Site Loader

Лемма Гаусса о приводимости многочленов — Википедия — Study in China 2023

Лемма Гаусса — утверждение про свойства многочленов над факториальными кольцами, которое впервые было доказано для многочленов над кольцом целых чисел. Широко применяется в теории колец и полей, в частности, при доказательстве факториальности кольца многочленов над факториальным кольцом и теоремы Люрота.

Содержание

Show / Hide

Формулировка

Пусть R{\displaystyle R}  — факториальное кольцо (например, кольцо целых чисел).Тогда справедливы следующие два утверждения:

  • Пусть a∈R,f,g∈R[x],{\displaystyle a\in R,\;\;\;f,g\in R[x],}  a{\displaystyle a}  неприводимо (а значит и просто) в R{\displaystyle R}  и делит все коэффициенты произведения f(x)g(x).{\displaystyle f(x)g(x).}  Тогда a{\displaystyle a}  также делит все коэффициенты или многочлена f(x),{\displaystyle f(x),}  или многочлена g(x).{\displaystyle g(x).}  В частности, если f(x),g(x){\displaystyle f(x),g(x)}  — примитивные многочлены (многочлен называется примитивным, если наибольший общий делитель его коэффициентов обратим, т. {m}} , n=deg⁡f,m=deg⁡g{\displaystyle n=\operatorname {deg} f,m=\operatorname {deg} g}  — степени этих многочленов.

    Допустим, что p{\displaystyle p}  не делит в совокупности ни коэффициенты f(x),{\displaystyle f(x),}  ни g(x).{\displaystyle g(x).}  Тогда существуют наименьшие i,j{\displaystyle i,j}  для которых p∤ai{\displaystyle p\nmid a_{i}}  и p∤bj.{\displaystyle p\nmid b_{j}.} 

    Коэффициент при элементе степени i+j{\displaystyle i+j}  многочлена f(x)g(x){\displaystyle f(x)g(x)}  имеет вид:

      ∑k<iakbi+j−k+aibj+∑l<jai+j−lbl.{\displaystyle \sum _{k<i}a_{k}b_{i+j-k}+a_{i}b_{j}+\sum _{l<j}a_{i+j-l}b_{l}.} 

    В соответствии с выбором i,j{\displaystyle i,j}  элемент p{\displaystyle p}  делит все слагаемые в этой сумме, за исключением aibj,{\displaystyle a_{i}b_{j},}  который он не делит в силу своей простоты и факториальности R.{\displaystyle R.}  Стало быть, он не делит и всю сумму, которая является одним из коэффициентов многочлена, и мы приходим к противоречию. Непосредственным следствием этого пункта является то, что если f(x),g(x){\displaystyle f(x),g(x)}  примитивны, то их произведение f(x)g(x){\displaystyle f(x)g(x)}  — тоже примитивный многочлен.

    Пусть теперь f(x)=f1(x)f2(x){\displaystyle f(x)=f_{1}(x)f_{2}(x)}  — факторизация в кольце Q[x].{\displaystyle Q[x].}  Домножив каждый из f1(x),f2(x){\displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x)}  на общее кратное знаменателей их коэффициентов, получим, что af1(x)=h2(x)∈R[x]{\displaystyle af_{1}(x)=h_{1}(x)\in R[x]}  и bf2(x)=h3(x)∈R[x]{\displaystyle bf_{2}(x)=h_{2}(x)\in R[x]}  и abf(x)=g1(x)g2(x).{\displaystyle abf(x)=g_{1}(x)g_{2}(x).} 

    Каждый из простых делителей ab{\displaystyle ab}  делит все коэффициенты g1(x)g2(x),{\displaystyle g_{1}(x)g_{2}(x),}  а значит и все коэффициенты одного из многочленов-сомножителей. Разделив на этот делитель и повторив процесс конечное число раз, получим факторизацию в кольце R[x].{\displaystyle R[x].} 

    См. также

    • Теорема Люрота

    Литература

    • Garling, D. J.H. (1986), A Course in Galois Theory, Cambridge University Press, ISBN 0-521-31249-3 

    Лемма Гаусса о приводимости многочленов

    Лемма Гаусса — утверждение про свойства многочленов над факториальными кольцами, которое впервые было доказано для многочленов над кольцом целых чисел. Широко применяется в теории колец и полей, в частности, при доказательстве факториальности кольца многочленов над факториальным кольцом и теоремы Люрота.

    Формулировка

    Пусть R {displaystyle R} — факториальное кольцо (например, кольцо целых чисел). Тогда справедливы следующие два утверждения:

    • Пусть a ∈ R , f , g ∈ R [ x ] , {displaystyle ain R,;;;f,gin R[x],} a {displaystyle a} неприводимо (а значит и просто) в R {displaystyle R} и делит все коэффициенты произведения f ( x ) g ( x ) . {displaystyle f(x)g(x).} Тогда a {displaystyle a} также делит все коэффициенты или многочлена f ( x ) , {displaystyle f(x),} или многочлена g ( x ) . {displaystyle g(x).} В частности, если f ( x ) , g ( x ) {displaystyle f(x),g(x)} — примитивные многочлены (многочлен называется примитивным, если наибольший общий делитель его коэффициентов обратим, т.е. ассоциирован с единицей), то и многочлен f ( x ) g ( x ) {displaystyle f(x)g(x)} примитивен;
    • Если Q {displaystyle Q} — поле частных кольца R , {displaystyle R,} и если многочлен неприводим в кольце R [ x ] , {displaystyle R[x],} то он неприводим и в кольце Q [ x ] . {displaystyle Q[x].} Более того, если многочлен примитивен в R [ x ] , {displaystyle R[x],} то верно и обратное.

    Оба этих утверждения остаются верными, если вместо факториальных колец рассматривать области целостности, в которых любые два элемента имеют наибольший общий делитель.

    Доказательство (для факториальных колец)

    Докажем, что если простой элемент p {displaystyle p} кольца R {displaystyle R} является общим делителем коэффициентов f ( x ) g ( x ) {displaystyle f(x)g(x)} , то он делит либо все коэффициенты f ( x ) , {displaystyle f(x),} либо все коэффициенты g ( x ) {displaystyle g(x)} . {m}} , n = deg ⁡ f , m = deg ⁡ g {displaystyle n=operatorname {deg} f,m=operatorname {deg} g} — степени этих многочленов.

    Допустим, что p {displaystyle p} не делит в совокупности ни коэффициенты f ( x ) , {displaystyle f(x),} ни g ( x ) . {displaystyle g(x).} Тогда существуют наименьшие i , j {displaystyle i,j} для которых p ∤ a i {displaystyle p mid a_{i}} и p ∤ b j . {displaystyle p mid b_{j}.

    }

    Коэффициент при элементе степени i + j {displaystyle i+j} многочлена f ( x ) g ( x ) {displaystyle f(x)g(x)} имеет вид:

    ∑ k < i a k b i + j − k + a i b j + ∑ l < j a i + j − l b l .

    {displaystyle sum _{k<i}a_{k}b_{i+j-k}+a_{i}b_{j}+sum _{l<j}a_{i+j-l}b_{l}.}

    В соответствии с выбором i , j {displaystyle i,j} элемент p {displaystyle p} делит все слагаемые в этой сумме, за исключением a i b j , {displaystyle a_{i}b_{j},} который он не делит в силу своей простоты и факториальности R . {displaystyle R.} Стало быть, он не делит и всю сумму, которая является одним из коэффициентов многочлена, и мы приходим к противоречию. Непосредственным следствием этого пункта является то, что если f ( x ) , g ( x ) {displaystyle f(x),g(x)} примитивны, то их произведение f ( x ) g ( x ) {displaystyle f(x)g(x)} — тоже примитивный многочлен.

    Пусть теперь f ( x ) = f 1 ( x ) f 2 ( x ) {displaystyle f(x)=f_{1}(x)f_{2}(x)} — факторизация в кольце Q [ x ] . {displaystyle Q[x].} Домножив каждый из f 1 ( x ) , f 2 ( x ) {displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x)} на общее кратное знаменателей их коэффициентов, получим, что a f 1 ( x ) = h 1 ( x ) ∈ R [ x ] {displaystyle af_{1}(x)=h_{1}(x)in R[x]} и b f 2 ( x ) = h 2 ( x ) ∈ R [ x ] {displaystyle bf_{2}(x)=h_{2}(x)in R[x]} и a b f ( x ) = g 1 ( x ) g 2 ( x ) .

    {displaystyle abf(x)=g_{1}(x)g_{2}(x).}

    Каждый из простых делителей a b {displaystyle ab} делит все коэффициенты g 1 ( x ) g 2 ( x ) , {displaystyle g_{1}(x)g_{2}(x),} а значит и все коэффициенты одного из многочленов-сомножителей. Разделив на этот делитель и повторив процесс конечное число раз, получим факторизацию в кольце R [ x ] . {displaystyle R[x].}

    Предварительное исчисление алгебры

    — Вопрос о лемме Гаусса?

    спросил

    Изменено 5 лет, 2 месяца назад

    Просмотрено 477 раз

    $\begingroup$

    Это отрывок из моей книги:

    Предположим, что $P(x)$ имеет целые коэффициенты и имеет нуль $x=2/3$ . .. По факторной теореме $P(x)=(x-\dfrac 23)Q(x)$. Но какие коэффициенты у $Q(x)$? Все, что мы знаем наверняка, это то, что коэффициенты должны быть рациональными… Мы можем написать $P(x)=(3x-2)S(x)$, где $S(x)= \dfrac {Q(x) {3}$. Мы знаем, что $P(x)$ имеет целые коэффициенты; можем ли мы сказать то же самое о $S(x)$? Действительно, мы можем; это Лемма Гаусса :

    $$\text{Если многочлен с целыми коэффициентами можно разложить на множители}$$

    $$\text{многочлены с рациональными коэффициентами, также можно разложить на множители}$$

    $$ \text{в примитивные многочлены с целыми коэффициентами}$$

    Моя проблема в том, что я не понимаю, каким образом лемма Гаусса подразумевает, что $S(x)$ должна иметь целые коэффициенты. Все, что говорит лемма, это то, что существуют два примитивных многочлена $f(x)$ и $g(x)$ такие, что $P(x)=f(x)g(x)$. Я не знаю, как вывести, что $(3x-2)$ и $S(x)$ являются такими полиномами.

    • алгебра-предварительное исчисление
    • элементарная-теория чисел
    • многочлены

    $\endgroup$

    4

    $\begingroup$

    Лемму Гаусса можно сформулировать в виде, что произведение примитивных полиномов является примитивным полиномом. Предположение, что $P$ примитивно, не является ограничением общности. Теперь мы знаем, что $S(x)$ имеет рациональные коэффициенты, поэтому существует примитивный полином с целыми коэффициентами $S_0(x)$ такой, что $S_0(x) = qS(x)$. Таким образом, $qP(x) = (3x-2)S_0(x)$, поэтому $qP(x)$ должен быть примитивным, откуда следует, что $q = \pm 1$, т.е. $S$ имеет целые коэффициенты.


    Позвольте мне сделать общее заявление. Пусть $p(x)$ — примитивный многочлен с целыми коэффициентами, а $p(x) = f(x)g(x)$ — его факторизация над $\mathbb Q$. Тогда существуют примитивные многочлены с целыми коэффициентами $f_0$ и $g_0$ и рациональными числами $q_1$ и $q_2$ такие, что $q_1f(x) = f_0(x)$, $q_2g(x) = g_0(x) $. Пусть $q = q_1q_2$. Тогда мы имеем $qp(x) = f_0(x)g_0(x)$, и поскольку $f_0$ и $g_0$ являются примитивными, $qp$ также является примитивным. Отсюда следует $q=\pm 1$.

    Действительно, пусть $q = a/b$, где $a$ и $b$ взаимно просты, и пусть $\alpha_i$ — коэффициенты при $p$. Прежде всего, мы имеем, что все $a\alpha_i/b$ являются целыми числами, поэтому $b$ делит все $\alpha_i$. По предположению, что $p$ примитивен, $b = 1$. Наконец, мы имеем, что $ap$ примитивен, а так как $p$ имеет целые коэффициенты, $a = \pm 1$. Наконец, это дает нам факторизацию $p(x) = \pm f_0(x)g_0(x)$ над $\mathbb Z$.

    $\endgroup$

    Зарегистрируйтесь или войдите в систему

    Зарегистрируйтесь с помощью Google

    Зарегистрироваться через Facebook

    Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

    Опубликовать как гость

    Электронная почта

    Требуется, но никогда не отображается

    Опубликовать как гость

    Электронная почта

    Требуется, но не отображается

    Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

    .

    Лемма Гаусса

    Лемма Гаусса

    Лемма Гаусса

    Мы знаем, что Q [x], полиномы с рациональными коэффициентами, сформировать УФД, просто потому, что рациональные числа образуют поле. Но данный многочлен и все его факторы, может быть отображено в Z [x] просто путем умножения на общий знаменатель. Это дает нам внутреннее ощущение, что Z [x], полиномы с целыми коэффициентами также образуют м.ф.д. Внутреннее чувство да, но Гаусс был первым, кто это доказал. Поэтому эта теорема называется леммой Гаусса.

    Пусть R — любое м.ф.д. Содержание многочлена p(x) в R[x] является наибольшим общим делителем его коэффициентов. Примитивный полином имеет содержание 1.

    Произведение двух примитивных многочленов примитивно. Если q простое число делит содержимое a (x) * b (x), пусть ai и bj — первые коэффициенты в а и б соответственно которые не делятся на q. Коэффициент i+j в произведении не делится на q. Это верно для всех q, следовательно, произведение имеет содержание 1.

    Вынесите на множители содержимое двух многочленов, чтобы получить следствие: содержание(а*б) = содержание(а)*содержимое(б).

    Понятие примитивного полинома обобщается на кольца, не являющиеся м.д.д. Многочлен p(x) примитивен, если его коэффициенты порождают все кольцо. Произведение f*g примитивно тогда и только тогда, когда f и g примитивны. Если f*g не является примитивным, вложим его коэффициенты в максимальный идеал H, затем уменьшить R mod H, давая поле. Соответствующие многочлены над R/H образуют область целостности. Произведение f*g = 0, поэтому либо f, либо g равно 0, а его коэффициенты лежат в H. И наоборот, если коэффициенты f лежат в H, то же самое должны быть и коэффициенты f*g.

    Все эти результаты справедливы для полиномов от нескольких переменных.

    Пусть R будет ufd и пусть F будет полем дробей R. Например, если R — целые числа, F — рациональные числа. Если примитив p(x) приводим в R[x], то он заведомо приводим в F[x]. Наоборот, если p(x) приводимо в F[x], напишите p(x) = a(x)*b(x). Умножьте на все знаменатели, являющиеся единицами, и уравнение будет лежать в R[x]. Напомним, что содержание(a*b) = содержание(a)*содержание(b). Разделите по этому содержанию. Теперь произведение примитивных многочленов a и b должно быть примитивным многочленом p. Таким образом, примитивные многочлены неприводимы в R[x] тогда и только тогда, когда они неприводимы в F[x]. (Это не удается, если R не является ufd; щелкните здесь для примера.)

    Теперь факторизуйте p(x) в R[x], начиная с содержания, которая однозначно лежит в R и сомножается. Все остальные факторы неприводимы в F[x] и должны быть единственными.

    Применяя дважды лемму Гаусса, R[x][y] является м.д.д. Продолжайте примыкать к неопределенным, сколько хотите, и по индукции результатом всегда является ufd. Таким образом, Z [x, y, z] является ufd. Это не pid, так как идеал, порожденный x и y, не является главным. Каждый pid является ufd, но не наоборот. Точно так же каждый ufd является областью факторизации по определению, но есть домены факторизации, которые не являются ufd. Это было проиллюстрировано присоединением sqrt(-5) в целые числа.

    Выберите свой любимый бесконечный кардинал и присоедините столько же неопределенных к R. Назовите это кольцо С.

    При перемножении двух многочленов произведение их старших членов, наибольшей степени и наибольшей неопределенности не равно нулю, следовательно, S — область целостности.

    Предположим, что полином p имеет два фактора в S. Эти факторизации используют конечное число неопределенных факторов, что противоречит тому, что R[x1,x2,…xn] — м.ф.д. Следовательно, все S является м.д.д.

    Добавляйте неопределенности по одной и стройте восходящую цепочку идеалов. Первый генерируется x1, второй x1 и x2, третий на х1 х2 и х3 и так далее. В то же время мы можем построить дополнительную цепь нисходящих идеалов. Пусть первый идеал порождается всеми индетерминантами, кроме x1. Вторая порождается всеми неопределенными, кроме x1 и x2, и так далее.

    Итак, если вы на вечеринке, и возникает вопрос, «Есть ли ufd, который не является ни нётеровским, ни артиновым?», вы можете сказать да.

    Приложения

    Если p(x) имеет целые коэффициенты, и мы ищем рациональные корни, мы должны разложить p(x) на рациональные числа; но это то же самое, что учитывать целые числа. Таким образом, p(x) = q(x)×(ax-b). Корень, б/а, имеет числитель, делящий постоянный член и знаменатель, делящий старший член.

    Рассмотрим многочлен 3×3 — 2×2 + 12x — 8. Рациональный корень имеет числитель 1 2 4 или 8 и знаменатель 1 или 3. И, конечно, корень может быть отрицательным. В этом случае единственный рациональный корень равен 2/3. Остальные корни равны ±2i.

    Пусть p = u2-3uv+7v-1. Разлагая p на множители, мы можем рассматривать его как многочлен от u, с коэффициентами, взятыми из уфд Z [v]. Ведущий коэффициент равен 1, а постоянный коэффициент равен 7v-1. Если q является фактором p, его опережающий коэффициент равен 1. и его постоянный коэффициент делит 7v-1, которое является простым в Z [v].

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *