Лемма Гаусса о приводимости многочленов — Википедия — Study in China 2023
Лемма Гаусса — утверждение про свойства многочленов над факториальными кольцами, которое впервые было доказано для многочленов над кольцом целых чисел. Широко применяется в теории колец и полей, в частности, при доказательстве факториальности кольца многочленов над факториальным кольцом и теоремы Люрота.
Содержание
Show / HideФормулировка
Пусть R{\displaystyle R} — факториальное кольцо (например, кольцо целых чисел).Тогда справедливы следующие два утверждения:
- Пусть a∈R,f,g∈R[x],{\displaystyle a\in R,\;\;\;f,g\in R[x],} a{\displaystyle a} неприводимо (а значит и просто) в R{\displaystyle R} и делит все коэффициенты произведения f(x)g(x).{\displaystyle f(x)g(x).} Тогда a{\displaystyle a} также делит все коэффициенты или многочлена f(x),{\displaystyle f(x),} или многочлена g(x).{\displaystyle g(x).} В частности, если f(x),g(x){\displaystyle f(x),g(x)} — примитивные многочлены (многочлен называется примитивным, если наибольший общий делитель его коэффициентов обратим, т.
{m}} , n=degf,m=degg{\displaystyle n=\operatorname {deg} f,m=\operatorname {deg} g} — степени этих многочленов.Допустим, что p{\displaystyle p} не делит в совокупности ни коэффициенты f(x),{\displaystyle f(x),} ни g(x).{\displaystyle g(x).} Тогда существуют наименьшие i,j{\displaystyle i,j} для которых p∤ai{\displaystyle p\nmid a_{i}} и p∤bj.{\displaystyle p\nmid b_{j}.}
Коэффициент при элементе степени i+j{\displaystyle i+j} многочлена f(x)g(x){\displaystyle f(x)g(x)} имеет вид:
- ∑k<iakbi+j−k+aibj+∑l<jai+j−lbl.{\displaystyle \sum _{k<i}a_{k}b_{i+j-k}+a_{i}b_{j}+\sum _{l<j}a_{i+j-l}b_{l}.}
В соответствии с выбором i,j{\displaystyle i,j} элемент p{\displaystyle p} делит все слагаемые в этой сумме, за исключением aibj,{\displaystyle a_{i}b_{j},} который он не делит в силу своей простоты и факториальности R.{\displaystyle R.} Стало быть, он не делит и всю сумму, которая является одним из коэффициентов многочлена, и мы приходим к противоречию.
Непосредственным следствием этого пункта является то, что если f(x),g(x){\displaystyle f(x),g(x)} примитивны, то их произведение f(x)g(x){\displaystyle f(x)g(x)} — тоже примитивный многочлен.Пусть теперь f(x)=f1(x)f2(x){\displaystyle f(x)=f_{1}(x)f_{2}(x)} — факторизация в кольце Q[x].{\displaystyle Q[x].} Домножив каждый из f1(x),f2(x){\displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x)} на общее кратное знаменателей их коэффициентов, получим, что af1(x)=h2(x)∈R[x]{\displaystyle af_{1}(x)=h_{1}(x)\in R[x]} и bf2(x)=h3(x)∈R[x]{\displaystyle bf_{2}(x)=h_{2}(x)\in R[x]} и abf(x)=g1(x)g2(x).{\displaystyle abf(x)=g_{1}(x)g_{2}(x).}
Каждый из простых делителей ab{\displaystyle ab} делит все коэффициенты g1(x)g2(x),{\displaystyle g_{1}(x)g_{2}(x),} а значит и все коэффициенты одного из многочленов-сомножителей. Разделив на этот делитель и повторив процесс конечное число раз, получим факторизацию в кольце R[x].{\displaystyle R[x].}
См. также
- Теорема Люрота
Литература
- Garling, D. J.H. (1986), A Course in Galois Theory, Cambridge University Press, ISBN 0-521-31249-3
Лемма Гаусса о приводимости многочленов
Лемма Гаусса — утверждение про свойства многочленов над факториальными кольцами, которое впервые было доказано для многочленов над кольцом целых чисел. Широко применяется в теории колец и полей, в частности, при доказательстве факториальности кольца многочленов над факториальным кольцом и теоремы Люрота.
Формулировка
Пусть R {displaystyle R} — факториальное кольцо (например, кольцо целых чисел). Тогда справедливы следующие два утверждения:
- Пусть a ∈ R , f , g ∈ R [ x ] , {displaystyle ain R,;;;f,gin R[x],} a {displaystyle a} неприводимо (а значит и просто) в R {displaystyle R} и делит все коэффициенты произведения f ( x ) g ( x ) . {displaystyle f(x)g(x).} Тогда a {displaystyle a} также делит все коэффициенты или многочлена f ( x ) , {displaystyle f(x),} или многочлена g ( x ) . {displaystyle g(x).} В частности, если f ( x ) , g ( x ) {displaystyle f(x),g(x)} — примитивные многочлены (многочлен называется примитивным, если наибольший общий делитель его коэффициентов обратим, т.е. ассоциирован с единицей), то и многочлен f ( x ) g ( x ) {displaystyle f(x)g(x)} примитивен;
- Если Q {displaystyle Q} — поле частных кольца R , {displaystyle R,} и если многочлен неприводим в кольце R [ x ] , {displaystyle R[x],} то он неприводим и в кольце Q [ x ] . {displaystyle Q[x].} Более того, если многочлен примитивен в R [ x ] , {displaystyle R[x],} то верно и обратное.
Оба этих утверждения остаются верными, если вместо факториальных колец рассматривать области целостности, в которых любые два элемента имеют наибольший общий делитель.
Доказательство (для факториальных колец)
Докажем, что если простой элемент p {displaystyle p} кольца R {displaystyle R} является общим делителем коэффициентов f ( x ) g ( x ) {displaystyle f(x)g(x)} , то он делит либо все коэффициенты f ( x ) , {displaystyle f(x),} либо все коэффициенты g ( x ) {displaystyle g(x)} .
{m}} , n = deg f , m = deg g {displaystyle n=operatorname {deg} f,m=operatorname {deg} g} — степени этих многочленов.Допустим, что p {displaystyle p} не делит в совокупности ни коэффициенты f ( x ) , {displaystyle f(x),} ни g ( x ) . {displaystyle g(x).} Тогда существуют наименьшие i , j {displaystyle i,j} для которых p ∤ a i {displaystyle p mid a_{i}} и p ∤ b j . {displaystyle p mid b_{j}.
Коэффициент при элементе степени i + j {displaystyle i+j} многочлена f ( x ) g ( x ) {displaystyle f(x)g(x)} имеет вид:
∑ k < i a k b i + j − k + a i b j + ∑ l < j a i + j − l b l .
В соответствии с выбором i , j {displaystyle i,j} элемент p {displaystyle p} делит все слагаемые в этой сумме, за исключением a i b j , {displaystyle a_{i}b_{j},} который он не делит в силу своей простоты и факториальности R . {displaystyle R.} Стало быть, он не делит и всю сумму, которая является одним из коэффициентов многочлена, и мы приходим к противоречию. Непосредственным следствием этого пункта является то, что если f ( x ) , g ( x ) {displaystyle f(x),g(x)} примитивны, то их произведение f ( x ) g ( x ) {displaystyle f(x)g(x)} — тоже примитивный многочлен.
Пусть теперь f ( x ) = f 1 ( x ) f 2 ( x ) {displaystyle f(x)=f_{1}(x)f_{2}(x)} — факторизация в кольце Q [ x ] . {displaystyle Q[x].} Домножив каждый из f 1 ( x ) , f 2 ( x ) {displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x)} на общее кратное знаменателей их коэффициентов, получим, что a f 1 ( x ) = h 1 ( x ) ∈ R [ x ] {displaystyle af_{1}(x)=h_{1}(x)in R[x]} и b f 2 ( x ) = h 2 ( x ) ∈ R [ x ] {displaystyle bf_{2}(x)=h_{2}(x)in R[x]} и a b f ( x ) = g 1 ( x ) g 2 ( x ) .
Каждый из простых делителей a b {displaystyle ab} делит все коэффициенты g 1 ( x ) g 2 ( x ) , {displaystyle g_{1}(x)g_{2}(x),} а значит и все коэффициенты одного из многочленов-сомножителей. Разделив на этот делитель и повторив процесс конечное число раз, получим факторизацию в кольце R [ x ] . {displaystyle R[x].}
— Вопрос о лемме Гаусса?
спросил
Изменено 5 лет, 2 месяца назад
Просмотрено 477 раз
$\begingroup$
Это отрывок из моей книги:
Предположим, что $P(x)$ имеет целые коэффициенты и имеет нуль $x=2/3$ .
.. По факторной теореме $P(x)=(x-\dfrac 23)Q(x)$. Но какие коэффициенты у $Q(x)$? Все, что мы знаем наверняка, это то, что коэффициенты должны быть рациональными… Мы можем написать $P(x)=(3x-2)S(x)$, где $S(x)= \dfrac {Q(x) {3}$. Мы знаем, что $P(x)$ имеет целые коэффициенты; можем ли мы сказать то же самое о $S(x)$? Действительно, мы можем; это Лемма Гаусса :$$\text{Если многочлен с целыми коэффициентами можно разложить на множители}$$
$$\text{многочлены с рациональными коэффициентами, также можно разложить на множители}$$
$$ \text{в примитивные многочлены с целыми коэффициентами}$$
Моя проблема в том, что я не понимаю, каким образом лемма Гаусса подразумевает, что $S(x)$ должна иметь целые коэффициенты. Все, что говорит лемма, это то, что существуют два примитивных многочлена $f(x)$ и $g(x)$ такие, что $P(x)=f(x)g(x)$. Я не знаю, как вывести, что $(3x-2)$ и $S(x)$ являются такими полиномами.
- алгебра-предварительное исчисление
- элементарная-теория чисел
- многочлены
$\endgroup$
4
Лемму Гаусса можно сформулировать в виде, что произведение примитивных полиномов является примитивным полиномом.
Предположение, что $P$ примитивно, не является ограничением общности. Теперь мы знаем, что $S(x)$ имеет рациональные коэффициенты, поэтому существует примитивный полином с целыми коэффициентами $S_0(x)$ такой, что $S_0(x) = qS(x)$. Таким образом, $qP(x) = (3x-2)S_0(x)$, поэтому $qP(x)$ должен быть примитивным, откуда следует, что $q = \pm 1$, т.е. $S$ имеет целые коэффициенты.Позвольте мне сделать общее заявление. Пусть $p(x)$ — примитивный многочлен с целыми коэффициентами, а $p(x) = f(x)g(x)$ — его факторизация над $\mathbb Q$. Тогда существуют примитивные многочлены с целыми коэффициентами $f_0$ и $g_0$ и рациональными числами $q_1$ и $q_2$ такие, что $q_1f(x) = f_0(x)$, $q_2g(x) = g_0(x) $. Пусть $q = q_1q_2$. Тогда мы имеем $qp(x) = f_0(x)g_0(x)$, и поскольку $f_0$ и $g_0$ являются примитивными, $qp$ также является примитивным. Отсюда следует $q=\pm 1$.
Действительно, пусть $q = a/b$, где $a$ и $b$ взаимно просты, и пусть $\alpha_i$ — коэффициенты при $p$.
Прежде всего, мы имеем, что все $a\alpha_i/b$ являются целыми числами, поэтому $b$ делит все $\alpha_i$. По предположению, что $p$ примитивен, $b = 1$. Наконец, мы имеем, что $ap$ примитивен, а так как $p$ имеет целые коэффициенты, $a = \pm 1$. Наконец, это дает нам факторизацию $p(x) = \pm f_0(x)g_0(x)$ над $\mathbb Z$.$\endgroup$
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.Лемма Гаусса
Лемма ГауссаЛемма Гаусса
Мы знаем, что Q [x], полиномы с рациональными коэффициентами, сформировать УФД, просто потому, что рациональные числа образуют поле. Но данный многочлен и все его факторы, может быть отображено в Z [x] просто путем умножения на общий знаменатель. Это дает нам внутреннее ощущение, что Z [x], полиномы с целыми коэффициентами также образуют м.ф.д. Внутреннее чувство да, но Гаусс был первым, кто это доказал. Поэтому эта теорема называется леммой Гаусса.Пусть R — любое м.ф.д. Содержание многочлена p(x) в R[x] является наибольшим общим делителем его коэффициентов. Примитивный полином имеет содержание 1.
Произведение двух примитивных многочленов примитивно. Если q простое число делит содержимое a (x) * b (x), пусть ai и bj — первые коэффициенты в а и б соответственно которые не делятся на q. Коэффициент i+j в произведении не делится на q.
Это верно для всех q, следовательно, произведение имеет содержание 1.Вынесите на множители содержимое двух многочленов, чтобы получить следствие: содержание(а*б) = содержание(а)*содержимое(б).
Понятие примитивного полинома обобщается на кольца, не являющиеся м.д.д. Многочлен p(x) примитивен, если его коэффициенты порождают все кольцо. Произведение f*g примитивно тогда и только тогда, когда f и g примитивны. Если f*g не является примитивным, вложим его коэффициенты в максимальный идеал H, затем уменьшить R mod H, давая поле. Соответствующие многочлены над R/H образуют область целостности. Произведение f*g = 0, поэтому либо f, либо g равно 0, а его коэффициенты лежат в H. И наоборот, если коэффициенты f лежат в H, то же самое должны быть и коэффициенты f*g.
Все эти результаты справедливы для полиномов от нескольких переменных.
Пусть R будет ufd и пусть F будет полем дробей R. Например, если R — целые числа, F — рациональные числа. Если примитив p(x) приводим в R[x], то он заведомо приводим в F[x].
Наоборот, если p(x) приводимо в F[x], напишите p(x) = a(x)*b(x).
Умножьте на все знаменатели, являющиеся единицами, и уравнение будет лежать в R[x].
Напомним, что содержание(a*b) = содержание(a)*содержание(b).
Разделите по этому содержанию.
Теперь произведение примитивных многочленов a и b должно быть примитивным многочленом p.
Таким образом, примитивные многочлены неприводимы в R[x] тогда и только тогда, когда они неприводимы в F[x].
(Это не удается, если R не является ufd; щелкните здесь для примера.)Теперь факторизуйте p(x) в R[x], начиная с содержания, которая однозначно лежит в R и сомножается. Все остальные факторы неприводимы в F[x] и должны быть единственными.
Применяя дважды лемму Гаусса, R[x][y] является м.д.д. Продолжайте примыкать к неопределенным, сколько хотите, и по индукции результатом всегда является ufd. Таким образом, Z [x, y, z] является ufd. Это не pid, так как идеал, порожденный x и y, не является главным. Каждый pid является ufd, но не наоборот.
Выберите свой любимый бесконечный кардинал и присоедините столько же неопределенных к R. Назовите это кольцо С. Точно так же каждый ufd является областью факторизации по определению,
но есть домены факторизации, которые не являются ufd.
Это было проиллюстрировано присоединением
sqrt(-5) в целые числа.При перемножении двух многочленов произведение их старших членов, наибольшей степени и наибольшей неопределенности не равно нулю, следовательно, S — область целостности.
Предположим, что полином p имеет два фактора в S. Эти факторизации используют конечное число неопределенных факторов, что противоречит тому, что R[x1,x2,…xn] — м.ф.д. Следовательно, все S является м.д.д.
Добавляйте неопределенности по одной и стройте восходящую цепочку идеалов. Первый генерируется x1, второй x1 и x2, третий на х1 х2 и х3 и так далее. В то же время мы можем построить дополнительную цепь нисходящих идеалов. Пусть первый идеал порождается всеми индетерминантами, кроме x1. Вторая порождается всеми неопределенными, кроме x1 и x2, и так далее.
Итак, если вы на вечеринке, и возникает вопрос, «Есть ли ufd, который не является ни нётеровским, ни артиновым?», вы можете сказать да.
Приложения
Если p(x) имеет целые коэффициенты, и мы ищем рациональные корни, мы должны разложить p(x) на рациональные числа; но это то же самое, что учитывать целые числа. Таким образом, p(x) = q(x)×(ax-b). Корень, б/а, имеет числитель, делящий постоянный член и знаменатель, делящий старший член.Рассмотрим многочлен 3×3 — 2×2 + 12x — 8. Рациональный корень имеет числитель 1 2 4 или 8 и знаменатель 1 или 3. И, конечно, корень может быть отрицательным. В этом случае единственный рациональный корень равен 2/3. Остальные корни равны ±2i.
Пусть p = u2-3uv+7v-1. Разлагая p на множители, мы можем рассматривать его как многочлен от u, с коэффициентами, взятыми из уфд Z [v]. Ведущий коэффициент равен 1, а постоянный коэффициент равен 7v-1. Если q является фактором p, его опережающий коэффициент равен 1. и его постоянный коэффициент делит 7v-1, которое является простым в Z [v].
{m}} , n=degf,m=degg{\displaystyle n=\operatorname {deg} f,m=\operatorname {deg} g} — степени этих многочленов.
Непосредственным следствием этого пункта является то, что если f(x),g(x){\displaystyle f(x),g(x)} примитивны, то их произведение f(x)g(x){\displaystyle f(x)g(x)} — тоже примитивный многочлен.
J.H. (1986), A Course in Galois Theory, Cambridge University Press, ISBN 0-521-31249-3 
{displaystyle f(x)g(x).} Тогда a {displaystyle a} также делит все коэффициенты или многочлена f ( x ) , {displaystyle f(x),} или многочлена g ( x ) . {displaystyle g(x).} В частности, если f ( x ) , g ( x ) {displaystyle f(x),g(x)} — примитивные многочлены (многочлен называется примитивным, если наибольший общий делитель его коэффициентов обратим, т.е. ассоциирован с единицей), то и многочлен f ( x ) g ( x ) {displaystyle f(x)g(x)} примитивен;
{displaystyle Q[x].} Более того, если многочлен примитивен в R [ x ] , {displaystyle R[x],} то верно и обратное.
{m}} , n = deg f , m = deg g {displaystyle n=operatorname {deg} f,m=operatorname {deg} g} — степени этих многочленов.
.. По факторной теореме $P(x)=(x-\dfrac 23)Q(x)$. Но какие коэффициенты у $Q(x)$? Все, что мы знаем наверняка, это то, что коэффициенты должны быть рациональными… Мы можем написать $P(x)=(3x-2)S(x)$, где $S(x)= \dfrac {Q(x) {3}$. Мы знаем, что $P(x)$ имеет целые коэффициенты; можем ли мы сказать то же самое о $S(x)$? Действительно, мы можем; это Лемма Гаусса :
Предположение, что $P$ примитивно, не является ограничением общности. Теперь мы знаем, что $S(x)$ имеет рациональные коэффициенты, поэтому существует примитивный полином с целыми коэффициентами $S_0(x)$ такой, что $S_0(x) = qS(x)$. Таким образом, $qP(x) = (3x-2)S_0(x)$, поэтому $qP(x)$ должен быть примитивным, откуда следует, что $q = \pm 1$, т.е. $S$ имеет целые коэффициенты.
Прежде всего, мы имеем, что все $a\alpha_i/b$ являются целыми числами, поэтому $b$ делит все $\alpha_i$. По предположению, что $p$ примитивен, $b = 1$. Наконец, мы имеем, что $ap$ примитивен, а так как $p$ имеет целые коэффициенты, $a = \pm 1$. Наконец, это дает нам факторизацию $p(x) = \pm f_0(x)g_0(x)$ над $\mathbb Z$.
Это верно для всех q, следовательно, произведение имеет содержание 1.
Наоборот, если p(x) приводимо в F[x], напишите p(x) = a(x)*b(x).
Умножьте на все знаменатели, являющиеся единицами, и уравнение будет лежать в R[x].
Напомним, что содержание(a*b) = содержание(a)*содержание(b).
Разделите по этому содержанию.
Теперь произведение примитивных многочленов a и b должно быть примитивным многочленом p.
Таким образом, примитивные многочлены неприводимы в R[x] тогда и только тогда, когда они неприводимы в F[x].
(Это не удается, если R не является ufd; щелкните здесь для примера.)
Точно так же каждый ufd является областью факторизации по определению,
но есть домены факторизации, которые не являются ufd.
Это было проиллюстрировано присоединением
sqrt(-5) в целые числа.
