования. Как мы увидим, мы сможем использовать этот закон для вычисления электрических полей распределения заряда в случаях, когда присутствует некоторая степень симметрии. Основной подход таков: построить воображаемую замкнутую поверхность (называемую гауссовой поверхностью ) вокруг некоторого скопления зарядов, затем применить закон Гаусса для этой поверхности, чтобы определить электрическое поле на этой поверхности. Это довольно расплывчатое описание, и оно замалчивает множество важных деталей, которые мы узнаем на нескольких примерах.

Есть два компонента симметрии, которые должны присутствовать, чтобы сделать использование закона Гаусса таким мощным:

1. Поверхность Гаусса должна существовать там, где электрическое поле либо параллельно, либо перпендикулярно вектору поверхности. Это делает косинусы во всех скалярных произведениях равными просто нулю или единице.
2. Электрическое поле, которое проходит через части гауссовой поверхности, где поток отличен от нуля, имеет постоянную величину.

Эти два условия позволяют нам полностью избежать интеграла, потому что \(cos\theta\) в интеграле исчезает, и величину электрического поля можно вынести из интеграла, оставив только интеграл от \(dA\ ), что является просто площадью поверхности. Тогда применить закон Гаусса просто.

Поле бесконечной плоскости заряда

Эту задачу мы уже решили (уравнение 1.3.22). Мы сделали это, вычислив поле заряженного диска на оси, а затем приняв предел, когда радиус диска стремится к бесконечности. Это было много математики! Давайте посмотрим, как мы можем это сделать с помощью закона Гаусса. Ясно, что бесконечная плоскость положительного заряда должна создавать поле, направленное от плоскости и перпендикулярное ей в обоих направлениях. Выберем в качестве нашей гауссовой поверхности цилиндр, ось которого перпендикулярна плоскости заряда, с площадью поперечного сечения \(A\).

Рисунок 1.7.1 — Гауссовая поверхность для плоскости заряда

Учитывание

OTE использование закона Гаусса кажется идеей о том, что гауссова поверхность — это то, что мы создаем сами в качестве инструмента для решения проблем. Не существует ни фактической поверхности, ни конкретной уникальной поверхности, которую необходимо использовать. Чтобы сделать решение как можно более простым, поверхность должна обладать двумя указанными выше свойствами, и хитрость в решении этих задач заключается в том, чтобы придумать поверхность, которая это делает.

Заметим, что электрическое поле проходит только через торцы цилиндра, а значит, через стороны нет потока. Кроме того, поле, проходящее через концы, параллельно вектору площади, поэтому \(\cos\theta=1\) везде на этой поверхности. Напряжённость электрического поля везде одинакова на поверхности, поэтому её можно вытащить из интеграла, который даст просто площадь торца цилиндра. Поток отсутствует (положительный) на обоих концах и одинаков, поэтому они вносят равный вклад в общий поток. Полный поток из цилиндра тогда просто:

\[ \Phi_E = \cancelto{0}{\Phi_E\слева(стороны\справа)} + \Phi_E\слева(слева\;конец\справа) + \Phi_E\слева(справа\;конец\справа) \ ;\;\; \Rightarrow \;\;\;\Phi_E =2EA\]

Теперь применим закон Гаусса. Количество заряда, заключенного в этом цилиндре, есть поверхностная плотность заряда, умноженная на площадь, вырезанную из плоскости цилиндром (наподобие формочки для печенья), которая, очевидно, равна \(А\), площади цилиндра. концы цилиндра. Применение закона Гаусса дает:

\[ \Phi_E = \dfrac{Q_{encl}}{\epsilon_o} \;\;\; \Правая стрелка \;\;\; 2EA = \dfrac{\sigma A}{\epsilon_o} \;\;\; \Правая стрелка \;\;\; E = \dfrac{\sigma}{2\epsilon_o}\]

Именно такой ответ мы получили раньше! Обратите внимание, что окончательный ответ не зависит от длины цилиндра, а это означает, что поле однородно, а также не зависит от площади цилиндра.

Можно было бы спросить: «А что, если бы у цилиндра не было прямых сторон? То есть, что, если бы он выпирал посередине, заставляя заключать в себе больше заряда? Не даст ли это другой ответ?» Ответ заключается в том, что если стороны цилиндра не прямые, то электрическое поле будет пронизывать гауссову поверхность не только через края, но и через стороны. Поток через концы будет таким же, как и раньше, а дополнительный поток через стороны будет составлять дополнительный вложенный заряд.

Поле вне бесконечной заряженной проводящей плоскости

Мы уже решили и эту задачу (уравнение 1.5.6). Решение его с помощью закона Гаусса почти идентично предыдущему случаю, за одним исключением: мы не знаем, как выглядит поле с обеих сторон проводника — мы знаем только, что одна его сторона заряжена. Но это ничего, ведь на этот раз мы выбираем наш гауссовский цилиндр так, чтобы одна торцевая поверхность была снаружи проводника, а другая внутри металла .

Рисунок 1.7.2 — Гауссовая поверхность для проводящей плоскости заряда

. Вычислительные вычисления. внутри металла (здесь мы предполагаем электростатику), поэтому через этот конец цилиндра нет потока электрического поля. Вложенный заряд такой же, как и раньше, поэтому мы получаем:

\[ \Phi_E = \dfrac{Q_{encl}}{\epsilon_o} \;\;\; \Правая стрелка \;\;\; EA = \dfrac{\sigma A}{\epsilon_o} \;\;\; \Правая стрелка \;\;\; E = \dfrac{\sigma}{\epsilon_o}\]

И снова тот же ответ, который мы получили ранее. Но в этом решении есть дополнительная ценность, которой у нас не было раньше. В нашем предыдущем подходе к этому мы сделали некоторые конкретные предположения о форме проводящей пластины. С законом Гаусса мы можем работать даже с изогнутой поверхностью по следующей причине: когда поверхность искривлена, эта кривизна заметна только тогда, когда принимается во внимание достаточное количество этой поверхности (например, поверхность Земли кажется плоской, пока вы не отойдете от нее достаточно далеко). В этом подходе на основе закона Гаусса мы можем сделать площадь поперечного сечения цилиндра сколь угодно малой, и ответ не изменится. Как только мы сделаем площадь поперечного сечения «достаточно маленькой», чтобы изогнутая проводящая поверхность была фактически плоской (т. Е. Электрическое поле было постоянным на всей торцевой поверхности цилиндра), тогда полученный ответ применим. Это означает, что этот ответ относится к каждой проводящей поверхности , если плотность оценивается в определенном месте на поверхности. Другими словами, если плотность заряда на поверхности проводника в точке \(x\) равна \(\sigma\left(x\right)\), то величина электрического поля в той же позиции в пространстве равна:

\[E\left(x\right)=\dfrac{\sigma\left(x\right)}{\epsilon_o}\]

Как мы уже выяснили, поле в этой точке перпендикулярно проводящей поверхности ).

Поле бесконечной линии заряда

Еще одна проблема, которую мы уже решили! Как мы увидим, этот вариант отличается от двух предыдущих тем, что в конечном итоге поле будет зависеть от размеров нашей гауссовой поверхности. Это дает нам поле, которое не является однородным (а это не так!). Опять же, трюк состоит в том, чтобы определить гауссову поверхность, где силовые линии проходят через некоторые ее части под прямым углом, а через другие части — нет. Поэтому очевидным выбором является цилиндр.

Рисунок 1.7.3 – Поверхность Гаусса для бесконечной линии заряда

Мы знаем из аргументов симметрии, которые мы уже приводили в прошлом, что поле направлено радиально наружу от линии, что означает, что силовые линии не проходят через концы линии. цилиндр, ничего не внося в общий поток. Несмотря на искривленную поверхность цилиндра, электрическое поле везде перпендикулярно, а поскольку цилиндр находится в центре на линии заряда, напряженность поля везде одинакова. Таким образом, общий поток равен напряженности электрического поля на стенке цилиндра, умноженной на его площадь:

\[ \Phi_E = \cancelto{0}{\Phi_E\left(top\right)} + \cancelto{0}{\Phi_E\left(bottom\right)} + \Phi_E\left(sides\right) \;\;\; \Rightarrow \;\;\;\Phi_E =EA=2\pi rlE\]

Заключенный заряд — это заряд, заключенный между двумя концами цилиндра, который представляет собой линейную плотность заряда, умноженную на длину сегмента, что является длиной цилиндра. Следовательно, применение закона Гаусса дает:

\[ \Phi_E = \dfrac{Q_{encl}}{\epsilon_o} \;\;\; \Правая стрелка \;\;\; 2\pi rlE = \dfrac{\lambda \;l}{\epsilon_o} \;\;\; \Правая стрелка \;\;\; E = \dfrac{\lambda}{2\pi\epsilon_o\;r}\]

Опять же, это согласуется с ранее полученным ответом (уравнение 1. 3.21).

Поля внутри распределений зарядов

У читателя не должно сложиться впечатление, что электрические поля существуют только вне распределений зарядов, хотя до сих пор все примеры относились к этой разновидности. Действительно, закон Гаусса очень полезен для нахождения полей в пределах распределений заряда, и этот процесс ничем не отличается от описанного выше.

Рассмотрим случай заряженной сферы с однородной плотностью \(\rho\) и радиусом \(R\). Мы можем использовать закон Гаусса для вычисления электрического поля в точках внутри области распределения заряда (\(rR\)). Последний расчет так же прост, как и приведенные выше — поле имеет сферическую симметрию (направлено радиально наружу), поэтому мы выбираем сферическую гауссову поверхность (через которую поле будет проходить ортогонально и на которой напряженность поля постоянна), что дает: 92} \]

Да, поле выглядит точь-в-точь как у точечного заряда! Это будет верно для пустого пространства за пределами всех сферически-симметричных распределений заряда, даже если плотность заряда изменяется относительно \(r\). 2} = \dfrac{\rho}{3\epsilon_o}r \]

Вместо того, чтобы ослабевать с зависимостью обратных квадратов по мере удаления от центра, это поле на самом деле становится сильнее линейно. Это происходит до тех пор, пока \(r\) не достигнет внешней поверхности заряженной сферы, затем после этого он следует ослаблению, подобному точечному заряду, обратно-квадратичному поведению.

Предупреждение

Всякий раз, когда решается задача, включающая несколько областей, подобных этой (одна область находится внутри заряда, а другая вне заряда), рекомендуется проверить, чтобы поле было равно 9.0071 непрерывно с на границе . Действительно, в этом случае, если мы подставим \(r=R\) и во внутреннее, и во внешнее решение, мы получим тот же результат. Мы увидим, что это также иногда используется как условие, которое мы налагаем, чтобы помочь нам решить проблему.

Давайте на минутку продемонстрируем, как задачи, в которых мы ищем поля в распределении заряда, также могут быть решены с использованием локальной формы закона Гаусса. Использование этого метода для решения полей в пустом пространстве сопряжено с математическими нюансами, которых мы избегаем, но для областей, содержащих заряд, он вполне работоспособен, а в некоторых случаях, возможно, даже предпочтительнее. 92}\]

Используя решение для внешнего заряда, которое мы нашли выше, и подставив \(r=R\) (граница), мы находим, что наша постоянная интегрирования в этом случае оказывается равной нулю. Обратите внимание, что мы получаем то же поле, которое мы нашли, используя интегральную версию.

В отношении этих двух методов следует отметить, что если плотность непостоянна, интеграл должен выполняться в любом случае. Либо плотность заряда появляется при интегрировании дивергенции, либо она появляется в интеграле для вычисления заряда, заключенного в окружающем объеме (обратите внимание, что в этом конкретном случае постоянной плотности нам нужно было только умножить плотность на объем, но мы не всегда так повезет).

Пример \(\PageIndex{1}\)

Очень длинный изолирующий цилиндр является полым с внутренним радиусом \(a\) и внешним радиусом \(b\). В изоляционном материале объемная плотность заряда определяется выражением: \(\rho(R) = \alpha/R\), где \(\alpha\) — положительная постоянная, а \(R\) — расстояние от оси цилиндра. Выберите подходящие гауссовы поверхности и используйте закон Гаусса, чтобы найти электрическое поле (величину и направление) повсюду.

Решение

Существует три различных области: (\(0 Берем каждый регион по очереди:

*** \(0<г<а\) ***

Заключенный заряд равен нулю, а поскольку площадь не равна нулю, электрическое поле должно быть равно нулю для каждого \(r\) в этой пустой области.

*** \(а

Гауссова поверхность имеет радиус \(r\) и длину \(l\). Таким образом, общий электрический поток равен:

\[\Phi_E=EA=2\pi rlE \номер\]

Чтобы применить закон Гаусса, нам нужен полный заряд, заключенный на поверхности. У нас есть функция плотности, поэтому нам нужно проинтегрировать ее по объему в пределах гауссовой поверхности, чтобы получить замкнутый заряд. Мы используем объем в цилиндрических координатах (\(dV=RdR\;d\theta\;dz\)), а пределы интегрирования таковы: 9r \dfrac{\alpha}{R} RdR = 2\pi \alpha l \left(r-a\right) \nonumber \]

Применение закона Гаусса дает:

\[ E\left(r\right) = \dfrac{Q_{encl}}{\epsilon_o A} = \dfrac{2\pi \alpha l \left(r-a\right)}{\epsilon_o 2\pi r l} = \boxed{\dfrac{\alpha}{\epsilon_o}\left(1-\dfrac{a}{r}\right)} \nonumber \]

*** \(b

Теперь, когда гауссова поверхность находится за пределами всего распределения заряда, замкнутое распределение заряда представляет собой весь заряд. Мы можем повторно использовать приведенную выше работу, просто изменив верхний предел интеграла для вложенного заряда с \(r\) на \(b\). Это дает:

\[Q_{encl} = 2\pi \alpha l \left(b-a\right) \;\;\; \Правая стрелка \;\;\; E\left(r\right) = \boxed{\dfrac{\alpha}{\epsilon_o}\left(\dfrac{ba}{r}\right)}\nonumber \]

Пример \(\PageIndex{2}\)

Повторите предыдущий пример для двух внешних областей, используя локальную форму закона Гаусса. Можно предположить, что вы уже определили, что \(E=0\) в полой полости, и использовать это как граничное условие.

Решение

В цилиндрических координатах расходимость векторного поля, зависящая только от расстояния от оси \(z\), определяется как:

\[\overrightarrow \nabla \cdot \overrightarrow E\left(r\right) = \dfrac{1}{r}\dfrac{d}{dr}\left[rE\left(r\right)\right ] \номер\]

Теперь для каждой из двух областей применим закон Гаусса:

*** \(а

Нам дана функция плотности заряда в этой области, поэтому подстановка ее в формулу дивергенции дает:

\[\overrightarrow \nabla \cdot \overrightarrow E\left(r\right) = \dfrac{\rho}{\epsilon_o} \;\;\; \Правая стрелка \;\;\; \dfrac{1}{r}\dfrac{d}{dr}\left[rE\left(r\right)\right] = \dfrac{\alpha}{\epsilon_o r} \;\;\; \Правая стрелка \;\;\; \dfrac{d}{dr}\left[rE\left(r\right)\right] = \dfrac{\alpha}{\epsilon_o}\nonumber\]

Теперь выполните неопределенный интеграл (не забудьте постоянную интегрирования! – я буду называть ее \(\beta\)):

\[rE\left(r\right) = \int \dfrac{\alpha}{\epsilon_o}dr = \dfrac{\alpha}{\epsilon_o}r + \beta \;\;\; \Правая стрелка \;\;\; E\left(r\right) = \dfrac{\alpha}{\epsilon_o}+\dfrac{\beta}{r} \nonumber\]

Граничное условие в точке \(r=a\) требует, чтобы электрическое поле было там непрерывным, а значит, оно должно было равняться нулю. Это позволяет нам найти постоянную интегрирования:

\[E\влево(а\вправо) = 0 = \dfrac{\alpha}{\epsilon_o}+\dfrac{\beta}{a} \;\;\; \Правая стрелка \;\;\; \beta = -\dfrac{\alpha a}{\epsilon_o} \nonumber \]

Включение обратно дает нам электрическое поле в области изолятора, что согласуется с ответом из предыдущего примера:

\[E\left(r\right) = \dfrac{\alpha}{\epsilon_o}\left(1-\dfrac{a}{r}\right) \nonumber\]

*** \(b

В этой области нет заряда, поэтому плотность заряда равна нулю. Включение этого в формулу дивергенции дает:

\[\overrightarrow \nabla \cdot \overrightarrow E\left(r\right) = 0 \;\;\; \Правая стрелка \;\;\; \dfrac{d}{dr}\left[rE\left(r\right)\right] = 0 \;\;\; \Правая стрелка \;\;\; rE\left(r\right)=constant =\beta \;\;\; \Правая стрелка \;\;\; E\left(r\right) = \dfrac{\beta}{r} \nonumber\]

Нам снова нужно применить граничное условие для определения \(\beta\). В этом случае мы сопоставляем решение вне цилиндра с решением внутри области изолятора в точке \(r=b\):

\[E\left(b\right)=\dfrac{\alpha}{\epsilon_o}\left(1-\dfrac{a}{b}\right) = \dfrac{\beta}{b} \ ;\;\; \Правая стрелка \;\;\; \beta = \dfrac{\alpha}{\epsilon_o}\left(ba\right) \;\;\; \Правая стрелка \;\;\; E\left(r\right) = \dfrac{\alpha}{\epsilon_o}\left(\dfrac{ba}{r}\right)\nonumber\]

Это снова согласуется с ответом, полученным выше.

Полые проводящие оболочки

Другой распространенный тип задач, которые можно решить с помощью закона Гаусса, не связан с отсутствием симметрии. Полая проводящая оболочка (любой формы) обладает интересным свойством: поскольку электрическое поле в металле такой оболочки должно исчезать, то, построив гауссову поверхность внутри металла, мы можем увидеть, что через эту поверхность должен быть нулевой суммарный поток . Это означает, что заряд, заключенный в этой оболочке, должен быть равен нулю. А что, если в пустоту поместить электрический заряд? Как же тогда может выполняться закон Гаусса? Единственный способ — это миграция заряда в проводнике. Если в пустом пространстве есть положительный заряд, то такое же количество отрицательного заряда перемещается к внутренней поверхности проводящей оболочки, сводя общий заряд на гауссовой поверхности к нулю. Если оболочка изначально была нейтрально заряжена, то положительный заряд, оставленный мигрирующим отрицательным зарядом, остается на внешней поверхности оболочки.

Пример \(\PageIndex{3}\)

Замкнутый полый проводник содержит замкнутый полый проводник меньшего размера и точечный заряд \(+1Q\) (см. схему). Свободный заряд, заключенный во внутреннем пространстве меньшего проводника, неизвестен, но сам меньший проводник несет суммарный заряд \(-3Q\), а больший проводник несет суммарный заряд \(+5Q\). Если на внешней поверхности большего проводника обнаружен заряд \(-2Q\), найдите, какой заряд находится на внутренней поверхности меньшего проводника. Предположим, что все заряды на проводниках покоятся в равновесии.

Раствор

Полный заряд внешнего проводника должен находиться на его поверхности, поэтому, если \(-2Q\) находится на внешней поверхности, то на его внутренней поверхности должно быть \(+7Q\). Теперь постройте гауссову поверхность внутри металла внешнего проводника. Нулевое электрическое поле внутри проводника (заряды статичны) приводит к нулевому потоку от этой гауссовской поверхности, что означает, что не должно быть никакого суммарного заряда. Заключенный заряд состоит из многих частей и представляет собой сумму заряда на внутренней поверхности внешнего проводника (\(+7Q\)), свободного заряда снаружи меньшего проводника (\(+1Q\)), полного заряд на меньшем проводнике (\(-3Q\)), и неизвестный свободный заряд внутри меньшего проводника. Чтобы сумма всех этих сумм равнялась нулю, неизвестный заряд должен быть равен \(-5Q\). Через внутренний проводник также нет потока, поэтому заряд, заключенный в гауссовой поверхности, построенной внутри его металла, также должен быть равен нулю. Теперь, когда мы знаем, что ранее неизвестный заряд равен \(-5Q\), на внутренней поверхности меньшего проводника должен быть заряд \(+5Q\).

Эта страница под названием 1.7: Использование закона Гаусса распространяется под лицензией CC BY-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Томом Вайдеманом непосредственно на платформе LibreTexts.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   Том Вайдеман

   Лицензия

   CC BY-SA

   Версия лицензии

   4,0

   Показать оглавление

   нет

2. Теги

   1. источник@родной

6.

2 Объяснение закона Гаусса — Университетская физика, том 2

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Формулировать закон Гаусса
• Объясните условия, при которых можно использовать закон Гаусса
• Применить закон Гаусса в соответствующих системах

Теперь мы можем определить электрический поток через произвольную замкнутую поверхность из-за произвольного распределения заряда. Мы обнаружили, что если замкнутая поверхность не имеет никакого заряда внутри, где линия электрического поля может закончиться, то любая линия электрического поля, входящая в поверхность в одной точке, обязательно должна выйти в какой-то другой точке поверхности. Следовательно, если замкнутая поверхность не имеет зарядов внутри замкнутого объема, то электрический поток через эту поверхность равен нулю. Что происходит с электрическим потоком, если внутри замкнутого объема есть заряды? Закон Гаусса дает количественный ответ на этот вопрос. 9dA=14πε0qR2dA.

Теперь найдем чистый поток, интегрируя этот поток по поверхности сферы:

Φ=14πε0qR2∮SdA=14πε0qR2(4πR2)=qε0.Φ=14πε0qR2∮SdA=14πε0qR2(4πR2)=qε0.

, где общая площадь сферической поверхности равна 4πR2,4πR2. Это дает поток через замкнутую сферическую поверхность на радиусе r как

Φ=qε0.Φ=qε0.

6.4

Замечательным фактом в этом уравнении является то, что поток не зависит от размера сферической поверхности. Это можно напрямую объяснить тем фактом, что электрическое поле точечного заряда уменьшается как 1/r21/r2 с расстоянием, что компенсирует скорость увеличения площади поверхности r2r2.

Линии электрического поля Изображение

Альтернативный способ понять, почему поток через замкнутую сферическую поверхность не зависит от радиуса поверхности, состоит в том, чтобы посмотреть на силовые линии электрического поля. Обратите внимание, что каждая силовая линия от до , пронизывающая поверхность на радиусе R1R1, также пронизывает поверхность на радиусе R2R2 (рис. 6.14).

Рисунок 6.14 Потоки через сферические поверхности радиусов R1R1 и R2R2, окружающие заряд q , равны независимо от размера поверхности, так как все E -линии поля, которые проходят через одну поверхность изнутри наружу, также проходят через другую поверхность в том же направлении.

Таким образом, общее число силовых линий электрического поля, проходящих через две поверхности изнутри наружу, равно. Это чистое количество линий электрического поля, которое получается путем вычитания количества линий в направлении снаружи внутрь из количества линий в направлении изнутри наружу, дает визуальную меру электрического потока через поверхности.

Как видите, если в замкнутой поверхности нет зарядов, то электрический поток через нее должен быть равен нулю. Типичная линия поля входит в поверхность в точке dA1dA1 и выходит в точке dA2.dA2. Каждая линия, входящая на поверхность, должна также покинуть эту поверхность. Следовательно, чистый «поток» силовых линий на поверхность или из нее равен нулю (рис. 6.15 (а)). То же самое произойдет, если внутрь замкнутой поверхности включить заряды одинакового и противоположного знака, так что суммарный включенный заряд равен нулю (пункт (б)). Поверхность, которая содержит одинаковое количество заряда, имеет одинаковое количество пересекающих ее силовых линий, независимо от формы или размера поверхности, если поверхность заключает в себе одинаковое количество заряда (часть (c)).

Рисунок 6.15 Понимание потока с точки зрения силовых линий. а) Электрический поток через замкнутую поверхность из-за заряда вне этой поверхности равен нулю. (b) Заряды заключены, но поскольку включенный чистый заряд равен нулю, чистый поток через закрытую поверхность также равен нулю. (c) Форма и размер поверхностей, окружающих заряд, не имеют значения, потому что все поверхности, окружающие один и тот же заряд, имеют одинаковый поток.

Формулировка закона Гаусса

Закон Гаусса обобщает этот результат на случай любого числа зарядов и любого расположения зарядов в пространстве внутри замкнутой поверхности. Согласно закону Гаусса, поток электрического поля E→E→ через любую замкнутую поверхность, также называемую гауссовой поверхностью, равен суммарному заключенному заряду (qenc)(qenc), деленному на диэлектрическую проницаемость свободного пространства (ε0)( ε0):

ΦЗакрытая поверхность=qencε0.ΦЗакрытая поверхность=qencε0.

Это уравнение верно для зарядов любого знака , потому что мы определяем вектор площади замкнутой поверхности, направленный наружу. Если заключенный заряд отрицательный (см. рис. 6.16(b)), то поток через SorS’S’ или S’ будет отрицательным.

Рисунок 6.16 Электрический поток через любую замкнутую поверхность, окружающую точечный заряд q , определяется законом Гаусса. а) Заключенный заряд положительный. (b) Заключенный заряд отрицательный.

Поверхность Гаусса не обязательно должна соответствовать реальному физическому объекту; действительно, это редко будет. Это математическая конструкция, которая может иметь любую форму при условии, что она замкнута. Однако, поскольку наша цель состоит в том, чтобы интегрировать поток по нему, мы склонны выбирать формы, которые являются в высшей степени симметричными.

Если заряды являются дискретными точечными зарядами, то мы просто добавляем их. Если заряд описывается непрерывным распределением, то нам нужно соответствующим образом интегрировать, чтобы найти общий заряд, который находится внутри замкнутого объема. Например, поток через гауссову поверхность S на рис. 6.17 равно Φ=(q1+q2+q5)/ε0.Φ=(q1+q2+q5)/ε0. Обратите внимание, что qencqenc — это просто сумма точечных зарядов. Если бы распределение заряда было непрерывным, нам нужно было бы соответствующим образом интегрировать, чтобы вычислить общий заряд в пределах гауссовой поверхности.

Рисунок 6.17 Поток через показанную гауссову поверхность из-за распределения заряда равен Φ=q1+q2+q5/ε0.Φ=q1+q2+q5/ε0.

Напомним, что для электрического поля справедлив принцип суперпозиции. Следовательно, полное электрическое поле в любой точке, в том числе и на выбранной гауссовой поверхности, представляет собой сумму всех существующих в этой точке электрических полей. Это позволяет нам записать закон Гаусса в терминах полного электрического поля. 9dA=qencε0.

6,5

Чтобы эффективно использовать закон Гаусса, вы должны иметь четкое представление о том, что представляет каждый член уравнения. Поле E→E→ равно суммарному электрическому полю в каждой точке гауссовой поверхности. В это полное поле входят вклады зарядов как внутри, так и вне гауссовой поверхности. Однако qencqenc — это всего лишь заряд внутри гауссовой поверхности. Наконец, поверхность Гаусса — это любая замкнутая поверхность в пространстве. Эта поверхность может совпадать с реальной поверхностью проводника или быть воображаемой геометрической поверхностью. Единственное требование, предъявляемое к поверхности Гаусса, состоит в том, что она должна быть замкнутой (рис. 6.18).

Рисунок 6.18 Бутылка Клейна, частично заполненная жидкостью. Можно ли использовать бутылку Клейна в качестве поверхности Гаусса?

Пример 6,5

Электрический поток через гауссовы поверхности

Рассчитайте электрический поток через каждую гауссову поверхность, показанную на рис. 6.19.

Рисунок 6.19 Различные гауссовы поверхности и заряды.

Стратегия

По закону Гаусса поток через каждую поверхность определяется как qenc/ε0, qenc/ε0, где qencqenc — заряд, заключенный на этой поверхности.

Решение

Для показанных поверхностей и зарядов находим

1. Φ=2,0 мкКлε0=2,3×105 Н·м2/Кл. Φ=2,0 мкКлε0=2,3×105 Н·м2/Кл.
2. Φ=-2,0 мкCε0=-2,3×105 Н·м2/Кл. Φ=-2,0 мкCε0=-2,3×105 Н·м2/Кл.
3. Φ=2,0 мкКлε0=2,3×105 Н·м2/Кл. Ф=2,0 мкКлε0=2,3×105 Н·м2/Кл.
4. Φ=-4,0 мкКл+6,0 мкКл-1,0 мкКлε0=1,1×105 Н·м2/Кл.
5. Φ=4,0 мкКл+6,0 мкКл−10,0 мкКлε0=0,Φ=4,0 мкКл+6,0 мкКл−10,0 мкКлε0=0.

Значение

В частном случае замкнутой поверхности расчеты потоков становятся суммой зарядов. В следующем разделе это позволит нам работать с более сложными системами.