Глава 29. Понятие вектора

Глава 29. Понятие вектора

Направленные отрезки принято называто также геометрическими векторами или просто векторами. Вектор как направленный отрезок мы будем по-прежнему записывать в тексте двумя большими латинскими буквами с общей чертовй наверху при условии, что первая из них обозначает начало, вторая — конец вектора. Наряду с этим мы будем также обозначать вектор одной малой латинской буквой полужирного шрифта, которая на чертежах ставится у конца стрелки, изображающей вектор (рис. 1, где изображен вектор а с началом А и концом В). Начало вектора часто будет называться таже его точкой приложения.

Векторы называются равными, если они имеют одинаковые длины, лежат на параллельных прямых или на одной прямой и направлены в одну сторону.

Число, равное длине вктора (при заданном масштабе), называется его модулем. Модуль вектора a обозначается символом или а. Если , то вектор называется единичным.

Единичный вектор, имеющий одинаковое направление с данным вектором , называется ортом вектора и обозначается обычно символом .

Проекцией вектора на ось u называется число, равное величине отрезка оси u, где точка является проекцией точки А на ось u, а — проекцией точки В на эту ось.

Проекция вектора на ось u обозначается символом . Если вектор обозначен символом , то его проекцию на ось u принято обозначать: .

Проекция вектора на ось u выражается через его модуль и угол наклона к оси u формулой

.

Проекции произвольного вектора на оси некоторой заданной системы координат в дальнейшем обозначаются буквами X, Y, Z. Равенство ={X, Y, Z} означает, что числа X, Y, Z являются проекциями вектора на координатные оси. Вектор, для которого X=Y=Z=0, называется нулевым и обозначается .

Проекции вектора на координатные оси называются также его (декартовыми) координатами. Если даны две точки (, , ) и (, , ), являющиеся соответственно началом и концом вектора , то его координаты X, Y, Z определяются по формулам , , .

Формула

(2)

позволяет по координатам вектора определить его модуль.

Если , , — углы, которые составляет вектор с координатными осями (см. рис. 2), то , , называются направляющими косинусами вектора .

Вследствие формулы (1)

, , .

Отсюда, и из формулы (2) следует, что

.

Последнее равенство позволяет определить один из углов , , , если известны два других.

Текст издания:	© Д.В.Клетеник «Сборник задач по аналитической геометрии». М., Наука, Физматлит, 1998.
Решение задач:	© Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/. Все права принадлежат мне, если не оговорено иное 😉

Сайт управляется системой uCoz

kletenik_29

§ 29. Понятие вектора. Проекции вектора

Направленные отрезки принято называть также геометрическими векто­рами или просто векторами. Вектор как направленный отрезок мы будем по—прежнему записывать в тексте двумя большими латинскими буквами с общей чертой наверху при условии, что первая из них обозначает . Черт. 40

начало, вторая — конец вектора. Наряду с этим мы бу­дем также обозначать вектор одной малой ла­тинской буквой полужирного шрифта, которая на чертежах ставится у конца стрелки, изобража­ющей вектор (см. черт. 40, где изображён вектор

а с началом А и концом В). Начало вектора часто будет называться также его точкой приложения.

Векторы называются равными, если они имеют одинаковые длины, лежат на параллельных прямых или на одной прямой и направлены в одну сторону.

Число, равное длине вектора (при заданном масштабе), называется его модулем. Модуль вектора а обозначается символом |а| или а

. Если |а| = 1, то вектор a называется единичным.

Единичный вектор, имеющий одинаковое направление с данным векто­ром а, называется ортом вектора а и обозначается обычно символом а⁰.

Проекцией вектора на ось и называется число, равное величине отрезка оси и, где точка А₁ является проекцией на ось и точки А, а B₁ — проекцией точки В.

Проекция вектора на ось и обозначается символом: пр_и Если вектор обозначен символом а, то его проекцию на ось и принято обозна­чать: пр_иa.

Проекция вектора а на ось и выражается через его модуль и угол наклона к оси и формулой

(1)

Проекции произвольного вектора а на оси некоторой заданной системы координат в дальнейшем обозначаются буквами X, Y, Z. Равенство

означает, что числа X, Y, Z

являются проекциями вектора на координатные оси.

Проекции вектора на координатные оси называют также его (декартовыми) координатами. Если даны две точки M₁(x₁ ; у₁ ; z₁ ) и М₂(x₂ ; у₂ ; z₂), являющиеся соответственно началом и концом вектора а, то его координаты X, Y, Z определяются по формулам

, ,

Формула (2)

позволяет по координатам вектора определить его модуль.

Если — углы, которые составляет вектор а с координатными осями (черт, 41), то называются направляющими косинусами вектора а.

Вследствие формулы (1) , , .

Отсюда и из формулы (2) следует, что . Последнее равенство позволяет определить один из углов если известны два других.

748. Вычислить модуль вектора а — {6; 3; — 2}.

749. Даны две координаты вектора Х=4, У= —12. Определить его третью координату Z при условии, что .

Черт. 41. 750. Даны точки А(3; —1; 2)и В(— 1; 2; 1).Найти координаты векторов и .

751. Определить точку N, с которой совпадает конец вектора а = {3; —1; 4}, если его начало совпадает с точкой М (I; 2; —3).

752. Определить начало вектора а = {2; —3; —1}, если его конец совпадает с точкой (1; —1; 2).

753. Дан модуль вектора и углы = 45°, = 60°, =120°. Вычислить проекции вектора

а на координатные оси.

754. Вычислить направляющие косинусы вектора а ={12; —15; —16}.

755. Вычислить направляющие косинусы вектора

756. Может ли вектор составлять с координатными осями сле­дующие углы: 1) = 45°, = 60°, = 120°; 2) = 45°, =135°, = 60°; 3) = 90°, =150°; = 60°?

757. Может ли вектор составлять с двумя координатными осями следующие углы: 1) = 30°, = 45°; 2) = 60°, = 60°; 3) = 150°, = 30°?

758. Вектор составляет с осями Ох и Oz углы =120° и = 45°. Какой угол он составляет с осью Оу?

759. Вектор а составляет с координатными осями Ох и Оу углы = 60°, = 120°. Вычислить его координаты при условии, что .

760. Определить координаты точки М, если её радиус—вектор составляет с координатными осями одинаковые углы и его модуль равен 3.

линейная алгебра — английские названия начала и конца вектора

$\begingroup$

Я провел небольшое исследование, но поскольку английский не является моим родным языком, я изо всех сил пытаюсь найти ответ на этот вопрос:

Учитывая вектор, как вы называете его начальную и конечную точки?

Пока лучшее, что я нашел, это слово «база» для обозначения начальной точки вектора, но я понятия не имею, правильно ли это. Лучшее, что у меня есть для конечной точки, — это «конец» вектора, хотя применяется то же самое, что и раньше.

• линейная алгебра
• векторы
• терминология

$\endgroup$

14

$\begingroup$

Хороший вопрос. Поскольку важным свойством вектора является его направление, трудно говорить о векторах, не имея слов, обозначающих их начало и конец.

По моему опыту, мы обычно называем источник или начало вектора его «хвостом», а пункт назначения или конец вектора — его «головой».

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Их иногда называют начальной и конечной точками. Начальная точка — это точка, в которой начинается, а конечная точка — это точка, в которой она заканчивается.

$\endgroup$

$\begingroup$

В статье Википедии Евклидов вектор говорится, что когда вы строите вектор с именем $\overrightarrow{AB}$ из двух точек $A$ и $B$ в евклидовом пространстве, тогда $A$ называется начальная точка , а $B$ называется конечная точка .

Конечно, все зависит от вашего определения вектора. Например, принято рассматривать вектор как класс эквивалентности всех тех ориентированных отрезков линии этого вида, которые имеют одинаковую длину (величину) и одно и то же направление. При таком определении «вектор» не имеет ни начальной, ни конечной точки, хотя вы можете выбрать любую начальную точку и рассмотреть представитель ориентированного сегмента линии, исходящего из этой точки.

В более общем случае гладкого многообразия у вас часто есть касательный вектор в конкретном касательном пространстве (или слое) $T_pM$, который соответствует точке $p$ на многообразии. В таком случае вам нужна как эта опорная точка (это общепринятое название?) $p$, так и представление вектора в касательном пространстве, «сидящего» в этой точке. В этой общей постановке нет канонической эквивалентности между вектором из $T_pM$ и вектором из другого слоя $T_qM$ (здесь $q\ne p$ — другая точка многообразия $M$).

Обычно, когда $v\in T_pM$, мы просто говорим, что $v$ является касательным вектором «at» $p$. Как я уже сказал, мне кажется, я слышал, что $p$ называют фут-точкой $v$.

$\endgroup$

$\begingroup$

Э-э, на самом деле вы говорите не о векторе. Вектор не определяется начальной и конечной точкой. У него есть направление и величина (и эквиваленты в других системах координат), но нет фиксированного начала.

Вектор может иметь местоположение , где берутся координаты. Это особенно актуально в криволинейных системах координат. Если вы рисуете там вектор, вы обычно рисуете соответствующую стрелку с основанием в месте расположения вектора, ее ось является прямой и касательной к направлениям координат в начале вектора, а размеры компонентов пропорциональны.

Иногда стрелки изображают направленные отрезки. У них есть начальная и конечная точка. В этом случае древки этих стрел будут соответствует любой криволинейной системе координат. Визуализация направленного отрезка линии, заданного начальной точкой и вектором смещения, редко выполняется, когда с тех пор фактически изменяется более одной координаты. Путь , по которому достигается смещение, не имеет очевидного кандидата: нет явно предпочтительного маршрута между начальным и конечным указать больше.

$\endgroup$

1

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

начало — SVG: Масштабируемая векторная графика

Атрибут begin определяет, когда должна начинаться анимация или когда элемент должен быть отброшен.

Значение атрибута представляет собой список значений, разделенных точкой с запятой. Интерпретация списка времени начала подробно описана в спецификации SMIL в разделе «Оценка списков времени начала и окончания». Каждое отдельное значение может быть одним из следующих: <значение-смещения> , <значение-базы-синхронизации> , <значение-события> , <значение-повторения> , , или ключевое слово indefinite .

Этот атрибут можно использовать со следующими элементами SVG:

• <сбросить>
• <комплект>

For , , , , и , begin , определяет, когда элемент должен стать активным, т. е. должен начинаться.

Значение	<список-начальных-значений>
Значение по умолчанию	0 с
Анимируемый	№

представляет собой список значений, разделенных точкой с запятой. Каждое значение может быть одним из следующих:

<значение смещения>

Это значение определяет значение часов, представляющее момент времени относительно начала документа SVG (обычно событие load или DOMContentLoaded ). Отрицательные значения допустимы.

Это значение определяет базу синхронизации и необязательное смещение от этой базы синхронизации . Время начала анимации элемента определяется относительно начала или активного конца другой анимации.

Допустимое значение syncbase состоит из ссылки ID на другой элемент анимации, за которой следует точка и либо begin , либо end , чтобы указать, следует ли синхронизироваться с началом или активным концом элемента анимации, на который ссылаются. Необязательное значение смещения, как определено в <значение смещения> может быть добавлено.

<значение события>

Это значение определяет событие и необязательное смещение, определяющее время начала анимации элемента. Время начала анимации определяется относительно времени запуска указанного события.

Допустимое значение события состоит из идентификатора элемента, за которым следует точка и одно из поддерживаемых событий для этого элемента. Все допустимые события (не обязательно поддерживаемые всеми элементами) определяются спецификациями DOM и HTML. Это:

• фокус
• размытие
• фокусин
• фокусировка
• DOMActivate
• вспомогательный щелчок
• нажмите
• двойной клик
• мышь вниз
• мышь введите
• коврик для мыши
• движение мыши
• мышка
• наведение мыши
• мышь
• колесо
• перед вводом
• ввод
• клавиша
• ключ
• начало композиции
• обновление состава
• состав конец
• нагрузка
• разгрузка
• прервать
• ошибка
• выбрать
• изменить размер
• свиток
• начало события
• конец события
• повтор события

Может быть добавлено необязательное значение смещения, определенное в <значение смещения> .

<повторяющееся значение>

Это значение определяет квалифицированное повторяющееся событие. Время начала анимации элемента определяется относительно времени возникновения события повторения с указанным значением итерации.

Допустимое значение повторения состоит из идентификатора элемента, за которым следует точка, и функции repeat() с целочисленным значением, указывающим количество повторений в качестве параметра. Необязательное значение смещения, как определено в <значение смещения> может быть добавлено.

Это значение определяет ключ доступа, который должен запускать анимацию. Анимация элемента начнется, когда пользователь нажмет указанную клавишу.

Допустимое значение accessKey состоит из функции accessKey() с символом, который необходимо ввести в качестве параметра. Может быть добавлено необязательное значение смещения, определенное в <значение смещения> .

<значение настенной синхронизации>

Это значение определяет время начала анимации как реальное время.

Допустимое значение wallclock-sync состоит из функции wallclock() со значением времени в качестве параметра. Синтаксис времени основан на синтаксисе, определенном в ISO 8601.

бессрочный

Начало анимации будет определяться beginElement() вызов метода или гиперссылка на элемент.

Для , begin определяет, когда целевой элемент будет отброшен.

Элемент имеет неявную простую длительность indefinite . Как только активная продолжительность элемента начинается, элемент, идентифицированный атрибутом href , отбрасывается. Поведение такое же, как если бы Node.removeChild() вызывалась для родителя целевого элемента с целевым элементом в качестве параметра.

После удаления целевого элемента элемент становится бесполезным, поэтому он также отбрасывается после удаления целевого элемента. Если атрибут href имеет недопустимую ссылку URL (например, целевой элемент не существует), сам элемент все равно удаляется после активации.

При поиске назад по временной шкале отброшенные элементы не вставляются повторно. Таким образом, авторам предлагается установить playorder атрибут forwardonly при использовании элемента .

Сам элемент может быть отброшен до его активации, и в этом случае он никогда не вызовет удаление своего собственного целевого элемента.

Значение	<список-начальных-значений>
Значение по умолчанию	0 с
Анимация	№

Определение такое же, как и для других элементов анимации.

Пример смещения

  5" />
  4 с
  
  6 с
  
  8s
  
  
  

 

begin-1-offset.svg

Пример Syncbase

   конец"
      продолжительность = "2 с" />
  
  <прямой x="85" у="85">
    <анимация
      Тип атрибута = "XML"
      имя_атрибута = "ширина"
      до = "25"
     
      начать = "второй. конец"
      продолжительность = "2 с" />
  
  
  0s
  
  2 с
  
  4 с
  
  6 с
  
  8s
  
  
   5" />

 

begin-2-syncbase.svg

Пример события

  5" />
  4 с
  
  6 с
  
  8s
  
  
  

 

begin-3-event.svg

Повторить пример

  begin" />
    <набор
      Тип атрибута = "CSS"
      имя_атрибута = "заполнить"
      к = "золото"
      begin="myLoop.repeat(1)" />
    <набор
      Тип атрибута = "CSS"
      имя_атрибута = "заполнить"
      к = "красный"
      begin="myLoop.repeat(2)" />
  
  
  0s
  
  1 с
  
  2 с
  
  3 с
  
  4 с
  
   5" />
  

 

begin-4-repeat.svg

Пример ключа доступа

  5" />
  6 с
  
  8s
  
  
  

 

Этот пример встроен в iFrame. Если вы хотите активировать ключевые события, вы должны сначала щелкнуть по нему.

begin-5-accesskey.svg

Specification
SVG Animations Level 2 # DiscardElementBeginAttribute
SVG Animations Level 2 # BeginAttribute

Последнее изменение: 30 октября 2022 г.