Олимпиада по информатике: Системы счисления

Системы счисления

1. Запись некоторого натурального числа X в шестнадцатеричной системе счисления имеет ровно три значащих разряда. Это число увеличили в два раза, и оказалось, что запись получившегося числа Y в шестнадцатеричной системе также имеет ровно три значащих разряда, причем сумма цифр шестнадцатеричной записи исходного числа X равна сумме цифр шестнадцатеричной записи полученного числа Y. Сколько существует таких чисел X, которые удовлетворяют указанным условиям и при этом содержат хотя бы одну цифру 2 в своей шестнадцатеричной записи? В ответе укажите целое число. 

2. Определите, для какого основания системы счисления Х выполняется следующее равенство:

   0,1_X * 6₁₀ = 12_X * 0,25₁₀ 

   В ответе укажите целое число.

3. Дано арифметическое выражение, все числа которого записаны в шестнадцатеричной системе счисления:

   Посчитайте сумму цифр числа, являющегося результатом вычисления этого выражения и записанного также в шестнадцатеричной системе счисления. Запишите полученную сумму в ответ в десятичной системе счисления.

4. Запись некоторого числа в шестнадцатеричной системе счисления состоит из 24 цифр. Известно, что при этом использовались только цифры A и F.
   Перечислите через пробел в порядке возрастания цифры, которые не могут встретиться в записи этого числа в восьмеричной системе счисления.

5. Вычислить значение выражения:

    ((4008 – 8016) * (1000002 + 1004)) / ((20016 — 6008) * (104 + 1002)) = ? 10. 

6. Решить уравнение: 1100₂*х₁₆=10011100₂, где 2 и 16 основания систем счисления. Ответ укажите в шестнадцатеричной системе счисления. 

7. Дано арифметическое выражение, все числа которого записаны в шестнадцатеричной системе счисления:
   А*8F-1
   Посчитайте сумму цифр числа, являющегося результатом вычисления этого выражения и записанного также в шестнадцатеричной системе счисления. В ответе запишите полученную сумму в десятичной системе счисления.

8. Десятичное число 10,2 перевели в восьмеричную систему счисления и записали в форме восьмеричной дроби. Определите значение цифры с десятичным номером 2017 в записи полученного числа. Для нумерации цифровых разрядов используются натуральные числа, и она начинается со старшего разряда числа.

9. Число X в системе счисления с основанием n (n<31) записывается как 4840. Известно, что это число делится нацело на десятичное число 11. Найти все возможные значения основания n. В ответе укажите сумму этих значений.
11. Сколько существует различных пар натуральных чисел, таких что: 1. Оба числа, записанные в пятеричной системе счисления, имеют ровно по три значащих разряда. 2. Сумма этих чисел, записанная в пятеричной системе счисления, содержит только цифры «1». Пары чисел, отличающиеся только порядком следования чисел в паре, считаются одинаковыми. В ответе укажите целое число.

12. Определите, какие слова должны быть записаны во второй строке:

    1, 10, 11, 100, 101,

    
    

13. Чему равно наименьшее основание позиционной системы счисления Y, при котором 225_X=14_Y? Ответ записать в виде целого числа.

14. Знайка научился считать в системе счисления, отличной от десятичной. Вместо 134 он пишет в этой системе 342. В ответе укажите числом основание системы счисления.
    
15.    Какие из предложенных чисел, записанных в различных системах счисления, являются нечетными?

    1.   

    100010₂                                         

    2.   

    AD₁₆                                              

    3.   

    35₇                                                 

    4.    32₅ 

          5.  1A₁₂
16. При каком основании системы счисления имеет решение следующий ребус: WZXYX + WZYX = YXWZX  
17. В числовом ребусе одинаковые цифры представлены одинаковыми буквами, а различные — разными. Решите числовой ребус в шестеричной системе счисления: ММУУ = УУ * УУ.