Основы логики. Логические операции

Цели:

• оказание помощи учащимся при решении задач, где необходимо построение таблиц истинности, применение логических операций в простых и сложных выражениях;
• оказание помощи учащимся при подготовке к ЕГЭ;
• оказание помощи учителю при организации подготовки учащихся к ЕГЭ.

Задачи:

• отработать навыки по формированию представления об истории возникновения и эволюции логического мышления;
• отработать навыки составления однозначной интерпретации произвольной информации на основе алгебры логики;
• совершенствовать навыки формирования информационной культуры и потребности в приобретении знаний;
• совершенствовать навыки самостоятельной работы.

Тип урока: Данный урок подходит как для изучения нового материала, так и для закрепления изученного.

Ход урока:

1. Организационный момент. Приветствие учащихся.

2. Теоретический материал: изучение, повторение

Историческая справка. Логика – это очень древняя наука.

Основы формальной логики заложил ученый Древней Греции – Аристотель (384 г.-322 г. до н.э.) . Заслуга ученого состоит в том, что он отделил форму мышления от содержания, попытался соединить логику и математику, разработал раздел теории доказательств.

Немецкий ученый Лейбниц (1646-1716) взглянул на логику Аристотеля через призму математики. Им написан трактат — “Азбука мыслей”, сжатый и краткий язык символов. Лейбниц разработал идею логического исчисления. Рассуждения обозначил буквами, сложные высказывания — формулами. В результате удалось содержательные рассуждения заменить формальными вычислениями.

Джордж Буль считается основоположником математической логики как самостоятельной дисциплины. В его работах логика обрела свой алфавит, свою орфографию и грамматику. Буль - автор известных произведений, в т.ч. работы “Математический анализ логики”(1847г.). Основной труд Джорджа Буля — “Исследование законов мысли”, в котором представлен раздел логики - алгебра высказываний.

Логика — это наука о формах и способах мышления.

Основными формами мышления являются

• понятие,
• высказывание,
• умозаключение.

Понятие — это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта.

Пример. Клавиатура — устройство ввода символьной информации в компьютер.

Высказывание (суждение) — это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о свойствах реальных предметов и отношениях между ними. Высказывание может быть либо ложным, либо истинным.

Пример: Все дети любят лечить зубы (ложь).

Все взрослые были детьми (истина).

Умозаключение — это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений, может быть получено новое суждение (заключение).

Пример: доказательство теорем в геометрии.

Алгебра высказываний

Алгебра высказываний была разработана для того, чтобы можно было определять истинность или ложность составных высказываний, не вникая в их содержание.

В алгебре высказываний высказывания обозначаются именами логических переменных, которые могут принимать лишь два значения: “истина” (1) и “ложь” (0).

Для образования новых высказываний наиболее часто используются базовые логические операции, выражаемые с помощью логических связок “и”, “или”, “не”. B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны, и ложна, когда хотя бы одно из высказываний ложно.

Логическое сложение (дизъюнкция)

Объединение двух (или нескольких) высказываний с помощью союза “или” называется операцией логического сложения или дизъюнкцией.

Обозначение: +, V.

На естественном языке: ИЛИ.

Пример. А V B – В вазе лежат “яблоки” ИЛИ “груши”

Таблица истинности логического сложения

А	В	А V B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны, и истинна, когда хотя бы одно из высказываний истинно.

Логическое следование (импликация)

Обозначение: —>.

На естественном языке: если…, то…

Пример. А —> B – Если выучить материал, то сдашь зачет.

Таблица истинности логического следования

А	В	А —> B
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Импликация двух высказываний ложна только тогда, когда из истины следует ложь, и истинна в остальных случаях.

Логическое равенство (эквивалентность)

Обозначение: , <—>, =.

На естественном языке: тогда и только тогда, когда

Пример. А B – Добиться результата в спорте можно тогда и только тогда, когда приложено максимум усилий.

Таблица истинности логического равенства

А	В	А <—> B
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Эквивалентность двух высказываний истина только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны.;

Для изменения указанного порядка выполнения логических операций используются скобки.

3. Практическая работа.

Учащиеся выполняют задания. (презентация, слайды 17-23). После выполнения задания учащиеся проверяют правильность решения.

 Задание 1: Заполните таблицу. Истина – 1, Ложь — 0

Задание 2: Запишите высказывание “если яблоко зеленое или мелкое, то оно твердое”, используя знаки логических операций.

Задание 3: Определите результат логического выражения при заданных параметрах

¬( ¬B & ¬C ) U ¬( ¬A & ¬C ), при А=1, В=1, С=0.

Задание 4: Для какого имени истинно высказывание:

(Первая буква гласная) /\ (Четвёртая буква согласная) \/ (B слове четыре буквы)?

1) СЕРГЕЙ
2) АЛЕКСЕЙ
3) АНТОН
4) ИЛЬЯ

Задание 5. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

Какое выражение соответствует F?

1) (X ^ Y) ? (X Z)
2) (X ^ Y) ? (X Z)
3) (¬Х ^ Y) ? (X Z)
4) ¬(X ^ Y) ? (X Z)

4. Итоги урока. Вопросы учеников.

5. Домашнее задание. Учить конспект, придумать аналогичные задания.

6. Подведение итогов урока

Анализ и оценка успешности достижения цели занятия. Определение перспективы последующей работы.

Основные логические операции, таблицы истинности | Презентация к уроку:

Слайд 1

Слайд 2

мыслительные действия, результатом которых является изменение содержания или объема понятий, а также образование новых понятий. Логические операции-

Слайд 3

Конъюнкция — это сложное логическое выражение, которое считается истинным в том и только том случае, когда оба простых выражения являются истинными, во всех остальных случаях данное сложенное выражение ложно. Обозначение: F = A & B . Таблица истинности для конъюнкции : Логическое умножение или конъюнкция :

Слайд 4

Дизъюнкция — это сложное логическое выражение, которое истинно, если хотя бы одно из простых логических выражений истинно и ложно тогда и только тогда, когда оба простых логических выражен ь я ложны. Обозначение: F = A v B . Таблица истинности для дизъюнкции : Логическое сложение или дизъюнкция:

Слайд 5

Инверсия — это сложное логическое выражение, если исходное логическое выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное логическое выражение ложно, то результат отрицания будет истинным. Другими простыми слова, данная операция означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО . Обозначение: F = ¬A . Таблица истинности для инверсии : Логическое отрицание или инверсия:

Слайд 6

Импликация — это сложное логическое выражение, которое истинно во всех случаях, кроме как из истины следует ложь. То есть данная логическая операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием (А), а второе (В) является следствием. «A → B» истинно, если из А может следовать B. Обозначение: F = A → B . Таблица истинности для импликации : Логическое следование или импликация:

Слайд 7

Эквивалентность — это сложное логическое выражение, которое является истинным тогда и только тогда, когда оба простых логических выражения имеют одинаковую истинность. «A ↔ B» истинно тогда и только тогда, когда А и B равны. Обозначение: F = A ↔ B. Таблица истинности для эквивалентности : «A ⊕ B» истинно тогда, когда истинно А или B, но не оба одновременно. Эту операцию также называют «сложение по модулю два». Обозначение: F = A ⊕ B. Таблица истинности для XOR: Логическая равнозначность или эквивалентность и Операция XOR ( исключающие или)

4

2.5. Логические формулы. Таблицы истинности

Применяя введенные логические операции, можно из простых высказываний составить высказывания сколь угодно сложного вида. Например,

A ®ВÚС;

(A « Ú) ® Ù ;                

B ® Ú (С Ù B) « (A Ú B) Ù ® С  и т.д.

Такие высказывания называются логическими формулами или булевыми функциями, а входящие в них простые высказывания – логическими переменными. Символы Ø, Ù, Ú, ®, « называют логическими связками.

         Формулы логики высказываний можно рассматривать двояко.

1.     Принимая  А, В, С  за обозначение простых высказываний, логическая формула будет представляться как определенное сложное высказывание. Например, если обозначить А – «Будет дождь», В – «Я возьму зонт», С – «Я надену плащ», то A®ВÚС – запись сложного высказывания  «Если будет дождь, то я возьму зонт или надену плащ».

2.     Если рассматривать буквы А, В, С  в качестве переменных, принимающих два значения 1 и 0, то в этом случае логическая формула является булевой функцией.

Для правильного вычисления значения логических формул необходимо задать порядок выполнения логических операций. Сначала выполняется операция отрицания Ø, затем конъюнкция Ù и дизъюнкция Ú (они равноправны), затем импликация ® и, последней, эквивалентность «. Как и в алгебре, скобки необходимы для изменения порядка действий, а равноправные операции вычисляются слева направо.

Таким образом, для вычисления значения выражения (A « Ú) ® Ùнеобходимо сначала определить и , затем выполнить дизъюнкцию Ú, после этого подсчитать значение выражения, стоящего в скобках: A«Ú, далее выполнить конъюнкцию высказываний Ù и, наконец, соединить вычисленные значения высказываний A «Ú и Ù с помощью импликации: (A « Ú) ® Ù. Порядок выполнения операций будет таков:

.

Пусть простые высказывания А и В истинны: А=1, В=1. Тогда и  являются ложными высказываниями: =0, =0. Также ложной будет и дизъюнкция Ú=0. Значение высказывания в скобках A«Ú=0, так как эквивалентность истина«ложь дает ложь. Конъюнкция  ложных высказываний Ùтакже ложна: Ù=0. Результирующее высказывание представляет собой соединение ложь®ложь, что по определению операции импликация есть истина. Значит, (A « Ú) ® Ù=1 при А=1 и В=1.

Вычислим значение истинности рассмотренной логической формулы при всевозможных комбинациях значений логических переменных, составляющих эту формулу. Делать такие вычисления удобнее с помощью таблицы, в каждой строке которой анализируется одна комбинация значений простых высказываний, а в столбцах вычисляются все операции по порядку. Такие таблицы, построенные для сложных высказываний, называются таблицами истинности или таблицами Куайна.

Таблица истинности – перебор всех возможных комбинаций значений простых высказываний, из которых состоит сложное, и указание соответствующих значений сложного высказывания.

Построим таблицу истинности для приведенного выше сложного высказывания:

(A « Ú) ® Ù.

Так как и А, и В могут принимать два значения, то различных комбинаций значений А и В будет четыре:

А=1, В=1;

А=1, В=0;

А=0, В=1;

А=0, В=0.

Вычислим значение сложного высказывания в каждом случае по действиям.

Двойной чертой отделяем значения исходных переменных от вычисляемых значений по определениям логических операций.

Если логическая формула состоит из трех переменных А, В и С, то строк в таблице истинности будет 8. Действительно, для каждого значения высказывания С, а их два: истина и ложь, существуют 4 комбинации значений А и В. Все логические возможности значений высказываний  А, В и С можно проиллюстрировать с помощью так называемого дерева логических возможностей:

Если в сложном высказывании – n простых, то логических возможностей – строк таблицы истинности будет . К примеру, при n=10, число различных комбинаций значений переменных  — число строк таблицы .

Пример 4.1. Построить таблицу истинности логической формулы:

B ® Ú (С Ù B) « (A Ú B).

Решение. Сначала определим порядок вычисления логических операций:

.

Вычислим значения сложного высказывания по действиям для каждого из 8 возможных комбинаций простых.

Основные логические операции. Построение таблиц истинности высказываний.

Практическая работа № 3

1.       Краткие теоретические сведения.

Алгебра логики работает с простыми высказываниями и её интересует факт — истинно или ложно данное высказывание, что дает возможность определять истинность или ложность составных высказываний алгебраическими методами.

Простые высказывания в алгебре логики обозначаются заглавными латинскими буквами:

А = {Аристотель — основоположник логики};

В = {На яблонях растут бананы}.

Истинному высказыванию ставится в соответствие 1, ложному — 0. Таким образом, А = 1, В = 0.

Составные высказывания на естественном языке образуются с помощью союзов, которые в алгебре высказываний заменяются на логические операции.

Логическая операция КОНЪЮНКЦИЯ (логическое умножение):

• в естественном языке соответствует союзу и;

• в алгебре высказываний обозначение &;

• в языках программирования обозначение And.

Конъюнкция — это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

Таблица истинности функции логического умножения.

Логическая операция ДИЗЪЮНКЦИЯ (логическое сложение):

• в естественном языке соответствует союзу или;

• обозначение v;

• в языках программирования обозначение Оr.

Дизъюнкция — это логическая операция, которая каждым двум простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.

Таблица истинности функции логического сложения.

Логическая операция ИНВЕРСИЯ (отрицание):

• в естественном языке соответствует словам неверно, что… и частице не; _

• обозначение Ā;

• в языках программирования обозначение Not.

Отрицание — это логическая операция, которая каждому простому высказыванию ставит в соответствие составное высказывание, заключающееся в том, что исходное высказывание отрицается.

Таблица истинности функции логического отрицания.

Таблицы истинности.

Для каждого составного высказывания (логического выражения) можно построить таблицу истинности, которая определяет его истинность или ложность при всех возможных комбинациях исходных значений простых высказываний (логических переменных).

При построении таблиц истинности целесообразно руководствоваться определенной последовательностью действий.

Пример: построить таблицу истинности для функции F = (А v В) & (Ā v В)

Во-первых, необходимо определить количество строк в таблице истинности. Оно равно количеству возможных комбинаций значений логических переменных, входящих в ло­гическое выражение. Если количество логических переменных равно n, то:

количество строк =2ⁿ.

В нашем случае логическая функция F = (А v В) & (Ā v В) имеет 2 переменные и, следовательно, количество строк в таблице истинности должно быть равно 4.

Во-вторых, необходимо определить количество столбцов, а таблице истинности, которое равно количеству логических переменных плюс количество логических операций.

В нашем случае количество переменных равно двум, а количество логических операций — пяти, то есть количество столбцов таблицы истинности равно семи.

В-третьих, необходимо построить таблицу истинности с указанным количеством строк и столбцов, обозначить столбцы и внести в таблицу возможные наборы значений исходных логических переменных.

В-четвертых, необходимо заполнить таблицу истинности по столбцам, выполняя базовые логические операции в необходимой последовательности и в соответствии с их таблицами истинности (табл. приведена ниже). Теперь мы можем определить значение логической функции для любого набора значений логических переменных.

Таблица: Таблица истинности логической функции F = (А v В) & (Ā v В)

2. Задания.

1. Внимательно изучите теоретический материал.

2. Даны простые высказывания:

А = {Принтер — устройство ввода информации},

В = {Процессор — устройство обработки информации},

С = {Монитор — устройство хранения информации},

D = {Клавиатура — устройство ввода информации}.

Определите истинность составных высказываний:             (A & B) & (C v D)

3. Записать составное высказывание «(2.2=4 и 3.3=9) или (2.2¹4 и 3.3¹9)» в форме логического выражения. Построить таблицу истинности.

4. Составить составное высказывание, содержащее операции логического умножения, сложения и отрицания. Определить его истинность.

5. Доказать, используя таблицу истинности, что логические выражения ĀvВ  и  А&В  равносильны.

3. Оформление отчета:

1. Переписать основные логические операции и их таблицы истинности из методического пособия в тетрадь.

2. Выполнить п. 2, 3, 4 и 5 задания в тетради.

4. Контрольные вопросы.

1. Приведите примеры ложных и истинных высказываний.

2. Назовите связки, с помощью которых образуют сложные (составные) высказывания.

3. Перечислить основные логические операции.

4. Что содержат таблицы истинности и каков порядок их построения?

.Логические операции и таблицы истинности

Ключевые слова: логика, истина, ложь, отрицание, дизъюнкция, конъюнкция, импликация, равенство

Математическое предложение — это предложение, в котором утверждается факт или содержится полная идея. Предложение, которое можно считать истинным или ложным, называется утверждением .
Утверждение может быть истинным (T) или ложным (⊥) .
P, Q, R, … заявления

Пример:

Эта девушка красивая.- не утверждение.

Сегодня среда. — утверждение.

Отрицание (¬) (не)

Дизъюнкция (∨) (или)

Соединение (∧) (и)

Следствие (⇒) (если…, чем …)

Равенство (⇔) (двусмысленное)

Краткое содержание главы

Глава 7

Логика высказываний — это изучение того, как простые высказывания (базовые компоненты в логике высказываний) изменяются, чтобы сформировать составные высказывания, и того, как истина является функцией простых высказываний и составляющих элементов.Простой оператор — это оператор, не имеющий в качестве компонента какого-либо другого оператора. Составной оператор — это оператор, в состав которого входит хотя бы один простой оператор.

Чтобы облегчить изучение логики высказываний, утверждения обычного языка переводятся в нотацию логики высказываний. Логическая запись включает заглавные буквы, A – Z для обозначения простых утверждений и логические операторы для обозначения составных элементов. Существует пять символов логических операторов: тильда , точка , клин , подкова и тройная черта.

Тильда — символ отрицания. Слово «не» и фраза «это не тот случай» используются для отрицания следующего за ними утверждения (мы называем их использование «отрицанием»). Точка — это символ конъюнкции, который соединяет два различных утверждения (называемых «конъюнктами»). Дизъюнкция — это составное утверждение, в котором есть два различных утверждения (называемых «дизъюнкциями»), соединенных символом клина. В обычном языке слово «если» обычно предшествует условному выражению: «только если» обычно предшествует условному выражению.Символ подковы используется для перевода условного оператора. Двухусловное выражение — это составное выражение, состоящее из двух условных выражений: одно обозначается словом «если», а другое — фразой «только если».

Когда мы конструируем составные утверждения, мы стремимся создавать правильно сформированные формулы, которые являются грамматически правильными формами составных утверждений. У каждого составного оператора, содержащего два или более операторов, есть главный оператор. Это логический оператор, в диапазоне которого находится самый большой компонент или компоненты в составном операторе.

Каждое утверждение имеет значение истинности, то есть каждое утверждение истинно или ложно. Значение истинности сложного предложения с функцией истинности определяется значениями истинности его компонентов и определениями задействованных логических операторов. Любое сложное предложение с функциональной истинностью, которое может быть определено таким образом, называется «функцией истинности».

Определения истинности для логических операторов отображаются как формы утверждений в таблице истинности. Форма оператора — это набор переменных оператора и логических операторов.Таблица истинности — это набор значений истинности для сложного предложения с функциональной истинностью, который показывает для каждого возможного случая, как значение истинности предложения определяется значениями истинности его простых компонентов.

Важно знать следующие концепции, связанные с использованием и результатами таблиц истинности:

• Инклюзивная дизъюнкция: когда оба дизъюнкта могут быть истинными одновременно.

• Исключительная дизъюнкция: когда оба дизъюнкта не могут быть истинными одновременно.

• Порядок операций: порядок обработки логических операторов в предложении с функцией истинности; это пошаговый метод создания полной таблицы истинности.

• Условные утверждения: утверждения, которые не обязательно истинны или ложны (иногда они верны, иногда ложны).

• Неконфликтные утверждения: утверждения, в которых значения истинности в главном столбце оператора не зависят от значений истинности составных частей.

• Тавтология: утверждение, которое обязательно верно.

• Внутреннее противоречие: утверждение, которое обязательно ложно.

• Логически эквивалентно: Когда два функциональных утверждения истинности кажутся разными, но имеют идентичные таблицы истинности.

• Противоречивые утверждения: два утверждения, которые имеют противоположные значения истинности в каждой строке соответствующих таблиц истинности.

• Согласованные утверждения: два (или более) утверждения, в соответствующих таблицах истинности которых есть хотя бы одна строка, где истинны основные операторы.

• Несогласованные утверждения: два (или более) утверждения, у которых нет ни одной строки в соответствующих таблицах истинности, где основные операторы истинны.

• Форма аргумента: набор логических операторов и переменных оператора, в котором последовательная замена переменных оператора операторами приводит к получению аргумента.

• Modus ponens : допустимая форма аргумента (также называемая , подтверждающая антецедент ).

• Ошибка подтверждения консеквента: неверная форма аргумента; это формальная ошибка.

• Modus tollens : допустимая форма аргумента (также называемая , отрицающая консеквент ).

• Ошибка отрицания антецедента: неверная форма аргумента; это формальная ошибка.

2.1 — Логические операторы — Eduqas GCSE (2020 spec)

2.1: Логические операторы и таблицы истинности

Exam Board:

Eduqas / WJEC

Спецификация:

2020 +

Что такое логический оператор?

Внутри каждой компьютерной системы находятся миллионы транзисторов.

Это крошечные переключатели, которые можно либо включить (обозначено в двоичной системе цифрой 1), либо выключить (обозначено цифрой 0).

Логические операторы — это символы, используемые для обозначения схем транзисторов в компьютере. Четыре наиболее распространенных оператора:

Что такое таблица истинности?

Таблица истинности — это визуальный способ отображения всех возможных результатов логического оператора.

Входные и выходные значения в таблице истинности должны быть логическими значениями — обычно 0 или 1, но иногда True или False.

NOT

Логический оператор NOT создаст выходной сигнал, противоположный входному.

НЕ отображается горизонтальной линией.

Нотация логической алгебры

NOT A A

Таблица истинности

AND

Логический оператор AND выведет 1, только если оба входа также 1.

И обозначается точкой.

Нотация логической алгебры

A AND B A.B

Таблица истинности

OR

Логический оператор OR выведет 1, если любой из входных данных равен 1.

ИЛИ обозначается плюсом.

Нотация булевой алгебры

A OR B A + B

Таблица истинности

XOR

Логический оператор XOR (исключающее ИЛИ) выведет 1, если входы разные, и 0, если входы такие же.

XOR обозначается плюсом в кружке.

Нотация булевой алгебры

A XOR B A B

Таблица истинности

Множественные операции

Вопросы экзамена задают вам полные таблицы истинности, в которых используется более одного логического оператора.

Проработайте каждый столбец по очереди слева направо и внимательно посмотрите, какой столбец вам нужно использовать.

Упрощение

Вас могут попросить использовать таблицу истинности для упрощения выражения.

Это действительно очень просто. После того, как вы заполнили таблицу истинности, посмотрите, соответствуют ли какие-либо столбцы окончательному выражению.

A + B и A + (A + B) дают одинаковые значения, поэтому:

A + (A + B) можно упростить как A + B.

Вопросы Questo

2.1 — Логические операторы:

1.Скопируйте и заполните следующие таблицы истинности:

1б. Упростите выражение во второй таблице истинности.

2а. Кинотеатр использует компьютерную систему для отслеживания количества мест, выделенных для предстоящих фильмов. Если и премиум-места, и стандартные места распроданы, система отобразит сообщение. Укажите тип логического оператора в этом примере.

2б. Для наиболее популярных фильмов компьютерная система кинотеатра также отобразит сообщение, если эксклюзивные места или стандартные места были распроданы. Однако он не будет выводить сообщение, когда оба проданы. Укажите тип логического оператора в этом примере.

Математические / сравнения / логические операторы, приоритетность, таблица истинности

Обложка символов операций, используемых для математики, операций со строками, логики и выражения сравнения.Включает в себя порядок приоритета и таблицу истинности.

В следующей таблице истинности приведены все правила, необходимые для оценки логические выражения.

Столбцы И и ИЛИ таблицы истинности можно резюмировать следующим образом:

• «А.А ТАКЖЕ. B «верно, только если оба A и B верны.
• «A .AND. B» ложно, если A или B ложно.
• «A .OR. B» истинно, если A или B истинно.
• «A .OR. B» ложно, только если и A, и B ложны.

Символы логических операторов

Логические или логические операторы используются в логических (булевых) выражениях. (Пример: (A .AND. B .OR. C)).

Как и в математических выражениях, существует определенный порядок приоритет для оценки логических выражений, которые имеют более двух операторы.Выражения внутри круглых скобок оцениваются первыми, а логические операторы оцениваются в следующем порядке:

1. . ПРИМЕЧАНИЕ.
2. .И.
3. .ИЛИ.

Пример: круглые скобки в следующем примере делают два утверждения логически разные:

• А .И. B .ИЛИ. C
• А .И. (B .OR. C)

Символы математических операторов

Символы математических операторов указывают, какие операции должны быть выполнены при оценке арифметического выражения, такого как X / Y * (A + B * A). Возведение в степень * Умножение / Разделение + Добавление — Вычитание

Порядок старшинства

При оценке математического или логического выражения выражения содержали в скобках всегда оцениваются первыми.Приказ приоритета для остальных математических операторов слева направо в в следующем порядке:

1. E xponentiation
2. M ultiplication и D ivision
3. A ddition и S ddition

Следующая фраза полезна для запоминания порядка приоритета. для математических операторов. Просто убедитесь, что вы понимаете, что умножение не предшествует делению (они равны и выполняются слева направо) право, если нет скобок) и сложение не приходит перед вычитанием (они равны и выполняются слева направо, если нет круглые скобки).

Строковые символы операций

Строковые символы операций указывают, как две или более символьных строк объединяются — операция, известная как конкатенация.

Пример (_ обозначают пробелы)

• «Здравствуйте ____» + «Там.»=» Привет ____ Вот. »
• «Привет ____» — «Там.» = «Привет, здесь .____»

Символы операторов сравнения

Операторы сравнения используются для сравнения математических, символы или выражения даты. Они приводят к логическим значениям Истина или Ложь, как используется с логической логикой.

Таблицы истинности DMCS и предложения, созданные набором

Раздел 3.2 Таблицы истинности и предложения, генерируемые набором

Подраздел 3.2.1 Таблицы истинности

Рассмотрим составное предложение \ (c = (p \ land q) \ lor (\ neg q \ land r) \ text {,} \), где \ (p \ text {,} \) \ (q \ text { ,} \) и \ (r \) суть предложения. Это пример предложения, созданного с помощью \ (p \ text {,} \) \ (q \ text {,} \) и \ (r \ text {.} \). Мы определим эту терминологию позже в этом разделе.Поскольку каждое из трех простых утверждений имеет два возможных значения истинности, отсюда следует, что существует восемь различных комбинаций значений истинности, которые определяют значение для \ (c \ text {.} \). Эти значения могут быть получены из таблицы истинности для \ (c \ text {.} \) Чтобы построить таблицу истинности, мы строим \ (c \) из \ (p \ text {,} \) \ (q \ text {,} \) и \ (r \) и из логических операторов. Результатом является таблица истинности ниже. Строго говоря, первые три столбца и последний столбец составляют таблицу истинности для \ (c \ text {.} \) Остальные столбцы — это рабочее пространство, необходимое для создания до \ (c \ text {.} \)

\ begin {уравнение *} \ begin {array} {| c | c | c | c | c | c | c |} \ hline p & q & r & p \ land q & \ neg q & \ neg q \ land r & (p \ land q) \ lor (\ neg q \ land r) \\\ hline 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\ hline 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\\ hline 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\ hline 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\ hline 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\ hline 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\\ hline 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\ hline 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\ hline \ end {массив} \ end {уравнение *}

Пусть \ (S \) — произвольный набор предложений. Мы дадим два определения предложения, порожденного S. Первое немного неточно, но должно быть ясным. Второе определение называется рекурсивным определением .Если вас это сбивает с толку, используйте первое определение и вернитесь ко второму позже.

Подраздел 3.2.2 Предложения, порожденные множеством

Пусть \ (S \) — произвольный набор предложений. Предложение, порожденное \ (S \), — это любая допустимая комбинация предложений в \ (S \) с конъюнкцией, дизъюнкцией и отрицанием. Или, точнее,

1. Если \ (p \ in S \ text {,} \), то \ (p \) — это предложение, созданное \ (S \ text {,} \) и

2. Если \ (x \) и \ (y \) суждения, сгенерированные \ (S \ text {,} \), то так же и \ ((x) \ text {,} \) \ (\ neg x \ text {,} \) \ (x \ lor y \) и \ (x \ land y \ text {.} \)

Примечание. Мы не включили в определение условное и биконусное выражение, потому что оба они могут быть сгенерированы из конъюнкции, дизъюнкции и отрицания, как мы увидим позже.

Если \ (S \) — конечное множество, мы можем использовать немного другую терминологию. Например, если \ (S = \ {p, q, r \} \ text {,} \), мы можем сказать, что предложение порождается \ (p, q \ text {,} \) и \ (r \ ) вместо \ (\ {p, q, r \} \ text {.} \)

Предложение, порожденное множеством \ (S \), не обязательно должно включать каждый элемент \ (S \) в свое выражение.Например, \ (\ neg q \ land r \) — это предложение, созданное \ (p, q \ text {,} \) и \ (r \ text {.} \)

Подраздел 3.2.3 Приоритет логических операторов

Принято использовать следующую иерархию для интерпретации предложений, где скобки имеют приоритет над этим порядком:

На любом уровне иерархии работайте слева направо. Используя эти правила, \ (p \ land q \ lor r \) понимается как \ ((p \ land q) \ lor r \ text {.} \) Эти правила приоритета универсальны и именно те, которые используются компьютером. языки для интерпретации логических выражений.

Пример 3.2.3. Примеры иерархии логических операций.

Несколько сокращенных выражений и их полностью заключенные в скобки версии:

1. \ (p \ land q \ land r \) равно \ ((p \ land q) \ land r \ text {.} \)

2. \ (\ neg p \ lor \ neg r \) равно \ ((\ neg p) \ lor (\ neg r) \ text {.} \)

3. \ (\ neg \ neg p \) равно \ (\ neg (\ neg p) \ text {.} \)

4. \ (p \ leftrightarrow q \ land r \ rightarrow s \) равно \ (p \ leftrightarrow ((q \ land r) \ rightarrow s) \ text {.} \)

Упражнения 3.2.4 Упражнения к разделу 3.2

1.

Составьте таблицы истинности для:

1. \ (p \ lor p \)

2. \ (п \ земля (\ neg p) \)

3. \ (p \ lor (\ neg p) \)

4. \ (п \ земельный п \)

1. \ (\ begin {array} {cc} п & п \ лор п \\ \ hline 0 & 0 \\ 1 и 1 \\ \ end {array} \)

2. \ (\ begin {array} {ccc} p & \ neg p & p \ land (\ neg p) \\ \ hline 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \ end {array} \)
3. \ (\ begin {array} {ccc} p & \ neg p & p \ lor (\ neg p) \\ \ hline 0 и 1 и 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ \ end {array} \)
4. \ (\ begin {array} {cc} п & п \ земля п \\ \ hline 0 & 0 \\ 1 и 1 \\ \ end {array} \)

2.

Составьте таблицы истинности для:

1. \ (\ neg (p \ land q) \)

2. \ (п \ земля (\ neg q) \)

3. \ ((п \ земельный участок) \ земельный участок \)

4. \ ((p \ земля q) \ lor (q \ land r) \ lor (r \ land p) \)

5. \ (\ text {} \ neg p \ lor \ neg q \)

6. \ (p \ lor q \ lor r \ lor s \)

3.

Запишите следующее, используя как можно меньше лишних скобок:

1. \ ((\ neg ((p) \ land (r))) \ lor (s) \)

2. \ (((p) \ lor (q)) \ land ((r) \ lor (q)) \)

1. \ (\ neg (p \ land r) \ lor s \)

2. \ ((p \ lor q) \ land (r \ lor q) \)

4.

В каком порядке выполняются операции в следующих предложениях?

1. \ (p \ lor \ neg q \ lor r \ land \ neg p \)

2. \ (п \ земля \ нег q \ земля р \ земля \ нег р \)

5.

Определить количество строк в таблице истинности предложения, содержащего четыре переменные \ (p, q, r, \ textrm {и} s \ text {.} \)

6.

Если на листе 45 строк, и вы хотите зарезервировать одну строку для каждой строки в таблице истинности, насколько большим может быть \ (\ lvert S \ rvert \), если вы можете написать таблицы истинности предложений, сгенерированных \ (S \) на листе бумаги?

Упражнения 3.2.5 Практика работы в сети для раздела 3.2

В некоторых задачах веб-работы для обозначения отрицания используется тильда ~ вместо \ (\ neg \).

Некоторые упражнения из этого раздела могут не уместиться на экранах меньшего размера. Вы можете увидеть их, повернув экран в альбомную ориентацию или щелкнув правой кнопкой мыши в поле упражнения и выбрав «Этот кадр», затем «Показать только этот кадр»

1.

Источник открытых проблем WebWork: Библиотека / ASU-themes / setDiscrete / katie3.pg

2.

WebWork Открытый источник проблемы: Library / SDSU / Discrete / Logic / financiallogicB4.pg

3.

WebWork Открытый источник проблемы: Library / SDSU / Discrete / Logic / ttlogicequivA7.pg

4.

WebWork Открытый источник проблемы: Library / SDSU / Discrete / Logic / ttlogicequivA8.pg

5.

Источник открытых проблем WebWork: Библиотека / ASU-themes / setDiscrete / katie4.pg

6.

Источник открытых проблем WebWork: Библиотека / ASU-themes / setDiscrete / katie5.pg

5,7. Таблицы истинности — документация LaunchCode LCHS

Таблицы истинности помогают нам понять, как работают логические операторы, показывая все возможных возвращаемых значений.Давайте посмотрим на таблицу истинности для и , которые предполагает, что у нас есть два логических выражения: A и B .

Пример

Рассмотрим первую строку таблицы.В этой строке указано, что если A истинно и B верно, тогда A и B верно. Две средние строки показывают, что если либо A, либо B ложны, тогда A и B ложны. Наконец, если и A, и B являются false, тогда A и B ложно.

Попробуй!

Теперь взгляните на таблицу истинности для или .

1. ПРОГНОЗИРУЙТЕ, должно ли A или B быть Истинно или Ложно для каждой строки.
2. Щелкните в пустом месте, чтобы проверить свои ответы.

5.7.1. Порядок действий

В нашем наборе инструментов теперь много операторов, поэтому важно понимать как они относятся друг к другу. Какие операторы выполняются в первую очередь?

Python всегда выполняет операции в определенном порядке:

1. Сначала он выполняет все математические вычисления.
2. Затем он оценивает все сравнения как True или False .
3. Далее применяются все операторы , а не .
4. Наконец, он оценивает операции и и или .

Пример

Выражение x * 5> = 10 и y - 6 <= 20 будет завершено в следующем порядке:

1. x * 5 вычисляется, затем y - 6 .
2. Сравнение > = оценивается как Истинно или Ложно .
3. Сравнение <= оценивается как Истинно или Ложно .
4. Операторы и обрабатываются последними.

Допустим, x = 2 и y = 46 . Здесь мы проходим каждый этап оценки:

5.7.1.1. Рабочий стол оператора

В следующей таблице перечислены операторы в порядке важности, начиная с наивысшего. (применяется первым) к низшему (применяется последним).

Наконечник

Использование скобок не всегда необходимо, но они имеют большое значение, когда кто-то другой читает ваш код.Лучше всего использовать круглые скобки, чтобы код легче читается:

x * 5> = 10 и y - 6 <= 20

против

(x * 5> = 10) и (y - 6 <= 20)

5.7.2. Проверьте свое понимание

Вопрос

Предположим, у нас есть 3 логических выражения (A, B и C). Какие комбинации значения (A / B / C) заставят выражение A или B и C оценить как Правда ? Щелкните ВСЕ подходящие варианты.

1. Истинно / Верно / Верно
2. Ложь / Верно / Верно
3. Верно / Ложно / Верно
4. Верно / Верно / Ложно
5. Ложь / Ложь / Истина
6. Ложь / Верно / Ложь
7. Верно / Ложно / Ложно
8. Ложь / Ложь / Ложь

Логические связки и таблицы истинности

Логические утверждения имеют значения истинности, такие как истина или ложь. Одно или несколько простых логических утверждений могут быть соединены в составное утверждение, которое также имеет значение истинности.Связки - это логические операторы, которые соединяют один или несколько логических операторов или атомарных операторов.

Результат зависит от истинности отдельных утверждений, которые являются частью составного утверждения; поэтому вся комбинация значений истинности для каждого атомарного утверждения, отображаемого в табличной форме, называется таблицей истинности , включая результат для каждой входной комбинации.

В предложной логике есть 5 основных логических связок, которые являются темой данной статьи.Это,