ЕГЭ по информатике — Системы счисления

Система счисления

это способ наименования и представления чисел с помощью символов. Такие символы в любой система счисления называют цифрами

Алфавит системы счисления (мощность алфавита)

это совокупность символов, используемых в данной системе счисления.

Непозиционная система счисления

это система, в которой количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа.

Итак, в непозиционных системах счисления позиция, которую цифра занимает в записи числа, роли не играет. Так, например, римская система счисления непозиционная. В числах XI и IX «вес” обоих цифр одинаков, несмотря на их месторасположение.

Позиционные системы счисления

Позиционная система счисления

это система, в которой значение цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа.

Основание системы счисления

количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления

Основание системы счисления определяет её название: основание p — p-ая система счисления.

Например, система счисления в основном, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой, её основание равно десяти. Для записи любых чисел в ней используется десять всем хорошо известных цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).

Итак, мы сказали, что в позиционных системах счислениях имеет значение позиция, которую цифра занимает в записи числа. Так, запись 23 означает, что это число можно составить из 3 единиц и 2 десятков. Если мы поменяем позиции цифр, то получим совсем другое число – 32. Это число содержит 3 десятка и 2 единицы. «Вес» двойки уменьшился в десять раз, а «вес» тройки в десять раз возрос.

Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?

В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.

Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры — 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 — замену её на 0. Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью Правила счета:

Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё.

Развернутая запись числа

Любое число N в позиционной системе счисления с основанием p может быть представлено в виде многочлена от p:
N=a_k p^k + a_k-1 p^k-1+a_k-2 p^k-2+…+a₁ p¹+a₀ p⁰+a_-1 p^-1+a_-2 p^-2+…,

где N — число, p — основание системы счисления (p>1), a_i — цифры числа (коэффициенты при степени p).

Числа в p-ой системе счисления записываются в виде последовательности цифр:

N=a_k a_k-1

Запятая в последовательности отделяет целую часть числа от дробной.

     _{3210 -1-2}
N=4567,12₁₀=4*10³+5*10²+6*10¹+7*10⁰+1*10^-1+2*10^-2

Двоичная система счисления

Для записи чисел используются только две цифры – 0 и 1. Выбор двоичной системы для использования в компьютере объясняется тем, что электронные элементы, из которых строятся ЭВМ, могут находиться только в двух хорошо различимых состояниях. По существу эти элементы представляют собой выключатели. Как известно выключатель либо включен, либо выключен. Третьего не дано. Одно из состояний обозначается цифрой 1, другое – 0. Благодаря таким особенностям двоичная система стала стандартом при построении ЭВМ.

В этой системе счисления любое число может быть представлено в виде:
N=a_k 2^k + a_k-1 2^k-1+a_k-2 2^k-2+…+a₁ 2¹+a₀ 2⁰+a_-1 2^-1+a_-2 2^-2+….

Например:11001,01₂=1*2⁴+1*2³+0*2²+0*2¹+1*2⁰+0*2^-1+1*2^-2(развернутая запись числа в двоичной системе счисления)

Восьмеричная система счисления

Шестнадцатеричная система счисления

Перевод чисел в десятичную систему счисления

Алгоритм перевода A_p—A₁₀

Представьте число в развернутой форме. Вычислите сумму ряда. Полученное число является значением числа в десятичной системе счисления.

Перевод чисел из десятичной системы счисления

Алгоритм перевода целых десятичных чисел

Для того, чтобы перевести целое десятичное число в другую систему счисления, необходимо осуществлять последовательное деление десятичного числа и затем получаемых частных на основание той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное, меньшее делителя.
Число в новой системе счисления записывается в виде остатков от деления, в обратном порядке их получения, начиная с последнего полученного частного.

Алгоритм перевода правильных десятичных дробей

Для того, чтобы перевести правильную десятичную дробь из десятичной системы счисления в другую, необходимо последовательно умножать эту дробь, а затем получаемые дробные части на основание той системы, в которую она переводится.
Умножение производится до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю, или будет достигнута требуемая точность.
В новой системе дробь записывается в виде целых частей произведений, начиная с первого.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную, шестнадцатеричную и обратно

Перевод A₂—A₈

Для того, чтобы перевести число из двоичной системы счисления в восьмеричную, необходимо: двигаясь от запятой влево и вправо, разбить двоичное число на группы по три разряда, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группу. Затем триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (см. таблицу триад выше)

Перевод A₂—A₁₆

Для того, чтобы перевести число из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную, необходимо: двигаясь от запятой влево и вправо, разбить двоичное число на группы по четыре разряда, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группу. Затем тетраду заменить соответствующей шестнадцатеричной цифрой (см. таблицу триад выше)

Перевод A₈—A₂

Для того, чтобы перевести число из восьмеричной системы счисления в двоичную достаточно заменить каждую цифру этого числа соответствующей триадой (см. таблицу триад выше), при этом отбрасывают незначащие нули в старших и младших (после запятой) разрядах.

Двоичная арифметика

Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же хорошо известным правилам.

Сложение

Рассмотрим сложение чисел в двоичной системе счисления. В основе лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел:

0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10
1+1+1=11

Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равной или больше основания системы счисления. Для двоичной системы счисления эта величина равна двум.

Сложение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствие с вышеприведенной таблицей сложения с учетом возможных переносов из младших разрядов с старшие.

Вычитание

Рассмотрим вычитание двоичных чисел. В основе лежит таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел. При вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда. В таблице заем обозначается 1 с чертой.

0-0=_0
0-1=11
1-0=1
1-1=0

Сложение и вычитание одноразрядных двоичных чисел

Сложение и вычитание многоразрядных двоичных чисел (примеры)

Умножение

В основе умножения лежит таблица умножения одноразрядных двоичных чисел:

0*0=0
0*1=0
1*0=0
1*1=1

Умножение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с приведенной таблицей умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления, с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.

Деление

Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления.

Умножение и деление двоичных чисел

Системы счисления — СтудИзба

Системы счисления

Система счисления — это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7•10² + 5•10¹ + 7•10⁰ + 7•10^-1 = 757,7.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.

Рекомендуемые файлы

За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения

a_n-1 q^n-1 + a_n-2 q^n-2+ … + a₁ q¹ + a₀ q⁰ + a_-1 q^-1 + … + a_—m q^—m,

где a_i – цифры системы счисления; n и m – число целых и дробных разрядов, соответственно.

Например:

Системы счисления (Реферат)

Содержание:

1. Единичная система счисления
2. Двоичная система счисления
3. Восьмеричная система счисления
4. Шестнадцатеричная система счисления
5. Заключение

• Данный тип работы не является научным трудом, не является готовой работой!
• Данный тип работы представляет собой готовый результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала для самостоятельной подготовки учебной работы.

Если вам тяжело разобраться в данной теме напишите мне в whatsapp разберём вашу тему, согласуем сроки и я вам помогу!

По этой ссылке вы сможете найти рефераты по информатике на любые темы и посмотреть как они написаны:

Посмотрите похожие темы возможно они вам могут быть полезны:

Введение:

Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами: мы запоминаем номера автобусов и телефонов, в магазине подсчитываем стоимость покупок, ведём свой семейный бюджет в рублях и копейках (сотых долях рубля) и т.д. Числа, цифры. Они с нами везде.

Понятие числа — фундаментальное понятие как математики, так и информатики. Сегодня, в самом конце XX века, для записи чисел человечество использует в основном десятичную систему счисления.

А что такое система счисления? Система счисления — это способ записи (изображения) чисел. Различные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в настоящее время, делятся на две группы: позиционные и непозиционные.

Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления, т.е. системы записи чисел, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число.

Например, наша привычная десятичная система является позиционной: в числе 34 цифра 3 обозначает количество десятков и «вносит» в величину числа 30, а в числе 304 та же цифра 3 обозначает количество сотен и «вносит» в величину числа 300.

Системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от её места в записи числа, называются непозиционными. Позиционные системы счисления — результат длительного исторического развития непозиционных систем счисления.

Единичная система счисления

Потребность в записи чисел появилась в очень древние времена, как только люди начали считать. Количество предметов, например овец, изображалось нанесением чёрточек или засечек на какой — либо твёрдой поверхности: камне, глине, дереве. Каждой овце в такой записи соответствовала одна чёрточка.

Археологами найдены такие «записи» при раскопках культурных слоёв, относящихся к периоду палеолита. Учёные назвали этот способ записи чисел единичной системой счисления. В ней для записи чисел применялся только один вид знаков — «палочка». Каждое число в такой системе счисления обозначалось с помощью строки, составленной из палочек, количество которых и равнялось обозначаемому числу.

Неудобства такой системы записи чисел и ограниченность её применения очевидны: чем большее число надо записать, тем длиннее строка из палочек. Да и при записи большого числа легко ошибиться, нанеся лишнее количество палочек или, наоборот, не дописав их.

Можно предложить, что для облегчения счёта люди стали группировать предметы по 3, 5, 10 штук. И при записи использовали знаки, соответствующие группе из нескольких предметов. Естественно, что при подсчёте использовались пальцы рук, поэтому первыми появились знаки для обозначения группа предметов из 5 и 10 штук (единиц). Таким образом, возникли уже более удобные системы записи чисел.

Двоичная система счисления

В этой системе всего две цифры — 0 и 1. Особую роль здесь играет число 2 и его степени: 2, 4, 8 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, следующая цифра — число двоек, следующая — число четверок и т.д. Двоичная система счисления позволяет закодировать любое натуральное число — представить его в виде последовательности нулей и единиц.

В двоичном виде можно представлять не только числа, но и любую другую информацию: тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи. Инженеров двоичное кодирование привлекает тем, что легко реализуется технически. Наиболее простыми с точки зрения технической реализации являются двухпозиционные элементы, например, электромагнитное реле, транзисторный ключ.

В основу поисков инженеры и математики положили двоичную двухпозиционную — природу элементов вычислительной техники.

Возьмите, к примеру, двухполюсный электронный прибор — диод. Он может находиться только в двух состояниях: или проводит электрический ток — «открыт», или не проводит его — «заперт». А триггер? Он тоже имеет два устойчивых состояния. По такому же принципу работают запоминающие элементы.

Почему же не использовать тогда двоичную систему счисления? Ведь в ней только две цифры: 0 и 1. А это удобно для работы на электронной машине. И новые машины стали считать с помощью 0 и 1.

Не думайте, что двоичная система — современница электронных машин. Нет, она намного старше. Двоичным счислением люди интересуются давно. Особенно им увлекались с конца XVI до начала XIX века.

Лейбниц считал двоичную систему простой, удобной и красивой. Он говорил, что «вычисление с помощью двоек … является для науки основным и порождает новые открытия … При сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, везде появляется чудесный порядок».

По просьбе ученого в честь «диадической системы» — так тогда называли двоичную систему — была выбита медаль. На ней изображалась таблица с числами и простейшие действия с ними. По краю медали вилась лента с надписью: «Чтобы вывести из ничтожества все, достаточно единицы».

Перевод из двоичной в десятичную систему счисления

Задача перевода чисел из двоичной системы счисления в десятичную чаще всего возникает уже при обратном преобразовании вычисленных либо обработанных компьютером значений в более понятные пользователю десятичные цифры.

Алгоритм перевода двоичных чисел в десятичные достаточно прост (его иногда называют алгоритмом замещения): Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания двоичной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах двоичного числа. Например, требуется перевести двоичное число 10110110 в десятичное. В этом числе 8 цифр и 8 разрядов ( разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит). В соответствии с уже известным нам правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 2:

101101102 = (1·27)+(0·26)+(1·25)+(1·24)+(0·23)+(1·22)+(1·21)+(0·20) = 128+32+16+4+2 = 18210

В электронике устройство, осуществляющее похожее преобразование, называется дешифратором. Дешифратор — это схема преобразующая двоичный код, подаваемый на входы, в сигнал на одном из выходов, то есть дешифратор расшифровывает число в двоичном коде, представляя его логической единицей на выходе, номер которого соответствует десятичному числу.

Перевод из двоичной в шестнадцатеричную систему счисления Каждый разряд шестнадцатеричного числа содержит 4 бита информации.

Таким образом, для перевода целого двоичного числа в шестнадцатеричное его нужно разбить на группы по четыре цифры (тетрады), начиная справа, и, если в последней левой группе окажется меньше четырех цифр, дополнить ее слева нулями. Для перевода дробного двоичного числа (правильной дроби) в шестнадцатеричное необходимо разбить его на тетрады слева направо и, если в последней правой группе окажется меньше четырех цифр, то необходимо дополнить ее справа нулями.

Затем надо преобразовать каждую группу в шестнадцатеричную цифру, воспользовавшись для этого предварительно составленной таблицей соответствия двоичных тетрад и шестнадцатеричных цифр.

Перевод из двоичной в восьмеричную систему счисления

Перевести двоичное число в восьмеричную систему достаточно просто, для этого нужно: Разбить двоичное число на триады (группы из 3-х двоичных цифр), начиная с младших разрядов.

Если в последней триаде (старшие разряды) будет меньше трех цифр, то дополним ее до трех нулями слева. Под каждой триадой двоичного числа записать соответствующую ей цифру восьмеричного числа.

Восьмеричная система счисления

Восьмеричная система счисления — это позиционная система счисления с основанием 8. Для записи чисел в восьмеричной системе используется 8 цифр от нуля до семи (0,1,2,3,4,5,6,7).

Применение: восьмеричная система наряду с двоичной и шестнадцатеричной используется в цифровой электронике и компьютерной технике, однако в настоящее время применяется редко (ранее использовалась в низкоуровневом программировании, вытеснена шестнадцатеричной).

Широкое применение восьмеричной системы в электронной вычислительной технике объясняется тем, что для нее характерен легкий перевод в двоичную и обратно с помощью простой таблицы, в которой все цифры восьмеричной системы от 0 до 7 представлены в виде двоичных триплетов.

История восьмеричной системы счисления

История возникновение восьмеричной системы связывают с такой техникой счета на пальцах, когда считались не пальцы, а промежутки между ними (их всего восемь).

В 1716 году король Швеции Карл XII предложил известному шведскому философу Эмануэлю Сведенборгу разработать числовую систему, основанную на 64 вместо 10. Однако Сведенборг считал, что для людей с меньшим интеллектом, чем король, оперировать такой системой счисления будет слишком трудно и предложил в качестве основания число 8. Система была разработана, но смерть Карла XII в 1718 году помешала ввести ее как общепринятую, данная работа Сведенборга не опубликована.

Перевод из восьмеричной в десятичную систему счисления

Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания восьмеричной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах восьмеричного числа.

Например, требуется перевести восьмеричное число 2357 в десятичное. В этом числе 4 цифры и 4 разряда ( разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит).

В соответствии с уже известным нам правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 8:

23578 = (2·83)+(3·82)+(5·81)+(7·80) = 2·512 + 3·64 + 5·8 + 7·1 = 126310

Перевод из восьмеричной в двоичную систему счисления Для перевода из восьмеричной в двоичную систему нужно каждую цифру числа надо преобразовать в группу из трех двоичных цифр триаду.

Перевод из восьмеричной в шестнадцатеричную систему счисления Для перевода из шестнадцатеричной в двоичную систему нужно каждую цифру числа надо преобразовать в группу из трех двоичных цифр тетраду.

Шестнадцатеричная система счисления

Позиционная система счисления по целочисленному основанию 16.

Обычно в качестве шестнадцатеричных цифр используются десятичные цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F для обозначения цифр от 1010 до 1510, то есть (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).

Широко используется в низкоуровневом программировании и компьютерной документации, поскольку в современных компьютерах минимальной единицей памяти является 8-битный байт, значения которого удобно записывать двумя шестнадцатеричными цифрами.

В стандарте Юникода номер символа принято записывать в шестнадцатеричном виде, используя не менее 4 цифр (при необходимости — с ведущими нулями).

Шестнадцатеричный цвет — запись трёх компонент цвета (R, G и B) в шестнадцатеричном виде.

История шестнадцатеричной системы счисления

Шестнадцатеричная система счисления внедрена американской корпорацией IBM. Широко используется в программировании для IBM-совместимых компьютеров. Минимальной адресуемой (пересылаемой между компонентами компьютера) единицей информации является байт, состоящий, как правило, из 8 бит (англ. bit — binary digit — двоичная цифра, цифра двоичной системы), а два байта, то есть 16 бит, составляют машинное слово (команду). Таким образом, для записи команд удобно использовать систему с основанием 16.

Перевод из шестнадцатеричной в двоичную систему счисления

Алгоритм перевода чисел из шестнадцатеричной системы счисления двоичную крайне прост. Необходимо только заменить каждую цифру шестнадцатеричного числа ее эквивалентом в двоичной системе счисления (в случае положительных чисел). Отметим только, что каждое шестнадцатеричное число следует заменять двоичным, дополняя его до 4 разрядов (в сторону старших разрядов).

Перевод из шестнадцатеричной в десятичную систему счисления

Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания шестнадцатеричной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах шестнадцатеричного числа.

Например, требуется перевести шестнадцатеричное число F45ED23C в десятичное. В этом числе 8 цифр и 8 разрядов (помним, что разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит).

В соответствии с вышеуказанным правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 16:

F45ED23C16 = (15·167)+(4·166)+(5·165)+(14·164)+(13·163)+(2·162)+(3·161)+(12·160) = 409985490810

Перевод из шестнадцатеричной в восьмеричную систему счисления

Обычно при переводе чисел из шестнадцатеричной в восьмеричную систему счисления вначале шестнадцатеричное число переводят в двоичное, затем разбивают его на триады, начиная с младшего бита, а потом заменяют триады соответствующими им эквивалентами в восьмеричной системе.

Заключение

Сейчас в большинстве стран мира, несмотря на то, что они говорят на разных языках, они считают одно и то же «по-арабски». Но так было не всегда. Даже около пятисот лет назад такого не было даже в просвещенной Европе, не говоря уже о Африке или Америке. Тем не менее, люди все-таки как-то записали цифры.

У каждой нации была своя или заимствованная система регистрации чисел у соседа. Некоторые использовали буквы, другие использовали значки, а другие использовали загогулины. Кому-то было удобнее, кому-то нет. На данный момент мы используем разные системы счисления разных наций, несмотря на то, что десятичная система счисления имеет ряд преимуществ перед другими.

Вавилонская шестизначная система счисления все еще используется в астрономии. Ее след сохранился до наших дней. Мы все еще измеряем время в шестидесяти секундах, в часах шестьдесят минут, и оно также используется в геометрии для измерения углов. Римская непозиционная система счисления используется нами для обозначения абзацев, разделов и, конечно, в химии.

Компьютерная технология использует двоичную систему. Именно из-за использования только двух чисел 0 и 1 он лежит в основе работы компьютера, поскольку он имеет два стабильных состояния: низкое или высокое напряжение, есть ток или нет тока, намагничен или не намагничен. Для людей двоичная система счисления неудобна из-за громоздкости написания кода, но не так удобно преобразовывать числа из двоичных в десятичные и наоборот, поэтому мы начали использовать восьмеричные и шестнадцатеричные системы обозначений.

650 из десятичной в восьмеричную. Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную и обратно

Лабораторная работа №1

Тема: Система счисления. Перевод целых десятичных чисел в двоичную, восьмеричную, шестнадцатиричную систему счисления. (1 час), СРСП(1 час).

Десятичная система счисления

Название «десятичная» объясняется тем, что в основе этой системы лежит основание десять. В этой системе для записи чисел используются десять цифр — 0, 1, 2, 3, 4 , 5, 6, 7, 8, 9.

Десятичная система является позиционной, так как значение цифры в записи десятичного числа зависит от ее позиции, или местоположения, в числе.

Позицию, отводимую для цифры числа, называют разрядом.

Например, запись 526 означает, что число состоит из 5 сотен, 2 десятков и 6 единиц, Цифра 6 стоит в разряде единиц. Цифра 2 — в разряде десятков цифра 5-в разряде сотен.

Это число записать в виде суммы:

526=5*10 2 +2*10 1 +6*10 0

в этой записи число 10-основание системы счисления. Для каждой цифры числа основание 10 возводится в степень, зависящую от позиции цифры, и умножается на эту цифру. Степень основания для единиц равна нулю, для десятков — единице, для сотен – двум и т.д.

Для записи десятичных дробей используются отрицатель­ные значения степеней основания. Например, число 555,55 в развернутой форме записывается следующим образом:

555,55 10 = 5*10 2 + 5*10 1 + 5*10°+ 5*10- 1 +5*10- 2 .:

Перевод целых десятичных чисел в двоичную систему счисления.

При переводе десятичного числа в двоичное нужно это число делить на 2. Чтобы перевести целое положительное десятичное число в двоичную систему счисления, нужно это число разделить на 2. Полученное частное снова разделить на 2 и т.д. до тех пор, пока частное не окажется меньше 2. В результате записать в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего.

Пример. Число 891 перевести из десятичной системы в двоичную систему счисления.

Решение:

1:2=0, 1 (старшая цифра двоичного числа)

Записываем в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего.

Ответ: 891 10 =1101111011 2

Перевод десятичных дробей в двоичную систему счисления

Перевод десятичных дробей в двоичную систему счисления заключается в поиске целых частей при умножении на 2.

Пример. Переведем десятичную дробь 0,322 в двоичную систему счисления.

Чтобы найти первую после запятой цифру двоичной дроби, нужно умножить заданное число на 2 и выделить целую часть произведения.

Решение:

0,322 10 8,83 10

0.322*2=0.644 0 8:2=4 остаток 0

0.644*2=1.288 1 4:2=2 остаток 0

0.288*2=0.576 0 2:2=1 остаток 0

0.576*2=1.152 1 1:2=0 остаток 1

0,3222 10 =0.0101 2 0.83*2=1.66 целая часть равна 1

0.66*2=1.32 целая часть равна 1

0.32*2=0.64 целая часть равна 0

0.64*2=1.28 целая часть равна 1

Ответ: 8,83=1000,1101

Перевод десятичных чисел в восьмеричную систему счисления

Для перевода числа из десятичной системы в восьмеричную применяется тот же прием, что и при переводе в двоичную систему.

Преобразуемое число делят на 8 по правилам десятичной системы с запоминанием остатка, который, конечно, не превышает 7. Если полученное частное больше 7, его тоже делят на 8, сохраняя остаток.

Решение:

(старшая цифра двоичного числа).

Ответ: 891 10 =1573 8

Для представления чисел в микропроцессоре используется двоичная система счисления .
При этом любой цифровой сигнал может иметь два устойчивых состояния: «высокий уровень» и «низкий уровень». В двоичной системе счисления для изображения любого числа используются две цифры, соответственно: 0 и 1. Произвольное число x=a n a n-1 ..a 1 a 0 ,a -1 a -2 …a -m запишется в двоичной системе счисления как

x = a n ·2 n +a n-1 ·2 n-1 +…+a 1 ·2 1 +a 0 ·2 0 +a -1 ·2 -1 +a -2 ·2 -2 +…+a -m ·2 -m

где a i — двоичные цифры (0 или 1).

Восьмеричная система счисления

В восьмеричной системе счисления базисными цифрами являются цифры от 0 до 7. 8 единиц младшего разряда объединяются в единицу старшего.

Шестнадцатеричная система счисления

В шестнадцатеричной системе счисления базисными цифрами являются цифры от 0 до 15 включительно. Для обозначения базисных цифр больше 9 одним символом кроме арабских цифр 0…9 в шестнадцатеричной системе счисления используются буквы латинского алфавита:

10 10 = A 16 12 10 = C 16 14 10 = E 16
11 10 = B 16 13 10 = D 16 15 10 = F 16 .

Например, число 175 10 в шестнадцатеричной системе счисления запишется как AF 16 . Действительно,

10·16 1 +15·16 0 =160+15=175

В таблице представлены числа от 0 до 16 в десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

Двоично-восьмеричные и двоично-шестнадцатеричные преобразования

Двоичная система счисления удобна для выполнения арифметических действий аппаратными средствами микропроцессора, но неудобна для восприятия человеком, поскольку требует большого количества разрядов. Поэтому в вычислительной технике помимо двоичной системы счисления широкое применение нашли восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления для более компактного представления чисел.

Три разряда восьмеричной системы счисления реализуют все возможные комбинации восьмеричных цифр в двоичной системе счисления: от 0 (000) до 7(111). Чтобы преобразовать двоичное число в восьмеричное, нужно объединить двоичные цифры в группы по 3 разряда (триады) в две стороны, начиная от разделителя целой и дробной части. При необходимости слева от исходного числа нужно добавить незначащие нули. Если число содержит дробную часть, то справа от него тоже можно добавить незначащие нули до заполнения всех триад. Затем каждая триада заменяется восьмеричной цифрой.

Пример: Преобразовать число 1101110,01 2 в восьмеричную систему счисления.

Объединяем двоичные цифры в триады справа налево. Получаем

001 101 110,010 2 = 156,2 8 .

Чтобы перевести число из восьмеричной системы в двоичную, нужно каждую восьмеричную цифру записать ее двоичным кодом:

156,2 8 = 001 101 110,010 2 .

Четыре разряда шестнадцатеричной системы счисления реализуют все возможные комбинации шестнадцатеричных цифр в двоичной системе счисления: от 0 (0000) до F(1111). Чтобы преобразовать двоичное число в шестнадцатеричное, нужно объединить двоичные цифры в группы по 4 разряда (тетрады) в две стороны, начиная от разделителя целой и дробной части. При необходимости слева от исходного числа нужно добавить незначащие нули. Если число содержит дробную часть, то справа от нее тоже нужно добавить незначащие нули до заполнения всех тетрад. Затем каждая тетрада заменяется шестнадцатеричной цифрой.

Пример: Преобразовать число 1101110,11 2 в шестнадцатеричную систему счисления.

Объединяем двоичные цифры в тетрады справа налево. Получаем

0110 1110,1100 2 = 6E,C 16 .

Чтобы перевести число из шестнадцатеричной системы в двоичную, нужно каждую шестнадцатеричную цифру записать ее двоичным кодом.

Результат уже получен!

Системы счисления

Существуют позиционные и не позиционные системы счисления. Арабская система счисления, которым мы пользуемся в повседневной жизни, является позиционной, а римская − нет. В позиционных системах счисления позиция числа однозначно определяет величину числа. Рассмотрим это на примере числа 6372 в десятичном системе счисления. Пронумеруем это число справа налево начиная с нуля:

Тогда число 6372 можно представить в следующем виде:

6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .

Число 10 определяет систему счисления (в данном случае это 10). В качестве степеней взяты значения позиции данного числа.

Рассмотрим вещественное десятичное число 1287.923. Пронумеруем его начиная с нуля позиции числа от десятичной точки влево и вправо:

Тогда число 1287.923 можно представить в виде:

1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3·10 -3 .

В общем случае формулу можно представить в следующем виде:

Ц n ·s n +Ц n-1 ·s n-1 +…+Ц 1 ·s 1 +Ц 0 ·s 0 +Д -1 ·s -1 +Д -2 ·s -2 +…+Д -k ·s -k

где Ц n -целое число в позиции n , Д -k — дробное число в позиции (-k), s — система счисления.

Несколько слов о системах счисления.Число в десятичной системе счисления состоит из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, в восьмеричной системе счисления — из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7}, в двоичной системе счисления — из множества цифр {0,1}, в шестнадцатеричной системе счисления — из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}, где A,B,C,D,E,F соответствуют числам 10,11,12,13,14,15.В таблице Таб.1 представлены числа в разных системах счисления.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Для перевода чисел с одной системы счисления в другую, проще всего сначала перевести число в десятичную систему счисления, а затем, из десятичной системы счисления перевести в требуемую систему счисления.

Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления

С помощью формулы (1) можно перевести числа из любой системы счисления в десятичную систему счисления.

Пример 1. Переводить число 1011101.001 из двоичной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:

1 ·2 6 +0 ·2 5 +1 ·2 4 +1 ·2 3 +1 ·2 2 +0 ·2 1 +1 ·2 0 +0 ·2 -1 +0 ·2 -2 +1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

Пример 2. Переводить число 1011101.001 из восьмеричной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:

Пример 3 . Переводить число AB572.CDF из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную СС. Решение:

Здесь A -заменен на 10, B — на 11, C — на 12, F — на 15.

Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления нужно переводить отдельно целую часть числа и дробную часть числа.

Целую часть числа переводится из десятичной СС в другую систему счисления — последовательным делением целой части числа на основание системы счисления (для двоичной СС — на 2, для 8-ичной СС — на 8, для 16-ичной — на 16 и т.д.) до получения целого остатка, меньше, чем основание СС.

Пример 4 . Переведем число 159 из десятичной СС в двоичную СС:

Как видно из Рис. 1, число 159 при делении на 2 дает частное 79 и остаток 1. Далее число 79 при делении на 2 дает частное 39 и остаток 1 и т.д. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в двоичной СС: 10011111 . Следовательно можно записать:

159 10 =10011111 2 .

Пример 5 . Переведем число 615 из десятичной СС в восьмеричную СС.

При приведении числа из десятичной СС в восьмеричную СС, нужно последовательно делить число на 8, пока не получится целый остаток меньшее, чем 8. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в восьмеричной СС: 1147 (см. Рис. 2). Следовательно можно записать:

615 10 =1147 8 .

Пример 6 . Переведем число 19673 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.

Как видно из рисунка Рис.3, последовательным делением числа 19673 на 16 получили остатки 4, 12, 13, 9. В шестнадцатеричной системе счисления числе 12 соответствует С, числе 13 — D. Следовательно наше шестнадцатеричное число — это 4CD9.

Для перевода правильных десятичных дробей (вещественное число с нулевой целой частью) в систему счисления с основанием s необходимо данное число последовательно умножить на s до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль, или же не получим требуемое количество разрядов. Если при умножении получится число с целой частью, отличное от нуля, то эту целую часть не учитывать (они последовательно зачисливаются в результат).

Рассмотрим вышеизложенное на примерах.

Пример 7 . Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в двоичную СС.

Как видно из Рис.4, число 0.214 последовательно умножается на 2. Если в результате умножения получится число с целой частью, отличное от нуля, то целая часть записывается отдельно (слева от числа), а число записывается с нулевой целой частью. Если же при умножении получиться число с нулевой целой частью, то слева от нее записывается нуль. Процесс умножения продолжается до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль или же не получим требуемое количество разрядов. Записывая жирные числа (Рис.4) сверху вниз получим требуемое число в двоичной системе счисления: 0.0011011 .

Следовательно можно записать:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Пример 8 . Переведем число 0.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС.

Для приведения числа 0.125 из десятичной СС в двоичную, данное число последовательно умножается на 2. В третьем этапе получилось 0. Следовательно, получился следующий результат:

0.125 10 =0.001 2 .

Пример 9 . Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.

Следуя примерам 4 и 5 получаем числа 3, 6, 12, 8, 11, 4. Но в шестнадцатеричной СС числам 12 и 11 соответствуют числа C и B. Следовательно имеем:

0.214 10 =0.36C8B4 16 .

Пример 10 . Переведем число 0.512 из десятичной системы счисления в восьмеричную СС.

Получили:

0.512 10 =0.406111 8 .

Пример 11 . Переведем число 159.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 4) и дробную часть числа (Пример 8). Далее объединяя эти результаты получим:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Пример 12 . Переведем число 19673.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 6) и дробную часть числа (Пример 9). Далее объединяя эти результаты получим.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную и обратно

Перевод чисел между системами счисления, основания которых являются степенями числа 2 (q = 2 n), может производиться по более простым алгоритмам. Такие алгоритмы могут применяться для перевода чисел между двоичной (q = 2 1), восьмеричной (q = 2 3) и шестнадцатеричной (q = 2 4) системами счисления.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную. Для записи двоичных чисел используются две цифры, то есть в каждом разряде числа возможны 2 варианта записи. Решаем показательное уравнение:

2 = 2 i . Так как 2 = 2 1 , то i = 1 бит.

Каждый разряд двоичного числа содержит 1 бит информации.

Для записи восьмеричных чисел используются восемь цифр, то есть в каждом разряде числа возможны 8 вариантов записи. Решаем показательное уравнение:

8 = 2 i . Так как 8 = 2 3 , то i = 3 бита.

Каждый разряд восьмеричного числа содержит 3 бита информации.

Таким образом, для перевода целого двоичного числа в восьмеричное его нужно разбить на группы по три цифры, справа налево, а затем преобразовать каждую группу в восьмеричную цифру. Если в последней, левой, группе окажется меньше трех цифр, то необходимо ее дополнить слева нулями.

Переведем таким способом двоичное число 101001 2 в восьмеричное:

101 001 2 => 1 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 0 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 => 51 8 .

Для упрощения перевода можно заранее подготовить таблицу преобразования двоичных триад (групп по 3 цифры) в восьмеричные цифры:

Для перевода дробного двоичного числа (правильной дроби) в восьмеричное необходимо разбить его на триады слева направо и, если в последней, правой, группе окажется меньше трех цифр, дополнить ее справа нулями. Далее необходимо триады заменить на восьмеричные числа.

Например, преобразуем дробное двоичное число А 2 = 0,110101 2 в восьмеричную систему счисления:

Получаем: А 8 = 0,65 8 .

Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную. Для записи шестнадцатеричных чисел используются шестнадцать цифр, то есть в каждом разряде числа возможны 16 вариантов записи. Решаем показательное уравнение:

16 = 2 i . Так как 16 = 2 4 , то i = 4 бита.

Каждый разряд шестнадцатеричного числа содержит 4 бита информации.

Таким образом, для перевода целого двоичного числа в шестнадцатеричное его нужно разбить на группы по четыре цифры (тетрады), начиная справа, и, если в последней левой группе окажется меньше четырех цифр, дополнить ее слева нулями. Для перевода дробного двоичного числа (правильной дроби) в шестнадцатеричное необходимо разбить его на тетрады слева направо и, если в последней правой группе окажется меньше четырех цифр, то необходимо дополнить ее справа нулями.

Затем надо преобразовать каждую группу в шестнадцате-ричную цифру, воспользовавшись для этого предварительно составленной таблицей соответствия двоичных тетрад и шестнадцатеричных цифр.

Переведем целое двоичное число А 2 = 101001 2 в шестнадцатеричное:

Получаем: А 16 = 0,D4 16 .

Для того чтобы преобразовать любое двоичное число в восьмеричную или шестнадцатеричную системы счисления, необходимо произвести преобразования по рассмотренным выше алгоритмам отдельно для его целой и дробной частей.

Перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную. Для перевода чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную необходимо цифры числа преобразовать в группы двоичных цифр. Для перевода из восьмеричной системы в двоичную каждую цифру числа надо преобразовать в группу из трех двоичных цифр (триаду), а при преобразовании шестнадцатеричного числа — в группу из четырех цифр (тетраду).

Например, преобразуем дробное восьмеричное число А 8 = 0,47 8 в двоичную систему счисления:

В результате имеем: А 2 = 10101011 2

3адания

1.16. Составить таблицу соответствия двоичных тетрад и шестнадцатеричных цифр.

1.17. Перевести в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления следующие целые числа: 1111 2 , 1010101 2 .

1.18. Перевести в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления следующие дробные числа: 0,01111 2 , 0,10101011 2 .

1.19. Перевести в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления следующие числа: 11,01 2 , 110,101 2 .

1.20. Перевести в двоичную систему счисления следующие числа: 46,27 8 , ЕF,12 16 .

1.21. Сравнить числа, выраженные в различных системах счисления: 1101 2 и D 16 ; 0,11111 2 и 0,22 8 ; 35,63 8 и 16,С 16 .

1. Порядковый счет в различных системах счисления.

В современной жизни мы используем позиционные системы счисления, то есть системы, в которых число, обозначаемое цифрой, зависит от положения цифры в записи числа. Поэтому в дальнейшем мы будем говорить только о них, опуская термин «позиционные».

Для того чтобы научиться переводить числа из одной системы в другую, поймем, как происходит последовательная запись чисел на примере десятичной системы.

Поскольку у нас десятичная система счисления, мы имеем 10 символов (цифр) для построения чисел. Начинаем порядковый счет: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифры закончились. Мы увеличиваем разрядность числа и обнуляем младший разряд: 10. Затем опять увеличиваем младший разряд, пока не закончатся все цифры: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Увеличиваем старший разряд на 1 и обнуляем младший: 20. Когда мы используем все цифры для обоих разрядов (получим число 99), опять увеличиваем разрядность числа и обнуляем имеющиеся разряды: 100. И так далее.

Попробуем сделать то же самое в 2-ной, 3-ной и 5-ной системах (введем обозначение для 2-ной системы, для 3-ной и т.д.):

Если система счисления имеет основание больше 10, то нам придется вводить дополнительные символы, принято вводить буквы латинского алфавита. Например, для 12-ричной системы кроме десяти цифр нам понадобятся две буквы ( и ):

2.Перевод из десятичной системы счисления в любую другую.

Чтобы перевести целое положительное десятичное число в систему счисления с другим основанием, нужно это число разделить на основание. Полученное частное снова разделить на основание, и дальше до тех пор, пока частное не окажется меньше основания. В результате записать в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего.

Пример 1. Переведем десятичное число 46 в двоичную систему счисления.

Пример 2. Переведем десятичное число 672 в восьмеричную систему счисления.

Пример 3. Переведем десятичное число 934 в шестнадцатеричную систему счисления.

3. Перевод из любой системы счисления в десятичную.

Для того, чтобы научиться переводить числа из любой другой системы в десятичную, проанализируем привычную нам запись десятичного числа.
Например, десятичное число 325 – это 5 единиц, 2 десятка и 3 сотни, т.е.

Точно так же обстоит дело и в других системах счисления, только умножать будем не на 10, 100 и пр., а на степени основания системы счисления. Для примера возьмем число 1201 в троичной системе счисления. Пронумеруем разряды справа налево начиная с нуля и представим наше число как сумму произведений цифры на тройку в степени разряда числа:

Это и есть десятичная запись нашего числа, т.е.

Пример 4. Переведем в десятичную систему счисления восьмеричное число 511.

Пример 5. Переведем в десятичную систему счисления шестнадцатеричное число 1151.

4. Перевод из двоичной системы в систему с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.).

Для преобразования двоичного числа в число с основанием «степень двойки» необходимо двоичную последовательность разбить на группы по количеству цифр равному степени справа налево и каждую группу заменить соответствующей цифрой новой системы счисления.

Например, Переведем двоичное 1100001111010110 число в восьмеричную систему. Для этого разобьем его на группы по 3 символа начиная справа (т.к. ), а затем воспользуемся таблицей соответствия и заменим каждую группу на новую цифру:

Таблицу соответствия мы научились строить в п.1.

Т.е.

Пример 6. Переведем двоичное 1100001111010110 число в шестнадцатеричную систему.

5.Перевод из системы с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.) в двоичную.

Этот перевод аналогичен предыдущему, выполненному в обратную сторону: каждую цифру мы заменяем группой цифр в двоичной системе из таблицы соответствия.

Пример 7. Переведем шестнадцатеричное число С3A6 в двоичную систему счисления.

Для этого каждую цифру числа заменим группой из 4 цифр (т.к. ) из таблицы соответствия, дополнив при необходимости группу нулями вначале:

Практическая часть

Системы счисления, используемые в ЭВМ.

Дело в том, что для физического представления (изображения) чисел необходимы элементы, способные находиться в одном из нескольких устойчивых состояний. Число этих состояний должно быть равно основанию принятой системы счисления. Тогда каждое состояние будет представлять соостветствующую цифру из алфавита данной системы счисления.

Десятичная система счисления, привычная для нас, не является наилучшей для использования в ЭВМ. Для изображения любого числа в десятичной системе счисления требуется десять различных символов. При реализации в ЭВМ этой системы счисления необходимы функциональные элементы, имеющие ровно десять устойчивых состояний. Так, в арифмометрах используются вращающиеся шестеренки, в которых фиксируется десять устойчивых положений. Но арифмометр и другие подобные механические устройства имеют серьезный недостаток- низкое быстродействие.

Создание электронных элиментов, имеющих много устойчивых состояний, затруднено. Наиболее простыми с точки зрения технической реализации являются так называемые двухпозиционные элементы, способные находиться в одном из двух устойчивых состояний, например:
—электромагнитные реле замкнуто или разомкнуто;
—ферромагнитная поверхность намагничена или размагничена;
—магнитный сердечник намагничен в одном направлении или в противоположном;
—транзисторный ключ находится в проводящем состоянии или запертом и т.д.

Одно из этих устойчивих состояний может представляться с цифрой 0, другое- цифрой 1. С двоичной системой связаны и другие существенные приемущества. Она обеспечивает максимальную устойчивость в процессе передачи информации как между отдельными узлами автоматического устройства, так и на большие расстояния. В ней предельно просто выполняются арифметические действия и возможно применения аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований.

Благодаря таким особенностям двоичная система стала стандартом при построении ЭВМ.

Большое применение в ЭВМ нашли также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Обмен информацией между устройствами большинства ЭВМ осуществляется путем передачи двоичных чисел. Пользоваться такими числами из-за их большой длины и зрительной однородности человеку не удобно. Поэтому специалисты(программисты, инженеры) как на этапах составления программ для ЭВМ, их отладки, ручного ввода/вывода данных, так и на этапах разработки, создания, настройки вычислительных систем заменяют коды машинных команд, адреса и операнды на эквивалентные им величины в восьмеричной или шестнадцатеричной системах счисления. В результате длина исходного слова сокращается в три, четыре раза соответственно. Это делает информацию более удобной для рассмотрения и анализа. Таким образом, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления выступают в качестве простейшего языка обшения человека с ЭВМ, достаточно близкого как к превычной для человека десятичной системе счисления, так и к двоичному»языку» машины.

Как правило, пользователь ЭВМ вводит исходную информацию и получает результат решения задачи в десятичной системе счисления.

При вводе информации в ЭВМ каждая десятичная цифра заменяется ее двоичным эквивалентном в виде тетрады (четыре двоичных разряда). Десятичное число требует для своего изображения стольких тетрад, сколько имеется десятичных разрядов в числе. Таким образом, десятичные цифры представляются в двоичной системе счисления, а все разряды без изменения — в десятичной системе счисления. Это позволяет выполнять арифметические операции в десятичной системе счисления, используя двоичные элементы для хранения и переработки числовой информации. Такая форма представления данных называется двоично-десятичной. Говорят о двоично-десятичном коде (ДДК) или смешанной двоично-десятичной системе счисления.

Перед матиматиками и конструкторами в 50-х гг. встала проблема отыскания таких систем счисления, которые отвечали бы требованиям как разработчиков ЭВМ, так и создателей программного обеспечения. Одним из итогов этих исследований стало значительное изменение представлений о системах счисления и о методах вычислений. Оказалось, что арифметический счет, которым человечество пользуется с древнейших времен, может совершенствоваться, подчас весьма неожиданно и на удивление эффективно.

Специалисты выделили так называемую «машинную» группу систем счисления и разработали способы преобразования чисел этой группы. К «машинной» группе систем счисления относятся: — двоичная;
— восьмеричная;
— шестнадцатеричная.

Официальное рождение двоичной арифметики связано с именем Г.В.Лейбница, опубликовавшего в 1703 г. статью, в которой он рассмотрел правила выполнения арифметических действий над двоичными числами.

Из истории известен курьезный случай с восьмеричной системой счисления. Шведский король Карл XII в 1717 г. увлекался восьмеричной системой счисления, считал ее более удобной, чем десятичная, и намеревался королевским приказом ввести ее как общепринятую. Неожиданная смерть помешала королю осуществить столь необычное намерение.

Десятичная система счисления

Для изображения чисел используются цифры:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Для изображения чисел больших 9 применяется позиционный способ записи числа. Значение цифры зависит от ее положения в числе.

Например, число 1998. Девятка на третьей позиции справа меньше чем единица на четвертой позиции справа, 900<100

Это число можно представить как сумму:

1998 = 1000 + 900 + 90 + 8, или
1998 = 1·10³ + 9·10² + 9·10¹ + 8·10⁰

Дробные числа могут быть записаны следующим образом:
70,25 = 7·10¹ + 0·10⁰ + 2·10^-1 + 5·10^-2

В качестве коэффициентов у степени десятки выступают цифры:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Арифметические действия сложения, вычитания, умножения и деления многократно проверены в школе. Выполняются!

Двоичная система счисления

Для изображения чисел используются цифры:0,1. Для изображения чисел больших 1 применяется позиционный способ записи числа,.

Двоичные числа можно представить в виде суммы ряда степеней двойки, аналогично десятичной системе счисления. Основанием будут служить степени 2, а коэффициентами числа: 0,1.
…+ k·2³ + k·2² + k·2¹ + k·2⁰, где
k — коэффициент

Возведем основание в степень. Получим ряд чисел:
…+ 8 + 4 + 2 + 1

Предлагается прием записи двоичных чисел:
Например, нам надо изобразить число 5
смотрим на строку 8 + 4 + 2 + 1 и складываем цифры так, чтобы получиловь требуемое десятичное число. Если цифра входит в сумму то на ее позиции ставим 1, если не входит, то ставим 0. Для получения 5 нам нужны числа 4 и 1, значит число будет выглядеть так:
0101
Первый 0 можно не записывать, получаем
101
Читается: один нуль один (сто один — не верно)

Запомним:
Единица на первой позиции справа играет роль 1;
Единица на второй позиции играет роль 2;
Единица на третьей позиции играет роль 4;
Единица на четвертой позиции играет роль 8 и т.д.
А нуль, он и в Африке нуль.

Составим таблицу перевода десятичных чисел в двоичные:

Полезно запомнить ряд степеней двойки:
128+64+32+16+8+4+2+1

Это замечательный ряд. Компьютер работает с ним постоянно. Каждый раз когда вы нажимаете любую клавишу, компьютер складывает этот ряд, определяет код символа и печатает его на экране. 8 бит (нулей или единиц) образуют байт. Предлагаем Вам поработать с байтом. Байт

Арифметические действия в двоичной системе счисления

Двоичное сложение предельно просто. Только в одном случае, когда производится сложение 1+1, происходит перенос единицы в старший разряд.

Сложение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенными таблицами сложения с учетом возможных переносов из младших разрядов в старшие.

Попробуйте свои силы в испытателе сложения двоичных чисел.

Двоичное вычитание рассмотрим на примере.

Вычитание многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенными таблицами вычитания с учетом возможных заемов из старших разрядов.

Попробуйте свои силы в испытателе вычитания двоичных чисел.

Перевод целых десятичных чисел в двоичные.

Для того, чтобы перевести целую часть числа из десятичной системы счисления в двоичную, необходимо:

шаг 1: разделить делимое на 2; зафиксировать остаток (0 или 1) и частное;

шаг 2: сравнить частное с единицей: если частное не равно единице, то продолжить действия — вернуться к шагу 1, предварительно отправив частное на место делимого; если частное равно единице, то перейти к шагу 3;

шаг 3: Зафиксированные в процессе выполнения предыдущих шагов остатки записать в обратном порядке в виде двоичного числа.

Полученная таким образом последовательность нулей и единиц дает представление десятичного числа в системе счисления с основанием 2.

Попробуйте свои силы в испытателе перевода целых десятичных чисел двоичные числа.

Перевод десятичных дробей в двоичные.

Рассмотрим пральные десятичные дробие. Это дроби вида:
0,48 = 0·10⁰ + 4·10^-1 + 8·10^-2
0,169 = 0·10⁰ + 1·10^-1 + 6·10^-2+ 9·10^-3

Как будет выглядеть десятичная дробь 0,125₁₀ = ?₂ в форме двоичного числа?

шаг 1: умножим дробную часть на 2;

шаг 2: отделить целую часть произведения (0 или 1), записать дробную часть произведения; действия продолжать до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю. Это значит, что сделан точный перевод. В противном случае перевод осуществляется до заданной точности.

шаг 3: Зафиксированные в процессе выполнения предыдущих шагов целые части записать сверху вниз в виде двоичного числа.

таким образом получаем:
0,125₁₀ = 0,001₂

Попробуйте свои силы в испытателе перевода десятичных дробей в двоичные.

Восьмеричная система счисления

Для изображения чисел используются цифры:0,1,2,3,4,5,6,7. Для изображения чисел больших 7 применяется позиционный способ записи числа. Значение цифры зависит от ее положения в числе.

Восьмеричные числа можно представить в виде суммы ряда степеней восьмерки, аналогично десятичной системе счисления. Основанием будут служить степени 8, а коэффициентами числа: 0,1,2,3,4,5,6,7.
…+ k·8³ + k·8² + k·8¹ + k·8⁰, где
k — коэффициент

Сложение чисел в этой и других системах счисления можно выполнить в испытателе.

Вычитанием чисел можно поупражняться здесь

Шестнадцатеричная система счисления

Для изображения чисел используются символы:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,a,b,c,d,e,f.

Для изображения чисел больших 15 применяется позиционный способ записи числа.

Шестнадцатеричная числа можно представить в виде суммы ряда степеней 16, аналогично десятичной системе счисления. Основанием будут служить степени 16, а коэффициентами числа: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,a,b,c,d,e,f.
…+ k·16³ + k·16² + k·16¹ + k·8⁰, где
k — коэффициент

Сложение чисел в этой и других системах счисления можно выполнить в испытателе.

Вычитанием чисел можно поупражняться здесь.

Учебный курс «Информатика»

    Существует очень много докомпьютерных систем кодирования различной информации. Так, например, числа можно кодировать в римской, десятичной и других системах записи чисел; например, в системе кодирования туземцев с островов, расположенных в Торресовом проливе число 3 записывается как окоза-урапун.
    Существует также система кодирования музыкальных произведений, так называемая, нотная азбука. Но можно подойти к вопросу о языке музыки с другой стороны, так, как об этом писал русский композитор Ю.А. Шапорин:
    “Мне кажется, нет на свете другого искусства,
    которое так бы роднило людей, как музыка.
    Язык её понятен каждому…”
    Он имел в виду, что миллионы людей понимают язык музыки в том смысле, что способны слушать и наслаждаться музыкой, не зная ни названий музыкальных инструментов, ни принципов создания музыкальных произведений. И в этом он, разумеется, прав.
    Широко известна в профессиональном мире система кодирования бухгалтерской и банковской информации, так как существуют определённые правила ведения бухгалтерского учёта и банковских операций, устанавливаемые государством.

    Различные системы счёта и записи чисел (системы счисления) тысячелетиями сосуществовали и соревновались между собой, но к концу “докомпьютерной эпохи” особую роль при счёте стало играть число десять, а самой популярной системой кодирования чисел оказалась так называемая позиционная десятичная система.
    Совокупность приёмов и правил изображения чисел с помощью цифровых знаков называется системой счисления.
    Любая позиционная система счисления имеет очень удобную запись и состоит из небольшого набора цифр и букв. В позиционной системе счисления значение цифры в записи числа зависит от её позиции внутри числа.
    Десятичная система счисления пришла из Индии, где она появилась не позднее VI века нашей эры. В ней используется 10 цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
    Рассмотрим число 2749. Цифра 9 означает количество единиц в числе, 4 — количество десятков, 7 — количество сотен, а 2 — количество тысяч. При этом цифра 2 имеет наибольший вес и называется старшей цифрой числа, а цифра 9 -наименьший вес и называется младшей цифрой числа, значит, информацию о числе несёт не только цифра, но также и место, на котором она стоит. Эта система счислений общепринята в обиходе людей с тех пор, когда человек стал использовать десять пальцев руки как первоначальный аппарат для счёта.
    Знаменитый французский математик и физик Лаплас сказал: «Мысль выражать все числа десятью знаками, придавая им, кроме значения по форме, ещё и значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна».
    В вычислительной технике используется двоичная система счисления. В ней применяются только две цифры: 0 и 1. Эта система тоже является позиционной, т.к. фактическое значение бинарного символа (0,1) определяется его позицией в ряду чисел. Крайняя правая позиция имеет минимальное значение, а крайняя левая — максимальное: 11011011.
    Для целей коммуникации человека с ЭВМ применяются системы с большим числом знаков. Это восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

    Шведский король Карл XII в 1717 году увлёкся восьмеричной системой. Он хотел ввести её в Швеции, но погиб в битве, не успев.

    Восьмеричная система состоит из восьми цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7. Шестнадцатеричная система — из десяти цифр и шести латинских букв: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, В, C, D, E, F.
    Для записи чисел в позиционной системе счисления с основанием n нужно иметь алфавит из n цифр. При n используются n первых арабских цифр, а при n>10 добавляются буквы. Позиционные системы удобны тем, что они позволяют записывать большие числа с помощью сравнительно небольшого числа знаков. Ещё более важное преимущество позиционных систем – это простота и лёгкость выполнения арифметических операций над числами, записанных в этих системах.
    Существуют и другие — непозиционные системы счисления, построенные на иных принципах. Общеизвестный пример такой системы — римская система счисления. Числа здесь записываются с помощью основных знаков — латинских букв:
     1 — I; 5 — V; 10 — X ; 50 — L; 100 — C; 500 — D ; 1000 — M
    Когда написано несколько римских цифр рядом, то число, обозначаемое ими, читается по следующим правилам:
    1. Если цифра с большим значением стоит слева от цифры с меньшим значением, то их значения складываются.     2. Если цифра с меньшим значением стоит слева от цифры с большим значением, то из большего значения вычитается меньшее.     3. Если рядом стоят две одинаковые цифры, то их значения складываются.
    Например:
    55=LV 1515=MDXV
    95=XCV 999=CMXCIX
    34=XXXIV 72=LXXII
    87041=LXXXVIIMXLI
     В непозиционной системе счисления смысл каждого символа не зависит от того места, на котором он стоит. Числа образуются сложно, и к тому же большие числа имеют очень громоздкую запись; если складывать и вычитать в такой системе ещё можно без особого труда, то умножать очень сложно, а деление представляет собой почти непосильную проблему, поэтому непозиционная система счисления в вычислительной технике применения не нашла.

Официальный сайт МБОУ «ОШ №10»

Дата урока 8 апреля

Тема урока: Представление числовой информации с помощью систем счисления.

Ход урока

1. Посмотрите видеоурок https://www.youtube.com/watch?v=qkhPtM4ZT8g
2. Запишите тему урока в тетрадь. Прочитайте текст.

 Историческая справка

Люди научились считать еще в незапамятные времена. Сначала они просто различали один предмет перед ними или нет. Если предмет был не один, то говорили «много». Постепенно появилось слово для обозначения двух предметов. Счет парами очень удобен.

Наиболее древней и простой «счетной машиной» издавна являются пальцы рук и ног. И даже в наше время еще пользуются этим «счетным прибором», который всегда при нас. На пальцах можно решать примеры не только в пределах десяти. В древние времена люди ходили босиком. Поэтому они могли пользоваться для счета пальцами как рук, так и ног.

Записывали числа поначалу совсем просто: делали зарубки на куске дерева или кости. На этой кости тридцать тысяч лет назад сделаны нарезки, они показывают, что уже тогда наши предки умели не только считать, но и записывать результаты счета!

Когда понадобилось записывать большие числа, то для пятерок и десяток стали придумывать новые знаки.

Запомнить большие числа трудно, поэтому к «счетной машине» рук и ног добавляли механические приспособления. Веревочные счеты с узелками применялись и в России, и во многих странах Европы. Остатками этого способа является практикуемое еще до сих пор завязывание узелков на носовых платках «на память». Так, одни пользовались для запоминания чисел камешками, зернами, веревкой с узелками, другие — палочками с зарубками. Это были первые счетные приборы, которые в конце концов привели к образованию различных систем счисления

Система счисления — это совокупность правил и приемов записи чисел с помощью набора цифровых знаков.

• позиционные, когда значение каждой цифры числа определяется ее позицией в записи числа;
• непозиционные, когда значение цифры в числе не зависит от ее места в записи числа.

Непозиционные СС. Единичная система счисления. Находки археологов на стоянках первобытных людей свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков (бирок): зарубок, черточек, точек. Позже значки стали группировать по три или по пять. Такая система записи чисел называется единичной (унарной), так как любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу. Отголоски единичной системы счисления встречаются и сегодня (счетные палочки для обучения счету; полоски, нашитые на рукаве, означают на каком курсе учится курсант военного училища). Неудобства такой системы записи чисел и ограниченность ее применения очевидны: чем большее число надо записать, тем длиннее строка из палочек.

Римская система счисления является непозиционной системой. В ней для записи чисел используются буквы латинского алфавита. При записи чисел в римской системе счисления значением числа является алгебраическая сумма цифр, в него входящих. При этом цифры в записи числа следуют, как правило, в порядке убывания их значений, и не разрешается записывать рядом более трех одинаковых цифр. В том случае, когда за цифрой с большим значением следует цифра с меньшим, ее вклад в значение числа в целом является отрицательным. Типичные примеры, иллюстрирующие общие правила записи чисел в римской система счисления, приведены в таблице.

Таблица 1. Запись чисел в римской системе счисления

Недостатком римской системы является отсутствие формальных правил записи чисел и, соответственно, арифметических действий с многозначными числами. По причине неудобства и большой сложности в настоящее время римская система счисления используется там, где это действительно удобно: в литературе (нумерация глав), в оформлении документов (серия паспорта, ценных бумаг и др.), в декоративных целях на циферблате часов и в ряде других случаев.

Мы с вами более подробно рассмотрим позиционные системы счисления.

В позиционной системе счисления основными понятиями являются понятие алфавита и основания системы счисления.

Алфавитом системы счисления называется совокупность всех цифр.

Количество цифр, необходимых для записи числа в системе, называют основанием  системы счисления. Основание системы записывается в справа числа в нижнем индексе: 78₁₀, 1100010₁₂, AF12₁₆ и т. д.

Количество цифр, составляющих алфавит, называется его мощностью.

В позиционных системах счисления один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места(разряда), где он расположен. Разряд — номер позиции в числе. Нумеруются справа налево, начиная с нуля.

Пример. Число6184₁₀ запишется в форме многочлена следующим образом:

6184₁₀ = 6*10 ³ +1*10 ² +8*10 ¹ +4*10 ⁰

Виды систем счисления.

В компьютерах принято использовать 4 основные системы счисления – двоичную, восьмеричную, десятичную и шестнадцатеричную. Именно их подробно рассмотрим.

Десятичная система счисления – в настоящее время наиболее известная и используемая. Древнее изображение десятичных цифр не случайно: каждая цифра обозначает число по количеству углов в ней. Например, 0 — углов нет, 1 — один угол, 2 — два угла и т.д. Написание десятичных цифр претерпело существенные изменения. Форма, которой мы пользуемся, установилась в XVI веке.

Десятичная система впервые появилась в Индии примерно в VI веке новой эры. Индийская нумерация использовала девять числовых символов и нуль для обозначения пустой позиции

Десятичная система использует десять цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, а также символы “+” и “–” для обозначения знака числа и запятую или точку для разделения целой и дробной частей числа.

Если взять правило, по которым строятся числа в десятичной системе счисления, заменив основание 10 на натуральное число N, можно построить позиционную систему счисления с основанием N.

В вычислительных машинах используется двоичная система счисления, её основание — число 2. Для записи чисел в этой системе используют только две цифры — 0 и 1. Двоичная система счисления была придумана математиками и философами задолго до появления компьютеров, еще в ХVII — ХIХ веках. Двоичная система удобна для компьютера, но неудобна для человека: числа получаются длинными и их трудно записывать и запоминать. Конечно, можно перевести число в десятичную систему и записывать в таком виде, а потом, когда понадобится перевести обратно, но все эти переводы трудоёмки. Поэтому применяются системы счисления, родственные двоичной — восьмеричная и шестнадцатеричная. Для записи чисел в этих системах требуется соответственно 8 и 16 цифр. В 16-теричной первые 10 цифр общие, а дальше используют заглавные латинские буквы. Шестнадцатеричная цифра A соответствует десятеричному числу 10, шестнадцатеричная B – десятичному числу 11 и т. д. Использование этих систем объясняется тем, что переход к записи числа в любой из этих систем от его двоичной записи очень прост. Ниже приведена таблица соответствия чисел, записанных в разных системах.

Учащиеся заполняют таблицу в тетрадях

Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую

Перевод чисел из одной системы счисления в другую составляет важную часть машинной арифметики. Рассмотрим основные правила перевода.

1. При переводе числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную надо это число представить в виде суммы степеней основания его системы счисления.

Числа 10100110₂ , 703₈ , 23FA1₁₆ перевести в десятичную систему счисления.

10100110₂=1*2⁷+0*2⁶+1*2⁵+0*2⁴+0*2³+1*2²+1*2¹+0*2⁰=128+32+4+2=166₁₀

703₈=7*8²+0*8¹+3*8⁰=448+3=447₁₀

23FA1₁₆=2*16⁴+3*16³+15*16²+10*16¹+1*16⁰=131072+12288+3840+160+1=147361

2. Правило перевода из десятичной системы счисления в систему с основанием q:

1. Последовательно выполнять деление исходного числа и получаемых частных на q до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя.

2. Полученные при таком делении остатки – цифры числа в системе счисления q – записать в обратном порядке (снизу вверх).

3. Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную (шестнадцатеричную), его нужно разбить на триады (тетрады), начиная с младшего разряда (справа налево), в случае необходимости дополнив старшую триаду (тетраду) нулями, и каждую триаду (тетраду) заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой (табл.).

Число 10010110111₂ перевести в восьмеричную и в шестнадцатеричную системы счисления.

4. Для перевода восьмеричного (шестнадцатеричного) числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тетрадой).

Числа 726₈ и 74С₁₆ перевести в двоичную систему счисления.

726₈= 111 010 110₂

74С₁₆ = 0111 0100 1100₂ (при записи числа первый 0 не пишется)

5. При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно, необходим промежуточный перевод чисел в двоичную систему.

Число FAE₁₆ перевести в восьмеричную систему счисления.

FAE₁₆=111110101110₂

111 110 101 110₂=7656₈

Число 635₈ перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

635₈ =110011101₂

1 1001 1101₂=19D₁₆

3. Составьте опорный конспект в виде таблиц, графиков, схем. На листе А4 (можно на листе в клетку)
4. Домашнее задание. Задайте к прочитанному тексту 6 вопросов. Запишите их в тетрадь.
5. Запишите дату своего рождения в римской системе счисления.

Раздел 2.3

Раздел 1.4

Восьмеричная система счисления

В восьмеричной системе счисления основание восемь, то есть восемь. возможные цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7.

8 3	8 2	8 1	8 0		8 -1	8 -2	8 -3
= 512	= 64	= 8	= 1	.	= 1/8	= 1/64	= 1/512
M ost S негорючий D igit				Восьмеричный точка			L восток S негорючий D igit

Восьмеричное преобразование в десятичное

например 24,6 ₈ = 2 x (8 ¹ ) + 4 x (8 ⁰ ) + 6 x (8 ^-1 ) = 20,75 ₁₀

---

Двоичное преобразование в восьмеричное / восьмеричное в двоичное

Восьмеричная цифра	0	1	2	3	4	5	6	7
Двоичный эквивалент	000	001	010	011	100	101	110	111

Каждая восьмеричная цифра представлена ​​тремя битами двоичной цифры.

например 100 111010 ₂ = (100) (111) (010) ₂ = 4 7 2 ₈

---

Повторное деление
В этом методе используется повторное деление на 8. например преобразовать 177 ₁₀ в восьмеричную систему и двоичный:

177/8	= 22+ остаток от 1	1 (младший бит)
22/8	= 2 + остаток от 6	6
2 / 8	= 0 + остаток от 2	2 (старший разряд)
Результат	177 10 =	2 6 1 8
	Преобразовать в двоичное	= 010110001 2

Шестнадцатеричная система счисления

В шестнадцатеричной системе используется основание 16.Таким образом, он имеет 16 возможных цифр символы. Он использует цифры от 0 до 9 плюс буквы A, B, C, D, E, и F как 16-значные символы.

16 3	16 2	16 1	16 0		16 -1	16 -2	16 -3
= 4096	= 256	= 16	= 1	.	= 1/16	= 1/256	= 1/4096
M ost S негорючий D igit				Hexadec. точка			L восток S негорючий D igit

Шестнадцатеричное преобразование в десятичное

например 2AF ₁₆ = 2 x (16 ² ) + 10 x (16 ¹ ) + 15 x (16 ⁰ ) = 687 ₁₀

Повторное деление: преобразование десятичной дроби в шестнадцатеричную
В этом методе используется повторное деление на 16.например конвертировать 378 ₁₀ в шестнадцатеричный и двоичный:

378/16	= 23+ остаток 10	A (младший бит)
23/16	= 1 + остаток от 7	7
1/16	= 0 + остаток от 1	1 (старший разряд)
Результат	378 10 =	1 7 A 8
	Преобразовать в двоичное	= 0001 0111 1010 2 = 0000 0001 0111 1010 (16 бит)

---

двоично-шестнадцатеричный /
Преобразование шестнадцатеричного числа в двоичное

Шестнадцатеричная цифра	0	1	2	3	4	5	6	7
Двоичный эквивалент	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111

Шестнадцатеричная цифра	8	9	A	B	C	D	E	F
Двоичный эквивалент	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111

Каждая шестнадцатеричная цифра представлена ​​ четырьмя битами двоичной цифры.

например 1011 0010 1111 ₂ = (1011) (0010) (1111) ₂ = B 2 F ₁₆

---

Восьмеричное преобразование в шестнадцатеричное /
Преобразование шестнадцатеричного числа в восьмеричное

1) Сначала преобразовать восьмеричное (шестнадцатеричное) в двоичное.
2a) Перегруппируйте двоичное число в 3 бита, группа начинается с младшего бита , если Требуется восьмеричный.
Вернитесь к Разделу 2.3, если вы не знаете, как группировать в Octal.
2b) Перегруппируйте двоичное число в 4 бита группу из младшего разряда, если Шестнадцатеричный обязателен.

например Преобразуйте 5A8 ₁₆ в восьмеричное.

5A8 16	= 0101 1010 1000 (двоичный)
	= 2 6 5 0 (восьмеричное)

Восьмеричная система счисления | Преобразования

В этой статье мы изучим другую систему счисления, известную как восьмеричная система счисления .Имеет базу восемь (8). Это означает, что есть восемь цифр, с помощью которых мы можем представить любое число восьмеричного семейства. Цифры от 0 до 7, то есть (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7).

Представление восьмеричного числа

Обозначается как (X) ₈

, где X — восьмеричное число, а основание 8 записывается как суффикс или основание.

пример: (11) ₈ , (7354) ₈ , (265) ₈ , (56) ₈ и т. Д.являются примерами восьмеричного числа.

Рассмотрим восьмеричное число (10101110) ₈ , как показано ниже. Здесь крайняя левая цифра известна как наиболее значимая цифра (MSD) , а крайняя правая цифра известна как наименьшая значащая цифра (LSD).

Восьмеричное преобразование в десятичное

Расширьте число, данное в восьмеричной форме, в степень 8 и просуммируйте значения, результат, который мы получим, будет в десятичной форме. Например —

(372) ₈ = 8 ² × 3 + 8 ¹ × 7 + 8 ⁰ × 2

= 64 × 3 + 8 × 7 + 1 × 2

= 192 + 56 + 2

= 250

= (250) ₁₀

Другой пример.

(3127) ₈ = 8 ³ × 3 + 8 ² × 1 + 8 ¹ × 2 + 8 ⁰ × 7

= 512 × 3 + 64 × 1 + 8 × 2 + 1 × 7

= 1536 + 64 + 16 + 7

= 1623

= (1623) ₁₀

Преобразование десятичного числа в восьмеричное

Разделите число на 8 и возьмите только остаток, если деление завершено, возьмите только остаток, который дает восьмеричное число. Прежде всего, слева написано MSD и двигайтесь, пока не достигнете LSD.

Рассмотрим пример.

Найдите восьмеричный эквивалент десятичного числа 610.

MSD = старшая цифра = 1

LSD = наименьшая значащая цифра = 2

Мы должны записывать значения остатка, двигаясь снизу вверх (слева, чтобы писать на бумаге), как показано выше.

Следовательно, восьмеричным эквивалентом десятичного числа 610 является (1142) ₈ .

Вот таблица восьмеричного эквивалента первых 16 десятичных чисел.

Глава 2 — Системы счисления

Этот Глава охватывает следующие основные темы:

о Фон

о Счет в разных базах

о Расчеты диапазона

о Целочисленное преобразование

о Дробное преобразование

о Арифметика с разными основами

Фон

А система счисления — способ представления чисел

А система счисления идентифицируется по основанию

В base — десятичное целое число без знака с минимальным значением 2

В нет ограничения на максимальное значение для базы, однако самая большая известная база это 16

Обычно используемые системы счисления также идентифицируются по их имени

Там 4 наиболее часто используемые системы счисления:

о Десятичное число с основанием 10

о Шестнадцатеричный с основанием 16

о Восьмеричное основание 8

о двоичный основание 2

В base определяет диапазон цифры в системе счисления, которая начинается с 0 и заканчивается базой-1

Для баз с диапазоном, превышающим 10, буквенные символы A-Z используются для представляют значения больше 9

Примеры

о База 10-значный диапазон: 0–9

о База 5-значный диапазон: 0-4

о База 16-значный диапазон: от 0 до 9 и от A до F

Шаг 1. Поскольку 501 больше 7, разделите на 8.501 ÷ 8 = 62,625
Шаг 2: Чтобы вычислить остаток, вам нужно умножить часть после десятичной точки на 8.
0,625 * 8 = 5
Таким образом, первый остаток (и наименее значащая цифра восьмеричного числа) равен 5.
Шаг 3: Разделите 62 (часть частного до десятичной точки) на 8.
62 ÷ 8 = 7,75
Шаг 4: Рассчитайте остаток.
0,75 * 8 = 6
Шаг 5: Разделите целую часть последнего частного на 8.
7 ÷ 8 = 0,875
Шаг 6: Рассчитайте остаток.
0,875 * 8 = 7
(Обратите внимание, что когда вы достигли числа, меньшего, чем основание системы счисления 8 на шаге 3, остаток 7 уже был очевиден.Это потому, что если десятичное число меньше 8, восьмеричный эквивалент имеет то же значение.)
Шаг 7: остатки, записанные снизу вверх, дают вам восьмеричное число (765)  8 
Следовательно, (765)  8  равно (501)  10  

1465 ÷ 8 = 183,125
0,125 * 8 = 1 (остаток: 1)
183 ÷ 8 = 22,875
0,875 * 8 = 7 (остаток 7)
22 ÷ 8 = 2,75
0.75 * 8 = 6 (остаток 6)
2 ÷ 8 = 0,25
0,25 * 8 = 2 (остаток 2)
Прочтите остаток от наиболее значимого к менее значительному - снизу вверх: 2671.
Это восьмеричный эквивалент (1465)  10  

8 ÷ 8 = 1
Остаток 0
1 ÷ 8 = 0,125
0,125 * 8 = 1 (остаток 1)
Прочтите остаток от наиболее значимого к менее значительному - снизу вверх: 10.
 

10 ÷ 8 = 1.25
0,25 * 8 = 2 (остаток 2)
1 ÷ 8 = 0,125 (остаток 1)
Прочтите остаток от наиболее значимого к менее значительному - снизу вверх: 12.
 

1234 ÷ 8 = 154,25 (остаток 2)
154 ÷ 8 = 19,25 (остаток 2)
19 ÷ 8 = 2,375 (остаток 3)
2 ÷ 8 = 0,25 (остаток 2)
Восьмеричное число - 2322.
 

09, 10 - 19, 20 - 29, 30 - 39 и т. Д.

 

200 =
----- 0 * 10  0  = 0 * 1 = 0
------ 0 * 10  1  = 0 * 10 = 0
------- 2 * 10  2  = 2 * 100 = 200
-----
200 (суммируя)
-----

 

312 =
----- 2 * 10  0  = 2 * 1 = 2
------ 1 * 10  1  = 1 * 10 = 10
------- 3 * 10  2  = 3 * 100 = 300
-----
312 (суммируя)
-----

 

 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
 

  Пример добавления и превышения диапазона базовой настройки 

8 + 4

8
9 +1
10 +2 Примечание 1:
11 +3
12 +4

Примечание 1: при превышении 9 мы возвращаемся к началу набора (0),
и перенесите значение 1 в следующий столбец слева. Другой пример добавления и превышения диапазона базовой установки 

198 + 4

198
199 +1
200 +2 Примечание 2:
201 +3
202 +4

Примечание 2: при превышении 9 мы возвращаемся к началу набора (0),
и перенесите значение 1 в следующий столбец слева. Таким образом
в средний столбец (9) добавлен 1, следующее значение в наборе - 0, и
мы переносим 1 (потому что набор был превышен) в следующий левый столбец.Добавление
значение переноса от 1 до 1 в крайнем левом столбце дает.


 

 237 = (2 группы по 100) + (3 группы по 10) + (7 групп по 1)
= (100 + 100) + (10 + 10 + 10) + (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1)
= (200) + (30) + (7)
= 237

 

0
1
10 Примечание: перейти к наименьшему значению в наборе, перенести влево
11
100 Примечание: перейти к наименьшему значению в наборе, перенести влево
101
110 Примечание: перейти к наименьшему значению в наборе, перенести влево
111

 

1011 =
---- 1 * 2  0  = 1
----- 1 * 2  1  = 2
------ 0 * 2  2  = 0
------- 1 * 2  3  = 8
----
11 (в десятичной системе)



 

количество различных значений = 2  n 

где  n  - количество бит

например.2  8 
= 256 разных значений

 

1011 + 101 =
1011
101

1.Начните с самого правого столбца и примените правила.
2. 1 + 1 равно 0 и переносит 1 в следующий столбец слева.

1011
101
------
0 и нести 1

что действительно похоже

1011
111
------
0

3. Теперь займитесь вторым столбцом.
4. 1 + 1 равно 0, перенесите 1 в следующий столбец слева.

1011
111
------
00 и нести 1

что действительно похоже

1011
111
1
------
00

5.Теперь сделайте третий столбец
6. 1 + 1 равно 0, перенесите 1 в следующий столбец слева.

1011
111
1
------
000 и нести 1

что действительно похоже

1011
111
1
------
000

7. Теперь займитесь последней колонкой слева.
8. 1 + 1 равно 0 и переносится 1 слева.

1011
101
------
10000

 

254/2, что дает 127 с остатком 0
127/2, что дает 63 с остатком 1
63/2 получается 31 с остатком 1
31/2 получается 15 с остатком 1
15/2 получается 7 с остатком 1
7/2 дает 3 с остатком 1
3/2 дает 1 с остатком 1
1/2 дает 0 с остатком 1

таким образом, двоичный эквивалент  11111110 

 Другой пример, 132 десятичное число 
132/2, что дает 66 с остатком 0
66/2, что дает 33 с остатком 0
33/2, что дает 16 с остатком 1
16/2 - 8 с остатком 0
8/2 - 4 с остатком 0
4/2 дает 2 с остатком 0
2/2 дает 1 с остатком 0
1/2 дает 0 с остатком 1

таким образом, двоичный эквивалент  10000100 

 

 0 1 2 3 4 5 6 7
 

0-7, 10-17, 20-27, 30-37......

 

Каждый столбец представляет степень 8,

176 =
---- 6 * 8  0  = 6
----- 7 * 8  1  = 56
------ 1 * 8  2  = 64
----
126

 

 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 А Б В Г Д Е Ф
 

0 - F, 10 - 1 этаж, 20 - 2 этаж, 30 - 3 этаж......

 

Каждый столбец представляет степень 16,

176 =
---- 6 * 16  0  = 6
----- 7 * 16  1  = 112
------ 1 * 16  2  = 256
----
374

 

Каждая шестнадцатеричная цифра представляет 4 двоичных бита. Разделить двоичное число
на группы по 4 бита, начиная справа.1 0110
= 1 = 6
= 16 в шестнадцатеричной системе счисления

 

Используйте тот же метод, который использовался ранее, чтобы разделить десятичную дробь на
двоичный, но разделить на 16.

232/16 = 14 с остатком  8 
14/16 = 0 с остатком  E  (14 в десятичной системе = E)

=  E8    16   

162  h  h означает шестнадцатеричный
162  16  16 означает основание 16

162  d  d означает десятичное число
162  10  10 означает основание 10

162  o  o означает восьмеричное
162  8  8 означает основание 8

101  b  b означает двоичный
101  2  2 означает основание 2

 

Для 8 бит один бит предназначен для знака, 7 для числа, поэтому диапазон значений равен

2  7  = 127 комбинаций

 

 Пример, преобразование 1101101 кода Грея в двоичный 

Серый двоичный
1.1101101
2.  1  101101 1 копия вниз MSB
3. 1  1  1101  1  0 1 по модулю 2 1 = 0
4. 11  0  1101 1  0  0 0 по модулю 2 0 = 0
3/4 110  1 101 10  0  1 0 по модулю 2 1 = 1
3/4 1101  1  01100  1  0 1 по модулю 2 1 = 0
3/4 11011  0  1 1001  0  0 0 по модулю 2 0 = 0
3/4 110110  1  10010  0  1 0 по модулю 2 1 = 1

Ответ: 1001001

 

 Пример, преобразование двоичного кода 1001001 в код Грея 

Бинарный серый
1.1001001
2.  1  001001 1 копировать вниз MSB
3.  10  01001 11 1 по модулю 2 0 = 1
4. 1  00  1001110 0 по модулю 2 0 = 0
3/4 10  01  001 1101 0 по модулю 2 1 = 1
3/4 100  10  01 11011 1 по модулю 2 0 = 1
3/4 1001  00  1 110110 0 по модулю 2 0 = 0
3/4 10010  01  1101101 0 по модулю 2 1 = 1

Ответ 1101101